Get

Specializarea MATEMATICĂ

Forma de învăţământ ID - semestrul II

GEOMETRIE 2

Monica PETRESCU

2011

Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013Investeşte în oameni!

Formarea profesională a cadrelor didacticedin învăţământul preuniversitar

pentru noi oportunităţi de dezvoltare în carieră

Program de conversie profesională la nivel postuniversitar

pentru cadrele didactice din învăţământul preuniversitar

MATEMATICĂ

Geometrie 2

Monica PETRESCU

2011

© 2011 Acest manual a fost elaborat în cadrul "Proiectului pentru Învăţământul Rural", proiect co-finanţat de către Banca Mondială, Guvernul României şi comunităţile locale.

Nici o parte a acestei lucrări nu poate fi reprodusă fără acordul scris al Ministerului Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului.

ISBN 973-0-04103-2

Cuprins

i

Cuprins: Unitatea de învăţare 1 – Calcule de lungimi, arii, volume … ...................... ……………. 1 Obiectivele Unităţii de învăţare 1 …………… ................................... ….......……………….. 1 1.1. Noţiuni fundamentale – plan ……… ................................... …………………………….. 2 1.2. Relaţii metrice .......................................... ................................... .............................. 13 1.3. Relaţii fundamentale – calcul de lungimi, arii .. ................................... ....................... 28 1.4. Noţiuni fundamentale – spaţiu ................................ .................................. ............... 41 1.5. Formule fundamentale – calcul de arii, volume ......... .................................. ............. 46 1.6. Comentarii şi răspunsuri la testele de autoevaluare – Unitatea de învăţare 1 ........... 81 1.8. Lucrare de verificare pentru studenţi – Unitatea de învăţare 1 ................................. 87 1.9. Bibliografie – Unitatea de învăţare 1 ................. ................................... ..................... 88 Unitatea de învăţare 2 – Rezolvarea problemelor de geometrie cu ajutorul coordonatelor şi/ sau vectorilor ......................... .................................. ........................ 89 Obiectivele Unităţii de învăţare 2 ………………....... .................................... ……………… 89 2.1. Noţiuni fundamentale de geometrie analitică …… .................................... …………... 90 2.2. Metoda geometriei analitice – formule fundamentale … ................................... …… 104 2.3. Locuri geometrice ………………………………………… ................................... …… 112 2.4. Noţiuni fundamentale de geometrie vectorială …..…… ................................... ……. 120 2.5. Metoda geometrie vectoriale …………………………… ................................... ……. 134 2.6. Comentarii şi răspunsuri la testele de evaluare – Unitatea de învăţare 2 ................ 140 2.7. Lucrare de verificare pentru studenţi – Unitatea de învăţare 2 ................................. 144 2.8. Bibliografie – Unitatea de învăţare 2 ………………….. .................................... ……. 145 Unitatea de învăţare 3 – Aplicaţiile trigonometriei în geometrie ….. ...................... .. 146 Obiectivele Unităţii de învăţare 3 …………….......…………… ................................... ….. 146 3.1. Reprezentarea trigonometrică a numerelor complexe .. ................................... ....... 147 3.2. Operaţii cu numere complexe prezentate sub formă trigonometrică ...................... 149 3.3. Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie ............... ................................... ................ 153 3.4. Comentarii şi răspunsuri la testele de autoevaluare – Unitatea de învăţare 3 ......... 180 3.5. Lucrare de verificare pentru studenţi – Unitatea de învăţare 3 . .............................. 182 3.6. Bibliografie – Unitatea de învăţare 3 ................ ................................... .................... 182 Bibliografie ……………………………………… ..................... ……………..…………….. 183

Cuprins

ii

Referinţe la obiectivele unităţilor de învăţare: Unitatea de învăţare 1 După ce veţi parcurge această unitate de învăţare, veţi avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil sa faceţi urmatoarele operaţii matematice: • Identificarea datelor care caracterizează figura studiată • Identificarea proprietăţilor care se deduc cunoscând datele primare. Recunoaşterea datelor care lipsesc. • Folosirea formulelor adecvate cerinţelor problemei, precum şi a teoremelor necesare în context. • Expunerea matematică a trăsăturilor calitative obţinute în urma procedurilor de aplicare a formulelor şi teoremelor adecvate. Expunerea şi interpretarea matematică a rezultatelor numerice obţinute. • Trecerea la probleme mai generale decât problema iniţială, folosind trăsăturile esenţiale ale metodei folosite în caz particular. • Matematizarea unor probleme legate de figuri geometrice întâlnite în practică (în special în ce priveşte calculele de lungimi, arii şi volume).

Unitatea de învăţare 2 După ce veţi parcurge această unitate de învăţare, veţi avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil să faceţi următoarele operaţii matematice: • Determinarea unui reper cartezian optim pentru rezolvarea problemei. • Identificarea datelor esenţiale pentru rezolvarea problemei în reperul cartezian ales şi găsirea unor noi date intermediare, necesare rezolvării. • Folosirea formulelor geometriei analitice în rezolvarea problemelor. • Analiza rezultatelor numerice găsite şi exprimarea semnificaţiei lor geometrice. • Delimitarea precisă a locurilor geometrice găsite. • Trecerea la probleme similare mai generale, rezolvate prin analogie. • Încercarea de a transpune problema plană într-o problemă similară în spaţiu. • Folosirea coordonatelor pentru a rezolva problema din teren. Este esenţială alegerea reperului cartezian.

Cuprins

iii

Unitatea de învăţare 3 După ce veţi parcurge această unitate de învăţare, veţi avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil să faceţi următoarele operaţii matematice: • Identificarea posibilităţii folosirii numerelor complexe. Determinarea datelor numerice şi a relaţiilor care se dau. • Găsirea de noi proprietăţi şi noi date pornind de la datele şi relaţiile identificate mai sus. • Folosirea corectă a formulelor algebrei numerelor complexe, ţinând seama şi de reprezentarea lor trigonometrică. • Exprimarea adecvată, atât în termeni algebrici, cât şi geometrici, a rezultatelor găsite. Compararea celor două exprimări. • Rezolvarea unor probleme mai generale folosind alternativ proprietăţile algebrice şi proprietăţile geometrice ale numerelor complexe. • Matematizarea situaţiilor practice în care apare posibilitatea exprimării alternative (vectorială sau folosind numerele complexe) Bibliografie: 1. Şt. Botez, Probleme de geometrie, Editura Tehnică, Bucureşti, 1978. 2. S. Ianus şi colaboratori, Probleme de geometrie şi trigonometrie, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983. 3. M. Ghermănescu, Aplicaţiile trigonometriei, Editura Tehnică, Bucureşti, 1973. 4. R. Miron, Introducere vectorială în geometria analitică plană, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1970. 5. V. Nicula, Geometrie plană (sintetică, analitică, vectorială), Editura Gil, Zalău, 2002. 6. F. Turtoiu, Probleme de trigonometrie, Editura Tehnică, Bucureşti, 1986.

Introducere

iv

Introducere: Geometrie 2 continuă în mod firesc Geometrie 1. Modulul este structurat pe trei unităţi de învăţare. Subliniem două aspecte caracteristice ale acestui modul: - La fiecare unitate de învăţare se face o recapitulare a conceptelor necesare. - Se pune accentul pe partea de calcul, urmărindu-se ca, după parcurgerea şi absolvirea acestui modul, să se cunoască temeinic şi să se aplice cu uşurinţă formulele de calcul. În acest sens prima unitate de învăţare este dedicată exclusiv calculelor de lungimi, arii şi volume. Subliniem aici şi accentul pus pe recapitularea unităţilor de măsură. A doua unitate de învăţare este dedicată geometriei analitice şi geometriei vectoriale în rezolvarea problemelor de geometrie. Ultima unitate de învăţare prezintă aplicaţiile trigonometriei în geometrie. Acestea sunt de două tipuri: aplicaţiile directe şi aplicaţii în care se foloseşte reprezentarea trigonometrică a numerelor complexe.

Metode şi instrumente de evaluare: Fiecare unitate de învăţare are câte o lucrare de verificare: Unitatea 1: Lucrarea de verificare Nr.1 …… pag. 73; Unitatea 2: Lucrarea de verificare Nr.2 …… pag. 123; Unitatea 3: Lucrarea de verificare Nr.3 …… pag. 156. La fiecare lucrare de verificare se dau indicaţii de întocmire şi transmitere către tutore. Se cere cursanţilor să trateze problemele în ordinea în care apar. Observaţii de fond asupra modului de rezolvare şi de redactare vor apărea după întâlnirile cu tutorii. Rezolvările vor fi transmise către tutori prin poştă sau prin e-mail. Evalurea continuă se face prin rezolvarea testelor de autoevaluare şi discuţiile la întâlnirile cu tutorii. Evaluarea finală se face pe baza celor trei lucrări de verificare şi a examenului de la finele cursului. Evaluarea continuă şi evaluarea finală au ponderi egale în stabilirea notei: câte 50%.

Calcule de lungimi, arii, volume

1

UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 1

CALCULE DE LUNGIMI, ARII, VOLUME

CUPRINS Obiectivele Unităţii de învăţare 1 … ................................ …………………………….. 1 1.1. Noţiuni fundamentale – plan … ................................ …………………………….. 2 1.2. Relaţii metrice ........................ ................................. ......................................... 11 1.3. Relaţii fundamentale – calcul de lungimi, arii .. ................................. ................ 23 1.4. Noţiuni fundamentale – spaţiu ............ .................................. ........................... 35 1.5. Formule fundamentale – calcul de arii, volume . ................................. ............. 39 1.6. Comentarii şi răspunsuri la testele de autoevaluare – Unitatea de învăţare 1 . 68 1.7. Lucrare de verificare pentru studenţi – Unitatea de învăţare 1 ............ ............. 73 1.8. Bibliografie – Unitatea de învăţare 1 .......................... ................................. ..... 74 Obiectivele Unităţii de învăţare 1

După ce veţi parcurge această unitate de învăţare, veţi avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil sa faceţi urmatoarele operaţii matematice: • Identificarea datelor care caracterizează figura studiată • Identificarea proprietăţilor care se deduc cunoscând datele primare. Recunoaşterea datelor care lipsesc. • Folosirea formulelor adecvate cerinţelor problemei, precum şi a teoremelor necesare în context. • Expunerea matematică a trăsăturilor calitative obţinute în urma procedurilor de aplicare a formulelor şi teoremelor adecvate. Expunerea şi interpretarea matematică a rezultatelor numerice obţinute. • Trecerea la probleme mai generale decât problema iniţială, folosind trăsăturile esenţiale ale metodei folosite în caz particular. • Matematizarea unor probleme legate de figuri geometrice întâlnite în practică (în special în ce priveşte calculele de lungimi, arii şi volume).


2

1.1 Noţiuni fundamentale: geometrie în plan

În geometria plană se presupune de dinainte dat un plan şi toate consideraţiile geometrice au loc în acest plan. Vom reactualiza în continuare noţiuni fundamentale care trebuie cunoscute pentru rezolvarea problemelor. 1.1.1 Noţiunea de segment. Distanţe

Punctul şi dreapta sunt noţiuni fundamentale ale geometriei.

Fig. 1.1 Noţiunea de segment a apărut, ca de altfel toate noţiunile matematice, prin abstractizare. Segmentul [AB] conţine exact mulţimea tuturor punctelor unei drepte care se găsesc între punctele A şi B. Mărimea acestui segment se numeşte lungime şi se stabileşte comparând segmentul dat cu alt segment considerat unitate. Lungimea segmentului unitate serveşte ca unitate de măsură pentru lungimi. Unitatea fundamentala de măsura pentru lungime este metrul. Multiplii şi submultiplii unităţilor de măsură pentru lungimi sunt prezentaţi în Tabelul din Figura 1.2. Kilometru (km)......................... 1km ............................. = 103 m Hectometrul (hm)......................1 hm ........................... = 102 m Decametrul (dam) ................... 1dam .......................... = 10 m Decimetrul (dm)....................... 1dm ............................ = 10-1 m Centimetrul (cm)...................... 1cm ............................. =10-2 m Milimetrul (mm) ....................... 1mm ............................ =10-3 m Micrometrul ( μ m).................... 1 μ m ........................... =10-4 m

Fig. 1.2 Definiţie: Două sau mai multe segmente având aceeaşi lungime se numesc segmente congruente. [ ] [ ]

lungimeaceeasiausegmentelecongruentesegmente

ACABACAB−−−−

≡⇔≡

Distante în plan Definiţie 1: Se numeşte distanţa dintre două puncte lungimea segmentului determinat de cele două puncte. Definiţie 2: Se numeşte distanţa de la un punct la o dreaptă lungimea segmentului perpendicular dus din acel punct pe dreaptă (având extremitate punctul dat şi cealaltă extremitate piciorul perpendicularei).


3

Fig. 1.3 Se notează cu d(P, a) distanţa de la punctul P la dreapta a; d(P, a) = PP’. Definiţie 3: Dacă două drepte sunt paralele, atunci vom numi distanţa dintre ele, distanţa de la un punct situat pe una din ele la cealaltă dreaptă.

Fig. 1.4 d(a, b) =PP’ 1.1.2 Poligoane

Figurile plane alcătuite din linii frânte (succesiune de segmente) închise se numesc poligoane. Definiţie: O figură geometrică se numeşte convexă dacă orice segment având ca extremităţi două puncte ale figurii respective este inclus în acea figură geometrică. Definiţie: O figură geometrică se numeşte concavă dacă ea nu este convexă (deci dacă există cel puţin un segment având ca extremităţi două puncte ale figurii dar care nu este inclus în ea).

Fig. 1.5 Clasificarea poligoanelor se face şi după numărul de laturi, număr ce le dă şi numele (triunghi, patrulater, pentagon, hexagon, octogon, decagon, dodecagon etc.). 1.1.2.1 Triunghiul Definiţie: Se numeşte triunghi reuniunea a trei segmente determinate de trei puncte necolineare.


4

Fig. 1.6 Clasificarea triunghiurilor (după laturi): • Triunghi echilateral: toate laturile congruente; • Triunghi isoscel: două laturi congruente; • Triunghi oarecare: nu are laturi congruente. Linii importante în triunghi Înălţimea Definiţie: Înălţimea este perpendiculară dusă dintr-un vârf al unui triunghi pe latura opusă. Înălţimile sunt concurente într-un punct numit ortocentrul triunghiului. Mediana Definiţie: Mediana unui triunghi este dreapta determinată de un vârf al triunghiului şi mijlocul laturii opuse. Medianele sunt concurente într-un punct numit centrul de greutate al triunghiului. Mediatoarea Definiţie: Mediatoare este dreapta perpendiculară dusă pe mijlocul unei laturi.

Proprietate: Orice punct al mediatoarei unui segment de dreaptă este egal depărtat de extremităţile segmentului şi reciproc orice punct egal depărtat de extremităţile segmentului se află pe mediatoarea acelui segment. Mediatoarele sunt concurente într-un punct care reprezintă centrul cercului circumscris triunghiului. Bisectoarea Definiţie: Bisectoarea este dreapta care împarte un unghi în două unghiuri congruente. Proprietate: Orice punct al bisectoarei unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului şi reciproc, orice punct egal depărtat de laturile unghiului se află pe bisectoarea acestuia. Bisectoarele sunt concurente într-un punct care reprezintă centrul cercului înscris în triunghi.


5

Observaţie: Precizăm că noţiunile de înălţime, mediană şi bisectoare pot avea şi înţelesul de segmente, mărginite de vârful triunghiului şi piciorul dreptei respective pe latura opusă. Liniile importante din vârful A al triunghiului ABC ( CB ˆˆ > ): AD – înălţime; AE – bisectoare; AM mediană; dreapta perpendiculară în punctul M al laturii BC – mediatoare.

Fig. 1.7 1.1.2.2 Congruenţa triunghiurilor Definiţie: Două triunghiuri sunt congruente dacă au unghiurile respectiv congruente şi laturile respectiv congruente. Teoremă: Dacă două triunghiuri sunt congruente, atunci: Medianele corespunzătoare laturilor respectiv congruente sunt congruente. Înălţimile corespunzătoare laturilor respectiv congruente sunt congruente. Bisectoarele unghiurilor respectiv congruente sunt congruente. Razele cercurilor înscrise sunt congruente. Razele cercurilor circumscrise sunt congruente. Inegalitatea triunghiului În orice triunghi o latură este mai mică decât suma celorlalte două.

Remarcă Un triunghi este perfect determinat de laturile lui, adică un triunghi cu anumite lungimi de laturi nu se poate deforma, deci triunghiul este o figură rigidă. Acest fapt este folosit în tehnică, în construcţii unde anumite elemente se aşează astfel încât să formeze triunghiuri, prin aceasta dându-se mai multă soliditate construcţiilor.


6

1.1.2.3 Patrulatere În continuare vom considera numai patrulatere convexe.

Fig. 1.8 Poligonul cu patru laturi se numeşte patrulater. În mulţimea patrulaterelor se disting patrulatere particulare, cu proprietăţi speciale, dintre care: paralelogramul, dreptunghiul, rombul, pătratul şi trapezul, ele fiind patrulaterele ce se întâlnesc mult în practică. Paralelogramul Definiţie: Paralelogramul este patrulaterul cu laturile paralele doua cate doua. Teoremă: Condiţia necesară şi suficientă ca un patrulater să fie paralelogram este ca laturile opuse să fie congruente doua cate doua. Teoremă: Condiţia necesară şi suficientă ca un patrulater să fie paralelogram este ca diagonalele să se intersecteze determinând pe fiecare dintre acestea segmente congruente.

Remarcă: Amintim că paralelogramul este o figură mult utilizată în fizică la compunerea şi descompunerea forţelor. Se ştie că rezultanta a două forţe concurente este dată de diagonala paralelogramului construit pe cele doua forţe date. Dreptunghiul Definiţie: Dreptunghiul este paralelogramul cu un unghi drept. Teoremă: Condiţia necesară şi suficientă ca un paralelogram să fie dreptunghi este ca diagonalele să fie congruente. Rombul Definiţie: Rombul este paralelogramul cu două laturi consecutive congruente. Teoremă: Condiţia necesară şi suficientă ca un paralelogram să fie romb este ca diagonalele să fie perpendiculare.


7

Remarcă: În practică se utilizează rombul intr-un dispozitiv de n romburi articulate. Oricum s-ar deforma sistemul, punctele A1, A2, A3, ...., An rămân coliniare şi egal depărtate.

Fig. 1.9 Pătratul Definiţie: Pătratul este rombul cu un unghi drept.

Trapezul Definiţie: Trapezul este un patrulater cu două laturi paralele şi două neparalele. Laturile paralele ale unui trapez se numesc baze iar celelalte laturi neparalele. Definiţie: Trapezul cu laturile neparalele congruente se numeşte trapez isoscel. Teorema: Condiţia necesară şi suficientă ca un trapez să fie isoscel este ca diagonalele să fie congruente. 1.1.3 Cercul Definiţie: Se numeşte cerc figura geometrică formată din toate punctele dintr-un plan aflate la distanţă egală faţă de un punct fix (numit centrul cercului). Distanţa de la centrul unui cerc la un punct al său se numeşte rază. Notaţie: C(O,R): cercul de centru O şi rază R

Fig. 1.10

Definiţie: Se numeşte coardă, un segment având ca extremităţi două puncte situate pe cerc. Definiţie: Se numeşte diametru o coardă care conţine centrul cercului, fiind egal cu dublul razei.


8

Definiţie: Se numeşte arc porţiunea din cerc cuprinsă între două puncte ale sale.

[AB]: coardă [CD]: diametru AB: arc

Fig. 1.11 Definiţie: Un unghi cu vârful în centrul unui cerc se numeşte unghi la centru.

)()ˆ( ABmOm = Fig. 1.12 Definiţie: Un unghi având vârful pe cerc şi ale cărui laturi determină două coarde ale cercului se numeşte unghi înscris.

( ) ( )BBmAm21ˆ =

Fig. 1.13 Teoremă: Fie o dreaptă a şi un cerc C(O,R). Dacă d(O, a)=R, atunci a este tangentă la cerc in punctul T.

Fig. 1.14 Teoremă: Dintr-un punct exterior unui cerc se pot duce două tangente la acel cerc şi numai două. Teoremă: Tangentele (luate ca segmente) duse din acelaşi punct exterior la un cerc sunt congruente.


9

Fig. 1.15

Poziţii relative a două cercuri • Cercuri tangente exterioare – distanţa dintre centre este egală cu suma razelor.

Fig. 1.16

• Cercuri tangente interioare – distanţa dintre centre este egală cu diferenţa razelor.

Fig. 1.17

• • Cercuri concentrice – cercurile au acelaşi centru (distanţa între centre este 0).

Fig. 1.18


10

Remarcă Cercul în diferite poziţii relative are aplicaţii practice şi tehnice. Exemplu: Pentru micşorarea frecării în mişcare şi pentru economie la consumul de energie, se folosesc rulmenţii. Bilele puse între carcasele circulare concentrice au comun cu fiecare carcasă un punct. În secţiune, rulmentul cu bile se prezintă sub forma din figura 1.19, adică două cercuri concentrice şi cercuri tangente exterioare şi interioare.

Fig. 1.19 1.1.3.1 Poligoane înscrise şi circumscrise unui cerc Definiţie 1: Un poligon se numeşte înscris într-un cerc dacă toate vârfurile lui sunt conciclice (pe un cerc). Un poligon se numeşte inscriptibil dacă el poate fi înscris într-un cerc. Exemple: triunghiul, dreptunghiul, pătratul, trapezul isoscel.

Observaţie: Condiţia necesară şi suficientă ca un poligon să fie inscriptibil, este ca mediatoarele laturilor poligonului să fie concurente (vezi mediatoare – proprietate). Definiţie 2: Un poligon se numeşte circumscris unui cerc dacă toate laturile lui sunt tangente aceluiaşi cerc. Un poligon se numeşte circumsciptibil dacă el poate fi circumscris unui cerc. Exemple: triunghiul, rombul, pătratul.

Observaţie: Condiţia necesară şi suficientă ca un poligon să fie circumscriptibil este ca bisectoarele unghiurilor să fie concurente (vezi bisectoare – proprietate). 1.1.4 Poligoane regulate Definiţie: Poligoanele convexe regulate cu n vârfuri care au n laturi congruente şi n unghiuri congruente se numesc poligoane regulate. Fiecărui poligon regulat i se poate înscrie un cerc, astfel încât laturile sale sunt tangente la cerc. De asemenea, i se poate circumscrie un cerc astfel încât laturile poligoanelor să fie coarde în cercul circumscris.


11

Poligoanele regulate mai frecvent întâlnite sunt: triunghiul echilateral, pătratul, hexagonul regulat.

Fig. 1.20 Definiţie: Distanţa de la centrul cercului circumscris unui poligon la latura acestuia se numeşte apotemă (ea reprezintă raza cercului înscris poligonului). 1.2 Relaţii metrice 1.2.1 Segmente proporţionale

Prin raportul a două segmente vom înţelege raportul măsurilor lor, unitatea de măsura fiind aceeaşi. Definiţie: Patru segmente se numesc proporţionale atunci când cu lungimile lor se poate forma o proporţie. Definiţie: Dacă se poate forma un şir de rapoarte egale în care la numărători se află lungimile unor segmente iar la numitori lungimile altor segmente, atunci segmentele de la numărători sunt proporţionale cu cele de la numitori (scrise în aceeaşi ordine). Teorema lui Thales: O paralelă la una din laturile unui triunghi determină pe celelalte două sau pe prelungirile acestora segmente proporţionale.

Fig. 1.21 Prezentam moduri echivalente de a scrie proporţionalitatea:

AN

NC

AM

MB;

AC

NC

AB

MB;

AC

AN

AB

AM;

EC

AN

MB

AM ==== .


12

Teorema paralelelor neechidistante: Mai multe drepte paralele determină pe două secante oarecare segmente proporţionale.

Fig. 1.22

Dacă: a || b || c || d, atunci 22

11

22

11

22

11

DC

DC

CB

CB

BA

BA== .

Reciproca Teorema Thales: Fie un triunghi ABC şi M∈AB, astfel încât NC

AN

MB

AM = ;

atunci MN II BC (fig. 1.21). Teorema bisectoarei: Orice bisectoare interioară al unui unghi al unui triunghi determină pe latura opusă acestuia două segmente proporţionale cu laturile ce formează unghiul.

Fig. 1.23

AD bisectoarea ∢A AC

CD

AB

BD = .

Teorema reciprocă: Punctul interior unei laturi a unui triunghi care împarte latura în segmente proporţionale cu celelalte două se află pe bisectoarea interioară a unghiului opus laturii.

Remarcă: O proprietate asemănătoare aceleia a bisectoarei interioare are şi bisectoarea exterioară a unui triunghi. 1.2.2 Triunghiuri asemenea Definiţie: Două triunghiuri se numesc asemenea dacă unghiurile lor sunt respectiv congruente şi laturile respectiv proporţionale. Notaţie: ∆ABC ~ ∆MNP


13

Fig. 1.24

∢A ≡∢B, ∢B ≡∢N, ∢C ≡∢P şi kMN

AB

MP

AC

NP

BC ===

Laturile opuse unghiurilor respectiv congruente se numesc laturi omoloage. Raportul unei perechi de laturi omoloage se numeşte raport de asemănare (k). Teoremă: O paralelă la una din laturile unui triunghi formează cu celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel dat. Teoremă: Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci: • Raportul medianelor corespunzătoare laturilor omoloage este egal cu raportul de asemănare. • Raportul înălţimilor corespunzătoare laturilor omoloage este egal cu raportul de asemănare. • Raportul bisectoarelor unghiurilor omoloage este egal cu raportul de asemănare. • Raportul razelor cercurilor înscrise este egal cu raportul de asemănare. • Raportul razelor cercurilor circumscrise este egal cu raportul de asemănare. Probleme rezolvate

1. Fie patrulaterul ABCD. Paralela prin B la latura AD intersectează diagonala AC în E, iar paralela prin A la latura BC intersectează diagonala BD în F. Să se arate că EF||CD. În patrulaterul ABCD: BE || AD şi AF || BC EF || CD.

(1) IB

DI

IE

AI = (Th. Tales).

(2) FI

IB

AI

IC = (Th. Thales).

Înmulţind relaţiile (1) şi (2) se obţine CDEFFI

IB

IE

IC ||= (reciproca Th. Thales).


14

Fig. 1.25

2. Se cere să se taie dintr-o foaie triunghiulară de tablă pătratul cu o latură pe o latură a foii de tablă şi cu celelalte vârfuri pe celelalte două laturi ale triunghiului. Notând cu l latura

pătratului, să se stabilească relaţia: ( )BCAHAHBCl

⊥+= 111.

Fig. 1.26 Construim pătratul MNPQ îndeplinind numai două din condiţiile cerute: PQ pe BC şi ABM ∈

}'{NACBN = . Ducem BCPN ⊥'' , BCMN ||'' şi BCQM ⊥'' . M’N’P’Q’ este pătratul cerut. Într-adevăr: ∆BMN~∆BM’N’

.''' BN

BN

NM

MN = (1)

∆BNP~∆BN’P’

.''' BN

BN

PN

NP = (2)

Din (1) şi (2) rezultă: M’N’ = N’P’, adică M’N’P’Q’ este pătrat (dreptunghi cu două laturi alăturate egale).

