Gestiunea Integrata a Firmei

8/9/2019 Gestiunea Integrata a Firmei

http://slidepdf.com/reader/full/gestiunea-integrata-a-firmei 1/390

I N T R O D U C E R E

Obiectul prezentei că r ţ i îl constituie prezentarea şi analiza problematiciiorganiză rii şi conducerii optimale a întreprinderilor din perspectivainstrumentelor ciberneticii economice, care permit atât o prezentare unitar ă a firmelor cât şi o analiză matematică riguroasă a posibilit ăţ ilor de optimizare aactivit ăţ ii acestora.

O aten ţ ie special ă va fi acordat ă firmelor mici şi mijlocii datorit ă situa ţ iei

concrete existente în România precum şi din considerente economice şi sociale general valabile în ţă rile cu economie de pia ţă .

În România, volumul foarte redus al capitalului privat, disponibilizareaaccelerat ă a for ţ ei de muncă de la unit ăţ ile de stat, mecanismul greoi de privatizare a marilor întreprinderi, inexisten ţ a unui cadru legislativ coerent, lipsade experien ţă în ceea ce prive şte economia de pia ţă şi mentalitatea popula ţ iei a f ă cut ca întreprinderile mici şi mijlocii să reprezinte aproape unica modalitate deconstituire a sectorului privat.

La momentul actual, datele referitoare la numă rul de întreprinderi privatenoi din România eviden ţ iază într-adevă r o dinamică extraordinar ă , totu şi

contribu ţ ia firmelor mici şi mijlocii nu a ajuns nici pe departe la nivelul existent în ţă rile dezvoltate din Europa, Statele Unite sau Asia, atât ca volum cât şi ca structur ă .

Astfel, în C.E.E. întreprinderile mici şi mijlocii ocupă 41% din totalul for ţ ei de muncă angajate şi 48,5% din volumul total al cifrei de afaceri realizate, fa ţă de 18% şi respectiv 43% în România. De asemenea, în ceea ce prive şte structura acestora, în România întreprinderile mici şi mijlocii activează cu precă dere în agricultur ă , comer ţ şi servicii, în sectorul industrial pondereaacestora fiind doar de 1,63% din for ţ a de muncă ( şi 1,58% din cifra de afaceri), fa ţă de 63% în ţă rile Uniunii Europene.

Importan ţ a întreprinderilor mici şi mijlocii rezid ă din urmă toarele motive:− sunt mai receptive la nevoile pie ţ ei;− sunt mai adaptabile la modifică rile mediului economic;− sunt mai inventive în abilitatea de a r ă spunde la cerin ţ ele

consumatorilor;− creează rapid noi locuri de muncă în sectoarele de activitate şi zonele

geografice supuse unor schimbă ri structurale însemnate;− stimulează şi men ţ in spiritul de ini ţ iativă şi dinamică a agen ţ ilor

economici;

A-PDF Merger DEMO : Purchase from www.A-PDF.com to remove the watermark

http://www.a-pdf.com/





− sus ţ in, prin cooperare şi asigurare a continuit ăţ ii în lan ţ ul productiv şi

logisticii ciclului de via ţă al produselor firmelor mari;− realizează compatibilitatea între distribu ţ ia teritorial ă a resurselor

umane şi materiale şi cea a produc ţ iei de bunuri, în concordan ţă cu

tradi ţ iile locale;− contribuie la diversificarea produc ţ iei în concordan ţă cu diferen ţ ierea

cerin ţ elor pie ţ ei prin realizarea de serii mici şi unicate;− îmbog ăţ esc oferta cu elemente specifice, na ţ ionale şi locale;− raportul: grad de înzestrare tehnică × cost / masa produc ţ ie este net

favorabil întreprinderilor mici şi mijlocii în cazul realiză rii de seriemare a unor subansamble, piese şi repere de complexitate redusă ,necesare produc ţ iei firmelor mari.

− asigur ă activit ăţ ile de între ţ inere, reparare şi recondi ţ ionare abunurilor din dotarea gospod ă riilor popula ţ iei;

− atenuează influen ţ ele nefaste, destabilizatoare a marii industrii;− au o fertilitate inovativă net superioar ă firmelor mari (aceea şi sumă

investit ă în cercetare-dezvoltare în firmele mici duce la de patru orimai multe inova ţ ii decât în cele mijlocii şi de 24 de ori mai multe decât în cele mari). Astfel, datorit ă firmelor mici au apă rut xerografia,transmisia automat ă , motoarele jet, computerele, tehnologia laser,biogenetica, telegrafia etc.

− duc, pentru firmele mari, la realizarea unor importante economii decosturi în activit ăţ ile de proiectare, realizare prototip, serie zero,

preg ă tirea fabrica ţ iei, schimbare tehnologii, recuperarea valoriiutilajelor dezafectate concomitent cu realizarea unui volum ridicat al produc ţ iei;

− diminuează riscurile activit ăţ ii economice în procesul deinterna ţ ionalizare a diviză rii muncii, cu efecte în mondializarea fabrica ţ iei şi prest ă rii de servicii, în generalizarea experien ţ ei şidifuzia progresului tehnic;

− duc la perfec ţ ionarea managementului, prin optimizarea structurilor organiza ţ ionale la nivel de ramur ă , asigurând cadrul de decizie încondi ţ iile actuale ale concentr ă rii capitalurilor şi descentraliză rii

fabrica ţ iei.

Datorit ă variet ăţ ii extreme a domeniilor de activitate, a modurilor deconstituire şi a flexibilit ăţ ii deosebite în desf ăşurarea activit ăţ ii este imposibil de g ă sit un model care să acopere toate tipurile de firme sau o modalitate de prezentare a firmei care să întrunească sufragiile tuturor, de aceea va fi f ă cut ă o prezentare a câtorva modalit ăţ i de analiză a unei firme, considerate ca relevanteîn descrierea firmelor în general, urmat ă de o analiză comparativă a acestora, de prezentarea unui model propriu de conducere optimal ă a unei firme şi de unexemplu de aplicare practică a metodei de studiu prezentate pe o firmă dat ă .



În acest scop am structurat lucrarea de fa ţ ã în şase capitole, prin care se

trece graduat de la general la concret şi de la descriere la analiză urmând firul natural al rezolvă rii unei probleme din economie: prezentare economică ->modelare matematică -> rezolvare pe calculator -> interpretare economică a

rezultatelor. În prima parte va fi f ă cut ă o prezentare descriptivă a unei firme dedimensiuni medii, după un model de firmă virtual prezentat de site-ul englezwww.bized.co.uk, prin identificarea activit ăţ ilor desf ăşurate, a personaluluiimplicat şi a atribu ţ iilor fiecă rui angajat, a zonelor de lucru şi a instrumentelor specifice desf ăşur ă rii fiecă rei activit ăţ i.

În acest capitol vor fi doar amintite sau prezentate sumar modalit ăţ ile,modelele sau tehnicile aplicate în activitatea respectivă , urmând ca în capitoleleurmă toare să se facă prezentarea detaliat ă a acestora. Scopul primului capitol estedoar de a pune în scenă sistemul firmei pentru a da consisten ţă considera ţ iilor

ulterioare. În al doilea capitol se va face o prezentare a firmei ca sistem cibernetic, prin identificarea subsistemelor acestuia şi leg ă turilor dintre acestea, a buclelor feedback posibile în înl ă n ţ uirea de evenimente cauză – efect din activitatea firmei şi fluxurilor de informa ţ ii, materiale, bani etc., prezentându-se pentru fiecare dinacestea modelele cele mai utilizate pentru descrierea, desf ăşurarea, controlul,optimizarea etc. situa ţ iei analizate. În expunere s-a încercat şi o sinteză a viziuniimembrilor Catedrei de Cibernetică Economică din cadrul ASE Bucure şti privind modelarea cibernetică a firmei, atât ca ansamblu cât şi în ceea ce prive şte fiecaredin aspectele legate de activitatea acesteia, a şa cum se desprinde ea din cursurile

predate de ace ştia, din că r ţ ile de specialitate care îi au ca autori, din discu ţ iile purtate în ace şti ani privind aspectele economice interne sau externe sau din lucrul în comun la contractele de cercetare la care am participat în ace şti ani.

Capitolul trei face trecerea de la prezentarea general ă a firmei şi de laexpunerea descriptivă a problematicii şi modelelor corespunză toare la modelareamatematică riguroasă a activit ăţ ii de conducere şi decizie la nivel de firmă , larezolvarea concret ă a modelelor pe baza tehnicilor matematice avansate destinatecontrolului optimal al resurselor şi evolu ţ iei indicatorilor firmei, prin expunerea atrei dintre cele mai cunoscute modele dinamice de firmă : modelul Lesourne-Leban,modelul Ludwig şi modelul van Hill, precum şi efectuarea unei analize

comparative a acurate ţ ei şi relevan ţ ei rezultatelor date de acestea. Plecând de la analiza comparativă f ă cut ă în capitolul anterior în capitolul

4 va fi propus şi studiat în detaliu un model de firmă care extinde modeleleanalizate prin detalierea structurii firmei şi pă strarea indicatorilor considera ţ i deautor ca cei mai relevan ţ i în analiza firmelor pe perioada de tranzi ţ ie specifică economiei din România ultimului deceniu.

Tot în acest capitol se va face de asemenea o analiză a posibilit ăţ ii deadaptare a modelelor dinamice la activitatea concret ă a firmelor, a limit ă rilor acestora în ceea ce prive şte posibilit ăţ ile de rezolvare matematică şi de acoperire



a complexit ăţ ii situa ţ iilor concrete, a relevan ţ ei rezultatelor şi a posibilit ăţ ilor de previziune a evolu ţ iei firmei.

Capitolul 5 este destinat aplică rii concrete a modelului propus şi amodelelor din capitolul trei pe cazul unui set de 669 de firme din industria textil ă

din România pe un orizont de timp de 5 ani, insistându-se în final pe posibilit ăţ ilede rezolvare concret ă pe calculator a modelelor în sensul ob ţ inerii unor softuridestinate aplică rii în practică a modelelor studiate.

Capitolul 6 const ă într-o analiză a unei firme de dimensiuni mici, careurmează toate etapele descrise în aceast ă carte, care se constituie şi ca un r ă spunsla întrebarea: „În ce const ă modelarea st ă rii şi activit ăţ ii unei firme ca sistemcibernetic?”

Softurile scrise de autor în acest sens precum şi detaliile privitoare launele din aspectele prezentate sau suportul matematic utilizat sunt prezentate înanexele din finalul lucr ă rii.

În final doresc să -mi exprim recuno ştin ţ a fa ţă de to ţ i membrii catedrei f ă r ă de care nu ar fi fost posibil ă aceast ă lucrare şi în special domnului Profesor Doctor Eugen Ţ ig ănescu pentru sprijinul permanent acordat în tot acest timp.



CCC A A A PPPIII T T TOOOLLLUUULLL

UUUNNN MMMOOODDDEEELLL DDDEEESSSCCCR R R IIIPPP T T TIII V V V

A A A LLL FFFIIIR R R MMMEEEIII



Introducere

Scopul acestui capitol este de a face o descriere cât mai apropiată desituaţia reală existentă la o firmă, pentru a avea suportul informatic necesar

susţinerii consideraţiilor ce vor fi f ăcute în capitolele următoare referitoarela modul de acţiune al conducerii în vederea optimizării activităţii acesteia.Va fi detaliată situaţia concretă a unei firme în ceea ce priveşte:

- amplasarea acesteia;

- destinaţie dată spaţiilor de lucru;

- organizarea pe departamente sau grupuri de lucru;

- probleme posibile la nivelul fiecărui departament;

- modul de comunicare a informaţiilor între departamente sauierarhic;

- număr de angajaţi implicaţi în fiecare activitate;

- responsabilităţile angajaţilor;

- calităţile pe care le necesită fiecare activitate de la angajatul careo desf ăşoar ă;

- punctele tari şi slabe care pot exista la nivelul unei firme;

- modalităţile de punere în practică a tehnicilor de optimizare aactivităţii din fiecare tip de activitate;

- controlul asupra activităţii firmei;

- controlul asupra calităţii produselor;

- motivarea angajaţilor;

- evaluarea rezultatelor firmei etc.

astfel încât la finalul acestui capitol să existe o imagine suficient de clar ă

asupra firmei care să dea posibilitatea identificării posibilităţilor deconstruire a unor modele ce descriu suficient de fidel activitatea firmei şi să contribuie la găsirea unor tehnici concrete de obţinere de rezultate care să ajute la identificarea strategiilor optime de evoluţie a firmei în situaţiaconcretă existentă la un moment dat.

Deoarece scopul acestui capitol este doar unul descriptiv nu se vainsista pe descrierea amănunţită a modelelor sau tehnicilor enumerate ca posibil de aplicat la fiecare proces desf ăşurat în cadrul firmei, urmând ca oanaliză matematică riguroasă să fie f ăcută în capitolele următoare.



În general o firmă de dimensiuni mici sau mijlocii este structurată peurmătoarele compartimente (vezi figura alăturată):

− Recepţie

− Producţie

− Proiectare - Design

− Marketing

− Contabilitate

− Vânzări

1. Recepţia

Recepţia este unul dintre punctele centrale ale firmei, având un rolvital în transmiterea informaţiilor în cadrul firmei. Toate telefoanele dinexterior sau interior sunt direcţionate spre acest punct şi prin sistemul delinii telefonice interne şi/sau alte mijloace de comunicare interne angajaţiidin cadrul recepţiei pot lua legătura în orice moment cu oricine din orice punct al firmei.

De asemenea, în zona recepţiei se află şi camerele destinateîntâlnirilor de afaceri cu clienţii sau furnizorii firmei, este locul în care auloc ocazional întruniri operative ale conducerii, este spaţiul destinat pauzelor de cafea ale angajaţilor firmei, aici sunt luate interviurile pentruangajare şi locul în care sunt primiţi şi aşteaptă vizitatorii sau alte persoanecare au legătur ă cu firma.

Una dintre cele mai importante funcţiuni ale recepţiei este cea demarketing . Clienţii care vin la firmă pot vedea aici pliante, fotografii, broşuri, afişe, descrieri si mostre de produse oferite de firmă.

Angajaţii din zona recepţiei au de asemenea şi următoareleîndatoriri:

- Fac aranjamentele şi programările pentru verificările şi testeleanuale ale produselor privind certificarea calităţii acestora;

- Supraveghează livrarea produselor;- Programează şi planifică sarcinile de lucru pentru toţi angajaţii

firmei.

De asemenea, aici pot fi expuse piese de schimb, auxiliare pentru

produsele principale ale firmei, suveniruri etc., care pot ajunge de obicei să

Departamentul

vânzări

ProiectareDesign

Contabilitate

Recepţie

Marketing

P R O D U C Ţ I E



acopere, la unele firme, peste un sfert din veniturile totale ale firmei. De faptele pot reprezenta o parte atât de mare din profit încât pentrucomercializarea acestora poate exista un departament special.

Sarcinile îndeplinite de acest departament sunt în special:

- gestionarea şi completarea formularelor contabile legate de clienţişi autorităţi civile din domeniu de activitate al firmei;

- pregătirea, împachetarea şi aranjarea transporturilor de produse alefirmei;

- îndrumarea clienţilor spre angajaţii corespunzători problemelor acestora sau spre reţeaua de vânzători ai firmei;

- verificarea conturilor şi obţinerea plăţilor pentru piesele de schimbşi lucr ările de reparaţii efectuate (căr ţi de credit, schimb, cash,transfer bancar, scrisoare de credit etc)

În concluzie recepţia este interfaţa firmei cu exteriorul şi din acestmotiv este foarte importantă în crearea imaginii firmei şi în menţinerea unuicontact cât mai strâns al acesteia cu mediul extern.

2. Producţia

2.1 Descriere

Procesul de producţie poate fi descris în primul rând prin etapele de produc ţ ie. Procesul de producţie începe în momentul în care echipa care seocupă cu designul produselor (dacă este vorba de un produs nou) sau cinevadin conducerea firmei (dacă este vorba de produse care au mai fostfabricate) înmânează documentaţia detaliată referitoare la toată gama de produse ce vor fi fabricate în următoarea etapă de producţie. Această documentaţie poate consta în documente care conţin toate detaliile privinddimensiunile, materialele, culorile etc. produselor, în şabloane, prototipuri,schiţe sau fotografii ale produselor etc.

De exemplu, dacă este vorba de o fabrică de produse din polietilenă (sfori, placi, pungi, saci etc.), cineva din conducere va înmâna celor caresupraveghează maşinile care transformă bobiţele de polietilenă (materia primă primită de la rafinării) în folie de polietilenă de o anumită consistenţă,grosime, culoare etc., fie parametrii doriţi, fie codul produsului dorit fie pur şi simplu câteva mostre din acesta.

Această folie urmează să fie ulterior spălată, decupată, lipită,împletită, cusută, vopsită etc., în vederea obţinerii produselor finite dorite.



Dacă produsul final este format din mai multe componente etapafinală va consta în asamblarea acestora, ambalarea, etichetarea şi transportullor la depozit sau clienţi.

Pe parcursul producţiei şi la final este necesar ă verificarea

produselor pentru eliminarea rebuturilor, eliminarea imperfecţiunilor destructur ă, culoare, formă etc.

Dacă este vorba de un nou produs este esenţial ca orice defect deconcepţie sau fabricaţie să fie identificat într-o fază incipientă a producţiei,deoarece este evident mult mai ieftin să refaci culoarea, grosimea saucompoziţia foliei după câţiva metrii produşi decât după fabricarea unui lotîntreg de pungi sau saci de polietilenă.

2.2 Aspecte teoretice

Există o multitudine de variante teoretice referitoare la modul deorganizare a procesului de producţie, varianta concretă care este aplicată înfiecare caz în parte depinzând evident de specificul întreprinderii în cauză (produse standardizate de producţie mare, produse complexe cu multevariante posibile de serie mică, comenzi unicat ale fiecărui client în parteetc.)

Dintre cele mai cunoscute teorii amintim:

- producţie pe produs / lot / flux

o produc ţ ie pe produs = cazul în care firma îşi foloseşte toţifactorii de producţie pentru fabricarea unui singur produsla un moment dat. Acest tip de producţie se utilizează deobicei la produse unicat sau de serie foarte mică;

o produc ţ ie pe loturi = cazul în care fiecare operaţie din procesul de producţie este efectuată pe un lot de produse,înainte ca acesta să fie trimis pentru a fi prelucrat înurmătoarea etapă de producţie;

o produc ţ ie în flux = cazul în care producţia are loc într-unflux continuu, produsele trecând individual pe rând de la ooperaţie la alta. Acest tip de producţie este specific cazuluifabricaţiei de serie mare în care produsele suntstandardizate şi pot fi efectuate utilizând o linie de producţie.

- producţie intensiv manuală / mecanizată

o intensiv manual ă = cazul în care valoarea produselor este

dată în principal de cheltuielile cu munca manuală;



o intensiv mecanizat ă = cazul în care pentru fabricarea produselor sunt utilizate în special maşini, roboţi etc.. Estetipică producţiei industriale (maşini, metalurgie etc.)

Metoda utilizată depinde de următorii factori:

− dimensiunea companiei: firmele mici sunt deseori însituaţia de a nu-şi putea permite echipamente tehnicescumpe sau, chiar dacă şi-ar putea permite,dimensiunea producţiei nu ar justifica costurileacestora;

− costul factorilor de produc ţ ie: chiar dacă ar exista unutilaj disponibil pentru o anumită operaţie nu arerost sa-l folosim dacă operaţia s-ar putea efectua maiieftin manual;

− produsul fabricat : anumite produse se pretează mai bine la a fi produse mecanizat decât altele. Astfel, produsele standardizate care sunt fabricate continuuîn cantităţi mari sau foarte mari sunt mult maisusceptibile de a fi produse mecanizat decât produsele sau serviciile cu pronunţat aspectindividual.

- costul producţiei: activitatea oricărei firme implică o mare

varietate de costuri, cele mai cunoscute modalităţi de clasificare aacestora fiind în costuri fixe şi costuri variabile:

o costuri fixe: a căror valoare nu depinde de volumul producţiei (chirii, dobânzi, costuri cu securitatea etc.);

o costuri variabile: a căror valoare depinde de volumul producţiei (materii prime, salarii, energie etc.)

sau în costuri directe şi costuri indirecte:

o costuri directe: acestea sunt similare cu costurile variabile

şi reprezintă costuri care pot fi atribuite direct fiecăreiunităţi de bun produse (materii prime, ambalaj, timpul demuncă necesar producerii unui bun (dacă acesta poate fiidentificat foarte precis) etc.);

o costuri indirecte: cunoscute în practică sub denumirea de supracosturi şi sunt în general costuri care nu sunt legateimediat de produse (marketing, distribuţie, costuri cuangajaţii auxiliari producţiei: secretariat, contabilitate,financiar, administraţie etc., cheltuieli cu clădirile: chirii,

lumină, încălzire, etc., facturi ca: telefon, internet etc.).



- eficienţa producţiei: este vital pentru o întreprindere să seasigure permanent că desf ăşoar ă o activitate eficientă, chiar dacă firma este lider în domeniu sau este în plină expansiune, mai alesdacă acţionează pe o piaţă foarte competitivă. Există mai multe

metode de a măsura eficienţa unei firme, cele mai cunoscute fiindcele care utilizează indicatori ca:

o costul mediu: se calculează cu formula:

costul mediu =(u.fizice)output

(u.m.)totalecheltuieli

şi reprezintă cheltuielile necesare fabricării unei

unităţi de produs.

o productivitatea factorilor de producţie:

productivitate factor de producţie =utilizatproductiedefactordecantitatea

output

Acest indicator, deşi destul de util în măsurarea eficienţeiactivităţii unei firme, necesită o foarte precisă definire,altfel concluziile trase pe baza acestuia vor fi inutilizabilesau chiar dăunătoare: de exemplu se ia în calcul întreagacantitate de factor de producţie consumată sau doar ceaimplicată direct în producţie?

2.3 Detalierea producţiei

În această parte intr ă toate specificaţiile referitoare la procesul de

producţie, detalierea producţiei pe tipuri de produse, a produselor pesubcomponente, operaţii şi suboperaţii, a angajaţilor responsabili cu fiecaredin activităţile de producţie etc., astfel încât să reiasă foarte clar care esteordinea operaţiilor, unde se execută fiecare din acestea, cine se ocupă defiecare dintre ele şi care sunt responsabilităţile fiecărui angajat din firmă pentru ca orice disfuncţionalitate să poată fi, dacă nu preîntâmpinată, cel puţin identificată cu rapiditate şi înlăturată.



2.4 Decizii legate de producţie

a) Decizii legate de procesul de produc ţ ie

Aceste decizii sunt luate după o analiză detaliată a diferitelor etapeale producţiei şi vor avea ca rezultat modul în care va fi organizat sistemul producţiei. Dintre cele mai importante decizii amintim:

1. produsele vor fi fabricate intensiv manual sau mecanizat?2. cum va fi organizată producţia (pe produs, pe lot sau în flux)?

3. care sunt factorii de producţie necesari fabricării produselor proprii?

4. unde va fi localizată (geografic) activitatea de producţie?

5. unde vor fi localizate în cadrul sediilor firmei fiecare dindepartamente pentru ca fluxul de producţie să se desf ăşoare cuviteza maximă posibilă?

b) Decizii legate de investi ţ ii

În cadrul oricărei firme are loc o permanentă reevaluare a metodelor de producţie pentru a avea siguranţa că firma nu r ămâne în urmaconcurenţilor în ceea ce priveşte nivelul productivităţii. Un aspect al acestei

evaluări permanente constă în decizia de a investi sau în alegereamomentului investiţiei în noile procedee de producţie apărute în lume.Decizia de investiţie parcurge de obicei următoarele etape:

1. analizarea avantajelor şi dezavantajelor pe care le areimplementarea noii tehnologii;

2. analiza profitabilităţii investiţiei.

Este evident că unul din cei mai importanţi factori în luareadeciziei de a investi într-o nouă tehnologie este costul acesteia.În mod normal fiecare firmă îşi poate permite să utilizeze maimulte tipuri de utilaje sau maşini existente pe piaţă, de aceeatrebuie aplicată o metodă riguroasă de departajare a acestora pentru a o identifica pe cea optimă. În general valoarea uneitehnologii este dată de profitul viitor pe care îl va aduce aceasta.În practică economică se utilizează în principal două tehnici deevaluare a acestui profit viitor:

− venitul mediu aşteptat;

− perioada de amortizare a investiţiei.



Evaluarea acestor indicatori se face pe baza previziunilor asupra veniturilor suplimentare aduse de fiecare tip de investiţie posibilă. R ămâne de văzut dacă firma va alege varianta cu perioada de amortizare minimă sau varianta cu profitul net viitor

maxim.În exemplul de mai jos au fost studiate două variante posibile de

investiţie, evidenţiindu-se în primul tabel valoarea investiţiei şi veniturilesuplimentare viitoare pentru fiecare din cele două variante iar în al doileatabel calculându-se câţiva indicatori de performanţă pentru fiecare din celedouă variante:

Anul: 1 2 3 4 5Perioada

de recuperare

V1cost:

$40,000 $20,000 $16,000 $14,000 $9,000 $6,000 7

22 ani

V2cost:

$125,000$50,000 $45,000 $25,000 $20,000 $15,000 3 ani si 3 luni

Venit

total

Valoare

investiţie

Profitul net

(Venit-Cost)

Profit mediu anual

(profit net/număr ani)

(profit anual

/cost) x 100

V 1 $40,000 $65,000 $40,000 $25,000 $5,000 12,5%V 2 $125,000$155,000 $125,000 $30,000 $6,000 4,8%

După cum se vede din tabelele de mai sus, deşi varianta unu aduceun profit total şi mediu mai mic decât varianta 2 totuşi amortizarea se facemai repede cu peste un an, iar rata profitului este cu mult mai mare (12,5%faţă de 4,8%). Varianta 2 implică un efort investiţional mult mai mare şi defapt este posibil ca 4,8% să fie chiar mai mic decât dobânda la depozite în bancă, fiind deci mai profitabil să ţii pur şi simplu banii în bancă decât să-iinvesteşti în varianta V2. Din acest exemplu se vede că alegerea greşită acriteriului de selecţie (de exemplu profitul total ) poate duce la alegerea unui proiect total neeficient, astfel încât departajarea proiectelor trebuie f ăcută cumaximă atenţie, luându-se în discuţie cât mai multe aspecte legate deacestea şi, nu în ultimul rând, bazându-ne pe flerul şi experienţa liderilor firmei.

3. Analiza valorii prezente a veniturilor viitoare estimate

Aşa cum s-a observat şi în paragraful precedent, în analiza unui proiect este foarte importantă rata dobânzii pe piaţa financiar ă. Astfel, osumă de bani viitoare are o valoare mai mică prezentă, atât pentru faptul că ea ar fi putut fi obţinută atunci punând la bancă o sumă mai mică în prezentcât şi din cauza inflaţiei. Deoarece investiţia are loc în prezent iar veniturile

vor veni în viitor, pentru o evaluare corectă a valorii unei investiţii este mult



mai potrivit să estimăm profiturile în valoare prezentă pe baza ratei dobânziicurente pe piaţă decât în valoare absolută. Astfel, în valoare curentă şi înipoteza unei rate a dobânzii de 10%, cele două variante ar aduce un profit de:

V1: ∑= +

5

1

1

)100

1(i i

i

r

V

- Cost(V1) = $51,796 – $40.000 = $11,796

V2: ∑= +

5

1

2

)100

1(i i

i

r

V - Cost(V2) = $124,402 – $125.000 = -$598

deci varianta V2 ar duce chiar la pierdere.În această analiză este uzitat şi pragul minim de rentabilitate, privit

ca rata maximă a dobânzii pentru care investiţia ar fi încă profitabilă (venit

total prezent ≥ investiţia). Un proiect este cu atât mai profitabil cu cât pragulminim de rentabilitate este mai mare. Astfel, pentru varianta V1 de 11,706%iar pentru varianta V2 această rată este de 9.764% deci, încă o dată, variantaV1 este mai profitabilă.

4. Alegerea variantei care se potriveşte cel mai bine situaţiei firmei

Este evident că factorii analizaţi mai sus nu acoper ă în totalitatesituaţia concretă, putând exista mulţi alţi factori care pot influenţa deciziaconducerii firmei, cum ar fi cei legaţi de planurile de viitor ale acesteia, de

factorii de risc, factori subiectivi etc. În plus un manager valoros este celcare ştie să ia decizii bune chiar şi când aparenţele (adică informaţiile publice existente) ar duce la o alegere greşită, el bazându-se pe factorisubiectivi (experienţa proprie, fler etc.) sau pe informaţii neoficiale, relaţiietc. Până la urmă valoarea unui manager se măsoar ă nu prin suma de baniadusă firmei ci prin suma de bani adusă peste suma normală realizabilă.

În concluzie, decizia ar trebui luată pe baza unei analize economiceriguroase dar nu trebuie subestimat niciodată rolul unui manager valoros.

c) decizii privind managementul resurselor umane

În general firmele mici şi mijlocii nu au o activitate atât de complexă încât să aibă nevoie de existenţa unui departament destinat specialgestionării resurselor umane. Această sarcină este îndeplinită de o varietatede oameni din cadrul firmei. Astfel, angajaţii din departamentul decontabilitate au în responsabilitate plata salariilor şi pontarea venirii şi plecării angajaţilor de la lucru, şeful fiecărui departament susţine şisupraveghează activitatea angajaţilor din propriul departament iar managerul şef (sau chiar patronul firmei) are grijă permanent ca angajaţii săi

să fie mulţumiţi şi motivaţi (cel puţin într-o firmă ideală).



Dintre aspectele legate de managementul resurselor cele maiimportante sunt:

1. motivarea angajaţilor firmei

Există o multitudine de teorii 1) care au fost dezvoltate de-a lungul

ultimilor ani referitoare la cum ar putea fi motivaţi angajaţii unei firme, printre cele mai cunoscute fiind:

− Taylorism;− McGregor (Teoria X şi Teoria Y);− Maslow – ierarhizarea nevoilor;− Fredrick Herzberg – anii ’60.

2. comanda şi controlul angajaţilor şi activităţilor din firmă

Cea mai fidelă oglindă a relaţiilor şef-angajat este dată de

organigrama întreprinderii. Aceste relaţii trebuie definite de aşa natur ă încât nici o persoană să nu fie supraîncărcată de sarcini, încât fiecare să ştieexact în faţa cui trebuie să r ăspundă pentru acţiunile sale şi ordinele căruiangajat trebuie să le execute precum şi care sunt responsabilităţile şidrepturile sale în cadrul firmei.

3. pregătirea personalului

Cel puţin pentru slujbele care necesită o înaltă sau foarte înaltă specializare, în afar ă de necesitatea unei perioade apreciabile de pregătire înşcoală, este necesar ă, în plus, o perioadă apreciabilă pentru obţinerea uneiexperienţe de lucru suficientă pentru a le putea efectua nesupravegheat. În plus, în aceste cazuri, de obicei este necesar ca angajatul să studiezecontinuu mult timp după aceea. O mai bună pregătire a angajatului va atrageîn mod normal o creştere a productivităţii acestuia.

Există o varietate de modalităţi de a efectua aceste pregătiri,cursurile putând fi ţinute de angajaţi ai firmei (cursuri interne) sau de ter ţi(cursuri externe), în timpul lucrului angajatului sau în afara lucrului etc.,firma r ămânând să aleagă varianta cea mai potrivită în fiecare caz.

Perioada de pregătire reprezintă, evident, un efort de timp şi de bani pentru firmă, uneori foarte mare, de aceea este important pentru aceasta caangajaţii să r ămână să lucreze aici pentru a aduce prin activitatea lor cel puţin profitul care sa acopere cheltuielile cu pregătirea lor.

Pentru a evidenţia capacitatea firmei de a-şi reţine angajaţii sefoloseşte de obicei indicatorul înlocuire a for ţ ei de muncă exprimat prin:

Număr angajaţi care păr ăsesc firma într-o perioadă dată de timp Numărul mediu de angajaţi ai firmei

1 Vezi anexa I



Conducerea firmei este chemată să identifice motivele pentru care păr ăsesc angajaţii firma iar în cazul creşterii indicatorului de înlocuiretrebuie să identifice rapid modalităţile de contracarare a motivelor pentrucare angajaţii păr ăsesc firma.

d) decizii legate de costuri

1. încadrarea costurilor firmei potrivit poziţiilor din actele contabile

În general problema gestiunii costurilor firmei cade în sarcinadepartamentului contabilitate şi repartizarea costurilor pe categorii decosturi este o procedur ă destul de standardizată, conform legislaţiei şiregulilor contabile aplicate în ţara respectivă.

Totuşi, pentru anumite categorii de costuri r ămâne la latitudineacontabililor firmei să distribuie aceste costuri pe poziţiile contabile

corespunzătoare.2. identificarea costurilor implicate de producerea fiecărui din

produsele firmei

Această etapă este esenţială în vederea stabilirii preţului de vânzare a produselor. În general, pentru analiză sunt luate în considerare trei metodede evaluare a costurilor:

− costuri totale− costuri de absorbţie

− costuri marginaleR ămâne ca firma să decidă care modalitate se potriveşte cel mai binela fiecare tip de produs.

3. măsurarea eficienţei cheltuielilor f ăcute în scopul stabilirii pe ceşi în ce cantitate vor fi cheltuiţi banii.

Eficienţa cheltuielilor este strâns legată de eficienţa factorului de producţie căruia i-au fost destinate. După natura acestuia se va stabili careeste cea mai potrivită metodă de măsurare a eficienţei şi care este relevanţaacesteia.

Astfel, dacă este vorba de investiţii în pregătirea personalului, estenecesar să decidem care este creşterea productivităţii datorată îmbunătăţiriicunoştinţelor şi experienţei acestuia. Dacă este vorba de achiziţionarea unuinou utilaj vom calcula creşterea producţiei şi a profitului adus defuncţionarea acestuia. Dacă este vorba de aplicarea unei noi proceduri într-oactivitate vom măsura efectele implementării acesteia asupra mediului delucru şi asupra profitului. Cele mai comune aspecte sunt legate de:

- raportul muncă manuală / mecanizată;

-

reducerea nivelului costurilor indirecte;



- tehnici de îmbunătăţire a organizării producţiei (în special celedin domeniul cercetări operaţionale);

- proiectarea uzinei;- specializare şi standardizare;

- automatizare/computerizare.e) decizii legate de pre ţ ul de vânzare al produselor

Aici intr ă în discuţie diferitele modalităţi mai mult sau mai puţincunoscute de formare a preţurilor (a fost păstrată terminologia engleză deoarece traducerea în română poate denatura sensul noţiunii respective):

- Absorption costing(costul de absorbţie) - se separ ă costurile încosturi de producţie şi costuri din afara producţiei (cu vânzarea,administraţia etc), pentru acestea din urmă aplicându-se o

tehnică prin care să se regăsească în preţul produsului (să fieabsorbite în preţul de vânzare).- Cost-plus pricing – obţinut în competiţia de monopol sau

oligopol prin adăugarea unui suprapreţ la nivelul mediu alcostului variabil.

- Contribution pricing – acoper ă toate costurile directe plus ocontribuţie pentru costurile indirecte şi profito Preţ distructiv – este utilizat în încercarea de a elimina

competiţia. Ideea este de a micşora preţul până la nivelul la

care adversarii ar da faliment. Este clar că metoda trebuieaplicată doar în cazul în care există siguranţa că adversarii nu pot suporta acest preţ, altfel şi (sau numai!) firma care aplică această strategie va da faliment.

o Preţ imitativ sau Preţul pieţei – preţul este fixat la nivelulcelui mediu de pe piaţă (dacă acesta nu e sub cel pe care şi-l poate permite firma).

o Preţul ofertei – este cel mai mic preţ pe care îl poţi obţinedacă studiezi piaţa produsului (serviciului) respectiv.

- Preţuri de piaţă o Market Skimming – este aplicat când firma este unica

furnizoare a produsului respectiv. Acest preţ este mai maredecât cel normal pe ideea că firma trebuie să profite cât demult poate de faptul că e unicul furnizor pe piaţă. Totuşi, preţul nu poate fi prea mare pentru a nu îndepărta completcumpăr ătorii.

o Penetration Pricing – Este mai mic decât cel normal pe piaţă (cel oferit de firmele deja existente) şi este utilizat

pentru a atrage clienţii până ce aceştia se obişnuiesc să



cumpere de la firma (magazinul firmei) respective, apoi esteadus la valoarea pieţei.

o Price Discrimination – Este o tehnică prin care firma practică preţuri diferite la acelaşi produs, în funcţie de timp

(de exemplu preţul impulsului în telefonie), în funcţie declient, zonă etc., pentru a maximiza vânzarea.

o Pricing to Customer Expectations – necesită studii de piaţă periodice şi reprezintă preţul considerat normal decumpăr ători aşa cum reiese din studiile efectuate.

o The Use of Sales and Discounts – preţul mult mai micaplicat la aşa zisele lichidări de stocuri, pentru a vinde produsele care nu mai sunt la modă sau de sezon etc.

f) tehnici de luare a deciziilor

Principalele două tehnici de luare a deciziilor sunt:i. Analiza drumului critic (ADC)

ii. Prin utilizarea arborilor de decizie Analiza drumului critic constă în reprezentarea procesului de

producţie printr-o diagramă asemănătoare celei din figura de mai jos, în caresunt evidenţiate procesele şi ordinea efectuării acestora. Utilizând această tehnică putem vedea, de exemplu, care va fi efectul unei investiţii înachiziţionarea unui nou utilaj şi decide dacă merită sau nu să facem această

investiţie sau care ar fi varianta optimă de acţiune în cazul desf ăşur ării uneiactivităţi complexe.Este una din metodele clasice de analiză specifice cercetării

operaţionale, prezentarea metodei fiind f ăcută pe larg în căr ţile şi cursurilede cercetări operaţionale menţionate în bibliografie, astfel că nu se va insista pe descrierea metodei în acest capitol.

De asemenea, există o multitudine de soft-uri destinate rezolvăriicazurilor concrete, cum sunt QM, WINQSB, MSProject etc, motiv pentrucare metoda este utilizată în majoritatea firmelor, indiferent de dimensiunea

acestora.

1

2

3

5

4

6

A

B

C

D

E

F

G



Utilizarea arborilor de decizie constă în reprezentarea tuturor variantelor posibile de investiţie pentru o zonă a producţiei susceptibilă deîmbunătăţiri şi analiza fiecăreia în parte şi a întregului arbore în ansamblu.Astfel, în cazul deciziei de a achiziţiona un utilaj mai performant decât cel

existent pot apărea cazurile:- să se menţină în funcţiune vechiul utilaj;- să se cumpere un nou utilaj;- să se închirieze un nou utilaj;- operaţia efectuată pe utilajul respectiv să fie efectuată de o altă

firmă;

Arborele asociat va avea următoarea formă:

2.5 Probleme privind producţia

În lumea reală a afacerilor există o multitudine de restricţii de caretrebuie să ţină cont firma în deciziile şi acţiunile acesteia. Este de aceeafoarte important să se cunoască cum trebuie abordată fiecare din acestea şicum pot fi obţinute informaţii de încredere (dacă pot fi obţinute!) privitoarela tehnologia de producţie a firmelor concurente.

În cazul în care firma acţionează într-un mediu puternic competitiveste vital să se analizeze în fiecare moment posibilităţile de creştere a

eficienţei prin identificarea zonelor cele mai susceptibile de a face obiectulunor îmbunătăţiri ulterioare.De asemenea, pentru succesul pe termen lung în afaceri este necesar ă

stabilirea şi respectarea permanentă de strategii şi politici privind activitateaşi dezvoltarea firmei, pentru ca firma să fie pregătită să facă faţă dinamiciimediului economic.

Trebuie ca în permanenţă firma să-şi pună problema eficienţeimodalităţilor de pregătire a angajaţilor şi să descopere care sunt modalităţile prin care poate convinge angajaţii să nu păr ăsească întreprinderea după

efectuarea stagiului de pregătire sau specializare.

men inerea vechiului utilaj

cumpărarea unui nou utilaj

închirierea unui nou utilaj

efectuarea opera iei de ter i



Este important ca firma să aibă mereu în vedere creşterea posibilităţilor de investire în viitor, să analizeze variantele de a obţine baniinecesari (împrumuturi, vânzări de acţiuni, închirieri, utilizarea profitului propriu etc.) şi, nu în ultimul rând, să fie mereu atentă la oportunităţile care

apar pe piaţă.

2.6 Controlul calităţii

Controlul calităţii implică două aspecte:

- managementul calităţi: constă în modul în care firma organizea-ză activitatea de control a calităţii produselor;

- controlul calităţii: constă în stabilirea criteriilor după care estestabilită calitatea unui produs.

În stabilirea metodologiei de efectuare a controlului este implicată atât firma cât şi organizaţiile guvernamentale sau nonguvernamentale decertificare a calităţii.

Una dintre cele mai noi viziuni asupra efectuării controlului decalitate este managementul total al calit ăţ ii, variantă în care calitatea produselor este controlată pe toată durata procesului de producţie şi toţiangajaţii firmei sunt responsabili de calitatea acestora.

Problematica este larg studiată în special de disciplinele

merceologiei, existând teorii întregi despre tehnica de eşantionare a produselor ce vor fi verificate în cazul loturilor mari de produse şi a moduluide stabilire a nivelelor de calitate. De asemenea trebuie luate în considerarecosturile implicate de efectuarea controlului de calitate şi trebuie evaluate problemele care ar apărea dacă nu s-ar efectua un control corespunzător alcalităţii.

Modul cum este tratată problema calităţii produselor este cea care va proba seriozitatea firmei şi va determina în final succesul produselor firmeişi volumul vânzărilor.

3. Proiectare - Design

3.1 Descriere

Nu este obligatoriu ca o firmă să aibă neapărat un departament de proiectare sau design al produselor (de exemplu firmele de comer ţ) dar, dacă ne referim la o firmă de producţie de dimensiuni mici sau mijlocii careacţionează pe o piaţă pe care nu deţine în nici un caz monopolul asupra

tipului general de produse pe care îl ofer ă, atunci apare aproape evident că



singurul mod de a câştiga, menţine sau impresiona consumatorii estecontinua varietate a ofertei. Deoarece această varietate nu poate însemna defiecare dată o revoluţie în domeniul de activitate respectiv(firma nu are niciresursele necesare pentru cercetări de amploare în domeniu, nici timp pentru

testarea noilor produse şi nici nu e de crezut că poţi avea tot timpul ideifantastice în acelaşi domeniu de activitate) până la urmă 99% din schimbăriconstau în modificarea aspectului sau a prezentării. De exemplu, o firmă de produs ambalaje din polietilenă nu va schimba în nici un caz procedeul de a produce polietilena, nu va inventa tot timpul alt tip de ambalaje (va face tot pungi, saci, sticle etc.) dar va schimba aproape constant forma, culoarea,imprimeul etc. de pe aceste ambalaje.

Dimensiunea acestui departament depinde de complexitatea produselor fabricate, fiind necesare, de exemplu, cu totul alte cunoştinţe

pentru partea mecanică decât pentru aspectul exterior sau compoziţiamaterialelor utilizate.

Cel mai probabil producţia firmei va fi împăr ţită în două tipuri de produse:

a) produse standard , pentru care volumul producţiei va fi mare saufoarte mare, fabricate pe baza unor specificaţii deja existente,testate deja pe piaţă şi pentru care firma nu-şi propune (cel puţinîn viitorul apropiat) să le aducă modificări;

b) produse speciale, care sunt unicat sau de serie foarte mică,fabricate fie ca urmare a unor comenzi speciale ale clienţilor, fieexperimental sau pentru a testa piaţa.

Este evident că cea mai mare parte din activitatea departamentului de proiectare şi design este alocată produselor din a doua categorie. Diferenţeledintre cele două tipuri de produse (privite din punctul de vedere aldepartamentului proiectare-design) pot fi sintetizate în tabelul de mai jos:

Produse standard Produse speciale

- Dezvoltare treptată a designului actual pentru a menţine produsele la nivelulîmbunătăţirilor din domeniulmaterialelor şi echipamentelor utilizate

- fiecare produs necesită un desing propriu

- necesită certificare a calităţii din parteaautorităţilor abilitate numai designul, nuşi fiecare produs în parte

- fiecare produs necesită propria certificare acalităţii

- este nevoie doar ocazional de modificăride design şi acestea de mică amploare

- fiecare produs aredesign propriu



Procesul de proiectare şi design presupune în general parcurgereaurmătoarele etape:

- definirea exactă a parametrilor noului produs;- efectuarea schi ţ elor şi desenelor noului produs;

- construirea unui model ;- testarea parametrilor modelului;- elaborarea specifica ţ iilor detaliate ale produsului.Evident că procedura poate varia foarte mult, în funcţie de specificul

firmei.Departamentul design este de asemenea cel în care firma depune cel

mai mare efort privind pregătirea personalului, fiind necesar ă o lungă perioadă de acomodare a angajaţilor la specificul produselor firmei precumşi o pregătire anterioar ă în domeniu pentru ca acestea să poată avea

responsabilităţi complete în activitatea depusă.3.2 Aspecte teoretice

Pentru ca un produs să aibă succes pe piaţă este necesar ca acesta să întrunească o serie de atribute privind designul, multe din acestea fiindcritice în ceea ce priveşte concepţia şi producţia.

Produsele trebuie să:

- fie u şor de folosit şi eficiente, pentru a satisface aşteptărilecumpăr ătorilor, acest aspect fiind decisiv în ceea ce priveştedistribuirea pe piaţă a produselor de către comercianţi;

- fie u şor de între ţ inut , firma oferind eventual consultanţă, service, piese de schimb, garanţie etc;

- nu polueze mediul înconjur ă tor sau să o reducă la minim;- fie viabile comercial : chiar dacă ele par nemaipomenite

angajaţilor firmei nu trebuie să fie scoase pe piaţă până când nueste verificată reacţia consumatorilor la noile produse;

- aibă siguran ţă în func ţ ionare;- aibă un aspect pl ă cut , mai ales produsele destinate activităţilor

recreative;- fie vandabile, aspect care, pentru o gamă foarte largă de produse,

depinde de cât de plăcut este aspectul acestora.

Pentru a r ămâne competitive este necesar ca produsele să evolueze şisă se îmbunătăţească continuu, acest lucru obţinându-se numai pe baza unui proces continuu de cercetare şi creaţie. Acest proces cere de obicei un efortfinanciar considerabil, f ăr ă a avea garantat succesul şi necesită o perioadă detimp considerabilă pentru a se materializa într-un profit care să justifice

cheltuielile. În general banii trebuie cheltuiţi în primele stadii ale ciclului de



viaţă al produselor, urmând apoi o lungă perioadă de dezvoltare a produsului şi, dacă acesta are succes, este necesar ă încă o perioadă îndelungată pentru ca acesta să ocupe o parte importantă din piaţă. Acest proces este cu atât mai îndelungat cu cât produsele sunt mai complexe, fiind

necesare deseori o serie întreagă de dezvoltări succesive a componentelor pentru ca produsul complet să ajungă în etapa de dezvoltare şi intrare pe piaţă.

3.3 Detalii ale procesului de proiectare – design

Aşa cum s-a văzut şi în paragrafele anterioare, principalele treicomponente ale departamentului de proiectare – design sunt:

- produsele standard;- produsele speciale;- proiectanţii şi designeriiÎn tabelul de mai jos este redată pe scurt o parte din problematica

legată de fiecare componentă, conţinând tr ăsături, detalii şi probleme pe caretrebuie să şi le pune şi rezolve firma în scopul unei activităţi eficiente adepartamentului:

Produse standard Produse speciale Proiectanţi - designeri

- care este gama de produse din această categorie?

- care este gama de produse din această categorie?

- - care sunt factorii caredetermină nivelul sala-riului unui proiectant saudesigner?

- propor ţia în carecontribuie costurilecu designul acestorala costul final al pro-duselor şi în ce cate-

gorie de costuri seîncadrează acestea?

- propor ţia în care con-tribuie costurile cudesignul acestora lacostul final al produ-selor şi în ce categorie

de costuri se încadrea-ză acestea?

- - care sunt modalităţile prin care poate fi motivatsau constrâns un designer sau proiectant pentru aaduce un profit cât mai

mare firmei?

- care sunt cele maiimportante caracte-ristici legate dedesign corespunză-toare acestui tip de produse?

- ce factori de producţiesunt necesari în pro-iectarea, designul şi producţia acestui tipde produse?

- - ce pregătire şi ce expe-rienţă trebuie să aibă unangajat pentru a putealucra în departamentul de proiectare şi design?



- ce aptitudini şiîndemânări trebuiesă întrunească unangajat pentru a

lucra la proiectareaşi designul acestuitip de produse?

- cât de experimentaţisau ce calităţi supli-mentare trebuie să aibă cei care lucrează la

acest tip de produse încomparaţie cu cei carelucrează la produselestandard?

- care este procedura deevaluare pentru angajareaunui nou designer sau proiectant?

- cât de importantă este activitatea decercetare şi dezvol-tare în obţinereasuccesului pe piaţă aacestor produse?

- care din caracteris-ticile acestor produsele fac diferite de celestandard?

- ce calităţi trebuie să aibă un angajat din acestdepartament?

3.4 Probleme privind proiectarea şi designul

În general, mai ales în ultimul timp, activitatea de design şi proiectare necesită utilizarea unui instrumentar special, începând de la planşa desenatorului până la soft-uri de desing 3D sau incinte de încercare a produselor. În a ceste condiţii apare, cel puţin în cazul unei pieţe atât de

dinamice cum este cea a soft-ului, necesitatea actualizării acestora, fie prinîmbunătăţiri ale celor proprii, prin for ţe proprii sau apelând la ter ţi, fie prinachiziţionarea acestora. Una din probleme este găsirea variantei optime princare firma să r ămână cel puţin la nivelul concurenţilor din domeniu.

O altă problemă este legată de găsirea şi/sau pregătirea unor angajaţicât mai buni în domeniu, dată fiind înalta specializare, calificare şi calităţilespeciale pe care trebuie să le aibă aceştia. De asemenea, este foarteimportant să se creeze mediul adecvat pentru ca aceştia să r ămână fidelifirmei şi să dea tot ce au mai bun.

S-a văzut mai sus că activitatea din acest departament este cel maigreu de apreciat prin prisma profitului firmei, de aceea este forte importantsă existe un control al fondurilor utilizate pentru cercetare şi dezvoltare pentru a putea estima cât mai exact profitul viitor probabil atât din noile produse cât şi din cele existente.

Este de asemenea necesar ă o procedur ă prin care firma să se asigurecă nivelul produselor sale este la nivelul concurenţei şi că angajaţii săi dinacest domeniu lucrează la nivelul specialiştilor din firmele concurente.

În final, trebuie găsită acea soluţie prin care, cu un efort financiar

cât mai mic, firma să r ămână competitivă pe piaţă.



3.5 Alte aspecte legate de proiectare si design

Deşi studiul design-ului în sine reprezintă doar o mică parte dinstudiile legate de conducerea afacerilor el reprezintă o componentă vitală a

produsului, căreia orice om de afaceri trebuie sau ar trebui să-i acorde oatenţie specială. Dintre aspectele pe care ar trebui să le ia în considerareconducerea unei firme fac parte şi următoarele:

1. Orientarea spre produc ţ ie sau spre pia ţă a firmei

Prin orientarea spre producţie înţelegem cazul în care producătorii îşidezvoltă şi fabrică produsele după propriile păreri asupra a ceea ce înseamnă un produs „bun” şi apoi muncesc din r ăsputeri să-i convingă pe consumatorică acel produs reprezintă exact ceea ce le trebuie. Acest mod de gândire este

evident riscant (s-ar putea să nu reuşim să-i convingem pe consumatori deasta) şi foarte costisitor (cheltuieli cu reclama, promovarea produsului,formarea sau schimbarea preferinţelor consumatorilor etc.).

De aceea, în ultimul timp firmele tind să fie mult mai atente lasemnalele pieţei şi realizează că ar trebui să proiecteze şi producă bunuricare r ăspund exact cerinţelor pieţei şi nu părerilor proprii. Ei depun din ce înce mai mult efort şi timp pentru studii de piaţă care să-i asigure că ştiu caresunt cerinţele acesteia, deci calitatea şi cantitatea în care sunt produse bunurile corespund cât mai bine situaţiei de pe piaţă.

2. Analiza valorii

Analiza valorii este o tehnică prin care consumatorii se asigur ă că primesc, cumpărând un produs, echivalentul banilor cheltuiţi. Acest fapt provine din observaţia că, deşi proiectanţii doresc ca produsul lor să fie câtmai bun posibil, totuşi ceea ce hotăr ăşte cum va fi în final un produs esteanaliza economică a acestuia. Astfel, un produs nu va putea fi exact cum l-ar dori proiectanţii sau consumatorii dacă aceasta conduce la un preţ de producţie (şi deci de vânzare) prea mare, astfel că se va căuta un compromis

prin care un produs va fi cât de bun poate fi în limita unui preţ de producţiedat. În anumite cazuri această nevoie de încadrare în preţ poate conduce larealizarea unui produs aproape inutilizabil, adică pentru banii daţi pe elcumpăr ătorul nu primeşte de fapt nimic în schimb (doar un deşeu frumosambalat).

Pentru ca produsul să-şi îndeplinească încă cu succes funcţiile pentrucare a fost produs şi să se şi încadreze în limita de preţ este necesar ă ostrânsă cooperare între toate compartimentele firmei. Proiectanţii trebuie să verifice, în strânsă legătur ă cu angajaţii din departamentul marketing, care

sunt compromisurile asupra produsului pe care consumatorii sunt dispuşi să



le accepte apoi să verifice, împreună cu angajaţii din departamentul de producţie, fezabilitatea diferitelor variante de produs şi tehnică de producţie.Este evident că procesul este complex, dificil şi de lungă durată dar estesingurul care conduce la beneficii reale.

3. Patentele

Un patent este actul prin care este protejat un inventator de copiereasau furtul propriei invenţii. Această protecţie se întinde pe 15 ani de laînregistrare. Pentru ca invenţia să fie oficial recunoscută este necesar ă aprobarea şi înregistrarea ei de către Oficiul de Patente. Procedura deînregistrare a unei invenţii poate fi un proces de lungă durată, în careinventatorul trebuie să demonstreze că produsul (sau procesul) său este într-adevăr unul complet nou.

Firmele trebuie să depună deci un efort deosebit pentru a-şi proteja propriile cercetări şi pentru a se asigura că sunt singurii beneficiari (cel puţin pe 15 ani sau până vând patentul) ai rezultatelor activităţii de cercetareşi dezvoltare.

4. Departamentul Marketing

4.1 Descriere

Activitatea şi importanţa acestui departament depind de mai mulţifactori, cum sunt:

- intensitatea concuren ţ ei pe pia ţ a produselor firmei

Este evident că într-o piaţă cu concurenţă acerbă trebuie ca firma să ştie exact care sunt preferinţele clienţilor, pentru că orice eroare de apreciere poate duce nu numai la pierderi financiare ci chiar la falimentul firmei. Deasemenea este foarte importantă şi cunoaşterea structurii acestei concurenţe,dimensiunii competitorilor etc.

- complexitatea produselor

Dacă produsele sunt foarte complexe atunci firma are foarte mulţifurnizori de piese componente, deci foarte multe variante de obţinere a produsului finit, dar există cu siguranţă şi câteva verigi slabe şi anume piese pentru care este problematică înlocuirea sau obţinerea constantă a acestora.În acest caz studiul pieţei are ca scop nu doar piaţa de desfacere a propriului produs ci şi pieţele de desfacere ale furnizorilor.



O mare complexitate atrage de asemenea şi costuri ridicate saudurate mari de prelucrare, ceea ce face şi mai importantă analiza cât maiexactă a pieţei.

- compozi ţ ia consumatorilor

Este important să cunoaştem ce categorie de consumatori cumpăr ă produsele firmei precum şi motivele pentru care o fac. Astfel, putem avea persoane private sau particulare, cu venituri mari, medii sau mici, profesionişti sau amatori, colecţionari etc., detailişti sau en-gros-işti, copii,tineri, oameni în vârstă, bărbaţi sau femei, din mediul rural sau urban, cunivel de cultur ă diferit etc., astfel că identificarea acestora este destul dedificilă şi necesită studii amănunţite ale pieţei.

- pre ţ ul produselor comercializate

Pentru produse de serie mare, pre ţ scă zut şi consum permanentexistă o oarecare tradiţie în gusturile consumatorilor şi este destul de riscantsă vii cu produse total noi. Studiile în acest caz se vor axa în special pemodul de prezentare al produsului.

Cu totul alta este situaţia pentru produsele foarte scumpe, la careconsumatorii îşi iau mult mai multe precauţii la cumpărare şi la careîncearcă să cunoască cât mai bine oferta de pe piaţă. În acest caz cercetărilese axează pe motivaţia consumatorilor, pe calitatea produselor, pe oferirea

de asistenţă, service sau îmbunătăţiri ulterioare ale produsului.- nivelul veniturilor popula ţ iei

Este general valabil că cererea este în general direct propor ţională cunivelul veniturilor pentru produsele scumpe şi inelastică sau invers propor ţională pentru cele mai ieftine şi de calitate mai scăzută.

- tipul produselor

Este evident că cercetarea pieţei va depinde de caracteristicileintrinseci ale produsului, de nevoile cărora este adresat (primare, secundareetc.), de dimensiunile produsului, de specificul său naţional, de posibilităţilede transport şi export etc.

- numă rul firmelor existente pe pia ţ a produsului

Pentru cazul multor firme, fiecare cu o cotă de piaţă foarte mică şi produse cu preţ scăzut este mult mai utilă activitatea de reclamă prin mass-media decât în cazul existenţei a câtorva firme şi/sau produse scumpe, pentru care este mult mai eficientă reclama „din gur ă în gur ă”, prin întâlniricu clienţii, conferinţe, recepţii, etc.



În final trebuie precizat că un bun marketing necesită şi o orientareadecvată a producţiei, flexibilitate, existenţa de specialişti în domeniu încadrul firmei, o bună reţea de agenţi şi o cunoaştere profundă a pieţei.


Toate studiile economice spun că este important ca firma să-şiidentifice cât mai exact piaţa pe care acţionează şi că acest proces începe deobicei printr-un studiu de piaţă. Totuşi, există şi cazuri în care acest procesnu este atât de important, ca de exemplu în cazul în care cei care producsunt de asemenea şi consumatori ai propriilor produse, deci ştiu foarte binecare sunt preferinţele consumatorilor.

Următorul pas constă în delimitarea segmentului de piaţă pe care va

acţiona firma şi, în final, în crearea unei strategii de marketing cât maieficiente, care să ia în considerare activitatea de la toate nivelurile firmei şisă ţină cont de specificul produselor proprii.

În continuare va fi detaliat fiecare din aspectele legate de activitateade marketing.

1. Delimitarea segmentelor de pia ţă

Există mai multe modalităţi de delimitare a segmentelor de piaţă,dintre criteriile utilizate în acest sens f ăcând parte:

- criteriul demografic: delimitarea se face în funcţie de vârstaconsumatorilor sau a întregii populaţii;

- criteriul geografic: pe ţări, regiuni sau zone geografice;

- criteriul comportamental : după natura cumpăr ăturilor efectuate,după utilizarea dată produselor cumpărate, loialitatea faţă de omarcă anume etc.;

- criteriul beneficiului: după utilizarea şi satisfacţia pe care o obţine

consumatorul;

- criteriul socio-economic: după statutul social şi nivelul veniturilor consumatorilor.

Fiecare din aceste criterii poate fi mai mult sau mai puţin relevant pentru fiecare firmă în parte, dar pe baza tuturor acestora firma poateconstrui o hart ă a pie ţ ei, aceasta reprezentând un instrument foarte util deanaliză a pieţei, care ajută la identificarea oportunităţilor ivite pe piaţă.Oricare dintre aceste criterii poate fi utilizat pentru a construi harta.



De exemplu, pe baza criteriului comportamental, în cazul produsului„rachetă de tenis” am putea obţine:

Distracţie

A m a t o r i

P r of e s i oni

ş t i

Competiţii

Pe baza acestei hăr ţi departamentul de marketing poate vizualizazonele în care tind să se plaseze consumatorii propriilor produse. Astfel, o

aglomerare a consumatorilor în colţul din stânga-sus va ar ăta că marea masă a consumatorilor sunt amatori care utilizează aceste rachete pentru propriadistracţie iar o aglomerare a consumatorilor în colţul din dreapta-jos va ar ătacă marea masă a consumatorilor sunt jucători profesionişti care utilizează aceste rachete în competiţii.

2. Mixtul de marketing

Mixtul de marketing reprezintă ansamblul de tehnici utilizate de ofirmă pentru a vinde un produs. Componentele acestuia sunt cunoscute ca

cei patru P:- Pre ţ = preţul produsului ca modalitate de comparare a firmei cu

concurenţa. Există două tehnici principale în ceea ce priveşte preţul:

• preţ mai mare decât pe piaţă, corespunzător la produse de lux

• preţ mai mic decât pe piaţă, pentru a obţine unvolum mare de vânzări

- Produs = urmărirea îndeaproape a pieţei şi construirea unui produs f ăcut special pentru segmentul pe care dorimsă-l câştigăm pe piaţă;

- Promovare = vânzări promoţionale, reclamă, sponsorizări etc.;

- Pozi ţ ie = modul de distribuţie al produsului (în ultimul timp seobservă încercări din ce în ce mai susţinute de scurtarea traseului sau a duratei distribuţiei)



3. Ciclul de via ţă a produsului

Pentru a-şi putea comercializa cu succes produsele este important cafirma să cunoască ciclul de viaţă a propriilor produse. În mod normal ciclulde viaţă al unui produs are următoarele 5 etape:

a) Dezvoltare b) Lansare pe piaţă c) Creştered) Maturitatee) Declin

Cele cinci etape pot fi urmărite în graficul pe mai jos:

Pe acest grafic pot fi urmărite evoluţia cifrei de afaceri şi a profituluide-a lungul celor 5 etape din ciclul de viaţă al produsului.

Una din tehnicile deseori utilizate de firme este încercarea de aîntârzia etapa de declin a produsului f ăcând ca etapa de maturitate să durezecât mai mult. Deoarece faza de maturitate este faza cea mai profitabilă pentru firmă ţinând cont de faptul că produsul a ajuns deja la forma optimă şi toate cheltuielile necesare dezvoltării au fost deja acoperite cu cât aceasta

va dura mai mult cu atât firma va obţine mai mult profit.4. Matricea Boston

Deoarece fiecare din produsele firmei va avea un alt grafic al cicluluide viaţă acesta nu poate aduce informaţii clare despre activitatea firmei caîntreg. Cum pentru o firmă este foarte important să aibă o idee clar ă despresituaţia întregului portofoliu sunt utilizate în acest scop tehnici de marketingca Matricea Boston. Aceasta constă în împăr ţirea produselor în 4 tipuridiferite:

- produse lider : care sunt în faza de creştere a ciclului de viaţă. Ele

au o importanţă deosebită în domenii cu expansiune rapidă;

Debut Cre tere Maturitat Declin

Venituri din

vânzări

Profit

CAProfit

Dezvoltare

t



- surse de lichidit ăţ i: sunt produsele aflate în faza de maturitate şiau o importanţă deosebită pe pieţele de acţiuni;

- produse problemă : produse care nu au avut performanţe prea bune pe pieţe cu expansiune rapidă. Dacă firma nu redresează

această situaţie ele ar putea pune probleme devenind o frână îndezvoltarea firmei;

- Piedici: produse care nu au mers bine niciodată. Ele acoper ă omică parte din pieţele cu creştere lentă.

În final firma trebuie să verifice dacă are o balanţă adecvată a produselor. Ar putea, de exemplu, deveni foarte periculoasă o situaţie încare firma ar avea prea multe produse surse de lichidităţi f ăr ă a avea nici un produs lider sau vreunul în perspectiva de a deveni lider. De asemenea esteîngrijor ătoare şi o situaţie cu prea multe produse piedică.

4.3 Detalii ale activităţii de marketing

Principalele aspecte ale activităţii de marketing pot fi sintetizate întabelul de mai jos:

Segmentarea pieţei

Angajaţii

departamentului

marketing

Accesorii, service etc.

- care sunt segmentelede piaţă cărora le suntdestinate produselefirmei?

- este nevoie de un depar-tament special pentrumarketing în cadrulfirmei?

- care sunt activităţilecolaterale activităţii principale a firmei?

- care din aceste seg-mente sunt cele maiimportante pentrufirmă?

- care din angajaţii firmeise ocupă de studiul pieţei?

- cât de importantă esteactivitatea de market-ing pe piaţa acestor produse?

- care din aceste seg-mente sunt cele mai

sensibile la schimbăriîn mediul economic?

- care suntresponsabilităţile fiecărui

angajat dindepartamentul marketing

- care este strategia de piaţă aplicată de

firmă în cazul acestor produse?- care din cei 4P este cel

mai important pefiecare segment de piaţă?

- care sunt abilităţile pecare trebuie să le aibă unangajat din departamen-tul marketing?

- ce alte strategii de piaţă sunt sau ar puteafi aplicate pe piaţă?

- cât de important esterolul angajaţilor dindepartament



Referitor la angajaţii din departamentul marketing, aceştia trebuie să întrunească următoarele calităţi:

- să fie la curent cu ultimele nout ăţ i de pe piaţa produselor firmei şisă aibă cuno ştin ţ e cât mai detaliate despre acestea;

- să fie comunicativi;- să fie familiarizat cu problemele pe care le au de obicei

consumatorii în utilizarea produselor firmei;- să aibă abilitatea de a men ţ ine bune rela ţ ii cu to ţ i clien ţ ii firmei (e

mai ieftin să păstrezi un client decât să găseşti unul nou);- flexibilitate.Activitatea principală a acestora constă în:- participarea la toate evenimentele (târguri, prezentări, expoziţii

etc.) pentru a nu scă pa nici una din oportunităţile de a întâlni noi

clienţi precum şi pentru a păstra legătura cu cei vechi;- să dea informaţii (la telefon, prin poştă, e-mail, faţă în faţă etc.)

clienţilor despre detaliile de utilizare ale produselor, încercând să rezolve orice problemă pe care o au clienţii în utilizarea produselor firmei;

- să se informeze tot timpul astfel încât să fie mereu la curent cuultimele noutăţi legate de activitatea firmei;

- să fixeze întâlniri cu posibili viitori clienţi etc.;- să întreţină (dacă există) site-ul pe internet al firmei;

- să se ocupe de toate modalităţile prin care îşi face publicitatefirma;

- să efectueze sau să obţină studii de piaţă care ar putea interesafirma etc.

4.4 Probleme legate de activitatea de marketing

În activitatea sa de marketing firma trebuie să dispună de metode sautehnici prin care să obţină informaţiile despre piaţă, să facă acest lucru cu unefort financiar minim etc. Astfel, firma trebuie să:

- cunoască cele mai eficiente modalităţi de a recepta reacţiileconsumatorilor la produsele sale;

- ştie exact cât de eficientă este activitatea de marketing depusă şidacă ea este într-adevăr necesar ă;

- ştie care sunt posibilele noi pieţe şi cum ar putea fi ele dezvoltate;- planifice activitatea firmei de aşa natur ă încât să-şi păstreze tot

timpul flexibilitatea necesar ă depăşirii şocurilor de pe piaţă;- ştie care ar putea fi viitoarele posibilităţi de diversificare a

produselor şi dacă este oportun ca firma să-şi diversifice

portofoliul;



- poată obţine informaţii detaliate despre competitori pentru a-şi putea evalua nivelul competitivităţii proprii;

- ştie când şi pentru ce produse să facă publicitate etc.

4.5 Alte aspecte legate de activitatea de marketing a firmei

Există o multitudine de alte teorii legate de activitatea de marketingşi afirma trebuie, dacă nu să încerce să le folosească, măcar să fie la curentcu existenţa acestora fiind posibil să dorească să le aplice în viitor. Dintreacestea amintim:

1. Analiza SWOT

Analiza SWOT este o tehnică destinată a ajuta conducerea în luarea

deciziilor. În acest scop firma trebuie să-şi evalueze cinstit situaţia laurmătoarele capitole:- puncte tari- puncte slabe- oportunităţi- pericole externePrin evidenţierea acestora ea va fi mult mai capabilă să-şi planifice

corect activitatea viitoare.

2. Micro-marketingul

Este un proces de marketing individual (pe fiecare client), astfelîncât produsele să corespundă perfect aşteptărilor acestuia.

3. Planificarea strategică

Existenţa unor strategii pe termen lung este vitală pentru succesul înafaceri al firmei. Foarte mulţi analişti economişti la nivel micro au depuseforturi deosebite pentru a descoperi cum trebuie procedat pentru a ob ţine o planificare cât mai eficientă a activităţii firmei. În acest sens utilizareaanalizei SWOT, analiza ciclului de viaţă al produselor şi a altor tehnici

destinate acestui scop reprezintă un instrumentar valoros la îndemânaconducerii firmei.

Profesorul Michael Porter în cartea Competitive Strategy (1980)argumentează că orice firmă poate alege din 5 strategii posibile:

- Negocierea for ţei clienţilor;- Negocierea for ţei furnizorilor;- Competiţia cu concurenţii;- Ameninţarea intr ărilor;- Substituibilitatea produselor.



5. Departamentul contabilitate

5.1 Descriere

Dimensiunea acestui departament depinde, evident, de dimensiuneafirmei. Pentru micro-firme acest departament este inutil, ele preferând să apeleze la serviciile unui contabil care nu este angajat al firmei.Dimensiunea acestuia depinde şi de domeniul de activitate al firmei, o firmă de comer ţ sau cu o gamă de produse foarte mare şi înregistr ări fiscalefrecvente va avea foarte multe formulare fiscale de procesat şi va aveanevoie de mai mulţi angajaţi care să se ocupe de această activitate. Ca idee, pentru o firmă cu 100 de angajaţi şi cu o gamă sortimentală medie,departamentul contabilitate are în jur de 4-5 angajaţi. Activităţile principale

ale acestor angajaţi sunt:- gestiunea conturilor;

- procesarea înregistr ărilor contabile;

- achiziţia şi recepţia mărfurilor;

- gestiunea vânzărilor, lichidităţilor etc.;

- salariile angajaţilor şi alte venituri/cheltuieli ale acestora;

- plata facturilor şi tranzacţiile bancare;

- corespondenţa.Este posibil, de asemenea, ca pentru o parte din activitatea contabilă

(de exemplu raportul contabil de la sfâr şitul anilor financiari, managementulconturilor etc.) să se facă totuşi apel la firme de contabilitate.

Pentru gestiunea firmei este necesar şi se utilizează de obicei un softspecializat, acesta fiind fie cumpărat de la ter ţi, aceştia oferind şi consultanţă pentru acesta, fie există un angajat destinat special scrierii, upgrad-ului şimenţinerii în funcţiune a soft-ului şi reţelei firmei, avantajul în acest caz

fiind că soft-ul este personalizat şi r ăspunde exact cerinţelor firmei.De asemenea, în afar ă de angajaţii din acest departament, mai sunt şialţi angajaţi care acoper ă o parte din atribuţiile acestuia (de exempludirectorul general şi/sau directorul de producţie controlează activitateaangajaţilor acestui departament şi se ocupă de publicitatea firmei,interviurile pentru angajare şi alte proceduri de selecţie a noilor angajaţi sau produse/servicii).

În plus departamentul se ocupă de toate cererile clienţilor, gestiuneaactivităţilor colaterale activităţii principale a firmei, de livr ări şi rezolvă

situaţiile de întârziere în plată, plăţi în avans, depozite, penalizări etc.




Există o multitudine de teorii mai mult sau mai puţin relevantedespre ce înseamnă şi cum trebuie f ăcută contabilitatea unei firme. Totuşi,

pentru o firmă este mai util să aplice un sistem de reguli contabile cât maisimplu, uşor de înţeles şi aplicat, eficient şi operaţional decât să-şi piardă timpul cu filozofii legate de teoria şi idealul contabil. Trecând peste toatedetaliile de zi cu zi ale activităţii departamentului contabil, pentru o persoană din afara firmei sunt importante mai ales rezultatele firmeiexprimate prin indicatori calculaţi la sfâr şitul exerciţiului financiar, în speţă la sfâr şitul anului. Pe lângă cunoaşterea tehnicii de calcul a acestora estefoarte importantă înţelegerea profundă a semnificaţiei acestora, pentru a ficapabili să facem o analiză corectă a firmei. Dintre cei mai importanţi

indicatori care oglindesc performanţele firmei vom detalia şi analiza încontinuare:

- Balanţa contabilă - Contul de profit şi pierderi- Analiza indicatorii contabili- Sursele de creştere a capitalului firmei

1. Balan ţ a contabil ă

Balanţa contabilă este una dintre situaţiile financiare pe care

companiile le fac la fiecare sfâr şit de an pentru informarea proprietarilor firmei (deţinători de acţiuni etc.). El reprezintă o fotografie a situaţieifinanciare a firmei la un moment dat şi conţine situaţia activelor(bunurilor,drepturilor) şi pasivelor (obligaţiilor, datoriilor) firmei la momentulrespectiv.

Balanţa contabilă conţine două coloane (împăr ţirea poate fi însă f ăcută şi pe verticală) partea din stânga (cea de sus) conţine destina ţ iile pentru care sunt utilizaţi banii firmei iar cea din dreapta (cea de jos) conţine sursele din care vin banii. Suma înregistr ărilor din cele două zone trebuie să

fie aceeaşi:activ net = capital angajat

care reprezintă condi ţ ia de echilibru a balan ţ ei.Banii investiţi în afaceri pot fi utilizaţi pentru:- achiziţionarea de capital fix: bunuri cu utilizare îndelungată

(clădiri, utilaje, echipamente, computere etc.) prin care obţinem producţia de bunuri sau care ajută la obţinerea acesteia dar care nuse consumă total într-un singur ciclu de producţie ci doar se

uzează treptat,



- achiziţionarea de capital circulant: bunuri utilizate curent de firmă în producţie (materii prime, lichidităţi, debitori etc.) care seconsumă complet într-un singur ciclu de producţie.

Banii pot proveni fie din banii subscrişi de proprietarii firmei înmomentul înfiinţării acesteia sau de acţionari în momentul când firmadevine o societate pe acţiuni sau din măriri ulterioare de capital pe bazaemiterii a noi acţiuni sau din subscrieri ulterioare, suma acestora constituindcapitalul social, fie din profitul obţinut de firmă şi neutilizat pentru platadividendelor sau neretraşi de proprietari, numit profit reţinut. Într-oreprezentare simplificată balanţa contabilă are forma:

Zona active:u.m

Capital fix 200Capital circulant- materii prime 40

- debitori 50- cash 20TOTAL 110

Minus obligaţii curente (40) 70CAPITAL NET 270

Zona pasive:

Capital social 100Profit reţinut 170

CAPITAL ANGAJAT 270

2. Contul profit şi pierderi

Contul profit şi pierderi conţine toate înregistr ările privind activitateafirmei de-a lungul unei perioade de timp diferind astfel semnificativ de balanţa contabilă care surprinde situaţia financiar ă a firmei la un momentdat.

El arată cât de bine şi-a condus firma afacerile de-a lungul perioadeide timp respective (de obicei 6 luni sau un an) şi în esenţă conţineinformaţiile despre cât de mult a câştigat firma din vânzarea propriilor produse sau servicii şi, în paralel, cât de mult a cheltuit firma (costuri de producţie, salarii etc.). Diferenţa dintre sumele celor două serii deînregistr ări reprezintă profitul pe care l-a obţinut firma. În esenţa suntreprezentate aceleaşi două zone din balanţa contabilă cu diferenţa că estereprezentată şi evoluţia în timp a activului şi pasivului.



Într-o reprezentare simplificată contul de pasiv şi conturi are forma:

u.m.

Venit din vânzări 500minus Costuri şi Bunuri cumpărate (200)

Profit Brut 300

minus Alte Costuri (marketing, distribuţie, întreţinere etc.) (100)

Profit din operaţiuni bancare şi/sau joc la bursă 200

Alte venituri şi cheltuieli (dobânzi, taxe, operaţiuni extraordinare(vânzare capital fix sau o parte din companie etc.)) 0

Dividende 75

Profit reţinut 125

Valoarea finală a profitului reţinut este trecută în balanţa contabilă casursă de fonduri pe care le poate utiliza firma pentru dezvoltări viitoare.Acesta poate fi utilizat pentru achiziţionarea de capital fix (maşini,echipamente etc.) sau poate fi păstrat pentru activităţi curente (conturi bancare, lichidităţi în casă etc.).

3. Analiza indicatorilor

Utilizarea indicatorilor contabili este una din tehnicile cele mai largutilizate pentru interpretarea rezultatelor contabile. Aceşti indicatori ajută laidentificarea poziţiei pe piaţa a firmei şi la efectuarea de comparaţii curezultatele companiilor cu domeniu similar de activitate sau care seadresează aceluiaşi segment de piaţă. În continuare vor fi expuşi şicomentaţi câţiva dintre cei mai utilizaţi indicatori în acest sens:

a) Indicatori privind profitabilitatea firmei

Aceşti indicatori sunt utilizaţi pentru a evalua cât de bune sunt performanţele firmei în ceea ce priveşte profitul obţinut. Există doiindicatori principali utilizaţi în exprimarea profitabilităţii şi anume:

1. rentabilitatea capitalului angajat : acesta reprezintă profitul netobţinut de firmă la o unitate de capital investit:

Rentabilitatea capitalului angajat =totalangajatCapital

NetProfit



sau procentual:

Rentabilitatea capitalului angajat =totalangajatCapital

NetProfitx100%

Acest indicator este de dorit să fie cât mai mare şi în orice caztrebuie să fie cel puţin egal cu dobânda la depozite bancare oferită de bănci(în afara cazurilor excepţionale, când se sper ă într-o revenire financiar ă afirmei).

2. intensitatea profitului: egal cu volumul profitului conţinut de ounitate valorică obţinută din vânzări:

Intensitatea profitului =eriCifra Afac

Net(Brut)Profit

sau procentual:

Intensitatea profitului =eriCifra Afac

Net(Brut)Profitx 100%

El poate fi calculat utilizând atât profitul net cât şi profitul brutobţinut.

b) Indicatori privind lichiditatea firmei

Aceşti indicatori măsoar ă disponibilul în lichidităţi al firmeidisponibil pentru activităţi curente, firma trebuind să se asigure că dispuneîn fiecare moment de lichidităţile necesare operaţiunilor curente sau, în cazcontrar, că dispune de suficiente bunuri care ar putea fi convertite înlichidităţi, neputându-şi permite să aibă tot capitalul blocat în bunuri greuconvertibile în lichidităţi. Dintre aceşti indicatori cei mai utilizaţi sunt:

1. Lichidit ăţ i curente: calculat ca raport dintre valoarea bunuricurente şi obligaţii curente:

Lichidităţi curente =curenteObligatii

curenteBunuri

Evident că firma trebuie să aibă în orice moment un volum al bunurilor curente mai mare decât cel al obligaţiilor curente, deci acestindicator trebuie să fie mai mare decât unu. De fapt el trebuie să fie chiar strict mai mare decât unu pentru a fi siguri că dispunem în orice moment delichidităţi suficiente să acopere cheltuielile neprevăzute.

2. Deoarece în cadrul bunurilor curente sunt incluse şi stocurile de

bunuri destinate vânzării şi acestea nu sunt întotdeauna transformabile rapid



în lichidităţi se foloseşte şi o variantă a indicatorului lichidităţi curente încare la numitor sunt luate în consideraţie doar bunurile curente f ăr ă valoareastocului de produse destinate vânzării:

Lichidităţi curente = curenteObligatiiStocuri-curenteBunuri

De fapt firma poate avea chiar o valoare a stocurilor foarte maretocmai din cauză că nu le poate vinde (sunt greu vandabile) deci acestindicator este mult mai relevant decât cel anterior. Dacă acest indicator estemult mai mic decât unu (chiar dacă primul este superior lui unu) atuncifirma are de fapt probleme serioase cu lichidităţile sau este posibil chiar să nu dispună de suficiente bunuri pentru a acoperi obligaţiile.

c) indicatori care reflect ă activitatea firmei Aceşti indicatori arată cât de eficient sunt utilizate resursele firmei şi

sunt utili în evaluarea situaţiei firmei şi luarea deciziilor viitore:Dintre aceştia amintim:

1. profitul stocurilor

2. durata de colectare a datoriilor

modul de calculare al acestora fiind reprezentat în tabelul de mai jos:

Profitul stocurilor Durata de colectare a datoriilor

Costul bunurilor vândute u.m. Debitori u.m.

Stocuri u.m. Profit u.m.

Interval de timp u.t.

Profitul stocurilor =Costul bunurilor

vândute/Stoc

Perioada de colectare adebitelor

= Debitori / Profit x 365(Numărul de zile)

4. Surse pentru dezvoltare

O firmă poate să crească în dimensiuni prin două modalităţi:

- creşterea internă reprezintă o creştere a firmei pe baza propriilor rezultate în afaceri;

- creşterea externă provine din fuziuni cu alte firme sau prin

înglobarea altor firme prin cumpărarea acestora.



Motivele pentru care o firmă ar dori să-şi mărească dimensiunile potfi foarte variate:

- pentru a-şi folosi potenţialul de dezvoltare la scală;- pentru a diminua riscul: diversificarea este una din metodele

recomandate de diminuare a riscului;- pentru a fi cotată la bursă;- pentru a-şi mări profitul şi implicit valoarea dividendelor

acţionarilor etc.

5.3 Probleme legate de activitatea contabilă

Dintre problemele care pot apărea în activitatea contabilă a firmei putem aminti:

- necesitatea ralierii firmei la toate schimbările legislative privind

activitatea contabilă din ţara în care se află firma;- necesitatea adaptării softului utilizat prin upgrade-uri sau scrierea

sau achiziţionarea unuia nou;- identificarea şi analiza unor variante de dezvoltare viitoarea

firmei;- este avantajoasă o extindere viitoare sau e de dorit ca firma să

r ămână la nivelul actual al afacerilor?- o mare parte din activitatea contabilă a firmelor mici şi mijlocii

este efectuată contra cost de ter ţi (firme specializate în

contabilitate). În viitor ar fi de dorit ca această muncă să fierealizată în cadrul firmei sau ar trebui să fie şi mai mult folosiţiter ţii?

- ce strategii ar putea adopta firma pentru a-şi îmbunătăţi fluxul devenituri viitoare?

- cum ar trebui să fie finanţate investiţiile viitoare, din venituri proprii sau din împrumuturi;

- cât de des trebuie verificată situaţia contabilă de către consiliuldirector?

Dintre activit ăţ ile curente ale angaja ţ ilor putem exemplifica:- verificarea permanentă a conturilor tuturor clienţilor pentru a fi

siguri că aceştia îşi plătesc obligaţiile la timp, activitate vitală pentru a avea un flux de intr ări sănătos;

- monitorizarea vânzărilor firmei în sensul controlului asupravolumului creditelor acordate clienţilor, efectuarea depozitelor şi plata ratelor etc., pentru a fi siguri că volumul debitelor nu devineatât de mare încât să sufoce activitatea firmei;



- monitorizarea tuturor operaţiunilor bancare efectuate (cecuri, căr ţide credit, cash etc.) şi înregistrarea acestora în registre, verificarea periodică a acestora şi reconcilierea periodică a acestora cunotificările de la bancă pentru un bun control al fluxurilor de

numerar;- previzionarea fluxurilor de numerar viitoare pentru a deţine

suficiente lichidităţi în orice moment pentru onorareaangajamentelor firmei.

5.4 Alte probleme legate de activitatea contabilă

Vom expune în continuare câteva din teoriile referitoare laactivitatea contabilă şi performanţele financiare ale unei firme.

1. Contabilitate externă

Este activitatea depusă de cei care utilizează rapoartele contabileanuale ale firmelor, cum ar fi deţinătorii de acţiuni interesaţi în schimbareastructurii portofoliului personal, organismele guvernamentale interesate înobţinerea indicatorilor macro necesari analizei situaţiei economice a întregiiţări, unităţile de cercetare şi învăţământ, asociaţii sau organizaţiineguvernamentale din domeniu etc. Aceştia pot fi grupaţi în următoarelecategorii:

- deţinători de acţiuni;- furnizori;- competitori;- comunitatea locală;- bancheri;- angajaţi.

Pentru a asigura o consistenţă a indicatorilor care reflectă situaţiafirmelor precum şi pentru a da siguranţă utilizatorilor în veridicitatea şirelevanţa acestora există o serie de legi referitoare la modul în care trebuiesă-şi calculeze şi prezinte fiecare firmă rezultatele. Aceasta deoarece s-aobservat că firmele uzitează de un întreg arsenal de metode prin care îşicosmetizează situaţia financiar ă, încercând să ascundă punctele slabe şi să denatureze în avantajul lor adevărata situaţie a firmei.

Una din modalităţile de a contracara aceste practici esteobligativitatea efectuării unui audit al firmei de către o firmă de contabilitateneutr ă care să certifice veridicitatea rezultatelor raportate.

2. Sisteme de contabilitate

- contabilitate în costuri la momentul înregistr ării- contabilitate cu dublă înregistrare

- contabilitate în costuri curente



3. Flux de numerar

Toate companiile sunt obligate (din 1992) să facă un raport alfluxurilor de numerar ale firmei ca parte a raportului contabil anual. Acestareprezintă un sumar al tuturor intr ărilor şi ieşirilor de numerar din timpul anului.

Monitorizarea fluxurilor de numerar reprezintă o activitate vitală pentru firmă. Aceasta deoarece poţi pierde foarte multe afaceri profitabile caurmare a lipsei de numerar sau poţi ajunge în situaţia de a nu-ţi putearespecta angajamentele (plăţi către creditori, plata salariilor, plata dobânzilor etc.) care pot fie arunca o lumină negativă asupra firmei fie aduce firma înstare de faliment.

Cea mai bună tehnică de a evita situaţiile de mai sus este cea de previziune a fluxurilor de numerar viitoare (atât intr ări cât şi ieşiri sau

oportunităţi de afaceri) fiecare firmă reuşind mai mult sau mai puţin să realizeze o bună prognoză asupra situaţiilor viitoare posibile.

6. Departamentul achiziţii – vânzări

6.1 Descriere

Acest departament se ocupă, aşa cum arată şi denumirea, deachiziţionare a mijloacelor de producţie necesare desf ăşur ării procesului de producţie, de vânzarea propriilor produse precum şi de controlul stocurilor.

Fiecare din atribuţiile de mai sus necesită o activitate foarte

complexă, ceea ce face ca departamentul achiziţii-vânzări să fie cel maiaglomerat din toată firma. În general o firmă poate avea mii de furnizori şimii de clienţi, fiind o activitate foarte laborioasă chiar şi numai sortarea şievidenţa acestora.

De asemenea, există zeci sau sute de tipuri de contracte posibile,ceea ce face ca munca de programare a tuturor intr ărilor şi ieşirilor demateriale din depozit să fie deosebit de alertă şi este nevoie de o bună planificare pentru a nu ajunge în situaţia de a nu respecta vreuna din livr ărisau a ajunge în situaţia de a supraîncărca depozitul.

De asemenea pot exista foarte numeroase abateri de la programareainiţială a activităţii (întârzieri în livrare, nerespectarea contractelor etc.), potexista situaţii de distribuire incorectă a materialelor în depozit sau pot exista probleme în transportul bunurilor şi materialelor între departamentelefirmei, astfel încât în acest departament, mai mult decât în oricare altul, estenecesar ă utilizarea unor tehnici ştiinţifice de organizare şi supraveghere aactivităţii.

