Fundația - microel.romicroel.ro/documents/VectoriTensoriCâmpuri_L.Jalbă_O.Stănășil... ·...
Transcript of Fundația - microel.romicroel.ro/documents/VectoriTensoriCâmpuri_L.Jalbă_O.Stănășil... ·...
1
Liviu JALBĂ Octavian STĂNĂȘILĂ
VECTORI, TENSORI, CÂMPURI
- de la concept la aplicații -
București, 2015
Fundația
Floarea Darurilor
2
Culegerea textului și tehnoredactarea
Elena-Mădălina Florescu
Tipărită la Regia Autonomă Monitorul Oficial
București, ROMÂNIA, în 500 exemplare.
ISBN 111–111–1–11111-1 FD
3
4
5
CUPRINS
PREFAȚĂ pag. 11
CAPITOLUL 1: VECTORI, OPERAȚII CU VECTORI,
MODURI DE REPREZENTARE pag. 13
§1.1. Conceptul de vector, operații simple cu vectori pag. 13
§1.2. Reper cartezian în plan și în spațiu pag. 26
§1.3. Produse de vectori pag. 34
§1.4. Alte sisteme de coordonate în plan sau în spațiu
și repere mobile pag. 43
CAPITOLUL 2: VECTORI ABSTRACȚI, APLICAȚII
LINIARE, COMPONENTE COVARIANTE ȘI
CONTRAVARIANTE pag. 51
§2.1. Bază a unui spațiu vectorial pag. 51
§2.2. Transformări liniare pag. 61
§2.3. Matrice de trecere de la o bază la alta pag. 69
§2.4. Componente contravariante și componente covariante
ale unui vector pag. 74
6
CAPITOLUL 3: CÂTEVA APLICAȚII MECANICE ALE
VECTORILOR pag. 81
§3.1. Lucru mecanic pag. 81
§3.2. Echilibrul unui solid rigid pag. 85
§3.3. Mișcarea pe un plan înclinat pag. 93
§3.4. Mișcarea curbilinie 2D și mișcarea
circulară uniformă pag. 97
CAPITOLUL 4: CÂMPURI DE VECTORI ȘI APLICAȚII
ÎN ELECTROMAGNETISM pag. 107
§4.1. Câmpuri de vectori, linii de câmp pag. 107
§4.2. Câmpul electrostatic pag. 116
§4.3. Câmpul magnetic pag. 122
§4.4. Operații diferențiale asupra câmpurilor de vectori pag. 129
CAPITOLUL 5: TENSORI, EXEMPLE
ȘI OPERAȚII pag. 145
§5.1. Mărimi cu caracter tensorial pag. 146
§5.2. Definiția tensorilor 3D liberi și exemple pag. 152
§5.3. Operații cu tensori pag. 161
7
CAPITOLUL 6: CÂMPURI DE TENSORI pag. 167
§6.1. Noțiunea de câmp de tensori și exemple pag. 167
§6.2. Tensori în coordonate curbilinii pag. 168
§6.3. Aplicații geometrice ale tensorului metric,
simbolurile lui Christoffel pag. 178
§6.4. Derivarea covariantă a scalarilor și vectorilor pag. 186
CAPITOLUL 7: CÂTEVA APLICAȚII ALE
TENSORILOR pag. 193
§7.1. Mișcarea pe o traiectorie plană pag. 193
§7.2. Mișcarea pe o traiectorie în spațiu pag. 198
§7.3. Tensorul de inerție pag. 200
§7.4. Tensorul câmpului electromagnetic pag. 203
§7.5. Transport paralel pag. 208
§7.6. Tensorul de curbură și ecuațiile lui Einstein pag. 214
§7.7. O retrospectivă: Geometria și Fizica pag. 218
BIBLIOGRAFIE pag. 225
INDICE DE NUME ȘI NOTAȚII pag. 227
8
9
10
11
PREFAȚĂ
Vectorii și tensorii sunt concepte și instrumente
intelectuale, importante prin ele însele (ca fapt de cultură) și mai
ales pentru aplicațiile lor în Mecanică, Electromagnetism, Teoria
relativității și în alte domenii ale Fizicii și Ingineriei.
În Gimnaziu, vectorii au fost introduși, pentru rațiuni
didactice, în mod intuitiv, ca „țepe” care să sugereze mărimea,
direcția și sensul unor entități fizice precum viteza, accelerația,
forța. În Liceu, vectorii au fost prezentați exclusiv ca obiecte
geometrice, mai precis ca „segmente orientate”. Mai târziu, în
Învățământul Superior, programa a cuprins capitole de Calcul
vectorial și Teoria câmpului, dizolvate în cursurile de Algebră
liniară (studiul vectorilor abstracți) și Analiză matematică.
Calculul tensorial a fost utilizat episodic în studiul Rezistenței
materialelor sau al Mecanicii mediilor continue.
Sunt binecunoscute, deopotrivă de către profesori și elevi,
dificultățile întâlnite în predarea și asimilarea noțiunii de vector;
s-au realizat progrese și în privința comunicării, a folosirii
argumentelor euristice (de tipul „voilà!), cu încercări de
formalizare (relații de echivalență, inversarea sensului „de la
particular la general” etc.). Tinerii studioși nu pot face diferența
între diversele moduri de prezentare, corecte științific și logic
echivalente (dar nu și didactic!). Este de asemenea esențial să
distingem între conceptul intrinsec și diversele reprezentări ale
lui. Astfel, vectorii și tensorii sunt concepte absolute,
independente de sistemele de coordonate și de reprezentările lor
într-un reper sau altul. Doar coordonatele lor diferă de la un reper
la altul.
12
Un alt concept de neevitat îl constituie cel de câmp
(≡familie) de vectori sau tensori depinzând de punct și acționând
într-o anumită regiune.
Autorii au ales definițiile cele mai lucrative, acoperite de
comentarii, exemple/contraexemple sugestive și bineînțeles, de
aplicații. Rigoarea este respectată, apelând totuși la desen și la
devoalarea aspectelor fizice care stau la baza tuturor conceptelor
matematice viabile, frumoase prin utilitatea lor. Ne adresăm
tinerilor care au cunoștințe elementare de Analiză matematică și
Algebră de liceu, dar și celor care au dorința de a-și dezvolta
zestrea matematică. În capitolele finale, îndeosebi în partea lor
teoretică, nu am putut evita derivatele parțiale, regula de derivare
a funcțiilor compuse („chain rule”) și câteva elemente de
Geometrie diferențială.
Autorii, octombrie 2015
13
CAPITOLUL 1: VECTORI, OPERAȚII CU
VECTORI, MODURI DE REPREZENTARE
§1.1. Conceptul de vector, operații simple cu vectori
Euristic, vectorii simbolizează (descriu, reprezintă...)
entitățile fizice sau geometrice caracterizate prin mărime, direcție
și sens. Termenul „vector” provine din latinescul „veho, vehere,
vexi, vectum” (a trage, a căra, a purta); el a fost introdus de
astronomii Secolului al XVIII–lea care studiau mișcarea
planetelor în jurul Soarelui. Același termen este utilizat și în alte
contexte; de exemplu, în Geografie („vector turismogen”), în
Sociologie („vector de influență”) sau în studiul memoriei
computerelor („vector de date”).
Să fixăm două puncte distincte A, B dintr-un plan P (de
exemplu „planul” acestei foi de hârtie). Acestor două puncte li se
pot asocia mai multe obiecte geometrice diferite:
- perechea ordonată (𝐴, 𝐵) ∈ 𝑃 × 𝑃, care diferă de perechea
ordonată (𝐵, 𝐴);
- mulțimea {𝐴, 𝐵}, care este egală cu mulțimea {𝐵, 𝐴};
- dreapta AB (care coincide cu dreapta BA);
- segmentul orientat [𝐴𝐵], care conține toate punctele dreptei
AB situate între A și B (incluzând capetele); [𝐴𝐵] ≠ [𝐵𝐴];
- semidreapta (AB având originea în A;
- distanța d(A, B) relativ la o unitate de măsură fixată; numărul
real și pozitiv d(A, B) este tocmai lungimea segmentului [𝐴𝐵],
exprimată în m, cm, km, µm etc.
14
Prin convenție, segmentul orientat [𝐴𝐵] este reprezentat
printr-o săgeată spre B; era posibilă și o reprezentare ca un arc de
curbă, dar ar fi fost o complicație inutilă (fig. 1.1).
Fig. 1.1
În cazul când B=A, dreapta AB nu este definită (nu are
sens), iar segmentul [𝐴𝐵] este redus la punctul A și are
lungimea nulă.
Notă: În Matematică s-a făcut convenția tacită de a
considera ca primare unele noțiuni precum: mulțimile,
elementele, punctele, dreptele, planele, evenimentele, obiectele,
formele etc. Acest fapt a condus la evitarea unor cercuri vicioase
și a început să fie preluat și de alte științe. Pentru a defini un
concept se fac referiri la concepte anterior definite; de exemplu,
spunând că o mulțime este o colecție, apare imediat întrebarea:
„ce este colecția?”, etc.
Două segmente orientate [AB] și [CD], nereduse la un
punct, se numesc echipolente dacă segmentele [AD] și [BC] au
același mijloc, sau echivalent, patrulaterul ABDC este
paralelogram (eventual degenerat); se scrie [AB]~[CD]; (fig. 1.2).
Fig. 1.2
15
Definiția 1.1: Un vector liber 𝐴𝐵 având suportul în
planul P (adică A, B ∈ P, deci dreapta AB este inclusă în P) este
mulțimea segmentelor echipolente cu segmentul [AB]. Doi
vectori AB și CD se numesc egali dacă [AB]~[CD].
Vectorul nul este 0=AA .
Se mai spune că vectorul AB este un vector liber 2D
(bidimensional), având punctul de aplicație în A, extremitatea în
B și dreapta AB ca suport.
Prin convenție, vom nota vectorii cu litere bold a, b, v, w,
A, V, W etc.
Dacă v=AB , se notează cu ‖v‖ sau simplu v–lungimea
vectorului v (numită și mărime, normă sau măsură). Dacă w=v,
atunci se mai spune că w este o copie a lui v (fig.1.3). Dacă v=w,
atunci desigur v=w, dar reciproc nu!
Fig. 1.3
Se notează cu V2(P) sau simplu V2 mulțimea vectorilor
liberi 2D având suportul în P. Fiind dat un vector v ∈ V2(P) și un
punct oarecare 𝑀 ∈ P există și este unic un punct N ∈ P astfel
încât v=MN (fig. 1.3). (În mod tacit, se folosește axioma lui
Euclid a paralelelor!).
Așadar, orice vector are o infinitate de copii, fiecare având
câte un punct de aplicație prescris.
16
Întrebare firească: Care este deosebirea între un segment
orientat [AB] și vectorul v=AB ? Un răspuns este următorul:
segmentul [AB] determină (definește) un singur vector v=AB ,
dar v poate fi de asemenea definit de o infinitate de segmente,
toate echipolente între ele.
Notă: O direcție în planul P este mulțimea tuturor
dreptelor paralele cu o dreaptă fixată. Dacă d este o direcție și D,
Dd, atunci D∥D.
Deosebirea dintre dreaptă și direcție este următoarea: o
dreaptă are o singură direcție d, dar unei direcții îi corespund o
infinitate de drepte (paralele între ele). Evident, orice vector nenul
are o direcție și un sens.
În Gimnaziu, s-au definit vectorii ca „entități care au
mărime, direcție, sens și punct de aplicație”. Se observă că
segmentele orientate îndeplinesc aceste cerințe și că definiția din
Gimnaziu și definiția 1.1 sunt esențialmente echivalente; nu mai
dăm alte detalii.
În unele contexte fizice, se utilizează vectori alunecători
în lungul unei drepte D, anume vectori AB cu capetele A, B
aparținând dreptei D; de exemplu, vom întâlni vectori alunecători
în legătură cu forțele care acționează asupra unor solide sau cu
momentul unei forțe. De asemenea, se utilizează vectori legați
într-un punct A, ca vectori având ca punct de aplicație
exclusiv pe A.
Exemple:
1) Primele exemple de vectori le constituie segmentele orientate.
2) Să ne imaginăm un râu, asimilat cu o mulțime de particule de
apă. Pentru orice particulă M, considerăm viteza acelei
particule în punctul M și la momentul t. Această viteză poate
17
fi reprezentată pe hârtie doar adoptând o convenție de scală;
de exemplu, 1 cm să reprezinte viteza 1 cm/s. În acest mod,
viteza este un vector v(M,t), care este un vector legat în M
(fig. 1.4); evident, s-ar pierde sensul fizic dacă s-ar apela la
alte copii ale lui v.
Fig.1.4
Vom vedea că acest exemplu ilustrează conceptul de câmp de
vectori (depinzând de timp).
3) Temperaturile, masele, lungimile, ariile, sarcinile electrice,
energiile etc. sunt mărimi exprimate prin numere (reale) și nu
au caracter vectorial; unor astfel de mărimi, împreună cu
numerele reale, li se spune scalari, care pot varia în timp sau
spațiu. Dar vitezele, accelerațiile, forțele, sunt entități
calificate ca vectori; acestea pot fi mai mari sau mai mici, dar
în plus pot fi orientate într-o direcție sau alta!
4) Să presupunem că pe marginea unei mese orizontale se află
un pietroi; împins cu o forță F, pietroiul cade de pe masă, dar
o forță F=F, care nu are același suport cu F, poate să nu aibă
același efect (fig. 1.5). Așadar, egalitatea vectorilor liberi nu
revine la egalitatea efectelor! Dar vectorii alunecători pe
suportul lui F pot avea același efect cu F.
18
Fig. 1.5
Chiar și aceste exemple arată capcanele înțelegerii de fond
a noțiunilor de bază: egalitate, vectori legați, vectori alunecători,
câmp de vectori etc. Este mereu necesară lămurirea
ambiguităților, prin definirea precisă a termenilor și cenzurarea
intuiției. Dar excesul de rigoare nu trebuie să evite utilizarea
elementelor intuitive. Exemplul anterior al vitezelor particulelor
de apă este înlocuit în unele prezentări prin definiția câmpului de
vectori, în următorii termeni seci: un câmp de vectori într-o
regiune D este o aplicație DV3. Este corect, dar nu didactic. În
acest text, vom combina definițiile fără ambiguități cu
comentariile și argumentele euristice.
Unghiul a doi vectori
Fie v, wV2(P) doi vectori liberi nenuli și necoliniari
(adică având suporturile neparalele). Alegem un punct OP și
considerăm punctele A, BP astfel încât OA =v și OB =w (fig. 1.6).
Măsura unghiului format de vectorii v, w este acel număr
𝛼 ∈ (0, 180°) sau în radiani 𝛼 ∈ (0, π) astfel încât
măs(AOB) = 𝛼 (Reamintim că unghiul de 1 se obține
considerând un cerc trigonometric și divizând arcul de cerc al
primului cadran în 90 de părți egale).
19
Fig. 1.6
În mod evident, măsura 𝛼 nu depinde de alegerea
punctului O (unghiuri cu laturi paralele). Dacă 𝛼 = 90, vectorii
v, w se numesc ortogonali (v⊥w); dacă v, w sunt nenuli și
coliniari, atunci se consideră că 𝛼 = 0 dacă ei au același sens și
𝛼 = 180 dacă sunt de sens contrar. Dacă unul din vectorii v, w
este nul, atunci măsura 𝛼 nu este definită.
Adunarea vectorilor
Definiția 1.2: Dacă v, wV2(P) sunt doi vectori nenuli, ca
în figura 1.6, fie C al patrulea vârf al paralelogramului construit
pe vectorii OA ,OB .
Se definește suma (rezultanta):
v+w=OC .
Desigur, trebuie arătat că acesta nu depinde de alegerea
punctului O. Această definiție transcrie celebra „regulă a
paralelogramului”, atribuită lui S.Stevin, dar pe care Arhimede o
cunoștea din Antichitate, și anume faptul că trăgând de o cutie K
cu forțele F1, F2 în sensul indicat (figura 1.7, a) și neglijând
frecarea, se obține același efect cu cel făcut de rezultanta F1+F2.
Similar, pentru scripeții cu greutăți din figura 1.7, b.
20
Fig. 1.7
Regula paralelogramului este impusă de natură și nu este
un moft sau un rod al imaginației cuiva! Vom vedea că „adunarea
pe componente”, des întâlnită mai încolo în diverse contexte, este
tocmai o transcripție a acestei reguli.
Trebuie amintit că se poate folosi de asemenea „regula
triunghiului” (desigur echivalentă cu cea a paralelogramului, dar
uneori mai comod de utilizat):
Dacă v=AB și w=BC (deci se consideră o copie a lui w cu
punctul de aplicație în extremitatea lui v), atunci
v+w=AC (fig. 1.8).
Fig. 1.8
Se cunosc proprietățile adunării vectorilor:
comutativitate, asociativitate, vectorul nul ca element neutru,
opusul unui vector.
21
Pe scurt, tripletul (V2(P), +, 0) formează un grup
comutativ. Dar nu facem exces de Algebra din clasa a XII-a.
Din figura 1.6, se observă că lungimea vectorului OC este
cel mult egală cu suma lungimilor vectorilor v și w, adică:
‖v+w‖≤‖v‖+‖w‖ (1)
De asemenea, se poate defini inductiv suma mai multor
vectori vi, 1≤i≤n; în plus, ‖∑ vini=1 ‖ ≤ ∑ ‖vi‖
ni=1 .
Definiția 1.3: Fie O∈P un punct „fix”. Pentru orice punct
M∈P, se definește vectorul de poziție al lui M (vector legat în
O), ca fiind r=OM , notat și cu rM.
Fig. 1.9
Pentru orice vector AB , avem OA +AB =OB (regula
triunghiului în fig. 1.9) deci:
AB =OB -OA =𝐫𝐵-rA. (2)
Așadar, orice vector din V2(P) este egal cu vectorul de
poziție al extremității sale minus vectorul de poziție al capătului.
Multiplicarea vectorilor cu scalari
Alături de adunarea vectorilor care este o operație internă
având eticheta „+”, se poate considera operația externă prin care
care oricărui scalar 𝛼 ∈ ℝ și oricărui vector v ∈ V2(P) i se
asociază multiplicatul 𝛼v. Anume, se știe cum se definesc vectorii
22
2v, 10v, v, 3v, deci 𝛼v pentru 𝛼 ∈ ℤ; dacă 𝛼 ∈ 0ℝ,
atunci 𝛼v=0.
De asemenea, dacă n≥1 este întreg și 𝛼=1n, atunci
1nv este
vectorul coliniar, având același sens cu v, dar mărimea de n ori
mai mică. Iar dacă 𝛼 =mn
, cu m, n numere întregi și n ≥ 1, atunci
𝛼v =1n
(mv). Din aproape în aproape se definește multiplicatul 𝛼v
pentru orice 𝛼 ∈ ℚ, rațional.
Un salt subtil trebuie realizat pentru a defini, de exemplu,
vectorul √2v. Procedeul implică noțiunea de limită de șiruri;
anume, alegem un șir de numere raționale rn tinzând către √2
pentru n → ∞, de exemplu, șirul extracțiilor succesive ale
radicalului: 1; 1,4; 1,41; 1,414 etc. Având deja definiți vectorii
rnv, limita lor este √2v. Același procedeu se folosește teoretic
pentru a defini 𝛼v când 𝛼 este irațional. Nu dăm mai multe detalii
și, de asemenea, amintim fără demonstrație proprietățile
următoare, cu notații transparente:
𝛼(v+w)=𝛼v+ αw;
(𝛼+β)v=𝛼v+βv, 𝛼(βv)=(𝛼β)v și 1ℝv=v.
O proprietate des utilizată este următoarea:
‖𝛼v‖=|𝛼|·‖v‖, (3)
valabilă pentru orice 𝛼 ∈ ℝ și orice v∈V2(P). De asemenea, dacă
vi, 1≤i≤n sunt vectori și 𝛼𝑖 ∈ ℝ, se definește combinația liniară
∑ 𝛼𝑖𝐯𝑖𝑛𝑖=1 și avem ‖∑ 𝛼𝑖𝐯𝑖
𝑛𝑖=1 ‖ ≤ ∑ |𝛼𝑖| · ‖𝐯𝑖‖
𝑛𝑖=1 .
Definiția 1.4: Orice vector din V2(P) având mărimea 1 (la
care se adaugă eventual unitatea de măsură 1 cm, 1 m etc) se
numește versor sau vector unitar.
23
Pentru orice vector nenul v∈V2(P), se definește versorul
lui, ca fiind:
𝝆 =1‖v‖· v. (4)
Evident, conform (3), ‖𝝆‖ =1‖v‖
·‖v‖=1.
Orice direcție are doi versori ± 𝝆. Pentru a determina o
direcție, este suficient de indicat un vector nenul având suportul
paralel cu acea direcție. Dacă v≠0 și 𝛼 ≠0, atunci vectorii 𝛼v și
v au aceeași direcție; dacă 𝛼>0, ei au și același sens.
Atenție! Nu se definesc v >w, √𝐯, v w⁄ , log10
v etc.
Câteva aplicații geometrice elementare
1) Doi vectori nenuli v1, v2 ∈V2(P), se numesc coliniari
(sau echivalent, liniar dependenți) dacă și numai dacă
suporturile lor sunt paralele. Să arătăm că aceasta este echivalent
cu faptul că există scalari 𝛼, 𝛽, astfel încât 𝛼2 + 𝛽2 ≠ 0 și
𝛼v1+𝛽v2=0. Fie 𝝆1=versorul lui v1 și 𝝆2= versorul lui v2. Dacă v1,
v2 sunt coliniari, atunci evident 𝝆1 = ±𝝆2 , deci conform (4),
1
𝑣1𝐯1 = ±
1
𝑣2𝐯2, adică, notând 𝛼 = 𝑣1 și 𝛽 = 𝑣2, 𝑣2𝐯1 ∓ 𝑣1𝐯2 =
𝟎, deci 𝛼2 + 𝛽2 ≠ 0. Reciproc, dacă 𝛼𝐯1 + 𝛽𝐯2 = 𝟎 și de
exemplu, 𝛽 ≠ 0, atunci v2=−𝛼
𝛽𝐯1 deci v2 și v1 sunt coliniari.
2) Linia mijlocie într-un triunghi
Considerăm un triunghi ABC; fie M mijlocul laturii [AB]
și N mijlocul laturii [AC]. Atunci dreapta MN este paralelă cu
dreapta BC și ‖MN ‖ =12‖BC ‖; (fig. 1.10).
24
Fig. 1.10
Într-adevăr, MN =AN -AM =12
AC -12
AB =12(AC -AB )=
12
BC .
Atunci vectorii MN și BC sunt coliniari deci dreptele MN și
BC sunt paralele. În plus, ‖MN ‖=‖12
BC ‖=12‖BC ‖.
3) Punct care împarte un segment dat într-un raport dat
Fixăm un segment [AB] cu A ≠ B și un număr real
𝑘 ≠ −1. Se spune că un punct M, situat pe dreapta AB, împarte
segmentul în raportul k, dacă 𝐴𝑀 = 𝑘𝑀𝐵 . Evident, M este un
punct interior segmentului ⇄ 𝑘 > 0. Pentru orice punct O (numit
ad-hoc referențial), relația anterioară devine OM -OA =k(OB -
OM ), de unde (k+1)OM =OA +kOB , adică:
rM=OM =1
k+1(rA+k rB). (5)
Ca aplicație, indicăm expresia vectorilor – mediană AM și
bisectoare interioară AD , într-un triunghi ABC (fig. 1.11).
Fig. 1.11
25
Considerăm latura [BC] și A ca referențial; aplicând (5)
pentru k=1, rezultă AM =12(AB +AC ).
Apoi, aplicând teorema bisectoarei, rezultă că piciorul D
al bisectoarei împarte segmentul [BC] în raportul k=BDDC
=ABAC
=cb.
Folosind relația (5), rezultă:
AD =1
c b⁄ +1(AB +(c b⁄ )AC )=
1
b+c(bAB +cAC ).
Centrul de „greutate” G al triunghiului ABC împarte
segmentul mediană [AM] în raportul k=2. Alegând un referențial
oarecare O și aplicând formula (5), rezultă că OM =12
(OB +OC )
și OG =OA +2OM
3=
13 (rA+rB+rC).
Notă: Printr-o convenție tacită, în Mecanică orice obiect
(solid) care nu își modifică structura în timp este considerat ca
având toată masa concentrată într-un punct reprezentativ C, numit
centrul de masă al obiectului. Pentru a descrie mișcarea obiectului
în raport cu un referențial O, este utilă considerarea vectorului
OC , care determină poziția, direcția și sensul în care se deplasează
obiectul. Dar în cazul obiectelor vâsco–elasto–plastice (de tipul
cristalelor, cauciucului, curgerilor etc.), care își modifică
structura în timp, este necesară utilizarea tensorilor.
Ca o sinteză a celor spuse, reținem că scalarii (adică
numerele) sunt entități definite printr-o anumită valoare (care
poate fi constantă sau variabilă), vectorii sunt caracterizați prin
mărime, o singură direcție și un sens; vom vedea că tensorii au
mărime, dar simultan mai multe direcții semnificative.
26
§1.2. Reper cartezian în plan și în spațiu
Bijecția lui Descartes
Considerăm două drepte distincte concurente într-un
punct O și un vector nenul v=AB ∈V2(P), cu suportul într-un plan
P (fig.1.12). Prin capetele lui v ducem paralele la cele două drepte
și notăm v1=A1B1 , v2=A2B2
.
Evident,
v=v1+v2. (6)
Fig. 1.12
Vectorii v1, v2 se numesc componentele vectoriale ale lui
v relativ la direcțiile dreptelor D1, D2; ei se mai numesc și
proiecțiile lui v, notate pr1v și pr2v.
Se demonstează ușor că pentru orice v, w∈V2(P) și orice
𝛼 ∈ ℝ, prk(v+w)=prkv+prkw și prk(v)=·prkv pentru k=1, 2.
Relația (6) extinde descompunerea forțelor pe două
direcții neparalele.
Reamintim că se numește axă de coordonate orice dreaptă
D pe care sunt fixate un punct O∈D (originea axei) și unul din
cei doi versori ai axei, notat u.
27
Pe scurt, o axă este orice dreaptă pe care se fixează
convențional 0, 1 și . Pentru orice punct 𝑀∈D există și este unic
un scalar xM ∈ ℝ astfel încât OM = xMu.
Se mai spune că {O;u} formează un reper 1D
(unidimensional) și scalarul xM este numit abscisa lui M relativ
la acest reper. Aplicația f:D→ℝ, M↦xM este bijectivă (numită
bijecția lui Descartes). Dacă M, N∈D, atunci MN =ON - OM =
= (xN-xM)·u și distanța dintre punctele M, N este:
d(M,N)=‖MN ‖=‖(xN-xM)u‖=|xN-xM|, conform (3).
Evident, abscisa mijlocului segmentului [MN] este egală
cu 12(xM+xN).
Bijecția lui Descartes are o interpretare de natură
filosofică: ea stabilește o legătură strânsă între obiecte geometrice
(puncte) și obiecte algebrice (numere), care a condus la
Geometria analitică, adică „geometrie prin calcul”. Matematica și
Fizica au urmărit mereu diverse punți de legătură numite
”unificări”; de exemplu, este binecunoscut „visul lui Einstein” de
a strânge într-o teorie unitară toate interacțiunile din Univers.
Descartes a realizat primul unificarea Algebrei cu Geometria!
Reper cartezian în plan
Definiția 1.5: Se numește reper cartezian 2D
( bidimensional) în planul P orice triplet {O; e1, e2}, unde
𝑂 ∈ 𝑃 și e 1, e 2 sunt doi vectori nenuli și necoliniari, având
suportul în P (figura 1.13). Se mai spune că planul P este raportat
la un sistem de coordonate xOy, unde axa Ox este reperul {O;e 1 }
și axa Oy, reperul {O; e 2}.
28
Termenul „cartezian” provine de la Cartezius (numele
latinizat al lui Descartes).
Pentru orice punct M∈P, ducem paralele MM1 și MM2 la
cele două axe. Atunci există scalari a, b ∈ ℝ astfel încât OM 1=ae 1
și OM 2=be 2 deci:
OM =OM 1+OM 2=ae 1+be 2. (7)
Fig. 1.13
Numerele a, b sunt unice (căci dacă OM = ae 1+be 2,
atunci ar rezulta că (a-a')·e 1+(b-b')·e 2=0 și dacă a≠a, atunci
e 1=b-b'a'-a
e 2 și e 1, e 2 ar fi coliniari; absurd.
Așadar, a=a și apoi b=b. Relația 𝑂𝑀 =a�� 1+b�� 2 se scrie
mai sintetic M(a, b) și se spune că a, b sunt coordonatele
carteziene ( abscisa și ordonata) ale lui M relativ la reperul
considerat.
Dacă 𝑀′(a,b), atunci:
MM = OM OM = (aa) e 1+(bb) e 2.
Fiind dat un vector v∈V2(P), există și este unic un punct
M∈P astfel încât v=OM ; dacă M(a, b) atunci:
v=ae 1+be 2. (8)
Numerele a, b se numesc componentele scalare ale lui v.
29
Este evident că acestea depind de reperul fixat
{O; e 1, e 2}xOy (dar vectorul v, nu!).
Regăsim astfel bijecția lui Descartes 𝑓:P→ℝ2, M↦(a, b).
Totodată, orice vector v∈V2(P), se reprezintă în mod unic, ca o
combinație liniară a vectorilor e1, e2. Această proprietate se mai
formulează astfel: „vectorii e1, e2 constituie o bază pentru V2(P)”.
Se poate spune că prin identificarea v↔ (a, b) s-a deschis ERA
DIGITALIZĂRILOR, prin care diverse obiecte fizice,
matematice, chimice, economice și chiar artistice sunt descrise
perfect prin numere!
Definiția 1.6: Un reper {O; e1, e2} se numește ortonormal
dacă vectorii e1, e2 sunt versori perpendiculari (adică ‖e1‖=1,
‖e2‖=1 și e1e2). Reperul se zice ortogonal dacă e1e2 și atât.
Proprietăți ale vectorilor relativ la un reper cartezian plan
Fixăm un reper cartezian oarecare {O; e1, e2} în planul P
și fie v=ae1+be2, w=ce1+de2 orice doi vectori din V2(P).
1) v=w ⇄ a=c și b=d;
2) v+w=(a+c)e1+(b+d)e2;
3) v=( a)e1+( b)e2 pentru orice scalar 𝛼 ∈ ℝ;
4) vectorii v, w presupuși nenuli sunt coliniari ⇄ există
𝜆 ∈ ℝ astfel încât v=𝜆𝐰 ⇄ componentele lor scalare sunt
proporționale.
Notă: Demonstrația acestor proprietăți rezultă direct din
definiții. Proprietatea 2) este o consecință a „regulii
paralelogramului”. Anume, putem presupune că v=OM și w = ON
au punctul de aplicație în O; (fig. 1.14). Atunci M(a, b) și N(c, d).
Fie S al patrulea vârf al paralelogramului construit pe
vectorii v, w. Ducând prin punctele M, N, S paralele la axele de
30
coordonate și folosind congruența unor triunghiuri, rezultă
coordonatele carteziene ale lui S(a+c, b+d).
Fig. 1.14
Deci OS =(a+c)e1+(b+d)e2; dar OS =v+w.
Dacă reperul {O; e1, e2} este ortonormal, atunci se adaugă
următoarele:
5) ‖v‖=√a2+b2 („lungimea unui vector este radical din
suma pătratelor componentelor scalare”);
6) Dacă M(a, b) și M (a, b), atunci distanța d(M, M )=
‖MM' ‖=√(a'-a)2+(b
'-b)
2;
7) Vectorii v și w sunt perpendiculari ⇄ are loc relația
ac+bd=0 („suma produselor componentelor scalare este nulă”).
Proprietățile 5) și 6) rezultă direct din definiții, aplicând teorema
lui Pitagora. Iată un argument demonstrativ pentru
proprietatea 7 (fig. 1.15): avem v ⊥w ⇄ paralelogramul OMSN
este un dreptunghi ⇄ OS2=OM
2+ON
2 =⏞
prop. 5)
(a+c)2+(b+d)
2=
= a2+b2+c2+d
2 ⇄ ac+bd=0.
31
Fig. 1.15
Notă: Reperele carteziene ortonormale sunt utilizate cu
precădere în Geometria analitică. Reperele ortogonale sunt
utilizate atunci când pe axe se dispun mărimi de natură diferită
(timp pe axa orizontală/spațiu parcurs pe verticală,
presiune/volum, temperatură/presiune etc.). În prezentarea
Teoriei tensorilor, vom adopta repere carteziene oarecare.
Menționăm de asemenea că în probleme concrete, alegerea
reperului exploatează diverse simetrii fizice.
Reper cartezian în spațiu
În continuare, vom nota cu S mulțimea punctelor din
spațiu (Universul fizic). Pentru orice două puncte distincte
A, B∈S se pot considera segmentul orientat [A,B], dreapta AB,
distanța d(A,B) (scalar real însoțit de o anumită unitate de
măsură), paralelograme, echipolența a două segmente coplanare
etc. Ca în cazul plan, se definesc vectorii liberi de tipul v=AB .
Vom nota cu V3 mulțimea vectorilor liberi 3D
(tridimensionali) cu suportul în S. Din nou, dacă vV3 și MS,
atunci există și este unic un punct NS astfel încât v=MN . Pentru
orice v, wV3, se definesc v=‖𝐯‖, lungimea (norma, măsura)
32
lui v, suma v+w (cu regula paralelogramului), v (cu ℝ),
vectorul nul 0, cu proprietățile uzuale, în analogie cu cazul 2D.
Și în acest caz, {V3,+,0} formează un grup comutativ.
Trei vectori v1, v2, v3V3 se numesc coplanari dacă
există scalari a, b, cℝ, nu toți nuli, astfel încât av1+bv2+cv3=0;
de exemplu, dacă c0, atunci v3=-ac
v1-bc
v2 deci v3 este situat într-
un plan paralel cu vectorii v1 și v2. Așadar, vectorii coplanari au
suporturile paralele cu un plan.
Se spune că mișcarea corpurilor în spațiu nu poate fi
descrisă fără a avea în vedere un reper. Reperele sunt evocate și
în alte contexte (de ex. social – economice).
Definiția 1.7: Se numește reper cartezian 3D în spațiul S
orice triplet {O; e1, e2, e3}, unde OS este un punct considerat
fixat și e1, e2, e3 vectori nenuli și necoplanari. Reperul se numește
ortonormal dacă e1,e2,e3 sunt versori doi câte doi perpendiculari.
Se mai spune că spațiul S este raportat la un sistem de
coordonate Oxyz unde axa Ox este {O;e1}, Oy este {O;e2} și
Oz{O;e3}. Pentru orice punct MS, paralela prin M la Oz
intersectează planul xOy în M . Se duc M M1∥Oy, M M2∥Ox și
MM3∥OM (figura 1.16).
Fig. 1.16
33
Avem OM =OM' +OM 3=OM 1+OM 2+OM 3. Dar există
scalari unici a, b, c astfel încât OM 1=ae1, OM 2=be2, OM 3=ce3;
aceștia sunt numiți coordonatele carteziene ale punctului M
relativ la reperul considerat (numite abscisa, ordonate și cota lui
M). Se scrie M(a, b, c), ceea ce este echivalent cu relația
OM =ae1+be2+ce3 .
Pentru orice vector vV3, există și este unic un punct
MS astfel încât v=OM ; coordonatele carteziene ale acestui punct
M se mai numesc componentele scalare ale lui v. Dacă M(a,b,c),
atunci:
v=ae1+be1+ce3. (9)
Așadar, orice vector vV3 este combinație liniară unică
de vectorii e1,e2,e3. Se mai spune că e1,e2,e3 formează o bază
pentru V3 (sau pentru spațiul S raportat la reperul considerat).
Proprietăți ale vectorilor relativ la un reper cartezian în spațiu
Fixăm un reper cartezian oarecare {O; e1,e2,e3} în spațiu
și fie v = ae1+be2+ce3, v′ = a'e1+b'e2+c'e3, doi vectori din V3.
1) v=v⇄ a=a’, b=b’, c=c’;
2) v+w=(a+a)𝐞1 + (𝑏 + 𝑏′)𝐞2 + (𝑐 + 𝑐
′)𝐞3;
3) v=(a) 𝐞1 + (b) 𝐞2 + (c) 𝐞3;
4) vectorii v, v presupuși nenuli sunt coliniari ⇄ există
𝜆 ∈ ℝ astfel încât v=v ⇄ componentele lor scalare sunt
proporționale;
5) trei vectori din V3 sunt coplanari ⇄ unul din ei este
combinație liniară a celorlalți doi;
6) considerând punctele M(a, b, c), M(a, b, c),vectorul
𝑀𝑀 ′ = 𝑂𝑀 ′ − 𝑂𝑀 = (𝑎′ − 𝑎)𝐞1 + (𝑏′ − 𝑏)𝐞2 + (𝑐
′ − 𝑐)𝐞3
34
deci componentele scalare ale vectorului 𝑀𝑀 ′ sunt diferențele
coordonatelor lui M și M, adică ale extremității și capătului
acelui vector.
Dacă reperul {O; 𝐞1, 𝐞2, 𝐞3} este ortonormal, atunci:
7) v=‖𝐯‖ = √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 și distanța:
d(M,M)=‖𝑀𝑀 ′‖ = ((𝑎′ − 𝑎)2 + (𝑏′ − 𝑏)2 + (𝑐′ − 𝑐)2)1 2⁄ ;
8) vectorii v, v presupuși nenuli sunt perpendiculari ⇄
𝑎𝑎′ + 𝑏𝑏′ + 𝑐𝑐′ = 0.
Proprietatea 7) rezultă direct din definiție, aplicând
teorema lui Pitagora, iar proprietatea 8) va fi demonstrată în
paragraful următor.
Notă: Fixând un reper în spațiu ca mai sus, bijecția lui
Descartes 𝑓: 𝑆 → ℝ3, 𝑀 ↦ (𝑎, 𝑏, 𝑐), care asociază oricărui punct
din spațiul fizic tripleta coordonatelor sale, extinde ideea
unificării Geometriei și Algebrei, resursă pentru multe dezvoltări
benefice – parametri de stare, spații cu mai multe dimensiuni,
identificări ale diverselor obiecte și chiar procese cu seturi
convenabile de numere. Spațiul ℝ𝑛, 𝑛 ≥ 4, are o existență
matematică în sine, chiar dacă dispare suportul geometric direct
(așa cum se întâmplă în cazul 1D, 2D, 3D).
§1.3. Produse de vectori
În acest paragraf, vom reaminti definițiile și proprietățile
principale ale produsului scalar (PS), produsului vectorial (PV),
produsului mixt (PM) și ale dublului produs vectorial (DPV),
pentru vectori din V3 și implicit pentru vectori din V2(P).
35
Produs scalar
Definiția 1.8. Pentru orice doi vectori nenuli v, wV3, se
numește produsul lor scalar (pe scurt, PS) numărul real
v·w=v·w·cos 𝜃, (10)
unde 𝜃 = măs(𝐯, ��); fig. 1.17. Dacă unul din vectori este nul,
atunci produsul lor scalar este nul.
Așadar, v·w=v·prvw (adică mărimea lui v multiplicată cu
proiecția scalară a lui w pe v). Denumirea PS provine de la faptul
că valoarea lui este un scalar.
Fig. 1.17
În continuare, vom fixa un reper ortonormal
{O;𝐞1, 𝐞2, 𝐞3}; în acest caz, 𝐞1·𝐞1 = 1 · 1 · cos 0 = 1; 𝐞1 · 𝐞2 =
= 1 · 1 · cos 90 ° = 0, 𝐞2 · 𝐞2 = 1, 𝐞2 · 𝐞3 = 0 etc. Altfel spus,
𝐞𝑖 · 𝐞𝑗 = 𝛿𝑖 𝑗 (simbolul lui Kronecker) pentru orice 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 3.
Proprietăți ale PS
PS 1. Dacă v, wV3, atunci v·w=w·v(comutativitate);
PS 2. Dacă v, w1, w2V3, atunci v·(w1+w2)=v·w1+v·w2
(distributivitatea PS în raport cu adunarea) și mai general,
v·(∑ 𝐰𝑘𝑛𝑘=1 ) = ∑ (𝐯 · 𝐰𝑘)
𝑛𝑘=1 ;
PS 3. Dacă v, w V3 și 𝛼 ∈ ℝ, atunci (v)·w=(v·w)
=v·(w) (balansarea scalarului);
PS 4. Dacă vV3, atunci v·v≥0 și v·v=0 ⇄ v=0.
36
Demonstrația este imediată. Astfel, PS 1 rezultă din relația
cos(−𝜃) = cos 𝜃.
Apoi,
v·(w1+w2)=v·prv(w1+w2)=
= v·prvw1+ v·prvw2=v·w1+v·w2 .
Dăm câteva consecințe directe (relativ la un reper
ortonormal).
1) Dacă v=a𝐞1 + 𝑏𝐞2 + 𝑐𝐞3 și v′ = 𝑎′𝐞1 + 𝑏′𝐞2 + 𝑐
′𝐞3,
atunci v·v′ = 𝑎𝑎′ + 𝑏𝑏′ + 𝑐𝑐′.
Într-adevăr,
v·v=v·(𝑎′𝐞1 + 𝑏′𝐞2 + 𝑐
′𝐞3)=
=⏞PS 2
𝑎′(𝐯 · 𝐞1) + 𝑏′(𝐯 · 𝐞2) + 𝑐
′(𝐯 · 𝐞3).
Dar,
v·e1=(𝑎𝐞1 + 𝑏𝐞2 + 𝑐𝐞3)·𝐞1=
= 𝑎(𝐞1 · 𝐞1) + 𝑏(𝐞2 · 𝐞1) + 𝑐(𝐞3 · 𝐞1) =
= 𝑎 · 1 + 𝑏 · 0 + 𝑐 · 0 = 𝑎;
similar, v·e2=b și v·e3=c. Ca atare, v·v′ = 𝑎′𝑎 + 𝑏′𝑏 + 𝑐′𝑐.
Așadar, PS v·v este egal cu suma produselor
componentelor lor scalare.
2) Dacă v, wV3 sunt nenuli, atunci v⊥w ⇄ v·w=0.
3) Dacă v=𝑎𝐞1 + 𝑏𝐞2 + 𝑐𝐞3, atunci v·v = v·v·cos 0° =
𝑣2; PS v·v se mai notează v2 deci v2 = v2.
4) Dacă v, w ∈ V3 sunt nenuli, atunci din definiția PS,
rezultă
cos(𝐯,𝐰) =𝐯· 𝐰
𝑣𝑤. (11)
Atenție: PS nu este asociativ: v·(w·w1)≠(v·w)·w1. Din
acest motiv, produsele scalare trebuie puse în paranteze.
37
Exemple
1) Fie un plan P raportat la un reper 2D ortonormal
{O;e1,e2} și 𝛒 un versor cu punctul de aplicație în O. Dacă
𝜃 = măs(𝛒, 𝐞1), atunci componentele scalare ale lui 𝛒 sunt cos 𝜃
și sin 𝜃 deci =(cos) e1+(sin) e2. Dacă este un alt versor și
𝜃′ = măs(𝛒′, 𝐞1) atunci 𝛒′ = (cos 𝜃′)𝐞1 + (sin 𝜃′)𝐞2;(fig. 1.18).
Să calculăm în două moduri PS 𝛒 · 𝛒′. Pe de-o parte,
·=1·1·cos(𝜃 − 𝜃′) și pe de-alta, · = (cos 𝜃𝐞1 + sin 𝜃 𝐞2) ·
(cos 𝜃′ 𝐞1 + sin 𝜃′ 𝐞2) = cos 𝜃 cos 𝜃
′+sin 𝜃 sin 𝜃′.
Am demonstrat în acest mod formula nebanală:
cos(𝜃 − 𝜃′) = cos 𝜃 cos 𝜃′ + sin 𝜃 sin 𝜃′.
Fig. 1.18
2) Fie F și F două forțe care fac unghiul de măsură . Iată
cum se determină mărimea rezultantei R=F+F; anume, avem:
R2=R2=(F+F)·(F+F)=𝐹2 + 𝐹′2 + 2F·F
Deci,
𝑅 = (𝐹2 + 𝐹′2 + 2𝐹𝐹′ cos 𝛼)1 2⁄ .
38
Produs vectorial
Așa cum îi spune numele, acesta este un alt vector, care se
dovedește util, de exemplu, pentru studiul momentului unei forțe
aplicate la capătul unei pârghii sau asupra unei particule încărcate
aflate într-un câmp magnetic.
Definiția 1.9: Fie v, w doi vectori din V3. Dacă unul este
nul sau dacă ei sunt coliniari, atunci se definește v w = 0. Dacă
v, w sunt vectori nenuli, se pot presupune ca având același punct
de aplicație O și formând unghiul 𝜃 ∈ [0, 𝜋]. Atunci v w este
acel unic vector:
-cu punctul de aplicație O;
-cu direcția perpendiculară pe planul determinat de v și w;
-cu mărimea A numeric egală cu aria paralelogramului
construit pe vectorii v, w deci:
A=v·w· sin 𝜃;
- cu sensul dat de regula burghiului rotit de la v spre w.
Dintre cei doi versori ai direcției menționate, notăm cu N
pe cel având sensul burghiului. Mulți autori recomandă în locul
regulii burghiului, regula mâinii drepte, ca în figura 1.19.
Atunci,
v w=AN (12)
Fig. 1.19
39
Notă: Produsul scalar al vectorilor v, w se mai notează
⟨𝐯,𝐰⟩, între croșete și se mai numește „dot–product”; produsul
vectorial se mai notează [v, w], între paranteze mari și se mai
numește „cross–product”.
În continuare, fixăm un reper ortonormal {O; 𝐞1, 𝐞2, 𝐞3}.
Evident, 𝐞1 × 𝐞2 = 𝐞3, 𝐞2 × 𝐞3= 𝐞1, 𝐞3 × 𝐞1 = 𝐞2, 𝐞1 × 𝐞1 =
𝟎, 𝐞2 × 𝐞2 = 𝟎, 𝐞3 × 𝐞3 = 𝟎, 𝐞2 × 𝐞1 = −𝐞3, 𝐞3 × 𝐞2 = − 𝐞1 și
𝐞1 × 𝐞3 = −𝐞2.
Proprietăți ale PV
PV 1. Dacă v, wV3, atunci vw este un vector
perpendicular și pe v și pe w; în plus, ‖𝐯 × 𝐰‖ = 𝑣 · 𝑤 · sin 𝜃;
PV 2. Pentru orice v, wV3, 𝐯 × 𝐰=𝐰× 𝐯
(anticomutativitate);
PV 3. 𝐯 × (𝐰 +𝐰′) = 𝐯 × 𝐰 + 𝐯 ×𝐰′ (distributivitatea
PV în raport cu adunarea);
PV 4. Dacă v, w V3 și 𝛼 ∈ ℝ, atunci v× (𝛼𝐰) =
𝛼(𝐯 × 𝐰) = 𝐯 × (𝛼𝐰) (balansarea scalarului);
PV 5. 𝐯 × 𝐰 este nul ⇄ unul din vectori este nul sau v, w
sunt coliniari;
PV 6. Dacă v=ae1+be2+ce3, v=ae1+be2+ce3, atunci
v × 𝐰 = |𝐞1 𝐞2 𝐞3𝑎 𝑏 𝑐𝑎′ 𝑏′ 𝑐′
|, (13)
unde acest „determinant” se dezvoltă numai după linia întâi.