∆AM’N’~∆ABCBC

NM

AH

AH ''' = sau

.11111AHBClBOAH

AH +=⇔=−


15

Cunoştinţele asupra asemănării au o serie de aplicaţii practice şi tehnice. E bine cunoscut procedeul prin care Thales a calculat înălţimea piramidei lui Keops, folosind metoda umbrei: în apropierea piramidei a înfipt vertical în pământ un baston, care, ca şi piramida, arunca pe pământ o umbră. Măsurând lungimile umbrelor piramidei şi bastonului, precum şi lungimea bastonului, el a calculat înălţimea piramidei folosind cele două triunghiuri dreptunghice asemenea formate (cu razele de soare), în care a scris proporţionalitatea

laturilor: u

h

U

H = , u

HUH

⋅= , unde baU += , a fiind lungimea umbrei piramidei, iar b

apotema pătratului de la bază.

Acest procedeu poate fi folosit la evaluarea aproximativă a diferitelor înălţimi.

Fig. 1.27 Cu ajutorul asemănării se demonstrează următoarele teoreme: Teoremă: Dacă dintr-un punct exterior ducem secante la cerc, produsul segmentelor formate pe fiecare secantă de acest punct şi de intersecţiile secantelor cu cercul este constant. Valoarea produsului se numeşte puterea punctului exterior faţă de cerc. Puterea punctului exterior este egală cu pătratul tangentei dusă din punct la cerc.

PDPCPBPA ⋅=⋅

Test de autoevaluare 1 O secantă intersectează laturile unui unghi O de 1200 şi bisectoarea lui în punctele A, B, C. Să se demonstreze că:

OAOBOC

111 += .

Răspunsurile la test se vor da în spaţiul liber din chenar, în continuarea enunţurilor.

Răspunsurile la acest test se găsesc la pagina 68 a acestei unităţi de învăţare.


16

Analog, avem pentru un punct interior cercului teorema: Teoremă: Produsul segmentelor determinate de un punct interior cercului pe coardele duse din acel punct este constantă.

Fig. 1.28

2PTPDPCPBPA =⋅=⋅ Probleme rezolvate

1. Să se arate că într-un patrulater inscriptibil suma produselor laturilor opuse este egală cu produsul diagonalelor (Teorema lui Ptolomeu). În patrulaterul obţinut ABCD vom demonstra relaţia: BDACBCADCDAB ⋅=⋅+⋅ . În scopul de a forma triunghiuri asemenea ducem prin A dreapta AM, astfel încât

DACMAB ˆˆ = . Cum DCADBA ˆˆ = (proprietăţile patrulaterului inscriptibil) rezultă că

∆ABM~∆ACD, deci CD

BM

AC

AB = sau BMACCDAB ⋅=⋅ (1).

Din construcţia făcută, mai rezultă că BACDAM ˆˆ = (ca sume de unghiuri egale cu acelaşi

unghi) şi cum BCABDA ˆˆ = , rezultă că ∆AMD~∆ABC, deci AD

AC

MD

BC = sau

MDACBCAD ⋅=⋅ (2). Adunând relaţiile (1) şi (2), obţinem:

( ) BDACMDMBACBCADCDAB ⋅=+=⋅+⋅ .

Fig. 1.29


17

Definiţie: Două poligoane cu acelaşi număr de laturi care au unghiurile respectiv congruente şi laturile respectiv proporţionale se numesc poligoane asemenea. Raportul perimetrelor a două poligoane asemenea este egal cu raportul de asemănare. În cazul poligoanelor regulate, raportul de asemănare este dat şi de raportul razelor cercurilor circumscrise sau de raportul razelor cercurilor înscrise. 1.2.3 Proiecţii ortogonale Definiţie 1: Se numeşte proiecţie a unui punct dat pe o dreaptă, piciorul perpendicularei duse din acel punct pe dreaptă. Dacă punctul se află chiar pe dreaptă, atunci el coincide cu proiecţia sa pe dreapta respectivă. Definiţie 2: Se numeşte proiecţia unui segment pe o dreaptă, segmentul având ca extremităţi proiecţiile extremităţilor acelui segment pe dreaptă.

Fig. 1.30 Teoremă: Lungimea proiecţiei unui segment pe o dreaptă este egală cu produsul dintre lungimea segmentului şi cosinusul unghiului format de dreptele suport ale segmentului, respectiv proiecţiei. Definiţie 3: Se numeşte distanţa de la un punct la o dreaptă, lungimea segmentului perpendicular, dus din acel punct pe dreaptă (având o extremitate punctul dat şi cealaltă extremitate piciorul perpendicularei).

Fig. 1.31 Dacă P∉d şi PP' ⊥ d, P'∈d se numeşte proiecţia lui P pe dreapta d. Dacă M∈d, atunci M este propria sa proiecţie pe d. d(P, d)=PP’ şi d(M, d)= 0.


18

1.2.4 Relaţii metrice în triunghiul dreptunghic Teoremă: Dacă un triunghi este dreptunghic, atunci lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este egală cu o jumătate din lungimea acesteia.

Fig. 1.32

2BC

AM = .

Teoremă reciprocă: Dacă o mediană are lungimea egală cu jumătate din cea a laturii corespunzătoare, atunci el este dreptunghic. Teoremă: Dacă un triunghi dreptunghic are un unghi de măsură 30O, atunci cateta opusă acestuia are lungime egală cu jumătate din cea a ipotenuzei. Teoremă reciprocă: Dacă un triunghi dreptunghic are lungimea unei catete egală cu jumătate din ipotenuză, atunci unghiul opus ei are măsura de 30O.

Fig. 1.33 Teorema catetei: Într-un triunghi dreptunghic, lungimea fiecărei catete este medie proporţională între lungimea ipotenuzei şi lungimea proiecţiei sale pe ipotenuză: AC2 = CD·BC respectiv AB2 = BD·BC. Teorema reciprocă 1: Fie triunghiul ABC şi D un punct interior laturii BC astfel încât AD ⊥ BC. Dacă are loc relaţia AB2 = BD·BC, atunci triunghiul este dreptunghic în A. Teorema reciprocă 2: Fie triunghiul ABC şi D un punct interior laturii BC. Dacă au loc relaţiile AB2 = BD·BC şi AC2 = CD·BC, atunci triunghiul este dreptunghic în A. Teorema înălţimii: Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălţimii este medie proporţională între segmentele determinate de aceste pe ipotenuză: DCBDAD2 ⋅= . Teorema reciprocă: Fie triunghiul ABC şi D un punct interior laturii BC astfel încât AD ⊥ BC. Dacă are loc relaţia de mai sus, atunci triunghiul este dreptunghic în A. Teorema lui Pitagora: Într-un triunghi dreptunghic pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor.


19

Teorema reciprocă: Dacă într-un triunghi, pătratul lungimii unei laturi este egal cu suma pătratelor lungimilor celorlalte două laturi, atunci triunghiul este dreptunghic.

Fig. 1.34

222 ACABBC += Consecinţă: Intr-un triunghi dreptunghic lungimea înălţimii corespunzătoare ipotenuzei este egală cu raportul dintre produsul lungimilor catetelor şi ipotenuză.

BC

ACABAD

⋅= .

1.2.5 Relaţii metrice în triunghiul oarecare Definiţie: Linia mijlocie într-un triunghi este segmentul de dreaptă ce uneşte mijloacele a două laturi. Teoremă: Linia mijlocie corespunzătoare a două laturi ale unui triunghi este egală cu jumătate din cea de a treia.

2BC

MN =

Teoremă reciprocă: Dacă o dreaptă trece prin mijlocul unei laturi a unui triunghi şi este paralelă cu altă latură, atunci este linie mijlocie. Este aici momentul să facem o consideraţie şi despre linia mijlocie în trapez. Definiţie: Linia mijlocie într-un trapez este segmentul de dreaptă ce uneşte mijloacele laturilor neparalele. Teoremă: Linia mijlocie în trapez este egală cu semisuma bazelor.

2CDAB

EF+=

Consecinţă: Segmentul ce uneşte mijloacele laturilor unui trapez este egal cu semidiferenţa bazelor.

2CDAB

MN−=

Fig. 1.35 Fie G punctul de concurenţă al medianelor într-un triunghi (centrul de greutate sau baricentrul). Atunci se demonstrează: Teoremă: Punctul G este situat pe fiecare mediană la două treimi de vârf şi o treime de bază.


20

Fig. 1.36

'2GAAG = ; '2GBBG = ; '2GCCG = .

Teorema lui Pitagora admite o generalizare pentru triunghiul oarecare. Teorema Pitagora generalizată: Într-un triunghi oarecare, pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi din care se scade sau se adună de două ori produsul dintre una din aceste laturi şi proiecţia celeilalte pe ea, după cum unghiul opus laturii care se calculează este ascuţit sau obtuz.

CDBCACBCAB ⋅⋅−+= 2222 Fig. 1.37

CDBCACBCAB ⋅⋅++= 2222 Fig. 1.38 Teorema lui Stewart: A,B,C fiind trei puncte colineare şi O un punct exterior dreptei AC, existe relaţia:

Fig. 1.39

ACBCABABOCACOBBCOA 222 ⋅⋅=⋅+⋅−⋅


21

Probleme rezolvate

1. Utilizând relaţia lui Stewart vom deduce lungimile medianei şi bisectoarei într-un triunghi. Fie [AA’] mediană în triunghiul ABC. Relaţia lui Stewart se scrie

BCCABABAACBCAACAAB ⋅⋅=⋅+⋅−⋅ ''''' 222 sau

aaa

bama

c a ⋅=⋅+⋅−⋅422

2222 . De aici se deduce uşor

Teorema medianei ( )

42 222

2 acbma

−+= .

Fig. 1.40

Prin permutări circulare, obţinem formula de calcul a fiecărei mediane în parte. Dacă [AA’] este bisectoare, atunci este necesară exprimarea lungimilor BA’, A’C în funcţie

de a, b, c. Din teorema bisectoarei rezultă: b

c

CA

BA ='

' sau

cb

c

a

BA

+='

.

De aici ca

abCA

cb

acBA

+=

+= ',' .

Se obţine după calcule ( )appcb

bcla −

+= 2

, unde p este semiperimetrul triunghiului.


22

Teorema lui Menelaus: Fie un triunghi ABC şi o dreaptă d care nu trece A, B sau C. Dacă d intersectează BC, AC, AB în A’, B’, C’, atunci:

1''

''

'' =⋅⋅

BC

AC

AB

CB

CA

BA

Remarcă: Teorema reciprocă este utilă în rezolvarea problemelor de coliniaritate. Teorema lui Ceva: Fie un triunghi ABC şi punctele A’, B’, C’ puncte interioare respectiv laturilor BC, AC, AB. Dacă dreptele AA’, BB’, CC’ sunt concurente intr-un punct O, atunci:

Remarcă: Teorema reciprocă este utilă în rezolvarea problemelor de concurenţă.

Test de autoevaluare 2 Fie ABCD un dreptunghi, iar M un punct în planul său. Arătaţi că: 2222 MDMBMCMA +=+ . Dacă ABCD este paralelogram şi are loc relaţia de mai sus, atunci ABCD este dreptunghi.



1''

''

'' =⋅⋅

BC

AC

AB

CB

CA

BA


23

Observaţie: Relaţiile metrice fundamentale sunt utile la calculul lungimilor unor segmente în condiţii date, precum şi la deducerea altor relaţii utile în aplicaţii. 1.3 Formule fundamentale – calcul de lungimi, arii

Lungimile unor segmente importante în poligoane sau cercuri se calculează conform cu relaţiile metrice care s-au evidenţiat în subcapitolul anterior. 1.3.1 Perimetrul Definiţie: Perimetrul reprezintă suma lungimilor tuturor laturilor unei figuri geometrice. Probleme rezolvate

1. Un teren ce reprezintă o figură geometrică asemănătoare cu desenul de mai jos este împrejmuit cu gard viu. Câţi metri de gard viu trebuie folosit? Schimbaţi unitatea de măsură pentru a putea fi scrise în numere întregi.

Fig. 1.41 Se fac transformările în metri: 0,9 dam = 9 m; 0,05 hm = 5 m; 0,012 km = 12 m. Perimetrul figurii geometrice: P = 9 m + 5 m + 4 m + 12 m = 30 m. 1.3.2 Lungimi în cerc

Lungimea cercului Reamintim că lungimea cercului se află folosind formula:

RLc ⋅⋅= π2 , unde R raza cercului şi π este o constantă iraţională aproximativ egală cu

3,14.


24

Lungimea arcului de cerc

Lungimea arcului de 1O este egală cu OO

RR

1803602 ⋅=⋅⋅ ππ

, de unde rezultă formula de calcul a

lungimii arcului de nO:

O

O

arc

nRL

180⋅⋅= π

.

Fig. 1.42

Probleme rezolvate

1. Fie AB diametrul al cercului C(O, r) şi M, N două puncte distincte, M ∈AB şi N ∈AB şi cercurile C(M,r1); C(O,r1); C(N,r1) astfel încât perechile de cercuri C(M,r1); C(O,r1); C(O,r1); C(N,r1) să fie tangente exterioare, iar cercurile C(M,r1) şi C(N, r1) să fie tangente interior cu cercul C(O, r). Să se calculeze suma lungimilor cercurilor C(M,r1); C(O,r1); C(N,r1) în funcţie de r. Generalizare.

Fig. 1.43

r23

r23

r23

r2LLL;

3r

2LLL;3r

r;r3r 32132111

π=

=π+π+π=++π=====

În cazul general:

nr

rrnr 11 =⋅= toate cele n cercuri au raza cât r1. Deci :

r2nr

n2nr

...nr

nr

2L........LLL n321 π=⋅π=

++π=+++ .

R

n°


25

Razele cercurilor înscris şi circumscris unui triunghi Ştim că oricărui triunghi i se poate înscrie şi circumscrie câte un singur cerc, ale căror raze sunt funcţii de mărimea laturilor triunghiului. Această dependenţă este exprimată de următoarele relaţii:

p

Ar = , unde A este aria şi p semiperimetrul triunghiului;

A

cbaR

4⋅⋅= , unde a, b, c laturile triunghiului.

Poligoane regulate Dacă notăm cu: l – latura poligonului; R – raza cercului circumscris unui poligon cu n laturi; r – raza cercului înscris; a – apotema, avem relaţiile:

nRl

O180sin2 ⋅⋅= şi n

RraO180cos⋅== .

Fig. 1.44 În particular, pentru poligoanele regulate cu trei, patru şi şase laturi prezentăm Tabelul din Figura 1.45 care exprimă latura şi apotema în funcţie de raza cercului circumscris poligonului:

Poligonul Latura Apotema

Triunghi echilateral 3R 2

R

Pătrat 2R 2

2R

Hexagon regulat R 2

3R

Fig. 1.45

R

R a (r)

l


26

1.3.3 Aria Orice figură geometrică are o suprafaţă care constituie interiorul acesteia. Definiţie: Aria unui poligon este un număr pozitiv asociat poligonului. Două poligoane care au aceeaşi arie se numesc poligoane echivalente. Unităţi de măsură pentru arii Unitatea fundamentală de măsură pentru arii este m2. 1 m2 este aria unui pătrat cu latura de 1 m. Multiplii şi submultiplii m2 sunt daţi în Tabelul din Figura 1.46: Kilometrul pătrat ............................................. 1 km2 = 106 m2

Hectometrul pătrat (hectarul) .... 1 hm2(ha) = 100 ar = 104 m2 Decametrul pătrat (arul) .......... 1 dam2(ar) = 100 m2 = 102 m2 Decimetrul pătrat ...........................................1 dm2 = 10-2 m2 Centimetrul pătrat ......................................... 1 cm2 = 10-4 m2 Milimetrul pătrat ........................................... 1 mm2 = 10-6 m2 Fig. 1.46

Atenţie ! Pentru efectuarea operaţiilor cu ajutorul unităţilor de măsură, se fac mai întâi transformările în aceeaşi unitate de măsură (aleasă sau impusă). 1.3.3.1 Formule pentru suprafaţa triunghiului

Fig. 1.47


27

Notaţii a, b, c – lungimile laturilor [BC], [AC], [AB] ale unui triunghi; ha, hb, hc – înălţimile corespunzătoare acestor laturi;

2cba

p++= - semiperimetrul triunghiului;

R, r – razele cercului circumscris, respectiv înscris. Teoremă: Produsul dintre lungimea unei laturi şi cea a înălţimii corespunzătoare are aceeaşi valoare indiferent de latura considerată. Numărul egal cu semiprodusul dintre lungimea laturii unui triunghi şi lungimea înălţimii corespunzătoare reprezintă aria triunghiului:

222cba

ABC

hchbhaA

⋅=⋅=⋅= .

Remarcă:

• Dacă lungimile catetelor unui triunghi dreptunghic sunt c1, c2, atunci 2

21 ccA

⋅= .

• Formula ariei unui triunghi echilateral de latură l:

4

32lA = .

Alte formule pentru aflarea ariei unui triunghi oarecare:

1. 2

ˆsin2

ˆsin2

ˆsin CbaBcaAcbAABC

⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅= ;

2. ))()(( cpbpappAABC −−−= (formula lui Heron), unde p semiperimetrul.

Două triunghiuri congruente au arii egale.

Observaţie: Două triunghiuri pot avea arii egale (sunt echivalente) şi fără a fi congruente. Exemplu: O mediană într-un triunghi oarecare îl împarte în două triunghiuri care nu sunt congruente, dar sunt echivalente.


28

Probleme rezolvate

1. Fie G punctul de concurenţă al medianelor AA1, BB2, CC3 ale triunghiului ABC şi A2, B2, C2 respectiv mijloacele segmentelor AG, BG şi CG. Unind A2 cu B1 şi C1, B2 cu C1 şi A1, C2 cu A1 şi B1, să se arate că:

Fig. 1.48 a) triunghiurile ABG, BCG şi CAG sunt echivalente;

b) raportul dintre aria hexagonului A2C1B2A1C2B1 şi aria triunghiului dat este 21

.

a) Pentru a calcula ariile triunghiurilor BCG şi ABC, ducem GM_|_BC şi AM_|_BC. Exprimăm apoi pe GM în funcţie de AN. Din asemănarea triunghiurilor A1MG şi A1NA, folosind proprietatea punctului de concurenţă al medianelor deducem:

31

1

1 ==AA

GA

AM

GM, de unde ANGM

31= .

231

2

ANBCGMBC

A BCG

⋅=⋅=Δ sau ABCBCG A

ANBCA ΔΔ ⋅=⋅⋅=

31

231

.

La fel se arată că ABCCAGABG AAA ΔΔΔ ==31

.

Rezultă deci că cele trei triunghiuri sunt echivalente. b) ∆BCG este format din patru triunghiuri echivalente pentru că: GA1 mediană în ∆BA1G; A1B2 mediană în ∆BA1G; A1C2 mediană în ∆A1CG mediana împarte un triunghi în două triunghiuri echivalente.

Rezultă că CCAGCAGBABBA AAAA21212121 ΔΔΔΔ === .

La fel se arată că ∆ABG şi ∆CAG sunt formate din câte patru triunghiuri echivalente. Deci cele 12 triunghiuri formate în ∆ABC sunt echivalente. Cum hexagonul este format din şase din acestea triunghiuri rezultă

21

126121212 ==

ΔABC

BCABCA

A

A.

Ştim că două triunghiuri asemenea în raportul de asemănare k au raportul ariilor k2. Afirmaţia se generalizează pentru orice poligoane asemenea.


29

Astfel, raportul ariilor a două poligoane asemenea este egal cu pătratul raportului de asemănare.

2. Fie triunghiul oarecare cu M ( )AB∈ , N ( )AC∈ a.î. 3

2

MB

AM = şi MN║BC. Fie AP ⊥ BC

(P ( )BC∈ ) şi AP∩ MN={ }Q .

Să se afle a) QP

AQ; b)

MNCB

AMN

A

A.

5

2

MB

AM

3

2

MB

AM ==

În ABPΔ , MQ║3

2

MB

AM

QP

AQBP == .

ABCAMN Δ≈Δ cu raportul de asemănare k=2/5.

b) 21

4

A

A

25

4

A

A

MNCB

AMN

ABC

AMN == .

Fig. 1.49 1.3.3.2 Formule pentru aria unui patrulater Definiţie: Aria unui patrulater este egală cu suma ariilor celor două triunghiuri pe care o diagonală le determină cu laturile sale. Paralelogramul

Fig. 1.50

Aria este egală cu produsul dintre lungimea unei laturi şi cea a înălţimii corespunzătoare:

haA ⋅= .

N M

A

B C


30

Dreptunghiul

Fig. 1.51

baA ⋅= . Rombul

Fig. 1.52

Aria este egală cu semiprodusul diagonalelor: 2Dd

A⋅= .

Pătratul

2aA =

Fig. 1.53 . Trapezul

Fig. 1.54

Aria trapezului este egală cu semiprodusul dintre suma bazelor şi înălţimea:

hlhBb

A ⋅=⋅+=2 , unde l linia mijlocie.


31

Patrulater oarecare

Fig. 1.55

Aria unui patrulater oarecare este egal cu semiprodusul dintre diagonale şi sinusul unghiului ascuţit format de acestea:

2ˆsinuDd

A⋅⋅= .

Patrulater ortodiagonal (patrulater cu diagonalele perpendiculare) Aria este egală cu semiprodusul dintre diagonale:

2Dd

A⋅= .

Poligoane regulate Aria unui poligon regulat este egală cu semiprodusul dintre perimetrul poligonului şi apotema lui. O altă formulă pentru aria poligonului regulat cu n laturi este:

nR

nA

O

n

360sin2

2 ⋅⋅= .

Poligoane oarecare Pentru calculul ariilor poligoanelor neregulate se foloseşte procedeul descompunerii poligoanelor date în figuri ale căror arii pot fi calculate (triunghiuri, trapeze).

Aria sa este suma ariilor acestora, care se

calculează cu formulele cunoscute.

Fig. 1.56


32

1.3.3.3 Cercul

Amintim formula ariei cercului: 2RAc ⋅= π

Definiţie: Porţiunea de disc mărginită de două raze şi de arcul de cerc determinat de acestea se numeşte sector de cerc.

Fig. 1.57

nR

AOtor ⋅⋅=

360

2

secπ

, unde n este unghiul la centru corespunzător arcului.

Probleme rezolvate

1. Perimetrul unei curţi în formă de pătrat este de 120 m. Calculăm aria curţii. 120 m : 4 = 30 m: A= 30 m x 30 m = 900 m2. 2. Să se calculeze aria unui triunghi dreptunghic isoscel cu ipotenuza de 6 m.

∆ABC isoscel iar AD înălţime AD mediană; dar ∆ABC este dreptunghic AD = BC2

1

AD = m3621 =× 2

ABC m92

18m3m6

2

1ADBC

2

1A ==××=××=Δ .


33

Test de autoevaluare 3

Se dă triunghiul ABC de laturi 5 mm; 1,2 cm; 0,13 dm. Să se calculeze aria triunghiului.



3. a) Calculăm aria unui paralelogram cu lungimea unei laturi de 480 mm şi înălţimea corespunzătoare de 0,12m. b) Calculăm latura unui pătrat echivalent cu paralelogramul dat. a) Facem întâi transformările corespunzătoare: (unitatea convenabilă este cm) 480 mm = 48 cm 0,12 m = 12 cm AABCD = CD×AE = 48 cm × 12 cm = 576 cm2 b) Condiţia de echivalenţă duce la: Apătrat = Aparalelogram;

Apătrat = 576 cm2; dar Apătrat = l2 cmll 245765762 === . 4. Se dă paralelogramul ABCD. Triunghiului ACB este echivalent cu triunghiul ACD. Se observă că triunghiurile sunt congruente, deci echivalente.

Fig. 1.58


34

5. Un dreptunghi are lungimea de 3 ori mai mare ca lăţimea şi perimetrul exprimat în metri printr-un număr întreg. Mărind dimensiunile lui cu 0,5 m se obţine un dreptunghi a cărui arie este cu 0,5 m2 mai mare decât dublul ariei dreptunghiului iniţial. Determinăm dimensiunile dreptunghiului iniţial şi aria noului dreptunghi. • Exprimăm aria primului dreptunghi: 2

1 a3A = ;

• Relaţia din textul problemei conduce la: 5,0AA 12 += ;

5,0325,023 22 +=++ aaa cma 125,0= (într-adevăr se verifică faptul că perimetrul este exprimat printr-un număr întreg: P = 1 m). Astfel: dimensiunile dreptunghiului iniţial : 0,125 şi 0,375 dimensiunile dreptunghiului nou: 0,625 şi 0,875 6. Să calculăm aria unui trapez isoscel cu diagonalele perpendiculare şi înălţimea de 10 cm.

În Δ AOB dreptunghic isoscel: AB2

1OE = ; AB = 2 OE.

În Δ COD dreptunghic isoscel: CD2

1OF = ; CD= 2 OF.

Astfel: EF2

CDABA ABCD ⋅+=

( )2EFEFEFA

EFOFEOA2

OF2EO2A

=⋅=⋅+=

+=

.10010

2

2

cmA

A

==

Test de autoevaluare 4 Se dă un paralelogram. Printr-un punct oarecare al unei diagonale se duc paralele la laturile acestuia. Să se arate că, dintre cele patru paralelograme formate, acelea care nu sunt tăiate de diagonală sunt echivalente.




35

1.4 Noţiuni fundamentale – spaţiu

Obiectivele geometriei în spaţiu ca geometrie a spaţiului tridimensional sunt forma, poziţia, mărimea şi alte relaţii metrice privind corpurile geometrice care nu pot fi incluse în plan. În geometria în spaţiu de lucrează în mai multe plane. Pentru rezolvarea unor etape din problemele tratate de geometria în spaţiu se pot examina anumite probleme reduse într-un plan. În geometria plană, planul era considerat ca un cadru în care se plasau toate problemele. În geometria în spaţiu planul este unul din elementele de bază ale formelor tridimensionale. Se folosesc plane ca suprafeţe ce mărginesc diferite forme geometrice sau ca secţiuni în corpuri. În partea calculatorie a geometriei în spaţiu se folosesc operaţii aritmetice şi algebrice. 1.4.1 Proiecţii ortogonale pe un plan Definiţie: Proiecţia ortogonală a unui punct P pe un plan este piciorul perpendicularei dusă din acel punct pe plan. Figurile geometrice sunt mulţimi de puncte. Proiecţia unei figuri geometrice pe un plan se obţine proiectând toate punctele figurii pe planul dat. Astfel, proiecţia unui segment pe un plan este un segment sau un punct.

Fig. 1.59

Lungimea proiecţiei unui segment pe un plan este egală cu produsul dintre lungimea segmentului şi cosinusul unghiului format de dreapta ce conţine segmentul cu planul

θ= cosOM'OM .

Fig. 1.60

Aria proiecţiei unui triunghi este produsul dintre aria triunghiului şi cosinusul unghiului plan corespunzător diedrului format de planul triunghiului cu planul pe care se proiectează:

θcosSS =′ .


36

Notaţii: S’ – aria ∆A’B’C’; S – aria ∆ABC.

Fig. 1.61

Probleme rezolvate

1. Triunghiul echilateral ABC de latură AB=8cm are vârful situat într-un plan α , iar laturile AB şi AC formează cu planul α unghiuri de 450. a) Să se arate că BC este paralelă cu α . b) Să se arate că proiecţia triunghiului ABC pe planul α este un triunghi isoscel. c) Să se calculeze aria şi perimetrul acestui triunghi.

Fig. 1.62

a) Se arată că triunghiul BB’A isoscel '';'' CCBBCCBB ≡ 'B'BCC dreptunghi.

Cum BC║B’C’BC║α .

b) AB’ =AC’= 24 şi B’C’ .8BC =≡ Avem: 'C'AB'C'B3232'ACAB 222 Δ=+=+ dreptunghic isoscel.

c) ( )cm128P;cm16S 'C'AB2

'C'AB +== .


