Grupurile GaloisGrupurile Galois au fost dezvoltate pentru a ajuta rezolvarea ecuaii polinomiale identificnd caracteristicile de simetrie ale acestuia. De exemplu, soluiile ecuaiei de gradul doi ax2 + bx + c = 0 sunt date de

Schimbnd "+" i "" din expresie, adic permutarea celor dou soluii poate fi v zut ca fiind o (forate simpl ) operaie a grupului. Se cunosc formule similare pentru ecuaiile cubice i pentru cele cuadratice, dar nu exist n general pentru ecuaiile de gradul cinci sau mai mare.Propriet ile abstracte ale grupurilor Galois asociate cu polinoamele (n particular, solvabilitatea lor) dau un criteriu pentru polinoame ale c ror soluii se pot exprima ca radicali, adic soluii exprimabile doar prin adun ri, nmuliri, i radicali similare cu formula de mai sus. Problema poate fi tratat mai elegant cu ajutorul teoriei corpurilor: considernd corpul de descompunere a unui polinom deplaseaz problema pe terenul teoriei corpurilor. Teoria Galois modern generalizeaz acest tip de grupuri Galois la extensiile de corp i stabiletecu ajutorul teoremei fundamentale a teoriei Galoiso relaie precis nter corpuri i grupuri, subliniind din nou omniprezena grupurilor n matematic .