Afirmațiile PV 1, PV 2, PV 4 și PV 5 rezultă direct din
definiție. Proprietatea PV 3 este mai dificil de demonstrat. Pentru
demonstrație (nebanală!) putem presupune că vectorii sunt nenuli
și că au același punct de aplicație A. Fie P planul trecând prin A
și perpendicular pe v (figura 1.20). Dacă w1 este proiecția
40
ortogonală a vectorului w pe planul P, atunci v×𝐰 = 𝐯 × 𝐰1
(aplicând definiția); în plus, vectorul 𝐯 × 𝐰1 are suportul conținut
în P și este obținut din 𝐰1 prin rotire cu 𝜋
2 și multiplicare cu v.
Notând s=𝐰×𝐰′ și s1 proiecția lui s pe P, rezultă
v× (𝐰+𝐰′) = 𝐯 × 𝐬 = 𝐯 × 𝐬1 = 𝐯 × (𝐰1 +𝐰′1) =⏞(∗)
𝐯 × 𝐰1 +
𝐯 × 𝐰′1 = 𝐯 × 𝐰+ 𝐯 × 𝐰′. Relația () rezultă observând că
rotind un paralelogram în planul P cu 𝜋
2 și multiplicând laturile lui
cu v, se obține tot un paralelogram.
Fig. 1.20
Rămâne de demonstrat PV 6. Aplicând distributivitatea,
adică desfacerea parantezelor, rezultă v×𝐰 = (𝑎𝐞1 + 𝑏𝐞2 +
𝑐𝐞3) × (𝑎′𝐞1 + 𝑏
′𝐞2 + 𝑐′𝑒3) = 𝑎𝑎
′𝐞1 × 𝐞1 + 𝑎𝑏′𝐞1 × 𝐞2 +
𝑎𝑐′𝐞1 × 𝐞3 + 𝑏𝑎′𝐞2 × 𝐞1 +⋯.
Ținând cont că:
𝐞1 × 𝐞1 = 𝟎, 𝐞1 × 𝐞2 = 𝐞3, 𝐞2 × 𝐞1 = −𝐞3 etc, se obține
după calcul relația (13).
Atenție. Nici PV nu este asociativ:
v × (𝐰 × 𝐰1) ≠ (𝐯 × 𝐰) × 𝐰1. Din acest motiv,
produsele vectoriale trebuie puse în paranteze.
41
Produs mixt
Reamintim acum produsul mixt, care „amestecă” PS și
PV. Presupunem fixat un reper ortonormal 3D {O;e1,e2,e3}.
Definiția 1.10: Pentru orice trei vectori a, b, cV3,
produsul lor mixt (PM) este scalarul a·(b×c).
Proprietăți ale PM
PM 1. Dacă a=𝑎1𝐞1 + 𝑎2𝐞2 + 𝑎3𝐞3, 𝐛 = 𝑏1𝐞1 + 𝑏2𝐞2 +
𝑏3𝐞3, 𝐜 = 𝑐1𝐞1 + 𝑐2𝐞2 + 𝑐3𝐞3, atunci
a·(b ×c)=|
𝑎1 𝑎2 𝑎3𝑏1 𝑏2 𝑏3𝑐1 𝑐2 𝑐3
|, (14)
adică PM a trei vectori este un scalar egal cu determinantul
componentelor lor scalare.
PM 2. a·(b × c) este egal în modul cu volumul
paralelipipedului construit pe vectorii a, b, c (figura 1.21).
Fig.1.21
PM 3. PM este nul dacă unul din vectori este nul sau doi
dintre ei sunt coliniari; mai general, PM este nul ⇄ cei trei vectori
sunt coplanari (adică suporturile lor sunt paralele cu același plan).
Demonstrăm PM 1. Avem:
b×c = |
𝐞1 𝐞2 𝐞3𝑏1 𝑏2 𝑏2𝑐1 𝑐2 𝑐3
| = |𝑏2 𝑏3𝑐2 𝑐3
| 𝒆1 − |𝑏1 𝑏3𝑐1 𝑐3
| 𝐞2 + |𝑏1 𝑏2𝑐1 𝑐2
| 𝐞3
42
Și
a·(b×c)=𝑎1 |𝑏2 𝑏3𝑐2 𝑐3
| − 𝑎2 |𝑏1 𝑏3𝑐1 𝑐3
| + 𝑎3 |𝑏1 𝑏2𝑐1 𝑐2
| și rezultă
relația (14).
Pentru PM 2, putem presupune că vectorii sunt nenuli și
că au același punct de aplicație. În general, v·w=v·prvw deci
a·(b ×c)=‖ 𝐛 × 𝐜 ‖·prbxca. Dar ‖ 𝐛 × 𝐜 ‖ este egal cu aria A a
paralelogramului construit pe vectorii b, c. Apoi notăm cu h
proiecția ortogonală a vectorului a pe vectorul b ×c. Apoi,
proiecția scalară prbxca=휀h, unde 휀 = ±1 după cum h are sau nu
același sens cu b ×c. Rezultă că |𝐚 · (𝐛 × 𝐜) | = 𝐴 · ℎ=volumul
paralelipipedului construit pe vectorii a, b, c.
Notă: Conform PM 1, proprietățile de calcul ale
produsului mixt rezultă din reformularea proprietăților
determinanților. Atunci PM 3 este o consecință directă. Adăugăm
că dacă intervertim doi vectori, atunci PM își schimbă semnul
(căci așa se întâmplă cu un determinant prin intervertirea a două
linii): a·(c ×b)=− 𝐚 · (𝐛 × 𝐜) etc. Iar dacă se face o permutare
circulară a celor trei vectori, produsul mixt nu se modifică:
a·(b ×c)=c·(a ×b)=b·(c ×a).
Un fapt important este următorul: aplicând proprietățile
anterioare, avem:
a·(b ×c)=−𝐜 · (𝐛 × 𝐚) = 𝐜 · (𝐚 × 𝐛) = (𝐚 × 𝐛) · 𝐜.
Așadar, a·(b ×c)=(a ×b)·c și din această cauză, PM
a·(b ×c) se poate nota fără ambiguitate (a, b, c), ceea ce este
folosit în mod curent.
43
Dublu produs vectorial (DPV)
Dacă a, b, c sunt trei vectori din V3, atunci are loc formula
lui Gibbs:
a×(b×c)=(a·c)b–(a·b)c=|b c
(a·c) (c·b)|. (15)
Fără micșorarea generalității, putem alege un reper
ortonormal {O; e1, e2, e3}, astfel încât a=e3. Formula (15) se
obține prin calcul direct, explicitând cei doi membri ai formulei.
Notă: Pentru memorizare, formula lui Gibbs se scrie
a×(b ×c)=b(a·c)–c(a·b) și se mai numește formula „BAC–
CAB”. Vectorul DPV a×(b ×c) este o combinație liniară a
vectorilor b, c din paranteză (presupuși nenuli și necoliniari); ca
atare, el are suportul conținut în planul determinat de b și c.
Să recapitulăm ... Reținem că PS (respectiv PV) se
utilizează în relații de perpendicularitate (respectiv coliniaritate),
iar PM în relații de coplanaritate. Apoi, PS permite calculul
lungimilor de vectori (v=√𝐯 · 𝐯) sau măsurilor unghiurilor dintre
vectori (conform (11)); PV este util pentru calculul ariilor
triunghiurilor (1
2‖𝐯 × 𝐰‖), iar scalarul PM pentru calculul
volumelor paralelipipedelor sau tetraedrelor (1
6|𝐚 · (𝐛 × 𝐜)|).
§1.4. Alte sisteme de coordonate în plan sau în spațiu
și repere mobile
Coordonatele unui punct sunt seturi de numere care
permit localizarea cu precizie a acelui punct. De exemplu, pentru
a cunoaște poziția unui punct în plan, este necesară fixarea unui
reper și determinarea coordonatelor carteziene sau polare. Iar pe
suprafața Pământului, ignorând altitudinea, un punct este bine
44
determinat dacă se cunosc longitudinea și latitudinea. Sistemul
GPS de cartografiere a dus la „paroxism” aceste disponibilități ale
sateliților și observatorilor tereștri.
Pentru multe probleme, reperele carteziene (sistemele
carteziene de coordonate) sunt utile, dar există și alte sisteme de
coordonate care pot fi mai convenabile. Astfel, în probleme cu
simetrie centrală (simetrie față de un punct) se recomandă
trecerea la coordonate polare în plan sau sferice în spațiu, după
cum în cazul simetriilor axiale (de exemplu, propagarea undelor
electromagnetice în antene sau studiul transmisiei căldurii prin
țevi), sunt binevenite coordonate cilindrice.
Coordonate polare în plan
Fie un plan P raportat la un reper ortonormal
{O;e1,e2}xOy. Poziția unui punct curent MP poate fi precizată
nu doar prin perechea (x,y) ∈ ℝ2 a coordonatelor carteziene,
astfel încât 𝑂𝑀 = 𝑥𝐞1 + 𝑦𝐞2. Dacă 𝑀 ≠ 𝑂, se pot considera raza
polară 𝜌 = d(𝑂,𝑀) și unghiul polar 𝜃 dintre semidreptele Ox și
OM (figura 1.22).
Fig. 1.22
Evident, 𝜌 > 0 ș𝑖 𝜃 ∈ [0,2𝜋). Dacă M=O, atunci 𝜌 = 0,
este nedeterminat și au loc relațiile:
45
𝑥 = 𝜌 cos 𝜃, 𝑦 = 𝜌 sin 𝜃, (16)
valabile nu numai în cadranul întâi. Aplicația,
𝐹 ∶ 𝐷 → ℝ2, (𝜌, 𝜃) ↦ (𝑥, 𝑦) = (𝜌 cos 𝜃, 𝜌 sin 𝜃) (17)
unde 𝐷 = {(𝜌, 𝜃)|𝜌 > 0, 𝜃 ∈ [0,𝜋
2) ∪ (
𝜋
2,3𝜋
2) ∪ (
3𝜋
2, 2𝜋)} este
numită trecerea de la coordonate polare la coordonate carteziene.
Bineînțeles, trecerea inversă este dată de relațiile
𝜌 = √𝑥2 + 𝑦2 și tg 𝜃 =𝑦
𝑥 (unde 𝜃 este ales astfel încât să fie în
același cadran cu punctul (x, y)).
Așa cum e1 arată sensul creșterii abscisei x a punctului
curent M, iar e2 sensul creșterii ordonatei y, tot astfel putem defini
versori care descriu sensul creșterii lui sau . Pentru aceasta,
considerăm vectorul de poziție al lui M, anume:
r=xe1+ye2=(𝜌 cos 𝜃)𝐞1 + (𝜌 sin 𝜃)𝐞2
și vitezele de variație ale lui r în raport cu și , exprimate prin
vectorii–derivate parțiale:
𝜕𝐫
𝜕𝜌= cos 𝜃𝐞1 + sin 𝜃𝐞2 și
𝜕𝐫
𝜕𝜃= −(𝜌 sin 𝜃)𝐞1 + (𝜌 cos 𝜃) 𝐞2.
Mărimile acestor vectori sunt ‖𝜕𝐫
𝜕𝜌‖ = √cos2𝜃 + sin2𝜃=1
și ‖𝜕𝐫
𝜕𝜃‖ = 𝜌. Perechea (1, ) poartă numele de parametrii lui
Lamé. Versorii lor sunt notați:
𝐮𝜌 = cos 𝜃 𝐞1 + sin 𝜃 𝐞2 și
𝐮𝜃 = −(sin 𝜃)𝐞1 + (cos 𝜃)𝐞2 (17)
Evident, 𝐮𝜌 · 𝐮𝜃 = −cos 𝜃 sin 𝜃 + sin 𝜃 cos 𝜃 = 0 deci uρ⊥uθ.
În fiecare punct M din plan, acești vectori arată ca în figura 1.23.
46
Fig. 1.23
În timp ce reperul ortonormal {O;e1,e2} este „fix”,
reperul ortonormal 2D {M; 𝐮𝜌, 𝐮𝜃} este mobil, variind odată cu
punctul M. De exemplu, în lungul semiaxei pozitive Ox, 𝜃 = 0 și
conform (17), 𝐮𝜌 = 𝐞1, 𝐮𝜃 = 𝐞2. Dar în lungul semiaxei negative
Ox´, 𝜃 = 𝜋 și 𝐮𝜌 = −𝐞1 ,𝐮𝜃 = −𝐞2. În lungul semiaxei pozitive
Oy, 𝜃 =𝜋
2 și 𝐮𝜌 = 𝐞2, 𝐮𝜃 = −𝐞1.
Mulțimea 𝐶𝑎 = {𝑀|𝜌 = 𝑎, cu 𝑎 > 0 constant} este un
cerc cu centrul în O de rază a, iar mulțimea
𝐶𝑏 = {𝑀|𝜃 = 𝑏, 𝑏 ∈ ℝ} este o semidreaptă cu capătul în O
(figura 1.24).
Fig. 1.24
În punctul T, având coordonatele polare a, b, versorii
𝐮𝜌 și 𝐮𝜃 corespunzători sunt tangenți la „curbele” Ca și Cb
47
respectiv. În lungul dreptei Cb, variază , iar în lungul cercului
Ca variază .
Coordonate sferice în spațiu
Considerăm un reper ortonormal în spațiul fizic
S,{O; 𝐞1, 𝐞2, 𝐞3} ≡ 𝑂𝑥𝑦𝑧. Fie M un punct oarecare nesituat pe
axa Oz, pe care îl proiectăm pe planul xOy în punctul 𝑀′. Notăm
r=d(O,M), raza polară a lui M, = unghiul dintre semidreptele
OM și Oz (numit colatitudinea lui M) și =unghiul dintre
semidreptele 𝑂𝑀′ și Ox (numit longitudinea lui M).
În general, r>0, 𝜃 ∈ (0, 𝜋) și 𝜑 ∈ [0,2𝜋). Se mai notează
𝜌 = 𝑂𝑀′. Dacă M aparține axei Oz, atunci 𝜑 este nedeterminat și
𝜌 = 0. Ducem 𝑀′𝑀1 ⊥ 𝑂𝑥,𝑀′𝑀2 ⊥ 𝑂𝑦 și 𝑀𝑀3 ⊥ 𝑂𝑧.
Dacă M are coordonatele carteziene x, y, z, atunci
𝑀′(𝑥, 𝑦, 0),𝑀1(𝑥, 0,0),𝑀2(0, 𝑦, 0) și 𝑀3(0,0, 𝑧). Evident,
𝜌 = 𝑂𝑀′ = 𝑟 sin 𝜃 și 𝑀𝑀3 = 𝜌 = √𝑥2 + 𝑦2; (fig.1.25).
Fig. 1.25
Tripletul (𝑟, 𝜃, 𝜑) formează coordonatele sferice ale lui
M. Justificarea denumirii este aceea că dacă 𝑟 = 𝑟0, constant,
atunci M descrie o sferă cu centrul în O și rază 𝑟0; dacă 𝜃 = 𝜃0,
constant, atunci punctul M descrie un con cu vârful în origine și
48
axa Oz; iar dacă 𝜑 = 𝜑0, constant, atunci M se află într-un
semiplan care trece prin axa Oz. Au loc relațiile:
𝑥 = 𝜌 cos𝜑 = 𝑟 sin 𝜃 cos𝜑 , 𝑦 = 𝜌 sin𝜑 =
= 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜑 , 𝑧 = 𝑟 cos 𝜃, (18)
care dau legătura între coordonate carteziene și cele sferice ale
unui punct curent. Invers, cunoscând x, y, z, se determină r, 𝜃, 𝜑;
de exemplu:
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2, cos 𝜃 =𝑧
√𝑥2+𝑦2+𝑧2, tg 𝜑 =
𝑦
𝑥 etc.
Dăm acum expresia vectorului de poziție r=𝑂𝑀 ;
conform (18),
r=𝑟 sin 𝜃 cos𝜑 𝐞1 + 𝑟 sin 𝜃 sin𝜑 𝐞2 + 𝑟 cos 𝜃 𝐞3. (19)
Pentru a determina direcția și sensul mișcării punctului
mobil M dacă r (𝜃 sau 𝜑 ) cresc, trebuie calculate vitezele de
variație ale lui r în raport cu r, 𝜃 sau 𝜑, adică derivatele
parțiale respective. Conform (19), ținând 𝜃 și 𝜑 constante, avem:
𝜕𝐫
𝜕𝑟= sin 𝜃 cos𝜑 𝐞1 + sin 𝜃 sin𝜑 𝐞2 + cos 𝜃 𝐞3; ‖
𝜕𝐫
𝜕𝑟‖ = 1.
Apoi,
𝜕𝐫
𝜕𝜃= 𝑟cos𝜃 cos𝜑 𝐞1 + 𝑟cos 𝜃 sin𝜑 𝐞2 − 𝑟 sin 𝜃 𝐞3 și‖
𝜕𝐫
𝜕𝜃‖ = 𝑟.
În fine,
𝜕𝐫
𝜕𝜑= − 𝑟 sin𝜃 sin𝜑 𝐞1 + 𝑟 sin 𝜃 cos𝜑 𝐞2 și ‖
𝜕𝐫
𝜕𝜑‖ = 𝑟 sin 𝜃.
Mărimile acestor vectori sunt numite parametrii lui
Lamé: 1, r, r sin 𝜃. Versorii acestora sunt:
𝐮𝑟 = sin 𝜃 cos𝜑 𝐞1 + sin 𝜃 sin 𝜑 𝐞2 + cos 𝜃 𝐞3 = 𝐫
𝑟 ;
𝐮𝜃 = cos 𝜃 cos𝜑 𝐞1 + cos 𝜃 sin𝜑 𝐞2 − sin 𝜃 𝐞3 și
𝐮𝜑 = −sin𝜑 𝐞1 + cos𝜑 𝐞2.
49
Se observă că 𝐮𝑟 · 𝐮𝜃 = 0, 𝐮𝑟 · 𝐮𝜑 = 0 și 𝐮𝜃 · 𝐮𝜑 = 0
deci reperul {M; 𝐮𝑟 , 𝐮𝜃, 𝐮𝜑} este un reper ortonormal 3D mobil
în spațiul S.
Coordonate cilindrice în spațiu
Considerând din nou figura 1.25, tripletul (𝜌, 𝜑, 𝑧)
formează coordonatele cilindrice ale punctului curent M(x, y, z).
Justificarea denumirii este aceea că dacă 𝜌 = 𝜌0, constant, atunci
M descrie un cilindru circular drept infinit având Oz ca axă; dacă
𝜑 = 𝜑0, atunci M se află într-un semiplan trecând prin axa Oz, iar
dacă z=z0, constant, atunci M descrie un plan paralel
cu planul xOy.
În acest caz, legătura dintre coordonatele carteziene și cele
cilindrice, este dată de relațiile:
𝑥 = 𝜌 cos𝜑 ; 𝑦 = 𝜌 sin𝜑 ; 𝑧 = 𝑧; 𝜌 = √𝑥2 + 𝑦2; tg 𝜑 =𝑦
𝑥
deci
r=𝑂𝑀 = 𝜌 cos𝜑 𝐞1 + 𝜌 sin𝜑 𝐞2 + 𝑧𝐞3. (20)
Atunci,
𝜕𝐫
𝜕𝜌= cos𝜑 𝐞1 + sin𝜑 𝐞2 și
𝐮𝜌 = vers (𝜕𝐫
𝜕𝜌) = cos𝜑 𝐞1 + sin𝜑 𝐞2.
Apoi,
𝜕𝐫
𝜕𝜑= −𝜌 sin𝜑 𝐞1 + 𝜌 cos𝜑 𝐞2 și
𝐮𝜑 = vers (𝜕𝐫
𝜕𝜑) = −sin𝜑 𝐞1 + cos𝜑 𝐞2.
În fine, 𝜕𝐫
𝜕𝑧= 𝐞3 și 𝐮𝑧 = vers (
𝜕𝐫
𝜕𝑧) = 𝐞3. Mărimile
vectorilor 𝜕𝐫
𝜕𝜌,𝜕𝐫
𝜕𝜑,𝜕𝐫
𝜕𝑧 sunt respectiv 1, , 1 (parametrii lui Lamé).
50
Deoarece 𝐮𝜌 · 𝐮𝜑 = 0, 𝐮𝜌 · 𝐮𝑧 = 0 și 𝐮𝜑 · 𝐮𝑧 = 0,
rezultă că reperul mobil 3D {M; 𝐮𝜌, 𝐮𝜑 , 𝐮𝑧} este ortonormal,
variabil odată cu punctul M.
Vom adăuga și alte proprietăți, după ce vom studia,
bineînțeles cu ajutorul vectorilor, mișcarea curbilinie. Nu
întâmplător coordonatele sferice și cele cilindrice sunt un caz
particular al coordonatelor curbilinii în spațiu.
Întrebare: Sunt necesare aceste noi tipuri de coordonate și
repere mobile?
Un răspuns: vom vedea că există diverse probleme care se
rezolvă mai simplu dacă se aplică aceste coordonate; de exemplu,
la studiul mișcării în lungul unei curbe cu longitudine constantă
pe o planetă sferică (=constant), sau la studiul câmpului
magnetic în jurul unui conductor electric (=constant).
51
CAPITOLUL 2: VECTORI ABSTRACȚI,
APLICAȚII LINIARE, COMPONENTE
COVARIANTE ȘI CONTRAVARIANTE
§2.1. Bază a unui spațiu vectorial
Până acum, am considerat vectorii „clasici”, priviți ca
entități definite prin mărime, direcție și sens. Prin introducerea
reperelor 2D sau 3D, am observat că aceeași vectori pot fi
caracterizați și identificați cu seturi de numere, omițând „structura
lor fizică”. Se pierde în concretețe, dar se câștigă altceva. Epoca
noastră este dominată de tehnologia informației și una din ideile–
fanion este cea a „digitalizării”, a asocierii de numere convenabile
celor mai diverse obiecte fizice și concepte. Algebrizarea și
digitalizarea sunt opuse geometrizării, dar sunt strâns legate de
procesul de abstractizare; orice efort în acest sens va fi răsplătit.
Matematica secolului al XX–lea a introdus ideea utilizării
noțiunilor prin proprietățile lor, admise ca „reguli de joc”,
omițând astfel materializarea lor vulgară (de tipul vectorilor ca
țepe sau ale triunghiurilor ca plăci). Aceasta nu împiedică
folosirea argumentelor de tip „voilà!”, euristice.
Definirea vectorilor prin seturile lor de coordonate relativ
la un reper sau altul permite răspunsul la întrebări de tipul: ce se
întâmplă cu un vector dacă se modifică reperul?
Răspunsul: nu se întâmplă nimic cu vectorul în sine (care
are un caracter absolut), ci doar cu componentele lui. Vitezele,
accelerațiile, forțele, intensitățile etc. nu se modifică în esența lor;
vor diferi însă numerele care le vor fi asociate! Tot astfel,
52
scalarii – numerele, constantele fizice, temperaturile, masele,
sarcinile electrice etc. Se modifică doar dacă le dăm alte moduri
de reprezentare (de exemplu, trecând în baza 2 sau modificând
scala sau unitățile de măsură).
Un ultim argument este acela că trebuie pregătită definirea
tensorilor, care sunt în esență entități definite prin mărime și mai
multe direcții.
Spații vectoriale
S-a constatat că multe obiecte matematice – polinoame,
matrice, funcții etc. – au proprietăți similare cu cele ale vectorilor;
se adună, se înmulțesc cu scalari etc. Alte operații trebuie
introduse cu precauție, ținând cont de specific; de exemplu,
vectorii nu se împart și nu se logaritmează etc. Ținând cont de
acest fapt, s-a dezvoltat studiul „vectorilor abstracți”, care sunt
obiecte matematice de natură neprecizată (ca elemente ale unei
anumite mulțimi, numite spațiu vectorial) și care respectă anumite
„reguli de joc”, anume cele 9 axiome de spațiu vectorial.
Definiția 2.1: Se numește spațiu vectorial (≡ liniar)
orice mulțime nevidă V pe care sunt definite o operație algebrică
internă numită adunare (cu eticheta „+”) și o operație externă de
multiplicare cu scalari (𝛼, 𝑥) ↦ 𝛼𝑥, astfel încât (V,+,0V) să fie
grup comutativ și în plus, ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉 și ∀𝛼, 𝛽 ∈ ℝ, 𝛼(𝑥 + 𝑦) =
𝛼𝑥 + 𝛼𝑦 , (𝛼 + 𝛽)𝑥 = 𝛼𝑥 + 𝛽𝑥 , 𝛼(𝛽𝑥) = (𝛼𝛽)𝑥 și 1x=x.
Elementele lui V se numesc vectori (abstracți), iar
numerele reale ca mutiplicatori de vectori – scalari. Prototipul
spațiilor vectoriale reale le constituie mulțimea V2(P) a vectorilor
liberi având suportul conținut în planul P și mulțimea V3 a
vectorilor liberi din spațiu (cf. § 1.1).
53
Dacă V este un spațiu vectorial real și notăm 0V=0 vectorul
nul (care este tocmai elementul neutru la adunare), atunci pentru
orice 𝛼 ∈ ℝ, 𝛼𝟎𝑉 = 𝟎𝑉 și oricare ar fi 𝑥 ∈ 𝑉 , 0ℝ𝑥 = 𝟎𝑉. Iar
dacă 𝛼𝑥 = 𝟎𝑉, atunci fie 𝛼 = 0ℝ , fie 𝑥 = 𝟎ℝ .
Reținem că în orice spațiu vectorial există un vector
abstract marcat, anume vectorul nul 𝟎𝑉 (pe care îl vom nota
simplu 0); apoi, pentru 𝑥 ∈ 𝑉, există opusul −𝑥 ∈ 𝑉 și pentru
orice număr finit de scalari 𝛼1, … , 𝛼𝑛 și tot atâția vectori abstracți
𝑥1, … , 𝑥𝑛, se poate considera combinația liniară ∑ 𝛼𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 . Dar
pentru a defini lungimi de vectori, versori, unghiuri între vectori
nenuli, paralelograme, arii, ortogonalitate etc., este necesară
definirea unui produs scalar (PS) abstract.
Un alt exemplu important de spațiu vectorial îl constituie
spațiul n–dimensional ℝ𝑛 (𝑛 ≥ 1 fiind un întreg fixat); vectorii
din ℝ𝑛, numiți n–dimensionali, sunt seturi ordonate
x=(𝑥1, … , 𝑥𝑛) de câte n numere reale. Folosirea indicilor etaj va
fi explicată mai târziu. Dacă y=(𝑦1, … , 𝑦𝑛) ∈ ℝ𝑛, atunci prin
convenție x=y ⇄ 𝑥𝑗 = 𝑦𝑗 pentru orice j (1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛). Vectorul
nul este setul 0 având toate cele n componente nule. În ℝ𝑛 există
și alți vectori remarcabili:
e1=(1,0,...,0); e2=(0,1,0,...,0),..., en=(0,0,...,1), (1)
numiți vectorii bazei canonice. Considerând simbolul lui
Kronecker 𝛿𝑗𝑖 = {
1 dacă 𝑖 = 𝑗0 dacă 𝑖 ≠ 𝑗
, atunci 𝐞𝑖 = (𝛿𝑗𝑖); 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛.
Uneori acesta este notat 𝛿𝑖𝑗
Exemple
1) Fie V=ℝ3; atunci 0V=(0,0,0); e1=(1,0,0), e2=(0,1,0),
e3=(0,0,1).
54
Pentru orice vector x=(x1,x2,x3), avem
x1e1+x2e2+x3e3=(x1,x2,x3). Deci 𝑥 = ∑ 𝑥𝑘𝐞𝑘3𝑘=1 . Mai general,
orice vector x ∈ ℝ𝑛 se scrie x=∑ 𝑥𝑘𝐞𝑘𝑛𝑘=1 .
2) Dacă V este un spațiu vectorial și dacă 𝑊 ⊂ 𝑉 este o
submulțime, astfel încât, ori de câte ori 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑊 și 𝛼 ∈ ℝ, să
rezulte că x+y ∈ 𝑊 și 𝛼𝑥 ∈ 𝑊, atunci W este un spațiu vectorial
(numit subspațiu al lui V); desigur, 0V ∈ 𝑊. De exemplu, luând
V=V3, mulțimea W a vectorilor având suportul conținut într-un
plan trecând prin origine formează un subspațiu al lui V.
Notă: Printr-o convenție propusă de Einstein și acceptată
de toți fizicienii și matematicienii, în sumele unde un indice etaj
și un indice subsol se repetă, se omite „semnul ” și se
subînțelege că se face sumarea după acel indice repetat; indicii
care se repetă sunt numiți „muți” și nu contează modul în care
sunt notați. De regulă, se înțelege din context care este domeniul
de variație al valorilor indicilor muți.
Exemple
1) Suma ∑ 𝑥𝑘𝐞𝑘3𝑘=1 este notată 𝑥𝑘𝐞𝑘 sau 𝑥𝑗𝐞𝑗 omițând
simbolul ∑ .3k=1 În mod similar:
∑ 𝑥𝑝𝐞𝑝3𝑘=1 = 𝑥𝑝𝐞𝑝 = 𝑥
𝑘𝐞𝑘 = 𝑥1𝐞1 + 𝑥
2𝐞2 +⋯+ 𝑥𝑛𝐞𝑛. Apoi,
∑𝑥𝑝𝑘𝑦𝑝 = 𝑥𝑝𝑘𝑦𝑝 (sumă după p) deci rezultatul este o mărime 𝑧𝑘;
2) ∑ 𝑥𝑘𝛿𝑘𝑗𝑛
𝑗=1 = 𝑥𝑘𝛿𝑘𝑗= 𝑥𝑗;
3) ∑ 𝑥𝑝𝑞𝑦𝑝𝑟3
𝑝=1 este o mărime care poate fi notată
𝑥𝑝𝑞𝑦𝑝𝑟 = 𝑧𝑞
𝑟 .
Definiția 2.2: Pentru orice doi vectori n–dimensionali
x=(x1,...,xn), y=(y1,...,yn) din ℝ𝑛 se definește produsul scalar
euclidian:
⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝑥1𝑦1 +⋯+ 𝑥𝑛𝑦𝑛 (2)
55
(un număr real egal cu suma produselor componentelor). Se
extind fără dificultate proprietățile PS 1–PS 4 din § 1. 3. Se
definește norma euclidiană (lungimea) vectorului
n–dimensional x ca fiind acel număr real și pozitiv ‖𝑥‖ =radical
din suma pătratelor componentelor; adică:
‖𝑥‖ = ((𝑥1)2 +⋯+ (𝑥𝑛)2)1 2⁄ .
Dacă vectorii x, y sunt nenuli, atunci se definește măsura
„unghiului” dintre ei, prin:
cos 𝜃 =⟨𝑥,𝑦⟩
‖𝑥‖·‖𝑦‖, 𝜃 ∈ [0, 𝜋].
Se verifică ușor proprietățile unei norme:
N1 (pozitivitate). Pentru orice 𝑥 ∈ ℝ𝑛, ‖𝑥‖ ≥ 0
și ‖𝑥‖ = 0 ⇄ 𝑥 = 𝟎;
N2 (balansarea scalarului). Dacă x∈ ℝ𝑛 și 𝛼 ∈ ℝ, atunci
‖𝛼𝑥‖ = |𝛼| · ‖𝑥‖;
N3 (inegalitatea triunghiului). Dacă x, y∈ ℝ𝑛, atunci
‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖ + ‖𝑦‖.
Distanța euclidiană între punctele x, y din ℝ𝑛 este
‖𝑥 − 𝑦‖ deci d(0,x)=‖𝑥‖. Punctul x se poate identifica cu
„vectorul” 𝑂𝑥 (ca un reflex al bijecției lui Descartes).
Exemplu: Dacă x=(1,2,3,0) și y=(2,1,1,2) în ℝ4, atunci
‖𝑥‖ = √1 + 22 + 32 = √14, ‖𝑦‖ = √10 și cos 𝜃 = 1
√140.
Desigur, ℝ1 = ℝ; am văzut că dacă P este un plan raportat
la un reper cartezian {O,e1,e2}xOy, atunci are loc bijecția lui
Descartes, prin care fiecărui punct M∈ 𝑃 se asociază perechea
coordonatelor sale carteziene x, y(𝑂𝑀 = 𝑥𝐞1 + 𝑦𝐞2).
56
În mod similar, fixând în spațiul fizic S un reper cartezian
{O;𝐞1, 𝐞2, 𝐞3} ≡ 𝑂𝑥𝑦𝑧, se definește bijecția lui Descartes
𝑓: 𝑃 → ℝ3, 𝑀 ↦ (𝑥, 𝑦, 𝑧); 𝑂𝑀 = 𝑥𝐞1 + 𝑦𝐞2 + 𝑧𝐞3.
Așadar, spațiile aritmetice ℝ2 și ℝ3 sunt direct legate de
Geometria analitică 2D sau 3D. Dar apare un prim șoc ... În timp
ce ℝ𝑛 are o existență algebrică asigurată pentru 𝑛 ≥ 4, au
dispărut interpretările geometrice directe. Se spune că raționăm
fără să vedem, folosind „ochiul minții”. Chiar și fizicienii,
inginerii sau economiștii sunt interesați de spațiile
n–dimensionale.
Exemplu: Spațio–timpul lui Minkowski M=ℝ4 nu este o
ficțiune matematică, ci este la fel de real ca orice alt obiect
matematic. Pentru matematicieni, existența unui obiect revine la
necontradicția lui și atât!
Un element E=(t, x, y, z)∈M este numit un eveniment
punctual (≡ un "flash") care se produce în punctul (x, y, z) și la
momentul t. Două evenimente E și E=(𝑡′, 𝑥′, 𝑦′, 𝑧′) sunt fizic
conectabile, dacă există și se poate transmite semnal de la unul la
celălalt, adică distanța poate fi acoperită cu cel mult viteza
luminii, ((𝑥 − 𝑥′)2 + (𝑦 − 𝑦′)2 + (𝑧 − 𝑧′)2)1 2⁄ ≤ 𝑐 · |𝑡 − 𝑡′|, unde
c este viteza luminii. Dacă 𝐸′ = 𝟎ℝ4, evenimentul E este fizic
conectabil cu 0 ⇄ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 𝑐2𝑡2 ≤ 0. Mulțimea
evenimentelor E fizic conectabile cu 0 în viitor (𝑡 > 0) este
C+={(𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑀 |𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 𝑐2𝑡2 ≤ 0, 𝑡 > 0}.
Această mulțime este numită sugestiv conul luminii sau
conul viitorului, cu vârful în 0; este imposibil de vizualizat. Cel
mult putem „contempla” secțiunea lui C+ cu hiperplanele y=0,
z=0, notată C+𝑠 , care este redată în figura 2.1. Pentru orice
57
eveniment E există câte un con al viitorului, în lungul
traiectoriilor.
Fig. 2.1
Nu extindem aceste dezvoltări, deoarece ne-am îndepărta
de scopul cărții. Menționăm, de asemenea, că o funcție reală
𝑓(𝑥1, … , 𝑥𝑛) de n variabile poate fi considerată ca o funcție de o
singură variabilă vectorială x=(𝑥1, … , 𝑥𝑛). De exemplu, dacă la
bordul unui automobil există 15 instrumente de măsură, se poate
considera ca evoluția acelui automobil este o funcție de 15
parametri reali. Așa s-a ajuns la parametri de stare și la studiul
evoluției în timp a stărilor, ceea ce a stimulat împletirea
geometriei multidimensionale cu concepte algebrice. Și totul a
plecat de la lărgirea viziunii asupra vectorilor!
Baze și digitalizarea vectorilor abstracți
Definiția 2.3: Fie V un spațiu vectorial real și k vectori
(abstracți) 𝑥1, … , 𝑥𝑘 ∈ 𝑉; 𝑘 ≥ 1. Se spune că acești vectori sunt
liniar independenți (≡formează o familie liniar independentă)
dacă din ipoteza că ∑ 𝛼𝑗𝑥𝑗 = 𝟎𝑉𝑘𝑗=1 , rezultă că toți scalarii 𝛼𝑗 sunt
nuli. De asemenea, se spune că vectorii 𝑥1, … , 𝑥𝑘 generează
spațiul V (≡ formează o familie de generatori), dacă orice vector
din V este o combinație liniară a lor.
58
Dacă vectorii 𝑥1, … , 𝑥𝑘 nu sunt liniar independenți, atunci
ei se numesc liniar dependenți; în acest caz, există scalari
𝛼1, … , 𝛼𝑘 , nu toți nuli, astfel încât ∑ 𝛼𝑗𝑥𝑗 = 𝟎𝑉𝑘𝑗=1 .
Exemple
1) Doi vectori nenuli din V2(P) sunt liniar independenți
⇄ dreptele suport ale lor sunt concurente neparalele. Trei vectori
nenului din V3 sunt liniar independenți ⇄ sunt necoplanari.
2) Fie 𝑉 = ℝ3[𝑋] mulțimea polinoamelor cu coeficienți
reali de grad cel mult 3. Polinoamele 𝑢1 = 𝑋3 + 2𝑋2, 𝑢2 =
𝑋2 și 𝑢3 = 𝑋3 + 𝑋2 sunt liniar dependente, deoarece 𝑢1 − 𝑢2 −
𝑢3 = 0.
Definiția 2.4: Un spațiu vectorial V se numește de
dimensiune finită dacă există o familie finită
ℬ = {𝐞1, … , 𝐞𝑘}, (3)
formată din vectori liniar independenți și care generează
spațiul V.
Se poate arăta că spațiul V are mai multe baze diferite
(chiar o infinitate!), dar toate au același număr de vectori, numit
dimensiunea lui V; se scrie dim V=k.
Dacă dim V=k, k vectori liniar independenți (atâția cât
dimensiunea!) formează o bază; similar, k generatori formează
bază. Nu dăm detalii.
Exemple
1) Fie V=V2(P), unde planul P este raportat la un reper
cartezian ortonormal {O;e1,e2}.Vectorii e1, e2 formează o bază a
lui V2(P); căci dacă 𝛼𝐞1 + 𝛽𝐞2 = 𝟎, atunci rezultă 𝛼 = 0, 𝛽 = 0
iar relația (8) din § 1.2 arată că ei generează V2(P). Dar există o
infinitate de alte baze pentru V2(P); de exemplu, considerând
vectorii 𝐟1 = 𝐞1 + 𝑎𝐞2 și 𝐟2 = 𝐞1 + 𝐞2, cu 𝑎 ≠ 1.
59
2) Fie V=V3 și {O;𝐞1, 𝐞2, 𝐞3} un reper cartezian
ortonormal în spațiu. Atunci ℬ = {𝐞1, 𝐞2, 𝐞3} constituie o bază a
lui V3. Într-adevăr, dacă 𝛼1𝐞1 + 𝛼2 𝐞2 + 𝛼3 𝐞3 = 𝟎𝑉 și înmulțim
scalar cu 𝐞1, rezultă că 𝛼1 = 0 (căci 𝐞1 · 𝐞2 = 0, 𝐞1 · 𝐞3 = 0);
similar, înmulțind scalar cu 𝐞2 și cu 𝐞3, rezultă 𝛼2 = 0, 𝛼3 = 0.
Deci vectorii lui ℬ sunt liniar independenți. Apoi orice vector
v∈V3 este combinație liniară a vectorilor 𝐞1, 𝐞2, 𝐞3 (relația (9) din
§ 1. 2). Așadar, dim V3=3. Similar, dim V2(P)=2.
3) În spațiul aritmetic n–dimensional ℝ𝑛, vectorii
𝐞𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 explicitați în (1) formează baza canonică [Dacă
∑ 𝑥𝑘𝐞𝑘 = 𝟎𝑛𝑘=1 , atunci (𝑥1, … , 𝑥𝑛) = (0,… ,0) deci toți xk=0.
Apoi pentru orice x=(𝑥1, … , 𝑥𝑛) ∈ ℝ𝑛, 𝑥 = ∑ 𝑥𝑘𝐞𝑘𝑛𝑘=1 .]. Așadar,
dim ℝ𝑛 = 𝑛.
4) Mulțimea polinoamelor de grad ≤ 𝑝 cu coeficienți reali
formează un spațiu vectorial de dimensiune p+1, cu baza
canonică ℬ = {1, 𝑋, 𝑋2, … , 𝑋𝑝}. De asemenea, mulțimea Mm, n a
matricelor 𝑚 × 𝑛 cu coeficienți reali este un spațiu vectorial de
dimensiune mn, cu baza ℬ = {𝑀𝑖𝑗}; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 unde
matricea 𝑀𝑖𝑗 are toate elementele nule, cu excepția celui situat pe
linia i și coloana j, care este egal cu 1. Spațiul Mn(ℝ) al matricilor
pătratice de ordin n are dimensiunea n2.
5) Iată și un exemplu insolit. Să notăm cu R, G, B culorile
numite de bază (R=roșu, având lungimea de undă
𝜆𝐑 ≅ 700,0 mm; G=verde, cu 𝜆𝐆 ≅ 546,1 mm și B=albastru, cu
𝜆𝐁 ≅435,8 mm). Pentru orice altă culoare F, o lege a lui
Grassmann arată că există și sunt unici scalarii a, b, c ∈ ℝ astfel
încât F=aR+bG+cB. Transmisiile TV în culori sunt de fapt
transmisiile adaptate pentru culorile de bază, cu
calibrările necesare.
60
În continuare, vom considera exclusiv spații vectoriale de
dimensiune finită. Reținem că dimensiunea este numărul maxim
de vectori liniar independenți; de asemenea, dim V este numărul
de condiții necesare și suficiente pentru a determina un element
al lui V.
Notă importantă
Existența unei baze ℬ = {𝐞1, . . . , 𝐞𝑛} într-un spațiu
vectorial V permite, între altele, „digitalizarea” vectorilor
abstracți. Anume, pentru orice 𝑥 ∈ 𝑉 există un set de scalari
𝑥1, … , 𝑥𝑛 astfel încât 𝑥 = ∑ 𝑥𝑘𝐞𝑘𝑛𝑘=1 = 𝑥𝑘𝐞𝑘 (Einstein).
Acest set este unic, deoarece dacă x=∑ 𝛼𝑘𝐞𝑘𝑛𝑘=1 , atunci
∑ (𝑥𝑘 − 𝛼𝑘)𝐞𝑘𝑛𝑘=1 = 𝟎𝑉 și cum vectorii ek sunt liniar
independenți, rezultă 𝑥𝑘 − 𝛼𝑘 = 0, deci 𝑥𝑘 = 𝛼𝑘 pentru orice k.
În acest mod, vectorul abstract x se identifică prin setul
ordonat de scalari 𝑥1, … , 𝑥𝑛 , numite coordonatele (sau
componentele) lui x relativ la baza ℬ.
Ca atare, în loc de a manipula vectori, se prelucrează seturi
de numere asociate, perfect controlabile. Aceasta este o idee
fundamentală în proliferarea tehnicilor informatice; de exemplu,
domeniul Codificării sau cel al Recunoașterii Formelor
exploatează digitalizarea diverselor configurații (de exemplu,
electrocardiograme, recunoașterea vocii sau amprentelor, undele
seismice, undinele, codul genetic, codurile bancare sau militare
etc.).
61
§2.2. Transformări liniare
Transformare liniară, izomorfism
În unele probleme sau descrieri este necesar un anumit tip
de „transfer” de informație. De fapt, orice funcție 𝑓: 𝐴 → 𝐵,
𝑥 ↦ 𝑓(𝑥) transferă date din A în B. De asemenea, multe
transformări geometrice – rotații, omotetii, scalări – trebuie
descrise numeric („digitalizat”).
Definiția 2.5: Fie V, W sunt două spații vectoriale (reale).
O funcție 𝑓: 𝑉 → 𝑊 se numește transformare liniară
(≡aplicație liniară) dacă pentru orice vectori x, y ∈ 𝑉 și orice
scalar , avem:
𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) și 𝑓(𝛼𝑥) = 𝛼𝑓(𝑥). (4)
De aici rezultă că 𝑓(∑ 𝛼𝑘𝑥𝑘𝑛𝑘=1 ) = ∑ 𝛼𝑘𝑓(𝑥𝑘)
𝑛𝑘=1 pentru
𝑥𝑘 ∈ 𝑉 și 𝛼𝑘 scalari.
Înlocuind =0, rezultă că f (0V)=0W. Așadar, f „transferă”
informație de tip liniar (de exemplu, combinații liniare) de la V la
W. O transformare liniară 𝑓: 𝑉 → 𝑊 este bine determinată dacă
se cunosc valorile ei pe vectorii unei baze din V. Într-adevăr, fie
ℬ = {𝐞1, … , 𝐞𝑛} o bază în V și 𝑦𝑖 = 𝑓(𝐞𝑖) ∈ 𝑊. Pentru orice
𝑥 ∈ 𝑉 avem o scriere unică 𝑥 = ∑ 𝑏𝑘𝐞𝑘𝑛𝑘=1 . Așadar, scalarii bk și
vectorii yi sunt cunoscuți. Atunci valoarea 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑏𝑘𝑓(𝐞𝑘)𝑛𝑘=1
va fi ea însăși cunoscută!
Definiția 2.6: Transformarea liniară 𝑓: 𝑉 → 𝑊 se numește
izomorfism dacă este și bijectivă.
Două spații vectoriale V, W se numesc izomorfe dacă se
poate stabili un izomorfism 𝑓: 𝑉 → 𝑊. În acest caz, inversa
𝑓−1 ∶ 𝑊 → 𝑉 este de asemenea un izomorfism.
62
Dacă ℬ = {𝐞1, … , 𝐞𝑛} este o bază a lui V și 𝑓: 𝑉 → 𝑊 este
un izomorfism, atunci 𝑓(ℬ) = {𝑓(𝐞1),… , 𝑓(𝐞𝑛)} este o bază a lui
W. Se arată ușor că dacă două spații vectoriale sunt izomorfe,
atunci ele au aceeași dimensiune și reciproc.
Exemple
1) Orice spațiu vectorial V de dimensiune n este izomorf
cu ℝ𝑛; anume, fixând o bază ℬ = {𝐞1, … , 𝐞𝑛} a lui V, aplicația
𝑓:ℝ𝑛 → 𝑉, 𝑓(𝑥1, … , 𝑥𝑛) = ∑ 𝑥𝑘𝐞𝑘 ≡ 𝑥𝑘𝐞𝑘
𝑛𝑘=1 este un izomorfism.
Aplicația f este bijecția lui Descartes.
2) Funcțiile 𝑓: 𝑉 → ℝ se numesc funcționale pe V.
Explicităm funcționalele liniare 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ și pentru aceasta, fie
ℬ = {𝐞1, … , 𝐞𝑛} o bază a lui ℝ𝑛 (de exemplu, baza canonică).
Pentru orice 𝑥 ∈ ℝ𝑛, 𝑥 = (𝑥1, … , 𝑥𝑛) avem 𝑥 = 𝑥𝑘𝐞𝑘
deci 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥𝑘𝐞𝑘) = 𝑥𝑘𝑓(𝐞𝑘). Notăm 𝑐𝑘 = 𝑓(𝐞𝑘) deci
𝑐𝑘 ∈ ℝ. Așadar, 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥1, … , 𝑥𝑛) = ∑ 𝑐𝑘𝑥𝑘 ≡ 𝑐𝑘𝑥
𝑘𝑛𝑘=1 .