37


Fie un hexagon regulat de latură 4 cm care se proiectează pe un plan, făcând cu planul său un unghi de 300. a) Determinaţi aria noului hexagon format. b) Dacă se reproiectează noul hexagon pe planul hexagonului iniţial, care va fi aria noii proiecţii?



1.4.2 Distanţe în spaţiu

Definiţii: • Distanţa dintre două puncte este lungimea segmentului determinat de aceste puncte. • Distanţa dintre un punct şi o dreaptă este lungimea segmentului determinat de punct şi de dreaptă pe perpendiculara dusă din punct pe dreapta dată. • Distanţa dintre două drepte paralele este lungimea segmentului determinat de cele două drepte pe o perpendiculară comună. • Distanţa dintre un punct şi un plan este lungimea segmentului determinat de punct şi de plan pe perpendiculara dusă din punct pe plan. • Distanţa dintre două plane este lungimea segmentului determinat de cele două plane pe o perpendiculară comună.

Observaţie: • Distanţa dintre un punct şi o dreaptă este mai mică sau egală cu distanţa dintre punctul dat şi un punct oarecare al dreptei date. • Distanţa dintre două drepte paralele este mai mică sau egală cu lungimea oricărui segment care se sprijină pe dreptele date. • Distanţa dintre un punct şi un plan este mai mică sau egală cu distanţa dintre punctul dat şi un punct oarecare al planului dat. • Distanţa dintre două plane paralele este mai mică sau egală cu lungimea oricărui segment care se sprijină pe planele date.


38

1.4.3 Corpuri

Corpurile mărginite numai de porţiuni plane se numesc poliedre. Exemple: prisma şi piramida. Corpurile mărginite de suprafeţe curbe se numesc corpuri rotunde. Exemple: cilindrul, conul, sfera. Poligoanele plane care mărginesc poliedrul se numesc feţe. Suprafaţa care mărgineşte corpul se numeşte suprafaţa corpului. Aria suprafeţei care mărgineşte corpul poate fi calculată prin însumarea ariilor feţelor sau a suprafeţelor curbe. Pentru corpurile care se întâlnesc mai frecvent s-au introdus formule de calcul care simplifică procedeul de însumare. Oricărui corp îi corespunde un număr pozitiv care reprezintă volumul acestuia. Pentru măsurarea volumului corpurilor s-au introdus unităţi de măsură pentru volum. Unităţi de măsură pentru volume Unitatea de măsură pentru volume este metrul cub (notat m3). 1 m3 este volumul unui cub cu latura de 1 m. Multiplii şi submultiplii se găsesc în Tabelul din Fig. 1.63. Kilometrul cub ................................. 1km3 ....................... 109 m3 Hectometrul cub .............................. 1hm3 ...................... 106 m3 Decametrul cub ............................... 1dam3 .................... 103 m3 Decimetrul cub ................................ 1dm3 ..................... 10-3 m3 Centimetrul cub ............................... 1cm3 ..................... 10-6 m3 Milimetrul cub .................................. 1mm3 .....................10-9 m3

Fig. 1.63 Unităţi de capacitate

Litrul a fost iniţial definit ca volumul unui kilogram de apă fără aer, la densitatea sa maximă şi sub presiunea de o atmosferă. Astfel, 1 litru este egal cu 1 decimetru cub. Multiplii şi submultiplii se găsesc în Tabelul din Fig. 1.64. Kilolitru ............................................. 1000 l = 1 m3 ............ 103 l Hectolitru .......................................... 100 l ......................... 102 lDecalitru ........................................... 10 l ........................... 101 l Decilitru ............................................ 1 dl .......................... 10-1 l Centilitru ........................................... 1 cl .......................... 10-2 l Mililitru .............................................. 1 ml ......................... 10-3 l Fig. 1.64


39

1.5 Formule fundamentale – calcul de arii, volume

Dacă se taie suprafaţa unui poliedru de-a lungul unui număr suficient de mare de muchii, întreaga suprafaţă a corpului poate fi aplicată pe un plan. Astfel, se obţine desfăşurarea poliedrului. Invers, fiind dată desfăşurarea poliedrului, prin îndoire şi lipire de-a lungul unor muchii, se obţine poliedrul iniţial. Prezentăm exemplul cubului:

Fig. 1.65 1.5.1 Prisma

O dreaptă care se deplasează în spaţiu fără să-şi schimbe direcţia, sprijinându-se pe linia ce mărgineşte un poligon cu n laturi descrie o suprafaţă prismatică. Poligonul cu n laturi poate fi privit ca o secţiune a unui plan care taie suprafaţa prismatică. Dacă se mai face o secţiune a acestei suprafeţe printr-un plan paralel, suprafaţa de secţiune va fi tot un poligon cu n laturi, congruent cu primul. Suprafaţa prismatică împreună cu cele două poligoane de secţiune mărginesc un corp. Acest corp se numeşte prismă, cele două poligoane se numesc baza prismei iar partea din suprafaţa prismatică care aparţine prismei se numeşte suprafaţa laterală a acesteia. Segmentele care unesc două vârfuri corespunzătoare bazelor se numesc muchiile laterale ale prismei. Înălţimea prismei este distanţa dintre cele două baze. Dacă muchiile sunt perpendiculare pe baze, atunci prisma se numeşte dreaptă (prismele care nu sunt drepte se numesc oblice). Suprafaţa laterală a prismei drepte se compune din dreptunghiuri. Dacă bazele prismei sunt poligoane regulate, atunci prisma se numeşte regulată. Tipuri de prisme • Prisma triunghiulară (bazele triunghiuri şi feţele laterale paralelograme); • Prisma triunghiulară regulată (bazele triunghiuri echilaterale şi feţele laterale dreptunghiuri); • Prismă patrulateră (bazele patrulatere şi feţele laterale paralelograme); • Paralelipiped (bazele paralelograme şi feţele laterale paralelograme); • Paralelipipedul dreptunghic (bazele dreptunghiuri şi feţele laterale dreptunghiuri); • Cubul (bazele pătrate şi feţele laterale pătrate)ş • Prisma patrulateră regulată (bazele pătrate şi feţele laterale dreptunghiuri); • Prisma hexagonală regulată (bazele hexagoane şi feţele laterale dreptunghiuri).


40

Prisma triunghiulară regulată

Fig. 1.66

Prisma patrulateră regulată

Fig. 1.67

Prisma hexagonală regulată

Fig. 1.68

Paralelipipedul dreptunghic


41

Fig. 1.69

Notăm cu d diagonala paralelipipedului dreptunghic

2222 cbad ++= . Notaţii H – înălţimea prismei; Pb – perimetrul bazei; Ab – aria bazei; Al – aria laterală; At – aria totală; V – volumul. Formule de calcul în prisme Al = suma ariilor feţelor laterale:

HPA bl ⋅= (în cazul prismelor drepte);

blt AAA ⋅+= 2 ;

HAV b ⋅= .

Probleme rezolvate

1. Calculaţi aria laterală, totală şi volumul unei prisme triunghiulare regulate ABCA’B’C’ cu dimensiunile: AA’ = AB = 6 cm.

Fig. 1.70


42

Afaţă laterală = AA’ACC’ = 6 · 6 = 36 cm2 Al = 3 ·36 = 108 cm2

=4

3lA

2

B2

2

ABC cm394

36A ==

deci:

( )2

B

2t

lBt

cm354639HAV

cm312939108A

AAA

=⋅=⋅=

+=+=

+=

2. Aria totală a unei prisme patrulatere regulate este 1440m2, iar înălţimea este dublul laturii bazei. Aflaţi: a) latura bazei şi înălţimea prismei; b) aria laterală şi volumul prismei.

Fig. 1.71


O prismă hexagonală regulată are volumul 31000 cm3 şi înălţimea de 10 cm. Calculaţi aria laterală şi aria totală.




43

Notăm latura bazei cu x. Deducem că h=2x. Exprimând aria totală în funcţie de x, avem: 22

bfblt x10x2x2x4A2A4A2AA =⋅+⋅⋅=+=+= Egalând expresia ariei totale în funcţie de x cu valoarea cunoscută obţinem ecuaţia:

12x144x1440x10 22 ==⇔= sau x= -12. Convine numai x=12 deci l= 12 m şi h = 24 m.

3b

2bl m345624144hAVm115224124hPA =⋅=⋅=→=⋅⋅=⋅=

3. Calculaţi aria totală şi volumul unui cub cu lungimea muchiei de 7,5 cm.

Fig. 1.72

( ) 33

3

22t

2t

cm875,4215,7V

aV

cm5,33725,5665,76A

a6A

==

=

=⋅=⋅=

⋅=

4. Care este volumul unei cărămizi cu dimensiunile 7,1 cm; 11,5 cm; 24 cm.

Fig. 1.73

36,19595,75,1124 cmV =⋅⋅= .

5. Dacă diagonalele feţelor unui paralelipiped dreptunghic sunt 7m, 11m 16m, calculaţi diagonala paralelipipedului. Fie ABCDA’B’C’D’ un paralelipiped dreptunghic cu AB=a, AD=b şi DD’=c şi AC=7m, CD’=11m respectiv D’A =16m. Avem deci:


44

,213213213

426222_________________

25612149

2222

222

22

22

22

mddcba

cba

ac

cb

ba

===++

=++

=+=+=+

d fiind diagonala paralelipipedului.

Fig. 1.74

Test de autoevaluare 7 Dacă diagonala unui paralelipiped dreptunghic are 10 m, iar suma a trei muchii care pornesc din acelaşi vârf este 20 m, să se calculeze aria totală a paralelipipedului.




45

6. Pe o masă se găseşte un vas cu apă, având forma unui paralelipiped dreptunghic, cu baza un pătrat de latură 8 cm, şi înălţimea egală cu 12cm. Se înclină vasul, astfel încât una din muchiile bazei să rămână pe masă, până când porţiunile neudate ale muchiilor au lungimea de 4cm. După aceasta, vasul revine la poziţia iniţială. La ce înălţime se ridică apa rămasă? Fie ABCDA’B’C’D’ vasul considerat. În figura alăturată s-a desenat poziţia vasului înclinat în jurul muchiei DC. Suprafaţa haşurată reprezintă suprafaţa apei (care se varsă de-a lungul lui D’C’). Suprafaţa apei va fi paralelă cu planul α al mesei pe care se află muchia DC a vasului. Ca urmare 11BA ║DC║D’C’║A’B’.

Deci A’B’║ 11BA şi cum A’A1║ 1B'B , iar ( )'B'AA1 este drept 'BBA'A 11 dreptunghi.

Deoarece ( )'D'AA'A'B 1⊥ rezultă că A’A1D’B1B’C’ este o prismă dreaptă cu baza triunghi dreptunghic A1A’D’. Notând cu V volumul acestei prisme şi cu V volumul paralelipipedului, rezultă că prin înclinarea vasului se pierde o cantitate de apă de volum V rămânând un volum de apă V’=V-V. Paralelipipedul fiind dreptunghic cu dimensiunile 8cm, 8cm, 12cm

3cm7681288V =⋅⋅= . V 'D'AAiar;'B'AS 1'D'AA1

Δ→⋅= este dreptunghic cu catetele A’D’=8cm şi A’A1=4cm

(lungimile muchiilor neudate)

=⋅=⋅= 2

'D'AA1

'D'AA cm16248

S2

A'A'D'AS

11

V = 16 3cm1288 =⋅ . V’ = 768–128 = 640cm3. În momentul revenirii la poziţia iniţială, apa ocupă volumul unui paralelipiped dreptunghic având baza pătratului ABCD şi înălţimea h1 – înălţimea la care se ridică apa rămasă. Deci

cm1064640

8640

hcm648hS 213

1ABCD ====⋅ .

Fig. 1.75 7. O prismă dreaptă cu baza un trapez oarecare cu AB║CD, AB=25 cm, CD=8 cm BC =13 cm şi înălţimea de 5 cm este secţionată cu două plane care trec prin D şi C şi sunt perpendiculare pe CD. Să se calculeze volumele şi ariile corpurilor formate, ştiind că înălţimea prismei este de 10cm. Cele două plane fiind paralele, rezultă că dreptele de intersecţie ale lor cu planele bazelor şi cele ale feţelor laterale pe care le intersectează sunt paralele. în consecinţă, notând cu A’B’C’D’ cealaltă bază a prismei şi cu E, F punctele în care cele două plane intersectează AB şi cu E’, F’ cele în care planele intersectează A’B’, obţinem că DEFCD’E’F’C’ este un paralelipiped drept şi cum planele sunt perpendiculare pe CD care este paralelă cu EF, E’F’ şi C’D’, rezultă că DEFCD’E’F’C’ este chiar paralelipiped dreptunghic. De asemenea, este evident că această în situaţie prismele triunghiulare AEDA’E’D’ şi CFBC’F’B’ sunt drepte. Să calculăm acum elementele necesare pentru aflarea ariilor şi volumelor cerute. În triunghiul CFB dreptunghic în F 222222 513FBFCBCFB −=−= ,


46

(FC şi DE fiind înălţimi ale trapezului) .cm12144FB == DEFC dreptunghi cm8DCEF == . Deci AE=AB–EF–FB AE=25–8–12=5cm. În triunghiul dreptunghic AED dreptunghic în E:

.cm2555ADEDAEAD 22222 =+=+= Notând cu V1, V2, V3, volumele prismei drepte AEDA’E’D’, a paralelipipedului dreptunghic DEFCD’E’F’C’, respectiv prismei CFBC’F’B’, iar cu A1, A2, A3, ariile totale ale acestor corpuri, dacă ţinem seama că toate au înălţimea egală cu înălţimea h=10 cm a prismei, obţinem:

.22;2

3

2

321

CFBCFB

DEFCDEFCAEDAEDl

CFBDEFCAED

ShPA

ShPAShPA

hSVhSVhSV

+⋅=+⋅=+⋅=→⋅=⋅⋅=⋅⋅=

Deoarece triunghiul AED dreptunghic în E, DEFC este dreptunghi şi triunghiul CFB dreptunghic în F vom obţine:

( )

( )

.3013125

302125

2

26)58(224058

2252555

5,12255

2

2

2

2

cmPBCFBCFP

cmSFBCF

S

cmPDEEFP

cmSDEEFS

cmPEDAEP

cmSEDAE

S

CFBCFB

CFBCFB

DEFCDEFC

DEFCDEFC

AEDAED

AEDAED

=++=++=

=⋅=⋅=

=+=+==⋅=⋅=

+=++=+=

=⋅=⋅=

Deci:

( ) ( )

.360603003021030340802604021026

225252501005,12210225

3001030

4001040125105,12

23

22

21

33

32

31

cmA

cmA

cmA

cmV

cmV

cmV

=+=⋅+⋅=

=+=⋅+⋅=

+=+=⋅+⋅+=

=⋅=

=⋅=

=⋅=

Fig. 1.76


47

1.5.2 Cilindrul

O dreaptă care se deplasează în spaţiu, păstrându-şi direcţia şi sprijinându-se pe o curbă numită directoare, descrie o suprafaţă cilindrică. Cilindrul este corpul mărginit de o suprafaţă cilindrică, având curba directoare inclusă şi de două plane paralele între ele. Dreptele paralele între ele care generează suprafaţa cilindrică se numesc generatoarele cilindrului, iar cele două secţiuni ale acesteia determinate de planele paralele se numesc bazele cilindrului. Bazele cilindrului sunt figuri congruente. Distanţa dintre planele bazelor se numeşte înălţimea cilindrului. Orice cilindru are două muchii, în sensul propriu-zis al cuvântului, cele două linii care mărginesc bazele. Dacă în orice punct al acestor muchii unghiul dintre baze şi suprafaţa cilindrică este drept, atunci cilindrul este drept. Dacă bazele sunt cercuri, atunci cilindrul se numeşte cilindru circular drept. Cilindrul circular drept se mai numeşte şi cilindru de rotaţie pentru că se poate obţine din rotaţia unui dreptunghi în jurul unei laturi.

Fig. 1.77

Notaţii R – raza cercului; G – generatoarea cilindrului; H – înălţimea cilindrului. Formule de calcul pentru cilindrul circular drept Pb = 2πR; Ab = πR2; Al = 2πR G; At = 2πR (R + G); V = πR2 H. Probleme rezolvate


48

1. Calculăm aria unei bare de oţel având diametrul d = 50mm şi înălţimea H = 60mm.

Fig. 1.78

d = 50 mm = 5 cm

22

22

Bl

2B

cm52,133cm5,42

5,12305,2265,22R2RG2A

AAA

cm6mm60H

cm25,6Acm5,22

5R

≅⋅π=π+π=⋅π+⋅⋅π=π+π=

+===

π===


Aria totală a unui cilindru circular drept este de 132π cm2, iar cea laterală 96π cm2. Să se afle volumul cilindrului.




49

2. Un dreptunghi cu laturile a şi b, (a<b) se roteşte în jurul lui a şi apoi în jurul lui b. a) În ce caz se obţine aria laterală mai mare? b) În ce caz se obţine volumul mai mare? Considerând cazul general al rotirii unui dreptunghi în jurul unei laturi de lungime l. Fie dreptunghiul ABCD pe care-l rotim în jurul lui AB, AB=l. Corpul obţinut este un cilindru circular drept de înălţime AB=l şi a cărei bază are raza AD. Deci:

S2ABAD2Rh2Al π=⋅π=π= , unde S este aria dreptunghiului. Deci:

lS

ABABAD

ABADV222

2 π=⋅⋅π=⋅⋅π= . Astfel, prin rotirea unui dreptunghi de arie S în jurul

laturii sale de lungime l, se obţine un cilindru circular drept cu: S2Al π= şi lS

V2π= .

a) Deoarece aria laterală nu depinde decât de suprafaţă, ariile laterale vor fi egale cu ab2π , indiferent de latura în jurul căreia se roteşte dreptunghiul.

b) Dacă Va şi Vb sunt volumele corpurilor obţinute prin rotaţia în jurul lui a respectiv b avem:

( ) 0222

>−=−=−ab

abS

b

S

a

SVV ba

πππ, deoarece b>a. Deci: Va>Vb.

Fig. 1.79

1.5.3 Piramida

O semidreaptă care trece printr-un punct fix V şi care se sprijină pe linia care mărgineşte un poligon cu n laturi conţinut într-un plan, care nu conţine punctul V, descrie o suprafaţă piramidală. Poligonul plan cu n laturi împreună cu suprafaţa piramidală include o porţiune mărginită a spaţiului. Corpul geometric astfel definit se numeşte piramidă. Poligonul cu n laturi este baza piramidei şi punctul V vârful ei. Segmentele determinate pe feţele suprafeţei piramidale de vârful V şi câte un vârf al bazei se numesc muchiile laterale ale piramidei. Laturile poligonului bazei se numesc muchiile bazei. Piramida cu baza un poligon cu n laturi are suprafaţa laterală formată din n triunghiuri. Înălţimea piramidei este distanţa de la vârf la planul bazei. Dacă piciorul înălţimii coincide cu centrul bazei, atunci piramida se numeşte dreaptă. O piramidă dreaptă cu baza poligon regulat se numeşte piramidă regulată. Feţele laterale ale unei piramide regulate drepte sunt triunghiuri isoscele congruente.


50

Fig. 1.80

Tipuri de piramide: • Piramida triunghiulară (baza triunghi şi feţele laterale triunghiuri); • Piramida triunghiulară regulată (baza triunghi echilateral şi feţele laterale triunghiuri isoscele); • Tetraedrul regulat (toate feţele triunghiuri echilaterale); • Piramida patrulateră (baza patrulater şi feţele laterale triunghiuri); • Piramida patrulateră regulată: (baza pătrat şi feţele laterale triunghiuri isoscele); • Piramida hexagonală regulată: (baza hexagon regulat şi feţele laterale triunghiuri echilaterale). Notaţii H – înălţimea prismei; Ap – apotema piramidei (înălţimea unei feţe laterale intr-o piramidă regulată); Pb – perimetrul bazei; Ab – aria bazei; Al – aria laterală; At – aria totală; V – volumul. Formule de calcul în piramide Al = suma ariilor feţelor laterale:

2pb

l

APA

⋅= (in cazul piramidelor regulate);

blt AAA += ;

HAV b ⋅⋅=31

.


51

Piramida triunghiulară regulată

Fig. 1.81

Piramida patrulateră regulată

Fig. 1.82

Piramida hexagonală regulată

Fig. 1.83


52

Probleme rezolvate

1. Tetraedrul VABC are faţa ABC un triunghi isoscel, AB = AC, iar piciorul perpendicularei din V pe ABC este punctul A. Ştiind că AB = AC = 5 m, BC = 6 m, AV = 3 m, să se calculeze aria totală şi volumul tetraedrului.

Fig. 1.84

ABCVBCVACVADt SSSSA +++= (1)

VASV ABC ⋅=31

(2)

drVACdrVABACVA

ABVA

ABCACAB

ABCVAΔ≡Δ

⊥⊥

⊂

⊥)(,

)(

([AB] ≡ [AC], [VA] comună)

5,7253

2=⋅=⋅==

VCVASS VACVAB m2.

Fie 2VDBC

SBCVD VBC

⋅=⊥ (3)

Cum VADADVAABCAD

ABCVAΔ⊥

⊂⊥

)()(

dreptunghic în A

222 ADVAVD +=

Dar ⊥⊂⊥⊂

⊥BCAD

ABCBCVDABCAD

ABCVA

)(),()(

AD înălţime

corespunzătoare ipotenuzei [BC] a triunghiului isoscel ABC AD mediană şi ∆ADB dreptunghic. Deci:


53

.15256525169

4162625

2

2)3(

2)4(

22

2

222222

mSmVDVD

mADADAD

BCABADBDABAD

VBC =⋅===+=

==

−=

−=−=

Cum AD înălţime în .122

46 2mABC =⋅Δ

Deci din (1) At = 7,5 m2 + 7,5 m2 + 15 m2 + 12 m2 = 42 m2.

Din (2) 1231231 =⋅⋅= V m3.

2. O piramidă hexagonală regulată VABCDEF are muchia bazei AB = a şi muchia laterală AV =2a. Să se calculeze aria totală a piramidei.

Fig. 1.85

Test de autoevaluare 9 Calculaţi aria laterală şi totală a unei piramide triunghiulare regulate cu muchia laterală de 312 cm şi înălţimea de 18 cm.




54

Calculăm aria bazei:

2

3a3

4

3a6A

A6A22

AOBABCDEF

⋅=⋅=

⋅=

OM este înălţime în triunghiul echilateral ABC de latură a deci; OM 2

3a=

Aplicăm în triunghiul SMB dreptunghic în M Teorema lui Pitagora.

4

aSMa4

BMSMSB2

22

222

+=

+=

2

15aSM = apotema piramidei astfel:

( ) .512

332

332

153

2153

4156

415

215

21

222

22

2

aaa

A

AAA

aaA

aaaA

t

Blt

l

SAB

⋅+=+=

+=

=⋅=

=⋅=

3. Pe un cub ABCDA’B’C’D’ de muchie DC=a se aşează o piramidă regulată VABCD, cu toate feţele triunghiuri echilaterale. a) Să se determine volumul corpul obţinut. b) Să se arate că AV ⊥ VC.

c) Dacă nu se cunoaşte latura a, ci numai lungimea segmentului 223' +=VA m, găsim lungimea laturii a. a) Fie VO înălţimea piramidei regulate VABCD şi O centrul bazei sale, care este pătratul

ABCD 2

ACOA = . Cum 2aAC = (AC diagonală într-un pătrat de latură a)

22a

OA =

Deoarece VO ( ) ( ) VOAOAVOABCOA;ABC Δ⊥⊂⊥ dreptunghic în O. Feţele piramidei fiind triunghiuri echilaterale aVA = . Deci :

22a

VO4a2

4a2

aVOOAVAVO22

22222 ==−=−=

Aşadar:

( ).6

122

231

31

3

323

+=

+⋅=+⋅=+=

aV

aa

aaVOSVVV

corp

ABCDcubVABCDcorp

b) La punctul a) am obţinut 2

2aOAVO == ceea ce arată că triunghiul dreptunghic VOA

este isoscel cu ( ) 045ˆ =OAVm . Cum [ ] [ ]≡ VCVA secţiunea diagonală VAC este un

triunghi isoscel cu ( ) ( ) 045OCVmOAVm == deci triunghiul VAC dreptunghic isoscel .ACVA ⊥


55

c) Vom determina VA’ în funcţie de a şi apoi vom găsi lungimea lui a impunând ca

223VA += m. Deoarece ( )ABCVO ⊥ , iar (A’B’C’)║(ABC) ( )'C'B'AVO ⊥ . Notăm { } ( ).'C'B'AVO'O ∩= Deoarece 'C'B'A'OO ⊥ iar O este centrul feţei ABCD a cubului rezultă că O’ este proiecţia

lui O pe (A’B’C’), deci centrul feţei A’B’C’D’. Deci OO’=AA’=a, 2

2aAO =′ .

Deoarece )CBA(OV ′′′⊥′ şi AOOV)ABC(AO ′′⊥′⊂′′ , deci AOV ′′Δ este dreptunghic în 222 AOOVAVO ′′+′=′′ (1)

Dar a2

2aOOVOOV +=′+=′ şi din (1)

.22aAV)22(a2aa2

4a2

a2a4a2

AV2

2aa

22a

AV

222

222

22

2

2

+=′+=+=

=+++=′

+

+=′

Aşadar

3a22a223AV =⇔+⇔+=′ m.

Fig. 1.86 1.5.4 Conul

O dreaptă numită generatoare, care trece printr-un punct fix şi se sprijină pe o linie curbă numită directoare, descrie o suprafaţă conică. Conul este un corp mărginit de o suprafaţă conică cu o curbă directoare închisă şi de un plan care nu trece prin punctul O’. Suprafaţa conică determină pe acest plan baza conului. Punctul O’ se numeşte vârful conului. Suprafaţa laterală a conului este o porţiune din suprafaţa conică cuprinsă între vârf şi bază. Dacă proiecţia vârfului pe planul bazei coincide cu centrul acesteia, conul se numeşte drept. Dac baza este un cerc atunci conul se numeşte con circular. Un con se secţionează de-a lungul unei generatoare şi a cercului bazei şi se aplică pe un plan după un sector de disc. Conul se mai numeşte con de rotaţie pentru că poate fi obţinut prin rotaţia unui triunghi dreptunghic în jurul unei catete.


56

Fig. 1.87 Notaţii R – raza cercului; G – generatoarea conului; H – înălţime. Între elementele conului există relaţia: G2 = R2 + H2. Formule de calcul în con Pb = 2πR; Ab = πR2; Al = πR G; At = πR (R + G);

HRV ⋅⋅⋅= 2

31 π .

Probleme rezolvate

1. Un con se desfăşoară pe un plan după un semicerc cu diametrul de 20 cm. Să se afle volumul conului. Prin desfăşurare, semicercul obţinut are ca centru vârful V al cercului şi ca rază, generatoarea g a conului cmgcmg 10202 == . Pe de altă parte, lungimea cercului de bază al conului reprezintă lungimea acestui semicerc, de unde

cmrg

rg

r 522

22 === ππ .

În continuare, cmhrgh 3525100222 =−=−= . Deci

πππ3

31253

3553

22

=⋅⋅== V

hrV cm3.