Datorită complexităţii situaţiilor posibile, controlul stocurilor se facede obicei utilizând calculatoarele, folosind fie soft-uri dedicate în general



activităţii din depozite fie scrise special pentru a se potrivi exact specificuluiîntreprinderii respective.


Cea mai mare parte a studiilor teoretice legate de departamentulachiziţii-vânzări se refer ă la controlul stocurilor. Există o multitudine demodele de control a stocurilor astfel încât firmele îl pot alege dintre acestea pe cel care se potriveşte cel mai bine la specificul situaţiei concrete existenteîn firmă. Indiferent care ar fi modelul ales firma trebuie să ştie în ultimă instanţă când şi cât să aducă în depozit.

1. Modele de stocare

Vom face în continuare o scurtă trecere în revistă a câtorva dinmodelele de stocare:

a) Model de stocare cu aprovizionare la nivel fix al stoculuiÎn acest model se decide ca nivelul stocului să fie întotdeauna între

un nivel minim şi un nivel maxim acceptabil şi reaprovizionarea să se facă imediat ce nivelul stocului se apropie de nivelul minim. Sincronizarea vadepinde de intervalul de timp care trece între momentul lansării operaţiuniide aprovizionare şi cel al intr ării mărfii în depozit. Evoluţia niveluluistocului în depozit are în acest caz forma:

Diferenţa dintre nivelul la care se lansează reaprovizionarea şi celminim depinde de intervalul de timp care trece între momentul lansării

operaţiunii de aprovizionare şi cel când marfa intr ă în depozit, numit timp dereaprovizionare.

b) Model de stocare cu perioad ă fixă de reaprovizionare

În acest caz reaprovizionarea se face la intervale egale de timp (deexemplu în aceeaşi zi a fiecărei să ptămâni sau în aceeaşi zi a lunii). Ea poatereprezenta o soluţie foarte bună deoarece acţiunea intr ă în rutina firmei şi în plus stocurile sunt reîmprospătate cu regularitate. Dacă activitatea firmeieste foarte uniformă modelul poate fi suficient dar el nu se va potrivi într-oîntreprindere cu mari fluctuaţii ale activităţii, dată fiind inflexibilitatea sa.

nivelul maxim al stocului

nivelul minim al stocului

nivelul la care se decidereaprovizionarea

nivelul stocului

t



c) Model de stocare cu men ţ inerea nivelului optim al stocurilor

Fiecare firmă are un nivel optim al stocurilor, acesta diferind evidentde la o firmă la alta sau de la un sector economic la altul. În principiunivelul optim este de cele mai multe ori acel nivel în care costurile custocarea sunt minime. În esenţa problema se reduce la a obţine un echilibruoptim între costurile ocazionate de operaţiunile de aducere a mărfii îndepozit şi costurile necesare păstr ării acesteia în depozit.

d) Model de stocare cu aprovizionarea efectuat ă la momentul când este cerut ă marfa

Deoarece costurile de stocare sunt atât de mari în Japonia şi recent înMarea Britanie s-a r ăspândit o modalitate de stocare în care marfa esteţinută în depozit timpul minim posibil, aprovizionarea fiind efectuată doar atunci când este nevoie de marfa respectivă. Această perioadă a fost redusă în anumite cazuri la nivelul orelor sau minutelor.

Această modalitate este într-adevăr utilă pentru reducereacheltuielilor dar necesită un grad foarte înalt de organizare şi relaţii foartestrânse cu furnizorii, fapt care poate fi obţinut numai de anumite firme saunumai în anumite ţări.

2. Achizi ţ ii

Îndatoririle departamentului de achizi ţ ii sunt:

- să se asigure că firma are în orice moment materia primă necesar ă unui proces eficient de producţie în cantitatea şi la calitateacerute;

- să cumpere la cel mai bun preţ posibil;- să asigure aprovizionarea în cel mai scurt timp posibil astfel încât

stocul de materii prime să fie disponibil pentru orice nevoi ale producţiei;

- să întreţină relaţii cât mai bune cu furnizorii;- să se asigure că furnizorii sunt prompţi şi de încredere;

Una din probleme rezidă din faptul că e bine să cumperi mai mult pentru că vei obţine un preţ mai bun dar nu e bine să cumperi prea mult pentru că vor fi cheltuieli mari cu stocarea sau s-ar supraaglomera depozitul.

3. Costul stocă rii

Un nivel prea mare al stocului în depozit poate atrage după el probleme sau costuri ca:

- depozitarea necesită spaţiu iar firma plăteşte pentru a obţine acestspaţiu. Acest cost poate fi apreciabil în cazul depozitării unor

produse voluminoase;



- marfa înmagazinată în depozit trebuie plătită furnizorilor, deci unvolum mare al stocului înseamnă o sumă mare de bani blocată care ar putea fi folosită în scopuri mult mai profitabile;

- un nivel mare al stocului necesită de obicei măsuri speciale de

păstrare şi întreţinere a mărfii depozitate, deci cheltuielisuplimentare;

- fluxurile de numerar pot fi serios perturbate ca urmare a unei marisume de bani blocate în stocuri etc.

6.3 Probleme legate de stocare

Aşa cum s-a văzut anterior, spaţiile de depozitare sunt foarteimportante pentru firmă, ea trebuind să dea r ăspunsurile optime la o serieîntreagă de chestiuni legate de stocare cum sunt:

- ce costuri necesită stocarea fiecărui tip de produs?- ce model de stocare este cel mai potrivit pentru fiecare tip de

produs?- ce costuri ar putea să apar ă dacă ar apărea disfuncţionalităţi în

procesul de aprovizionare – stocare – vânzare?- ce abilităţi ar trebui să îndeplinească un angajat al acestui

departament;- după ce criterii trebuie organizat spaţiul de stocare?

-

ce probleme ar putea să apar ă dacă acest spaţiu nu este optimorganizat?- ce efecte are un sistem bun de control asupra profitului sau

pierderilor firmei?- cum trebuie tratat cazul în care un furnizor nu-şi respectă

obligaţiile?- ce sistem de control de calitate este cel mai potrivit pentru

verificarea loturilor de produse achiziţionate?- care sunt cele mai importante aspecte care trebuie verificate zilnic

de către angajaţi etc.În funcţie de specificul firmei pot există şi alte probleme cum ar fi:

- dacă produsele achiziţionate de la un furnizor trebuie să aibă uncertificat de calitate atunci schimbarea acelui furnizor poateconduce la necesitatea recertificării acelui produs;

- dacă pentru un anumit produs există un singur furnizor cestimulente îi putem oferi pentru a ne asigura că nu vor fi problemelegate de livrarea la timp a produselor, de calitatea acestora etc.?



În ceea ce priveşte aptitudinile necesare angajaţilor din acestdepartament acestea sunt în principal:

- să fie un bun negociator în relaţia cu furnizorii;- să aibă cunoştinţe detaliate despre ce are nevoie fiecare

departament al firmei;- să fie un bun organizator;- să fie hotărât şi determinat în acţiuni;- să fie un bun planificator al acţiunilor viitoare;- să ştie sa- şi organizeze eficient timpul de lucru.Angajaţii vor petrece o mare din timp la telefon pentru a face

comenzi sau pentru a se asigura că fiecare comandă va ajunge la momentul planificat, restul timpului fiind utilizat pentru a verifica starea produselor,calitatea loturilor, nivelul stocului şi pentru a asigura necesarul fiecărui

departament. De asemenea vor participa la discuţiile privind noile produse pentru a se asigura că nu vor apărea probleme la depozitarea şi păstrareanoilor produse.

O bună activitate a acestui departament va aduce beneficii imensefirmei, pentru că va atrage o creştere a eficienţei producţiei, va mări profitulşi va îmbunătăţi poziţia firmei pe piaţă.

6.4 Consideraţii privind activitatea de achiziţii şi vânzări

1. Op ţ iunea centralizat-descentralizat

Unele firme utilizează un departament special care se ocupă de toateachiziţiile şi vânzările firmei. Acest mod de organizare are avantajul că firma poate să achiziţioneze materialele în cantităţi mari, ceea ce va face ca preţul de achiziţie să fie mai mic şi firma să aibă un control mai bun alorganizării şi depozitării bunurilor.

Alte firme prefer ă ca fiecare departament să se ocupe deachiziţionarea materialelor de care are nevoie şi să se ocupe singur destocarea acestora. Acest mod de organizare este avantajos prin prismafaptului că fiecare departament ştie cel mai bine de ce produse are nevoie şiva putea astfel să achiziţioneze exact ceea ce are anevoie şi când are nevoie.

2. Controlul computerizat al stocurilor

Cele mai sofisticate sisteme de control a stocurilor sunt celeasemănătoare celor utilizate în supermarket-uri. Toate tipurile de produsevor fi identificate prin coduri de bare şi calculatoarele vor monitorizaautomat nivelul stocurilor avertizând imediat ce el depăşeşte anumite valoricritice. Ele pot fi programate să sesizeze orice tip ne neregularitate posibil, pot sesiza orice diferenţe de calitate faţa de comanda f ăcută etc., uşurând



astfel considerabil activitatea de achiziţionare – stocare – vânzare şi ducândla obţinerea unor profituri suplimentare substanţiale.

3. Controlul calit ăţ ii

Controlul calităţii implică două aspecte:- managementul calităţi: constă în modul în care firma organizează

activitatea de control a calităţii produselor;- controlul calităţii: constă în stabilirea criteriilor după care este

stabilită calitatea unui produs.

Una dintre cele mai noi viziuni asupra efectuării controlului decalitate este managementul total al calităţii, variantă în care calitatea produselor este controlată pe toată durata procesului de producţie şi toţi

angajaţii firmei sunt responsabili cu calitatea produsului.Există teorii întregi despre tehnica de eşantionare a produselor ce vor fi verificate în cazul loturilor mari de produse şi a modului de stabilire anivelelor de calitate, în stabilirea acestora fiind implicată atât firma cât şiorganizaţiile guvernamentale sau nonguvernamentale de certificare acalităţii.

De asemenea trebuie luate în considerare costurile implicate deefectuarea controlului de calitate şi trebuie evaluate problemele care ar apărea dacă nu s-ar efectua un control corespunzător al calităţii.

Concluzii

Din cele de mai sus rezultă că problematica legată de organizareaunei firme este deosebit de complexă şi variată, existând diferenţe foartemari între modul de organizare şi acţiune al acestora.

Descrierea acţiunilor, locurilor de muncă, organizării şi problematiciifirmei este o etapă esenţială în direcţia optimizării activităţii acesteia.

În descrierea din acest capitol au fost doar amintite sumar modelelematematice sau empirice de acţiune pentru rezolvarea sau optimizareafiecărui aspect legat de firmă, care să constituie un sistem de tactici deacţiune, dar nu a fost încă creată o viziune de ansamblu asupra firmei, caresă ajute conducerea să-şi formeze o imagine completă a acesteia, necesar ă găsirii şi aplicării unei strategii viitoare optime.

În capitolele următoare se va încerca definirea unui model care să creeze o imagine de ansamblu asupra firmei şi apoi se va trece laidentificarea unor modele care să dea indicaţii despre cum poate fi condusoptimal un astfel de sistem.




UUUNNNMMMOOODDDEEELLLCCCIIIBBBEEER R R NNNEEE T T TIIICCC

A A A LLL FFFIIIR R R MMMEEEIII



1. Firma – sistem cibernetic

Considerarea firmei ca sistem cibernetic este justificată deurmătoarele observaţii:

- în cadrul acesteia se desf ăşoar ă un număr mare de activit ăţ i ,fiecare fiind efectuată de un grup de oameni , în generalspecializaţi pentru desf ăşurarea eficient ă a acesteia, toateacestea fiind într-un sistem variat de interdependen ţ e, de regulă,riguros stabilite.

- activitatea, structura, dimensiunea, poziţia pe piaţă etc., sunt permanent în schimbare, cu ritmuri şi intensităţi diferite

- activitatea firmei se desf ăşoar ă într-un mediu extern foartecomplex, greu previzibil , faţă de care îşi raportează acţiunile,care cuprinde concurenţi, consumatori, acţionari, parteneri,facilităţi, taxe, legi, condiţii de mediu etc.

- diversificarea gamei sortimentale de bunuri şi servicii oferite defirmă poate fi asigurată doar prin mărirea numărului de activităţi,compartimente, factori de producţie, specializări, materii prime,informaţii etc.;

- activitatea normală a firmei necesită cel puţin un sistem dereglare şi control, care adaptează activitatea şi inputurile firmeiîn funcţie de outputurile acesteia şi starea mediului extern;

- firma este un sistem care atinge eficienţe, creează specializări,obţine produse imposibil de realizat f ăr ă conlucrarea dintresubsistemele acesteia, modifică prin activitatea sa mentalităţile şirelaţiile umane;

- fiecare firmă contribuie la crearea şi evoluţia mediuluimacroeconomic, a pieţelor şi relaţiilor economice şi sociale, prinrealizarea şi vânzarea de bunuri şi servicii, prin cumpărarea defor ţă de muncă, materii prime şi capital, prin utilizarea deservicii oferite de stat (educaţie, sănătate, apărare etc.) înschimbul plăţii taxelor şi impozitelor etc.;

- gradul de organizare al firmei creşte, în general, odată cu trecereatimpului şi cu creşterea volumului de informaţii deţinute deaceasta.

Activitatea generală a sistemului firmei constă în obţinerea,concentrarea, organizarea şi combinarea de resurse pentru a produce bunurişi servicii destinate vânzării. Aceste resurse nu pot fi deţinute în totalitate de proprietarii firmei, ele trebuind a fi cumpărate de la deţinătorii acestora.



Existenţa firmelor este efectul constatării, pe baza experienţeisocietăţii umane, că este mai avantajos pentru întreprinzători, muncitori şiceilalţi deţinători de mijloace de producţie, un contract general pe termenlung decât încheierea de contracte separate, cu fiecare din aceştia.

Practic, firmele cumpăra materii prime, capital, for ţă de muncă etc.,de la proprietarii acestora şi le transformă în bunuri şi servicii destinatevânzării iar proprietarii inputurilor folosesc veniturile obţinute din vânzareaacestora pentru a cumpăra bunuri şi servicii produse de firme.

Are loc astfel un schimb permanent între firmă şi beneficiariifactorilor de producţie prin intermediul pieţelor, fiecare influenţându-l şifiind influenţat de dorinţele, deciziile şi acţiunile celuilalt (figura 1).

Mulţimea firmelor care acţionează într-o economie de piaţă formează sistemul producătorului, activitatea acestora concretizându-se înoferta pe piaţa bunurilor şi serviciilor şi cererea pe piaţa factorilor de producţie.

Piaţa bunurilor şi serviciilor

GospodăriiFIRMA

Piaţa factorilor de producţie

O f e

r t a d e

p r o d

u s e

C e r e r e a d e b

u n u r i d

e c o n s u m

P r e

ţ u r i l e b u n u r i l o

r d e c o n s u m

C e r e r e a d e f a c t o

r i d e p r o

d u c e ţ i

S e r v

i c

i i l e f a c t o r i l o r

P r e

u r i l e

f a c t o

r i l o r

ţ

O f e

r t a d e

f a c t

o r i

V e n i t

t o t a l

Figura 1



De asemenea, cele două pieţe vor influenţa acţiunile firmei,informaţiile privind cererea de bunuri şi oferta de mijloace de producţie, precum şi preţurile acestora având ca efect permanenta adaptare a producţieişi structurii firmei la acestea.

Astfel, de pe piaţa bunurilor şi serviciilor firma va obţine informaţii privind cantitatea, calitatea cerut de consumatori, preţul la care sunt dispuşisă cumpere această cantitate, pretenţii legate de service şi aspect etc. Pe bazaacestora el va decide care este structura sortimentală şi cantitatea de bunuri pe care o va produce spre vânzare.

Piaţa factorilor de producţie va informa firma asupra ofertei defactori de producţie disponibili la preţul oferit de aceasta iar în funcţie deacest r ăspuns firma va stabili programul de producţie optim.

Aceste influenţe se concretizează în existenţa a două bucle feedback, având ca efect adaptarea producţiei firmei la cererea pieţei de bunurişi la oferta pieţei de factori de producţie, aşa cum se vede în figura 2.

2. Structura firmei

Deoarece natura activităţii firmelor este foarte variată şi de asemeneadimensiunea unei firme va influenţa foarte mult distribuţia sarcinilor şiatribuţiilor precum şi specializarea personalului, este practic imposibil de

stabilit o structur ă pe compartimente valabilă pentru toate firmele.

Piaţa factorilor de roduc ie

Piaţa bunurilor i serviciilor

SISTEMUL CIBERNETIC

AL PRODUCĂTORULUI

INPUTURI

OUTPUTURI

Serviciile factorilor Venit total

Oferta de produseCererea de factori de producţie

Preţurile depiaţă ale

produselor

Preţurilefactorilor

Figura 2



O direcţie posibilă de studiu este listarea unui număr suficient demare de compartimente posibile într-o firmă, care să acopere marea parte asituaţiilor concrete şi apoi analiza pe rând a variantelor care ar putea să apar ă, în funcţie de existenţa sau lipsa anumitor compartimente.

O posibilă structur ă pe compartimente a unei firme poate fi cea demai jos [E. Ţigănescu, Gh. Oprescu, Em. Scarlat. 1985]:

− subsistemul planificării ;− subsistemul cercet ării ştiinţifice, dezvoltării tehnologice,

introducerii progresului tehnic;− subsistemul organiz ării conducerii, producţiei şi a muncii;− subsistemul produc ţ iei ;− subsistemul for ţ ei de muncă;

− subsistemul mijloacelor tehnice;− subsistemul comercial ;− subsistemul financiar-contabil ;− subsistemul eficien ţă economică;

Dacă definim subsistemele firmei după funcţiile şi scopurile pe carele îndeplinesc acestea, atunci este necesar să facem o analiză a activităţilor desf ăşurate în general în cadrul unei firme şi apoi să identificămcompartimentul (compartimentele) şi subsistemul (subsistemele)responsabile de îndeplinirea fiecăreia.

Astfel, indiferent de dimensiunea şi domeniul de activitate al uneifirme, este evident că toată sau aproape toată activitatea acesteia esteorientată către piaţă, existenţa şi succesul unei firme fiind sinonime cuobţinerea profitului, încercându-se acoperirea unei păr ţi cât mai mari dincererea pieţei prin vânzarea propriilor bunuri şi servicii. În acest scop ofirmă trebuie să:

− culeagă informaţii privind cererea pieţei, prin efectuarea unor studii de piaţa sau pe baza comenzilor primite;

−

să facă o analiză a cererii care să identifice factorii economici,sociali, psihologici politici etc., ce influenţează cantitatea cerută de piaţă şi care să explice modul în care se manifestă această influenţă;

− să determine, pe baza informaţiilor culese şi a analizei efectuate,nivelul probabil al cererii viitoare şi să transmită, sub forma unui program de producţie, comenzi celor care produc efectiv bunurileşi serviciile ce constituie domeniul de activitate al firmei;

− să livreze produsele realizate către piaţa bunurilor şi serviciilor;

− să încerce sporirea vânzărilor prin activităţi de reclamă.



Toate aceste activităţi necesită, evident, existenţa unei interfeţe întrefirmă şi piaţă, şi un compartiment special sau un grup de persoane care să fie responsabil de desf ăşurarea eficientă a cestora.

Apare deci naturală considerarea, în analiza cibernetică a firmei, a

unui subsistem al raporturilor cu pia ţ a care să concentreze toate resurselemateriale şi financiare ale firmei pentru a satisface o parte cât mai mare acererii pe piaţă pentru bunurile şi serviciile oferite de firmă.

De asemenea, este evident că orice firmă, pentru a putea oferi bunurisau servicii trebuie să dispună de un compartiment special sau un grup deoameni care să producă bunurile respective, sau să presteze serviciile ceformează domeniul de activitate al firmei. Acest grup de oameni va decide, pe baza informaţiilor primite de la piaţă, pe baza tehnologiei existente înfirmă şi a inputurilor pe care le poate obţine firma, care este cantitatea şi

propor ţia optimă în care trebuie combinate inputurile pentru a realizacantitatea şi propor ţia optimă a bunurilor şi serviciilor definite de programulde producţie, furnizat de subsistemul raporturilor cu piaţa, care vor fi oferitede firmă spre vânzare.

Este deci necesar ă considerarea unui subsistem care ia deciziilelegate de partea fizică (cantitativă) a producţiei, numit subsistemul de

produc ţ ie sau subsistemul tehnologic al firmei.În general, orice firmă are la îndemână mai multe posibilităţi de

producţie, fiind necesar ă o analiză regulată a eficienţei tehnologiei folosite

curent şi a variantelor de a o îmbunătăţi sau a trece la altă tehnologie, pentrua asigura folosirea unei tehnologii eficiente şi, pe cât posibil, la nivelul celor mai eficiente tehnologii observate la firmele cu domeniu de activitatesimilar sau asemănător.

Este nevoie astfel de o activitate permanentă de informare cu privire la:− concurenţi;

− producţia proprie;

− nivelul preţurilor pe piaţa produselor firmei;

− profitabilitatea cantităţilor de produse realizate pe bazatehnologiei curente;

− costul factorilor de producţie;

− posibilităţile de investiţie, etc.care implică existenţa unui subsistem dedicat acestor activităţi, a unor instrumente corespunzătoare de analiză şi a unui grup de oameni care seocupă de culegerea, centralizarea, analiza, interpretarea şi transmitereainformaţiilor, numit subsistemul pre ţ uri-cost-profitabilitate.



Pentru a-şi putea desf ăşura activitatea, orice firma are nevoie deinputuri, pe care le procur ă pe pieţele specifice. În acest sens se desf ăşoar ă permanent activităţi de:

− studiere a pieţei factorilor de producţie, pentru cunoaşterea

disponibilului de factori şi a preţului acestora;− obţinere a factorilor de producţie şi de sincronizare a acestora în

timp şi spaţiu cu activitatea de producţie;− obţinere a fondurilor necesare pentru procurarea cantităţilor de

factori de producţie necesare desf ăşur ării producţiei;− furnizare de informaţii privind profitabilitatea factorilor de

producţie utilizaţi către subsistemul preţuri-cost-profitabilitate,etc.

Aceste activităţi, împreună cu oamenii în sarcina cărora se află efectuarea lor şi instrumentarul aferent, pot fi grupate în subsistemul asigur ării cu factori de produc ţ ie.

În fine, nu ne putem imagina activitatea unei firme f ăr ă existenţaunui subsistem prin care:

− să se asigure resursele financiare necesare firmei în diferiteleetape ale activităţii sale;

− să se gestioneze resursele financiare ale firmei pe parcursulactivităţii sale;

− să asigure legătura firmei cu piaţa financiar ă;− să onoreze obligaţiile firmei către acţionari şi stat;Ţinând cont de natura acestor activităţi, pentru desf ăşurarea acestora

este utilizat, în general, un personal specializat (contabili, jurişti, economiştietc.) care formează în marea majoritate a firmelor un compartiment distinctşi constituie subsistemul financiar al firmei, privită ca sistem cibernetic.

În concluzie, se poate considera că, indiferent de dimensiunea firmeişi domeniul său de activitate, orice firmă are cel puţin următoarelesubsisteme*:

I) subsistemul raporturilor cu piaţa bunurilor şi serviciilor (RBS);II) subsistemul de producţie (tehnologic) (P);

III) subsistemul preţuri – cost – profitabilitate (PCP);

IV) subsistemul asigur ării cu factori de producţie (inputuri) (AFP);

V) subsistemul financiar (F).

* Scarlat Emil, Nora Chiriţă „Sisteme cibernetice ale economiei de pia ţă ”, Editura

Economică, Bucureşti, 1998.



Voi face în continuare o scurtă prezentare a funcţiilor îndeplinite defiecare subsistem, a scopurilor şi obiectivelor acestora, a instrumentelor şimetodelor utilizate şi a interdependenţelor cu celelalte subsisteme ale firmeisau componente ale mediului exterior

3. Subsistemul raporturilor cu piaţa

Aşa cum a fost ar ătat mai înainte, acest subsistem este cel care facelegătura dintre firmă şi piaţa bunurilor şi serviciilor oferite de firmă. Modulîn care se realizează această legătur ă poate fi vizualizat în figura 3.

Subsistemul raporturilor cu piaţa este cel prin care firma va cunoaştenivelul cererii pentru bunul sau/şi serviciul oferit de firmă. Evident că esteimposibilă cunoaşterea în fiecare moment a cantităţii exacte cerute pe piaţă

din bunul/serviciul analizat, f ăcându-se doar o estimare (pe baza volumului vânzărilor anterioare, a volumului comenzilor concrete de la clienţi, asituaţiei economice, sociale şi politice, a preferinţelor manifestate decumpăr ători, a impactului probabil al campaniilor de promovare a produselor etc.) a volumului probabil al cererii pentru preţul observat pe piaţă al bunului/serviciului respectiv.

Acest volum este cel pe care subsistemul raporturilor cu piaţa îl vatransmite spre producţie subsistemului tehnologic tradus într-un program de producţie şi va primi de la acesta produsele finite pentru a le scoate sprevânzare pe piaţa bunurilor şi serviciilor. În funcţie de decalajul existent între preţul de producţie comunicat de subsistemul preţuri – cost – profitabilitateşi preţul de vânzare pe piaţă va rezulta volumul efectiv pe care îl va vinde

firma pentru a-şi maximiza realizarea obiectivelor pe termen scurt sau lung.

Subsistemul

raporturilor cu

piaţa bunurilor şiserviciilor

(RBS)

Piaţa factorilor de producţie

Subsistemul

preţuri – cost –

profitabilitate

(PCP)

Subsistemul de

producţie(tehnologic)

(P)

Comenzi

Vânzări

Preţ de

producţie

Produsefinite

Program de producţieReclamă, publicitate

Informaţii desprepiaţă

Figura 3



Estimarea cererii pe baza variabilelor care influenţează semnificativcererea pe piaţă se face printr-o func ţ ie de cerere a cărei formă estedeterminată pe baza observaţiilor anterioare şi a experienţei celor care facanaliza.

Dacă notăm cu D nivelul cererii pe piaţă şi cu x1, x2,…, xn valorilevariabilelor care se consider ă a influenţa, de o manier ă exprimabilă matematic şi peste un prag de semnificaţie dorit, volumul cererii, atunci putem scrie:

D = f ( x1, x2,…, xn) (1)

Cele mai utilizate forme pentru funcţia de cerere sunt cele de tipliniar:

D = a0 + a1· x1 + a2· x2 + … + an· xn (2)

de tip multiplicativ:D = c· 1

1b

x · 22b

x ·…· nbn x (3)

sau logaritmic:

D = a0 + a1·ln( x1) + a2·ln( x2) + … + an·ln( xn) (4)

unde a0, a1, …, an, c, b1, b2, …, bn sunt parametrii cunoscuţi din studiileanterioare sau estimaţi prin metode econometrice.

Factorii care prezintă un interes deosebit pentru firmă sunt cei

controlabili sau influenţabili în sensul creşterii sau modificării convenabile astructurii cererii, cum ar fi: preţul de vânzare, reclama, politica de produs,for ţa de vânzare, distribuţia, publicitatea, politici de investiţii şi angajare etc.

Deşi luarea în considerare a cât mai multor factori pare să ducă la ofuncţie a cererii cât mai apropiată de realitatea observată, totuşi, de cele maimulte ori, în modelele de firmă se utilizează forma simplificată:

D(t) = f (p(t)) (5)

în care singura variabilă luată în considerare este preţul produsului pe piaţă

şi care arată care ar fi cantitatea absorbită de piaţă pentru un nivel dat al preţului. Aceasta deoarece, pe de o parte, în marea majoritate a cazurilor preţul este factorul cel mai influent, influenţa acestuia fiind cea mai binestudiată şi cunoscută iar, pe de altă parte, introducerea multor factori înmodel complicând în mod nejustificat analiza acestuia.

De asemenea, este utilizată în mod frecvent şi func ţ ia inversă a

cererii :

p(t) = f –1(D(t)) (6)

care arată cantitatea absorbită de piaţă pentru un nivel dat al preţului p(t).



Dacă dependenţa este liniar ă atunci rela ţ ia cantitate-pre ţ va fi:

D(t) = a0 + a1·p(t) (7)

iar funcţia inversă a cererii va fi de asemenea liniar ă:

p(t) =1

0

a

a− +

1

1a

·D(t) (8)

Mărimea a0 reprezintă nivelul cererii dacă preţul ar fi zero iar a1 modificarea cererii la o variaţie a preţului cu o unitate valorică.

Mărimea1

0

a

a− va reprezenta acel preţ de la care cererea devine nulă.

Ţinând cont de legea cererii care spune că, în mod normal, volumul

cererii şi nivelul preţului sunt invers propor ţionale, rezultă că o cererenormală corespunde unei valori negative a coeficientului a1, aşa cum sevede în figura 4:

Dacă dependenţa este de tip multiplicativ atunci rela ţ ia cantitate-

pre ţ va fi:

D(t) = c· bt p )( (9)

iar funcţia inversă a cererii va fi de asemenea o funcţie putere:

p(t) = bb t Dc

11

))((⋅

−

(10)

1

0

a

a−

D(t)

p(t)

a0 = D(0)

1

0

a

a−

p(t)

D(t)

a0

D(p(t)) = a0 + a1·p(t)

p(D(t)) =

1

0

a

a− +

1

1

a

·D(t)

Figura 4



Conform legii cererii , o cerere normală corespunde unei valorinegative a exponentului b, iar valoarea pozitivă c va reprezenta nivelulcererii dacă preţul este unu, aşa cum se vede în figura 5:

Dacă dependenţa este de tip logaritmic atunci rela ţ ia cantitate-pre ţ va fi:

D(t) = a0 + a1·ln(p(t)) (11)iar funcţia inversă a cererii va fi o funcţie exponenţială:

p(t) =1

0)(

a

at D

e

−

(12)Conform legii cererii , o cerere normală corespunde unei valorinegative a coeficientului a1, valoarea pozitivă a0 va reprezenta nivelul cererii

dacă preţul este unu, iar 1

0

a

a

e−

este acel preţ de la care cererea devine nulă, aşacum se vede în figura 6:

p = 1

D(t)

p(t)

c = D(1)

p = 1

p(t)

D(t)c

D(p(t)) = c · bt p )(

p(D(t)) = bb t Dc

11

))((⋅−

Figura 5

1

0

a

a

e−p = 1

D(t)

p(t)

a0

D(t) = a0 + a1·ln(p(t))

p(t)

D(t)

a0

1

0

a

a

e−

p = 1

p(t) = 1

0)(

a

at D

e

−

Figura 6



În situaţiile în care obţinerea acestei curbe este dificilă se prefer ă utilizarea func ţ iei vânz ărilor :

S(t) = f (Q(t)) (13)

care este, în general, o funcţie crescătoare, concavă şi pozitiv definită înQ(t) = viteza de producţie.

Un model simplu în care este cuprinsă influenţa sumei cheltuite cureclama şi publicitatea asupra volumului vânzărilor poate avea forma:

S(t) = a1· A(t )·(1 – D

t S )() – a2·S(t) (14)

unde A(t ) reprezintă suma cheltuită cu reclama şi publicitatea, folosită ca

variabilă de comandă, D cererea totală presupusă iar S(t) volumulvânzărilor.Modelul lui Nerlove şi Arrow încearcă să surprindă influenţa

goodwill-ului firmei asupra volumului vânzărilor, modelul propus de cei doiavând forma:

⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=

=

−=

))(),(()(

))(),(()(

)()()(

t Bt Q P t P

t Bt P S t S

t aBt At B

&

&

&

(15)

unde A(t) = suma cheltuită cu reclama şi publicitatea şi P(t) = preţul devânzare sunt variabilele de comandă care influenţează B(t) = valoareagoodwill-ului şi în final S(t) = volumul vânzărilor.

4. Subsistemul de producţie

Aşa cum a fost ar ătat mai sus, acest subsistem are sarcina dificilă de

a găsi, dintre toate posibilităţile de producţie, acea combinaţie inputuri-outputuri care asigur ă eficienţa maximă. El va primi planul de producţieQ(t) de la subsistemul raporturilor cu piaţa, va găsi, dintre combinaţiile deinputuri pe care le poate asigura subsistemul asigur ării cu factori de producţie, combinaţia optimă şi va formula cererea de inputuri (către SAFP)şi de investiţii către subsistemul preţuri-costuri profitabilitate, va fabrica, pe baza inputurilor şi resurselor băneşti primite, produsele finite şi le vatransmite către SRBS.



Aceste fluxuri au fost reprezentate în figura 7:

Pentru a-şi îndeplini sarcinile, subsistemul de producţie trebuie să cunoască în mod necesar mulţimea posibilităţilor de producţie şi să leextragă, dintre acestea, pe cele eficiente.

Dacă firmele folosesc inputurile x = (x1, x2, …, xm) ∈ m R+ pentru a

produce outputurile y = (y1, y2, …, yn) ∈ n R+ atunci mulţimea posibilităţilor de producţie sau tehnologia GR este dată de:

GR = (x,y) / cu x se poate produce y (16)

Rezultatele posibile prin utilizarea inputului x se notează cu:

P(x) = y / (x,y) ∈ GR (17)iar:

L(y) = x / (x,y) ∈ GR (18)

este mulţimea combinaţiilor de inputuri cu care se poate obţine outputul y.

Subsistemul

preţuri – costuri

profitabilitate

(SPCP)

Subsistemul

asigurării cu factori

de producţie(SAFP)

Subsistemul

de producţie

(tehnologic)(SP-T)

Subsistemul

raporturilor cu piaţabunurilor şi serviciilor

(SRPB)

I n f o r m a ţ i i p r i v i n d

p r o d u c ţ i a

I nf o r m a ţ i i p r i v i n d

p r of i t a b i l i t a t e a

Inputuri

Necesar deinputuri

P r o d u s ef i n i t e

P r e ţ

d e

p r o d u c ţ i e

I n v e s t i ţ i i d e

d e z v o l t a r e

P r o g r a m d e

p r o d u c ţ i e

Figura 7



Evident:P(x) = y / x ∈ L(y) (19)L(y) = x / y ∈ P(x) (20)

x ∈ L(y) ⇔ y ∈ P(x) ⇔ (x,y) ∈ GR (21)

Cele mai importante proprietăţi ale unei tehnologii GR sunt:

a) disponibilitatea

Defini ţ ia 1. O tehnologie GR prezintă disponibilitate tare (sau liber ă)dacă:

GR y)(x,GR )y,x(

)y,x(y)x,(∈⇒

⎭⎬⎫

∈′′

′′−≤−(∀) (x´,y´) ∈ GR (22)

Defini ţ ia 2. O tehnologie GR este slab disponibilă dacă:

GR y),(GR y)(x,

10∈⋅⇒

⎭⎬⎫

∈

≤≤θ

θ

θ x(∀) (x,y) ∈ GR (23)

Defini ţ ia 3. O tehnologie GR este g-disponibilă, unde g = (gx,gy) ∈ R m × R n, dacă:

GR )gβy,gα(xGR y)(x,

0,yx ∈⋅+⋅+⇒

⎭⎬⎫

∈

≥ β α (∀) (x,y) ∈ GR (24)

Defini ţ ia 4. O tehnologie T este tare disponibilă în input dacă:

GR y),x(GR y)(x,

xx∈′⇒

⎭⎬⎫

∈

≥′(∀) (x,y) ∈ GR (25)

Echivalent:P(x´) ⊇ P(x) dacă x´ ≥ x (26)

Defini ţ ia 5. O tehnologie GR este slab disponibilă în input dacă:

GR y),θ

x(GR y)(x,10 ∈⇒

⎭⎬⎫

∈≤≤θ (∀) (x,y) ∈ GR (27)

Echivalent:P(x/θ) ⊇ P(x) dacă 0 ≤ θ ≤ 1 (28)

Defini ţ ia 6 . O tehnologie GR este tare disponibilă în output dacă:

GR )y(x,

GR y)(x,

yy∈′⇒

⎭

⎬⎫

∈

≤′( ∀ ) (x,y) ∈ GR (29)

Echivalent:

L(y´) ⊇ L(y) dacă y´ ≤ y (30)

Defini ţ ia 7 . O tehnologie GR este slab disponibilă în output dacă:

GR θy)(x,GR y)(x,

1θ∈⇒

⎭⎬⎫

∈≤≤0

(∀) (x,y) ∈ GR (31)

Echivalent:

L(θy) ⊆ L(y) dacă 0 ≤ θ ≤ 1 (32)

b) revenirea la scal ă

Defini ţ ia 8. Tehnologia GR prezintă revenire constantă la scar ă

(Constant Returns to Scale sau CRS) dacă θ·GR = GR (∀) θ > 0.Echivalent:

GR prezintă CRS ⇔ (x,y) ∈ GR ⇒ (θx,θy) ∈ GR (∀) θ > 0 (33)

Defini ţ ia 9. Tehnologia GR prezintă revenire necrescătoare la scală (Non-Increasing Returns to Scale sau NIRS) dacă θ·GR ⊆ GR (∀) 0 < θ ≤ 1.

Echivalent:

GR prezintă NIRS ⇔ (x,y) ∈ GR ⇒ (θx,θy) ∈ GR (∀) 0 < θ ≤ 1 (34) Defini ţ ia 10. Tehnologia GR prezintă revenire nedescrescătoare la scală

(Non-Decreasing Returns to Scale sau NDRS) dacă θ·GR ⊆ GR (∀) θ ≥ 1.

Echivalent:

GR prezintă NDRS ⇔ (x,y) ∈ GR ⇒ (θx,θy) ∈ GR (∀) θ ≥ 1 (35)

Defini ţ ia 11. Tehnologia GR prezintă revenire crescătoare la scar ă (Increasing Returns to Scale sau IRS) dacă prezintă NDRS şi nu prezintă

CRS. Ea prezintă revenire descrescătoare la scală (Decreasing Returns toScale sau DRS) dacă prezintă NIRS şi nu prezintă CRS.

c) convexitatea

Defini ţ ia 12. O tehnologie GR este convexă dacă:

GR )y,x()(1y)(x,GR )y,x(

GR y)(x,∈′′−+⇒

⎭⎬⎫

∈′′

∈α α (∀) α ∈ [0,1] (36)



De asemenea, pentru cele mai multe modele matematice, suntnecesare şi următoarele proprietăţi:

- Mulţimile P(x) şi L(y) sunt continui sau semi-continui;

- Mulţimile GR, P(x) şi L(y) sunt închise;

- (x,0) ∈ GR (∀) x ∈ m R+ şi (0,y) ∉ GR (∀) y > 0;

- In R y

y L

+∈

)( = ∅.

În general, datele de care dispune o firmă în ceea ce priveştetehnologia aplicată în obţinerea bunului sau serviciului studiat, reprezintă o

colecţie de observaţii asupra rezultatelor obţinute de unele din celelaltefirme care acţionează pe piaţa respectivă şi de rezultate tehnice exprimate prin funcţii de producţie.

Dacă în domeniul respectiv firmele folosesc M inputuri pentru aobţine N outputuri, atunci o observaţie este un vector de tipul ( x , y) unde x

este un vector din M +IR ce conţine cantităţile utilizate din fiecare input iar y

este un vector din N +IR ce conţine cantităţile obţinute din fiecare output de

către firma observată. O observaţie va fi deci un vector din M +IR × N

+IR .

Pe baza acestor observaţii şi pe baza anumitor ipoteze acceptate privind posibilităţile de combinare a tehnologiilor observate, subsistemul de producţie va găsi mulţimea tuturor posibilităţilor de producţie şi le vaextrage în final, dintre acestea, pe cele eficiente.

Presupunem că firma deţine informaţii despre un număr de K firme,asupra cărora avem observaţii privind inputurile, în număr de M şioutputurile, în număr de N .

Fie, prin urmare, mulţimea posibilităţilor de producţie, pentru cele K

firme:

( x k , yk ) ∈ N M +

+IR | K = 1,…, K = programele de producţie corespunzătoarecelor K firme observate;

Matematic vorbind, valorile observate pot fi reprezentate ca omulţime de K puncte în ortantul pozitiv al spaţiului euclidian M

+IR × N +IR , ca

în figura 8.



Pentru înţelegerea legăturii dintre modelul matematic şi aspectuleconomic al problemei este utilă reprezentarea geometrică a mulţimii tuturor posibilităţilor de producţie şi este interesant de văzut ce efect are acceptareafiecărei ipoteze suplimentare asupra acestei mulţimi.

Astfel, ipoteza de dispunere liber ă, care economic se traduce prin:

“dacă cu inputul x se poate obţine outputul y atunci cu orice input mai mareca x se poate obţine orice output mai mic decât y”, se traduce matematic prin faptul că dacă punctul ( x , y) ∈ GR atunci GR conţine întregul paralelipiped infinit [ x ,∞) × [0, y], ca în figura 9.

( x , y ) (+∞, y

M +IR

N +IR

Figura 9

Efectul ipotezei de dispunere liberă

N +IR

O

Figura 8

Mulţimea posibilităţilor de producţie

M +IR



Astfel, pentru mulţimea de observaţii reprezentată în figura 8mulţimea posibilităţilor de producţie minimă GR care conţine acesteobservaţii şi are proprietatea de dispunere liber ă este cea haşurată în figura10. O astfel de tehnologie este cunoscută sub numele de "free disposable

hull" sau prescurtat FDH.Ipoteza de convexitate a mulţimii GR se traduce economic prin

faptul că putem combina două programe de producţie în orice propor ţii.Pentru mulţimea de observaţii reprezentată în figura 8 mulţimea posibilităţilor de producţie minimă GR care conţine aceste observaţii şi are proprietatea de convexitate este cea haşurată în figura 11.

Mulţimea posibilităţilor de producţie minimă GR care conţineobservaţiile din figura 8 şi are ambele proprietăţi (de dispunere liber ă şiconvexitate) este cea haşurată în figura 12.

M +IR

N +IR

O

Figura I.10

Tehnolo ia FDH

M +IR

N +IR

O

Figura 11

Tehnologia convexă

Algebric, mulţimea observaţiilor ( x k , yk ) ∈ N M +

+IR | k = 1,…, K poate fi grupată în două matrice X şi Y unde X are K linii şi M coloane,liniile sale conţinând valorile inputurilor celor K observaţii iar Y are K liniişi N coloane, liniile sale conţinând valorile outputurilor celor K observaţii.Mulţimea posibilităţilor de producţie minimală GR ce conţine acesteobservaţii şi are proprietăţile de dispunere liber ă şi convexitate se poatescrie:

GR = ( x , y) ∈ N M ++IR | există λ ∈ K +IR a.î. T X λ ≤ x, T Y λ ≥ y, ∑=

K

k

k

1λ = 1

Economic vorbind, outputul y se poate obţine pe baza inputului x dacă şi numai dacă există o combinaţie convexă a observaţiilor existente prin care se obţine cel puţin y cu cel mult x .

În ceea ce priveşte revenirea la scală, mulţimea posibilităţilor de producţie GR prezintă:

revenire constant ă la scar ă (Constant Returns to Scale sau CRS)

dacă θ·GR = GR oricare ar fi θ > 0. Echivalent : GR prezintă CRS dacă şi numai dacă ( x , y) ∈ GR implică (θ· x ,θ· y) ∈ GR oricare ar fi θ > 0

revenire necrescătoare la scar ă (Non-Increasing Returns to Scalesau NIRS) dacă θ·GR ⊆ GR oricare ar fi 0 < θ ≤ 1.

Echivalent : GR prezintă NIRS dacă şi numai dacă ( x , y) ∈ GR implică (θ· x ,θ· y) ∈ GR oricare ar fi 0 < θ ≤ 1.

revenire nedescrescătoare la scar ă (Non-Decreasing Returns toScale sau NDRS) dacă θ·GR ⊆ GR oricare ar fi θ ≥ 1.

M +IR

N +IR

OFigura 12

Tehnologia VRS



Echivalent : GR prezintă NDRS dacă şi numai dacă ( x , y) ∈ GR implică (θ· x ,θ· y) ∈ GR oricare ar fi θ ≥ 1.

revenire crescătoare la scar ă (Increasing Returns to Scale sau IRS)dacă prezintă NDRS şi nu prezintă CRS.

revenire descrescătoare la scar ă (Decreasing Returns to Scale sauDRS) dacă prezintă NIRS şi nu prezintă CRS.

revenire variabil ă la scar ă (Variable Returns to Scale sau VRS).Prin convenţie, spunem că o mulţime a posibilităţilor de producţie asupracăreia se fac doar ipotezele de dispunere liber ă şi convexitate prezintă VRS.

Geometric, definiţiile de mai sus se traduc prin:− dacă mulţimea posibilităţilor de producţie prezintă revenire cons-

tantă la scar ă atunci odată cu un punct ( x , y) ea conţine semi-dreaptă deschisă care pleacă din origine şi conţine punctul ( x , y).

− dacă mulţimea posibilităţilor de producţie prezintă revenirenedescrescătoare la scar ă atunci odată cu un punct ( x , y) eaconţine semidreapta închisă care pleacă din ( x , y) şi este opusă originii.

− dacă mulţimea posibilităţilor de producţie prezintă revenirenecrescătoare la scar ă atunci odată cu un punct ( x , y) ea conţinesegmentul (O,( x , y)].

În figurile 13, 14, 15 şi 16 au fost reprezentate mulţimile posibilităţilor de producţie minimale care conţin observaţiile din figura 8 şi prezintă cele trei tipuri de revenire la scală.

Putem de asemenea reprezenta uşor mulţimea output de nivel P( x ) aoutputurilor care pot fi obţinute prin utilizarea inputului x şi mulţimea inputde nivel L( y) a inputurilor cu care se poate obţine outputul y.

Matematic, pentru un input dat x o, mulţimea P( x

o) este intersecţiadintre mulţimea GR şi hiperplanul M dimensional de ecuaţie x = x

o iar pentru un output dat yo, L( yo) este intersecţia dintre mulţimea GR şi

hiperplanul N dimensional de ecuaţie y = yo

.

M +IR

N +IR

Oa) CRS

M +IR

N +IR

Ob) NDRS

M +IR

N +IR

Oc) NIRS

Figura 13

Doar ipoteza de revenire la scară



Pentru cazul în care în procesul de producţie sunt folosite două inputuri mulţimea L( y) va fi o por ţiune din primul cadran al planului bidimensional, în figura 17 fiind reprezentată această mulţime în cazul uneitehnologii de tip FDH (figura 17.a) şi în cazul unei tehnologii convexe

(figura 17.b).

M +IR

N +IR

O b) NDRS

M +IR

N +IR

Oa) CRS

M +IR

N +IR

O

c) NIRSFigura 14

Revenire la scară şi disponibilitate liberă

M +IR

N +IR

O b) NDRS

M +IR

N +IR

Oc) NIRS

M +IR

N +IR

Oa) CRS

Figura 15

Convexitate şi revenire la scară

M +IR

N +IR

Oa) CRS

M +IR

N +IR

Oc) NIRS

M +IR

N +IR

O b) NDRS

Figura 16

Convexitate, dispunere liberă şi revenire la scară



Pentru cazul în care în procesul de producţie se obţin două outputurimulţimea P( x ) va fi o por ţiune din primul cadran al planului bidimensional,în figura 18 fiind reprezentată această mulţime în cazul unei tehnologii detip FDH (figura 18.a) şi în cazul unei tehnologii convexe (figura 18.b).

Revenind la aspectul economic al studiului unei tehnologii date, oimportanţă deosebită o reprezintă evident submulţimea producţiilor eficiente.

Geometric, un producător va apar ţine mulţimii eficiente Eff GR,definită prin:

Eff GR = ( x , y) | ( x , y) ∈ GR şi ( x , y´) ∉ GR pentru (-x´,y´) ≥ (-x,y),(x´,y´) ≠ (x,y)

dacă nu există nici un punct al mulţimii posibilităţilor de producţie aflat în paralelipipedul (o, x ] × [ y,+∞) diferit de ( x , y). Acest paralelipiped formează mulţimea producţiilor mai eficiente decât producţia ( x , y). Astfel, în figura19.a avem o mulţimea posibilităţilor de producţie convexă şi cu dispunere

liber ă care a fost reprezentată pe fond gri şi producătorul ( x , y) pentru caremulţimea producţiilor mai eficiente este paralelipipedul haşurat. Din acestdesen "se vede" că producătorul ( x , y) nu este eficient şi că mulţimea Eff GR este egală cu mulţimea punctelor de pe linia frântă îngroşată dintre puncteleA şi B.

În figura 19.b este reprezentată o mulţimea posibilităţilor de producţie de tip FDH. În acest caz mulţimea Eff GR este reprezentată doar de producţiile reprezentate prin punctele îngroşate.

x 2

OFigura 17.a

L(y) de tip FDH

x 1

x 2

OFigura 17.b

L(y) de tip convex

x 1

Geometric, un producător ( x o, yo) va apar ţine izocuantei Isoq GR,

definită prin:

Isoq GR = (x,y) | (x,y) ∈ GR şi (θx,y/θ) ∉ GR oricare ar fi 0 < θ < 1

dacă nu există nici un punct al mulţimii posibilităţilor de producţie aflat pe por ţiunea din hiperbola de ecuaţie: xy = x

o y

o, situată în paralelipipedul producţiilor mai eficiente decât producţia ( x , y).

În figurile 20.a şi 20.b sunt reprezentate prin linie îngroşată izocuantele unei mulţimi a posibilităţilor de producţie convexă, respectiv detip FDH; în figura 20.a este reprezentată prin linie punctată şi hiperbolacorespunzătoare producătorului ( x , y). Din cele două figuri "se vede" că Eff GR este inclusă în Isoq GR, diferenţa dintre ele fiind reprezentată de por ţiunile din frontiera geometrică a mulţimii GR paralele cu axelesistemului de coordonate.

M +IR

N

+IR

O

GR

Figura 19.b

N +IR

M +IR

O

( x , y )

A

B

GR

Figura 19.a

y 2

OFigura 18.a

P(x) de tip FDH

1

2

OFigura 18.b

P(x) de tip convex

1



Mulţimile input şi output de nivel au fost reprezentate anterior. Unoutput yo va apar ţine mulţimii eficiente a mulţimii input de nivel:

Eff P( x ) = y | y ∈ P( x ) şi y´ ∉ P( x ) oricare ar fi y´ ≥ y, y´ ≠ y

dacă nu există nici un punct al mulţimii P(x) aflat în paralelipipedul N

dimensional ∏=

∞ N

1 j

o j ),[ y diferit de y

o. Acest paralelipiped formează mulţimea

outputurilor mai mari decât yo posibile cu inputul dat x . Astfel, în figura

21.a avem o mulţime input de nivel corespunzătoare unei mulţimi a posibilităţilor de producţie convexă şi cu dispunere liber ă care a fostreprezentată pe fond gri şi producătorul ( x , yo) pentru care mulţimeaoutputurilor mai mari decât yo posibile cu inputul dat x este paralelipipedulhaşurat. Din acest desen "se vede" că producătorul ( x , yo) nu este eficient şică mulţimea Eff P( x ) este egală cu mulţimea punctelor de pe linia frântă îngroşată dintre punctele A şi B.

M +IR

N +IR

O

GR

Figura 20.b

N +IR

M +IR

O

( x , y )

A

B

Figura 20.a

2

OFigura 21.a

1 P x

yo

A

B

2

OFigura 21.b

1 P x

o



În figura 21.b este reprezentată o mulţime input de nivelcorespunzătoare unei mulţimi a posibilităţilor de producţie de tip FDH. Înacest caz mulţimea Eff P( x ) este reprezentată doar de outputurilereprezentate prin punctele îngroşate.

Un output yo va apar ţine izocuantei mulţimii input de nivel: IsoqP( x ) = y | y ∈ L( x ) şi θ y ∉ L( x ) oricare ar fi θ > 1

dacă nu există nici un punct al mulţimii P(x) aflat pe semidreapta deschisă cu originea în y

o opusă originii sistemului de coordonate.În figurile 22.a şi 22.b sunt reprezentate prin linie îngroşată

izocuantele unei mulţimi input de nivel corespunzătoare unei mulţimi a posibilităţilor de producţie convexă, respectiv de tip FDH; în figura 22.aeste reprezentată prin săgeată îngroşată şi semidreapta corespunzătoare

outputului yo

. Din cele două figuri "se vede că Eff P( x ) este inclusă în Isoq P( x ), diferenţa dintre ele fiind reprezentată de por ţiunile din frontierageometrică a mulţimii P( x ) paralele cu axele sistemului de coordonate.

Un input x o va apar ţine mulţimii eficiente a mulţimii output de nivel:

Eff L( y) = x | x ∈ L( y) şi x ∉ L( y) oricare ar fi x ≤ x , x ≠ x

dacă nu există nici un punct al mulţimii L( y) aflat în paralelipipedul M

dimensional ∏=

M

1i

oi ],0[ x diferit de x

o. Acest paralelipiped formează mulţimea

inputurilor mai mici decât x o cu care se poate obţine outputul dat y. Astfel,

în figura 23.a avem o mulţime output de nivel corespunzătoare unei mulţimia posibilităţilor de producţie convexă şi cu dispunere liber ă care a fostreprezentată pe fond gri şi producătorul ( x

o, y) pentru care mulţimeainputurilor mai mici decât x

o cu care se poate obţine outputul dat y este

paralelipipedul haşurat. Din acest desen "se vede" că producătorul ( x

o

, y) nu

2

Ofigura 22.b

1 P x

yo

2

Ofigura 22.a

y 1P x

y

o



este eficient şi că mulţimea Eff L( y) este egală cu mulţimea punctelor de pelinia frântă îngroşată dintre punctele A şi B.

În figura 23.b este reprezentată o mulţime output de nivelcorespunzătoare unei mulţimi a posibilităţilor de producţie de tip FDH. Înacest caz mulţimea Eff L( y) este reprezentată doar de inputurile reprezentate prin punctele îngroşate.

Un input x o va apar ţine izocuantei mulţimii output de nivel:

IsoqL( y) = x | x ∈ L( y) şi θ x ∉ L( y) oricare ar fi θ ∈ [0,1)

dacă nu există nici un punct al mulţimii L( y) aflat pe segmentul (O, x o).

În figurile 24.a şi 24.b sunt reprezentate prin linie îngroşată izocuantele unei mulţimi output de nivel corespunzătoare unei mulţimi a posibilităţilor de producţie convexă, respectiv de tip FDH; de asemenea estereprezentat prin linie îngroşată şi segmentul corespunzător inputului x

o. Dincele două figuri "se vede că Eff L( y) este inclusă în Isoq L( y), diferenţadintre ele fiind reprezentată de por ţiunile din frontiera geometrică a mulţimii

L( y) paralele cu axele sistemului de coordonate.

x 2

OFigura 23.a

x 1

x o

L( y ) A

B

x 2

Figura 23.b

x 1

x o

x 2

OFigura 24.a

x 1

x o

L( y )

x 2

OFigura 24.b

x 1

x o

L( y )



Din consideraţiile de mai sus se desprinde concluzia că tehnologiileeficiente sunt situate pe frontiera mulţimii posibilităţilor de producţie. Dinacest motiv este suficient să cunoaştem sau să estimăm doar frontiera acesteimulţimi, printr-o funcţie de producţie:

y = f (x) (37)

Această funcţie poate fi definită pur şi simplu ca asociind uneicombinaţii de inputuri x cea mai profitabilă combinaţie de outputuri y. Deexemplu, dacă p reprezintă vectorul profiturilor unitare aduse de vânzareacelor N outputuri, p ∈ R N, atunci:

f (x) = yx unde p·yx = maxp·y / y ∈ P(x) (38)

Dacă luăm în considerare un singur output atunci cea mai profitabilă

situaţie poate fi considerată cea în care se obţine outputul maxim:

f (x) = maxy / y ∈ P(x) (39)

Funcţia de producţie poate fi de asemenea estimată prin metodeeconometrice.

Simpla definire a funcţiei de producţie, ca cea mai profitabilă combinaţie de outputuri (sau ca maxim de outputuri) ce se poate obţine cu ocombinaţie de inputuri dată nu este suficientă pentru o analiză în detaliu aactivităţii firmei. Pentru a putea face o analiză matematică a producţiei estenecesar ca, în general, funcţia de producţie să aibă o serie de proprietăţi caresă permită modelarea matematică, care să nu restrângă prea drasticmulţimea de situaţii practice la care poate fi aplicată şi să nu denaturezerezultatele obţinute. Principalele ipoteze asupra formei unei funcţii de producţie sunt:

Ip.1 Funcţia de producţie este unic definită, pozitivă şi finită pentruorice combinaţie de inputuri x. Economic, aceasta se traduce prin faptul că,

pentru o combinaţie de inputuri există o singur ă combinaţie de outputurimaximală, că nu există outputuri negative şi că putem produce doar ocantitate finită de outputuri cu un input dat.

Ip.2 Esenţialitate slabă. Aceasta se traduce prin faptul că nu putemobţine output f ăr ă a consuma nici un input şi că orice consum dintr-un inputduce la obţinerea de output. Matematic, această proprietate se exprimă prin:

f (x) = 0 ⇔ x = 0 (40)



În unele cazuri putem chiar accepta ipoteza mai restrictivă:

dacă există xi = 0 atunci f (x) = 0 (41)

numită esenţialitate strictă.

Ip.3 Funcţia de producţie este continuă.

Obs: În unele cazuri se acceptă chiar ca aceasta să fie de clasă C2(diferenţiabilă, cu derivatele par ţiale continui).

Ip.4 Funcţia de producţie este monoton crescătoare. Această proprietate spune că, în mod normal, orice creştere a cel puţin unui input ar trebui să atragă o creştere a producţiei de outputuri. Dacă funcţia admitederivate par ţiale atunci condiţia este echivalentă cu:

i x

f

∂∂

≥ 0 pentru orice input xi (42)

Valoareai x

f

∂∂

, numită şi eficienţa marginală, arată cu cât creşte

outputul la o creştere cu o unitate a inputului xi.

Ip.5 Funcţia de producţie este concavă în fiecare din inputuri, încondiţiile în care celelalte r ămân constante:

f (α·( 01 x ,…, 0

1−i x , 1i x , 0

1+i x … 0 N x ) + (1 – α)·( 0

1 x ,…, 01−i x , 2

i x , 01+i x … 0

N x )) ≥

≥ α· f ( 01 x ,…, 0

1−i x , 1i x , 0

1+i x … 0 N x ) + (1 – α)· f ( 0

1 x ,…, 01−i x , 2

i x , 01+i x … 0

N x ) (43)

oricare ar fi α ∈ [0,1] şi 1i x , 2

i x ≥ 0.

Dacă funcţia este derivabilă de două ori în fiecare argument atunci

condiţia (I.43) se poate scrie:

i x

f 2

2

∂∂

≤ 0 pentru orice input x I (44)

Proprietatea modelează realitatea economică potrivit căreia, în modnormal, o creştere a unui input atrage creşterea outputului dar fiecare unitatesuplimentar ă de input va atrage o creştere mai mică decât unitatea precedentă. Proprietatea este cunoscută ca legea randamentelor marginale

descrescătoare.



Dacă funcţia este de clasă C2 şi H = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂∂

ji x x

f 2

i,j = 1…N este matricea

Hessian asociată atunci condiţia (I.43) este echivalentă cu faptul că H este

negativ semidefinită.În unele cazuri se acceptă chiar concavitatea funcţiei de producţie:

f (α·x1 + (1 – α)·x2) ≥ α· f (x1) + (1 – α)· f (x2) (45)

oricare ar fi α ∈ [0,1] şi x1, x2 ∈ N R+ .Dacă funcţia este de clasă C2 atunci condiţia (I.45) este echivalentă

cu faptul că matricea Hessian este negativ definită.

În studiul unei funcţii de producţie prezintă o importanţă deosebită

influenţa modificării inputurilor asupra volumului outputului obţinut.Această analiză se poate face separat, pe fiecare input, sau global.

Pentru a surprinde influenţa variaţiei unui input asupra volumului producţiei obţinute se folosesc următorii indicatori:

I1 Producţia medie pe fiecare factor:

i f (x) =i x

x f )((46)

care arată, în medie, ce cantitate din fiecare output se obţine prin utilizareaunei unităţi din inputul xi.

I2 Productivitatea marginală în raport cu fiecare input:

f i(x) =i x

f

∂∂

(47)

care arată cu cât se modifică fiecare output la o creştere cu o unitate a

inputului xi.

I3 Elasticitatea outputului în raport cu fiecare input:

εi(x) =

i

i

x

x f

x

f

)(∂∂

=i

i

f

f (48)

care arată cu câte procente se modifică fiecare output la o modificare cu un

procent al fiecărui input.

Pentru a surprinde influenţa globală a mai multor inputuri asupraoutputului se utilizează următorii indicatori:

a) revenirea la scală.

Revenirea la scală este un indicator calitativ. Presupunem că toateinputurile se modifică simultan în aceeaşi propor ţie:

x → λ·x (49)

În tabelul de mai jos sunt sintetizate cele trei tipuri de revenire lascală utilizate în practica economică:

revenire constantă

la scală

revenire crescătoare

la scală

revenire

descrescătoare la scală

λ·GR ⊆ GR (∀) λ > 0

λ·L(y) ⊆ L(y) (∀) λ > 0

f (λ·x) = λ· f (x) (∀) λ > 0

λ·GR ⊆ GR (∀) λ > 1

λ·L(y) ⊆ L(y) (∀) λ > 1

(λ·x) > λ· f (x) (∀) λ > 1

λ·GR ⊆ GR (∀) λ < 1

λ·L(y) ⊆ L(y) (∀) λ < 1

f (λ·x) < λ· f (x) (∀) λ > 1

După cum se observă din definirea funcţiei de producţie cu revenire

constantă la scar ă, această situaţie este echivalentă cu faptul că funcţia de producţie este omogenă de gradul 1. De aceea este urmărit în mod specialgradul de omogenitate al unei funcţii:

Defini ţ ia 13 O funcţie este omogenă de gradul k dacă:

f (λ·x) = λk · f (x) (50)

Astfel, o funcţie omogenă de gradul k va fi cu revenire constantă dacă k = 1, descrescătoare dacă k < 1 şi crescătoare dacă k > 1.

b) elasticitatea scalei

ε(x) =1λ

lim→

λ

)λ (λ

λ x)(

x f

f

∂∂

(51)

care arată cu câte procente se modifică valoarea producţiei dacă scala creştecu un procent.

Deoarece avem relaţiile succesive:

ε(x) =1λ

lim→

λ )λ (

λ

λ x)(

x f

f

∂∂

=1λ

lim→

λ

λ x)(

∂

∂ f ·

1λ lim

→

)λ (

λ

x f

=

)(

1

x f ·

1λ lim

→ λ

)λ x(

)λ x(

λ x)( i

1 i ∂∂

⋅∂∂∑

=

N

i

f

=)(

1

x f ·∑

=

⋅ N

i

ii x f 1

= ∑=

N

i i

i

f

f

1

= ∑=

N

i 1iε (52)

rezultă că elasticitatea scalei este egală cu suma elasticităţilor outputului înraport cu fiecare input.

Vom spune că tehnologia prezintă o revenire constantă la scală dacă ε(x) = 1, descrescătoare dacă ε(x) < 1 şi crescătoare dacă ε(x) > 1.

O altă proprietate importantă a funcţiilor de producţie este substituibilitatea inputurilor . Această proprietate spune că, în general, se pot utiliza mai multe combinaţii de inputuri pentru a obţine acelaşi output,sau că, cel puţin în anumite limite, se poate suplini lipsa unei cantităţi dintr-un input pe seama celorlalte inputuri.

Această posibilitate este cerută de limitările tehnice, de posibilităţilede procurare şi rezervele existente ale inputurilor sau pur şi simplu demotive subiective, care duc la situaţii în care este necesar ă schimbareatehnologiei de producţie f ăr ă a modifica outputul obţinut.

Este evident că în mod normal nu există o infinitate de tehnologii posibile sau că nu putem substitui orice input prin celelalte sau în oricecantitate, dar acceptarea acestor ipoteze este utilă în ceea ce priveştemodelarea matematică a activităţii firmei şi, respectând anumite limite, ducela rezultate suficient de apropiate de valorile reale.

Pentru a exprima posibilităţile de substituire între factori se folosescurmătoarele obiecte matematice:

1. Izocuanta unui output dat y0:

Isoq(y0) = x | f (x) = y0, x ≥ 0 (53)

reprezentând mulţimea tuturor combinaţiilor de inputuri cu care se poateobţine outputul y0.

2. Raza unui input dat x0 în spaţiul inputurilor:

R(x0) = x | x = λ·x0, λ ≥ 0 (54)

reprezentând mulţimea tuturor modificările propor ţionale ale inputului x0.



3. Rata marginală de substituire tehnică între două inputuri xi şi x j.Această mărime reprezintă acea cantitate din inputul x j care este necesar ă

pentru a compensa scăderea unei unităţi din inputul xi, în condiţiile în care programul de producţie este (x0,y0). În figura 25 a fost reprezentată intersecţia dintre izocuanta lui y0 şi ortantul pozitiv al spaţiului bidimensional (xi,x j) precum şi propor ţiile în care trebuie substituiţi cele

două inputuri pentru a obţine acelaşi output.Matematic, această rată se calculează cu formula:

γij = – i

j

x x

x

i ∆

∆→∆ 0

lim (55)

unde:

f ( 01 x ,…, 0

i x + ∆xi,…, 0 j x + ∆x j,…, 0

n x ) = f ( 01 x ,…, 0

i x ,…, 0 j x ,…, 0

n x ) (56)

şi este egală cu tangenta unghiului ϕ format de tangenta la izocuantă în punctul ),( 00

ji x x cu axa Oxi. Dezvoltând funcţia din termenul din stânga al

relaţiei (I-56) în serie Taylor de ordinul I obţinem: f ( 0

1 x ,…, 0i x + ∆xi,…, 0

j x + ∆x j,…, 0n x ) =

= f ( 01 x ,…, 0

i x ,…, 0 j x ,…, 0

n x ) +i x

f

∂∂

(x0)· ∆xi + j x

f

∂∂

(x0)· ∆x j +

( ) ( )22 ji x x ∆+∆ ·ω(xi,x j)

),( 00 ji x x

xi

x

∆x∆x

∆x

∆ x j

∆ x j

∆ x j

ϕ

Figura 25



unde ω(xi,x j) este continuă şi nulă în ( 0i x , 0

j x ).Înlocuind în (I-56)

obţinem:

i x

f

∂

∂(x0)· ∆x

i+

j x

f

∂

∂(x0)· ∆x

j=

( ) ( )

22

ji

x x ∆+∆ ·ω(xi,x

j) (57)

Împăr ţind cu ∆xi, şi ţinând cont că ∆x j tinde la 0 dacă ∆xi tinde lazero avem:

i

j

x x

x

i ∆

∆→∆ 0

lim = –

j

i

x

f

x

f

∂∂∂∂

(58)

sau:

γij(xi,x j) = j

i

f

f (xi,x j) (59)

4. Se numeşte izoclină curba de ecuaţie:

j

i

f

f (xi,x j) = γij ),( 00

ji x x (60)

5. Elasticitatea ratei marginale de substituţie:

σ(xi,x j) =

0

ij

0ijij

0

0

0

0

),(),(

γ

γγlim

00 −

−

→

j

i

j

i

j

i

x x x x

x

x

x

x

x

x

ji ji

=

ij

ij

γ

)d(γ

d

j

i

j

i

x

x

x

x

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

(61)

unde: f ( 0

1 x ,…, 0i x + ∆xi,…, 0

j x + ∆x j,…, 0n x ) = f ( 0

1 x ,…, 0i x ,…, 0

j x ,…, 0n x ) (62)

care arată cu câte procente se modifică raportul j

i

x

x prin deplasare de-a

lungul izocuantei dacă rata marginală de substituţie se modifică cu un procent.



Cele mai utilizate funcţii de producţie sunt:

I. Funcţii de producţie de tip putere (Cobb-Douglas):

f (x) = C ·1α

1 x ·2α

2 x ·…· Nα

N x (63)unde C este o constantă pozitivă egală cu nivelul producţiei corespunzător folosirii câte unei unităţi din fiecare input iar exponenţii αi, i = 1…N, sunt pozitivi, în general subunitari.

II. Funcţii de producţie cu elasticitatea ratei marginale de substituţieconstantă:

f (x) =ρδ

ρ

N

Nρ

2

2ρ

1

1 β...

ββ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +++

x x x

C (64)

unde C, βi, δ şi ρ sunt constante pozitive.

III. Funcţii de producţie cu propor ţii constante:

f (x) = C ·min

⎩

⎨⎧

1

1

a

x,

2

2

a

x,…,

⎭

⎬⎫

N

N

a

x(65)

unde C şi ai sunt constante pozitive.

5. Subsistemul preţuri-cost-profitabilitate

Este evident că orice decizie luată de întreprindere trebuie analizată din punct de vedere calitativ, în ceea ce priveşte oportunitatea, profitabilitatea, posibilităţile de aplicare concretă etc., cât şi cantitativ, înceea ce priveşte investiţiile de care va fi nevoie, cheltuielile implicate,

posibilul profit, optimalitatea soluţiei alese etc.Astfel, orice maşină utilizată în procesul tehnologic se va uza mai

devreme sau mai târziu până la punctul în care întreţinerea ei va deveni maicostisitoare decât înlocuirea ei cu una nouă, fiecare tehnologie existentă laun moment dat va fi depăşită în ceea ce priveşte eficienţa de alte tehnologiinou apărute, ajungând să devină ineficientă datorită costurilor mai mari pecare le implică şi deci apărând necesitatea schimbării ei, fiecare produs vatrebui mai devreme sau mai târziu înlocuit cu unul mai performant etc.



În orice întreprindere va trebui să existe un grup de oameni care să analizeze permanent profitabilitatea producţiei, pe baza informaţiilor de pe piaţa bunurilor şi factorilor de producţie, pentru a alege permanent nivelul şistructura optimă a producţiei, să decidă, pe baza fondurilor disponibile,

nivelul investiţiilor viitoare şi să compare permanent rezultatele concurenţeicu propriile rezultate, pentru ca firma să r ămână competitivă.

În acest sens, este nevoie de existenţa unor instrumente şi metodespecifice de analiză, de noţiuni, indicatori şi modele matematice adecvatescopului şi de suportul logistic necesar utilizării şi aplicării acestor modeleîn timp real.

Personalul implicat în aceste activităţi, acţiunile acestora şimijloacele utilizate pentru desf ăşurarea lor formează un ansamblu unitar, eleconstituind un subsistem bine conturat al firmei, numit subsistemul preţuri-

cost-profitabilitate. Relaţiile acestui subsistem cu celelalte subsisteme alefirmei şi cu mediul extern acesteia sunt reprezentate în figura 26:

Cele mai utilizate noţiuni în analiza acestui subsistem sunt func ţ iade cost şi func ţ ia de profit .

Func ţ ia de cost este necesar ă pentru calcularea cheltuielilor necesare pentru producerea outputului dat de funcţia de producţie utilizată de

I n f o r m a ţ i i

p r i v i n d

c o n c u r e n ţ a

Subsistemulpreţuri – costuri

profitabilitate(SPCP )

Subsistemulasigurării cu factori de

producţie(S AFP )

Subsistemulde producţie(tehnologic)

(SP-T )

Subsistemul

Financiar

(SF)

Subsistemulraporturilor cu piaţa

bunurilor şi serviciilor

(SRPB)


p r o d u c ţ i a


p r of i t a b i l i t a t e a

Investiţii

alocate

Necesar de investiţii(profitabile)


d e z v o l t a r e

Preţul de vânzare

Concurenţi

C o s t u l

f a c t o r i l o r

Figura 26



subsistemul tehnologic şi va depinde evident de cantitatea produsă, decantităţile folosite din fiecare input pentru obţinerea acestei producţii şi decosturile inputurilor pe pieţele pe care se comercializează acestea.

Funcţia cost se defineşte prin:

c : R m×R n → R, c(w,y) =0

min≥ x

w·x | f (x) ≥ y (66)

unde y ∈ R n, y ≥ 0 este vectorul cantităţilor de outputuri care trebuierealizate, x ∈ R m, x ≥ 0 vectorul cantităţilor de inputuri ce vor fi necesare pentru obţinerea acestora, w ∈ R m, w > 0(nu există inputuri gratis) estevectorul costurilor inputurilor iar f este funcţia de producţie utilizată desubsistemul de producţie.

Pentru un nivel fixat al outputului y şi ţinând cont de monotoniafuncţiei de producţie, valorile funcţiei cost se găsesc rezolvând problema de programare matematică:

⎩⎨⎧

≥

=

⋅∑=

0,...,,

),...,,(

min

21

21

1,...,, 21

m

m

m

i

ii x x x

x x x

y x x x f

xwm

(67)

în care s-a presupus că preţurile unitare ale inputurilor sunt fixate,nedepinzând de cantitatea cumpărată sau furnizorul folosit şi că sigurarestricţie a problemei de minimizare este dată de tehnologia folosită în producţie.

Pentru aceleaşi motive invocate la analiza funţiei de producţie, putem presupune că funcţia de cost are proprietăţile:

P1: Este bine definită (problema de minim are soluţie finită unică) şistrict pozitivă pentru x > 0 şi w > 0 (nu putem produce ceva la cost zero).

P2: Funcţia cost este crescătoare în w, care economic arată că creşterea preţului inputurilor va duce la creşterea costului de producţie.

P3: Funcţia cost este concavă şi continuă în w, care economic arată că la modificări mici ale costului inputurilor corespund modificări mici alecostului producţiei şi viteza de creştere a costului producţiei este mai mică decât viteza de creştere a costului inputurilor.

P4: Funcţia cost este omogenă de gradul I în w, care rezultă din

definiţia funcţiei cost.



P5: Funcţia cost este crescătoare în y (orice unitate în plus de outputnecesită costuri suplimentare sau costul marginal este pozitiv).

P6: c(w,0) = 0, condiţie destul de restrictivă, deoarece în general, în perioadele de oprire a producţiei apar întotdeauna cheltuieli de întreţinere,salarizare etc, cuprinse în costurile fixe. Totuşi, pe termen lung putemconsidera că aceste costuri sunt neglijabile.

În practica economică sunt utilizate mai multe categorii de costuri, înfuncţie de inputurile luate în considerare, de durata pe care se face estimareaacestora etc, vorbindu-se de costuri fixe (care nu depind de cantitatea deoutput produsă) sau variabile (care depind de cantitatea de output produsă),costuri pe termen lung sau costuri pe termen scurt etc. În continuare voi faceo trecere în revistă a celor mai utilizate tipuri de costuri:

I. Costuri pe termen lung . La calcularea acestor costuri se presupune că toate inputurile sunt disponibile în oric cantitate. În acest caz putemcalcula:

1. costul total pe termen lung . Acest cost se calculează rezolvând problema de programare matematică:

⎩

⎨⎧

≥

=

⋅= ∑=

0,...,,

),...,,(

miny)CTL(w,

21

21

1,...,, 21

m

m

m

i

ii x x x

x x x

y x x x f

xwm

2. Costul mediu pe termen lung . Se calculează cu formula:

CML(w,y) =y

y)CTL(w,

şi reprezintă costul mediu pentru obţinerea unei unităţi de output.3. Costul marginal pe termen lung . Se găseşte cu formula:

CmL(w,y) =y

y)CTL(w,

∂∂

şi reprezintă costul necesar măririi producţiei cu o unitate.

4. Elasticitatea costului total pe termen lung în raport cu outputul se calculează cu relaţia:

εc =

y

y)CML(w,y

y)CTL(w,

∂∂

=y)CML(w,

y)L(w,Cm

şi arată cu câte procente creşte costul dacă mărim producţia cu un procent.

Cele trei costuri sunt reprezentate în figura 27.II. Costuri pe termen scurt . În acest caz anumite inputuri pot fi procurate

doar în cantităţi limitate. Costurile cel mai des folosite în analizaeconomică sunt:

1. Costul total pe termen scurt . Se calculează rezolvând problemade programare matematică:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥⊂∈≤

=

⋅= ∑=

0,...,,M1,2,...,J j,

),...,,(

miny)CTS(w,

21

j j

21

1,...,, 21

m

m

m

i

ii x x x

x x x

l x

y x x x f

xwm

y

CMLCmL CML

CmL

CTLCTL

y

εc > 1εc < 1

εc = 1

Figura 27



Soluţia are forma CTS(w,y) = ∑∈

⋅1 J j

j j xw + ∑∈

⋅2 J j

j j l w cu J1 ∩ J2 = ∅ şi

J1 ∪ J2 = 1,…,M. Datorită restricţiilor suplimentare costul total petermen scurt este mai mare sau egal cu costul total pe termen lung. De

asemenea se observă că putem împăr ţi costul total pe termen scurt îndouă componente:

a. Costul variabil pe termen scurt CVS(w,y) = ∑

∈

⋅1 J j

j j xw , j ∈ J1

b. Costul fix pe termen scurt CFS(w,y) = ∑

∈

⋅2 J j

j j l w , j ∈ J2

2. Costul mediu pe termen scurt

CMS(w,y) =y

y)CTS(w,=

yy)CVS(w,

+y

y)CFS(w,=CVMS(w,y) + CFMS(w,y)

Figura 28

CmLCmS

CMVS

costuri

CMFS y

y int

CML

CMS



care de asemenea poate fi împăr ţit în două componente: costul variabil

mediu pe termen scurt CVMS(w,y) şi costul fix mediu pe termen scurt CFMS(w,y).

3. Costul marginal pe termen scurt

CmS(w,y) =y

y)CTS(w,

∂∂

=y

y)CVS(w,

∂∂

+y

y)CFS(w,

∂∂

= CmVS(w,y)

Aceste costuri pot fi urmărite în figura 28.Se poate demonstra că, aşa cum se vede şi din desen, între aceste

costuri există următoarele relaţii:

1. CmL se intersectează cu CML în punctul de minim al CML.

2. CmS se intersectează cu CMS în punctul de minim al CMS.3. Curba CMS este întotdeauna curbei CML.

4. Curba CMS(y) intersectează curba CML(y) într-un singur punct,de aceaşi abcisă yint cu cel în care se intersectează CmS cu CmL.

5. Curbele CMS(y) şi CML(y) au pante egale în punctul de abcisă yint.

6. Curba CmS intersectază curba CVMS în punctul de minim al

CVMS.De asemenea, pentru a analiza influenţa multiplicării preţurilor

factorilor şi a volumului outputului asupra inputurilor şi asupra costuluirezultat se pot calcula următorii indicatori:

1. Elasticitatea cererii din inputul xi la o creştere cu un procent a preţului inputului x j:

εij =

j

i

j

i

w

yw x

w

yw x

),(

),(

∂∂

oricare ar fi i,j = 1,…,m

care arată cu câte procente se modifică cererea din inputul xi dacă preţul inputului x j creşte cu un procent. Avem εii ≤ 0 şi, în general, εij ≠ ε ji,între acestea existând relaţia:

εij =),(

),(

yw xw

yw xw

ii

j j

⋅

⋅·ε ji



2. Elasticitatea costului de producţie în raport cu preţul inputului xi:

i

cε =

i

i

w ywc

w

ywc

),(

),(

∂∂

=

),(

),(

ywc

yw xw ii ⋅

care arată cu câte procente se modifică costul la o creştere cu un procent al preţului inputului xi.

3. Elasticitatea costului mediu:

i

CMLε =

i

i

w

ywc

w

ywc

),(

),(

∂∂

=),(

),(

ywc

yw xw ii ⋅= i

cε

care arată cu câte procente se modifică costul mediu pe termen lung la ocreştere cu un procent al preţului inputului xi.

4. Modificarea costului marginal pe termen lung la o creştere cu ounitate a preţului inputului xi:

i

LC m∆ = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∂

∂∂∂

y

ywc

wi

),(=

yw

ywc

i∂∂∂ ),(2

= y

yw xi

∂∂ ),(

5. Elasticitatea costului în raport cu nivelul outputului:

y

cε =

y

ywc

y

ywc

),(

),(

∂∂

=)ln(

),(ln

y

ywc

∂∂

=CML

LC m

care arată cu câte procente se modifică costul dacă nivelul outputului semodifică cu un procent.

În ultimă instanţă, cel mai important obiectiv al firmei r ămânemaximizarea profitului, de aceea este foarte importantă introducerea şianaliza unei funcţii care să-l exprime în funcţie de variabilele care îlinfluenţează, numită func ţ ia de profit .

Funcţia de profit se defineşte prin:

π : R n → R , π(y) = V(y) – c(y)

unde V(y) reprezintă venitul obţinut de firmă prin vânzarea outputului y iar c(y) costul implicat de obţinerea acestui output.



Dacă firma acţionează pe o piaţă pe care concurenţa poate fi presupusă perfectă atunci funcţia de profit va avea forma:

π(y) = p · y – c(w,y) = ∑=

⋅ N

j

j j y p

1

– ∑=

⋅M

i

ii xw

1

unde f (x) = y

unde p este preţul de vânzare al outputurilor îar f funcţia de producţie.Dacă firma acţionează pe o piaţă cu competiţie imperfectă atunci

preţul outputurilor depinde de cantitatea de output vândută, conform funcţieiinverse a cererii, funcţia profit având forma:

π(y) = p(y) · y – c(w,y) = ∑=

⋅ N

j

j j y y p1

)( – ∑=

⋅M

i

ii xw1

unde f (x) = y

Pentru o anumită producţie a firmei (xo,yo) putem considera funcţia

profit ca depinzând numai de preţurile inputurilor şi de preţurile de vânzareale outputurilor:π : R m× R m× R n → R, π = π(w,p) = p · yo – c(w,yo)

Cele mai importante proprietăţi ale funcţiei profit sunt:

P1) Funcţia profit are, cel puţin pe termen lung, numai valori pozitive, altfel firma ar da faliment:

π(p,w) ≥ 0 oricare ar fi y ≥ 0

P2) Funcţia profit este crescătoare în p, profitul crescând odată cu

creşterea preţului produselor comercializate de firmă: p1 ≥ p2 ⇒ π( p1,w) ≥ π( p1,w) oricare ar fi p1, p2 ∈ R N şi w ∈ R M pozitivi

P3) Funcţia profit este descrescătoare în preţurile inputurilor,utilizarea unor inputuri mai scumpe ducând la scăderea profitului:w1 ≥ w2 ⇒ π( p,w1) ≤ π( p,w2) oricare ar fi w1, w2 ∈ R M şi p ∈ R N pozitivi

P4) Funcţia profit este continuă şi convexă în (p,w):

P5) Funcţia profit este omogenă de gradul 1 în (p,w):π(λ p,λw) = λ·π(p,w)

P6) Dacă funcţia profit este diferenţiabilă în (p,x) atunci pentru unnivel dat al preţurilor pe piaţa inputurilor w şi al outputurilor p, există ounică tehnologie de producţie (x*, y*) unde:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂

=

∂∂

−=

p

w pw p y

w

w pw p x

),(),(

),(),(

*

*

π

π

care maximizează profitul firmei.



P7) Dacă firma acţionează pe o piaţă cu concurenţă imperfectă atuncifuncţia de profit:

π(y) = p(y)·y – c(y)

este o funcţie concavă.Dacă dorim maximizarea profitului pe termen scurt în cazul unei pieţe cu concurenţă perfectă pentru un nivel al preţurilor dat (w,p) atunciavem de rezolvat problema de maximizare:

V xmax π(x) = p· f (xV,xF) – wV·xV – wF·xF

unde xV sunt inputurile variabile şi wV·xV este costul variabil pe termenscurt CVS iar xF sunt inputurile fixe şi wF·xF este costul fix pe termen scurtCFS. Soluţia optimă este obţinută prin rezolvarea sistemului:

V x

x

∂∂ )(π

= 0 ⇔ p·V x

x f

∂∂ )(

– wV = 0 ⇔ p·V x

x f

∂∂ )(

= wV

adică acel nivel al producţiei pentru care profitul marginal este egal cu preţul inputurilor.

Pentru ca soluţia sistemului să fie optimă este necesar ca:

V x

x2

2 )(

∂

∂ π ≤ 0 ⇔

V x

x f 2

2 )(

∂

∂ ≤ 0

adică exact condiţia ca funcţia de producţie să prezinte randamentedescrescătoate.

Dacă la nivelul firmei costul se exprimă în funcţie de outputulrealizat atunci, pentru o piaţa a outputurilor cu concurenţă perfectă, problema se reduce la problema de maximizare:

ymax π(y) = p·y – c(y)

soluţia fiind dată de condiţia:

y∂∂π

= 0 ⇔ p = Cm(y) = CVm(y)

În cazul unei pieţe cu concurenţă imperfectă trebuie rezolvată problema:

ymax π(y) = p(y)·y – c(y)



soluţia fiind dată de condiţia:

y∂∂π

= 0 ⇔ p(y) + y

y p

∂∂ )(

= Cm(y) = CVm(y) ⇔ Vm(y) = CVm(y)

adică firma va mări cantitatea de output până când venitul adus de ultimaunitate de output produsă va fi egal cu costul necesar pentru producereaacesteia.

6. Subsistemul asigurării cu factori de producţie(inputuri) (AFP)

Desf ăşurarea activităţii firmei presupune un proces continuu de procurare a inputurilor necesare fabricării propriilor produse. Această activitate presupune o informare cât mai detaliată asupra potenţialilor furnizori pe pieţele specifice, în ceea ce priveşte cantităţile posibile decontractat de la aceştia, seriozităţii în ceea ce priveşte livrarea inputurilor câtşi a fluctuaţiilor posibile ale preţurilor. Toate acestea presupun un schimbcontinuu de informaţii între firmă şi piaţa factorilor de producţie un flux permanent de inputuri dinspre piaţă spre firmă pe baza unui flux de numerar corespunzător preţului acestora.

C e r e r e a d ef a c t o r i d e

p r o d u c ţ i e

Subsistemul

preţuri – costuriprofitabilitate

(SPCP)

Subsistemul


de producţie(SAFP)

Subsistemul

de producţie(tehnologic)

(SP-T)

Subsistemul

Financiar

(SF)

Pia a factorilor

Costulfactorilor

Platafactorilor


r e u l f a c t o r i l o r

F a c t o r i d e

r o d u c i e

Inputuri

Necesar dein uturi

C o s t u l

f a c t o r i l o r

Figura 29



Controlul acestor fluxuri presupune: permanenta analiză a situaţieide către subsistemul preţuri costuri profitabilitate (SPCP), care va decide câtşi de la cine se vor achiziţiona inputuri, necesitatea asigur ării uneisincronizări între momentele intr ării inputurilor în firmă cu momentele

livr ării acestora către subsistemul de producţie şi existenţa în timp util afondurilor necesare achiziţionării inputurilor, menţinerii prestigiului firmeifaţă de furnizori şi asigur ării lichidităţilor necesare firmei în orice moment,de către subsistemul financiar.