Deci funcționalele liniare pe ℝ𝑛 sunt polinoame omogene
de gradul întâi în variabilele x1,...,xn.
3) Fie 𝑉 = C[𝑎,𝑏]∞ mulțimea funcțiilor indefinit derivabile
pe intervalul [a, b]. Operația de derivare 𝐷: 𝑉 → 𝑉, 𝑓 ↦ 𝑓′ este o
transformare liniară. De asemenea, luarea integralei 𝐼: 𝑉 → ℝ ,
𝑓 ↦ ∫ 𝑓(𝑡)d𝑡𝑏
𝑎 este o funcțională liniară. În acest caz, spațiul
vectorial V este infinit–dimensional și ne interesează mai puțin.
Transformări geometrice în plan
Fixăm un plan P. Se numește transformare geometrică
a lui P orice funcție bijectivă 𝑓: 𝑃 → 𝑃. Dacă 𝐴 ∈ 𝑃, atunci
punctul 𝐴′ = 𝑓(𝐴) se numește transformatul (≡imaginea) lui A
prin f, iar dacă 𝐹 ⊂ 𝑃 este o figură, 𝐹′ = 𝑓(𝐹) se numește
63
transformata (≡imaginea) figurii F. Transformările geometrice
care păstrează distanțele și măsurile unghiurilor se numesc
deplasări (≡transformări rigide). Translațiile, rotațiile, simetriile
față de drepte fixate sunt exemple de deplasări.
Exemple
1) Fiind dat un vector v ∈ V2(P), translația de vector v
este funcția bijectivă 𝜏𝐯 ∶ 𝑃 → 𝑃 care asociază oricărui punct 𝐴 ∈
𝑃 acel unic punct 𝐴′ ∈ 𝑃, astfel încât 𝐴𝐴′ =v; (fig. 2.2). Dacă v,
w∈V2(P), atunci:
𝜏𝐯 ∘ 𝜏𝐰 = 𝜏𝐯 + 𝐰 și (𝜏𝐯)−1 = 𝜏−𝐯.
Așadar, translația de vector w urmată de translație de
vector v are același efect cu translația de vector v+w.
Fig. 2.2
2) Fixăm un punct O∈P și un număr real . Rotația de
unghi în jurul lui O este funcția bijectivă 𝜌𝜃 ∶ 𝑃 → 𝑃 care
asociază oricărui punct 𝐴 ∈ 𝑃 acel unic punct 𝐴′ ∈ 𝑃 astfel încât
𝑂𝐴′ = 𝑂𝐴 și măs 𝐴𝑂𝐴′ = 𝜃; (fig. 2.3), pentru 𝜃 =𝜋
2. Rotația se
presupune în sens invers acelor de ceas. Pentru orice 𝜃, 𝜃′ avem:
𝜌𝜃 ∘ 𝜌𝜃′ = 𝜌𝜃+𝜃′ și (𝜌𝜃)−1 = 𝜌−𝜃.
64
Fig. 2.3
3) Fixăm 𝑘 > 0 și un punct O ∈ P. Omotetia de centru O
și raport k este funcția bijectivă 𝜔𝑘 ∶ 𝑃 → 𝑃 care asociază oricărui
punct A ∈ P acel unic punct A ∈ P astfel încât punctele O, A, A
să fie coliniare și OA =k OA; fig. 2.4 pentru k=2.
Fig. 2.4
Translațiile și rotațiile sunt deplasări și figura deplasată F
este congruentă cu originalul F; dar omotetiile, nu (pentru k≠1),
figura F fiind asemenea, dar nu congruentă cu F. Bineînțeles,
translațiile și rotațiile conservă distanțele, măsurile unghiurilor și
ariile. Omotetiile conservă unghiurile dar amplifică distanțele cu
k și ariile cu k2. Translațiile nu sunt transformări liniare (pentru că
nu duc O în O), dar rotațiile și omotetiile, da.
65
Fixăm acum un reper {O; 𝐞1, 𝐞2}≡ 𝑥𝑂𝑦 în planul P și fie
v=𝑣1𝐞1 + 𝑣2 𝐞2. Prin translația 𝜏𝐯, punctul M(x,y) este
transformat în 𝑀′(𝑥′, 𝑦′) astfel încât 𝑀𝑀′ =v.
Așadar (𝑥′ − 𝑥)𝐞1 + (𝑦′ − 𝑦)𝐞2 = 𝑣1𝐞1 + 𝑣2𝐞2, de
unde 𝑥′ = 𝑥 + 𝑣1, 𝑦′ = 𝑦 + 𝑣2. Aceste relații se mai numesc
formulele translației.
Introducând matricele:
𝑇𝐯 = (1 0 𝑣10 1 𝑣20 0 1
), 𝑋 = (𝑥𝑦1) , 𝑋′ = (
𝑥′𝑦′1
),
formulele translației se scriu matriceal astfel:
𝑋′ = 𝑇𝐯 · 𝑋.
Matricea Tv este inversabilă, având ca inversă 𝑇−𝐯 deci
𝑋 = 𝑇−𝐯 · 𝑋′ și explicit, 𝑥 = 𝑥′ − 𝑣1, 𝑦 = 𝑦′ − 𝑣2.
Prin rotația 𝜌𝜃, punctul curent M(x, y) este transformat în
𝑀′(𝑥′, 𝑦′) astfel încât 𝑂𝑀′ = 𝑂𝑀 și măs(𝑀𝑂𝑀′ )= 𝜃; fig. 2.5.
Fig. 2.5
Notând OM=𝑂𝑀′ = 𝑟 și 𝛼 = măs(𝑂𝑥, 𝑂��) rezultă:
𝑥′ = 𝑟 cos(𝜃 + 𝛼) = 𝑟(cos 𝜃 cos 𝛼 − sin 𝜃 sin 𝛼) și
𝑦′ = 𝑟 sin(𝜃 + 𝛼) = 𝑟(sin 𝜃 cos 𝛼 + cos 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝛼).
Așadar, au loc următoarele formule ale rotației:
𝑥′ = 𝑥 cos 𝜃 − 𝑦 sin 𝜃 , 𝑦′ = 𝑥 sin 𝜃 + 𝑦 cos 𝜃. (5)
66
În mod explicit,
𝜌𝜃 ∶ ℝ2 → ℝ2, 𝜌𝜃(𝑥, 𝑦) = (𝑥 cos 𝜃 − 𝑦 sin𝜃, 𝑥 sin 𝜃 + 𝑦 cos 𝜃) (6)
și evident, 𝜌𝜃 este o transformare liniară.
Relațiile (5) se pot scrie matriceal, anume:
𝑋′ = 𝑅𝜃 · 𝑋, unde 𝑅𝜃 = (cos 𝜃 − sin 𝜃 0sin 𝜃 cos 𝜃 00 0 1
);
matricea 𝑅𝜃 este ireversibilă și (𝑅𝜃)−1 = 𝑅−𝜃 deci X=𝑅−𝜃 · 𝑋′.
În fine, prin omotetia 𝜔𝑘 a planului P, de raport k, în raport
cu O, punctul curent M(x, y) este transformat în 𝑀′(𝑥′, 𝑦′) unde
𝑥′ = 𝑘𝑥 , 𝑦′ = 𝑘𝑦. Așadar, 𝜔𝑘 ∶ ℝ2 → ℝ2, 𝜔𝑘 = (𝑘𝑥, 𝑘𝑦) este
o transformare liniară. Relațiile anterioare pot fi scrise matriceal,
introducând matricea:
Ω𝑘 = (𝑘 0 00 𝑘 00 0 1
) ; anume 𝑋′ = Ω𝑘 · 𝑋 și 𝑋 = Ω1 𝑘⁄ · 𝑋′.
Exemple
1) Pentru a reprezenta conica 2x2+y2–4x+2y=0, efectuăm
translația 𝑥 = 𝑥′ + 1, 𝑦 = 𝑦′ − 1 (de vector v=e1 – e2, unind O
cu 𝑂′(1, −1)). După calcule, ecuația devine 2𝑥′2 + 𝑦′2 − 3 = 0.
Recunoaștem o elipsă având ecuația 𝑥′2
3 2⁄+𝑦′2
3− 1 = 0 relativ la
reperul 𝑥′𝑂′𝑦′, cu lungimile semiaxelor √3 2⁄ și √3; (fig. 2.6).
Fig. 2.6
67
2) Să considerăm un reper cartezian ortonormal
{O;𝐞1, 𝐞2}≡ 𝑥𝑂𝑦 și punctul A(4, 5). Determinăm coordonatele
𝑥′, 𝑦′ ale imaginii lui A după translația de vector v=3𝐞1 + 2𝐞2,
urmată de omotetia de raport k=2, în raport cu originea și rotația
de unghi 𝜋
5 în jurul originii. Cu notații transparente, avem:
(𝑥′𝑦′1
) = 𝑅𝜋 5⁄ · Ω2 · 𝑇𝐯 · (𝑥𝑦1) =
=
(
cos
𝜋
5− sin
𝜋
50
sin𝜋
5cos
𝜋
50
0 0 1)
· (2 0 00 2 00 0 1
) · (1 0 30 1 20 0 1
) · (4−51).
și se fac calculele produselor de matrice (care corespund
compunerilor succesive de transformări).
Notă importantă
Așa cum prin fixarea unei baze într-un spațiu vectorial V,
vectorii lui V pot fi afectați cu numere (prin extinderea
reprezentărilor vectorilor fizici relativ la repere carteziene de
coordonate, studiată în § 1. 2), tot astfel, transformările liniare
între spații vectoriale pot fi „digitalizate”, fiind asociate cu
anumite matrice.
Definiția 2.7: Fie 𝑓: 𝑉 → 𝑊 o transformare liniară (între
spații vectoriale de dimensiune finită). Fixăm o bază
ℬ = {𝐞1, … , 𝐞𝑛} în V și o bază ℬ′ = {𝐟1, … , 𝐟𝑚} în W. Pentru orice
j,1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛, vectorul 𝐞𝑗 al bazei va avea imaginea 𝑓(𝐞𝑗) în W și
acesta este o combinație liniară a vectorilor bazei ℬ′; așadar,
avem o scriere unică:
𝑓(𝐞𝑗) = ∑ 𝑎𝑖𝑗𝐟𝑖𝑛𝑖=1 , 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚. (7)
Matricea de tip m× 𝑛 astfel formată este notată:
𝑀𝑓ℬ,ℬ´ = (𝑎𝑖𝑗); 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛
68
și numită matricea asociată lui f relativ la bazele ℬ,ℬ′.
Evident, 𝑀𝑓ℬ,ℬ´ = (𝑓(𝐞1)| 𝑓(𝐞2) | … | 𝑓(𝐞𝑛)), unde pe
coloane sunt trecute componentele scalare ale vectorilor
respectivi.
Definiția 2.8: Fie V un spațiu vectorial real. Se numește
operator liniar al lui V orice transformare liniară ℎ: 𝑉 → 𝑉 a
spațiului V în el însuși. Dacă ℬ = {𝐞1, … , 𝐞𝑛} este o bază a lui V,
avem o scriere ℎ(𝐞𝑗) = ∑ 𝑎𝑗𝑖𝐞𝑖, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛
𝑛𝑖=1 și matricea 𝑀ℎ
ℬ
astfel formată se numește matricea operatorului h relativ
la baza ℬ.
Evident, matricea 𝑀ℎℬ este pătratică de ordin n și
𝑀ℎℬ = 𝑀ℎ
ℬ,ℬ.
Exemple
1) Fie 𝑉 = ℝ3, 𝑊 = ℝ2 și 𝑓: 𝑉 → 𝑊, 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
(5𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧, − 2𝑦 + 3𝑧). f este o transformare liniară și
determinăm matricea lui f relativ la bazele canonice din ℝ2 și ℝ3.
Avem,
𝑓(𝐞1) = 𝑓(1, 0, 0) = (5, 0) = 5𝐟1 + 0𝐟2; apoi
𝑓(𝐞2) = 𝑓(0, 1, 0) = (3, −2) = 3𝐟1 − 2𝐟2 și
𝑓(𝐞3) = 𝑓(0, 0, 1) = (2, 3) = 2𝐟1 + 3𝐟2.
Atunci matricea lui f este o matrice 2 × 3; anume:
𝑀𝑓 = (𝑓(𝐞1)| 𝑓(𝐞2) | 𝑓(𝐞3)) = (5 3 20 −2 3
).
2) Fie V=ℝ2 și ℎ = 𝜌𝜃 operatorul de rotație în jurul
originii. Scriem matricea lui h relativ la baza canonică {𝐞1, 𝐞2}
din ℝ2; 𝐞1=(1,0) și 𝐞2=(0,1).
Conform (6), ℎ(𝐞1) = ℎ(1,0) = (cos 𝜃 , sin 𝜃); ℎ(𝐞2) =
ℎ(0,1) = (− sin 𝜃 , cos 𝜃) deci 𝑀ℎ = (cos 𝜃 − sin 𝜃sin 𝜃 cos 𝜃
).
69
3) Considerăm operatorul de derivare al spațiului
𝑉 = ℝ3[𝑋], relativ la baza canonică ℬ = {1, 𝑋, 𝑋2, 𝑋3} a lui V.
Notăm 𝒆1 = 1, 𝐞2 = 𝑋, 𝐞3 = 𝑋2, 𝐞4 = 𝑋
3.
Avem:
ℎ(𝐞1) = 0 = 0 · 𝒆1 + 0 · 𝐞2 + 0 · 𝐞3 + 0 · 𝐞4;
ℎ(𝐞2) = 1 = 1 · 𝐞1 + 0 · 𝐞2 + 0 · 𝐞3 + 0 · 𝐞4;
ℎ(𝐞3) = 2𝑋 = 0 · 𝐞1 + 2 · 𝐞2 + 0 · 𝐞3 + 0 · 𝐞4 și
ℎ(𝐞4) = 3𝑋2 = 0 · 𝐞1 + 0 · 𝐞2 + 3 · 𝐞3 + 0 · 𝐞4.
Atunci
𝑀ℎ = (
0 1 0 00 0 2 000
00
0 30 0
).
Notă: Menționăm o problemă fundamentală a teoriei
matricelor pătratice, anume cea a reducerii la forme mai simple,
prin folosirea vectorilor proprii. Dacă 𝐴 ∈ 𝑀𝑛(ℝ), trebuie
determinată o matrice nesingulară 𝑇 ∈ 𝑀𝑛(ℝ) astfel încât
produsul 𝑇−1𝐴𝑇 să aibă o formă cât mai simplă (diagonală,
triunghiulară superior, forma Jordan etc.). În acest text, nu vom
folosi această disponibilitate.
§2.3. Matrice de trecere de la o bază la alta
Există situații când sunt necesare repere distincte și
stabilirea unor transferări de informații de la un reper la altul. De
exemplu, studiul mișcării unui satelit artificial în jurul Lunii
necesită un reper relativ la Lună; de asemenea, legătura cu
Pământul reclamă un reper relativ la Pământ. Este utilă stabilirea
regulilor de „trecere” de la un reper la altul.
70
Definiția 2.9: Fie V un spațiu vectorial real de dim n. Dacă
ℬ = {𝐞1, … , 𝐞𝑛} și ℬ = {��1, … , ��𝑛} sunt două baze ale lui V,
atunci pentru orice j, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 există scalari reali 𝑡𝑖𝑗, astfel încât:
��𝑗 = 𝑡𝑗𝑖𝐞𝑖, (sumă după i). (8)
Matricea pătratică de ordin n
𝑇 = (𝑡𝑗𝑖) , 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛
astfel formată, se numește matricea de trecere de la ℬ la ℬ.
De exemplu, ��1 = 𝑡11𝐞1 + 𝑡1
2𝐞2 +⋯+ 𝑡1𝑛𝐞𝑛 și
componentele lui ��1 formează coloana întâi a matricei T; similar,
componentele lui ��2 alcătuiesc coloana a doua a lui T etc. Dacă
��1 = 2��1, atunci 𝑡11 = 2, 𝑡1
2 = 0,… , 𝑡1𝑛 = 0.
Fie 𝑥 ∈ 𝑉 un vector (abstract) oarecare. El are reprezentări
(scrieri) unice relativ la cele două baze: 𝑥 = 𝑥𝑖𝐞𝑖 , 𝑥 = ��𝑗��𝑗.
Atunci:
𝑥𝑖𝐞𝑖 = ��𝑗��𝑗 =⏞
𝑐𝑓.(8)
��𝑗(𝑡𝑗𝑖𝐞𝑖) = (𝑡𝑗
𝑖��𝑗)𝐞𝑖 deci (𝑥𝑖 − 𝑡𝑗𝑖��𝑗)𝐞𝑖 = 0.
Deoarece vectorii 𝐞𝑖 sunt liniar independenți, rezultă că
parantezele sunt nule, deci:
𝑥𝑖 = 𝑡𝑗𝑖 ��𝑗 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. (9)
Notând:
𝑋 = (𝑥1, … , 𝑥𝑛)T și �� = (��1, … , ��𝑛)T,
matricile–coloană ale coordonatelor lui x relativ la bazele ℬ și ℬ,
relațiile (9) se scriu matriceal condensat astfel:
𝑋 = 𝑇 · ��. (9´)
În mod similar (≡simetric), are loc relația �� = 𝑈 · 𝑋, unde
U este matricea de trecere de la ℬ la ℬ. Așadar, X=TUX și X fiind
arbitrar, rezultă că TU=In. Așadar, matricele T și U sunt
nesingulare și 𝑈 = 𝑇−1.
71
În mod explicit, dacă 𝑈 = (𝑢𝑗𝑖); 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛, atunci au loc
relațiile ��𝑖 = 𝑢𝑗𝑖𝑥𝑗 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛.
Reamintim că dacă A este o matrice de tip 𝑚× 𝑛 și B de
tip 𝑛 × 𝑝, atunci are sens produsul AB (de tip 𝑚 × 𝑝) și pentru
transpuse, (𝐴𝐵)T = 𝐵T𝐴T. În continuare, o matrice notată uzual
(aij) va fi notată (𝑎𝑗𝑖) cu indicele de linie la „etaj” și cel de coloană
la „subsol”.
Dacă A, B sunt matrice pătratice de ordin n și
A=(𝑎𝑗𝑖) , 𝐵 = (𝑏𝑗
𝑖), atunci AB =(𝑐𝑗𝑖) și 𝑐𝑗
𝑖 = 𝑎𝑘 𝑖𝑏𝑗
𝑘 (sumă după k).
Dacă AB=In=(𝛿𝑗𝑖), matricea unitate, atunci A este inversabilă și
𝐵 = 𝐴−1.
Dacă T=(𝑡𝑗𝑖) este inversabilă și U=(𝑢𝑗
𝑖) este inversa ei,
atunci au loc relațiile
𝑡𝑘𝑖 𝑢𝑗𝑘 = 𝛿𝑗
𝑖 și 𝑢𝑘𝑖 𝑡𝑗𝑘 = 𝛿𝑗
𝑖. (10)
Exemple
1) Fie ℬ = {𝐞1, 𝐞2, 𝐞3} o bază carteziană ortonormală în
V3 și ℬ = {𝐞2, 𝐞1, 𝐞2 + 2𝐞3}. Arătăm că ℬ este o bază în V3 și
determinăm matricea de trecere de la ℬ la ℬ, precum și
coordonatele vectorului 𝐯 = 𝐞1 + 𝐞2 + 𝐞3 relativ la baza ℬ. Este
suficient să arătăm că vectorii bazei ℬ, adică ��1 = 𝐞2, ��2 = 𝐞1,
��3 = 𝐞2 + 2𝐞3 sunt liniar independenți; ori, dacă:
𝑎𝐞2 + 𝑏𝐞1 + 𝑐(𝐞2 + 𝟐𝐞3) = 0, atunci b=0, a+c=0,
2c=0 deci a=0, b=0, c=0. Apoi, X=(1, 1, 1)T;
��1 = 𝐞2 = 0 · 𝐞1 + 1 · 𝐞2 + 0 · 𝐞3,
��2 = 𝐞1 = 1 · 𝐞1 + 0 · 𝐞2 + 0 · 𝐞3 și
��3 = 0 · 𝐞1 + 1 · 𝐞2 + 2 · 𝐞3, deci
72
T=(0 1 01 0 10 0 2
);
Atunci:
𝐓−1 = (0 1 −1 2⁄1 0 00 0 1 2⁄
) și
𝑋′ = T−1 · 𝑋 = (1 2⁄ 1 1 2⁄ )T.
2) Fie V=V2(P)≅ ℝ2 raportat la reperul ortonormal
{𝑂, 𝐞1, 𝐞2} ≡ 𝑥𝑂𝑦 și ��𝑂�� sistemul de coordonate, având
versorii axelor ��1, ��2, obținut prin rotirea în jurul lui O, cu unghiul
𝜃, în sens pozitiv (fig. 2.7).
Fig. 2.7
Am văzut în §1.3 că: ��1 = 𝐞1 cos 𝜃 + 𝐞2 sin 𝜃 și ��2 =
𝐞1 cos (𝜃 +𝜋
2) +𝐞2 sin (𝜃 +
𝜋
2) = −𝐞1 sin 𝜃 + 𝐞2 cos 𝜃, deci
matricea de trecere de la baza ℬ = {𝐞1, 𝐞2} la baza ℬ = {��1, ��2}
este T=(cos 𝜃 − sin 𝜃sin 𝜃 cos 𝜃
), cu inversa:
𝑇−1 = (cos 𝜃 sin 𝜃− sin 𝜃 cos 𝜃
).
Dacă v ∈ 𝑉 este un vector care în baza ℬ se reprezintă prin
𝑣 = 𝑣1𝐞1 + 𝑣1𝐞2, atunci în baza ℬ va avea reprezentarea
𝑣 = ��1��1 + ��2��2, unde (��
1
��2) = 𝑇−1 (𝑣
1
𝑣2) deci:
��1 = 𝑣1 cos 𝜃 + 𝑣2 sin 𝜃 și
73
��2 = −𝑣1 sin 𝜃 + 𝑣2 cos 𝜃.
De exemplu, dacă v=3𝐞1 + 2𝐞2 și 𝜃 = 120°, atunci v1=3,
v2=2,�� 1 = 3 · (−1
2) + 2 · (
√3
2) ≅ 0,23; ��2 = −3 · (
√3
2) + 2 ·
(−1
2) ≅ −3,6.
Extindem acum conceptul de reper la spații
vectoriale generale.
Definiția 2.10: Dacă V este un spațiu vectorial real, se
numește reper în V (sau observator) orice pereche (a; ℬ)
formată dintr-un punct 𝑎 ∈ 𝑉 și o bază ℬ a lui V. Reperul se mai
numește sistem de coordonate atașat unui observator plasat în
punctul a.
În continuare, vom presupune că a=𝟎𝑉 ≡ 𝟎. Dacă ℬ și ℬ
sunt două repere și T este matricea de trecere de la ℬ la ℬ , atunci
pentru orice vector abstract 𝑥 ∈ 𝑉, matricele–coloană ale
coordonatele lui x relativ la cele două baze satisfac relația
𝑋 = 𝑇 · �� sau �� = 𝑇−1 · 𝑋.
Definiția 2.11: Se spune că două baze ℬ, ℬ sunt orientate
la fel, dacă determinantul matricei de trecere este strict pozitiv
(det T> 0).
Dacă ℬ = {𝐞1, 𝐞2, 𝑒3, … , 𝐞𝑛} și ℬ = {𝐞2, 𝐞1, 𝐞3, … , 𝐞𝑛}
(intervertind primii doi vectori), atunci determinantul matricei de
trecere este egal cu – 1, deci ℬ și ℬ nu sunt orientate la fel. Orice
altă bază a lui V este orientată la fel ca ℬ sau ca ℬ, deci bazele
ordonate ale spațiului V sunt împărțite în două clase disjuncte. A
fixa o orientare a spațiului V revine la a fixa una din cele
două clase.
74
Exemple
1) Dacă dim V=1, atunci sunt posibile două orientări,
prin versori: ℬ = {𝐞1} și ℬ={−𝐞1}. Orientarea unei drepte se
realizează fixând unul din cei doi versori opuși.
2) Dacă dim V=2 (de exemplu V este asimilat cu un plan
trecând prin originea unui reper cartezian 3D), a fixa o orientare
revine la a fixa o bază {𝐞1, 𝐞2}; cealaltă orientare corespunde
bazei {𝐞2, 𝐞1}. În exemplul legat de figura 2.7, cele două repere
erau orientate la fel.
3) În spațiul fizic 3D, alegerea unei orientări este legată
de particularitățile ființei umane; una din orientări este numită
„sinistrorsum” (regula mâinii stângi) și cealaltă este numită
„dextrorsum” (regula mâinii drepte). Astfel, un reper cartezian
ortonormal Oxyz de versori i, j, k astfel încât k=i×j este
sinistrorsum. Simetria în oglindă modifică orientarea.
Notă: În exemplul legat de figura 2.7, același vector v a
fost descris pentru doi observatori; se spune că acesta este punctul
de vedere pasiv („contemplativ”). Dar se pot considera un singur
observator {O; ℬ}, operatorul f=𝜌𝜃: 𝑉 → 𝑉 de rotație și vectorul
𝐯′ = 𝜌𝜃(𝐯) ≅⏞cf.(6)
0,23𝐞1 − 3,6𝐞2. Acesta este punctul de vedere
activ („participativ”).
§2.4. Componente contravariante și componente
covariante ale unui vector
Vom modifica notațiile și vom folosi în mod consecvent
convenția lui Einstein de notație a sumelor. Glumind, Einstein a
declarat că aceasta este singura lui contribuție în Matematică ...
75
Cazul 2D
Identificăm spațiul vectorial V2(P) cu ℝ2 și fixăm o bază
ℬ = {𝐠1, 𝐠2}, asociată cu un sistem cartezian de coordonate xOy,
nu neapărat ortonormal (fig. 2.8).
Fig. 2.8
Definiția 2.12: Baza reciprocă a lui ℬ este ℬr = {𝐠1, 𝐠2},
având proprietatea definitorie că produsele scalare satisfac
relațiile
𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 = 𝛿𝑖𝑗 pentru 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 2. (11)
Așadar, 𝐠1 ⊥ 𝐠2 și 𝐠2 ⊥ 𝐠1; apoi g
1·g1=1 ș i g
2·g2=1.
Deoarece 𝐠1 și 𝐠2 sunt nenuli și liniar independenți (adică
necoliniari), la fel vor fi vectorii 𝐠1 și 𝐠2 perpendiculari pe ei.
Definiția 2.13: Considerăm pentru 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 2, produsele
scalare:
𝑎𝑖𝑗 = 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 ; 𝑎𝑗𝑖 = 𝑎𝑖𝑗. (12)
Matricea simetrică G=(𝑎𝑖𝑗) ∈ 𝑀2(ℝ) se numește
matricea Gram a bazei ℬ.
Notând 𝛿 = det𝐺 = 𝑎11𝑎22 − 𝑎122 , rezultă 𝛿 ≠ 0
deoarece 𝛿 = ‖𝐠1 × 𝐠2‖2.
Explicităm vectorii 𝐠1, 𝐠2. Scriind 𝐠1 = 𝑎𝐠1 + 𝑏𝐠2 și
înmulțind scalar cu 𝐠1 și apoi cu 𝐠2, rezultă relațiile:
76
1 = 𝑎 · 𝑎11 + 𝑏 · 𝑎12,
0 = 𝑎 · 𝑎12 + 𝑏 · 𝑎22,
de unde rezultă a=1
𝛿𝑎22 și 𝑏 = −
1
𝛿𝑎12.
În mod similar, scriind 𝐠2 = 𝑐𝐠1 + 𝑑𝐠2 și înmulțind
scalar cu 𝐠1, 𝐠2 , rezultă 𝑐 = −1
𝛿𝑎12 și 𝑑 =
1
𝛿𝑎11.
În final,
𝐠1 =1
𝛿(𝑎22𝐠1−𝒂𝟏𝟐𝐠2),
𝐠2 =1
𝛿(−𝑎12𝐠1+𝑎11𝐠2). (13)
Conform (13), rezultă că matricea de trecere de la baza ℬ
la baza ei reciprocă ℬr este:
𝑇 =1
𝛿(𝑎22 −𝑎12−𝑎12 𝑎11
); inversa ei este:
𝑇−1 = (𝑎11 𝑎12𝑎12 𝑎22
) = 𝐺. (14)
Deci matricea de trecere de la ℬr la ℬ este tocmai
matricea Gram a lui ℬ.
Așa cum am mai spus, vectorii sunt entități independente
de reper (numite „absolute”). Doar componentele lor scalare
relativ la o bază fixată depind de acea bază. Fie v ∈ V2(𝑃) un
vector liber oarecare, având o copie cu punctul de aplicație în O.
Definiția 2.14: Vectorul v are o scriere unică relativ la
baza ℬ și o altă scriere unică relativ la baza reciprocă ℬr; anume
v=𝑣1𝐠1+𝑣2𝐠2 = 𝑣
𝑘𝐠𝑘 (sumă după k) (15)
și similar,
v=𝑣1𝐠1 + 𝑣2𝐠
2 = 𝑣𝑘𝐠𝑘. (16)
Componentele scalare 𝑣𝑘 se numesc contravariante (sau
componente–etaj), iar 𝑣𝑘–covariante (sau componente–
subsol).
77
Pentru determinarea componentelor contravariante, se
înmulțește scalar relația (15) cu 𝐠1 și cu 𝐠2; rezultă:
𝑣1 = 𝐯 · 𝐠1 și 𝑣2 = 𝐯 · 𝐠2. (17)
În mod similar, pentru determinarea componentelor
covariante, se înmulțește relația (16) scalar cu 𝐠1 și 𝐠2:
𝑣1 = 𝐯 · 𝐠1 și 𝑣2 = 𝐯 · 𝐠2. (18)
Așadar, au loc reprezentările:
𝐯 =(𝐯 · 𝐠𝑘)𝐠𝑘 și 𝐯 = (𝐯 · 𝐠𝑘)𝐠𝑘 (sume după k). (19)
Reținem următoarea procedură algoritmică pentru
determinarea bazei reciproce și componentelor covariante sau
contravariante.
Dată o bază ℬ = {𝐠1, 𝐠2} în ℝ2 (sau V2(P)), se urmează pașii:
Pasul 1. Se determină produsele scalare 𝑎𝑖𝑗 = 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 ,
1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 2;
Pasul 2. Se determină matricea Gram G și inversa ei;
Pasul 3. Relațiile (13) se scriu matriceal:
(𝐠1
𝐠2) = 𝐺−1 (
𝐠1𝐠2)și se deduc vectorii bazei reciproce;
Pasul 4. Fixând un vector v, componentele lui
contravariante sunt 𝑣𝑘 = 𝐯 · 𝐠𝑘, iar componentele covariante
sunt 𝑣𝑘 = 𝐯 · 𝐠𝑘 pentru k=1, 2.
Exemple
1) Dacă ℬ = {𝐞1, 𝐞2} este baza canonică (sau orice altă
bază carteziană ortonormală în plan), atunci G=I2 (matricea
unitate), g1=g1=e1 și g2=g
2=e2 deci ℬr = ℬ. În acest caz,
componentele contravariante coincid cu cele covariante și cu cele
inițiale.
78
2) Fie ℬ = {g1,g
2} o bază în ℝ2; g1=(1,3) și g2=(4,0).
Atunci a11=g1·g1=10, a12=a21=g1·g2=4 și a22=g2·g2=16. Atunci
matricea Gram este G=(10 44 16
) și inversa ei este:
𝐺−1 =1
144(16 −4−4 10
).
Apoi
(𝐠1
𝐠2) = 𝐺−1 (
𝐠1𝐠2).
Deci:
𝐠1 =1
144(16𝐠1 − 4𝐠2) =
1
36(4𝐠1 − 𝐠2) și
𝐠2 =1
144(−4𝐠1 + 10𝐠2).
În mod explicit, 𝐠1 = (0,1
3) și 𝐠2 = (
1
4, −
1
12) și baza
reciprocă este ℬr = {𝐠1, 𝐠2}.
Să considerăm acum vectorul v=(1,2) din ℝ2.
Componentele lui contravariante sunt:
𝑣1 = 𝐯 · 𝐠1 =2
3, 𝑣2 = 𝐯 · 𝐠2 =
1
12;
iar cele covariante sunt:
𝑣1 = 𝐯 · 𝐠1 = 7 și 𝑣2 = 𝐯 · 𝐠2 = 4.
Interpretarea geometrică a componentelor contravariante
și covariante
Fiind dat reperul oarecare în plan ℛ={O; 𝐠1, 𝐠2} și
vectorul v=𝑂𝐶 , ducem CA (respectiv CB) paralele cu suportul lui
𝐠2 (respectiv 𝐠2). Din paralelogramul OACB, rezultă
descompunerea v=𝑂𝐴 + 𝑂𝐵 = 𝑣1𝐠1 + 𝑣2𝐠2 și astfel se obțin
componentele contravariante 𝑣1, 𝑣2 ale lui v (fig. 2.9). Apoi
vectorul 𝐠1 al bazei reciproce este perpendicular pe 𝐠2 și
79
𝐠2 ⊥ 𝐠1. Prin punctul C ducem paralele CE la 𝐠2 și CF la 𝐠1. Din
paralelogramul OECF rezultă descompunerea v=𝑂𝐸 + 𝑂𝐹 =
𝑣1𝐠1 + 𝑣2𝐠
2 și scalarii v1, v2 sunt componentele covariante ale lui
v relativ la reperul ℛ considerat. Pentru determinare efectivă,
trebuie urmată procedura menționată anterior.
Fig.2.9
Cazul 3D
Fie acum ℛ={O;𝐠1, 𝐠2, 𝐠3} un reper cartezian oarecare în
spațiul 𝑆 ≅ ℝ3 și baza ℬ = {𝐠1, 𝐠2, 𝐠3}.
Definiția 2.14: Baza reciprocă a lui ℬ este
ℬr = {𝐠1, 𝐠2, 𝐠3}, având proprietatea definitorie:
𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 = 𝛿𝑖𝑗 pentru 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 3. (20)
Așadar, pentru 𝑖 ≠ 𝑗, vectorul 𝐠𝑗 este perpendicular pe
𝐠𝑖. Vectorii 𝐠1, 𝐠2, 𝐠3 se mai numesc reciprocii lui 𝐠1, 𝐠2, 𝐠3.
În acest caz, folosind produsele mixte, vectorii 𝐠𝑗 se
exprimă direct. Notăm G=(𝐠1, 𝐠2, 𝐠3), determinantul
componentelor scalare ale vectorilor bazei ℬ; desigur G≠0
(deoarece vectorii 𝐠𝑖 nu sunt coplanari). Atunci
considerăm vectorii:
𝐠1 =1
𝐺(𝐠2 × 𝐠3), 𝐠
2 =1
𝐺(𝐠3 × 𝐠1), 𝐠
3 =1
𝐺(𝐠1 × 𝐠2). (21)
80
Se verifică ușor, folosind proprietățile PM, cele 9 relații (20).
Definiția 2.15: Dacă v ∈ 𝑉3 este un vector oarecare, avem
scrieri unice:
v=𝑣𝑘𝐠𝑘 și 𝐯 = 𝑣𝑘𝐠𝑘, (22)
similare cu (15) și (16). Componentele covariante și
contravariante ale lui v sunt:
𝑣𝑘 = 𝐯 · 𝐠𝑘 și 𝑣𝑘 = 𝐯 · 𝐠𝑘, 1 ≤ 𝑘 ≤ 3. (23)
Dacă baza ℬ este ortonormală (adică 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 = δ𝑖𝑗 pentru
orice i, j), atunci 𝐠𝑘 = 𝐠𝑘 pentru 1 ≤ 𝑘 ≤ 3 și ℬr = ℬ.
Notă: Reținem că oricărei baze ℬ i se asociază o bază
reciprocă ℬr; nu există „reciprocul unui vector”, ci setului de
vectori din baza ℬ i se asociază un set de reciproci.
Din acest moment, vectorii pot fi gândiți nu doar ca
„săgeți cu mărime și direcție”; apoi, nu vorbim de vectori
covarianți sau contravarianți, ci de componente covariante sau
contravariante ale unui vector. Acesta este un pas important în
abordarea și stăpânirea conceptului de tensor.
81
CAPITOLUL 3: CÂTEVA APLICAȚII
MECANICE ALE VECTORILOR
Vom da câteva exemple semnificative, unde vectorii sunt
utilizați în mod esențial și eficient. În acest mod, se poate câștiga
încrederea în conceptele prezentate, în posibilitatea de a rezolva
probleme și apoi de a aborda studii mai complexe.
§3.1. Lucru mecanic
Un automobil utilizează în deplasare forța de tracțiune
datorată motorului; se spune că efectuează lucru (mecanic). La fel
se întâmplă dacă ridicăm un obiect sau dacă împingem un dulap
în cameră. Dar forța de greutate a unui dulap sau greutatea unui
obiect care atârnă nu fac lucru mecanic.
O aplicație importantă a PS este expresia lucrului efectuat
de o forță care acționează asupra unui obiect sau corp. Mulți elevi
răspund automat că „lucrul este egal cu forța înmulțită cu
distanța”. Această afirmație este relativ corectă numai dacă forța
ar fi coliniară cu direcția de deplasare a obiectului. Vom mai
întâlni PS și în studiul câmpului electromagnetic.
Definiția 3.1: Lucrul mecanic (pe scurt, lucrul) al unei
forțe F în lungul unui vector deplasare d este produsul scalar:
L=F·d=Fd cos 𝛼, (1)
unde 𝛼 = măs(𝐅, ��).
Dacă 𝛼 este unghi obtuz, atunci 𝐿 < 0. Dacă 𝛼 = 0°,
adică forța F are punctul de aplicație deplasat pe distanța d, în
82
același sens, atunci L=F·d („forța × deplasarea”). Dacă F ⊥d,
atunci L = 0, deoarece cos 90° = 0.
Lucrul se măsoară în Jouli [J]; 1J ≡ 1Nm este lucrul
efectuat de o forță cu mărimea 1N, al cărei punct de aplicație se
deplasează cu 1 m.
Dacă forța F are mărimea constantă și acționează în lungul
unui interval [a, b] pe o axă, atunci L=F·(b–a), adică aria
dreptunghiului hașurat din figura 3.1.
Fig. 3.1
Dar dacă F este o forță variabilă având mărimea F(x) în
punctul ei x de aplicație, atunci lucrul lui F în lungul intervalului
[a, b] este numeric egal cu aria trapezului curbiliniu hașurat în
figura 3.2, mărginit în planul xOy de curba y=F(x), axa Ox și
paralelele duse la axa Oy prin capetele intervalului.
Fig. 3.2
83
Așadar,
L = ∫ 𝑓(𝑥)d𝑥𝑏
𝑎 . (2)
Justificarea formulei (2) este aceea că lucrul este o mărime
aditivă de domeniu (în sensul că lucrul efectuat în lungul
reuniunii a două sau mai multe intervale disjuncte este suma
lucrurilor pe intervalele separate); temperatura sau umiditatea nu
sunt mărimi aditive de domeniu. Lucrul L al forței variabile este
limita sumei lucrurilor ∑ 𝐹(𝑥𝑘)𝑛𝑘=1 (𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘) pe subintervalele
unei diviziuni ale intervalului [a, b] deci (2).
În unele considerații, este util conceptul de lucru
elementar dL al unei forțe F, exprimat ca PS dintre F și
„vectorul–deplasare” dr; anume, dL=F·dr. În Fizică se adoptă din
rațiuni didactice unele concepte ideale; de exemplu, particulă sau
mobil cu masă, dar 0–dimensional, sarcină electrică punctuală
etc. Tot astfel, vectorul–deplasare dr este o ficțiune fizico–
matematică, fiind un vector având mărimea infinitezimală (!?) și
direcția nedeterminată.
Lucrul L al unei forțe F în lungul unei curbe plane C este
„suma lucrurilor elementare” și se exprimă printr-o integrală
curbilinie; L=∫ 𝐅 · d𝐫𝐶
. Dar nu mai dăm detalii.
Exemple
1) Lucrul efectuat prin ridicarea unei mase m la înălțimea
h este L=G·h=mgh. Dar lucrul greutății în raport cu vectorul h
orientat în sus este L=G·h=𝑚𝑔ℎ · cos 180° = −𝑚𝑔ℎ; așadar,
căderea unei pietre nu face lucru!
2) Lucrul unei forțe elastice variabile Fe(x)=3x, pentru
𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], este L=∫ 𝐹e(𝑥)d𝑥𝑏
𝑎=3
2(𝑏2 − 𝑎2).
84
3) Pe un plan înclinat cu unghiul 𝛼 față de orizontală, un
corp (punctual) cu masa m coboară din poziția A în poziția B;
(fig. 3.3).
Fig. 3.3
Determinăm lucrul forței de frecare pe distanța d dintre
cele două poziții. Acest lucru trebuie să fie negativ, deoarece forța
de frecare se opune mișcării. Componenta normală la plan a
greutății mg a corpului este N=mgcos 𝛼 și forța de frecare este
Ffr=kN (k fiind coeficientul de frecare pe plan). Atunci lucrul
cerut este L=Ffr·d=𝑘𝑚𝑔 cos 𝛼 · 𝑑 · cos 180° = −𝑘𝑚𝑔𝑑 cos 𝛼.
Notă: În limbaj uzual, se spune că un sistem fizic „are
energie”, dacă el poate efectua lucru. Energia unui sistem este o
mărime fizică măsurată în J, exprimând tocmai capacitatea
sistemului de a efectua lucru. În cazul sistemelor mecanice, se
vorbește de energie mecanică; aceasta este de două tipuri: cinetică
(≡ de mișcare) și potențială (≡ de poziție). Energia cinetică a unui
corp cu masa m și viteza v este scalarul 𝑚𝑣2
2. O teoremă
fundamentală afirmă că variația energiei cinetice între două stări
ale unui corp aflat în mișcare de translație este egală cu lucrul
rezultantei forțelor care acționează asupra acelui corp,
între cele două stări.
85
§3.2. Echilibrul unui solid rigid
Legea pârghiilor
Statica este acea parte a Mecanicii care studiază echilibrul
forțelor care acționează asupra corpurilor solide rigide, care nu se
deformează, putând fi deplasate (adică translatate sau rotite) fără
a fi modificate distanțele dintre puncte.
Există trei axiome ale staticii:
I. Două forțe care acționează asupra unui corp K realizează
echilibrul dacă ele au punctele de aplicație situate pe aceeași
dreaptă–suport și sunt de tipul F, –F; punctele de aplicație pot fi
deplasate pe acea dreaptă–suport (fig. 3.4).
Fig. 3.4
II. Dacă mai multe forțe care acționează asupra unui corp sunt
în echilibru, atunci rezultanta (≡suma) lor este nulă; așadar,
fiecare forță este egală ca mărime și de sens opus cu rezultanta
celorlalte.
III. Dacă două forțe 𝐅1, 𝐅2 care acționează asupra unui corp K au
un punct comun de aplicație, atunci ele pot fi înlocuite cu suma
lor R=𝐅1 + 𝐅2 (fig. 3.5).
86
Fig. 3.5
În Statică se aplică aceste principii și mai puțin faptul că
un vector ar fi egal cu o copie translatată a lui, așa cum se
consideră în Geometria analitică. Folosind aceste principii, se
poate demonstra o teoremă veche, celebra „lege a pârghiilor” a
lui Arhimede: „Fiind date punctele distincte A, B ca puncte de
aplicație ale forțelor paralele și având același sens 𝐅1 ∥ 𝐅2,
rezultanta R=𝐅1 + 𝐅2 este paralelă cu forțele și are punctul de
aplicație în acel unic punct S (numit punct de sprijin) situat pe
segmentul [AB], astfel încât SA·F1=SB·F2 (fig. 3.6) (SA este brațul
forței 𝐅1, iar SB–brațul forței 𝐅2).
Fig. 3.6
În cazul când 𝐅1 ∥ 𝐅2 dar au sens contrar și 𝐹1 > 𝐹2,
punctul de sprijin S este situat pe prelungirea dreptei AB, mai
aproape de forța mai mare, astfel încât SA·F1=SB·F2 (fig. 3.7).
87
Fig. 3.7
Dacă 𝐅2 = −𝐅1 și suporturile lor sunt diferite, atunci se
spune că avem un cuplu de forțe; în acest caz, corpul K se rotește
în jurul mijlocului segmentului [AB].
Se cunosc multiple aplicații ale legii pârghiilor, la tot felul
de mașini și mecanisme simple.
Noțiunile de „echilibru” și „lucru” pot părea
contradictorii. O forță efectuează lucru doar dacă este aplicată
unui punct aflat în mișcare, iar echilibrul sugerează tocmai lipsa
mișcării. Deoarece forța musculară a omului este prea limitată,
s-au inventat multe dispozitive care ne amplifică forța. Nu se pot
uita cuvintele lui Arhimede: „Dați-mi un punct de sprijin și voi
muta Pământul”. Dar pentru a muta Pământul cu 1 m, brațul
pârghiei respective trebuia să fie enorm! Niciun mecanism nu
poate da vreun câștig de lucru sau energie și „ce se câștigă în forță,
se pierde în distanță!”, conform legii conservării energiei.
Așadar, produsul scalar a fost utilizat în mod esențial
pentru a defini conceptul de lucru. În continuare, reamintim o
utilizare spectaculoasă a produsului vectorial.
Definiția 3.2: Momentul unei forțe F=𝐴𝐵 în raport cu un
punct „fixat” O este produsul vectorial:
M(O)=𝑂𝐴 × 𝐅. (3)
88
M(O) este un vector perpendicular atât pe vectorul de
poziție 𝐫𝐴 = 𝑂𝐴 al punctului de aplicație al forței F, cât și pe
vectorul F. Mărimea lui este egală cu OA·F·sin 𝛼 = 𝐹 · 𝑂𝑂′,
unde 𝑂𝑂′ ⊥ 𝐴𝐵 (fig. 3.8).
Fig. 3.8
Sensul vectorului M(O) este dat de „regula burghiului” sau
„a mâinii drepte”. Dacă A′ este un alt punct situat pe
dreapta–suport AB a lui F, atunci M(O)=𝑂𝐴′ ×F (deoarece
𝑂𝐴′ = 𝑂𝐴 + 𝐴𝐴′ și 𝐴𝐴′ ×F=0). Așadar, F poate „aluneca” pe
suportul ei, fără a modifica momentul în raport cu O.
Distanța d = 𝑂𝑂′ de la O la suportul forței se numește
brațul forței. Așadar, ‖𝐌(𝑶)‖ = forța × brațul.
Exemplu
Momentul rezultant al unui cuplu F, −F (unde F=𝐴𝐵 și
– 𝐅 = 𝐶𝐷 ) în raport cu un punct O nu depinde de acel punct; într-
adevăr, 𝑂𝐴 × 𝐅 + 𝑂𝐶 × (−𝐅) = (𝑂𝐴 − 𝑂𝐶 ) × 𝐅 = 𝐶𝐴 ×F și
acest produs vectorial nu depinde de O.