Fig. 1.88


57

1.5.5 Trunchiul de piramidă

Trunchiul de piramidă se obţine prin înlăturarea dintr-o piramidă a unei piramide mai mici având acelaşi vârf cu piramida iniţială şi baza paralelă cu cea a piramidei iniţiale. Trunchiul de piramidă este drept sau regulat după cum piramida din care provine are aceste proprietăţi. Aria totală a trunchiului de piramidă se compune din ariile bazelor şi aria laterală. Aceasta se compune din ariile a n trapeze atunci când baza piramidei din care provine trunchiul este un poligon cu n laturi. Trunchiul de piramidă triunghiulară regulată

Fig. 1.89


58

Trunchiul de piramidă patrulateră regulată

Fig. 1.90

Trunchiul de piramidă hexagonală regulată

Fig. 1.91 Notaţii l – latura bazei mici; L – latura bazei mari; h – înălţimea piramidei mici; ht – înălţimea trunchiului; H – înălţimea piramidei mari; a – apotema piramidei mici; at – apotema trunchiului (înălţimea unei feţe laterale în cazul unei trunchi de piramidă regulată); A – apotema piramidei mari; p – perimetrul bazei mici; P – perimetrul bazei mari; Ab – aria bazei mici; AB – aria bazei mari.


59

Formule de calcul în trunchiul de piramidă regulată

2)( t

l

apPA

⋅+= ;

bBlt AAAA ++= ;

( )bBbBt AAAA

hV ⋅++⋅=

3 .

Teoremă: Prin secţionarea unei piramide cu un plan paralel cu baza, se obţine o piramidă mică asemenea cu cea iniţială. Au loc relaţiile:

kA

a

L

l

H

h === (k se numeşte raport de asemănare);

2kA

A

B

b = , raportul ariilor laterale şi ariilor totale ale celor două piramide este de

asemenea k2;

3kV

v = .

Probleme rezolvate

1. Fie o piramidă patrulateră regulată având lungimea laturii bazei de 12 cm şi înălţimea de 6 cm. a) La ce distanţă de vârf trebuie dus un plan paralel cu baza astfel încât ariile laterale ale celor două corpuri să fie egale? b) Calculăm aria laterală, aria totală şi volumul trunchiului obţinut prim secţiunea executată la punctul a). Se dă: VABCD piramidă patrulateră regulată. O centrul bazei A’B’C’D’, secţiune paralelă cu baza, AB=12 cm, VO=6 cm, O’ centrul secţiunii A’B’C’D’. a) 'D'C'B'lABCDA'D'C'B'lVA AA = . Se cere: a) VO’=? b) lA , At, V Fie k raportul de asemănare a piramidelor VA’B’C’D’ şi VABCD.

Ştim că: kVO

'VO = şi 2

VBC

'C'VB kAA = . Putem scrie:


60

22

k

21

k1k2AAk2AA2A

AAA4A4AA

22VBCVBC

2VBC'C'VB'C'VB

VBC'C'VB'B'BCC'C'VB'D'C'B'lABCDA'D'C'B'lVA

±=

=⇔=⇔=⇔=⇔−

−=⇔=⇔=

Convine numai 22

k = .

Deci 24,423622

'VO ≈=⋅= cm.

1.5.6 Trunchiul de con

Trunchiul de con se obţine prin înlăturarea dintr-un con a unui con mai mic având acelaşi vârf cu conul iniţial şi baza paralelă cu cea a conului iniţial.

Test de autoevaluare 10 Intersectând un tetraedru regulat cu un plan care trece prin mijloacele a trei muchii care pornesc din acelaşi vârf. Să se determine forma şi aria secţiunii în funcţie de latura tetraedrului.




61

Fig. 1.92

Notaţii R – raza bazei mari; r – raza bazei mici; g – generatoarea conului mic; G – generatoarea conului mare; gt – generatoarea trunchiului; h – înălţimea conului mic; H – înălţimea conului mare; ht – înălţimea trunchiului; Între elementele trunchiului de con există relaţia: gt

2 = (R – r)2 + ht2.

Formule de calcul în trunchiul de con AB = πR2; Ab = πr2; Al = π gt (R + r); At = π gt (R + r) + π( R2 + r2);

V = 31

ht π (R2 + r2 + Rr).

Teoremă: Prin secţionarea unui con cu un plan paralel cu baza, se obţine un con mic asemenea cu cel iniţial. Au loc relaţiile:

kG

g

R

r

H

h === (k se numeşte raport de asemănare);

2kA

A

B

b = , raportul ariilor laterale şi ariilor totale ale celor două piramide este de

asemenea k2;

3kV

v = .


62

Probleme rezolvate

1. Un trunchi de con circular drept are r = 2 cm, R = 5 cm, gt = 5 cm. Calculăm aria laterală, totală şi volumul.

Fig. 1.93

În trapezul dreptunghic A’AOO’, construim A’M ⊥ AO (M∈AO). Deoarece M’O = A’O’ = 2 cm obţinem AM = 3 cm. Aplicând Teorema lui Pitagora în triunghiul A’MA obţinem: h = A’M = 4 cm.

( ).2016442535

1103522

22

cmcmAAAA

cmcmrRgA

bBlt

tl

≅=++=++=

≅=+⋅⋅=

ππππππ

2. Un trunchi de con circular drept are înălţimea egală cu 10, iar razele bazelor 8 şi 18. La ce distanţă de baza mică trebuie făcută o secţiune printr-un plan paralel cu bazele astfel încât secţiunea făcută să aibă aria media proporţională între ariile bazelor.

Fig. 1.94

Avem OO’ =10; OA =R=18; O’A’ =r 8. Notăm cu S = aria bazei mari, S’= aria bazei mici, S’’ = aria secţiunii.

Avem :2

''VO'VO

''S'S

= (1);

2

VO''VO

S''S

= (2)


63

Împărţim relaţiile (1) şi (2) şi se obţine:

1''VO

'VOVO''S'SS

2

22 =

⋅= ,deoarece '.VOVO''VO'SS''S 22 ⋅=⋅=

( ).4812''''''

12''144''188'

''

108'

188''

2

2

=−=−=====

−

==

=

VOVOOO

VOVOVOVO

VOVO

VO

VO

VO

VO

VO

S

S

3. Un triunghi dreptunghic ABC 090)ˆ( =Am se roteşte în jurul perpendicularei în B pe BC. Dacă AB=3 cm, Ac=4 cm găsiţi volumul corpului format. Corpul format are secţiunea axială trapezul isoscel ACC’A’ unde C’ şi A’ sunt simetricele lui C şi A faţă de axa de rotaţie. Notând cu O intersecţia între AA’ şi axa de rotaţie corpul obţinut este trunchiul de con având R=BC, r=OA şi înălţimea OB din care „lipseşte’’ cu vârful B şi baza C(O, r). Din triunghiul dreptunghic ABC avem:

cm5916BCACABBC 222 =+=+= , iar înălţimea

cm5

12BC

ACABAD =⋅= .

Din construcţia făcută, AOBD este dreptunghic şi deci: 5

12ADBO == .

( )

( ) ( )

cm59

25144

9OBABOAr

r555

123

rrRrROB3

V

3OBr

rRrR3OB

VVV

22

2222corp

222

contrunchicorp

=−=−==

⋅+⋅π=−⋅++⋅π=

⋅π−⋅++π=−=

(1)

Din (1) 2corp cm

5136

345

459

525254

Vπ=⋅π=

⋅+π= .

Fig. 1.95


64

1.5.7 Sfera

Sfera este locul geometric al tuturor punctelor din spaţiu a căror distanţă la un punct fix este constantă. Punctul fix se numeşte centrul sferei. Prin rotirea unui cerc (semicerc) în jurul unui diametru, perimetrul acestuia descrie o suprafaţă sferică. Porţiunea din spaţiu închisă de o suprafaţă sferică, se numeşte sferă.

Fig. 1.96

Test de autoevaluare 11 Secţiunea axială a unui trunchi de con este un trapez circumscriptibil unui cerc de rază 4 cm. Ştiind că perimetrul secţiunii axiale este 40 cm, aflaţi volumul triunghiului de con.




65

Notaţii R – raza; I – înălţimea calotei (zonei) sferice. Formule de calcul în sferă:

24 RA ⋅⋅= π ;

34 3R

V⋅⋅= π

;

Aria calotei (zonei) sferice: IRA ⋅⋅⋅= π2 . Calotă sferică Orice plan taie sfera după un cerc. Planul împarte suprafaţa sferică în două calote sferice. Zonă sferică Două plane paralele delimitează într-o sferă o zonă sferică. Zona sferică este mărginită de două cercuri dintre care numai unul poate fi un cerc mare al sferei (ce trece prin centrul sferei). Probleme rezolvate

1. O sferă are raza de 6 cm. Calculăm cu aproximaţie aria şi volumul.

Fig. 1.97

3333

2222

3,9042883

643

42,452144644

cmcmVR

V

cmcmARA

≅⋅=⋅==

≅=⋅==

ππππππ


66

1.5.8 Corpuri rotunde înscrise şi corpuri rotunde circumscrise

1. O sferă este înscrisă într-un con circular drept dacă este tangentă la planul bazei conului în centrul acesteia şi intersecţie dintre suprafaţa laterală a conului şi sferă este un cerc situat într-un plan paralel cu planul bazei conului. 2. Un con este înscris într-o sferă dacă baza sa este un cerc al sferei, iar vârful său un punct de pe sferă. 3. O sferă este circumscrisă unui trunchi de con dacă cercurile bazelor trunchiului de con sunt cercuri ale sferei. 4. O sferă este înscrisă într-un trunchi de con dacă intersecţia dintre suprafaţa laterală a trunchiului de con şi sferă este un cerc, iar sfera este tangentă la planele bazelor trunchiului în centrele acestora.

Fig. 1.98 Probleme rezolvate

1. Într-o sferă de rază R = 5 cm se înscrie un cilindru circular drept de înălţime 6 cm. Se cer: a) aria calotei sferice aflate deasupra bazei cilindrului; b) aria laterală şi volumul cilindrului.

Fig. 1.99


67

a) În secţiunea axială, cilindrul apare ca un dreptunghi înscris într-un cerc care este un cerc mare al sferei. Fie ABCD acest dreptunghi, în care AA’ = 6 cm este înălţimea cilindrului. Cum diagonala A’B conţine centrul sferei

102' == ABRBA cm. Fie ABOC ⊥ şi { } ∩= OCABE CE înălţimea calotei şi E mijlocul lui AB (raza [OC] fiind perpendiculară pe coarda [AB]). Evident, O fiind mijlocul lui [A’B] [EO] linie mijlocie în

32

'' ==Δ EOAA

EOABA cm. Deci 235 =−=−= CEOEOCCE cm. Deci

πππ 202522 =⋅⋅=⋅= calcal ACERA cm2.

b) În ∆ dreptunghic EOB

4925222 =−=−= BEOEBOBE cm. Cum BE este de fapt raza bazei cilindrului, avem:

πππ 48642'2 =⋅⋅=⋅⋅= ll AAABEA cm2

πππ 9664' 22 =⋅⋅=⋅⋅= VAABEV cm3. 2. Dintr-o piesă uzată în formă de con circular drept cu raza bazei de 2 dm şi înălţimea

22 cm se taie un corp în formă de cub (cu una din feţe aşezate pe baza conului) de volum maxim. Să se arate că în felul acesta se foloseşte mai puţin de un sfert din material.

Fig. 1.100

Fie un con cu vârful S şi baza C(O1, 2) şi cubul ABCDA’B’C’D’ având A, B, C, D pe baza conică şi cu baza A’B’C’D’ aşezată în planul bazei conului (pentru ca volumul să fie maxim). Deoarece (ABC) || (A’B’C’), dacă notăm cu O punctul în care SO1 taie (ABC), OO1 va reprezenta chiar înălţimea cubului, adică latura sa. Notând cu E punctul în care SA

intersectează cercul de bază al conului AO ||EO1 (reprezentând dreptele de intersecţie

între (SAO) şi planele paralele (ABC) şi (A’B’C’)) şi deci EO

OA

SO

SOESOSOA

111~ =ΔΔ .

(1) Evident, O este centrul pătratului ABCD, deoarece înălţimea SO1 a conului trece prin centrul oricărui cerc determinat de o secţiune paralelă cu baza sa.


68

Notând cu l latura cubului, deoarece AC diagonală şi O centrul pătratului

22

21 l

ACOA == .

Pe de altă parte, lOO =1 şi cum −= 11 OOSOSO

122 −= SO . În fine E∈C(O1,2) O1E = 2 dm. Înlocuind în (1) obţinem:

22224222

2222 =⇔=−⇔=−

lll

ll

dm ⇔

( ) 2223

==⇔ cubV dm3.

Volumul conului de rază 2 dm şi înălţime 22 este

228

32222 ππ =⋅⋅=conV şi în concluzie ππ 4

3

328

22 ==con

cub

V

V.

Cum 31103 <>>

ππ , deci

343

43

⋅<

π, adică

41

43 =π

; rezultă

⇔<⇔< concubcon

cub VVV

V

41

41

volumul cubului reprezintă mai puţin de un sfert din

material. 1.6 Comentarii şi răspunsuri la testele de autoevaluare Test 1

Ducem CE ||OA ∆COE este echilateral deci OE = EC = OC.

∆BEC~∆BOA, deci OA

EC

OB

BE = .

Dar OCOBOEOBBE −=−= .

Relaţia devine: OA

OC

OB

OCOB =−

Împărţind egalitatea prin OCOBOA ⋅⋅ , rezultă OAOBOC

111 += .

Această relaţie se poate folosi pentru a construi o nomogramă utilă în rezolvarea practică a unor probleme de fizică (optică, electricitate).


69

Fig. 1.101 Test 2 Fie O punctul de intersecţie al diagonalelor dreptunghiului. Scriem pentru [MO] teorema medianei în triunghiurile MAC, MBD. Avem:

( ) 2222 24 ACMCMAMO −+= , (1)

( ) 2222 24 BDMDMBMO −+= , (2). Din (1), (2) şi AC = BD deducem relaţia dorită. Reciproc, dacă 2222 MDMBMCMA +=+ , din (1) şi (2) rezultă AC = BD şi deci paralelogramul este dreptunghi.

Fig. 1.102 Test 3 Se fac transformările în unitatea de măsură convenabilă. 5 mm = 5 mm; 1,2 cm = 12 mm; 0,13 dm = 13 mm. Se stabileşte natura triunghiului. Se constată că lungimile laturilor verifică relaţia lui Pitagora. Aşadar triunghiul este dreptunghic.

Conform formulei ariei, avem: 302125 =⋅=A mm2.

Test 4 ABCD paralelogram AMSQ, MBNS, SHCP, QSPD paralelograme ∆ACD ≡∆ABC deci echivalente ∆AMS ≡∆AQS deci echivalente (1) ∆SNC ≡∆SPC deci echivalente


70

Avem: SPCAQSACDDQSP AAAA −−=

Şi SNCAMSABCMBSN AAAA −−= (2)

Din (1) şi (2) rezultă relaţia cerută.

Fig. 1.103 Test 5

Fie S aria hexagonului dat şi S’ aria proiecţiei sale; atunci 030cos' ⋅= SS .

Avem 3243832316360sin163

6360sin

246 0

02

=⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅= SS .

Unghiul celor două plane este 300. Dacă S” este suprafaţa noii proiecţii obţinem succesiv:

362332430cos' 0 =⋅== SS cm2; 318

233630cos'" 0 =⋅== SS cm2.

Test 6 Din formula volumului, aflăm aria bazei:

31001031000 =⇔⋅=⇔⋅= bbb AAHPV (cm2)

Însă aria bazei în funcţie de l – latura bazei, este 4

362l⋅ .

Deducem relaţia 31002

332

=⋅ l, de unde

3610=l (cm).

Rezultă: 6200103

6106 =⋅⋅=⋅= HPA bl (cm2);

( )1232003100262002 +=⋅+=+= blt AAA (cm2).

Test 7 Deoarece este vorba de trei muchii care pleacă din acelaşi vârf, lungimile acestora reprezintă chiar dimensiunile paralelipipedului dreptunghic. Aşadar, notând cu a, b, c cele trei dimensiuni, avem:

( )

.300100400

40010400400)(2

2020

2

22

222

22

mAA

AAd

cabcabcba

cbacba

tt

tt

=−=

=+=+

=+++++

=++=++


71

Test 8 Calculăm Ab

ltb AAA −=2

ππ 961322 −=bA

π362 =bA

.231818 2

2 cmRRRA

A

b

b ====

ππ

Exprimăm aria laterală a cilindrului

RGAl π2= adică .2823296 cmGG =⋅⋅= ππ

.28 cmH = Calculăm volumul cilindrului

HAV b ⋅=

Deci 2818 ⋅= πV

π2144=V cm3. Test 9 Calculăm latura bazei: Aplicăm Teorema lui Pitagora

( )

( )cmCO

CO

CO

COVOCV

36

3632363632618312

18312

222

2222222

222

222

=

⋅=−⋅==⋅−⋅⋅=−⋅=

+=

+=

3

3a

2

3a

3

2CM

3

2CO =⋅=⋅=

ABCΔ echilateral BC= 18 cm Calculăm apotema piramidei:

( )090)ˆ( =Δ OmVOB ; aplicăm Teorema lui Pitagora

= CO

2

1OM

( )

2

22

2

2

222222222

3813971

3814

318

3971392733

39273931821

393

39333633318

cmA

AAA

cmA

cmAA

cmA

CMVM

OMVOVM

t

Blt

ABC

VABl

VAB

+=

+=

==

=⋅=⋅=

=⋅⋅=

=

⋅=⋅+⋅=+=+=


72

Fig. 1.104

Test 10 Fie VABC un tetraedru regulat şi [VA], [VB], [VC] cele trei muchii care pleacă din acelaşi vârf V. Notând cu A’, B’, C’ mijloacele acestor muchii, rezultă că [A’B’], [B’C’], [C’A’] sunt linii mijlocii în triunghiurile echilaterale congruente VAB, VBC, VCA şi, ca urmare ,

2'''''' a

ACCBBA === şi deci secţiunea este un triunghi echilateral de latură 2a

.

În concluzie, aria secţiunii este:

1633

4413''

41

43'' 22

'''2

2

'''aa

ABABA

A CBACBA =⋅⋅=⋅== .

Fig. 1.105

Test 11 Fie ABCD secţiunea axială cu AB = 2r, CD = 2R şi AD = BC = G (secţiunea axială fiind trapez isoscel). Din ipoteză, obţinem: AB+CD = AD+BC (cercul din figură este cel înscris în trapez). Deci

GrRGRr =+⇔=+ 222 . (1) Din ipoteză 402)(24022 =++⇔=++ GRrRGr şi înlocuind cu (1),

obţinem 10404 =⇔= GG cm. Pe de altă parte, este evident că 84221 =⋅=OO cm (înălţimea trunchiului de con fiind înălţime şi în secţiunea axială); cum în orice trunchi de con circular drept

( ) ( )rRrR

HGrRrRHG

+=⇔=−⇔⇔−=−⇔−+=

66

222222

(2)


73

Din (1) şi (2), cum G = 10 avem: 2106 =⇔=++ rrr cm şi deci R = 8 cm,

ππ 224)(3

22 =++= VRrrRH

V cm3.

1.7 Lucrare de verificare pentru studenţi

Indicaţii de redactare: Problemele se vor rezolva în ordinea din textul enunţului. Rezolvările se vor expedia pe adresa tutorelui. 1 punct din oficiu 1p 1. De câte ori creşte volumul unui cub dacă i se măreşte latura de trei ori. 1p 2. Fie ABCA’B’C’ o prismă patrulateră dreaptă cu baza ∆ABC dreptunghic în A, cu AB = 15 cm, AC ‚ 20 cm şi AA’ ‚ 30 cm. Fie M mijlocul lui [CC’]. Să se determine forma şi perimetrul secţiunii prismei cu planul determinat de punctele A’, M, B. 1p 3. Fie cubul A’B’C’D’ABCD. Care este aria corpului rămas după înlăturarea

tetraedrului ABCB’, ştiind că înălţimea din B a tetraedrului este 34 m ?

1p 4. Fie SABCD o piramidă regulată cu baza pătratul ABCD de latură 23 şi muchie laterală 5. a) Să se afle aria laterală şi volumul piramidei. b) Dacă notăm cu O centrul pătratului şi considerăm un punct M pe muchia [SB], să se determine cosinusul unghiului format de OM cu planul pătratului, astfel încât aria triunghiului ACM să fie minima. 1p 5. Se dă o piramidă regulată cu baza un pătrat ABCD şi lungimea înălţimii cu 8 cm. La ce distanţă de planul bazei trebuie dus un plan paralel cu planul bazei astfel încât raportul între volumul trunchiului de piramidă obţinut şi volumul piramidei VABCD să fie egal

cu 87

?

1p 6. Un con circular drept are diametrul bazei 12 cm şi înălţimea egală cu 2/3 din diametru. La ce distanţă de vârf trebuie făcută o secţiune printr-un plan paralel cu baza astfel încât lungimea cercului de secţiune să fie 9π ? 1p 7. O dreaptă perpendiculară pe ipotenuza [BC] a unui triunghi dreptunghic ABC intersectează catetele AB şi AC în S, respectiv T. a) Să se arate că CS ⊥ BT. b) Dacă AB = 5 cm şi AC = 12 cm, să se afle volumul corpului obţinut prin rotirea în jurul ipotenuzei BC.


74

1p 8. Să se afle volumul unui cilindru circular drept înscris într-o prismă triunghiulară

regulată dreaptă care are latura bazei de 34 dm şi înălţimea de 10 dm. 1p 9. Un cilindru are secţiunea axială un pătrat cu latura de 10 cm. Să se calculeze aria laterală, aria totală şi volumul cilindrului. 1.8 Bibliografie

1. Şt. Botez, Probleme de geometrie, Editura Tehnică, Bucureşti, 1978. 2. S. Ianus şi colaboratori, Probleme de geometrie şi trigonometrie, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983.

Rezolvarea problemelor de geometrie cu ajutorul coordonatelor şi/sau vectorilor

75


REZOLVAREA PROBLEMELOR DE GEOMETRIE CU AJUTORUL COORDONATELOR ŞI/SAU VECTORILOR CUPRINS Obiectivele Unităţii de învăţare 2 …… ......................................……………………… 75 2.1. Noţiuni fundamentale de geometrie analitică …… ...................................... …... 76 2.2. Metoda geometriei analitice – formule fundamentale ……………….. ............... . 89 2.3. Locuri geometrice ……………………........................................ ……………...… 95 2.4. Noţiuni fundamentale de geometrie vectorială ……. ..................................... .. 102 2.5. Metoda geometrie vectoriale …………………… ..................................... ..…... 114 2.6. Comentarii şi răspunsuri la testele de evaluare – Unitatea de învăţare 2 ....... 119 2.7. Lucrare de verificare pentru studenţi – Unitatea de învăţare 2 ....................... 123 2.8. Bibliografie – Unitatea de învăţare 2 …………… ...................................... …….124

Obiectivele Unităţii de învăţare 2 După ce veţi parcurge această unitate de învăţare, veţi avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil să faceţi următoarele operaţii matematice: • Determinarea unui reper cartezian optim pentru rezolvarea problemei. • Identificarea datelor esenţiale pentru rezolvarea problemei în reperul cartezian ales

şi găsirea unor noi date intermediare, necesare rezolvării. • Folosirea formulelor geometriei analitice în rezolvarea problemelor. • Analiza rezultatelor numerice găsite şi exprimarea semnificaţiei lor geometrice. • Delimitarea precisă a locurilor geometrice găsite. • Trecerea la probleme similare mai generale, rezolvate prin analogie. • Încercarea de a transpune problema plană într-o problemă similară în spaţiu. • Folosirea coordonatelor pentru a rezolva problema din teren. Este esenţială

alegerea reperului cartezian.


76

2.1. Noţiuni fundamentale de geometrie analitică

Geometrie analitică în plan şi spaţiu Proprietăţile figurilor geometrice pot fi cercetate şi cu ajutorul calculului algebric raportând figura la un sistem de referinţă şi făcând să corespundă unui punct un număr real, două sau trei numere reale, după cum ne aflăm pe dreaptă, în plan, sau în spaţiu. În felul acesta, proprietăţile geometrice se traduc prin ecuaţii, iar rezolvarea problemelor se face folosind metode algebrice. Această ramură a matematicii se numeşte geometrie analitică şi este o adevărată sinteză între număr şi punct, căci ea cuprinde şi punctul de vedere geometric, care se referă în special la formele figurilor şi punctul de vedere algebric care distinge în primul rând măsurile mărimilor geometrice. 2.1.1 Reper pe dreaptă

La baza geometriei analitice stă posibilitatea ataşării fiecărui punct al dreptei a unui număr şi numai unul. Pentru a localiza un punct pe o dreaptă este suficient un singur număr. În plan sau în spaţiu sunt necesare două, respectiv trei numere pentru a localiza un punct. Aceste numere ataşate punctului se numesc coordonate.

Definiţie 1: Se numeşte axă o dreaptă pe care s-a ales un sens pozitiv, o origine (un punct) de la care se măsoară distanţele şi o unitate de măsură.

Fig. 2.1

Sensul pozitiv este indicat de săgeată. Sensul contrar celui pozitiv este sensul negativ. Poziţia unui punct A pe axă este unic determinată dacă se cunoaşte mărimea segmentului orientat OA (abscisa punctului A). Reciproc, oricărui punct A îi corespunde o abscisă bine determinată. Segmentele se vor considera orientate (de fapt vectori), pentru a le putea fixa poziţia pe axă cu sens cu tot, adică se va socoti .BAAB −= Punctul de plecare al segmentului este originea sa, iar punctul unde se termină este extremitatea sa. Se obţine atât lungimea cât şi orientarea segmentului făcând diferenţa dintre abscisa extremităţii şi abscisa originii sale. Mărimea segmentului orientat o vom numi măsura algebrică a segmentului, care este un număr real. Segmentele orientate le vom nota cu bară ( )AB iar pe cele neorientate fără bară (AB).


77

Dacă luăm pe axă două puncte oarecare, ( )11 xA şi ( )22 xA , vom avea relaţia geometrică

1221 OAOAAA −= sau 1221 XXAA −= .

Distanţa dintre punctele A1 şi A2 este 1221 XXAA −= .

Probleme rezolvate

1. Să se determine punctul M pe axa Ox, astfel încât fiind date punctele A, B, C să avem relaţia:

0=++ MCMBMA . Notăm punctele cu A(x1), B(x2), C(x3) şi M(x). Relaţia transpusă este

( ) ( ) ( ) 0321 =−+−+− xxxxxx de unde 3

321 xxxx

++= .

2. Se dă punctul A(-4) şi segmentul BC =6, al cărui mijloc îl notăm cu M. Cunoscând AM =6, să se determine abscisele punctelor B, C. Fie B(b), C(c), M(m). Avem din enunţ m–(-6)=6 deci m=2 şi c–b=6.

Însă M este mijlocul lui BC , prin urmare 22

=+ cb. Din sistemul c–b=6, c+b=4 se deduce

c=5, b=1. 3. Abscisa punctului care împarte un segment într-un raport dat. Considerăm segmentul AB definit de punctele A(x1), B(x2) şi punctul M(x) care împarte segmentul dat în raportul

kMB

MA = .

Se deduce ( ) ( )xxkxxMBkMA −=−⇔⋅= 21 , de unde k

kxxx

−−

=1

21 abscisa punctului M.


78


a) Dacă M este mijlocul segmentului atunci care este abscisa acestui punct? b) Se dau punctele A(a), B(b), apoi se împarte segmentul AB în trei părţi egale. Să se afle abscisele punctelor de diviziune.