Toate aceste corelaţii au fost schematizate în figura 29.Analiza pieţei (pieţelor) de factori de producţie necesită identificarea

cât mai precisă a funcţiilor de cerere şi ofertă de pe aceste pieţe.Presupunând că, în ultimă instanţă, scopul firmei este maximizarea

profitului, firma utilizând m inputuri xi cu preţurile unitare wi, i = 1,…,m

pentru a obţine n outputuri q j cu preţurile de vânzare p j, j = 1,…,n, valoareacererii de inputuri va fi aceea care duce la maximizarea profitului, adică soluţia problemei:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−−⋅ ∑∑

==

m

i

ii F

n

j

j j x

xwC xq pi 11

)(max (68)

dacă firma acţionează pe pieţe ale inputurilor şi outputurilor perfecte, sau a problemei:

⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ ⋅−−⋅ ∑∑ ==

m

i

ii F

n

j

j j x

x xwC xqq pi 11

)()()(max (69)

dacă firma acţionează pe pieţe cu concurenţă imperfectă.În primul caz, condiţiile de optim de ordinul întâi duc la sistemul de

ecuaţii:

wi = ∑= ∂

∂⋅

n

j i

j

j x

xq p

1

)(,i = 1,…,m (70)

care arată că firma foloseşte acele cantităţi din inputuri care corespund

situaţiei în care costul fiecărui input pe piaţă, wi, sunt egal cu produsul luimarginal (profitul adus de utilizarea unei unităţi în plus din acest input)

∑= ∂

∂⋅

n

j i

j

j x

xq p

1

)(. Condiţiile de optim de ordinul 2 implică concavitatea

funcţiei profit în inputuri, adică faptul că matricea hessian:

H =mk i

n

j k i

j

j x x

xq p

,...,1,1

2 )(

==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂⋅∑ (71)

este negativ definită.

Dacă presupunem că firma produce un singur output atunci analizaunui singur input în condiţiile în care nivelurile celorlalţi se presupun fixateduce la soluţia:

wi = p·q' ( xi) (72)

cu condiţia de ordinul 2:

q" ( xi) < 0 (73)

adică exact legea randamentelor descrescătoare.Curba cererii pe piaţa inputurilor se obţine ca mulţime a punctelor de

coordonate (w, xw), unde xw este cantitatea de input care duce la profitulmaxim, dacă preţul inputurilor este w.

Conform legii randamentelor descrescătoare, funcţiilei

j

x

xq

∂

∂ )(sunt

descrescătoare, ceea ce implică faptul că, pentru o valoare mai mare a preţului inputurilor, w2 > w1 (sau, ţinând cont de sistemul I-70,

∑= ∂

∂⋅

n

j i

w j

j x

xq p

1

)(2 > ∑

= ∂

∂⋅

n

j i

w j

j x

xq p

1

)(1 ), rezultă o soluţie

2w x <1w x , adică firma

va utiliza mai puţini factori de producţie.Pentru o piaţă cu concurenţă imperfectă, condiţiile de optim de

ordinul întâi duc la sistemul de ecuaţii:

i

ii

x

x xw

∂⋅∂ ))((

= ∑= ∂

⋅∂n

j i

j j

x

xqq p

1

))()((,i = 1,…,m (74)

sau:

wi( x) + ∑=

∂⋅

m

k i

k k

x

xw x

1

)( = ∑ ∑

= =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂⋅+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

⋅∂n

j i

j

j j

n

l i

l

l

j

x

xqq p xq

x

q

q

q p

1 1

)()()(

)(,i =

= 1,…,m (75)

adică aceeaşi condiţie ca venitul marginal să egaleze costul marginal.Curba cererii pe piaţa inputurilor se obţine ca mulţime a punctelor de

coordonate (w( xopt ), xopt ), unde x este cantitatea de input care duce la profitulmaxim, preţul inputurilor fiind w( xopt ).

În final, utilizând curba cererii pe piaţa inputurilor găsită încombinaţie cu curba ofertei pe piaţa inputurilor, obţinem nivelul optim alinputurilor pe care trebuie să le utilizeze firma pentru a-şi maximiza profitul, ca intersecţie a celor două curbe.



Analiza depinde evident de diferitele tipuri de competiţii imperfecte,de posibilele restricţii impuse variabilelor, de existenţa şi importanţa altor criterii de optim urmărite de firmă etc.

Odată decisă cantitatea ce va fi utilizată din fiecare input urmează

organizarea aprovizionării şi gestionării acestora, activitate care implică luarea de decizii asupra dimensiunilor tranşelor în care vor fi aduseinputurilor, momentele la care vor fi aduse, furnizorii care vor fi solicitaţi,luarea în considerare a problemelor care ar putea să apar ă datorita unor disfuncţionalităţi faţă de programul iniţial etc.

Datorită complexităţii problemei, intervalului relativ lung de timpcăreia i se adresează şi dinamicii mediului economic, modelel utilizate înacest scop sunt în general modele probabilistice, utilizând cu precăderetehnici de simulare, modele ale programării dinamice implicând multe etape

în desf ăşurare, modele care necesită utilizarea tehnicii de calcul ca oconsecinţă a volumului imens de calcule, modele care iau în considerare posibilitatea trecerilor bruşte dintr-o stare în alta, modele multicriterioalesau multiobiectiv etc.

Astfel, să presupunem că analizăm utilizarea unei anumite materii prime în procesul de producţie, consumul din acesta nefiind uniform şicontinuu în timp, implicând o anumită imprecizie în ce priveşte estimareacantităţii necesare, momentelor la care va fi nevoie de aceasta cât şi în ceeace priveşte posibilităţile de procurare a ei. Deoarece aducerea spre utilizare

în producţie a acestei materii prime necesită costuri ridicate, cât şi pierderimari în cazul absenţei acesteia, care cresc rapid cu cantitatea şi durata lipsei,este necesar ă crearea unui stoc tampon în depozitele întreprinderii.Eficacitatea şi operativitatea aprovizionării implică o formalizare relativsimplă a modului în care este adusă materia primă în întreprindere, de aceeaeste bine ca aducerea materiei prime să se facă la intervale egale şi încantităţi egale.

Presupunem că cererea zilnică din materia primă respectivă este ovariabilă aleatoare discretă cu un număr finit de valori, estimată pe baza

experienţei anterioare:

D = ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

n

n

p p p

d d d

L

L

21

21

Costul aferent organizării unei aprovizionări normale este de C L u.m.şi nu depinde de cantitatea adusă. În cazul în care cantitatea din depozitscade sub o anumită cantitate critică S C , se face o comandă specială, cu ocantitate QS , care necesită un cost mai mare decât cel necesar uneiaprovizionări normale C S > C L. De asemenea, în cazul acesta, şi preţul unitar



al materiei prime este mai mare decât costul normal pS > p L. Chiar dacă estelansată această comandă, se estimează că ea va putea fi obţinută doar cu o probabilitate p, intervalul de timp dintre momentul lansării acesteia şimomentul intr ării mărfei în depozit fiind o variabilă aleatoare discretă cu un

număr finit de valori:t = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

πππn

nt t t

L

L

21

21

Presupunem că într-un interval nu se poate obţine decât cel mult ocomandă specială.

Costul unitar de stocare este presupus constant cS (unităţi monetare pe unitate de timp ori unitate de măsur ă a materiei prime) iar în cazul lipseimateriei prime vor apărea pierderi unitare c P > cS .

În aceste condiţii se doreşte alegerea acelui interval dintre două aprovizionări T şi acelei cantităţi Q ce va fi adusă la fiecare aprovizionareastfel încât costul mediu cu aprovizionarea să fie minim.

Deoarece modelarea matematică a situaţiei şi existenţa variabilelor aleatoare, este practic imposibilă găsirea unei soluţii analitice, de aceea esteutilizată tehnica simulării, fiind generat un număr foarte mare de scenarii pentru diferite perechi posibile (T ,Q), până când este identificată acea pereche (T opt ,Qopt ) care duce la un cost total mediu minim.

Un scenariu posibil se obţine în felul următor:

pasul 1. Se alege o pereche posibilă (T ,Q). Avem deci, la începutul primuluiinterval T din perioada analizată, cantitatea Q în depozit. Deasemenea, costul total iniţial va fi C L + Q · pS .

pasul 2. Se generează un număr aleator prin care va fi decisă cantitatea d i necesar ă în prima zi din materia primă respectivă.

pasul 3. Se micşorează stocul din depozit cu cantitatea d i: Q → Q – d i.

pasul 4. Se compar ă stocul r ămas Q – d i cu stocul critic S C . Dacă stoculr ămas este mai mic decât stocul critic se lansează o comandă specială şi se trece la pasul 5. Dacă nu, atunci se adaugă la costul

total costul mediu de stocare cm =S

i cd QQ

⋅−+

2

)( şi se reia

algoritmul de la pasul 2.

pasul 5. Se verifică dacă în intervalul actual a mai fost lansată o comandă specială. Dacă da se trece la pasul 8, altfel se trece la pasul 6.

pasul 6. Se generează un număr aleator prin care se decide dacă această comandă va putea fi obţinută sau nu. Dacă nu putem obţine

comanda se trece la pasul 8. Dacă putem obţine comanda se adaugă la costul total valoarea C S iar apoi se generează un număr prin carese decide peste câte zile va intra comanda în stoc.

pasul 7. Dacă în ziua respectivă a intrat o comandă specială, stocul creşte cuQS şi costul total cu pS · QS .

pasul 8. Se compar ă stocul r ămas cu valoarea zero. Dacă stocul r ămas e pozitiv, se adaugă la costul total valoarea:

cm = S

i cd QQ

⋅−+

2

)(

Dacă stocul r ămas e negativ, se adaugă la costul total valoarea:

cm = – P

i

c

d QQ

⋅

−+

2

)(

dacă Q < 0

cm =i

d

Q

2

2

·cS +i

i

d

Qd

2

)( 2−·c P dacă Q > 0

apoi se reia algoritmul de la pasul 2.Se efectuează simularea pentru un număr suficient de mare de

intervale sau se alege un număr finit de intervale şi se face simularea defoarte multe ori. În final se calculează costul total mediu ca raport între

costul total obţinut şi lungimea intervalului sau ca medie între costurilemedii ale simulărilor efectuate. Valoarea obţinută reprezintă cea mai probabilă valoare a costului dacă se alege intervalul de reaprovizionare T şicantitatea adusă la fiecare aprovizionare Q.

Tehnica de mai sus se va aplica pentru diferite perechi (Q.T ) până când va fi identificată a cea pereche pentru care costul total mediu esteminim.

Din cele de mai sus se vede că această tehnică este imposibil deaplicat f ăr ă ajutorul calculatorului, volumul de calcule fiind imens.

7. Subsistemul financiar

Aşa cum s-a desprins şi din analiza celorlalte subsisteme, rolulsubsistemului financiar este de a asigura necesarul de fonduri pentru platafactorilor de producţie, susţinerea investiţiilor, plata dividendelor, taxelor şidatoriilor etc., pe baza veniturilor proprii şi/sau a împrumuturilor, de aanaliza şi fructifica oportunităţile apărute şi de a gestiona toate fluxurile de băneşti din întreprindere.



Legătura acestui subsistem cu celelalte subsisteme şi cu mediulextern este reprezentată în figura 30.

Politica financiar ă a firmei constă în luarea de decizii privind modulîn care sunt procurate resursele financiare şi felul în care sunt utilizate.

Resursele financiare pot proveni fie din surse interne fie din surseexterne. Sursele interne (proprii) pot proveni din:

− capitalul particular al fondatorilor firmei sau a celorlalţiacţionari;

− o parte din profit;− fondul de amortizare;− emisiuni de acţiuni;− vânzarea sau dezafectarea unor utilaje sau clădiri, etc.

Sursele externe (atrase) se constituie din:− credite bancare interne şi externe− subvenţii de la stat− alocaţii de la buget pentru obiective economice "comandă de

stat" etc.Aceste resurse sunt utilizate pentru:− constituirea stocurilor de producţie şi acoperirea cheltuielilor

până la încasarea creanţelor;

Subsistemul

preţuri – costuri

profitabilitate

(SPCP)

Subsistemul


de producţie(SAFP)

Subsistemul

Financiar

(SF)

Pia a financiară

C o s t u l

f a c t o r i l o r P

l a t a

f a c t o r i l o r

Informaţii privindrata dobânzii

Crediteacordate

Cerereade credite

Investiţiialocate


STAT Acţionari

D i v i d

e n d e

T a x

e

Figura 30

Bănci

R a m b

u r s a r

e a

d a t o r

i e i

S u b v e n

i ţ i



− investiţii;− rezerve de trezorerie preventive;− amenzi, penalizări, pierderi la bursă etc.Cele mai importante decizii, atât prin efectul lor cât şi prin

complexitate sunt cele ce privesc investiţiile. Acestea se pot concretiza în:− maşini, utilaje, instalaţii şi linii tehnologice, aparate de măsur ă şi

control etc.− lucr ări de construcţii-montaj− prospectări geologice− plantaţii, achiziţionare animale etc.Investiţiile pot fi directe (pentru obiectivul de bază), colaterale

(pentru asigurarea utilităţilor obiectivului de bază) sau conexe (în alteobiective pentru a asigura materiile prime obiectivului principal). Ele se potconcretiza în obiective noi sau în dezvolt ă ri, moderniz ă ri, reutil ă ri,reprofil ă ri ale unor obiective deja existente.

Deoarece investiţiile reprezintă un efort foarte mare din partea firmeişi determină profitabilitatea şi supravieţuirea firmei, este necesar ă o analiză continuă a eficienţei acestora. Analiza se face în principal prin sisteme deindicatori, modele matematice de optimizare sau control optimal, prospectări ale pieţei etc.

Sistemul de indicatori utilizaţi la nivelul firmei poate fi împăr ţit(după sfera de cuprindere) în:

− indicatori cu caracter general (utilizaţi pentru formarea uneiimagini globale asupra eforturilor şi efectelor ce vor caracterizaactivitatea şi eficienţa viitoare a obiectivului);

− indicatori de baz ă (utilizaţi pentru a exprima eficienţainvestiţiilor);

− indicatori suplimentari (utilizaţi pentru a completa sistemul deinformaţii, se refer ă la activităţi adiacente: bilanţul termic şienergetic al firmei, bilanţ contabil, structura personalului,

parametrii tehnicii ai utilajelor etc.)− indicatori specifici (surprind particularităţile fiecărei ramuri saudomeniu de activitate în care îşi desf ăşoar ă firma activitatea).

Indicatorii cu caracter general sunt:

1. capacitatea de produc ţ ie

2. numă rul de salaria ţ i

3. cheltuielile de produc ţ ie

4. valoarea produc ţ iei

5.

profitul



6. productivitatea muncii

7. consumurile specifice etc.

Indicatorii de bază sunt:

1. valoarea investi ţ iei I t = I + M O + C S

unde: I t = investiţia totală I = investiţia calculată conform devizului generalM O = necesarul de mijloace circulante pentru începerea funcţionării

obiectivuluiC S = cheltuieli cu pregătirea cadrelor, supravegherea lucr ărilor etc.

2. durata de execu ţ ie a lucr ă rilor de investi ţ ii

3. durata de func ţ ionare a obiectivului în care se va investi 4. investi ţ ia specifică :

si =i

i

q

I sau si =

i

i

Q

I – în cazul unui obiectiv nou

si =0qq

I

mi

mi

−sau si =

0QQ

I

mi

mi

−– în cazul modernizării, dezvoltării

sau retehnologizării unui obiectivexistent

sc = ji

ji

qq

I I

−

−sau sc =

ji

ji

QQ

I I

−

−– pentru compararea variantelor

unde: si = investiţia specifică sc = necesarul suplimentar de investiţii în varianta i faţă de varianta j

pentru a obţine o capacitate suplimentar ă de producţie de ounitate fizică (sau valorică), în varianta i faţă de varianta j.

I i, I j= investiţia aferentă variantele i şi jqi, q j = capacitatea de producţie (tone, bucăţi, metri pătraţi etc.) în

variantele i şi j Qi = valoarea producţiei în variantele i şi j I mi = investiţia alocată pentru modernizare, dezvoltare sau

retehnologizare în varianta i qmi = capacitatea de producţie după modernizareQmi = valoarea producţiei după modernizareq0 = capacitatea de producţie existentă înainte de modernizare Q0 = valoarea producţiei existentă înainte de modernizarei , j = variante de investiţie.



5. termenul de recuperare al investi ţ iilor

T i =hi

i

P

I – pentru obiectivele noi

T i =0hhmi

mi

P P I

− – pentru modernizare, dezvoltare sau retehnologizare

T i =hjhi

ji

P P

I I

−

− – pentru comparare

unde:T i = termenul de recuperare P hi, P hj = profitul anual al variantelor i şi j P hmi= profitul anual al variantei i după de modernizare

P h0 = profitul anual înainte de modernizare.6. Coeficientul de eficien ţă economică a investi ţ iilor (profitul anualla o u.m. investită)

ci =i

hi

I

P – pentru obiective noi

ci =mi

hhmi

I

P P 0−– pentru modernizări

7. Cheltuieli echivalente sau recalculate K i = I i + C hi · T n

unde: K i = cheltuielile recalculateC hi = cheltuielile anuale de producţie aferente variantei i I i = valoarea investiţiei în varianta i T n = termenul normat de recuperate

8. Randamentul economic al investi ţ iilor

Ri =i

ni

I

P

unde: Ri = randamentul economic al variantei i

P ni = profitul net în varianta i

I i = investiţia efectuată în varianta i

Deoarece procesul de materializare a investiţiilor prin recuperareacheltuielilor şi obţinerea profitului se desf ăşoar ă pe o perioadă mare de

timp, efectele utile ale investiţiilor sunt puternic influenţate de factorul timp.



Legătura dintre investiţii şi timp este urmărită pe mai multesegmente ale procesului investiţional, cum sunt:

− în programarea realizării investiţiilor prin optimizarea funcţieicost-durată;

− efectul economic al imobilizărilor de fonduri băneşti şi mijloacemateriale necesare efectuării investiţiilor;

− perioada de atingere a parametrilor proiectaţi;− efectul uzurii morale;− durata de funcţionare a viitorului obiectiv etc.

În mod concret, timpii operatori în procesul operaţional sunt:

− durata necesar ă pentru proiectarea şi elaborarea documentaţieitehnico-economice;

− durata de execuţie a lucr ărilor de investiţii;− durata atingerii parametrilor proiectaţi;− durata de recuperare a fondurilor de investiţii cheltuite;− perioada stabilită pentru restituirea creditelor;− durata de funcţionare a obiectivului respectiv.Durata de execuţie a lucr ărilor este aceea în care se consumă cea mai

mare parte din valoarea investiţiei, pentru evaluarea eficienţei economice peaceastă perioadă folosindu-se o serie de indicatori care surprind mărimea

pierderilor datorate imobilizării fondurilor investiţionale:1. M ă rimea imobiliz ă rilor totale

M i = ∑=

+−d

h

h k hd I 1

)(

unde:

M i = mărimea imobilizărilor totaled = durata de execuţie a obiectivului

I h = fondul de investiţii cheltuit în anul hk = parametru care poate fi 0 sau 1 după cum investiţia s-a cheltuit lasfâr şitul, respectiv începutul anului.

2. Imobilizarea specifică

mi =q

M i =

q

k hd I d

h

h∑=

+−1

)(



3. Efectul economic al imobiliz ă rilor (efectul nerealizat prinimobilizarea fondurilor)

E i = en · M i = en · ∑=

+−d

h

h k hd I 1

)(

unde en este coeficientul de eficienţă economică mediu pe ramura saudomeniul de activitate respectiv.

4. Efectul economic specific al imobiliz ă rilor

δi =i

i

q

E

unde qi este capacitatea anuală de producţie.Indicatorii de mai sus nu surprind însă şi efectele propagate (un

câştig aduce şi alte câştiguri iar o pierdere şi alte pierderi), fiind necesaremetode care să contorizeze şi aceste efecte, una dintre cele mai cunoscutetehnici fiind cea a actualizării.

Această tehnică pleacă de la observaţia că utilizarea unei sume de bani x în producţie va duce, după o perioadă de timp, la un anumit profit p.În concluzie, dacă presupunem că rata profitului r ămâne constantă în timp, oinvestiţie de x unităţi monetare f ăcută azi echivalează, peste h ani, cu suma x

·h

x

p⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +1 .

Raportul x

peste numit coeficient de actualizare, şi în mod normal, el

trebuie să acopere rata inflaţiei, rata dobânzii şi rata de risc investiţional pentru ca proiectul să fie luat în considerare în vederea investirii în acesta:

a > r p + r d + r i

unde:a = factorul de actualizarer p = rata modificării preţurilor (rata inflaţiei)r d = rata dobânzii pe piaţa financiar ă r i = rata de risc investiţional

Calculele de actualizare se pot efectua faţă de orice moment, totuşieste de preferat ca acest moment să fie unul dintre principalele momente dinviaţă economică a obiectivului investiţional, adică:

− momentul adoptării deciziei de investiţii (m);− momentul începerii lucr ărilor de investiţii (n);

− momentul punerii în funcţiune a noului obiectiv ( p);



− momentul începerii restituirii creditelor primite (u);− momentul scoaterii din funcţiune a obiectivului în care s-a

investit (v).

Aceste momente sunt reprezentate în figura de mai jos:

Indicatorii cel mai des utilizaţi în analiza dinamică a eficienţei

investiţiilor sunt:

− investiţiile totale actualizate ( I ta);

− profitul actualizat ( P ta)

− randamentul economic actualizat al investiţiilor ( Ra);

− termenul actualizat de recuperare a investiţiilor (T a);

În tabelul de mai jos sunt sintetizaţi aceşti indicatori în funcţie de

momentul de referin ţă ales:

I ta P ta Ra T a

mm

ta I = ∑

+

+=

⋅+

d g

g h

hh I

a1 )1(

1 m

ta P = ∑

++

++=

⋅+

Dd g

d g h

hh P

a1 )1(

1 m

a R =

m

ta

m

ta

I

P –1 m

ta I = ∑

++

++=

⋅+

maT d g

d g h

hh P

a1 )1(

1

nn

ta I =∑=

⋅+

d

h

hh I

a1 )1(

1 n

ta P = ∑+

+=

⋅+

Dd

d h

hh P

a1 )1(

1 n

a R =

n

ta

n

ta

I

P – 1 n

ta I = ∑

+

+=

⋅+

naT d

d h

hh P

a1 )1(

1

p pta I =∑

−

=⋅+

1

0)1(

d

h

hh I a p

ta P =∑=⋅+

D

h

hh P a1 )1(

1 pa R = p

ta

p

ta

I

P

– 1 pta I = ∑=

⋅+

paT

h

hh P a1 )1( 1

uu

ta I = ∑

−+

=

⋅+1

)1(d f

f h

h

h I a

u

ta P =∑

−

=

⋅+1

0

)1( f

h

h

h P a

+ ∑−

=

⋅+

f D

h

hh P

a1 )1(

1

u

a R =

u

ta

u

ta

I

P – 1 u

ta I = ∑

−

=

⋅+1

0

)1(uaT

h

h

h P a

vv

ta I = ∑

−+

=

⋅+1

)1( Dd

Dh

h

h I a v

ta P =∑

−

=

⋅+1

0

)1( D

h

h

h P a v

a R =

v

ta

v

ta

I

P – 1 v

ta I = ∑

−

−=

⋅+1

)1( D

T Dh

h

h

va

P a

g d D

f

m n u v

t



Pentru aprecierea eficienţei economice a proiectelor de investiţii potfi folosiţi şi următorii indicatori:

1. Fluxul de numerar (cash-flow-ul) F h = V h – (C h + I h)

unde: F h = fluxul de numerar pentru anul h V h = venitul pe anul h C h = cheltuielile de producţie pe anul h I h = cheltuielile cu investiţiile pe anul h

2. Venitul net actualizat (VNA)

VNA = ∑+

= +−− Dd

h

h

hhh

a

C I V

1 )1(

unde:d = durata de realizare a proiectului de investiţii D = durata de funcţionare a obiectivului3. Rata internă de rentabilitate a investi ţ iei (RIR). Este acea rată de

actualizare pentru care venitul net actualizat ar fi zero:

0 = ∑+

= +−− Dd

h

h

hhh

RIR

C I V

1 )1(

4. Cursul de revenire net actualizat (eforturile totale actualizate, cuinvestiţia şi producţia, exprimate în lei, ce se fac pentru obţinerea

unei unităţi valutare nete):

Rna =

∑

∑+

=

+

=

+

′−′−′+

+

Dd

h

h

hhh

Dd

h

h

hh

a

C I V

a

C I

1

1

)1(

)1(

unde:h

V ′ ,h

I ′ şih

C ′ sunt mărimile cunoscute, exprimate în valută.5. Pragul de rentabilitate. Este nivelul minim de folosire a

capacităţilor de producţie din proiectul analizat, exprimat procentual, de la care profitul devine pozitiv.

De asemenea, ţinând cont de multitudinea de factori care potinfluenţa desf ăşurarea proiectului, este utilă şi calcularea efectului acestoraasupra ratei interne de rentabilitate, prin măsurarea senzitivităţii acesteia la:

− prelungirea duratei de execuţie a proiectului;− prelungirea intervalului până la atingerea parametrilor de

funcţionare proiectaţi;− depăşirea volumului de investiţii prevăzut iniţial;− creşterea preţurilor la materii prime, energie etc.;

− creşterea salariilor;



− modificarea preţurilor produselor finite desf ăcute de firmă etc.Una dintre cele mai importante probleme este alegerea acelor

proiecte de investiţii, în limita fondurilor disponibile, care duc la obţinerea profitului maxim. În acest scop există o multitudine de modele şi tehnici,

dintre care amintim:− metode ale programării matematice;− programarea secvenţială;− programarea dinamică;− analiza drumului critic;− modele de analiză structurală a investiţiilor (modelul static şi

dinamic al lui Leontief, modelul Lange, determinarea investiţiilor conexe etc.)

− modele de prognoză a investiţiilor etc.În fine, unul din cele mai importante aspecte ale activităţii

subsistemului financiar este politica de dividend .Deoarece distribuirea dividendelor reprezintă pentru firmă o privare

de resurse pentru finanţarea internă, apare permanent conflictul întreinteresele acţionarilor de a-şi mări dividendele şi interesele conduceriifirmei de a utiliza o parte cât mai mare din profit pentru autofinanţare înscopul măririi puterii firmei.

Plecând de la relaţia de bază privind valoarea acţiunilor (Gordon-Shapiro):

V a =uidividendulacresteredeRata uluiinvestitor a preferintadeRata

platiteDividende

-

rezultă ca plata unor dividende mari va creşte valoarea actuală a acţiunilor.Aceasta duce însă la investiţii mai mici, care duc la micşorarea viitoare aratei de creştere aşteptată de acţionari şi în final la scăderea valoriiinvestiţiilor.

În concluzie, valoarea dividendelor nu poate fi nici foarte mare nicifoarte mică, soluţia optimă fiind acea valoare de echilibru care duce la

maximizarea preţului acţiunilor.Chiar dacă plata dividendelor pare să fie un factor de slă bire a firmei,Modigliani şi Miller au demonstrat că, în anumite condiţii de piaţă, politicade dividend nu are nici o influenţă asupra valorii firmei. În ultimă instanţă, politica de dividend nu este decât o alegere între finanţarea din surse propriiinterne şi finanţarea din surse proprii externe.

Plecând de la schemele utilizate în analiza fiecărui subsistem, putemobţine, prin agregare, schema întregului sistem al firmei, reprezentată înfigura 31.



SISTEMUL CIBERNETIC AL FIRMEI

Figura 31

Modelul de mai sus reuşeşte să creeze o imagine de ansamblu asuprafirmei dar nu constituie prin el însuşi o modalitate de găsire a soluţiilor optime în ceea ce priveşte deciziile firmei şi nici nu furnizează un set dereguli sau indicaţii după care firma să-şi creeze o strategie proprie deconducere a firmei. În capitolele următoare se va încerca tocmai găsirea

unor modele matematice care să r ăspundă cerinţelor de mai sus.

I n f o r m a ţ

i i

p r i v i n d

c o n c u r e n

a Of e r t a d e

c r e d i t

Pia a bunurilor

Subsistemulpreţuri – costuri

profitabilitate(SPCP )

Subsistemulasigurării cu factori

de producţie(S AFP )

Subsistemulde producţie(tehnologic)

(SP-T )

SubsistemulFinanciar

(SF )

Pia a factorilor

Pia a financiară

Subsistemulraporturilor cu piaţa

bunurilor şi serviciilor(SRPB )


p r o d u c ţ i a


p r of i t a b i l i t a

t e a

C o s t u l

f a c t o r i l o r

P l a t a

f a c t o r i l o r

Informaţii privindrata dobânzii

Crediteacordate

Cerereade credite

Informaţii privindpreţul factorilor

Factori deproducţie

Cererea de factoride producţie

Investiţiialocate


Inputuri

Necesar deinputuri

P r o d u s ef i n i t e

C o m e n z i V

â n z ă r i

I n f o r m a ţ i i d e s p r e

p i a ţ ă

P r o g r a m d e

p r o d u c ţ i e

R e c l a m ă

P u b l i c i t a t e

P r e ţ

d e

p r o d u c ţ i e


d e z v o l t a r e

P r e ţ u l d e v â n z a r e

Concurenţi STAT Acţionari BănciDepozite

Î m p r u m u t u r i

d i r e c t e D

i v i d

e n d e

T a x

e

C o s t u l

f a c t o r i l o r

SISTEMUL

CIBERNETIC

AL FIRMEI

MEDIUL EXTERN




MMMOOODDDEEELLLEEE DDDIIINNN A A A MMMIIICCCEEE

DDDEEE FFFIIIR R R MMM Ă Ă Ă



Una din metodele de cercetare şi analiză a activităţii firmei constă înabordarea acesteia ca un sistem dinamic complex, prin identificareaelementelor tripletului intrare (variabilele de decizie sau control) – stare(variabilele de stare) – ieşire (variabilele rezultative), a criteriului de optim

după care se ghidează firma şi ipotezelor privind evoluţia indicatorilor firmei.

Odată identificate mărimile care definesc starea firmei putemdetermina evoluţia (pe orizont finit sau infinit), caracteristicile evoluţiei şi înfinal putem determina evoluţia optimală a firmei şi putem descrie condiţiileîn care se poate materializa această evoluţie în funcţie de situaţia concretă sau anticipată asupra mediului extern în care evoluează firma.

Matematic vorbind, acest mod de abordare se reduce în esenţă lamodelarea dinamicii firmei printr-o problemă de control optimal (vezi anexa

I), după identificarea variabilelor şi funcţionalelor care formează modelulr ămânând să ne fixăm asupra orizontului de timp pe care se face analiza(finit sau infinit), să optăm pentru o evoluţie continuă sau discretă avariabilelor sistemului şi în final să optăm pentru una din modalităţilecunoscute de găsire a soluţiei optime a problemei.

For ţa acestei metode este dată de posibilitatea utilizării întreguluiaparat matematic existent, care asigur ă rigurozitatea analizelor efectuate şisiguranţa faptului că, odată identificat un model suficient de apropiat desituaţia reală vom avea la îndemână o soluţie matematică la care să ne

raportăm în momentul luării deciziilor.Limitele acestei metode sunt date de:- dificultatea identificării mărimilor relevante în descrierea stării şi

evoluţiei firmei, mai ales în situaţia în care firma trebuie să apeleze lamăsuri extreme pentru a supravieţui;

- dificultatea identificării regulilor după care evoluează firma într-unmediu instabil şi imprevizibil;

- dificultatea rezolvării (şi mai ales a analizei) sistemului încondiţiile în care se încearcă luarea în considerare a cât mai multor factori

necesari unei descrieri cât mai fidele a situaţiei.Ţinând cont de cele de mai sus putem trage concluzia că, deşi nu ne

putem aştepta în nici un caz la o descriere infailibilă a evoluţiei firmei (maiales în condiţiile unei economii foarte instabile), modelele dinamice deanaliză pot da informaţii utile în ceea ce priveşte strategia viitoare a firmei şimodului în care poate fi materializată această strategie.

În continuare vor fi prezentate trei dintre cele mai cunoscute modelede analiză a dinamicii firmei, reprezentative în ceea ce priveşte indicatoriiluaţi în considerare în descrierea evoluţiei firmei, legilor economice

(transpuse în restricţii matematice) acceptate în descrierea evoluţiei firmei,

criteriilor de performanţă urmărite şi restricţiilor la care mediul externsupune activitatea firmei. În tabelul de mai jos este f ăcută o prezentarecomparativă a celor trei modele care vor fi descrise pe larg în acest capitol:

Lesourne-Leban Ludwig Van Hilten Variabile de

comandă I – valoarea investiţiilorL – numărul de angajaţiD – valoarea dividendelor

I – valoarea investiţiilorF – valoarea împrumuturilor

I – valoarea investiţiilorD – valoarea dividendelor

Variabile destare

K – valoarea totală acapitaluluiX – valoarea capitaluluipropriu (valoarea acţiunilor)

X - valoarea capitalului propriu(valoarea acţiunilor)

Y - valoarea capitaluluiîmprumutat (datoria firmei)

K – valoarea totală acapitaluluiX – valoarea capitaluluipropriu (valoareaacţiunilor)

Variabilerezultative

Y – valoarea capitaluluiîmprumutat

K – valoarea totală a capitalului

D - valoarea dividendelor

Y – valoarea capitaluluiîmprumutat

Orizont detimp

infinit finit: T finit: T

Criteriu de performanţă

Suma actualizată adividendelor

∫ ∞ −

0)( dt t De it

Suma actualizată a dividendelorplus valoarea finală actualizată acapitalului propriu:

∫ −T it dt t De

0)( +

iT e−

· X ( T )

Suma actualizată adividendelor plus valoareafinală actualizată acapitalului propriu:

∫ −T it dt t De

0)( +

iT e−· X ( T )

Parametriimodelului

i - revenirea acţionarilor – cota impozitului pe profitw – salariul mediur – rata dobânzii pe piaţacreditelora – rata amortizăriik – cota maximă a capitaluluiîmprumutat faţă de capitalulpropriu

i - revenirea acţionarilor – cota impozitului pe profitr – rata dobânzii pe piaţacreditelora – rata amortizăriib – amortismentul = a m – cota din profit alocată investiţiilork – cota maximă a capitaluluiîmprumutat faţă de capitalulpropriu

i - revenirea acţionarilor – cota impozitului peprofitr – rata dobânzii pe piaţacreditelorq – productivitatea mediea capitalului

p – preţul produselorfirmeia – rata amortizăriik – cota maximă acapitalului împrumutatfaţă de capitalul propriu

Restricţii )1()()( k t K t X +≤≤

max)(0 Dt D ≤≤

maxmin )( I t I I ≤≤

K ( t ) = X ( t ) + Y ( t )

I ( t ) ≤ m·( R ( K ( t )) – a·K ( t ) – r·Y ( t ))+ a· X ( t ) + F ( t ) (din D( t ) > 0)

0 ≤ F ( t ) ≤ γ·I ( t )

1()()( t K t X +≤≤

max)(0 Dt D ≤≤

maxmin )( I t I I ≤≤

Funcţia de producţie

Q = f ( K ,L ) Q = f ( K ) Q( t ) = q K ( t )

Venitulfirmei

R = f ( Q ) – strict crescătoareşi concav ă

R = f ( K )

)(

)(

t K

t R

∂∂

> a,)(

)(2

2

t K

t R

∂∂

< 0

S = f ( Q ) – strictcrescătoare şi concav ă

( )( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

>⇔>

<′′>′

00

0

0

QQS

QS

QS



Toate cele trei modele sunt considerate cu variaţie continuă, totuşieste uşor de trecut la varianta discretă, rezolvarea celor trei modele fiindf ăcută în finalul acestei căr ţi şi pentru cazul unei evoluţii discrete.

1. Modelul Lesourne-Leban[30]

Obiectivul modelului Lesourne-Leban este maximizarea fluxului(încasărilor) de dividende pe un orizont infinit de timp t ∈ [0,∞) în valoareactualizată:

F I ,max ∫

∞ −

0)( dt t De it (1)

1.1 Ipotezele modelului

1) Capitalul firmei K (t ) este format din capitalul propriu al firmei X (t ) şi capital împrumutat Y (t ): K(t)Y(t) X(t) =+ (1)

2) Dacă presupunem ca durată medie de viaţă a bunurilor capital alefirmei un interval de timp de τ ani atunci din valoarea capitalului existent la

momentul t 0: K (t 0) într–un an se depreciază aproximativτ

1K (t 0) iar într–un

interval de timp ∆t = t 1 – t 0 deprecierea este de aproximativτ

1·K (t 0)·∆t . De

asemenea, dacă I (t 0) este valoarea investiţiei care va fi f ăcută într–un anîncepând din momentul t 0 atunci volumul investiţiei pe intervalul de timp ∆t poate fi aproximată cu I (t 0)·∆t . În aceste condiţii capitalul firmei lamomentul t 1 va fi egal cu valoarea capitalului la momentul t 0 la care seadaugă valoarea investiţiei f ăcute pe intervalul ∆t : I (t 0)·∆t şi din care se

scade valoarea cu care se depreciază capitalul pe acest interval:τ

1·K (t 0)·∆t

şi putem scrie:

K (t 1) = K (t 0) + I (t 0)·∆t – τ

1·K (t 0)·∆t ⇔

⇔ 01

01 )()(

t t

t K t K

−−

= I (t 0) – τ

1·K (t 0) ⇒

⇒ 01

limt t →

01

01 )()(

t t

t K t K

−−

= I (t 0) – τ

1·K (t 0) ⇔

⇔ )( 0t K & = I (t 0) – τ

1·K (t 0)

din care, ţinând cont că t 0 este oarecare, obţinem ecua ţ ia de evolu ţ ie a

capitalului:)(t K & = I (t ) – a·K (t )

unde:a =

τ

1este rata de amortizare;

Observa ţ ie: în acest model se consider ă că amortizarea investiţiilor din capitalul propriu se face la fel de repede ca plata împrumuturilor pentruinvestiţii, astfel încât cota anuală de amortizare a capitalului propriu X şirata anuală de rambursare a datoriilor sunt ambele egale cu a.

3) Toate veniturile firmei provin doar din vânzarea bunurilor produsede aceasta, valoarea acestora depinzând de valoarea producţie:

R(t ) = R(Q(t ))

unde funcţia venit R(Q) are proprietăţile general valabile:

- R(Q(t)) este monoton strict crescătoare: 0>′ ))(( t Q R

- veniturile marginale la scala de fabricaţie sunt strictdescrescătoare: 0<′′ ))(( t Q R

4) Cheltuielile firmei sunt reprezentate de:

a)

salariile angajaţilor:W (t ) = w· L(t )

unde L(t ) este numărul de salariaţi ai firmei la momentul t iar w este salariulmediu.

b) amortizarea investiţiilor:

A(t ) = a· K (t )

c) dobânzile la creditele contractate: r ·Y (t )

5) Profitul brut (sau pierderea) firmei este dat de diferenţa dintrevenituri şi cheltuieli:

Π (t ) = R(Q(t )) – w· L(t ) – a· K (t ) – r ·Y (t )

6) Profitul net este ceea ce r ămâne din profitul brut după plataimpozitului la stat:

)]()()())(()[1()( t rY t aK t wLt Q R f t E −−−−= (2)unde f este rata de impozitare a profitului.



7) Profitul net este utilizat pentru plata dividendelor D(t ) şi pentrucreşterea capitalului propriu )(t X & :

)()()( t Dt X t E += & (3)

8) Dividendele sunt nenegative:

0≥)(t D (4)

9) Conform condiţiilor impuse de bănci la acordarea împrumuturilor,firma nu poate obţine credite decât în limita unei propor ţii maximedatorii/capital propriu:

)(

)(

t X

t Y ≤ k ⇒ )()( t kX t Y ≤ (5)

cu k > 0 (firma are acces la credite) şi Y (t ) ≥ 0 (firma nu acordă credite).Combinând ecuaţia de balanţă Y(t) = K(t) – X(t) şi condiţia

anterioar ă obţinem:

)()()()()()()()( t X k t K t X t X k t X t K +≤≤⇒+≤−≤ 110 (6)

10) Dividende şi investiţiile, care reprezintă variabile de decizie aleconducerii firmei vor fi considerate ca îndeplinind condiţiile:

max)( Dt D ≤≤0 (7)

maxmin )( I t I I ≤≤ (8)

necesare în special pentru a obţine un domeniu închis al variabilelor decontrol necesar asigur ării existenţei soluţiei optime.

11) Revenirea acţionarilor i (profitul aşteptat de acţionari la o unitatemonetar ă investită pe acţiuni) este diferită de costul unitar al împrumutului

(1 – f )r = partea dintr-o unitate monetar ă de profit net care constituierestituirea datoriilor:

r f i )1( −≠

12) Volumul producţiei depinde de volumul capitalului K (t ) şinumărul de salariaţi L(t ):

Q(t ) = f ( K (t ), L(t ))



1.2 Modelul matematic

∫ ∞

−

0

,,)(max dt t De it

L I D(9)

)()]()()()())(()[1()( t Dt rX t K ar t wLt Q R f t X −++−−−=& (10)

)()()( t aK t I t K −=& (11)

)()1()()( t X k t K t X +≤≤ (12)

⎭⎬⎫

≤≤≤≤

)14(

)13(

)(

)(0

maxmin

max

I t I I

Dt Drestricţii momentane asupra variabilelor de

comandă

K (0) = K 0, X (0) = X 0 – condiţiile iniţiale ale modelului

1.3 Rezolvarea modelului

Ţinând cont de faptul că modelul presupune o variaţie continuă aindicatorilor firmei va fi aleasă spre rezolvare metoda bazată pe utilizarea principiului lui Pontreaghin. În acest sens se calculează succesiv:

a) Hamiltonianul problemei (în forma ajustată, f ăr ă actualizare):

)]()()[()()]()()(

)())(()[1)(()())(),(),(),(),(),((

2

121

t aK t I t t Dt rX t K ar

t wLt Q R f t t Dt t t X t Dt I t K H

−+−++−−−+=

λ

λ λ λ (15)

b) Lagrangeanul problemei:

= ) )( ),( ),( ),( ),( ),( , )( ),( , )( ),( , )( ),( (

Lagrangetorimultiplica

214321

adjuncte variabile

21

comandade variabilestarede variabile

4 4 4 4 4 4 34 4 4 4 4 4 21434214342143421t t t t t t t t t Dt I t X t K ν ν λ λ

))()()1)((())()()(())()((

))()(())()(()()()(

21max4

min3max21t K t X k t t X t K t t I I t

I t I t t D Dt t Dt H

−++−+−+

+−+−++⋅=

ν ν µ

µ

(16)

Pentru simplificarea rezolvării şi din ra ţ iuni economice, se presupune că variabilele de control iau valori în domeniul deschis dedus dinrestricţiile (7) şi (8), astfel încât avem relaţiile:

⇒=== 0432 µ µ µ ⎪

⎩

⎪⎨

⎧

>>>

)(

)(

)(

max

min

max

t I I

I t I

t D D



c) Sistemul canonic este format din ecuaţiile de dinamică alevariabilelor de stare ale modelului K (t ) şi X (t ):

)()]()()()())(()[1()( t Dt rX t K ar t wLt Q R f t X −++−−−=& (10)

)()()( t aK t I t K −=& (11)

şi din ecuaţiile de dinamică a variabilelor adjuncte:

)()1()()1)(()()(

)()()( 211111 t k t r f t t i

t X

Lt it ν ν λ λ λ λ +−+−−=

∂⋅∂

−=& (17)

)()()()()(

)()1)(()()(

)()()( 2211222 t at t ar t K

R

f t t it K

L

t it λ ν ν λ λ λ λ ++−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−∂

⋅∂−−=∂

⋅∂−=& (18)

la care se adaugă condiţiile iniţiale K (0) = K 0, X (0) = X 0 şi cele finale)(lim 1 t

t λ

∞→= finit, )(lim 2 t

t λ

∞→= finit.

d) Condiţiile de optim Kuhn–Tucker asociate problemei demaximizare a lagrangeanului pe mulţimea variabilelor de comandă sunt:

1 )( )( 0 )( 1 )( 0

)(

)( 1111 +=⇒=−+⇒=

∂

⋅∂t t t t

t D

µ λ λ µ (19)

0 )( 0 )(

)( 2 =⇒=

∂⋅∂

t t I

λ (20)

0 )(

)( )1 )( ( 0

)(

)( 1 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

∂⋅∂

−⇒=∂

⋅∂w

t L

R f t

t L λ (21)

0)()(1 =t Dt µ (22)

0)]()()[(1 =− t X t K t ν (23)

0)]()()1)[((2 =−+ t K t X k t ν (24)0)(),(),( 211 ≥t t t ν ν (25)

Analizând sistemul de mai sus se observă imediat că:

0)(1 >t λ (26)

care rezultă din relaţiile (19) şi (25) şi:

⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧

>−>

0)1(

0)(1

f

t λ ⇒ 0

)(

)(=−

∂⋅∂

wt L

R ⇒ w

t L

R=

∂⋅∂)(

)((27)



care rezultă din relaţiile (21) şi (26), deci evoluţia optimă corespundelegităţii ca venitul marginal al muncii să fie egal cu costul marginal – aicisalariul nominal.

De asemenea, conform relaţiei (20) vom avea şi 0)(2 =t λ & rezultat

care combinat cu relaţia (18) conduce la:

0)()()()(

)()1)(( 211 =+−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

∂⋅∂

−− t t ar t K

R f t ν ν λ (28)

1.4 Analiza traiectoriilor de bază

Variaţia (0;+) a celor 3 parametrii µ 1, ν 1, ν 2 implică 23 = 8 variantede analiză, din care cazurile (+,+,+) şi (0,+,+) nu sunt admisibile deoarece

din (23) şi (24) ar rezulta k = 0, în contradicţie cu ipoteza exprimată prin (6)că firma are acces la credite.

TR. nr. )(1 t µ )(1 t ν )(2 t ν 1 0 + 02 0 0 +3 0 0 04 + + 0

5 + 0 +6 + 0 0

Înainte de analiza fiecărei soluţii în parte facem observaţia că variantele 1, 2, 3 pentru care 0)(1 =t conduc, conform relaţiei (19) la

egalitatea 1)(1 =t λ şi implicit la 0)(1 =t λ & , deci egalitatea (17) devine:

0)()1()()1( 21 =+−+−− t k t r f i ν ν sau )()()1()1( 12 t t k r f i ν ν −+=−− (29)

În plus, pe traiectoriile 1, 2, 3, relaţia (28) devine:

)()()()(

)()1( 12 t t ar

t K

R f ν ν −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

∂⋅∂

− (30)

Traiectoria 1: ( 0)()(,0)( 211 ==> t t t ν ν )

Din 0)(1 >t ν rezultă imediat că )()( t X t K = , deci firma nu face

împrumuturi iar din 0)(1 =t rezultă că 0)( >t D , deci firma plăteştedividende.



Conform relaţiei (29) rezultă relaţia )()1( 1 t ir f ν =−− şi cum

0)(1 >t ν vom avea :

ir f >− )1( (31)

deci ac ţ iunile sunt mai ieftine decât creditul şi este raţional ca finanţarea să se facă din acţiuni.

Conform relaţiei (30) avem:

f

t ar

t K

R

−−=+−

∂⋅∂

1

)()(

)(

)( 1ν (32)

şi înlocuind variabila adjunctă )(t ν1 din relaţia (31) în relaţia (32) obţinemegalitatea:

f

ia

t K

R

−=−

∂⋅∂

1)(

)((33)

care este o ecuaţie algebrică cu necunoscuta K (t ). Prin rezolvarea sistemului

algebric format din această ecuaţie şi wt L

R=

∂⋅∂)(

)(vom obţine o evoluţie

staţionar ă a capitalului şi a numărului de angajaţi ai firmei:

K (t ) = * X K = constant, L(t ) = *

X L = constant

unde * X K şi *

X L sunt soluţiile acestui sistem. Indicele X a fost adăugat pentrua remarca faptul că valoarea staţionar ă este corespunzătoare cazului cândfinanţarea se face numai din acţiuni.

Valoarea dividendelor se scoate din prima ecuaţie de dinamică iar valoarea investiţiilor va fi egală cu valoarea amortizării:

I (t ) = a· * X K = constant

Traiectoria 2: ( 00 112 ==> )()(,)( t νt µt ν )Din relaţia 0)(2 >t ν rezultă imediat egalitatea 0)()()1( =−+ t K t X k

care poate fi rescrisă k

t K t X

+=

1

)()( şi arată că, pe această traiectorie, nivelul

datoriei firmei este maxim.Din egalitatea 0)(1 =t µ rezultă 0)( >t D care indică faptul că, pe

această traiectorie, firma plăteşte dividende, chiar dacă nu la nivelul maxim posibil.

Din (29) rezultă:r f it k )1()()1( 2 −−=+ ν

adică:

k r f it

+−−=1

)1()(2ν (35)

Deoarece 01si0)(2 >+> k t ν atrag ir f <− )1( rezultă că această traiectorie este posibilă doar dacă acţiunile sunt scumpe şi creditele suntieftine; deci finanţarea se va face din credite.

Din (30) rezultă:

)()()(

)()( t νar

t K

R f 21 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

∂⋅∂

− (36)

Înlocuim pe )(t ν2 din (35) şi obţinem:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

++

=−∂

⋅∂ f

ikr

k a

t K

R

11

1

)(

)((37)

Notăm cu *Y K soluţia acestei ecuaţii (valoarea staţionar ă când

finanţarea se face din credite la maxim).

Traiectoria 3: ( 0211 === )()()( t νt µt ν )

Din (29) rezultă:ir f =− )(1

situaţie care a fost exclusă prin ipoteză, deci traiectoria 3 nu este admisibilă.

Traiectoria 4: ( 0)(,0)(,0)( 121 >=> t t t ν ν )

Din relaţia (24) rezultă că tot capitalul e capital propriu:0)()()( =⇒= t Y t X t K

deci finanţarea se face numai din acţiuni.

Din egalitatea (29) rezultă )()1( 1 t r f i ν −=−− , care, coroborată cufaptul că 01 >)(t ν , conduce la condiţia )1( r f i −< deci această traiectorieeste posibilă doar dacă acţiunile sunt ieftine şi creditele sunt scumpe.

Cum ir f t −−= )1()(1ν = constant şi 0)(2 =t ν rezultă că prima

ecuaţie adjunctă este o ecuaţie diferenţială liniar ă în )(1 t λ :

ir f t r f it −−+−−= )1()(])1([)( 11 λ λ &

care are o soluţie convergentă la valoarea de echilibru deoarece r f i )1( −< .

Din egalitatea (30) şi ţinând cont că 0)(2 =t ν şi )()1( 1 t r f i ν −=−− deducem:

r f iar t K

R f t )1()(

)(

)()1)((

1

−−=⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡+−

∂

⋅∂−λ < 0

care este o ecuaţie implicită în K (t ) şi L(t ). Din aceasta şi relaţia wt L

R=

∂⋅∂)(

)(

se obţin evoluţiile capitalului şi numărului de angajaţi.

În plus *)()(

)(YX K t K r a

t K

R<⇒<−

∂⋅∂

unde *YX K este soluţia staţionar ă

în cazul finanţării mixte r a

t K

R+=

∂

⋅∂

)(

)((vezi traiectoria 6).

Din a doua ecuaţie de dinamică se va obţine şi evoluţia investiţiilor.Totuşi, traiectoria este posibilă doar dacă K (t ) şi L(t ) verifică şi

prima ecuaţie de dinamică.

Traiectoria 5: ( 0)(,0)(,0)( 121 >>= t t t ν ν )

Din relaţia (24) rezultă că nivelul datoriei firmei este maxim:

)()()()1()( t kX t Y t X k t K =⇒+=

deci finanţarea este mixtă (din acţiuni şi credite la maxim).Din 0)(1 >t µ rezultă D(t ) = 0 deci pe această traiectorie firma nu

plăteşte dividende.Din ecuaţia celei de-a doua variabile adjuncte (30) şi 01 =)(t ν ,

avem:

*21 )(

)(

)()()(

)(

)()1)(( YX K t K r a

t K

Rt ar

t K

R f t >⇒>−

∂⋅∂

⇒=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

∂⋅∂

− ν λ

unde *YX K este soluţia staţionar ă în cazul finanţării mixte.

Traiectoria 6: ( 0)(,0)(,0)( 121 >== t t t µ ν ν )

Din ecuaţia (23) rezultă:

)()( t X t K > deci firma are datorii ( 0)( >t Y ).

iar din (24) avem:

)()1()( t X k t K +< deci datoriile nu sunt la nivelul maxim ( )()( t kX t Y < ).

Din ecuaţia (30), ţinând cont de faptul că 021 == )()( t νt ν , obţinem:

*)()(

)()(

)(

)())(( YX K t K r a

t K

Rar

t K

R f t λ =⇒=−

∂⋅∂

⇒=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

∂⋅∂

− 011

unde *YX K este soluţia staţionar ă în cazul finanţării mixte.

Din 0)(1 >t rezultă că firma nu plăteşte dividende iar din a douaecuaţie de dinamică obţinem o valoare constantă a investiţiilor:

I (t ) = a· *YX K = constant

1.5 Analiza traiectoriilor de magistrală

Vom analiza în continuare posibilităţile de concatenare atraiectoriilor pentru obţinerea traiectoriei optime finale. În ceea ce priveştefinalul traiectoriei optime observăm că traiectoriile 4, 5 şi 6 nu pot fitraiectorii finale, întrucât nu poate fi optimal să nu se plătească dividende petermen lung (deoarece 0)(0)(1 =⇒> t Dt µ ), deci traiectoriile 1 şi 2 suntsingurele traiectorii finale.

Traiectorii într-un singur stadiu

Analiza va fi f ăcută în funcţie de raportul dintre preţul acţiunilor i şicel al creditelor (1- f )r deoarece s-a văzut din analiza traiectoriilor că acestraport decide care sunt traiectoriile admisibile sau neadmisibile.

a) dacă creditele sunt scumpe, adică r f i )1( −< şi *)0( X K X = ,traiectoria optimă este traiectoria 1, evoluţiile indicatorilor firmei putând fi urmărite în figura de mai jos:

D* ( t

I * ( t

K X *

t

X 0



Pentru această situaţie avem o evoluţie staţionar ă a indicatorilor firmei:

**

**

*

***

)(

)(0)(

))()(1(

X

X

X X

K t K

aK t I

t Y

aK wL K R f D

=

==

−−−=

iar valoarea optimă va fi ∫ ∞

−

0

*dt De it =i

D*

.

b) dacă creditele sunt ieftine, adică r f i )1( −> şi *

1

1)0( Y K

k

X

+

= ,

traiectoria optimă este traiectoria 2, evoluţiile indicatorilor firmei putând fi urmărite în figura de mai jos:

Pentru această situaţie avem de asemenea o evoluţie staţionar ă aindicatorilor firmei:

*

**

*

***

)(

)(

1)(

])1()()()[1(

Y

Y

Y

Y Y

K t K

aK t I

K k

k t Y

K r k

k at wL K R f D

=

=+

=

++−−−=

iar valoarea optimă va fi ∫ ∞

−

0

*dt De it =i

D*

.

D* ( t )

I * ( t )

K Y *

t

K 0

Traiectorii în două stadii

Dacă creditele sunt scumpe, adică r f i )1( −< şi *)0( X K X ≠ sau

creditele sunt ieftine, adică r f i )1( −> şi *

1

1)0( Y K

k X

+≠ traiectoriile finale

nu mai pot fi şi traiectorii iniţiale, astfel încât, până ajunge în condiţiiletrecerii pe o traiectorie finală firma trebuie să evolueze pe una dintraiectoriile 4, 5 sau 6 (în funcţie de valorile iniţiale ale indicatorilor firmei).

Pentru ca o comutare de pe o traiectorie pe alta să fie admisibilă estenecesar ca toate soluţiile obţinute prin concatenare să îndeplinească proprietăţile de continuitate şi derivabilitate. Întrucât modelul are restricţii pure asupra stării, există posibilitatea ca variabilele adjuncte să nu fie

continue.

În punctul τ de concatenare a două traiectorii trebuie satisf ăcuterelaţiile:

)()()()( 2111 τ η τ η τ λ τ λ +−= −+ (41)

)()1()()()( 2122 τ η τ η τ λ τ λ k +++= −+ (42)

0))()()((1 =− τ τ τ η X K (43)

0))()()1)(((2 =−+ τ τ τ η K X k (44)

0)(,0)( 21 ≥≥ τ η τ η (45)

Întrucât 0)(2 =t λ , din egalitatea (42) rezultă:

0)()1()( 21 =++ τ η τ η k (46)

şi cum )(1 τ η şi )(2 τ η sunt pozitive (conform (45) şi (46)) rezultă că 0)()( 21 == τ η τ η deci )(1 t λ este continuă, conform (41).

Cum )(1)( 11 t t µ λ += (conform (19) rezultă că şi multiplicatorul)(1 t µ este o funcţie continuă.

Întrucât pe traiectoriile 1 şi 2 multiplicatorul µ 1(t ) este nul, estenecesar ca traiectoriile care preced traiectoriile 1 sau 2 să verifice 0)(1 >t .Rezultă că în punctul de comutaţie:

⎩⎨⎧

=>=><=>=<<

0)(,0)(,0)(

0)(,0)(,0)(

111

111

τ µ τ µ τ µ

τ µ τ µ τ µ

t t

t t &&&

Cum )()( 11 t t µ λ && = (deoarece )(1)( 11 t t µ λ += ), înlocuind în relaţia (17)obţinem condiţia:

)()1()())1())((1()( 2111 t k t r f it t ν ν µ +−+−−+=& (47)

Pentru a vedea care din combinaţiile posibile verifică condiţiile demai jos vom analiza succesiv traiectoriile 4, 5 şi 6 pentru a vedea care şi înce condiţii poate precede una din traiectoriile finale 1 şi 2.

Traiectoria 4Pe această traiectorie avem 0)(2 =t ν şi utilizând în (47) relaţiile:

0)(2 =t ν , 0)(1 =t şi 0)(1 <t & rezultă:

r f i 1( −<

deci situaţia corespunzătoare creditelor scumpe şi traiectoria 4 poate precededoar traiectoria 1.

Din condiţia de optim (28), prin explicitarea lui )(1 t ν rezultă:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

∂⋅∂

−−= )()(

)()1)(()( 11 ar

t K

R f t t λ ν

care va fi înlocuită în relaţia (47) şi ţinând seama că )(1)( 11 t t λ += , avem:

43421&

0

211 )()1()()(

)()1))((1())1(()(

=

+−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

∂⋅∂

−+−−−= t k ar t K

R f t r f it ν µ µ

*

1 )(1)(

)(

0)( X K t K f

i

at K

R

t ≤⇔−≥−∂

⋅∂

⇒<µ &

Pentru traiectoria 4 se ştie deja că *)( YX K t K > şi rezultă că încondiţiile unor credite scumpe, deci a unei finanţări doar din surse proprii

)0()0( K X = şi pentru o valoare iniţială a capitalului firmei )0( K mai mică

decât valoarea de echilibru * X K , firma îşi va începe evoluţia pe traiectoria

ascendentă 4 până când capitalul firmei ajunge la valoarea * X K , moment în

care comută pe traiectoria finală 1. Valorile indicatorilor pe cele două

traiectorii sunt trecute în tabelul de mai jos:

** X YX K K <

0)( >t K & ⇒ K ( t )

0)( =t Y

0)( =t D

TR4

valoare staţionar ă K (t ) = * X K

Autofinanţare 0)( =t Y

])()()[1()( ** X X aK t wL K R f t D −−−=

TR

iar reprezentarea geometrică a traiectoriei totale este dată în figura de mai jos:

Traiectoria TR4 → TR1 corespunde cazului finanţării pure dinacţiuni (creditele sunt scumpe şi volumul împrumuturilor este nul).

Traiectoria 5

Pe această traiectorie avem 0)(1 =t ν .

Din condiţia de optim (28) putem scoate multiplicatorul )(2 t ν :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

∂⋅∂

−= )()(

)()1)(()( 12 ar

t K

R f t t λ ν

pe care îl înlocuim în (47) şi ţinând seama că )(1)( 11 t t µ λ += :

⇒≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

∂⋅∂

−+−−−= 0)()(

)()1)(1())1(()(1 ar

t K

R f k r f it µ &

*)()1

(1

1)()(

Y K t K f

ikr k

at K

R ≤⇒−

++

≥−∂

⋅∂

Traiectoria 5 trebuie conectată cu traiectoria 2 şi va rezulta cazulfinanţării maxime din împrumut. Situaţia corespunde creditelor ieftine şirezultă că pentru cazul în care:

r f i )1( −> şi *

1

1)0( Y K

k X

+<

traiectoria de magistrală este TR5 → TR2.

t

K 0

Q0

QX * *

X Q

* X K

D( t )

TR4cre ş tere

TR1sta ţ ionare

t 4,1 T

D = 0



În cazul acestei magistrale, creşterea se va face cu finanţare maximă din împrumut.

Traiectoria 6

Această traiectorie nu poate precede traiectoria 1 sau 2, datorită imposibilităţii de a respecta continuitatea lui K(t). Astfel:

Pe traiectoria 1: *)(

1)(

)( X K t K

f

ia

t K

R=⇒

−

=−

∂

⋅∂

Pe traiectoria 6: *)()(

)(YX K t K r a

t K

R=⇒=−

∂⋅∂

Pe traiectoria 2: *)()1

(1

1

)(

)(Y K t K

f

ikr

k a

t K

R=⇒

−+

+=−

∂⋅∂

.

*)( Y K t K ≤

0)( >t K & ,K ( t )

)(1

)( t K k

k t Y

+= ,Y ( t )

0)( =t D

TR5

traiectorie staţionar ă K (t ) = *Y K

*

1)( Y K

k

k t Y

+=

])1

()()()[1()( **Y y K r

k

k at wL K R f t D

++−−−=

TR2

Y (0)

Y ( t )

K 0

Q0

*Y Q

*Y K

D( t )

TR5creştere

TR2staţionar ă

t 5,2 T

t

*Y Q

D = 0

În concluzie nu putem avea decât două traiectorii finale în două stadii:

TR4 → TR1

TR5 → TR2Printr-o analiză asemănătoare se poate vedea că pentru cazul când

*)0( YX K K = firma va avea o eventuală evoluţie iniţială pe traiectoria 6 apoi

va trece pe succesiunea TR4 → TR1 iar dacă *)0( YX K K < va începe pe TR5

până nivelul capitalului va ajunge la valoarea *)0( YX K K = , va staţionaeventual pe TR6 şi apoi va trece pe succesiunea TR4 → TR1.

Concluzie: Traiectoriile în mai multe stadii sunt:

a) dacă r f i )1( −< şi *

1

1)0( YX K

k X

+< , traiectoria optimală este:

TR5 → TR6 → TR4 → TR1

b) dacă r f i )1( −> şi *

1

1)0( YX K

k X

+= , traiectoria optimală este:

TR5 → TR2

t

K 0

Q0

QX * *

X Q

* X K

D( t )

TR4creştere

TR1staţionar ă

t 5,6 T

TR5creştere

TR6staţionar ă

K * YX

Q* YX

t 6,4 t 4,1

D = 0 D = 0 D = 0



2. Modelul Ludwig[30]

Obiectivul modelului Ludwig este maximizarea fluxului (încasărilor)de dividende pe orizontul limitat de timp [0,T] în valoare actualizată:

F I ,max J = ∫ −T it dt t De

0)( + iT e− X(T) (1)


1. Vom considera că evoluţia capitalului are o dinamică clasică:

)(t K & = I (t )– a· K (t ) (2)

unde a = coeficientul de depreciere = coeficientul de amortizare2. Structura capitalului va fi:

K (t ) = X (t ) + Y (t ) (3)

unde X (t ) reprezintă volumul acţiunilor (capitalul social) iar Y (t ) volumuldatoriilor (împrumuturilor) la momentul t .

3. Dinamica împrumuturilor este:

)(t Y & = F (t ) – b·Y (t ) (4)

unde: F (t ) = volumul creditelor b = cota de rambursare anuală a datoriilor(amortismentul).

4. Vom presupune în continuare că se verifică ipoteza Ludwig : b = a În aceste condiţii, din relaţia (3) se obţine, prin derivare, dinamica

structurii capitalului:

)(t K & = )(t X & + )(t Y & (3')

de unde rezultă succesiv dinamica valorii acţiunilor(capitalului social):)(t X & = )(t K & – )(t Y & ⇔

)(t X & = I (t )– a· K (t ) – F (t ) + b·Y (t ) ⇔

)(t X & = I (t )– a·( X (t ) + Y (t )) – F (t ) + b·Y (t )

şi în final, ţinând cont de ipoteza Ludwig(a = b), rezultă:

)(t X & = I (t )– a· X (t ) – F (t ) (5)



5. Vom considera că profitul net este ceea ce mai r ămâne din venitul brut ( R( K (t )) = cifra de afaceri minus costurile cu factorii variabili, inclusivcosturile salariale) după ce se scad costurile cu factorii ficşi (amortizareacapitalului = a· K (t ) şi dobânzile la datorii = r·Y (t )):

V (t ) = R( K (t )) – a· K (t ) – r·Y (t ) (6)

unde r = rata (normală) a dobânzii (lucr ăm in ipoteza r ≠ i).6. Venitul net obţinut va fi utilizat pentru plata acţionarilor (ca

dividende D(t )) şi creşterea capitalului social X (t ):

V (t ) = D(t ) + )(t X & (7)

7. Dacă m ∈ (0,1) este cota parte din profitul net reţinută pentrudezvoltare atunci cerinţa acţionarilor ca dividendele să fie strict pozitive se

traduce prin:

D(t ) ≥ (1 – m)·V (t ) > 0 (8)

Conform acestei cerinţe, creşterea capitalului social este limitată superior:

)(t X & = V (t ) – D(t ) ≤ V (t ) – (1 – m)·V (t ) = m·V (t )

adică:)(t X & ≤ m·V (t ) (8')

Conform (5), cererea de investiţii se calculează cu relaţia:

I (t ) = )(t X & + a· X (t ) + F (t ) (9)

şi ţinând cont de (8'), obţinem marginea superioar ă a acesteia:

I (t ) ≤ m·V (t ) + a· X (t ) + F (t ) (10)

sau, conform (6):

I (t ) ≤ m·( R( K (t )) – a· K (t ) – r ·Y (t )) + a· X (t ) + F (t ) (10')8. Dacă se face ipoteza: I (t ) ≥ 0 (nu se admite dezinvesti ţ ia), atunci

din ecuaţia de dinamică (2) rezultă:

)(t K & ≥ – a· K (t ) sau)(

)(

t K

t K &≥ – a

ceea ce arată că rata de cre ştere a capitalului poate fi şi negativă , fiind deci posibilă şi descreşterea capitalului (decapitalizarea).

9. Condi ţ iile de creditare se impun prin restricţiile:

0 ≤ F (t ) ≤ γ· I (t ) (11)

unde γ = )(

)(

t I

t F

este cota maximă a creditelor pentru investiţii (în raport cufacilităţile sistemului bancar).

Observa ţ ie: Dacă cerinţa (11) este verificată, atunci automat I(t) ≥ 0şi această restricţie nu mai apare ca efectivă .

Pornind de la relaţiile (7) şi (5) şi ţinând cont de relaţia (6) obţinem:

(7) ⇒ D(t ) = V (t ) – )(t X &)5(

⇒ D(t ) = V (t ) – I (t )+ a· X (t ) + F (t ))3(),6(

⇒ D(t ) = R( K (t )) – (a + r)·Y (t ) – I (t ) + F (t ) (12)

care reprezintă ecua ţ ia dividendelor pe baza căreia obţinem funcţia obiectiv:

F I ,max J = ∫ ⋅−T it e

0( R( K (t )) – (a + r)·Y (t ) – I (t ) + F (t ))dt + iT e− X(T) (1')

10. Vom considera că funcţia de venit R(t ) verifică şi condiţiile:

i) )(

)(

t K

t R

∂∂

> a

ii) )( )(2

2

t K t R

∂∂ < 0

prima condiţie rezultând din restricţia R( K (t )) > a· K (t ) care spune că veniturile trebuie să acopere cel puţin costurile cu factorii variabili şi ceificşi iar a doua reprezintă legea randamentelor marginale descrescătoare.

Variabilele modelului sunt:

− variabile de stare: X (t ) şi Y (t )

− variabile de decizie: I (t ) şi F (t )

− variabile de ieşire: K (t ), V (t ) şi D(t )


)(),(max

t F t I J = ∫ ⋅−T it e

0( R( K (t )) – (a + r)·Y (t ) – I (t ) + F (t ))dt + iT e− · X (T )

)(t X & = I (t )– a· X (t ) – F (t ) X (0) = X 0

)(t Y & = F (t ) – a·Y (t ) Y (0) = Y 0



K (t ) = X (t ) + Y (t ) I (t ) ≤ m·( R( K (t )) – a· K (t ) – r·Y (t )) + a· X (t ) + F (t )0 ≤ F (t ) ≤ γ· I (t )m ∈ (0,1) ; γ ∈ (0,1)

şi reprezintă o problemă de control optimal.


Pentru rezolvarea acesteia vom utiliza principiul lui Pontreaghin.Deoarece funcţia obiectiv (1') este cu actualizare (apare e

–it )construim hamiltonianul ajustat (f ăr ă actualizare):

H ( X (t ),Y (t ), I (t ), F (t ),Ψ 1(t ),Ψ 2(t )) = R( K (t )) – (a + r)·Y (t ) – I (t ) + F (t ) +Ψ 1(t )·[ I (t )– a· X (t ) – F (t )] + Ψ 2(t )·[ F (t ) – a·Y (t )] (14)

unde variabilele adjuncte sunt exprimate în acest caz prin transformata:Ψ j(t ) = eit ·λ j(t )

λ j(t ) fiind variabilele adjuncte corespunzătoare hamiltonianului H (·) careconţin termenul de actualizare e – it , variabile despre care se ştie că verifică ecuaţiile de dinamică:

)(λ1 t & = – X

H

∂⋅∂ )(

şi )(λ2 t & = – Y

H

∂⋅∂ )(

de unde rezultă:

)(1 t Ψ& = i·Ψ 1(t ) – eit · X

H

∂⋅∂ )(

şi )(2 t Ψ& = i·Ψ 2(t ) – eit ·Y

H

∂⋅∂ )(

(16)

sau, mai general, teorema:

Teoremă : Dacă X (t ) este vectorul variabilelor de stare şi H (·) estehamiltonianul asociat unei probleme de control optimal f ăr ă restricţii atuncivariabilele adjuncte Ψ (t ) folosite în construcţia hamiltonianului, prinexcluderea factorului de actualizare (e –it ) din funcţia-obiectiv, verifică

ecuaţia de dinamică:)(t Ψ& = i·Ψ (t ) – eit ·

X

H

∂⋅∂ )(

= i·Ψ (t ) – X

H ajustat

∂

⋅∂ )(unde H(t) = e-it · Hajustat(t).

Dacă există şi restricţii asupra variabilelor, ca în cazul de faţă restricţiile:

K (t ) = X (t ) + Y (t ) I (t ) ≤ m·( R( K (t )) – a· K (t ) – r ·Y (t )) + a· X (t ) + F (t )0 ≤ F (t ) ≤ γ· I (t )



atunci definim Lagrangeanul asociat problemei:

L(·) = H (·) +µ 1(t )·[γ· I (t ) - F (t )] +µ 2(t )·[m·( R( K (t )) - a· K (t ) - r ·Y (t )) +a· X (t ) ++ F (t ) - I (t )] +µ 3(t )· F (t ) (15)

unde µ 2(t ) este multiplicatorul asociat restricţiei asupra variabilei de decizie I (t ) iar µ 1(t ) şi µ 3(t ) multiplicatorii asociaţi restricţiilor asupra variabilei dedecizie F (t ) şi ecuaţiile de dinamică (16) trebuie înlocuite cu ecuaţiile:

)(1 t Ψ& = i·Ψ 1(t ) – eit · X

L

∂⋅∂ )(

)(2 t Ψ& = i·Ψ 2(t ) – eit ·Y

L

∂⋅∂ )(

Sistemul de condiţii Kuhn-Tucker se reduce la condiţiile:

I

L

∂⋅∂ )(

= 0 (17.a)

F

L

∂⋅∂ )(

= 0 (17.b)

şi:µ1·[γ· I – F ] = 0 (18.a)

µ2·[m·( R( K ) – a· K – r·Y ) + a· X + F – I ] = 0 (18.b)µ3· F = 0 (18.c)

care este un sistem de 5 ecuaţii cu necunoscutele I , F , µ1, µ2, µ3 din carevom scoate variabilele de decizie I şi F în funcţie de variabilele de stare X şiY şi de variabilele adjuncte Ψ 1 şi Ψ 2.

În cazul de faţă, sistemul condiţiilor Kuhn-Tucker are forma:

–1 + Ψ 1 + γ·µ1 – µ2 = 0 (17'.a)

1 – Ψ 1 + Ψ 2 – µ1 + µ2 + µ3 = 0 (17'.b)µ1·[γ· I – F ] = 0 (18.a)µ2·[m·( R( K ) – a· K – r·Y ) + a· X + F – I ] = 0 (18.b)µ3· F = 0 (18.c)şi restricţiile de semn: µ1(t),µ2(t),µ3(t), I (t), F (t) ≥ 0

În final, variabilele de stare X (t ) şi Y(t ) vor fi găsite din sistemul deecuaţii diferenţiale format din ecuaţiile de dinamică ale variabilelor de stare(4) şi (5) la care se adaugă ecuaţiile de dinamică ale variabilelor adjuncte,

SKT :

(16)



rezultând un sistem SD de 4 ecuaţii diferenţiale cu 4 necunoscute ( X (t ), Y (t ),Ψ 1(t ), Ψ 2(t )):

)(t Y

&

= F (t ) – a·Y (t ) (4))(t X & = I (t )– a· X (t ) – F (t ) (5)

)(1 t Ψ& =i·Ψ 1(t ) - X

L

∂⋅∂ )( =- )(t

K

R

∂∂ + (i + a)·Ψ 1(t )-µ2(t )·[m· )(

)(t

K

R

∂⋅∂ +a·(1 - m)]

(16.a)

)(2 t Ψ& =i·Ψ 2(t ) -Y

L

∂⋅∂ )( =(i + a)·Ψ 2(t ) -

)()(

t K

R

∂⋅∂ ·[1+m·µ2(t )]+(a+r)·[1+m·µ2(t )] (16.b)

cu valorile iniţiale X (0)= X 0, Y (0)=Y 0 plus valorile finale:Ψ 1(T)=1 şi Ψ 2(T)=0(16.c)

Observa ţ ie: În formulele in sistem am folosit faptul că:

X

R

∂⋅∂ )(

= K

R

∂⋅∂ )(

· X

K

∂⋅∂ )(

= K

R

∂⋅∂ )(

· X

Y X

∂+∂ )(

= K

R

∂⋅∂ )(

Y

R

∂⋅∂ )(

= K

R

∂⋅∂ )(

·Y

K

∂⋅∂ )(

= K

R

∂⋅∂ )(

·Y

Y X

∂+∂ )(

= K

R

∂⋅∂ )(


Revenind la sistemul de condiţii Kuhn-Tucker, deoarece fiecare dinultimele trei ecuaţii implică 2 cazuri (µi = 0 sau µi ≠ 0, i = 1,2,3) rezolvareasistemului presupune analiza a 23 = 8 variante, care pot fi sintetizateconform tabelului de mai jos:

Varianta µ 1 µ 2 µ 3

I + + +II + + 0III + 0 +IV 0 + +V 0 0 +VI 0 + 0VII + 0 0VIII 0 0 0

SD:



În continuare vom analiza succesiv fiecare variantă (traiectorie).

Varianta I: µ 1(t ), µ 2(t ), µ 3(t ) > 0

Din condiţiile Kuhn-Tucker rezultă:γ· I (t ) – F (t ) = 0 (18.a.I)m·V(t )+ a· X (t ) + F (t ) – I (t ) = 0 (18.b.I) F (t ) = 0 (18.c.I)

de unde: I (t ) = F (t ) = 0 (18'.a.I) şi (18'.c.I)

şi:m·V(t )+ a· X (t ) = 0 (18'.b.I)

Ultima relaţie fiind în contradicţie cu ipotezele a, m ∈ (0,1) şi V(t ), X (t ) > 0, rezultă că această variantă nu este posibilă sau că traiectoria

corespunz ă toare nu este admisibil ă .

Varianta II: µ 1(t ), µ 2(t ) > 0 şi µ 3(t ) = 0

Sistemul de condiţii Kuhn-Tucker devine:

γ· I (t ) – F (t ) = 0 (18.a.II)m·V(t )+ a· X (t ) + F (t ) = I (t ) (18.b.II)

Prima relaţie spune că firma face împrumuturi la nivel maxim. Celedouă ecuaţii formează un sistem liniar de 2 ecuaţii cu 2 necunoscute ( F (t ) şi I (t )), cu soluţia:

F *(t ) =

γ−γ

1[m·V(t ) + a· X (t )] (18'.a.II)

I *(t ) =

γ−1

1[m·V(t ) + a· X (t )] (18'.b.II)

Prima arată care este politica de credite şi evident F (t ) ≥ 0 iar a douacare este nivelul investi ţ iilor şi de asemenea I (t ) ≥ 0.

Înlocuind aceste soluţii în sistemul dinamic SD obţinem:

)(t X & = m·V (t ) = m·( R( K (t )) – a· K (t ) – r·Y (t )) (5.II)

)(t Y & =γ−

γ1

m·[ R( K (t )) – a· K (t ) – r·Y (t )] + a· X (t ) – a·Y (t ) (4.II)

unde K (t ) = X (t ) + Y (t ).

Soluţia acestui sistem depinde de forma funcţiei de venit R(t ).



Deoarece V (t ) > 0 şi m ∈ (0,1) rezultă: )(t X & > 0 deci capitalul social

va cre şte X (t )↑ . Din (18'.a.II) şi X (t )↑ rezultă F (t )↑ şi de aici Y (t )↑ adică petraiectoria II datoria firmei creşte.

De asemenea, cum şi X(t) şi Y(t) sunt crescătoare K(t) va fi deasemenea crescător şi )(t K & ≥ 0, firma înregistrând o cre ştere maximă , prin politica de împrumuturi maxime posibile.

Dinamică variabilelor adjuncte rezultă din ultimele două ecuaţii aleSD:

)(1 t Ψ& = – )(t K

R

∂∂

+ (i + a)·Ψ 1(t ) - µ2(t )·[m· )()(

t K

R

∂⋅∂

+ a·(1 – m)] (16.a)

)(2 t Ψ& = (i + a)·Ψ 2(t ) – )()(

t

K

R

∂

⋅∂·[1 +m·µ2(t )] + (a + r)·[1 + m·µ2(t )] (16.b)

Din condiţiile K-T 17'.a şi 17'.b rezultă:

Ψ 1 = 1 – γ·µ1 + µ2 (17'.a.II)Ψ 2 = (1 – γ)·µ2 (17'.b.II)

sau

µ 1 =γ1

[1 – Ψ 1(t )] +)1(

1

γ−γ·Ψ 2(t ) (17".a.II)

µ 2 = γ−1

1·Ψ 2(t ) (17".b.II)

şi în final:

1µ& =γ1

[1 – )(1 t Ψ& ] +)1(

1

γ−γ· )(2 t Ψ& (17'''.a.II)

2µ& =γ−1

1· )(2 t Ψ& (17'''.b.II)

Ultimele relaţii, în combinaţie cu ecuaţiile de dinamică alevariabilelor adjuncte 16.a şi 16.b duc la un sistem de două ecuaţiidiferenţiale liniare cu coeficienţi neconstanţi, cu două necunoscute, din carevor fi aflate Ψ 1(t ), Ψ 2(t ) şi apoi µ 1(t ), µ 2(t ):

)(1 t Ψ& = (i + a)·Ψ 1(t ) – γ−1

1·[m· )(

)(t

K

R

∂⋅∂

+ a·(1 – m)]·Ψ 2(t ) – )(t K

R

∂∂

(16.a)

)(2 t Ψ& = [i + a + m·γ−1

1·(a + r – )(

)(t

K

R

∂⋅∂

)]·Ψ 2(t ) + (a + r) – )()(

t K

R

∂⋅∂

(16.b)

Ultima ecuaţie este o ecuaţie liniar ă de gradul întâi în Ψ 2(t ) de underezultă:

*

2Ψ (t ) =

∫

⋅τ

∫

⋅τ∂

⋅∂

−+

ττ∂

⋅∂−+⋅

γ−⋅++

∂⋅∂

−+⋅γ−

⋅++−

∫

τ t d

K

Rr amait duu

K

Rr amai

ed e K

R

r a

00)](

)([

1

1

0

)]()(

[1

1

)](

)(

[ apoi:

*1Ψ (t ) = t ait ai ed e

K

Rma

K

Rm ⋅+τ⋅+− ⋅τ⋅τ

∂⋅∂

−τΨ⋅−+τ∂

⋅∂⋅⋅

γ−−∫ )(

0

)(*2 )](

)()()]1()(

)([

1

1[

şi în final:

*1µ (t ) =

γ

1[1 – *

1Ψ (t )] +

)1(

1

γ−γ

· *2Ψ (t )

*2µ (t ) =

γ−1

1· *

2Ψ (t )

Pentru ca soluţia să fie admisibilă este necesar ca *1µ (t ) şi *

2µ (t ) să fie pozitive, dar acest fapt poate fi decis numai după alegerea concretă a luiR(K).

Varianta III. µ 1(t ) > 0, µ 2(t ) = 0 şi µ 3(t ) > 0

Condiţiile K-T devin:

–1 + Ψ 1 + γ·µ1 = 0 (17'.a.III)1 – Ψ 1 + Ψ 2 – µ1 + µ3 = 0 (17'.b.III)µ1 > 0, γ· I – F = 0 (18.a.III)µ2 = 0, m·( R( K ) – a· K – r·Y ) + a· X + F – I > 0 (18.b.III)µ3 > 0, F = 0 (18.c.III)

Rezolvând acest sistem obţinem I(t ) = F(t ) = 0 oricare ar fi t, decifirma aplică o politică de neapelare la credite şi de investi ţ ii nule (nu se facenici autofinanţare). Din ecuaţia de evoluţie a capitalului (2) obţinem

)(t K & = – a· K (t ) (2.III)

deci o evolu ţ ie descrescă toare ( )(t K & < 0) a datoriilor firmei:

K *(t ) = K 0·e

–at (2'.III)

SKT :

Ecuaţiile de dinamică devin:

)(t Y & = – a·Y (t ) (4.III)

)(t X & = – a· X (t ) (5.III)

)(1 t Ψ& = – )(t K

R

∂∂

+ (i + a)·Ψ 1(t ) (16.a.III)

)(2 t Ψ& = (i + a)·Ψ 2(t ) – )()(

t K

R

∂⋅∂

+ (a + r) (16.b.III)

Din primele două ecuaţii rezultă o evoluţie concomitentdescrescătoare a împrumuturilor şi a acţiunilor ( )(t Y & < 0 şi )(t X & < 0) petraiectoriile:

Y *(t ) = Y0·e

–at (5'.III) X

*(t ) = X0·e –at (4'.III)

şi în final volumul dividendelor:

D(t ) = R( K *(t )) – (a + r)·Y

*(t ) (12.V)

Varianta IV. µ1(t) = 0, µ2(t) > 0 şi µ3(t) > 0


–1 + Ψ 1 – µ2 = 0 (17'.a.IV)1 – Ψ 1 + Ψ 2 + µ2 + µ3 = 0 (17'.b.IV)µ1 = 0, γ· I – F > 0 (18.a.IV)µ2 > 0, m·( R( K ) – a· K – r·Y ) + a· X + F – I = 0 (18.b.IV)µ3 > 0, F (t ) = 0 (18.c.IV)

Rezolvând acest sistem obţinem:

Ψ 1 = 1 + µ2 ⇒ )(1 t Ψ&

= )(2 t µ& (17".a.IV)Ψ 2 = – µ3 ⇒ )(2 t Ψ& = – )(3 t µ& (17".b.IV)

µ1 = 0, γ· I > 0 ⇒ I > 0 (18'.a.IV)µ2 > 0, I = m·( R( K ) – a· K – r·Y ) + a· X (18'.b.IV)µ3 > 0, F (t ) = 0 (18'.c.IV)

Pe această traiectorie se aplică deci o politică f ă r ă credite (18'.c.IV)şi există investiţii (18'.a.IV), care vor fi f ăcute din surse proprii(autofinan ţ are pur ă ".

SKT :

SKT :

Înlocuind rezultatele de mai sus în ecuaţiile de dinamică obţinemsistemul:

)(t Y & = – a·Y (t ) (4.IV)

)(t X & = m·( R( K ) – a· K – r·Y (t )) (5.IV))(2 t µ& = – )(t

K

R

∂∂

+ (i + a)·(1 + µ2(t )) - µ2(t )·[m· )()(

t K

R

∂⋅∂

+ a·(1 – m)](16.a.IV)

)(3 t µ& = (i + a)·µ3(t ) + )()(

t K

R

∂⋅∂

·[1 +m·µ2(t )] – (a + r)·[1 + m·µ2(t )] (16.b.IV)

cu condiţiile finale: X (0) = X 0, Y (0) = Y 0, µ2(T) = 0 şi µ3(T) = 0.

Din ecuaţia liniar ă de gradul I cu coeficienţi neconstanţi (16.a.IV) vafi obţinut multiplicatorul µ2(t ), care va fi înlocuit apoi în ecuaţia (16.b.IV)

care va deveni o ecuaţie liniar ă de gradul I cu coeficienţi neconstanţi înµ3(t ). Evoluţia pe traiectoria IV are loc atât timp cât µ2(t ) şi µ3(t ) suntsimultan pozitivi.

Din ecuaţia (4.IV) obţinem o evolu ţ ie descrescă toare ( )(t Y & < 0) adatoriilor firmei:

Y *(t ) = Y0·e –at (4'.IV)

Din ecuaţia (5.IV) rezultă dinamica volumului ac ţ iunilor : Avem:

)(t X & = m·V(t) > 0 ⇒ X(t )↑ (5'.IV)iar evoluţia acţiunilor poate fi dedusă din ecuaţia:

)(t X & = m·( R( K ) – a· K – r·Y (t )) (5.IV)

şi depinde de forma funcţiei profitului R( K ).Cum K(t ) = X (t ) + Y (t ) şi R(K) este neliniar ă, expresia lui X (t ) este

greu de determinat analitic. În acest caz se folosesc aproximările acesteifuncţii prin simulări discrete pe calculator.

Varianta V. µ1(t) = 0, µ2(t) = 0 şi µ3(t) > 0Condiţiile K-T devin: –1 + Ψ 1 = 0 (17'.a.V)1 – Ψ 1 + Ψ 2 + µ3 = 0 (17'.b.V)µ1 = 0, γ· I – F > 0 (18.a.V)µ2 = 0, m·( R( K ) – a· K – r·Y ) + a· X + F – I > 0 (18.b.V)µ3 > 0, F (t ) = 0 (18.c.V)

Ultima relaţie arată că firma acceptă o politică f ă r ă credite.

SKT :

Din a treia rezultă γ· I > 0 deci I > 0 iar din a patra m·V(t ) + a· X – I > 0.În concluzie:

0 < I (t ) < m·V(t ) + a· X (t ) (18'.b.V)

deci firma face investiţii, sursa lor fiind autofinanţarea, limita superioar ă ainvestiţiilor fiind partea din profit destinată dezvoltării plus amortizarea păr ţii din capital definită prin capital social.