Dacă mai multe forțe acționează asupra unui corp, atunci
suma momentelor lor în raport cu un punct se numește momentul
rezultant. Se poate arăta că „dacă forțele au suporturile fie
concurente în același punct fie paralele, atunci momentul
89
rezultant al lor este egal cu momentul rezultantei acelor forțe”
(teorema lui Varignon).
Teorema condițiilor de echilibru
Reamintim că un solid rigid se află în echilibru dacă sub
acțiunea tuturor forțelor care acționează asupra acelui solid, el nu
își modifică poziția față de un reper fix (sau inerțial). O particulă
este în echilibru ⇄ rezultanta R a tuturor forțelor care acționează
asupra ei este nulă. Acest fapt este valabil și pentru un solid rigid
care ar putea fi doar translatat (nu și rotit) pe o suprafață
orizontală sau pe un plan înclinat.
Are loc următoarea:
TEOREMĂ: „Presupunem că toate forțele care
acționează asupra unui solid rigid sunt coplanare. Solidul se află
în echilibru ⇄ rezultanta forțelor este nulă și suma momentelor
forțelor relativ la un punct este nulă”.
Aplicând momentele, se poate face un studiu unitar al
echilibrului „pârghiilor”, ca solide rigide (bare) asupra cărora
acționează două forțe paralele – forța rezistentă R și forța activă
F; suma forțelor R, F și a reacției sprijinului este nulă și în plus,
barele respective se pot roti în jurul unui punct de sprijin S. În
funcție de poziția punctelor de aplicație ale forțelor față de S,
avem trei tipuri de pârghii:
a. S situat între punctele de aplicație ale forțelor coliniare
și cu același sens R și F (fig. 3.9 a)); pentru echilibru, suma
momentelor lui F și R în raport cu S este nulă, adică
𝑆𝐴 × 𝐅 + 𝑆𝐵 × 𝐑 = 0. Explicitând, regăsim legea lui Arhimede:
𝐹 · 𝑏𝐹 = 𝑅 · 𝑏𝑅 (brațul unei forțe este distanța de la punctul de
sprijin la suportul forței); similar pentru celelalte două cazuri:
90
b. R are punctul de aplicație între S și punctul de aplicație
al lui F, iar R și F au sens contrar (fig. 3.9 b));
c. F are punctul de aplicație între S și punctul de aplicație
al lui R și F, R au sens contrar (fig. 3.9 c)).
Fig. 3.9
Exemplu
Un corp aflat pe un plan înclinat se poate cel mult translata
(fig. 3.10).
Fig. 3.10
Condiția de echilibru este ca rezultanta forțelor care
acționează asupra corpului să fie nulă, adică G+N+Ffr=0, cu
notații transparente. Înmulțind scalar cu versorul orizontal u,
rezultă 0+N·1·cos(90° + 𝛼) + 𝐹fr · 1 · cos 𝛼 = 0, adică:
91
−𝑁 sin𝛼 + 𝑘𝑁 cos 𝛼 = 0; regăsim condiția tg𝛼 = 𝑘
(unde k este coeficientul de frecare pe plan). Dacă tg𝛼 > 𝑘, forța
de frecare este înfrântă și corpul alunecă pe plan.
Centrul de greutate al unui solid rigid
Orice particulă de masă m din această cameră este atrasă
spre centrul Pământului cu forța gravitațională
G=m·g (≡greutatea particulei). Orice corp solid K este alcătuit
din particule Pi având mase 𝑚𝑖 (număr imens, dar finit!) și masa
corpului este 𝑀 = ∑ 𝑚𝑖𝑖 , iar greutatea lui este
G=∑ (𝑚𝑖𝐠)𝑖 = 𝐠∑ 𝑚𝑖𝑖 = 𝑀𝐠; am presupus că g≅9,81 m/s2 este
o constantă. Punctul de aplicație al forței G este numit centrul de
greutate al corpului K, notat GK. Corpul K este omogen dacă
masa lui M este distribuită uniform, în sensul că dacă numărul
componentelor Pi este N, atunci 𝑚𝑖 =𝑀
𝑁 pentru orice i.
Pentru un corp omogen de masă M și volum V, se
definește densitatea lui de volum 𝜌 =𝑀
𝑉 (măsurată în kg/m3 ); în
cazul unei bare omogene 1D, se definește densitatea liniară
𝜌 =𝑀
ℓ (ℓ=lungimea barei), iar în cazul unei plăci omogene,
𝜌 =𝑀
𝐴 (A=aria plăcii).
Revenim la cazul unui corp solid omogen K având masa
M și alcătuit din N particule Pi. Considerând un referențial O și
notând 𝐫𝑖 = 𝑂𝑃 𝑖, vectorul de poziție al particulei Pi, se poate arăta
că vectorul de poziție al centrului de greutate GK este:
𝑂𝐺 𝐾 =1
𝑀∑ 𝑚𝑖𝐫𝑖𝑖 =
1
𝑀∑
𝑀
𝑁𝐫𝑖𝑖 =
1
𝑁∑ 𝐫𝑖𝑖 . (4)
În cazul când corpul omogen K are o axă de simetrie,
centrul de greutate GK aparține acelei drepte, iar dacă K are un
92
centru de simetrie, atunci GK va fi tocmai acel punct. În studiul
echilibrului unui corp solid, este util de calculat momentul forței
de greutate în raport cu centrul de greutate.
Exemplu
Pentru o bară omogenă K, centrul de greutate GK se află la
mijlocul barei și pentru o placă omogenă triunghiulară, GK se află
în punctul de intersecție a medianelor și în plus, pentru orice
referențial 𝑂, 𝑂𝐺 𝐾 =1
3(𝐫1 + 𝐫2 + 𝐫3), media aritmetică a
vectorilor de poziție ai vârfurilor triunghiului. Pentru un corp
conic circular drept omogen K, GK este situat pe înălțimea
conului, la trei pătrimi de vârf.
Fie K un corp solid așezat pe o față plană P (≡ suprafața
de sprijin). Se spune că echilibrul lui K este stabil dacă, după
„mici intervenții” asupra corpului, acesta revine la poziția
anterioară. Astfel, o prismă omogenă ca în figura 3.11, pentru care
centrul de greutate GK se proiectează în interiorul suprafeței de
sprijin hașurate, se află în echilibru stabil. Este și cazul celebrului
turn din Pisa.
Fig. 3.11
93
§3.3. Mișcarea pe un plan înclinat
Studiul planului înclinat oferă o bună ocazie pentru a
vedea rolul vectorilor în descrierea unor mișcări uzuale ale
obiectelor. Bineînțeles, considerăm un model idealizat al planului
înclinat, abstras din observarea diverselor rampe, piste de ski sau
bob, drumuri în pantă etc.
Definiția 2.3: Planul înclinat este o suprafață plană care
formează cu planul orizontal un unghi ascuțit (de măsură 𝛼).
Ne propunem să studiem mișcarea unei cutii de masă m
pe o suprafață plană orizontală. Asupra cutiei acționează
greutatea G și forța de reacție a suportului N= – G. În cazul când
cutia este deplasată (bineînțeles sub acțiunea unei anumite forțe),
apare o forță orizontală de frecare Ffr care se opune mișcării,
având mărimea kN, unde k este coeficientul de frecare; acesta
depinde de suprafață și este determinabil experimental.
Dacă însă cutia se deplasează pe un plan înclinat (cu 𝛼),
atunci G trebuie descompusă în două componente vectoriale, una
𝐆1 în lungul planului și alta 𝐆2 perpendiculară pe plan (fig. 3.12).
Fig. 3.12
Așadar, G=𝐆1 + 𝐆2. Reacția planului înclinat este
N=−𝐆2. Mărimile vectorilor considerați sunt: G=mg, G1=Gsin 𝛼
și G2=Gcos 𝛼.
94
Notă: Există convenții, uneori subînțelese, alteori omise.
Astfel, automobilul, schiorul sau cutia sunt asimilate cu o
particulă (sau cu un mobil zero dimensional) și se neglijează
rezistența aerului; de asemenea, punctul de aplicație al greutății G
este chiar centrul de masă C al cutiei.
Alegem un reper ortonormal {C; i, j}≡ 𝑥𝐶𝑦, cu axa Cx de
versor i îndreptată în lungul planului spre coborâre și Cy cu
versorul j pe direcția normală. Totdeauna se recomandă axele
legate de sensul mișcării (fig. 3.13).
Fig. 3.13
Componentele scalare ale lui G sunt 𝐺𝑥 = 𝐺 sin 𝛼,
𝐺𝑦 = −𝐺 cos 𝛼 și 𝐺 = 𝑚𝑔.
Atunci G=𝐺𝑥𝐢 + 𝐺𝑦𝐣 = 𝑚𝑔(sin 𝛼 𝐢 − cos 𝛼 𝐣). În lipsa
frecării, forțele care acționează asupra cutiei sunt greutatea G și
reacția planului de sprijin N=Nj și rezultanta lor este:
R=G+N=𝑚𝑔 sin 𝛼 𝐢 + (N −mg cos 𝛼)𝐣.
Dar 𝑁 = 𝐺 cos 𝛼 = 𝑚𝑔 cos 𝛼 deci R=mg sin 𝛼i.
Pe de-altă parte, legea a II-a a dinamicii lui Newton arată
că R=ma deci a=1
𝑚𝐑 =
1
𝑚(𝑚𝑔 sin 𝛼 𝐢) = 𝑔𝐢 sin 𝛼. Ca atare, în
lipsa frecării sau a tracțiunii în sus, accelerația mișcării are același
sens cu versorul i, independent de masă. Mărimea accelerației
95
este a=gsin 𝛼, strict mai mică decât accelerația gravitațională g
(deoarece sin 𝛼 < 1).
Cunoscând accelerația (constantă) a, se determină diverse
elemente ale mișcării – viteze, durate etc. Reamintim formulele
mișcării rectilinii uniform accelerate; cu notații transparente, dacă
viteza inițială a cutiei într-o anumită poziție este 𝑣0, atunci viteza
la momentul t este 𝑣(𝑡) = 𝑣0 + 𝑎𝑡, iar drumul parcurs până la
momentul t este 𝑠(𝑡) = 𝑣0𝑡 +𝑎𝑡2
2. Notând cu 𝑣1 viteza cutiei într-
o poziție aflată la distanța d de poziția inițială, rezultă
𝑣1 = 𝑣0 + 𝑎𝑡, deci 𝑡 = 𝑣1−𝑣0
𝑎 și d=𝑣0 ·
𝑣1−𝑣0
𝑎+1
2𝑎 · (
𝑣1−𝑣0
𝑎)2
și
după calcule, 𝑑 =𝑣12−𝑣0
2
2𝑎. Această relație se poate obține și
aplicând „teorema variației energiei cinetice” (diferența
energiilor cinetice este egală cu lucrul efectuat):
𝑚𝑣12
2−𝑚𝑣0
2
2= 𝐹𝑑 = 𝑚𝑎𝑑.
Exemplu
Dacă alunecarea cutiei se produce pe o rampă cu lungimea
d=3 m, înclinată cu 𝛼 = 20° față de orizontală și pornește din
vârful rampei cu viteza 𝑣0 = 0, atunci accelerația va fi
a=g· sin 𝛼 ≅ 9,81 · sin 20 ° ≅ 3,36 m/s2; viteza finală (la baza
rampei) va fi 𝑣1 = √2𝑎𝑑 = √2 · 3,36 · 3 ≅4,5 m/s. Iar durata
mișcării va fi t = 𝑣1−𝑣0
𝑎≅1,3 s.
Acum să introducem în discuție frecarea, ceea ce revine la
a ține cont de încă o forță. Frecarea operează în două regimuri:
frecarea statică descrie cât trebuie împins un obiect staționar
pentru a-l deplasa; frecarea cinetică apare după ce obiectul se
mișcă și se opune mișcării. În cazul planului înclinat, forța de
frecare Ffr este coliniară cu componenta 𝐆1 și are mărimea kN
96
deci Ffr=−𝑘𝑁𝐢 = −𝑘𝑚𝑔 cos 𝛼i. În acest caz, rezultanta forțelor
va fi R+Ffr=mg(sin 𝛼 − 𝑘 cos 𝛼)i și accelerația mișcării va fi
𝑎 =𝑅
𝑚= 𝑔(sin 𝛼 − 𝑘 cos𝛼). Efectul frecării este acela că
accelerația mișcării este mai mică și durata mișcării mai mare.
Exemple
1) Reluăm exemplul anterior, presupunând k=0,2. Atunci
a=9,81(sin 20° -0,2 cos 20°) ≅1,51 m/s2 și 𝑣1 = √2𝑎𝑑 ≅3,0 m/s;
durata mișcării va fi de circa 2 s.
2) Pe o rampă se află un corp de masă m. Ce forță trebuie
să acționeze asupra corpului în următoarele situații:
a) corpul să se deplaseze uniform accelerat în sus;
b) corpul să fie menținut în repaus;
c) corpul să fie deplasat în sus cu accelerația a1;
d) corpul să alunece în jos cu accelerația a1?
Răspuns
a) 𝑚𝑔(sin𝛼 + 𝑘 cos 𝛼);
b) 𝑚𝑔(sin𝛼 − 𝑘 cos 𝛼);
c) 𝑚[𝑎1 + 𝑔(sin 𝛼 + 𝑘 cos 𝛼)];
d) 𝑚[𝑎1 − 𝑔(sin 𝛼 − 𝑘 cos 𝛼)].
3) Estimăm randamentul unui plan înclinat și considerăm
un corp cu greutatea G care trebuie ridicat la înălțimea h. Lucrul
util este Lu=Gh; lucrul consumat Lc este lucrul forței de tracțiune
pe lungimea ℓ a planului deci Lc=(𝐺 sin 𝛼 + 𝑘𝐺 cos 𝛼) · ℓ.
Randamentul este numărul adimensional:
𝜂 =𝐿u
𝐿c=
ℎ
ℓ(sin𝛼+𝑘 cos𝛼)=
sin𝛼
(sin𝛼+𝑘 cos𝛼)=
1
1+𝑘 ctg𝛼.
Întrebare: Cum se determină experimental coeficientul de
frecare k? Iată un răspuns: Se așează o cutie paralelipipedică pe o
scândură netedă, dar nu unsă! Se ridică încet, la un capăt
97
scândura, până ce bătând ușor în scândură, să se asigure
deplasarea uniformă a cutiei. Greutatea cutiei plus reacțiunea
sprijinului au valoarea 𝑚𝑔 sin 𝛼, iar valoarea forței de frecare
este 𝑘𝑚𝑔 cos 𝛼. Cutia începe să alunece dacă
mgsin 𝛼 ≥ 𝑘𝑚𝑔 cos 𝛼 deci 𝑘 ≤ tg 𝛼. Se consideră măsura
minimă a unghiului 𝛼 când cutia începe să alunece. Atunci k=tg𝛼.
§3.4. Mișcarea curbilinie 2D și mișcarea circulară
uniformă
Reamintim că dacă la fiecare moment t, se notează cu 𝑠(𝑡)
drumul parcurs pe o axă de un mobil (≡ particulă) până la
momentul t, atunci se definește viteza 𝑣(𝑡) ca fiind limita
limℎ→0
𝑠(𝑡+ℎ)−𝑠(𝑡)
ℎ, adică derivata 𝑠′(𝑡). Accelerația particulei la
momentul t este 𝑣′(𝑡) = 𝑠′′(𝑡). Aceste noțiuni se extind la cazul
mobilelor constrânse să se miște pe anumite curbe în plan
sau în spațiu.
Vectori tangenți
Arătăm acum virtuțile vectorilor în studiul mișcărilor
curbilinii 2D sau 3D. În mod concret, considerăm un mobil
(≡particulă) situată pe o curbă (C) dintr-un plan raportat la un
reper cartezian ortonormal plan {O;𝐞1, 𝐞2}≡xOy; presupunem că
la fiecare moment t, dintr-un interval de timp I, mobilul se află în
punctul 𝑀(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)); (fig. 3.14).
98
Fig. 3.14
Vectorul său de poziție este:
r(𝑡) ≡ 𝑂𝑀 = 𝑥(𝑡)𝐞1 + 𝑦(𝑡)𝐞2. (5)
Curba (C) este presupusă netedă (continuă, având
tangentă în fiecare punct și fără autointersecții). Relațiile:
𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡), pentru orice 𝑡 ∈ 𝐼 (6)
se numesc ecuațiile parametrice ale curbei (C). Eliminând
parametrul t, se obține o relație de forma F(x,y)=0, care este
ecuația carteziană a curbei (C).
Fixăm un moment 𝑡0 ∈ 𝐼 și fie 𝑀0 ∈(C) poziția
corespunzătoare a mobilului. Așadar,
𝑀0(𝑥(𝑡0), 𝑦(𝑡0)) deci 𝑀0𝑀 = 𝑂𝑀 − 𝑂𝑀0 = 𝐫(𝑡) − 𝐫(𝑡0),
conform (5).
Pentru 𝑡 ≠ 𝑡0 , rezultă:
1
𝑡−𝑡0𝑀0𝑀 =
1
𝑡−𝑡0(𝐫(𝑡) − 𝐫(𝑡0)) =
𝑥(𝑡)−𝑥(𝑡0)
𝑡−𝑡0𝐞1 +
𝑦(𝑡)−𝑦(𝑡0)
𝑡−𝑡0𝐞2.
Pentru t tinzând spre t0, rezultă că punctul M tinde spre
M0, iar dreapta–coardă M0M tinde spre tangenta la curba (C) în
punctul M0. La limită, rezultă relația între derivate:
r′(𝑡0) = 𝑥′(𝑡0)𝐞1 + 𝑦′(𝑡0)𝐞2.
Acest vector este coliniar cu tangenta în punctul M0 la
curba (C). El este notat v(𝑡0) și numit totodată vectorul–viteză al
mobilului M la momentul t0.
99
Definiția 3.4: Pentru orice 𝑡 ∈ 𝐼, vectorul:
v(t)≡ 𝐫′(𝑡) = 𝑥′(𝑡)𝐞1 + 𝑦′(𝑡)𝐞2 (7)
este vectorul–viteză la momentul t. El este tangent în punctul M
la curba (C), adică are direcția tangentei la curba (C) în punctul
curent M al curbei. Momentele t, când v(t)=0, se numesc de
repaus.
În cazul unui cerc, tangenta într-un punct al cercului este
perpendiculară pe raza respectivă; în cazul unei drepte, tangenta
este acea dreaptă, dar la alte curbe, singurul raționament este cel
anterior, care apelează la limita coardelor și la derivarea
vectorului de poziție pe componente.
Curba (C) se mai numește traiectoria mobilului curent.
Se studiază și traiectorii spațiale, pe curbe 3D raportate la repere
ortonormale Oxyz. Curbele din spațiu sunt fie date parametric,
adăugând la relațiile (6) încă o ecuație de tipul z=z(t), fie ca
intersecție a două suprafețe (de exemplu, cercuri privite ca
intersecții ale unor sfere cu plane sau secțiunile conice – elipse,
parabole sau hiperbole obținute din intersecția unui con circular
drept cu diverse plane). Din nou, dacă o curbă în spațiu este dată
parametric, prin r=r(t), atunci derivata r′(𝑡) are direcția tangentei
la curbă, în punctul corespunzător.
Exemplu
Fie curba (C): x=2t+3, y=𝑡2 + 𝑡 și 𝑡0 = 1.
Atunci r(𝑡) = (2𝑡 + 3)𝐞1 + (𝑡2 + 𝑡)𝐞2, r′(𝑡) = 2𝐞1 +
(2𝑡 + 1)𝐞2 și 𝐫′(𝑡0) = 2𝐞1 + 3𝐞2. Eliminând t, se obține ecuația
𝑦 = (𝑥−3
2)2
+𝑥−3
2=1
4(𝑥2 − 4𝑥 + 3) și recunoaștem un trinom
de gradul al doilea, deci ecuația unei parabole.
Se poate considera mai departe vectorul–accelerație la
momentul t, anume a(t)=v′(𝑡) = 𝒓′′(𝑡). Viteza scalară este
100
𝑣(𝑡) = ‖𝐯(𝑡)‖ și accelerația scalară este 𝑎(𝑡) = ‖𝐚(𝑡)‖ pentru
orice 𝑡 ∈ 𝐼.
Atenție: în timp ce a(𝑡) = 𝐯′(𝑡), se poate întâmpla ca
a(𝑡) ≠ 𝑣′(𝑡), așa cum arată exemplul următor.
Exemplu
Presupunem că la orice moment t, un mobil se află în
punctul 𝑀(𝑡2 − 4𝑡, 𝑡2 + 1). Determinăm vectorul–viteză,
vectorul–accelerație, viteza scalară și accelerația scalară la orice
moment.
Avem r(t)=(𝑡2 − 4𝑡)𝐞1 + (𝑡2 + 1)𝐞2 deci
v(𝑡) = 𝐫′(𝑡) = (2𝑡 − 4)𝐞1 + 2𝑡𝐞2 și
𝐚(𝑡) = 𝐯′(𝑡) = 2𝐞1 + 2𝐞2.
Apoi,
𝑣(𝑡) = √(2𝑡 − 4)2 + 4𝑡2 și 𝑎(𝑡) = 2√2.
Mișcarea circulară uniformă
Fie (C) cercul cu centrul în origine și raza R (R>0). Îi
atașăm reperul ortonormal {O;𝐞1, 𝐞2}≡ 𝑥𝑂𝑦. Presupunem că un
mobil este identificat cu punctul curent M(x, y), care satisface
condiția OM=R, deci √𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅. Așadar, ecuația cercului
este 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑅2 = 0. Fie 𝑀𝑀′ ⊥ 𝑂𝑥 și A punctul de intersecție
dintre OM ′ și (C); (fig. 3.15).
Fig. 3.15
101
Definiția 3.5: Mișcarea mobilului M pe cercul (C) este
numită uniformă dacă în intervale de timp egale, mobilul
parcurge arce de cerc egale (≡congruente). Se notează cu T durata
unei singure rotiri complete (numită perioada mișcării) și cu f
numărul de rotații pe secundă (f se numește frecvența mișcării
sau turația).
Așadar, aplicând regula de trei simplă: în T [s] mobilul
face 1 rotație, deci în 1 s, va face f=1
𝑇 rotații. Atunci în timpul t,
mobilul face n=t·f rotații.
Mobilul M se deplasează pe cerc cu viteză constantă v și
parcurge lungimea 2𝜋𝑅 a cercului în T secunde. Atunci:
𝑣 =2𝜋𝑅
𝑇. (8)
Notăm cu 𝜔 măsura unghiului la centru al cărui arc este
parcurs în 1s. Atunci în t secunde, mobilul parcurge un arc de
măsură 𝜔𝑡 și lungime 𝑅𝜔𝑡. În T secunde (cât perioada), mobilul
parcurge o singură dată întregul cerc deci 𝑅𝜔𝑇 = 2𝜋𝑅, de unde
𝜔 =2𝜋
𝑇= 2𝜋𝑓 și ca atare, conform (8),
𝑣 = 𝑅𝜔. (9)
Așadar, dacă arcul AM este parcurs în t secunde, atunci
măsura lui este 𝜔𝑡 și aceeași măsură (în radiani) o va avea și
unghiul 𝐴𝑂��. Numărul 𝜔>0 se numește accelerația unghiulară
(constantă) a mișcării (presupusă în sens invers acelor de
ceasornic). Din triunghiul 𝑂𝑀𝑀′, rezultă:
𝑥(𝑡) = 𝑅 cos𝜔𝑡 ș𝑖 𝑦(𝑡) = 𝑅 sin𝜔𝑡 (𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2).
Acestea sunt ecuațiile parametrice ale cercului (C). Cercul
este parcurs o singură dată pornind din punctul A și revenind tot
în A dacă 0 ≤ 𝜔𝑡 ≤ 2𝜋; așadar, parametrul t variază de la 0 la T.
Vectorul de poziție al mobilului M va fi:
102
r(𝑡) = 𝑅 cos𝜔𝑡 𝐞1 + 𝑅 sin𝜔𝑡 𝐞2 , pentru 𝑡 ∈ [0, 𝑇].
Vectorul-viteză este:
𝐯(𝑡) = 𝐫′(𝑡) = −𝑅𝜔 sin𝜔𝑡 𝐞1 + 𝑅𝜔 cos𝜔𝑡 𝐞2;
mărimea lui, adică v(t), se numește viteza liniară a mobilului.
Evident,
𝑣(𝑡) = ‖𝐯(𝑡)‖ = √𝑅2𝜔2sin2𝜔𝑡 + 𝑅2𝜔2cos2𝜔𝑡 = 𝑅𝜔
și regăsim formula (9). Apoi vectorul–accelerație este:
𝐚(𝑡) = 𝐯(𝑡)′ = −𝑅𝜔2 cos𝜔𝑡 𝐞1 − 𝑅𝜔2 sin𝜔𝑡 𝐞2 , care
este egal tocmai cu −𝜔2r(t).
Accelerația scalară a mobilului este:
𝑎(𝑡) = ‖𝐚(𝑡)‖ = ‖−𝜔2𝐫(𝑡)‖ = 𝑅𝜔2 = 𝑅 (𝑣
𝑅)2
=𝑣2
𝑅.
Reținem că vectorii–viteză și accelerație sunt variabili
(depinzând de t), dar mărimile lor sunt constante (fiind
independente de t); anume,
𝑣 = 𝑅𝜔 și 𝑎 =𝑣2
𝑅= 𝑅𝜔2. (10)
Deoarece v(𝑡) = 𝑂𝑀 și r′(𝑡) are direcția tangentei în M
la cercul (C), rezultă că r′(𝑡) ⊥ 𝐫(𝑡), deci vectorul–viteză este
perpendicular pe vectorul de poziție, la orice moment t. Apoi
a(𝑡) = −𝜔2𝐫(𝑡), deci vectorul–accelerație este coliniar cu r(𝑡) și
este orientat pe rază cu sensul spre centru.
Din aceste motive, viteza v(𝑡) =r′(𝑡) se mai numește
tangențială, iar accelerația a(𝑡) se numește centripetă (radială
sau normală); (fig. 3.16). Viteza scalară v=R𝜔 se numește
liniară (sau periferică).
103
Fig. 3.16
Notă: Frecvența f se măsoară în Hz (1 Hz=1 s–1 ); 𝜔 se
măsoară în rad/s. Notând cu 𝛼(𝑡) măsura unghiului la centru
𝐴𝑂��, atunci viteza unghiulară este derivata 𝜔(𝑡) = 𝛼′(𝑡). În
cazul mișcării circulare uniforme, avem:
𝛼(𝑡) = 𝜔𝑡 și 𝛼′(𝑡) = 𝜔, constantă.
Exemplu
Presupunem că în mișcarea circulară uniformă pe un cerc
de centru O și rază R=2 m, un mobil M se deplasează astfel încât
vectorul său de poziție 𝑂𝑀 se rotește cu unghiul 𝜋
2 în 3s.
Determinăm viteza periferică și accelerația.
Așadar, o rotație completă se face în T=12s deci conform
(9), 𝜔 =2𝜋
𝑇=𝜋
6.
Atunci v=R𝜔 =𝜋𝑅
6≅1,04 m/s și a=
𝑣2
𝑅=0,54 m/s2.
Vectorul viteză al unui solid rotitor
Rotirea unui solid rigid K în spațiu (de exemplu, un
tambur) poate fi descrisă printr-un vector w având direcția axului
de rotație și mărimea egală cu viteza unghiulară 𝜔 a rotației;
sensul va fi precizat mai jos. Fie 𝑀 ∈ 𝐾 un punct al solidului, aflat
la distanța d de ax. Atunci viteza sa liniară v este, conform (9),
104
egală cu 𝜔𝑑. Alegem un punct referențial O pe ax. Vectorul de
poziție al punctului M este 𝑂𝑀 =r; figura 3.17. Notând cu 𝜃
unghiul dintre vectorii w și r, rezultă:
𝑣 = 𝜔𝑑 = ‖𝐰‖ · 𝑑 = ‖𝐰‖ · 𝑟 sin 𝜃 = ‖𝐰 × 𝐫‖.
Sensul vectorului w este ales astfel încât vectorul–viteză
v cu punctul de aplicație M să fie egal tocmai cu produsul
vectorial 𝐰× 𝐫. Formula:
v=𝐰× 𝐫 (11)
este utilizată pentru a determina viteza v în orice punct al corpului
K. Unii autori numesc w ca fiind vectorul–viteză tangențială și
îl notează cu 𝛚. Așadar, v=𝛚× 𝐫.
Fig. 3.17
Notă:
În Mecanică se studiază mișcări curbilinii mai complexe
și mișcări circulare neuniforme, nu numai ale particulelor dar și
ale solidelor sau fluidelor. Scopul nostru declarat a fost acela de
a ilustra câteva aplicații în care vectorii sunt indispensabili. Am
văzut că ei reprezintă forțe – greutatea, frecarea, forțe elastice; am
vorbit de componente ale vectorilor și de viteze sau accelerații ale
105
diverselor mișcări. În practica uzuală, accelerația este privită ca
„viteza de variație a vitezei”; astfel, la un automobil avem trei
acceleratoare – pedala cu care modificăm viteza scalară, frâna
(decelerare) ce produce o variație în lungul tangentei la traiectorie
și rotirea volanului, care produce o variație radială a direcției
automobilului, independentă de viteza scalară. Toate acestea
necesită abordări mai subtile, în care rolul vectorilor este
amplificat, ajungând la câmpuri de vectori variabili în spațiu și
timp. Cu ajutorul acestora, se descriu nu numai fenomene
mecanice, dar și fenomene electrice sau magnetice, care
constituie o altă fațetă a realității fizice.
106
107
CAPITOLUL 4: CÂMPURI DE VECTORI
ȘI APLICAȚII ÎN
ELECTROMAGNETISM
În capitolele anterioare, am studiat vectori liberi,
considerați în diverse situații. Denumirea de „liberi” provine de
la faptul că punctul de aplicație poate fi oriunde, adică un vector
liber are o copie cu punctul de aplicație în orice punct prescris. În
acest capitol, vom considera câmpuri de vectori; un câmp de
vectori este o familie de vectori legați. De asemenea, ne vom
referi la câmpuri scalare care sunt în fond funcții de mai multe
variabile (reale).
§4.1. Câmpuri de vectori, linii de câmp
Câmp de vectori, câmp scalar
Stările principale ale materiei supuse unor acțiuni sau
forțe sunt cele de substanță (în cazul acțiunii „directe”) și de
câmp (pentru acțiuni „la distanță”). În substanțe, materia este
concentrată, bine localizată și adeseori, la vedere. În cazul
câmpurilor, materia este delocalizată, relativ ascunsă organelor de
simț, dar capabilă să transmită interacțiuni „prin contingență”.
Definiția 4.1: A defini (≡a considera) un câmp de vectori
(≡câmp vectorial) într-o regiune D din spațiul fizic S revine la
a asocia oricărui punct 𝑀 ∈ 𝐷 un vector având punctul de
aplicație în M. Mai precis, un câmp de vectori este o aplicație:
𝐯: 𝐷 → 𝑉3, 𝑀 ↦ 𝐯(𝑀) , (1)
108
sau echivalent, o familie de vectori legați {v(M)}, 𝑀 ∈ 𝐷,
indexată după punctele regiunii D; (fig. 4.1).
Fig. 4.1
Dacă spațiul S este raportat la un reper cartezian
{O;𝐞1, 𝐞2, 𝐞3} de versori 𝐞1, 𝐞2, 𝐞3, atunci punctul curent
𝑀(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) din D este bine definit prin vectorul său de poziție
𝑂𝑀 = 𝑥𝑖𝐞𝑖 (sumă după i) și:
𝐯(𝑀) = 𝐯(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = 𝑃𝑘(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)𝐞𝑘 (2)
(sumă după k), unde funcțiile 𝑃𝑘, 1 ≤ 𝑘 ≤ 3, presupuse continue,
se numesc componentele scalare ale câmpului vectorial v.
Definiția 4.2: Un câmp scalar în regiunea D este o funcție
continuă 𝜑(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), 𝜑 ∶ 𝐷 → ℝ , prin care fiecărui punct
𝑀 ∈ 𝐷 i se asociază un scalar 𝜑(𝑀) ≡ 𝜑(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3).
Așadar, un câmp de vectori echivalează (relativ la un
reper) cu trei câmpuri scalare.
Notă: Ideea de câmp a fost introdusă în secolul al XIX-lea
de Faraday și apoi dezvoltată de Maxwell. Acum știm că suntem
străbătuți sau înconjurați de diverse câmpuri – gravitațional,
electromagnetic, termic, al radiației solare etc.
În continuare, nu vom mai menționa explicit regiunea D
în care acționează câmpurile considerate.
109
Cele spuse anterior au loc în plan. Dacă {O; 𝐞1, 𝐞2} este
un reper cartezian 2D într-un plan P, atunci punctul curent
𝑀(𝑥1, 𝑥2) are vectorul de poziție rM=𝑥1𝐞1 + 𝑥2𝐞2; un câmp de
vectori este de forma v(𝑀) = 𝑃1(𝑥1, 𝑥2)𝐞1 + 𝑃2(𝑥
1, 𝑥2)𝐞2. Un
câmp scalar este o funcție 𝜑(𝑥1, 𝑥2) cu valori reale.
Exemple
1) Se poate considera câmpul vectorilor de poziție
r=r(𝑀) ≡ 𝑂𝑀 relativ la un reper plan {O; 𝐞1, 𝐞2} deci r=𝑥𝑘𝐞𝑘;
fig. 4.2. Același lucru în spațiu, relativ la un reper {O; 𝐞1, 𝐞2, 𝐞3}.
Fig. 4.2
În acest caz, din nou r=𝑥𝑘𝐞𝑘 (sumă după k, pentru 1 ≤ 𝑘 ≤ 3);
(fig. 4.3).
Fig. 4.3
2) Funcția definită prin 𝜑(𝑀)=temperatura în M sau
𝜓(𝑀)=umiditatea în M sunt exemple de câmpuri scalare.
110
Dacă 𝜑: 𝐷 → ℝ este un câmp scalar și a o constantă
reală, mulțimea {𝑀 ∈ 𝐷|𝜑(𝑀) = 𝑎} se numește suprafața de
nivel a a câmpului 𝜑. Evident, suprafețele de nivele diferite sunt
disjuncte. În cazul câmpului scalar al temperaturilor, suprafețele
de nivel sunt izotermele.
3) În figura 4.4 este redat un câmp de vectori normali la o
suprafață Σ (deci perpendiculari pe planele tangente
corespunzătoare).
Fig. 4.4
4) Am văzut că rotirea unui solid rigid K (de exemplu un
tambur) poate fi descrisă printr-un vector 𝛚 având direcția axului
de rotație (fig. 3.17). Conform formulei (11) din § 3.4, pentru
orice punct 𝑀 ∈ 𝐾, vectorul–viteză v cu punctul de aplicație
în M este:
v=𝛚 × 𝐫 (2’)
unde r este vectorul de poziție al lui M relativ la un punct
referențial O situat pe ax.
În acest mod, se poate considera câmpul vectorilor–viteză
ai punctelor solidului K (aici D=K).
Tot astfel, putem vorbi de câmpul vitezelor moleculelor
oricărui fluid (gaz sau lichid).
111
Linii de câmp
Definiția 4.3: Fie v un câmp de vectori. Se numește linie
de câmp al lui v orice curbă 𝛾 care este netedă (≡având tangentă
în fiecare punct și fără autointersecții), care are proprietatea
definitorie că pentru orice punct 𝑀 ∈ 𝛾, vectorul v(M) al
câmpului, având punctul de aplicație în M, este tangent la 𝛾
chiar în M.
În figura 4.5 redăm mai multe linii de câmp 𝛾, 𝛾1, 𝛾2 ale
aceluiași câmp v. Presupunem îndeplinite condițiile matematice
de continuitate sau netezime (≡derivabilitate), care asigură că
prin fiecare punct trece o singură linie de câmp; așadar, orice două
linii de câmp distincte nu se intersectează.
Fig. 4.5
Liniile de câmp indică orientarea vectorilor câmpului. Ne
amintim de experimentul cu pilitura de fier răsfirată pe o masă
orizontală și care, la apropierea unui magnet, se regrupează pe
niște curbe închise.
Reamintim că în lungul unei curbe dată parametric r=r(t),
direcția tangentei este cea a derivatei 𝐫′(𝑡) =𝑑𝐫
d𝑡 a vectorului de
poziție (conform §3.4). Dacă v=𝑃𝑘𝐞𝑘 (conform (2)) este un câmp
de vectori, atunci în fiecare punct M al unei linii de câmp, 𝐫′(𝑀)
112
este coliniar cu v(M); ca atare, v=𝑃𝑘𝐞𝑘 și vectorul–deplasare
dr=(d𝑥𝑘)𝐞𝑘 au componentele scalare proporționale, adică:
d𝑥1
𝑃1=d𝑥2
𝑃2=d𝑥3
𝑃3. (3)
Aceste relații formează sistemul diferențial al liniilor de câmp.
În cazul unui câmp de vectori bidimensional v, având
componentele 𝑃1(𝑥1, 𝑥2) și 𝑃2(𝑥
1, 𝑥2), liniile de câmp sunt curbe
situate în planul 𝑥1𝑂𝑥2, în lungul cărora,
d𝑥1
𝑃1=d𝑥2
𝑃2, (4)
relație numită ecuația diferențială a liniilor de câmp.
Exemple
1) Dacă r este câmpul plan al vectorilor de poziție, atunci
r=𝑥1𝐞1 + 𝑥2𝐞2 și ecuația (4) devine
d𝑥1
𝑥1=d𝑥2
𝑥2. Prin integrare,
rezultă ln|𝑥1| = ln|𝑥2| + ln 𝐶, deci 𝑥1 = 𝐶𝑥2, cu C constantă
arbitrară. Recunoaștem o familie de semidrepte având capătul în
origine; în acest caz, D=ℝ2\{(0, 0)}.
În cazul câmpului vectorilor de poziție din spațiu, sistemul
(3) devine d𝑥1
𝑥1=d𝑥2
𝑥2=d𝑥3
𝑥3; prin integrare, rezultă:
𝑥1 = 𝐶1𝑥2 și 𝑥2 = 𝐶2𝑥
3, cu 𝐶1, 𝐶2 constante arbitrare.
Recunoaștem din nou o familie de semidrepte în spațiu
având capătul în origine, situate în regiunea D=ℝ3\{(0, 0, 0)}.
2) Pentru câmpul plan al vectorilor v=𝑥2𝐞1 − 𝑥1𝐞2,
ecuația (4) devine d𝑥1
𝑥2=
d𝑥2
−𝑥1. Atunci 𝑥1d𝑥1 + 𝑥2d𝑥2 = 0 și prin
integrare, (𝑥1)2 + (𝑥2)2 = 𝐶. Recunoaștem o familie de cercuri
cu centrul în origine.
În figura 4.6, redăm valorile câmpului v cu punctul de
aplicație în punctele A(2,1), B(1,2), C(0,1), D (−1,0) și E(√5,0).
113
Evident, v(A)=𝐞1 − 2𝐞2, v(B)=2𝐞1 − 𝐞2, v(C)=𝐞1,
v(D)=𝐞2, v(E)=−√5𝐞2. Sunt figurate și două linii de câmp:
cercurile 𝛾1 (tangent la vectorii v(A), v(B), și v(E)) și 𝛾2 (tangent
la v(C) și la v(D)).
Fig. 4.6
3) Să reluăm exemplul câmpului v=w×r al vitezelor
punctelor solidului rotitor din figura 3.17. Alegem reperul
cartezian ortonormal 𝑂𝑥1𝑥2𝑥3 de versori 𝐞1, 𝐞2, 𝐞3 astfel încât
vectorul 𝛚, adică axa de rotație să aibă direcția axei 𝑂𝑥3, adică
𝛚 = 𝑎𝐞3 cu a real nenul.
Atunci,
v=𝛚 × 𝐫 = 𝑎𝐞3 × (𝑥1𝐞1 + 𝑥
2𝐞2 + 𝑥3𝐞3) =
= 𝑎𝑥1(𝐞3 × 𝐞1) + 𝑎𝑥2(𝐞3 × 𝐞2) = −𝑎𝑥
2𝐞1 + 𝑎𝑥1𝐞2.
Liniile de câmp satisfac sistemul diferențial
d𝑥1
−𝑎𝑥2=
d𝑥2
𝑎𝑥1=d𝑥3
0.
Prin convenție, dacă într-un șir de rapoarte egale, un
numitor este nul, atunci și numărătorul corespunzător este nul.
Atunci 𝑥1d𝑥1 + 𝑥2d𝑥2 = 0 și d𝑥3 = 0 și prin integrare,
(𝑥1)2 + (𝑥2)2 = 𝐶1 și 𝑥3 = 𝐶2. Recunoaștem cercuri cu centrul
pe axa de rotație.
114
Câmpul gravitațional
Să considerăm o particulă atractoare de masă m, plasată
într-un punct „fix” O. Pentru orice particulă de masă m′, plasată
într-un punct 𝑀 ∈ 𝑆\{𝑂}, fie r=𝑂𝑀 vectorul de poziție al lui M
și 𝑟 = ‖𝐫‖=distanța OM. Atunci 1
𝑟 r este versorul lui r (fig. 4.7).
Fig. 4.7
Forța F de atracție exercitată de O asupra particulei din M
are mărimea 𝐹 = 𝛾G𝑚𝑚′
𝑟2 (𝛾G fiind constanta gravitațională).
Notând 𝛾G𝑚𝑚′ = 𝑎, rezultă F=
𝑎
𝑟2; așadar, forța de atracție va fi:
F(M)=–F vers(r)=−𝑎
𝑟3 r, cu a>0 constant. (5)
Definiția 4.4: Câmpul de vectori {F(M)}, definit în S\{O},
este numit câmpul gravitațional newtonian creat de perechea
atractoare (O, m), în regiunea S\{O}.
Dacă se consideră un reper 3D cartezian {O;𝐞1, 𝐞2, 𝐞3} ≡
𝑂𝑥1𝑥2𝑥3, atunci r=𝑥𝑘𝐞𝑘 (sumă după k),
𝑟 = (𝑥12 + 𝑥2
2 + 𝑥32)1 2⁄ ș𝑖
𝐅(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = −𝑎𝑥1𝐞1 + 𝑎𝑥
2𝐞2 + 𝑎𝑥3𝐞3
(𝑥12 + 𝑥22 + 𝑥32)3 2⁄.
Liniile de câmp ale câmpului gravitațional satisfac
sistemul diferențial d𝑥1
𝑥1=d𝑥2
𝑥2=d𝑥3
𝑥3 ca și liniile de câmp ale
câmpului vectorilor de poziție; deci sunt semidrepte cu capătul în
punctul atractor O.
115
Câmpul scalar:
U=𝑎
𝑟=
𝑎
(𝑥12+𝑥22+𝑥32)1 2⁄ (6)
este numit potențialul scalar newtonian al câmpului
gravitațional al perechii (O, m).
Un set finit de N particule (𝑂𝑘, 𝑚𝑘), 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑁,
determină câmpul gravitațional:
F=∑ (−𝑎𝑘
𝑟𝑘𝐫𝑘)
𝑁𝑘=1 , unde 𝐫𝑘 = 𝑂𝑘𝑀 , 𝑟𝑘 = ‖𝐫𝑘‖ și 𝑎𝑘 > 0
sunt constante.
Potențialul scalar corespunzător este U=∑𝑎𝑘
𝑟𝑘
𝑁𝑘=1 .
Notă: Orice corp fizic este atractor și creează un câmp
gravitațional, având un potențial scalar. În cazul setului de N
particule, ca și al corpurilor, acțiunea poate fi echivalentă cu cea
a unui centru de masă (C,m), unde m=suma maselor
componentelor. Nu intrăm în detalii.
Reamintim doar că greutatea G a unui corp K de pe
Pământ este forța cu care Pământul, considerat concentrat în
centrul său de masă, atrage acel corp. Avem G=‖𝐆‖ = 𝛾𝐺 ·𝑚·𝑚𝑃
𝑅2
unde m=masa corpului K, mP=masa Pământului și R=raza
Pământului. Notăm g=𝛾𝐺 ·𝑚𝑃
𝑅2 .
Deoarece 𝛾𝐺 ≅ 6,67 × 10−11 Nm4/kg2 (constanta
gravitațională fiind una din constantele fundamentale ale Fizicii),
𝑚𝑃 ≅ 6 × 1024 kg și 𝑅 ≅ 6,38 × 106 m, rezultă 𝑔 ≅ 9,81 m/s2
deci G=mg. Vectorial, G=mg, cu G orientat spre centrul
Pământului.
116
§4.2. Câmpul electrostatic
Legea lui Coulomb
Am văzut în Capitolul 3 utilitatea vectorilor în probleme
de mecanică. Vectorii sunt un instrument esențial și în abordarea
bazelor Electromagnetismului.
Noțiunea de sarcină electrică este una primară; sarcinile
electrice sunt pozitive sau negative și își păsrează această calitate
atunci când sunt deplasate sau transferate de la un corp la altul.
Reamintim legea lui Coulomb relativ la forța de
interacțiune dintre sarcinile electrice :
„Dacă q și q′ sunt două sarcini electrice punctuale aflate
la distanța r, atunci între ele există o forță de atracție sau
respingere
𝐹𝑞𝑞′ = 휀 ·𝑞𝑞′
𝑟2, (7)
unde 휀 este o constantă multiplicativă. Ca vector, forța 𝐹 𝑞𝑞′,
numită coulombiană, are suportul pe dreapta care unește
sarcinile”.
Sarcinile electrice se măsoară în Coulombi (C). Prin
convenție, două sarcini identice, situate la distanța de 1 m, au
mărimea de 1C dacă forța lor coulombiană are mărimea de 1N.
Constanta fizică 휀 are, în vid, valoarea ±8,99 × 109
[m2·N/C2]. Semnul „+” (respectiv „−”) este folosit dacă sarcinile
sunt de semn contrar (respectiv de același semn).
Atenție! Spre deosebire de forțele gravitaționale
newtoniene care sunt doar atractive, forțele coulombiene pot fi și
de respingere.
Notă: Atomii, moleculele și corpurile fizice sunt neutre
electric. Însă electronii sunt purtători de sarcini negative, iar
117
protonii – purtători de sarcini pozitive. Sarcina elementară este
𝑒 ≅ 1,6 × 10−19C (constantă fizică fundamentală, alături de
viteza luminii, constanta gravitațională 𝛾𝐺, numărul lui
Avogadro, masa electronului etc.). Sarcina unui electron este – 𝑒
și cea a unui proton este +e. Nu intrăm în detalii.
Câmpul electrostatic
Fie q o sarcină electrică punctuală; vom nota tot cu q
punctul unde este plasată. Pentru orice punct 𝑀 ∈ 𝑆 ∖ {𝑞}, fie
r=𝑞𝑀 și 𝑟 = ‖𝑞𝑀 ‖=distanța dintre locul sarcinii q și M (fig. 4.8).
Fig. 4.8
Definiția 4.5: Câmpul electrostatic generat de sarcina q
este:
𝐄𝑞 = {𝐄𝑞(𝑀)};𝑀 ∈ 𝑆 ∖ {𝑞}, unde 𝐄𝑞(𝑀) = 휀𝑞
𝑟3𝐫. (8)
Dacă q este o sarcină „+”, atunci 𝐄𝑞(𝑀) este coliniar și
are același sens cu r; dacă q este „−”, atunci 𝐄𝑞(𝑀) = −휀𝑞
𝑟3 r
are sens contrar lui r: fig. 4.9.
