GRAFICE ALE FU

NCTIILOR

SI ROLUL D

ERIVATELO

R

T I SE L I C

E DR A G O S

ROLUL DERIVATEI INTAI IN STUDIU FUNCTIILOR

Derivata intai a unei functii ne da informatii despre monotonia functiei si despre eventualele puncte de extrem ale acesteia.

Functia f(x)=sin(x) are maxim in si minim in - ( f’()=0 si

f’(- )=0).

CONSECINTA TEOREMEI LUI LAGRANGEConsecinta:daca f’(x)>0, x I, f este strict crescatoare pe Idaca f’(x)<0, x I, f este strict descrescatoare pe I

EXEMPLU MONOTONIEf: [0,2] R, f(x)=+x

f’(x)=2x+1, f’(x)>0 f este strict

crescatoare pe [0,2]

ROLUL DERIVATEI A DOUA IN STUDIU FUNCTIILORIntervale de convexitate si concavitate ale unei functiif:I Rf este convexa pe I, daca , si [0,1]

f((1-) + ) (1-)f()+f() adica daca f’’(x)>0f este concava pe I, daca , si [0,1]

f((1-) + )(1-)f()+f() adica daca f’’(x)<0Concava: Convexa:

PUNCTELE DE INFLEXIUNE ALE UNEI FUNCTII

este punct de inflexiune al functiei f daca f are derivata in si daca pe I, de o perte a lui functia este convexa, iar de cealalta parte a lui functia este concava.

=0 este punct de inflexiune

pentru f(x)= adica f’’(x)=0

REPREZENTAREA GRAFICA A FUNCTIILORI Domeniul de definitie (determinare, interesectii cu axele,

calcularea la capete si asimptote)II Derivata intai (rezolvarea ecuatiei f’(x)=0, intervale de

monotonie)IIDerivata a doua (rezolvarea ecuatiei f’’(x), intervale cu semn

constant)IV Tabelul de variatie (valori remarcabile, f’(x), f’’(x), f(x))V Trasarea graficului

EXEMPLUf(x)= I D=(-∞,-1]U[1, + ∞)Intersecteaza Ox in (-1,0) si (1,0) dar nu si Oy pentru ca x0.Asimptote oblice y= si y=II f’(x)=0 nu are solutii.III f’’(x)=0 nu are solutii. IVx -∞ -1 ||| 1

+∞

f’(x) - -∞ ||| ∞ +

f’’(x) - -∞ ||| -∞ +

f(x) +∞ ↘ 0 ||| 0 ↗ +∞

GRAFIC

BIBLIOGRAFIEMatematica – Manual pentru clasa a XI-a Editura Sigma 2003Matematica clasa a XI-a “Elemente de analiza matematica”

Editura CarminisManual pentru clasa a XI-a “Elemente de analiza matematica”

Editura Mathpress 2003Exercitii si probleme de clasa a XI-a (si nu numai) Editura BirchiGazeta Matematica Editie Electronica 1895-2004 IntuitextRevista de Matematica din Timisoara Editie Electronica 1921-

2006 Intuitexthttp://rechneronline.de/function-graphs/