Din primele două ecuaţii vom avea:

Ψ 1(t ) = 1 ⇒ )(1 t Ψ& = 0 (17".a.V)

Ψ 2(t ) = – µ3(t ) ⇒ )(2 t Ψ& = – )(3 t µ& (17".b.V)

Sistemul ecuaţiilor de dinamică devine:

)(t Y & = – a·Y (t ) (4.V))(t X & = I (t )– a· X (t ) (5.V)

0 = – )(t K

R

∂∂

+ (i + a) (16.a.V)

)(2 t Ψ& = (i + a)·Ψ 2(t ) – )()(

t K

R

∂⋅∂

+ (a + r) (16.b.V)

Din ecuaţia de dinamică a împrumuturilor rezultă că )(t Y & < 0, deci

volumul datoriilor descre şte. Valoarea acestora va fi:Y

*(t ) = Y0·e –at (4'.V)

Din a treia relaţie avem:

)(t K

R

∂∂

= (i + a) (16'.a.V)

de unde rezultă o traiectorie sta ţ ionar ă a capitalului, notată * X K pentru a

sublinia faptul că finanţarea este proprie (autofinanţare), unde:

* X K = 1)( −′ R (a + i) (16".a.V)

Legitatea de evoluţie pe traiectoria V impune ca profitul marginal

net ( )(t K

R

∂∂

– a) să egaleze rata de interes a acţionarilor.

Din ecuaţia de dinamică a variabilei adjuncte Ψ 2 şi ţinând cont derelaţiile (17".b.V) şi (16'.a.V) rezultă:

)(3 t µ& = (i + a)·µ 3(t ) + (i – r) (16'.b.V)



cu condiţia finală µ3(T) = 0. Soluţia acestei ecuaţii este:

)(*3 t µ =

ia

ir

+−

[1 – e –(i + a)·(T – t)] (16".b.V)

Condiţia )(*3 t µ > 0 este îndeplinită numai dacă r > i. În concluzie,

evoluţia pe traiectoria V va avea loc atâta timp cât creditele sunt scumpe.Din (2) rezultă:

I *(t ) = a· *

X K = ct. (2.V)Ecuaţia de dinamică a capitalului propriu va fi:

)(t X & = I *(t ) – a· X (t ) = I *(t ) – a· * X K (5.V)

şi va avea soluţia:

X *(t ) = e

–at ( X 0 – * X K ) + *

X K (5'.V)

În final, putem calcula profitul net:

V*(t ) = R( * X K ) – a· *

X K – r·Y *(t ) (6.V)

şi dividendele:D*(t ) = R( *

X K ) – a· * X K – (a + r)·Y *(t ) (12.V)

Varianta VI. µ1(t) = 0, µ2(t) > 0 şi µ3(t) = 0Sistemul de condiţii K-T devine:

–1 + Ψ 1 – µ2 = 0 (17'.a.VI)1 – Ψ 1 + Ψ 2 + µ2 = 0 (17'.b.VI)0 = 0 (18.a)m·( R( K ) – a· K – r·Y ) + a· X + F – I = 0 (18.b)0 = 0 (18.c)

din care rezultă că Ψ 2(t ) = 0 oricare ar fi t şi implicit )(2 t Ψ& = 0. De aici

rezultă că ecuaţia de dinamică a variabilei adjuncte Ψ 2(t ) devine:

0 = (i + a)·0 – )()(

t K

R

∂⋅∂

·[1 +m·µ2(t )] + (a + r)·[1 + m·µ2(t )] ⇔

[a + r – )()(

t K

R

∂⋅∂

]·[1 +m·µ2(t )] = 0

şi cum m şi µ2(t ) sunt pozitive rezultă că:

)()(

t

K

R

∂

⋅∂ = a + r (19.VI)

şi R(K) = (a + r)·K + C, unde constanta C rezultă din condiţiile iniţiale.Putem astfel considera legitatea: Evoluţia optimă se desf ăşoar ă pe

traiectoria VI atâta timp cât venitul marginal din vânzări este egal cu ratadobânzii la credite.

Conform (19.VI) care este o ecuaţie algebrică în K rezultă K(t )= *

YX K = ct. unde am folosit indicele YX pentru a ar ăta că sursa de finanţareeste fundamentată atât pe credite (Y) cât şi pe autofinanţare (X), unde:

*YX K = ]

)([arg r a

K

R

K

+=∂

⋅∂(19'.VI)

sau:*YX K = ( ) 1−′ R (a + r) (19".VI)

Din sistemul de condiţii K-T rezultă şi:Ψ 1 = 1 + µ2

şi:)(1 t Ψ& = 2µ&

Înlocuind în ecuaţia de dinamică a variabilei adjuncte Ψ 1 obţinem:

2µ& = – )(t K

R

∂∂

+ (i + a)·[1 + µ2(t )] - µ2(t )·[m· )()(

t K

R

∂⋅∂

+ a·(1 – m)]

şi cum )()(

t K

R

∂⋅∂

= a + r vom avea:

2µ& = – a – r + (i + a)·µ2(t ) - µ2(t )·[m·(a + r)+ a·(1 – m)] ⇔

⇔ 2µ& = (i – m·r)·µ2 + i – r (16".a.VI)

care împreună cu condiţia finală µ2(T) = Ψ 1(T) – 1 duce la soluţia:*2µ (t ) =

mr i

ir

⋅−−

·[1 – e –(i – r·m)(T – t)] (23.VI)

Studiind semnul acestei soluţii în funcţie de parametrii i, r şi m şivariabila t în tabelul de mai jos:

r – i i – r ·m mr i

ir

⋅−−

1 – e –(i – r·m)(T – t) *2µ (t )

i < r ·m + – – – +i = r ·m + 0 / 0 /

r ·m r – + – + –

rezultă că este îndeplinită condiţia de admisibilitate *2µ (t ) > 0 doar dacă i > r

şi m ≠ r

i.

Pentru i > r şi m ≠ r

ivom avea din sistemul de condiţii K-T:

µ1 = µ3 = Ψ 2 = 0µ2 = Ψ 1 – 1 I – F = m·( R( *

YX K ) – a· *YX K – r·Y ) + a· X

care conduc la sistemul de ecuaţii de dinamică:

)(t Y & = F (t ) – a·Y (t ) (4)

)(t X & = m·( R( *YX K ) – a· *

YX K – r·Y ) (5.VI)

*1Ψ = 1 + *

2µ (t ) = ! +mr i

ir

⋅−−

·[1 – e –(i – r·m)(T – t)] (23'.VI)

0 = 0 (16.b)

În plus, avem:

X (t ) + Y (t ) = *YX K care duce la )(t X & + )(t Y & = 0

şi ecuaţia de dinamică a capitalului (2) care devine:

0 = I (t ) – a· *YX K de unde I *(t ) = a· *

YX K = ct.

De aici rezultă imediat:

F *(t ) = a· *YX K – m·( R( *

YX K ) – a· *YX K – r·Y ) – a·[ *

YX K – Y (t )](18'.b.VI)

care înlocuită în ecuaţia de dinamică (4) duce la:

)(t Y & = a· *YX K – m·( R( *

YX K ) – a· *YX K – r·Y ) – a·[ *

YX K – Y (t )] – a·Y (t ) ⇔

)(t Y & = – m·( R( *YX K ) – a· *YX K – r·Y ) = – m·V( *YX K ) < 0

În concluzie, pe traiectoria VI are loc o diminuare a datoriilor firmei. Din ecuaţia liniar ă de mai sus rezultă soluţia:

Y *(t ) = e

r·m·t(Y 0 – Y *) + Y

* (4'.VI)

unde nivelul de echilibru Y * este:

Y * = ])([

1 **YX YX aK K R

r − (4".VI)

Evoluţia capitalului social X (t ) rezultă imediat din relaţia X (t ) + Y (t ) = *

YX K ca fiind:

X *(t ) = *YX K – Y *(t )

şi în plus, cum )(t X & + )(t Y & = 0 şi )(t Y & < 0 rezultă că )(t X & > 0 deci se duce o politică de consolidare a firmei.

În ceea ce priveşte nivelul creditelor F (t ), din condiţiile K-T rezultă:

0 < F *(t ) < γ· I *(t )

ceea ce înseamnă că întreprinderea face apel la credite dar nu la nivel

maxim.Acest nivel este dat de (18'.b.VI) şi (4'.VI) + (4".VI):

F *(t ) = a· *YX K – m·( R( *

YX K ) – a· *YX K – r·Y *(t ) ) – a·[ *

YX K – Y *(t )] =

= – m·( R( *YX K ) – a· *

YX K – r·Y *(t ) ) + a·Y

*(t )

= (a + m·r)·Y *(t ) – m·[ R( *

YX K ) – a· *YX K ]

Cum Y *(t ) este descrescătoare rezultă că nivelul creditelor este în

scă dere.Deoarece

F

*

(t ) = – m·( R(

*

YX K ) – a·

*

YX K – r·Y

*

(t ) ) + a·Y

*

(t ) = – m·V

*

(t ) + a·Y

*

(t )din inegalităţile 0 < F

*(t ) < γ· I *(t ) vom avea:

a·Y *(t ) + γ· I *(t ) > m·V*(t ) + γ· I *(t ) > a·Y

*(t )

relaţie care reflectă politica de consolidare a firmei pe traiectoria VI: "parteadin profitul net alocată pentru dezvoltare (m·V*(t )) plus împrumuturile pentru investiţii (γ· I *(t )) depăşeşte amortismentul (a·Y *(t ))".

Varianta VII. µ1(t) > 0, µ2(t) = 0 şi µ3(t) = 0

Sistemul de condiţii Kuhn-Tucker devine:

–1 + Ψ 1 + γ·µ1 = 0 (17''.a.VII)1 – Ψ 1 + Ψ 2 – µ1 = 0 (17''.b.VII)γ· I – F = 0 (18'.a.VII)0 = 0 (18'.b.VII)0 = 0 (18'.c.VII)

SKT :



de unde rezultă:

µ1 =γ−1

1·Ψ 2(t) (17".1)

Ψ 1(t) = 1 – γ−γ1

·Ψ 2(t) (17".2)

γ· I (t ) = F (t ) (17''.3)

Sistemul dinamic SD devine:

)(t Y & = F (t ) – a·Y (t ) (4.VII)

)(t X & = I (t )– a· X (t ) – F (t ) (5.VII)

)(1 t Ψ& = – )(t K

R

∂

∂+ (i + a)·Ψ 1(t ) (16.a.VII)

)(2 t Ψ& = (i + a)·Ψ 2(t ) – )(t K

R

∂∂

+ (a + r) (16.b.VII)

Conform relaţiei 17".2 vom avea:

)(1 t Ψ& = – γ−

γ1

· )(2 t Ψ& (17'''.2)

Înlocuind 17'''.2 şi 17".2 în 16.a.III obţinem:

– γ−

γ1

· )(2 t Ψ& = – )(t K

R

∂∂

+ (i + a)·(1 – γ−

γ1

·Ψ 2(t)) ⇔

)(2 t Ψ& = (i + a)·Ψ 2(t) +γ

γ−1· )(t

K

R

∂∂

– (i + a)·γ

γ−1(16'.a.VII)

Combinând această relaţie cu 16.b.III rezultă:

– )(t K

R

∂

∂

+ (a + r) = γ

γ−1

· )(t K

R

∂

∂

– (i + a)· γ

γ−1

⇔

)(t K

R

∂∂

= γ(a + r) + (i + a)·(1 – γ) = a + (1 – γ)·i + γ·r = constant (19.VII)

În concluzie, evoluţia optimă are loc pe traiectoria VII atâta timp cât

venitul marginal net ( )(t K

R

∂∂

– a) este constant şi egal cu suma ponderată a

ratelor de interes (rata dobânzii "r" şi rata de creştere a acţiunilor "i"), unde ponderea γ este rata maximă a împrumuturilor pentru investiţii.

SD:



De asemenea, capitalul este sta ţ ionar , el fiind soluţia ecuaţieialgebrice:

R /(K) = γ(a + r) + (i + a)·(1 – γ)

adică:*Y K = 1)( −′ R [γ(a + r) + (i + a)·(1 – γ)] (19".VII)

Obs. Ecuaţia (19') are soluţie unică, conform proprietăţilor i) şi ii) alefuncţiei R( K ).

Vom avea deci )(t K & = 0 şi conform ecuaţiei de dinamică (2) vomavea că valoarea investiţiei este staţionar ă şi anume:

I *(t ) = a· *

Y K = constant (20.1)

De asemenea, din relaţia 17".3 rezultă că şi volumul creditelor esteconstant şi anume:

F *(t ) = γ· I *(t ) = γ·a· *

Y K = constant (20.2)

Firma apelează deci la volumul maxim al creditelor ce i se potacorda pentru investiţia I

*, conform definiţiei coeficientului γ.

Dinamica variabilelor adjuncte

Revenind la sistemul dinamic SD, ecuaţia (16.a.VII) devine:)(1 t Ψ& = (i + a)·Ψ 1(t ) – (a + (1 – γ)·i + γ·r ) (16'.a.VII)

care este o ecuaţie liniar ă în Ψ 1(t ) a cărei soluţie este:

Ψ 1(t ) = C·e(i + a)t + 1 + γ·ai

ir

+−

Constanta C va fi aflată din condiţia: Ψ 1(T) = 1, din care rezultă:

1 = C·e(i + a)T + 1 + γ· ai

ir

+−

⇔ C = – γ· ai

ir

+−

·e – (i + a)T

În final obţinem soluţia:

Ψ 1(t ) = γ·ai

ir

+−

·[1 – e(i + a)(t–T)] + 1 (21)

Din relaţia 17".2 rezultă

Ψ 2(t) = (1 – γ)·ai

r i

+−

·[1 – e(i + a)(t–T)] (22)

care verifică Ψ 2(T) = 0.

Din relaţia 17".1 şi ţinând cont de condiţia de semn µ1 > 0 şi γ ∈ (0,1) rezultă condiţia: Ψ 2(t) > 0 care se verifică numai dacă i > r .

Deci politica K (t ) = *Y K = constant poate fi aplicată numai dacă

creditele sunt ieftine (r < i).În final, variabilele de stare rezultă din sistemul:

)(t X & = – a· X (t ) + a· *Y K – a·γ· *

Y K (5'.VII)

)(t Y & = – a·Y (t ) + a·γ· *Y K (4'.VII)

cu condiţiile iniţiale X (t ) = X 0 şi Y (t ) = Y 0.

Soluţia este:

X *(t ) = ( X 0 – X *)e –at + X * unde X * = (1 – γ)· *

Y K (5".VII)

Y *(t ) = (Y 0 – Y

*)e –at + Y

* unde Y * = γ· *

Y K (4".VII)

De aici rezultă evolu ţ ia valorii capitalului K (t ) spre valoarea deechilibru *

Y K :

K *(t ) = ( K 0 – K

*)e –at + K

* unde K * = *

Y K (2'.1)

şi volumul dividendelor pe traiectoria VII:

D

*

(t ) = R( K

*

(t )) – (a + r)·Y

*

(t ) – a·(1 – γ)·*Y K (12')

de unde R*(t ) = R( K

*(t )) este venitul de-a lungul traiectoriei K *(t ).

Varianta VIII. µ1(t) = 0, µ2(t) = 0 şi µ3(t) = 0


–1 + Ψ 1 = 0 (17'.a.VIII)1 – Ψ 1 + Ψ 2 = 0 (17'.b.VIII)µ1 = 0, γ· I – F > 0 (18.a.VIII)µ2 = 0, m·( R( K ) – a· K – r·Y ) + a· X + F – I > 0 (18.b.VIII)µ3 = 0, F > 0 (18.c.VIII)

de unde:

Ψ 1(t ) = 1 ⇒ )(1 t Ψ& = 0 (17".a.VIII)

Ψ 2(t ) = 0 ⇒ )(2 t Ψ& = 0 (17".b.VIII)

SKT :

Ecuaţiile de dinamică devin:)(t Y & = F (t ) – a·Y (t ) (4.VIII)

)(t X & = I (t )– a· X (t ) – F (t ) (5.VIII)

0 = – )(t K R

∂∂ + (i + a) (16.a.VIII)

0 = – )()(

t K

R

∂⋅∂

+ (a + r) (16.b.VIII)

Din ultimele două ecuaţii rezultă:

i + a = )(t K

R

∂∂

= a + r (16.VIII)

şi, în final:i = r (16'.VIII)

ceea ce contrazice ipoteza i ≠ r, deci traiectoria nu este admisibilă.În concluzie singurele traiectorii admisibile sunt II … VII.2.5 Sinteza traiectoriilor optim admisibile. Strategii optimeÎn funcţie de situaţia internă – reflectată prin nivelul venitului

marginal net (t K

R

∂∂

– a) şi de echilibrul macroeconomic (reflectat prin

ecartul rata dobânzii – rata de randament a acţiunilor ( r – i)), firma poateaplica şase politici optimale. Prin combinarea lor în mod optimal se vor

obţine, aşa cum vom ar ăta, două strategii optimale, în funcţie de condiţiilede creditare.Sinteza rezultatelor privind cele 6 politici optimale analizate mai sus

este prezentată în tabloul sinoptic:

Variabile de decizie Variabile de stareIndica-

tori

Politicioptime

*It *Ft tX& tY& tK & K t

DtStarea firmei

şi condiţii

II –III Max Max + + + ↑*K t MinCre ştere maximă prin

credite şi autofinanţareIII – VI 0 0 – – – ↓*K t contrac ţ ie

IV – V Max 0 + – + ↑*K t MinCre ştere maximă prin

autofinanţare

V – IV a · *K X 0 + – 0 *K X = const *Dt

Sta ţ ionar ă prin autofi-nanţare pur ă (r > i)

VI – II a · *K XY Moderat + – 0 *K XY Min

Consolidare princredite şi autofinanţare

(r > i)

VII – I a · *K Y

a·γ· *K Y

= max ± + 0 *K Y

= const.*Dt

Sta ţ ionar ă prin credite

maxime (r < i)

unde:

*K Y = K

arg ⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

∂

∂a

K

R= γ·r + (r – γ )· ⎥

⎦

⎤i

*K YX = K

arg ⎢⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −

∂∂

a K

R= ⎥

⎦

⎤r

*K X = K

arg ⎢⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −

∂∂

a K

R= ⎥

⎦

⎤i

Din condiţiile de creditare (credite scumpe (r > i) sau ieftine (r < i)),se identifică două strategii optime:

Cazul 1. Credite ieftine (r < i)

Traiectoria staţionar ă optimă va fi drumul (VII), cu K t = *K Y = const.

În consecinţă, firma va adopta strategia:

a) dacă K 0 > *K Y , adică firma deţine la momentul iniţial un stoc al

bunurilor de capital (K 0) superior nivelului optim staţionar *K Y , se va aplica

o politică de descreştere (contracţie), urmând pe termen scurt (TS) drumuloptimal (III) – indiferent dacă creditele sunt ieftine sau scumpe, reducând

datoriile Yt ( tY& < 0), acceptându-se descreşterea capitalului social ( tX& < 0).

În concluzie, pe termen scurt, pe perioada t ∈ [0,τ37], firma trebuind să intreîntr-un proces de decapitalizare, urmând traiectoria optimă III, până atinge

nivelul optim *K Y , adică traiectoria optimă VII, moment notat τ37; acest

punct este momentul de comuta ţ ie de pe traiectoria III pe traiectoria VII(vezi figura 1). Algoritmul de determinare a momentului de comutaţie τij de pe traiectoria i pe traiectoria j va fi detaliat în paragraful următor.

b) dacă K 0 < *K Y , atunci pe termen scurt firma trebuie să aplice o politică optimală de creştere maximă (traiectoria II cu investiţie maximă posibilă prin sursele de autofinanţare proprii şi credite maxime) princreşterea capitalului ( *

t K & > 0) până la momentul τ27 când intr ă pe traiectoria

staţionar ă (VII) corespunzătoare nivelului *K Y al capitalului (vezi figura 1)şi apoi să urmeze traiectoria VII pe termen lung.

c) dacă K 0 = *K Y , atunci strategia optimă trebuie să fie traiectoriaVII, pe termen lung.

Cazul 2. Credite scumpe (r > i)

Problema este mai complicată, deoarece, după cum se evidenţiază întabloul sintetic de analiză, există două traiectorii optime staţionare(traiectoria V şi traiectoria VI).

Teoremă . Atâta timp cât r > i politica optimală de autofinanţare pur ă *K X (traiectoria V) este superioar ă politicii mixte ( *K YX ) de finanţare prin

credite şi autofinanţare (traiectoria VI)

*K t

*K t

t

K t

K 0

*K Y

K 0

ττ

III

II

VII

Figura 1. Strategii optime în condiţiile unor credite ieftine r < i

Demonstra ţ ie. Pe traiectoria V, a politicii de autofinanţare pur ă,

avem K

R

∂∂

( *K X ) = a + i iar pe traiectoria mixtă VI avem K

R

∂∂

( *K YX ) = a + r.

Cum r > i rezultă că a + r > a + i şi deci K

R

∂∂

(*

K YX ) > K

R

∂∂

(*

K X ). Conform

ipotezei veniturilor marginale descrescătoare ( K

R2

2

∂

∂< 0), din

K

R

∂∂

( *K YX ) >

K

R

∂∂

( *K X ) rezultă *K YX < *K X .

Analiza posibilităţilor de evoluţie pune în evidenţă combinarea politicilor II, III şi IV cu cele două traiectorii V şi VI, ca în figura 2, înfuncţie de starea iniţială K 0.

Se constată că:− dacă nivelul iniţial K 0 < *K YX , firma va aplica pe termen scurt

politica II de creştere prin autofinanţare şi credite maxime (chiar dacă în această conjunctur ă creditele sunt scumpe), până înmomentul τ26 de atingere a nivelului *K YX , când intr ă pe

politica VI, staţionar ă.

t

K t

K 0

*K X

K 0

ττ

III

II

V

Figura 2. Strategii optime în condiţiile unor credite scumpe r > i

IV IV IV K 0

*K YX

VI

ττ ττ τ

− dacă K 0 ∈ ( *K YX ,*K X ) firma va aplica pe termen scurt politica IV

de creştere maximă prin autofinanţare (f ăr ă credite), până înmomentul τ45 când trece pe politica staţionar ă V, tot cu

autofinanţare pur ă, dar cu investiţii de menţinere (I*

= a·*

K X ).− Dacă K 0 > *K X , firma va aplica pe termen scurt politica III de

contracţie (decapitalizare, cu investiţie nulă), până la momentulτ35, când trece pe politica staţionar ă V.

Vom demonstra în paragraful următor că, deşi politica VI estestaţionar ă, firma poate trece la anumite momente τ64 pe traiectoria decreştere prin autofinanţare IV, cu investiţie maximă, evidenţiindu-se, înfuncţie de starea iniţială K 0 strategiile:

VI → IV → VII → VI → IV → V

2.6 Analiza concatenarităţii traiectoriilor optime.

Determinarea momentelor de comutaţie τij

A. Cazul creditelor ieftine (r < i)

Pentru a găsi criteriile de concatenare a diverselor politici optimaleîntr-o strategie pe termen lung, vom folosi condiţiile de optim date de principiul lui Pontreaghin, care vor da informaţiile privind momentele decomutaţie de pe o traiectorie pe alta.

Din figura 1, pentru r < i, rezultă că trebuie să cercetămaccesibilitatea spre traiectoria VII a drumurilor II şi III.

Notăm cu −τij momentul intr ării de pe traiectoria i pe traiectoria j şi

cu +τij momentul plasării pe traiectoria j, unde −τij = +τij = τij.

Astfel, pe traiectoria VII avem µ7(t) > 0 oricare ar fi t ∈ [0,T], deciµ7(

+τi7 ) > 0, i = 2;3.

Din (SKT ) (17".a.VII) şi (17".b.VII), pe traiectoria VII, avem:

Ψ1(+τi7 ) = 1 – γ·µ1(

+τi7 )

Ψ2(+τi7 ) = (1 – γ)·µ1(

+τi7 ) > 0 (17'''.1)

a) Accesibilitatea de pe traiectoria II la traiectoria VII (strategia II → VII).

Din condiţiile K-T (17'.b.II) rezultă Ψ2(t) > 0, deoarece µ2(t) > 0 pe

traiectoria II, deci Ψ2(−τ27 ) > 0. Cum Ψ2(

−τ27 ) > 0 rezultă că traiectoria II

accede la traiectoria VII şi momentul de comutaţie de pe II pe VII estesoluţia ecuaţiei Ψ2(

−τ27 ) = Ψ2(+τ27 ), adică Ψ2(τ27)II = Ψ2(τ27)VII, unde ·II

şi ·VII arată pe ce traiectorie se calculează variabilele adjuncte Ψ2(t). Însă,aşa cum rezultă din analiza traiectoriilor, expresia analitică Ψ2(t) nu poate fideterminată analitic în anumite variante, în aceste cazuri folosirea ecuaţieiΨ2(τ27)II = Ψ2(τ27)VII fiind utilă numai dacă se operează cu traiectoriaΨ2(τ27)II determinată prin metode de aproximare.

Vom folosi din acest motiv o altă cale de determinare a momentuluide comutaţie, bazat pe observaţia că, dacă traiectoria i accede la traiectoria j,momentul de comutaţie τij este soluţia ecuaţiei:

K *(t)(i) = K *(t)(j) (23)

deci în cazul nostru K *(t)II = *K Y unde K *(t)II se calculează cu formula

K *(t) = *t X + *

t Y rezultată din sistemul (5.II) şi (4.II) şi *K Y = K *(t)VII este

traiectoria staţionar ă dată de (19".VII), soluţie a ecuaţiei:

t K R

∂∂– a = r·γ + (1 – γ)·i (19.VII)

Accesibilitatea (II → VII) este posibilă dacă K(t)II < *K Y . Cum

(t K

R

∂∂

↓) rezultă cerinţa:

(t K

R

∂∂

– a )II > γ·r + (1 – γ)·i (24')

Pentru evaluarea venitului marginal net pe traiectoria II, din (5.II) şi(4.II) rezultă:

)(t K & = )(t X & + )(t Y & = m·( R( K (t )) – a· K (t ) – r·Y (t )) +γ−

γ1

m·[ R( K (t )) –

−a· K (t ) – r·Y (t )] + a· X (t ) – a·Y (t ) =

=γ−1

m·[ R( K (t )) – a· K (t ) – r·Y (t )] +

γ−γ

1·a· X (t ) – a·Y (t ) (25)

Cum R( K (t ) este concavă monoton crescătoare rezultă că venitulmarginal este sub nivelul venitului mediu (vezi figura 3):

t K

R

∂∂

<t K

R(26)

(adică tg(α1) < tg(α2) ⇔ α1 < α2).

Consecin ţă : Între venitul net marginal şi venitul net mediu există

inegalitatea:

t K

R

∂∂

– a <t K

R– a (26')

adică:

K t ·(t K

R

∂∂

– a) < R – a·K t (26")

Obţinem:

R(K t) – a·K t > K t·(t K

R

∂

∂– a )

)'24(

> K t·(γ·r + (1 – γ)·i) > K t·r (26''')

ultima inegalitate rezultând din condiţia i > r (credite ieftine). Înlocuind în(25) deducem:

)(t K & >γ−1

1·[m·r(K t – Y (t )) + γ·a· X (t ) – (1 – γ)a·Y (t )] (25')

Dar )(t K & > 0 pe traiectoria II. Deducem rezultatul important:"O condiţie suficientă pentru îndeplinirea cerinţei (24) este ca raportul dintre

α1

α2

R(K(t))

R(K(t))

K(t)

K(t)

Figura 3

datoria firmei şi capitalul propriu să nu depăşească pragul de viabilitate a

firmei (h =( ) a

ar m

⋅γ−γ⋅+⋅

1):

t

t X

Y

< ( ) a

ar m

⋅γ−γ⋅+⋅

1 (27)

În concluzie, când K 0 < *Y K , în condiţiile creditelor ieftine (r < i),

traiectoria II accede (crescător) către traiectoria VII, atingând-o la momentulτ27, soluţie a ecuaţiei (23). Acelaşi comportament se găseşte pentru oricestare iniţială la un moment t0, cu condiţia ca la acest moment firma să seîncadreze în pragul de viabilitate (27).

b) Accesibilitatea traiectoriei VII de pe traiectoria III Este posibilă când K 0 > *

Y K , deoarece )*t K III ↓. Aceasta arată că:

(t K

R

∂∂

– a )III < γ·r + (1 – γ)·i (28)

deci venitul marginal net este redus; în aceste condiţii firma trebuie să apliceun program de contracţie (decapitalizare) până se atinge egalitatea:

(t K

R∂∂ – a )III = γ·r + (1 – γ)·i (29)

ecuaţie care dă soluţia t = τ37, adică momentul de trecere la politica VII.

Observa ţ ie: Analiza concatenărilor posibile prin evidenţiereacondiţiilor de realizabilitate a politicilor după cum creditele sunt ieftine(r < i) sau scumpe (r > i), care a dus la obţinerea doar a două variante posibile:

II → VIIIII → VII

poate fi suplinită prin analiza de concatenare a diverselor traiectorii,demonstrându-se imposibilitatea trecerii pe traiectoria VII de pe oricetraiectorie IV, V sau VI. Astfel:

− trecerea de pe traiectoria VI pe VII arată că Ψ2(−τ67 ) = 0, conform

(16'.b.VI) în contradicţie cu Ψ2(+τ67 ) > 0, conform (17'''.VII).

− trecerea de pe traiectoria V pe VII arată că Ψ2(−τ57 ) < 0, conform

(16'.b.V) în contradicţie cu Ψ2(+τ57 ) > 0, conform (17'''.VII).

− trecerea de pe traiectoria IV pe VII arată că Ψ2(−

τ47 ) < 0, conform(16'.b.IV) în contradicţie cu Ψ2(

+τ47 ) > 0, conform (17'''.VII).

B. Cazul creditelor scumpe (r > i)

Strategiile optime posibile sunt prezentate în figura 2. Cum politicileoptimale VII, VI şi V sunt staţionare, iese din discuţie posibilitatea

concatenării între acestea (deoarece * X K ≠ *

Y K ≠ * XY K ).

a) Accesibilitatea că tre traiectoria V , adică spre politica staţionar ă

cu autofinanţare pur ă, * X K .

a1) accesibilitatea de pe traiectoria II pe traiectoria V este imposibilă

deoarece pe traiectoria II avem Ψ2(t) > 0 oricare ar fi t > 0, deci Ψ2(−τ25 ) > 0

în contradicţie cu faptul că pe traiectoria V avem Ψ2(t) = – µ3(t) < 0 oricare

ar fi t > 0, conform (17'.V).

a2) accesibilitatea de pe traiectoria IV pe traiectoria V este posibilă dacă şi numai dacă:

*t K IV < *

X K (24.A.2)

deoarece pe traiectoria IV avem Ψ2(t) = – µ3(t) < 0 deci există t = τ45 astfel

încât Ψ2(−τ45 ) = Ψ2(

+τ45 ) . Evident t = τ45 este soluţia ecuaţiei *t K IV = *

X K .

a3) accesibilitatea de pe traiectoria III pe traiectoria V este posibilă

când K 0 > * X K , deoarece ( )*

t K III ↓.

3. Modelul van Hilten[30]

Unul dintre cele mai importante modele dezvoltate în literatura de

specialitate este acela în care firma este privită ca un sistem dinamic.Acest model analizează corelaţia dinamică dintre investiţiile f ăcutedin profiturile aduse de activele corporale, investiţiile f ăcute din credite şi politica de dividende a firmei, în condiţiile impozitului pe profit.


Ipoteza 1. Firma are o producţie omogenă, iar funcţia de producţieeste liniar ă:

Q(t ) = q K (t ) (1)unde:

- K (t ) sunt bunurile de capital, exprimate valoric. Se face ipoteza că o unitate de capital este egală cu o unitate monetar ă (s-a ales drept numerar unitatea de capital);

- Q(t ) reprezintă nivelul producţiei, exprimat valoric;

- q reprezintă productivitatea medie a capitalului, ct t K

t Qq ==

)(

)(.

Se presupune că productivitatea medie este egală cu productivitateamarginală, ipoteză din care rezultă funcţia de producţie liniar ă (1).

Toat ă produc ţ ia se presupune că se vinde, astfel încât stocul de

produc ţ ie finit ă este zero.

Ipoteza 2. Funcţia de vânzări S (Q(t )) este pozitivă, strict concavă şisatisface legea veniturilor descrescătoare la scala de fabricaţie:

S (Q(t )) = p(Q(t )) Q(t ) (2)

cu:- S (Q) - funcţia de venit;- p(Q(t )) - funcţia inversă a cererii (piaţa produsului finit este cu

competiţie imperfectă); 0))(( <′ t Q p

( )( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

>⇔><′′>′

00

0

0

QQS

QS

QS

(3)



Proprietăţile funcţiei de vânzări arată faptul că aceasta estecrescătoare în raport cu producţia şi cu randamente descrescătoare la scală.De asemenea, producţia nu poate fi negativă.

Ipoteza 3. Singurul input este constituit de bunurile capital.Deprecierea capitalului (amortizarea) este propor ţională cu valoareacapitalului aK (t ), a fiind rata de amortizare.

Venitul net din vânzări (profitul brut) este:

Π ( K (t )) =[ q· p(Q(t )) – a]· K (t ) (4)

Ipoteza 4. Singurul tip de active corporale ale firmei, bunurilecapital, pot fi finanţate din împrumuturi şi/sau acţiuni:

K (t ) = X (t ) + Y (t ) (5)

unde: X (t ) – valoarea acţiunilor;Y (t ) – valoarea creditelor (împrumuturilor).Se cunosc, de asemenea, valorile iniţiale ale capitalului ( K (0) = K 0),

acţiunilor ( X (0) = X 0) şi împrumuturilor (Y (0) = Y 0).

Ipoteza 5. Creşterea valorii totale a acţiunilor (a capitalului social) serealizează prin acumulări din profit.

( )& X t = E (t ) (6)

unde:- ( )& X t - creşterea valorii acţiunilor;

- E (t ) - partea din profit utilizat pentru creşterea valorii acţiunilor.Profitul poate fi utilizat pentru investiţii şi/sau pentru creşterea

valorii acţiunilor.

E(t) = (1 – f)·[Π(K(t)) – rY(t)] – D(t) (7)

unde:

− f rata de impozitare a profitului corporal;− r rata dobânzii;

− rY (t ) valoarea dobânzii;

− (1 – f )[ Π ( K (t )) – rY (t )] profitul net după impozitare şi platadatoriilor.

− D(t ) valoarea dividendelor;

− E (t ) acumulările din profit sunt partea care r ămâne din profiturile

corporale, după plata impozitului şi a dividendelor.



Ipoteza 6. Investiţiile nete sunt:

( ) )()( t aK t I t K −=& (8)unde:

I (t ) investiţia brută;aK (t ) deprecierea capitalului.

)()()( t Y t X t K &&& += relaţia de dinamică a balanţei. (9)

Ipoteza 7. Volumul creditului este restricţionat la o pondere dinvaloarea capitalului social:

Y (t ) ≤ k X (t ) (10)unde:

k = ponderea maximă a împrumutului.

Ipoteza 8. Costurile unitare depind de structura de finanţare:YX Y X N c N ,,; =

unde indicele N arată tipul de finanţare: N = X finanţarea din acţiuni (autofinanţare); N = Y finanţarea din împrumut maxim; N = YX finanţarea mixtă.

Ipoteza 9. Pentru demararea activităţii, venitul marginal în momentul

iniţial depăşeşte costul marginal (oricare dintre costurile unitare):max))((( 0 N

N t ct QS >′ =

S-a f ăcut ipoteza că costul unitar este egal cu costul marginal.

Ipoteza 10. Firma se dezvoltă numai dacă venitul net din vânzări este pozitiv:

0))(( ≥Π t K

Ipoteza 11. Piaţa financiar ă şi piaţa monetar ă se consider ă a fi două pieţe distincte, astfel încât preţurile pe cele două pieţe sunt diferite:

r f i )1( −≠ unde:

i este preţul pe piaţa financiar ă (considerat ca randament alacţiunilor) – dividendele care revin la o unitate monetar ă plătită de acţionari pe acţiuni; pentru firmă i este un cost, este costul unei acţiuni: firma trebuiesă asigure pentru fiecare unitate monetar ă plătită de acţionari pe acţiuni, orevenire i.



(1 – f )·r este costul unitar al creditului. Întrucât rata de impozitare seaplică după plata datoriilor, la o unitate monetar ă profit net (după impozitare), revine mai puţin de o unitate monetar ă dobândă. Este parteadintr-o unitate monetar ă de profit care revine pentru amortizarea creditului.

Ipoteza 12. Valoarea acţiunilor în momentul iniţial este strict pozitivă:

0)0( > X

Performan ţ a modelului: maximizarea valorii firmei calculată casumă de dividende actualizate pe intervalul [0, T ] şi a valorii reale finale acapitalului social.

Variabile de decizie (control):

I (t ) – investiţia brută; D(t ) – valoarea dividendelor.

Variabile de stare:

X (t ) – valoarea acţiunilor; K (t ) – valoarea bunurilor capital.

Variabile rezultative:

Y (t ) – volumul creditelor.


( ) ( )T X edt t DeiT

T

it

I D

−− +∫ 0

,max (11)

( ) ( )[ ] [ ] )())()(())(()1()()())((1.

t Dt X t K r t K f t Dt rY t K f t X −−−Π−=−−Π−= (12)

0)0(),()()( K K t aK t I t K =−=& (13)

)()1()()( t X k t K t X +≤≤ (14)max)(0 Dt D ≤≤ (15)

maxmin )( I t I I ≤≤ (16)


Pentru rezolvare va fi folosit principiul lui Pontreaghin pentru cazulcontinuu, în care se va ţine cont şi de faptul că funcţia obiectiv este cuactualizare.



1. Construim Hamiltonianul problemei:

( )t),t(),t(),t(D),t(I),t(X),t(K H 21 λλ =[ ] ))t(aK )t(I()t(D))t(X)t(K (r ))t(K ()f 1()t()t(D 21 −λ+−−−Π−λ+= (20)

2. construim Lagrangeanul problemei:

( )[ ]

( ) ( ) ( )( ) ( ))t(DD)t()t(D)t()t(II)t(

I)t(I)t()t(K )t(X)k 1()t()t(X)t(K )t(

))t(aK )t(I)(t()t(D))t(X)t(K (r ))t(K ()f 1()t()t(D

t),t(),t(),t(),t(),t(),t(),t(),t(),t(D),t(I),t(X),t(K L

max43max2

min121

21

43212121

−µ+µ+−µ++−µ+−+ν+−ν+

+−λ+−−−Π−λ+=

=µµµµννλλ

(21)

3. Sistemul canonic asociat problemei:

( ) 0

.

X)0(X),t(D))]t(X)t(K (r ))t(K ()[f 1(tX =−−−Π−=

0K )0(K ),t(aK )t(I)t(K =−=&

0)T(,)t()k 1()t()t(]r )f 1(i[)t(X

L)t(i)t( 121111 =λν+−ν+λ−−=

∂∂

−λ=λ& (22)

0)T(,)t()t()r ))t(K ()(f 1)(t()t()ai()t(K

L)t(i)t( 221K 1222 =λν−ν−−Π′−λ−λ+=

∂∂

−λ=λ& (23)

4. Condi ţ iile Kuhn – Tucker asociate problemei de maximizare ahamiltonianului pe mulţimea comenzilor posibile:

0)()()(0)(

)(212 =−+⇔=

⋅t t t

t I

Lµ µ λ

∂

∂ (24)

0)()()(10)(

)(431 =−+−⇔=

⋅t t t

t D

Lµ µ λ

∂

∂ (25)

[ ] 0)()( min1 =− I t I t (26)

[ ] 0)()( max2 =− t I I t µ (27)

0)()(3 =t Dt µ (28)[ ] 0)()( max4 =− t D Dt µ (29)

4,1 ,0)( =≥ it iµ (30)

[ ] 0)()()(1 =− t X t K t ν (31)

[ ] 0)()()1()(2 =−+ t K t X k t ν (32)

2,1 ,0)( =≥ it iν (33)



Eliminăm cazurile în care I (t ) şi D(t ) sunt pe limitele artificiale:

max

min

max

)(

)(

)(

Dt D

I t I

I t I

=

==

deci 0 )( )( )( 421 === t t t µ µ µ .

Înlocuind aceste valori în sistemul de condiţii Kuhn-Tucker şi ţinândcont şi de ecuaţiile sistemului canonic obţinem::

a) din relaţia (24) rezultă 0 )( 2 =t λ şi implicit 0 )( 2 =t λ & iar din relaţia(23):

[ ] ⇒+−−Π′⋅−−⋅+= )()())(()1)((0)(0 211 t t r t K f t ai K ν ν λ

[ ] )()())(()1)(( 121 t t r t K f t K ν ν λ −=−Π′⋅− (34)

b) din relaţia (25) rezultă )( 1 )( 31 t t λ += şi implicit )( )( 31 t t µ λ && = iar

din relaţia (22):

)( )1( )( ))( 1( )1( )( 2133 t kt t r f i t ν ν µ µ +−++−−=& (35)

Profitul marginal are forma:

a

t K

t K Q

t Q

S t aK t QS

t K t K

t K −

∂

∂⋅

∂

⋅∂=−

∂

∂=

∂

Π∂

)(

))( (

)(

)( )]( ))( ( [

)( )(

))( ( ⇔

⇔ a S q t K

t K Q −′⋅=

∂Π∂

)(

))( ( (36)

Vom elimina variabilele adjuncte din ecuaţiile de dinamică aleacestora rezultând o ecuaţie de dinamică a multiplicatorului )(3 t µ înlocuind

în (34) pe )(1)( 31 t t µ λ += şi rezultatul obţinut în (36) şi obţinem:

)( )( ] )[ 1 ))( ( 1( 123 t t r a S q f t Q ν ν µ −=−−′⋅−+ (37)

Utilizând relaţiile:

0 )( 2 =t λ (40) )( 1 )( 31 t t λ += (41)

0 )( )( )( 421 === t t t µ µ µ (46)

condi ţ iile de optim devin:

)( )1( )( ))( 1 ]( )1( [ )( 2133 t ν kt ν t µ r f i t µ +−++−−=& (38)



(t)-(t) )]( )[ 1 )( ( 1( 123 ν ν r a S q f t µ Q =+−′⋅−+ (39)

0 )( )( 3 =t Dt (44)

0 )]( )( )[ ( 1 =− t X t K t ν (48)

0 )]( )( )1 )[( ( 2 =−+ t K t X kt ν (49)

0 )( min >− I t I (42)0 )( max >− t I I (43)

0 )( 3 ≥t (45)

2,1 ,0 )( =≥ i t i ν (47)


Sistemul de ecuaţii de mai sus are 23 variante posibile, după variaţia(0;+) a celor trei multiplicatori µ 3, ν1, ν2, din care trei nu au soluţiiadmisibile.

Traiectorii neadmisibile

1) (+,+,+): Din 0)(1 >t ν şi 0)(2 >t ν rezultă )()( t X t K = şi

)()()1( t X t X k =+ de unde⎩⎨

⎧

=

=

0)(

0)(

t K

t X şi

⎩⎨

⎧

=

=

0)0(

0)0(

K

X în contradicţie cu

ipoteza X(0) > 0.

2) (0,0,0): 0)(3 =t µ implică 0)(3 =t µ & şi din (38) rezultă r f i )1( −=

în contradicţie cu ipoteza 11.

3) (0,+,+): Aceeaşi contradicţie ca în cazul 1).

Traiectorii de bază admisibile

Se obţin din tabelul:

Tr. Nr. )(3 t µ )(1 t ν )(2 t ν

1 + 0 +2 + 0 03 + + 04 0 + 05 0 0 +

Traiectoria 1 ( 0)(,0)(,0)( 213 >=> t t t ν ν µ )

Din 0 )( 3 >t rezultă 0 )( =t D deci nu se plătesc dividende (tot

profitul se reinveste şte).Din 0 )( 2 >t ν rezultă ( )( t kX t Y = adică împrumuturi maxime.

Din (39) rezultă )()](')[1))((1( 23 t r aqS f t q ν µ =+−−+ de unde

0)]('[ >+− r aqS q şi )( r aS q Q +>′ deci venitul marginal din vânzări este mai

mare decât costul marginal în cazul finanţării din împrumut maxim şiacţiuni.

YX Q c q

r a S =

+>′

)()()(

)(

)( t Q

t rK t aK

K

Q

r acYX

+=

⋅⋅

+=

Dacă notăm QYX * soluţia ecuaţiei S’ Q = cYX atunci pe traiectoria 1 S’ Q

este descrescătoare, deci Q(t) < QYX * deci producţia este mai mică decât

valoarea staţionar ă.Din relaţia:

Y (t ) = kX (t ) rezultă )()( t X k t Y && = şi prima ecuaţie de dinamică devine:

)]()())(()[1()( t rY t aK t QS f t X −−−=&

deci 0)( >t X & şi 0)( >t Y & adică pe traiectoria 1 ac ţ iunile cresc şi

împrumuturile cresc.Din 0)(3 >t µ rezultă că pentru a exista comutaţie la un moment τ, la

începutul şi la sfâr şitul traiectoriei 1, 0)(3

=t µ adică

0)(lim)( 33 ==<→

t t

t t

µ µ

τ τ

deci )(3 t µ este descrescătoare la sfâr şitul traiectoriei 1

( 0)(3 <t µ & ).

De asemenea, limita la dreapta 0)(lim)( 33 ==>→

t t

t t

µ µ

τ τ

deci )(3 t µ este

crescătoare la începutul traiectoriei 1 ( 0)(3 >t µ & ). Conform (38) avem

)()1()1()( 23 t k r f it ν µ +−−−=& şi cum 0)(3 >t µ & avem

0)()1()1( 2 >+−−− t k f i ν deci )()1()1( 2 t k r f i ν ++−> care implică r f i )1( −> rezultând că la începutul traiectoriei 1 ac ţ iunile sunt scumpe şi

creditele ieftine.

Traiectoria 2 ( 0)(,0)(,0)( 213 ==> t t t ν ν µ )

Din 0)(3 >t µ rezultă că 0)( =t D deci pe traiectoria 2 nu se pl ă tesc

dividende.Din 0)(1 =t ν rezultă că )()( t X t K > deci pe traiectoria 2 se fac

împrumuturi.Din 0)(2 =t ν rezultă că )()( t kX t Y < deci împrumuturile nu sunt la

maxim.Din relaţia (39) rezultă

0)()1)()(1(00

3

=+−′−+≠≠

r aS q f t Q43421

µ deci

0)(' =+− r aqS q sau YX Q c q

r a S =

+=′ de unde rezultă că traiectoria 2 este

staţionar ă:

Q(t) = *YX Q ,

q

Q K

YX YX

** = şi I(t) = a *

YX K .

În ceea ce priveşte posibilităţile de concatenare ale traiectoriei 2avem:

La începutul traiectoriei 2 avem 0)(3 >t µ & şi 0)(3 =t µ deci, conform

(38), r f i )1( −> adică ac ţ iunile sunt scumpe şi creditele ieftine; de aceea nuse plătesc dividende, iar împrumutul şi tot profitul se reinvesteşte.

La sfâr şitul traiectoriei 2 avem 0)(3 >t µ & şi 0)(3 =t µ deci, conform

(38), r f i )1( −< adică ac ţ iunile sunt ieftine şi creditele scumpe rezultând că pe traiectoria următoare se plătesc dividende.

Traiectoria 3 ( 0)(,0)(,0)( 213 =>> t t t ν ν µ )

Din 0)(3 >t µ rezultă 0)( =t D deci pe traiectoria 3 nu se pl ă tesc

dividende.Din 0)(1 >t ν rezultă )()( t X t K = deci pe traiectoria 3 nu se fac

împrumuturi.Din relaţia (39) avem:

)()]()[1))((1(13

t r aS q f t Q

ν µ −=+−′−+

care atrage 0)( <+−′ r aS q Q adică )( r aS q Q +<′ ⇔ YX Q cS <′ şi dacă *YX Q este soluţia ecuaţiei YX Q cS =′ vom avea Q(t) > *

YX Q , K(t) > K *YX deci

0)( >t K & adică capitalul cre şte pe traiectoria 3.

Faptul că nu se plătesc dividende atrage )(t X & > 0 deci ac ţ iunile

cresc pe traiectoria 3.În ceea ce priveşte posibilităţile de concatenare ale traiectoriei 3 avem:

La începutul traiectoriei 3 avem 0)(3 >t µ & şi 0)(3 =t µ deci, conform

(38), r f i )1( −> adică ac ţ iunile sunt scumpe şi creditele ieftine; de aceea nuse plătesc dividende, iar împrumutul şi tot profitul se reinvesteşte.

La sfâr şitul traiectoriei 3 avem 0)(3 >t µ & şi 0)(3 =t µ deci, conform

(38), r f i )1( −< adică ac ţ iunile sunt ieftine şi creditele scumpe rezultând că pe traiectoria următoare se plătesc dividende.

Traiectoria 4 ( 0)(,0)(,0)( 213 =>= t t t ν ν µ )

Din 0)(3 =t µ rezultă 0)( >t D deci pe traiectoria 4 se pl ă tesc

dividende.Din 0)(1 >t ν rezultă )()( t X t K = deci pe traiectoria 4 nu se fac

împrumuturi.

Din relaţia (39) rezultă )(])([)1( 1 t r aS q f Q ν −=+−′− ⇔ ⇔ ])([)1()(1

r aS q f t Q +−′−−=ν .

De asemenea, din 0)(3 =t µ rezultă )(3 t µ & şi relaţia (38) devine:

i – (1 – f )r + ν1(t ) = 0

şi înlocuind ν1(t ) cu valoarea sa obţinută anterior în relaţia (39) vom avea:

i – (1 – f )r = )]()[1( r aS q f Q +−′− ⇒

QS ′ = ⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛

−+

f ia

q 11 = c X

unde c X este costul unitar în cazul autofinanţării pure.Relaţia obţinută arată că pe traiectoria 4 venitul marginal din vânz ă ri

este egal cu costul marginal al finan ţă rii din ac ţ iuni (autofinanţării).Ecuaţia QS ′ = c X este o ecuaţie algebrică în Q(t ) care are ca soluţie o

funcţie de producţie constantă:

Q(t ) =

*

X Q ⇒ K (t ) =

*

X K ⇒ I *

= a

*

X K

deci traiectoria 4 este sta ţ ionar ă .

Cum ⇒⎭⎬⎫

==

0)(

0)(

t Y

t K

&

&)(t X & = 0 rezultă că valoarea ac ţ iunilor nu cre şte

pe traiectoria 4.Din relaţia (38):

i – (1 – f )r = -ν1(t ) < 0

rezultă i < (1 – f )r deci pe traiectoria 4 ac ţ iunile sunt ieftine şi creditele sunt

scumpe.

Traiectoria 5 ( 0)(,0)(,0)( 213 >== t t t ν ν µ )

Din 0)(3 =t µ rezultă 0)( >t D deci pe traiectoria 5 se pl ă tesc

dividende.Din 0)(1 =t ν rezultă )()( t X t K > deci pe traiectoria 5 se fac

împrumuturi.Din 0)(2 >t ν rezultă Y (t ) = kX (t ) deci pe traiectoria 5 se fac

împrumuturi la maxim.Din ecuaţia (39) avem:

)()]()[1( 2 t r aS q f Q ν =+−′−

care coroborat cu (38) şi )(3 t µ & = 0 care conduc la i – (1 – f )r = (1 + k )ν 2(t )obţinem:

QS ′ = ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

++

+ f

i

k r

k

k a

q 11

1

1

1= cY

unde cY este costul marginal al finanţării din împrumuturi maxime şi platadividendelor.

Relaţia obţinută arată că pe traiectoria 5 venitul marginal din vânz ă ri

este egal cu costul marginal al finan ţă rii din împrumut maxim şi platadividendelor .Cum ecuaţia QS ′ = cY este o ecuaţie algebrică în Q(t ) traiectoria 5 este

staţionar ă:

Q(t ) = *Y Q ⇒ K (t ) = *

Y K ⇒ I * = a *Y K , X (t ) =

1

*

+k

K Y , Y (t ) = k 1

*

+k

K Y

Din (38) şi ν 2(t ) > 0 rezultă i > (1 – f )r deci pe traiectoria 5 ac ţ iunile sunt

scumpe şi creditele sunt ieftine (se justifică împrumutul maxim şi plata

dividendelor).

3.5 Traiectorii finale

Pentru ca o traiectorie să fie finală trebuie să verifice condiţiile detransversalitate:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬⎫

≥=

∂∂

+∂∂

= ∑=

q jT T xh

T T xh x

T T xS x

t

j

j j

q

j

j

i

j

i

i

,10

0)),((

)),(()),(()(

*

1

**

γ

γ

γ λ

care în cazul nostru devin:

h1( X (T ),T ) = [ K (T ) – X (T )] ≥ 0

h2( X (T ),T ) = [(1 +k ) X (T ) – K (T )] ≥ 0S ( X (T ),T ) = X (T )

Variabilele de stare sunt:

X 1(t ) = X (T ) = valoarea acţiunilor X 2(t ) = K (T ) = valoarea capitalului

Condiţiile de transversalitate devin:

λ 1(T ) = 1 – γ 1 + (1 + k )γ 2 (52)

λ 2(T ) = γ 1 – γ 2 (53)γ 1,γ 2 ≥ 0 (54)γ 1[ K (T ) – X (T )] = 0 (55)γ 2[(1 +k ) X (T ) – K (T )] = 0 (56)

Din relaţiile (55) şi (56) rezultă că este imposibil cazul în care γ 1 > 0şi γ 2 > 0, întrucât aceasta ar însemna K (T ) = X (T ) şi (1 +k ) X (T ) – K (T ) = 0adică k = 0 în contradicţie cu ipoteza că firma poate face împrumuturi.

Din relaţia (53) rezultă λ 2(T ) = γ 1 – γ 2 şi conform (44) avem λ 2(T ) =

0. Ţinând cont de observaţia că nu pot fi ambele strict pozitive rezultă γ 1 =γ 2 = 0.Ştim că λ 1(t ) = 1 + µ 3(t ) deci µ 3(t ) = λ 1(t ) – 1 de unde:

µ 3(T ) = λ 1(T ) – 1 = – γ 1 + (1 + k )γ 2 = 0 ⇒ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

0)(

0)(

0)(

2

1

3

T

T

T

λ

λ

µ

Singurele traiectorii care satisfac aceste condiţii sunt:

Traiectoria 4, pe care i < (1 – f )r

Traiectoria 5, pe care i > (1 – f )r

Făcând un rezumat al rezultatelor obţinute avem:

TR

nr.

Structura

financiar ă

Nivelul

producţiei)(t X & )(t K & D(t )

Condiţii de

fezabilitate1 Y (t ) = k ⋅ X (t ) Q(t ) < *

YX Q + + 0 –

20 < Y (t ) <

k ⋅ X (t )Q(t ) = *

YX Q + 0 0 –

3 Y (t ) = 0 Q(t ) > *YX Q + + 0 –

4 Y (t ) = 0 Q(t ) = * X Q 0 0 + i < (1 – f )⋅r

5 Y (t ) = k ⋅ X (t ) Q(t ) = *Y Q 0 0 + i > (1 – f )⋅r

3.6 Costurile firmei

a) cY – costul finanţării din împrumut maxim

cY =q

1⋅ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⋅+

++

⋅+ f

i

kk

kr a

11

1

1

k

k

+1 → cota parte din împrumut pe o unitate de bun capital

Y (t ) = k ⋅ X (t ), K (t ) = (1 + k )⋅ X (t ) → )(

)(

t K

t Y

= k

k

+1 → Y (t ) = k

k

+1 ⋅ K (t )

r ⋅k

k

+1 → dobânda pe o unitate de bun capital

f

i

−1 → rata de revenire a acţionarilor, înainte de plata impozitului.

Dividendele se plătesc după impozitare ⇒ înainte de impozitare trebuie

inclusă în cost valoarea f

i

−1.

k +1

1 → partea dintr-o unitate monetar ă plătită pe acţiuni, care

revine la o unitate de bun capital. K (t ) = (1 + k )⋅ X (t ) → )(

)(

t K

t X =

k +1

1 ⇒

⇒ X (t ) =k +1

1 ⋅ K (t )



f

i

k −⋅

+ 11

1 → costul unei acţiuni (al dividendelor), pe o unitate de

bun capital.a – costul deprecierii capitalului

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⋅+

++

+ f

i

k r

k

k a

11

1

1= costul total care revine la o unitate de

bun capital.

q =)(

)(

t K

t Q

q

1⋅ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⋅+

++

+ f

i

k r

k

k a

11

1

1= costul total pe o unitate de produs finit.

Deci:

b) cYX = q

1

(a + r ) → costul finanţării mixte (toate profiturile sereinvestesc şi nu se plătesc dividende); finanţare din împrumut maxim şiacţiuni.

c) c X =q

1⋅ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

+ f

ia

1 → costul finanţării numai din acţiuni

(împrumuturile sunt zero şi se plătesc dividende).Pentru a obţine traiectoriile finale vom studia posibilităţile de

concatenare pornind de la sfâr şitul traiectoriei optime care se termină cu una

din traiectoriile 4 sau 5 şi vom studia posibilităţile de concatenare în aval deacestea.

Ş iruri de traiectorii optimale care se finalizeaz ă cu traiectoria 5

Condiţii pe care trebuie să le satisfacă predecesoarea:1) Pe traiectoria 5, Y (t ) = kX (t ) ⇒ la sfâr şitul predecesoarei Y (t ) = kX (t ),

2) Pe traiectoria 5, Q(t ) = *Y Q ⇒ la sfâr şitul predecesoarei Q(t ) = *

Y Q ,

3) Pe traiectoria 5, i > (1 – f )r ⇒ la sfâr şitul predecesoarei i > (1 – f )r ,4) Pe traiectoria 5, µ 3(t ) = 0 ⇒ la sfâr şitul predecesoarei µ 3(t ) = 0,

a → cost de producţie

Cost de finanţare

Pe acţiuni

Din împrumuturi r ⋅

cY include f

i

k −⋅

+ 11

1

k

k

+1

Din tabelul de mai jos:

Traiectoria Predecesor admisibil Cauza

1 DA satisface 1...42 NU nu satisface 23 NU nu satisface 14 NU nu satisface 3

rezultă că singura predecesoare posibilă este traiectoria 1.

Predecesorii traiectoriei 1

Cerinţele predecesoarei:

⎭

⎬⎫

==

0

0

Y

K

&

& → pe predecesoare K(t) şi Q(t) crescătoare;

Y (t ) = k ⋅ X (t ) → la sfâr şitul predecesoarei Y (t ) = k ⋅ X (t )Q(t ) < *

Y Q → pe traiectoria predecesoare Q(t ) < *Y Q

i > (1 – f )⋅r → i > (1 – f )⋅r

µ 3(t ) > 0 → 3µ (t ) = 0

Cum nici una dintre traiectorii nu verifică aceste condiţii rezultă că traiectoria 1 trebuie să fie cea iniţială, deci traiectoria totală care se termină cu traiectoria 5 va fi formată doar din traiectoria 5 sau din succesiunea de

traiectorii traiectoria 1 → traiectoria 5, varianta concretă depinzând decondiţiile iniţiale, aşa cum rezultă din tabelul de mai jos:

Condiţii iniţiale Traiectoria optimă Evoluţia capitalului

X (0) = *

)1(

1Y Q

qk ⋅+ 5 K (t ) =

q

1Q(t )

X (0) < *

)1(

1Y Q

qk ⋅+ 1 → 5

K (t ) = (1 + k )⋅ X (t ) → X (t ) =

k

t K

+1

)(= )(

)1(

1t Q

qk ⋅+

Ş iruri de traiectorii optimale care se finalizeaz ă cu traiectoria 4

Predecesorii traiectoriei 4:

TR 4 La sfârşitul predecesoarei

K (t ) = X (t ) → Y (t ) = 0 Y (t ) = 0

Q(t ) = * X Q Q(t ) = *

X Q

i < (1 – f )⋅r i < (1 – f )⋅r

µ 3( t ) = 0 3µ ( t ) = 0

Singura traiectorie care satisface simultan toate condiţiile estetraiectoria 3.


TR 3 La sfârşitul predecesoarei

Q(t ) > *YX Q Q(t ) = *

YX Q (pe toată traiectoria predecesoare)

i < (1 – f )⋅r i < (1 – f )⋅r

Y (t ) = 0 Y (t ) = 0

Singura traiectorie care satisface aceste cerinţe este traiectoria 2.


TR 2 La sfârşitul predecesoareiQ(t ) = *

YX Q Q(t ) < *YX Q

⎭⎬⎫

>=

0

0

X

K

&

&→ 0)( >t Y & i < (1 – f )⋅r

Singura traiectorie care satisface aceste cerinţe este traiectoria 1.

Cum s-a observat la cazul anterior că nici o traiectorie nu poate

precede traiectoria 1 rezultă că traiectoria totală care se termină cutraiectoria 4 este posibilă doar în cazul în care acţiunile sunt ieftine: i < (1 – f )⋅r şi, în funcţie de condiţiile iniţiale, poate fi doar una din tabelul de mai jos:

Condiţiile iniţiale Traiectoria optimală

X (0) = K (0) şi X (0) = (1/q)⋅ * X Q TR 4

X (0) = K (0) şi (1/q)⋅ *YX Q < X (0) < (1/q)⋅ *

X Q TR 3 → TR 4

K (0) = (1/q)⋅ *YX Q şi X (0) = (1/q)⋅ *

YX Q TR 2 → TR 3 → TR 4

K (0) = (1 + k )⋅ X (0) şi X (0) < *

)1(

1YX Q

k q + TR 1 → TR 2 → TR 3 → TR 4

Făcând un rezumat al rezultatelor obţinute privind forma traiectorieitotale optime putem reprezenta grafic evoluţia indicatorilor firmei petraiectoria optimă, aspectul acestuia depinzând de situaţia de pe piaţa

creditelor şi de condiţiile iniţiale.

Astfel:

I) dacă împrumuturile sunt ieftine la începutul traiectoriei (1 – f )⋅r < i,traiectoria optimă va fi cea din figura de mai jos:

Pentru ca această traiectorie să fie posibilă este necesar ca X (0) <

< *

)1(1 Y Q

qk + care rezultă din faptul că pe traiectoria 1 K (t ) < *Y K şi pe

traiectoria 5 Q(0) = q⋅(1 + k )⋅ X (0) care rezultă din faptul că K (t ) == (1 + k )⋅ X (t ).

Firma porneşte de la valorile iniţiale şi se dezvoltă întrucât )(t K & > 0,

)(t X & > 0, )(t Y & > 0, cu credite maxime, până în momentul în care QS ′ = cY ,

moment în care firma comută pe traiectoria staţionar ă.Pe traiectoria 1 venitul marginal din vânzări este mai mare decât

costul marginal în cazul finanţării din împrumut maxim.Vom ar ăta că această condiţie marginală implică faptul că venitul

marginal al unei acţiuni este mai mare decât costul marginal al unei acţiuni(dat de venitul minim i). Avem:

K ∂∂π

→ profitul marginal al bunurilor capital;

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+−

∂∂

r k

k

K 1

π → profitul marginal al bunurilor capital după plata

datoriilor către bancă;

Y (0)= k · X (0) K (0)=(1– k )· X (0)

Q(0)=q(1+k ) X (0)

cre ştere t 1,4 sta ţ ionare

D,K,Q,Y

T

*Y Q

*Y K

Y * = k ⋅ *

Y X

D t = D*

t

Traiectoria optimă în cazul creditelor ieftine

QY*

K Y*

Y*



(1 – f )⋅ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+−

∂∂

r k

k

K 1

π → profitul marginal al bunurilor capital după

plata datoriilor către bancă şi după impozitare;

Deoarece (1 + k ) poate fi privit ca un multiplicator al puterii decumpărare a capitalului social: întrucât K (t ) = (1 + k )⋅ X (t ), rezultă că ounitate monetar ă investită în capitalul social (pe acţiuni) este egală cu (1 + k )unităţi monetare de bunuri capital (datorită împrumutului) şi mai departe, că venitul marginal al unei acţiuni (al unei unităţi monetare investită în acţiuni)este egal cu (1 + k ) ⋅ venitul marginal al bunurilor capital (al unei unităţimonetare investită în bunuri capital), deci:

(1 + k )⋅ (1 – f )⋅

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+

−

∂

∂r

k

k

K 1

π → venitul marginal al unei acţiuni.

Pornind de la QS ′ > cY rezultă (1 + k )⋅ (1 – f )⋅ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+−

∂∂

r k

k

K 1

π > i,

unde i este costul marginal al acţiunii.Într-adevăr, din QS ′ > cY şi ţinând cont că cY =

=q

1⋅ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⋅+

++

+ f

i

k r

k

k a

11

1

1rezultă q⋅ QS ′ – a >

f

i

k r

k

k

−⋅

++

+ 11

1

1 şi

deoarece K ∂∂π

= q⋅ QS ′ – a avem succesiv: K ∂∂π

(1 + k ) > k ⋅r + f

i

−1 ⇒

⇒ K ∂∂π

(1 + k ) – k ⋅r > f

i

−1 ⇒ (1 + k )⋅ (1 – f )⋅ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

+−

∂∂

r k

k

K 1

π > i.

Dacă venitul marginal al acţiunii este mai mare decât costul marginalal acţiunii nu se plătesc dividende ( D(t ) = 0), acţionarii reinvestind toatecâştigurile până când nivelul producţiei Q(t ) ajunge la nivelul *

Y Q corespunzător profitului maxim.

Acţionarii nu vor spori capitalul peste valoarea*Y K , deoarece vascădea atât venitul marginal al acţiunii în raport cu costul său marginal, cât

şi venitul marginal din vânzări în raport cu costul marginal al producţiei.

Rezultă că ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==

0)(

0)(

t K

t X

&

&deci pe traiectoria 5 toate profiturile se împart

acţionarilor:

D(t ) = (1 – f )⋅[π( *Y K ) – r ⋅ *

Y Y ] = (1 – f )⋅[π( *Y K ) – r ⋅k ⋅ *

Y X ]

II) dacă ac ţ iunile sunt ieftine la începutul perioadei i < (1 – f )⋅r

Faţă de traiectoria totală care începe în condiţiile unor împrumuturiieftine în care se păstrează aceeaşi structur ă de finanţare pe întreg intervalul

[0, T ]: i > (1 – f )⋅r în cazul acestei traiectorii de magistrală se va schimbastructura de finanţare în timpul procesului de creştere.

Vom analiza mai jos evoluţia indicatorilor firmei aşa cum rezultă dingraficul de mai sus.

Traiectoria 1

Firma îşi demarează activitatea cu o valoare mică a capitaluluisocial:

X (0) <)1(

1

k q +*YX Q .

În ciuda creditelor scumpe, firma porneşte activitatea cu împrumutmaxim, datorită faptului că venitul marginal din vânzări este mai mare decâtcostul marginal al finanţării mixte (fiecare unitate de bun capital achiziţionatdin împrumut va aduce un profit pozitiv) deci firma investeşte la maxim din

împrumut şi câştig, rata de creştere a firmei fiind maximă.

Y *

K

*

t

T

sta ţ ionare t 3,4

cre ş tere t 2,3

consolidare t 1,2

cre ş tere O

k⋅ X 0 (1+k )⋅ X 0

q ⋅(1+k )⋅ X 0

Q*

QYX *

Q X *

(2) (3)

(4)

(1)

D,K,Q,Y

Traiectoria optimă în cazul creditelor scumpe

La începutul traiectoriei 1 avem Q(t ) < *YX Q deci QS ′ > cYX şi de aici

obţinem succesiv:

QS ′

> cYX = q

1⋅(a + r )

K π ′ = q⋅ QS ′ – a → QS ′ = ( K π ′ + a)⋅ q

1>

q

1⋅(a + r ) →

→ K π ′ > r → (1 – f )⋅ K π ′ > (1 – f )⋅r .

Deoarece (1 – f )⋅ K π ′ > (1 – f )⋅r rezultă că profitul marginal al unei

unităţi de bun capital este mai mare decât costul de finanţare, dacă

finanţarea s-ar face numai din împrumut (deci se justifică împrumutulmaxim) aşadar firma va atrage împrumut maxim pentru a-şi maximizavânzările.

Întrucât la începutul perioadei de studiu acţiunile sunt ieftine, firmava reinvesti toate câştigurile (acţionarii renunţă la dividende deoarece platalor ar însemna o pierdere pentru firmă).

Definim formula de pârghie (legătura cu efectul de levier):

R E = RT + ( RT – c)⋅ X

Y

unde:

R E = (1 + k )⋅ (1 – f )⋅ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+−

∂∂

r k

k

K 1

π este venitul marginal al acţiunii

RT = (1 – f )⋅ K π ′ este venitul marginal al capitalului după impozitare

c = (1 – f )⋅r este costul marginal al împrumutului

Dacă RT > c rezultă că X Y (ponderea împrumutului) trebuie să

crească pentru ca venitul marginal al acţiunii R E să crească.

Dacă RT < c rezultă că X

Y trebuie să scadă pentru ca R E să crească.

În cazul traiectoriei 1 avem RT > c, deci X

Y trebuie să crească.

Traiectoria 2

În momentul când Q(t ) a devenit egal cu *YX Q deci QS ′ = cYX

acţionarii au trei posibilităţi de împăr ţire a câştigurilor:

− să accepte plata dividendelor;− să le utilizeze pentru dezvoltare, caz în care firma va ajunge la un

volum al producţiei cu un venit marginal mai mic decât costulmarginal al împrumutului (1 – f )⋅r ;

− să utilizeze câştigurile pentru plata datoriilor către bănci (pentruamortizarea creditelor, economisind (1 – f )⋅r pentru fiecareunitate de capital împrumutat.

Deoarece i < (1 – f )⋅r , a treia variantă este cea mai economică aşadar până la momentul t 2,3 firma îşi achită toate datoriile, finalizând perioada de

consolidare.

Traiectoria 3

La sfâr şitul traiectoriei 2, după faza de consolidare, vom avea Q(t ) <

< * X Q deci S ′ (Q) > c X şi cum:

c X = q

1

⋅(a + f

i

−1 ) şi S ′ = q

1[ K π ′ + a]

rezultă succesiv:

q

1[ K π ′ + a] >

q

1⋅(a +

f

i

−1) ⇔

⇔ K π ′ > f

i

−1 ⇔

⇔ (1 – f )⋅ K π ′ > i deci venitul marginal al bunurilor capital este mai mare decât costulmarginal al bunurilor capital finanţate prin acţiuni. Din acest motiv petraiectoria 3 investiţia netă va fi f ăcută numai din acţiuni (autofinanţare).

După ce şi-a plătit toate datoriile firma începe o perioadă de creştere

pe traiectoria 3 prin autofinanţare, până când Q(t ) = * X Q , moment în care

începe traiectoria staţionar ă, pe care se plătesc dividende.



Traiectoria 4

Deoarece pe această traiectorie (1 – f )⋅ K π ′ = i rezultă că pe această traiectorie venitul marginal al capitalului este egal cu costul marginal în

cazul finanţării din acţiuni deci capitalul a atins valoarea maximă (pesteaceastă valoare firma ar lucra în pierdere) şi firma va începe să plătească dividende:

D(t ) = (1 – f )⋅π( * X K )




UUUNNN MMMOOODDDEEELLL DDDIIINNN A A A MMMIIICCC

DDDEEE CCCOOONNNDDDUUUCCCEEER R R EEE

OOOPPP T T TIIIMMM A A A LLL Ă Ă Ă A A A A A A CCC T T TIII V V V III T T T Ă Ă Ă ŢŢŢIIIIII FFFIIIR R R MMMEEEIII



Modelele analizate în capitolul precedent au o serie de limitări carefac ca aplicabilitatea lor în economie să se facă doar la un nivel orientativ iar în condiţiile României să fie practic inaplicabile. Dintre ipotezele foartegreu de susţinut într-o economie în tranziţie fac parte:

1. ipoteza constanţei parametrilor modelului, prin care este surprinsă influenţa mediului asupra evoluţiei firmei.

Astfel, aşa cum se vede în tabelul de mai jos, evoluţia ratei dobânzii(şi evident a ratei aşteptate a acţionarilor) şi a cotei de impozitare a profitului au avut fluctuaţii atât de mari în perioada 1994-1998 în Româniaîncât ipoteza că acestea sunt constante va duce evident la rezultate puternicdeviate de la evoluţia reală.

an 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

r(%) 3.8 23.4 43.6 58.9 91.4 48.6 55.8 63.7 51.1

f (%) variabil, funcţie de profit* 38 38 38 38 38

Cea mai naturală concluzie în acest caz este că, pentru o economie în

tranziţie, cei trei parametrii trebuie consideraţi ca fiind variabili în timp.2. faptul că 2 sau 3 indicatori pot descrie evoluţia unei firme sau

starea acesteia la un moment dat.În acest caz singura soluţie este să identificăm (pe baza evoluţiei

conturilor sau a balanţei contabile) care sunt indicatorii care influenţează semnificativ evoluţia firmei şi să ţinem cont de toţi aceştia în analiza firmei.

3. ipoteza că volumul producţiei depinde doar de mărimeacapitalului (chiar liniar în modelul van Hilten!), f ăr ă ca structura acestuia să

aibă influenţe semnificative asupra evoluţiei firmei. Rezolvarea este aceeaşica şi la ipoteza 2.

4. ipoteza că indicatorii firmei evoluează continuu.Această ipoteză atrage acceptarea unor ipoteze asupra modelului,

cerute de instrumentarul matematic disponibil, care pot denatura foarte multsituaţia reală existentă.

Cea mai la îndemână soluţie în acest caz este să consider ăm că evoluţia este discretă, caz în care putem renunţa la toate ipotezele de

* Vezi anexa II



regularitate impuse funcţiilor şi variabilelor din model şi (şi mai important) putem creea modele mult mai complicate (şi deci mult mai apropiate derealitate) având la dispoziţie metode algoritmice mult mai versatiledisponibile pentru acest caz.

Pornind de la considerentele de mai sus modelul care va fi expus încontinuare are ca scop să:

- îmbunătăţească performanţele modelelor expuse în capitolul precedent, prin:

- detalierea activităţii firmei apelând la mai mulţi indicatori pentru descrierea acesteia

- trecerea de la modelarea continuă la cea discretă

- păstreze un echilibru între:- nivelul de complexitate cerut de nivelul relevanţei

rezultatelor

- nivelul de simplitate cerut de instrumentarul matematicexistent

- constituie o simbioză între metodele matematice clasice deanaliză şi utilizarea calculatorului, în acest scop autorul scriind ocolecţie de softuri care să constituie o metodă rapidă de a obţine o

soluţie suficient de apropiată de soluţia optimă, atât în cazulmodelului propus în continuare cât şi pentru modelele dincapitolul anterior, pentru a putea face o comparaţie între acestea.

Ipotezele modelului

1. Firma are o producţie omogenă iar volumul producţiei depindeliniar de capitalul fix utilizat şi de capitalul circulant consumat în procesulde producţie:

Q(t ) = α· K F (t ) + β · K C (t )unde:- K F (t ) = bunurile capital fix exprimate valoric;- K C (t ) = bunurile capital circulant exprimate valoric;

- α = productivitatea medie a capitalului fix, α = )(t K

Q

F ∂∂

= ct.;

- β = productivitatea medie a capitalului circulant, β =)(t

K

Q

C ∂∂

= ct.;

Observa ţ ie: Dacă α = β obţinem funcţia de producţie utilizată înmodelul Van Hill în care am avea: q = α = β ;

Ca şi în modelul Van Hill vom presupune că toată producţia estescoasă imediat pe piaţă astfel încât stocul de produse finite este zero, situaţie

realistă în cazul unei firme de dimensiuni mici sau mijlocii care nu deţinemonopolul pe piaţa bunului vândut şi nu vinde produse de valoare foarte mare.

2. Încasările obţinute din vânzarea bunurilor produse vor fi egale cu:

V(t ) = p·Q(t )

cu p = ct., dacă firma îşi comercializează produsele pe o piaţă cu concurenţă perfectă sau:

V(t ) = p(Q(t ))·Q(t )

pe o piaţă cu concurenţă imperfectă.De asemenea vom presupune că funcţia de vânzări este pozitivă,

strict concavă şi satisface legea veniturilor descrescătoare la scala defabricaţie:

p’ (Q(t )) < 0 – în cazul competiţiei imperfecte preţul de vânzarescade odată cu creşterea producţiei care trebuie vândută;

V’ (Q(t )) > 0 – rezultă din legea funcţiei inverse a producţieidescrescătoare;

V”(Q(t )) < 0 – legea randamentelor la scar ă descrescătoare;V (Q(t )) > 0 ⇔ Q(t ) > 0 – preţul de vânzare este pozitiv;

3. Capitalul firmei este format din capitalul propriu ( K F (t ) + K C (t ))şi din capital împrumutat Y (t ):

K (t ) = K F (t ) + K C (t ) + Y (t )

Vom presupune cunoscute valorile celor trei componente laînceputul perioadei analizate: K F (0) = 0

F K , K C (0) = 0C K , Y (0) = Y 0.

4. Deprecierea capitalului este dată de amortizarea capitalului fix,care este presupusă propor ţională cu valoarea capitalului fix:

A(t ) = a· K F (t )

unde a este rata de amortizare şi de consumul de capital circulant necesar producţiei.

5. Venitul net din vânzări(profitul brut) este ceea ce r ămâne dinvenitul obţinut din vânzări după cheltuielile cu deprecierea capitalului:

∏ (t ) = V (t ) − a· K F (t ) − K C (t ) = p·(α· K F (t ) + β · K C (t )) − a· K F (t ) − K C (t )



6. Profitul net este partea din profit care r ămâne după plata

dobânzilor la credite şi impozitului pe profit:

E (t ) = (1 – f )·[p·(α· K F (t ) + β · K C (t )) − a· K F (t ) − K C (t ) – r·Y (t )]

7. Profitul net este utilizat fie pentru consum final (dividende, profitretras de proprietari etc.) fie pentru creşterea capitalului propriu, valoareacreşterii fiind egală cu partea din profitul net care nu este destinatconsumului final:

)(t K F & + )(t K C

& = E (t ) - D(t ) ⇔

)(t K F & + )(t K C

& = (1 – f )·[p·(α· K F (t ) + β · K C (t )) − a· K F (t ) − K C (t ) – r·Y (t )] − D(t )

unde:

- f = rata de impozitare a profitului;- r = rata dobânzii pe piaţa creditelor;- r·Y (t ) = dobânda la împrumuturile contractate;- D(t ) = consumul final (dividende, profit retras etc.)

8. Creşterea capitalului fix se realizează pe baza investiţiilor încapital fix care depăşesc valoarea depreciată a capitalului:

)(t K F & = I F (t ) − a· K F (t )

unde:- I F (t ) = investiţia brută în capital fix;- a· K F (t ) = deprecierea capitalului fix.

9. Creşterea împrumutului este datorată volumului creditelor contractate care depăşesc volumul ratelor plătite la creditele contractateanterior:

)(t Y & = F (t ) − b·Y (t )

unde:

- F (t ) = volumul împrumuturilor efectuate la momentul t ;- b = cota de rambursare anuală a datoriilor (amortismentul);Observa ţ ie: Vom considera că ipoteza Ludwig (a = b) este

îndeplinit ă doar cu totul întâmpl ă tor .

10. Se consider ă că o structur ă viabilă a capitalului firmei esteîndeplinită doar dacă volumul creditelor (capitalul împrumutat) nudepăşeşte o anumită pondere faţă de capitalul propriu:

0 ≤ Y (t ) ≤ k ·( K F (t ) + K C (t ))

unde:- k = ponderea maximă a împrumuturilor

11. Firma se dezvoltă numai dacă venitul net din vânzări este

pozitiv: ∏ (t ) = V (t ) − a· K F (t ) − K C (t ) ≥ 0

12. Piaţa financiar ă şi piaţa monetar ă sunt considerate pieţe distincte, preţurile celor două pieţe putând fi doar accidental (şi pe termen scurt)egale, astfel încât putem considera că:

i ≠ (1 – f )·r

unde:

- i = preţul pe piaţa financiar ă = randamentul unei unităţi monetareinvestite în firmă;- (1 – f )·r = costul unitar al creditului (pentru o unitate împrumutată

firma plăteşte atât dobânda la credit r dar nu mai plătesc impozitul f ·r pe care l-ar plăti la stat dacă ar utiliza pentru investiţii profitul propriu în loc de împrumut.

13. Volumul profitului destinat consumului final se consider ă a fi pozitiv (creşterea capitalului propriu se bazează doar pe profitul obţinut de

firmă) şi mai mic decât o valoare maximă considerată normală chiar încondiţiile unui profit foarte mare:

0 ≤ D(t ) ≤ Dmax

14. Volumul investiţiilor în capitalul fix trebuie să se încadrezeîntre limitele extreme I min şi I max:

I min ≤ I F (t ) ≤ I max

unde: I min < 0 < I max.

15. Pentru a primi împrumuturi firma trebuie să îndeplinească anumite criterii de creditare, legate de volumul împrumutului posibil decontractat:

0 ≤ F (t ) ≤ γ· I F (t )

unde:- γ = cota maximă a creditelor pentru investiţii (în funcţie de

facilităţile sistemului bancar).

16. Ţelul firmei este să maximizeze câştigul adus de firmă

proprietarilor calculat ca profitul total retras de proprietari plus valoareareală finală a capitalului propriu al firmei (sau valoarea obţinută prinvânzarea acestuia exprimat în preţuri curente):

)]()([)(0

T K T K edt t De C F

iT T

it ++ −−∫

în cazul continuu sau:

T

T

C

T

F T

t t

t

i

K K

i

D

)1()1(1 ++

++∑

=

în cazul discret unde:- T = durata normală de viaţă a firmei sau orizontul de timp viitor

analizat.Modelul va fi analizat în 4 variante:

a) cazul continuu în condiţii de concurenţă perfectă; b) cazul continuu în condiţii de concurenţă imperfectă;c) cazul discret în condiţii de concurenţă perfectă;d) cazul discret în condiţii de concurenţă imperfectă;

De asemenea, în final vor fi luate în considerare şi alte variante posibile de dezvoltare a modelului. Cele patru variante de mai sus alemodelului au forma matematică:

a) Cazul continuu în condiţii de concurenţă perfectă

D F I F ,,max )]()([)(

0T K T K edt t De C F

iT T

it ++ −−∫

)(t K F & + )(t K C

& = (1 – f )·[ p·(α· K F (t ) + β · K C (t )) − a· K F (t ) −

− K C (t ) – r·Y (t )] − D(t )

)(t K F

&

= I F (t ) − a· K F (t ))(t Y & = F (t ) − b·Y (t )

I min ≤ I F (t ) ≤ I max ; I min < 0 0



Deoarece din γ· I F (t ) ≥ F (t ) ≥ 0 rezultă evident I min ≤ I F (t ) această condiţie nu mai este efectivă şi va fi eliminată din sistem, prima şi a patracondiţie putând fi scrise împreună prin:

0 ≤ F (t ) ≤ γ· I F (t ) ≤ γ· I max Prin înlocuirea variaţiei capitalului fix în prima ecuaţie de stare a

sistemului obţinem:

I F (t ) − a· K F (t ) + )(t K C & = (1 – f )·[ p·(α· K F (t ) + β · K C (t )) − a· K F (t ) −

− K C (t ) – r·Y (t )] − D(t )⇔

)(t K C & = (1 – f )·[ p·(α· K F (t ) + β · K C (t )) − a· K F (t ) - K C (t ) – r·Y (t )] − D(t ) −

− I F (t ) + a· K F (t )⇔

)(t K C & = [(1 – f )· p·α – (1 − f )·a + a]· K F + [(1 – f )· p· β − (1 – f )]·

K C − (1 – f )·r ·Y (t ) − D(t ) − I F (t )⇔

)(t K C & = [(1 – f )· p·α + f ·a]· K F + (1 – f )·( p· β − 1)· K C − (1 – f )·r ·Y (t ) −

− D(t ) − I F (t )

Sistemul de ecuaţii de stare ale sistemului devine:

)(t K C & = [(1 – f )· p·α + f ·a]· K F (t ) + (1 – f )·( p· β − 1)· K C (t ) −

− (1 – f )·r ·Y (t ) − D(t ) − I F (t ))(t K F

& = I F (t ) − a· K F (t )

)(t Y & = F (t ) − b·Y (t )

acesta fiind un sistem de ecuaţii diferenţiale cu trei ecuaţii şi treinecunoscute cu coeficienţi constanţi, comenzile fiind I F (t ), F (t ) şi D(t ). Notând cu X(t ) vectorul format cu cele trei variabile de stare K F (t ), K C (t ) şi

Y (t ) şi cu U(t ) vectorul variabilelor de comanda I F (t ), F (t ) şi D(t ) putem scriesistemul de ecuaţii de stare sub forma matricială:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−

+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

⋅−−⋅+⋅⋅−−⋅⋅−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

)(

)(

)(

010

001

101

)(

)(

)(

00

00

)1()1()1()1(

)(

)(

)(

t D

t F

t I

t Y

t K

t K

b

a

r f a f p f p f

t Y

t K

t K F

F

C

F

C α β

&

&

&

sau:

)(t X & = A· X ( t ) + B·U ( t )



unde A şi B sunt matricele sistemului:

A =

⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

⋅−−−⋅⋅−⋅+⋅⋅−

b

a

r f p f a f p f

00

00

)1()1()1()1( β α

B =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−

010

001

101

Deoarece det( A) = a·b·(1 − f )[ )1()1( −⋅⋅− β p f ] ≠ 0 şi det ( B) = −1 ≠ 0sistemul este controlabil şi observabil, urmând să găsim acele comenzi careduc la maximizarea valorii firmei pe intervalul de timp analizat.

Pentru rezolvare, vom porni de la ultima formă a sistemului:

D F I F ,,max )]()([)(


iT T

it ++ −−∫


− (1 – f )·r ·Y (t ) − D(t ) − I F (t ))(t K F

& = I F (t ) − a· K F (t )

)(t Y & = F (t ) − b·Y (t )

F (t ) ≤ γ· I F (t ) ≤ γ· I max 0 ≤ Y (t ) ≤ k ·( K F (t ) + K C (t ))0 ≤ D(t ) ≤ Dmax

f , i, a, r , b, k , γ ∈ (0, 1)α, β , p > 0

Deoarece avem de rezolvat o problemă de control optimal vomaplica pentru rezolvare principiul lui Pontreaghin, obţinând succesiv:

a) Hamiltonianul problemei:

H ( K F (t ), K C (t ),Y (t ), I F (t ), F (t ), D(t ),λ 1(t ),λ 2(t ),λ 3(t )] == e

-it · D(t ) + λ 1(t )·[(1 – f )· p·α + f ·a]· K F (t ) + (1 – f )·( p· β − 1)· K C (t ) − − (1 – f )·r ·Y (t ) − D(t ) − I F (t ) + λ 2(t )·[ I F (t ) − a· K F (t )] + λ 2(t )·[ F (t ) − b·Y (t )]

Deoarece în expresia hamiltonianului apare factorul de actualizaree-it vom face schimbarea de variabilă:

ψ j(t ) = eit ·λ j(t ) j = 1,2,3



obţinând noile variabile adjuncte ψ j(t ) şi hamiltonianul modificat:~

( K F (t ), K C (t ),Y (t ), I F (t ), F (t ), D(t ),λ 1(t ),λ 2(t ),λ 3(t )) == D(t ) + ψ1(t )·[(1 – f )· p·α + f ·a]· K F (t ) + (1 – f )·( p· β - 1)· K C (t ) −

− (1 – f )·r ·Y (t ) − D(t ) − I F (t ) + ψ2(t )·[ I F (t ) − a· K F (t )] + ψ3(t )·[ F (t ) − b·Y (t )]

unde H ~

= eit · H .