Fig. 4.9
118
Vectorii câmpului electrostatic creat de o sarcină electrică
pozitivă q arată ca în figura 4.10 a), iar liniile sale de câmp sunt
semidrepte care „ies” din acea sarcină. În cazul când q este o
sarcină negativă, situația este redată în figura 4.10 b), iar liniile
de câmp sunt semidrepte care „intră” în sarcina q.
Fig. 4.10
Se spune că liniile de câmp „ies” din sarcinile „+” și intră
în sarcinile „−”.
Mai multe sarcini electrice separate produc un câmp
electric, așa cum mase punctuale separate produc un câmp
gravitațional. Vom vedea ulterior că și câmpurile magnetice
variabile produc câmpuri electrice.
Exemple
1) Să considerăm două sarcini 𝑞1, 𝑞2 pozitive și cu aceeași
mărime în C. Câmpul electrostatic asociat acestei perechi este
E=E1+E2; pentru orice punct M, E(M)=E1(M)+E2(M), conform
regulei paralelogramului (fig. 4.11).
119
Fig. 4.11
2) Conform (8), un proton generează la distanța de 1 cm,
în vid, câmpul E=8,99 ×1,6×10−19
10−6𝐫 ≅ (14,4 × 10−4 N/C)r; în
aceleași condiții, un electron, generează câmpul
(−14,4 × 10−4N/C)r, în sensul că dacă electronul se află într-un
punct A, atunci vectorul câmpului electrostatic generat într-un
punct M este (−14,4 × 10−4)𝐴𝑀 .
3) O sarcină pozitivă q1=+2C este plasată în punctul
A(–1, 0) și una negativă q2=–1C este plasată în punctul B(2, 1).
Ne propunem să determinăm vectorul câmpului E creat de cele
două sarcini având punctul de aplicație în M(3, 0); fig. 4.12.
Conform (8),
E1(M)=휀 ·2
𝐴𝑀3· 𝐴𝑀 = 휀 ·
2
644𝐢 =
8 i și
E2(M)=−휀 ·1
𝐵𝑀3· 𝐵𝑀 = −휀 ·
1
2√2(𝒊 − 𝒋) deci
E(M)=E1(M)+E2(M)≅ 휀(−0,22𝐢 + 0,35𝐣).
120
Fig. 4.12
Proprietățile câmpului electrostatic
Am văzut în § 3.1 că un câmp de forțe F efectuează lucrul
elementar dL=F·dr (produs scalar) și că lucrul mecanic în lungul
unui arc de curbă unind două puncte A și B este:
𝐿𝐴𝐵 = ∫ 𝐅 · d𝐫𝐴𝐵
.
Fie q o sarcină electrică pozitivă și F=Eq=휀𝑞
𝑟3 r, câmpul
electrostatic generat de q. Forța asupra unei sarcini 𝑞′ este 𝑞′Eq și
lucrul elementar al acestei forțe este dL=휀𝑞𝑞′
𝑟3 r·dr.
Dar r·r=r2 și diferențiind, rezultă r·dr=rdr, deci
dL=휀𝑞𝑞′
𝑟3 rdr = 휀𝑞𝑞′
d𝑟
𝑟2. Atunci notând rM=distanța de la q la M,
rezultă:
𝐿𝐴𝐵 = ∫ 휀𝑞𝑞′d𝑟
𝑟2= ε𝑞𝑞′ (−
1
𝑟)𝐴
𝐵
𝐴𝐵= 휀𝑞𝑞′ (
1
𝑟𝐴−
1
𝑟𝐵); (fig. 4.13).
Fig. 4.13
121
Definiția 4.6: Expresia 𝑉𝑀 = 휀𝑞1
𝑟𝑀 se numește
potențialul electrostatic al sarcinii q în punctul M. Funcția
𝑉: 𝑆 ∖ {𝑞} → ℝ , 𝑀 ↦ 𝑉𝑀 este un câmp scalar.
Sintetizăm câteva proprietăți:
1) Lucrul câmpului electrostatic pe orice arc de curbă,
unind punctele A, B, este:
𝐿𝐴𝐵 = 𝑞′(𝑉𝐴 − 𝑉𝐵), independent de arc. (9)
Anume, LAB depinde numai de capetele arcului.
2) În cazul când curba este închisă (𝐴 ≡ 𝐵), atunci lucrul
câmpului electrostatic este nul (căci rA=rB).
3) Dacă 𝐵 → ∞, atunci 𝑟𝐵 → ∞ și 𝑉𝐵 → 0, deci conform
(9), potențialul sarcinii q în punctul A este egal cu lucrul sarcinii
q deplasate de la A la infinit, împărțit cu 𝑞′.
4) Dacă există mai multe sarcini electrice q1, q2, ...,
fiecare determină câte un câmp electrostatic și câte un potențial,
care se însumează.
Notă: Cele spuse anterior se refac pentru o sarcină
negativă q și 𝑉𝐴 ar fi lucrul sarcinii deplasate de la infinit la
punctul A. Potențialul 𝑉𝐴 nu poate fi măsurat (căci nu putem
ajunge de la infinit sau merge spre infinit!). Dar diferențele de
potențial pot fi măsurate.
Definiția 4.7: Diferența de potențial 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 se numește
tensiunea creată de sarcina q între punctele A și B.
Mărimea vectorului câmpului electrostatic Eq este
‖𝐄𝑞‖ =| 𝑞|
𝑟2 și se măsoară în [m2N/C2]·[C/m2]=[N/C]. Apoi,
lucrul forței coulumbiene F se măsoară în Nm și potențialul
electrostatic al sarcinii q se măsoară în [m2N/C2]·[C/m]=[Nm/C].
Dar 1 Nm=1 J. Așadar, potențialul electrostatic al unei sarcini
122
electrice se măsoară în [J/C]. Deoarece 1 J/C=1 V (volt),
diferențele de potențial electrostatic se măsoară în volți.
Curentul electric este mișcarea ordonată (≡ fluxul) de
sarcini electrice libere care circulă printr-un conductor (de
exemplu, un cablu de sârmă). În metale, purtătorii de sarcini
electrice sunt electronii. Circulația curentului electric este
similară cu căderea gravitațională a unei ape de la o înălțime, iar
diferența de potențial este similară cu diferența dintre nivelurile
apei. Dacă nu există diferență de potențial electric la capetele unui
conductor, nu există curent electric!
Curentul continuu (numit și constant sau direct) este
cel în care același număr de sarcini electrice, fără schimbare de
sens, trec în aceleași intervale de timp, prin secțiunea transversală
a conductorului.
Dacă N este numărul de purtători de sarcini electrice
(electroni liberi), ce trec printr-un conductor metalic în timpul Δ𝑡,
atunci intensitatea medie a curentului este 𝐼 =𝑁𝑒
Δ𝑡; I se măsoară în
amperi (1 A=1 C/s). Pentru o singură sarcină electrică q
avem q=It.
Dar scopul nostru nu este un curs de Electricitate, ci doar
o ocazie să arătăm rostul vectorilor și câmpurilor de vectori.
§4.3. Câmpul magnetic
Linii magnetice
Nu vom discuta despre fascinanții magneți permanenți cu
doi poli N/S (care nu există separat), nici despre busolă sau
despre experimentele lui Oersted, cel care a observat că în
123
apropierea unui conductor electric, că acul busolei este deviat de
la poziția N–S.
Faraday a făcut primul mare pas, arătând că dacă un curent
trece printr-un conductor electric (cu intensitatea I), ca în figura
4.14, dispus pe axa Oz, atunci în jurul conductorului se află linii
magnetice circulare închise; sensul de deplasare a curentului spre
„ z crescător” este dat de „regula burghiului” rotit de la Ox la Oy.
Altfel spus, dacă punem degetul mare al mâinii drepte în
lungul unui conductor electric în sensul vectorului–intensitate 𝐼 și
apoi ne îndoim degetele ca și când am apuca acel conductor,
câmpul magnetic are direcția degetelor răsucite! În acest mod,
Faraday a explicat și experimentul lui Oersted.
Fig. 4.14
Definiția 4.7: Câmpul magnetic este un câmp de vectori,
care asociază fiecărui punct M din vecinătatea unui magnet
permanent (sau a unui conductor cu sarcini electrice în mișcare,
sau al unei bobine–solenoid), un vector B(M) tangent în M la linia
magnetică trecând prin acel punct.
Mărimea 𝐵(𝑀) = ‖𝐁(𝑀)‖ se numește inducția
magnetică în M.
124
Așadar, un curent electric generează un câmp magnetic;
Faraday a arătat că și invers, un câmp magnetic aflat în mișcare,
produce un curent electric, descoperind fenomenul de „inducție
magnetică” și deschizând astfel era motoarelor electrice și a
Electromagnetismului. După anul 1850, Maxwell a stabilit
legătura matematică subtilă dintre câmpurile electric și magnetic,
pe care o vom prezenta la sfârșitul acestui Capitol.
Un mic electromagnet se poate construi înfășurând o
sârmă metalică în jurul unui miez de fier și conectând capetele
sârmei la bornele unei baterii ca în figura 4.15.
Fig. 4.15
Electromagneții sunt bobine având un miez de fier
interior; ei au diverse forme și mărimi și pot susține, prin atracția
magnetică, încărcături suspendate, fiind folosiți la transport de
mari lingouri, containere cu materiale, dar și la telefoane, motoare
electrice, relee etc.
Spre deosebire de liniile de câmp ale câmpului
electrostatic, care „ies” din sarcinile electrice „+” și intră în
sarcinile „–”, liniile de câmp ale câmpului magnetic (≡ linii
magnetice) sunt curbe închise în jurul conductorului electric care
le-a produs. Ca și în cazul sarcinilor electrice „fixe” care
125
generează câmpul electrostatic, curenții electrici staționari
(pentru care fluxul de sarcini electrice este constant) produc un
câmp magnetostatic.
Legea lui Lorentz
Considerăm un magnet în formă de „U” și un conductor
rectiliniu AB de lungime relativ mică ℓ, așezat între polii
magnetului, ca în figura 4.16.
Fig. 4.16
Aplicând o tensiune de curent continuu la capetele
conductorului, cu intensitatea I direcționată în sensul curentului,
Ampère a arătat că există o forță F, numită forță magnetică,
acționând asupra conductorului. Această forță este exprimată prin
produsul vectorial
F=ℓ𝐈 × 𝐁, (10)
unde B este câmpul magnetic și I un vector în sensul
conductorului AB, cu mărimea cât intensitatea curentului electric.
De fapt, F este un câmp de vectori, pentru că acționează într-o
întreagă regiune.
Dacă q este o sarcină electrică deplasată cu viteza
purtătorilor de sarcini v printr-un conductor rectiliniu de lungime
ℓ și dacă în câmpul magnetic creat avem B⊥I, atunci conform
126
(10), rezultă că F=ℓIB. Notând cu t durata parcurgerii
conductorului, de către curentul electric, atunci ℓ = 𝑣𝑡 deci
𝐹 = 𝑣𝐵𝐼𝑡 = 𝑣𝐵𝑞 (deoarece q=It). Așadar, conform (10), rezultă
F=(vt)I×B=t(Iv) ×B=(It)v×B.
Am dedus astfel legea lui Lorentz:
TEOREMĂ: „Forța magnetică FB produsă de un câmp
magnetic B acționând asupra unei sarcini electrice q, care se
deplasează cu viteza v printr-un conductor rectiliniu, este:
𝐅𝐁 = 𝑞𝐯 × 𝐁”. (11)
Mărimea ei este 𝐹𝐁 = 𝑞𝑣𝐵 sin 𝜃, unde 𝜃 = măs(𝐯, ��).
Definiția 4.8: Inducția magnetică B=‖𝐁‖ se măsoară în
tesla (T). Conform (10), 1 T=1 N/Am este inducția magnetică ce
realizează forța de 1 N asupra unui conductor de lungime 1 m,
prin care trece un curent de 1 A, perpendicular pe liniile
magnetice ale lui B.
Notă: Conform legii lui Coulomb și relației (8), forța
indusă de câmpul electrostatic Eq asupra unei alte sarcini 𝑞′ este
𝑞′𝐄𝑞. Există unele similitudini, dar și diferențe între forțele
magnetice și cele electrice; subliniem câteva din acestea:
- ambele sunt proporționale cu mărimea sarcinii q;
- ambele sunt direct proporționale cu mărimea câmpurilor
𝐄𝑞 și B;
- sarcinile de semn opus induc forțe de sens opus;
- viteza de deplasare a sarcinii apare doar în cazul magnetic,
unde forța depinde de măsura unghiului dintre vectorul–viteză
v și vectorul câmpului magnetic B.
Toate aceste afirmații sunt deduse din interpretarea
produsului vectorial din relația (11). Adăugăm că, dacă vectorii v
127
și B sunt coliniari, atunci 𝐅𝐁 este nulă; apoi forța 𝐅𝐁 are mărimea
maximă dacă 𝜃 = 90°.
Considerăm planul determinat de vectorii v și B presupuși
necoliniari. Forța magnetică 𝐅𝐁 este perpendiculară pe acest plan
(figura 4.17). Câmpurile magnetice pot produce accelerații
radiale, dar nu și tangențiale, unor particule încărcate (≡ sarcini
electrice); ca atare, ele pot modifica direcția, dar nu și viteza
particulelor.
Fig. 4.17
Notă: O convenție comună în Fizică și Inginerie este cea care
amintește de „săgeata vânătorului”. Privită din față, vezi vârful
săgeții ⨀ și din spate, se vede crucea ⨂. Cu această convenție,
notația ⨂B înseamnă că vectorul B „intră” în pagină, iar ⨀B
înseamnă că vectorul B „iese” din pagină. Convențiile sunt
folosite în figura 4.17, în cazul sarcinii q pozitive sau negative.
Dacă q este o particulă încărcată pozitiv și aceasta se
rotește în lungul liniilor magnetice (pe cercuri sau spirale), în
sensul indicat în figura 4.18, iar ⨀B, atunci forța magnetică 𝐅𝐁
are orientarea indicată. Așadar, o particulă parcurge cercuri
închise, reluate indefinit, în sensul acelor de ceasornic, împinsă
de forța magnetică.
128
Fig. 4.18
În cazul unei particule încărcate negativ, același vector –
inducție magnetică B inversează sensul mișcării pe cerc. Mișcarea
particulei are loc pe spirală în dacă v nu este perpendicular pe B.
Iată acum și o aplicație a produselor scalare.
Flux magnetic
Definiția 4.9: Fluxul câmpului magnetic B printr-o placă
plană de arie A este scalarul
Φ = (𝐁 · 𝐧)𝐴, (12)
unde n este versorul normalei la plan de aceeași parte cu B
(figura 4.19).
Fig. 4.19
129
Notând 𝛼=măs(𝐁, ��), avem Φ = 𝐵𝐴 cos 𝛼. Fluxul se
măsoară în weberi [wb]; 1 wb=1Tm2 este fluxul printr-o placă de
arie 1m2, străbătută normal de un câmp magnetic cu mărime 1T.
Exemplu: Dacă A=10 cm2, B=2 T și 𝛼 = 60°, atunci
Φ = 2 × 10 × 10−4 × cos(60°) = 10−3 wb.
Pentru a varia fluxul, trebuie modificate B, A, 𝛼. Dacă se
translatează placa, fluxul nu se modifică. Dar în cazul când
câmpul B nu este constant sau dacă placa se rotește, atunci Φ
variază. S-a constatat experimental că prin variația fluxului
magnetic, se generează o forță electromotoare ℰ𝑖 și un curent
electric, numit curent de inducție. În plus, Faraday a arătat că
forța ℰ𝑖 este proporțională cu viteza de variație în timp a fluxului,
adică ℰ𝑖 = −Φ′(𝑡). Semnul este explicat prin legea Joule–Lenz,
conform căreia curentul electric de inducție generează un câmp
care se opune cauzei care l-a produs.
Această afirmație susține următorul principiu al lui Le
Chatelier: „Dacă asupra unui sistem fizico–chimic, social–
economic etc., aflat în echilibru, se aplică o constrângere, atunci
sistemul se opune acelei constrângeri”.
Ne oprim aici cu aplicațiile vectorilor în
Electromagnetism.
§4.4. Operații diferențiale asupra câmpurilor de vectori
Pentru a descrie mărimile variabile și vitezele lor de
variație, în raport cu timpul sau cu poziția, sunt necesare
derivatele, în diferite ipostaze–derivate pe anumite direcții,
derivate parțiale (pe direcțiile axelor), gradienți etc. În liceu, s-au
învățat derivatele funcțiilor de o variabilă reală, proprietățile lor
130
legate de viteze, accelerații, curburi etc., ca și rolul lor în trasarea
graficelor. Aici vom sublinia doar câteva aspecte conceptuale.
Fixăm un reper cartezian ortonormal 3D,
{O;𝐞1, 𝐞2, 𝐞3}≡ 𝑂𝑥1𝑥2𝑥3.
Gradientul unui câmp scalar
Definiția 4.10: Dacă 𝜑(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) este o funcție netedă
într-o regiune 𝐷 ⊂ ℝ3 și cu valori reale, atunci pentru orice punct
𝑎 ∈ 𝐷, gradientul lui 𝝋 în a este vectorul liber:
grad𝑎𝜑 =𝜕𝜑
𝜕𝑥1(𝑎)𝐞1 +
𝜕𝜑
𝜕𝑥2(𝑎)𝐞2 +
𝜕𝜑
𝜕𝑥3(𝑎)𝐞3 =
𝜕𝜑
𝜕𝑥𝑘(𝑎)𝐞𝑘. (13)
Câmpul de gradienți în D va fi grad 𝜑 =𝜕𝜑
𝜕𝑥𝑘𝐞𝑘.
Exemple
1) Dacă 𝜑(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = 5𝑥1 +𝑥2
𝑥3 ( pentru 𝑥3 ≠ 0),
atunci grad 𝜑 = 5𝐞1 +1
𝑥3𝐞2 −
𝑥2
(𝑥3)2𝐞3.
2) Dacă r este vectorul de poziție al unui punct curent
M(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), atunci r=𝑥𝑘𝐞𝑘, 𝑟 = ((𝑥1)2 + (𝑥2)2 + (𝑥3)2)1 2⁄ .
Avem 𝜕𝑟
𝜕𝑥𝑘=𝑥𝑘
𝑟 și grad 𝑟 =
1
𝑟(𝑥𝑘𝐞𝑘) =
𝐫
𝑟. Iar dacă
c=(𝑐1, 𝑐2, 𝑐3) este un vector constant și 𝜑 = 𝐜 · 𝐫 = 𝑐𝑘𝑥𝑘,
𝜕𝜑
𝜕𝑥𝑘= 𝑐𝑘 deci grad (c·r)=c.
Notă: Nu are sens gradientul unui câmp de vectori.
Aparent, grad𝑎𝜑 depinde de reper, dar nu este așa; acest vector
are un caracter absolut, anume el depinde numai de 𝜑 și a.
De asemenea, pentru o funcție de două variabile reale
𝜑(𝑥1, 𝑥2), se definește, în analogie cu formula (13),
grad 𝜑 =𝜕𝜑
𝜕𝑥1𝐞1 +
𝜕𝜑
𝜕𝑥2𝐞2.
131
Proprietăți ale gradientului
1) Dacă 𝜑 = 𝑎, constant, atunci grad a=0.
2) Dacă 𝜑,𝜓 sunt două câmpuri scalare, atunci:
grad(𝜑 + 𝜓) = grad𝜑 + grad𝜓,
grad(𝜑𝜓) = 𝜑 grad 𝜓 + 𝜓 grad 𝜑.
3) grad 𝑢(𝜑) = 𝑢′(𝜑)grad 𝜑.
Exemplu:
grad(𝑟2) = 2𝑟 ·𝐫
𝑟= 2𝐫 și grad(
1
𝑟) = −
1
𝑟2·𝐫
𝑟= −
1
𝑟3𝐫.
4) Derivata după o direcție (de fapt după un versor s)
este d𝜑
d𝐬(𝑎) = lim
𝑡→0
𝜑(𝑎+𝑡𝐬)−𝜑(𝑎)
𝑡;
în punctul curent, d𝜑
d𝐬= 𝐬 · grad 𝜑.
Exemplu: Fie 𝜑 și a fixate; dintre toate direcțiile, cea
pentru care d𝜑
d𝐬(𝑎) este maximă (sau minimă) este ±s, unde s este
versorul vectorului grad𝑎𝜑. Ca nostimadă, dacă T reprezintă
temperatura dintr-o regiune, s-a constatat experimental (!?) că o
muscă aflată într-un punct a zboară în direcția unde va fi mai
cald și acea direcție este tocmai grad𝑎𝑇.
5) Fixăm 𝜑 și a și considerăm suprafața Σ de nivel a
câmpului scalar 𝜑 care trece prin a, având ecuația
𝜑(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = 𝜑(𝑎). Punctul a se numește singular dacă
grad𝑎𝜑 = 𝟎. Dacă a este nesingular, atunci suprafața Σ are plan
tangent în punctul a și normala la Σ în a are direcția vectorului
grad𝑎𝜑 (figura 4.20).
132
Fig. 4.20
Divergența și rotorul unui câmp de vectori
Divergența unui câmp vectorial descrie tendința creării
unor surse „emitente” sau „absorbante”. De exemplu, în cazul
câmpului vectorilor–viteză ai unor particule de fluid, punctele
unde divergența este strict pozitivă (respectiv negativă) sunt
izvoare (respectiv puțuri) locale. Similar, rotorul unui câmp
descrie tendința de a crea vârtejuri locale.
Divergența și rotorul au fost introduse în Fizică și
Matematică de Maxwell.
Fie v(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ≡ 𝑃𝑘(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)𝐞𝑘 un câmp de vectori
în D, unde componentele scalare sunt continue și au derivate
parțiale continue în D.
Definiția 4.11: Dacă 𝑎 ∈ 𝐷, atunci divergența lui v în a
este scalarul:
div𝑎𝐯 = 𝜕𝑃1
𝜕𝑥1(𝑎) +
𝜕𝑃2
𝜕𝑥2(𝑎) +
𝜕𝑃3
𝜕𝑥3(𝑎) (14)
și rotorul lui v în a este vectorul
rot𝑎𝐯 = |
𝐞1 𝐞2 𝐞3𝜕
𝜕𝑥1𝜕
𝜕𝑥2𝜕
𝜕𝑥3
𝑃1 𝑃2 𝑃3
| =
133
= (𝜕𝑃3
𝜕𝑥2−𝜕𝑃2
𝜕𝑥3) 𝐞1 + (
𝜕𝑃1
𝜕𝑥3−𝜕𝑃3
𝜕𝑥1) 𝐞2 + (
𝜕𝑃2
𝜕𝑥1−𝜕𝑃1
𝜕𝑥2) 𝐞3, (15)
cu derivatele parțiale calculate în punctul a.
În punctul curent, div v=𝜕𝑃1
𝜕𝑥1+𝜕𝑃2
𝜕𝑥2+𝜕𝑃3
𝜕𝑥3 și similar pentru
rot v, omițând punctul a.
Atenție! grad 𝜑 este un câmp de vectori (numit câmp de
gradienți); div v este un câmp scalar, iar rot v este un
câmp de vectori.
Definiția 4.12: Un câmp de vectori v se numește
solenoidal (≡fără surse) dacă div𝑎𝐯 = 0 în orice punct a. Dacă
rot𝑎𝐯 = 𝟎 pentru orice a, se spune că v este un câmp irotațional
(≡fără vârtejuri).
Exemple
1) Pentru cazul vectorilor de poziție în spațiu, aplicând
direct (14) și (15), rezultă div r=3 și rot r=0.
2) Fie v=4𝑥1𝐞1 + 2(𝑥2)2𝐞2 − 3(𝑥
3)2𝐞3. Atunci
div v=4+4𝑥2 − 6𝑥3 și:
rot v=|
𝐞1 𝐞2 𝐞3𝜕
𝜕𝑥1𝜕
𝜕𝑥2𝜕
𝜕𝑥3
4𝑥1 2(𝑥2)2 −3(𝑥3)2| = 𝟎.
Proprietăți ale divergenței și rotorului
Cu notații transparente, avem:
1) Dacă c este un câmp constant de vectori, atunci div c=0,
rot c=0;
2) div(v+w)=div v+div w, rot(v+w)=rot v+rot w;
3) Dacă c este un vector constant și r vectorul de poziție,
atunci div r=3, rot r=0, div(c×r)=0 și rot(c×r)=2c.
134
4) Dacă 𝜑 este un câmp scalar și v un câmp de vectori, atunci
div(𝜑v)=𝜑 div v+v·grad 𝜑 și rot(𝜑v)=𝜑 rotv–v × grad 𝜑.
Demonstrația rezultă din definiția 4.11, prin calcul de derivate.
Exemple
1) Considerăm câmpul gravitațional newtonian creat de
perechea atractoare (O, m), definit în relația (5). Așadar,
F=−𝑎
𝑟3𝐫 , cu 𝑎 > 0 constantă.
Atunci, notând 𝜑 = −𝑎
𝑟3, avem grad 𝜑=
3𝑎
𝑟4·𝐫
𝑟=3𝑎
𝑟5𝐫 deci
F=𝜑r. Așadar:
divF=𝜑divr+r·grad𝜑 = 3𝜑 +r·(3𝑎
𝑟5𝐫) − 3
𝑎
𝑟3+3𝑎
𝑟3≡ 0 și
rot F=𝜑 rot r–r×grad 𝜑=0–r× (3𝑎
𝑟5𝐫) = −
3𝑎
𝑟5(𝐫 × 𝐫) ≡ 𝟎.
Așadar, câmpul F este atât solenoidal, cât și irotațional în
regiunea 𝐷 = 𝑆 ∖ {𝑂}.
2) Am definit în relația (6) potențialul scalar U=𝑎
𝑟. Avem
grad U=−𝑎
𝑟2·𝐫
𝑟= −
𝑎
𝑟3𝐫 =F. Așadar, câmpul gravitațional este
un câmp de gradienți (F=gradU).
3) Câmpul electrostatic generat de o sarcină q a fost definit
în relația (8): 𝐄𝑞 = 휀𝑞
𝑟3𝐫; iar potențialul electrostatic
corespunzător este V=휀𝑞 ·1
𝑟. Așadar, div 𝐄𝑞 ≡ 0, rot 𝐄𝑞 ≡ 0
(același calcul ca mai sus) și în plus, 𝐄𝑞 = −grad V. Deci, câmpul
electrostatic generat de o sarcină electrică este de asemenea
solenoidal, irotațional și un câmp de gradienți.
3) Am văzut că în cadrul rotirii unui tambur în jurul unui
ax, se pune în evidență câmpul vectorilor–viteză ai punctelor
acelui tambur; anume v=𝛚 × 𝐫, unde 𝛚 este vectorul–viteză
tangențială și r vectorul de poziție.
135
Atunci div v=0 și rot v=2 𝛚.
Vectorul–viteză tangențială măsoară tendința de rotire a
punctelor tamburului, iar câmpul vitezelor nu are surse.
Notă: Pentru un câmp de vectori plan
v=𝑃1(𝑥1, 𝑥2)𝐞1 + 𝑃2(𝑥
1, 𝑥2)𝐞2, se definesc div v=𝜕𝑃1
𝜕𝑥1+𝜕𝑃2
𝜕𝑥2 și
rot v=(𝜕𝑃2
𝜕𝑥1−𝜕𝑃1
𝜕𝑥2) 𝐞3. De exemplu, pentru vectorul de poziție,
div r=2 și rot v=0.
Pseudo-operatorul nabla
Gradientul, divergența și rotorul se mai numesc operatori
diferențiali de ordinul întâi în Teoria câmpului. O tratare unitară
a lor se realizează folosind forme diferențiale, dar nu dorim
această abordare. O altă posibilitate de prezentare unitară este
apelarea la un pseudo-operator cu caracter vectorial
∇= 𝐞1𝜕
𝜕𝑥1+ 𝐞2
𝜕
𝜕𝑥2+ 𝐞3
𝜕
𝜕𝑥3, numit „nabla”; prin folosirea unor
convenții, el permite obținerea de formule corecte și unele
simplificări de scriere. Astfel, ∇𝜑 („multiplicarea” lui ∇ cu
câmpul scalar 𝜑) este interpretat ca grad 𝜑; „produsul scalar” ∇·v
reprezintă div v, iar „produsul vectorial” ∇ ×v este rot v. Pseudo-
operatorul ∇ este liniar în toate cele trei ipostaze. Apoi, precum
derivata clasică a unui produs, (𝑢𝑣)′ = 𝑢′𝑣 + 𝑣𝑢′, ∇ aplicat unui
produs are ca rezultat o sumă de două produse, în care ∇
acționează câte o singură dată, păstrând ordinea și regulile de
algebră vectorială (cu condiția ca toate entitățile cărora li se aplică
∇ să fie scrise la dreapta lui). În plus, derivata d𝜑
d𝐬 după un versor
s se exprimă de asemenea cu „nabla”:
d𝜑
d𝐬= 𝐬 · ∇𝜑 = (𝐬 · ∇)𝜑.
136
Exemple
1) Dacă c este un vector constant, atunci ∇·c=0 și ∇ ×c=0.
2) Apoi, div(𝜑v)=∇(𝜑v)=∇·(𝜑⏞↓
𝐯) + ∇ · (𝜑 𝐯⏞↓
) =
=v· ∇𝜑 + 𝜑(∇ · 𝐯) = 𝐯 · grad𝜑 + 𝜑rot 𝐯;
rot(𝜑𝐯) = ∇ ×(𝜑⏞↓
𝐯) + ∇ × (𝜑 𝐯⏞↓
)=
= −𝐯 × ∇𝜑 + 𝜑∇ × 𝐯 = −𝐯 × grad𝜑 + 𝜑rot v;
3) div(v× 𝐰) = ∇ · (𝐯⏞↓
×𝐰)+∇ · (𝐯 × 𝐰⏞↓
)=w· (∇ × 𝐯) −
𝐯 · (∇ × 𝐰) = 𝐰 · rot 𝐯– 𝐯 · rot 𝐰. Săgeata verticală „↓” indică
factorul căruia i se aplică ∇. În fine, menționăm iterarea lui ∇:
div(rot v) = ∇ · (∇ × v) ≡ 0;
div(grad 𝜑) = div (𝜕𝜑
𝜕𝑥𝑘𝐞𝑘) =
= ∑𝜕
𝜕𝑥𝑘𝑘 (𝜕𝜑
𝜕𝑥𝑘) =
𝜕2𝜑
(𝜕𝑥1)2+
𝜕2𝜑
(𝜕𝑥2)2+
𝜕2𝜑
(𝜕𝑥3)2≡ ∆𝜑, care se
mai numește laplacianul lui 𝜑. Funcțiile 𝜑 asfel încât ∆Φ ≡ 0 se
numesc armonice. În fine, rot(grad 𝜑) = ∇ × (∇𝜑) ≡ 0. Așadar,
orice câmp de gradienți este irotațional și orice câmp de rotori (de
tip rot v) este solenoidal. Se poate arăta că și invers, orice câmp
irotațional este un câmp de gradienți (dacă regiunea D
nu are „găuri”).
Operații diferențiale în coordonate curbilinii
Am prezentat în § 1.4 coordonatele polare în plan și
coordonatele sferice și cilindrice în spațiu (fig. 1.25). În cazul
coordonatelor sferice, am explicitat triedrul mobil ortonormal
{M;𝐮𝑟 , 𝐮𝜃 , 𝐮𝜑} cu originea în orice punct M din spațiu având
coordonatele r, 𝜃, 𝜑; fig. 4.21.
137
Fig. 4.21
În cazul coordonatelor cilindrice 𝜌, 𝜑, 𝑧, triedrul mobil
este {M; 𝐮𝜌, 𝐮𝜑 , 𝐮𝑧}; fig. 4.22.
Fig. 4.22
Astfel de repere sunt utilizate în unele probleme specifice,
exploatând unele simetrii; astfel, pentru a descrie mișcarea în
lungul unor curbe de longitudine constantă pe o sferă (în direcția
versorului 𝐞𝜃) se recomandă coordonate sferice, iar în studiul
câmpului magnetic în jurul unui conductor electric cilindric, ca în
cazul antenelor, se recomandă coordonate cilindrice.
Exemple
1) Exprimăm vectorul de poziție r în coordonate sferice și
apoi în coordonate cilindrice:
138
Evident, r=r 𝐮𝑟; apoi r=𝜌𝐮𝜌 + 𝑧𝐮𝑧.
2) Același lucru pentru vectorul v=a×r, unde a este un
vector constant. Alegem axele astfel încât a să fie orientat pe axa
Ox3 deci a=a𝐮𝑧.
Scriem a=𝑎1𝐮𝑟 + 𝑎2𝐮𝜃 + 𝑎3𝐮𝜑 deci: 𝑎1 = 𝐚 · 𝐮𝑟 =
= 𝑎 · 1 · cos 𝜃 = 𝑎 cos 𝜃 , 𝑎2 = 𝑎 · 𝐮𝜃 = 𝑎 · 1 · cos(𝜋
2+ 𝜃) =
= −𝑎 sin 𝜃 și 𝑎3 = 𝐚 · 𝐮𝜑 = 0.
Atunci a=𝑎 cos 𝜃 𝐮𝑟 − 𝑎 sin 𝜃 𝐮𝜃.
Deci v=(𝑎 cos 𝜃 𝐮𝑟 − 𝑎 sin 𝜃 𝐮𝜃)× 𝑟𝐮𝑟 = 𝑎 sin 𝜃 𝐮𝑟 ×
𝐮𝜃 = 𝑎𝑟 sin 𝜃 𝐮𝜑.
În fine, în coordonate cilindrice,
v=𝑎𝐮𝑧 × (𝜌𝐮𝜌 + 𝑧𝐮𝑧) = 𝑎𝜌𝐮𝑧 × 𝐮𝜌 = 𝑎𝜌𝐮𝜑.
Mai general, considerăm un reper cartezian ortonormal
{O; 𝐞1, 𝐞2, 𝐞3}≡ 𝑂𝑥1𝑥2𝑥3 și coordonate curbilinii în spațiu
𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 (de exemplu, sferice sau cilindice). Utilizarea indicilor
etaj sau subsol ține de convențiile de covarianță care vor fi
stabilite ulterior. Orice punct M are două rânduri de coordonate și
vectorul său de poziție este r≡ 𝑂𝑀 = 𝑥𝑘𝐞𝑘 (sumă după k). Se
presupune că există relații de forma 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖(𝑢1, 𝑢2, 𝑢3); 1≤i≤3,
inversabile și cu funcții continue având derivate parțiale continue.
Notăm 𝐠𝑖 =𝜕𝐫
𝜕𝑢𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 3. Reamintim că derivatele parțiale sunt
derivate în raport cu una din variabile, considerând constante pe
celelalte. De aceea, fiecare vector 𝐠𝑖 este tangent în punctul curent
la curbele 𝑢𝑗 = 𝐶, constant (pentru 𝑗 ≠ 𝑖). Vectorii 𝐠𝑖 formează
o bază mobilă care variază cu 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3.
Definiția 4.12: Notăm 𝐮𝑖=versorul lui 𝐠𝑖 și 𝐿𝑖 =
‖𝐠𝑖 ‖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 3. Așadar, 𝐠1 = 𝐿1𝐮1, 𝐠2 = 𝐿2𝐮2, 𝐠3 = 𝐿3𝐮3 și în
139
acest mod, avem reperul mobil ℛ = {𝑀; 𝐮1, 𝐮2, 𝐮3}. Scalarii
𝐿1, 𝐿2, 𝐿3 se numesc parametrii Lamé ai sistemului de
coordonate {𝑢1, 𝑢2, 𝑢3}. Aceste coordonate curbilinii se numesc
ortogonale, dacă produsele scalare satisfac relațiile 𝐮𝑖 · 𝐮𝑗 = 𝛿𝑖𝑗,
1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 3. Atunci reperul ℛ mobil este ortonormal.
Exemple
1)Pentru coordonate carteziene ortonormale,
{O;i,j,k}≡ 𝑂𝑥𝑦𝑧 , 𝐫 = 𝑥 𝐢 + y 𝐣 + z 𝐤, avem:
𝐠1 =𝜕𝐫
𝜕𝑥= 𝐢, 𝐠2 =
𝜕𝐫
𝜕𝑦= 𝐣, 𝐠3 =
𝜕𝐫
𝜕𝑧= 𝐤, 𝐿1 = 1, 𝐿𝟐 = 1, 𝐿𝟑 = 1 .
Acest sistem de coordonate este evident ortogonal.
2) În cazul coordonatelor sferice, vectorul de poziție este
dat de formula (19) din §1.4 și am explicitat versorii
𝐮1 = 𝐞𝑟 , 𝐮2 = 𝐞𝜃 și 𝐮3 = 𝐞𝜑 (fig.4.21); coeficienții Lamé sunt
𝐿1 = 1, 𝐿2=r și 𝐿3 = 𝑟 sin 𝜃. În cazul coordonatelor cilindrice,
vectorul de poziție a fost indicat în formula (20) din §1.4; în plus,
𝐮1 = 𝐞𝜌, 𝐮2 = 𝐞𝜑 și 𝐮3 = 𝐞𝑧 (fig. 4.22). Coeficienții Lamé sunt
𝐿1 = 1, 𝐿2 = 𝜌 și 𝐿3 = 1. Ambele sisteme de coordonate
sunt ortogonale.
În continuare, indicăm expresia gradientului, divergenței,
rotorului și laplacianului în coordonate curbilinii ortogonale; ele
se pot explicita, în coordonate sferice și cilindrice.
Nu dăm detalii.
- Dacă Φ(𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) este un câmp scalar, atunci:
∇Φ =1
𝐿1
𝜕Φ
𝑢1𝐮1 +
1
𝐿2
𝜕Φ
𝑢2𝐮2 +
1
𝐿3
𝜕Φ
𝑢3𝐮3.
- Dacă v=𝑃1𝐮1 + 𝑃2𝐮
2 + 𝑃3𝐮3, atunci
∇ · 𝐯 =1
𝐿1𝐿2𝐿3[𝜕
𝜕𝑢1(𝑃1𝐿2𝐿3) +
𝜕
𝜕𝑢2(𝑃2𝐿3𝐿1) +
𝜕
𝜕𝑢3(𝑃3𝐿1𝐿2)] și
140
∇ × 𝐯 =1
𝐿1𝐿2𝐿3|
𝐿1𝐮1 𝐿2𝐮2 𝐿3𝐮3𝜕
𝜕𝑢1𝜕
𝜕𝑢2𝜕
𝜕𝑢3
𝐿1𝑃1 𝐿2𝑃2 𝐿3𝑃3
|.
- Laplacianul:
∆Φ =1
𝐿1𝐿2𝐿3[𝜕
𝜕𝑢1(𝐿2𝐿3
𝐿1
𝜕Φ
𝜕𝑢1) +
𝜕
𝜕𝑢2(𝐿3𝐿1
𝐿2
𝜕Φ
𝜕𝑢2) +
𝜕
𝜕𝑢3(𝐿1𝐿2
𝐿3
𝜕Φ
𝜕𝑢3)].
În cazul coordonatelor carteziene, regăsim formulele (13),
(14), (15) și ∆Φ(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝜕2Φ
𝜕𝑥2+𝜕2Φ
𝜕𝑦2+𝜕2Φ
𝜕𝑧2;
în coordonate sferice,
∆Φ(𝑟, 𝜃, 𝜑) =1
𝑟2 sin𝜃[𝜕
𝜕𝑟(𝑟2 sin 𝜃
𝜕Φ
𝜕𝑟) +
𝜕
𝜕𝜃(sin 𝜃
𝜕Φ
𝜕𝜃) +
𝜕
𝜕𝜑(1
sin𝜃
𝜕Φ
𝜕𝜑)];
în coordonate cilindrice,
∆Φ =1
𝜌[𝜕
𝜕𝜌(𝜌
𝜕Φ
𝜕𝜌) +
𝜕
𝜕𝜑(1
𝜌
𝜕Φ
𝜕𝜑) +
𝜕
𝜕𝑧(𝜌
𝜕Φ
𝜕𝑧)];
în fine, în coordonate polare în plan,
∆Φ(𝜌, 𝜃) =𝜕2Φ
𝜕𝜌2+1
𝜌
𝜕Φ
𝜕𝜌+
1
𝜌2𝜕2Φ
𝜕𝜃2.
Ecuațiile lui Maxwell
Am văzut că sarcinile electrice mobile induc un câmp
magnetic B (legea lui Lorentz, din §4.3), după cum variația în
timp a câmpului magnetic induce un câmp electric E. Vectorii E
și B sunt perpendiculari.
Definiția 4.13: A defini un câmp electromagnetic într-o
regiune D din spațiu revine la a asocia fiecărui punct 𝑀 ∈ 𝐷 și la
orice moment t, o pereche de câmpuri variabile de vectori E(M,t)
și B(M, t) (pe scurt, (E,B)), formată dintr-un câmp electric și un
câmp magnetic, perpendiculare unul pe altul în fiecare punct,
legate inseparabil între ele, oscilând și generându-se reciproc.
141
Hertz a descoperit circuitul oscilant L–C care îi poartă
numele, generând primul exemplu de câmp electromagnetic și
confirmând profeția lui Maxwell. Există acum și alte modalități
de generare de astfel de câmpuri.
Liniile de câmp ale câmpului electromagnetic apar ca
„împletituri” de curbe 𝛾𝐄, 𝛾𝐁 precum inelele unui lanț, care trec
prin fiecare punct din regiunea D (fig. 4.23).
Fig. 4.23
Undele electromagnetice sunt purtătoare ale câmpului
electromagnetic, cu viteze v astfel încât E=B×v, cu mărimi
comparabile cu viteza luminii (‖𝐯‖ ≅ 𝑐).
Folosind „∇”, formulăm cele 4 ecuații celebre ale
câmpului electromagnetic, care sunt atribuite lui Maxwell, deși
parțial, ele fuseseră descoperite anterior de Faraday și Gauss.
Maxwell le-a dat forma actuală, folosind operatorii diferențiali.
Se notează cu 𝜌 densitatea de sarcină electrică volumică
(în C/m3) și cu 휀0=permitivitatea în vid (o constantă egală cu
8,85 × 10−12 Nm2/C2).
Apoi J este vectorul–densitate de curent electric și
𝜇0=permeabilitatea magnetică exprimând gradul de magnetizare
în vid (numită de asemenea constanta magnetică și având
valoarea 𝜇0 = 4𝜋 × 10−7 N/A2); avem 휀0𝜇0 =
1
𝑐2.
142
M1. ∇ · 𝐄 =𝜌
0 (legea lui Gauss a câmpului electric);
M2. ∇ · 𝐁 = 0 (legea lui Gauss a câmpului magnetic);
M3. ∇ × 𝐄 = −𝜕𝐁
𝜕𝑡 (legea lui Faraday);
M4. ∇ × 𝑩 = 𝜇0𝐉 +1
𝑐2𝜕𝐄
𝜕𝑡 (legea lui Maxwell).
Vom relua aceste ecuații în Capitolul 7 în legătură cu
tensorul electromagnetic.
Ecuația M1 arată că în punctele unde 𝜌 > 0 (respectiv
𝜌 < 0), liniile de câmp ale câmpului electric E diverg (respectiv
converg), în analogie cu sursele (respectiv puțurile) curgerii unor
fluide. Ecuația M2 exprimă imposibilitatea izolării unei sarcini
magnetice (imposibilitatea existenței unui monopol magnetic) și
faptul că liniile câmpului magnetic sunt curbe închise în jurul
conductorilor electrici. Ecuația M3 arată că variația în timp a
câmpului magnetic generează un câmp electric nenul, iar M4
arată că variația în timp a câmpului electric generează un câmp
magnetic chiar dacă J=0.
În încheierea acestui capitol, dăm câteva consecințe ale
ecuațiilor M1–M4.
1) Conform M4, aplicând „div”, rezultă:
0=𝜇0 ∇ · 𝐉 + 1
𝑐2∇ · (
𝜕𝐄
𝜕𝑡) deci
∇ · 𝐉 + 𝟏
𝒄𝟐𝜇0
𝜕
𝜕𝑡(∇ · 𝐄) și conform M1,
∇ · 𝐉 +𝜕𝜌
𝜕𝑡= 0 (ecuația de continuitate).
2) Presupunem că J≡ 𝟎, 𝜌 ≡ 0; se spune atunci că spațiul
este liber de sarcini. Conform M1 și M2, câmpurile E și B sunt
solenoidale și
∇ × 𝐄 = −𝜕𝐁
𝜕𝑡 și ∇ × 𝐁 =
𝟏
𝒄𝟐𝜕𝐄
𝜕𝑡.
143
Notăm M=E×B și 𝜑 =1
2(𝐵2 +
1
𝑐2𝐸2).
Atunci:
∇ · 𝐌 = ∇ · (𝐄 × 𝐁) = 𝐁 · (∇ × 𝐄) − 𝐄 · (∇ × 𝐁) =
= 𝐁 · (−𝜕𝐁
𝜕𝑡) − 𝐄 · (
1
𝑐2𝜕𝐄
𝜕𝑡) = −
1
2
𝜕
𝜕𝑡(𝐵2 +
1
𝑐2𝐸2) = −
𝜕𝜑
𝜕𝑡.
Așadar, are loc relația
∇ · 𝑀 +𝜕𝜑
𝜕𝑡= 0,
numită ecuația de continuitate a lui Poynting în spațiul liber.
3) Dacă B este constant în timp, atunci 𝜕𝐁
𝜕𝑡≡ 𝟎 și conform
M3, E este un câmp irotațional, deci un câmp de gradienți:
𝐄 = ∇Φ. Înlocuind în ecuația M1, rezultă ∇ · (∇Φ) =𝜌
0, deci
∆Φ =𝜌
0 . Aceasta este o ecuație cu derivate parțiale de ordinul
doi, de tip Poisson. Dacă în plus, 𝜌 ≡ 0 atunci ∆Φ = 0 (ecuație
de tip Laplace), iar Φ este o funcție armonică (numită potențialul
câmpului electric).
4) Presupunem că J≡ 𝟎 și 𝜌 =constant. Aplicând
rotorul în M4, se obține ∇ × (∇ × 𝐁) = ∇ × (1
𝑐2𝜕𝐄
𝜕𝑡) =
1
𝑐2∇ ×
(𝜕𝐄
𝜕𝑡) =
1
𝑐2𝜕
𝜕𝑡(∇ × 𝐄) =⏞
cf.M31
𝑐2𝜕
𝜕𝑡(−
𝜕𝐁
𝜕𝑡) = −
1
𝑐2𝜕2𝐁
𝜕𝑡2.
În mod similar,
∇ × (∇ × 𝐄) =⏞cf.M3
∇ × (−𝜕𝐁
𝜕𝑡) = −
𝜕
𝜕𝑡(∇ × 𝐁) =⏞
cf.M4
= −1
𝑐2𝜕
𝜕𝑡(𝜕𝐄
𝜕𝑡) = −
1
𝑐2𝜕2𝐄
𝜕𝑡2.
Pe de altă parte, are loc identitatea
∇ × (∇ × 𝐯) = ∇(∇ · 𝐯) − ∆𝐯 deci
∇ × (∇ × 𝐁) = ∇(∇ · 𝐁) − ∆𝐁 =⏞cf.M2
− ∆𝐁 și
144
∇ × (∇ × 𝐄) = ∇(∇ · 𝐄) − ∆𝐄 =⏞cf.M1
− ∆𝐄.