79

2.1.2 Reper cartezian în plan

Pentru a stabili poziţia unui punct în plan sunt necesare două drepte, deoarece planul are două dimensiuni. Se numesc axe ale sistemului de coordonate, axele Ox şi Oy, respectiv axa absciselor şi axa ordonatelor. Într-un sistem de coordonate carteziene axele sunt perpendiculare, iar unităţile de măsură egale. Planul este împărţit în patru cadrane. Paralelele duse la axe din punctul P intersectează axa Ox şi Oy. Coordonatele x şi y ale punctelor de intersecţie de pe axe sunt coordonatele punctului P: P(x, y). Originea O are coordonate: O(o, o).

Fig. 2.2

2.1.3 Distanţa dintre două puncte în plan

Mărimea distanţei dintre două puncte se măsoară cu rigla; în geometria analitică se determină cu uşurinţă în funcţie de coordonate. Distanţa dintre două puncte ( )111 yxP şi ( )222 yxP în sistemul de coordonate rectangulare xOy se calculează aplicând Teorema lui Pitagora.

Fig. 2.4

( ) ( )212

21221 yyxxPP −+−=

Exemple 1. Fiind date ( )8;1P1 şi ( )2;4P2 avem:

( ) ( ) ( ) 71,645638214 222221 ≈=−+=−+−=PP .


80

2. Fiind date punctele: ( )2,3P3 −− şi ( )1,6P4 −− , distanţa

( ) ( ) 16,3102136 2243 ≈=+−++−=PP .

3. Care este diferenţa de drum dintre 1P şi 4P în linie dreaptă sau trecând şi prin 2P şi

3P ?

40,1113041 ≈=PP , 93,1716,306,871,6106545433221 =++≈++=++ PPPPPP Deci

diferenţa va fi: 17,93 – 11,40 = 6,53. Aplicaţie Punctul care împarte un segment printr-un raport dat.

Fig. 2.5

Considerăm segmentul definit de punctele ( ) ( )2211 y,xB;y,xA şi punctul M care îl împarte în

raportul KMB

MA = , (K<0 când ][ABM ∈ şi k> 0 pentru M exterior segmentului).

Ne propunem să determinăm coordonatele (x, y) ale lui M. Paralelele duse prin A, M, B la Oy determină pe axa Ox punctele 111 B,M,A iar paralelele duse prin aceleaşi puncte la O la

Ox determină pe Oy punctele 222 B,M,A .

Test de autoevaluare 2 Se dau punctele A(8,-2) şi B(4,6). Să se determine pe axa Ox punctul M astfel încât MA=MB.




81

Raportul K se păstrează pe fiecare axă; astfel putem scrie KBM

AM

11

11 = ; KBM

AM

22

22 = .

Coordonatele punctului M interior segmentului: k

kyyy

k

kxxx

−−

=−−

=1

;1

2121 .

Coordonatele punctului N (conjugatul armonic al lui M faţă de A şi B), exterior

segmentului: k

kyyy

k

kxxx

−+

=−+

=1

;1

2121 .

Probleme rezolvate

1. Să se afle coordonatele punctului [ ]ABM∈ care împarte segmentul [ ]AB în raportul 52−

,

unde A(3,-2), B(7,3).

74

521

3522

1

729

521

7523

1

−=+

⋅+−=

−−

=

=+

⋅+=

−−

=

k

kyyy

k

kxxx

BAM

BAM

Deci )74;

729(M .

2. Fie un triunghi dat prin vârfurile sale ( ) ( )2211 y,xB,y,xA , ( ).y,xC 33

Fig. 2.6

Să găsim coordonatele punctului de intersecţie a medianelor. Notăm cu ( )y,xA ′′′ mijlocul laturii BC (k = -1):

2xx

x 21 +=′ ; 2

yyy 32 +=′ .


82

Se ştie că: 211 −=

GA

GA; astfel coordonatele (x ,y) ale lui G sunt:

3xxx

21

1

x21

xx 321

1 ++=+

+′= ;

3

yyy

21

1

y21

yy 321

1 ++=+

+′= .

2.1.4 Ecuaţia dreptei în plan

Fie ( )111 , yxP şi ( )222 , yxP două puncte în plan.

Fig. 2.7

Ecuaţia dreptei determinată de două puncte )( 112

121 xx

xx

yyyy −⋅

−−

=− unde valoarea

raportului 12

12

xxyy

m−−= se numeşte panta dreptei (direcţia). Astfel ecuaţia dreptei ce trece

printr-un punct de coordonate x1 şi y1 şi are panta dată m devine: ( )11 xxmyy −=− . Prelucrând ultima ecuaţie, o mai putem scrie: nmxy −= , unde: m – panta; n – ordonata la origine. Cazurile particulare sunt cele în care 0yy 12 =− şi 0xx 12 =−

În primul caz 0=ϕ sau 0180=ϕ şi dreapta este paralelă cu axa Ox şi are ecuaţia

1yy = : aceasta înseamnă că pentru orice valoare a abscisei x a punctului P de pe dreaptă, ordonata va fi constantă şi egală cu y. Dreapta este paralelă cu axa Ox.

În cazul al doilea 090=ϕ sau 0270 . Ecuaţia dreptei va fi 1xx = şi dreapta este paralelă

cu axa Oy. Ecuaţiile axelor Ox şi Oy vor fi y=0, respectiv x=0 .


83

Probleme rezolvate

1. Calculul direcţiei (pantei) dreptei determinate de 1P şi 2P , unde: ( )2,1P1 −− şi ( )8,0P2 .

( ) ( )

101

10

101

28sin

101

1

2810

10cos

22

=+=ϕ

=+++

+=ϕ

10tg =ϕ , astfel coeficientul unghiular al dreptei este 03,84=ϕ . 2. Să se scrie ecuaţia dreptei care trece prin punctul A(1,1) şi face 0120 cu axa Ox.

3120tgm 0 −== , deci ecuaţia dreptei este: ( )1x31y −−=− sau ( ) 031yx3 =+−+ . 3. Să se determine R∈α astfel încât dreapta determinată de punctele A(5,3 α ), B(1,1) să fie paralelă cu dreapta determinată de punctele C(-1,-2), D(3, )2 α−α .

Dreptele AB şi CD sunt paralele CDAB mm =⇔ (coeficienţii unghiulari ai dreptelor sunt

egali).

42

132

413

1513

22 +−=+

+−=

−=−−=

αααα

αα

CD

AB

m

m

În consecinţă 14

24

13 2

=⇔+−=− αααα sau 3=α .

4. Să se determine λ astfel încât punctele A(-1,2), B(2,-3), C(4, λ ) să fie coliniare.

Scriem ecuaţia dreptei AB: 0135121

232 =−+⇔

++=

−−−⇔

−−=

−−

yxxy

xx

xx

yy

yy

AB

A

AB

A .

Impunem ca punctul C să aparţină dreptei AB. Coordonatele puntului C verifică ecuaţia dreptei:

31901320 −=⇔=−+ λλ .


84

Ecuaţia dreptei prin tăieturi Dreapta poate fi determinată de punctele ei de intersecţie cu axele de coordonate. Fie

( )0,aP1 şi ( )b,0P2 aceste puncte de intersecţie. Atunci ecuaţia dreptei devine: 1b

y

a

x =+ .

Probleme rezolvate

1. Fie punctele A(3,0) şi B(0,5). a) Să se scrie ecuaţia dreptei determinate de cele două puncte. b) Să se scrie ecuaţia dreptei simetrică celei precedente faţă de Ox.

Test de autoevaluare 3 Să se scrie ecuaţia dreptei determinată de punctul A(-2,3) şi

panta 23

m = .




85

Fig. 2.8

a) Ecuaţia este 0153

=−+ yx sau 5x+3y-15=0.

b) Dreapta simetrică faţă de Ox va trece prin punctele A(3,0) şi B’(0,-5), în consecinţă ecuaţia va fi 5x-3y-15=0.

Test de autoevaluare 4 Fie punctele A(4,0) şi B(0,-2). a) Să se scrie ecuaţia dreptei ce trece prin cele două puncte. b) Să se scrie ecuaţia dreptei simetrică celei precedente faţă de Oy.




86

Ecuaţia normală a dreptei

Fig. 2.9

n – normala (dreapta perpendiculară pe d astfel încât nO ∈ ); p – distanţa de la O la d; ϕ – unghiul format de axa Ox cu normala.

Ecuaţia normală a dreptei: 0psinycosx =−ϕ+ϕ . Ecuaţia generală a dreptei Într-un sistem de coordonate carteziene rectangulare, orice dreaptă este definită de ecuaţia de gradul întâi Ax+By+C=0 în care A, B, C sunt numere reale, nu toate nule. Reciproc, toate punctele ale căror coordonate x, y verifică ecuaţia sub această formă se află pe o aceeaşi dreaptă. Probleme rezolvate

1. Se consideră dreptele: d1 : x – 2y + 6 = 0, d2 : 9x + 7y + 4 = 0, d3 = 11x + 3y – 34 = 0 care sunt suporturile laturilor [AB], [BC], respectiv [AC] ale triunghiului ABC. a) Să se determine coordonatele vârfurilor triunghiului ABC; b) Să se scrie ecuaţiile paralelelor la laturi prin vârfurile opuse.

a) { } )4,2(034311

062A

yx

yxACABA

=−+=+−

∩=

{ } )2,2(0479

062−

=++=+−

∩= Byx

yxBCABB

{ } )7,5(0479

034311−

=++=−+

∩= Cyx

yxBCACC


87

b) 21=ABm ;

79−=BCm ;

311−=ACm .

Notând d1 – paralela prin C la AB, d2 – paralela prin A la BC şi cu d3 – paralela prin B la AC, obţinem:

( ) ( );0192

5217:1

=−−⇔

⇔−=+⇔−=−

yx

xyxxmyyd CABC

( ) ( );04679

2794:2

=−+⇔

⇔−−=−⇔−=−

yx

xyxxmyyd ABCA

( ) ( ).016311

23112:3

=++⇔

⇔+−=−⇔−=−

yx

xyxxmyyd BACB

Test de autoevaluare 5 Se consideră dreptele: d1: x – 2y + 6 = 0, d2: 9x + 7y + 4 = 0, d3: 11x + 3y – 34 = 0 care sunt suporturile laturilor [AB], [BC], respectiv [AC] ale triunghiului ABC. Să se scrie ecuaţiile medianelor triunghiului ABC.




88

2.1.5 Distanţa de la un punct la o dreaptă Considerăm dreapta sub forma generală D: 0CByAx =++ . Distanţa d de la un punct

oarecare ( )000 y,xM la dreapta D este dată de formula: 22

00

BA

CByAxd

+±++= ; în faţa

radicalului se va lua semnul în aşa fel încât termenul liber 22 BA

C

+± să fie negativ dacă

0M se află în semiplanul opus originii faţă de D şi pozitiv dacă 0M se află în acelaşi semiplan cu originea faţă de D. Se impune o precizare: există probleme în care interesează numai mărimea distanţei; în

acest caz nu interesează semnul distanţei şi se scrie:22

00

BA

CByAxd

+

++= .

Probleme rezolvate

1. Să se calculeze distanţa dintre dreptele paralele d1: 3x + 4y – 6 = 0 şi d2: 3x + 4y + 15 = 0. Luăm un punct oarecare pe dreapta d1. Fie acesta A(2,0). Calculăm distanţa de la A la d2:

( ) ( )521,

521

169156

, 212 ==+

+= ddddAd .

2.1.6 Ecuaţia generală a planului

Într-un sistem de coordonate rectangulare, un plan este definit de o ecuaţie de gradul întâi x, y şi z, adică de o ecuaţie de forma: ax+by+cz+d=0, unde cel puţin unul din coeficienţii a, b, c este diferit de zero. Toate punctele ale căror coordonate x, y, z, verifică ecuaţia sub această formă, se află în acelaşi plan şi fiecărui plan îi putem ataşa o astfel de ecuaţie. 2.1.6.1 Distanţa de la un punct la un plan Fie ( )0000 z,y,xM un punct oarecare în spaţiu şi un plan E. Distanţa de la 0M la planul E

este: ( )222

000,cba

dczbyaxEAd

++

+++= .


89

2.2 Metoda geometriei analitice

2.2.1 Formule fundamentale în plan • Fie )y,x(M 111 , )y,x(M 222 puncte în plan. Distanţa între punctele M1 şi M2 este dată de

formula: ( ) ( )212

21221 yyxxMM −+−= .

• Panta dreptei M1M2 (înclinarea dreptei faţă de Ox):

12

12

xxyy

tg−−=α .

• Punctul M(x, y) care împarte segmentul AB în raportul k (A(x1, y1), B(x2, y2)) are coordonatele:

k1kxx

x 21

−−= ,

k1kyy

y 21

−−= , unde k<0 dacă M punct interior segmentului şi K>0 dacă M

exterior segmentului. • Fie );y,x(M 111 )y,x(M 222 ; )y,x(M 333 . Condiţia ca trei puncte să fie coliniare este:

13

12

13

12

yyyy

xxxx

−−=

−−

.

• Distanţa de la un punct la o dreaptă este dată de formula 22

00

BA

CByAxd

+

++= .

• Fie două drepte date prin ecuaţiile lor generale: D: Ax+By+C=0 D’: A’x+B’y+C’=0.

Dacă 2

1

2

1

B

B

A

A= , atunci dreptele sunt paralele.

2

1

2

1

2

1

C

C

B

B

A

A== , atunci dreptele coincid.

02121 =+ BBAA , atunci dreptele sunt perpendiculare.

• Unghiul θ format de două drepte congruente este dat de relaţia mm

mmtg

′+−′

=1

θ .

• Fie două drepte: D: y=mx+n; D’: y=m’x+n’; θ : unghiul dintre drepte.

Din relaţia: ′+

−′=θ

mm1mm

tg condiţia ca două drepte să fie perpendiculare: m1

m −=′ .

• Condiţia ca trei drepte să fie concurente este ca ecuaţia uneia dintre ele să fie o combinaţie liniară a celorlalte două. • Dacă o dreaptă taie axele de coordonate în punctele A(a,0) şi B(0,b) ecuaţia ei

este 01 =−+b

y

a

x

• Fie triunghiul ABC cu vârfurile A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), atunci aria triunghiului este dată de formula:


90

Δ=21

A , unde:

( ) ( ) ( )213312321

33

22

11

111

yyxyyxyyx

yx

yx

yx

−+−−−==Δ .

Probleme rezolvate

1. Se dau punctele A(2,1); B(-2,3) şi dreapta d: x-2y+7=0. Să se determine dC ∈ a.î. triunghiul ABC să fie isoscel cu baza [ ]AB . Un punct generic pe d este C(2β+7, β). Condiţia CA = CB revine la (2β-9)2 + (β-1)2 = (2β-5)2 + (β-3)2 şi conduce la β=4. Rezultă C(1,4). Observaţie: Punctul C se putea obţine intersectând d cu mediatoarea lui AB. 2. Se dau dreptele x+y+1 = 0 şi 3x+y–6. Calculaţi unghiul θ al dreptelor:

( )( )( ) 2

1311

31 =−−+

−−−=θtg .

Din tabelele de valori trigonometrice rezultă θ = 26033’54”.

Test de autoevaluare 6 Să se afle unghiul ascuţit al dreptelor x–5y+8=0 şi 3x–2y–12=0.




91

3. Să se determine măsurile unghiurilor triunghiului determinat de dreptele: d1: x+2y-5=0 d2: x-y+1=0 d3: 2x+y-7=0 Dreptele sunt două câte două secante dar neconcurente; pantele lor sunt:

2,1,21

321 −==−= mmm .

( )

( )

( ) .32112

1,

;43

11

221

1,

;3

211

211

1,

23

2332

31

3131

21

1221

=−

−−=+

−=

=+

+−=

+−

=

=−

+=

+−

=

mm

mmddtg

mm

mmddtg

mm

mmddtg

4. Să se scrie ecuaţiile medianelor, mediatoarelor şi înălţimilor triunghiului de vârfuri A(1,4), B(3,-1), C(8,2). Fie A’, B’, C’ – mijloacele laturilor [ ]BC , [ ]AC şi respectiv [ ]AB . Avem:

211

283

2' =+=+

= CBA

xxx ;

21

221

2' =+−=+

= CBA

yyy

21,

211'A ;

29

281

2' =+=+

= CAB

xxx ; 3

224

2' =+=+

= CAB

yyy

3,

29'B ;

22

312' =+=+

= BAC

xxx ;

23

214

2' =−=+

= BAC

yyy

23,2'C .

97

2111

214

'

'' −=

−

−=

−−

=AA

AAAA xx

yym ; ( )1

974:' −−=− xyAA

943

97:' +−= xyAA ;

38

293

31

'

'' =

−

−−=−−

=BB

BBBB xx

yym ; ( )3

381:' −=+ xyBB 9

38:' −= xyBB ;

121

28232

'

'' =

−

−=

−−

=CC

CCCC xx

yym ; ( )8

1212:' −=− xyCC

34

121:' += xyCC .

Scriem acum ecuaţiile medianelor ∆ABC.

- mediatoarea laturii BC: ( )''1

ABC

A xxm

yy −−=− ;

329

35

211

2183

21 +−=

−

−−−−=− xyxy .


92

- mediatoarea laturii AC: ( )''1

BAC

B xxm

yy −−=− ;

( )451

272

24813 −=−

−−−=− xyxy .

- mediatoarea laturii AB: ( )''1

CAB

C xxm

yy −−=− ;

( )107

522

1431

23 +=−

+−−=− xyxy .

În acelaşi mod se determină şi ecuaţiile înălţimilor ∆ABC.

317

35: +−= xyhA ;

29

27: −= xyhB ;

56

52: −= xyhC .

5. Să se calculeze distanţa dintre dreptele paralele: d1: 3x+4y-6=0; d2: 3x+4y+15=0. Luăm un punct oarecare pe dreapta d1. Fie acesta A(2, 0). Calculăm distanţa de la A la d2:

521),(

521

169156

),( 212 ==+

+= ddddAd .

6. Să se găsească aria patrulaterului ABCD având vârfurile: A(3,1), B(1,4), C(-2,0), D(2,-3).

Fig. 2.10

Notăm cu σ aria oricărei figuri geometrice. ABCD este un patrulater convex.

ADCABCABCD σσσ +=

121 Δ=ABCσ , unde

2171718212

102141113

1 ==−+−=−

=Δ ABCσ .

221 Δ=ADCσ unde 192629

102132113

2 −=−−−−=−

−=Δ .

.2

19=ADCσ Avem 182

362

192

17 ==+=ABCDσ .


93

2.2.2 Reper cartezian în spaţiu

Pentru determinarea sistemului cartezian, alegem un punct în spaţiu drept origine. Pentru acesta se construiesc trei axe perpendiculare două câte două între ele. Ele se numesc axe de coordonate şi în general se notează cu Ox, Oy, Oz, denumirile lor cele mai des întâlnite fiind axa absciselor, axa ordonatelor şi axa cotelor. Ele formează un triedru. Feţele triedrului sunt planele de coordonate xOy, yOz, xOz. Cele trei plane de coordonate împart spaţiul în opt regiuni. Fiind dat un sistem de coordonate cartezian, oricărui punct din spaţiu îi putem asocia un triplet de numere şi invers, oricărui triplet de numere un punct. Cele trei numere pe care le asociem punctului se numesc coordonatele carteziene ale punctului. Pentru a stabili coordonatele unui punct M, ducem perpendiculare din punct pe cele trei axe şi măsurăm lungimile orientate ale proiecţiilor. Valorile obţinute sunt coordonatele x, y, z ale lui M.

Fig. 2.3

Test de autoevaluare 7 Fiind date punctele A(3,2); B(0,4); C(-2,0); D(2,-2), să se găsească pe dreapta d: y=x-1 un punct M astfel încât ariile triunghiurile MAB şi MCD să fie egale




94

2.2.3 Distanţa dintre două puncte în spaţiu

În sistemul de coordonate carteziene, lungimea unui segment se determină cu ajutorul teoremei lui Pitagora. Lungimea unui segment este distanţa dintre punctele care reprezintă extremităţile acestuia. Fie ( )1111 z,y,xP ; ( )2222 z,y,xP .

( ) ( ) ( )212

212

21221 zzyyxxPP −+−+−= reprezintă lungimea segmentului 21PP .

2.2.4 Formule fundamentale în spaţiu

• Distanţa dintre două puncte este dată de formula

( ) ( ) ( )212

212

21221 zzyyxxPP −+−+−= .

• Distanţa de la un punct A la un plan P, unde A(x0,y0,z0) şi P: ax+by+cy+d=0:

222

000),(cba

dczbyxaPAd

++

+++= .

• Ecuaţia dreptei determinată de două puncte M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2) este

12

1

12

1

12

1

zz

zz

yy

yy

xx

xx

−−

=−−

=−−

.

• Se dau planele: P1: a1x+b1y+c1z+d1=0; P2: a2x+b2y+c2z+d2=0. Planele sunt perpendiculare 0ccbbaa 212121 =++⇔ .

Planele sunt paralele 2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a==⇔ (dacă numitorul unei fracţii este zero, atunci se

consideră că este zero şi numărătorul acelei fracţii).

Planele coincid 2

1

2

1

2

1

2

1

dd

cc

bb

aa ===⇔ .

• Dacă un plan taie axele de coordonate în punctele A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) ecuaţia

ei este 01 =−++c

z

b

y

a

x.

Probleme rezolvate

1. Fie punctele în spaţiu M1(1,-2,3), M2(-3,5,-2). Să se scrie ecuaţia dreptei ce trece prin cele două puncte. Conform formulei ecuaţiei dreptei ce trece prin două puncte avem:


95

322

252

131

−−+=

++=

−−− zyx

, astfel 52

72

41

−+=+=

−− zyx

.

2. Să se scrie ecuaţia planului ce trece prin punctele A(3,-1,2), B(4,-1,-1), C(2,0,2). Să se calculeze distanţa de la punctul P(1,-1,3). Ecuaţia planului α este dată de 0833 =−++ zyx , astfel conform formulei distanţei avem:

( ) ( )115

911

8311313, =

++

−⋅+−+⋅=αPd .

3. Care dintre perechile de ecuaţie definesc plane paralele: 1) 01523 =−+− zyx , 051046 =++− zyx ;

2) 334 =++ zx , 0182 =+− zx . Ecuaţiile a două plane

0:)( 11111 =+++ dzcybxaP , 0:)( 22222 =+++ dzcybxaP , descriu plane paralele dacă coeficienţii necunoscutelor x, y, z sunt proporţionali, adică

2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a== . Această condiţie este verificată doar de ecuaţiile din1),

105

42

63 =

−−= .

4. Care din perechile de ecuaţii definesc plane perpendiculare: 1) 0532 =−+− zyx , 02643 =++− zyx ;

2) 02 =−+ yx , 042 =++ zx . Ecuaţiile planelor

0:)( 11111 =+++ dzcybxaP , 0:)( 22222 =+++ dzcybxaP , definesc plane perpendiculare dacă şi numai dacă 0212121 =++ ccbbaa . Această condiţie se verifică doar de ecuaţiile din 1), 0614332 =⋅+⋅−⋅ . 2.3 Locuri geometrice

Definiţie: Se numeşte loc geometric mulţimea punctelor care verifică aceeaşi proprietate. Exemplu 1: Toate punctele din plan egal depărtate de un punct fix se găsesc pe un cerc care reprezintă locul geometric. Exemplu 2: Punctele egal depărtate de o dreaptă sunt situate pe două drepte paralele cu dreapta dată, de o parte şi de alta a ei, deci locul geometric este alcătuit din două drepte.


96

2.3.1 Locuri geometrice rezultate din relaţii geometrice

Deoarece în geometria analitică mulţimile de puncte se definesc prin ecuaţii algebrice sau sisteme de ecuaţii algebrice este importantă alegerea reperului cartezian astfel încât calculele pe care trebuie să le efectuăm să fie cât mai simple. A găsi locul geometric al punctului M(x, y) înseamnă a găsi relaţia de legătură între coordonatele x şi y, adică ecuaţia locului. În cazul în care M(x, y) satisface o anumită relaţie geometrică transformăm relaţia într-o relaţie analitică şi au găsit legătura între x şi y. Astfel locul geometric al unui punct care satisface o relaţie geometrică se găseşte transformând relaţia geometrică în relaţie analitică. Probleme rezolvate

1. Se cere locul geometric al punctelor egal depărtate de dreptele paralele Ax+By+C=0 şi Ax+By+C’=0. Fie M(x0,y0) (punct curent al locului geometric) punctul care are distanţele egale faţă de

cele două drepte, adică: 22

00

22

00

BA

'CByAx

BA

CByAx

+±++=

+±++

.

Semnele din faţa radicalilor se pot combina în patru feluri care conduc însă la următoarele două ecuaţii: ( )'CByAxCByAx 0000 ++±=++ . Dacă se ia semnul (+) înaintea parantezei se ajunge la o imposibilitate (deoarece 'CC ≠ ).

Dacă se ia (–) se găseşte 02

'CCByAx 00 =+++ . Deoarece 00 y,x sunt coordonate

curente, se poate şterge acum indicele şi ecuaţia locului este dreapta: 02

'CCByAx =+++ ,

echidistantă faţă de dreptele date, deoarece ordonata la origine este media aritmetică a ordonatelor la origine a dreptelor date. 2. Fiind date două puncte fixe A, B să se afle locul geometric al punctului M care satisface relaţia .)const(kMBMA 222 =+ . Se ia în mod firesc AB ca axă Ox. Axa Oy va fi mediatoarea segmentului AB. Astfel, dacă luăm două puncte M, M’ simetrice faţă de mediatoare, avem evident 22222 kB'MA'MMBMA =+=+ şi mediatoarea este axă de simetrie a locului.


97

Fig. 2.11

Coordonatele punctelor sunt deci: A(a, 0), B(-a, 0), M(x, y). Relaţia geometrică, scrisă analitic devine:

( ) ( ) 22222 kyaxyax =++++− sau 22

22 a2k

yx −=+ .

Locul este un cerc real dacă 0a2k 2

2

>− . Pentru k= 2a =AB, locul este cercul cu diametrul

AB.

Dacă un punct M aparţine locului, atunci raza cercului este .constyxOM 22 =+= .

Se deduce de aici: Dacă o latură a unui triunghi este fixă, iar suma pătratelor celorlalte două constantă, vârful mobil al triunghiului descrie cercul cu centrul în mijlocul laturii fixe, având mediana ca rază. 2.3.2 Locuri geometrice rezultate din intersecţii

În cazul locurilor rezultate din intersecţii, poziţia punctului M depinde de un parametru λ . Metoda de a determina locul geometric în acest caz este de a-l elimina pe λ . Astfel se obţine o relaţie de forma F(x, y)=0 care este ecuaţia carteziană a locului geometric căutat. Probleme rezolvate

1. Se consideră un unghi drept şi un punct fix A. O dreaptă de direcţie constantă taie laturile unghiului, respectiv în M şi N. Se cere locul geometric al intersecţiei perpendicularei din M pe AN, cu perpendiculara din N pe AM. Laturile unghiului drept se aleg în mod firesc ca axe.


98

Fig. 2.12 Punctul A are coordonate oarecare: ( )00 y,xA . Dreapta de direcţie constantă o scriem sub forma y=mx+λ (λ este parametrul problemei), unde m=const. dă direcţia dreptei. Punctele OxM ∈ şi OyN ∈ sunt tăieturile dreptei, iar coordonatele lor se obţin făcând

succesiv y=0 şi x=0. Se găseşte

λ− 0,

mM şi N(0, λ ). Pentru dreptele AN şi AM ne

trebuie numai coeficienţii unghiulari. Ele fiind determinate prin două puncte

avem:

mx

ym;

xy

m

0

0AM

0

0AN λ+

=λ−= .