Deoarece sistemul conţine şi restricţii momentane asupra variabilelor de stare şi de control vom construi lagrangeanul asociat problemei:

L( K F (t ), K C (t ), Y (t ), I F (t ), F (t ), D(t ), λ 1(t ), λ 2(t ), λ 3(t ), µ1(t ), µ2(t ), µ3(t ), µ4(t ), µ5(t ), µ6(t ), µ7(t )) =

= H ~

+ µ1(t )·[ I max − I F (t )] + µ2(t )·[γ· I F (t ) − F (t )] + µ3(t )·[k ·( K F (t ) + K C (t )) −

−Y (t )] + µ4(t )·Y (t ) + µ5(t )·[ Dmax − D(t )] + µ6(t )· D(t ) + µ7(t )· F (t )Sistemul de condiţii Kuhn-Tucker asociat problemei de maximizare

a hamiltonianului pe domeniul dat de restricţiile momentane ale sistemuluiîn variabilele de control va fi:

F I

L

∂∂

= 0 ⇔ − ψ1 + ψ2 − µ1 + γ· µ2 = 0

F

L

∂

∂= 0 ⇔ ψ3 - µ2 + µ7 = 0

D

L

∂∂

= 0 ⇔ 1 − ψ1 − µ5 + µ6 = 0

µ1·[ I max − I F ] = 0

µ2·[γ· I F − F ] = 0

µ3·[k ·( K F + K C ) − Y ] = 0

µ4·Y = 0

µ5·[ Dmax − D] = 0

µ6· D = 0

µ7· F (t ) = 0

µ j ≥ 0, I F , F , D ≥ 0



Avem de rezolvat un sistem algebric de 10 ecuaţii cu 10 necunoscute

( I F , F , D, µ j j=1..7) care implică discuţia a 27 = 128 variante, în funcţievalorile nule sau nu ale multiplicatorilor µ j.

Din acest sistem vom scoate variabilele de comandă I F , F , D în

funcţie de variabilele de stare K F , K C , Y şi variabilele adjuncte ψ j, j = 1,2,3:)(t I F = f 1( K F , K C ,Y , ψ j, j = 1,2,3)

)(t F = f 2( K F , K C ,Y , ψ j, j = 1,2,3))(t D = f 3( K F , K C ,Y , ψ j, j = 1,2,3)

după care vom rezolva sistemul canonic asociat problemei:

)(t K C & = [(1 – f )· p·α + f ·a]· K F (t ) + (1 – f )·( p· β − 1)· K C (t ) - (1 – f )·r ·Y (t ) −

− )(t D − )(t I F )(t K F

& = )(t I F − a· K F (t )

)(t Y & = )(t F − b·Y (t )

1ψ & (t ) = i·ψ1(t ) – )()(

~321 t

K

, D , F , I ,Y, ,K K H

C

F C F

∂

,,∂ ψ ψ ψ = i·ψ1(t ) –

− ψ1(t ) (1 – f )·( p· β − 1)

2ψ & (t )= i·ψ2(t ) – )()(

~321 t

K

, D , F , I ,Y, ,K K H

F

F C F

∂

,,∂ ψ ψ ψ = (i + a)·ψ2(t ) –

−ψ1(t )·[(1 – f )· p·α + f ·a]

3ψ & (t )= i·ψ3(t ) – )()(

~321 t

Y

, D , F , I ,Y, ,K K H F C F

∂

,,∂ ψ ψ ψ = (i + b)·ψ3(t ) +

+ψ1(t )·(1 – f )·r

cu condi ţ iile ini ţ iale: K C (0) = 0

C K ,

K F (0) = 0

F

K ,Y (0) = Y 0

şi condi ţ iile finale (de transversalitate):

ψ1(T ) = )()(

T K

K K

C

C F

∂

+∂= 1

ψ2(T ) = )()(

T K

K K

F

C F

∂

+∂= 1

ψ3(T ) = )()(

T

Y

K K C F

∂

+∂= 0



care se reduce la:

ψ1(T ) = 1, ψ2(T ) = 1, ψ3(T ) = 0

Revenind la sistemul Kuhn-Tucker asociat problemei de maximizare

a hamiltonianului pe mulţimea comenzilor admisibile, dintre cele 128 decazuri o parte pot fi eliminate din start ca neducând la o soluţie admisibilă.De exemplu, multiplicatorii µ3 şi µ4 nu pot fi simultan nenuli (ar rezulta cafirma are capital nul) şi nici multiplicatorii µ5 şi µ6 (ar rezulta ca dividendelemaxime sunt zero). De asemenea, nu pot fi simultan diferiţi de 0 indicatoriiµ1, µ2 şi µ7, deoarece ar rezulta că investiţia maximă posibilă este 0, astfel car ămân de discutat doar 63 cazuri:

µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6 7 Solu ţ ia

1 0 0 0 0 0 0 0 ψ1 = ψ2 = 1, ψ3 = 0, I F , F , D oarecare2 0 0 0 0 0 ≠0 0 ψ1 = ψ2, ψ3 = 0, D = 0, I F , F oarecare3 0 0 0 0 ≠0 0 0 ψ1 = ψ2, ψ3 = 0, D = Dmax, I F , F oarecare4 0 0 0 ≠0 0 0 0 ψ1 = ψ2 = 1, ψ3 = 0, I F , F , D oarecare, Y = 05 0 0 0 ≠0 0 ≠0 0 ψ1 = ψ2, ψ3 = 0, D = 0, I F , F oarecare, Y = 06 0 0 0 ≠0≠0 0 0 ψ1 = ψ2, ψ3 = 0, D = Dmax, I F , F oarecare, Y = 07 0 0 ≠0 0 0 0 0 ψ1 = ψ2 = 1, ψ3 = 0, I F , F , D oarecare, Y = k ·( K F + K C )8 0 0 ≠0 0 0 ≠0 0 ψ1 = ψ2, ψ3 = 0, D = 0, I F , F oarecare, Y = k ·( K F + K C )

9 0 0 ≠0 0 ≠0 0 0 ψ1 = ψ2, ψ3 = 0, D = Dmax, I F , F oarecare,Y = k ·( K F + K C )

10 0 ≠0 0 0 0 0 0 ψ1 = 1, F = γ· I F , D oarecare11 0 ≠0 0 0 0 ≠0 0 F = γ· I F , D = 012 0 ≠0 0 0 ≠0 0 0 F = γ· I F , D = Dmax

13 0 ≠0 0 ≠0 0 0 0 ψ1 = 1, F = γ· I F , D oarecare, Y = 014 0 ≠0 0 ≠0 0 ≠0 0 F = γ· I F , D = 0, Y = 015 0 ≠0 0 ≠0≠0 0 0 F = γ· I F , D = Dmax, Y = 016 0 ≠0≠0 0 0 0 0 ψ1 = 1, F = γ· I F , D oarecare, Y = k ·( K F + K C )

17 0 ≠0≠0 0 0 ≠0 0 F = γ· I F , D = 0, Y = k ·( K F + K C )18 0 ≠0≠0 0 ≠0 0 0 F = γ· I F , D = Dmax, Y = k ·( K F + K C )19≠0 0 0 0 0 0 0 ψ1 = 1, ψ3 = 0, I F = I max, D, F oarecare20≠0 0 0 0 0 ≠0 0 ψ3 = 0, I F = I max , D = 0, F oarecare

i ·ψ1( t ) – ψ1( t )·(1 – f )·( p· β - 1) = ( i + a )·ψ1( t ) – ψ1(

21≠0 0 0 0 ≠0 0 0 ψ3 = 0, I F = I max , D = Dmax, F oarecare22≠0 0 0 ≠0 0 0 0 ψ3 = 0, ψ1 = 1, I F = I max, D = 0, F oarecare23≠0 0 0 ≠0 0 ≠0 0 ψ3 = 0, I F = I max, D = 0, F oarecare, Y = 024≠0 0 0 ≠0≠0 0 0

ψ3 = 0, I F = I max, D = Dmax, F oarecare, Y = 0



25≠0 0 ≠0 0 0 0 0 ψ3 = 0, ψ1 = 1, I F = I max, Y = k ·( K F + K C ), D, F oarecare26≠0 0 ≠0 0 0 ≠0 0 ψ3 = 0, I F = I max, D = 0, F oarecare, Y = k ·( K F + K C )27≠0 0 ≠0 0 ≠0 0 0 ψ3 = 0, I F = I max, D = Dmax, F oarecare, Y = k ·( K F + K C )28≠0≠0 0 0 0 0 0 ψ1 = 1, I F = I max, F = γ· I F , D oarecare

29≠0≠0 0 0 0 ≠0 0 I F = I max, F = γ· I F , D = 030≠0≠0 0 0 ≠0 0 0 I F = I max, F = γ· I F , D = Dmax

31≠0≠0 0 ≠0 0 0 0 ψ1 = 1, I F = I max, F = γ· I F , D oarecare, Y = 032≠0≠0 0 ≠0 0 ≠0 0 I F = I max, F = γ· I F , D = 0, Y = 033≠0≠0 0 ≠0≠0 0 0 I F = I max, F = γ· I F , D = Dmax, Y = 034≠0≠0≠0 0 0 0 0 ψ1 = 1, I F = I max, F = γ· I F , D oarecare, Y = k ·( K F + K C )35≠0≠0≠0 0 0 ≠0 0 I F = I max, F = γ· I F , D = 0, Y = k ·( K F + K C )36≠0≠0≠0 0 ≠0 0 0 I F = I max, F = γ· I F , D = Dmax, Y = k ·( K F + K C )37 0 0 0 0 0 0 ≠0 ψ1 = ψ2 = 1, I F , F = 0, D oarecare

38 0 0 0 0 0 ≠0≠0 ψ1 = ψ2, D = 0, I F , F = 039 0 0 0 0 ≠0 0 ≠0 ψ1 = ψ2, D = Dmax, I F , F = 040 0 0 0 ≠0 0 0 ≠0 ψ1 = ψ2 = 1, F = 0, I F , D oarecare, Y = 041 0 0 0 ≠0 0 ≠0≠0 ψ1 = ψ2, D = 0, I F oarecare, F = 0, Y = 042 0 0 0 ≠0≠0 0 ≠0 ψ1 = ψ2, D = Dmax, I F oarecare, F = 0, Y = 043 0 0 ≠0 0 0 0 ≠0 ψ1 = ψ2 = 1, I F , F = 0, D oarecare, Y = k ·( K F + K C )44 0 0 ≠0 0 0 ≠0≠0 ψ1 = ψ2, D = 0, I F oarecare, F = 0, Y = k ·( K F + K C )45 0 0 ≠0 0 ≠0 0 ≠0 ψ1 = ψ2, D = Dmax, I F oarecare, F = 0, Y = k ·( K F + K C )46 0 ≠0 0 0 0 0 ≠0 ψ1 = 1, F = γ· I F = 0, D oarecare

47 0 ≠0 0 0 0 ≠0≠0 F = γ· I F = 0, D = 048 0 ≠0 0 0 ≠0 0 ≠0 F = γ· I F = 0, D = Dmax

49 0 ≠0 0 ≠0 0 0 ≠0 ψ1 = 1, F = γ· I F = 0, D oarecare, Y = 050 0 ≠0 0 ≠0 0 ≠0≠0 F = γ· I F = 0, D = 0, Y = 051 0 ≠0 0 ≠0≠0 0 ≠0 F = γ· I F = 0, D = Dmax, Y = 052 0 ≠0≠0 0 0 0 ≠0 ψ1 = 1, F = γ· I F = 0, D oarecare, Y = k ·( K F + K C )53 0 ≠0≠0 0 0 ≠0≠0 F = γ· I F = 0, D = 0, Y = k ·( K F + K C )54 0 ≠0≠0 0 ≠0 0 ≠0 F = γ· I F = 0, D = Dmax, Y = k ·( K F + K C )55≠0 0 0 0 0 0 ≠0 ψ1 = 1, I F = I max, D oarecare, F = 0

56≠0 0 0 0 0 ≠0≠0 I F = I max , D = 0, F = 057≠0 0 0 0 ≠0 0 ≠0 I F = I max , D = Dmax, F = 058≠0 0 0 ≠0 0 0 ≠0 ψ1 = 1, I F = I max, D = 0, F = 059≠0 0 0 ≠0 0 ≠0≠0 I F = I max, D = 0, F = 0, Y = 060≠0 0 0 ≠0≠0 0 ≠0 I F = I max, D = Dmax, F = 0, Y = 061≠0 0 ≠0 0 0 0 ≠0 ψ1 = 1, I F = I max, Y = k ·( K F + K C ), D, F = 062≠0 0 ≠0 0 0 ≠0≠0 I F = I max, D = 0, F = 0, Y = k ·( K F + K C )63≠0 0 ≠0 0 ≠0 0 ≠0 I F = I max, D = Dmax, F = 0, Y = k ·( K F + K C )



În continuare va fi analizat efectul rezultatului din fiecare caz asuprasistemului canonic asociat problemei de control optimal:


− (1 – f )·r ·Y (t ) − )(t D − )(t I F )(t K F

& = )(t I F − a· K F (t )

)(t Y & = )(t F − b·Y (t )

1ψ & (t ) = i·ψ1(t ) – ψ1(t )·(1 – f )·( p· β − 1)

2ψ & (t ) = (i + a)·ψ2(t ) – ψ1(t )·[(1 – f )· p·α + f ·a]

3ψ & (t ) = (i + b)·ψ3(t ) + ψ1(t )·(1 – f )·r

K C (0) = 0C K , K F (0) = 0 F K , Y (0) =Y 0

, ψ1(T ) = 1, ψ2(T ) = 1, ψ3(T ) = 0Deşi cele 6 ecuaţii se împart evident în două sisteme distincte, unul

format din primele trei ecuaţii şi conţinând ca variabile doar variabilele destare şi al doilea format din ultimele trei şi conţinând doar variabileleadjuncte, pentru rezultat fiind important evident doar primul, vom păstratotuşi şi ultimele ecuaţii deoarece sunt necesare în analiza soluţiei dinfiecare caz.

Vom analiza mai întâi cazurile în care una sau mai multe din

variabilele adjuncte ar fi constante.Astfel, dacă ψ1(t ) = const. = 1 din prima ecuaţie a variabilelor adjuncte rezultă că:

(1 – f )·( p· β − 1) = i

situaţie care este îndeplinită doar în cazuri cu totul particulare şi va fieliminată din analiză.

De asemenea, situaţia în care ψ1(t ) = ψ2(t ) ≠ 0 conduce la:

1ψ & (t ) = i·ψ1(t ) – ψ1(t )·(1 – f )·( p· β − 1)

1ψ & (t ) = (i + a)·ψ1(t ) – ψ1(t )·[(1 – f )· p·α + f ·a]

şi egalând termenii din stânga obţinem succesiv:

t )·[(1 – f )· p·α + f ·a] ⇔ ⇔ i – (1 – f )·( p· β − 1) = (i + a) – [(1 – f )· p·α + f ·a] ⇔

⇔ (1 – f )·( p· β – 1) = (1 – f )·( p·α – a) ⇔ ⇔ p· β – 1 = p·α – a ⇔

⇔ p =α β −

− a1



Soluţia este admisibilă doar dacă β > α (productivitatea capitalului

circulant este mai mare decât productivitatea capitalului fix) şi este deasemenea un caz cu totul întâmplător, putând fi eliminate din analizeleulterioare.

Situaţia ψ3(t ) = 0 atrage după sine succesiv ψ2(t ) = 0 şi ψ1(t ) = 0 careeste în contradicţie cu condiţiile finale ψ1(T ) = 1, ψ2(T ) = 1.

Variantele 11 şi 12 conduc la sistemul de condiţii:

– ψ1 + ψ2 + γ· µ2 = 0ψ3 - µ2 = 01 – ψ1 + µ6 = 0

la varianta 11 şi:

– ψ1 + ψ2 + γ· µ2 = 0ψ3 – µ2 = 01 – ψ1 - µ5 = 0

la varianta 12.În ambele variante, eliminând µ2 din primele două ecuaţii obţinem:

– ψ1 + ψ2 + γ·ψ3 = 0 ⇔ ψ1 = ψ2 + γ·ψ3 ⇒ 1ψ & (t) =

2ψ & (t) + γ·3ψ & (t)

Înlocuind derivatele variabilelor adjuncte din sistemul canonic înrelaţia de mai sus obţinem:

i·ψ1(t ) – ψ1(t )·(1 – f )·( p· β – 1) = (i + a)·ψ2(t ) – ψ1(t )·[(1– f )· p·α + f ·a] ++ γ·[(i + b)·ψ3(t ) + ψ1(t )·(1– f )·r ] ⇔

⇔ [i – (1 – f )·( p· β – 1) + (1 – f )· p·α + f ·a – γ·(1 – f )·r ]·ψ1 = (i + a)·ψ2 ++γ·(i + b)·ψ3

Combinând această relaţie cu cea rezultată din sistemul de condiţiiKuhn-Tucker obţinem relaţiile:

a = b

p·(α – β ) = a + γ·r – 1

care reprezintă de asemenea o situaţie total particular ă şi vor fi eliminate dinanaliză.



Din cele de mai sus rezultă că este suficient să analizăm doar sistemul format din primele ecuaţii ale sistemului canonic (care va fi numitîn continuare sistemul canonic redus) pentru variantele:

Solu ţ ia

1 F = γ· I F , D = 0, Y = 02 F = γ· I F , D = Dmax, Y = 03 F = γ· I F , D = 0, Y = k ·( K F + K C )4 F = γ· I F , D = Dmax, Y = k ·( K F + K C )5 I F = I max, F = γ· I F , D = 06 I F = I max, F = γ· I F , D = Dmax

7 I F = I max, F = γ· I F , D = 0, Y = 0

8 I F = I max, F = γ· I F , D = Dmax, Y = 09 I F = I max, F = γ· I F , D = 0, Y = k ·( K F + K C )10 I F = I max, F = γ· I F , D = Dmax, Y = k ·( K F + K C )11 F = γ· I F = 0, D = 012 F = γ· I F = 0, D = Dmax

13 F = γ· I F = 0, D = 0, Y = 014 F = γ· I F = 0, D = Dmax, Y = 015 F = γ· I F = 0, D = 0, Y = k ·( K F + K C )16 F = γ· I F = 0, D = Dmax, Y = k ·( K F + K C )

17 I F = I max , D = 0, F = 018 I F = I max , D = Dmax, F = 019 I F = I max, D = 0, F = 0, Y = 020 I F = I max, D = Dmax, F = 0, Y = 021 I F = I max, D = 0, F = 0, Y = k ·( K F + K C )22 I F = I max, D = Dmax, F = 0, Y = k ·( K F + K C )

Analiza traiectoriilor

Traiectoria 1 ( F = γ· I F , D = 0, Y = 0)Sistemul canonic redus devine:

)(t K C & = [(1 – f )· p·α + f ·a]· K F (t ) + (1 – f )·( p· β − 1)· K C (t )

)(t K F & = − a· K F (t ) ⇒ K F (t ) = 0

F K ·e-a·t

)(t I F = 0

Din a treia ecuaţie rezultă că firma nu are datorii (Y = 0), nu se facinvestiţii ( I F (t ) = 0), nu se plătesc dividende (nu se retrag bani din firmă)



( D = 0) şi are loc o restructurare a activităţii firmei prin scăderea puternică acapitalului fix al firmei:

K F (t ) = 0 F K ·e-a·t → 0

în favoarea unei creşteri a capitalului circulant: K C (t ) = 0

C K + [(1 – f )· p·α + f·a]· 0 F K ·(1 + e-a·t )e(1 – f)·(p·β - 1)·t → ∞.

Traiectoria poate fi traiectorie iniţială doar dacă Y 0 = 0.Valoarea maximă a valorii firmei va fi dată de valoarea finală

actualizată a capitalului propriu al firmei.

Traiectoria 2 ( F = γ· I F , D = Dmax, Y = 0)

Sistemul canonic redus devine:

)(t K C & = [(1 – f )· p·α + f ·a]· K F (t ) + (1 – f )·( p· β − 1)· K C (t ) – Dmax

)(t K F & = − a· K F (t ) ⇒ K F (t ) = 0

F K ·e-a·t

)(t I F = 0

Din a treia ecuaţie rezultă că firma nu are datorii (Y = 0), nu se facinvestiţii ( I F (t ) = 0), se plătesc dividende la maxim (se retrag bani din firmă la maxim) ( D = Dmax) şi are loc o restructurare a activităţii firmei prinscăderea puternică a capitalului fix al firmei:

K F (t ) = 0 F K ·e-a·t → 0

în favoarea unei creşteri accelerate a capitalului circulant:

K C (t ) = 0C K + [(1 – f )· p·α + f ·a]· 0

F K ·(1 + e-a·t ) – t·Dmaxe(1 – f )·( p· β - 1)·t → ∞.

Traiectoria poate fi traiectorie iniţială doar dacă Y 0 = 0.Valoarea maximă a valorii firmei va fi:

i

1·(1 – e-iT )· Dmax + [ K F (T ) + K C (T )]·e-iT

Traiectoria 3 ( F = γ· I F , D = 0, Y = k ·( K F + K C ))



− (1 – f )·r ·k ·( K F + K C ) − I F (t ))(t K F

& = I F (t ) − a· K F (t )

k ·( )(t K F

&

+ )(t K C

&

) = γ· I F (t ) − b·k ·( K F + K C )



În acest caz sistemul s-a redus la trei ecuaţii cu trei necunoscute K F (t ), K C (t ), I F (t ) din care doar K F (t ) şi K C (t ) apar derivate în ecuaţii.Înlocuind derivatele capitalului fix şi capitalului circulant din primele două ecuaţii în a treia ecuaţie obţinem ecuaţia:

k ·[(1 – f ) p·α + f ·a]· K F (t ) + (1 – f )·( p· β − 1)· K C (t ) − (1 – f )·r ·k ·( K F (t ) + K C (t )) − − a· K F (t ) = γ· I F (t ) − b·k ·( K F (t ) + K C (t ))

din care vom afla valoarea investiţiei f ăcute de firmă I F (t ) în funcţie devalorile capitalului fix şi circulant:

I F (t ) = k ·[(1 – f )· p·α + f ·a]· K F (t ) + (1 – f )·( p· β – 1)· K C (t ) – – (1 – f )·r ·k ·( K F (t ) + K C (t )) – a· K F (t ) + b·k ·( K F (t ) + K C (t )) / γ

După înlocuirea expresiei investiţiei I F (t ) obţinută mai sus în primeledouă ecuaţii se obţine un sistem de două ecuaţii cu coeficienţi constanţi:

)(t K C & = [(1– f )( p β – 1 – rk )(1 –

γ

k ) –

γ

kb]· K C (t ) +

+[(1– f )( pα – rk – a) (1 – γ

k ) –

γ

bk + a]· K F (t )

)(t K F & = k

γ

β b1)-pf)(-rk -(1 ++ K C (t ) +

+ [k

γ

α brk)-a-f)(p-(1 +– a]· K F (t )

şi condiţiile iniţiale K C (0) = 0C K , K F (0) = 0

F K din care vom scoate evoluţiile

capitalului fix K F (t ) şi a celui circulant K C (t ), apoi valoarea investiţiei I F (t ) şia împrumutului F (t ).

Evoluţia capitalului va depinde evident de valorile proprii alematricei sistemului de mai sus v1 şi v2 şi valoarea firmei va fi dată doar devaloarea finală actualizată a capitalului total.

În acest caz firma face împrumuturi la maxim F = γ· I F , nivelul

capitalului împrumutat este maxim Y = k ·( K F + K C ) şi nu plăteşte dividende.Traiectoria poate fi traiectorie iniţială doar dacă Y

0 = k ·( 0 F K + 0

C K ).

Valoarea maximă a valorii firmei va fi dată de valoarea finală actualizată a capitalului propriu al firmei.

Traiectoria 4 ( F = γ· I F , D = Dmax, Y = k ·( K F + K C ))

Rezolvarea în acest caz este asemănătoare cu cea de la traiectoria 3,singura diferenţă constând în faptul că în sistemul din care vor fi aflateevoluţiile capitalului vom avea şi D = Dmax.

capitalului împrumutat este maxim Y = k ·( K F + K C ) şi plăteşte dividende lamaxim.

Traiectoria poate fi traiectorie iniţială doar dacă Y 0 = k ·( 0

F K + 0C K ).

Valoarea maximă a valorii firmei va fi:

i


Traiectoria 5 ( I F = I max, F = γ· I max, D = 0)

Sistemul canonic devine:


− (1 – f )·r ·Y (t ) - I max )(t K F

& = I max - a· K F (t )

)(t Y & = γ· I max - b·Y (t )

Din a doua ecuaţie (liniar ă în K F (t )) vom scoate evoluţia capitalului fix:

K F (t ) =a

I max + ( 0 F K −

a

I max )·e-a·t

În funcţie de valoarea iniţială a capitalului fix, a valorii maxime

posibile a investiţiei I max şi a ratei de amortizare a putem avea:

1. O evoluţie descrescătoare asimptotic sprea

I max pentru 0 F K −

a

I max > 0;

2. O evoluţie constantă K F (t ) =a


a

I max = 0;

3. O evoluţie crescătoare asimptotic sprea


a

I max < 0

Din a treia ecuaţie (liniar ă în Y (t )) vom scoate evoluţia capitalului fix:

Y (t ) =b

I max⋅γ + (Y 0 −

b

I max⋅γ )·e-b·t

În funcţie de valoarea iniţială a datoriei firmei Y 0, a valorii maxime posibile a investiţiei I max, a ratei de înapoiere a debitelor b şi a cotei maximea împrumuturilor din valoarea investiţie γ putem avea pentru evoluţiadatoriei firmei:

1. O evoluţie descrescătoare asimptotic spreb

I max⋅γ pentru Y 0 −

b

I max⋅γ > 0;



Pe această traiectorie firma plăteşte dividende la maxim(retrage bani

la maxim), face investiţii şi împrumuturi la maxim şi are o evoluţie destabilizare a valorii capitalului fix şi a datoriei firmei.


i


Traiectoria 7 ( I F = I max, F = γ· I max, D = 0, Y = 0)

În acest caz ecuaţia de dinamică a datoriei firmei devine:

0 = γ· I max + 0

de unde rezultă I max = 0 în contradicţie cu ipoteza I max > 0 deci traiectoria nu

este admisibilă.

Traiectoria 8 ( I F = I max, F = γ· I max, D = Dmax, Y = 0)


0 = γ· I max + 0

de unde rezultă I max = 0 în contradicţie cu ipoteza I max > 0 deci traiectoria nueste admisibilă.

Traiectoria 9 ( I F = I max, F = γ· I max, D = 0, Y = k ·( K F + K C ))Sistemul canonic devine:

)(t K C & = [(1 – f )· p·α + f ·a]· K F (t ) + (1 – f )·( p· β - 1)· K C (t ) −

− (1 – f )·r ·Y (t ) - I max )(t K F

& = I max − a· K F (t )

)(t Y & = γ· I max − b·Y (t )

La acest sistem se adaugă şi ecuaţia: Y (t ) = k ·( K F (t ) + K C (t ))Derivând ecuaţia suplimentara şi înlocuind derivatele funcţiilor cu

expresiile lor din sistemul canonic obţinem:

γ· I max − b·Y (t ) = k · I max − a· K F (t ) + [(1– f )· p·α + f ·a]· K F (t ) ++ (1– f )·( p· β − 1)· K C (t ) − (1 – f )·r ·Y (t ) − I max

⇔ γ· I max − b·Y (t ) = k ·(1 – f )·( p·α − 1)· K F (t ) + (1 – f )·( p· β − 1)· K C (t ) −

− (1 – f )·r ·Y (t )⇔



γ· I max - b·k ·( K F (t ) + K C (t ))= k ·(1– f )·( p·α −1)· K F (t ) + (1 – f )·( p· β − 1)· K C (t ) − − (1 – f )·r ·k ·( K F (t ) + K C (t ))

⇔ γ· I max + k ·(r ·k·(1 − f ) - b)·[ K F (t ) + K C (t )] = k ·(1 – f )·[( p·α −1)· K F (t ) +

+ ( p· β − 1)· K C (t )]⇔

K F (t ) = --f)-b )( (rk-pα

-f)-b )( (rk-p β

11

11

++

· K C (t ) - γ·-f)-a) )( k((rk-pα

I

11max

+

De aici rezultă:

Y(t) =-f)-b )( (rk-pα

-f)kp(ß-a)(

11

1

+·K C(t) − γ·

-a-f rk-pα

I

)1)(1(max

+

şi revenind la sistemul canonic ultimele două ecuaţii de dinamică devindouă ecuaţii în K C (t ):

)(t K C & = − a· K C (t ) - I max·

])1)(1[(

a])1)(1([

-b-f rk-p β k

-b-f rk-pk

+++ γ α

)(t K C & = − b· K C (t ) + γ· I max·

)(

1

α β

α

−+−

pk

prk

Sistemul celor două ecuaţii cu o necunoscută are soluţie doar dacă:

a = b şi p =1)-(f

a1)-rk(f

α

+sau a = b şi p = -γ·

γβ α β −−+)(

1rk

k

Deşi cazul este cu totul particular el este interesant deoareceaminteşte de modelul Ludwig ( Ipoteza Ludwig : a = b).

De asemenea, în acest caz se observă că nivelul capitalului fix este îndependenţă liniar ă cu capitalul fix (structura producţiei se păstrează).

Pe această traiectorie se fac investiţii şi împrumuturi la maxim, nu se plătesc dividende şi nivelul datoriei este maxim. Firma este într-o perioadă de creştere rapidă a capitalului propriu.

Traiectoria poate fi traiectorie iniţială doar dacă Y 0 = k ·( 0

F K + 0C K ).


[ K F (T ) + K C (T )]·e-iT

Traiectoria 10 ( I F = I max, F = γ· I max, D = Dmax, Y = k ·( K F + K C ))

Discuţia este aceeaşi cu cea de la traiectoria 9 cu diferenţa că în acestcaz se plătesc dividende, expresia acestora influenţând doar evoluţia

capitalului circulant.



De asemenea, şi în acest caz nivelul capitalului fix este în

dependenţă liniar ă cu capitalul fix (structura producţiei se păstrează).Pe această traiectorie se fac investiţii şi împrumuturi la maxim, se

plătesc dividende la maxim şi nivelul datoriei este maxim. Firma este într-o

perioadă de creştere rapidă a capitalului fix şi a nivelului datoriei în paralelcu o evoluţie lentă a capitalului circulant.

Traiectoria poate fi traiectorie iniţială doar dacă Y 0 = k ·( 0 F K + 0

C K ).


i


Traiectoria 11 ( F = γ· I F = 0, D = 0)



− (1 – f )·r ·Y (t ))(t K F

& = −a· K F (t )

)(t Y & = −b·Y (t )

Din ultimele două ecuaţii se obţin imediat evoluţiile capitalului fix şidatoriei firmei:

K F(t) = 0 F K ·e-a·t

Y(t) = Y0·e-b·t

iar după înlocuirea acestora în prima ecuaţie ecuaţia de dinamică acapitalului circulant:

)(t K C & = (1 – f )·( p· β - 1)· K C (t ) + [(1 – f )· p·α + f ·a]· 0

F K ·e-a·t − (1 – f )·r ·Y 0·e-b·t

care este o ecuaţie liniar ă cu soluţia:

K C (t ) = ∫ ⋅−⋅⋅−−⋅t p f d e R0

)1()1()( τ τ τ β ·e(1 – f )·( p· β - 1)·t

unde:

R(τ ) = [(1 – f )· p·α + f ·a]· 0 F K ·e-a·τ − (1 – f )·r ·Y 0·e-b·τ

Pe această traiectorie firma nu face investiţii, nu face împrumuturi,nu plăteşte dividende, are loc o scădere a capitalului fix în paralel cueliminarea rapidă a datoriilor, evoluţia capitalului circulant depinzând de

parametrii sistemului.



Valoarea finală a firmei va fi dată de valoarea finală actualizată acapitalului propriu.

Traiectoria 12 ( F = γ· I F = 0, D = Dmax)



− (1 – f )·r ·Y (t ) − Dmax

)(t K F & = −a· K F (t )

)(t Y & = −b·Y (t )


K F(t) = 0 F K ·e-a·t

Y(t) = Y0·e-b·t


)(t K C & = (1 – f )·( p· β − 1)· K C (t ) + [(1 – f )· p·α + f ·a]· 0

F K ·e-a·t −

− (1 – f )·r ·Y 0

·e-b·t

− Dmax care este o ecuaţie liniar ă cu soluţia:

K C (t ) = ∫ ⋅−⋅⋅−−⋅t

p f d e R 0

11 τ τ τ β )( )( )( ·e(1 – f )·( p· β - 1)·t

unde:

R(τ ) = [(1 – f )· p·α + f ·a]· 0 F K ·e-a·τ − (1 – f )·r ·Y

0·e-b·τ − Dmax

Pe această traiectorie firma nu face investiţii, nu face împrumuturi, plăteşte dividende la maxim, are loc o scădere a capitalului fix în paralel cueliminarea rapidă a datoriilor, evoluţia capitalului circulant depinzând de parametrii sistemului


i




Traiectoria 13 ( F = γ· I F = 0, D = 0, Y = 0)


)(t K C & = [(1 – f )· p·α + f ·a]· K F (t ) + (1 – f )·( p· β − 1)· K C (t )

)(t K F & = −a· K F (t )0 = 0

Din acesta rezultă imediat evoluţia capitalului fix:

K F(t) = 0 F K ·e-a·t

şi apoi a capitalului circulant:

K C (t ) = ∫ ⋅−⋅⋅−−⋅t

p f d e R0

)1()1()( τ τ τ β ·e(1 – f )·( p· β - 1)·t

unde:

R(τ ) = [(1 – f )· p·α + f ·a]· 0 F K ·e-a·τ

Pe această traiectorie firma nu are datorii, nu face împrumuturi, nuface investiţii, nu plăteşte dividende, are loc o scădere a capitalului fix,evoluţia capitalului circulant depinzând de parametrii sistemului.

Traiectoria 14 ( F = γ· I F = 0, D = Dmax, Y = 0)


)(t K C & = [(1 – f )· p·α + f ·a]· K F (t ) + (1 – f )·( p· β − 1)· K C (t ) - Dmax

)(t K F & = - a· K F (t )

0 = 0


K F (t) = 0 F K ·e-a·t


K C (t ) = ∫ ⋅−⋅⋅−−⋅t

p f d e R0

)1()1()( τ τ τ β ·e(1 – f )·( p· β - 1)·t

unde:

R(τ ) = [(1 – f )· p·α + f ·a]· 0 F K ·e-a·τ − Dmax

Pe această traiectorie firma nu are datorii, nu face împrumuturi, nuface investiţii, plăteşte dividende la maxim, are loc o scădere a capitalului

fix, evoluţia capitalului circulant depinzând de parametrii sistemului.



Traiectoria 15 ( F = γ· I F = 0, D = 0, Y = k ·( K F + K C ))

Sistemul canonic va fi:


− (1 – f )·r ·Y (t )

)(t K F & = −a· K F (t )

)(t Y & = −b·Y (t )

la care se adaugă ecuaţia suplimentar ă Y = k ·( K F + K C ).Acest caz este posibil doar dacă soluţia dată de sistemul canonic

verifică şi ecuaţia suplimentar ă.Deoarece sistemul este exact ca în traiectoria 11 soluţia va fi:

K F(t) =

0

F K ·e

-a·t

Y(t) = Y0·e-b·t

K C(t) = ∫ ⋅−⋅⋅−−⋅t

p f d e R0

)1()1()( τ τ τ β ·e(1 – f)·(p·β - 1)·t

cu: R(τ ) = [(1 – f )· p·α + f ·a]· 0

F K ·e-a·τ − (1 – f )·r ·Y 0·e-b·τ .

Soluţia verifică restricţia suplimentar ă doar dacă:

Y 0·e-b·t = k ·[ 0

F K ·e-a·t +

∫

⋅−⋅⋅−−⋅t

p f d e R0

)1()1()( τ τ τ β ·e(1 – f )·( p· β - 1)·t ] (∀) t ∈ [0,T ]

ceea ce este evident un caz cu totul particular.

Traiectoria 16 ( F = γ· I F = 0, D = Dmax, Y = k ·( K F + K C ))


)(t K C & = [(1 – f )· p·α + f ·a]· K F (t ) + (1 – f )·( p· β - 1)· K C (t ) −

− (1 – f )·r ·Y (t ) − Dmax

)(t K F & = −a· K F (t )

)(t Y & = −b·Y (t )la care se adaugă ecuaţia suplimentar ă Y = k ·( K F + K C ).

Acest caz este posibil doar dacă soluţia dată de sistemul canonicverifică şi ecuaţia suplimentar ă.

Deoarece sistemul este exact ca în traiectoria 12 soluţia va fi:

K F(t) = 0 F K ·e-a·t

Y(t) = Y0·e-b·t

K C(t) = ∫ ⋅−⋅⋅−−

⋅

t p f

d e R0

)1()1(

)( τ τ

τ β

·e

(1 – f)·(p·β - 1)·t

cu:

R(τ ) = [(1 – f )· p·α + f ·a]· 0 F K ·e-a·τ − (1 – f )·r ·Y 0·e-b·τ − Dmax


Y 0·e-b·t = k ·[ 0 F K ·e-a·t + ∫ ⋅−⋅⋅−−⋅

t p f d e R

0

)1()1()( τ τ τ β ·e(1 – f )·( p· β - 1)·t ] (∀) t ∈ [0,T ]


Traiectoria 17 ( I F = I max , D = 0, F = 0)



− (1 – f )·r ·Y (t ) – I max

)(t K F & = I max − a· K F (t )

)(t Y & = −b·Y (t )

Din ultima ecuaţie obţinem evoluţia datoriei firmei:

Y (t ) = Y 0·e-b·t


K F (t ) = a I max + ( 0

F K − a I max )·e-a·t

În funcţie de valoarea iniţială a capitalului fix, a valorii maxime posibile a investiţiei I max şi a ratei de amortizare a putem avea:



a

I max > 0;



a

I max = 0;



a

I max < 0

Cele două soluţii găsite se înlocuiesc în prima ecuaţie şi obţinemecuaţia de dinamică a capitalului circulant:

)(t K C & = (1 – f )·( p· β − 1)· K C (t ) + [(1 – f )· p·α + f ·a]·[

a

I max + ( 0 F K −

a

I max )·e-a·t ] −

− (1 – f )·r ·Y 0·e-b·t − I max

Notând cu R(t ) termenul liber al ecuaţiei:

R(t ) = [(1 – f )· p·α + f ·a]·[a

I max + ( 0 F K −

a

I max )·e-a·t ] − (1 – f )·r ·Y 0·e-b·t − I max

obţinem evoluţia capitalului circulant:

K C (t ) = ∫ ⋅−⋅⋅−−⋅t

p f d e R0

)1()1()( τ τ τ β ·e(1 – f )·( p· β - 1)·t

Pe această traiectorie firma nu plăteşte dividende (nu retrage bani),face investiţii la maxim, nu face împrumuturi şi are o evoluţie de stabilizarea valorii capitalului fix şi de scădere a datoriei firmei.


Traiectoria 18 ( I F = I max , D = Dmax, F = 0)



− (1 – f )·r ·Y (t ) – I max − Dmax

)(t K F & = I max − a· K F (t )

)(t Y & = −b·Y (t )

Din ultima ecuaţie obţinem evoluţia datoriei firmei:Y(t) = Y0·e-b·t


K F (t ) =a

I max + ( 0 F K

−

a

I max )·e-a·t



I max pentru

0 F K −

a

I max > 0;



a

I max = 0;



a

I max < 0.



Cele două soluţii găsite se înlocuiesc în prima ecuaţie şi obţinem

ecuaţia de dinamică a capitalului circulant:

)(t K C & = (1– f )·( p· β - 1)· K C (t ) + [(1– f )· p·α + f ·a]·[

a

I max + ( 0 F K -

a


− (1– f )·r ·Y 0·e-b·t − I max − Dmax


R(t ) = [(1 – f )· p·α + f ·a]·[a

I max + ( 0 F K −

a


− (1 – f )·r ·Y 0·e-b·t − I max − Dmax


K C (t ) =

∫

⋅−⋅⋅−−⋅t

p f d e R0

)1()1()( τ τ τ β ·e(1 – f )·( p· β - 1)·t

Pe această traiectorie firma, plăteşte dividende la maxim, faceinvestiţii la maxim, nu face împrumuturi şi are o evoluţie de stabilizare avalorii capitalului fix şi de scădere a datoriei firmei.

Valoarea maximă a valorii firmei va fi dată de valoarea finală actualizată a capitalului propriu al firmei plus suma dividendelor plătite învaloare actualizată.

Traiectoria 19 ( I F = I max, D = 0, F = 0, Y = 0)

Sistemul canonic devine:)(t K C

& = [(1 – f )· p·α + f ·a]· K F (t ) + (1 – f )·( p· β − 1)· K C (t ) – I max

)(t K F & = I max − a· K F (t )

0 = 0


K F (t ) =a

I max + ( 0 F K −

a

I max )·e-a·t



I max pentru

0 F K −

a

I max > 0;



a

I max = 0;

a

I max < 0

Cele două soluţii găsite se înlocuiesc în prima ecuaţie şi obţinem

ecuaţia de dinamică a capitalului circulant:

)(t K C & = (1 – f )·( p· β − 1)· K C (t ) + [(1 – f )· p·α + f ·a]·[

a

I max +

+ ( 0 F K -

a

I max )·e-a·t ] − I max


R(t ) = [(1 – f )· p·α + f ·a]·[ a

I max

+ (0

F K − a

I max

)·e-a·t

] − I max


K C (t ) = ∫ ⋅−⋅⋅−−⋅t

p f d e R0

)1()1()( τ τ τ β ·e(1 – f )·( p· β - 1)·t

Pe această traiectorie firma nu plăteşte dividende (nu retrage bani),face investiţii la maxim, nu are datorii, nu face împrumuturi şi are o evoluţiede stabilizare a valorii capitalului fix.

Traiectoria poate fi traiectorie iniţială doar dacă Y 0

= 0.Valoarea maximă a valorii firmei va fi dată de valoarea finală


Traiectoria 20 ( I F = I max, D = Dmax, F = 0, Y = 0)


)(t K C & = [(1 – f )· p·α + f ·a]· K F (t ) + (1 – f )·( p· β − 1)· K C (t ) –

− I max – Dmax

)(t K F & = I max - a· K F (t )

0 = 0


K F (t ) =a

I max + ( 0 F K –

a

I max )·e-a·t

1. O evoluţie descrescătoare asimptotic spre

a

I max pentru 0 F K –

a

I max > 0;



a

I max = 0;



a

I max < 0


)(t K C

& = (1 – f )·( p· β – 1)· K C

(t ) + [(1 – f )· p·α + f ·a]·[a

I max +

+ ( 0 F K –

a

I max )·e-a·t ] – I max – Dmax


R(t ) = [(1 – f )· p·α + f ·a]·[a

I max + ( 0 F K –

a

I max )·e-a·t ] − I max Dmax


K C (t ) = ∫ ⋅−⋅⋅−−⋅t p f d e R0

)1()1()( τ τ τ β ·e(1 – f )·( p· β - 1)·t

Pe această traiectorie firma plăteşte dividende la maxim, faceinvestiţii la maxim, nu are datorii, nu face împrumuturi şi are o evoluţie destabilizare a valorii capitalului fix.

Traiectoria poate fi traiectorie iniţială doar dacă Y 0 = 0.


Traiectoria 21 ( I F = I max, D = 0, F = 0, Y = k ·( K F + K C ))Sistemul canonic devine:


− (1 – f )·r ·Y (t ) – I max

)(t K F & = I max – a· K F (t )

)(t Y & = – b·Y (t )

la care se adaugă şi condiţia suplimentar ă Y = k ·( K F + K C ).

Y (t ) = Y 0·e-b·t


K F (t ) =a

I max + ( 0 F K –

a

I max )·e-a·t



I max pentru

0

F K –

a

I max > 0;



a

I max = 0;



a

I max < 0


)(t K C &

= (1 – f )·( p· β − 1)· K C (t ) + [(1 – f )· p·α + f ·a]·[

a

I max + ( 0 F K –

a

I max )·e-a·t ] – (1 – f )·r ·Y 0·e-b·t – I max


R(t ) = [(1 – f )· p·α + f ·a]·[a

I max + ( 0 F K −

a

I max )·e-a·t ] − (1 – f )·r ·Y 0·e-b·t − I max


K C (t ) = ∫ ⋅−⋅⋅−−⋅t

p f d e R0

)1()1()( τ τ τ β ·e(1 – f )·( p· β - 1)·t


Y 0·e-b·t = k ·[

a

I max + ( 0 F K −

a

I max )·e-a·t + ∫ ⋅−⋅⋅−−⋅t

p f d e R0

)1()1()( τ τ τ β ·

e(1 – f )·( p· β - 1)·t ] (∀) t ∈ [0,T ]

Traiectoria 22 ( I F = I max, D = Dmax, F = 0, Y = k ·( K F + K C ))



− (1 – f )·r ·Y (t ) – I max - Dmax )(t K F

& = I max − a· K F (t )

)(t Y & = − b·Y (t )

la care se adaugă şi condiţia suplimentar ă Y = k ·( K F + K C ).


Y (t ) = Y 0·e-b·t


K F (t ) =a

I max + ( 0 F K −

a

I max )·e-a·t




a

I max > 0;


I max pentru 0 F K -

a

I max = 0;



a

I max < 0


)(t K C & = (1– f )·( p· β − 1)· K C (t ) + [(1– f )· p·α + f ·a]·[

a

I max +

+ (0

F K − a

I max

)·e-a·t

] − (1– f )·r ·Y 0

·e

-b·t

- I max - Dmax


R(t ) = [(1 – f )· p·α + f ·a]·[a

I max + ( 0 F K −

a


− (1 – f )·r ·Y 0·e-b·t − I max − Dmax


K C (t ) =

∫

⋅−⋅⋅−−⋅t

p f d e R0

)1()1()( τ τ τ β ·e(1 – f )·( p· β - 1)·t




Y 0·e-b·t = k ·[a

I max + ( 0 F K -

a

I max )·e-a·t + ∫ ⋅−⋅⋅−−⋅t

p f d e R0

)1()1()( τ τ τ β ·

e(1 – f )·( p· β - 1)·t

] (∀) t ∈ [0,T ]ceea ce este evident un caz cu totul particular.

ConcluziiÎn urma analizei celor 22 de traiectorii rezultă că două sunt

neadmisibile (7 şi 8) şi 6 sunt foarte improbabile (9, 10, 15, 16, 21, 22)analiza putând fi redusă f ăr ă a pierde generalitatea doar la 14 traiectorii, caresunt sintetizate în tabelul de mai jos

Solu ţ ia

0 1 21 F = γ· I F , D = 0, Y = 0 K F (t ) = 0

F K ·e-a·t , Y = 0

2 F = γ· I F , D = Dmax, Y = 0 K F (t ) = 0 F K ·e-a·t

, Y = 0

3 F = γ· I F , D = 0, Y = k ·( K F + K C ) Sistem

4 F = γ· I F , D = Dmax, Y = k ·( K F + K C ) Sistem

5 I F = I max, F = γ· I F , D = 0 K F (t ) =

a

I max + ( 0

F

K − a

I max )·e-a·t

Y (t ) =b

I max⋅γ + (Y

0 −

b


6 I F = I max, F = γ· I F , D = Dmax

K F (t ) =a

I max + ( 0 F K −

a

I max )·e-a·t

Y (t ) =b

I max⋅γ + (Y

0 −

b


7 F = γ· I F = 0, D = 0 K F (t ) = 0

F

K ·e-a·t ,Y (t ) = Y 0·e-b·t

8 F = γ· I F = 0, D = Dmax K F (t ) = 0 F K ·e-a·t ,Y (t ) = Y

0·e-b·t

9 F = γ· I F = 0, D = 0, Y = 0 K F (t ) = 0 F K ·e-a·t , Y = 0

10 F = γ· I F = 0, D = Dmax, Y = 0 K F (t ) = 0 F K ·e-a·t , Y = 0

11 I F = I max , D = 0, F = 0 K F (t ) =

a

I max + ( 0 F K −

a

I max )·e-a·t ,

Y (t ) = Y

0

·e-b·t



0 1 2

12 I F = I max , D = Dmax, F = 0 K F (t ) =

a

I max + ( 0 F K −

a

I max )·e-a·t ,

Y (t ) = Y 0·e-b·t

13 I F = I max, D = 0, F = 0, Y = 0 K F (t ) =

a

I max + ( 0 F K −

a

I max )·e-a·t ,

Y = 0

14 I F = I max, D = Dmax, F = 0, Y = 0 K F (t ) =

a

I max + ( 0 F K −

a

I max )·e-a·t ,

Y = 0

Din cele de mai sus se observă că evoluţiile posibile ale capitalului

fix se încadrează în unul din cazurile:a) K F (t ) = 0

F K ·e-a·t

Reprezentarea grafică a evoluţiei capitalului fix are forma din figura 1.

b) K F (t ) =a

I max + ( 0 F K -

a

I max )·e-a·t şi 0 F K >

a

I max


0 F K

K F

t

K F ( t )

0

Figura 1

0 K

K F

t

K F ( t

0Figura 2

a

I max

c) K F (t ) =a

I max


d) K F (t ) = a

I max + ( 0 F K - a

I max )·e-a·t şi 0 F K < a

I max


0 F K

K F

t

K F ( t )

0

Figura 3

=a

I max

0 F K

K F

t

K F ( t )

0

Figura 4

a

I max



Evoluţiile posibile ale datoriei firmei se încadrează în unul din

cazurile:

a) Y (t ) = Y 0·e-b·t

Reprezentarea grafică a evoluţiei datoriei firmei are forma din figura 5.

b) Y (t ) =b

I max⋅γ + (Y 0 −

b

I max⋅γ )·e-b·t şi Y 0 >

b

I max⋅γ

Reprezentarea grafică a evoluţiei datoriei firmei are formadin figura 6.

Y 0

Y

t

Y ( t

0

Figura 5

Y

t

Y ( t )

0Figura 6

b

I max⋅γ

Y 0

c) Y (t ) =b

I max⋅γ + (Y 0 −

b

I max⋅γ )·e-b·t şi Y 0 =

b

I max⋅γ


d) Y (t ) =b

I max⋅γ + (Y 0 −

b

I max⋅γ )·e-b·t şi Y 0 <

b

I max⋅γ


Traiectoria capitalului circulant este mult mai complicată, fiinddependentă de mai mulţi din parametrii modelului.

Astfel, pentru traiectoria 1 avem:

K C(t) = 0C K + [(1 – f)·p·α + f·a]· 0

F K ·(1 + e-a·t )e(1 – f)·(p·β - 1)·t =

= [ 0C K + [(1– f)·p·α + f·a]· 0

F K ]·e(1 – f)·(p·β - 1)·t + [(1– f)·p·α +

+ f·a]· 0 F K ·e[(1 – f)·(p·β - 1) –a]·t

Figura 7

Y

t

Y ( t

0

Y 0 =b

I max⋅γ

Y

t

Y ( t )

0

Figura 8

b

I max⋅γ

Y 0

Deoarece coeficienţii celor două funcţii exponenţiale sunt evident

pozitivi natura evoluţiei va fi dată de semnele coeficienţilor lui t de laexponent.

Cum evident (1 – f )·( p· β – 1) > (1 – f )·( p· β – 1) – a şi (1 – f ) > 0

discuţia se rezumă la semnul lui ( p· β - 1).Astfel:

a) Dacă p· β > 1 capitalul circulant are o evoluţie exponenţialcrescătoare spre ∞.

b) Dacă p· β = 1 capitalul circulant are o evoluţie descrescătoarespre:

0C K + [(1– f )· p·α + f ·a]· 0

F K

c) Dacă p· β < 1 capitalul circulant are o evoluţie descrescătoarespre 0.

Pentru celelalte traiectorii evoluţia va fi discutată pe un caz particular.

Traiectorii multiple

Din analiza traiectoriilor rezultă că unele traiectorii pot fi traiectoriiiniţiale doar în cazuri cu totul particulare şi pot fi eliminate din analiză f ăr ă

a restrânge semnificativ mulţimea cazurilor posibile.De asemenea, traiectoria de pornire va fi în funcţie de valorileiniţiale ale capitalului fix, capitalului circulant şi a datoriei firmei.

Putem de asemenea să consider ăm ca foarte improbabile traiectoriileîn care variabilele de decizie sunt pe limitele maxime posibile, aceste limitefiind fixate în principal pentru a asigura soluţia matematică analitică amodelului. Deşi traiectoriile pe care nu se plătesc dividende par foarte probabile, ţinând cont de situaţia foarte dificilă a firmelor din România în perioada analizată, în care numai mobilizarea întregilor resurse ale firmei în

activitatea firmei putea asigura supravieţuirea firmei, totuşi nu trebuie uitatcă majoritatea firmelor mici din România sunt de fapt foarte mici,majoritatea firme familiale, care constituie singura sursă de venituri pentru proprietarii lor. În continuare vom accepta totuşi aceste traiectorii dar cuamendamentul că ele nu pot fi urmate de firmă decât perioade scurte saufoarte scurte de timp.

Din acest motiv, la analiza concatenarităţii traiectoriilor şi structuratraiectoriei optime totale vom lua în considerare, ca traiectorii principale,doar traiectoriile în care I (t ) < I max şi D(t ) < Dmax.



Traiectorii care îndeplinesc aceste două condiţii sunt listate în tabelulde mai jos:

Variabilele

de decizie Variabilele de stare

1 F = I F = D = 0 K C (t ) = 0

C K +[(1 – f )· p·α + f·a]· 0 F K ·(1 + e

-a·t )·e(1 – f)·(p·β - 1)·t

K F (t ) = 0 F K ·e-a·t

Y (t ) = 0

3 F = γ· I F , D = 0)(t K C

& = A11· K C (t )+A12· K F (t )

)(t K F & = A21· K C (t ) + A22· K F (t )

Y (t ) = k ·( K F (t ) + K C (t ))

7 F = I F = D = 0

K C (t ) = ∫ ⋅−⋅⋅−−

⋅t

p f

d e R0

)1()1(

)( τ τ τ β

·e(1 – f )·( p· β - 1)·t

unde: R(τ ) = [(1 – f )· p·α + f ·a]· 0

F K ·e-a·τ − (1 – f )·r ·Y 0·e-b·τ

K F (t ) = 0 F K ·e-a·t

Y (t ) = Y 0·e-b·t

9 F = I F = D = 0

K C (t ) = ∫ ⋅−⋅⋅−−⋅t

p f d e R0

)1()1()( τ τ τ β ·e(1 – f )·( p· β - 1)·t

unde: R(τ ) = [(1 – f )· p·α + f ·a]· 0 F K ·e-a·τ

K F (t ) = 0

F K ·e-a·t

Y (t ) = 0

Coeficien ţ ii Aij din sistemul care d ă evolu ţ ia capitalului firmei în

traiectoria 3 sunt :

A11 = [(1− f )( p β –1−rk )(1−γ

k) −

γ

kb] A12 = [(1− f )( pα – rk -a) (1−

γ

k ) −

γ

bk + a]

A21 = k γ

β b1)-rk -f)(p-(1 +A22 = [k

γ

α brk)-a-f)(p-(1 + − a]

Se observă că pe toate aceste 4 variante nu se plătesc dividende,astfel că traiectoria optimă nu poate fi formată doar din aceste 4 variante.Totuşi, problema în acest caz este că, cel puţin pentru cazul când se acceptă ipoteza concurenţei perfecte, condiţiile impuse asupra variabilelor nu suntsuficiente şi, de asemenea, considerarea maximizării venitului total casingur ţel al firmei nu este întotdeauna realist. Una din condiţiile de care ar trebui să se ţină cont este ca intervalele pe care nu se plătesc dividende să nudepăşească o lungime maximă dată sau ca limita minimă a volumuluidividendelor să nu mai fie zero.



Din aceste traiectorii variantele 1, 3 şi 8 pot fi iniţiale doar pentru

cazuri cu totul speciale (Y 0 = 0 sau Y (t ) = k ·( K F (t ) + K C (t ))), deci cea mai probabilă traiectorie la începutul activităţii firmei va fi traiectoria 7 (este şicazul situaţiei analizate în studiul de caz din capitolul următor).

Pe această traiectorie firma nu face investiţii în capitalul fix,împrumuturi şi nu plăteşte dividende, ea utilizând tot venitul obţinut pentrususţinerea producţiei prin cumpărarea capitalului circulant.

În aceste condiţii va avea loc o scădere a valorii capitalului fix(deoarece cel uzat nu mai este înlocuit) şi va scade datoria firmei, deoarecenu se mai fac împrumuturi şi se plătesc ratele la cele deja contractate.

Evoluţia capitalului circulant depinde de situaţia mediului economicîn care acţionează firma. Astfel, deşi firma mobilizează tot profitul pentruachiziţionarea capitalului circulant există posibilitatea ca şi volumul acestuia(şi deci volumul producţiei) să scadă deoarece, din cauza inflaţiei sau altor factori externi, firma nu reuşeşte să obţină nici măcar venitul necesar acoperirii cheltuielilor de producţie necesare menţinerii producţiei măcar lanivelul iniţial.

Deoarece evoluţia capitalului circulant depinde de prea mulţi parametrii este dificil de dat o regulă generală privind evoluţia acestuia şidin acest motiv ne vom rezuma la a face analiza doar în cazul concret studiatîn capitolul următor.

În orice caz, cum pe această traiectorie nu se plătesc dividende şi areloc o decapitalizare puternică a firmei intervalul de timp pe care va evoluafirma pe această traiectorie trebuie să fie scurt.

De pe această traiectorie nu se poate trece direct pe traiectoriile cudatoria zero, deoarece, deşi volumul datoriei scade continuu, el nu devinezero niciodată. Motivul este în acest caz ipoteza că ratele anuale plătitereprezintă acelaşi procent din datorie indiferent de mărimea datoriei. Pentrua elimina datoria vom presupune că, pentru un anumit nivel minim aldatoriei aceasta este plătită toată în anul respectiv.

Odată ajunsă pe o traiectorie f ăr ă datorii firma poate trece deasemenea doar în salt pe una din celelalte traiectorii.Considerentele anterioare arată că, cel puţin în cazul unei concurenţe

perfecte sau practic perfecte ipoteza continuităţii în evoluţia variabilelor modelului este nerealistă. Din acest motiv, în continuare vor fi analizatecazurile în care se renunţă la ipoteza de concurenţă perfectă şi/sau la ipotezacontinuităţii evoluţiei variabilelor.

b) Cazul continuu în condiţii de concurenţă imperfectă

D F I F ,,max )]()([)(


iT T

it ++ −−∫

)(t K F & + )(t K C

& = (1 – f )·[ p( K F (t ), K C (t ))·(α· K F (t ) + β · K C (t )) −

−a· K F (t ) − K C (t ) – r·Y (t )] − D(t ))(t K F

& = I F (t ) − a· K F (t )

)(t Y & = F (t ) − b·Y (t )

I min ≤ I F (t ) ≤ I max ; I min < 0 0

Deoarece din γ· I F (t ) ≥ F (t ) ≥ 0 rezultă evident I min ≤ I F (t ) această condiţie nu mai este efectivă şi va fi eliminată din sistem, prima şi a patracondiţie putând fi scrise împreună prin:

0 ≤ F (t ) ≤ γ· I F (t ) ≤ γ· I max Prin înlocuirea variaţiei capitalului fix în prima ecuaţie de stare a

sistemului obţinem:

I F (t ) − a· K F (t ) + )(t K C & = (1 – f )·[ p( K F (t ), K C (t ))·(α· K F (t ) + β · K C (t )) −

− a· K F (t ) − K C (t ) – r·Y (t )] − D(t )⇔

)(t K C & = (1 – f )·[ p( K F (t ), K C (t ))·(α· K F (t ) + β · K C (t )) − a· K F (t ) − K C (t ) –

− r·Y (t )] − D(t ) − I F (t ) + a· K F (t )⇔

)(t K C & = U ( K F (t ), K C (t )) − (1 – f )·r ·Y (t ) − D(t ) − I F (t )

unde:

U ( K F (t ), K C (t )) = (1 – f ) [ p( K F (t ), K C (t ))·(α· K F (t ) + β · K C (t )) − − a· K F (t ) − K C (t )] + a· K F (t )

este o funcţie continuă şi derivabilă în K F (t ) şi K C (t ).



Sistemul de ecuaţii de stare ale sistemului devine:

)(t K C & = U ( K F (t ), K C (t )) − (1 – f )·r ·Y (t ) − D(t ) – I F (t )

)(t K F & = I F (t ) − a· K F (t )

)(t Y & = F (t ) − b·Y (t )acesta fiind un sistem de ecuaţii diferenţiale cu trei ecuaţii şi treinecunoscute, comenzile fiind I F (t ), F (t ) şi D(t ).

Pentru rezolvare, vom porni de la ultima formă a sistemului:

D F I F ,,max )]()([)(


iT T

it ++ −−∫

)(t K C & = U ( K F (t ), K C (t )) − (1 – f )·r ·Y (t ) − D(t ) − I F (t )

)(t K F & = I F (t ) − a· K F (t )

)(t Y & = F (t ) − b·Y (t )

F (t ) ≤ γ· I F (t ) ≤ γ· I max 0 ≤ Y (t ) ≤ k ·( K F (t ) + K C (t ))0 ≤ D(t ) ≤ Dmax

f , i, a, r , b, k , γ ∈ (0, 1)

α, β , p > 0Deoarece avem de rezolvat o problemă de control optimal vom

aplica pentru rezolvare principiul lui Pontreaghin, obţinând succesiv:

a) Hamiltonianul problemei:

H ( K F (t ), K C (t ), Y (t ), I F (t ), F (t ), D(t ), λ 1(t ), λ 2(t ), λ 3(t )] == e

-it · D(t ) +λ 1(t )·[U ( K F (t ), K C (t )) − (1– f )·r ·Y (t ) – D(t ) – I F (t )] ++ λ 2(t )·[ I F (t ) − a· K F (t )] + λ 2(t )·[ F (t ) − b·Y (t )]

Deoarece în expresia hamiltonianului apare factorul de actualizaree-it vom face schimbarea de variabilă:

ψ j(t ) = eit ·λ j(t ) j = 1,2,3

obţinând noile variabile adjuncte ψ j(t ) şi hamiltonianul modificat:~

( K F (t ), K C (t ), Y (t ), I F (t ), F (t ), D(t ), λ 1(t ), λ 2(t ), λ 3(t )] == D(t ) + ψ1(t )·[U ( K F (t ), K C (t )) − (1 – f )·r ·Y (t ) − D(t ) − I F (t )] + ψ2(t )·[ I F (t ) −

− a· K F (t )] + ψ3(t )·[ F (t ) − b·Y (t )]

unde H ~

= eit · H .



Deoarece sistemul conţine şi restricţii momentane asupra variabilelor de stare şi de control vom construi lagrangeanul asociat problemei:

L =~

+ µ1·[ I max − I F (t )] + µ2·[γ· I F (t ) − F (t )] + µ3·[k ·( K F (t ) + K C (t )) − Y (t )] +

+ µ4·Y (t ) + µ5·[ Dmax − D(t )] + µ6· D(t ) + µ7· F (t )Sistemul de condiţii Kuhn-Tucker asociat problemei de maximizare

a hamiltonianului pe domeniul dat de restricţiile momentane ale sistemuluiîn variabilele de control va fi acelaşi cu cel din cazul concurenţei perfecte:

F I

L

∂∂

= 0 ⇔ - ψ1 + ψ2 − µ1 + γ· µ2 = 0

F

L

∂∂

= 0 ⇔ ψ3 − µ2 + µ7 = 0

D

L

∂∂ = 0 ⇔ 1 − ψ1 − µ5 + µ6 = 0

µ1·[ I max − I F ] = 0 µ2·[γ· I F − F ] = 0 µ3·[k ·( K F + K C ) − Y ] = 0 µ4·Y = 0 µ5·[ Dmax − D] = 0

µ6· D = 0 µ7· F (t ) = 0

µ j ≥ 0, I F , F , D ≥ 0

Avem de rezolvat un sistem algebric de 10 ecuaţii cu 10 necunoscute( I F , F , D, µ j j=1..7) care implică discuţia a 27 = 128 variante, în funcţievalorile nule sau nu ale multiplicatorilor µ j.

Din acest sistem vom scoate variabilele de comandă I F , F , D înfuncţie de variabilele de stare K F , K C , Y şi variabilele adjuncte ψ j, j = 1,2,3:

)(t I F = f 1( K F , K C ,Y , ψ j, j = 1,2,3)

)(t F = f 2( K F , K C ,Y , ψ j, j = 1,2,3)

)(t D = f 3( K F , K C ,Y , ψ j, j = 1,2,3)

după care vom rezolva sistemul canonic asociat problemei:

)(t K C & = U ( K F (t ), K C (t )) − (1 – f )·r ·Y (t ) − )(t D − )(t I F

)(t K F

& = )(t I F

− a· K F (t )



)(t Y & = )(t F – b·Y (t )

1ψ & (t ) = i·ψ1(t ) – )()(

~321 t

K

, D , F , I ,Y, ,K K H

C

F C F

∂

,,∂ ψ ψ ψ = i·ψ1(t ) –

− ψ1(t )· )(),( t K

K K U

C

C F

∂∂

2ψ & (t ) = i·ψ2(t ) – )()(

~321 t

K

, D , F , I ,Y, ,K K H

F

F C F

∂

,,∂ ψ ψ ψ = (i + a)·ψ2(t ) –

− ψ1(t )· )(),(

t K

K K U

F

C F

∂

∂

3ψ &

(t )= i·ψ3(t ) – )(

)(~

321

t Y

, D , F , I ,Y, ,K K H F C F

∂

,,∂ ψ ψ ψ

= (i + b)·ψ3(t ) ++ ψ1(t )·(1 – f )·r

cu condi ţ iile ini ţ iale:

K C(0) = 0C K ,

K F(0) = 0 F K ,

Y(0) =Y0

şi condi ţ iile finale (de transversalitate):

ψ1(T ) = )()(

T K

K K

C

C F

∂

+∂= 1

ψ2(T ) = )()(

T K

K K

F

C F

∂

+∂= 1

ψ3(T ) = )()(

T Y

K K C F

∂

+∂= 0

care se reduce la:

ψ1(T ) = 1, ψ2(T ) = 1, ψ3(T ) = 0

Revenind la sistemul Kuhn-Tucker asociat problemei de maximizare ahamiltonianului pe mulţimea comenzilor admisibile, dintre cele 128 de cazurio parte pot fi eliminate din start ca neducând la o solu ţie admisibilă. Deexemplu, multiplicatorii µ3 şi µ4 nu pot fi simultan nenuli (ar rezulta cafirma are capital nul) şi nici multiplicatorii µ5 şi µ6 (ar rezulta ca dividendele

maxime sunt zero). De asemenea, nu pot fi simultan diferiţi de 0 indicatorii



µ1, µ2 şi µ7, deoarece ar rezulta că investiţia maximă posibilă este 0, astfel car ămân de discutat doar 63 cazuri:

µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6 µ7 Solu ţ ia

1 0 0 0 0 0 0 0 ψ1 = ψ2 = 1, ψ3 = 0, I F , F , D oarecare2 0 0 0 0 0 ≠0 0 ψ1 = ψ2, ψ3 = 0, D = 0, I F , F oarecare3 0 0 0 0 ≠0 0 0 ψ1 = ψ2, ψ3 = 0, D = Dmax, I F , F oarecare4 0 0 0 ≠0 0 0 0 ψ1 = ψ2 = 1, ψ3 = 0, I F , F , D oarecare, Y = 05 0 0 0 ≠0 0 ≠0 0 ψ1 = ψ2, ψ3 = 0, D = 0, I F , F oarecare, Y = 06 0 0 0 ≠0≠0 0 0 ψ1 = ψ2, ψ3 = 0, D = Dmax, I F , F oarecare, Y = 07 0 0 ≠0 0 0 0 0 ψ1 = ψ2 = 1, ψ3 = 0, I F , F , D oarecare, Y = k ·( K F + K C )8 0 0 ≠0 0 0 ≠0 0 ψ1 = ψ2, ψ3 = 0, D = 0, I F , F oarecare, Y = k ·( K F + K C )

9 0 0 ≠0 0 ≠0 0 0 ψ1 = ψ2, ψ3 = 0, D = Dmax, I F , F oarecare,Y = k ·( K F + K C )

10 0 ≠0 0 0 0 0 0 ψ1 = 1, ψ2 = 1 + γ·ψ3, F = γ· I F , D oarecare11 0 ≠0 0 0 0 ≠0 0 F = γ· I F , D = 012 0 ≠0 0 0 ≠0 0 0 F = γ· I F , D = Dmax

13 0 ≠0 0 ≠0 0 0 0 ψ1 = 1, F = γ· I F , D oarecare, Y = 014 0 ≠0 0 ≠0 0 ≠0 0 F = γ· I F , D = 0, Y = 015 0 ≠0 0 ≠0≠0 0 0 F = γ· I F , D = Dmax, Y = 016 0 ≠0≠0 0 0 0 0 ψ1 = 1, F = γ· I F , D oarecare, Y = k ·( K F + K C )17 0 ≠0≠0 0 0 ≠0 0 F = γ· I F , D = 0, Y = k ·( K F + K C )18 0 ≠0≠0 0 ≠0 0 0 F = γ· I F , D = Dmax, Y = k ·( K F + K C )19≠0 0 0 0 0 0 0 ψ1 = 1, ψ3 = 0, I F = I max, D, F oarecare20≠0 0 0 0 0 ≠0 0 ψ3 = 0, I F = I max , D = 0, F oarecare21≠0 0 0 0 ≠0 0 0 ψ3 = 0, I F = I max , D = Dmax, F oarecare22≠0 0 0 ≠0 0 0 0 ψ3 = 0, ψ1 = 1, I F = I max, D = 0, F oarecare23≠0 0 0 ≠0 0 ≠0 0 ψ3 = 0, I F = I max, D = 0, F oarecare, Y = 024≠0 0 0 ≠0≠0 0 0 ψ3 = 0, I F = I max, D = Dmax, F oarecare, Y = 0

25≠0 0 ≠0 0 0 0 0 ψ3 = 0, ψ1 = 1, I F = I max, Y = k ·( K F + K C ), D, F oarecare26≠0 0 ≠0 0 0 ≠0 0 ψ3 = 0, I F = I max, D = 0, F oarecare, Y = k ·( K F + K C )27≠0 0 ≠0 0 ≠0 0 0 ψ3 = 0, I F = I max, D = Dmax, F oarecare, Y = k ·( K F + K C )28≠0≠0 0 0 0 0 0 ψ1 = 1, I F = I max, F = γ· I F , D oarecare29≠0≠0 0 0 0 ≠0 0 I F = I max, F = γ· I F , D = 030≠0≠0 0 0 ≠0 0 0 I F = I max, F = γ· I F , D = Dmax

31≠0≠0 0 ≠0 0 0 0 ψ1 = 1, I F = I max, F = γ· I F , D oarecare, Y = 032≠0≠0 0 ≠0 0 ≠0 0 I F = I max, F = γ· I F , D = 0, Y = 0

33≠0≠0 0 ≠0≠0 0 0 I F = I max, F = γ· I F , D = Dmax, Y = 0



34≠0≠0≠0 0 0 0 0 ψ1 = 1, I F = I max, F = γ· I F , D oarecare, Y = k ·( K F + K C )35≠0≠0≠0 0 0 ≠0 0 I F = I max, F = γ· I F , D = 0, Y = k ·( K F + K C )36≠0≠0≠0 0 ≠0 0 0 I F = I max, F = γ· I F , D = Dmax, Y = k ·( K F + K C )37 0 0 0 0 0 0 ≠0 ψ1 = ψ2 = 1, I F , F = 0, D oarecare38 0 0 0 0 0 ≠0≠0 ψ1 = ψ2, D = 0, I F , F = 039 0 0 0 0 ≠0 0 ≠0 ψ1 = ψ2, D = Dmax, I F , F = 040 0 0 0 ≠0 0 0 ≠0 ψ1 = ψ2 = 1, F = 0, I F , D oarecare, Y = 041 0 0 0 ≠0 0 ≠0≠0 ψ1 = ψ2, D = 0, I F oarecare, F = 0, Y = 042 0 0 0 ≠0≠0 0 ≠0 ψ1 = ψ2, D = Dmax, I F oarecare, F = 0, Y = 043 0 0 ≠0 0 0 0 ≠0 ψ1 = ψ2 = 1, I F , F = 0, D oarecare, Y = k ·( K F + K C )44 0 0 ≠0 0 0 ≠0≠0 ψ1 = ψ2, D = 0, I F oarecare, F = 0, Y = k ·( K F + K C )45 0 0 ≠0 0 ≠0 0 ≠0 ψ1 = ψ2, D = Dmax, I F oarecare, F = 0, Y = k ·( K F + K C )

46 0 ≠0 0 0 0 0 ≠0 ψ1 = 1, F = γ· I F = 0, D oarecare47 0 ≠0 0 0 0 ≠0≠0 F = γ· I F = 0, D = 048 0 ≠0 0 0 ≠0 0 ≠0 F = γ· I F = 0, D = Dmax

49 0 ≠0 0 ≠0 0 0 ≠0 ψ1 = 1, F = γ· I F = 0, D oarecare, Y = 050 0 ≠0 0 ≠0 0 ≠0≠0 F = γ· I F = 0, D = 0, Y = 051 0 ≠0 0 ≠0≠0 0 ≠0 F = γ· I F = 0, D = Dmax, Y = 052 0 ≠0≠0 0 0 0 ≠0 ψ1 = 1, F = γ· I F = 0, D oarecare, Y = k ·( K F + K C )53 0 ≠0≠0 0 0 ≠0≠0 F = γ· I F = 0, D = 0, Y = k ·( K F + K C )

54 0 ≠0≠0 0 ≠0 0 ≠0 F = γ· I F = 0, D = Dmax, Y = k ·( K F + K C )55≠0 0 0 0 0 0 ≠0 ψ1 = 1, I F = I max, D oarecare, F = 056≠0 0 0 0 0 ≠0≠0 I F = I max , D = 0, F = 057≠0 0 0 0 ≠0 0 ≠0 I F = I max , D = Dmax, F = 058≠0 0 0 ≠0 0 0 ≠0 ψ1 = 1, I F = I max, D = 0, F = 059≠0 0 0 ≠0 0 ≠0≠0 I F = I max, D = 0, F = 0, Y = 060≠0 0 0 ≠0≠0 0 ≠0 I F = I max, D = Dmax, F = 0, Y = 061≠0 0 ≠0 0 0 0 ≠0 ψ1 = 1, I F = I max, Y = k ·( K F + K C ), D, F = 062≠0 0 ≠0 0 0 ≠0≠0 I F = I max, D = 0, F = 0, Y = k ·( K F + K C )

63≠0 0 ≠0 0 ≠0 0 ≠0 I F = I max, D = Dmax, F = 0, Y = k ·( K F + K C )

În continuare va fi analizat efectul rezultatului din fiecare caz asuprasistemului canonic asociat problemei de control optimal:

)(t K C & = [U ( K F (t ), K C (t )) – (1 – f )·r ·Y (t ) – )(t D – )(t I F

)(t K F & = )(t I F – a· K F (t )

)(t Y & = )(t F – b·Y (t )



1ψ & (t ) = i·ψ1(t ) – ψ1(t )· )(),(

t K

K K U

C

C F

∂

∂

2ψ & (t ) = (i + a)·ψ2(t ) – ψ1(t )· )(),(

t

K

K K U

F

C F

∂

∂

3ψ & (t ) = (i + b)·ψ3(t ) + ψ1(t )·(1 – f )·r

K C (0) = 0C K , K F (0) = 0

F K , Y (0) =Y 0 , ψ1(T ) = 1, ψ2(T ) = 1, ψ3(T ) = 0

În acest caz cele 6 ecuaţii nu se mai împart în două sisteme distincte,unul format din primele trei ecuaţii şi conţinând ca variabile doar variabilelede stare şi al doilea format din ultimele trei şi conţinând doar variabileleadjuncte, ca în cazul concurenţei perfecte, pentru rezultat fiind importantetoate ecuaţiile sistemului canonic.

Vom analiza mai întâi cazurile în care una sau mai multe dinvariabilele adjuncte ar fi constante.

Astfel, dacă ψ1(t ) = const. = 1 din prima ecuaţie a variabilelor adjuncte rezultă că:

)(),(

t K

K K U

C

C F

∂

∂= i

Cum p( K F ,K C ) = p(Q) = p(α K F + β K C ) ⇒

)(),(

t K

K K p

C

C F

∂

∂= )(

)( t

K

Q

Q

Q p

C ∂∂

⋅∂

∂= β ·

Q

Q p

∂∂ )(

)( ),(

t K

K K p

F

C F

∂∂

= )( )(

t K

Q

Q

Q p

F ∂∂

⋅∂

∂= α ·

Q

Q p

∂∂ )(

deci:

)(),(

t

K

K K U

C

C F

∂

∂= (1 – f )·[ β ·

Q

Q p

∂

∂ )( ·Q + β ·p(Q) – 1]

)( ),(

t K

K K U

F

C F

∂∂

= (1 – f )·[α · Q

Q p

∂∂ )(

·Q + α ·p(Q) – a] + a

Conform relaţiilor obţinute condiţia ψ1(t ) = const. = 1 conduce la:

β · Q

Q p

∂∂ )(

·Q + β ·p(Q) – 1 = f

i

−1



care este o ecuaţie diferenţială liniar ă în preţ cu variabila producţia şi are soluţia:

p(Q) = C ⋅ Q

1+

)1(

1

f

f i

−−+

β

unde C este o constantă oarecare.Combinând această relaţie cu expresia lui p(Q) din model vom

obţine o ecuaţie algebrică cu necunoscuta Q din care rezultă Q( K F , K C ) == Q = constant şi apoi p(Q) = p( Q ) = constant.

Situaţia în care cele două expresii ale funcţiei preţ ar fi identice ar conduce la faptul că venitul este liniar în Q care este în contradicţie cuipoteza randamentelor la scar ă descrescătoare.

De asemenea este posibil să nu existe nici o soluţie dar acest caz estecu totul particular şi va fi eliminat din analiza.

De aici rezultă α⋅ K F + β⋅ K C = Q sau K C = β α − · K F

β Q− iar ultimele

două ecuaţii ale variabilelor adjuncte au forma:

2ψ & (t ) = (i + a)·ψ2(t ) − α · β

f i −+1- a·f

3ψ & (t ) = (i + b)·ψ3(t ) + (1 – f )·r

Din aceste ecuaţii obţinem variabilele adjuncte:

ψ3(t ) =bi

r f

+− )1( ·[e-(i + b)·(T - t ) – 1]

ψ2(t ) = [)(

)1(

ai

fa f i

+

+−+

β

β α + (1 −

)(

)1(

ai

fa f i

+

+−+

β

β α )·e-(i + a)·T

]· e-(i + a)·t

şi totul se reduce la a rezolva sistemul format cu variabilele de stare la care

se adaugă restricţia suplimentar ă K C = β

α − · K F

β

Q− .

În plus: U ( K F (t ), K C (t )) = (1 − f )·[ p( Q )·( Q ) − a· K F (t ) ++ β

α · K F +

β

Q] + a· K F (t )

De asemenea, situaţia în care ψ1(t ) = ψ2(t ) ≠ 0 conduce la:

1ψ & (t ) = i·ψ1(t ) – ψ1(t )· )(),(

t K

K K U

C

C F

∂

∂

1ψ & ( t ) = ( i + a )·ψ1( t ) – ψ1( t )· )(),(

t

K

K K U

F

C F

∂

∂



şi egalând termenii din dreapta obţinem succesiv:

i·ψ1(t ) – ψ1(t )· )(),(

t K

K K U

C

C F

∂

∂= (i + a)·ψ1(t ) – ψ1(t )· )(

),(t

K

K K U

F

C F

∂

∂⇔

⇔ i – )(),( t K

K K U

C

C F

∂∂ = i + a – )(),( t

K

K K U

F

C F

∂∂ ⇔

⇔ α · Q

Q p

∂∂ )(

·Q + α ·p(Q) – a – β · Q

Q p

∂∂ )(

·Q - β ·p(Q) + 1 = 0

care este o ecuaţie diferenţială liniar ă în preţ cu variabila producţia şi aresoluţia:

p(Q) = C ⋅ Q

1+

β α −

−1a

unde C este o constantă oarecare.Combinând această relaţie cu expresia lui p(Q) din model vom

obţine o ecuaţie algebrică cu necunoscuta Q din care rezultă Q( K F , K C ) == Q = constant şi apoi p(Q) = p( Q ) = constant, deci suntem din nou încazul concurenţei perfecte.

Situaţia în care cele două expresii ale funcţiei preţ ar fi identice ar conduce la faptul că venitul este liniar în Q care este în contradicţie cu

ipoteza randamentelor la scar ă descrescătoare.De asemenea este posibil să nu existe nici o soluţie dar acest caz este

cu totul particular şi va fi eliminat din analiza.

De aici rezultă α⋅ K F + β⋅ K C = Q sau K C = β

α − · K F

β

Q− şi sistemul

de ecuaţii ale variabilelor adjuncte are forma:

ψ1(t ) = ψ2(t )

1ψ & (t ) = [i + β α

α β

−−

−a

f )1( ]·ψ1(t ) ⇒ ψ1(t ) =

)()1( T t a

f i

e

−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛

−

−−+

β α

α β

= ψ2(t )

3ψ & (t ) = (i + b)·ψ3(t ) + (1 – f )·r ·)()1( T t

a f i

e−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−−+

β α

α β

În plus: U ( K F (t ), K C (t )) = (1 – f )·[ p( Q )·( Q ) − a· K F (t ) + β

α · K F +

+ β

Q] + a· K F (t )



Cazul ψ1(t ) = ψ2(t ) = 1 conduce la un sistem algebric în K F şi K C :

)(),(

t K

K K U

C

C F

∂

∂= i ⇔ (1 – f )·[ β ·

Q

Q p

∂∂ )(

·Q + β ·p(Q) – 1] = i

)(),( t K

K K U

F

C F

∂∂ = i + a ⇔ (1 – f )·[α ·

Q

Q p

∂∂ )( ·Q + α ·p(Q) – a] + a = i + a

care are soluţie doar dacă α = β ·a caz în care obţinem aceeaşi dependenţă între capitalul circulant şi cel fix cu cea de la cazul ψ1(t ) = const. = 1.

Totuşi, acest caz este cu totul particular şi poate fi eliminat dinanaliză.

Situaţia ψ3(t ) = 0 atrage după sine succesiv ψ1(t ) = 0 şi ψ2(t ) = 0 care

este în contradicţie cu condiţiile finale ψ1(T ) = 1, ψ2(T ) = 1.Variantele 11 şi 12 conduc la sistemul de condiţii:

− ψ1 + ψ2 + γ· µ2 = 0ψ3 − µ2 = 01 − ψ1 + µ6 = 0

la varianta 11 şi:

− ψ1 + ψ2 + γ· µ2 = 0

ψ3 − µ2 = 01 − ψ1 - µ5 = 0

la varianta 12.

În ambele variante, eliminând µ2 din primele două ecuaţii obţinem:

− ψ1 + ψ2 + γ·ψ3 = 0 ⇔ ψ1 = ψ2 + γ·ψ3 ⇒ 1&(t) =

2ψ & (t) + γ·3ψ & (t)

Înlocuind derivatele variabilelor adjuncte din sistemul canonic înrelaţia de mai sus obţinem:

i·ψ1(t ) – ψ1(t )· )(),(

t K

K K U

C

C F

∂

∂= (i + a)·ψ2(t ) – ψ1(t )· )(

),(t

K

K K U

F

C F

∂

∂+

+ γ·[(i + b)·ψ3(t ) + ψ1(t )·(1 – f )·r ] ⇔

⇔ [i − )(),(

t K

K K U

C

C F

∂

∂+ )(

),(t

K

K K U

F

C F

∂

∂ – γ·(1 – f )·r ]·ψ1 = (i + a)·ψ2 +

+ γ·(i + b)·ψ3



Combinând această relaţie cu cea rezultată din sistemul de condiţiiKuhn-Tucker obţinem relaţiile:

a = b

α · Q Q p∂

∂ )( ·Q + α ·p(Q) – β · Q Q p∂

∂ )( ·Q – β ·p(Q) = γ·r – a + 1

Prima relaţie aminteşte de modelul Ludwig (Ipoteza Ludwig: a = b)iar a doua este aceeaşi ecuaţie cu derivate par ţiale de ordinul întâi şi aresoluţia:

p(Q) = C ⋅ Q

1+

β α

γ

−+−⋅ 1ar

din care rezultă K C = β

α − · K F β

Q− .

În plus: U ( K F (t ), K C (t )) = (1 – f )·[ p( Q )·( Q ) − a· K F (t ) + β

α · K F +

+ β

Q] + a· K F (t )

La varianta 10 avem atât ψ1(t ) = const. = 1 cât şi ψ2 = 1 + γ·ψ3 deciecuaţiile în variabilele adjuncte din sistemul canonic devin:

)(),(

t K

K K U

C

C F

∂

∂= i

γ·3ψ & (t ) = (i + a)·( 1 + γ·ψ3) – )(

),(t

K

K K U

F

C F

∂

∂

3ψ & (t ) = (i + b)·ψ3(t ) + (1 – f )·r

şi conduce la:a = b

)(),(

t K

K K U

C

C F

∂

∂= i ⇒ (1 – f )·[ β ·

Q

Q p

∂∂ )(

·Q + β ·p(Q) – 1] = i

)(),(

t K

K K U

F

C F

∂

∂= (i + a) – (1 – f )·r ⇒ (1 – f )·[α ·

Q

Q p

∂∂ )(

·Q + α ·p(Q) – a] +

+ a = (i + a) – (1 – f )·r



sau:

a = b

(1 – f )( α + β·r) = i·( β − α)

p(Q) =Q

C 1⋅ +

β

11 +− f

i

⇒ K C = β

α − · K F

β

Q− .