Ca atare,
∆𝐁 =1
𝑐2𝜕2𝐁
𝜕𝑡2 și ∆E =
1
𝑐2𝜕2𝐄
𝜕𝑡2.
Deci câmpurile de vectori B și E sunt soluții ale aceleeași
ecuații vectoriale cu derivate parțiale de ordinul II:
∆𝐮 −1
𝑐2𝜕2𝐮
𝜕𝑡2= 𝟎 (numită ecuația propagării undelor).
O soluție particulară a acestei ecuații pentru proiecția
vectorului u pe axa Ox este de forma 𝑢𝑥 = 𝐴 sin2𝜋
𝜆(𝑥 − 𝑐𝑡), unde
𝜆 este lungimea de undă; într-adevăr,
𝜕2𝑢𝑥
𝜕𝑥2= −𝐴
4𝜋2
𝜆2sin
2𝜋
𝜆(𝑥 − 𝑐𝑡) ,
𝜕2𝑢𝑥
𝜕𝑦2= 0,
𝜕2𝑢𝑥
𝜕𝑧2= 0 și
𝜕2𝑢𝑥
𝜕𝑡2= −𝐴 ·
4𝜋2
𝜆2𝑐2sin
2𝜋
𝜆(𝑥 − 𝑐𝑡) deci
∆𝑢𝑥 −1
𝑐2𝜕2𝑢𝑥
𝜕𝑡2≡ 0.
Studiul ecuației propagării undelor electromagnetice este
adâncit în Electrodinamică.
145
CAPITOLUL 5: TENSORI, EXEMPLE ȘI
OPERAȚII
Printr-o convenție tacită, obiectele materiale sunt privite
ca puncte (≡ centre de masă) atribuite maselor lor. Pentru a
descrie mișcarea unui obiect M, care nu își modifică în timp
structura, se consideră un referențial „fix” O, împreună cu
vectorul de poziție 𝑂𝑀 având o singură direcție. Dar dacă
obiectul urmărit își modifică structura, este necesară considerarea
simultană a mai multor direcții. Acesta este cazul unui corp aflat
într-un fluid unde apar vârtejuri locale, cazul mersului pe o sârmă
sau al unui corp ceresc cu traiectorie curbată în jurul unei mase
mari. Dar și cel al unui cristal străbătut de un câmp electric.
Așa cum vectorii permit studiul unor mărimi, numite
vectoriale (de tipul forțelor, vitezelor, accelerațiilor etc.), care se
referă la o singură direcție, tot astfel tensorii sunt utilizați în
probleme care necesită două sau trei direcții. Se spune că nu poți
trece printr-o incintă dacă nu cunoști „tensorul presiunilor” și nu
poți echilibra roțile unui automobil fără să apelezi la „tensorul de
inerție”. Fără a mai vorbi de Teoria elasticității, Mecanica
fluidelor, Teoria relativității generale și Cosmologie.
Vom considera cu precădere tensori 3D în spațiul fizic S,
raportat la diverse repere. Am văzut că relativ la un reper „fixat”,
vectorii sunt descriși prin componentele lor – triplete de scalari
sau numere reale; tensorii 2D sau 3D sunt utilizați în probleme
care necesită două (respectiv trei) direcții și au 9 (respectiv 27)
componente scalare. Dar vectorii și tensorii, în esența lor, nu
depind de vreun reper,ei având un caracter absolut.
146
Tensorii au fost descoperiți de italienii Levi Civita și Ricci
spre sfârșitul secolului al XIX–lea, aceștia creând Calculul
tensorial, odată cu studiul matricelor și al funcțiilor de mai multe
variabile reale.
§5.1. Mărimi cu caracter tensorial
În acest capitol și următoarele, vom nota V=V3.
Exemple preliminare
1) Pentru orice forță F și orice vector–deplasare d, se
poate considera lucrul L=F·d (produs scalar) și în acest mod, este
definită o aplicație:
𝐿: 𝑉 × 𝑉 → ℝ, 𝐿(𝐅, 𝐝) = 𝐅 · 𝐝.
Această aplicație este biliniară (adică liniară în fiecare
argument) și vom vedea că aceasta definește un tensor.
2) Considerăm un tambur rotitor K în jurul unei axe și
exprimăm momentul lui cinetic. Fixăm un punct referențial O pe
axă și admitem că tamburul constă din N particule materiale
având masele 𝑚𝑘 și vectorii de poziție 𝐫𝑘 (1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑁). Notăm
cu 𝛚 vectorul–viteză unghiulară al lui K; (fig. 5.1).
Fig. 5.1
147
Fiecare particulă are momentul cinetic (≡unghiular)
𝐋𝑘 = 𝐫𝑘 × (𝑚𝑘𝐯𝑘), cu viteza 𝐯𝑘 = 𝛚 × 𝐫𝑘, 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑁 (conform
formulei (11) din § 3.4). Momentul cinetic total al lui K este
L=∑ 𝐋𝑘𝑁𝑘=1 . Acesta depinde de distribuția maselor 𝑚𝑘 și de viteza
unghiulară. Asocierea 𝛚 ↦ L este un operator liniar:
I: V→V,
care este tocmai tensorul de inerție asociat corpului K.
3) Presupunem un solid rigid asupra căruia acționează o
forță de compresie sau răsucire; făcând o secțiune plană Σ în acel
solid, el se desface în două părți. Datorită forțelor interne, cele
două părți se deplasează, una în raport cu cealaltă, cu o forță F
care este proporțională cu aria A a secțiunii și perpendiculară pe
planul secțiunii (fig. 5.2).
Fig. 5.2
Considerăm vectorul A=An, unde n este versorul normalei la
planul Σ. La nivel „infinitezimal” (adică pentru o secțiune
„mică”), asocierea A ↦ F definește un alt operator liniar T: V→V,
care reprezintă tensorul tensiunilor în solidul considerat.
Vectori și covectori
Definiția 5.1: Orice aplicație liniară 𝜑: 𝑉 → ℝ se numește
funcțională liniară pe V și se notează cu V* mulțimea
148
funcționalelor liniare pe V. Definind suma 𝜑 + 𝜓 și multiplicarea
cu scalarul 𝜆 în mod uzual, mulțimea V* este un spațiu vectorial
real, numit dualul lui V.
Așa cum elementele lui V se numesc vectori,
funcționalele liniare pe V se mai numesc covectori; covectorul
nul din V* este funcționala 𝜑: 𝑉 → ℝ care asociază oricărui
vector v∈ 𝑉, scalarul 𝜑(𝐯) = 0.
Pentru orice bază ℬ = {𝐠1, 𝐠2, 𝐠3} a lui V, se definește
(≡asociază) un set de trei covectori ai lui V *; anume, se consideră
funcționalele liniare 𝐠𝑖 ∶ 𝑉 → ℝ (cu i–indice etaj) astfel încât
𝐠𝑖(𝐠𝑗) = 𝛿𝑗𝑖 pentru 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 3. (1)
LEMĂ: Covectorii 𝐠𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 3, formează o bază a lui V*.
Demonstrație:
Într-adevăr, dacă 𝛼𝑖𝐠𝑖 = 0 (sumă după i), atunci pentru
orice j, (𝛼𝑖𝐠𝑖)(𝐠𝑗) = 0, deci 0=𝛼𝑖𝐠
𝑖(𝐠𝑗) = 𝛼𝑖𝛿𝑗𝑖 = 𝛼𝑗. Așadar,
covectorii 𝐠𝑖 sunt liniar independenți. Apoi, pentru orice covector
a∈V*, avem
a=𝑎𝑖𝐠𝑖, unde 𝑎𝑖 = 𝐚(𝐠𝑖), 1 ≤ 𝑖 ≤ 3. (2)
Într-adevăr, este suficient să arătăm că această relație are loc pe
vectorii bazei ℬ: (𝑎𝑖𝐠𝑖)(𝐠𝑗) = 𝑎𝑖𝐠
𝑖(𝐠𝑗) = 𝑎𝑖𝛿𝑗𝑖 = 𝑎𝑗 = 𝐚(𝐠𝑗).
Relația (2) arată că 𝐠𝑖 generează spațiul dual V*.
Definiția 5.2: Baza {𝐠1, 𝐠2, 𝐠3} de covectori a lui V* se
numește baza duală a lui ℬ = {𝐠1, 𝐠2, 𝐠3} și se notează cu ℬd.
Așadar, dim V*=dim V=3.
Notă: Există o anumită similitudine (și atât) între baza
duală ℬd (a lui V*) și baza reciprocă ℬr (a lui V3).
149
Dacă 𝐚 ∈ V* este un covector, el se reprezintă unic sub
forma a=𝑎𝑖𝐠𝑖 (sumă după i); numerele reale 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 formează
setul de componente scalare ale covectorului a.
Este important să stabilim modul cum se modifică, la o
schimbare de bază, componentele scalare ale vectorilor sau
covectorilor.
Presupunem că în V3 se consideră două baze
ℬ = {𝐠1, 𝐠2, 𝐠3} și ℬ = {��1, ��2, ��3} (legate de repere carteziene
diferite în spațiu). Atunci există scalari 𝑡𝑗𝑖 astfel încât pentru
1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 3 au loc relațiile:
��𝑗 = 𝑡𝑗𝑖𝐠𝑖 (sumă după i) și, invers, 𝐠𝑗 = 𝑢𝑗
𝑘��𝑘 (sumă după k) (3)
Notă: Se observă corespondențele de tip „∖” între indicii–
etaj și subsol. Se consideră că acest tip de corespondență a
indicilor este cea standard (sau covariantă). Cealaltă posibilitate
se numește contravariantă.
Reamintim că matricea T=(𝑡𝑗𝑖) pătratică de ordin 3, este
inversabilă cu 𝑈 = 𝑇−1 = (𝑢𝑗𝑖) și au loc relațiile:
𝑡𝑘𝑖 𝑢𝑗𝑘 = 𝛿𝑗
𝑖, 𝑢𝑘𝑖 𝑡𝑗𝑘 = 𝛿𝑗
𝑖 pentru orice i,j. (4)
Orice vector v∈ 𝑉 are două reprezentări relativ la bazele
ℬ, ℬ și anume:
v=𝑣𝑖𝐠𝑖 și v=��𝑗��𝑗. (5)
Folosind relațiile (3), rezultă v=��𝑗��𝑗 = ��𝑗𝑡𝑗𝑖𝐠𝑖 deci
𝑣𝑖 = 𝑡𝑗𝑖��𝑗; înmulțind aici cu 𝑢𝑖
𝑘, rezultă:
𝑢𝑖𝑘𝑣𝑖 = (𝑢𝑖
𝑘𝑡𝑗𝑖)��𝑗 =⏞
cf.(4)
𝛿𝑗𝑘��𝑗 = ��𝑘.
Așadar,
𝑣𝑖 = 𝑡𝑗𝑖��𝑗 și ��𝑘 = 𝑢𝑖
𝑘𝑣𝑖, pentru orice i, k. (6)
150
(Relația secundă se poate obține și direct prin inversarea
bazelor ℬ și ℬ).
Se observă aici corespondența de tip „ / ” între indicii –
etaj și subsol, numită „contravariantă” (căci contravine
standardului fixat).
Notă: Ca un fapt esențial, reținem că dacă se măsoară
componentele scalare ale unui vector relativ la o bază, atunci se
pot determina (≡deduce) prin calcul, fără alte măsurători,
componentele scalare ale aceluiași vector relativ la altă bază, fiind
suficient de știut matricea de trecere T (sau inversa ei U). Aceasta
este semnificația formulelor (6).
Stabilim acum modul cum se modifică, la o schimbare a
bazei, componentele scalare ale covectorilor.
Fie ℬ = {𝐠1, 𝐠2, 𝐠2}, ℬ = {��1, ��2, ��3} două baze ale lui V
și ℬd = {𝐠1, 𝐠2, 𝐠3}, ℬd = {��1, ��2, ��3} bazele duale
respective (pentru V*). Fie a∈V* un covector oarecare; 𝑎𝑗 =
𝐚(𝐠𝑗) și ��𝒌 = 𝐚(��𝑘).
Conform (3), avem 𝑎𝑗 = 𝐚(𝐠𝑗)=a(𝑢𝑗𝑘��𝑘) = 𝑢𝑗
𝑘𝐚(��𝑘) = 𝑢𝑗𝑘��𝑘.
Așadar, setul (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) al componentelor scalare ale
covectorului a relativ la baza ℬ se modifică după regula:
𝑎𝑖 = 𝑢𝑖𝑘��𝑘, de unde ��𝑖 = 𝑡𝑖
𝑘𝑎𝑘, pentru 1 ≤ 𝑖 ≤ 3, (7)
unde (��1, ��2, ��3) este setul componentelor scalare ale aceluiași
covector a relativ la baza duală ℬd.
Se observă că pentru covectori are loc regula „∖”, pentru
corespondența indicilor etaj și subsol, diferită de regula (6) de
tipul „ / ” din cazul vectorilor v=(𝑣1, 𝑣2, 𝑣3).
151
Operatori liniari
Reamintim că un operator liniar al spațiului V=V3 este
orice aplicație liniară ℎ: 𝑉 → 𝑉 (definiția 2.8 din §2.2). Dacă
ℬ = {𝐠1, 𝐠2, 𝐠2} și ℬ = {��1, ��2, ��3} sunt două baze ale lui V,
atunci se pot considera următoarele trei matrice pătratice
din M3(ℝ):
- matricea M𝐡 ℬ = (ℎ𝑗
𝑖) a lui h relativ la ℬ;
- matricea M𝐡 ℬ =(ℎ𝑗
𝑖) a lui h relativ la ℬ;
- matricea de trecere 𝑇 = (𝑡𝑗𝑖) de la ℬ la ℬ și inversa ei,
𝑈 = (𝑢𝑗𝑖) asigurând trecerea de la ℬ la ℬ.
Conform definiției 2.8 din §2.3 și relațiilor (3), au loc
următoarele relații, pentru orice 1≤ 𝑗 ≤ 3:
h(𝐠𝑗) = ℎ𝑗𝑖𝐠𝑖; 𝐡(��𝑗) = ℎ𝑗
𝑖𝐠𝑖;
��𝑗 = 𝑡𝑗𝑖𝐠𝑗 și 𝐠𝑗 = 𝑢𝑗
𝑘��𝑘. (8)
Fie v ∈ 𝑉 oarecare și w=h(v) imaginea lui v prin
operatorul h. Așadar, w=h(𝑣𝑗𝐠𝑗) = 𝑣𝑗𝐡(𝐠𝑗) =⏞
cf.(8)
𝑣𝑗ℎ𝑗𝑘𝐠𝑘.
Comparând cu relația w=𝑤𝑘𝐠𝑘, rezultă că 𝑤𝑘 = ℎ𝑗𝑘𝑣𝑗 pentru
orice k [Aceasta este tocmai scrierea pe componente a relației
w=h(v)]. În mod similar, ��𝑘 = ℎ𝑗𝑘��𝑗 =⏞
cf.(6)
ℎ𝑗𝑘𝑢𝑞
𝑗𝑣𝑞. Ca atare,
conform (6), 𝑤𝑝 = 𝑡𝑘𝑝��𝑘 = 𝑡𝑘
𝑝ℎ𝑗𝑘��𝑗 = 𝑡𝑘
𝑝ℎ𝑗𝑘𝑢𝑞
𝑗𝑣𝑞; pe de-altă
parte, 𝑤𝑝 = ℎ𝑞𝑝𝑣𝑞 și, în concluzie, rezultă următoarea relație între
elementele matricei operatorului h între cele două baze:
ℎ𝑞𝑝 = 𝑡𝑘
𝑝𝑢𝑞𝑗ℎ𝑗𝑘 (deoarece v a fost ales arbitrar!).
Schimbând notarea indicilor de sumare, rezultă relația
ℎ𝑗𝑖 = 𝑡𝑝
𝑖 𝑢𝑗𝑞ℎ𝑞
𝑝 (sumă după p și q) și invers,
152
ℎ𝑗𝑖 = 𝑢𝑝
𝑖 𝑡𝑗𝑞ℎ𝑞
𝑝 , (9)
ultima relație rezultând și prin intervertirea bazelor ℬ, ℬ.
Notă: Notând cu X (respectiv ��) matricea–coloană a
componentelor scalare ale vectorului v relativ la baza ℬ (respectiv
ℬ), faptul că w=h(v) revine la relațiile Y=HX și respectiv
�� = ����, unde H=M𝐡 ℬ și �� = M𝐡
ℬ și Y (respectiv ��), reprezintă
matricea–coloană a componentelor lui w=h(v) relativ la ℬ
(respectiv ℬ). Deoarece 𝑋 = 𝑇��, 𝑌 = 𝑇�� și 𝑈 = 𝑇−1, rezultă
�� = ���� = ��𝑈𝑋, deci 𝑌 = 𝑇�� = 𝑇��𝑈𝑋, adică 𝐻𝑋 = 𝑇��𝑈𝑋;
cum X este arbitrar, rezultă 𝐻 = 𝑇��𝑈 și invers, �� = 𝑈𝐻𝑇.
Aceasta este scrierea matriceală a relațiilor (9).
Reținem că �� = 𝑇−1𝐻𝑇; în general, două matrice
pătratice A, B ∈ M3(ℝ) se numesc asemenea, dacă există o
matrice nesingulară T ∈ M3(ℝ), astfel încât B=𝑇−1𝐴𝑇. Așadar,
matricele H și �� ale aceluiași operator relativ la baze distincte
sunt asemenea. Problema reducerii matricei pătratice H (sau
echivalent, a operatorului h) revine la a determina o matrice
nesingulară T, astfel încât matricea 𝑇−1𝐻𝑇 să aibă o formă cât
mai simplă (diagonală sau Jordan etc.). Această problemă este un
punct central al Algebrei liniare, care se rezolvă apelând la vectori
și valori proprii, dar ne oprim aici.
§5.2. Definiția tensorilor 3D liberi și exemple
Reamintim că prin scalari se înțeleg numerele reale, dar
și mărimile fizice, chimice, economice etc. asociate cu diverse
unități de măsură, care nu depind de vreo poziție sau direcție în
spațiu. Scalarii sunt independenți de reper.
153
Ca și până acum, fie V=V3. Multe noțiuni pot fi extinse la
cazul vectorilor și tensorilor din ℝ𝑛, cu 𝑛 ≥ 2.
Definiția generală 5.3: Prin convenție, scalarii se
consideră tensori de ordin 0 (zero).
Fie 𝑛 ≥ 1 și 𝑟, 𝑠 ≥ 0 numere întregi astfel încât r+s=n.
Se numește tensor liber 3D de ordin n și tip r+s orice aplicație
multiliniară (adică liniară în fiecare argument)
𝐓: 𝑉∗ ×. . .× 𝑉∗⏞ 𝑟 ori
× 𝑉 × …𝑉⏞ 𝑠 ori
→ ℝ. (10)
Această definiție trebuie aplicată și transformată în
instrument de lucru. Se observă că tensorii liberi, ca și vectorii
liberi (nu câmpurile), sunt obiecte matematice absolute, în sensul
că nu sunt relative la vreun reper 3D. În practica utilizării
tensorilor în probleme concrete, este esențială reprezentarea lor
prin seturi sau masive de numere reale, numite componente. În
acest sens, explicităm definiția anterioară (10), începând cu
valorile mici ale ordinului n.
Fixăm o bază ℬ = {𝐠1, 𝐠2, 𝐠2} a lui V și fie
ℬ = {��1, ��2, ��3} baza duală (a lui V*).
Tensori de ordin 1 și tip 1+0
Conform definiției (10) aceștia sunt aplicații liniare:
T:V* → ℝ.
Stabilim mai întâi următoarea:
LEMĂ: Există un izomorfism liniar canonic I: V → 𝑉∗∗.
Demonstrație: Se subînțelege că V** este spațiul vectorial
al aplicațiilor liniare T:V* → ℝ.
Fiecărui vector v ∈ 𝑉 îi asociem aplicația ℓ𝐯 ∶ 𝑉∗ → ℝ,
definită prin ℓ𝐯(𝜑) = 𝜑(𝐯). Așadar, I(v)=ℓ𝐯. Este evident că
154
aplicația I este liniară. Termenul „canonic” este legat de faptul că
definiția aplicației I nu folosește vreun reper extern.
Arătăm că I este injectivă; într-adevăr, dacă I(v)=0, atunci
ℓ𝐯 = 0 adică 𝜑(v)=0 pentru orice 𝜑 ∈ V*. Dacă v=𝛼𝑖𝐠𝑖 (scriere
în baza ℬ), atunci luând 𝜑 = 𝐠𝑗, rezultă 𝐠𝑗(𝛼𝑖𝐠𝑖) = 0, adică
𝛼𝑖𝐠𝑗(𝐠𝑖) = 0, deci 𝛼𝑖𝛿𝑖
𝑗= 0. Ca atare toți 𝛼𝑗 = 0 și v=0.
În fine, arătăm că I este surjectivă: fixăm T∈V** și fie
𝑣𝑗 = 𝐓(𝐠𝑗), 1 ≤ 𝑗 ≤ 3. Luând v=𝑣𝑖𝐠𝑖, rezultă:
ℓ𝐯(𝐠𝑗) = 𝐠𝑗(𝐯) = 𝐠𝑗(𝑣𝑖𝐠𝑖) = 𝑣
𝑖𝐠𝑗(𝐠𝑖) = 𝑣𝑖𝛿𝑖𝑗= 𝑣𝑗 .
Așadar, aplicațiile liniare T și ℓ𝐯 coincid pe toți vectorii
𝑣𝑗 ai bazei ℬd, deci T=ℓ𝐯.
Conform acestei leme, tensorul T:V* → ℝ de tip 1+0 se
identifică cu acel unic vector v ∈ 𝑉, astfel încât T=ℓ𝐯; am văzut
că v=𝑣𝑖𝐠𝑖, unde 𝑣𝑖 = 𝐓(𝐠𝑖); 1 ≤ 𝑖 ≤ 3.
Invers, orice vector v ∈ 𝑉, 𝐯 = 𝑣𝑖𝐠𝑖, reprezentat prin
componentele scalare contravariante 𝑣𝑖 (cu indice–etaj), este
identificat cu un tensor 1+0 și se mai numește
vector contravariant.
Dacă ℬ = {��1, ��2, ��3} este o altă bază a lui V3, am văzut
că între componentele scalare (𝑣𝑖) și (��𝑖) ale aceluiași vector
v ∈V3, au loc relațiile (6).
Reținem că a considera un tensor 1+0, adică un vector
contravariant v ∈ V3, este echivalent cu a considera setul
componentelor (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3) cu indici–etaj relativ la o bază ℬ,
împreună cu relațiile (6) de legătură cu componentele aceluiași
vector relativ la orice altă bază ℬ.
Notă: Trebuie făcută distincția între tensori și seturile de
componente scalare ale lor. Înainte de dezvoltarea Algebrei
155
liniare, tensorii 1+0 erau definiți direct prin seturile de numere de
tip (𝑣𝑖), ceea ce conducea la confuzii de limbaj.
Tensori de ordinul 1 și tip 0+1
Conform definiției (10), aceștia sunt aplicații liniare
T:V → ℝ.
Notăm 𝑣𝒊 = 𝐓(𝐠𝑖); 1 ≤ 𝑖 ≤ 3 și fie 𝐯 = 𝑣𝑖𝐠𝑖.
Aplicația T se identifică prin setul de numere (𝑣𝒊), al
componentelor scalare covariante ale vectorului v=𝑣𝑖𝐠𝑖. Dacă
ℬ = {��1, ��2, ��3} este o altă bază a lui V3, atunci între
componentele scalare (𝑣𝑖) și (��𝑖) ale aceluiași vector v ∈ V3 au
loc relațiile (7).
Tensorii de tip 0+1 sunt exact covectori (conform
definiției 5.1); ei se mai numesc vectori covarianți. De fapt, este
vorba de componentele covariante ale vectorilor. Reținem că a
considera (≡ a defini sau a da) un tensor 0+1 revine la a defini un
set de trei numere reale de tipul (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3) cu indici–subsol
relativ la o bază ℬ, împreună cu relațiile (7) care arată cum se
determină componentele aceluiași tensor relativ la orice altă bază
ℬ a lui V3.
Tensori de ordinul 2
Tensorii de ordin 2 au 32=9 componente scalare și
corespund la două direcții. Componentele lor formează matrice
pătratice de ordin 3.
Există trei posibilități: tensori de tip 2+0 (dublu
contravarianți), tensori micști de tipul 1+1 (o dată covariant și o
dată contravariant) și tensori 0+2 (dublu covarianți).
156
Un tensor dublu contravariant este, conform (10), o
aplicație biliniară
T:V*×V* → ℝ. (11)
Componentele lui scalare, relativ la baza ℬ, sunt:
𝑇𝑖𝑗 = 𝐓(𝐠𝑖, 𝐠𝑗); 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 3.
Reamintim că o aplicație biliniară ℎ: ℝ3 × ℝ3 → ℝ
asociază oricărei perechi 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), 𝑦 = (𝑦1, 𝑦2, 𝑦3) un
număr real de forma ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑖𝑦𝑗 (sumă după i, j).
Fie v, w ∈ V* doi covectori oarecare. Atunci avem scrieri
v = 𝑣𝑖𝐠𝑖, w=𝑤𝑗𝐠
𝑗 , deci T(v, w)=T(𝑣𝑖𝐠𝑖, 𝑤𝑗𝐠
𝑗)=𝑣𝑖𝑤𝑗𝐓(𝐠𝑖, 𝐠𝑗)=
=𝑇𝑖𝑗𝑣𝑖𝑤𝑗. În mod similar, relativ la baza ℬ avem
T(v,w)= ��𝑖𝑗��𝑖��𝑗 unde ��𝑖𝑗 = 𝐓(��𝑖, ��𝑗). Conform (7), avem
��𝑖 = 𝑡𝑖𝑘𝑣𝑘 și ��𝑗 = 𝑡𝑗
𝑝𝑤𝑝, deci T(v,w)=��𝑖𝑗𝑡𝑖𝑘𝑣𝑘𝑡𝑗
𝑝𝑤𝑝.
Așadar, 𝑇𝑖𝑗𝑣𝑖𝑤𝑗 = ��𝑖𝑗𝑡𝑖
𝑘𝑡𝑗𝑝𝑣𝑘𝑤𝑝 și înlocuind indicii de
sumare i și j cu k, respectiv p, în membrul stâng și ținând cont că
v, w erau arbitrari, rezultă relațiile
𝑇𝑘𝑝 = 𝑡𝑖𝑘𝑡𝑗𝑝��𝑖𝑗 (sumă după i, j). (12)
Raționând similar, sau intervertind bazele, rezultă
��𝑖𝑗 = 𝑢𝑘𝑖 𝑢𝑝
𝑗𝑇𝑘𝑝(sumă după k, p) (12´)
Așadar, a considera (≡ a defini, a da) un tensor dublu
contravariant revine la a avea un masiv de numere (𝑇𝑖𝑗), formând
o matrice pătratică 3×3, care la o schimbare de bază ℬ ⇄ ℬ se
modifică după regulile (12) și (12’).
Un tensor dublu covariant (de tip 0+2) este o aplicație
biliniară
T: 𝑉 × 𝑉 → ℝ.
157
Relativ la baza ℬ, el are componentele
𝑇𝑖𝑗 = 𝐓(𝐠𝑖 , 𝐠𝑗), 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 3.
Dacă v, w ∈ 𝑉 sunt doi vectori oarecare, v= 𝑣𝑖𝐠𝑖,
w=𝑤𝑗𝐠𝑗 și, raționând ca mai sus, la o schimbare de bază ℬ ⇄ ℬ,
au loc relații de forma
𝑇𝑖𝑗 = 𝑢𝑖𝑝𝑢𝑗
𝑞��𝑝𝑞 ș𝑖 ��𝑝𝑞 = 𝑡𝑝𝑖 𝑡𝑞𝑗𝑇𝑖𝑗. (13)
În fine, pentru un tensor mixt de tip 1+1, adică o aplicație
biliniară, T: 𝑉 × 𝑉∗ → ℝ, componentele scalare relativ la baza ℬ
sunt 𝑇𝑗𝑖 = 𝐓(𝐠𝑗, 𝐠
𝑖) și la o schimbare de bază ca mai sus, au loc
relațiile
𝑇𝑗𝑖 = 𝑡𝑝
𝑖 𝑡𝑗𝑞��𝑞
𝑝 și ��𝑞𝑝 = 𝑢𝑝
𝑖 𝑡𝑗𝑞𝑇𝑗
𝑖. (14)
Există încă un tensor mixt de tip 1+1, anume
T: 𝑉∗ × 𝑉 → ℝ, dar nu mai dăm detalii.
Notă: Se poate observa că s-a păstrat peste tot convenția
privind corespondența indicilor de contravarianță sau covarianță,
de sumare, pe direcțiile „ / ” sau „∖”.
Vom considera ulterior tensori de ordin 3, 4 sau mai
general. Prin convenție, un tensor de tip r+s este numit de r ori
contravariant și de s ori covariant. Definiția generală 5.3 poate fi
reformulată astfel:
Definiția 5.3´: Un tensor de ordin n=r+s în spațiul ℝ3
este un masiv de 3n numere reale 𝑇𝑗1…𝑗𝑠𝑖1…𝑖𝑟, astfel încât, la o
schimbare a bazei ℬ ⇄ ℬ, să fie satisfăcute relațiile următoare:
𝑇𝑗1…𝑗𝑠𝑖1…𝑖𝑟 = 𝑡𝑝1
𝑖1 …𝑡𝑝𝑟𝑖𝑟 𝑢𝑗1
𝑞1…𝑢𝑗𝑠𝑞𝑠��𝑞1…𝑞𝑠
𝑝1…𝑝𝑟 (15)
și invers,; există n=r+s indici de sumare (muți)
𝑝1, … , 𝑝𝑟 , 𝑞1, … , 𝑞𝑠, iar indicii de contravarianță 𝑖1… 𝑖𝑟 și cei de
covarianță 𝑗1… 𝑗𝑠 își păstrează locurile (cu menținerea regulilor
158
de corespondență „ / ” sau „∖” între indicii de sumare). Reamintim
că 𝑡𝑗𝑖 (sau 𝑢𝑗
𝑖) sunt elemente corespunzătoare ale matricei de
trecere de la o bază la alta. Suma din formula (15) este o sumă
multiplă, cu indicii de sumare variind de la 1 la 3.
Exemple de tensori
1) Fie v=(𝑣𝑖) un vector contravariant și a=(𝑎𝑖) un covector
(≡ vector covariant), 1 ≤ 𝑖 ≤ 3, relativ la aceeași bază ℬ.
Se definește coprodusul scalar
⟨𝐚, 𝐯⟩ = 𝑎𝑖𝑣𝑖 (sumă după i). (16)
Arătăm că acesta este un scalar (≡ tensor de ordin 0), adică este
independent de reper. Într-adevăr, dacă ℬ este o altă bază, atunci
cu notații transparente, conform relațiilor (6) și (7), avem:
⟨𝐚, 𝐯⟩ = 𝑎𝑗𝑣𝑗 =⏞cf.(7)
(𝑢𝑗𝑖��𝑖)(𝑡𝑘
𝑗��𝑘) = (𝑢𝑗
𝑖𝑡𝑘𝑗)(��𝑖��
𝑘) =
𝛿𝑘𝑖 ��𝑖��
𝑘 = ��𝑖��𝑖 = ⟨��, ��⟩.
Atenție: ⟨𝐯, 𝐚⟩ nu are sens! Deci coprodusul scalar este o
operație diferită de PS.
2) Aplicația F: 𝑉∗ × 𝑉 → ℝ, (a, v) ↦ ⟨𝐚, 𝐯⟩ este
evident biliniară; anume, dacă a=𝑎𝑖𝐠𝑖 și 𝐯 = 𝑣𝑗𝐠𝑗, atunci
⟨𝐚, 𝐯⟩ = 𝑎𝑖𝑣𝑖 = (𝑎𝑖𝑣
𝑗)𝛿𝑗𝑖 = (𝑎𝑖𝑣
𝑗)(𝐠𝑖(𝐠𝑗)) = (𝑎𝑖𝐠𝑖)(𝑣𝑗𝐠𝑗) =
= a(v) și F este liniară în ambele argumente. Așadar, F este un
tensor mixt.
3) Tensorul lui Kronecker este K=(𝛿𝑗𝑖), indicând astfel
componentele lui relativ la o bază ℬ. Acesta este un tensor mixt,
deoarece trecând la o altă bază ℬ, avem 𝛿𝑗𝑖 = 𝑡𝑝
𝑖 𝑢𝑗𝑞𝛿��
𝑝 (căci
𝛿𝑗𝑖 = 𝑡𝑝
𝑖 𝑢𝑗𝑝); așadar, se verifică relația (14).
159
4) Cel mai important tensor, având multiple aplicații, așa
cum vom vedea, este tensorul metric, definit prin produsul scalar
și notat g; anume el este tensorul dublu covariant
g:𝑉 × 𝑉 → ℝ, (𝐯,𝐰) ↦ v·w.
În mod explicit, relativ la o bază ℬ = {𝐠1, 𝐠2, 𝐠2} a lui V=V3,
scriind v=𝑣𝑖𝐠𝑖, 𝐰 = 𝑤𝑗𝐠𝑗 , rezultă:
g(v,w)=v·w=(𝑣𝑖𝐠𝑖) · (𝑤𝑗𝐠𝑗) = (𝑣
𝑖𝑤𝑗)(𝐠𝑖 · 𝐠𝑗).
Notând 𝑔𝑖𝑗 = 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 (produse scalare uzuale în V3),
rezultă că g(v,w)=𝑔𝑖𝑗𝑣𝑖𝑤𝑗 (sumă după i, j), ceea ce confirmă
faptul că aplicația g este biliniară.
Matricea pătratică (𝑔𝑖𝑗) ; 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 3 este evident
simetrică. Tensorul metric este evident independent de reper,
deoarece are o definiție fizică intrinsecă–produsul mărimilor
vectorilor prin cosinusul unghiului dintre ei.
5) Am văzut că orice operator liniar h: 𝑉 → 𝑉 are o
matrice pătratică (ℎ𝑗𝑖) relativ la orice bază ℬ și că la orice
schimbare de bază ℬ ⇄ ℬ au loc relațiile (9); comparând cu
relațiile (14), constatăm că este definit un tensor mixt de tip 1+1.
6) Reluând exemplele date în §5.1, se observă că lucrul
unei forțe determină un tensor dublu covariant (0+2), iar tensorul
de inerție și tensorul tensiunilor sunt micști, de tipul 1+1.
Fără a intra în detalii, indicăm câțiva tensori semnificativi:
tensorii de deformare și de tensiune în Mecanica mediilor
continue, tensorul lui Faraday–Maxwell în Electromagnetism,
tensorul dielectric, tensorul de difuzie în medii biologice (celule,
țesuturi etc.), tensorul vederii computerizate, tensorul de curbură.
Câteva aplicații vor fi mai adâncite în Capitolul 7.
160
Notă: Conform definiției 5.3, tensorii sunt obiecte
matematice, anume aplicații multiliniare, independente de vreun
reper; în același timp, ei apar în descrierea unor situații fizice.
Pentru a opera cu tensori, este utilă considerarea unor
repere convenabile și a raporta acei tensori la reperele respective,
apelând la masivele (≡ matricele) componentelor scalare. Nu
orice masiv de date (seturi 1D, matrice pătratice 2D sau matrice
cubice 3D etc.) reprezintă componentele unui tensor, ci numai
cele care la o schimbare de reper (≡ bază), respectă reguli de tipul
(12)–(15). Mulți autori identifică tensorii cu masivele sau seturile
componentelor lor, ceea ce poate fi lucrativ, dar necesită precauții
de limbaj.
În cazul ℝ𝑛, vectorii (din V) și respectiv covectorii (din
V*) sunt reprezentați prin seturile de câte n componente scalare,
cu indici–etaj, respectiv indici–subsol. Pentru tensorii de ordin 1
componentele sunt legate de o singură direcție. În reprezentarea
unor aplicații biliniare, numărul componentelor este n2 și tensorii
respectivi se referă la două direcții. Un tensor de ordin 3 are n3
componente scalare formând o matrice cubică și se referă la
informații simultan pe trei direcții. Numărul de indici și pozițiile
lor determină regulile de transformare a componentelor la o
schimbare a bazei.
Tensorii considerați aici sunt liberi, în sensul că nu
variază punct cu punct într-un domeniu, în analogie cu cazul
vectorilor liberi. În Capitolul următor vom studia câmpuri de
tensori, legați de punctul de aplicație, de repere mobile și de
coordonate curbilinii.
161
Spinori
La trecerea de la un reper ortonormal la altul printr-o
rotație, se modifică desigur componentele oricărui tensor și
această transformare nu depinde de drumul reperului în „spațiul
reperelor”; există însă drumuri continue în acest spațiu care nu se
pot deforma continuu unul la celălalt din cauza orientării
reperului. Din acest motiv, se atașează fiecărui reper un invariant
discret, având doar două valori, +1 și –1, care precizează
comportarea; acest invariant se numește spin. Un spinor este un
obiect fizico–matematic, care se comportă ca un tensor rotit, cu
precizarea semnului determinat de spin.
§5.3. Operații cu tensori
1. Multiplicarea cu scalari, sumă
Dacă T este un tensor de tip r+s și 𝛼 este un scalar, atunci
multiplicatul 𝛼T este un tensor de același tip; în particular,
−T este opusul lui T.
Dacă X, Y sunt doi tensori de același tip (r, s), atunci
suma X+Yeste un tensor de același tip (cu suma pe componente).
Nu se pot aduna tensori de tipuri diferite. Tensorul nul are toate
componentele nule, indiferent de bază. Desigur, X–Y=X+(−Y).
2. Produsul tensorial
Fie X un tensor de tip r+s și Y un tensor de tip p+q.
Definim un nou tensor, notat Z=X⨂𝐘 , numit produsul tensorial
al tensorilor X, Y având componentele (relativ la o bază ℬ):
𝐙𝑗1…𝑗𝑠+𝑞
𝑖1…𝑖𝑟+𝑝 = 𝐗𝑗1…𝑗𝑠𝑖1…𝑖𝑟 𝐘
𝑗𝑠+1…𝑗𝑠+𝑞
𝑖𝑟+1…𝑖𝑟+𝑝.
162
Tensorul Z are tipul (r+p, s+q), ordinul n=r+p+s+q și 3𝑛
componente scalare.
Atenție: X⨂𝐘 ≠ 𝐘⨂𝐗.
Exemple
1) Fie X=(𝑋𝑖) și Y=(𝑌𝑗). Atunci X⨂𝐘 = (𝑍𝑖𝑗), unde
𝑍𝑖𝑗= 𝑋𝑖𝑌
𝑗.
2) Fie X=(𝑋𝑖), 𝐘 = (𝑌𝑘𝑗). Atunci X⨂𝐘 = (𝑍𝑘
𝑖𝑗), unde
𝑍𝑘𝑖𝑗= 𝑋𝑖𝑌𝑘
𝑗 (27 de componente).
3) Dacă X=(𝑋𝑗𝑖) și 𝐘 = (𝑌 𝑞
𝑛 𝑝), atunci X⨂𝐘 = (𝑍𝑗 𝑞𝑖 𝑛 𝑝),
unde 𝑍𝑗 𝑞𝑖 𝑛 𝑝 = 𝑋𝑗
𝑖𝑌𝑞𝑛 𝑝
. Așadar, X are ordinul 2 și Y are ordinul 3,
iar X⨂𝐘 are ordinul 5 (deci 35 componente).
Faptul că se obțin tensori valabili se verifică arătând
modul cum se respectă regulile de schimbare a bzei. Ca
exemplificare, reluăm exemplul 1). Așadar, la o schimbare
ℬ → ℬ, avem 𝑋𝑖 = 𝑢𝑖𝑝��𝑝 și 𝑌
𝑗 = 𝑡𝑘𝑗��𝑘 (conform (11) și (12))
deci 𝑋𝑖𝑌𝑗 = 𝑢𝑖
𝑝𝑡𝑘𝑗��𝑝��
𝑘, adică 𝑍𝑖𝑗= 𝑡𝑘
𝑗𝑢𝑖𝑝��𝑝
𝑘 și recunoaștem
regula (14) a unui tensor mixt.
Notă: Este importantă notarea indicilor pentru a evita
repetările de indici, acolo unde nu este cazul. Indicele repetat
implică automat aplicarea convenției lui Einstein.
3. Contracția tensorilor
Reținem că prin considerarea unui produs tensorial, crește
numărul de indici (deci ordinul) tensorilor factori. Operația de
contracție diminuează numărul de indici. Anume, se egalează un
indice–etaj cu unul subsol și se face suma componentelor după
indicele repetat. Nu se face contracția a doi indici–etaj sau a doi
163
indici–subsol! Așadar, dintr-un tensor de tip r+s se obține unul de
tip (r–1)+(s–1) și ordinul scade cu 2.
Exemple
1) Fie X=(𝑋𝑖) și 𝐘 = (𝑌𝑗). Atunci X⨂𝐘 = (𝑋𝑖𝑌𝑗).
Făcând contracția i=j, se obține un scalar, anume suma
𝑧 = 𝑋1𝑌1 + 𝑋2𝑌2 + 𝑋
3𝑌3.
2) Coprodusul scalar ⟨𝐚, 𝐯⟩ a unui covector a=(𝑎𝑖) cu un
vector v=(𝑣𝑗) se obține considerând produsul tensorial
a⨂𝐯 = (𝑎𝑖𝑣𝑗), făcând contracția i=j; se obține astfel scalarul
⟨𝐚, 𝐯⟩ = 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣
2 + 𝑎3𝑣3, adică (16).
Am văzut că a ⨂𝐯 ≠ 𝐯⨂𝐚.
3) Fie X=(𝑋𝑝 𝑞𝑖 𝑗) un tensor de tip (2, 2) și ordin 4. Făcând
contracția i=q, rezultă un tensor mixt de ordin 2, notat Y, având
componentele (𝑌𝑝𝑗), unde 𝑌𝑝
𝑗= ∑ 𝑌𝑝 𝑖
𝑖 𝑗3𝑖=1 = 𝑌𝑝 1
1 𝑗+ 𝑌𝑝 2
2 𝑗 + 𝑌𝑝 3
3 𝑗.
4) Fie tensorul C=(𝐶𝑗 𝑘𝑖 ) de ordin 3. Prin contracția i=j se
obține vectorul covariant V=(𝑣𝑘), cu componentele:
𝑣𝑘 = 𝐶𝑖 𝑘𝑖 = 𝐶1 𝑘
1 + 𝐶2 𝑘2 + 𝐶3 𝑘
3 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 3.
5) Fie X=(𝑋𝑘𝑖 𝑗) și 𝐘 = (𝑌𝑝
ℓ). Atunci X⨂𝐘 = (𝑍𝑘 𝑝𝑖 𝑗 ℓ),
unde 𝑍𝑘 𝑝𝑖 𝑗 ℓ
= 𝑋𝑘𝑖 𝑗𝑌𝑝ℓ și făcând contracția 𝑖 = 𝑘, ℓ = 𝑝, se obține
un vector contravariant V=(𝑣𝑗), unde 𝑣𝑗 = ∑ ∑ 𝑋𝑖𝑖 𝑗𝑌𝑝𝑝 =𝑝𝑖
=(𝑋11 𝑗+ 𝑋2
2 𝑗+ 𝑋3
3 𝑗)(𝑌1
1 + 𝑌22 + 𝑌3
3).
4. Ridicarea și coborârea indicilor
Reamintim că am definit tensorul metric g, care este un
tensor dublu covariant, având, relativ la o bază ℬ = {𝐠1, 𝐠2, 𝐠2} a
spațiului V3, componentele 𝑔𝑖𝑗 = 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 (produse scalare).
Matricea pătratică G=(𝑔𝑖𝑗) de ordin 3 se numește matricea
164
Gram asociată bazei ℬ (definiția 2.13 din §2.4). Această matrice
este inversabilă și se poate considera baza ℬr = {𝐠1, 𝐠2, 𝐠3}
a vectorilor reciproci (definiția 2.14 din §2.4), unde
𝐠1 =1
∆(𝐠2 × 𝐠3), 𝐠
2 =1
∆(𝐠3 × 𝐠1), 𝐠
3 =1
∆(𝐠1 × 𝐠2) și ∆=detG.
Notând produsele scalare 𝑔𝑖𝑗 = 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 și folosind faptul că
𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 = 𝛿𝑖𝑗 (relația (20) din §2.4), rezultă relațiile
𝑔𝑖𝑗𝑔𝑗𝑘 = 𝛿𝑖
𝑘, deci matricea G=(𝑔𝑖𝑗) are ca inversă matricea
𝐺−1 = (𝑔𝑖𝑗). Se poate considera tensorul dublu contravariant
(2+0) având componentele (𝑔𝑖𝑗), numit dualul tensorului metric
g și notat 𝐠d.
Fie X un tensor de tip r+s și fixăm un indice–subsol k.
Facem apoi produsul tensorial Y=𝐠d⨂𝐗 dintre dualul tensorului
metric g și X; contractăm indicele k cu un indice–etaj q și se va
obține un nou tensor. Acest procedeu se numește ridicarea
indicelui k. Prin operația inversă și luând produsul tensorial
g ⨂𝐗, se obține coborârea indicelui.
Exemple
1) Fie tensorul mixt X=(𝑋𝑗𝑖); pentru a ridica indicele j,
considerăm 𝐠d⨂𝐗 = (𝑔𝑝𝑞𝑋𝑗𝑖) și contractăm j=p. Se obține
tensorul dublu contravariant Y=(𝑌𝑞𝑖) unde 𝑌𝑞𝑖 = ∑ 𝑔𝑗𝑞𝑋𝑗𝑖3
𝑗=1 =
= 𝑔1𝑞𝑋1𝑖 + 𝑔2𝑞𝑋2
𝑖 + 𝑔3𝑞𝑋3𝑖 .
2) Fie X=(𝑋𝑗𝑖) și coborâm indicele i; considerăm
g⨂𝐗 = (𝑔𝑝𝑞𝑋𝑗𝑖) și facem contracția i=p. Atunci se obține
tensorul Z=(𝑍𝑞𝑗), unde 𝑍𝑞𝑗 = ∑ 𝑔𝑖𝑞𝑋𝑗𝑖3
𝑖=1 .
3) Coborârea (sau ridicarea) de indici se poate face și
folosind alți tensori, nu numai tensorul metric. De exemplu, fie
A=(𝑎𝑖𝑗) și X=(𝑥𝑘); ridicăm k, considerând A⨂𝐗 = (𝑎𝑖𝑗𝑥𝑘) și
165
realizând contracția i=k. Se obține vectorul contravariant
Y = (𝑌𝑗), unde 𝑌𝑗 = ∑ 𝑎𝑘𝑗𝑥𝑘.3𝑘=1
Notă: Considerând un tensor și permutând indicii, se
obține un nou tensor, diferit de cel inițial. Componentele acestuia
coincid cu componentele tensorului inițial, dar se află pe locuri
diferite. De exemplu, dacă X=(𝑋𝑖𝑗𝑘 ) și considerăm
Y=(𝑌𝑖𝑗𝑘) cu 𝑌𝑖𝑗
𝑘 = 𝑋𝑗𝑖𝑘, avem X≠Y.