Rezultă ecuaţiile perpendicularelor din M şi N respectiv pe AN şi AM:

xy

mx

y;m

xy

xy

0

0

0

0

λ+−=λ−

λ+

λ−−= , care se mai pot scrie sub forma:

−λ=+

mx

yyyxx 000 şi

−λ=+

mx

yyyxx 000 .

Locul geometric al punctului J de intersecţie a celor două drepte se capătă prin eliminarea parametrului λ ; aceasta se obţine scăzând ecuaţiile şi împărţind cu 0≠λ .

Ecuaţia locului geometric este: ( )00 xxm1

yy −−=− .

Se observă că locul geometric este perpendiculara dusă din A pe dreapta MN de direcţie constantă. Soluţia geometrică este simplă: oricare ar fi triunghiul MJN, AM şi AN sunt înălţimi, deci JA este a treia înălţime şi .MNJA ⊥


99


Se dau punctele fixe distincte A, B şi o constantă k. Se cere locul geometric al punctelor M ce satisfac relaţia MA2 – MB2 = kAB2.



2.3.3 Conicele ca intersecţii ale unei suprafeţe conice cu plane

Conicele pot fi definite ca intersecţii ale unui plan P cu un con regulat, de unde derivă şi denumirea lor. Curbele din intersecţie pot fi cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă. Dacă planul P nu conţine vârful conului, dar este perpendicular pe înălţimea conului, atunci figura rezultată prin intersecţie este un cerc. Dacă planul P este paralel cu o generatoare, atunci figura este o parabolă. În cazul în care planul P nu este nici perpendicular pe înălţimea conului, nici paralel cu o generatoare, figura va fi o elipsă. Când planul intersectează generatoarele şi de o parte şi de alta a vârfului este hiperbolă.

Fig. 2.13


100

2.3.3.1 Cercul Cercul este locul geometric descris de un punct care rămâne la egală distanţă de un punct fix C, centrul cercului. Dacă notăm cu r raza cercului, relaţia geometrică pe care o satisface punctul curent M(x, y) este CM = r.

Fig. 2.13

Relaţia geometrică se scrie analitic ( ) ( ) 0rbyax 222 =−−+− . Aceasta este ecuaţia cercului, când sunt cunoscute centrul şi raza. 2.3.3.2 Elipsa Elipsa este locul geometric al punctelor care au suma distanţelor la două puncte fixe constantă. Punctele se numesc focare şi se notează cu F şi F’. Dacă M este un punct curent pe elipsă, distanţele FM, F’M poartă numele de raze vectoare. Potrivit definiţiei, relaţia geometrică pe care o satisface punctul M este: MF+MF’=2a (constant). Pentru a găsi ecuaţia elipsei este de ajuns să transformăm analitic această relaţie. Alegem pe FF’ ca axă Ox şi mediatoarea segmentului FF’ ca axă Oy.

Fig. 2.14

Se notează FF’=2c, prin urmare F(c, 0), F’(-c, 0), iar punctul curent M are coordonatele (x, y). Relaţia devine:

( ) ( ) a2ycxycx 2222 =++++− .

Prin prelucrări succesive obţinem forma definitivă a ecuaţiei elipsei raportată la axele ei:

01by

ax

2

2

2

2

=−+ .


101

2.3.3.3 Hiperbola Hiperbola este locul geometric al punctelor care au diferenţa distanţelor la două puncte fixe constantă. Punctele fixe se numesc focare şi se notează în mod obişnuit cu F şi F’. Dacă M este un punct curent al hiperbolei, MF şi MF’ poartă numele de raze vectoare. Relaţia geometrică pe care trebuie să o satisfacă punctul M este: aMFFM 2=−′ sau a2MFFM ±=−′ .

Ecuaţia locului geometric al punctului M se găseşte transformând această relaţie geometrică. Se aleg axele de coordonate astfel: FF’ ca axă Ox şi mediatoarea lui FF’ ca axă Oy.

Fig. 2.15

Notăm ca şi la elipsă, FF’ =2c, deci F(c,0), F’(-c,0). M(x, y) fiind punctul curent locului geometric, relaţia scrisă este:

a2y)cx(y)cx( 2222 ±=+−−++ .

Prin prelucrări succesive ecuaţia devine 01by

ax

2

2

2

2

=−− care este forma definitivă a

ecuaţiei hiperbolei. Şi elipsa şi hiperbola au centru de simetrie. De aceea ele se numesc conice cu centru. 2.3.3.4 Parabola Parabola este locul geometric al punctelor egal depărtate de o dreaptă fixă şi de un punct fix. Dreapta fixă se numeşte directoarea parabolei, iar punctul fix, focarul parabolei. Pentru a găsi ecuaţia parabolei ne alegem întâi un sistem de referinţă şi anume: perpendiculara din focarul F pe directoarea (D) ca axă Ox şi paralela la (D) dusă la jumătatea distanţei dintre focar şi directoarea (D), ca axă Oy. Notăm Ox)D(A ∩≡ . Fie M un punct al parabolei şi N proiecţia lui pe directoare.


102

Fig. 2.16

Se obişnuieşte să se noteze AF=p, de unde rezultă:

0,2p

F şi

− 0,

2p

A . MF se numeşte,

ca şi la elipsă sau hiperbolă, rază vectoare. Relaţia geometrică pe care o satisface punctul M se deduce din enunţ MF=MN. Dacă M(x, y) este un punct curent al parabolei, relaţia devine:

2p

xy2p

x 22

+=+

− .

Prelucrând se obţine y2-2px=0 Parabola nu are centru de simetrie, de aceea este o conică fără centru. 2.4 Noţiuni fundamentale de geometrie vectorială

Mărimile întâlnite în ştiinţele tehnice sunt de mai multe feluri. Printre acestea sunt deosebit de importante mărimile scalare şi cele vectoriale. Definiţie: O mărime este scalară dacă pentru determinarea ei este suficient să indicăm un singur număr. Exemple: Lungimea unui segment, aria unei suprafeţe, temperatura. Definiţie: O mărime este vectorială dacă ea este determinată de următoarele trei elemente: mărime (lungime), direcţie şi sens. Exemple: Viteza, forţa.


103

2.4.1 Vectori în plan

Fie P mulţimea punctelor unui plan. Definiţie: O pereche ordonată de puncte (A, B), A, B P∈ se numeşte segment orientat sau vector legat (de A) şi se

notează prin AB⎯ →⎯

, unde A este originea (sau punctul de aplicaţie), iar B este extremitatea

segmentului orientat.

Reprezentarea grafică a segmentului orientat AB⎯→⎯

este:

B A Fig. 2.17

Definiţie: Se numeşte modulul sau lungimea vectorului AB⎯→⎯

, lungimea segmentului [AB].

Observaţie: Modulul vectorului AB se notează prin AB sau simplu AB.

Definiţie: Se numeşte versor sau vector unitate, vectorul de lungime egală cu 1.

Definiţie: Doi vectori legaţi AB⎯→⎯

şi CD⎯→⎯

sunt egali dacă originile şi extremităţile lor coincid.

Un vector este liber dacă punctul său de aplicaţie (originea) poate fi luat în mod arbitrar în plan. Definiţie: Un vector liber este mulţimea tuturor vectorilor legaţi care au aceeaşi direcţie, acelaşi sens şi acelaşi modul.

Dacă AB⎯→⎯

este un vector legat, atunci AB______

reprezintă toţi vectorii legaţi care au aceaşi

direcţie, acelaşi sens şi acelaşi modul cu vectorul legat AB⎯→⎯

.

Notaţie: Se notează vectorii liberi prin litere mici cu bară: a , b , c etc.

Dacă ba = , atunci AA______

se numeşte vectorul nul, notat 0 , de modul 0, direcţie şi sens

arbitrar. Vom nota mulţimea vectorilor liberi din planul P cu V. Definiţie: Doi vectori liberi sunt egali dacă au aceeaşi direcţie (adică pot fi situaţi pe aceeaşi dreaptă sau drepte suport paralele), acelaşi sens şi acelaşi modul. Definiţie: Doi vectori se numesc ortogonali dacă au direcţiile perpendiculare.


104

2.4.2 Operaţii cu vectori liberi 2.4.2.1 Adunarea Suma a doi sau mai mulţi vectori este tot un vector care se obţine printr-o construcţie geometrică efectuată asupra celor doi vectori.

Fie vectorii liberi a şi b şi OA⎯→⎯

a∈ şi OB⎯→⎯

b∈ .

Vectorul c reprezentat de OC⎯→⎯

reprezintă prin definiţie suma vectorilor a şi b .

Scriem bac += (regula paralelogramului).

Fig. 2.18

Se poate ajunge la acelaşi rezultat utilizând o construcţie echivalentă din punct de vedere geometric (regula triunghiului).

Fig. 2.19

Observaţie: Pentru adunarea a n vectori folosim regula poligonului.

Fig. 2.20


105

2.4.2.2 Scăderea Vectorul diferenţă se construieşte unind extremitatea vectorului scăzător cu extremitatea vectorului descăzut.

Fig. 2.21

2.4.2.3 Înmulţirea unui vector cu un scalar

Produsul dintre un număr real α şi un vector liber a este tot un vector liber notat aα .

Definiţie: Fie 0≠α , Va ∈ , 0≠a . Produsul dintre numărul real α şi vectorul liber

a are aceeaşi direcţie cu a ; acelaşi sens cu a dacă 0>α şi sens contrar lui a

dacă 0<α ; modulul egal cu produsul dintre α şi modulul vectorului a , adică

aa ⋅= αα .

Fig. 2.22

Probleme rezolvate

1. Fie ABC un triunghi şi punctele M, N, P, pentru care AMAB 3= , CPBC 3= ,

CNAC 3= .

Demonstraţi că MNMP 2= .

Ideea de rezolvare a problemei este de a exprima vectorii MP şi MN funcţie de vectorii

AB şi AC . Avem:


106

( )

( )( ) .22

32

34

34

32

34

32

34

32log,

.231

32

31

MNACAB

ACABABACBAAB

BCABBPMBMPAna

ACABACBAANMAMN

=+−=

=+−=++=

=+=+=

+−=+=+=

2.4.3 Coliniaritatea a doi vectori Definiţie: Doi vectori liberi nenuli se numesc coliniari dacă au aceeaşi direcţie. În caz contrar vectori se numesc necoliniari.

Observaţie: Dacă vectorii AB şi CD sunt coliniari, atunci dreptele AB şi CD sunt paralele sau coincid (şi reciproc).

Teoremă: Doi vectori nenuli a şi b V∈ sunt coliniari dacă şi numai dacă există

α număr real nenul astfel încât ba ⋅= α .

Observaţie (coliniaritatea a trei puncte): Dacă A, B, C sunt trei puncte, atunci

ele sunt coliniare dacă şi numai dacă vectorii AB , AC sunt coliniari, adică dacă există

α număr real pentru care ACAB ⋅= α .

Probleme rezolvate

1. Se consideră triunghiul ABC şi MNP astfel încât ABAM32= , BCBN

21= , CPAC = .

Arătaţi că:

a) BABCMN31

21 −= , BABCNP −=

23

;

b) M, N, P coliniare.


107

Fig. 2.23

a) Avem BABCBCABBNMBMN31

21

21

31 −=+=+= .

Analog, BABCBCABBCCPNCNP −=++=+=23

21

.

b) Punctele M, N, P sunt coliniare, dacă vectorii NPMN , sunt coliniari. De la 1) se

constată că MNNP 3= , ceea ce arată coliniaritatea vectorilor NP şi MN .

Punctul care împarte un segment într-un raport dat Fie BA ≠ două puncte în plan şi M punct interior segmentului AB pentru care

MBkAM ⋅=

= k

MB

AM iar O un punct arbitrar al planului. Se poate arăta că:

OBk

kOA

kOM ⋅

++⋅

+=

111 .

Test de autoevaluare 9 Fie triunghiul ABC, D∈ (AB), E∈ (AC) astfel încât

21==

EC

AE

DB

AD. Dacă M este mijlocul laturii [BC] iar

{O}=CD ∩ BE, să se arate că: 1) DE || BC şi BC=3DE; 2) Punctele A, O, M sunt coliniare.




108

Fig. 2.24

Observaţie: Relaţia se poate pune sub forma:

OBOAOM ⋅+⋅= βα , unde 0, ≥βα , 1=+ βα . În particular, dacă M este mijlocul segmentului [AB]:

( )OBOAOM +=21

.

Probleme rezolvate

1. Fie ABCD un paralelogram de centru O şi P un punct arbitrar din plan. Să se arate că are loc relaţia vectorială:

POPDPCPBPA ⋅=+++ 4 . Pentru O mijlocul segmentelor [AC], [BD] au loc relaţiile:

( )PCPAPO +=21 şi ( )PBPDPO +=

21 , care prin însumare conduc la relaţia cerută.

Fig. 2.26

2.4.4 Descompunerea unui vector după două direcţii date Definiţie: Cuplul ( )ba , format din doi vectori liberi necoliniari se numeşte bază pentru mulţimea vectorilor din plan. O bază formată din versori ortogonali se numeşte bază ortonormală.


109

Fig. 2.27

După regula paralelogramului avem:

21 OMOMOM += sau OByOAxOM ⋅+⋅= sau ca vectori liberi: byaxu ⋅+⋅= .

Vectorii 1OM , 2OM se numesc componentele vectorului u , după direcţiile vectorilor a şi

b . Se spune că am descompus vectorul u după două direcţii. Se observă că această descompunere este o operaţie inversă a adunării a doi vectori. Descompunerea este unică.

Teoremă: Fie ( )ba , o bază pentru V. Orice vector Vu ∈ se scrie în mod unic în

funcţie de vectorii bazei sub forma: byaxu ⋅+⋅= , unde x, y numere reale.

Numerele x, y se numesc coordonatele vectorului u în baza ( )ba , .

Notaţie: ( )yxu ,= .

În planul P considerăm reperul cartezian ( )jiO

,, , care indică O (originea reperului), punct fixat în plan şi cei doi versori ai axelor perpendiculare.

Fig. 2.28

Definiţie: Fie în planul P reperul ( )jiO

,, , iar M∈P. Atunci vectorul OM îl numim vector legat (de puntul O) sau vector de poziţie al punctului M

Notaţie: Notăm vectorul OM cu Mr

.


110

Fiecărui punct M al planului în reperul considerat îi asociem vectorul său de poziţie Mr

.

Fig. 2.29

Dacă M(x, y), atunci jyixrM

⋅+⋅= , adică coordonatele punctului M sunt

coordonatele vectorului de poziţie: ),( yxrM =.

2.4.5 Operaţii cu vectori legaţi 2.4.5.1 Egalitatea a doi vectori legaţi

Fie ),( 111 yxr = , ),( 222 yxr = doi vectori legaţi. Atunci:

2121 xxrr =⇔= şi 21 yy = .

2.4.5.2 Adunarea

Fie ),( AAA yxr =, ),( BBB yxr =

vectorii de poziţie ai punctelor A, respectiv B. Atunci:

),( BABABA yyxxrr ++=+ .

Observaţie: ),( BABABA yyxxrr −−=−

2.4.5.3 Înmulţirea unui vector legat cu un scalar

Fie ),( AAA yxr = şi α număr real. Atunci:

),( AAA yxr ααα =⋅ .


111

2.4.6 Coordonatele unui vector din plan

Fig. 2.30

Exprimăm vectorul AB cu ajutorul vectorilor de poziţie ai punctelor care definesc vectorul,

adică Ar

şi Br

. Avem:

( )ABABAB yyxxrrAB −−=−= ,.

Modulul vectorului AB este egal cu:

( ) ( )ABABAB yyxx −− +=22

.

Această formulă ne permite să calculăm lungimea segmentului [AB] când se cunosc coordonatele punctelor A şi B. 2.4.7 Condiţia de coliniaritate a doi vectori Condiţia este ca BA rr

⋅= α . Rezultă afirmaţia:

Vectorii ),( AAA yxr =, ),( BBB yxr =

sunt coliniari dacă au coordonatele proporţionale:

B

A

B

A

y

y

x

x = .

Probleme rezolvate

1. Să se determine α real astfel încât vectorii legaţi ( )3,21 −= αr

, ( )α3,42 −=r

să fie coliniari.


112

Vectorii legaţi 1r

, 2r

sunt coliniari dacă există k număr real pentru care:

( ) ( )( ) ( ) ⇔−=−

⇔−=−⇔⋅=αα

ααkk

krkr

3,43,23,43,221

k42 =−⇔ α şi αk33 −= . Din prima ecuaţie 24 += kα .

Ecuaţia a doua devine ( )241 +−= kk sau 0124 2 =++ kk , ecuaţie care nu are rădăcini rele.

Deci nu există k cu proprietatea cerută, ceea ce înseamnă că vectorii 1r

, 2r

sunt necoliniari pentru orice α real.

2. Fie ( )2,3−A , ( )6,5B . Să se determine mijlocul segmentului [AB], apoi simetricul lui A în raport cu B şi respectiv al lui B în raport cu A.

Fie ( )CC yxC , mijlocul segmentului [ ]AB . Atunci:

12

532

=+−=+= BAC

xxx , 4

262

2=+=+= BA

C

yyy .

Fie ( )11,' yxA , ( )22 ,' yxB simetricele punctului A în raport cu B şi respectiv al punctului B în raport cu A. Deci:

21xx

x AB

+= , 21yy

y AB

+= . De aici rezultă:

( ) 1331021 =−−=−= AB xxx , 1021221 =−=−= AB yyy .

Deci ( )10,13'A .

Analog: 22 B

A

xxx

+= , 22 B

A

yyy

+= .

Deci: 115622 −=−−=−= BA xxx , 26422 −=−=−= BA yyy .

Aşadar ( )2,11' −−B . Coliniaritatea a trei puncte

Am văzut la vectori liberi că trei puncte A, B, C sunt coliniare dacă ACAB ⋅= α .

Rescriem această relaţie în reperul ( )jiO

,, şi avem:

AC

AB

AC

AB

yy

yy

xx

xx

−−=

−−

, dacă 0≠− AC xx şi 0≠− AC yy .


113

Test de autoevaluare 10 Să se arate că punctele A(3,-5), B(-2,-7), C(18,1) sunt coliniare.



Împărţirea unui segment într-un raport dat

Fig. 2.31

Fie segmentul [AB] şi M punctul pentru acest segment pentru care kMB

AM = , adică

MBkAM ⋅= . Exprimăm această egalitate folosind vectorii de poziţie ai punctelor A, M.

Coordonatele punctului ( )MM yxM , , care împarte segmentul [AB] în raportul kMB

AM = ,

( )AA yxA , , ( )BB yxB , sunt:

k

xkxx BA

M +⋅+=

1 şi k

ykyy BA

M +⋅+=

1 .

În particular dacă M este mijlocul segmentului [AB], atunci (k=1):

2BA

M

xxx

+= şi 2BA

M

yyy

+= .


114

2.4.8 Vectori în spaţiu

Noţiunea de vector legat din plan se păstrează şi în spaţiu. Dacă în spaţiu se

consideră reperul cartezian ( )kjiO

,,, , unde kji

,, sunt versorii axelor Ox, Oy, Oy, două câte două perpendiculare, atunci orice vector legat de originea O a sistemului admite

o unică scriere sub forma kzjyixu ++= .

Operaţiile cu vectori şi numere se transcriu uşor şi în acest caz. 2.5 Metoda geometriei vectoriale 2.5.1 Probleme rezolvate vectorial

1. Fie A’, B’, C’ mijloacele laturilor BC, CA, AB ale triunghiului ABC.

a) Să se arate că există un unic punct G astfel încât AAGA '31' = şi are loc egalitatea

'2GAGA −= .

b) Să se arate că: 0=++ GCGBGA .

c) Să se demonstreze că avem 0'2 =+ GBGB şi că punctele B, G, B’ sunt coliniare. d) Să se arate că medianele AA’, BB’, CC’ sunt concurente în G.

Fig. 2.32

a) Fie ( )'AAG ∈ astfel încât 31

'' =

AA

GA. Dacă AAGAGA '

31''' == , atunci evident G = G’ şi

avem '2''3'' GAGAGAGAAAGA −=−=−= .

b) Cum A’ este mijlocul lui BC, rezultă că '2GAGCGB =+ , deci , sau 0=++ GCGBGA .

c) Din '2GBGCGA =+ şi 0=++ GCGBGA , obţinem că 0'2 =+ GBGB , sau '2GBGB −= .

De aici rezultă că vectorii GB şi 'GB sunt coliniari 02 =−+ GAGCGB şi prin urmare punctele B, G, B’ sunt coliniare.


115

d) Se demonstrează analog că 'CCG ∈ şi se deduce că G aparţine medianelor AA’, BB’, CC’. 2. Fie ABC un triunghi şi G un punct în planul triunghiului. Să se arate că G este centrul de

greutate al triunghiului ABC dacă şi numai dacă 0=++ GCGBGA . Necesitatea: Să presupunem că G este centrul de greutate al triunghiului ABC. Fie M∈(BC), BM ≡MC, D∈(AM, GM=MD.

Cum BGCD este paralelogram, rezultă că GDGCGB =+ . De aici, având în vedere că

0=+ GDGA , deci 0=++ GCGBGA (vezi problema 1).

Suficienţa: Din 0=++ GCGBGA găsim GCGBAG += . Dacă D este cel de-al patrulea

vârf al paralelogramului BGCD, din relaţia de mai sus, rezultă că GDAG = , ceea ce înseamnă că A, G, D sunt coliniare, deci A, G, M sunt coliniare (M mijlocul lui BC), adică AM este mediana triunghiului ABC. Analog putem demonstra că G aparţine medianelor din B şi C, ceea ce înseamnă că G este centrul de greutate al triunghiului ABC.

Fig. 2.33

3. Să se determine vectorul de poziţie (faţă de un pol arbitrar) al centrului de greutate al unui triunghi în funcţie de vectorii de poziţie ai vârfurilor.

Fie ABC un triunghi, G centrul său de greutate şi A’ mijlocul laturii BC. Din 2'CB

A

rrr

+=

şi 2

'AAG

rrr

+= , obţinem 2

CBAG

rrrr

++= .


116

. 4. Se consideră dreapta AB (A ≠ B). Să se arate că punctul M aparţine dreptei AB dacă şi

numai dacă pentru orice punct O are loc egalitatea: ( )OBOAOM αα −+= 1 , R∈α . Să se determine α în următoarele cazuri: a) MBAM ≡ ; b) ( )ABM ∈ ; c) [ ]ABABM −∈ .

Fig. 2.34

Fie O un punct în plan. Punctul M aparţine dreptei AB dacă şi numai dacă vectorii BM şi

BA sunt coliniari. Astfel avem: ( ) RAMM ∈∃⇔∈ α astfel încât:

( )⇔−=−⇔= OBOAOBOMBABM αα

( )OBOAOM αα −+=⇔ 1 .

a) 21=α ; b) ( )1,0∈α ; c) ( ) ( )∞∪∞−∈ ,11,α .

Test de autoevaluare 11 a) Dacă G şi G’ sunt centrele de greutate ale triunghiurilor

ABC şi A’B’C’, să se arate că '3''' GGCCBBAA =++ . b) Să se determine o condiţie necesară şi suficientă pentru ca două triunghiuri să aibă acelaşi centru de greutate.




117


Fie a , b şi r vectorii de poziţie ai punctelor A, B şi P (A ≠ B), în raport cu un pol oarecare. Dacă

bnamr += (m, n R∈ ), să se arate că punctele A, B şi P

sunt coliniare dacă şi numai dacă 1=+ nm .



4. În paralelogramul ABCD, M este mijlocul laturii [BC], N este mijlocul laturii [CD]. Arătaţi că dreptele AM şi AN taie pe diagonala [BD] segmente congruente.

Fie E, F punctele de intersecţie ale dreptelor An şi Am cu BD şi kEB

DE = , lEN

AE = . Avem:

( )DCANAE rrl

rl

rl

rl

r +⋅

++

+=

++

+=

21

11

11

11

11

.

Vom lua O = A şi deci:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )DCDDEDCE rrl

lrrr

l

lrr

l

lr

2121212

++

=+++

=++

= .

De asemenea, BDC rk

rk

r

11

11

++

+= .

Din relaţiile de mai sus (vectorii Br

, Dr

sunt necoliniari), rezultă 1

11

1+

=+ lk

şi

)1(211

+=

+ l

l

k, cu soluţia

21=k . Deci

21=

EB

DE. Analog se arată că

21=

FD

BF.

Soluţia sintetică este imediată din asemănarea triunghiurilor DEN şi AEB. 5. Punctul M este mijlocul segmentului [AB], iar m’ mijlocul segmentului [A’B’]. Arătaţi că mijloacele segmentelor [AA’], [MM’], [BB’] sunt coliniare. Fie P, Q, R mijloacele segmentelor [AA’], [MM’] şi respectiv [B’], iar O un pol oarecare. Avem:

( )'21

AAP rrr += , ( ) ( )''' 4

121

BABAMMQ rrrrrrr +++=+= , ( )'2

1BBR rrr += .


118

De aici, ( ) ⇔+= RPA rrr

21

P, Q, R coliniare.

6. Dacă ABCD trapez cu AB || BC, AB > CD şi E, F sunt mijloacele laturilor AD şi BC, atunci:

a) EF || AB şi ( )CDABEF +=21

;

b) dacă AC∩ EF={M} şi BD ∩ EF={N}, avem: AM ≡ MC, 2

DCEM = , NBDN = ,

2AB

EN =

şi 2

DCABMN

−= .

Fig. 2.35

a) =++=++= CBDCEFCFDCEDEF21

21

( ) ( ) ( )+=+=+++= ABABCDABDCCBDCAD λ

21

21

2

EF || AB şi

2221 CDABABAB

ABEF+=+=+= λλ ( )

∈= 1,0

AB

DCλ .

b) EM || DC ( )ADACAEAMaEMEM −=−>= αα 0, .

Dacă AC

AM=β , atunci ACAM β= şi din relaţia de mai sus obţinem:

ADACADAC ααβ −=−21

sau ( ) 021 =

−+− ADAC ααβ , de unde rezultă că

021 =−=− αβα , deci

21== βα , adică

2DC

EM = şi MCAM ≡ . Analog se poate

demonstra că NBDN = şi 2

ABEN = .

În fine, avem 2

CDABEMENMN

−=−= .

7. Să se demonstreze că un patrulater este paralelogram dacă şi numai dacă diagonalele sale se înjumătăţesc.

Fie ABCD un patrulater ale cărui vârfuri au vectorii de poziţie DCBA rrrr ,,, , în raport cu

un pol fix dat. Avem succesiv: ABCD paralelogram CDAB⇔ şi ⇔=⇔= DCABCDAB


119

22ACDB

ACDBDCBA

rrrrrrrrrrrr

+=

+⇔+=+⇔−=−⇔ , adică vectorii de poziţie ai

mijloacelor diagonalelor sunt egali, ceea ce înseamnă că diagonalele lui ABCD se înjumătăţesc. 8. Fie P un punct interior unui triunghi echilateral de centru O. Dacă P1, P2, P3 proiecţiile lui

P pe laturile triunghiului, să se arate că: POPPPPPP23

322 =++ .

Fie ABC triunghiul echilateral. Prin P ducem paralele la laturile triunghiului. Cu notaţiile din

figura , triunghiul PMQ este echilateral, iar PP1 este mediană, deci PQPMPP +=22 .

Analog obţinem PNPTPP +=22 şi PRPSPP +=32 .

Astfel, găsim:

( ) ( ) ( ) ( )( ) .33

2 322

POOPOCOBOAPCPBPA

PMPSPRPNPTPQPPPPPP

=−++=++=

=+++++=++

Prin urmare, avem POPPPPPP23

321 =++ .