Acest caz este de asemenea foarte particular şi va fi eliminat din analiză.Din cele de mai sus rezultă că este suficient să analizăm doar

sistemul format din primele ecuaţii ale sistemului canonic (care va fi numitîn continuare sistemul canonic redus) pentru variantele:

Solu ţ ia

1 α⋅ K F + β⋅ K C = Q , F = γ· I F , D = 0, a = b2 α⋅ K F + β⋅ K C = Q , F = γ· I F , D = Dmax, a = b

3 α⋅ K F + β⋅ K C = Q , F = γ· I F , D oarecare, Y = 04 F = γ· I F , D = 0, Y = 05 F = γ· I F , D = Dmax, Y = 06 α⋅ K F + β⋅ K C = Q , F = γ· I F , D oarecare, Y = k ·( K F + K C )7 F = γ· I F , D = 0, Y = k ·( K F + K C )8 F = γ· I F , D = Dmax, Y = k ·( K F + K C )

9 α⋅ K F + β⋅ K C = Q , I F = I max, F = γ· I F , D oarecare10 I F = I max, F = γ· I F , D = 011 I F = I max, F = γ· I F , D = Dmax

12 α⋅ K F + β⋅ K C = Q , I F = I max, F = γ· I F , D oarecare, Y = 013 I F = I max, F = γ· I F , D = 0, Y = 014 I F = I max, F = γ· I F , D = Dmax, Y = 015 α⋅ K F + β⋅ K C = Q , I F = I max, F = γ· I F , D oarecare, Y = k ·( K F + K C )16 I F = I max, F = γ· I F , D = 0, Y = k ·( K F + K C )

17 I F = I max, F = γ· I F , D = Dmax, Y = k ·( K F + K C )18 α⋅ K F + β⋅ K C = Q , D = 0, I F oarecare, F = 019 α⋅ K F + β⋅ K C = Q , D = Dmax, I F oarecare, F = 020 α⋅ K F + β⋅ K C = Q , D = 0, I F oarecare, F = 0, Y = 021 α⋅ K F + β⋅ K C = Q , D = Dmax, I F oarecare, F = 0, Y = 022 α⋅ K F + β⋅ K C = Q , D = 0, I F oarecare, F = 0, Y = k ·( K F + K C )23 α⋅ K F + β⋅ K C = Q , D = Dmax, I F oarecare, F = 0, Y = k ·( K F + K C )24 α⋅ K

F + β⋅ K

C = Q

, F = γ· I F

= 0, D oarecare



25 F = γ· I F = 0, D = 026 F = γ· I F = 0, D = Dmax

27 α⋅ K F + β⋅ K C = Q , F = γ· I F = 0, D oarecare, Y = 028 F = γ· I F = 0, D = 0, Y = 029 F = γ· I F = 0, D = Dmax, Y = 030 α⋅ K F + β⋅ K C = Q , F = γ· I F = 0, D oarecare, Y = k ·( K F + K C )31 F = γ· I F = 0, D = 0, Y = k ·( K F + K C )32 F = γ· I F = 0, D = Dmax, Y = k ·( K F + K C )33 α⋅ K F + β⋅ K C = Q , I F = I max, D oarecare, F = 034 I F = I max , D = 0, F = 035 I F = I max , D = Dmax, F = 036 α⋅ K F + β⋅ K C = Q , I F = I max, D = 0, F = 0

37 I F = I max, D = 0, F = 0, Y = 038 I F = I max, D = Dmax, F = 0, Y = 039 α⋅ K F + β⋅ K C = Q , I F = I max, Y = k ·( K F + K C ), D oarecare, F = 040 I F = I max, D = 0, F = 0, Y = k ·( K F + K C )41 I F = I max, D = Dmax, F = 0, Y = k ·( K F + K C )

În continuare vom analiza evoluţia variabilelor de stare rezolvândsistemul canonic redus:

)(t K C & = U ( K F (t ), K C (t )) − (1 – f )·r ·Y (t ) − )(t D − )(t I F

)(t K F & = )(t I F − a· K F (t )

)(t Y & = )(t F − b·Y (t )

pentru fiecare din cele 41 de variante de mai sus.

Analiza traiectoriilor

Traiectoria 1 (α⋅ K F + β⋅ K C = Q , F = γ· I F , D = 0)


– β

α · )(t K F

& = (1 – f )·[ p( Q )· Q − a· K F (t ) + β

α · K F −

β

Q– r ·Y (t )] +

+ a· K F (t ) − )(t I F

)(t K F & = )(t I F − a· K F (t )

)(t Y & = γ· )(t I F − b·Y (t )

cu necunoscutele K F (t ), )(t I F şi Y (t ).



Prin eliminarea lui )(t K F

& din primele două ecuaţii obţinem o

ecuaţie algebrică în cele trei necunoscute din care îl putem scoate pe )(t I F

în funcţie de K F (t ) şi Y (t ):

(1 – β

α )· )(t I F = (1 – f )·[ p( Q )· Q − a· K F (t ) +

β

α · K F (t ) −

β

Q– r ·Y (t )] +

+ (1 − β

α )·a· K F (t )

)(t I F =( )

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

−−−

aa f

α β

β α )1(· K F (t ) –

( )

β

α −

−

1

1 r f ·Y (t ) +

+

β

α −

−

1

1 f ·( p( Q )· Q −

β

Q)

din care, prin înlocuirea lui )(t I F obţinut mai sus în ultimele două ecuaţii

ale sistemului canonic redus, obţinem:

)(t K F & =

( )α β

β α

−−− a f )1(

· K F (t ) – ( )

β

α

−

−

1

1 r f ·Y (t ) +

+

β

α −

−

1

1 f ·( p( Q )· Q −

β

Q)

)(t Y & = γ·( )

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

−−−

aa f

α β

β α )1(· K F (t ) –

( )⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

−−

br f

α β

γβ 1·Y (t ) +

+ γ·

β

α −

−

1

1 f

·[ p( Q )· Q − β

Q

]

care este un sistem liniar cu coeficienţi constanţi de două ecuaţii cu două necunoscute liniar. Prin rezolvarea acestuia se află evoluţiile capitalului fixşi datoriei firmei, evoluţia capitalului circulant din relaţia α⋅ K F + β⋅ K C = Q

apoi evoluţia investiţiilor firmei şi din aceasta evoluţia împrumuturilor f ăcute de firmă.



Traiectoria 2 (α⋅ K F + β⋅ K C = Q , F = γ· I F , D = Dmax)


– β

α · )(t K

F

& = (1 – f )·[ p( Q )· Q - a· K F (t ) + β

α · K F −

β

Q– r ·Y (t )] +

+ a· K F (t ) – )(t I F – Dmax

)(t K F & = )(t I F – a· K F (t )

)(t Y & = γ· )(t I F – b·Y (t )

cu necunoscutele K F (t ), )(t I F şi Y (t ).

Prin eliminarea lui )(t K F & din primele două ecuaţii obţinem o

ecuaţie algebrică în cele trei necunoscute din care îl putem scoate pe )(t I F

în funcţie de K F (t ) şi Y (t ):

(1– β

α )· )(t I F = (1– f )·[ p( Q )· Q – a· K F (t ) +

β

α · K F (t ) –

β

Q– r ·Y (t )] +

+ (1 – β

α )·a· K F (t ) – Dmax

)(t I F =( )

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

−−−

aa f

α β

β α )1(· K F (t ) –

( )

β

α −

−

1

1 r f ·Y (t ) +

β

α −

−

1

1 f ( p( Q ) Q –

β

Q) –

– α β

β

− Dmax

din care, prin înlocuirea lui )(t I F obţinut mai sus în ultimele două ecuaţiiale sistemului canonic redus, obţinem:

)(t K F & =

( )α β

β α

−−− a f )1(

· K F (t ) – ( )

β

α −

−

1

1 r f ·Y (t ) +

β

α −

−

1

1 f ·( p( Q )· Q –

β

Q) –

– α β

β

− Dmax

)(t Y & = γ·( )

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

−−−

aa f

α β

β α )1(· K F (t ) –

( )⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

−−

br f

α β

γβ 1·Y (t ) +

+ γ·[

β

α −

−

1

1 f · p( Q )· Q -

α β

β

− Dmax]



care este un sistem liniar cu coeficienţi constanţi de două ecuaţii cu două necunoscute liniar. Prin rezolvarea acestuia se află evoluţiile capitalului fixşi datoriei firmei, apoi evoluţia investiţiilor firmei şi din aceasta evoluţiaîmprumuturilor f ăcute de firmă.

Traiectoria 3 (α⋅ K F + β⋅ K C = Q , F = γ· I F , D oarecare, Y = 0)


)(t K C & = (1 – f )·[ p( Q )· Q − a· K F (t ) +

β

α · K F –

β

Q] + a· K F (t ) − )(t D

)(t K F & = − a· K F (t )

0 = )(t F = )(t I F

Din a doua ecuaţie rezultă evoluţia capitalului fix:

K F (t ) = 0 F K ·e-a·t de unde rezultă imediat evoluţia capitalului circulant:

K C (t ) = β

Q– β

α · 0

F K ·e-a·t şi evoluţia dividendelor plătite din prima

ecuaţie:

)(t D = ( f ·a + (−a + 1 – f )· β

α

)·0

F K ·e-a·t

+ (1 – f )·[ p( Q )· Q – β

Q

]

Pe această traiectorie firma plăteşte dividende, dar din ce în ce mai

puţine, are o evoluţie crescătoare asimptotic spre β

Qa capitalului circulant

şi descrescătoare asimptotic spre 0 a capitalului fix, nu face împrumuturi, nuare datorii şi nu face investiţii, păstrând veniturile, preţul de vânzare şi producţia la un nivel constant.

Traiectoria 4 ( F = γ· I F , D = 0, Y = 0)


)(t K C & = U ( K F (t ), K C (t ))

)(t K F & = − a· K F (t )

Y (t ) = )(t I F = )(t F = 0



Din a treia ecuaţie rezultă că firma nu are datorii (Y = 0), nu se facinvestiţii ( I F (t ) = 0), nu se plătesc dividende (nu se retrag bani din firmă)( D = 0) şi are loc o restructurare a activităţii firmei prin scăderea puternică acapitalului fix al firmei:

K F (t ) = 0 F K ·e-a·t → 0

iar evoluţia capitalului circulant va fi aflat din prima ecuaţie după înlocuireaîn aceasta a lui K F (t ).

Traiectoria poate fi traiectorie iniţială doar dacă Y 0 = 0.Valoarea maximă a valorii firmei va fi dată de valoarea finală


Traiectoria 5 ( F = γ· I F , D = Dmax, Y = 0)


)(t K C & = U ( K F (t ), K C (t )) - Dmax

)(t K F & = − a· K F (t )

Y (t ) = )(t I F = )(t F = 0

Din a treia ecuaţie rezultă că firma nu are datorii (Y = 0), nu se facinvestiţii ( I F (t ) = 0), se plătesc dividende la maxim ( D = Dmax) şi are loc orestructurare a activităţii firmei prin scăderea puternică a capitalului fix alfirmei:

K F (t ) = 0 F K ·e-a·t → 0

iar evoluţia capitalului circulant va fi aflat din prima ecuaţie după înlocuireaîn aceasta a lui K F (t ).

Traiectoria poate fi traiectorie iniţială doar dacă Y 0 = 0.Valoarea maximă a valorii firmei va fi:

i

1

·(1 – e-iT

)· Dmax + [ K F (T ) + K C (T )]·e-iT

Traiectoria 6 (α⋅ K F + β⋅ K C = Q , F = γ· I F , D oarecare, Y = k ·( K F + K C ))


− β

α · )(t K F

& = (1 – f )·[ p( Q )· Q − a· K F (t ) + β

α · K F −

β

Q– r ·k ·( K F + K C )] +

+ a· K F (t ) − )(t D − )(t I F



)(t K F

& = )(t I F − a· K F (t )

k ·( )(t K F & -

β

α · )(t K F

& ) = γ· )(t I F − b·k ·( K F (t ) − β

α · K F +

β

Q)

Din ultimele două ecuaţii se elimină termenul )(t I F şi obţinem oecuaţie liniar ă cu coeficienţi constanţi în K F (t ):

)(t K F & =

γβ α β

α β βγ

−−+−

k k

bk bk a· K F (t ) -

γβ α β −− k k

Qbk

din care se obţine imediat evoluţia capitalului fix:

K F (t ) = [α β βγ bk bk a

Qbk

+−+

+ ( 0 F K –

α β βγ bk bk a

Qbk

+−)·

T k k

bk bk a

e γβ α β

α β βγ

−−+−−

]·t

k k

bk bk a

e γβ α β

α β βγ

−−+−−

Vom afla apoi evoluţia capitalului circulant din relaţia K C = − β

α K F +

β

Q,

evoluţia investiţiilor din a doua ecuaţie a sistemului canonic redus, evoluţiadatoriei din relaţia Y = k ·( K F + K C ), evoluţia împrumuturilor din relaţia F = γ· I F şi în final evoluţia dividendelor din prima ecuaţie a sistemului

canonic redus.Traiectoria 7 ( F = γ· I F , D = 0, Y = k ·( K F + K C ))


)(t K C & = U ( K F (t ), K C (t )) – (1 – f )·r ·k ·( K F (t ) + K C (t )) − )(t I F

)(t K F & = )(t I F − a· K F (t )

k ·( )(t K F & + )(t K C

& ) = γ· )(t I F – b·k ·( K F (t ) + K C (t ))

În acest caz sistemul s-a redus la trei ecuaţii cu trei necunoscute

K F (t ), K C (t ), I F (t ) din care doar K F (t ) şi K C (t ) apar derivate în ecuaţii.Înlocuind derivatele capitalului fix şi capitalului circulant din primele două ecuaţii în a treia ecuaţie obţinem:

k ·[U ( K F (t ), K C (t )) – (1 – f )·r ·k ·( K F (t ) + K C (t )) − a· K F (t )] == γ· I F (t ) − b·k ·( K F (t ) + K C (t ))


I F (t ) = V ( K F (t ), K C (t ))



După înlocuirea expresiei investiţiei I F (t ) obţinută mai sus în primeledouă ecuaţii se obţine un sistem de două ecuaţii în K F (t ) şi K C (t ):

)(t K C & = f 1( K F (t ), K C (t ))

)(t K F & = f 2( K F (t ), K C (t ))

şi condiţiile iniţiale K C (0) = 0C K , K F (0) = 0

F K din care vom scoate

evoluţiile capitalului fix K F (t ) şi a celui circulant K C (t ), apoi valoareainvestiţiei I F (t ) şi a împrumutului F (t ).

Evoluţia capitalului va depinde evident de forma funcţiei preţ p( K F (t ), K C (t )) şi valoarea firmei va fi dată doar de valoarea finală actualizată a capitalului total.


capitalului împrumutat este maxim Y = k ·( K F + K C ) şi nu plăteşte dividende.Traiectoria poate fi traiectorie iniţială doar dacă Y 0 = k ·( 0

F K + 0C K ).



Rezolvarea în acest caz este asemănătoare cu cea de la traiectoria 7,singura diferenţă constând în faptul că în sistemul din care vor fi aflate

evoluţiile capitalului vom avea şi D = Dmax.În acest caz firma face împrumuturi la maxim F = γ· I F , nivelulcapitalului împrumutat este maxim Y = k ·( K F + K C ) şi plăteşte dividende lamaxim.


C K ).


i


Traiectoria 9 (α⋅ K F + β⋅ K C = Q , I F = I max, F = γ· I F , D oarecare)

− β

α · )(t K F

& = (1 – f )·[ p( Q )· Q - a· K F (t ) + β

α · K F (t ) −

β

Q– r ·Y (t )] +

+ a· K F (t ) − )(t D − I max

)(t K F & = I max − a· K F (t )

)(t Y & = γ· I max − b·Y (t )

K F (t ) =a

I max + ( 0 F K −

a

I max )·e-a·t



I max pentru

0 F K −

a

I max > 0;

2. O evoluţie constantă K F (t ) =

a


a

I max = 0;



a

I max < 0


Y (t ) =b

I max⋅γ + (Y 0 −

b


În funcţie de valoarea iniţială a datoriei firmei Y 0, a valorii maxime

posibile a investiţiei I max, a ratei de înapoiere a debitelor b şi a cotei maximea împrumuturilor din valoarea investiţie γ putem avea pentru evoluţiadatoriei firmei:


I max⋅γ pentru

Y 0 − b

I max⋅γ > 0;

2. O evoluţie constantă K F (t ) =b

I max⋅γ pentru Y

0 −

b

I max⋅γ = 0;

3. O evoluţie crescătoare asimptotic spreb

I max⋅γ pentru Y 0 −

b

I max⋅γ < 0

Evoluţia capitalului circulant se obţine din relaţia α⋅ K F + β⋅ K C = Q şi înlocuind evoluţiile capitalului fix şi a datoriei în prima ecuaţie obţinemevoluţia dividendelor.

Pe această traiectorie firma face investiţii şi împrumuturi la maxim,evoluţia capitalului fix, a celui circulant, a datoriei şi dividendelor

depinzând de valorile concrete ale parametrilor.

Traiectoria 10 ( I F = I max, F = γ· I max, D = 0)


)(t K C & = U ( K F (t ), K C (t )) – (1 – f )·r ·Y (t ) – I max

)(t K F & = I max – a· K F (t )

)(t Y & = γ· I max – b·Y (t )


K F (t ) =a

I max + ( 0 F K –

a

I max )·e-a·t

În funcţie de valoarea iniţială a capitalului fix, a valorii maxime posibile a investiţiei I

max şi a ratei de amortizare a putem avea:



a

I max > 0;



a

I max = 0;



a

I max < 0.


Y (t ) =b

I max⋅γ + (Y

0 –

b


În funcţie de valoarea iniţială a datoriei firmei Y 0, a valorii maxime

posibile a investiţiei I max, a ratei de înapoiere a debitelor b şi a cotei maximea împrumuturilor din valoarea investiţie γ putem avea pentru evoluţiadatoriei firmei:


I max⋅γ pentru

Y 0 – b

I max⋅γ > 0;

2. O evoluţie constantă K F (t ) =b

I max⋅γ pentru Y

0 –

b

I max⋅γ = 0;

3. O evoluţie crescătoare asimptotic spreb

I max⋅γ pentru

Y 0 –

b

I max⋅γ < 0.



Înlocuind evoluţiile capitalului fix şi a datoriei în prima ecuaţie

obţinem o ecuaţie în capitalul circulant:

)(t K C & = f (t , K C (t ))

din care obţinem evoluţia capitalului circulant:Pe această traiectorie firma nu plăteşte dividende (nu retrage bani),

face investiţii şi împrumuturi la maxim şi are o evoluţie de stabilizare avalorii capitalului fix şi a datoriei firmei.


Traiectoria 11 ( I F = I max, F = γ· I F , D = Dmax)

Sistemul canonic devine:)(t K C & = U ( K F (t ), K C (t )) – (1 – f )·r ·Y (t ) – I max – Dmax

)(t K F & = I max – a· K F (t )

)(t Y & = γ· I max – b·Y (t )

Rezolvarea în acest caz este identică cu cea de la traiectoria 10 cudiferenţa că în expresia lui f (t , K C (t )) din ecuaţia de dinamică a capitaluluicirculant va apărea şi valoarea maximă a dividendelor Dmax.

Pe această traiectorie firma plăteşte dividende la maxim(retrage bani

la maxim), face investiţii şi împrumuturi la maxim şi are o evoluţie destabilizare a valorii capitalului fix şi a datoriei firmei.


i


Traiectoria 12 (α⋅ K F + β⋅ K C = Q , I F = I max, F = γ· I F , D oarecare,Y = 0)

În acest caz din ultima ecuaţie a sistemului canonic redus, coroborată cu relaţia F = γ· I F = γ· I max rezultă I max = 0 ceea ce contrazice ipoteza I max > 0,deci traiectoria nu este admisibilă.

Traiectoria 13 ( I F = I max, F = γ· I max, D = 0, Y = 0)


0 = γ· I max + 0

de unde rezultă I max = 0 în contradicţie cu ipoteza I max > 0 deci traiectoria nu

este admisibilă.



Traiectoria 14 ( I F = I max, F = γ· I max, D = Dmax, Y = 0)


0 = γ· I max + 0

de unde rezultă I max = 0 în contradicţie cu ipoteza I max > 0 deci traiectoria nueste admisibilă.

Traiectoria 15 (α⋅ K F + β⋅ K C = Q , I F = I max, F = γ· I F , D oarecare,Y = k ·( K F + K C ))


− β

α · )(t K F

& = (1 – f )·[ p( Q )· Q – a· K F (t )+ β

α · K F (t ) –

β

Q–

− r ·k ·( K F − β α · K F (t ) +

β Q )]+a· K F (t ) – )(t D – I max

)(t K F & = I max – a· K F (t )

)(t Y & = γ· I max – b·Y (t )

Din ultima ecuaţie rezultă:

k ·( )(t K F & –

β

α · )(t K F

& ) = γ· I max – b·k ·( K F (t ) – β

α · K F (t ) +

β

Q)

)(t K F & =)(

max

α β γβ

−−⋅

k Qbk I – b· K F (t )

care, coroborată cu a doua ecuaţie a sistemului, necesită a = b şi

I max =)(

max

α β

γβ

−

−⋅

k

Qbk I , deci o situaţie cu totul particular ă.

În acest caz capitalul circulant ar depinde liniar de capitalul fix,datoria firmei ar fi maximă, firma ar face împrumuturi şi investiţii la maxim,

ar păstra producţia, preţul şi vânzările la un nivel constant şi ar plătidividende.

Traiectoria 16 ( I F = I max, F = γ· I max, D = 0, Y = k ·( K F + K C ))


)(t K C & = U ( K F (t ), K C (t )) − (1 – f )·r ·Y (t ) – I max

)(t K F & = I max − a· K F (t )

)(t Y & = γ· I max - b·Y (t )

La acest sistem se adaugă şi ecuaţia: Y (t ) = k ·( K F (t ) + K C (t ))



Din ultimele două ecuaţii se află evoluţiile capitalului fix şi datoriei

firmei:

K F (t ) =

a

I max + ( 0 F K −

a

I max )·e-a·t

Y (t ) = γ·b

I max + (Y 0 – γ·b

I max )·e-b·t

din care obţinem imediat evoluţia capitalului circulant din egalitateaY = k ·( K F + K C ):

K C (t ) =k

1·Y (t ) – K F (t ) =

k

1·[ γ·

b

I max + (Y 0 – γ·b

I max )·e-b·t ] –

− [ a

I max

++ ( 0 F K − a

I max

)·e-a·t

] =

= ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −akb

1γ · I max +

k

1·(Y 0 – γ·

b

I max )·e-b·t – ( 0 F K −

a

I max )·e-a·t

Soluţia este admisibilă doar dacă verifică şi prima ecuaţie, caz încare avem o evoluţie a firmei în care nu se plătesc dividende, se facinvestiţii şi împrumuturi la maxim, firma este îndatorată la maxim obţinândo creştere rapidă atât a capitalului fix cât şi a celui circulant.

Traiectoria poate fi traiectorie iniţială doar dacă Y

0

= k ·(0

F K +0

C K ).Valoarea maximă a valorii firmei va fi:

[ K F (T ) + K C (T )]·e-iT

Traiectoria 17 ( I F = I max, F = γ· I max, D = Dmax, Y = k ·( K F + K C ))

Discuţia este aceeaşi cu cea de la traiectoria 16 cu diferenţa că înacest caz se plătesc dividende, expresia acestora influenţând doar evoluţiacapitalului circulant

Pe această traiectorie se fac investiţii şi împrumuturi la maxim, se plătesc dividende la maxim şi nivelul datoriei este maxim. Firma este într-o perioadă de creştere rapidă a capitalului fix şi a nivelului datoriei în paralelcu o evoluţie lentă a capitalului circulant.


C K ).


i




Traiectoria 18 (α⋅ K F + β⋅ K C = Q , D = 0, I F oarecare, F = 0)


– β

α · )(t K F

& = (1 – f )·[ p( Q )· Q - a· K F (t ) + β

α · K F -

β

Q– r ·Y (t )] +

+ a· K F (t ) - )(t I F

)(t K F & = )(t I F − a· K F (t )

)(t Y & = − b·Y (t )

Din ultima ecuaţie se obţine evoluţia împrumuturilor f ăcute de firmă:Y (t ) = Y

0·e-bt care se înlocuieşte în prima ecuaţie. De asemenea, din a doua ecuaţie se

scoate )(t I F în funcţie de K F (t ) şi se introduce în prima ecuaţie, rezultând oecuaţie liniar ă cu coeficientul termenului de gradul unu constant în K F (t ):

(1– β

α )· )(t K F

& = (1 – f ) ( β

α − a)· K F (t ) + (1 – f )·[ p( Q )· Q −

β

Q– r ·Y

0·e-bt ]

După aflarea evoluţiei capitalului fix din această ecuaţie se pot aflaimediat evoluţiile capitalului circulant şi ale investiţiilor firmei.

Pe această traiectorie firma nu face împrumuturi noi, nu dă dividende, îşi plăteşte datoriile şi are o evoluţie crescătoare a capitalului fix

şi circulant.Traiectoria 19 (α⋅ K F + β⋅ K C = Q , D = Dmax, I F oarecare, F = 0)


– β

α · )(t K F

& = (1 – f )·[ p( Q )· Q – a· K F (t ) + β

α · K F –

β

Q– r ·Y (t )] +

+ a· K F (t ) – )(t I F – Dmax

)(t K F & = )(t I F − a· K F (t )

)(t Y & = – b·Y (t )Din ultima ecuaţie se obţine evoluţia împrumuturilor f ăcute de firmă:

Y (t ) = Y 0·e-bt care se înlocuieşte în prima ecuaţie. De asemenea, din a doua ecuaţie sescoate )(t I F în funcţie de K F (t ) şi se introduce în prima ecuaţie, rezultând oecuaţie liniar ă cu coeficientul termenului de gradul unu constant în K F (t ):

(1–

β

α ) )(t K F

& = (1 – f ) (

β

α – a)· K F (t ) + (1 – f )·[ p( Q ) Q –

β

Q – r ·Y 0·e-bt ]– Dmax



După aflarea evoluţiei capitalului fix din această ecuaţie se pot afla

imediat evoluţiile capitalului circulant şi ale investiţiilor firmei.

Pe această traiectorie firma nu face împrumuturi noi, plăteştedividende maxime şi îşi plăteşte datoriile.

Traiectoria 20 (α⋅ K F + β⋅ K C = Q , D = 0, I F oarecare, F = 0, Y = 0)


– β

α · )(t K F

& = (1 – f )·[ p( Q )· Q – a· K F (t ) + β

α K F –

β

Q] +a· K F (t ) – )(t I F

)(t K F & = )(t I F – a· K F (t )

Y (t ) = 0

Din a doua ecuaţie se scoate )(t I F în funcţie de K F (t ) şi se introduceîn prima ecuaţie, rezultând o ecuaţie liniar ă cu coeficienţi constanţi:

(1– β

α )· )(t K F

& = (1 – f ) ( β

α - a)· K F (t ) + (1 – f )·[ p( Q )· Q –

β

Q]


Pe această traiectorie firma nu face împrumuturi noi, nu are datorii,nu plăteşte dividende menţinând producţia, preţul produselor şi vânzările laun nivel constant.

Traiectoria 21 (α⋅ K F + β⋅ K C = Q , D = Dmax, I F oarecare, F = 0, Y = 0)


– β

α · )(t K F

& = (1 – f )·[ p( Q )· Q – a· K F (t ) + β

α · K F –

β

Q] + a· K F (t ) –

– )(t I F – Dmax

)(t K F & = )(t I F – a· K F (t )

Y (t ) = 0


(1– β

α )· )(t K F

& = (1 – f ) ( β

α – a)· K F (t ) + (1 – f )·[ p( Q )· Q –

β

Q] – Dmax




Pe această traiectorie firma nu face împrumuturi noi, nu are datorii şi plăteşte dividende maxime, menţinând producţia, preţul produselor şivânzările la un nivel constant.

Traiectoria 22 (α⋅ K F + β⋅ K C = Q , D = 0, I F oarecare, F = 0,Y = k ·( K F + K C ))


– β

α · )(t K F

& = (1 – f )·[ p( Q )· Q – a· K F (t )+ β

α K F –

β

Q – r ·k ·( K F –

β

α K F +

β

Q)]+

+a· K F (t ) – )(t I F )(t K F

& = )(t I F – a· K F (t )

k ·( )(t K F & + –

β

α · )(t K F

& ) = – b·k ·( K F + – β

α · K F +

β

Q)

şi este un sistem de trei ecuaţii cu două necunoscute: )(t I F şi K F (t ).

Scoatem )(t I F din a doua ecuaţie şi o înlocuim în prima şi prima şia treia ecuaţie devin:

(1 – β

α )· )(t K F

& = (1– f )·[ β

α – a – rk ·(1–

β

α )]· K F (t ) +

+ [(1– f )·( p( Q )· Q – β

Q) – rk ·

β

Q]

)(t K F & = – b· K F (t ) – Q

bk

α β −

din care rezultă că, pentru ca sistemul să aibă soluţie, este necesar ca:(1– f )·[

β

α – a – rk ·(1-

β

α )] = – b·(1–

β

α )

(1– f )·( p( Q )· Q – β

Q) – rk ·

β

Q= – Q

bk

β

Situaţia este evident foarte particular ă şi nu va mai fi analizată.



Traiectoria 23 (α⋅ K F + β⋅ K C = Q , D = Dmax, I F oarecare, F = 0,

Y = k ·( K F + K C ))


– β α · )(t K F & = (1– f )·[ p( Q )· Q – a· K F (t )+

β α · K F –

β Q – r ·k ·( K F –

β α · K F +

β Q )] +

+a· K F (t ) – )(t I F – Dmax

)(t K F & = )(t I F – a· K F (t )

k ·( )(t K F & + –

β

α · )(t K F

& ) = – b·k ·( K F + – β

α · K F +

β

Q)

şi este un sistem de trei ecuaţii cu două necunoscute: )(t I F şi K F (t ).

Scoatem )(t I F din a doua ecuaţie şi o înlocuim în prima şi prima şia treia ecuaţie devin:

(1– β

α )· )(t K F

& = (1– f )·[ β

α − a – rk ·(1–

β

α )]· K F (t ) +

+ [(1– f )·( p( Q )· Q – β

Q) – rk ·

β

Q– Dmax]

)(t K F

& = – b· K F (t ) – Qbk

α β −

din care rezultă că, pentru ca sistemul să aibă soluţie, este necesar ca:

(1– f )·[ β

α – a – rk ·(1 −

β

α )] = – b·(1–

β

α )

(1– f )·( p( Q )· Q – β

Q) – rk ·

β

Q– Dmax = – Q

bk

β

Situaţia este evident foarte particular ă şi nu va mai fi analizată.

Traiectoria 24 (α⋅ K F + β⋅ K C = Q , F = γ· I F = 0, D oarecare)Sistemul canonic redus devine:

– β

α · )(t K F

& = (1 – f )·[ p( Q )· Q – a· K F (t ) + β

α · K F –

β

Q– r ·Y (t )] +

+ a· K F (t ) – )(t D

)(t K F & = – a· K F (t )

)(t Y & = – b·Y (t )



Din ultimele două ecuaţii se obţin evoluţiile capitalului fix:

K F (t ) = 0 F K ·e-a·t ⇒ K C (t ) = –

β

α · 0

F K ·e-a·t + β

Q

şi datoriei firmei:

Y (t ) = Y 0·e-b·t

care se înlocuiesc în prima ecuaţie din care se află evoluţia dividendelor plătite.

Pe această traiectorie firma nu face nici împrumuturi nici investiţii, plăteşte ratele la credite, are o evoluţie descrescătoare a capitalului fix şicrescătoare a celui circulant pe fondul menţinerii unui nivel constant al

producţiei, preţului şi vânzărilor.

Traiectoria 25 ( F = γ· I F = 0, D = 0)


)(t K C & = U ( K F (t ), K C (t )) – (1 – f )·r ·Y (t )

)(t K F & = – a· K F (t )

)(t Y & = – b·Y (t )


K F(t) = 0 F K ·e-a·t

Y(t) = Y0·e-b·t


)(t K C

& = f (t , K C (t ))

din care va rezulta evoluţia capitalului circulant.Pe această traiectorie firma nu face investiţii, nu face împrumuturi,

nu plăteşte dividende, are loc o scădere a capitalului fix în paralel cueliminarea rapidă a datoriilor, evoluţia capitalului circulant depinzând de parametrii sistemului

Valoarea finală a firmei va fi dată de valoarea finală actualizată acapitalului propriu.



Traiectoria 26 ( F = γ· I F = 0, D = Dmax)


)(t K C & = (U ( K F (t ), K C (t )) − (1 – f )·r ·Y (t ) − Dmax

)(t K F & = −a· K F (t ))(t Y & = −b·Y (t )


K F(t) = 0 F K ·e-a·t

Y(t) = Y0·e-b·t

iar după înlocuirea acestora în prima ecuaţie ecuaţia de dinamică a

capitalului circulant:)(t K C

& = f (t , K C (t ))

din care va rezulta evoluţia capitalului circulant.

Pe această traiectorie firma nu face investiţii, nu face împrumuturi, plăteşte dividende la maxim, are loc o scădere a capitalului fix în paralel cueliminarea rapidă a datoriilor, evoluţia capitalului circulant depinzând de parametrii sistemului


i


Traiectoria 27 (α⋅ K F + β⋅ K C = Q , F = γ· I F = 0, D oarecare, Y = 0)


– β

α · )(t K F

& = (1 – f )·[ p( Q )· Q − a· K F (t ) + β

α · K F −

β

Q] +

+ a· K F (t ) − )(t D

)(t K F & = −a· K F (t )

Y (t ) = F (t ) = I F (t ) = 0

Din a doua ecuaţie aflăm evoluţia capitalului fix:

K F (t ) = 0 F K ·e-a·t ⇒ K C (t ) = −

β

α · 0

F K ·e-a·t + β

Q

care se înlocuieşte în prima ecuaţie din care se scoate evoluţia dividendelor.



Pe această traiectoria firma nu are datorii, nu face investiţii, plăteştedividende, are loc o uzur ă a capitalului fix suplinită de o creştere acapitalului circulant utilizat, pe fondul unei menţineri constante a producţiei, preţului de vânzare şi a volumului vânzărilor.

Traiectoria 28 ( F = γ· I F = 0, D = 0, Y = 0)


)(t K C & = U ( K F (t ), K C (t ))

)(t K F & = −a· K F (t )

0 = 0

Din acesta rezultă imediat evoluţia capitalului fix: K F (t ) = 0

F K ·e-a·t

şi apoi, după înlocuirea acestei soluţii în prima ecuaţie, cea a capitaluluicirculant.




)(t K C & = U ( K F (t ), K C (t )) − Dmax

)(t K F & = −a· K F (t )

0 = 0

Din acesta rezultă imediat evoluţia capitalului fix: K F (t ) = 0

F K ·e-a·t

şi apoi, după înlocuirea acestei soluţii în prima ecuaţie, cea a capitaluluicirculant.

Pe această traiectorie firma nu are datorii, nu face împrumuturi, nuface investiţii, plăteşte dividende la maxim, are loc o scădere a capitaluluifix, evoluţia capitalului circulant depinzând de parametrii sistemului.



Traiectoria 30 (α⋅ K F + β⋅ K C = Q , F = γ· I F = 0, D oarecare,

Y = k ·( K F + K C ))


– β α · )(t K F & = (1 – f )·[ p( Q )· Q – a· K F (t ) +

β α · K F –

β Q –

– r ·k ·( K F - β

α · K F +

β

Q)] + a· K F (t ) – )(t D

)(t K F & = – a· K F (t )

k ·( )(t K F & + –

β

α · )(t K F

& ) = – b·k ·( K F (t ) – β

α · K F (t ) +

β

Q)

Ultimele două ecuaţii formează un sistem de două ecuaţii cu osingur ă necunoscută:

)(t K F & = – a· K F (t )

)(t K F & ) = – b· K F (t ) −

α β −

Qb

care are soluţie doar dacă a = b şi b· Q = 0 ⇒ Q = 0 ⇒ K F (t ) = K C (t ) = 0deci traiectoria nu este admisibilă.

Traiectoria 31 ( F = γ· I F = 0, D = 0, Y = k ·( K F + K C ))Sistemul canonic va fi:

)(t K C & = U ( K F (t ), K C (t )) – (1 – f )·r ·Y (t )

)(t K F & = – a· K F (t )

)(t Y & = – b·Y (t )

la care se adaugă ecuaţia suplimentar ă Y = k ·( K F + K C ).

Acest caz este posibil doar dacă soluţia dată de sistemul canonicverifică şi ecuaţia suplimentar ă.

Din ultimele două ecuaţii se află imediat evoluţia capitalului fix şi adatoriei firmei:

K F (t ) = 0 F K ·e-a·t

Y (t ) = Y 0·e-b·t

şi din relaţia suplimentar ă evoluţia capitalului circulant:

K C (t ) =k

1·Y 0·e-b·t – 0

F K ·e-a·t



Soluţia este admisibilă doar dacă verifică şi ecuaţia de dinamică acapitalului circulant, ceea ce e echivalent cu:

U ( 0 F K ·e-a·t ,

k

1·Y 0·e-b·t – 0

F K ·e-a·t ) = – bk

1·Y 0·e-b·t + a 0

F K ·e-a·t + (1 – f )·r ·Y 0·e-b·t


Traiectoria 32 ( F = γ· I F = 0, D = Dmax, Y = k ·( K F + K C ))


)(t K C & = U ( K F (t ), K C (t )) – (1 – f )·r ·Y (t ) − Dmax

)(t K F & = – a· K F (t )

)(t Y & = – b·Y (t )

la care se adaugă ecuaţia suplimentar ă Y = k ·( K F + K C ).Acest caz este posibil doar dacă soluţia dată de sistemul canonicverifică şi ecuaţia suplimentar ă.

Din ultimele două ecuaţii se află imediat evoluţia capitalului fix şi adatoriei firmei:

K F (t ) = 0 F K ·e-a·t

Y (t ) = Y 0·e-b·t


K C (t ) =k 1 ·Y 0·e-b·t – 0

F K ·e-a·t


U ( 0 F K ·e-a·t ,

k

1·Y 0·e-b·t – 0

F K ·e-a·t ) = – bk

1·Y 0·e-b·t + a 0

F K ·e-a·t +

+ (1 – f )·r ·Y 0·e-b·t + Dmax


Traiectoria 33 (α⋅ K F + β⋅ K C = Q , I F = I max, D oarecare, F = 0)


– β

α · )(t K F

& = (1 – f )·[ p( Q )· Q – a· K F (t ) + β

α · K F –

β

Q– r ·Y (t )] +

+ a· K F (t ) – I max – )(t D

)(t K F & = I max – a· K F (t )

)(t Y &

= – b·Y (t )



Din ultima ecuaţie se află evoluţia datoriei firmei:

Y (t ) = Y 0·e-b·t


K F (t ) =a

I max + ( 0 F K –

a

I max )·e-a·t

Prin înlocuirea acestora în prima ecuaţie se obţine evoluţiadividendelor iar din relaţia α⋅ K F + β⋅ K C se obţine evoluţia capitaluluicirculant:

K C (t ) = β

Q– β

α ·[

a

I max + ( 0 F K –

a

I max )·e-a·t ]

Pe această traiectorie firma face investiţii la maxim, nu mai faceîmprumuturi, plăteşte dividende şi rate la credite menţinând un nivelconstant al producţiei şi preţului de vânzare pe fondul unui raport invers alevoluţiei capital circulant – capital fix.



)(t K C &

= U ( K F (t ), K C (t )) – (1 – f )·r ·Y (t ) – I max

)(t K F & = I max – a· K F (t )

)(t Y & = – b·Y (t )


Y (t ) = Y 0·e-b·t


K F (t ) =a

I max + ( 0 F K –

a I max )·e-a·t



I max pentru

0 F K –

a

I max > 0;

a

I max = 0;

3. O evoluţie crescătoare asimptotic spre

a

I max pentru

0 F K –

a

I max < 0


)(t K C & = f (t , K F (t ))

din care se află evoluţia capitalului circulant





)(t K C & = U ( K F (t ), K C (t )) – (1 – f )·r ·Y (t ) – I max – Dmax

)(t K F & = I max – a· K F (t ))(t Y & = – b·Y (t )


Y (t ) = Y 0·e-b·t


K F (t ) =a

I max + ( 0 F K –

a

I max )·e-a·t



I max pentru

0 F K –

a

I max > 0;

2. O evoluţie constantă K F (t ) =

a


a

I max = 0;

3. O evoluţie crescătoare asimptotic spre

a


a

I max < 0.


)(t K C & = f (t , K F (t ))

din care se află evoluţia capitalului circulantPe această traiectorie firma, plăteşte dividende la maxim, face

investiţii la maxim, nu face împrumuturi şi are o evoluţie de stabilizare avalorii capitalului fix şi de scădere a datoriei firmei.

Valoarea maximă a valorii firmei va fi dată de valoarea finală actualizată a capitalului propriu al firmei plus suma dividendelor plătite învaloare actualizată.

Traiectoria 36 (α⋅ K F + β⋅ K C = Q , I F = I max, D = 0, F = 0)


– β

α · )(t K F

& = (1 – f )·[ p( Q )· Q – a· K F (t ) + β

α · K F -

β

Q– r ·Y (t )] +

+ a· K F (t ) – I max

)(t K F & = I max – a· K F (t )

)(t Y & = – b·Y (t )

Sistemul are trei ecuaţii şi două necunoscute: K F (t ) şi Y (t ).Din a treia ecuaţie se află evoluţia datoriei firmei:

Y (t ) = Y 0·e-b·t

care se înlocuieşte în prima ecuaţie şi primele două ecuaţii conduc la:

– β

α · )(t K F

& = (1 – f )·[ p( Q )· Q - β

Q– r ·Y

0·e-b·t ] + a· K F (t ) – I max +

+ (1 – f )·(

β

α – a)· K F (t )

)(t K F & = I max – a· K F (t )

care atrage condiţiile:

[(1 – f )·( β

α – a) + a]·

α

β = a

(1 – f )·[ p( Q )· Q – β

Q] – I max = I max

(1 – f )·r ·Y 0 = 0

Deoarece situaţia este mult prea particular ă va fi eliminată dinanaliză.



)(t K C & = U ( K F (t ), K C (t )) – I max

)(t K F & = I max – a· K F (t )

0 = 0


K F (t ) = a

I max

+ (0

F K – a

I max

)·e-a·t



I max pentru

0 F K –

a

I max > 0;



a

I max = 0;



a

I max < 0.

Soluţia găsită se înlocuieşte în prima ecuaţie şi obţinem ecuaţia dedinamică a capitalului circulant:

)(t K C & = f (t , K F (t ))

din care obţinem evoluţia capitalului circulant.

Pe această traiectorie firma nu plăteşte dividende (nu retrage bani),face investiţii la maxim, nu are datorii, nu face împrumuturi şi are o evoluţiede stabilizare a valorii capitalului fix.

)(t K C &

= U ( K F (t ), K C (t )) – I max – Dmax )(t K F

& = I max − a· K F (t )

0 = 0


K F (t ) =a

I max + ( 0 F K –

a

I max )·e-a·t



I max pentru

0 F K –

a

I max > 0;

2. O evoluţie constantă K F (t ) = a

I max

pentru0

F K – a

I max

= 0;



a

I max < 0.


)(t K C & = f (t , K F (t ))




Valoarea maximă a valorii firmei va fi dată de valoarea finală



Traiectoria 39 (α⋅ K F + β⋅ K C = Q , I F = I max, Y = k ·( K F + K C ), D oarecare, F = 0)


– β

α · )(t K F

& = (1– f )·[ p( Q )· Q – a· K F (t )+ β

α · K F –

β

Q– |

– r ·k ·( K F (t ) – β

α · K F (t )+

β

Q)]+a· K F (t ) – I max – )(t D

)(t K F & = I max – a· K F (t )

k ·( )(t K F & –

β

α · )(t K F

& ) = – b·k ·( K F (t ) – β

α · K F (t ) +

β

Q)

Din ultimele două ecuaţii cu o singur ă necunoscută rezultă:

)(t K F & = I max – a· K F (t )

)(t K F & = – b· K F (t ) –

α β −

Qb

şi, pentru a avea soluţie, este necesar ca a = b şi I max = – α β −

Qb

Situaţia este de asemenea foarte puţin probabilă şi va fi eliminată dinanaliză.

Traiectoria 40 ( I F = I max, D = 0, F = 0, Y = k ·( K F + K C ))


)(t K C & = U ( K F (t ), K C (t )) – (1 – f )·r ·Y (t ) – I max

)(t K F & = I max – a· K F (t )

)(t Y & = – b·Y (t )

la care se adaugă şi condiţia suplimentar ă Y = k ·( K F + K C ).Din ultima ecuaţie obţinem evoluţia datoriei firmei:

Y (t ) = Y 0·e-b·t


K F (t ) =a

I max + ( 0 F K –

a

I max )·e-a·t

a

I max pentru

0 F K –

a

I max > 0;



a

I max = 0;



a

I max < 0.


K C (t ) =k

1·Y 0·e-b·t – [

a

I max + ( 0 F K –

a

I max )·e-a·t ]


U ( 0 F K ·e-a·t ,

k

1·Y 0·e-b·t – 0

F K ·e-a·t ) = – bk

1·Y 0·e-b·t + a( 0

F K – a

I max )·e-a·t +

+ (1 – f )·r ·Y 0·e-b·t + I max


Traiectoria 41 ( I F = I max, D = Dmax, F = 0, Y = k ·( K F + K C ))


)(t K C & = U ( K F (t ), K C (t )) – (1 – f )·r ·Y (t ) – I max – Dmax

)(t K F & = I max – a· K F (t )

)(t Y &

= – b·Y (t )la care se adaugă şi condiţia suplimentar ă Y = k ·( K F + K C ).


Y (t ) = Y 0·e-b·t


K F (t ) =a

I max + ( 0 F K −

a

I max )·e-a·t

a

I max pentru

0 F K –

a

I max > 0;



a

I max = 0;



a

I max < 0.


K C (t ) =k

1·Y 0·e-b·t – [

a

I max + ( 0 F K –

a

I max )·e-a·t ]


U ( 0 F K ·e-a·t ,

k

1·Y 0·e-b·t – 0

F K ·e-a·t ) = – bk

1·Y 0·e-b·t + a( 0

F K – a

I max )·e-a·t +

+ (1 – f )·r ·Y 0·e-b·t + Dmax + I max


Concluzii

În urma analizei celor 41 de traiectorii rezultă că 4 sunt neadmisibile(12, 13, 14 şi 30) şi 11 sunt foarte improbabile (15, 16, 17, 22, 23, 31, 32,36, 39, 40, 41) analiza putând fi redusă, f ăr ă a pierde generalitatea, doar larestul de 26 traiectorii principale, care sunt sintetizate în tabelul de mai jos:

Condi ţ ii Solu ţ ia

0 1 2

1 α⋅ K F + β⋅ K C = Q , F = γ· I F , D = 0,

a = b

K F , Y – sistem liniar cu coef. const.

2 α⋅ K F + β⋅ K C = Q , F = γ· I F , D = Dmax,

a = b

K F , Y – sistem liniar cu coef. const.



0 1 2

3 α⋅ K F + β⋅ K C = Q , F = γ· I F , D

oarecare,Y = 0

K F (t ) = 0 F K ·e-a·t , Y = 0,

K C (t ) =

β

α · 0

F K ·e-a·t +

β

Q

4 F = γ· I F , D = 0,Y = 0

K F (t ) = 0 F K ·e-a·t , Y = 0

5 F = γ· I F , D = Dmax,Y = 0

K F (t ) = 0 F K ·e-a·t , Y = 0

6 α⋅ K F + β⋅ K C = Q , F = γ· I F , D

oarecare,Y = k ·( K F + K C )

K F (t ) = [α β βγ bk bk a

Qbk

+−+ ( 0

F K –

– α β βγ bk bk a

Qbk

+−)·

T k k

bk bk a

e γβ α β

α β βγ

−−+−

−

]·t

k k

bk bk a

e γβ α β

α β βγ

−−+−

−

K C = − β

α · K F +

β

Q

Y = k ·( K F + K C ) 7 F = γ· I F , D = 0,

Y = k ·( K F + K C ))(t K C

& = f 1( K F (t ), K C (t ))

)(t K F &

= f 2( K F (t ), K C (t ))Y = k ·( K F + K C )

8 F = γ· I F , D = Dmax,Y = k ·( K F + K C )

)(t K C & = f 1( K F (t ), K C (t ))

)(t K F & = f 2( K F (t ), K C (t ))

Y = k ·( K F + K C ) 9 α⋅ K F + β⋅ K C = Q ,

I F = I max, F = γ· I F , D oarecare

K F (t ) =a

I max + ( 0 F K –

a

I max )·e-a·t

Y (t ) = b

I max⋅γ

+ (Y

0

– b

I max⋅γ

)·e-b·t

K C = - β

α · K F +

β

Q

10 I F = I max, F == γ· I F , D = 0

K F (t ) =a

I max + ( 0 F K –

a

I max )·e-a·t

Y (t ) =b

I max⋅γ + (Y

0 -

b


)(t K C

&

= f (t , K C (t ))



0 1 2

11 I F = I max, F = γ· I F , D = Dmax

K F (t ) =a

I max + ( 0 F K −

a

I max )·e-a·t

Y (t ) =b I max⋅γ + (Y 0 −

b I max⋅γ )·e-b·t

)(t K C & = f (t , K C (t ))

18 α⋅ K F + β⋅ K C = Q , D = 0, I F oarecare,

F = 0

Y (t ) = Y 0·e-bt

)(t K F & = A· K F (t ) + f (t )

K C = − β

α · K F +

β

Q

19 α⋅ K F + β⋅ K C = Q , D = Dmax,

I F oarecare, F = 0

Y (t ) = Y 0·e-bt

)(t K F & = A· K F (t ) + f (t )

K C = − β

α · K F +

β

Q

20 α⋅ K F + β⋅ K C == Q , D = 0,

I F oarecare, F = 0,Y = 0

Y (t ) = 0

)(t K F & = A· K F (t ) + B

K C = − β

α · K F +

β

Q

21 α⋅ K F + β⋅ K C = Q , D = Dmax,

I F oarecare, F = 0,Y = 0

Y (t ) = 0

)(t K F & = A· K F (t ) + B

K C = − β

α · K F +

β

Q

24 α⋅ K F + β⋅ K C == Q , F = γ· I F = 0, D oarecare

K F (t ) = 0 F K ·e-a·t

K C (t ) = − β

α · 0

F K ·e-a·t + β

Q

Y (t ) = Y 0·e-b·t

25 F = γ· I F = 0, D = 0 K F (t ) = 0 F K ·e-a·t

Y (t ) = Y 0·e-b·t

)(t K C & = f (t , K C (t ))



0 1 2

26 F = γ· I F = 0, D = Dmax

K F (t ) = 0 F K ·e-a·t

Y (t ) = Y 0·e-b·t

)(t K C & = f (t , K C (t ))

27 α⋅ K F + β⋅ K C = Q , F = γ· I F = 0,

D oarecare, Y = 0

K F (t ) = 0 F K ·e-a·t

K C (t ) = − β

α · 0

F K ·e-a·t + β

Q

Y (t ) = 0

28 F = γ· I F = 0, D = 0,Y = 0

K F (t ) = 0

F

K ·e-a·t

Y (t ) = 0

)(t K C & = f (t , K C (t ))

29 F = γ· I F = 0, D = Dmax, Y = 0

K F (t ) = 0 F K ·e-a·t

Y (t ) = 0

)(t K C & = f (t , K C (t ))

33 α⋅ K F + β⋅ K C = Q , I F = I max,

D oarecare, F = 0

K F (t ) =a

I max + ( 0 F K −

a I max )·e-a·t

Y (t ) = Y 0·e-b·t

K C (t ) = β

Q −

β

α ·[

a

I max + ( 0 F K −

a

I max )·e-a·t ]

34 I F = I max , D = 0, F = 0 K F (t ) =

a

I max + ( 0 F K −

a

I max )·e-a·t

Y (t ) = Y 0·e-b·t

)(t K C & = f (t , K F (t ))

35 I F = I max, D = Dmax, F = 0 K F (t ) =

a

I max + ( 0 F K −

a

I max )·e-a·t

Y (t ) = Y 0·e-b·t

)(t K C & = f (t , K F (t ))



0 1 2

37 I F = I max, D = 0, F = 0, Y = 0 K F (t ) =

a

I max + ( 0 F K −

a

I max )·e-a·t

)(t K C & = f (t , K F (t ))

Y (t ) = 0

38 I F = I max, D = Dmax, F = 0, Y = 0 K F (t ) =

a

I max + ( 0 F K −

a

I max )·e-a·t

)(t K C & = f (t , K F (t ))

Y (t ) = 0

Din cele de mai sus se observă că cele mai des întâlnite evoluţii posibile ale capitalului fix se încadrează tot în unul din cazurile studiate lasituaţia cu concurenţă perfectă, în care rezolvarea se reducea la o ecuaţieliniar ă cu coeficienţi constanţi.

Variantele sunt detaliate în continuare, în paralel cu reprezentareagrafică a acestora, analiza celorlarte variante fiind f ăcută pe cazuri

particulare

a) K F (t ) = 0 F K ·e-a·t


0 F K

K F

t

K F ( t

0

Figura 9



b) K F (t ) =

a

I max + ( 0 F K −

a

I max )·e-a·t şi 0 F K >

a

I max

Reprezentarea grafică a evoluţiei capitalului fix are forma dinfigura 10.

c) K F (t ) =

a

I max


0 F K

K F

t

K F (t )

0Figura 10

a I max

0 F K

K F

t

K F (t )

0

Figura 11

=a

I max

d) K F (t ) =a

I max + ( 0 F K -

a

I max )·e-a·t şi 0 F K <

a

I max


Cele mai întâlnite evoluţiile posibile ale datoriei firmei se încadrează în unul din cazurile:

a) Y (t ) = Y 0·e-b·t

Reprezentarea grafică a evoluţiei datoriei firmei are forma dinfigura 13.

0 F K

K F

t

K F (t )

0

Figura 12

a

I max

Y 0

Y

t

Y ( t )

0

Figura 13



b) Y (t ) =

b

I max⋅γ + (Y

0 −

b

I max⋅γ )·e-b·t şi Y

0 >

b

I max⋅γ


c) Y (t ) =

b

I max⋅γ + (Y 0 −

b

I max⋅γ )·e-b·t şi Y 0 =

b

I max⋅γ


Y

t

Y ( t

0

Figura 14

b I max⋅γ

Y 0

Y

t

Y (t )

0

Figura 15

Y 0 =b

I max⋅γ

d) Y (t ) =b

I max⋅γ + (Y

0 −

b

I max⋅γ )·e-b·t şi Y

0 <

b

I max⋅γ


Traiectoria capitalului circulant este mult mai complicată, fiinddependentă de mai mulţi din parametrii modelului şi va fi studiată pe cazuri particulare.

Traiectorii multiple

Din analiza traiectoriilor rezultă că unele traiectorii pot fi traiectoriiiniţiale doar în cazuri cu totul particulare şi pot fi eliminate din analiză f ăr ă a restrânge semnificativ mulţimea cazurilor posibile.

De asemenea, traiectoria de pornire va fi în funcţie de valorileiniţiale ale capitalului fix, capitalului circulant şi a datoriei firmei.

Din analiza traiectoriilor rezultă că unele traiectorii pot fi traiectoriiiniţiale doar în cazuri cu totul particulare şi pot fi eliminate din analiză f ăr ă

a restrânge semnificativ mulţimea cazurilor posibile.De asemenea, traiectoria de pornire va fi în funcţie de valorile

iniţiale ale capitalului fix, capitalului circulant şi a datoriei firmei.Putem de asemenea să consider ăm ca foarte improbabile traiectoriile

în care variabilele de decizie sunt pe limitele maxime posibile, aceste limitefiind fixate în principal pentru a asigura soluţia matematică analitică amodelului. Deşi traiectoriile pe care nu se plătesc dividende par foarte probabile, ţinând cont de situaţia foarte dificilă a firmelor din România în perioada analizată, în care numai mobilizarea întregilor resurse ale firmei în

activitatea firmei putea asigura supravieţuirea firmei, totuşi nu trebuie uitat

Y

t

Y (t )

0

Figura 16

b

I max⋅γ

Y 0

că majoritatea firmelor mici din România sunt de fapt foarte mici,majoritatea firme familiale, care constituie singura sursă de venituri pentru proprietarii lor. În continuare vom accepta totuşi aceste traiectorii dar cuamendamentul că ele nu pot fi urmate de firmă decât perioade scurte sau

foarte scurte de timp.Din acest motiv, la analiza concatenarităţii traiectoriilor şi structura

traiectoriei optime totale vom lua în considerare, ca traiectorii principale,doar traiectoriile în care I (t ) < I max şi D(t ) < Dmax.

Dacă ţinem cont de consideraţiile de mai sus r ămân în discuţie doar 11 traiectorii care îndeplinesc aceste două condiţii, din care doar patruîndeplinesc şi condiţia de a se plăti dividende (traiectoriile 3, 6, 24 şi 27).

Cele unsprezece traiectorii sunt listate în tabelul de mai jos:

Comenzi Variabile de stare0 1 21 F = γ· I F

D = 0, a = b K F , Y – sistem liniar cu coef. const.

α⋅ K F + β⋅ K C = Q

3 F = γ· I F D oarecare

K F (t ) = 0 F K ·e-a·t ,

K C (t ) = β

α · 0

F K ·e-a·t + β

Q, α⋅ K F + β⋅ K C = Q

Y = 0,4 F = γ· I F ,

D = 0 K C (t ) – ecuaţie dif. neliniar ă

K F (t ) = 0 F K ·e-a·t

Y (t ) = 0

6 F = γ· I F D oarecare K F (t ) = [

α β βγ bk bk a

Qbk

+−+( 0

F K – α β βγ bk bk a

Qbk

+−)

·T

k k

bk bk a

e γβ α β

α β βγ

−−

+−−

]·t

k k

bk bk a

e γβ α β

α β βγ

−−

+−−

K C = − β

α · K F +

β

Q

Y (t ) = k ·( K F + K C )

7 F = γ· I F D = 0

)(t K C & = f 1( K F (t ), K C (t ))

)(t K F & = f 2( K F (t ), K C (t ))

Y (t ) = k ·( K F + K C )



0 1 2

18 D = 0,

F oarecare

F = 0

K C = − β

α · K F +

β

Q

)(t K F & = A· K F (t ) + f (t )Y (t ) = Y 0·e-bt

20 D = 0,

F oarecare,

F = 0

)(t K F & = A· K F (t ) + B

K C = − β

α · K F +

β

Q

Y (t ) = 0

24 F = I F = 0

D oarecare K C (t ) = −

β

α · 0

F K ·e-a·t + β

Q

K F (t ) = 0 F K ·e-a·t

Y (t ) = Y 0·e-b·t

25 F = 0

F = 0

D = 0

)(t K C & = f (t , K C (t ))

K F (t ) = 0 F K ·e-a·t

Y (t ) = Y 0·e-b·t

27 F = I F = 0,

D oarecare K F (t ) = 0

F K ·e-a·t

K C (t ) = - β

α · 0

F K ·e-a·t + β

Q

Y (t ) = 0

28 F = 0

F = 0 D = 0

)(t K C & = f (t , K C (t ))

K F (t ) = 0 F K ·e-a·t

Y (t ) = 0

Totuşi, existând foarte multe cazuri posibile teoretic (cel puţin cele11 cele mai probabile de mai sus) este mult mai eficient să studiemtraiectoria optimă pe cazuri particulare.

c) Cazul discret în condiţii de concurenţă perfectă

Valorile variabilelor de stare şi de comanda vor fi considerate ca în

figura de mai jos:

Modelul matematic este în acest caz:

D F I F ,,max

T

T

C

T

F T

t t

t

i

K K

i

D

)1()1(1 ++

++∑

=

t

F K – 1−t F K + t

C K – 1−t C K = (1 – f )·[ p·(α· 1−t

F K + β · 1−t C K ) − a· 1−t

F K −

− 1−t C K – r· 1−t Y ] - t D

t

F K – 1−t F K = t

F I − a· 1−t F K

t

Y –

1−t

Y =

t

F − b·

1−t

Y

I min ≤ t

F I ≤ I max ; I min < 0 0

Deoarece din γ· t

F I ≥ t F ≥ 0 rezultă evident I min ≤ t

F I această

condiţie nu mai este efectivă şi va fi eliminată din sistem, prima şi a patracondiţie putând fi scrise împreună prin:

0 ≤ t F ≤ γ· t

F I ≤ γ· I max

t = 0

0 F K , 0

C K , 0Y

t =1

1 F K , 1

C K , 1Y

t =2

2 F K , 2

C K , 2Y

t =T -1

1−T

F K , 1−T

C K , 1−T Y

t =T

T

F K , T

C K , T Y

1 F I , 1 F , 1 D 2

F I , 2 F , 2 D T

F I , T F , T D



Prin înlocuirea variaţiei capitalului fix în prima ecuaţie de stare asistemului obţinem:

t

F I – a· 1−t F K + t

C K – 1−t C K = (1 – f )·[ p·(α· 1−t

F K + β · 1−t C K ) –

− a·1−t

F K – 1−t

C K – r·1−t

Y ] – t

D ⇔

t

C K – 1−t C K = (1 – f )·[ p·(α· 1−t

F K + β · 1−t C K ) – a· 1−t

F K – 1−t C K – r· 1−t Y ] +

+ a· 1−t F K – t

F I – t D

⇔ t

C K = [ f + (1 – f )· p· β ]· 1−t C K + [ f ·a + (1 – f )· p·α]· 1−t

F K – (1 – f )·r 1−t Y – t

F I – t D

Sistemul de ecua ţ ii de stare ale sistemului devine:t

C K = [ f + (1 – f )· p· β ]·1−t

C K + [ f ·a + (1 – f )· p·α]·1−t

F K – − (1 – f )·r · 1−t Y – t

F I – t D t

F K = t

F I + (1 – a)· 1−t F K

t Y = t F + (1 – b)· 1−t Y

fiind un sistem de ecuaţii cu diferenţe finite de trei ecuaţii şi treinecunoscute cu coeficienţi constanţi, comenzile fiind t

F I , t F şi t D . Notând

cu X t vectorul format cu cele trei variabile de stare t

C K , t

F K şi t Y şi cu U t

vectorul variabilelor de comandat

F I ,t

F şit

D putem scrie sistemul deecuaţii de stare sub forma matricială:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−

+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

⋅−−⋅⋅−+⋅⋅−+

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

t

t

t

t

t

F

t

C

t

t

F

t

C

D

F

I

Y

K

K

b

a

r f p f fa p f f

Y

K

K

010

001

101

100

010

)1()1()1(

1

1

1α β

sau:t X = A· 1−t X + B·U

t


A =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

⋅−−⋅⋅−+⋅⋅−+

b

a

r f p f fa p f f

100

010

)1()1()1( α β

B =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−

010

001

101



Deoarece det( A) = (1 – a)(1 – b)[ f + (1 − f )· p· β ] ≠ 0 şi det( B) = −1 ≠ 0

sistemul este controlabil şi observabil, urmând să găsim acele comenzi careduc la maximizarea valorii firmei pe intervalul de timp analizat.

Pentru rezolvare, se poate folosi principiul lui Pantreaghin pentru

cazul discret, principiul lui Bellman (deoarece modelul se poate reduce la o problemă de programare dinamică) sau cu metode de aproximare a soluţieioptime (de exemplu simulare, algoritmi genetici sau re ţ ele neuronale).

Ultima metodă ofer ă avantajul aplicabilităţii la o clasă foarte largă de cazuri concrete, ofer ă posibilitatea utilizării unui număr mare de variabileşi restricţii (necesare pentru a face modelul cât mai apropiat de realitateaeconomică existentă la momentul analizei).

În cazul nostru, putem foarte uşor construi un algoritm genetic derezolvare plecând de la următoarele observaţii:

a) Valoarea finală a variabilelor de stare se poate exprima foarte uşor în funcţie de starea iniţială a sistemului şi de comenzile aplicate pe perioadade timp analizată, deoarece avem un sistem de ecuaţii cu diferenţe finite cucoeficienţi constanţi, al cărui termen general are forma:

X N = A N ·X 0 + B·∑=

− ⋅ N

k

k k N U A1

deci starea finală va fi:

X T = AT ·X 0 + B·∑=

− ⋅T

t

t t T U A1

b) conform acestui rezultat problema se poate scrie:

t t t F D F I ,,max

T

T

C

T

F T

t t

t

i

K K

i

D

)1()1(1 ++

++∑

=

X T = AT ·X 0 + B·∑=− ⋅

T

t

t t T U A1

0 ≤ t F ≤ γ· t

F I ≤ γ· I max

0 ≤ t Y ≤ k ·( t

F K + t

C K )

0 ≤ t D ≤ Dmax

f , i, a, r , b, k , γ ∈ (0, 1)α, β , p > 0



sau:

D F I F ,,max I D, +

T

T

C

T

F

i

K K

)1( +

+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

T

T

C

T

C

Y

K

K

= AT ·

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

0

0

0

Y

K

K

C

C

+ B·( A1, A2, A3)( I F , F , D)⊥

0 ≤ F ≤ γ· I F ≤ γ· I max 0 ≤ D ≤ Dmax

0 ≤ Y ≤ k ( K F + K C )

unde I =⊥

⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

+ t i )1(1 , t = 1,...,T

Ai = ( 1−T

i A , 2−T

i A , ..., 1i A , 0

i A ) cu k

i A = coloana i din Ak , cu

i ∈ 1,2,3, k = 0,...,T – 1

D = ( D1, D2,..., DT ), I F = ( 1 F I , 2

F I ,..., T

F I ), F = ( F 1, F

2,..., F T )

Y = (Y 0, Y 1, Y 2, ... , Y T ), K F = ( 0 F K , 1

F K , 2 F K , ... , T

F K ),

K C = ( 0C K , 1

C K , 2C K , ... , T

C K )

c) Rezolvarea se reduce la a găsi acei vectori D = ( D1, D2, ..., DT ),

I F = ( 1 F I , 2

F I , ... , T

F I ), F = ( F 1, F 2, ... , F T ) din spaţiul vectorial T

+ℜ care

verifică restricţiile:

0 ≤ F ≤ γ· I F ≤ γ· I max

0 ≤ D ≤ Dmax

0 ≤ Y ≤ k ( K F + K C )

pentru care se obţine maximul expresiei I D, +T

T

C

T

F

i

K K

)1( +

+, unde T

F K şi

T

C K se obţin din egalitatea:⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

T

T

C

T

C

Y

K

K

= AT ·⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

0

0

0

Y

K

K

C

C

+ B·( A1, A2, A3)( I F , F , D)⊥.

d) Un algoritm genetic destinat rezolvării problemei constă în

generarea unui număr mare de vectori ( I F , F , D) ∈ T 3+ℜ ce verifică setul de

condiţii:

0 ≤ F ≤ γ· I F ≤ γ· I max 0 ≤ D ≤ Dmax

0 ≤ Y ≤ k ( K F + K C )ca populaţie iniţială şi apoi a unui număr foarte mare de populaţiidescendente utilizând regulile de încrucişare şi mutaţiile clasice (sauspecifice situaţiei), păstrând de fiecare dată cea mai bună soluţie obţinută.

Pentru o populaţie de pornire suficient de mare şi după un număr suficient de mare de generaţii vom obţine o soluţie suficient de apropiată decea optimă.

Rezolvarea prin acest procedeu va fi f ăcută pe un caz particular în paginile următoare.

d) Cazul discret în condiţii de concurenţă imperfectă Valorile variabilelor de stare şi de comanda vor fi considerate ca în

figura de mai jos:


D F I F ,,max

T

T

C

T

F T

t t

t

i

K K

i

D

)1()1(1 ++

++∑

=

t

F K – 1−t F K + t

C K – 1−t C K = (1– f )·[ p( 1−t

F K , 1−t C K )·(α· 1−t

F K + β · 1−t C K ) − |

− a· 1−t F K − 1−t

C K – r· 1−t Y ] - t D t

F

K – 1−t

F

K = t

F

I − a· 1−t

F

K t Y – 1−t Y = t F − b· 1−t Y

I min ≤ t

F I ≤ I max ; I min < 0 0

t = 0

0 F K , 0

C K , 0Y

t =1

1 F K , 1

C K , 1Y

t =2

2 F K , 2

C K , 2Y

t =T -1

1−T

F K , 1−T

C K , 1−T Y

t =T

T

F K , T

C K , T Y

1 F I , 1 F , 1 D 2

F I , 2 F , 2 D T

F I , T F , T D



Deoarece din γ· t

F I ≥ t F ≥ 0 rezultă evident I min ≤ t

F I această condiţie nu mai este efectivă şi va fi eliminată din sistem, prima şi a patracondiţie putând fi scrise împreună prin:

0 ≤ t

F ≤ γ·t

F I ≤ γ· I max Prin înlocuirea variaţiei capitalului fix în prima ecuaţie de stare a

sistemului obţinem:t

F I - a· 1−t F K + t

C K – 1−t C K = (1– f )·[ p( 1−t

F K , 1−t C K )·(α· 1−t

F K + β · 1−t C K ) −

− a· 1−t F K - 1−t

C K – r· 1−t Y ] − t D

⇔ t

C K – 1−t C K = (1– f )·[ p( 1−t

F K , 1−t C K )·(α· 1−t

F K + β · 1−t C K ) −

− a· 1−t F K - 1−t

C K – r· 1−t Y ]+ a· 1−t F K – t

F I – t D ⇔

t

C K = (1– f )·[ p( 1−t F K , 1−t

C K )·(α· 1−t F K + β · 1−t

C K ) − a· 1−t F K − 1−t

C K −r· 1−t Y ] +

+ 1−t C K + a· 1−t

F K – t

F I – t D

Sistemul de ecuaţii de stare ale sistemului devine:t

C K = U ( 1−t C K , 1−t

F K ) – (1 – f )·r · 1−t Y – t

F I – t D t

F K =t

F I + (1 – a)·1−t

F K t Y = t F + (1 – b)· 1−t Y

fiind un sistem de ecuaţii cu diferenţe finite de trei ecuaţii şi treinecunoscute, comenzile fiind t

F I , t F şi t D .Pentru rezolvare, se poate folosi principiul lui Pantreaghin pentru

cazul discret, principiul lui Bellman (deoarece modelul se poate reduce la o problemă de programare dinamică) sau cu metode de aproximare a soluţieioptime (de exemplu algoritmii genetici).

Ultima metodă ofer ă avantajul aplicabilităţii la o clasă foarte largă de cazuri concrete, ofer ă posibilitatea utilizării unui număr mare de variabileşi restricţii (necesare pentru a face modelul cât mai apropiat de realitateaeconomică existentă la momentul analizei).

În cazul nostru, putem foarte uşor construi un algoritm genetic derezolvare plecând de la următoarele observaţii:

a) Valorile variabilelor de stare se pot exprima foarte uşor în funcţiede starea iniţială a sistemului şi de comenzile aplicate pe perioada de timpanalizată, deoarece avem de calculat aceste valori dintr–o recurenţă simplă

de ordinul întâi, dată de sistemul de ecuaţii de stare.



b) condiţiile pe care trebuie să le îndeplinească variabilele de

comandă şi cele de stare sunt uşor de verificat, fiind inegalităţi de ordinulîntâi f ăr ă întârzieri.

c) un algoritm genetic destinat rezolvării problemei constă îngenerarea unui număr mare de vectori ( I F , F , D) ∈ T 3

+ℜ ce verifică setul decondiţii:

0 ≤ F ≤ γ· I F ≤ γ· I max 0 ≤ D ≤ Dmax

0 ≤ t F + (1 – b)· 1−t Y ≤ k ( t

F I + (1 – a)· 1−t F K + U ( 1−t

C K , 1−t F K ) –

− (1 – f )·r · 1−t Y – t

F I – t D )

Acest set de vectori se poate obţine foarte uşor astfel:1. pentru fiecare moment t = 1,...,T se generează aleator un set decomenzi până se obţine o comandă care verifică:

0 ≤ F ≤ γ· I F ≤ γ· I max 0 ≤ D ≤ Dmax

0 ≤ t F + (1 – b)· 1−t Y ≤ k ( t

F I + (1 – a)· 1−t F K + U ( 1−t

C K , 1−t F K ) –

− (1 – f )·r · 1−t Y – t

F I – t D )

unde1−t

F K ,1−t

C K şi1−t

Y sunt deja cunoscute de la pasul anterior (t – 1).2. Pe baza acestor comenzi se calculează valorile variabilelor destare de la momentul t : t

F K , t

C K , t Y

3. Odată obţinută populaţia iniţială prin aplicarea procedeului de la paşii 1 şi 2 pentru toţi t = 1,...,T se construiesc generaţiile următoare de populaţii utilizând regulile de încrucişare şi mutaţiile clasice (sau specificesituaţiei), păstrând de fiecare dată doar vectorii care îndeplinesc setul decondiţii şi completând vectorii eliminaţi (ca neîndeplinind setul de condiţii) prin procedeul de la paşii 1 şi 2.

4. se păstrează de fiecare dată cea mai bună soluţie obţinută până lamomentul respectiv.

Pentru o populaţie de pornire suficient de mare şi după un număr suficient de mare de generaţii vom obţine o soluţie suficient de apropiată decea optimă.

Rezolvarea prin acest procedeu va fi f ăcută pe un caz particular în paginile următoare.




SSS T T TUUUDDDIIIUUU DDDEEE CCC A A AZZZ



Prezentarea cazului

Pentru testarea modelului a fost ales un set de date referitore la un lot

de 669 de firme româneşti din industria textilă şi de confecţii pe intervalul1994 – 1998 şi apoi un lot de 30 de firme din industria berii pe intervalul1990 – 2001 (ca firme reprezentative pentru clasa firmelor mici şi mijlocii) pentru estimarea funcţiei de producţie şi compararea evoluţiei indicatorilor reali ai acestora cu cei rezultaţi din modelele Van Hilten şi cel propus deautor.

În tabelul de mai jos au fost identificaţi posibili indicatori din pasivulşi activul firmei, extraşi din cele două rapoarte contabile: bilanţul contabil şicontul de rezultate, consideraţi ca cei mai importanţi în analiza activităţii

firmei:Nr. Indicator Tip

1 Active fixe variabilă de stare2 Active circulante variabilă de stare3 Datorii variabilă de stare4 Număr salariaţi variabilă de comandă 5 Cheltuieli cu personalul variabilă rezultativă 6 Dobânzi la credite + amortizări variabilă rezultativă

7 Cifra de afaceri variabilă rezultativă 8 Profit (sau pierdere) net/brut variabilă rezultativă 9 Dividende variabilă de comandă 10 Venit din Export variabilă rezultativă 11 Investiţii variabilă de comandă

Pentru estimarea funcţiei de producţie firmele au fost împăr ţite după numărul de salariaţi în 5 grupe:

1. Firme foarte mici (de familie) cu până la 5 salariaţi;

2. Firme mici: între 5 şi 50 salariaţi;3. Firme medii: între 50 şi 500 salariaţi.4. Firme mari: între 500 şi 1000 salariaţi.5. Firme foarte mari cu un număr de salariaţi de peste 1000.

Considerând cei 5 ani sau obţinut în total 25 de grupe.De asemenea, pentru actualizare au fost utilizaţi indicatorii

corespunzători anilor 1994 – 1998 în ceea ce priveşte rata de schimbleu/dolar, rata dobânzii, salariu mediu, indicele preţurilor de consum şiindicele preţurilor de producţie etc.



Pentru fiecare grupă sau identificat prin regresie parametrii α şi β care dau funcţia de producţie. Deoarece nu există informaţii privind volumul producţiei (care oricum nu este omogenă) s-a ales un produs de valoaremedie 10.000 lei la nivelul anului 1994 (~6$), pe baza căruia s–a calculat

volumul producţiei folosind valoarea producţiei vândute (cifra de afaceri) şiindicele preţurilor de consum.

Datele şi rezultatele obţinute sunt grupate în anexa 1 a lucr ării.Conform acestor ipoteze, în tabelul de mai jos sunt prezentate

perechile (α1, β 1) corespunzătoare cazului în care volumul producţiei s–aestimat pe baza valorii producţiei vândute şi (α2, β 2) corespunzătoare cazuluiîn care volumul producţiei s–a estimat pe baza cifrei de afaceri, obţinute pentru toate grupele considerate:

1994 Producţia vândută Cifra de afaceri

α β Ω α Β Ω foarte mici 11.1470 182.5185 0.1906 8.7478 199.9250 0.1616mici 6.5716 49.8968 0.3647 -1.1418 280.0854 0.2036medii 7.0166 146.1692 0.4494 6.9347 160.7196 0.4305mari 3.1046 186.8136 0.5005 3.3722 194.2098 0.4871foarte mari 34.7233 78.5871 0.4885 36.3513 83.3285 0.4714


α β Ω α Β Ω

mici -0.5471 53.2440 1.1133 -0.6174 67.8270 0.8253medii 7.0398 151.0849 0.5632 8.5319 158.3095 0.5686mari 14.6315 107.6598 0.5615 15.0275 114.3063 0.5638foarte mari 29.4886 107.8036 0.4828 31.0275 113.0229 0.4646


α β Ω α Β Ω foarte mici -20.1848 186.5987 0.1450 -19.1219 188.5740 0.1321mici -4.8804 110.5286 0.6546 -7.5612 141.5053 0.5878medii 2.8910 174.3837 0.7054 3.2010 189.4929 0.6592

mari 11.8447 136.1638 0.4979 6.7654 161.7724 0.4447foarte mari 17.5995 123.9310 0.5185 20.6776 128.0515 0.4924


α β Ω α Β Ω foarte mici -102.0285 204.5622 0.5557 -107.1927 218.2998 0.4466mici -9.7440 141.2103 0.8222 -19.4630 190.9577 0.8253medii 17.2408 99.9171 1.1629 6.1027 134.7043 1.0364mari 18.9034 206.3547 0.5255 14.6573 229.5322 0.5138foarte mari 47.5592 138.1695 0.4807 26.9918 174.9858 0.4726




α β Ω α Β Ω foarte mici 2.1520 137.5232 1.0912 -35.6380 176.2238 0.5497mici 42.6710 91.5659 0.6984 34.5848 146.3395 0.5044medii 8.9852 145.8519 0.8633 10.2924 154.8720 0.8245mari 31.1414 144.9443 0.4892 28.0243 162.4976 0.4777

foarte mari 39.6998 148.2446 0.4196 20.3953 186.8999 0.4476

Valoarea producţiei

foarte mici mici medii mari foarte mari Ani

α β α β α β α β α β

1994 11.1470 182.5185 6.5716 49.8968 7.0166 146.1692 3.1046 186.813634.7233 78.5871

1995 -0.5471 53.2440 7.0398 151.084914.6315107.659829.4886107.8036

1996 -20.1848 186.5987 -4.8804110.5286 2.8910 174.383711.8447136.163817.5995123.9310

1997-102.0285204.5622 -9.7440141.210317.2408 99.9171 18.9034206.354747.5592138.1695

1998 2.1520 137.5232 42.6710 91.5659 8.9852 145.851931.1414144.944339.6998148.2446

Cifra de afaceri

foarte mici mici medii mari foarte mari

α β α β α β α β α β

1994 8.7478 199.9250 -1.1418 280.0854 6.9347 160.7196 3.3722 194.2098 36.3513 83.3285

1995 -0.6174 67.8270 8.5319 158.3095 15.0275 114.3063 31.0275 113.0229

1996 -19.12 188.5740 -7.5612 141.5053 3.2010 189.4929 6.7654 161.7724 20.6776 128.0515

1997 -107.1 218.2998 -19.463 190.9577 6.1027 134.7043 14.6573 229.5322 26.9918 174.9858

1998 -35.63 176.2238 34.584 146.3395 10.292 154.8720 28.0243 162.4976 20.3953 186.8999

Din tabelele obţinute mai sus se observă că setul de date are odispersie foarte mare datorată atât unei foarte mari diversităţi a tipurilor defirme cât şi faptului că datele sunt cele raportate de firme, deci susceptibilede mari diferenţe faţă de cele reale.

Totuşi, este evidentă o preponderenţă a importanţei capitaluluicirculant faţă de cel fix pentru toate categoriile de firme şi pentru toţi anii,cu atât mai mare cu cât dimensiunea firmei este mai mică, cele maiomogene rezultate obţinându–se pentru firmele din categoria medii şi mari.

De asemenea, există o mai mare omogenitate în ceea ce priveşte

exprimarea volumului producţiei prin valoarea producţiei vândute decât princifra de afaceri. Această variantă va fi luată în considerare, ea fiind de altfelşi corespunzătoare ipotezei că firma obţine venituri numai din vânzarea produselor proprii şi ipotezei că reuşeşte să – şi vândă toată producţia.

Este evident că fiecare firmă are propria funcţie de producţie şiaceasta va fi cea care va fi luată în considerare la aplicarea modelului, totuşi, pentru exemplu care va analizat în continuare , vom considera cazul carecorespunde celei mai probabile valori a dubletului (α,β) din cazul firmelor de valoare medie:

α = 7, β = 145



Pentru exemplificare va fi aleasă o firmă de dimensiune medie pentru care există observaţii pe întregul interval 1994–1998 şi sumaabaterilor valorilor calculate faţă de cele observate este minimă.

A fost aleasă firma TRICOMEL SA CIMPENI cu un număr mediu

de 307 salariaţi, pentru care există informaţiile:

ANTotal

Active

Capital

Fix

Capital

CirculantProfit

Producţia

Vândută

Cifra

Afaceri

Număr

Salariaţi

1998 7951 5115 2836 573 5067 5129 3071997 5858 4356 1502 318 4197 4392 3241996 2471 1556 915 57 1522 1559 2561995 1952 1586 362 0 515 538 2201994 1861 1557 304 –85 581 629 298

Dacă aducem toate informaţiile la nivelul anului 1994 obţinemtabelul:

ANTotal

Active

Capital

Fix

Capital

CirculantProfit

Producţia

Vândută

Cifra

Afaceri

Număr

Salariaţi

1998 1068,316 687,264 381,052 76,9897 680,8146 689,1451 3071997 1252,269 931,1854 321,0837 67,9791 897,1959 938,8812 3241996 1345,924 847,5343 498,3894 31,04721 829,0149 849,1683 2561995 1475,864 1199,14 273,7002 0 389,3802 406,77 2201994 1861 1557 304 -85 581 629 298

Parametrii modelului vor fi de asemenea estimaţi pe bazainformaţiilor din anii respectivi. Astfel, valoarea impozitului pe profit va ficalculat pe baza celor aplicate pe anii 1990–1998:

1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

T+I/PIB variabil (vezi anexa 2) 38% 38% 38% 38%

Vom lua ca valoare a lui f o valoarea medie corespunzătoare perioadei 1991-1998, adică:

f = 0,3

În ceea ce priveşte rata de amortizare a capitalului fix vom consideracă în industria textilă capitalul fix (maşini, utilaje, instalaţii, clădiri etc) seamortizează în medie în 7 ani, deci:

a = 0,15

Rata dobânzii pe anii 1990 – 1998 a fost:

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 19983.8 23.4 43.6 58.9 91.4 48.6 55.8 63.7 51.1



Vom considera ca rata medie pe cei 5 ani pe care avem informaţiicontabile despre firme ca fiind media aritmetică a dobânzii pe cei 9 ani dincare am eliminat anii extremi (1990 şi 1994):

r = 7

51,163,755,848,658,943,623,4 ++++++= 49,3% =~ 0,5

Se observă imediat că valoarea dobânzii a avut fluctuaţii foarte marichiar şi în condiţiile eliminării valorilor extreme, deci ipoteza că am avea orată a dobânzii constantă este destul de nerealistă în cazul economieiRomâniei în primul deceniu de tranziţie la economia de piaţă.

Rata de revenire a acţionarilor la o unitate monetar ă investită va ficea propusă de Banca Naţională a României, adică un pic mai mică decâtrata dobânzii pe piaţa financiar ă. Vom considera în model ca rată de

revenire valoarea:i = 0,48

În ceea ce priveşte cota de rambursare anuală a datoriilor (amortismentul) vom considera că, dată fiind valoarea mare a dobânzii şivolatilitatea acesteia, nu sunt practice (atât din punctul de vedere al bănciicât şi al firmei) împrumuturi pe termen foarte lung, termenul mediu derambursare fiind considerat a fi de 5 ani:

b = 0,2

Ponderea maximă a datoriilor faţă de valoarea capitalului social va ficonsiderată cea acceptată în general în analizele economice:

k = 0,5

Cota maximă a creditelor pentru investiţii (în raport cu facilităţilesistemului bancar şi calculat faţă de investiţiile în capital fix) va fi înconformitate cu legislaţia existentă în majoritatea băncilor din România:

γ = 0,8

Valorile parametrilor α, β vor fi considerate în 3 ipostaze:a) cele obţinute prin analiza prin regresie aplicată întregului set dedate disponibile:

α = 7 β = 145

b) cele corespunzătoare firmei TRICOMEL rezultaţi din regresie pentru activitatea pe cei 5 ani:

α = 6.04

β = 178.0115



c) cele care ar rezulta pentru firma TRICOMEL dacă amdescompune activitatea ei pe luni calendaristice:

α = 0.0886β = 190.5586

Pentru preţ vom considera două variante:

a) În cazul concurenţei perfecte vom alege ca preţ de vânzare a bunurilor firmei preţul care a fost considerat ca standard în analiza deregresie:

p = 0,01 milioane lei

b) Pentru cazul concurenţei imperfecte, în care firma poate impuneun preţ peste valoarea normală a produsului, vom calcula mai întâi valoarea

medie a producţiei pentru cei cinci ani analizaţi, vom considera că preţul produsului este descrescător în funcţie de volumul producţiei şi că această funcţie scade asimptotic spre valoarea preţului standard când valoarea producţiei tinde la infinit. Vom propune ca funcţie inversă a ofertei funcţia:

p(Q) = 0,01 + A/Qalfa

cu A şi alfa strict pozitivi

Var. α β f i a b r k γ p 0C K 0

F K Y0 Imax Dmax T N

I 7 145 0,3 0,48 0,15 0,2 0,5 0,5 0,8 0,01 304 1557 10 1000 100 5 100000II 6 178 0,3 0,48 0,15 0,2 0,5 0,5 0,8 0,01 304 1557 10 1000 100 5 100000III 0,09 191 0,3 0,48 0,15 0,2 0,5 0,5 0,8 0,01 25 1557 10 100 10 50 10000

1. Cazul continuu în condiţii de concurenţă perfectă


Traiectoria 1 ( F = 0.8 · I F , D = 0, Y = 0)


Varianta I Varianta II Varianta III

)(t K C & =0.094· K F (t ) +

0.315· K C (t ) K F (t ) = 1557 · e-0.15·t

)(t I F = 0

)(t K C & =0.087· K F (t ) +

0.546· K C (t ) K F (t ) = 1557 · e-0.15·t

)(t I F = 0

)(t K C & =0.04563· K F (t ) +

0.637· K C (t ) K F (t ) = 1557 · e-0.15·t

)(t I F = 0

Din a treia ecuaţie rezultă că firma nu are datorii (Y = 0), nu se fac

investiţii ( I F (t ) = 0), nu se fac împrumuturi ( F (t ) = 0), nu se plătesc



dividende (nu se retrag bani din firmă) ( D = 0) şi are loc o restructurare aactivităţii firmei prin scăderea puternică a capitalului fix al firmei:

K F (t ) = 1557 · e-0.15·t → 0

în favoarea unei creşteri a capitalului circulant:Varianta I Varianta II Varianta III

K C (t ) = 450,358·e0.315· t ++ 146,358·e0.165·t → ∞.

K C (t ) = 439,459·e0.546 · t ++ 135,459· e0.396·t → ∞.