Levi Civita a introdus un simbol care îi poartă numele, anume:
휀𝑗𝑘ℓ = 휀𝑗𝑘ℓ
= {
0 dacă cel puțin doi indici sunt egali
1 dacă permutarea (jkl)a numerelor 1,2,3 este pară
-1 dacă permutarea (jkl)a numerelor 1,2,3 este impară
휀𝑗𝑘ℓ nu sunt componentele unui tensor, dar
𝜔𝑖𝑗𝑘 = √det (𝑔𝑖𝑗) 휀𝑖𝑗𝑘 sunt componentele unui tensor 3+0, numit
tensorul de volum.
Dacă v=(𝑣𝑖),𝐰 = (𝑤𝑖) sunt doi vectori contravarianți,
atunci se poate defini vectorul covariant cu componentele
𝑎𝑖 = 𝜔𝑖𝑗𝑘𝑣𝑗𝑤𝑘 (sumă după j și k); apoi prin ridicarea indicelui i,
se obține un vector contravariant remarcabil cu componentele
𝑎𝑟 = 𝑔𝑟𝑖𝑎𝑖, care este tocmai produsul vectorial v×w, relativ la o
bază nu neapărat ortonormală. Nu dăm detalii.
166
167
CAPITOLUL 6: CÂMPURI DE TENSORI
Până acum am definit și am operat cu tensori liberi, care
nu sunt legați de un anumit punct. Componentele lor depind de
baze ale lui V3, care sunt formate din vectori liberi. Așa cum am
studiat câmpurile de vectori în Capitolul 4, vom considera tensori
legați de diverse puncte dintr-o regiune D a spațiului fizic S. În
acest mod, regiunea D se „umple” cu tensori și se spune că avem
un câmp de tensori în D. Ideea acestora a apărut la italianul Ricci.
§6.1. Noțiunea de câmp de tensori și exemple
Definiția 6.1: A defini (≡ a considera) un câmp de tensori
de ordin n și de tip (r, s) (r+s=n) într-o regiune D a spațiului
înseamnă a asocia oricărui punct 𝑀 ∈ 𝐷 un astfel de tensor T(M)
legat de punctul M. Echivalent, este definită o familie de tensori
de același tip {T(M)}, 𝑀 ∈ 𝐷, indexată după punctele regiunii D.
Spre deosebire de vectori, tensorii nu pot fi vizualizați prin
săgeți, dar pot fi reprezentați prin matrici (sau masive)
de numere reale!
Fixând în spațiul S un reper cartezian ortonormal
{O; 𝐞1, 𝐞2, 𝐞2} ≡ 𝑂𝑥1𝑥2𝑥3 și implicit o bază ℬ = {𝐞1, 𝐞2, 𝐞2} a
lui V3, orice punct 𝑀 ∈ 𝐷 este bine localizat prin vectorul său de
poziție r=𝑂𝑀 = 𝑥𝑖𝐞𝑖 și punctul M are coordonatele carteziene
(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), deci componentele tensorului T sunt funcții
𝑇𝑗1…𝑗𝑠𝑖1…𝑖𝑟(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), de trei variabile reale 𝑥𝑖, care pot fi derivate
parțial; iar dacă depind și de timpul t, pot fi derivate și în raport
168
cu t. Așadar, câmpurile de tensori reprezintă matrice pătratice,
cubice etc. de funcții continue și netede.
Exemple
1) Câmpurile de vectori sau de covectori sunt exemple de
câmpuri de tensori de ordin 1.
2) Se poate vorbi de câmpul de tensori ai tensiunilor în
orice solid rigid.
3) Diversele operații cu tensori (sumă, produs tensorial,
contracție, ridicare de indici etc.) se pot face simultan pentru
câmpuri de tensori de același tip.
Notă: Adeseori, în loc de câmpuri de tensori se spune
simplu tensori și doar în funcție de context, trebuie văzut că
tensorii depind de punct, deci componentele lor sunt funcții
neconstante.
§6.2. Tensori în coordonate curbilinii
Considerăm un alt reper cartezian {𝑂; ��1, ��2, ��3} ≡
𝑂��1��2��3. În figura 6. 1 am reprezentat simbolic cele două repere.
Fig. 6.1
Dacă r=𝑂𝑀 și �� = ��𝑀 sunt vectorii de poziție ai
punctului curent M și dacă 𝑂�� = 𝐚, atunci r=a+��. Punctul M are
două rânduri de coordonate carteziene: (𝑥𝑖) și (��𝑖) deci
169
r=𝑥𝑖𝐞𝑖, �� = ��𝑘��𝑘, 𝐚 = 𝑎
𝑖𝐞𝑖. Notând cu 𝑇 = (𝑡𝑗𝑖) matricea de
trecere de la ℬ la baza ℬ = {��1, ��2, ��3} și cu 𝑈 = 𝑇−1 = (𝑢𝑗𝑖),
inversa ei, avem ��𝑘 = 𝑡𝑘𝑖 𝐞𝑖 (relația (1) din § 5.1) și rezultă
următoarele relații de legătură între coordonatele carteziene ale
lui M relativ la cele două repere:
𝑥𝑖 = 𝑎𝑖 + 𝑡𝑘𝑖 ��𝑘 și invers, ��𝑖 = ��𝑖 + 𝑢𝑘
𝑖 𝑥𝑘; �� = −𝑎. (1)
Cunoscând componentele unui tensor T relativ la reperul
ℬ, se pot calcula componentele aceluiași tensor relativ la orice alt
reper cartezian ℬ, prin formule de tipul (10) din §5.2. Dar
afirmația este mai generală. Se mai spune că vectorii și tensorii
„geometrizează” spațiul fizic, iar reperele fixe îl „aritmetizează”.
Câmpurile de vectori și tensori nu pot fi studiate fără a recurge la
derivate și la noțiuni de Analiză matematică, deoarece trebuie
descrisă „viteza de variație” a componentelor.
Definiția 6.2: Se numesc coordonate curbilinii ale unui
punct M triplete de numere reale (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) care determină în
mod precis poziția lui M, realizând o corespondență bijectivă
𝑀 ⇄ (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3).
În plus, se presupune că există relații între coordonatele
carteziene (𝑥𝑖) și coordonatele curbilinii (𝑢𝑖), de forma:
𝑥𝑖 = 𝑥𝑖(𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) și invers, 𝑢𝑖 = 𝑢𝑖(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), (2)
exprimate prin funcții continue, cu derivate parțiale continue (sau
cum se spune în „jargon riguros”, determină un difeomorfism
de clasă C2).
Exemple: Coordonatele sferice 𝑢1 = 𝑟, 𝑢2 = 𝜃, 𝑢3 = 𝜑
sau coordonatele cilindrice 𝑢1 = 𝜌, 𝑢2 = 𝜑, 𝑢3 = 𝑧 sunt
coordonate curbilinii, prezentate în §1.4, împreună cu relațiile lor
170
cu coordonatele carteziene. În §4.4 am indicat și reperele mobile
legate de aceste coordonate (figurile 4.21, 4.22).
Digresiune matematică
Reamintim regula de derivare a funcțiilor compuse
(numită „chain–rule”), în cazul funcțiilor derivabile de o variabilă
(reală): dacă 𝑧 = 𝑓(𝑥) și 𝑥 = 𝜑(𝑢), atunci 𝑧 = 𝑓(𝜑(𝑢)) și
𝑧′(𝑢) =d𝑧
d𝑢=d𝑓
d𝑥
d𝑥
d𝑢= 𝑓′(𝑥)𝑥′(𝑢). Reamintim că derivatele
parțiale sunt derivate în raport cu una din variabile, considerând
constante pe celelalte.
În cazul funcțiilor de două sau mai multe variabile, regula
se complică. Dacă 𝑧 = 𝑓(𝑢, 𝑣), 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣 = 𝑣(𝑥, 𝑦), atunci:
𝑧 = 𝑓(𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣(𝑥, 𝑦)), 𝜕𝑧
𝜕𝑥=
𝜕𝑓
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥+𝜕𝑓
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑥 și
𝜕𝑧
𝜕𝑦=
𝜕𝑓
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑦+𝜕𝑓
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦 etc.
Derivând identitatea:
𝑥𝑖 ≡ 𝑥𝑖(𝑢1(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), 𝑢2(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), 𝑢3(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)),
1 ≤ 𝑖 ≤ 3 în raport cu 𝑥𝑗 , rezultă:
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑢𝑘·𝜕𝑢𝑘
𝜕𝑥𝑗=
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑗= 𝛿𝑗
𝑖. (3)
Vectorul de poziție r=𝑂𝑀 al punctului M va avea
expresia r=𝑥𝑖𝐞𝑖 = 𝑥𝑖(𝑢1, 𝑢2, 𝑢3)𝐞𝑖 (sumă după i) și se notează:
𝐠𝑖 =𝜕𝐫
𝜕𝑢𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 3. (4)
Reperul mobil
Definiția 6.3: Reperul ℛu = {M; 𝐠1, 𝐠2, 𝐠3} ≡ (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3)
se numește reperul mobil asociat coordonatelor curbilinii (𝑢𝑖).
171
Versorii vectorilor 𝐠𝑖 se notează 𝐮𝑖; scalarii 𝐿𝑖 = ‖𝐠𝑖‖ se
numesc parametri Lamé relativ la coordonatele curbilinii (𝑢𝑖),
1 ≤ 𝑖 ≤ 3. Evident, 𝐠1 = 𝐿1𝐮1, 𝐠2 = 𝐿2𝐮2, 𝐠3 = 𝐿3𝐮3.
Reperul ℛu se numește ortogonal dacă:
𝐮𝑖 · 𝐮𝑗 = 𝛿𝑖𝑗 deci 𝐠𝑖 ⊥ 𝐠𝑗 pentru 𝑖 ≠ 𝑗. (5)
Vectorul 𝐠1 fiind derivata parțială 𝜕𝐫
𝜕𝑢1, el este tangent
curbei parametrice 𝛾1: 𝐫 = 𝐫(𝑢1, 𝐶, 𝐶′) cu 𝑢2 = 𝐶, 𝑢3 = 𝐶′
constante; similar pentru vectorii 𝐠2 și 𝐠3 (fig. 6.2).
Fig. 6.2
Exemple
Coordonatele sferice și cilindrice determină repere mobile
ortogonale. În cazul coordonatelor sferice (fig. 1.25), mulțimea
punctelor cu r=𝑟0 constant este o sferă, 𝜃 = 𝜃0 este un con cu
vârful în origine, iar 𝜑 = 𝜑0 reprezintă un semiplan trecând prin
axa 𝑂𝑥3; 𝐠1 va fi tangent la curba 𝛾1 care este o semidreaptă prin
origine (intersecția con–plan); similar 𝐠2 este tangent la
meridianul r=C, 𝜑 = 𝐶′ etc. De aceea versorul 𝐮𝑟 este orientat în
lungul vectorului de poziție r. Similar, pentru ceilalți versori ai
bazelor mobile din figurile 4.21 și 4.22.
Definiția 6.4: Setul de trei vectori variabili (depinzând de
coordonatele (𝑢𝑖)):
172
𝐠𝑖 =𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑝𝐞𝑝 (sumă după p) (6)
poartă numele de reciprocii vectorilor 𝐠𝑖 =𝜕𝐫
𝜕𝑢𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 3 ai
bazei ℬ = {𝐠1, 𝐠2, 𝐠3} a lui V3.
TEOREMĂ: Au loc relațiile,
𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 = 𝛿𝑖
𝑗 și 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 = 𝛿𝑗
𝑖 , 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 3
deci {𝐠1, 𝐠2, 𝐠3} formează baza reciprocă a bazei
ℬ = {𝐠1, 𝐠2, 𝐠3}.
Demonstrație:
Conform (4), 𝐠𝑖 =𝜕
𝜕𝑢𝑖(𝐫) =
∂
∂𝑢𝑖(𝑥𝑘𝐞𝑘) =
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢𝑖𝐞𝑘 și
𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 = (
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢𝑖𝐞𝑘) (
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑝𝐞𝑝)=
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑝(𝐞𝑘 · 𝐞𝑝) =
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑝(𝛿𝑘𝑝) =
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑘=⏞cf.(3)
𝛿𝑖𝑗. Cum PS este comutativ, 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 = 𝐠𝑗 · 𝐠
𝑖 = 𝛿𝑗𝑖.
Din cunoașterea componentelor unui vector (sau tensor)
într-o bază asociată unui sistem de coordonate curbilinii (𝑢𝑖),
vom arăta că se pot calcula componentele aceluiași vector (sau
tensor) într-o bază asociată oricărui alt sistem de coordonate
curbilinii (��𝑖). Din relații de tipul (2) între coordonatele
carteziene (𝑥𝑖) și coordonatele curbilinii (��𝑖), se obțin relații
directe (𝑢𝑖) ⇄ (��𝑖), prin eliminarea variabilelor intermediare
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3. În mod similar cu cazul vectorilor 𝐠𝑖 =𝜕𝐫
𝜕𝑢𝑖, se introduc
��𝑖 =𝜕𝐫
𝜕𝑢𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 3. Aplicând regula derivării funcțiilor
compuse, avem 𝜕𝐫
𝜕𝑢𝑖=
𝜕𝐫
𝜕𝑢𝑗𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑢𝑖, deci:
𝐠𝑖 =𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑢𝑖��𝑗 și simetric, ��𝑖 =
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑢𝑖𝐠𝑗. (7)
173
Un rezultat des utilizat îl constituie următoarea
LEMĂ: Au loc următoarele relații:
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑗𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑢𝑘= 𝛿𝑘
𝑖 și simetric similar,𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑗𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑢𝑘= 𝛿𝑘
𝑖 . (8)
Demonstrație: Avem identități de forma:
��𝑖 = ��𝑖(𝑢1(��1, ��2, ��3), 𝑢2(��1, ��2, ��3), 𝑢3(��1, ��2, ��3)) și invers,
𝑢𝑖 = 𝑢𝑖(��1(𝑢1, 𝑢2, 𝑢3), ��2(𝑢1, 𝑢2, 𝑢3), ��3(𝑢1, 𝑢2, 𝑢3)),
1 ≤ 𝑖 ≤ 3. Derivând prima relație în raport cu ��𝑗, rezultă
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑗𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑢𝑘=
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑘 și ținem cont că
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑘= 𝛿𝑘
𝑖 . Arătăm acum că:
𝐠𝑖 =𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑗��𝑗 și simetric, ��𝑖 =
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑗𝐠𝑗. (9)
În general, pentru a arăta că doi vectori v, w sunt egali,
este suficient să arătăm că produsele lor scalare cu vectorii unei
baze sunt egale. Dar 𝐠𝑖 · 𝐠𝑘 = 𝛿𝑘𝑖 și pe de altă parte:
(𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑗��𝑗) · 𝐠𝑘 =⏞
cf.(6)
(𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑗��𝑗) · (
𝜕𝑢𝑝
𝜕𝑢𝑘��𝑝) =
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑗𝜕𝑢𝑝
𝜕𝑢𝑘(��𝑗 · ��𝑝) =
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑗𝜕𝑢𝑝
𝜕𝑢𝑘𝛿𝑝𝑗=
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑗𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑢𝑘= 𝛿𝑘
𝑖 ,
ultima relație rezultând aplicând lema anterioară. Se obține astfel
prima relație (9); cealaltă, rezultă intervertind coordonatele
(𝑢𝑖) și (��𝑖).
Putem acum stabili legătura între componentele–etaj sau
între cele subsol ale vectorilor sau tensorilor relativ la schimbarea
de coordonate (𝑢𝑖) ⇄ (��𝑖).
Fie v ∈ V3 un vector oarecare. Pentru componentele
contravariante, avem scrieri unice v=𝑣𝑖𝐠𝑖 și 𝐯 = ��𝑗��𝑗. Așadar,
��𝑗��𝑗=𝑣𝑖𝐠𝑖 =⏞
cf.(6)
𝑣𝑖𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑢𝑖��𝑗 și cum vectorii ��𝑗 (1 ≤ 𝑗 ≤ 3) sunt
liniar independenți, rezultă:
174
��𝑗 =𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑢𝑖𝑣𝑖; simetric, 𝑣𝑗 =
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑢𝑖��𝑖. (10)
Aceste relații se referă la componentele–etaj. În mod similar,
v=𝑣𝑖𝐠𝑖 = ��𝑗��
𝑗. Se remarcă dispunerea „/” a indicilor și barelor.
Similar, pentru componentele covariante, avem v=𝑣𝑖𝐠𝑖,
v=��𝑗��𝑗 deci ��𝑗��
𝑗 = 𝑣𝑖𝐠𝑖 =⏞cf.(8)
𝑣𝑖 (𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑗 ��𝑗) = (𝑣𝑖
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑗) ��𝑗 și cum
��𝑗 sunt liniar independenți (1 ≤ 𝑗 ≤ 3), rezultă relațiile:
��𝑗 =𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑗 𝑣𝑖 ; simetric 𝑣𝑖 =
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑗 ��𝑗. (11)
Și în acest caz, există corespondența „∖” pentru indici și bare.
Relațiile (10) și (11) probează afirmația anterioară;
anume, cunoscând componentelor unui vector contravariant (sau
covariant) într-un sistem de coordonate curbilinii (𝑢𝑖), se pot
determina, prin calculul unor derivate parțiale, componentele
acelui vector în oricare alt sistem de coordonate (��𝑖).
În Capitolul 5, am definit tensorii „liberi”, prin
componentele lor relativ la un reper cartezian fixat; prin regulile
de tip (4), (6), (9) și în general, (10) din acest capitol, am stabilit
legătura între componentele respective la o schimbare de reper,
prin trecere la alt reper cartezian. Acum am extins aceste reguli,
aplicabile câmpurilor de tensori, anume la repere mobile, asociate
unor sisteme de coordonate curbilinii.
Extindem relațiile (10), (11) la câmpurile de ordin 𝑛 ≥ 2.
Fie T un câmp de tensori dublu covarianți și
𝑇𝑖𝑗 = 𝐓(𝐠𝑖 , 𝐠𝑗), componentele relativ la sistemul (𝑢𝑖) de
coordonate curbilinii și ��𝑖𝑗 = 𝐓(��𝑖, ��𝑗), componentele relativ la
coordonatele curbilinii (��𝑖). Aceste componente sunt funcții de
𝑢𝑖 sau ��𝑖. Așadar, cum T este o aplicație biliniară, conform
definiției 5.4, avem:
175
𝑇𝑖𝑗 = 𝐓(𝐠𝑖, 𝐠𝑗) =⏞cf.(7)
𝐓(𝜕𝑢𝑝
𝜕𝑢𝑖��𝑝,
𝜕𝑢𝑞
𝜕𝑢𝑗��𝑞) =
𝜕𝑢𝑝
𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑞
𝜕𝑢𝑗𝐓(��𝑝, ��𝑞),
pentru orice i, j.
Deci:
𝑇𝑖𝑗 =𝜕𝑢𝑝
𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑞
𝜕𝑢𝑗��𝑝𝑞 și simetric, ��𝑖𝑗 =
𝜕𝑢𝑝
𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑞
𝜕𝑢𝑗𝑇𝑝𝑞. (12)
În cazul tensorilor dublu contravarianți,
𝑇𝑖𝑗 = 𝐓(𝐠𝑖 , 𝐠𝑗) =⏞cf.(9)
𝐓(𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑝��𝑝,
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑢𝑞��𝑞) =
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑝𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑢𝑞𝐓(��𝑝, ��𝑞),
adică:
𝑇𝑖𝑗 =𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑝𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑢𝑞��𝑝𝑞 și simetric, ��𝑖𝑗 =
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑝𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑢𝑞𝑇𝑝𝑞. (13)
În cazul tensorilor micști de ordin 2 apar două posibilități,
considerând T(𝐠𝑖, 𝐠𝑗) sau 𝐓(𝐠𝑖, 𝐠𝑗). În cazul când T este un
tensor simetric, relația de legătură între componente este:
𝑇𝑗𝑖 =
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑝𝜕𝑢𝑞
𝜕𝑢𝑗��𝑞𝑝 și ��𝑗
𝑖 =𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑝𝜕𝑢𝑞
𝜕𝑢𝑗𝑇𝑞𝑝, pentru orice i, j. (14)
Se extinde acea corespondență de indici și bare, remarcată
în cazul vectorilor.
Exemple
1) Dacă 𝜑(𝑢1, 𝑢2, 𝑢3), 𝜑 ∶ 𝐷 → ℝ este un câmp scalar, am
definit gradientul ∇𝜑 ca fiind vectorul având componentele
𝑇𝑖 =𝜕𝜑
𝜕𝑢𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 3.
Realizând o schimbare de coordonate de tipul (2), funcția
𝜑 depinde de variabilele ��𝑖 și 𝜕𝜑
𝜕𝑢𝑖=
𝜕𝜑
𝜕𝑢𝑗𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑢𝑖 deci ��𝑖 =
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑢𝑖𝑇𝑗, de
tipul (11). Așadar, gradientul unui câmp scalar este un vector
covariant.
2) Pentru o funcție derivabilă de o variabilă, diferențiala
ei în punctul curent este d𝑓=𝑓′(𝑥)1ℝ unde 1ℝ este aplicația
identică. În particular, dacă 𝑓(𝑥) = 𝑥, atunci 𝑓′(𝑥) = 1 și ca
176
atare, dx=1ℝ. Așadar, d𝑓 = 𝑓′(𝑥)d𝑥. Pentru o funcție
𝑓(𝑥, 𝑦) avem d𝑓 =𝜕𝑓
𝜕𝑥d𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦d𝑦 și pentru o funcție de trei
variabile 𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), diferențiala ei este:
d𝑓 =𝜕𝑓
𝜕𝑥1d𝑥1 +
𝜕𝑓
𝜕𝑥2d𝑥2 +
𝜕𝑓
𝜕𝑥3d𝑥3 = ∇𝑓 · d𝐫,
unde dr=(d𝑥𝑖) este vectorul–deplasare, având drept componente
diferențialele variabilelor.
În cazul unei schimbări de coordonate de tipul (2), avem:
d𝑢𝑖 =𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑗d��𝑗 și notând 𝑇𝑖 = d𝑢𝑖, ��𝑖 = d��𝑖, avem 𝑇𝑖 =
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑗d��𝑗,
relație de tipul (10), deci vectorul–deplasare se comportă ca un
vector contravariant.
3) Câmpul tensorului metric în ℝ3
Pentru orice sistem de coordonate curbilinii 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3, se
consideră conform (4), produsele scalare
𝑔𝑖𝑗 = 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 =𝜕𝐫
𝜕𝑢𝑖·𝜕𝐫
𝜕𝑢𝑗 (15)
și cum r=𝑥𝑘𝐞𝑘 = 𝑥𝑝𝐞𝑝, rezultă 𝑔𝑖𝑗 = (
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢𝑖𝐞𝑘) · (
𝜕𝑥𝑝
𝜕𝑢𝑗𝐞𝑝) =
(𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥𝑝
𝜕𝑢𝑗) (𝐞𝑘 · 𝐞𝑝).
Dar{𝐞1, 𝐞2, 𝐞3} este o bază ortonormală deci 𝐞𝑘 · 𝐞𝑝 = 𝛿𝑘𝑝.
Atunci,
𝑔𝑖𝑗 =𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢𝑗 (sumă după k), pentru orice 1≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 3. (16)
Pentru orice schimbare de coordonate (𝑢𝑖) ⇄ (��𝑖) avem:
��𝑖𝑗 =𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢𝑗= (
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢𝑝𝜕𝑢𝑝
𝜕𝑢𝑖) (
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢𝑞𝜕𝑢𝑞
𝜕𝑢𝑗) =
= 𝜕𝑢𝑝
𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑞
𝜕𝑢𝑗(𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢𝑝𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢𝑞) =
𝜕𝑢𝑝
𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑞
𝜕𝑢𝑗𝑔𝑝𝑞;
177
Așadar, conform (11), (𝑔𝑖𝑗) sunt componentele unui câmp
de tensori dublu covariant, numit câmpul tensorului metric al
spațiului și notat cu g.
În cazul câmpurilor de tensori de tip (r,s) și ordin n
(n=r+s), setul de componente 𝑇𝑗1…𝑗𝑠𝑖1…𝑖𝑟(𝑢𝑖) se modifică la o
schimbare de coordonate (𝑢𝑖) ⇄ (��𝑖), după regula:
𝑇𝑗1…𝑗𝑠𝑖1…𝑖𝑟 =
𝜕𝑢𝑖1
𝜕𝑢𝑝1…𝜕𝑢𝑖𝑟
𝜕𝑢𝑝𝑟
𝜕𝑢𝑞1
𝜕𝑢𝑗1…𝜕𝑢𝑞𝑠
𝜕𝑢𝑗𝑠��𝑞1…𝑞𝑠𝑝1…𝑝𝑟 și invers, (17)
cu corespondența „ / ” pentru indicii–etaj de contravarianță (și
bare) și „∖” pentru indicii–subsol de covarianță.
Notă importantă
Relațiile (10)–(15) din §5.2 se referă la legăturile dintre
componentele aceluiași tensor relativ la două sisteme de
coordonate carteziene („necurbilinii”), unde coeficienții 𝑡𝑗𝑖 ,
respectiv 𝑢𝑗𝑖 erau elementele matricei de trecere de la un reper la
altul.
Relațiile (10)–(14) de mai sus se referă la cazul
câmpurilor de tensori (≡„tensori variabili cu punctul”), unde rolul
coeficienților 𝑡𝑗𝑖 (respectiv 𝑢𝑗
𝑖) este luat de derivatele parțiale 𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑗
(respectiv 𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑗).
Așa cum am mai spus, ne situăm într-o regiune D a
spațiului S ≡ ℝ3. Scalarii sunt mărimi care au o singură valoare,
independentă de vreun reper. Câmpurile de vectori sunt triplete
de componente scalare depinzând de 𝑢𝑖, care combinate cu
vectorii bazei unor repere formează mărimi care au un caracter
absolut, având o singură direcție, de îndată ce respectă regulile
„de joc” la schimbările de coordonate (𝑢𝑖) ⇄ (��𝑖). Un câmp de
tensori de ordin n în ℝ3 este un masiv de 3n scalari numiți
178
componentele tensorului; acești scalari combinați cu vectorii
bazei mobile formează o mărime fizică cu caracter absolut
(independentă de reper), corespunzând la n direcții în spațiu.
Astfel, un câmp de tensori de ordin 2 are 9 componente,
variabile odată cu punctul în care sunt plasate.
§6.3. Aplicații geometrice ale tensorului metric,
simbolurile lui Christoffel
Componentele dublu covariante și dublu contravariante
ale tensorului metric
Am văzut că prin utilizarea sistemelor de coordonate,
carteziene sau curbilinii, vectorii și tensorii sunt „aritmetizați” și
în acest mod, li se pot asocia disponibilități aplicative deosebite.
Astfel, tensorul metric g permite definirea unor mărimi
fundamentale din spațiu – lungimi de arce de curbă, măsuri de
unghiuri între curbe, arii ale unor porțiuni curbilinii de suprafață
etc. Se spune că tensorul metric „produce” geometria spațiului.
Fixând un reper cartezian ortonormal {O; 𝐞1, 𝐞2, 𝐞2} ≡
(𝑂𝑥1𝑥2𝑥3) și un sistem de coordonate curbilinii (𝑢𝑖), atunci
avem relații de tipul (2) și poziția oricărui punct M este
determinată prin vectorul său de poziție
r=𝑥𝑖𝐞𝑖 = 𝑥𝑖(𝑢1, 𝑢2, 𝑢3)𝐞𝑖; am notat 𝐠𝑖 =
𝜕𝐫
𝜕𝑢𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 3
(conform (4)). În acest mod, se obține reperul mobil
{M; 𝐠1, 𝐠2, 𝐠2} ≡ (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3), cu „axe curbe” (nu drepte ca în
cazul reperelor carteziene). Bazei {𝐠1, 𝐠2, 𝐠2} i se asociază baza
vectorilor reciproci {𝐠1, 𝐠2, 𝐠3} definiți în (6), prin 𝐠𝑖 =𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗𝐞𝑗.
179
Am văzut că 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 = 𝛿𝑖
𝑗 și 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 = 𝛿𝑗
𝑖 și că au loc relațiile (7)
și (9) de legătură la o schimbare de coordonate (𝑢𝑖) ⇄ (��𝑖).
Tensorul metric g are în coordonate curbilinii (𝑢𝑖)
componentele dublu covariante 𝑔𝑖𝑗 = 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 =⏞cf.(6)
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢𝑗 (sumă
după k), pentru 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 3.
De asemenea se pot defini componentele contravariante
ale tensorului metric g, anume:
𝑔𝑖𝑗 = 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 = (𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑝𝐞𝑝) · (
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑞𝐞𝑞) =
=𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑝𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑞(𝐞𝑝 · 𝐞𝑞) =
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑝𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑞𝛿𝑝𝑞 =
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑝𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑝 (sumă după p).
Calculul lungimilor vectorilor (în coordonate curbilinii)
Fie v ∈ V3 un vector fixat. Avem 𝑣2 = 𝐯 · 𝐯. Considerând
componentele covariante ale lui v, avem v=𝑣𝑖𝐠𝑖 deci
𝑣2 =(𝑣𝑖𝐠𝑖)·( 𝑣𝑗𝐠
𝑗) = 𝑣𝑖𝑣𝑗(𝐠𝑖·𝐠𝑗) = 𝑔𝑖𝑗𝑣𝑖𝑣𝑗 și v =√𝑔𝑖𝑗𝑣𝑖𝑣𝑗. Pe
de altă parte, considerând componentele contravariante,
𝑣2 = (𝑣𝑖𝐠𝑖)(𝑣𝑗𝐠𝑗) = 𝑣
𝑖𝑣𝑗(𝐠𝑖 · 𝐠𝑗) = 𝑔𝑖𝑗𝑣𝑖𝑣𝑗 și v=√𝑔𝑖𝑗𝑣
𝑖𝑣𝑗.
De asemenea, 𝑣2 = (𝑣𝑖𝐠𝑖) · (𝑣𝑗𝐠𝑗) = 𝑣𝑖𝑣𝑗(𝐠𝑖 · 𝐠
𝑗) =
𝑣𝑖𝑣𝑗𝛿𝑖𝑗= 𝑣𝑖𝑣𝑖.
În acest mod, avem trei formule pentru calculul lungimii
v = ‖𝐯‖ a oricărui vector. Bineînțeles, toate sunt corecte și extind
cazul reperelor carteziene ortogonale (din Geometria analitică de
liceu) atât la cazul reperelor carteziene neortonormale, cât și la
cel al reperelor mobile legate de coordonate curbilinii. În cazul
unui reper cartezian ortonormal {O; 𝐞1, 𝐞2, 𝐞2} ≡ (𝑂𝑥1𝑥2𝑥3)
avem 𝐠𝑖 = 𝐞𝑖, 𝐠𝑖 = 𝐞𝑖 și pentru un vector v, avem
180
𝑣𝑖 = 𝑣𝑖 și 𝑣2 = 𝑣𝑖𝑣𝑖, regăsind faptul că lungimea unui vector
este radical din suma pătratelor componentelor scalare.
Calculul măsurii unghiului a doi vectori nenuli
Fie v, w ∈V3 doi vectori nenuli. Produsul scalar este un
scalar independent de vreun reper. Dacă 𝜃=măs(𝐯, ��), atunci
v·w=v·w cos 𝜃 deci cos 𝜃 =𝐯·𝐰
𝑣𝑤.
Considerând componentele covariante ale lui v și w avem
v=𝑣𝑖𝐠𝑖, 𝐰 = 𝑤𝑗𝐠
𝑗 deci v·w=𝑣𝑖𝑤𝑗(𝐠𝑖 · 𝐠𝑗) = 𝑔𝑖𝑗𝑣𝑖𝑤𝑗. Același
lucru pentru componentele contravariante; avem v=𝑣𝑖𝐠𝑖,
w=𝑤𝑗𝐠𝑗 deci v·w=𝑔𝑖𝑗𝑣𝑖𝑤𝑗. Atunci:
cos 𝜃 =𝑔𝑖𝑗𝑣𝑖𝑤𝑗
√𝑔𝑖𝑗𝑣𝑖𝑣𝑗√𝑔𝑖𝑗𝑤𝑖𝑤𝑗
=𝑔𝑖𝑗𝑣
𝑖𝑤𝑗
√𝑔𝑖𝑗𝑣𝑖𝑣𝑗√𝑔𝑖𝑗𝑤
𝑖𝑤𝑗.
De asemenea, scriind v = 𝑣𝑖𝐠𝑖 și w = 𝑤𝑗𝐠𝑗, avem formula:
cos 𝜃 =𝑣𝑖𝑤
𝑖
√𝑣𝑖𝑣𝑖√𝑤𝑖𝑤𝑖
.
Metrica spațiului ℝ3
Un rol deosebit de important îl joacă cel de metrică.
Definiția 6.5: Se numește metrica euclidiană a spațiului
ℝ3, forma pătratică (scalară):
d𝑠2 = d𝑥𝑘d𝑥𝑘 = (d𝑥1)2 + (d𝑥2)2 + (d𝑥3)2. (17)
În esență, ea exprimă pătratul distanței euclidiene dintre
punctele „infinitezimal vecine” (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) și (𝑥1 + d𝑥1, 𝑥2 +
d𝑥2, 𝑥3 + d𝑥3); (fig. 6.3). De asemenea, ds=‖d𝐫‖, adică
elementul de arc este mărimea vectorului–deplasare,
adică d𝑠2 = d𝐫 · d𝐫.
181
Fig. 6.3
Deoarece 𝑥𝑘 = 𝑥𝑘(𝑢1, 𝑢2, 𝑢3), 1 ≤ 𝑘 ≤ 3, rezultă d𝑥𝑘 =𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢𝑖d𝑢𝑖
Deci, d𝑠2=(𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢𝑖d𝑢𝑖) · (
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢𝑗d𝑢𝑗) =
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢𝑗d𝑢𝑖d𝑢𝑗. Conform
(16), se obține următorul rezultat fundamental:
TEOREMĂ: Metrica spațiului ℝ3 în coordonate
curbilinii este:
d𝑠2 = 𝑔𝑖𝑗d𝑢𝑖d𝑢𝑗. (18)
Exemple
Explicităm componentele tensorului metric în coordonate
sferice și apoi în cilindrice.
Notăm cu 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 coordonatele carteziene
{O;𝐞1, 𝐞2, 𝐞2} ≡ (𝑂𝑥1𝑥2𝑥3) reperul ortonormal în spațiul ℝ3; fie
𝑢1 = 𝑟, 𝑢2 = 𝜃, 𝑢3 = 𝜑 coordonatele sferice. Vectorul de poziție
al punctului M(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) curent este:
r=(𝑢1 sin 𝑢2 cos 𝑢3) 𝐞1 + (𝑢1 sin 𝑢2 sin 𝑢3) 𝐞2 + (𝑢
1 cos 𝑢2)𝐞3
Atunci,
𝐠1 =𝜕𝐫
𝜕𝑢1= (sin 𝑢2 cos 𝑢3) 𝐞1 + (sin 𝑢
2 sin𝑢3) 𝐞2 + (cos𝑢2)𝐞3,
𝐠2 =𝜕𝐫
𝜕𝑢2=(𝑢1 cos𝑢2 cos 𝑢3) 𝐞1+(𝑢1 cos 𝑢2 sin𝑢3) 𝐞2-(𝑢1 sin 𝑢2)𝐞3
𝐠3 =𝜕𝐫
𝜕𝑢3= (−𝑢1 sin𝑢2 sin 𝑢3) 𝐞1 + (𝑢
1 sin 𝑢2 cos 𝑢3) 𝐞2 + 0𝐞3.
Atunci,
𝑔11 = 𝐠1 · 𝐠1 = 1, 𝑔22 = 𝐠2 · 𝐠2 = (𝑢1)2 = 𝑟2,
𝑔33 = 𝐠3 · 𝐠3 = (𝑢1 sin 𝑢2)2 = 𝑟2sin2𝜃 și
𝑔𝑖𝑗 = 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 = 0 pentru 𝑖 ≠ 𝑗.
182
Matricea 𝐺 = (𝑔𝑖𝑗) este:
𝐺 = (1 0 00 𝑟2 00 0 𝑟2sin2𝜃
) cu inversa,
𝐺−1 =
(
1 0 0
01
𝑟20
0 01
𝑟2sin2𝜃)
.
G este simetrică; în plus, parametrii Lamé sunt 𝐿𝑖 = √𝑔𝑖𝑖
(deci 1, r, rsin𝜃). Conform (18), metrica spațiului ℝ3 în
coordonate sferice este:
d𝑠2 = 𝑔11(d𝑢1)2 + 𝑔22(d𝑢
2)2 + 𝑔33(d𝑢3)2 =
= d𝑟2 + 𝑟2d𝜃2 + 𝑟2sin2𝜃d𝜑2.
Exemplu Pe sfera r=R, metrica este d𝑠2 = 𝑅2d𝜃2 +
𝑅2sin2𝜃d𝜑2. Punctele de pe emisfera nordică unde longitudinea
este egală cu latitudinea se află pe curba 𝛾: 𝑟 = 𝑅, 𝜃 = 𝜑.
Elementul de arc pe această curbă este dat de
d𝑠2 = (𝑅2 + 𝑅2sin2𝜃)d𝜃2 și lungimea arcului pentru 0 ≤ 𝜃 ≤𝜋
2
este 𝐿 = ∫ d𝑠 = 𝑅 ∫ √1 + sin2𝜃 d𝜃𝜋
20𝛾
, ușor de estimat.
În coordonate cilindrice, avem 𝑢1 = 𝜌, 𝑢2 = 𝜑, 𝑢3 = 𝑧; atunci:
r=(𝑢1 cos 𝑢2) 𝐞1 + (𝑢1 sin 𝑢2)𝐞2 + 𝑢
3𝐞3 deci,
𝐠1 =𝜕𝐫
𝜕𝑢1= (cos 𝑢2) 𝐞1 + (sin 𝑢
2)𝐞2,
𝐠2 =𝜕𝐫
𝜕𝑢2= (−𝑢1sin𝑢2)𝐞1 + (𝑢
1 cos 𝑢2)𝐞2 și
𝐠3 =𝜕𝐫
𝜕𝑢3= 𝐞3.
183
Deci 𝑔11 = 1, 𝑔22 = (𝑢1)2 = 𝜌2 și 𝑔33 = 1. Parametrii
Lamé sunt 𝐿𝑖 = √𝑔𝑖𝑖 deci 𝐿1 = 1, 𝐿2 = 𝜌, 𝐿3 = 1. Iar metrica
spațiului ℝ3 în coordonate cilindrice este:
d𝑠2 = d𝜌2 + 𝜌2d𝜑2 + d𝑧2.
Simbolurile lui Christoffel
În multe aplicații, este important modul de variație a unui
câmp de vectori de la un punct la altul. În cazul exprimărilor
vectorilor sau tensorilor relativ la repere carteziene fixe, cu
versori constanți, derivarea se face pe componente, dar în cazul
raportării la repere mobile, lucrurile sunt ceva mai complicate.
Fixând un reper cartezian ortonormal {O;𝐞1, 𝐞2, 𝐞2} ≡
(𝑂𝑥1𝑥2𝑥3) și un sistem de coordonate curbilinii (𝑢𝑖), atunci
vectorul de poziție al punctului curent este r = 𝑥𝑖(𝑢1, 𝑢2, 𝑢3)𝐞𝑖 și
am notat 𝐠𝑖 =𝜕𝐫
𝜕𝑢𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 3 și 𝐠𝑖 =
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝒙𝒋𝐞𝑗. Orice vector v ∈ V3
se poate exprima în componente contravariante prin v = 𝑣𝑖𝐠𝑖. De
exemplu, 𝜕𝐯
𝜕𝑢1=
𝜕
𝜕𝑢1(𝑣𝑖𝐠𝑖) =
𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑢1𝐠𝑖 + 𝑣
𝑖 𝜕𝐠𝑖
𝜕𝑢1 . Similar se petrec
lucrurile în cazul celorlalte variabile 𝑢𝑖 și al tensorilor. Așadar,
trebuie ținut cont de derivatele vectorilor bazei {𝐠𝑖}.
Definiția 6.6: Derivatele 𝜕𝐠𝑖
𝜕𝑢𝑗 fiind ele însele vectori din
V3 (depinzând de 𝑢𝑗) se exprimă prin combinații liniare ale
vectorilor bazei {𝐠𝑖}. Așadar, au loc relații de forma:
𝜕𝐠𝑖
𝜕𝑢𝑗= Γ𝑖𝑗
𝑘𝐠𝑘 (sumă după k), pentru 1≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 3. (19)
Funcțiile Γ𝑖𝑗𝑘 se numesc simbolurile lui Christoffel.
Numărul lor este 27 și nu sunt componente ale vreunui
tensor (de ordin 3).
184
Indicele i este cel al vectorului de bază care se derivează,
j este indicele variabilei în raport cu care se face derivata, iar k
indică direcția.
Din formula definitorie (19) rezultă de asemenea că:
𝜕𝐠𝑖
𝜕𝑢𝑗= −Γ𝑘𝑗
𝑖 𝐠𝑘. (19’)
Într-adevăr, aplicând faptul că pentru orice vector w ∈ V3
avem w=(w·𝐠𝑘)𝐠𝑘, rezultă că
𝜕𝐠𝑖
𝜕𝑢𝑗= (
𝜕𝐠𝑖
𝜕𝑢𝑗· 𝐠𝑘) 𝐠
𝑘 .
Dar 𝐠𝑖 · 𝐠𝑘 = 𝛿𝑘𝑖 și derivând în raport cu 𝑢𝑗 ,
𝜕𝐠𝑖
𝜕𝑢𝑗· 𝐠𝑘 +
𝐠𝑖 ·𝜕𝐠𝑘
𝜕𝑢𝑗= 0 deci:
𝜕𝐠𝑖
𝜕𝑢𝑗· 𝐠𝑘 = − 𝐠
𝑖 ·𝜕𝐠𝑘
𝜕𝑢𝑗=⏞
cf.(19)
− 𝐠𝑖 · (Γ𝑘𝑗𝑝 𝐠𝑝) = −Γ𝑘𝑗
𝑖 și avem (19’).
În continuare, vom stabili cum se calculează simbolurile
Γ𝑖𝑗𝑘 dacă se cunoaște tensorul metric (deci componentele dublu
covariante sau dublu contravariante ale acestuia).
Înmulțim scalar relația vectorială (19) cu 𝐠𝑝; așadar,
𝐠𝑝 ·𝜕𝐠𝑖
𝜕𝑢𝑗= Γ𝑖𝑗
𝑘(𝐠𝑝 · 𝐠𝑘). Dar 𝐠𝑝 · 𝐠𝑘 = 𝛿𝑘𝑝 deci:
Γ𝑖𝑗𝑝 = 𝐠𝑝 ·
𝜕𝐠𝑖
𝜕𝑢𝑗. (20)
Dar 𝜕𝐠𝑖
𝜕𝑢𝑗=
𝜕
𝜕𝑢𝑗(𝜕𝐫
𝜕𝑢𝑖) =
𝜕2𝐫
𝜕𝑢𝑗𝜕𝑢𝑖=
𝜕2𝐫
𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑗 (conform teoremei lui
Schwartz), deci 𝜕𝐠𝑖
𝜕𝑢𝑗=
𝜕
𝜕𝑢𝑖(𝜕𝐫
𝜕𝑢𝑗) =
𝜕𝐠𝑗
𝜕𝑢𝑖 și relația (19) se scrie
𝜕𝐠𝑗
𝜕𝑢𝑖= Γ𝑖𝑗
𝑘𝐠𝑘, apoi înmulțind scalar cu 𝐠𝑝, rezultă Γ𝑖𝑗𝑝= 𝐠𝑝 ·
𝜕𝐠𝑗
𝜕𝑢𝑖,
adică intervertind indicii i, j, rezultă că Γ𝑗𝑖𝑝 = 𝐠𝑝 ·
𝜕𝐠𝑖
𝜕𝑢𝑗.
Comparând cu (20), rezultă că Γ𝑖𝑗𝑘 = Γ𝑗𝑖
𝑘, adică simbolurile
lui Christoffel sunt simetrice în raport cu indicii inferiori.
Așadar, putem scrie: Γ𝑖𝑗𝑝 =
1
2𝐠𝑝 ·
𝜕𝐠𝑖
𝜕𝑢𝑗+1
2𝐠𝑝 ·
𝜕𝐠𝑗
𝜕𝑢𝑖.
185
Aici se face un artificiu, adunând două paranteze care de
fapt sunt identic nule. Anume,
Γ𝑖𝑗𝑝 =
1
2𝐠𝑝 ·
𝜕𝐠𝑖
𝜕𝑢𝑗+ (
1
2𝑔𝑘𝑝
𝜕𝐠𝑘
𝜕𝑢𝑗· 𝐠𝑖 −
1
2𝑔𝑘𝑝
𝜕𝐠𝑗
𝜕𝑢𝑘· 𝐠𝑖) +
1
2𝐠𝑝 ·
𝜕𝐠𝑗
𝜕𝑢𝑖+ (
1
2𝑔𝑘𝑝
𝜕𝐠𝑘
𝜕𝑢𝑖· 𝐠𝑗 −
1
2𝑔𝑘𝑝
𝜕𝐠𝑖
𝜕𝑢𝑘· 𝐠𝑗).
Dar, 𝐠𝑝 = 𝑔𝑘𝑝𝐠𝑘, deci
Γ𝑖𝑗𝑝 =
1
2𝑔𝑘𝑝𝐠𝑘 ·
𝜕𝐠𝑖
𝜕𝑢𝑗+ (
1
2𝑔𝑘𝑝
𝜕𝐠𝑘
𝜕𝑢𝑗· 𝐠𝑖 −
1
2𝑔𝑘𝑝
𝜕𝐠𝑗
𝜕𝑢𝑘· 𝐠𝑖) +
1
2𝑔𝑘𝑝𝐠𝑘 ·
𝜕𝐠𝑗
𝜕𝑢𝑖 + (
1
2𝑔𝑘𝑝
𝜕𝐠𝑘
𝜕𝑢𝑖· 𝐠𝑗 −
1
2𝑔𝑘𝑝
𝜕𝐠𝑖
𝜕𝑢𝑘· 𝐠𝑗).
Grupând termenii, rezultă:
Γ𝑖𝑗𝑝 =
1
2𝑔𝑘𝑝 [(𝐠𝑘 ·
𝜕𝐠𝑖
𝜕𝑢𝑗+𝜕𝐠𝑘
𝜕𝑢𝑗· 𝐠𝑖) + (𝐠𝑘 ·
𝜕𝐠𝑗
𝜕𝑢𝑖+
𝜕𝐠𝑘
𝜕𝑢𝑖· 𝐠𝑗) − (
𝜕𝐠𝑗
𝜕𝑢𝑖· 𝐠𝑖 +
𝜕𝐠𝑖
𝜕𝑢𝑘· 𝐠𝑗)]=
1
2𝑔𝑘𝑝 [
𝜕
𝜕𝑢𝑗(𝐠𝑘 · 𝐠𝑖) +
𝜕
𝜕𝑢𝑖(𝐠𝑘 · 𝐠𝑗) −
𝜕
𝜕𝑢𝑘(𝐠𝑖 · 𝐠𝑗)].