2.6 Comentarii şi răspunsuri la testele de autoevaluare Test 1

a) 1−=MB

MA, deci 1−=k .

Atunci 2

21 xxx

+=

b) Fie, de la A către B, M(x’) şi N(x”) punctele de diviziune.

Avem 21−=

MB

MA şi

12−=

NB

NA,

Astfel, 3

2

211

21

' baba

x+=

+

+=

3

2212" baba

x+=

++= .

Test 2

Fie M(x, 0). ( ) ( ) ⇔+−=+−⇔= 36448 22 xxMBMA

23616846416 22 =⇔++−=++−⇔ xxxxx . Deci M(2, 0). Test 3

Înlocuind în ( )00 xxmyy −=− , avem ( )2233 +=− xy sau 01223 =+− yx .


120

Test 4

a) Conform formulei ( )112

121 xx

xx

yyyy −

−−

=− , ecuaţia dreptei ce trece prin punctele A(4,

0) şi B(0, 2) este ( )442 −

−−= xy , adică 042 =−− yx .

b) Dreapta simetrică trece prin punctele A’(-4, 0) şi B(0, -2). Analog obţinem ecuaţia simetricei: 042 =++ yx . Test 5 Notând cu A’, B’, C’ mijloacele segmentelor [BC], [AC], şi respectiv [AB], avem:

23

252

2' =+−=+

= CBA

xxx ;

−−=−=

+=

25,

23'

25

272

2' Ayy

y CBA

27

252

2' =+=+

= CAB

xxx ;

−−=−=

+=

23,

27'

23

274

2' Byy

y CAB

02

222' =−=+

= BAC

xxx ; ( )3,0'3

224

2' Cyy

y BAC =+=

+= .

Ecuaţiile medianelor triunghiului ABC sunt: 02213:' =−− yxAA ; 08117:' =−+ yxBB ; 032:' =−+ yxCC .

Test 6

Coeficienţii unghiulari sunt 51=m ,

23'=m , deci

1

51

531

51

23

=⋅+

−=θtg , de unde θ=450.

Test 7 M fiind pe dreapta d, are coordonatele α=x , 1−= αy , deci ( )1, −ααM .

[ ] 121 Δ=MABσ , unde

;15533412214012311

1 +−=+−−+=−

=Δ αααααα

[ ] 221 Δ=MCDσ , unde

.622242212210211

2 αααααα

=−+++−=−

−−

=Δ

Deci [ ] [ ] 15561556 +−=⇔+−=⇔= αααασσ MCDMAB


121

1115=⇔ α sau 15−=α . Obţinem două soluţii:

114,

1115

1M şi ( )16,152 −−M .

Test 8 Analitic: Putem lua A(a,0), B(b,0) cu ba ≠ . Pentru M(x, y) condiţia din enunţ se transcrie

( )[ ] ( )[ ] ( )22222 abkybxyax −=+−−+− şi revine rapid la ( ) ( )kakbx −++= 112 reprezentând locul geometric, o dreaptă perpendiculară pe AB. Sintetic: Considerăm proiecţia P a lui M pe AB. Cu teorema lui Pitagora avem:

( ) ( ) 22222222 PBPABPMPAPMPMBMA −=−−−=− . Deci M şi P aparţin simultan locului şi ne va fi suficient să găsim punctele C∈AB ale locului. Acum condiţia devine ( )( ) 2ABkCBACCBAC ⋅=−+ .

Deoarece ABCBAC =+ , condiţia devine ABkCBAC ⋅=− . Condiţiile de mai sus determină unic C. Deducem că M aparţine locului dacă şi numai dacă M = C sau MC ⊥ AB.

Fig. 2.35

Test 9

a) Avem ( ) BCACBAACBAAEDADE31

31

31

31 =+=+=+= .

Deci, vectorii DE şi BC fiind coliniari, rezultă DE ||BC şi în plus BC=3DE. b) Cum patrulaterul DBCE este trapez, rezultatul este unul cunoscut.

Fig. 2.36

Test 10

Coliniaritatea punctelor A, B, C este echivalentă cu coliniaritatea vectorilor AB , AC .

Vectorii AB , AC sunt coliniari dacă există *R∈α pentru care:


122

( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ).6,152,56,152,5

5,21,185,37,2ααα

ααα

=−−⇔=−−⇔⇔−−=−−−−⇔

⇔−=−⇔⋅= ACAB rrrrACAB

De aici α155 =− , α62 =− , când 31−=α .

Altfel: A proba că numerele A, B, C sunt coliniare revine la a arăta că AB + AC = BC. Avem 29=AB , 261=AC , 464=BC . Test 11 a) Având în vedere rezultatul stabilit la problema rezolvată 2 de la pag. 38 putem scrie:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) .'33

'''

''''

'''

GGrrrrrrrr

rrrrrrCCBBAA

GGCBACBA

CCBBAA

=−=++−++=

=−+−+−=++

b) Două triunghiuri, ABC şi A’B’C’, au acelaşi centru de greutate dacă şi numai dacă

0''' =++ CCBBAA . Test 12 Conform problemei rezolvate 3 de la pag. 39, punctul P aparţine dreptei AB dacă şi numai

dacă există Ra ∈ astfel încât ( )bar αα −+= 1 . Deci avem: A, B, P sunt coliniare

( ) R∈∃⇔ α astfel încât

.11

=+⇔

−==

nmn

m

αα


123


Indicaţii de redactare: Problemele se vor rezolva în ordinea din textul enunţului. Rezolvările se vor expedia pe adresa tutorelui. 1 punct din oficiu 1,5p 1. Se dă triunghiul cu vârfurile A(7, 0), B(4, 4), C(-1, -8). a) Să se ordoneze măsurile unghiurilor triunghiului ABC; b) Să se găsească coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC. 1p 2. Se dă punctul A(2, 5), punctul variabilelor M(α, α-1) şi dreapta 5x + 3y + 10 = 0. Să se determine coordonatele lui M, astfel ca AM să fie paralelă cu dreapta dată. 1,5p 3. Se dă dreapta 6x + 5y = 15. a) Să se scrie ecuaţia ei cu ajutorul tăieturilor. b) Să se scrie ecuaţiile simetricelor ei faţă de axa Ox, faţă de axa Oy şi faţă de origine. 1p 4. Se consideră dreptele: d1: x – 2y + 6 = 0, d2: 9x + 7y + 4 = 0, d3: 11x + 3y – 34 = 0 care sunt suporturile laturilor [AB], [BC], respectiv [AC] ale triunghiului ABC. Să se scrie ecuaţiile înălţimilor triunghiului ABC. 1p 5. Fiind date punctele A(3, 2); B(0, 4); C(-2, 0); D(2, -2), să se găsească pe dreapta

1: −= xyd un punct M astfel încât ariile triunghiului MAB şi MCD să fie egale. 1p 6. Fie A, B, C, D patru puncte distincte, iar M, N mijloacele segmentelor [AB] şi

[CD]. Să se arate că ( )BCADMN +=21

.

1p 7. Să se arate că într-un triunghi echilateral ABC, înscris în cercul de centru O, avem AOACAB 3=+ . 1p 8. Punctul M este mijlocul segmentului [AB], iar M’ este mijlocul segmentului [A’B’]. Arătaţi că mijloacele [AA’], [MM’], [BB’] sunt coliniare.


124

2.8 Bibliografie 1. R. Miron, Introducere vectorială în geometria analitică plană, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1970. 2. V. Nicula, Geometrie plană (sintetică, analitică, vectorială), Editura Gil, Zalău, 2002.

Aplicaţiile trigonometriei în geometrie

125


APLICAŢIILE TRIGONOMETRIEI ÎN GEOMETRIE CUPRINS Obiectivele Unităţii de învăţare 3 .. ...................................... ................................... 125 3.1. Reprezentarea trigonometrică a numerelor complexe ............................. ........ 126 3.2. Operaţii cu numere complexe prezentate sub formă trigonometrică ............ ... 128 3.3. Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie ..... ...................................... ............... 131 3.4. Comentarii şi răspunsuri la testele de autoevaluare – Unitatea de învăţare 3 . 155 3.5. Lucrare de verificare pentru studenţi – Unitatea de învăţare 3 .. ..................... 156 3.6. Bibliografie – Unitatea de învăţare 3 ...... ...................................... ................... 157 Bibliografie .................................................................. ............. ............................ 157 Obiectivele Unităţii de învăţare 3 După ce veţi parcurge această unitate de învăţare, veţi avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil să faceţi următoarele operaţii matematice: • Identificarea posibilităţii folosirii numerelor complexe. Determinarea datelor numerice şi a relaţiilor care se dau. • Găsirea de noi proprietăţi şi noi date pornind de la datele şi relaţiile identificate mai sus. • Folosirea corectă a formulelor algebrei numerelor complexe, ţinând seama şi de reprezentarea lor trigonometrică. • Exprimarea adecvată, atât în termeni algebrici, cât şi geometrici, a rezultatelor găsite. Compararea celor două exprimări. • Rezolvarea unor probleme mai generale folosind alternativ proprietăţile algebrice şi proprietăţile geometrice ale numerelor complexe. • Matematizarea situaţiilor practice în care apare posibilitatea exprimării alternative (vectorială sau folosind numerele complexe)


126

3.1 Reprezentarea trigonometrică a numerelor complexe

3.1.1 Numere complexe

Numerele de forma z=x+iy unde, ,Ry,x ∈ iar 1i,1i 2 −=−= Se numesc numere complexe. Două numere complexe 11 iyx + şi 22 iyx + sunt egale dacă şi numai dacă 21 xx = şi

21 yy = . Fie z=x+iy un număr complex. Să considerăm un plan pe care să-l raportăm la un sistem de axe ortogonale Ox şi Oy. Un punct M din acest plan este determinat de coordonatele x şi y şi reciproc. Punctul M(x, y) se numeşte imaginea geometrică a numărului z, iar z se numeşte afixul punctului M.

Fig. 3.1 Lungimea segmentului OM se numeşte modulul numărului complex z şi se notează cu z

sau ρ iar unghiul orientat dintre axa Ox şi vectorul OM se numeşte argumentul numărului complex şi se notează cu arg z sau ϕ . Se poate stabili o corespondenţă între mulţimea numerelor complexe şi mulţimea vectorilor din plan cu originea O.

3.1.2 Forma trigonometrică a numărului complex

Dacă notăm cu A proiecţia punctului M pe axa Ox, din triunghiul dreptunghic OAM deducem:

ρϕ

ρϕ yx == sin;cos de unde: ϕρϕρ sin;cos == yx .

Fig. 3.2


127

Cu aceste exprimări ale lui x şi y numărul complex z se scrie sub forma:

( )ϕ+ϕρ= sinicosz . Această formă se numeşte forma trigonometrică a numărului complex.

De asemenea deducem: 22 yxz += . Numărul complex x – iy se numeşte conjugatul

numărului z=x+iy şi se notează cu z .

Din definiţia modulului şi argumentului unui număr complex rezultă: zz = şi

arg zarg2z −π= .

Imaginea geometrică a numărului z este simetrica faţă de axa Ox a imaginii geometrice a numărului z.

Fig. 3.3 Numărul complex z = x + iy este nul dacă şi numai dacă x = y = 0 . Ţinând seama de periodicitatea funcţiilor trigonometrice, rezultă că două numere complexe ( )1111 sinicosz ϕ+ϕρ= şi

( )2222 sinicosz ϕ+ϕρ= sunt egale dacă şi numai dacă 21 ρ=ρ şi πϕϕ k221 += , ( )Zk ∈ . Exemplu Fie numărul complex i1z1 −= . Imaginea geometrică a acestui număr este punctul

( )1,11 −M situat în cadranul IV.

Fig. 3.4

π+π==ρπ=ϕ

47

sini4

7cos2z2;

47

111 .


128

3.2 Operaţii cu numere complexe prezentate sub formă trigonometrică 3.2.1 Adunarea şi scăderea numerelor complexe Să considerăm două numere complexe i],iyxz 111 += ;iyxz 222 +=

( ).yyixxzz 212121 +++=+ Pentru a da o interpretare geometrică a adunării numerelor complexe, să considerăm punctele ( )111 , yxM şi ( )222 , yxM ale căror afixe sunt numere complexe z1, respectiv z2 şi

vectorii 21 OM,i]OM . Notând cu O, M1, şi M2 formează un paralelogram, deducem

că: 21 OMOMOM +=

Fig. 3.5

De aici rezultă că punctul M are coordonatele x1+x2, y1+y2. Deci, afixul punctului M este numărul complex z1+z2. Va rezulta că: 2121 zzzz +≤+ . Din figură se deduce că M este imaginea geometrică a

numărului complex z1+z2.

Fig. 3.6

3.2.2 Produsul numerelor complexe Produsul numerelor complexe i],iyxz 111 += ;iyxz 222 += este

( ).yxyxiyyxxzz 2211212121 ++−=

Să considerăm numerele complexe scrise sub formă trigonometrică: ( )1111 sinicosz ϕ+ϕρ=

( )2222 sinicosz ϕ+ϕρ= Făcând produsul acestor numere obţinem:

[( )]1221

21212121

cossincossinsinsincoscos

ϕϕϕϕϕϕϕϕρρ

+++−=

i

zz

Astfel:

( ) .argargarg 2121

2121

zzzz

zzzz

+=⋅=

Deci modulul produsului a două numere complexe este egal cu produsul modulelor, iar argumentul produsului este egal cu suma argumentelor.


129

Se demonstrează prin inducţie că produsul a n numere complexe n321 z....z,z,z este dat de formula:

( )[( )],..sin

..cos........

21

212121

n

nnn

i

zzz

ϕϕϕϕϕϕρρρ

++++++++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅

unde: ;kk z=ρ kk zarg=ϕ ( )nk ,......1= .

Pentru a da o interpretare geometrică înmulţirii numerelor complexe, să considerăm punctele ( )111 , yxM , ( )222 , yxM şi E(1,0). Pe segmentul OM2 se construieşte triunghiul OM2M asemenea triunghiului OEM1. Din asemănarea triunghiurilor rezultă: 21ρρ=OM ,

21ˆ ϕϕ +=MOE de unde rezultă că punctul M este imaginea geometrică a numărului

complex 21 zz ⋅ .

Fig. 3.7

3.2.3 Împărţirea numerelor complexe Fie numerelor complexe 0z,z 21 ≠ . Pentru a împărţi numărul z1 la z2, trebuie să

determinăm un număr complex z=x+iy astfel încât zzz 21 ⋅= . Prelucrând, va rezulta

2

2

21

z

zzz

⋅= . Dacă cele două numere sunt scrise sub formă trigonometrică:

( )1111 sinicosz ϕ+ϕρ= şi ( )2222 sinicosz ϕ+ϕρ= , formula devine:

( ) ( )[ ]21212

1

2

1 sinicoszz ϕ−ϕ+ϕ−ϕ

ρρ= .

Astfel: 2

1

2

1

ρρ

=z

z, 21

2

1 argargarg zzz

z −= .

Ca şi în cazul interpretării geometrice a înmulţirii numerelor complexe, să considerăm punctele M1, M2 şi E şi să construim triunghiul OM1M asemenea cu triunghiul OM2E.

Deducem 2

1

ρρ

=OM , 21ˆ ϕϕ −=MOE de unde rezultă că M este imaginea geometrică a

numărului complex 2

1

zz

.

Fig. 3.8


130

3.2.4 Puterea numerelor complexe

În formula ( ) ( )[ ]nnn

n

i

zzz

ϕϕϕϕϕϕρρρ +++++++⋅⋅⋅==⋅⋅⋅

..sin..cos........

212121

21

să considerăm ρ=ρ=ρ=ρ n21 ...... şi ϕ=ϕ=ϕ=ϕ n21 ......

Astfel avem: ( )ϕ+ϕρ= nsinincosz nn

Avem: nn zz = , ( ) znzn argarg ⋅=

Pe de altă parte ( )nnn ninz ϕϕρ sincos +=

Deci ( ) ϕ+ϕ=ϕ+ϕ nsinincossinicos n este cunoscută ca formula lui Moivre.

3.2.5 Rădăcina de ordin n dintr-un număr complex Să considerăm acum numărul complex ( )ϕ+ϕρ= sinicosz şi să determinăm rădăcina de ordinul n a lui. Pentru aceasta vom nota:

( ) ( )θ+θ=ϕ+ϕρ sinicosrnsinincosn . Ridicând egalitatea la puterea n, obţinem:

( ) ( )θ+θ=ϕ+ϕρ nsinincosrsinicos n .

Deducem: ρ=nr , πϕθ kn 2+= adică: nr ρ= , n

k ϕπθ += 2.

Deci: ( )

ϕ+π+ϕ+πρ=ϕ+ϕρ

nk2

sinink2

cosnsinincos nn .

Ţinând seama de periodicitatea funcţiei trigonometrice, obţinem, dând lui k valorile 0, 1,..., n-1, n valori distincte pentru rădăcinile de ordin n ale lui z.

+++=

n

ki

n

kz nn ϕπϕπρ 2sin2cos , )1,....1,0( −= nk .

Cu notaţia: n10 ,......., ξξξ pentru aceste rădăcini, avem: n

1n10 ........ ρ=ξ=ξ=ξ − iar argumentele numerelor n10 ,......., ξξξ sunt respectiv:

( )n

1n2n.

,......n2

n,

nπ−+ϕπ+ϕϕ

.

Putem concluziona că imaginile geometrice ale rădăcinilor de ordinul n ale numărului z sunt situate la aceeaşi distanţa de originea axelor de coordonate, deci se află pe un cerc

cu centrul O şi raza n ρ şi ele formează un poligon regulat înscris în cercul O.

Fig. 3.9


131

3.2.5.1 Rădăcinile de ordin n ale unităţii În particular, să determinăm rădăcinile de ordin n ale unităţii. Avem: 0sin0cos1 i+= ,

n

ki

n

kn ππ 2sin2cos1 += , 1,...,0 −= nk .

Rădăcinile de ordinul n ale numărului 1 se numesc rădăcinile de ordinul n ale unităţii. Proprietate Orice putere întreagă a unei rădăcini de ordinul n a unităţii este o rădăcină de ordin n a unităţii. 3.3 Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie

3.3.1 Relaţii trigonometrice între elementele unui triunghi dreptunghic Considerăm triunghiul ABC, dreptunghic în A şi notăm cu a, b, c, lungimile laturilor lui. Între cele trei laturi ale triunghiului avem o relaţie exprimată de teorema lui Pitagora, şi anume:

222 cba += . Din definiţiile funcţiilor trigonometrice ale unui unghi oarecare, rezultă că

avem: ab

Bsin = , ac

Csin = , ac

Bcos = , ab

Ccos = , cb

tgB = , bc

tgC = , bc

ctgB = , cb

ctgC = .

Fig. 3.10

3.3.2 Relaţii trigonometrice într-un triunghi oarecare Fie ABC un triunghi oarecare, ale cărui laturi au lungimile a, b, c. Notăm cu O centrul cercului circumscris triunghiului. Vom presupune întâi că toate unghiurile triunghiului sunt unghiuri ascuţite. De aici rezultă că centrul O al cercului circumscris este în interiorul triunghiului.

Fig. 3.11

Ducem prin B diametrul BA’. Triunghiul A’BC este un triunghi dreptunghic, fiind înscris într-un semicerc. Notăm cu R raza cercului circumscris triunghiului ABC. Deducem:


132

'AsinR2a = . Dar A’ = A având ca măsură jumătatea arcului BC, deci: ARa sin2= , de

unde rezultă: RA

a 2sin

= . Analog avem: R2Bsin

b = , R2Csin

c = .

Deci: R2Csin

CBsin

bAsin

a === .

Să presupunem acum că unul dintre unghiurile triunghiului ABC, de exemplu unghiul A, este obtuz. În acest caz centrul O al cercului circumscris este situat în exteriorul triunghiului.

Fig. 3.12

Prin vârful B ducem diametrul BA’. Triunghiul BCA’ este dreptunghic, fiind înscris într-un semicerc, şi deci: 'AsinR2a = . Dar unghiurile A şi A’ sunt suplementare, ca fiind unghiuri opuse într-un patrulater inscriptibil, deci Asin'Asin = , adică AsinR2a = de unde:

R2Asin

a = .

Celelalte relaţii se demonstrează ca în cazul precedent.

Relaţiile RC

C

B

b

A

a 2sinsinsin

=== reprezintă

Teorema sinusurilor: Într-un triunghi raportul dintre o latură şi sinusul unghiului opus este egal cu diametrul cercului circumscris triunghiului. Teorema cosinusului: Fie ABC un triunghi oarecare. Să demonstrăm mai întâi ca între elementele triunghiului avem relaţia: BcCba coscos += Să presupunem întâi că unghiurile B şi C sunt ascuţite, deci că piciorul A’ al înălţimii coborâte din A este situat între punctele B şi C.

Fig. 3.14

Din triunghiurile dreptunghice AA’B şi AA’C deducem: Bcosc'BA = ; CcosbC'A = , deci ţinând seama că a=BA’+A’C rezultă:

BcCba coscos += . Dacă unghiul B este obtuz, piciorul A’ al înălţimii coborâte din A este situat în exteriorul segmentului BC.

Fig. 3.15


133

Din triunghiurile dreptunghice AA’B şi AA’C rezultă:

( )B180coscB'A 0 −= ; CcosbC'A = .

Dar ( ) BcosB180cos 0 −=− şi ţinând seama că a=A’C - A’B găsim aceeaşi relaţie:

BcCba coscos += . Analog se demonstrează relaţiile:

AcosbBcosac

CcosaAcoscb

+=+=

Prelucrând avem: ( ) Acosbc2BcoscCcosbacb 22 ++=+

sau: Acosbc2acb 222 +=+ ,

adică: Abccba cos2222 −+= . Această relaţie poartă numele de Teorema cosinusului: Pătratul lungimii unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor lungimilor celorlalte două laturi minus de două ori produsul lor înmulţit cu cosinusul unghiului dintre ele. Relaţia Abccba cos2222 −+= se mai numeşte forma trigonometrică a teoremei lui Pitagora generalizată. Teorema tangentelor: Să demonstrăm următoarea teoremă numită teorema tangentelor. Raportul dintre diferenţa lungimilor laturilor unui triunghi şi suma lor este egal cu raportul dintre tangenta semidiferenţei şi tangenta semisumei unghiurilor opuse. Într-adevăr, din teorema sinusurilor rezultă: AsinR2a = ,

BsinR2b = deci: ( )( )

2BA

tg

2BA

tg

2BA

cos2

BAsin2

2BA

cos2

BAsin2

BsinasinBsinAsin

BsinAsinR2BsinAsinR2

baba

+

−

=−+

+−

=+−=

+−=

+−

adică:

2BA

tg

2BA

tg

baba

+

−

=+−

.

Analog avem:

2CB

tg

2CB

tg

cbcb

+

−

=+−

şi

2AC

tg

2AC

tg

acac

+

−

=+−

.

Având în vedere că 0902

CBA =++ rezultă că =+

2C

ctg2

BAtg

2C

ctg

2BA

tg

baba

−

=+−

de

unde deducem:

2C

ctgbaba

2BA

tg+−=−

Analog: 2A

ctgcbcb

2CB

tg+−=−

şi 2B

ctgacac

2AC

tg+−=−

.


134

3.3.3 Exprimarea funcţiilor trigonometrice ale unghiurilor unui triunghi oarecare cu ajutorul laturilor

Avem formula: bc2

acbAcos

222 −+= din teorema cosinusului.

Cu această valoare a lui cosA calculăm expresiile 1-cosA şi 1+cosA, care intervin în

funcţiile trigonometrice ale unghiului 2A

. Avem:

( )

( )( )bc2

cbacbabc2

cbabc2

acbbc2bc2

acb1Acos1

22222222

−++−=

=−−=+−−=−+−=−

( )

( )( )bc2

acbacbbc2

acbbc2

acbbc2bc2

acb1Acos1

22222222

++−+=

=−+=−++=−++=+

Să notăm cu p semiperimetrul triunghiului ABC, adică:

2

cbap

+== .

Cu această notaţie avem:

( )bp2cba −=+−

( )cp2cba −=−+

( )ap2acb −=−+

deci: ( )( )

bccpbp2

Acos1−−=− şi

( )bc

app2Acos1

−=+ .

Având în vedere că: 0902A

0 << avem:

2Acos1

2A

sin−= ;

2Acos1

2A

cos+= şi deci:

( )( )bc

cpbp2A

sin−−= ;

( )bc

app2A

cos−= .

Din aceste formule rezultă:

( )( )( )app

cpbp2A

tg−

−−= ;

( )( )( )bpp

apcp2B

tg−

−−= ;

( )( )( )cpp

bpap2C

tg−

−−= .


135

3.3.4 Formule pentru aria unui triunghi

Vom determina acum o serie de formule pentru calculul ariei unui triunghi. Dacă

notăm cu A’ piciorul înălţimii coborâte din A pe latura BC avem: 2

'AABCS

⋅= (S aria

triunghiului). Dacă unghiul B este ascuţit, atunci avem: AA’ = c sinB iar dacă unghiul este obtuz, AA’ = c sin(1800 - B); rezultă că înălţimea AA’ a triunghiului este dată totdeauna de

formula AA’ = c sinB. Înlocuind această formulă în 2

'AABCS

⋅= obţinem: 2

BsinacS = .

Analog: 2

AsinbcS = şi

2Csinab

S = adică aria unui triunghi este egală cu semiprodusul

lungimilor a două laturi înmulţit cu sinusul unghiului dintre ele. Din teorema sinusului

deducem: AsinCsina

c = care înlocuită în 2

BsinacS = , ne dă:

Asin2CsinBsina

S2

= . Dar

unghiurile B+C şi A sunt suplementare deci sin A = sin(B+C), adică: ( )CBsin2CsinBsina

S2

+= .

3.3.5 Relaţii în triunghiul dreptunghic În problemele următoare vom nota cu a, b, c laturile triunghiului iar unghiul drept va fi considerat unghiul A. Probleme rezolvate

1. cosB + cosC = sinA

( )2

cos2

sin22

cos2

sin2sinsin CBCCBCACBA

−=−+=+=

2cos

2sin2

2cos

2cos2coscos CBCCBCB

CB−=−+=+

2. CBA 222 sinsinsin +=

Aa

a

a

cb

a

c

a

bCB 2

2

2

2

222222 sin1sinsin ===+=

+

=+


136

3. (1+ cos B) (1+ cos C) = 2

2

ap2

Exprimăm membrul stâng al egalităţii ( )( )

( ) .2222

2222

22222

11

2

2

2

2

2

2

2

222

2

2

2

2

2

a

p

a

cba

a

cba

a

bcabaccba

a

bcabaca

a

bcabaca

a

caba

a

b

a

c

=⋅

++=++=

=+++++=+++=

=+++=++=

+

+

4. a

r

2

1

2

Csin

2

Bsin 22 −=+

( )

( )( )

( )( )( ) a

cba

cbaa

cbacba

cbaa

bccbaa

ap

S

a

cba

a

cb

CBCB

22

222

221

22

211

coscos211

2cos1

2cos1

2

−−=++

−−++=

=++

−++=−

−−=+⋅−=

=+−=−+−

5. pr

2C

tg2B

tg =⋅

( )( )

( ) ( )

pr

p4pr4

p4S4

bc2cbcba2abc2

bc2cba2a2bc2

cababc

ab

1

ac

ac

1

ab

Ccos1Csin

Bcos1Bsin

22

2222

==

=+++++

=+++

=

=++

=+

⋅+

=+

⋅+

6. 22 cb

bc2C2tg

−=

22

2

22 cbbc2

bc

1

bc

2

Ctg1tgC2

C2tg−

=−

⋅=

−=


137

Enunţăm câteva relaţii (fără demonstraţie):

1coscoscos 222 =++ CBA S2 = p(p - a)(p – b)(p – c) a2+b2+c2=8R2

ca

caBtg

cb

aAtg

cb

bcl

l

h

a

cb

a

a

a

+−=

+=

+=

⋅=+

2

2

2

22

2


138

Probleme rezolvate:

1. Să se arate că dacă într-un triunghi ABC există una din relaţiile:

i) AsinCcosBcos

CsinBsin =++

ii) cosB + cosC = sinB + sinC, atunci triunghiul este dreptunghic.