K C (t ) = 96,04591·e0.637 · t ++ 71,04591· e0.487·t

Traiectoria nu poate fi traiectorie iniţială deoarece Y 0 ≠ 0.În figura de mai jos sunt reprezentate evoluţiile capitalului fix,

capitalului circulant şi pentru cele trei variante (KF – mov, KC – albastru,KT – roşu):

Traiectoria 2 ( F = γ · I F , D = Dmax, Y = 0)



)(t K C & =0.094· K F-

(t )+0.315· K C (t )–100 K F (t ) = 1557 · e

-0.15·t

)(t I F = 0

)(t K C & =0.087· K F-

(t )+0.546· K C (t ) –100 K F (t ) = 1557 · e

-0.15·t

)(t I F = 0

)(t K C & =0.04563· K F-

(t )+0.637· K C (t ) –100 K F (t ) = 1557 · e

-0.15·t

)(t I F = 0

Din a treia ecuaţie rezultă că firma nu are datorii (Y = 0), nu se fac

investiţii ( I F (t ) = 0), nu se fac împrumuturi ( F (t ) = 0), nu se plătescdividende (nu se retrag bani din firmă) ( D = 0) şi are loc o restructurare aactivităţii firmei prin scăderea puternică a capitalului fix al firmei:

K F (t ) = 1557 · e-0.15·t → 0

în favoarea unei creşteri a capitalului circulant:


K C (t ) = (450,358 – 100·t )·e0.315· t + 146,358·e0.165·t

K C (t ) = (439,459 – 100·t )·e0.546 · t + 135,459·

e0.396·t

K C (t ) = (96,04591 – 10·t )·e0.637 · t + 71,04591·

e0.487·t

Varianta I

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

0 1 2 3 4 5 6 7 8

t

K C , K

F , K

T

Varianta II

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 1 2 3 4 5

t

K C , K

F , K

T

Varianta III

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

0 1 2 3 4 5 6 7

t

K C , K F , K T



Traiectoria nu poate fi traiectorie iniţială deoarece Y 0 ≠ 0.

În figura de mai jos sunt reprezentate evoluţiile capitalului fix,capitalului circulant şi pentru cele trei variante:

Traiectoria 3 ( F = γ · I F , D = 0, Y = k · ( K F + K C ))



)(t K C & = 0,094· K F (t ) +

+ 0,315· K C (t ) - 0,175 ·( K F + K C ) - I F (t )

)(t K F & = I F (t ) –

0.15· K F (t )

0.5·( )(t K F

&

+ )(t K C

&

) == 0.8· I F (t ) – 0.1·( K F + K C )

)(t K C & =0,087· K F (t )+0,546· K

C (t ) - 0,175 · ( K F + K C ) - I F (t )

)(t K F & = I F (t ) – 0.15 · K F (t )

0.5·( )(t K F & + )(t K C

& ) =

= 0.8· I F (t ) – 0.1·( K F + K C )

)(t K C & =0,04563· K F (t )+0,637·

K C (t ) – 0,175 · ( K F + K C ) – I F (t )

)(t K F & = I F (t ) – 0.15 · K F (t )

0.5·( )(t K F & + )(t K C

& ) =

0.8· I F (t ) – 0.1·( K F + K C )

După înlocuirea expresiei investiţiei I F (t ) obţinută din a treia ecuaţieîn primele două ecuaţii se obţine un sistem de două ecuaţii cu coeficienţiconstanţi:


)(t K C & = 0,0525· K C (t ) –

– 0,30975· K F (t )

)(t K F &

= 0,2125· K C (t ) – – 0,29438· K F (t ) K C (0) = 304, K F (0) = 1557

)(t K C & = 0,139125· K C (t ) –

0,31238· K F (t )

)(t K F &

= 0,356875· K C (t ) – 0,29875· K F (t )

K C (0) = 304, K F (0) = 1557

)(t K C & = 0,17325· K C (t ) –

0,32789· K F (t )

)(t K F &

= 0,41375· K C (t ) – 0,32461· K F (t )

K C (0) = 25, K F (0) = 1557

Soluţia sistemului în cazul variantei I este:

K C (t ) = –2272.2·sin(0.18905·t )·e-0.12094·t + 304·cos(0.18905·t )·e-0.12094·t K F (t ) = –1086.7·sin(0.18905·t )·e-0.12094·t + 1557·cos(0.18905·t )·e-0.12094·t

Varianta I

0

500

1000

1500

2000

2500

0 1 2 3 4 5

t

K C , K

F , K

T

Varianta II

0

500

1000

1500

2000

2500

0 1 2 3 4 5

t

K C , K

F , K

T

Varianta III

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

t

K C , K

F , K

T



După găsirea evoluţiei capitalului fix şi a celui circulant putem aflaevoluţia datoriei firmei din relaţia Y = k · ( K F + K C ):

Y (t ) = –1679.45·sin(0.18905·t )·e-0.12094·t + 930.5·cos(0.18905·t )·e-0.12094·t

a investiţiilor în capitalul fix din a treia ecuaţie a sistemului canonic redus: I F (t ) = -201.89·sin(0.18905·t )·e-0.12094·t - 381.85 cos(0.18905·t )·e-0.12094·t +

+ 75. 57·e-0.12094·t

şi în final evoluţia împrumuturilor firmei din relaţia F (t ) = 0,8· I F (t ).

Soluţia sistemului în cazul variantei II este:

K F (t ) = -921.89·sin(0.25209·t )·e-0.079813·t + 1557·cos(0.25209·t )·e –0.079813·t

K C (t ) = -1665.4·sin(0.25209·t )·e-0.079813·t +304·cos(0.25209·t )·e –0.079813·t


Y (t ) = –1293.64·sin(0.25209·t )·e-0.079813·t + 930.5·cos(0.25209·t )·e –0.079813·t

a investiţiilor în capitalul fix din a treia ecuaţie a sistemului canonic redus:

I F (t ) = -487.56·sin(0.25209·t )·e-0.079813·t − 267.85·cos(0.25209·t )·e –0.079813·t


Varianta II

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

K C

- K F - Y

- K T

Varianta II

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

I F - F

Varianta I

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

K C

- K F - Y

- K T

Varianta I

0 10 20 30 40

t

I F - F



Soluţia sistemului în cazul variantei III este:

K C (t ) = -1857.6·sin(0.27147·t )·e-0.07568·t + 25·cos(0.27147·t )·e-0.07568·t K F (t ) = -1389.6·sin(0.27147·t )·e-0.07568·t + 1557·cos(0.27147·t )·e-0.07568·t


Y (t ) = –1623.6·sin(0.25209·t )·e-0.079813·t + 791·cos(0.25209·t )·e –0.079813·t


I F (t ) = -520.72 ·sin(0.27147·t )·e-0.07568·t – 428.03 ·cos(0.27147·t )·e-0.07568·t


Se observă în toate cazurile că evoluţiile sunt oscilante şi amortizatespre valoarea de echilibru zero. Evident, firma va evolua pe această traiectorie doar pe intervalele de timp unde toate variabilele au valori pozitive.

În acest caz firma face împrumuturi la maxim F = γ · I F , nivelulcapitalului împrumutat este maxim Y = k · ( K F + K C ) şi nu plăteştedividende.

Traiectoria nu este traiectorie iniţială deoarece Y 0 ≠ k · ( 0 F K + 0

C K ).

Traiectoria 4 ( F = γ · I F , D = Dmax, Y = k · ( K F + K C ))



)(t K C & = 0,094·K F ( t ) +

+ 0,315·K C ( t ) - 0,175 ·( K F +

+ K C ) – I F ( t ) – 100

)(t K F & = I F ( t ) – 0.15 ·K F ( t )

0.5·( )(t K F & + )(t K C

& ) =

+ 0.8·I F ( t ) – 0.1·( K F + K C )

)(t K C & =0,087·K F ( t ) +

+ 0,546·K C ( t ) - 0,175 · ( K F +

+ K C ) - I F ( t ) – 100

)(t K F & = I F ( t ) – 0.15 · K F ( t )

0.5·( )(t K F & + )(t K C

& ) =

= 0.8·I F ( t ) – 0.1·( K F + K C )

)(t K C & =0,04563·K F ( t ) +

+ 0,637·K C ( t ) - 0,175 · ( K F +

+ K C ) - I F ( t ) – 10

)(t K F & = I F ( t ) – 0.15 · K F ( t )

0.5·( )(t K F & + )(t K C

& ) =

+ 0.8·I F ( t ) – 0.1·( K F + K C )

Varianta III

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

K C

- K F - Y

- K T

Varianta III

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

I F - F



După înlocuirea expresiei investiţiei I F (t ) obţinută din a treia ecuaţieîn primele două ecuaţii se obţine un sistem de două ecuaţii cu coeficienţiconstanţi:

Varianta I

)(t K C &= –0,0725·K C ( t ) –0,061625·K F ( t ) – 37,5

)(t K F & = –0.16938·K C ( t ) – 0,29438·K F ( t ) – 62,5

K C (0) = 304, K F (0) = 1557

Varianta II

)(t K C & = 0,014125·K C ( t ) – 0,06425 ·K F ( t ) – 37,5

)(t K F & = 0,35688·K C ( t ) – 0,17375·K F ( t ) – 62,5

K C (0) = 304, K F (0) = 1557

Varianta III

)(t K C & = 0,04825·K C ( t ) – 0,079764·K F ( t ) – 3,75

)(t K F &

= 0, 41375·K C ( t ) – 0, 19961·K F ( t ) – 6,25

K C (0) = 25, K F (0) = 1557

Soluţia sistemului în cazul variantei I este:

K C (t ) = -98,528 – 1030,2·sin(0,10368·t )·e-0,12094·t ++ 402,53·cos(0,10368·t )·e-0,12094·t

K F (t ) = -492,6 – 132,58·sin(0,10368·t )·e-0,12094·t ++ 2049,6·cos(0,10368·t )·e-0,12094·t


Y (t ) = -295,564 - 581,39·sin(0,10368·t )·e-0,12094·t + 1226,065·cos(0,10368·t )·e-0,12094·t


I F (t ) = –73,891 – 216,36·sin(0,10368·t )·e-0,12094·t ++ 45,82·cos(0,10368·t )·e-0,12094·t


Se observă că pentru acest caz această traiectorie nu este admisibilă deoarece valoarea împrumuturilor nu respectă condiţia de nenegativitate.

Varianta I

0 10 20 30 40

t

I F - F

Varianta I

0 10 20 30 40

t

I F - F



Soluţia sistemului în cazul variantei II este:

K C (t ) = -122,10 + 426,10·cos(0,11877·t )·e-0,079813·t – – 835,56·sin(0,11877·t )e-0,079813·t

K F (t ) = -610,5 + 2167,5·cos(0,11877·t )·e-0,079813·t – – 433,99·sin(0,11877·t )e-0,079813·t


Y (t ) = -366,3 + 1296,8·cos(0,11877·t )·e-0,079813·t – – 634,775·sin(0,11877·t )e-0,079813·t


I F (t ) = -91,575 - 287,89·sin(0,11877·t )e-0,079813·t +

– 100,58·cos(0,11877·t )·e-0,079813·t şi în final evoluţia împrumuturilor firmei din relaţia F (t ) = 0,8· I F (t ).

Soluţia sistemului în cazul variantei III este:

K C (t ) = -10,697 + 35,697·cos(0,13283·t )·e-0,07568·t – – 933,79·sin(0,13283·t )·e-0,07568·t

K F (t ) = -53,485 +1610,5·cos(0,13283·t )·e-0,07568·t – – 1391,4·sin(0,13283·t )·e-0,07568·t


Y (t ) = -32,091 + 823,10·cos(0,13283·t )·e-0,07568·t – – 1162,6·sin(0,13283·t )·e-0,07568·t


I F (t ) = -8,0228 – 65,13·cos(0,13283·t )·e-0,07568·t – – 317,33·sin(0,13283·t )·e-0,07568·t


Varianta II

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

K C

- K F - Y

- K T

Varianta II

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

I F - F



Se observă în toate cazurile că evoluţiile sunt oscilante şi amortizatespre valoarea de echilibru zero. Evident, firma va evolua pe această traiectorie doar pe intervalele de timp unde toate variabilele au valori pozitive.

În acest caz firma face împrumuturi la maxim F = γ · I F , nivelul

capitalului împrumutat este maxim Y = k · ( K F + K C ) plăteşte dividende lamaxim.

Traiectoria nu este traiectorie iniţială deoarece Y 0 ≠ k · ( 0

F K + 0C K ).

Traiectoria 5 ( I F = I max, F = γ · I max, D = 0)



)(t K C & = 0.094· K F (t ) +

+ 0.315· K C (t ) – 0.35·Y – 1000)(t K F

& = 1000 – 0,15· K F (t )

)(t Y & = 800 – 0,2·Y (t )

)(t K C & =0.087· K F (t ) +

+ 0.546· K C (t ) – 0.35·Y – 1000)(t K F

& = 1000 – 0,15· K F (t )

)(t Y & = 800 – 0,2·Y (t )

)(t K C & = 0.04563· K F (t ) +

+ 0.637· K C (t ) – 0.35·Y – 1000)(t K F

& = 1000 – 0,15· K F (t )

)(t Y & = 800 – 0,2·Y (t )

Varianta I


K F (t ) = 6666,667 – 5109,667·e-0,15·t


Y (t ) = 4000 – 3990·e-0,2·t

Înlocuind evoluţiile capitalului fix şi a datoriei în prima ecuaţieobţinem o ecuaţie liniar ă în capitalul circulant:

)(t K C & = 0.315· K C (t ) + 0.094·(6666,667 – 5109,667·e-0,15·t ) –

– 0.35·(4000 – 3990·e-0,2·t ) – 1000care are soluţia:

K C (t ) = 5629,6 + 1032,9·e-0.15·t – 2711,7·e-0.2·t – 3646,9·e0.315·t

Varianta III

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

K C

- K

F - Y

- K T

Varianta III

0 10 20 30 40 50 60 70

t

I F - F



Varianta II


K F (t ) = 6666,667 – 5109,667·e-0,15·t

Din a treia ecuaţie (liniar ă în Y (t )) vom scoate evoluţia capitalului fix:Y (t ) = 4000 – 3990·e-0,2·t


)(t K C & = 0.546· K C (t ) + 0.087·(6666,667 – 5109,667·e-0,15·t ) –

– 0.35·(4000 – 3990·e-0,2·t ) – 1000

care are soluţia:

K C (t ) = 3333,3 + 638,71 ·e-0.15·t

-1872·e-0.2·t

-1796,1·e0.546·t

Varianta III


K F (t ) = 6666,667 – 5109,667·e-0,15·t


Y (t ) = 4000 – 3990·e-0,2·t


)(t K C & = 0.637· K C (t ) + 0.04563·(6666,667 – 5109,667·e-0,15·t ) –

0.35·(4000 – 3990·e-0,2·t ) – 1000

care are soluţia:

K C (t ) = 3290,1 + 296,26·e-0.15·t – 1668,5·e-0.2·t – 1892,9·e0.637·t

Pe această traiectorie firma nu plăteşte dividende (nu retrage bani),face investiţii şi împrumuturi la maxim şi are o evoluţie de stabilizare avalorii capitalului fix şi a datoriei firmei.

Evoluţiile mărimilor de stare sunt redate în figura de mai jos:

VARIANTA I - III

0

2000

4000

6000

8000

0 10 20 30

t

K F - Y

VARIANTA I - III

-1000

-500

0

500

0 0.2 0.4 0.6

t

K C



Traiectoria 6 ( I F = I max, F = γ · I F , D = Dmax)



)(t K C & = 0.094· K F (t ) +

+ 0.315· K C (t ) – 0.35·Y – 1100

)(t K F & = 1000 – 0,15 · K F (t )

)(t Y & = 800 – 0,2 · Y (t )

)(t K C & = 0.087· K F (t ) +

+ 0.546· K C (t ) – 0.35·Y – 1100

)(t K F & = 1000 – 0,15 · K F (t )

)(t Y & = 800 – 0,2 · Y (t )

)(t K C & = 0.04563· K F (t ) +

+ 0.637· K C (t ) –0.35·Y – 1100

)(t K F & = 1000 – 0,15 · K F (t )

)(t Y & = 800 – 0,2 · Y (t )

Varianta I


K F (t ) = 6666,667 – 5109,667·e-0,15·t


Y (t ) = 4000 – 3990·e-0,2·t


)(t K C & = 0.315· K C (t ) + 0.094·(6666,667 – 5109,667·e-0,15·t ) –

− 0.35·(4000 – 3990·e-0,2·t ) – 1100

care are soluţia:

K C (t ) = 5947,1+1032,9·e-0.15·t – 2711,7·e-0.2·t – 3964,4·e0.315·t

Varianta II


K F (t ) = 6666,667 – 5109,667·e-0,15·t


Y (t ) = 4000 – 3990·e-0,2·t


)(t K C & = 0.546· K C (t ) + 0.087·(6666,667 – 5109,667·e-0,15·t ) –

– 0.35·(4000 – 3990·e-0,2·t ) – 1100

care are soluţia:

K C (

t ) = 3516,5 + 638,71·e

-0.15·t

– 1872·e

-0.2·t

– 1979,2·e

0.546·t



Varianta III


K F (t ) = 6666,667 – 5109,667·e-0,15·t


Y (t ) = 4000 – 3990·e-0,2·t


)(t K C & = 0.637· K C (t ) + 0.04563·(6666,667 – 5109,667·e-0,15·t ) –

– 0.35·(4000 – 3990·e-0,2·t ) – 1100

care are soluţia: K C (t ) = 3447,1 + 296,26·e-0,15·t – 1668,5·e-0,2·t – 2049,9·e0,637·t

Pe această traiectorie firma nu plăteşte dividende (nu retrage bani),face investiţii şi împrumuturi la maxim şi are o evoluţie de stabilizare avalorii capitalului fix şi a datoriei firmei.

Evoluţiile mărimilor de stare sunt redate în figura de mai jos:

Traiectoria 7 ( F = γ · I F

= 0, D = 0)



)(t K C & =0.094· K F (t ) +

+ 0.315· K C (t ) – 0.35·Y

)(t K F & = 0,15 · K F (t )

)(t Y & = – 0,2 · Y (t )

)(t K C & = 0.087· K F (t ) +

+ 0.546· K C (t ) –0.35·Y

)(t K F & = – 0,15 · K F (t )

)(t Y & = – 0,2 · Y (t )

)(t K C & =0.04563· K F (t ) +

+ 0.637· K C (t ) –0.35·Y

)(t K F & = – 0,15 · K F (t )

)(t Y & = – 0,2 · Y (t )

VARIANTA I - III

0

2000

4000

6000

8000

0 10 20 30

t

K F - Y

VARIANTA I - III

-1000

-500

0

500

0 0.2 0.4 0.6

t

K C



Pentru toate cele trei variante din ultimele două ecuaţii se obţinimediat evoluţiile capitalului fix şi datoriei firmei:

K F (t ) = 1557·e-0,15·t

Y (t ) = 10· e

-0,2·t


I. )(t K C & = 0,315· K C (t ) + 0,094·1557·e-0,15·t – 3,5·e-0,2·t

II. )(t K C & = 0,546· K C (t ) + 0,087·1557·e-0,15·t – 3,5·e-0,2·t

III. )(t K C & = 0,637· K C (t ) + 0.04563·1557·e-0,15·t – 3,5·e-0,2·t

cu soluţiile:

I. K C (t ) = -314,75·e-0,15·t + 6,7961·e-0,2·t + 611,95·e0,315·t II. K C (t ) = -194,63·e-0,15·t + 4,6917·e-0,2·t + 493,93·e0,546·t III. K C (t ) = -90,274·e-0,15·t + 4,1816·e-0,2·t + 111,09·e0,637·t

Pe această traiectorie firma nu face investiţii, nu face împrumuturi,nu plăteşte dividende, are loc o scădere a capitalului fix în paralel cueliminarea rapidă a datoriilor în paralel cu o creştere rapidă a capitaluluicirculant.

Evoluţia variabilelor de stare ale firmei sunt redate în figura de mai jos:

Traiectoria 8 ( F = γ · I F = 0, D = Dmax)Sistemul canonic devine:


)(t K C & = 0.094· K F (t ) +

+ 0.315· K C (t ) – 0.35·Y – 100

)(t K F & = 0,15 · K F (t )

)(t Y & = – 0,2 · Y (t )

)(t K C & = 0.087· K F (t ) +

+ 0.546· K C (t ) – 0.35·Y – 100

)(t K F & = – 0,15 · K F (t )

)(t Y & = – 0,2 · Y (t )

)(t K C & = 0.04563· K F (t ) +

+ 0.637· K C (t ) – 0.35·Y – 100

)(t K F & = – 0,15 · K F (t )

)(t Y & = – 0,2 · Y (t )

KF

0

500

1000

1500

2000

0 10 20 30

t

K F

Y

0

2

4

6

8

10

12

0 10 20 30

t

Y

KC

0

5000

10000

15000

0 2 4 6

t

K C



Pentru toate cele trei variante din ultimele două ecuaţii se obţinimediat evoluţiile capitalului fix şi datoriei firmei:

K F (t ) = 1557·e-0,15·t Y (t ) = 10· e

-0,2·t


I. )(t K C & = 0,315· K C (t ) + 0,094·1557·e-0,15·t – 3,5·e-0,2·t – 100

II. )(t K C & = 0,546· K C (t ) + 0,087·1557·e-0,15·t – 3,5·e-0,2·t – 100

III. )(t K C & = 0,637· K C (t ) + 0.04563·1557·e-0,15·t – 3,5·e-0,2·t – 100

cu soluţiile:

I. K C (t ) = 317,46 – 314,75·e-0,15·t + 6,7961·e-0,2·t + 294,49·e0,315·t II. K C (t ) = 183. 15 – 194,63·e-0,15·t + 4,6917·e-0,2·t + 310,78·e0,546·t III. K C (t ) = 15,699 – 90,274·e-0,15·t + 4,1816·e-0,2·t + 95,394·e0,637·t

Pe această traiectorie firma nu face investiţii, nu face împrumuturi,nu plăteşte dividende, are loc o scădere a capitalului fix în paralel cueliminarea rapidă a datoriilor în paralel cu o creştere rapidă a capitaluluicirculant.

Evoluţia variabilelor de stare ale firmei sunt redate în figura de mai jos:

Varianta I Varianta II Varianta III)(t K C

& =0.094· K F (t ) +

+ 0.315· K C (t )

)(t K F & = – 0,15 · K F (t )

Y (t ) = 0

)(t K C & =0.087· K F (t ) +

+ 0.546· K C (t )

)(t K F & = – 0,15 · K F (t )

Y (t ) = 0

)(t K C & =0.04563· K F (t ) +

+ 0.637· K C (t )

)(t K F & = – 0,15 · K F (t )

Y (t ) = 0

Traiectoria 9 ( F = γ · I F = 0, D = 0, Y = 0)Sistemul canonic devine:

În toate cele trei variante rezultă imediat evoluţia capitalului fix:

K F (t ) = 1557·e-0,15·t


Varianta I: )(t K C & = 0.315· K C (t ) + 0.094·1557·e-0,15·t

Varianta II: )(t K C & = 0.546· K C (t ) + 0.087·1557·e-0,15·t

Varianta III: )(t K C &

= 0.637· K C (t ) + 0.04563·1557·e-0,15·t



de unde obţinem evoluţia capitalului circulant:

Varianta I: K C (t ) = −314,75·e-0,15·t + 618,75·e0,315·t Varianta II: )(t K C

& = −194,63·e-0,15·t + 498,63·e0,546·t

Varianta III: )(t K C & = −90,274·e-0,15·t + 115,27·e0,637·t

Evoluţiile capitalului fix, a celui circulant şi a celui total suntevidenţiate în figura de mai jos:


Traiectoria 10 ( F = γ · I F = 0, D = Dmax, Y = 0)



)(t K C & = 0.094· K F (t ) +

+ 0.315· K C (t ) – 100

)(t K F & = – 0,15 · K F (t )

Y (t ) = 0

)(t K C & = 0.087· K F (t ) +

+ 0.546· K C (t ) – 100

)(t K F & = – 0,15 · K F (t )

Y (t ) = 0

)(t K C & = 0.04563· K F (t ) +

+ 0.637· K C (t ) – 100

)(t K F & = – 0,15 · K F (t )

Y (t ) = 0

În toate cele trei variante rezultă imediat evoluţia capitalului fix: K F (t ) = 1557·e-0,15·t


Varianta I: )(t K C & = 0.315· K C (t ) + 0.094·1557·e-0,15·t – 100

Varianta II: )(t K C & = 0.546· K C (t ) + 0.087·1557·e-0,15·t – 100

Varianta III: )(t K C & = 0.637· K C (t ) + 0.04563·1557·e-0,15·t – 10

KF

0

500

1000

1500

0 5 10 15 20 25 30

t

K F

KC

0

1000

2000

3000

4000

5000

0

t

K C

KT

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0

t

K T



de unde obţinem evoluţia capitalului circulant:

Varianta I: K C (t ) = -314,75·e-0,15·t +301,29·e0,315·t + 317,46

Varianta II: )(t K C & = -194,63·e-0,15·t + 315,47·e0,546·t + 183,15

Varianta III: )(t K C & = -90,274·e

-0,15·t

+ 99,576·e0,637·t

+ 15,699Evoluţiile capitalului fix, a celui circulant şi a celui total sunt

evidenţiate în figura de mai jos:




)(t K C &

= 0.094· K F (t ) ++ 0.315· K C (t ) – 0.35·Y – 1000

)(t K F & = 1000 – 0,15 · K F (t )

)(t Y & = – 0,2 · Y (t )

)(t K C &

=0.087· K F (t ) ++ 0.546· K C (t ) – 0.35·Y – 1000

)(t K F & = 1000 – 0,15 · K F (t )

)(t Y & = – 0,2 · Y (t )

)(t K C &

=0.04563· K F (t ) ++ 0.637· K C (t ) – 0.35·Y – 1000

)(t K F & = 1000 – 0,15 · K F (t )

)(t Y & = – 0,2 · Y (t )

Din ultima ecuaţie obţinem, pentru toate trei variantele, evoluţiadatoriei firmei:

Y (t ) = 10·e-0,2·t

Din a doua ecuaţie (liniar ă în K F (t )) vom scoate, pentru toate treivariantele, evoluţia capitalului fix:

K F (t ) = 6666,667 – 5109,667·e-0,15·t


Varianta I: )(t K C & = 0.315· K C (t ) + 0.094·(6666,667 – 5109,667·e-0,15·t ) –

– 3,5·e-0,2·t – 1000

KF

0

500

1000

1500

0 5 10 15 20 25 30

t

K F

KC

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0

t

K C

KT

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0

t

K T



Varianta II: )(t K C & = 0.546· K C (t ) + 0.087·(6666,667 – 5109,667·e-0,15·t ) –

– 3,5·e-0,2·t – 1000

Varianta III: )(t K C & = 0.637· K C (t ) + 0.04563·(6666,67 - 5109,67·e-0,15·t ) –

– 3,5·e-0,2·t – 1000

din care se obţine evoluţia capitalului circulant:

Varianta I: )(t K C & = 1185,2 + 1032,9·e-0,15·t + 6,7961·e-0,2·t – 1920,9·e0,315·t

Varianta II: )(t K C & = 769,23 + 638,71·e-0,15·t + 4,6917·e-0,2·t – 1108,6·e0,546·t

Varianta III: )(t K C & = 1092,3 + 296,26·e-0,15·t + 4,1816·e-0,2·t – 1367,7·e0,637·t

Evoluţiile indicatorilor de stare ai firmei sunt evidenţiate în figura demai jos:

Pe această traiectorie firma nu plăteşte dividende (nu retrage bani),face investiţii la maxim, nu face împrumuturi şi are o evoluţie de stabilizarea valorii capitalului fix şi de scădere a datoriei firmei în paralel cu o scădereaccelerată a capitalului circulant.

Evident, traiectoria este acceptabilă doar pe intervalul în care toţiindicatorii respectă restricţia de semn, în cazul de faţă doar atât timp cât K C (t ) ≥ 0.

KF

01500300045006000

0 10 20 30

t

K F

Y

0

5

10

0 5 10 15 20 25 30

t

Y

KC

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

0 1 2 3 4

t

K C

KT

-15000

-10000

-5000

0

5000

0 1 2 3 4

t

K T






& =0.094· K F (t ) +

+ 0.315· K C (t ) – 0.35·Y – 1100

)(t K F & = 1000 – 0,15 · K F (t )

)(t Y & = – 0,2 · Y (t )

)(t K C & =0.087· K F (t ) +

+ 0.546· K C (t ) – 0.35·Y – 1100

)(t K F & = 1000 – 0,15 · K F (t )

)(t Y & = – 0,2 · Y (t )

)(t K C & =0.04563· K F (t ) +

+ 0.637· K C (t ) – 0.35·Y – 1010

)(t K F & = 1000 – 0,15 · K F (t )

)(t Y & = – 0,2 · Y (t )

Din ultima ecuaţie obţinem, pentru toate trei variantele, evoluţiadatoriei firmei:

Y (t ) = 10·e-0,2·t

Din a doua ecuaţie (liniar ă în K F (t )) vom scoate, pentru toate treivariantele, evoluţia capitalului fix:

K F (t ) = 6666,667 – 5109,667·e-0,15·t


Varianta I: )(t K C & = 0.315· K C (t ) + 0.094·(6666,667 – 5109,667·e-0,15·t ) –

− 3,5·e-0,2·t – 1100

Varianta II: )(t K C & = 0.546· K C (t ) + 0.087·(6666,667 – 5109,667·e-0,15·t ) –

− 3,5·e-0,2·t – 1100

Varianta III: )(t K C & = 0.637· K C (t ) + 0.04563·(6666,67 - 5109,67·e-0,15·t ) −

− 3,5·e-0,2·t − 1010

din care se obţine evoluţia capitalului circulant:

Varianta I: K C (t ) = 1502,6 + 1032,9·e-0,15·t + 6,7961·e-0,2·t –

− 2238,4·e0,315·t

Varianta II: K C (t ) = 952,38 + 638,71·e-0,15·t + 4,6917·e-0,2·t –

− 1291,8·e0,546·t Varianta III: K C (t ) = 1108 + 296,26·e-0,15·t + 4,1816·e-0,2·t –

− 1383,4·e0,637·t



Evoluţiile indicatorilor de stare ai firmei sunt evidenţiate în figura demai jos:

Pe această traiectorie firma plăteşte dividende la maxim, faceinvestiţii la maxim, nu face împrumuturi şi are o evoluţie de stabilizare avalorii capitalului fix şi de scădere a datoriei firmei în paralel cu o scădere

accelerată a capitalului circulant (mai rapidă decât în cazul traiectoriei 11).Evident, traiectoria este acceptabilă doar pe intervalul în care toţiindicatorii respectă restricţia de semn, în cazul de faţă doar atât timp cât K C (t ) ≥ 0.




& = 0.094· K F (t ) +

+ 0.315· K C (t ) – 1000

)(t K F & = 1000 – 0,15 · K F (t )

Y (t ) = 0

)(t K C & = 0.087· K F (t ) +

+ 0.546· K C (t ) – 1000

)(t K F & = 1000 – 0,15 · K F (t )

Y (t ) = 0

)(t K C & = 0.04563· K F (t ) +

+ 0.637· K C (t ) – 1000

)(t K F & = 1000 – 0,15 · K F (t )

Y (t ) = 0


K F (t ) = 6666,667 – 5109,667·e-0,15·t

KF

01500300045006000

0 10 20 30

t

K F

Y

0

5

10

0 5 10 15 20 25 30

t

Y

KC

-20000

-15000

-10000

-50000

5000

0 1 2 3 4

t

K C

KT

-15000

-10000

-5000

0

5000

0 1 2 3 4

t

K T




Varianta I: )(t K C & = 0.315· K C (t ) + 0.094·(6666,667 – 5109,667·e-0,15·t ) – 1000

Varianta II: )(t K C & = 0.315· K C (t ) + 0.094·(6666,667 – 5109,667·e

-0,15·t

) – 1000Varianta III: )(t K C

& = 0.315· K C (t ) + 0.094·(6666,667 – 5109,667·e-0,15·t ) – 1000

din care se scoate evoluţia capitalului circulant:

Varianta I: K C (t ) = 1185,2 + 1032,9·e-0,15·t – 1914,1·e0,315·t Varianta II: K C (t ) = 769,23 + 638,71·e-0,15·t – 1103,9·e0,546·t Varianta III: K C (t ) = 1092,3 + 296,26·e-0,15·t – 1363,6·e0,637·t

Evoluţia indicatorilor firmei este reprezentată în figura de mai jos:

Pe această traiectorie firma nu plăteşte dividende (nu retrage bani),face investiţii la maxim, nu are datorii, nu face împrumuturi şi are o evoluţiede stabilizare a valorii capitalului fix în paralel cu o descreştere rapidă avolumului capitalului circulant. Ca şi în cazul traiectoriilor precedentesituaţia este acceptabilă doar atât timp cât K C (t ) r ămâne pozitiv.

Traiectoria nu este traiectorie iniţială deoarece Y 0 ≠ 0.


Sistemul canonic devine:Varianta I Varianta II Varianta III

)(t K C & =0.094· K F (t ) +

+ 0.315· K C (t ) – 1100

)(t K F & = 1000 – 0,15 · K F (t )

Y (t ) = 0

)(t K C & =0.087· K F (t ) +

+ 0.546· K C (t ) – 1100

)(t K F & = 1000 – 0,15 · K F (t )

Y (t ) = 0

)(t K C & =0.04563· K F (t ) +

+ 0.637· K C (t ) – 1010

)(t K F & = 1000 – 0,15 · K F (t )

Y (t ) = 0


K F (t ) = 6666,667 – 5109,667·e-0,15·t

KF

1500

2500

3500

4500

5500

6500

0 5 10 15 20 25 30

t

K F

KC

-18000

-16000

-14000

-12000

-10000

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

0

t

K C

KT

-30000

-25000

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

0

t

K T




Varianta I: )(t K C & = 0.315· K C (t ) + 0.094·(6666,667 – 5109,667·e-0,15·t ) – 1100

Varianta II: )(t K C & = 0.315· K C (t ) + 0.094·(6666,667 – 5109,667·e

-0,15·t

) – 1100Varianta III: )(t K C

& = 0.315· K C (t ) + 0.094·(6666,667 – 5109,667·e-0,15·t ) – 1010

din care se scoate evoluţia capitalului circulant:

Varianta I: K C (t ) = 1502,6 + 1032,9·e-0,15·t – 2231,6·e0,315·t Varianta II: K C (t ) = 952,38 + 638. 71·e-0,15·t – 1287,1·e0,546·t Varianta III: K C (t ) = 1108 + 296. 26·e-0,15·t – 1379,3·e0,637·t

Evoluţia indicatorilor firmei este reprezentată în figura de mai jos:

Pe această traiectorie firma nu plăteşte dividende (nu retrage bani),face investiţii la maxim, nu are datorii, nu face împrumuturi şi are o evoluţiede stabilizare a valorii capitalului fix în paralel cu o descreştere rapidă avolumului capitalului circulant (mai rapidă decât în cazul traiectoriei 13). Caşi în cazul traiectoriilor precedente situaţia este acceptabilă doar atât timpcât K C (t ) r ămâne pozitiv.

Traiectoria nu este traiectorie iniţială deoarece Y 0 ≠ 0.

1.2 Traiectoria finală

Aşa cum s-a văzut în capitolul 4, pentru cazul concurenţei perfectemodelul dă ca soluţie optimă în cazul firmei TRICOMEL SA CIMPENItraiectoria 7, pe care nu se fac investiţii, nu se fac împrumuturi şi nu se plătesc dividende, caz în care firma ajunge la sfâr şitul perioadei cu o valoareactualizată a capitalului propriu de:

X (5) =5

)48,01(

)5( )5(

++ F C K K

= 779,52 milioane lei

KF

1500

2500

3500

4500

5500

6500

0 10 20 30

t

K F

KC

-18000

-16000

-14000

-12000

-10000

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

0

t

K C

KT

-30000

-25000

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

0

t

K T



şi o valoare a datoriei:Y (5) = 3,68 milioane lei

Evoluţiile indicatorilor firmei pe această traiectorie sunt reprezentateîn figura de mai jos:

Totuşi, această soluţie nu este acceptabilă deoarece nu pare plauzibilca firma să nu plătească dividende timp de 5 ani. Această situaţie arată că este absolut necesar ca în modele dinamice să se fixeze un prag minim strict pozitiv al valorii dividendelor plătite şi/sau o perioadă maximă pe care seacceptă ca valoarea dividendelor să fie minimă.

Aşa cum se va vedea la cazul discret, faptul că firma trebuie totuşi să pl

ăteasc

ădividende face ca valoarea real

ăob

ţinut

ăsă

fie mult sub ceaoptimă conform modelului simplificat de mai sus, în acest caz undeva în jurul valorii de 350 milioane lei.

2. Cazul continuu în condiţii de concurenţă imperfectă

Pentru cazul concurenţei imperfecte, în care firma poate impune un preţ peste valoarea normală a produsului, vom considera că preţul produsului este descrescător în funcţie de volumul producţiei şi că această

funcţie scade asimptotic spre valoarea preţului standard când valoarea producţiei tinde la infinit. Vom propune ca funcţie inversă a ofertei o funcţiede tipul:

p(Q) = 0,01 +2

2

α Q

b

Această expresie arată că firma care deţine monopolul reuşeşte să obţină un preţ mai mare decât preţul normal pe piaţă, diferenţă dintre preţulde monopol şi cel normal fiind totuşi cu atât mai mică cu cât volumul

producţiei este mai mare.

KF = rosu, KC = galben, X = alba stru, K =

v e r d e

-400

600

1600

2600

3600

4600

5600

0 1 2 3 4 5

t

Y

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4 5

t



Parametrii b şi α vor fi calculaţi astfel încât produsul p(Q)·Q să aproximeze cât mai bine valoarea producţiei vândute pentru firmaconsiderată pe perioada analizată.

În urma aplicării regresiei după coeficienţii b şi α s-a obţinut

următoarea expresie a funcţiei de producţie:

p(Q) = 0,01 +554,2

8100542,1

Q

⋅

Pe baza acestei funcţii am f ăcut în tabelul de mai jos o comparaţieîntre valoarea producţiei vândute reale, cea care corespunde variantei de piaţă perfectă şi cea care corespunde unei pieţe pe care firma deţinemonopolul:

AN CapitalFix

(mil. lei)

CapitalCirculant(mil. lei)

VolumProducţie

(buc)

Preţ conc. perf.(mil. lei)

Preţ monopol(mil. lei)

PV real

(mil. lei)

PV conc. perf (mil. lei)

PV monopol(mil. lei)

1994 1557 304 59087 0,01 0,010069 581 590,87 594,9253

1995 1199.14 273.7002 52589.76 0,01 0,010092 389.3802 525,8976 530,7576

1996 847.5343 498.3894 91754.31 0,01 0,010022 829.0149 917,5431 919,5895

1997 931.1854 321.0837 60267.54 0,01 0,010065 897.1959 602,6754 606,6079

1998 687.264 381.052 70270.1 0,01 0,010044 680.8146 702,701 705,7987

Parametrii modelului vor fi aceeaşi cu cei de la cazul concurenţei perfecte, dar, din cauza volumului foarte mare de calcule necesare pentruacest caz, va fi analizată doar varianta funcţiei de producţie careaproximează cel mai bine valorile producţiei observate pentru această firmă pe perioada analizată.

Parametrii α β f i a b r k γ p 0C K 0

F K Y0 Imax Dmax T N

Valori 3 179 0,3 0,48 0,15 0,2 0,5 0,5 0,8 0,01 304 1557 10 1000 100 5 100000

Rezolvarea modelului

Pentru cazul ψ1(t ) = 1, Q se scoate din relaţiile:

p(Q) = C ⋅ Q

1+

)1(

1

f

f i

−−+

β , p(Q0) = p0 = 0,01 +

554,20

8100542,1

Q

⋅

iar pentru cazul ψ1(t ) = ψ2(t ) ≠ 1 Q se scoate din relaţiile:

p(Q) = C ⋅ Q

1+

β α −−1a

, p(Q0) = p0 = 0,01 +554,2

0

8100542,1

Q

⋅



În cazul analizat avem Q0 = Q1994 = 59087 ⇒ p0 = 0,010069 şi situaţiadin cele două cazuri de mai sus se reduce la rezolvarea unei ecuaţiidiferenţiale:

- Cazul ψ1(t ) = 1: p(Q) = C ⋅ Q1 +

)1(1

f f i

−−+ β

, p(59087) = 0,010069

- Cazul ψ1(t ) = ψ2(t ) ≠ 1: p(Q) = C ⋅ Q

1+

β α −−1a

, p(59087) = 0,010069

şi apoi la rezolvarea ecuaţiei algebrice în Q:

- Cazul ψ1(t ) = 1: C ⋅

Q

1+

)1(

1

f

f i

−

−+

β

= 0,01 +554,2

8100542,1

Q

⋅

- Cazul ψ1(t ) = ψ2(t ) ≠ 1: C ⋅ Q

1+

β α −−1a

= 0,01 +554,2

8100542,1

Q

⋅

În cazul ψ1(t ) = 1 se obţine C = 38,50119 iar în cazul ψ1(t ) = ψ2(t ) ≠ 1se obţine C = 309,58365.

Ecuaţia algebrică din care se află Q va fi:

Cazul ψ1(t ) = 1: 38,50119⋅Q1 + 0,009417 = 0,01 +

554,2

8100542,1

Q⋅ ⇒ Q = 16762

Cazul ψ1(t ) =ψ2(t ) ≠ 1: 309,58365⋅ Q

1+ 0,00483 = 0,01+

554,2

8100542,1

Q

⋅⇒ Q = 3786,1

Făcând o sinteză a rezultatelor obţinute obţinem:

ψ1(t ) = 1: Q = 16762, p( Q ) = 0,011714, p( Q )· Q = 196,35, 3⋅ K F + 179⋅ K C =

= 16762

ψ1(t ) = ψ2(t ) ≠ 1: Q = 3786,1, p( Q ) = 0,086599, p( Q )· Q = 327,87, 3⋅ K F +

+ 179⋅ K C = 3786,1

De asemenea, vom avea în toate cazurile:

U ( K F (t ), K C (t )) = 0,553 K C (t ) + 0,171· K F (t ) + 554,1

8

))(179)(3(

1073794,0

t K t K C F +

⋅




Deoarece a ≠ b r ămân de analizat doar traiectoriile:

Traiectoria 3 (3⋅ K F

+ 179⋅ K C

= 16762, F = 0,8· I F

, Y = 0)


)(t K C & = 0,7·[196,35 – 0,15· K F (t ) +

179

3· K F –

179

16762] + 0,15· K F (t ) – )(t D

)(t K F & = – 0,15· K F (t )

0 = )(t F = )(t I F

Din a doua ecuaţie rezultă evoluţia capitalului fix:

K F (t ) = 1557·e-0,15·t

de unde rezultă imediat evoluţia capitalului circulant:

K C (t ) = 93,64 – 5,095·e-0,15·t

şi evoluţia dividendelor plătite din prima ecuaţie:

)(t D = 84,41723·e-0,15·t + 71,895

Evoluţia indicatorilor firmei este redată în figura de mai jos:

Pe această traiectorie firma plăteşte dividende, dar din ce în ce mai puţine, are o evoluţie crescătoare asimptotic spre 93,64 a capitaluluicirculant şi descrescătoare asimptotic spre 0 a capitalului fix, nu faceîmprumuturi, nu are datorii şi nu face investiţii, păstrând veniturile, preţulde vânzare şi producţia la un nivel constant.

Evident traiectoria este admisibilă atât timp cât verifică şi condiţiileimpuse asupra variabilelor.

KF-KT

0

500

1000

1500

0 10 20 30

t

K F - K T

KC

88

90

92

94

0 10 20 30

t

K C

D

70

90

110

130

150

0 10 20 30

t

D



Traiectoria 4 ( F = 0,8· I F , D = 0, Y = 0)


)(t K C

&

= 0,553 K C (t ) + 0,171· K F (t ) + 554,1

8

))(179)(3(

1073794,0

t K t K C F +

⋅

)(t K F

& = – a· K F (t )

Y (t ) = )(t I F = )(t F = 0

Din a treia ecuaţie rezultă că firma nu are datorii (Y = 0), nu se facinvestiţii ( I F (t ) = 0), nu se plătesc dividende (nu se retrag bani din firmă)( D = 0) şi are loc o restructurare a activităţii firmei prin scăderea puternică acapitalului fix al firmei:

K F (t ) = 1557·e-0,15·t

→ 0Evoluţia capitalului circulant rezultă din prima ecuaţie după

înlocuirea în aceasta a lui K F (t ):

)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 554,115,0

8

))(1794671(

1073794,0

t K e C

t +⋅

⋅⋅−

+ 266,247·e-0,15·t ,

K C (0) = 304Deoarece ecuaţia de mai sus nu are o soluţie elementar ă au fost doar

o serie de valori ale acesteia şi mai jos a fost reprezentată grafic mulţimeavalorilor acesteia:

Din acest grafic rezultă că are loc o creştere accelerată a capitaluluicirculant pentru a suplini capitalul fix uzat care nu este înlocuit prininvestiţii. Efectul este o schimbare a structurii producţiei firmei în paralel cuo descreştere iniţială a capitalului total al firmei pe o perioadă scurtă de timpurmată de o creştere ulterioar ă accelerată a acestuia.


= 0.

KF

0

500

1000

1500

0 10 20 30t

K F

KC

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3



Traiectoria 5 ( F = 0,8· I F , D = 100, Y = 0)


)(t K C

&

= 0,553 K C (t ) + 0,171· K F (t ) + 554,1

8

))( 179 )( 3(

1073794,0

t K t K C F +

⋅

– 100)(t K F

& = – a· K F (t )

Y (t ) = )(t I F = )(t F = 0

Din a treia ecuaţie rezultă că firma nu are datorii (Y = 0), nu se facinvestiţii ( I F (t ) = 0), se plătesc dividende la maxim şi are loc o restructurarea activităţii firmei prin scăderea puternică a capitalului fix al firmei:

K F (t ) = 1557·e-0,15·t → 0

Evoluţia capitalului circulant rezultă din prima ecuaţie după înlocuirea în aceasta a lui K F (t ):

)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 554,115,0

8

))(1794671(

1073794,0

t K e C

t +⋅

⋅⋅−

+ 266,247·e-0,15·t –

– 100, K C (0) = 304

Deoarece ecuaţia de mai sus nu are o soluţie elementar ă au fost doar o serie de valori ale acesteia şi mai jos a fost reprezentată grafic mulţimea

valorilor acesteia:

Din acest grafic rezultă că are loc o creştere accelerată a capitaluluicirculant (dar mai lentă decât în cazul traiectoriei precedente, deoarece se plătesc şi dividende) pentru a suplini capitalul fix uzat care nu este înlocuit prin investiţii. Efectul este o schimbare a structurii producţiei firmei în paralel cu o descreştere iniţială a capitalului total al firmei pe o perioadă scurtă de timp urmată de o creştere ulterioar ă accelerată a acestuia.


= 0.

KF

0

500

1000

1500

0 10 20 30t

K F

KC

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 1 2 3



Traiectoria 6 (3⋅ K F + 179⋅ K C = 16762, F = 0,8· I F , Y = 0,5·( K F + K C ))


– 0,01676· )(t K F & = (1 – 0,3)·[196,35 – 0,15· K F (t ) + 0,01676· K F (t ) –

– 93,64246 – 0,25·( K F (t ) + K C (t ))] + 0,15· K F (t ) – )(t D – )(t I F )(t K F

& = )(t I F – 0,15· K F (t )

0,49162· )(t K F & = 0,8· )(t I F – 0,098324· K F (t ) – 9,364246

Din ultimele două ecuaţii se elimină termenul )(t I F şi obţinem oecuaţie liniar ă cu coeficienţi constanţi în K F (t ):

)(t K F & = –0,0703· K F (t ) + 30,366

din care se obţine imediat evoluţia capitalului fix: K F (t ) = 431,95 + 1125,1·e-0,0703·t

Evoluţia capitalului circulant rezultă din relaţia K C (t ) = 93,64246 – – 0,01676· K F (t ):

K C (t ) = 86,403 – 18,85668·e-0,0703·t

evoluţia investiţiilor din a doua ecuaţie a sistemului canonic redus:

)(t I F = 64,7925 + 89,67047·e-0,0703·t

evoluţia datoriei din relaţia Y (t ) = 0,5·( K F (t ) + K C (t )):Y (t ) = 259,1765 + 553,12166·e-0,0703·t

evoluţia împrumuturilor din relaţia F = 0,8· I F :

F (t ) = 51,834 + 71,736376·e-0,0703·t

şi în final evoluţia dividendelor din prima ecuaţie a sistemului canonic redus:

)(t D = –59,10360575 – 220,7595028·e-0,0703·t

Evoluţia indicatorilor firmei este evidenţiată în figura de mai jos:

Y-KF-KT

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 10 20 30 40 50

t

Y - K F - K

KC

65

67

69

71

73

75

77

79

81

83

85

87

89

0 10 20 30 40 50

t

K C

D-F-IF

-280

-230

-180

-130

-80

-30

20

70

120

0 10 20 30

t

D - F - I F

Traiectoria nu este traiectorie iniţială deoarece K C (0) = 86,403≠ 0C K = 304.

Pe această traiectorie are loc o scădere a volumului capitalului fix, adatoriilor şi a capitalului total compensată în parte de o creştere a capitalului

circulant. Are loc o descreştere a investiţiilor în capital fix şi aîmprumuturilor firmei în paralel cu o creştere a dividendelor distribuite,tendinţa fiind de stabilizare a tuturor indicatorilor spre valoarea de echilibru.

Obs. În cazul nostru traiectoria nu este admisibilă deoarece D(t ) < 0oricare ar fi t , dar analiza r ămâne valabilă şi traiectoria posibilă pentru altevalori ale parametrilor modelului.

Traiectoria 7 ( F = γ· I F , D = 0, Y = k ·( K F + K C ))


)(t K C & = 0,378 K C (t ) – 0,004· K F (t ) + 554,1

8

))(179)(3(

1073794,0

t K t K C F +

⋅– )(t I F

)(t K F & = )(t I F – 0,15· K F (t )

0,5·( )(t K F & + )(t K C

& ) = 0,8· )(t I F – 0,1·( K F (t ) + K C (t ))

În acest caz sistemul s-a redus la trei ecuaţii cu trei necunoscute K F (t ), K C (t ), I F (t ) din care doar K F (t ) şi K C (t ) apar derivate în ecuaţii.

Înlocuind derivatele capitalului fix şi capitalului circulant din primele două ecuaţii în a treia ecuaţie obţinem:

0,023· K F (t ) + 0,289· K C (t ) + 0,5·554,1

8

))(179)(3(

1073794,0

t K t K C F +

⋅= 0,8· )(t I F


I F (t ) = 0,02875· K F (t ) + 0,36125· K C (t ) + 554,1

8

))(179)(3(

10461213,0

t K t K C F +

⋅


)(t K C & = 0,01675· K C (t ) – 0,03275· K F (t ) + 554,1

8

))(179)(3(

10276727,0

t K t K C F +

⋅

)(t K F & = 0,36125· K C (t ) – 0,12125· K F (t ) + 554,1

8

))(179)(3(

10461213,0

t K t K C F +

⋅



şi condiţiile iniţiale K C (0) = 304, K F (0) = 1557 din care vom scoate


Deoarece sistemul de ecuaţii nu are soluţii elementare au fost

calculate doar valorile capitalului fix şi circulant pe intervalul analizat, înfigura de mai jos fiind reprezentate grafic aceste valori:

Evoluţia capitalului va depinde evident de forma funcţiei preţ p( K F (t ), K C (t )) şi valoarea firmei va fi dată doar de valoarea finală actualizată a capitalului total.

În acest caz firma face împrumuturi la maxim F = γ· I F , nivelulcapitalului împrumutat este maxim Y = k ·( K F + K C ) şi nu plăteşte dividende.

Traiectoria nu este traiectorie iniţială deoarece Y 0 ≠ k ·( 0 F K + 0

C K ).



)(t K C & = 0,378 K C (t ) – 0,004· K F (t ) + 554,1

8

))(179)(3(

1073794,0

t K t K C F +

⋅ – )(t I F – 100

)(t K F & = )(t I F – 0,15· K F (t )

0,5·( )(t K F & + )(t K C

& ) = 0,8· )(t I F – 0,1·( K F (t ) + K C (t ))

În acest caz sistemul s-a redus la trei ecuaţii cu trei necunoscute K F (t ), K C (t ), I F (t ) din care doar K F (t ) şi K C (t ) apar derivate în ecuaţii.

KC

0

50

100

150

200

250

300

350

0 10 20 30 40 50

Y-KF-KT

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 10 20 30 40 50t

Y - K F - K T

F-IF

0

50

100

150

200

0 10 20 30 40 50



Înlocuind derivatele capitalului fix şi capitalului circulant din primele două ecuaţii în a treia ecuaţie obţinem:

0,023· K F (t ) + 0,289· K C (t ) + 0,5·554,1

8

))(179)(3(

1073794,0

t K t K C F +

⋅– 50 = 0,8· )(t I F


I F (t ) = 0,02875· K F (t ) + 0,36125· K C (t ) + 554,1

8

))(179)(3(

10461213,0

t K t K C F +

⋅– 62,5


)(t K C & = 0,01675· K C (t ) – 0,03275· K F (t ) + 554,1

8

))(179)(3(

10276727,0

t K t K C F +

⋅+ 62,5

)(t K F & = 0,36125· K C (t ) – 0,12125· K F (t ) + 554,1

8

))(179)(3(

10461213,0

t K t K C F +

⋅– 62,5

şi condiţiile iniţiale K C (0) = 304, K F (0) = 1557 din care vom scoate


Deoarece sistemul de ecuaţii nu are soluţii elementare au fostcalculate doar valorile capitalului fix şi circulant pe intervalul analizat, în

figura de mai jos fiind reprezentate grafic aceste valori:

Evoluţia capitalului va depinde evident de forma funcţiei preţ p( K F (t ), K C (t )) şi valoarea firmei va fi dată doar de valoarea finală actualizată

a capitalului total.

KC

0

200

400

600

800

1000

1200

0 10 20 30 40 50

Y-KF-KT

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 10 20 30 40 50t

Y - K F - K T

F-IF

0

100

200

300

400

500

0 10 20 30 40 50



În acest caz firma face împrumuturi la maxim F = γ· I F , nivelulcapitalului împrumutat este maxim Y = k ·( K F + K C ) şi plăteşte dividende lamaxim, condiţii în care obţine o creştere iniţială a capitalului fix şi circulant pe seama unei creşteri a investiţiilor şi împrumuturilor urmată de o scădere a

acestora spre o valoare de echilibru.Traiectoria nu este traiectorie iniţială deoarece Y

0 ≠ k ·( 0 F K + 0

C K ).

Traiectoria 9 (3⋅ K F + 179⋅ K C = 16762, I F = 1000, F = 800)

Sistemul canonic devine: –0,01676· )(t K F

& = 0,056732· K F (t ) – 0,35·Y (t ) – )(t D – 928,104722

)(t K F & = 1000 – 0,15· K F (t )

)(t Y &

= 800 – 0,2·Y (t )Din a doua ecuaţie (liniar ă în K F (t )) se scoate evoluţia capitalului fix:

K F (t ) = 6666,7 – 5109,7·e-0.15·t


Y (t ) = 4000 – 3990·e-0.2·t

Evoluţia capitalului circulant se obţine din relaţia 3⋅ K F + 179⋅ K C = 16762:

K C (t ) = –18,0914 + 85,638572·e-0.15·t

şi înlocuind evoluţiile capitalului fix şi a datoriei în prima ecuaţie obţinemevoluţia dividendelor:

)(t D = –1949,889498 – 277,0377146·e-0.15·t + 1396,5·e-0.2·t

Evoluţiile indicatorilor firmei sunt reprezentate în figura de mai jos:

Pe această traiectorie firma face investiţii şi împrumuturi la maxim,are loc o creştere a capitalului fix şi a datoriei în paralel cu o scădere a

capitalului circulant şi a valorii dividendelor.

Y-KF-KT

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 10 20 30 40 50

t

Y - K F - K

KC

-20

0

20

40

60

0 10 20 30 40 50

t

K C

D

-2000

-1500

-1000

0 10 20 30

t

D - F - I F



Obs. În cazul de faţă traiectoria nu este admisibilă deoarece funcţiadividend are numai valori negative, dar este posibilă pentru alte valori ale parametrilor modelului.

Traiectoria 10 ( I F = 1000, F = 800, D = 0)Sistemul canonic devine:

)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 0,171· K F (t ) + 554,1

8

))( 179 )( 3(

1073794,0

t K t K C F +⋅

– 0,35·Y (t ) – 1000

)(t K F & = 1000 – 0,15· K F (t )

)(t Y & = 800 – 0,2·Y (t )

Din a doua ecuaţie (liniar ă în K F (t )) se scoate evoluţia capitalului fix:

K F (t ) = 6666,7 – 5109,7·e-0.15·t


Y (t ) = 4000 – 3990·e-0.2·t

Înlocuind evoluţiile capitalului fix şi a datoriei în prima ecuaţieobţinem o ecuaţie în capitalul circulant:

)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 554,115,0

8

)]( 179 )7,51097,6666( 3[

1073794,0

t K e C

t

+⋅−

⋅⋅− –

– 873,7587·e-0.15·t + 1396,5·e-0.2·t – 1259,9943

Deoarece ecuaţia de mai sus nu are soluţie elementar ă vomreprezenta doar valorile acesteia pe intervalul analizat, evoluţia indicatorilor firmei fiind dată în figura de mai jos:

KC

-55

-5

45

95

145

195

245

295

0 1 2 3

t

K C

Y-KF

0

2000

4000

6000

0 10 20 30 40 50

t

Y - K F



Pe această traiectorie firma nu plăteşte dividende (nu retrage bani),face investiţii şi împrumuturi la maxim şi are o evoluţie de stabilizare avalorii capitalului fix şi a datoriei firmei pe fondul unei scăderi rapide avolumului capitalului circulant.

Traiectoria 11 ( I F = 1000, F = 800, D = 100)


)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 0,171· K F (t ) + 554,1

8

))( 179 )( 3(

1073794,0

t K t K C F +⋅

– 0,35·Y (t ) – 1100

)(t K F & = 1000 – 0,15· K F (t )

)(t Y & = 800 – 0,2·Y (t )

Din a doua ecuaţie (liniar ă în K F (t )) se scoate evoluţia capitalului fix: K F (t ) = 6666,7 – 5109,7·e-0.15·t


Y (t ) = 4000 – 3990·e-0.2·t

Înlocuind evoluţiile capitalului fix şi a datoriei în prima ecuaţieobţinem o ecuaţie în capitalul circulant:

)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 554,115,0

8

)]( 179 )7,51097,6666( 3[

1073794,0

t K e C

t

+⋅−

⋅⋅− –

– 873,7587·e-0.15·t + 1396,5·e-0.2·t – 1359,9943

Deoarece ecuaţia de mai sus nu are soluţie elementar ă vomreprezenta doar valorile acesteia pe intervalul analizat, evoluţia indicatorilor firmei fiind dată în figura de mai jos:

KC

-55

-5

45

95

145

195

245

295

0 1 2 3

t

K C

Y-KF

0

2000

4000

6000

0 10 20 30 40 50t

Y - K F



Pe această traiectorie firma plăteşte dividende la maxim, faceinvestiţii şi împrumuturi la maxim şi are o evoluţie de stabilizare a valoriicapitalului fix şi a datoriei firmei pe fondul unei scăderi rapide (şi mairapidă decât în cazul traiectoriei anterioare) a volumului capitalului

circulant.

Traiectoria 18 (3⋅ K F + 179⋅ K C = 3786,1, D = 0, I F oarecare, F = 0,ψ1(t ) = ψ2(t ) ≠ 1)


–0,01676· )(t K F & = 214,7047517 + 0,056732· K F (t ) – 0,35·Y (t ) – )(t I F

)(t K F & = )(t I F – 0,15· K F (t )

)(t Y & = -0,2·Y (t )

Din ultima ecuaţie se obţine evoluţia împrumuturilor f ăcute de firmă:

Y (t ) = 10·e-0,2·t

care se înlocuieşte în prima ecuaţie. De asemenea, din a doua ecuaţie se

scoate )(t I F în funcţie de K F (t ) şi se introduce în prima ecuaţie, rezultând o

ecuaţie liniar ă cu coeficientul termenului de gradul unu constant în K F (t ):

)(t K F & = 218,36 – 0,0577· K F (t ) – 3,5597·e-0,2·t

care are soluţia:

K F (t ) = 3784,5 + 25,015·e-0.2·t – 2252,5·e –0.0577·t

Din relaţia 3⋅ K F (t ) + 179⋅ K C (t ) = 3786,1 se află imediat evoluţiacapitalului circulant:

K C (t ) = –42,276 – 0,41925 ·e-0.2·t + 37,751·e –0.0577·t

şi din a doua ecuaţie de dinamică evoluţia investiţiilor firmei:

)(t I F = 567,68 – 1,2508·e-0.2·t – 207,91· e –0.0577·t

Pe această traiectorie firma nu plăteşte dividende şi nu faceîmprumuturi, firma îndreptându-se spre o valoare de echilibru pe fondul păstr ării unui volum constant al producţiei.



Evoluţiile indicatorilor firmei sunt reprezentate în figura de mai jos(KF – roşu, KC – verde, IF – albastru, Y – violet):

Se observă că valoarea capitalului este negativă pe tot intervalulanalizat, deci soluţia nu este aplicabilă în situaţia concretă existentă.

Traiectoria 19 (3⋅ K F + 179⋅ K C = 3786,1, D = 100, I F oarecare, F = 0,

ψ1(t ) = ψ2(t ) ≠ 1)


– 0,01676· )(t K F & = 114,7047517 + 0,056732· K F (t ) – 0,35·Y (t ) – )(t I F

)(t K F & = )(t I F – 0,15· K F (t )

)(t Y & = –0,2·Y (t )

Din ultima ecuaţie se obţine evoluţia împrumuturilor f ăcute de firmă:

Y (t ) = 10·e-0,2·t



care se înlocuieşte în prima ecuaţie. De asemenea, din a doua ecuaţie sescoate )(t I F în funcţie de K F (t ) şi se introduce în prima ecuaţie, rezultând oecuaţie liniar ă cu coeficientul termenului de gradul unu constant în K F (t ):

)(t K F & = 116,6599728 – 0,094857817· K F (t ) – 3,5596599·e-0,2·t

care are soluţia:

K F (t ) = 1229,8 + 33,856·e-0.2·t + 293,3·e –0.094858·t

Din relaţia 3⋅ K F (t ) + 179⋅ K C (t ) = 3786,1 se află imediat evoluţiacapitalului circulant:

K C (t ) = 0,540222895 – 0,56741901·e-0.2·t – 4,915642594·e –0.094858·t


)(t I F = 184,47 – 1,6928·e-0.2·t + 16,1731486·e –0.094858·t


Pe această traiectorie firma nu face împrumuturi noi, plăteştedividende maxime şi îşi plăteşte datoriile pe fondul unei scăderi a volumuluiinvestiţiilor în active fixe şi a capitalului fix spre o valoare de echilibru în paralel cu creşterea capitalului circulant spre valoarea de echilibru.

KC

-6

-5

-4

-3

-2

-10

1

0 10 20 30 40 50

t

K C

KF

1200

1250

1300

1350

1400

1450

1500

1550

1600

0 10 20 30 40 50t

K F

Y

0

2

4

6

8

10

0 10 20 30 40 50t

Y

IF

182

184

186188

190

192

194

196

198

200

0 10 20 30 40 50t

I F



Traiectoria 20 (α⋅ K F + β⋅ K C = Q , D = 0, I F oarecare, F = 0, Y = 0,

ψ1(t ) = ψ2(t ) ≠ 1)


– 0,01676· )(t K F & = 214,7047517 + 0,056732· K F (t ) – )(t I F

)(t K F & = )(t I F – 0,15· K F (t )

Y (t ) = 0


)(t K F & = 218,3645414 – 0,094857817· K F (t )

care are soluţia: K F (t ) = 2302 – 745,02·e –0,094858·t

Din relaţia 3⋅ K F (t ) + 179⋅ K C (t ) = 3786,1 ⇔ K C (t ) = 21,1514 – − 0,01676⋅ K F (t ) se află imediat evoluţia capitalului circulant:

K C (t ) = −17,43012 + 12,4865352·e –0,094858·t


)(t I F

= 345,3 – 674,3488928·e –0,094858·t )


Pe această traiectorie firma nu face împrumuturi noi, nu are datorii,nu plăteşte dividende şi menţine producţia, preţul produselor şi vânzările laun nivel constant.

Obs. Pentru cazul nostru traiectoria nu este admisibilă deoarecevalorile funcţiei corespunzătoare capitalului circulant are numai valorinegative pe perioada analizată.

KC

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

0 10 20 30 40 50

t

K C

KF

1500

1600

1700

1800

1900

2000

2100

2200

2300

0 10 20 30 40 50t

K F

IF

-350

-250

-150

-50

50

150

250

350

0 10 20 30 40 50

t

I F



Traiectoria 21 (α⋅ K F + β⋅ K C = Q , D = Dmax, I F oarecare, F = 0,

Y = 0, ψ1(t ) = ψ2(t ) ≠ 1)


– 0,01676· )(t K F & = 114,7047517 + 0,056732· K F (t ) – )(t I F

)(t K F & = )(t I F - 0,15· K F (t )

Y (t ) = 0


)(t K F & = 118,3645414 – 0,094857817· K F (t )

care are soluţia: K F (t ) = 1247,8 + 309,19·e –0,094858·t

Din relaţia 3⋅ K F (t ) + 179⋅ K C (t ) = 3786,1 ⇔ K C (t ) = 21,1514 – – 0,01676⋅ K F (t ) se află imediat evoluţia capitalului circulant:

K C (t ) = 0,238272 – 5,1820244·e –0,094858·t


)(t I F

= 187,17 + 279,860855·e –0,094858·t )


Pe această traiectorie firma nu face împrumuturi noi, nu are datorii şi plăteşte dividende maxime, menţinând producţia, preţul produselor şivânzările la un nivel constant, pe fondul unei creşteri a capitalului circulantşi a unei descreşteri a capitalului fix şi a investiţiilor în capitalul fix sprevaloarea de echilibru.

Obs. Traiectoria este admisibilă doar pe intervalele pe care capitalulcirculant ia valori pozitive.

KC

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

0 10 20 30 40 50

t

K C

KF

1200

1250

1300

1350

1400

1450

1500

1550

1600

0 10 20 30 40 50t

K F

IF

180

280

380

0 10 20 30 40 50t

I F



Traiectoria 24 (α⋅ K F + β⋅ K C = Q , F = I F = 0, D oarecare, ψ1(t ) = 1)


– 0,01676· )(t K F & = 71,89527933 + 0,056732· K F (t ) – 0,35·Y (t ) – )(t D

)(t K F & = –0,15· K F (t )

)(t Y & = –0,2·Y (t )

Din ultimele două ecuaţii se obţine evoluţia capitalului fix:

K F (t ) = 1557·e-0,15·t


Y (t ) = 10·e-0,2·t

apoi evoluţia capitalului circulant:

K C (t ) = 93,6424581 – 26,09497279·e-0,15·t

care se înlocuiesc în prima ecuaţie din care se află evoluţia dividendelor plătite:

)(t D = 71,89527933 + 84,417426·e-0,15·t –3,5·e-0,2·t

Evoluţiile indicatorilor firmei sunt redate în figura de mai jos:

Pe această traiectorie firma nu face nici împrumuturi nici investiţii, plăteşte ratele la credite, plăteşte dividende dar cu o evoluţie descrescătoarea acestora spre valoarea de echilibru, are o evoluţie descrescătoare acapitalului fix şi a capitalului total şi crescătoare a celui circulant pe fondulmen

ţinerii unui nivel constant al produc

ţiei, pre

ţului

şi vânz

ărilor.

KC

65

75

85

95

0 10 20 30 40 50t

K C

KF-KT

0

300

600

900

1200

1500

0 10 20 30 40 50t

K F - K T

Y

0

5

10

0 10 20 30 40 50t

Y

D

70

90

110

130

150

0 10 20 30 40 50t

D



Traiectoria 25 ( F = I F = D = 0)


)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 0,171· K F (t ) + 554,1

8

))(179)(3( 1073794,0t K t K C F + ⋅ – 0,35·Y (t )

)(t K F & = –0,15· K F (t )

)(t Y & = –0,2·Y (t )


K F (t ) = 1557·e-0,15·t

şi datoriei firmei:Y (t ) = 10·e-0,2·t


)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 554,115,0

8

))( 1794671(

1073794,0

t K e C

t +⋅⋅

⋅− + 266,247·e-0,15·t – 3,5·e-0,2·t

Ecuaţia nu are soluţie elementar ă astfel că au fost calculate doar oserie de valori ale acesteia care, împreună cu valorile corespunzătoarecelorlalţi indicatori sunt reprezentate în figura de mai jos:

Pe această traiectorie firma nu face investiţii, nu face împrumuturi,nu plăteşte dividende, are loc o scădere a capitalului fix în paralel cueliminarea rapidă a datoriilor şi o evoluţie accelerat crescătoare a capitaluluicirculant.

KC

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 1 2 3t

K C

KF

0

300

600

900

1200

1500

-10 10 30 50t

K F

Y

0

5

10

-10 10 30 50t

Y



Traiectoria 26 ( F = I F = 0, D = Dmax)


)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 0,171· K F (t ) + 554,1

8

))(179)(3(

1073794,0

t K t K C F +

⋅- 0,35·Y (t ) – 100

)(t K F & = - 0,15· K F (t )

)(t Y & = - 0,2·Y (t )


K F (t ) = 1557·e-0,15·t


Y (t ) = 10·e-0,2·t


)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 554,115,0

8

))(1794671(

1073794,0

t K e C

t +⋅

⋅⋅−

+ 266,247·e-0,15·t –

– 3,5·e-0,2·t – 100

Ecuaţia nu are soluţie elementar ă astfel că au fost calculate doar oserie de valori ale acesteia care, împreună cu valorile corespunzătoarecelorlalţi indicatori sunt reprezentate în figura de mai jos:

Traiectoria 27 (3⋅ K F + 179⋅ K C = 16762, F = γ· I F = 0, D oarecare,Y = 0, ψ1(t ) = 1)


–0,01676· )(t K F & = 71,89527933 + 0,056732· K F (t ) – )(t D

)(t K F & = – a· K F (t )

Y (t ) = F (t ) = I F (t ) = 0

KC

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 1 2 3

t

K C

KF

0

300

600

900

1200

1500

-10 10 30 50t

K F

Y

0

5

10

-10 10 30 50t

Y



Din a doua ecuaţie aflăm evoluţia capitalului fix:

K F (t ) = 1557·e-0,15·t

şi din relaţia 3⋅ K F + 179⋅ K C = 16762 pe cea a capitalului circulant:

K C (t ) = 93,6424581 – 26,09532·e-0,15·t

care se înlocuiesc în prima ecuaţie din care se scoate evoluţia dividendelor:

)(t D = 71,89527933 + 84,417426·e-0,15·t

Evoluţia indicatorilor firmei este redată în figura de mai jos:

Pe această traiectoria firma nu are datorii, nu face investiţii, plăteştedividende, are loc o uzur ă a capitalului fix suplinită de o creştere acapitalului circulant utilizat, pe fondul unei menţineri constante a producţiei, preţului de vânzare şi a volumului vânzărilor şi o scădere a volumuluidividendelor plătite.

Traiectoria 28 ( F = I F = 0, D = 0, Y = 0)


)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 0,171· K F (t ) + 554,1

8

))( 179 )( 3(

1073794,0

t K t K C F +⋅

)(t K F &

= - 0,15· K F (t )0 = 0


K F (t ) = 1557·e-0,15·t

şi apoi, după înlocuirea acestei soluţii în prima ecuaţie, o ecuaţie în K C (t ):

)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 554,1

8

))( 179 )( 4671(

1073794,0

t K t K C F +⋅⋅

+ 264,69·e-0,15·t

KC

65

75

85

95

-10 10 30 50t

K C

KF-KT

0

300

600

900

1200

1500

0 10 20 30 40 50t

K F - K T

D

70

90

110

130

150

0 10 20 30 40 50t

D



Deoarece ecuaţia nu are soluţii elementare au fost calculate doar valorile funcţiei pe intervalul analizat, acestea fiind reprezentate grafic înfigura de mai jos:

Pe această traiectorie firma nu are datorii, nu face împrumuturi, nu

face investiţii, nu plăteşte dividende şi are loc o scădere a capitalului fixcompensată. de o evoluţie rapid crescătoare a capitalului circulant.



)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 0,171· K F (t ) + 554,1

8

))( 179 )( 3(

1073794,0

t K t K C F +⋅

– 100

)(t K F & = –0,15· K F (t )

0 = 0

Din acesta rezultă imediat evoluţia capitalului fix: K F (t ) = 1557·e-0,15·t

şi apoi, după înlocuirea acestei soluţii în prima ecuaţie, o ecuaţie în K C (t ):

)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 554,1

8

))( 179 )( 4671(

1073794,0

t K t K C F +⋅⋅

+ 264,69·e-0,15·t – 100

Deoarece ecuaţia nu are soluţii elementare au fost calculate doar valorile funcţiei pe intervalul analizat, acestea fiind reprezentate grafic în

figura de mai jos:

KC

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 1 2 3t

K

KF

0

300

600

900

1200

1500

-10 10 30 50t

K

KC

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 1 2 3t

K C

KF

0

300

600

900

1200

1500

-10 10 30 50t

K



Pe această traiectorie firma nu are datorii, nu face împrumuturi, nuface investiţii, plăteşte dividende la maxim şi are loc o scădere a capitaluluifix compensată de o evoluţie rapid crescătoare (dar mai lentă decât întraiectoria anterioar ă) a capitalului circulant.

Traiectoria 33 (3⋅ K F + 179⋅ K C = 16762, I F = 1000, F = 0, ψ1(t ) = 1)Sistemul canonic redus devine:

– 0,01676· )(t K F & = -928,1047207 + 0,056732· K F (t ) – 0,35·Y (t ) – )(t D

)(t K F & = 1000 – 0,15· K F (t )

)(t Y & = –0,2·Y (t )Din ultima ecuaţie se află evoluţia datoriei firmei:

Y (t ) = 10· e-0,2·t Din a doua ecuaţie (liniar ă în K F (t )) vom scoate evoluţia capitalului fix:

K F (t ) = 6666,7 – 5109,7·e-0,15·t Prin înlocuirea acestora în prima ecuaţie se obţine evoluţia dividendelor:

)(t D = –549,8894963 – 277,0377146·e-0,15·t – 3,5· e-0,2·t

iar din relaţia α⋅ K F + β⋅ K C se obţine evoluţia capitalului circulant: K C (t ) = –18,0914339 + 85,638572·e-0,15·t

Evoluţia indicatorilor este redată în figura de mai jos:

KC

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

0 20 40

t

K C

KF-KT

1500

2500

3500

4500

5500

6500

0 10 20 30 40 50t

K F - K T

Y

0

5

10

0 10 20 30 40 50t

Y

D

-850

-750

-650

-5500 10 20 30 40 50

t

D



Pe această traiectorie firma face investiţii la maxim, nu mai faceîmprumuturi, plăteşte dividende şi rate la credite menţinând un nivelconstant al producţiei şi preţului de vânzare pe fondul unui raport invers alevoluţiei capital circulant – capital fix.

Obs. În cazul nostru traiectoria nu este admisibilă deoarece valoareafuncţiei dividend este negativă pentru orice t ≥ 0.



)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 0,171· K F (t ) + 554,1

8

))(179)(3(

1073794,0

t K t K C F +

⋅– 0,35·Y (t ) – 1000

)(t K F & = 1000 – 0,15· K F (t )

)(t Y & = – 0,2·Y (t )Din ultima ecuaţie se află evoluţia datoriei firmei:

Y (t ) = 10· e-0,2·t


K F (t ) = 6666,7 – 5109,7·e-0,15·t


)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 554,115,0

8

))( 1791,1532920000( 1073794,0

t K e C

t +⋅− ⋅⋅− +

+ 140,0057 – 873,7587·e-0,15·t – 3,5· e-0,2·t

din care se află evoluţia capitalului circulant. Deoarece ecuaţia nu are osoluţie elementar ă am calculat doar o serie de valori ale funcţiei pentru perioada analizată care a fost reprezentată în figura de mai jos:

KC

-65

435

935

0 5 10 15t

K

Y

0

5

10

-10 10 30 50t

KF

1500

2500

3500

4500

5500

6500

-10 10 30 50t

K

KT

1800

2800

3800

4800

5800

6800

0 5 10 15t

K




Traiectoria 35 ( I F = I max , D = Dmax, F = 0)Sistemul canonic devine:

)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 0,171· K F (t ) + 554,1

8

))(179)(3(

1073794,0

t K t K C F +

⋅– 0,35·Y (t ) – 1100

)(t K F & = 1000 – 0,15· K F (t )

)(t Y & = - 0,2·Y (t )

Din ultima ecuaţie se află evoluţia datoriei firmei:

Y (t ) = 10· e-0,2·t


K F (t ) = 6666,7 – 5109,7·e-0,15·t


)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 554,115,0

8

))( 1791,1532920000(

1073794,0

t K e C

t

+⋅−

⋅⋅− +

+ 40,0057 – 873,7587·e-0,15·t – 3,5· e-0,2·t

din care se află evoluţia capitalului circulant. Deoarece ecuaţia nu are osoluţie elementar ă am calculat doar o serie de valori ale funcţiei pentru perioada analizată care a fost reprezentată în figura de mai jos:

KC

-75

425

0 5 10 15 20 25t

K C

Y

0

5

10

0 10 20 30 40 50t

Y

KF

1500

25003500

4500

5500

6500

0 10 20 30 40 50t

K F

KT

1800

2800

3800

4800

5800

6800

0 5 10 15 20 25t

K T



Pe această traiectorie firma, plăteşte dividende la maxim, faceinvestiţii la maxim, nu face împrumuturi şi are o evoluţie de stabilizare avalorii capitalului fix şi de scădere a datoriei firmei. Evident, traiectoria esteacceptabilă doar pe intervalele în care valoarea funcţiei capital circulant este

pozitivă.



)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 0,171· K F (t ) + 554,1

8

))(179)(3(

1073794,0

t K t K C F +

⋅– 1000

)(t K F & = 1000 – 0,15· K F (t )

Y (t ) = 0Din a doua ecuaţie (liniar ă în K F (t )) vom scoate evoluţia capitalului fix:

K F (t ) = 6666,7 – 5109,7·e-0,15·t


)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 554,115,0

8

))( 1791,1532920000(

1073794,0

t K e C

t +⋅−⋅⋅− +

+ 140 – 873,7587·e-0,15·t


Deoarece ecuaţia nu are soluţie elementar ă se calculează doar o seriede valori ale acesteia pe intervalul analizat. În figura de mai jos au fostreprezentate evoluţiile indicatorilor firmei:

KC

-75

425

0 5 10 15t

K C

KF

1500

25003500

4500

5500

6500

0 10 20 30 40 50t

K F

KT

1800

2800

3800

4800

5800

6800

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18t

K T



Pe această traiectorie firma nu plăteşte dividende (nu retrage bani),face investiţii la maxim, nu are datorii, nu face împrumuturi şi are o evoluţiede stabilizare a valorii capitalului fix. Evident, traiectoria este admisibilă doar pe intervalele unde funcţia capital circulant este pozitivă. Traiectoria

poate fi traiectorie iniţială doar dacă Y 0 = 0.

Traiectoria 38 ( I F = 1000, D = 100, F = 0, Y = 0)


)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 0,171· K F (t ) + 554,1

8

))(179)(3(

1073794,0

t K t K C F +

⋅– 1100

)(t K F & = 1000 – 0,15· K F (t )

Y (t ) = 0Din a doua ecuaţie (liniar ă în K F (t )) vom scoate evoluţia capitalului fix:

K F (t ) = 6666,7 – 5109,7·e-0,15·t


)(t K C & = 0,553 K C (t ) + 554,115,0

8

))( 1791,1532920000(

1073794,0

t K e C

t +⋅−⋅⋅− +

+ 40 – 873,7587·e-0,15·t


Deoarece ecuaţia nu are soluţie elementar ă se calculează doar o seriede valori ale acesteia pe intervalul analizat. În figura de mai jos au fostreprezentate evoluţiile indicatorilor firmei:

KC

-75

425

0 5 10 15 20 25t

K C

KF

1500

2500

3500

4500

5500

6500

0 10 20 30 40 50t

K F

KT

1800

2800

3800

4800

5800

6800

0 5 10 15 20 25t

K T




Traiectoria nu este traiectorie iniţială deoarece Y 0 = 10 ≠ 0.

2.2 Traiectoria finală

Deoarece în acest caz a ≠ b, din cele 11 ecuaţii r ămase în discuţie încapitolul 4 r ămân ca posibile doar cele 10 traiectorii de mai jos: 3, 4, 6, 7,18, 20, 24, 25, 27 şi 28.

Dintre aceste traiectorii trebuie eliminate traiectoriile pe care cel puţin unul din indicatori are valoarea strict negativă pe întregul interval detimp 0 ≤ t ≤ 5, astfel încât r ămân ca posibile doar 7 traiectorii: 3, 4, 7, 24,25, 27 şi 28.

Comenzi Variabile de stare

3 F (t ) = I F (t ) = 0 D(t ) = 84,42·e-0,15·t + 71,9

K C (t ) = 93,64 – 5,095·e-0,15·t K F (t ) = 1557·e-0,15·t

Y (t ) = 04 F (t ) = I F (t ) = 0

D(t ) = 0 )(t K C & = 0,553 K C (t ) + 554,115,0

8

))( 1794671(

1073794,0

t K e C

t +⋅

⋅⋅−

+ 266,247·e-0,15·t , K C (0) = 304 K F (t ) = 1557·e-0,15·t

Y (t ) = 0 7 I F (t ) = 0,02875· K F (t ) +

0,36125· K C (t ) +

554,1

8

))( 179 )( 3(

10461213,0

t K t K C F +

⋅

F (t ) = γ· I F (t ), D(t ) = 0

)(t K C & = 0,01675· K C (t ) – 0,03275· K F (t ) +

554,1

8

))( 179 )( 3(

10276727,0

t K t K C F +

⋅

)(t K F & = 0,36125· K C (t ) – 0,12125· K F (t ) +

554,1

8

))( 179 )( 3(

10461213,0

t K t K C F +

⋅

Y (t ) = k ·( K F

+ K C )

24 F (t ) = I F (t ) = 0 D(t ) = 71,89 + 84,42·e-0,15·t – 3,5·e-0,2·t

K F (t ) = 1557·e-0,15·t K C (t ) = 93,6424581 – 26,09497279·e-0,15·t Y (t ) = 10·e-0,2·t

25 F (t ) = 0 I F (t ) = 0 D(t ) = 0

)(t K C & = 0,553 K C (t ) +

554,115,0

8

))( 1794671(

1073794,0

t K e C

t +⋅⋅

⋅− + 266,247·e-0,15·t –

3,5·e-0,2·t , K C (0) = 304 K F (t ) = 1557·e-0,15·t

Y (t ) = 10·e-0,2·t



27 F (t ) = I F (t ) = 0, D(t ) = 71,895 + 84,417·e-0,15·t

K F (t ) = 1557·e-0,15·t K C (t ) = 93,6424581 – 26,09532·e-0,15·t Y (t ) = 0

28 F (t ) = 0

I F (t ) = 0 D(t ) = 0

)(t K C & = 0,553 K C (t ) +

554,1

8

))( 179 )( 4671(

1073794,0

t K t K C F +⋅⋅ + 264,69·e-0,15·t

, K C (0)

= 304

K F (t ) = 1557·e-0,15·t Y (t ) = 0

Dintre aceste traiectorii poate fi traiectorie iniţială doar traiectoria25. Dacă firma porneşte pe această traiectorie ea nu mai poate ajunge pe niciuna din traiectoriile 3, 4, 27 şi 28 deoarece pe acestea valoarea datoriei estenulă iar pe traiectoria 25 valoarea datoriei este strict pozitivă şi nici petraiectoria 24 deoarece pe aceasta valoarea capitalului circulant este strictmai mică decât pe traiectoria 25.

De asemenea, trecerea pe traiectoria 7 se face doar dacă valorilecapitalului fix şi circulant devin foarte mici, situaţie care nu este îndeplinită în cazul de faţă.

În concluzie, în condiţiile existente în anul 1994 firma va evaluadoar pe traiectoria 25 caz în care firma nu face investiţii, nu faceîmprumuturi, nu plăteşte dividende, situaţie în care are loc o scădere sprezero a capitalului fix şi a datoriei firmei, în paralel cu o evoluţie acceleratcrescătoare a capitalului circulant.

Evoluţia firmei este reprezentată în figura de mai jos:

În urma acestei evoluţii firma va ajunge la o valoare finală actualizată de:

5 )48.01(

)5(

+ X

=5 )48.01(

)5( )5(

++ F C K K

= 1597. 9 mil. lei

KC

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 1 2 3t

K C

KF

0

300

600

900

1200

1500

-10 10 30 50t

K F

Y

0

5

10

-10 10 30 50t

Y



Se observă că, deşi firma nu a plătit dividende firma a ajuns la ovaloare aproximativ egală cu cea iniţială, fapt ce este în concordanţă cusituaţia reală din perioada 1994-1995 în care firmele au dus o politică desupravieţuire, pe fondul unui impozit pe profit ridicat şi a unei rate a

inflaţiei foarte mare.De asemenea, neefectuarea de împrumuturi şi investiţii sunt credibile

în condiţiile inflaţiei foarte mari precum şi tendinţa de reducere a capitaluluifix supradimensionat, moştenit din perioada comunistă, în paralel cu orestructurare a producţiei în favoarea unei ponderi din ce în ce mai mari acapitalului circulant.

Ca şi în cazul concurenţei perfecte analizat anterior, situaţia uneineplăţi pe timp îndelungat a dividendelor este greu de susţinut, valoareareală a firmei la sfâr şitul perioadei fiind mult mai mică, datorităţii de a

respecta această politică optimă, în cazul discret care va fi analizat încontinuare observându-se că, în condiţiile în care au fost totuşi plătitedividende s-au obţinut rezultate mult mai slabe, în jurul unei valori de360 milioane lei.

3. Cazul discret în condiţii de concurenţă perfectă


Parametrii modelului vor fi aceeaşi cu cei de la cazul continuu, dar,din cauza volumului foarte mare de calcule necesare pentru acest caz, va fianalizată doar varianta funcţiei de producţie care aproximează cel mai binevalorile producţiei observate pentru această firmă pe perioada analizată.

Parametrii α β f i a b r k γ p 0C K 0

F K Y0 Imax Dmax T

Valori 3 179 0,3 0,48 0,15 0,2 0,5 0,5 0,8 0,01 304 1557 10 1000 100 5


D F I F ,,max

5

555

1 )48,1()48,1(C F

t t

t K K D ++∑

=

t

C K = 1,553 · 1−t C K + 0,066· 1−t

F K – 0,35· 1−t Y – t

F I – t D t

F K = t

F I + 0,85· 1−t F K

t Y = t F + 0,8· 1−t Y



0 ≤ t F ≤ 0,8· t

F I ≤ 800

0 ≤ t Y ≤ 0,5·( t

F K + t

C K )

0 ≤

t

D ≤ 100

Sistemul ecuaţiilor de stare este sistem de ecuaţii cu diferenţe finitede trei ecuaţii şi trei necunoscute cu coeficienţi constanţi, comenzile fiind

t

F I , t F şi t D . Notând cu X t vectorul format cu cele trei variabile de stare

t

C K , t

F K şi t Y şi cu U t vectorul variabilelor de comanda t

F I , t F şi t D

putem scrie sistemul de ecuaţii de stare sub forma matricială:

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−

+⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

=⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−−

−

t

t

t

t

t F

t

C

t

t F

t

C

D F

I

Y K

K

Y K

K

010001

101

8,000085,00

35,0066,0553,1

1

1

1

sau:t X = A · 1−t X + B · U

t


A = ⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ −

8,000085,00

35,0066,0553,1

B = ⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ −−

010001

101

Deoarece det( A) = 1,05604 ≠ 0 şi det( B) = −1 ≠ 0 sistemul estecontrolabil şi observabil, urmând să găsim acele comenzi care duc lamaximizarea valorii firmei pe intervalul de timp analizat.

Pentru rezolvarea problemei a fost folosită tehnica simulării, scop încare am scris un program in mediul MATLAB care este expus în anexa IV.

Pentru testarea modelului am scris de asemenea programulcorespunzător modelului Van Hilten, pentru care s–a utilizat acelaşi set dedate în estimarea parametrului q care dă funcţia de producţie, acesta fiindestimat prin regresie ca fiind:

q = 45,51şi modelul Ludwig în care am ales ca funcţie de producţie aceeaşi funcţie dela modelul van Hilten şi o cotă a profitului net reţinut pentru dezvoltare de0.95. Cele două modele au fost alese din considerentul că au, ca şi modelul

propus, un orizont de timp finit.



Pentru o aproximare cât mai bună a evoluţiei optime a indicatorilor firmei au fost efectuate câte 1000 de simulări a 10 variante, 100 de simulăria 100 variante şi câte 10 simulări a unui număr de 1.000, 10.000. 100.000 şi1.000.000 de variante, pentru fiecare număr calculându–se media celor mai

bune soluţii găsite, acestea fiind trecute în tabelul de mai jos, pentru a puteafi evidenţiată tendinţa de îmbunătăţire a soluţiei pe măsura creşteriinumărului de simulări şi pentru a putea sesiza faptul că cea mai bună soluţiegăsită este într–adevăr foarte aproape de soluţia cea mai bună variantă găsită. Datele rezultate au fost trecute în tabelul de mai jos. De asemenea, înacest tabel au fost trecute şi duratele medii necesare pentru fiecare simulare pe un calculator pentium IV cu frecvenţa procesorului de 1500MHz:

Nr. simulăriMedia celor mai bune valori

(mil. lei)

Durata medie a simulării

(secunde)1000×10 265.25 0.185100×100 302.64 1.8410×1000 321.18 18.35

10×10000 336.79 182.9110×100000 343.91 1829.33

10×1000000 347.22 18582

Evoluţia mediei celor mai bune valori în funcţie de numărul desimulări f ăcute (valorile din coloana a doua din tabelul de mai sus) este

reprezentată în tabelul de mai jos:

260

270

280

290

300

310

320

330

340

350

360

1 2 3 4 5 6

unde pe abcisă este trecut ordinul de mărime al numărului de simulări f ăcute



Din acest grafic se observă că valorile traiectoriilor se îndreaptă asimptotic spre o valoare maximă posibilă, această putând fi considerată cafiind în jurul valorii 350.

Cea mai bună soluţie găsită prin simulare a rezultat în urma uneiserii de 1 milion de simulări care a necesitat 18582 secunde, evoluţiilevariabilelor de stare, variabilelor de comande şi variabilelor rezultative fiinddate în tabelele de mai jos:

0 1 2 3 4 5

K C 304 372.4 459.4 267.8 186.7 61.8

K F 1557 1426.3 1357.7 1619.5 1596.7 1533.6

Y 10 53.3 56.7 162.2 246.8 282.2

1 2 3 4 5

IF 102.82 145.36 465.42 220.10 176.45F 45.25 14.12 116.77 117.09 84.76

D 96.19 48.99 50.01 59.1 70.79

Pentru această traiectorie valoarea actualizată a firmei este de349.7558 milioane lei, valoare care este foarte aproape de valoarea de 350

prognozată mai sus ca fiind foarte aproape de cea mai bună valoare posibilă astfel încât putem considera că traiectoria corespunzătoare acestei valorieste foarte probabil cea care trebuie urmată de firmă pentru a-şi maximiza profiturile.

Reprezentarea traiectoriilor indicatorilor firmei este dată în figura demai jos.



1 2 3 4 50

100

200

300

400

500Evolutia variabilelor de comanda

t

I F

- F

- D

Investitia in capital fixEvolutia imprumuturilorEvolutia dividendelor

0 1 2 3 4 51550

1600

1650

1700

1750

1800

1850

1900

1950

2000

2050Evolutia cap italului firmei

t

K p &

K t

Capitalul propriu (KF + KC)Capitalul total (KF + KC + Y)

0 1 2 3 4 50

50

100

150

200

250

300Evolutia datoriei firmei - Y

0 1 2 3 4 550

100

150

200

250

300

350

400

450

500Evolutia capitalului circulant al firmei - KC

0 1 2 3 4 51350

1400

1450

1500

1550

1600

1650Evolutia capitalului fix al firmei - KF



3.2 Comparaţii cu celelalte modele

Au fost efectuate simulări pentru modelul van Hilten şi pentrumodelul Ludwig deoarece pe acestea, ca şi modelul prezentat, optimizarea

se face pe un orizont de timp finit.Rezultatul simulării în cazul van Hilten a fost:

Nr. simulări

Media celor mai bune

valori

(mil. lei)

Durata medie

a simulării

(secunde)

1000×10 688.17 0.2312100×100 702 1.578110×1000 712.25 15.6532

10×10000 719.75 156.1844

10×100000 724.69 1576.664110×1000000 727.19 15732.543

Evoluţia mediei celor mai bune valori în funcţie de numărul desimulări f ăcute (valorile din coloana a doua din tabelul de mai sus) estereprezentată în tabelul de mai jos:

685

690

695

700

705

710

715

720725

730

735

1 2 3 4 5 6

unde pe abcisă este trecut ordinul de mărime al numărului de simulări f ăcuteDin acest grafic se observă că valorile traiectoriilor se îndreaptă

asimptotic spre o valoare maximă posibilă, această putând fi considerată cafiind în jurul valorii 730.

Cea mai bună soluţie prin simulare găsită în cazul modelului

van Hilten a rezultat în urma unei serii de 1 milion de simulări care a



necesitat 15729 secunde, evoluţiile variabilelor de stare, variabilelor decomandă şi variabilelor rezultative fiind date în tabelele de mai jos:

0 1 2 3 4 5K 1871 2364.40 2769.56 3190.46 3679.79 4124.04

X 1861 2161.56 2510.74 2942.67 3491.14 4115.961 2 3 4 5

I 774.05 759.81 836.34 967.9 996.22D 95.53 84.79 69 46.19 95.04

0 1 2 3 4 5Y 10 202.84 258.82 247.79 188.65 8.08

Pentru această traiectorie valoarea actualizată a firmei este de728.3 milioane lei, foarte apropiată de maximul sesizat mai sus, valoare care

este mult mai mare decât valoarea de 349 obţinută prin modelul propus.Acest fapt este datorat în primul rând faptului că în modelul vanHilten există mai puţine restricţii decât în modelul propus, capitalul firmeicontribuind în aceeaşi măsur ă la activitatea firmei, indiferent de sursa dincare provine. Rezultatul acestei aproximări coroborat cu toate celelalteipoteze simplificatoare privind parametrii modelului pot duce la un rezultatfoarte îndepărtat de situaţia reală.

Reprezentarea traiectoriilor indicatorilor firmei este dată în figura de mai jos:

Evolutia datoriei firmei

0

50

100

150

200

250

300

0 1 2 3 4 5t

Y



Rezultatul simulării în cazul Ludwig a fost:


(mil. lei)


(secunde)

1000×10 1071.74 0.147

100×100 1121.33 1.0844

10×1000 1150.60 10.7578

10×10000 1175.15 107.5172

10×100000 1206.87 1074.9359

10×1000000 1240.61 10720.134


1050

1100

1150

1200

1250

1300

1 2 3 4 5 6

unde pe abcisă este trecut ordinul de mărime al numărului de simulărif ăcute.


În cazul modelului Ludwig cea mai bună soluţie găsită prin simularea rezultat în urma unei serii de 1 milion de simulări care a necesitat



10722 secunde, evoluţiile variabilelor de stare, variabilelor de comandă şivariabilelor rezultative fiind date în tabelele de mai jos:

0 1 2 3 4 5X 1861 1661.31 1522.25 1466 1427.6 1357.6Y 10 49.82 366.54 610.91 832.19 1218.19

1 2 3 4 5I 120.78 434.33 471.43 494.42 654.97F 41.32 324.19 299.35 312.92 510.83

0 1 2 3 4 5K 1871 1711.13 1888.79 2076.91 2259.79 2575.79

Pentru această traiectorie valoarea actualizată a firmei este de

1242.61 milioane lei, foarte apropiată de maximul sesizat mai sus, valoarecare este mult mai mare decât valoarea de 349 obţinută prin modelul propussau cea de 728.3 din modelul van Hill.

Reprezentarea traiectoriilor indicatorilor firmei este dată în figura demai jos:

Evolutia capitalului total al firmei

1500

1700

1900

2100

2300

2500

2700

0 1 2 3 4 5t

Y



Concluzii

Din graficele de mai sus pot fi trase următoarele concluzii:

a) Cu cât modelul este mai simplu, în ceea ce priveşte numărul de parametrii luaţi în considerare şi numărul de restricţii impuse asupravariabilelor luate în considerare cu atât optimul pare să fie mai puţincredibil, în cazul nostru obţinându-se valori mult prea mari ale profitului pentru un interval în care firmele au acţionat într-un mediu economic puternic advers;

b) Evoluţiile indicatorilor luaţi în considerare este în generalascendent, chiar accelerat ascendent spre finalul perioadei, în toate modeleleanterioare, cu excepţia modelului propus de autor, unde evoluţia este

oscilantă şi mult mai lentă, fapt care este mult mai apropiat de situaţia reală,aşa cum se va vedea în finalul capitolului;c) valorile indicatorilor nu sunt atât de diferiţi în cazul concurenţei

perfecte faţă de cazul concurenţei imperfecte la modelul discret pe cât suntla cazul continuu

d) evoluţia în cazul discret este mult mai apropiată de situaţia reală decât cea din cazul continuu (vezi evoluţia reală a indicatorilor din finalulacestui capitol).

4. Cazul discret în condiţii de concurenţă imperfectă


Parametrii modelului vor fi aceeaşi cu cei de la cazul continuu, dar,ca şi cazul concurenţei perfecte, din cauza volumului foarte mare de calculenecesare pentru acest caz, va fi analizată de asemenea doar varianta funcţieide producţie care aproximează cel mai bine valorile producţiei observate pentru această firmă pe perioada analizată.

Parametrii α β f I a b r k γ 0

C K

0

F K Y0 Imax Dmax T

Valori 3 179 0,3 0,48 0,15 0,2 0,5 0,5 0,8 304 1557 10 1000 100 5

Ca funcţie a preţului a fost aleasă aceeaşi funcţie de la cazul continuu:

p(Q) = 0,01 +554,2

8100542,1

Q

⋅

Cum Q( t

F K , t

C K ) = 3⋅ t

F K + 179⋅ t

C K vom avea:

p(Q) = p( t

F K , t

C K ) = 0,01 +554,2

8

)1793(

100542,1t

C

t

F K K +⋅




D F I F ,,max

5

555

1 )48,1( )48,1(

C F

t

t

t K K D +

+∑=

t

C K = 0.066· 1−t F K + 1,553· 1−t

C K +554,1

8

)1793(

10703824,0t

C

t

F K K +⋅

– 0.35·1−t Y – t

F I – t D

t

F K = t

F I + 0,85· 1−t F K

t Y = t F + 0,8· 1−t Y

0 ≤ t F ≤ 0,8· t

F I ≤ 800

0 ≤ t Y ≤ 0,5·( t

F K + t

C K )

0 ≤ t D ≤ 100

Sistemul ecuaţiilor de stare este sistem de ecuaţii cu diferenţe finite

de trei ecuaţii şi trei necunoscute neliniar, comenzile fiind t

F I , t F şi t D .

Pentru rezolvarea problemei a fost folosită tehnica simulării, scop încare am scris un program in mediul MATLAB care este expus în anexa IV.

Ca şi în cazul concurenţei perfecte, pentru testarea modelului amscris şi programele corespunzătoare modelului Van Hilten, pentru care s–autilizat acelaşi set de date în estimarea parametrului q care dă funcţia de producţie, acesta fiind estimat prin regresie ca fiind:

q = 45,51

şi modelului Ludwig, în care am ales ca funcţie de producţie aceeaşi funcţiede la modelul van Hilten şi o cotă a profitului net reţinut pentru dezvoltarede 0.95.

Pentru o aproximare cât mai bună a evoluţiei optime a indicatorilor firmei au fost efectuate câte 1000 de simulări a 10 variante, 100 de simulăria 100 variante şi câte 10 simulări a unui număr de 1.000, 10.000. 100.000 şi1.000.000 de variante, pentru fiecare număr calculându–se media celor mai bune soluţii găsite, acestea fiind trecute în tabelul de mai jos, pentru a puteafi evidenţiată tendinţa de îmbunătăţire a soluţiei pe măsura creşteriinumărului de simulări şi pentru a putea sesiza faptul că cea mai bună soluţiegăsită este într–adevăr foarte aproape de soluţia cea mai bună variantă găsită. Datele rezultate au fost trecute în tabelul de mai jos. De asemenea, în



acest tabel au fost trecute şi duratele medii necesare pentru fiecare simulare pe un calculator pentium IV cu frecvenţa procesorului de 1500MHz:


(mil. lei)


(secunde)1000×10 260.25 0.185100×100 290.64 1.8410×1000 312.61 18.83

10×10000 330.43 187.6410×100000 342.80 1876.16

10×1000000 350.60 18682


250

260

270

280

290

300

310

320

330

340

350

360

1 2 3 4 5 6

unde pe abcisă este trecut ordinul de mărime al numărului de simulări f ăcute


Cea mai bună soluţie găsită prin simulare a rezultat în urma uneiserii de 1 milion de simulări care a necesitat 18690 secunde, evoluţiilevariabilelor de stare, variabilelor de comandă şi variabilelor rezultative fiind

dată în tabelele de mai jos:0 1 2 3 4 5

K C 304 429.62 499.68 471.29 251.5 129.59K F 1557 1414.06 1397.73 1491.82 1734.12 1725.75Y 10 37.62 97.82 196.06 266.72 251.35

1 2 3 4 5

IF 90.61 195.78 303.75 466.07 251.74F 29.62 67.731 117.8 109.87 37.98

D 53.98 53.64 60.36 45.68 34



Pentru această traiectorie valoarea actualizată a firmei este de355.176 milioane lei, valoare care este foarte aproape de valoarea de 360 prognozată mai sus ca fiind foarte aproape de cea mai bună valoare posibilă astfel încât putem considera că traiectoria corespunzătoare acestei valori

este foarte probabil cea care trebuie urmată de firmă pentru a-şi maximiza profiturile.


1800

1900

2000

2100

2200

2300

0 1 2 3 4 5t

X

- K

X K



4.2 Comparaţii cu celelalte modele

Au fost de asemenea efectuate, ca şi în cazul concurenţei perfecte,simulări pentru modelul van Hilten şi pentru modelul Ludwig.

Rezultatul simulării în cazul van Hilten a fost:

Nr. simulări

Media celor mai

bune valori

(mil. lei)

Durata medie

a simulării

(secunde)

1000×10 689.6 0.2266

100×100 705 1.3687

10×1000 715.58 13.7313

10×10000 722.06 144.52

10×100000 726.65 1354.35

10×1000000 730.21 13024.3


685

690

695

700

705

710

715

720

725

730

735

740

1 2 3 4 5 6



Cea mai bună soluţie prin simulare găsită în cazul modelului

van Hilten a rezultat în urma unei serii de 1 milion de simulări care a



necesitat 13022 secunde, evoluţiile variabilelor de stare, variabilelor decomandă şi variabilelor rezultative fiind date în tabelele de mai jos:

0 1 2 3 4 5

K 1871 2200.16 2811.22 3341 3652.35 4102.95X 1861 2166.50 2557.78 2979.93 3478.06 4099.7

1 2 3 4 5

I 609.81 941.08 951.46 812.51 998.44D 92.2 68.08 90.40 89.69 97.96

0 1 2 3 4 5

Y 10 33.66 253.44 361.07 174.29 3.25

Pentru această traiectorie valoarea actualizată a firmei este de731.1 milioane lei, foarte apropiată de maximul sesizat mai sus, valoare care

este mult mai mare decât valoarea de 349 obţinută prin modelul propus.Acest fapt este datorat în primul rând faptului că în modelul vanHilten există mai puţine restricţii decât în modelul propus, capitalul firmeicontribuind în aceeaşi măsur ă la activitatea firmei, indiferent de sursa dincare provine. Rezultatul acestei aproximări coroborat cu toate celelalteipoteze simplificatoare privind parametrii modelului pot duce la un rezultatfoarte îndepărtat de situaţia reală.


1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Evolutia variabilelor de comanda

Evolutia investitiil or

Evolutia dividendelor

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 51500

2000

2500

3000

3500

4000

4500


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 51500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

Evolutia capitalului propriu al firmei

Evolutia datoriei firme i

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 1 2 3 4 5t

Y



Rezultatul simulării în cazul Ludwig a fost:


(mil. lei)


(secunde)

1000×10 1023.6 0.1438

100×100 1081.45 1.08910×1000 1129.92 10.8219

10×10000 1170.54 108.668810×100000 1201.03 1083.9765

10×1000000 1222.08 10820.31


1000

1050

1100

1150

1200

1250

1 2 3 4 5 6



În cazul modelului Ludwig cea mai bună soluţie găsită prin simularea rezultat în urma unei serii de 1 milion de simulări care a necesitat10821 secunde, evoluţiile variabilelor de stare, variabilelor de comandă şi

variabilelor rezultative fiind date în tabelele de mai jos:0 1 2 3 4 5

X 1861 1699.72 1577 1510.66 1558.26 1619.17Y 10 58.12 395.98 735.19 1135.85 1526.1

1 2 3 4 5

I 167.5 478.8 568.83 785.14 855.28F 49.62 346.58 398.61 510.93 560.63

0 1 2 3 4 5

K 1871 1757.84 1972.98 2245.85 2694.11 3145.27



Pentru această traiectorie valoarea actualizată a firmei este de1224.08 milioane lei, foarte apropiată de maximul sesizat mai sus, valoarecare este mult mai mare decât valoarea de 355 obţinută prin modelul propussau cea de 735 din modelul van Hill.

Interesant la modelul Ludwig este că este singurul model la careoptimul în condiţii de concurenţă imperfectă este mai mic decât cel încondiţii de concurenţă perfectă. Acest fapt are ca motiv forma funcţiei preţ şi valorilor exagerat de mari ale indicatorilor pentru acest model.


5. Concluzii

Pentru a putea compara modelele este necesar să vedem şi evoluţiareală a indicatorilor firmei. Pentru aceasta, am reprezentat în figura de mai jos evoluţiile capitalului total KT, capitalului fix KF şi capitalului circulantKC al firmei pe perioada analizată (1994 – 1998).

Se observă că aceştia au o evoluţie oscilantă şi singurul model care asurprins acest fapt este doar modelul propus de autor, chiar dacă valorile

concrete ale indicatorilor nu sunt exact cele reale.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000Evolutia variabilelor de comanda

Evolutia investitiilor

Evolutia imprumuturilor

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 51600

1650

1700

1750

1800

1850

1900Evolutia capitalului propriu

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600Evolutia capitalului imprumutat


1500

1700

1900

2100

2300

2500

2700

2900

3100

3300

0 1 2 3 4 5t

Y



De asemenea, se observă că evoluţiile indicatorilor în valoriactualizate la nivelul anului 1994 sunt de fapt descrescătoare, fapt ce arată că într-adevăr firma a dus o politică de supravieţuire, în condiţiile uneiscăderi rapide ale capitalului fix.

De asemenea, se observă procesul de restructurare al activităţiifirmei prin modificarea continuă a raportului capital fix / capital circulant înfavoarea celui circulant, exact ca şi în modelul autorului, fapt care nu poatefi evidenţiat şi de celelalte modele, care nu diferenţiază capitalul propriu alfirmei.

Evolutia reala

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

1994 1995 1996 1997 1998 1999t

K C - K F - K

KTKF

KC

Evolutia reala actualizata

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

1994 1995 1996 1997 1998 1999t

K C - K F - K

KT

KF

KC

Evolutia profitului firmei

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

1994 1995 1996 1997 1998 1999

t

K

C - K

F - K

T

Profit

Evolutia profitului actualizat

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

1994 1995 1996 1997 1998 1999

t

K

C - K

F - K

T

Profit



În ceea ce priveşte evoluţia profitului (şi implicit a dividendelor plătite) se observă că au existat şi perioade cu profin negativ (pierdere) sau profit null (cele corespunzătoare anilor cu cea mai mare inflaţie) fapt care nueste acceptat de nici unul din modele.

Acest fapt arată că pentru a surprinde şi mai exact evoluţiaindicatorilor trebuie să se lărgească domeniul în care au voie să evoluezeindicatorii şi să se renunţe la ipoteza de valoare constantă a parametrilor (cel puţin în cazul unei economii în tranziţie).




MMMOOODDDEEELLL DDDEEE A A A NNN A A A LLLIIIZZZ Ă Ă Ă

A A A FFFIIIR R R MMMEEEIII



Scopul acestui capitol este de a furniza o modalitate concretă deanaliză a unei firme, din punctul de vedere al ciberneticii, pe un exemplureal, urmărind firul expunerii din primele patru capitole.

Exemplul analizat este cel al unei firme de publicitate care se află în

plină dezvoltare, conducerea acesteia încercând să-şi formeze o idee cât maiexactă despre evoluţia viitoare a veniturilor posibile astfel încât să păstrezeun nivel ridicat al investiţiilor şi să evite lipsa lichidităţilor pe perioade maride timp.

Ea doreşte de asemenea să ştie care este numărul optim de angajaţi,volumul capitalului fix şi circulant, evoluţia cifrei de afaceri, valoareaîmprumuturilor care maximizează valoarea firmei.

Se va încerca pe cât posibil o abordare cât mai naturală a problemei,situându-ne pe poziţia unui specialist în modele matematico-economice de

analiză a firmei atât ca ansamblu cât şi la nivel de detaliu (ceea ce este, sauar trebui să fie, un absolvent al Facultăţii de Cibernetică Economică) careeste pus în situaţia de a găsi soluţii la problemele unei firme, de a explica şi prevedea evoluţia firmei sau de a găsi modalităţile optime de acţiune însituaţii complexe.

Astfel, consider că prima activitate care trebuie depusă este cea deculegere de informaţii cât mai amănunţite referitoare la situaţia actuală afirmei, istoricul acesteia, mediul de afaceri etc.

1. Situaţia actuală a firmei

Analiza este asemănătoare celei din capitolul unu, din acest motiv vafi urmărită expunerea din acesta, expunând pe rând compartimentele,angajaţii, funcţiile şi sarcinile acestora, zonele de lucru etc.Compartimentele, angajaţii şi atribuţiile acestora pot fi sintetizate astfel:

a. Contabilitate

Contabilitatea firmei este ţinută de un angajat al firmei care se ocupă cu:- gestiunea conturilor;

- procesarea înregistr ărilor contabile;

- achiziţia şi recepţia mărfurilor;

- gestiunea lichidităţilor, încasărilor, cheltuielilor;

- calculul şi plata salariilor angajaţilor;

- plata facturilor şi evidenţa tranzacţiilor bancare;



De asemenea, această activitate este controlată permanent şi de

directorul general, care este singurul care poate retrage bani din conturile bancare ale firmei.

Pentru această activitate firma dispune de un soft propriu, care

r ăspunde exact cerinţelor acesteia. Angajatul care se ocupă de contabilitateeste subordonat directorului general şi trebuie să transmită directorului devânzări situaţia plăţilor la contractele în derulare ale agenţilor.

b. Grafica

Firma are angajat un grafician care se ocupă de:- executarea anunţurilor grafice;- design-ul cataloagelor şi revistelor;- executarea pliantelor;

- urmăreşte şi gestionează materialele grafice ale clienţilor;- materialele publicitare şi de reclamă ale firmeiAceastă activitate este în strânsă legătur ă cu agenţii de vânzări,

telemarketingul, directorul de vânzări şi directorul general care participă lacolectarea materialelor clienţilor, discuţiile privind dorinţele acestora în ce priveşte aspectul anunţului, formatul cataloagelor şi revistelor şi trimitereala tipar. Graficianul este subordonat directorului general.

c. Operatori PC

Firma are 2 angajaţi care se ocupă de:- actualizarea bazei de date;- introducerea rapoarte agenţilor în baza de date;- trimiterea fax-urilor pe calculator cu ofertele de reclamă destinate

clienţilor potenţiali;- trimiterea e-mail-urilor cu oferte

Rolul acestora este de susţinere a activităţii agenţilor, ei preluând dela aceştia informaţiile noi privind clienţii şi trimiţând spre clienţi toatetipurile de oferte electronice dorite de agenţi. Cei doi operatori sunt

subordonaţi directorului de vânzări.d. Administrare reţea

Firma are un angajat care se ocupă de:- întreţinere hard (server, staţii de lucru, imprimante, copiatoare,

scannere);- instalare programe utilitare, creare şi gestionare conturi e-mail,

utilizatori calculator;- scriere pagini web, actualizarea programului de gestiune al firmei,

întreţinere baza de date.



Administratorul este subordonat directorului general.

e. Conducerea firmei

i. Directorul de vanzari are ca atribuţii:- organizarea activităţii agenţilor de teren şi a celor de la

telemarketing;- fixarea comisioanelor şi discount-urilor acordate;- gestiunea contractelor, introducerea contractelor în baza de

date;- gestiunea materialelor de la clienţi;- organizarea distribuţiei revistelor, ghidurilor etc.;- urmărirea activităţii agenţilor;

- urmărirea încasării plăţilor la contractele existente;- elaborarea rapoartelor de activitate;- asigurarea condiţiilor optime de lucru pentru agenţii de

vânzări- informarea directorului general privind situaţia vânzărilor şi

încasărilor;- motivarea (premierea sau sancţionarea), angajarea sau

concedierea agenţilor;- instruirea noilor agenţi etc.

ii. Directorul general are ca activităţi principale:- promovarea firmei;- relaţiile cu clienţii importanţi;- obţinerea de contracte importante;- reprezentarea firmei la evenimentele importante (târguri în

str ăinătate, expoziţii etc.);- operaţiunile financiare importante;- atragerea sponsorizărilor sau subvenţiilor;- deciziile privind investiţiile, măririle sau micşor ările de

capital sau etc.)

f. Departamentul vânzări este format din:i. Agenţii de teren, în număr de 12, care au ca sarcini:

- vânzarea unui spaţiu cât mai mare în canalele media alefirmei, prin contactarea clienţilor potenţiali şi întâlnirile cuaceştia pentru semnarea contractelor;

- colectarea materialelor de la clienţi;- urmărirea plăţilor la contractele proprii;



ii. Telemarketing, cu 4 angajaţi, care au ca sarcini:

- vânzarea unui spaţiu cât mai mare în canalele media alefirmei, prin contactarea telefonică a potenţialilor clienţilor şitrimiterea de oferte pe fax sau e-mail;

- colectarea materialelor de la clienţi;- urmărirea plăţilor la contractele proprii;

Toţi angajaţii acestui departament sunt subordonaţi directorului devânzări, căruia trebuie să-i înmâneze contractele semnate, schiţele dereclamă, cererile de ofertă, documentele legate de plăţi, rapoartele deactivitate etc.

g. Secretariat

Firma are angajată o secretar ă care are în sarcină:- preluarea fax-urilor si corespondenţei firmei;- redirecţionarea telefoanelor din interior sau exterior spre

destinatari;- activităţile de protocol;- transmiterea informaţiilor;Secretara este subordonată directorului general.

h. Dotare (capital fix – clădiri, maşini, mobilier, calculatoare etc.)

Firma închiriază spaţiul in care îşi desf ăşoar ă activitatea, capitalulfix al firmei fiind format din:

- 14 autoturisme din care 12 utilizate de agenţii de teren si 2 aleconducerii;

- 12 calculatoare staţii de lucru si 2 servere;- 3 imprimante;- 3 scannere;- 2 copiatoare;

- centrala telefonica;- infrastructura retea;- mobilier birou, calorifere, ventilatoare etc;- licenţe;

Capitalul variabil este format din:- plicuri, articole birou, cataloage, etc.;- Combustibil;- Cd-uri, disk-ete, tonere;

-

Articole promoţionale;



i. Încasări – cheltuieli

Încasările firmei sunt datorate:

- vânzării de spaţii publicitare ale canalelor media ale firmei;- design pagini web;- alte servicii de publicitate;

Cheltuielile firmei sunt datorate în special:

- tipar;- distribuţie;- servicii internet;

-

chirii;- întreţinere spaţii, autoturisme, reţea;- salarii;- comisioane;- consumabile etc.;

2. Identificarea subsistemelor firmei şi a legăturilor

dintre acestea

Plecând de la toate informaţiile de mai sus putem să identificămdestul de precis următoarele grupuri de lucru sau grupuri de activităţi casubsisteme ale firmei considerate:

a) subsistemul vânzări (SV);

b) subsistemul grafică-design (SGD);

c) subsistemul IT (SIT);

d) subsistemul financiar-contabil (SFC);

e) subsistemul marketing-planificare (SMP).

În continuare va fi detaliat fiecare din cele 5 subsisteme, insistându-se în mod special pe legăturile dintre acestea şi pe fluxurile de informaţii, demateriale şi de bani care circulă între ele.

De asemenea, vor fi evidenţiate legăturile dintre aceste subsisteme şimediul extern, reprezentat de bănci, guvern, clienţi, furnizori, colaboratori,ter ţi etc, care influenţează în mai mult sau mai puţin deciziile şi evoluţia

viitoare a firmei.



a) subsistemul vânzări

Aşa cum se vede din figura 1, subsistemul vânzări are atât legăturicu celelalte subsisteme ale firmei cât şi cu exteriorul firmei, sarcina principală a agenţilor de vânzări fiind tocmai de a contacta clienţii şi de aiconvinge să cumpere spaţii de reclamă în canalele media ale firmei.

Ei trebuie să-şi justifice activitatea prin rapoarte, prin acesteacontribuind şi la actualizarea bazei de date, prin introducerea noilor informaţii în bază de către operatorii PC.

Agenţii trebuie să urmărească derularea contractelor, atât în ceea ce priveşte efectuarea plăţilor cât şi în ceea ce priveşte obţinerea la timp amaterialelor publicitare dorite de clienţi.

Ei sunt permanent îndrumaţi şi ghidaţi în activitatea lor de cătreconducere prin firmele alocate, controlul activităţii lor şi ajută conducerea înevaluarea corectă a pieţei şi a impactului canalelor de publicitate proprii

asupra clienţilor. b) subsistemul grafică-design

Graficienii au rolul de a „produce” imaginile prin care este promovată firma, reclamele grafice dorite de clienţi precum şi design-ul paginilor web vându-te de firmă.

Pentru efectuarea acestor sarcini la momentul potrivit şi la calitateanecesar ă ei trebuie să păstreze permanent legătura cu clienţii firmei prinintermediul agenţilor de vânzări sau direct, trebuie să deţină o bază

impresionantă de imagini sau alte obiecte grafice prin scanarea permanentă a

SV

SGD SIT

SMP SFC

comenzi grafică/web design

informaţii clienţi, cereri alocări chitanţe, contracte etc

rapoarte

propuneri grafică / design

alocări firme

informaţii firme, formulare

salarii, bani benzină, formulare

Clienţi

s p a ţ i i p u b l i c i t a r e

c on t r a v a l o a r e s . p .

Figura 1



internetului. Activitatea lor este susţinută de departamentul IT, atât prinintegrarea păr ţii de programare cu cea de grafică în paginarea ghidurilor,crearea paginilor web sau actualizarea permanentă a soft-urilor utilizate câtşi prin asigurarea tuturor informaţiilor şi serviciilor de reţea necesare.

În colaborare cu departamentul de marketing, departamentul IT şisubsistemul vânzări conlucrează la obţinerea unor canale media de succes.

Relaţiile acestui subsistem cu celelalte subsisteme ale firmei esteevidenţiat în figura 2.

c) subsistemul IT

Scopul acestui subsistem (vezi figura 3) este de a ţine la un loc toateinformaţiile deţinute de firmă, astfel încât să fie disponibile în orice momentîn timp util, să ofere rapoarte permanente conducerii, privitoare la activitateaşi situaţia firmei, să asigure permanent toate serviciile informatice posibile şichiar să creeze unele noi, să menţină în stare optimă de funcţionare toată tehnica de calcul utilizată de firmă, să găsească, obţină şi organizeze toateinformaţiile care sunt sau ar putea fi utile firmei la un moment dat.

De asemenea, trebuie să păstreze integritatea bazei de date şisecuritatea datelor, să păstreze un echilibru optim între calitatea tehnicii de

calcul deţinută de firmă şi preţul acesteia, prin utilizarea la maxim a

SGD

SV SIT

SMP SFC

propuneri grafică / design

situaţie B.T., format reclamă, etc cereri bani achiziţii soft, licenţe etc

cereri dotare, informaţii, setări reţea

comenzi grafică/web design

cereri grafică, informaţii

conturi reţea, baze de date

salarii, bani achiziţii soft

Internet

p a g i n i w e b

, e - m a i l f i s i e

r e

gr a f i c e ,i nf .

Tipografii

r e v i s t e

, c a t a l o a g e

f i ş i e

r e

Figura 2



sistemului informatic existent şi rezolvarea într-un timp cât mai scurt atuturor sincopelor apărute în folosirea acestuia.

Acest sistem are rolul hotărâtor în crearea unei imagini de ansambluasupra stării firmei, asupra posibilităţilor sau oportunităţilor existente precum şi suportul logistic necesar deciziilor conducerii în ceea ce priveştedirecţiile de acţiune sau de dezvoltare.

d) subsistemul financiar-contabil;

Subsistemul financiar-contabil este cel care controlează circulaţia

tuturor documentelor contabile şi a tuturor sumelor de bani care intr ă înfirmă, fie din vânzarea serviciilor sau produselor firmei cât şi din operaţiuni bancare, activităţi colaterale ale firmei, sponsorizări etc, sau ies din firmă, pentru investiţii, salarii, consumabile, reclamă în canale media externe,dividende etc.

De asemenea, el se ocupă de toate declaraţiile financiare, de platatuturor obligaţiilor băneşti ale firmei, de plata taxelor şi impozitelor etc.

Relaţiile acestuia cu mediul extern şi celelalte subsisteme ale firmeisunt redate în figura 4.

SIT

SGD SV

SMP SFC


informaţii clienţi, situaţie firmă cereri dotări tehnică de calcul

informaţii firme, formulare

cereri dotare, informaţii, setări reţea

cereri informaţii

rapoarte

salarii, investiţii tehnică de calcul

Internet

c e r e r i o f e r t ă b

a z e d e d a t e

Furnizori

tehnică de calcul

h a r d w a r e

c e r e r i h a r d w a r e

Figura 3



Figura 4

e) subsistemul marketing-planificare;

Figura 5

SMP

SGD SIT

SV SFC

cereri grafică, informaţii

alocări firme buget, cereri investiţii

cereri informaţii

situaţie B.T., format reclamă, etc

informaţii clienţi, cereri alocări

informa ii clien i, situa ie firmă

situa ia financiar ă

Clienţi

d i s t r i b u ţ i e

c e r e r i p u b l i c i t a t e

Concurenţă

i n f o r m a ţ i i p r i v i n d

c o n c u r e n ţ a

d e p u n e r i , t r a n s f e r

n u

m e r a r , o p e r a ţ i uni

SFC

SGD SIT

SMP SV

salarii, bani achiziţii soft

situaţia financiar ă salarii, bani benzină, formulare

salarii, investiţii tehnică de calcul

cereri bani achiziţii soft, licenţe buget, cereri investiţii

cereri dotări tehnică de calcul chitanţe, contracte etc

Bănci

Stat

t a x e

s u b v e n ţ

i i



Activităţile din acest subsistem sunt desf ăşurate cu precădere de

membrii conducerii firmei, rolul lor fiind de centraliza toate informaţiile, dea controla şi a analiza permanent activitatea şi evoluţia firmei, de a urmărisituaţia pieţelor pe care îşi desf ăşoar ă aceasta activitatea, acţiunile

concurenţei şi tendinţele în ceea ce priveşte cererea de publicitate.Acest subsistem decide politica de angajări a firmei, se ocupă de

pregătirea personalului şi relaţiile cu clienţii importanţi ai firmei.Relaţiile acestuia cu celelalte departamente precum şi acţiunile

acestora pot fi urmărite în figura 5.Pe baza reprezentărilor grafice de mai sus şi pe baza consideraţiilor

de la fiecare subsistem putem construi sistemul cibernetic al firmeianalizate, conform diagramei din figura 6.

Internet

SGD

SIT

SV SFC

SMP

situaţie B.T., formatreclamă, etc

cereri dotare,informaţii, setări

cereri grafică,informaţii


cereri informaţii

informaţii clienţi, situaţie firmă

salarii, baniachizi ii soft

cereri bani achiziţiisoft, licenţe

propuneri grafică / designcomenzi grafică/web design

rapoarteinformaţii firme, formularesituaţia financiar ă

buget, cereri investiţii

chitanţe, contracte

salarii, bani benzină, formulare

i n f o r m a ţ i i c l i e n ţ i , c e r e r i

a l o c ă r i

a l o c ă r i f i r m e

c e r e r i d o t ă r i t e h ni c ă d e

c a l c ul

s a l a r i i , i n v e s t i ţ i i

t e h n i c ă d

e c a l c u l

Tipografii

Banci

Clienti

F ur ni z or i

t e h

ni c ă d e c a l c ul

Concurenta

Stat

Figura 6

3. Modelul dinamic

Alegerea modelului dinamic se face în funcţie de indicatorii carecontribuie în cea mai mare măsur ă la descrierea şi evoluţia firmei respective.

Astfel, din cele de mai sus, rezultă că cifra de afaceri estedeterminată în special de numărul de agenţi de vânzare, de calitateacanalelor media ale firmei şi de calitatea informaţiilor şi organizăriiacestora. Cel de al doilea factor este determinat de capitalul investit întehnică de calcul, soft şi specialişti în grafică, programare şi administrare baze de date şi reţea.

Putem astfel considera că cifra de afaceri este esenţial determinată denumărul de angajaţi şi de capitalul firmei. Vom considera în continuare că cifra de afaceri este o funcţie de tip Cobb-Douglas în numărul de agenţi şi

capitalul firmei.De asemenea, putem considera că firma utilizează atât capital propriu cât şi împrumutat, capitalul circulant având o influenţă mai mareasupra cifrei de afaceri decât capitalul fix.

Plecând de la aceste considerente putem considera că cifra de afacerieste de forma:

CA = K · F C L K K α β γ ⋅ ⋅

unde β < γ, 1 > α, β, γ >0, K > 0.Putem considera că formarea capitalului propriu, capitalului total şi a

datoriei firmei sunt cele clasice, astfel că modelul dinamic cel mai potrivit poate fi considerat modelul din capitolul patru în care luăm în considerare şiinfluenţa for ţei de muncă.

Obţinem modelul dinamic:

L DF I F ,,,max )]()([)(


iT T

it ++ −−∫

)(t K F & + )(t K C

& = (1 – f )·[ K · F C L K K α β δ ⋅ ⋅ - a· K F (t ) - K C (t ) – r·Y (t ) – w· L(t )] - D(t )

)(t K F & = I F (t ) - a· K F (t ))(t Y & = F (t ) - b·Y (t )

I min ≤ I F (t ) ≤ I max ; I min < 0 0

Parametrii modelului sunt valorile medii observate şi/sau prognozate

în mediul economic relativ la momentul analizei ale indicatorilor economici(cum ar fi f , i, r , k , γ), cele specifice firmei respective (cum ar fi a, şi b) sauvor fi estimaţi fie prin metode statistice, în cazul când există date pe o

perioadă de timp anterioar ă suficient de mare fie pe baza experienţei celor care lucrează în firmă (parametrii care dau funcţia de producţie: α, β , δ şi K ).

Vom considera pentru prima grupă valorile cele mai probabile pentru perioada ulterioar ă momentului analizei:

f = 0.23;i = 0.2;r = 0.15;k = 0.5;γ = 0.8.

pentru rata de amortizare vom considera ca este dată de perioada deamortizare a maşinilor si tehnica de calcul, estimată la 4 ani şi pentru rata derambursare a datoriilor vom considera ca este dată de perioada de plată înleasing a maşinilor, de 3 ani. Avem astfel:

a = 0.25;b = 1/3.

iar pentru funcţia de producţie vom utiliza valorile observate ale vânzărilor în paralel cu numărul de agenţi şi volumul capitalului fix şi circulant utilizat.După această analiză presupunem că se obţine funcţia:

CA = 0.01·3 2 4

3 54 F C L K K ⋅ ⋅

În condiţiile unei analize pe un orizont de 5 ani obţinem modelulmatematic:

L DF I F

,,,max )]5( )5( [ )(

5

0C F

iT it K K e dt t De ++ −−∫

)(t K C & = 0.0077·

3 2 43 54 F C L K K ⋅ ⋅ – 0.0575· K F (t ) – 0.77· K C (t ) – 0.1925·Y (t ) –

– 154· L(t ) – D (t ) - I F (t )

)(t K F & = I F (t ) – 0.25· K F (t )

)(t Y & = F (t ) – 1

3·Y (t )

I min ≤ I F (t ) ≤ I max ; I min < 0 < I max.0 ≤ Y (t ) ≤ 0.5·( K F (t ) + K C (t ))0 ≤ D(t ) ≤ Dmax

0 ≤ F (t ) ≤ 0.8· I F (t )

f , i, a, r , b, k , α, β , γ ∈ (0, 1)



Rezolvarea modelului se poate face utilizând una din metodele de

rezolvare a problemelor de control optimal, cum ar fi principiul luiPontreaghin, cazul continuu, sau putem renunţa, dacă modelul continuuduce la ecuaţii care nu au soluţii elementare sau sunt dificil de rezolvat şi

interpretat cu softul disponibil, la ipoteza de continuitate, pentru cazuldiscret fiind mult mai uşoar ă rezolvarea pe calculator.

Dificultatea rezolvării precum şi posibilităţile de rezolvare pecalculator sunt comparabile cu cele din capitolul 5, un grad sporit decomplexitate fiind dat de introducerea for ţei de muncă printre variabilele decomandă şi de funcţia de producţie mai complicată.

După rezolvarea modelului vor fi găsite valorile optime aleinvestiţiilor, dividendelor, numărului de agenţi de vânzări şi împrumuturilor viitoare prin care firma va obţine venituri maxime.

Rezultatele sunt cu atât mai apropiate de situaţia reală cu cât poate fiestimată mai corect funcţia de producţie şi cu cât se dovedesc mai corecteipotezele economice acceptate în model.

Pe baza acestor rezultate conducerea poate schiţa o strategie viitoarede evoluţie a firmei, faţă de care se poate raporta în luarea deciziilor privindacţiunile firmei.



ANEXA I

1. Managementul Ştiinţific (Frederic Winslow Taylor)

Frederic Winslow Taylor, (1856-1915) a fost unul dintre primiicare au încercat să creeze o ştiinţă a managementului necesar ă ca urmare arapidei creşteri şi diversificări a mijloacelor de producţie care a urmatdescoperirii for ţei aburului şi a dezvoltării nemaiîntâlnite a fluxului demateriale, populaţie şi informaţie ca urmare a apariţiei căii ferate ce nu mai puteau fi controlate cu vechile tehnici de conducere. El a încercat să facă osistematizare a comportamentului uman la locul de muncă luând ca modelmaşina, ca instrument ieftin, formată din păr ţi interschimbabile, fiecare din

acestea având o funcţiune specifică. El a încercat să facă la nivelulorganizaţiilor complexe umane ceea ce au f ăcut inginerii la nivelul firmei:fiecare om să îndeplinească o activitate specifică, pentru care sespecializează reuşind să o efectueze cu maximum de randament.

Aceasta revine la a descompune fiecare activitate în păr ţile eielementare şi a imagina apoi cea mai bună metodă de a efectua aceste păr ţi.După găsirea variantei optime “inginerii” învaţă fiecare muncitor să efectueze doar acţiunea care îi este atribuită, f ăr ă a şti care este scopulîntregii activităţi.

Taylor a încercat să analizeze ştiinţific fiecare aspect al activităţiistudiate şi să micşoreze pe cât posibil efectul diferenţelor dintre oameniasupra rezultatelor muncii prin studierea interacţiunilor posibile dintrecaracteristicile umane, mediul social, activităţile efectuate şi modul de lucru,volumul producţiei, viteza de lucru şi costul producţiei.

Rezultatele studiilor sale au afectat profund relaţiile de producţie prin creşterea spectaculoasă a productivităţii, prin apariţia de noidepartamente: inginerie industrială, de personal sau de control al calităţii, prin apariţia separ ării şi planificării activităţilor, prin înlocuirea eliminării

erorilor prin încercări cu metode raţionale de analiză etc., care au atras oformalizare şi eficientizare a managementului.

De asemenea, ţinând cont de criticile aduse metodei (dezumanizarea procesului de producţie, minimizarea importanţei talentului în activitatea demanagement, simplificarea exagerată a situaţiilor posibile etc.) Taylor astudiat de asemenea aspecte legate de siguranţa muncitorilor, de apariţia şinivelul oboselii în desf ăşurarea activităţilor, de relaţia dintre mărimea şi plasarea pauzelor de lucru, lungimea zilei de muncă şi nivelul productivităţiişi a convins multe companii că studiul atent al acestor factori poate

îmbunătăţi vizibil productivitatea.



Totuşi, metoda, prin cronometrarea, înregistrarea, supravegherea

continua şi măsurarea fiecărei părticele a activităţii muncitorilor, a ajunsrapid să fie urâtă de aceştia, fapt care a dus la sabotaje şi formarea degrupuri de rezistenţă.

În ciuda acestora, metoda managementului ştiinţific nu a dispărut cidoar a fost continuu revăzută, îmbunătăţită şi adaptată la noile condiţii.

2. Teoria X şi Teoria Y a lui Douglas McGregor

Douglas McGregor a fost unul dintre cei mai mari popularizatori aimetodei studierii relaţiilor umane prin ale sale Teoria X şi Teoria Y. El adescoperit că existau foarte mulţi manageri care porneau în acţiunile lor dela nişte ipoteze (numite de Douglas McGregor Teoria X) care păreau cu

claritate a fi neadevărate conform studiilor în domeniu, aceste studiiindicând ca valide o altă grupă de ipoteze privind comportamentul uman,grupate de Douglas McGregor în Teoria Y.

Cele două teorii sunt expuse în tabelul de mai jos:

Theory X Theory Y

• Munca este inerent neplăcută pentru majoritatea oamenilor

• Majoritatea oamenilor nu suntambiţioşi, ei preferând să li se deaordine decât să-şi asumeresponsabilităţi

• Cei mai mulţi oameni nu auaptitudinile necesare rezolvării problemelor organizaţionale

• Motivaţia apare doar la nivel

fiziologic şi al siguranţei personale

• Cei mai mulţi oameni trebuiecontrolaţi îndeaproape şi deseoriconstrânşi pentru a efectuaactivităţile necesare obţinerii decătre firmă a scopurilor propuse

• Munca este la fel de naturală ca joaca dacă se desf ăşoar ă încondiţii favorabile

• Autocontrolul este deseoriindispensabil pentru atingereascopurilor întreprinderii

• Capacitatea de creaţie ester ăspândită în toată organizaţia

• Motivaţia apare şi la nivelul

asocierii, stimei şi autopregătiriinu numai la nivel fiziologic şi alsiguranţei personale

• Oamenii au iniţiativă şicreativitate dacă sunt motivaţicorespunzător



3. Frederick Herzberg - 2 Factor Hygiene and Motivation

Theory

Teoria lui Frederick Herzberg privind motivaţia în relaţiile

interumane şi la locul de muncă are două păr ţi:• Mediul de lucru• Motivaţia

Factorii privind situaţia mediului de lucru cuprind:

• compania,• regulile care trebuie respectate şi modul în care sunt aplicate,• modul în care oamenii sunt supravegheaţi şi conduşi în timpul

lucrului,• condiţiile de muncă • relaţiile interpersonale,• salariul,• statutul salariatului• siguranţa la locul de muncă

Aceşti factori nu atrag prin ei însuşi un nivel înalt al motivaţiei dar lipsa lor atrage insattisfacţia muncitorilor.

Factorii privind a doua parte a teoriei se refer ă la ceea ce fac efectiv

muncitorii la locul de muncă. Factorii motivatori sunt:• realizările,• recunoaşterea,• avansarea în funcţie• competenţa în munca depusă.

Efectele mediului de lucru asupra individului

• el asigur ă cel puţin banii necesari nevoilor de bază ale angajaţilor (uneori mult mai mult);

• asigur ă un nivel mai mic sau mai mare al securităţii personale, unnivel mai mic fiind suplinit în mod normal de alte avantaje(materiale etc.);

• dă o anumită identitate angajatului, prin funcţiile pe care leîndeplineşte acesta în organizaţie;

• asigur ă o viaţă socială, evadare din monotonie şi plictiseală şi o preocupare de-a lungul timpului petrecut la lucru;

• asigur ă un sentiment de împlinire şi satisfacţie a individului dacă

munca depusă este creativă şi incitantă.



• Asigur ă individului un statut în societate prin garanţia pregătirii sale

şi importanţa muncii depuse. Efectele mediului de lucru asupra grupurilor de lucru

• el afectează moralul grupului• determină realizarea sau nerealizarea scopului propus• determină gradul de cooperare în grup• motivează grupul să dea tot ce poate• determină relaţiile bune sau rele dintre membrii grupului• determină relaţiile dintre sindicat şi conducere

4. Teoria ierarhică a lui Maslow

Abraham Maslow (1954) a încercat să sintetizeze mulţimea de studiiexistente la momentul rspectiv privind motivaţia umană. Înaintea acestuiacercetarea era efectuată separat pe factori ca cei biologici, învăţarea sau puterea pentru a explica cine stimulează, conduce şi susţine comportamentulindividului. El a propus clasificarea acestor factori în 2 grupe:

- nevoi de acoperire a lipsurilor - nevoi de dezvoltare

Primii factori au fost ierarhizaţi pe 4 niveluri, după cât de critică estenesatisfacerea acestora, indivizii trecând la satisfacerea factorilor de pe unnivel abia după ce au fost satisf ăcute toate nevoile de pe straturile inferioare:

1) fiziologici: foamea, setea, sănătatea, etc.;2) siguranţa personală: eliminarea pericolelor;3) Apartenenţă şi iubire: asocierea cu alţii, dorinţa de a fi acceptat etc;4) Stima: să ai realizări, să fii competent, să câştigi aprobarea şi

recunoaşterea celor din jur.



Al doilea grup de factori cuprinde:5) Nevoia de cunoaştere: de a ştii, a înţelege şi a explora;6) Nevoi estetice: de simetrie, de ordine şi de frumuseţe;7) Autorealizare: de împlinire şi de utilizare a întregului potenţial;

8) Transcendente: de a ajuta pe alţii să se împlinească şi să-şi atinga potenţialul maxim

Maslow considera că cu cât un om devine mai realizat şi altruist cuatât devine mai înţelept şi va şti să se descurce în aproape orice situaţie.

Modelul lui Maslow poate de asemenea fi folosit pentru a descrie dece fel de informaţii are nevoie un individ în funcţie de nivelul la care se află satisfacerea nevoilor sale:

1) fiziologici - doar informaţii direct legate de rezolvarea nevoilor sale

2) siguranţa personală – informaţii despre cum poate fi în siguranţă 3) Apartenenţă şi iubire – materiale instructive sau informative4) Stima - informaţii privind dezvoltarea eului propriu5-6-7) - informaţii privind îmbunătăţirea şi înfrumuseţarea propriei vieţi8) - informaţii despre cum poate fi îmbunătăţită şi înfrumuseţată

viaţa celorlalţi

Maslow şi-a publicat primele studii în 1943 şi în ciuda lipsei unei baze de experimente care să-i susţină afirmaţiile teoria sa s-a bucurat de olargă acceptare din partea celorlalţi cercetători şi au apărut o mulţime de alte

studii care acceptau ideea de ierarhizare a motivaţiilor individului, propunând doar alte moduri de clasificare ale acestora. Dintre acesteaamintim teoria lui Alderfer (1972) numită ERG (existenţă, relaţii, dezvoltare(growth)):

Nivel

al nevoiiDefiniţie Trăsături

Dezvoltare

Îndeamnă individul laa fi creativ şi

productiv

Satisfacţia este dată de reuşita înrezolvarea problemelor careatrage o stare de împlinire a vieţii

omului

Relaţii

Implică relaţiile cuanumiţi oameni(ceiimportanţi pentru persoana respectivă)

Satisfacţia este dată deîmpărtăşirea gândurilor şisentimentelor, de înţelegereacelor din jur, de aprobarea şiacceptarea acţiunilor proprii

Existenţa

Include toateaspectele materiale şinevoile fiziologice

Câştigul unuia este pirdereaaltuia în condiţiile unor resurselimitate



Introducând în ierarhizare şi distincţia introvertit-extrovertit în ceea

ce priveşte tipurile umane obţinem ierarhizarea:

Nivel Introvertit Extravertit

Dezvoltare

Autorealizarea:dezvoltarea competenţelor:cunoştinţe, atitudini şiaptitudini şi a caracterului persoanei

Transcendenţa (ajutareacelorlalţi în dezvoltareacompetenţelor şi a caracterului

RelaţiiIdentificarea cu grupul,apartenenţa la un grup

Stima celorlalţi

Existenţa Nevoi fiziologice, biologice, emoţionale

conectivitatea cu ceilalţi,securitatea proprie

Deşi nevoile sunt identificate în general la fel de toţi cercetătorii nuexistă nici pe departe o punere de acord între acestea în ceea ce priveşteclasificarea acestora sau ierarhizarea lor. Astfel,

Deci şi Ryan (1991) sugerează trei grupuri nevoi (f ăr ă a existaneapărat o ierarhizare a acestora): nevoia de autonomie, nevoia decompetenţă şi nevoia relaţiilor cu ceilalţi. Thompson, Grace şi Cohen (2001)consider ă că cele mai importante pentru copii sunt conectivitatea,recunoaşterea şi puterea.

Franken (2001) sugerează chiar că această lipsă de acord întrecercetători derivă mai degrabă din diferenţele dintre cercetători decât dindiferenţele dintre oameni.

Totuşi, din toate cele spuse mai sus, cel mai practic pare a fi să întrebăm pur şi simplu direct oamenii ce nevoi au decât să-i încadr ăm într-oteorie sau alta.



ANEXA 2

COTELE de impozit pe profit (Legea 12 din 30 ianuarie 1991)

Profit anual Cota medie de impozit % Modul de calcul al impozitului

până la 25.000 lei scutit -

25001-50000 lei 2,50 0 + 5% pentru partea care depăşeşte 25000

50001-75000 lei 2,50- 5,66 1250+12% ppcd 50000

75001-100000 lei 5,66- 7,50 4250+13% ppcd 75000

100001-125000 lei 7,50- 8,80 7500+14% ppcd 100000

125001-150000 lei 8,80- 9,83 11000+15% ppcd 125000

150001-175000 lei 9,83-10,71 14750+16% ppcd 150000175000-200000 lei 10,71-11,50 18750+17% ppcd 175000

200001-225000 lei 11,50-12,22 23000+18% ppcd 200000

225001-250000 lei 12,22-12,90 27500+19% ppcd 225000

250001-275000 lei 12,90-13,54 32250+20% ppcd 250000

275001-300000 lei 13,54-14,16 37250+21% ppcd 275000

300001-325000 lei 14,16-14,77 42500+22% ppcd 300000

325001-350000 lei 14,77-15,36 48000+23% ppcd 325000

350001-375000 lei 15,36-15,93 53750+24% ppcd 350000

375001-400000 lei 15,93-16,50 59750+25% ppcd 375000

400001-425000lei 16,50-17,06 66000+26% ppcd 400000

425001-450000lei 17,06-17,61 72500+27% ppcd 425000

450001-475000lei 17,61-18,16 79250+28% ppcd 450000

475001-500000lei 18,16-18,70 86250+29% ppcd 475000

500001-1000000lei 18,70-24,35 93500+30% ppcd 500000

1000001-1500000lei 24,35-26,57 243500+31% ppcd 1000000

1500001-2000000lei 26,57-27,92 398500+32% ppcd 1500000

2000001-2500000lei 27,92-28,94 558500+33% ppcd 2000000

2500001-3000000lei 28,94-29,78 723500+34% ppcd 2500000

3000001-3500000lei 29,78-30,53 893500+35%ppcd 3000000

3500001-4000000lei 30,53-31,21 1068500+36% ppcd 3500000

4000001-4500000lei 31,21-31,85 1248500+37% ppcd 4000000

4500001-5000000lei 31,85-32,47 1433500+38% ppcd 4500000

5000001-30000000lei 32,47-37,91 1623500+39% ppcd 5000000

30000001-55000000lei 37,91-38,86 11373500+40% ppcd 30000000

55000001-80000000lei 38,86-39,53 21373500+41% ppcd 55000000



80000001-105000000lei 39,53-40,11 31623500+42% ppcd 80000000

105000001-130000000lei 40,11-40,67 42123500+43% ppcd 105000000

130000001-155000000lei 40,67-41,20 52873500+44% ppcd 130000000

155000001-180000000lei 41,20-41,74 63873500+45% ppcd 155000000

180000001-205000000lei 41,74-42,25 75123500+46% ppcd 180000000

205000001-230000000lei 42,25-42,77 86623500+47% ppcd 205000000

230000001-255000000lei 42,77-43,28 98373500+48% ppcd 230000000

255000001-280000000lei 43,28-43,79 110373500+49% ppcd 255000000

280000001-305000000lei 43,79-44,30 122623500+50% ppcd 280000000

305000001-330000000lei 44,30-44,81 135123500+51% ppcd 305000000

330000001-355000000lei 44,81-45,31 147873500+52% ppcd 330000000

355000001-380000000lei 45,31-45,82 160873500+53% ppcd 355000000

380000001-405000000lei 45,82-46,32 174123500+54% ppcd 380000000405000001-430000000lei 46,32-46,83 187623500+55% ppcd 405000000

430000001-455000000lei 46,83-47,33 201373500+56% ppcd 430000000

455000001-480000000lei 47,33-47,83 215373500+57% ppcd 455000000

480000001-505000000lei 47,83-48,34 229623500+58% ppcd 480000000

505000001-530000000lei 48,34-48,84 244123500+59% ppcd 505000000

530000001-555000000lei 48,84-49,34 258873500+60% ppcd 530000000

555000001-580000000lei 49,34-49,85 273873500+61% ppcd 555000000

580000001-605000000lei 49,85-50,35 289123500+62% ppcd 580000000

605000001-630000000lei 50,35-50,85 304623500+63% ppcd 605000000

630000001-655000000lei 50,85-51,35 320373500+64% ppcd 630000000

655000001-680000000lei 51,35-51,85 336373500+65% ppcd 655000000

680000001-705000000lei 51,85-52,35 352623500+66% ppcd 680000000

705000001-730000000lei 52,35-52,85 369123500+67% ppcd 705000000

730000001-755000000lei 52,85-53,36 385873500+68% ppcd 730000000

755000001-780000000lei 53,36-53,86 402873500+69% ppcd 755000000

780000001-805000000lei 53,86-54,36 420123500+70% ppcd 780000000

805000001-830000000lei 54,36-54,86 437623500+71% ppcd 805000000

830000001-855000000lei 54,86-55,36 455373500+72% ppcd 830000000

855000001-880000000lei 55,36-55,86 473373500+73% ppcd 855000000

880000001-905000000lei 55,86-56,37 491623500+74% ppcd 880000000

905000001-930000000lei 56,37-56,86 510123500+75% ppcd 905000000

930000001-955000000lei 56,86-57,37 528873500+76% ppcd 930000000

peste 955000000 lei 57,37 547873500+77% ppcd 955000000



În figura de mai jos este reprezentată valoarea impozitului ca funcţiede valoarea profitului

0 - 30 0 mii l ei

0

2

4

6

0 5 10 15 20 25 30

P ( z e c i m i i l e i )

300 - 3000 mii le i

0

20

40

60

80

30 80 130 180 230 280

P (z eci mii lei)

3000-300000 mii lei

0

5000

10000

300 10300 20300 30300

P (zeci mii lei)

I p ( z e c

i m i i l e i

> 300000 mii le i

13000

23000

33000

43000

53000

30500 50500 70500 90500

P (zeci mii lei)

I p ( z e c i m i i l e i )



Din această figur ă se observă că rata de impozitare a fost din ce în ce

mai mare pe măsura creşterii profitului. Scopul Legii 12 din 30 ianuarie1991, prin care au fost fixate aceste cote, era evident de a creşte valoareaimpozitelor directe încasate de stat. Totuşi, valoarea reală a acestora a fost

mult mai mică, firmele f ăcând tot posibilul să mascheze profitul obţinut,astfel încât, în anul 1994 aproape toate firmele din setul de date privindindustria textilă raportau un profit negativ (pierdere).

După legea 73/1994 prin care se fixa o rată de impozitare constantă de 38% se observă pentru toate firmele o creştere a valorii profituluiraportat.

Bineînţeles că acest fenomen poate fi determinat de o multitudine dealţi factori, cum este de exemplu vârful pe care l-a atins rata inflaţiei în 1994(91,4%) sau celelalte tipuri de taxe şi impozite, dar corelaţia observată este

semnificativă în ceea ce priveşte influenţa politici fiscale asupra evoluţieieconomiei.



ANEXA 3

1. Problema de conducere optimală (PCO)

În toate modelele dinamice de conducere optimală a firmei expuse încapitolul 3 precum şi în modelul propus de autor rezolvarea matematică sereduce la rezolvarea unei probleme de control optimal pe un orizont finit(Ludwig, Van Hill, noul model) sau infinit (Lesourn-Leban) de timp, încondiţiile unei evoluţii continue sau discrete a variabilelor. În cazurilor încare s-a f ăcut ipoteza de evoluţie continuă a variabilelor rezolvarea s-a f ăcutapelându-se la metoda bazată pe principiul lui Pontreaghin.

Din acest motiv este necesar ă o scurtă expunere a problemei de

control optimal precum şi a principiului lui Pontreaghin.Principalul element al modelului matematic al problemei de

conducere optimal ă (PCO) este ecua ţ ia de dinamică a procesului, aceasta putând fi reprezentată în timp discret sau în timp continuu, formă unidimensional ă (spaţiul stărilor X are dimensiunea 1) saumultidimensional ă (X ⊆ R n, n ≥ 2).

1.1 Modelul PCO pentru sisteme continue

În cazul continuu, ecuaţia de dinamică este un sistem de ecuaţiidiferenţiale:

x& (t) = f (x(t),u(t),t)unde:

x(t) ∈ X ⊆ R n, x(t) = (x1(t), x2(t), …,xn(t))T

este vectorul coloană al celor n variabile de stare care descriu evoluţiasistemului,

u(t) ∈ U ⊆ R m, u(t) = (u1(t), u2(t), …,um(t))T

este vectorul celor m variabilelor de decizie iar funcţia f : R n+m+1 → R n , f (t) = ( f 1(t), f 2(t), …, f n(t))

T

este o funcţie vectorială cu n componente.Prin strategie de conducere a sistemului vom desemna un ansamblu

de decizii luate pe orizontul de timp [0,T] pentru conducerea sistemului înraport cu obiectivele fixate, sub condiţionările date de resursele disponibileîn fiecare moment de timp şi cele normativ-legislative. Vom nota o strategiede conducere cu:

σ[0,T] = u(t) / u(t)∈ U ⊆ R m, t ∈ [0,T]



Scopul analizei matematice a modelului este găsirea strategiei

optime de conducere conform unui criteriu de optimizare O(u) de forma:

O(u) = ∫ T

h

0

t)dtu(t),(x(t), + g(T,x(T))

unde g : R ×R n → R este componenta final ă a criteriului şi reflectă costul(profitul) implicat de obiectivul atingerii stării finale x(T) iar h : R n×R m×R → R este suma "costurilor " (pentru minim) sau a " profiturilor " (pentrumaxim) înregistrate pe perioada [0,T) prin funcţionarea sistemului pe bazadeciziilor u(t)t ∈ [0,T] şi a nivelelor de evoluţie x(t)t ∈ [0,T] generate deaceste decizii şi sunt funcţionale oarecare, în general neliniare.

În cazul continuu problema de control optimal are forma:

max(min)O(u) = ∫ T

dt t t ut xh0

)),(),(( + g (T , x(T ))

dacă variabilele de stare şi de comandă trebuie să verifice:a) Ecua ţ iile de dinamică a stărilor sistemului:

x& (t) = f ( x(t ),u(t ),t ) , x(0) = x0 datşi eventual:

b) restric ţ iile momentane de tip inegalitate sau egalitate:

hk ( x(t ),u(t ),t ) ≤ d k (t ) , k = 1,…, K 1

hk ( x(t ),u(t ),t ) = d k (t ) , k = K 1 + 1,…, K 1 + K 2

c) restric ţ ii globale de tip inegalitate sau egalitate:

∫ T

k dt t t ut xh0

)),(),(( + g k (T , x(T )) ≤ Dk , k = K 1 + K 2 + 1,…, K 1 + K 2 + K 3

∫ T

k dt t t ut xh0

)),(),(( + g k (T , x(T )) = Dk , k = K 1 + K 2 + K 3 + 1,…, K 1 + K 2 + K 3 + K 4

Se observă că funcţionale globale sunt constituite, ca şi funcţiaobiectiv, din două componente: o sumă a "consumurilor" din resursele

respective pe perioada [0,T), ∫ T

k h

0

t)dtu(t),(x(t), , generate de strategia σ[0,T] =

(t)u~ | (t)u~ ∈ U ⊆ R m, t ∈ [0,T], fundamentată de organismul deconducere, care induce traiectoria de evoluţie a sistemului x(t) şicomponenta finală gk (T,x(T)) care reflectă "consumul" din resursa k pentru

atingerea obiectivului final x(T).



Numărul restricţiilor momentane de tip inegalitate este K 1, cele detip egalitate sunt K 2, disponibilul la fiecare moment de tip t este dk (t),k = 1,…,K 1 + K 2 iar disponibilul din resursele globale este Dk , pe întreaga perioadă, k = K 1 + K 2 + 1,…,K 1 + K 2 + K 3 + K 4.

1.2 Modelul PCO pentru sisteme discrete

În cazul discret, ecuaţia de dinamică este un sistem de ecuaţii cudiferenţe finite:

xt + 1 = f (xt,ut,t)

şi strategia de conducere a sistemului va fi aleasă dintr-o mulţime de vectoricu T + 1 componente, constituită din toate strategiile admisibile:

σ[0,T] = tu~

| tu~∈ U ⊆ R

m

, t ∈ [0,1,…,T]Scopul analizei matematice a modelului este găsirea strategiei

optime de conducere conform unui criteriu de optimizare O(u) de forma:

O(u) = ∑−

=

1T

0ttt t),u,(xh + g(T,xT)

Problema de control optimal are forma:

max(min)O(u) =

∑

−

=

1T

0ttt t),u,(xh + g(T,xT)

dacă variabilele de stare şi de comandă trebuie să verifice:

a) Ecua ţ iile de dinamică a stărilor sistemului:

xt + 1 = f (xt,ut,t), x0 dat

şi eventual:

b) restric ţ iile momentane de tip inegalitate sau egalitate:

hk (xt,ut,t) ≤ dk (t) , k = 1,…,K 1

hk (xt,ut,t) = dk (t) , k = K 1 + 1,…,K 1 + K 2

c) restric ţ ii globale de tip inegalitate sau egalitate:

∑−

=

1T

0ttt t),u,(xk h + gk (T,xT) ≤ Dk , k = K 1 + K 2 + 1,…,K 1 + K 2 + K 3

∑−

=

1T

0ttt t),u,(xk h + gk (T,xT) = Dk , k = K 1 + K 2 + K 3 + 1,…,K 1 + K 2 + K 3 + K 4



În continuare va fi prezentat principiul lui Pontreaghin, utilizat

pentru rezolvarea problemelor de control optimal continui sau discrete.

2. Principiul lui Pontreaghin pentru sisteme dinamice continue

Una din metodele de rezolvare a problemelor de control optimal estecea care utilizează principiul maximului al lui Pontreaghin şi a fostformulată în perioada 1956-1960. Ea se bazează pe următoarea teoremă:

Teorema 1. ( Principiul lui Pontreaghin).

Dacă (t) x t ∈ [0,T] este traiectoria optimă de evoluţie corespunzătoare

strategiei optime T][0,σ = (t)u~ t ∈ [0,T], atunci există n funcţii ψ1(t), ψ2(t), …,

ψn(t) de clasă C1

, numite variabile adjuncte, ataşate ecuaţiilor de dinamică şiconstanta λ0 ∈ R, astfel încât funcţia:

H : R 2n+m+1 → R, H (x(t),u(t),t) = λ0·h(x(t),u(t),t) + ∑=

⋅ψn

i

ii t f t 1

)()(

numită funcţia hamiltonian, îşi atinge maximul , de-a lungul traiectorieioptime (t) x , pentru decizia optimă (t)u~ , adică:

t)(t),u(t),(t),x( maxUu(t)

ψ H ∈

= H ( (t)x , (t)u~ , (t)ψ ,t)

unde U este mulţimea deciziilor posibile, iar variabilele adjuncte sunt datede sistemul de ecuaţii diferenţiale:

(t)ψ & = – x

H

∂∂

, ψ(T) = λ0·x

g

∂∂

(T)

şi parametrul λ0 =⎩⎨⎧

minimdeeproblemaadac1-

maximdeeproblemaadac1(

(

.

Pe baza acestei teoreme a fost construit următorul algoritm derezolvare a unei probleme de control optimal:

pasul 1. Dacă sistemul de restricţii conţine şi restricţii globale atunci pentru fiecare restricţie globală se introduce o variabilă de staresuplimentar ă:

xk (t) = ∫ T

k h0

t)dtu(t),(x(t),



care va verifica, conform restricţiei cărei îi corespunde, ecuaţia diferenţială:

(t)k x& = hk (x(t),u(t),t)

şi condiţiile:

xk (0) = 0 şi xk (T) + gk (x(T),T) = Dk (sau xk (T) + gk (x(T),T) ≤ Dk )

după cum restricţia corespunzătoare a fost egalitate sau inegalitate.Dacă nu există restricţii globale atunci se trece direct la pasul 2.

pasul 2. Se construieşte lagrangeanul ataşat problemei de programarematematică:

t)(t),u(t),x(t),()min(maxuu

H

hk (x(t),u(t),t) ≤ dk (t) , k = 1,…,K 1hk (x(t),u(t),t) = dk (t) , k = K 1 + 1,…,K 1 + K 2

adică funcţia:

L(x(t),u(t),ψ(t),µ(t),t) = H (x(t),u(t),ψ(t),t) + ∑+

=

⋅21

1k )(

K K

k

t µ (hk (x(t),u(t),t) – dk (t))

pasul 3. Dacă există numai restricţii momentane de tip egalitate atunci serezolvă problema ca o problemă de extrem cu legături rezolvând

sistemul algebric:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∂∂

=∂∂

0

0

µ

Lu

L

iar dacă există şi restricţii momentane de tip inegalitate se rezolvă sistemulde condiţii Kuhn-Tucker:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥≥

=⋅∂∂

≤∂∂

=⋅∂

∂

≥∂

∂

00

00

00

µ

µ µ µ

u

L L

uu

L

u

L

obţinând în final variabilele de comandă u în funcţie de variabilele de stare xşi variabilele de adjuncte ψ:

u = u(x,ψ)



pasul 4. Se rezolvă sistemul de ecuaţii diferenţiale:

x& (t) = f (x(t),u(x(t),ψ(t)),t) , x(0) = x0

(t)ψ &

= –

L

∂

∂

, ψ(T) = λ0· x

g

∂

∂

(T)în care am înlocuit variabilele de comandă cu expresiile găsite la pasul 3,obţinând evoluţia variabilelor de stare (t) x şi a variabilelor adjuncte (t)ψ .

pasul 5. Se găsesc comenzile optime (t)u = u( (t) x , (t) ) şi în final

extremul funcţiei obiectiv:

O( (t)u ) =

∫

T

h0

t)dt(t),u(t),x( + g(T, (T) x )

3. Principiul lui Pontreaghin pentru sisteme dinamice discrete

Metoda se bazează pe o teoremă asemănătoare celei din cazulcontinuu. Fie (PCOD) o problemă de control optimal discretă f ăr ă restricţiiglobale. Atunci are loc teorema:

Teorema 2 ( Principiul lui Pontreaghin pentru ( PCO D)) Dacă ~ 1t ,T t=

x este traiectoria optimă de evolu ţ ie corespunzătoare

strategiei optime ~~1,0)0[ t T t= ,T u= −σ , atunci există n funcţii ψt

1, ..., ψtn –

numite variabile adjuncte, definite pe mulţimea0,1,2,…,T, fiecare ψt j

ataşat restricţiei de dinamică corespunzătoare şi scalarul R∈λ0 nenul, astfel

încât funcţia hamiltonian:

H : R

2n+m+1

→ R, H (xt,ut,ψt,t) = λ0·h(xt,ut,t) + ∑= ⋅

n

it t i

i

t t u x f 1 ),,(ψ

îşi atinge maximul, de-a lungul traiectoriei optime x t ,T t=~

1 , pe mulţimea

strategiilor admisibile )1,0[,~),0[ −∈∈ T t U u= t T σ , U fiind tronsonul

generat de restricţiile momentane, pentru strategia optimă σ~ T)[0, , adică:

),~,~,~(),~,,~(max t u x H =t u x H t t t t t t U ut

ψ ψ ∈



Variabilele adjuncte ψt1,...,ψt

n verifică sistemul de ecuaţii cudiferenţe finite şi condiţii la limită finale:

⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

∂∂⋅

∂⋅∂

−

n= jT x x

g =

T =t n= jt u x x

H =

T j

j

T

t t t j

j

t

,1,),~(

,1,,1,),,~,~()(

00

1

λ ψ

ψ ψ

şi parametrul⎪⎩

⎪⎨⎧

=minimde PCO pentru-

maximde PCO pentru

1

10λ .

Algoritmul de rezolvare a PCOD este similar celui din cazulcontinuu:Pasul 1) Se scrie hamiltonianulPasul 2) Se rezolvă problema:

),,,(max t u x H t t t U ut

ψ ∈

unde U este tronsonul determinat de restricţiile momentane.În funcţie de mulţimea de restricţii existente, avem variantele:a) dacă nu exist ă restric ţ ii atunci condiţia necesar ă de optim este:

1,0,,1,0),,,( −∂

∂T =t m=k =t u x

u

H

t t t k

ψ

Rezolvând acest sistem de m ecuaţii cu m necunoscute ut1, ..., ut

m rezultă soluţia:

),,(ˆ t x=u t t j

j

t ψ ϕ

Pentru deciderea optimalităţii soluţiilor găsite se verifică condiţiilede ordinul 2 pentru maxim, care se reduc la condiţia ca matricea hessian să fie negativ definit ă , în punctul ),,(ˆ t xu t t t ψ ϕ = .

Dacă această condiţie este verificată se trece la pasul 3. Dacă nu esteverificată atunci problema nu este corect pusă şi se reface analiza de sistemşi formularea PCO.

b) dacă exist ă numai restric ţ ii de tip egalitate În acest caz, se construieşte funcţia Lagrange generalizată:

∑ −+i

it t i

i

t t t t t t t t t d t u xht u x H =t u x L )](),,(),,,(),,,,( λ ψ λ ψ

unde λ ti este multiplicatorul Lagrange generalizat ataşat restricţiei i de tip

egalitate.



Condiţiile necesare de optim vor fi:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=∂∂

∂∂

ni =t u x L

m=k =t u xu

L

t t t t i

t t t t k

,10),,,,(

,10),,,,(

λ ψ λ

λ ψ

unde n este numărul de restricţii de tip egalitate. Se rezolvă acest sistem de(m + n) ecuaţii algebrice cu (m+n) necunoscute ( n

t t

m

t t uu λλ ,...,,,..., 11 ) şi seobţine soluţia:

)ˆ,,(ˆt t t t xu λ ψ ϕ =

unde t λ este soluţia nt t λ λ ˆ,...,ˆ1 .

Se verifică în final condiţia de ordinul 2, pentru soluţia găsită.

c) dacă exist ă restric ţ ii de tip inegalitate. În acest caz se rezolvă problema de programare matematică:

),,(max t u x H t t t U ut

ψ ∈

unde U este dat de sistemul de restricţii:

⎪⎩

⎪⎨⎧

∈=

∈≤

2

1

)(),,(

)(),,(

J j ,t d t u xh

J j ,t d t u xh

jt t j

jt t j

şi se obţine soluţia ),,(ˆ t xu t t t ψ ϕ =

Pasul 3) Se rezolvă sistemul canonic hamiltonian (S.C.H.):

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂

−=

−−

+

)(,),),,(,(

,),),,(,(

0011

01

T T t t t t t

t t t t t

x x

g =t x x x H =

dat xt x x f x

λ ψ ψ ψ ϕ ψ

ψ ψ ϕ

ca un sistem cu 2n ecuaţii cu diferenţe finite şi 2n condiţii la limită din caren condiţii la limită iniţiale (x0 – dat) şi n condiţii finale (ψT).

Se obţine traiectoria optimă: ~ ,1t T t x = , "preţurile umbr ă": ~ 1,0t T t

ψ −= şi,

în final, strategia optimă: ),~,~(~ 1,0 t x=u t t t T t ϕ −= .



ANEXA 4

1. DEACO

Programul DEACO a fost scris de autor în mediul MATLAB şi estedestinat măsur ării eficienţei întreprinderilor prin metoda DEA (DataEnvelopment Analyse).

Pentru a porni programul este suficientă tastarea cuvântului deaco laconsola mediului MATLAB, efectul fiind apariţia ferestrei de întâmpinare a programului, care arată ca în figura 1.

Pentru rularea programului este necesar ă introducerea datelor referitoare la firmele de analizat, aceste date putând fi introduse în acest

moment prin deschiderea din cadrul programului a unui fişier text sau excelsau prin utilizarea unor fişiere de acest tip constituite anterior. Pentruaceasta se utilizează succesiunea clasică de meniuri File -> New respectiv File -> Open, aşa cum se poate vedea în figura 2.a.

Odată declarate datele ce vor fi folosite se trece la următorul pas, celde alegere a tipului de model ce va fi utilizat pentru compararea firmelor înceea ce priveşte eficienţa acestora. Pentru aceasta se va utiliza meniulSetting (vezi figura 2.b).

La selectarea submeniului „Select IO” fereastra programului vadeveni ca în figura 3. Din acest ecran pot fi selectate acele inputuri şioutputuri în funcţie de care se va analiza eficienţa întreprinderilor. În modimplicit sunt luate în considerare toate inputurile şi toate outputurile. Pentrudeclararea opţiunii dorite trebuie apăsat butonul OK.

Odată alese inputurile şi outputurile ce vor fi folosite se va trece la

selectarea tipului de model ce va fi folosit. Opţiunile legate de această

Figura 1 Figura 2

a) b)

c)



Valorile predefinite în acest caz sunt: analiză statică , tehnologieconvexă , măsur ă Debreu-Farrell , revenire la scală constant ă şi orientare input .

Din submeniul Advanced poate fi ales modul de rezolvare folosit pentru rezolvarea problemei. După selecţia Setting -> Advanced ecranul va

ar ăta ca în figura 7 şi de aici se alege algoritmul care va fi folosit (simplexsau de punct interior), forma la care este adus modelul înainte de rezolvare(primal sau dual) şi succesiunea efectuării calculelor.

Detalii privind aceste alegeri pot fi găsite în textbox-ul din parteastângă-jos a ecranului.

După selectarea tuturor opţiunilor urmează să se calculeze eficienţafiecărei firme. Utilizatorul are la alegere două posibilităţi:

a) obţinerea valorilor algebrice ale acestora într-un fişier excel sautext;

b) reprezentarea geometrică

Aceste opţiuni pot fi alese din meniul Run care conţine două submeniuri: Compute, destinat obţinerii rezultatelor algebrice şi Grafic

reprezentation, destinat reprezentării firmelor, tehnologiei date de firme,secţiunilor input sau output în tehnologia rezultată şi valorii eficienţelor firmelor.

Figura 7



La alegerea opţiunii Compute se deschide fereastra din figura 8 unde puteţi revedea opţiunile alese şi la confirmarea acestora prin apăsarea butonului OK programul va calcula eficienţele dorite, va deschide fişierulexcel care conţine datele şi va afişa rezultatele într-o nouă foaie de lucru, aşacum se vede în figura 9.

Figura 8

Figura 9



Reprezentarea grafică poate fi realizată doar pe modele cu cel multtrei inputuri şi outputuri în total. Reprezentarea unui model cu un input şi unoutput arată ca în figura 10, cazul convex in 10.a sau nonconvex în 10.b.

Reprezentarea unei tehnologii cu două inputuri şi un output arată caîn figura 11, cazul în care se acceptă ipoteza de convexitate a tehnologieifiind reprezentat în figura 11.a şi cel în care nu se acceptă această ipoteză înfigura 11.b, în fiecare din cele două figuri fiind reprezentată tehnologia pentru toate cele 4 variante de revenire a scalei de fabricaţie.

Reprezentarea unei tehnologii cu un input şi două outputuri arată caîn figura 12, cazul în care se acceptă ipoteza de convexitate a tehnologieifiind reprezentat în figura 12.a şi cel în care nu se acceptă această ipoteză înfigura 12.b, în fiecare din cele două figuri fiind reprezentată tehnologia

pentru toate cele 4 variante de revenire a scalei de fabricaţie.

Figura 10

Figura 11

b)a)



Dacă se doreşte vizualizarea secţiunilor în tehnologia dată de firme pentru un input sau un output dat (altfel spus, dacă se doreşte reprezentareamulţimii de outputuri ce pot fi obţinute cu un input dat sau mulţimea deinputuri cu care se poate obţine un output dat poate fi folosit meniul Run ->Grafic representation -> Input/Output sections. După selectarea acesteiopţiuni vi se va cere inputul sau outputul pentru care doriţi secţiunea în

tehnologie.Reprezentarea poate fi f ăcută doar pentru o tehnologie cu un input şi

două outputuri, caz în care va fi reprezentată secţiunea pentru un input datsau pentru o tehnologie cu două inputuri şi un output, caz în care va fireprezentată secţiunea pentru un output dat.

În primul caz secţiunea are forma din figura 13.a pentru o tehnologieconvexă şi forma din figura 13.b pentru o tehnologie non-convexă. Deremarcat faptul că înf ăşurarea convexă a secţiunii în tehnologia non-convexă nu este în general tot una cu secţiunea în tehnologia convexă. Dacă

pentru inputul ales nu poate fi obţinut output va fi afişat un mesaj cu această informaţie.

În al doilea caz secţiunea are forma din figura 14.a pentru otehnologie convexă şi forma din figura 14.b pentru o tehnologie non-convexă. Şi în acest caz înf ăşurarea convexă a secţiunii în tehnologia non-convexă nu este în general tot una cu secţiunea în tehnologia convexă. Dacă pentru outputul ales nu poate fi obţinut output va fi afişat un mesaj cuaceastă informaţie.

Figura 12

b)a)



Ultima opţiune din meniul destinat reprezentărilor grafice estedestinată reprezentării valorii eficienţelor firmelor. În această reprezentarevom desena într-un grafic 2D, în care pe abcisă sunt trecute în ordinealfabetică numele firmelor iar pe ordonată se măsoar ă eficienţa acestora. Înfigura 15 poate fi văzută reprezentarea grafică pentru câteva cazuri posibile:

- Măsura Debreu-Farrell – orientare input – tehnologie non-convexă - 15.a);

- Măsura Debreu-Farrell – orientare input – tehnologie convexă - 15.b);

- Măsura Debreu-Farrell – orientare output – tehnologie non-convexă - 15.c);

- Măsura Debreu-Farrell – orientare output – tehnologie convexă - 15.d).

Figura 13

b)a)

b)a)Figura 14



În cele 4 reprezentări se observă de asemenea că firmele vor fi

grupate în 4 categorii prin colorarea diferită a punctelor corespunzătoarefirmelor, în funcţie de eficienţa acestora astfel:

- firmele ineficiente (eficienţa mai mică sau egală cu 0,5) cu

culoare neagr ă;- firmele aproape eficiente (eficienţa cuprinsă între 0,5 şi 0,9) cu

culoare roşie;- firmele eficiente (eficienţa peste 0,9 dar diferită de 1) cu culoare

verde;- firmele lider (eficienţa egală cu 1) cu culoare albastr ă;

În toate reprezentările a fost folosit un set de date referitor la26 de ramuri industriale din România pe intervalul 1990-2000, din aceste

reprezentări rezultând că cea mai mare eficienţă corespunde industrieitutunului, industriei şi industriei .

Figura 15

d)c)

b)a)



2. Modele dinamice

Pentru găsirea evoluţiei optime a indicatorilor firmei în cazul discretau fost scrise (de asemenea în mediul MATLAB) o serie de programe:

1.

regresom.m – destinat regresiei multiple f ăr ă termen liber folosită pentru identificare coeficienţilor q, α şi β care dau funcţia de producţie în modelul vanhill respective modelul autorului;

2. solin.m – destinat găsirii comenzilor în cazul modelului autorului;3. solin2.m – destinat gener ării comenzilor în cazul modelului van Hill,

Ludwig şi Lesourne-Leban;4. ludwig.m – destinat găsirii soluţiei optime în cazul discret şi

competiţie perfectă pentru modelul Ludwig;5. vanhill.m – destinat găsirii soluţiei optime în cazul discret şi

competiţie perfectă pentru modelul van Hill;6. vanhillnew.m – destinat găsirii soluţiei optime în cazul discret şicompetiţie perfectă pentru modelul autorului;

7. lesournel.m – destinat găsirii soluţiei optime în cazul discret şicompetiţie perfectă pentru modelul Lesourne-Leban;

8. ludwig_cimp.m – destinat găsirii soluţiei optime în cazul discret şicompetiţie imperfectă pentru modelul Ludwig;

9. vanhill_cimp.m – destinat găsirii soluţiei optime în cazul discret şicompetiţie imperfectă pentru modelul van Hill;

10.

vanhillnew_cimp.m – destinat găsirii soluţiei optime în cazul discretşi competiţie imperfectă pentru modelul autorului;11. lesournel_cimp.m – destinat găsirii soluţiei optime în cazul discret

şi competiţie imperfectă pentru modelul Lesourne-Leban;12. model.m – colecţia programelor destinate modelelor de mai sus şi

interfaţa grafică.

Mai jos este listat programul vanhillnew.m:

function [TR,C,opt,er]=vanhillnew(alfa,beta,f,i,a,b,r,k,gama,p,KC0,KF0,Y0,Imax,Dmax,epsilon,T,N)

A=[f+(1-f)*p*beta,f*a+(1-f)*p*alfa,-(1-f)*r;0,1-a,0;0,0,1-b];B=[-1,0,-1;1,0,0;0,1,0];R=[0,-1,0;-gama,1,0;1,0,0;0,0,-1;0,0,1;B(3,:)-k*(B(1,:)+B(2,:));-B(1,:)];TR=[];C=[];

t 0

Gestiunea Integrata a Firmei

Documents

Transcript of Gestiunea Integrata a Firmei