2A

sin

2A

cos

2A

cos2A

sin = de unde 22

2A

sin = şi 090A =

Se observă că relaţia dată se scrie:

090CB12

CBtg

2

CBcos

2

BAsin2

2

CBcos

2

CBcos2 =+=+=−+=−+ (se ţine cont de faptul că:

02

CBcos ≠− ).

2. Să se arate că triunghiul în care: b

ba2B

ctg+= este dreptunghic.

Ţinând seama de teorema sinusului deducem:

( )

2B

cos2B

sin2

2cA

cos2

CAsin2

BsinR2CsinAsinR2

bca

−+

=+=+

dar 2

CAsin

2B

cos+= , deci

2B

sin

2cA

cos

bca

−

=+ care înlocuită în relaţia dată ne dă:

2B

sin

2CA

cos

2B

sin

2B

cos−

= de unde 2

CAcos

2B

cos−= care are soluţiile B = A – C sau B = C – A

adică B + C = A = 900 sau A + B = C = 900. Astfel, triunghiul este dreptunghic în A sau C . 3. Să se arate că triunghiul ABC în care avem C – B = 030 ,

c – b = 1 şi 31a += este dreptunghic.

Aplicând teorema sinusului rezultă: ( ) 015sin312

BCsin

bc

c

2

Acos +=−

−= . În final

obţinem: 22

2A

cos = astfel: 090A = .


139

3.3.6 Relaţii în triunghiul isoscel Probleme rezolvate

În problemele 1 şi 2 se va considera triunghiul ABC isoscel în care a bază iar b = c: 1. sin A = 2 sinB cosC

R2a

Asin = ; R2b

Bsin = ; ab2

cbaCcos

222 −+= cum b = c

b2

aCcos =

astfel: 2 sinB cosC = R2a

b2a

R2b

2 =⋅ , cum sinA = R2a

avem relaţia din enunţ.

2. a=2bcosC

ab2cba

Ccos222 −+=

2b cosC = aab2

cbab2

222

=−+.

Test de autoevaluare 1 Să se arate că triunghiul în care există relaţia

tgBCsinBcos

CcosBsin =+

+ este dreptunghic.




140

3. Să se arate că triunghiul în care există relaţia

b + c = 2

AcosR4 este isoscel.

BsinR2bR2

bBsin ==

CsinR2cR2

ccsin ==

se scrie: b + c = 2 R ( sinB + sinC ) =

= 2R2

CBcos

2

AcosR2

2

CBcos

2

CBsin

−=−+

avem: 2

AcosR4

2

CBcos

2

AcosR2 =−

de unde rezultă b = c .

4. Să se arate că triunghiul în care există relaţia 02 452

Cctg = este isoscel.

( )

( )( ) ( )( )( )cpbpapp4bpap

cppc2 −−−=

−−−⋅ ; după efectuarea calculelor se obţine:

( ) ba0ba 2 ==− . 5. Să se arate că dacă într-un triunghi ABC există relaţia Sin A = 2 sin B cos C atunci triunghiul este isoscel.

Se poate înlocui sinA prin R2

a, asemănător şi sin B, iar cosC prin

ab2cba 222 −+

.

Astfel, relaţia dată se mai scrie sub forma sinB cosC + sinC cosB = 2 sinB cosC sau sin(B-C) = 0, de unde rezultă B = C.

6. Să se arate că dacă într-un triunghi ABC există relaţia CsinBsin

tgCtgB

2

2

= , atunci triunghiul

este isoscel sau dreptunghic. Evident că 090C,B ≠ . Relaţia dată se poate scrie sub forma cosC sinC = cosB sinB din care obţinem:

( ) 44222 bcbca −=− , adică c = b (triunghiul este isoscel cu vârful în A); sau: 222 cba += adică triunghiul dreptunghic în A.

7. Să se arate că triunghiul în care 2333

aacbacb =

−+−+

şi

sinB sinC =43

este echilateral.

Din prima relaţie deducem 233 a)cb(cb ⋅+=+

Sau, având în vedere că )bbcb(cb 2233 +−=+ rezultă 222 abccb =−+ .

Din teorema cosinusului, obţinem: Acosbc2cba 222 −+= , deci relaţia de mai sus devine: 060A

2

1Acos == , deci


141

0120CB =+ . Ţinând seama de formula de transformare în sumă a unui produs de sinusuri, a doua relaţie dată se scrie:

( ) ( )23

CBcosCBcos =+−− de unde, având în vedere că:

( ) ( ) 1CBcos2

1120cosCBcos 0 =−−==+ .

Deci B –C = 0, aşadar: 060CB == . 3.3.7 Relaţii în triunghiul oarecare

Într-un triunghi oarecare există relaţiile:

1. sinA+sinB+sinC= 2C

cos2B

cos2A

cos4

sinA+sinBsinC = =+−+Csin

2

BAcos

2

BAsin2

( )2C

coscos2A

cos42B

cos2A

cos2C

cos4

4180CBA

cos4

180CBAcos

2C

cos4

2C

90cos2

BAcos

2C

cos2

20

0

=−=

=−+−+−−

=

−+−=

(s-a ţinut seama că: 2C

902

BA;180CBA 00 −=+=++ )

Test de autoevaluare 2 Să se arate că triunghiul ABC în care avem relaţiile 2a=b+c şi 2A= B+C este echilateral.




142

2. tgA + tgB + tgC = tgA tgB tgC Unghiurile A, B, C nu pot fi de 090 , deci identitatea are loc în orice triunghi ABC cu excepţia celui dreptunghic.

tgA + tgB + tgC = ( ) =++

CcosCsin

BcosAcosBAsin

( )( )

tgAtgBtgCAsinBsinCcosBcosAcos

Csin2

ACBcos

2BCA

cos221

CcosBcosAcosCsin

BAcosCcos21

CcosBcosAcosCsin

=⋅⋅=

=−+−+⋅⋅=

=

−+=

3. =++2

Cctg

2

Bctg

2

Actg

2

Cctg

2

Bctg

2

Actg

Avem:

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( ) ( ) ( )[ ]( )( )( ) S

p

S

pp

cpbpap

cpbpappCctg

Bctg

Actg

bpap

cppCctg

cpap

bppBctg

cpbp

appActg

2

222

2

2

2

=⋅=−−−

−+−+−=++

−−−=

−−−=

−−−=

4. ( )2

22

R4cb

CBcosAcos1+=−+

( )( ) ( )

( )CBcosAcos1

CBcosCBcos1

C2cosB2cos21

1

2Ccos@1

2B2cos1

CsinBsinR2c

R2b

R4cb 22

22

2

22

−+==−+−=

=+−=

=−+−=

=+=

+

=+


143

5. cosA + cosB + cosC2

3≤

Se ţine seama că într-un triunghi oarecare

cosA + cosB + cosC2C

sin2B

sin2A

sin41+=

Dacă cel puţin unul din unghiurile triunghiului este mai mic de 060 , de exemplu 060A < ,

din aceasta rezultă că 20 180CB120 <+< sau 00 902

C

2

B60 <+<

Astfel, avem evident 2

1

2

Asin ≤ şi

21

2C

2B

cos ≤

+

Cum

+−

−=

2C

2B

cos2C

2B

cos21

2C

sin2B

sin şi cum 12C

2B

cos ≤

− rezultă că

4

1

2

Csin

2

Bsin ≤ .

Înmulţind ultima inegalitate cu 21

2A

sin ≤ , rezultă 81

2C

sin2B

sin2A

sin ≤

Deci: 2

3CcosBcosAcos ≤++

6. 81

2C

sin2B

sin2A

sin ≤++

Se înlocuiesc sinusurile prin laturi şi rezultă inegalitatea:

( )( )( ) abccpbpap8 ≤−−− sau: ( )( )( ) abccbacbacba ≤−++−++− pentru a demonstra inegalitatea de mai sus se înmulţesc inegalităţile cunoscute:

Test de autoevaluare 3 Arătaţi că într-un triunghi oarecare ABC are loc relaţia b cosB + c cosC = a cos(B - C).




144

zxxz

yzzy

xyyx

2

2

≥+

≥+

≥+

, +∈ Rzyxunde ,,:

Astfel ( )( )( ) xyz8xzzyyx ≥+++ În relaţie se înlocuiesc:

bxz

azy

cyx

=+=+=+

şi rezultă inegalitatea.

7. Rr2

2CB

cos2 ≥−

8. ( ) bcacbR ≥+ Folosind teorema sinusurilor, putem scrie:

( )CsinBsinAsin2CsinBsin

CsinBsinAsinR4CsinBsinR2 22

≥+

≥+

cum: CsinBsin2CsinBsin ≥+ (inegalitatea mediilor) iar 1Asin ≤ , inegalitatea este evidentă. Dacă sinA = 1, 090A = atunci are loc egalitatea. 9. Dacă laturile unui triunghi verifică relaţia: 222 cba2 += să se arate că: cos2A + cosA cos(B-C) = 0. Se înlocuiesc cosinusurile funcţie de latură:

acb

ac2bca

cab2

cbab

22222222 −=−+⋅−−+⋅


Să se arate că în triunghiul ABC a

cbBcoscCcosb

22 −=− .




145

Dacă laturile unui triunghi verifică relaţia 222 cba2 += să se arate că cos2a + cosA ( ) 0CBcos =−⋅

Din relaţia bc4

cbAcos

bc2acb

Acos22222 +=

−+=

Avem: cos2B + cos2C = 2cos2A 2cos(B+C)cos(B-C) = 2cos2A deci: cos2A + cosAcos(B - C) = 0

10. Ştiind că într-un triunghi ABC avem 5sinB = sin(2A+B) să se arate că tg(A+B) = tgA23

.

5sinB = ( )[ ] ( )ACsinACCBAsin −=−−++ astfel 5sin(A + C) = sin(C - A) 6sin(A + B) = sin(A + C) + sin(C - A)

Efectuând calculele, obţinem: ( )( ) Acos2

Asin3BAcosBAsin =

++

deci:

( ) tgA23

BAtg =+ .

11. Să se arate că dacă într-un triunghi ABC avem: ctgA + ctgB = 2ctgC atunci: 222 c2ba =+ .

aR2

bc2acb

AsinAcos

ctgA222

⋅−+== ; la fel ctgB, ctgC.

Rezultă relaţia din enunţ 222 c2ba =+ .. 3.3.8 Rezolvarea triunghiului dreptunghic

1. Să se rezolve triunghiul dreptunghic în care ştim a = 2 şi B = '30220 .

Avem: 765,0222

222'3022sin2b 0 ≈−=−==

553,1222

222'3022cos2c 0 ≈+=+==

'3067B90C 00 =−= 2. Să se rezolve triunghiul dreptunghic în care b = 3, C = 150. Avem: B = 750;

c = 3tg150 = ( ) ≈− 323 0,804;

( )

( ) .035,1263

262612

2612

426

315cos3

0

≈−=

=−−=

+=

+==a


146

3.3.9 Rezolvarea triunghiului oarecare

1. Să se rezolve triunghiul ABC ştiind că: a = 20, A = 690, B = 820. Avem: ( ) 00 29BA180C =+−= .

Din teorema sinusurilor rezultă: 0

0

69sin82sin20

AsinBsina

b == .

De unde b = 21,21. Analog găsim: c = 10,39.

Test de autoevaluare 5 Ştiind că într-un triunghi avem b = 2, c = 3 şi A = 060 , să se determine latura a.




147

2. Laturile unui triunghi sunt proporţionale cu numerele ( ) .2;6;13 + Se cere să se afle unghiurile şi aria triunghiului, cunoscându-se raportul de proporţionalitate 2k al laturilor.

Din )0(;22631

>===+

kkcba

rezultă a, b, c, în funcţie de k, iar S = ( ) 2k1332 + .

( ) ( )00 3045sin21

23

21

22

1342

Asin +=⋅+⋅=+= , deci A= 075 . Asemănător obţinem B =

00 45C,60 = 3. Să se rezolve un triunghi ABC în care se cunosc b–a=2; B–A= 030 , c= ( )132 + .

Din teorema sinusurilor rezultă: 090BA22

2BA =+=+

şi deci: 030=A , 060=B ,

laturile determinându-se folosind aceeaşi teoremă: ( ) 3ab;13a =+= .

Test de autoevaluare 6 Să se rezolve triunghiul ABC ştiind că a=75, b=92, c=107.




148

3.3.10 Aplicaţiile trigonometriei în rezolvarea problemelor de geometrie plană

1. Fie triunghiul ABC cu ( ) ( ) 00 72Bm,24Am == şi fie ( ) ( )ABNACM ∈∈ ; astfel încât

( ) ( ) 030ˆˆ == NCMmNCAm . Să se determine ( ).ˆMBAm . Notăm BC=a, ( ) xMBAm =.ˆ .

Avem ( ) ( ) ( ) .54ˆ;54ˆ;84.ˆ 000 === CNBmBCNmCm BN=BC=a. Conform teoremei sinusurilor

avem: ( )00 30sin30sin +=

x

BMBN şi deci: ( ).30sin2 0+= xaBM

Analog avem ( ) 0000 24sin84sin;

24sin24sinaAB

x

ABBM =+

= şi deci ( )0

0

24sin84sin

+=

x

aBM .

Ecuaţia devine: ( ) ( ) 000 84sin24sin30sin2 =++ xx , echivalentă cu:

( ) 000 6cos54x2cos6cos =+− .

Obţinem: 000 18x9054x2 ==+ . 2. Fie I centrul cercului înscris triunghiului ABC. Să se demonstreze că dacă triunghiul ABI, ACI, BCI au acelaşi perimetru, atunci triunghiul ABC este echilateral. AI+BI+c = BI+CI+a = AI+CI+b ⇔ a – AI = b – BI = c – CI ⇔

⇔

2C

sin

rc

2B

sin

rb

2A

sin

ra −=−=− .

Din prima relaţie obţinem:

2B

sin2A

sin

2A

sin2B

sin3ba

−

=− .

Dacă a>b, cum 02

B

2

A

2>>>

π rezultă că avem şi

2B

sin2A

sin > (contradicţie).

Analog se obţine contradicţie dacă a<b. Rezultă că a = b şi analog a = c. 3. Să se calculeze lungimea bisectoarelor unui triunghi în funcţie de elementele principale ale triunghiului. Fie la, lb, lc lungimile acestor bisectoare. Notând cu D piciorul bisectoarei unghiului A şi aplicând teorema sinusurilor în triunghiul ABD, deducem:

BDA

c

B

la

ˆsinsin= .

Dar 2

ˆˆ90

2

ˆˆ180ˆ1802

ˆˆ180ˆ 00

00 CBCBB

ABBDA

−−=−−−−=

+−= ,

Deci 2

ˆˆcosˆsin CB

BDA−= şi relaţia de mai sus ne dă:


149

2

ˆˆcos

ˆsinCB

Bcla −

⋅= .

Analog avem:

2

ˆˆcos

ˆsinAC

Calb −

⋅= ,

2

ˆˆcos

ˆsinBA

Aclc −

⋅= .

4. Să calculeze aria unui patrulater cunoscând diagonalele sale şi unghiul dintre ele.

Fig. 3.16

Fie ABCD un patrulater oarecare. Dacă notăm cu O punctul de intersecţie a diagonalelor şi cu φ unghiul diagonalelor, atunci avem:

ODAOCDOBCAOBABCD AAAAA +++= , adică:

( )

( )2

180sin2

sin2

180sin2

sin

0

0

ϕϕ

ϕϕ

−⋅⋅+⋅⋅+

−⋅⋅+⋅⋅=

OAODODOC

OCOBOBOAA

sau, ţinând seama că sin (1800–φ) = sin φ, rezultă: ( )

( )( ) ,2

sin2

sin2

sin

ϕϕ

ϕ

⋅⋅=++=

=⋅+⋅+⋅+⋅=

BDACODOBOCOA

OAODODOCOCOBOBOAA

deci aria unui patrulater este egală cu semiprodusul diagonalelor înmulţit cu sinusul unghiului dintre ele. 4. Să se determine unghiul format de diagonalele unui paralelogram în funcţie de laturile paralelogramului şi de unghiuri dintre ele.

Fig. 3.17

Fie ABCD un paralelogram şi O punctul de intersecţie a diagonalelor. Notând a = AB, b = AD, BOAACdBDd ˆ,, 21 === ϕ şi aplicând teorema cosinusului în triunghiurile ABD şi ABC, deducem:


150

Aabbad

Aabbad

cos2cos2

2222

2221

++=

−+=

În triunghiul OAB teorema cosinusului ne dă:

ϕcos22

222

212

22

12 dddda ⋅−

+

=

de unde:

21

222

21

24cos

dd

add −+=ϕ

sau, ţinând seama de relaţiile de mai sus:

( ) Ababa

ab22222

22

cos4cos

−+

−=ϕ

De aici deducem:

22

sin2cos

cos1ab

Aabtg

−=

−=

ϕϕϕ .


151

3.3.11 Aplicaţiile trigonometriei în rezolvarea problemelor de geometrie în spaţiu

1. Să se determine volumul şi aria laterală a unei piramide hexagonale regulate a cărei înălţime este h, iar unghiul din vârf al unei feţe laterale este α .

Fig. 3.18

Fie SABCDEF piramida şi O centrul cercului circumscris hexagonului ABCDEF . Avem SO = h, α====== ASFFSEESDDSCCSBBSA ˆˆˆˆˆˆ .

Dacă notăm cu S aria hexagonului ABCDEF, atunci volumul piramidei este: 3Sh

V =

Notând cu a latura hexagonului, rezultă că OA = a, ca fiind raza cercului circumscris

hexagonului, iar 2

3aOM = , ca fiind apotema hexagonului. Deci: 2

233

2236

aaa

S =⋅

=

Din triunghiul dreptunghic SAM deducem: 22α

ctga

SM =

Scriind teorema lui Pitagora în triunghiul SOM, găsim:

2443 2

22 αctg

aah +−= .

De aici rezultă: 3

2

42

22

−= α

ctg

ha şi deci:

32

362

2

−

⋅= αctg

hS adică:

32

322

3

−

⋅= αctg

hV .

Aria laterală a piramidei este:

( ) 223

266'

2 αctg

aABSMSS SAB =⋅== deci:

32

26

'2

2

−= α

α

ctg

ctghS .

2. Se dă un trunchi de con cu razele bazelor R şi r. Prin două generatoare ale trunchiului se duce un plan care face cu planul bazei un unghi ϕ . Să se determine aria secţiunii ştiind că generatoarea trunchiului face cu planul bazei unghiul α .


152

Fig. 3.19

Prelungim generatoarele 1AA şi 1BB până în punctul M. Notând cu S aria secţiunii, avem:

11MCAAMC SSS −= .

Triunghiurile AMC şi 11MCA fiind asemenea, avem:

2

2111

AM

MA

S

S

AMc

MCA = . Analog, din asemănarea triunghiurilor AOM şi MOA 11 rezultă: R

r

AM

MA 21 =

de unde: 2

2211

r

rR

S

SS

AMC

MCAAMC −=−

, adică: AMCSr

rRS 2

22 −= .

Aria triunghiului AMC este: MKAKMKACS AMC ⋅=⋅=21

.

Din triunghiul AOK rezultă: 22 OKRAK −= . Dar ϕMOctgOK = (triunghiul MOK), iar ϕtgRMO ⋅= (triunghiul MOA), deci:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ).sinsincossin

coscossin

coscossin

222222

αϕαϕαϕ

αϕαϕ

ϕαϕ

ϕαϕαϕ

ϕ

αϕϕ

αϕ

+−=

=+⋅−=+−=

=−=−=

R

tg

Rtgtgtgtg

tg

r

tgtgtg

rtgctgRRAK

Din triunghiul MOK deducem: ϕsin

MOMK = sau, ţinând seama de valoarea de mai sus a lui

MO: ϕα

sinRtg

MK = .

Cu aceste valori avem:

( ) ( )

( ) ( ).sinsincossin

sinsin

sinsincossin

22

2

αϕαϕαϕ

αϕααϕαϕ

αϕ

+−=

=+−=

R

RtgRSAMC

Deci: ( ) ( ) ( ).sinsin

cossinsin

22

22

αϕαϕαϕα +−−= rR

S


153

3. Un acoperiş are forma unei piramide patrulatere regulate cu latura a = 6,5 m, iar înălţimea MO a acoperişului este de 2,5 m. Care este lungimea muchiilor acoperişului şi care este măsura unghiului pe care-l fac muchiile cu planul bazei?

Fig. 3.20

În figura de mai sus avem MOBΔ în care 225,32

25,6 =⋅=OB m ;

( ) 23,525,325,2 22 ≈+=MB m.

;545,059,45,2ˆ ≈=BOtgM ''3028ˆ 0=OBM .

4. Un cort are forma unei piramide patrulatere regulate. Înălţimea cortului este de 2,4 m şi latura pătratului de bază este de 2 m. Să se calculeze distanţa de la vârful cortului la laturile bazei, precum şi măsura unghiului format de feţele laterale cu planul bazei.

Fig. 3.21

In figura MO=2,4 m şi AB = 2 m. Din MOEΔ se cere ME şi m ( )BOM ˆ ;

mME 6,214,2 22 =+= ; 923,06,24,2ˆsin ≈=OEM şi

m ( ) ''2067ˆ 0≈OEM . 5. Pe coasta unui munte ce are o înclinare de 032 , coboară un drum care face cu linia de cea mai mare pantă un unghi de 045 . Să se afle înclinarea drumului faţă de orizontală.


154

Fig. 3.22

În ''CABΔ este în planul orizontal, ;45ˆ;32'ˆ; 00 ==⊥ CABBABBCAB se cere ( );'ˆCACm

AB

BB'32sin 0 = în ABCΔ , 2ABAC = , în 'ACCΔ , AC

CCCAC

''ˆsin = sau

3748,0232sin

2''ˆsin

0

≈==AB

BBCAC ,

de unde m ( ) 0223748,0arcsin'ˆ ≈=CAC

6. Latura unui horn de formă pătrată în secţiune, este de 40 cm. Unghiul de înclinare al acoperişului este de 035 . Să se afle aria deschizăturii în acoperiş prin care trece hornul.

Fig. 3.23

Aria hornului 216004040 cm=⋅ este proiecţia deschizăturii din acoperiş, deci aria deschizăturii în acoperiş:

6,1953819,0

160035cos

16000 ≈==A cm2.


155

3.4 Comentarii şi răspunsuri la testele de autoevaluare Test 1

Se transformă în produse sumele din partea stângă a egalităţii, rezultând 090CB =+

(triunghiul fiind dreptunghic în A ). Astfel se înlocuieşte tgB prin BcosBsin

şi se aplică

proprietatea proporţiilor. Test 2

Aplicând teorema sinusurilor, obţinem 12

CBcos =−

; cum 0120CB =+ rezultă

060CB == . Test 3 Din teorema sinusurilor deducem:

A

Bab

sinsin⋅= ,

A

Cab

sinsin⋅=

şi deci: ( ) =⋅+⋅=⋅+⋅

A

CCBBaCcBb

sincossincossincoscos

( ) ( ) ( )( ) ( )CBa

CB

CBCBa

A

CBa +⋅=+

−⋅+⋅=+= cossin2

cossin2sin2

2sin2sin.

Test 4 Se înlocuiesc cosinusurile în funcţie de laturi. Altfel:

Se observă că putem scrie Bca

cbBcCb cos2coscos

22

⋅+−=⋅+⋅ sau

ac

bcac

a

cba

22

22222 +++−= , adică egalitate evidentă.

Test 5 Se duce înălţimea CC’; rezultă astfel triunghiurile dreptunghice ∆ACC’, ∆BCC’.

În ∆ACC’: ( ) 2'121'30'ˆ 0 ==== BCACACCCAm

3232'

60sin' 0

=⋅=

⋅=

CC

ACCC

În ∆BCC’: aplicăm teorema lui Pitagora: 777'' 2222 ===+= aBCBCCCBCBC .

Test 6

( )( )( ) 62137

30452 ⋅

⋅=−

−−=app

cpbpAtg .

Rezultă că: "8'44212

oA = , adică: "16'2843oA = .

Analog găsim: "28'3357 oB = . Deci: ( ) "16'5878180 oo BAC =+−= .


156


Indicaţii de redactare: Problemele se vor rezolva în ordinea din textul enunţului. Rezolvările se vor expedia pe adresa tutorelui. 1 punct din oficiu

1,5p 1. Să se demonstreze relaţia: 2

22

coscosc

baBcCb

−=⋅−⋅

1p 2. Să se arate că dacă într-un triunghi ABC există relaţia 2sinsinsin 222 =++ CBA , atunci triunghiul este dreptunghic. 1p 3. Să se rezolve triunghiul dreptunghic în care b = 3, C = 150. 1p 4. Să se rezolve triunghiul ABC ştiind că a = 20, A = 690, B = 820.

1p 5. Să se rezolve triunghiul ABC care are lungimile laturilor: 23=a ,

22=b ,

426 +=c .

1p 6. Să se determine măsurile unghiurilor unui triunghi ABC, în care lungimile laturilor sunt proporţionale cu numerele: 31 + ; 6 şi 2. 1p 7. Lungimile laturilor congruente ale unui triunghi isoscel au câte 10 m, iar măsura unghiului de la vârf este 75020’. Să se afle aria triunghiului şi lungimea laturii a treia. 1,5p 8. Să se rezolve triunghiul ABC fiind date lungimile celor trei înălţimi ha = 8 cm, hb = 8 cm, hc = 18 cm.


157

3.6 Bibliografie 1. M. Ghermănescu, Aplicaţiile trigonometriei, Editura Tehnică, Bucureşti, 1973. 2. F. Turtoiu, Probleme de trigonometrie, Editura Tehnică, Bucureşti, 1986. Bibliografie generală 1. Şt. Botez, Probleme de geometrie, Editura Tehnică, Bucureşti, 1978. 2. S. Ianus şi colaboratori, Probleme de geometrie şi trigonometrie, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983. 3. R. Miron, Introducere vectorială în geometria analitică plană, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1970. 4. V. Nicula, Geometrie plană (sintetică, analitică, vectorială), Editura Gil, Zalău, 2002. 5. M. Ghermănescu, Aplicaţiile trigonometriei, Editura Tehnică, Bucureşti, 1973. 6. F. Turtoiu, Probleme de trigonometrie, Editura Tehnică, Bucureşti, 1986.

Unitatea de Management al Proiectelor cu Finanţare Externă

Str. Spiru Haret nr. 12, Etaj 2,Sector 1, Cod poºtal 010176,

Bucureºti

Tel: 021 305 59 99Fax: 021 305 59 89

http://conversii.pmu.roe-mail: [email protected]

ISBN 978-606-515-130-7

Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013Investeşte în oameni!

Formarea profesională a cadrelor didacticedin învăţământul preuniversitar

pentru noi oportunităţi de dezvoltare în carieră

Get

Documents

Transcript of Get