În acest mod, am demonstrat următoarea:
TEOREMĂ:
Γ𝑖𝑗𝑝 =
1
2𝑔𝑘𝑝 (
𝜕𝑔𝑖𝑘
𝜕𝑢𝑗+𝜕𝑔𝑗𝑘
𝜕𝑢𝑖−𝜕𝑔𝑖𝑗
𝜕𝑢𝑘), sumă după k. (21)
Aplicând această formulă, se pot calcula explicit
simbolurile lui Christoffel pentru orice sistem de coordonate
curbilinii, de îndată ce se cunosc componentele tensorului metric.
Exemplu
Determinăm simbolurile lui Christoffel în coordonate
cilindrice 𝜌, 𝜑, 𝑧.
Avem 𝑔11 = 1, 𝑔22 = 𝜌2, 𝑔33 = 1, 𝑔11 = 1, 𝑔22 =
1
𝜌2 ,
𝑔33 = 1, 𝑔𝑖𝑗 = 0 pentru 𝑖 ≠ 𝑗 și 𝑔𝑖𝑗 = 0 pentru 𝑖 ≠ 𝑗.
Conform (21), rezultă:
186
Γ111 =
1
2𝑔11 (
𝜕𝑔11
𝜕𝜌+𝜕𝑔11
𝜕𝜌−𝜕𝑔11
𝜕𝜌) +
1
2𝑔21 (
𝜕𝑔12
𝜕𝜌+𝜕𝑔12
𝜕𝜌−𝜕𝑔11
𝜕𝜑) +
1
2𝑔31 (
𝜕𝑔13
𝜕𝜌+𝜕𝑔13
𝜕𝜌−𝜕𝑔11
𝜕𝑧) =
1
2(0 + 0 − 0) + 0 + 0 = 0; apoi,
Γ221 = −𝜌 , Γ12
2 =1
𝜌, Γ212 =
1
𝜌 (după calcule). Restul simbolurilor
sunt nule.
§6.4. Derivarea covariantă a scalarilor și vectorilor
Am văzut rolul operației de derivare în studiul variației
câmpurilor de vectori; ca exemplu, reamintim viteza și accelerația
mișcării în lungul unei curbe (vezi §3.4). În cazul reperelor
carteziene „fixe” {O;𝐞1, 𝐞2, 𝐞2} ≡ (𝑂𝑥1𝑥2𝑥3), ca în cazul
Geometriei analitice, vectorii 𝐞𝑖 ai bazei lui V3 sunt constanți ca
mărime și direcție și ca atare, derivarea oricărui vector
v(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = 𝑣𝑖(𝑥𝑗) 𝐞𝑖, se face derivând componentele scalare,
anume 𝜕𝐯
𝜕𝑥𝑗=
𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑥𝑗𝐞𝑖 (relativ la coponentele covariante); iar dacă
reperul ar fi și ortonormal, atunci 𝐞𝑖 = 𝐞𝑖 și
𝑣𝑖 = 𝑣𝑖 pentru orice 1 ≤ 𝑖 ≤ 3. Dar în cazul coordonatelor
curbilinii, pentru derivarea vectorilor de bază, trebuie utilizate
simbolurile lui Christoffel.
Considerăm un reper mobil 3D, {M; 𝐠1,𝐠2, 𝐠3} ≡
(𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) în coordonate curbilinii. Dacă v(𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) este un
câmp de vectori din V3 și folosim componentele sale
contravariante, atunci v=𝑣𝑖𝐠𝑖 deci 𝜕𝐯
𝜕𝑢𝑗=
𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑢𝑗𝐠𝑖 + 𝑣
𝑖 𝜕𝐠𝑖
𝜕𝑢𝑗. Dar
𝜕𝐠𝑖
𝜕𝑢𝑗= Γ𝑖𝑗
𝑘𝐠𝑘 (conform formulei (19)) și ca atare:
𝜕𝐯
𝜕𝑢𝑗=
𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑢𝑗𝐠𝑖 + 𝑣
𝑖Γ𝑖𝑗𝑘𝐠𝑘.
187
Intervertind indicii de sumare 𝑖 ↔ 𝑘 în ultimul termen,
rezultă 𝜕𝐯
𝜕𝑢𝑗= (
𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑢𝑗+ 𝑣𝑘Γ𝑘𝑗
𝑖 )𝐠𝑖.
Definiția 6.7: Setul de funcții
𝑣;𝑗𝑖 =
𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑢𝑗+ 𝑣𝑘Γ𝑘𝑗
𝑖 , depinzând de 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3, (22)
poartă numele de componentele derivatei covariante, ∇𝑗𝑣𝑖, în
lungul direcției 𝐠𝑗.
Am demonstrat astfel relația:
𝜕𝐯
𝜕𝑢𝑗= v;𝑗
𝑖 𝐠𝑖 (sumă după i); 1≤ 𝑗 ≤ 3. (23)
În mod similar, folosind componentele covariante ale
vectorului v, avem v = 𝑣𝑖𝐠𝑖 deci
𝜕𝐯
𝜕𝑢𝑗=
𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑢𝑗𝐠𝑖 + 𝑣𝑖
𝜕𝐠𝑖
𝜕𝑢𝑗 . Aplicând
formula (19’) și intervertind indicii de sumare i, k, rezultă că
𝑣𝑖𝜕𝐠𝑖
𝜕𝑢𝑗= −𝑣𝑖Γ𝑘𝑗
𝑖 𝐠𝑘 = −(𝑣𝑘Γ𝑖𝑗𝑘)𝐠𝑖 deci
𝜕𝐯
𝜕𝑢𝑗= (
𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑢𝑗− 𝑣𝑘Γ𝑖𝑗
𝑘)𝐠𝑖.
Setul de funcții
𝑣𝑖;𝑗 =𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑢𝑗− 𝑣𝑘Γ𝑖𝑗
𝑘; 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 3 (24)
reprezintă componentele derivatei covariante ∇𝑗𝑣𝑖, în lungul
direcției 𝐠𝑗. Așadar,
𝜕𝐯
𝜕𝑢𝑗= 𝑣𝑖;𝑗𝐠
𝑖 (sumă după i). (25)
Notă: Se poate arăta că seturile de funcții 𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑢𝑗(sau
𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑢𝑗) nu
au caracter tensorial (la o schimbare de coordonate
(𝑢𝑖) ⇄ (��𝑖)). Dar 𝑣;𝑗𝑖 și respectiv 𝑣𝑖;𝑗 sunt componentele unui
tensor mixt, respectiv tensor dublu covariant, care reprezintă
derivata covariantă a vectorului (𝑣𝑖) respectiv (𝑣𝑖).
Atenție! Nu există derivate contravariante.
188
Derivata covariantă a unui câmp scalar 𝜑 pe direcția unui
vector nenul h ∈ V3, într-un punct a din spațiu este scalarul
d𝜑
d𝐡(𝑎) ≡ (∇𝐡𝜑)𝑎 = lim𝑡→0
𝑡≠0
𝜑(𝑎+𝑡𝐡)−𝜑(𝑎)
𝑡.
În punctul curent, are loc formula
∇𝐡𝜑 = 𝐡 · ∇𝜑. (26)
Acesta nu este un concept nou; l-am reamintit în Capitolul
4, §4.4 (derivata lui 𝜑 după un versor s, notată (s·∇)𝜑). În
Capitolul 4, am definit pseudovectorul ∇ care trebuie uitat,
deoarece nu are legătură directă cu derivata covariantă a
tensorilor.
Exemplu
Derivatele parțiale ale unei funcții (netede) scalare sunt
derivatele pe direcția axelor. Tot astfel, deriata parțială a unui
câmp scalar sau vectorial în raport cu variabila 𝑢𝑗 este tocmai
derivata pe direcția vectorului 𝐠𝑗 de bază.
Conceptul general de derivare covariantă
Acest concept a fost introdus și studiat de italienii Levi-
Civita și Ricci, ca și de germanul Christoffel, ca un instrument
indispensabil în studiul curburii suprafețelor sau varietăților, ca și
în probleme de Mecanică cerească.
Până acum am definit:
I. derivata covariantă ∇𝐡𝜑 a unui câmp scalar 𝜑 pe direcția unui
vector nenul h;
II. derivata covariantă a unui câmp de tensori de ordin 1 (ca
vectori contravarianți sau covarianți, prin formulele (22) și (24));
III. iar dacă 𝜑 este un câmp scalar, v un câmp de vectori, ambele
netede în vecinătatea unui punct a și dacă h este un vector nenul,
189
atunci asocierea (v, h) ↦ (∇𝐡𝐯)𝑎 este liniară în fiecare argument
și în plus,
∇𝐡(𝜑𝐯)𝑎 = 𝜑(𝑎)(∇𝐡𝐯)𝑎+(∇𝐡𝜑)𝑎𝐯(𝑎).
În punctul curent,
∇𝐡(𝜑𝐯) = φ∇𝐡𝐯 + (∇𝐡𝜑)𝐯. (27)
Exemplu
Dacă v ∈ V3 și considerăm componentele contravariante
(se mai spune atunci că v însuși este un vector contravariant!),
atunci v = 𝑣𝑖𝐠𝑖 și avem:
𝜕𝐯
𝜕𝑢𝑗= ∇𝐠𝑗𝐯 = ∇𝐠𝑗(𝑣
𝑖𝐠𝑖) =⏞cf.(27)
𝑣𝑖∇𝐠𝑗𝐠𝑖 + (∇𝐠𝑗𝑣𝑖) 𝐠𝑖 =
𝑣𝑖𝜕𝐠𝑖
𝜕𝑢𝑗+𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑢𝑗𝐠𝑖 =⏞
cf.(19)
𝑣𝑖(Γ𝑖𝑗𝑘𝐠𝑘) +
𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑢𝑗𝐠𝑖 = (𝑣
𝑖Γ𝑖𝑗𝑘)𝐠𝑘 +
𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑢𝑗𝐠𝑖;
intervertind în primul termen indicii de sumare i și k, regăsim
formula (23).
I. Pentru orice câmp de tensori T de tip (r,s), se asociază
derivata sa covariantă ∇T, care este un câmp de tensori de
tip (r, s+1). Asocierea T ↦ ∇T este liniară și în plus,
pentru orice câmp scalar 𝜑, avem:
∇(𝜑𝐓) = ∇𝜑⨂𝐓 + 𝜑∇𝐓 și dacă T, U sunt doi
tensori oarecare, atunci:
∇(𝐓⨂𝐔) = (∇𝐓)⨂𝐔 + 𝐓⨂(∇𝐔).
Reținem că prin aplicarea derivării covariante, unui tensor
îi crește ordinul de covarianță cu o unitate.
Exemple
Aplicând aceste reguli, se obțin următoarele formule
privind derivatele covariante (pe direcția 𝐠𝑘) ale tensorilor de
ordin doi și mai general:
190
𝐓;𝑘𝑖𝑗=𝜕𝐓𝑖𝑗
𝜕𝑢𝑘+ Γ𝑝𝑘
𝑖 𝐓𝑝𝑗 + Γ𝑝𝑘𝑗𝐓𝑖𝑝;
𝐓𝑖𝑗;𝑘 =𝜕𝐓𝑖𝑗
𝜕𝑢𝑘− Γ𝑘𝑖
𝑞𝐓𝑞𝑗 − Γ𝑘𝑗𝑞 𝐓𝑖𝑞;
𝐓𝑗;𝑘𝑖 =
𝜕𝐓𝑗𝑖
𝜕𝑢𝑘+ Γ𝑘𝑝
𝑖 𝐓𝑗𝑝 − Γ𝑘𝑗
𝑞 𝐓𝑞𝑖 .
}
(28)
(𝐓𝑗1…𝑗𝑠𝑖1…𝑖𝑟)
;𝑘=
𝜕
𝜕𝑢𝑘𝐓𝑗1…𝑗𝑠𝑖1…𝑖𝑟 + Γ𝑝𝑘
𝑖1𝐓𝑗1…𝑗𝑠𝑝𝑖2…𝑖𝑟 +⋯+
Γ𝑝𝑘𝑖𝑟 𝐓𝑗1…𝑗𝑠
𝑖1…𝑖𝑟−1𝑝 − Γ𝑘𝑗1𝑞 𝐓𝑞𝑗2…𝑗𝑠
𝑖1…𝑖𝑟 −⋯− Γ𝑘𝑗𝑠𝑞 𝐓𝑗1…𝑗𝑠−1𝑞
𝑖1…𝑖𝑟 (29)
Așadar, se consideră derivata parțială uzuală a tensorului
la care se adaugă multiplicatul corespunzător Γ𝑝𝑘𝑖 pentru fiecare
indice–etaj i și se scade multiplicatul corespunzător Γ𝑗𝑘𝑞
pentru
fiecare indice–subsol j.
Derivarea covariantă în lungul unei curbe situată pe o
suprafață; interpretarea geometrică
Fixăm pentru moment un reper cartezian ortonormal
{O;𝐞1, 𝐞2, 𝐞2} ≡ (𝑂𝑥1𝑥2𝑥3) în spațiu.
Fie 𝛾: 𝛒 = 𝛒(𝑡), 𝑡 ∈ 𝐼 o curbă parametrizată netedă, cu
𝛒′(𝑡) ≠ 0 pentru orice 𝑡 ∈ 𝐼. În plus, presupunem că 𝛾 este situată
pe o suprafață Σ ∶ 𝐫 = 𝐫(𝑢1, 𝑢2) cu (𝑢1, 𝑢2) variind într-o regiune
D din ℝ2, astfel încât să existe funcții 𝑢1, 𝑢2 ∶ 𝐼 → ℝ astfel încât
(𝑢1(𝑡), 𝑢2(𝑡)) ∈ 𝐷 și 𝛒(𝑡) = 𝐫(𝑢1(𝑡), 𝑢2(𝑡)) pentru orice 𝑡 ∈ 𝐼.
Un vector h ∈ V3 se numește tangent la Σ într-un punct
a ∈ Σ dacă există o curbă 𝛾: 𝛒 = 𝛒(𝑡), 𝑡 ∈ 𝐼 situată pe Σ și o
valoare 𝑡0 ∈ 𝐼 astfel încât 𝛒(𝑡0) = 𝑂𝑎 și 𝛒′(𝑡0) = 𝐡; (fig. 6.4).
A determina curba 𝛾 revine la a indica explicit funcțiile:
𝑢1 = 𝑢1(𝑡), 𝑢2 = 𝑢2(𝑡); 𝑡 ∈ 𝐼.
191
Fig. 6.4
Presupunem în plus că pentru orice (𝑢1, 𝑢2) ∈ 𝐷, vectorii
𝐠1 =𝜕𝐫
𝜕𝑢1 și 𝐠2 =
𝜕𝐫
𝜕𝑢2 sunt necoliniari (adică 𝐠1 × 𝐠2 ≠ 𝟎); se
spune atunci că Σ este nesingulară. De fapt, acești vectori sunt
tangenți la suprafața Σ, fiind tangenți la curbele de coordonate
𝑢2 = 𝐶, constant și 𝑢1 = 𝐶, constant.
Se notează cu 𝑇𝑎Σ mulțimea tuturor vectorilor tangenți la
Σ în punctul a, având punctul de aplicație în originea sistemului
de coordonate 𝑂𝑥1𝑥2𝑥3; 𝑇𝑎Σ este un spațiu vectorial de
dimensiune 2, având baza 𝐠1, 𝐠2 (calculați în a). 𝑇𝑎Σ este numit
planul tangent la Σ în a.
Fie acum v ∈ V3 un vector având punctul de aplicație în
𝛒(𝑡) și tangent la Σ în acest punct; așadar, vectorul variabil
v(𝑡) = 𝐯(𝛒(𝑡)) = 𝐯(𝑢1(𝑡), 𝑢2(𝑡)) are suportul în planul tangent
𝑇𝛒(𝑡)Σ; desenat punctat în figura 6.5. În general, derivata în sens
clasic v´(t) nu este conținută în acest plan.
192
Fig. 6.5
Considerăm reperul mobil format din vectorii
𝐠1, 𝐠2 și 𝐠3 = 𝐠1 × 𝐠2. Avem o scriere v(𝑡) = 𝑣𝑖(𝑢1(𝑡),
𝑢2(𝑡))𝐠𝑖; sumă după i pentru 1 ≤ 𝑖 ≤ 2.
Dar v´(𝑡) =d𝑣𝑖
d𝑡𝐠𝑖 + 𝑣𝑖
𝜕𝐠𝑖
𝜕𝑢𝑗𝑑𝑢𝑗
d𝑡=⏞
cf.(19)
(d𝑣𝑖
d𝑡+ 𝑣𝑘Γ𝑘𝑗
𝑖 d𝑢𝑗
d𝑡) 𝐠𝑖;
sumă după i (aici 1 ≤ 𝑖 ≤ 3). Notăm D𝐯
d𝑡= proiecția vectorului
v´(𝑡) pe planul tangent 𝑇𝛒(𝑡)Σ (generat de 𝐠1, 𝐠2).
Așadar, (sumă după i și k; 1≤ 𝑖 ≤ 2 și 1 ≤ 𝑘 ≤ 3),
D𝐯
d𝑡= (
d𝑣𝑖
d𝑡+ 𝑣𝑘Γ𝑘𝑗
𝑖 𝑑𝑢𝑗
d𝑡) 𝐠𝑖. (30)
Avem d𝑣𝑖
d𝑡=
𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑢𝑗𝑑𝑢𝑗
d𝑡 și comparând cu relația (23), rezultă
D𝐯
d𝑡= 𝑣;𝑗
𝑖 𝑑𝑢𝑗
d𝑡𝐠𝑖 (sumă după i, j) (31)
Așadar, are loc:
TEOREMĂ: Funcțiile scalare 𝑣;𝑗𝑖 𝑑𝑢
𝑗
d𝑡 sunt componentele
contravariante ale vectorului D𝐯
d𝑡, deci:
D𝐯
d𝑡= ∇𝛒′(𝑡)𝐯. (32)
Cu alte cuvinte, vectorul D𝐯
d𝑡 (≡proiecția lui v´(t) pe planul
𝑇𝛒(𝑡)Σ) este derivata covariantă a câmpului v presupus tangent la
Σ pe direcția h=𝛒′(𝑡).
193
CAPITOLUL 7: CÂTEVA APLICAȚII ALE
TENSORILOR
În acest capitol, vom depăși acumulările teoretice și vom
prezenta argumente pentru a justifica de ce tensorii sunt obiecte
fizico–matematice importante sau chiar indispensabile.
Până acum ne-am plasat în spațiul fizic S≡ ℝ3, dar tot ce
am spus este valabil și poate fi refăcut fără dificultăți principiale
în ℝ𝑛, pentru 𝑛 ≥ 2.
§7.1. Mișcarea pe o traiectorie plană
În Capitolul 3 am considerat mișcarea circulară uniformă.
Determinăm acum vectorul–viteză și vectorul–accelerație în
lungul unei curbe plane parametrizate, în coordonate curbilinii.
Considerăm un reper cartezian ortonormal 2D, într-un
plan P, {O;𝐞1, 𝐞2} ≡ 𝑂𝑥1𝑥2 (Am schimbat notația sistemului de
coordonate xOy de versori i, j, folosită în Capitolul 1).
Poziția unui punct M din planul P poate fi de asemenea
precizată prin două coordonate curbilinii 𝑢1, 𝑢2 (de exemplu,
𝜌 și 𝜃). Așadar, punctul curent M are două rânduri de coordonate:
(𝑥1, 𝑥2) și (𝑢1, 𝑢2); în plus, există relații 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖(𝑢1, 𝑢2),
inversabile prin 𝑢𝑖 = 𝑢𝑖(𝑥1, 𝑥2); 1 ≤ 𝑖 ≤ 2, care asigură o
corespondență bijectivă, (𝑥1, 𝑥2) ⇄ (𝑢1, 𝑢2) exprimată prin
funcții continue cu derivate parțiale continue.
Vectorul de poziție r=𝑂𝑀 al punctului M se scrie astfel:
r= 𝑂𝑀 = 𝑥𝑘𝐞𝑘 = 𝑥1𝐞2 + 𝑥
2𝐞2, deci
r=𝑥𝑘(𝑢1, 𝑢2)𝐞𝑘; (fig.7.1). (1)
194
Fig. 7.1
Notând 𝐠𝑖 =𝜕𝐫
𝜕𝑢𝑖 (pentru i = 1, 2), se obține un reper
mobil curbiliniu 2D în planul P, {M;𝐠1, 𝐠2} ≡ (𝑂𝑥1𝑥2).
Bazei {𝐠1, 𝐠2} a spațiului vectorial V2(P) îi corespunde
baza reciprocă {𝐠1, 𝐠2}, unde 𝐠𝑗 =𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑝𝐞𝑝.
Într-adevăr, 𝐠𝑖 =𝜕
𝜕𝑢𝑖(𝑥𝑘𝐞𝑘) =
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢𝑖𝐞𝑘 și 𝐠𝑗 =
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑝𝐞𝑝, deci:
𝐠𝑖 · 𝐠𝑗=𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑝(𝐞𝑘 · 𝐞𝑝) =
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑝𝛿𝑘𝑝 =
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑘= 𝛿𝑖
𝑗,
pentru 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 2, ultima egalitate rezultă din relația (3), §6.2.
De asemenea, 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 = 𝐠𝑗 · 𝐠𝑖 = 𝛿𝑗
𝑖.
Exemplu (coordonate polare)
În acest caz, 𝑢1 = 𝜌 și 𝑢2 = 𝜃 deci r=𝑥1𝐞1 + 𝑥2𝐞2 =
𝜌 cos 𝜃 𝐞1 + 𝜌 sin 𝜃 𝐞2. Atunci𝐠1 =𝜕𝐫
𝜕𝜌= cos 𝜃 𝐞1 + sin 𝜃 𝐞2 și
𝐠2 =𝜕𝐫
𝜕𝜃= −𝜌 sin 𝜃 𝐞1 + 𝜌 cos 𝜃 𝐞2. Evident, 𝐠1 · 𝐠2 = 0 deci
𝐠1 ⊥ 𝐠2; (fig. 7.2).
Fig. 7.2
195
Luând 𝐠1 = 𝐠1 și 𝐠2 =
1
𝜌2𝐠2, avem:
𝐠1 · 𝐠1 = 1, 𝐠1 · 𝐠
2 = 𝐠1 · (1
𝜌2𝐠2) =
1
𝜌2(𝐠1 · 𝐠2) = 0 și
𝐠2 · 𝐠2 = 𝐠2 · (
1
𝜌2𝐠2) =
1
𝜌2(𝐠2 · 𝐠2) =
1
𝜌2· 𝜌2 = 1.
Așadar, 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 = 𝛿𝑖
𝑗 pentru orice i, j. În acest mod, {𝐠1, 𝐠2} este
baza reciprocă a bazei {𝐠1, 𝐠2} în spațiul vectorial V2(P).
Să presupunem acum o curbă parametrizată
𝛾: 𝑢1 = 𝑢1(𝑡), 𝑢2 = 𝑢2(𝑡), cu parametrul t variind într-un
interval I. Atunci r(𝑡) = 𝑥𝑘(𝑢1, 𝑢2)𝐞𝑘 și vectorul–viteză este:
v(𝑡) = 𝐫′(𝑡) = (𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢1𝑢′1 +
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢2𝑢′2) 𝐞𝑘 = (
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢1𝐞𝑘) 𝑢
′1 +
(𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢2𝐞𝑘) 𝑢
′2 =𝜕𝐫
𝜕𝑢1𝑢′1 +
𝜕𝐫
𝜕𝑢2𝑢′2 = 𝐠1𝑢
′1 + 𝐠2𝑢′2.
Așadar,
v(𝑡) = 𝑢′𝑖(𝑡)𝐠𝑖 (sumă după i). (2)
Apoi vectorul–accelerație este a(𝑡) = 𝐯′(𝑡) =
(𝑢′𝑖𝐠𝑖)′(𝑡) = 𝑢′′𝑖𝐠𝑖 + 𝑢
′𝑖𝐠𝑖′. Dar 𝐠𝑖
′ =d
d𝑡(𝐠𝑖) =
𝜕𝐠𝑖
𝜕𝑢𝑗𝑢′𝑗(𝑡).
Deoarece 𝜕𝐠𝑖
𝜕𝑢𝑗 sunt vectori din V2(P), ei sunt combinații
liniare ale vectorilor {𝐠1, 𝐠2}. Anume 𝜕𝐠𝑖
𝜕𝑢𝑗= Γ𝑖𝑗
𝑘𝐠𝑘 (sumă după k).
Simbolurile lui Christoffel Γ𝑖𝑗𝑘 (în număr de 23 =8) sunt
funcții de 𝑢1, 𝑢2.
Ca atare,
a(𝑡) = 𝐠𝑘𝑢′′𝑘 + 𝑢′𝑖
𝜕𝐠𝑖
𝜕𝑢𝑗𝑢′𝑗 = 𝐠𝑘𝑢
′′𝑘 + Γ𝑖𝑗𝑘𝑢′𝑖𝑢′𝑗𝐠𝑘.
Am demonstrat astfel următoarea formulă:
a(𝑡) = (𝑢′′(𝑡) + Γ𝑖𝑗𝑘𝑢′𝑖(𝑡)𝑢′𝑗(𝑡))𝐠𝑘. (3)
196
TEOREMĂ: Componentele–etaj ale vectorilor–viteză și
accelerație, în lungul unei curbe plane, în coordonate
curbilinii sunt:
𝑣𝑘 = 𝑢′𝑘(𝑡) și 𝑎𝑘 = 𝑢′′𝑘(𝑡) + Γ𝑖𝑗𝑘𝑢′𝑖(𝑡)𝑢′𝑗(𝑡); 𝑘 = 1, 2. (4)
Exemplu:
În coordonate polare, avem:
r=𝜌 cos 𝜃 𝐞1 + 𝜌 sin 𝜃 𝐞2;
𝐠1 =𝜕𝐫
𝜕𝜌= cos 𝜃 𝐞1 + sin 𝜃 𝐞2,
𝐠2 =𝜕𝐫
𝜕𝜃= −𝜌 sin 𝜃 𝐞1 + 𝜌 cos 𝜃 𝐞2.
Apoi,
𝜕𝐠1
𝜕𝜌= 0 = Γ11
𝑘 𝐠𝑘 deci Γ111 = 0, Γ11
2 = 0.
𝜕𝐠1
𝜕𝜃= − sin 𝜃 𝐞1 + cos 𝜃 𝐞2 = Γ12
𝑘 𝐠𝑘 = Γ121 𝐠1 +
Γ122 𝐠2 = Γ12
1 (cos 𝜃 𝐞1 + sin 𝜃 𝐞2) + Γ122 (− 𝜌 sin 𝜃 𝐞1 +
𝜌 cos 𝜃 𝐞2) și identificând coeficienții, rezultă
Γ121 = 0, Γ12
2 =1
𝜌 etc.
În final,
Γ122 = Γ21
2 =1
𝜌, Γ22
1 = −𝜌 și restul Γ𝑖𝑗𝑘 sunt nuli.
Așadar, conform (2), viteza v(t)=𝜌′(𝑡)𝐠1 + 𝜃′(𝑡)𝐠2 are
componentele 𝑣𝜌 = 𝜌′(𝑡) (numită viteza radială, în direcția lui
𝐠1), respectiv 𝑣𝜃 = 𝜃′(𝑡)- viteza tangențială (în direcția lui 𝐠2).
Apoi, conform (4) 𝑎𝜌 = 𝜌′′ − 𝜌(𝑡)𝜃′(𝑡)2 este accelerația
radială (în direcția 𝐠1) și 𝑎𝜃 = 𝜃′′(𝑡) +2
𝜌𝜌′(𝑡)𝜃′(𝑡) este
accelerația tangențială (în direcția lui 𝐠2).
Notă: Calculul prealabil al simbolurilor lui Christoffel
este mai migălos.
Conform (2), v(t)=𝜌′(𝑡)𝐠1 + 𝜃′(𝑡)𝐠2 și apoi:
197
𝐚(𝑡) = 𝐯′(𝑡) = 𝜌′′(𝑡)𝐠1 + 𝜌′(𝑡)𝐠1
′ + 𝜃′′(𝑡)𝐠2 + 𝜃′(𝑡)𝐠2
′.
Dar
𝐠1′ = (−sin 𝜃 𝐞1 + cos 𝜃 𝐞2)𝜃
′ =𝜃′(𝑡)
𝜌𝐠2
și 𝐠2′ = [(−𝜌′ sin 𝜃 − 𝜌 cos 𝜃 · 𝜃′)𝐞1 + (𝜌
′ cos 𝜃 −
𝜌 sin 𝜃 · 𝜃′)𝐞2] − 𝜌𝜃′𝐠1 +
𝜌′
𝜌𝐠2.
Deci,
𝐚(𝑡) = 𝜌′′(𝑡)𝐠1 + 𝜌′(𝑡)
𝜃′(𝑡)
𝜌𝐠2 + 𝜃
′′(𝑡)𝐠2 +
𝜃′(𝑡) (−𝜌𝜃′𝐠1 +𝜌′
𝜌𝐠2).
Ca atare,
𝐚(𝑡) = (𝜌′′ − 𝜌𝜃′2)𝐠1 + (𝜃
′′ +2𝜌′𝜃′
𝜌)𝐠2, (5)
regăsind formulele anterioare.
Aplicație
În cazul mișcării circulare (Capitolul 3, §3.4), avem
𝜌(𝑡) = 𝑅 constant și toate formulele se simplifică masiv. În acest
caz, vectorul–viteză este v(𝑡) = 𝜃′(𝑡)𝐠2, deci viteza radială este
nulă și viteza tangențială are mărimea 𝜃′(𝑡). Dacă mișcarea este
uniformă, atunci 𝜃(𝑡) = 𝜔𝑡 (𝜔 = constant), deci v(𝑡) = 𝜔𝐠2 și
ca mărime ‖𝐯(𝑡)‖ = 𝜔‖𝐠2‖ = 𝑅𝜔. Regăsim că v=R𝜔, tocmai
formula (9) din Capitolul 3, §3.4. Apoi 𝑎𝜌 = −𝜌𝜃′2 și 𝑎𝜃 = 𝜃′′.
În cazul mișcării circulare uniforme, 𝑎𝜌 = −𝜔2𝑅 și 𝑎𝜃 = 0;
vectorul–accelerație este a(𝑡) = −𝑅𝜔2𝐠1, cu mărimea a=𝑅𝜔2 =
𝑣2
𝑅, regăsind formula (10) din Capitolul 3, §3.4.
198
§7.2. Mișcarea pe o traiectorie în spațiu
Ne restrângem la a obține expresia vectorilor–viteză și
accelerație. Fie 𝛾: 𝑢𝑖 = 𝑢𝑖(𝑡), 1 ≤ 𝑖 ≤ 3, 𝑡 ∈ 𝐼 o curbă
parametrizată în spațiu, în coordonate curbilinii.
Atunci vectorul de poziție la momentul t este
r(𝑡) = 𝑥𝑘(𝑢1(𝑡), 𝑢2(𝑡), 𝑢3(𝑡))𝐞𝑘 și vectorul–viteză este
v(𝑡) = 𝐫′(𝑡) =𝜕𝐫
𝜕𝑢𝑖𝑢′𝑖(𝑡) = 𝑢′𝑖(𝑡)𝐠𝑖. Apoi vectorul–accelerație
este a(𝑡) = 𝐯′(𝑡) = 𝑢′′𝑖(𝑡)𝐠𝑖 + 𝑢′𝑖(𝑡)𝐠𝑖
′(𝑡). Vectorii 𝐠𝑖′(𝑡) se
reprezintă cu cele 27 de simboluri ale lui Christoffel:
𝐠𝑖′(𝑡) =
d
d𝑡(𝐠𝑖(𝑢
1(𝑡), 𝑢2(𝑡), 𝑢3(𝑡))) =𝜕𝐠𝑖
𝜕𝑢𝑗𝑢′𝑗(𝑡) =
(Γ𝑖𝑗𝑘𝐠𝑘)𝑢
′𝑗(𝑡).
Ca atare, a(𝑡) = 𝑢′′𝑘(𝑡)𝐠𝑘 + 𝑢′𝑖Γ𝑖𝑗
𝑘𝐠𝑘𝑢′𝑗 = (𝑢′′𝑘(𝑡) +
Γ𝑖𝑗𝑘𝑢′𝑖(𝑡)𝑢′𝑗(𝑡))𝐠𝑘, regăsind (3).
Sintetizând, am demonstrat următoarea:
TEOREMĂ: Vectorii–viteză și accelerație în mișcarea pe
o curbă în spațiu r=r(𝑢1(𝑡), 𝑢2(𝑡), 𝑢3(𝑡), 𝑡 ∈ 𝐼 în coordonate
curbilinii sunt
v(𝑡) = 𝑢′𝑘(𝑡)𝐠𝑘 și
a(𝑡) = (𝑢′′𝑘(𝑡) + Γ𝑖𝑗𝑘𝑢′𝑖(𝑡)𝑢′𝑗(𝑡))𝐠𝑘. (6)
Bineînțeles, în cazul coordonatelor carteziene
ortonormale, regăsim formulele v(𝑡) = 𝐫′(𝑡) și a(𝑡) = 𝐫′′(𝑡), în
lungul unei curbe 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖(𝑡), 𝑡 ∈ 𝐼.
Aplicație
Dacă F=𝐹𝑘𝐠𝑘 este forța aplicată unei particule de masă
m, atunci legea a II–a a dinamicii lui Newton ma=F devine,
199
conform (5), sistemul diferențial al ecuațiilor de mișcare pe o
traiectorie în spațiu, în coordonate curbilinii; anume:
m(𝑢′′𝑘(𝑡) + Γ𝑖𝑗𝑘𝑢′𝑖(𝑡)𝑢′𝑗(𝑡)) = 𝐹𝑘 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 3.
COROLAR: Dacă F=0, adică în lipsa forțelor, atunci
mișcarea are loc în lungul geodezicelor, care verifică sistemul
diferențial
𝑢′′𝑘(𝑡) + Γ𝑖𝑗𝑘𝑢′𝑖(𝑡)𝑢′𝑗(𝑡) = 0, 1 ≤ 𝑘 ≤ 3. (7)
Acesta este numit sistemul liniilor geodezice ale spațiului;
îl vom reîntâlni în legătură cu transportul paralel (sau mai bine
zis, „autoparalel”) pe o suprafață.
Notă: În cazul coordonatelor carteziene ortonormale,
acestea sunt curbele r=r(t) cu 𝐫′′(𝑡) = 0, 𝑡 ∈ 𝐼, adică liniile
drepte.
Considerând o curbă 𝛾: 𝑢𝑖 = 𝑢𝑖(𝑡), 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏], cu funcțiile
𝑢𝑖 continue și cu derivate continue până la ordinul doi inclusiv,
lungimea L a curbei 𝛾 este L=∫ d𝑠𝛾
. Dar elementul de arc „ds”
este dat de metrica (d𝑠)2 = 𝑔𝑖𝑗d𝑢𝑖d𝑢𝑗 , (𝑔𝑖𝑗 = 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗), conform
formulei (18) din Capitolul 6, § 6. 3.
Așadar,
L=∫ √𝑔𝑖𝑗𝑢′𝑖(𝑡)𝑢′𝑗(𝑡)𝑏
𝑎 d𝑡.
În Calculul variațional se arată că această integrală este
minimă (sau maximă) tocmai în lungul liniilor geodezice (care
verifică (7)). Se spune popular că „pentru a ajunge dintr-un punct
A într-un punct B în timp minim, trebuie să mergi pe geodezica
spațiului care trece prin punctele A și B.” Geodezicele în plan sunt
liniile drepte; geodezicele pe sferă sunt arcele de cercuri mari, iar
pe un cilindru circular drept, elicele circulare. Nu mai dăm detalii.
200
§7.3. Tensorul de inerție
Masa unui corp este acea proprietate a corpului care se
opune accelerației lui; pentru accelerare este necesară aplicarea
unei forțe. În mod analog, momentul de inerție este cel care se
opune accelerării unghiulare, fiind necesară aplicarea unui
moment. În acest paralelism, între mișcarea de translație pe o axă
și mișcarea de rotație în jurul unui ax, legii a II–a a lui Newton
F=m·a îi corespunde legea L=I𝛚, unde I este momentul de
inerție, L este momentul unghiular (≡ cinetic) și 𝛚 viteza
unghiulară. Dar surpriză ... I nu mai este un scalar (ca în cazul
masei) ci un operator liniar, pe care l-am definit în
Capitolul 5, §5.1. Anume, pentru o particulă de masă m și vectorul
de poziție r , considerăm operatorul liniar I:V3→ V3, 𝛚 ↦ 𝐋 =
𝐫 × 𝐩 = 𝐫 × (𝑚𝐯) = 𝑚𝐫 × (𝛚 × 𝐫), conform relației (11) din
Capitolul 3, § 3.4. Explicităm acest operator, asimilat cu un tensor
mixt de ordinul 2 (cf. §5.2).
Considerăm un reper ortonormal {O; i, j, k}≡ {𝑂𝑥𝑦𝑧} ca
în Capitolul 1; vectorul de poziție al punctului curent este
r=xi+yj+zk și vectorul-viteză unghiulară 𝛚=ai+bj+ck. Admitem
un sistem de N puncte materiale cu masele 𝑚𝑘 și vectorii de
poziție 𝐫𝑘 (1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑁), relativ la originea reperului considerat.
Aplicând „CAB–BAC” (Capitolul 1, formula (15)),
𝐫 × (𝛚 × 𝐫) = 𝑟2𝛚− (𝛚 · 𝐫)𝐫, rezultă că momentul unghiular
al sistemului este L=∑ 𝐋𝑘𝑁𝑘=1 unde 𝐋𝑘 = 𝑚𝑘[𝑟𝑘
2𝛚− (𝛚 · 𝐫𝑘)𝐫𝑘].
Scriind 𝐫𝑘=𝑥𝑘i+𝑦𝑘j+𝑧𝑘k, 1≤ 𝑘 ≤ 𝑁, rezultă
𝐿𝑘 = 𝑚𝑘[(𝑥𝑘2 + 𝑦𝑘
2 + 𝑧𝑘2)(𝑎𝐢 + 𝑏𝐣 + 𝑐𝐤) − (𝑎𝑥𝑘 +
𝑏𝑦𝑘 + 𝑐𝑧𝑘)(𝑥𝑘𝐢 + 𝑦𝑘𝐣 + 𝑧𝑘𝐤)].
201
Atunci componentele scalare ale lui L, anume 𝐿1∗ , 𝐿2
∗ , 𝐿3∗ ,
sunt coeficienții lui i, j și respectiv k deci
𝐿1∗ = ∑ 𝑚𝑘[𝑎(𝑦𝑘
2 + 𝑧𝑘2) − 𝑏𝑥𝑘𝑦𝑘 − 𝑐𝑥𝑘𝑧𝑘]
𝑁𝑘=1 ,
𝐿2∗ = ∑ 𝑚𝑘[𝑏(𝑧𝑘
2 + 𝑦𝑘2) − 𝑎𝑦𝑘𝑥𝑘 − 𝑐𝑦𝑘𝑧𝑘]
𝑁𝑘=1 și
𝐿3∗ = ∑ 𝑚𝑘[𝑐(𝑥𝑘
2 + 𝑦𝑘2) − 𝑎𝑧𝑘𝑥𝑘 − 𝑏𝑧𝑘𝑦𝑘]
𝑁𝑘=1 .
Introducem acum următoarea matrice simetrică 3 × 3,
numită matricea de inerție a sistemului:
𝐼 = (
∑𝑚𝑘(𝑦𝑘2 + 𝑧𝑘
2) −∑𝑚𝑘𝑥𝑘𝑦𝑘 −∑𝑚𝑘𝑥𝑘𝑧𝑘−∑𝑚𝑘𝑥𝑘𝑦𝑘 ∑𝑚𝑘(𝑧𝑘
2 + 𝑥𝑘2) −∑𝑚𝑘𝑦𝑘𝑧𝑘
−∑𝑚𝑘𝑥𝑘𝑧𝑘 −∑𝑚𝑘𝑦𝑘𝑧𝑘 ∑𝑚𝑘(𝑥𝑘2 + 𝑦𝑘
2)
).
Relația operatorială L=I·𝛚 se scrie matriceal astfel:
(𝐿1∗ 𝐿2
∗ 𝐿3∗ )T = 𝐼 · (𝑎 𝑏 𝑐)T. (8)
Toate elementele matricei 𝐼 au dimensiunea [kgm2] în
sistemul SI de unități, ca în cazul momentului scalar de inerție,
notat md2.
Elementele de pe diagonala principală a matricei
anterioare se numesc momentele de inerție ale sistemului celor N
puncte materiale, iar celelalte se numesc produse ale inerției.
Notă: În mecanică, momentul de inerție al unui obiect
măsoară tendința lui de a se opune accelerării unghiulare și
depinde de masa obiectului și de poziția față de axa de rotație.
Astfel, 𝐼11 = ∑𝑚𝑘(𝑦𝑘2 + 𝑧𝑘
2) arată ce moment unghiular (cinetic)
se produce în direcția axei Ox datorită rotirii în jurul lui Ox, iar
𝐼13 arată momentul produs în direcția Ox datorită rotirii în jurul
lui Oz etc.
Exemplu
Să considerăm un sistem de 4 particule situate în punctele
𝐴1(1, 0, 0), 𝐴2 (−1
2,√3
2, 0) , 𝐴3 (−
1
2 , −
√3
2, 0) și 𝐴4(0, 0, 𝑑);
202
(fig.7.3). În aceste puncte dispunem mase 𝑚𝑘 = 1. În acest caz,
matricea de inerție se determină cu ușurință; anume, este matricea
diagonală 𝐼 = diag (𝑑2 +3
2, 𝑑2 +
3
2, 3).
Fig. 7.3
Efectuăm o rotație 𝑅1 de unghi 𝜃 în jurul axei Ox;
matricea de rotație este
𝑅1 = (1 0 00 cos 𝜃 − sin 𝜃0 − sin 𝜃 cos 𝜃
).
Noua matrice de inerție va fi:
𝐿′ = 𝑅1 · (𝐿1∗ 𝐿2
∗ 𝐿3∗ )T =⏞
cf.(8)
𝑅1 · 𝐼 · (𝑎 𝑏 𝑐)T =
= (𝑅1𝐼𝑅−1) · 𝑅 · (𝑎 𝑏 𝑐)T.
Notăm 𝐼1 = 𝑅1𝐼𝑅−1 și 𝜔1 = 𝑅 · (𝑎 𝑏 𝑐)
T deci
𝐿′ = 𝐼1𝜔1.
Matricea 𝐼1 este asemenea cu 𝐼 și 𝜔1 este matricea
componentelor vitezei unghiulare a sistemului de puncte rotit în
jurul lui Ox. Aici se probează virtutea utilizării tensorilor. Se pot
determina, prin calcule de matrice, diverse mărimi după
modificări ale poziției sau ale maselor punctelor sistemului.
Dar problema se pune și invers. Determinăm prin
măsurători matricea de inerție 𝐼 (matrice simetrică). Prin metode
203
de Algebră liniară, se diagonalizează 𝐼 și în acest mod, se
determină matricea de rotație prin care noua matrice de inerție
devine o matrice diagonală D. Vectorii proprii ai matricei 𝐼 dau
axele principale, iar elementele lui D sunt tocmai noile momente
de inerție.
§7.4. Tensorul câmpului electromagnetic
Specialiștii în telecomunicații au reușit să transmită în eter
„fără fir”, informații la mare distanță și aproape instantaneu. Cei
mai mulți semeni ai noștri nu știu că, în ultimă analiză,
tehnologiile moderne utilizează ecuațiile lui Maxwell M1–M4
(din Capitolul 4, §4.4). Pentru a înțelege esența tensorului
electromagnetic care va fi introdus mai jos, este necesară
„descifrarea” acestor ecuații.
Ecuația M1 (div E = 𝜌 휀0⁄ ) arată că în orice loc,
divergența câmpului electric este proporțională cu densitatea 𝜌 de
sarcini electrice din acel loc.
Deoarece liniile de câmp ale câmpului electrostatic
pornesc din sarcinile „+” și intră în sarcinile „−”, acele linii
diverg din locurile unde se concentrează sarcini „+” și converg
(se strâng) spre concentrările de sarcini „−”.
Ecuația M2 (div B≡0) arată că în Univers nu există
sarcini magnetice, iar câmpul B este fără surse și fără puțuri.
Ecuația M3 (rot E=−𝜕𝐁
𝜕𝑡) arată că „vârtejul” câmpului
electric este egal cu opusa vitezei de variație a
câmpului magnetic.
204
În fine, ecuația M4 (rot B=𝜇0𝐉 + 1
𝑐2𝜕𝐄
𝜕𝑡) arată că
„vârtejul” lui B este produs atât de un curent electric cât și de o
variație a câmpului electric.
Pe scurt, ecuațiile lui Maxwell descriu comportarea în
spațiu și timp a câmpului electromagnetic.
Pentru fundamentarea Teoriei relativității restrânse,
Einstein a impus două rezultate:
- legile fizicii sunt aceleași în toate reperele inerțiale
neaccelerate;
- viteza luminii în vid este constantă (cu valoarea c)
independent de mișcarea sursei sau observatorului.
Pornind de aici, Einstein a dedus că distanțele în spațiu și
duratele în timp depind de mișcarea relativă a observatorului. Ca
atare, spațiul și timpul sunt inter-legate și transformările Galilei
(𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧, ) ⇄ (𝑡′, 𝑥′, 𝑦′, 𝑧′) nu sunt compatibile cu cele două
postulate. Să ne imaginăm un puls de lumină care radiază sferic
dintr-un anumit loc. Un observator aflat în originea sistemului de
coordonate (t, x, y, z) va vedea că pătratul distanței acoperite de
frontul de undă al undei de lumină va fi 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑐2𝑡2;
similar, un observator din celălalt sistem de coordonate
(𝑡′, 𝑥′, 𝑦′, 𝑧′) va măsura același lucru și ținând cont de constanța
vitezei luminii, rezultă că:
𝑐2𝑡2 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2 = 𝑐2𝑡′2 − 𝑥′2 − 𝑦′2 − 𝑧′2.
Pentru a da aceeași dimensiune coordonatelor, s-a
introdus 4–vectorul (𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), unde 𝑥0 = ct, 𝑥1 = 𝑥,
𝑥2 = 𝑦, 𝑥3 = 𝑧.
Totodată, s-a introdus elementul de „arc spațio–temporal”
ds, definit prin: (d𝑠)2 = (d𝑥0)2 − (d𝑥1)2 − (d𝑥2)2 − (d𝑥3)2,
205
care corespunde celui din geometria euclidiană din ℝ3 (definiția
6.5 din §6.3).
Schimbarea de coordonate (𝑥𝑖) ⇄ (𝑥′𝑖) care conservă
(d𝑠)2 între repere inerțiale a fost stabilită de olandezul
H.Lorentz. Pentru a simplifica formulele, transformarea Lorentz,
în sensul deplasării pe axa 𝑂𝑥1 cu viteza v, este definită prin:
𝑥′0 = 𝛾(𝑥0 − 𝛽𝑥1), 𝑥′1 = 𝛾(𝑥1 − 𝛽𝑥0),
𝑥′2 = 𝑥2, 𝑥′3 = 𝑥3; (9)
unde am notat 𝛽 =𝑣
𝑐 și 𝛾 = (1 − 𝛽2)−
1
2.
Așadar, (d𝑠)2 = 𝑔𝑖𝑗d𝑥𝑖d𝑥𝑗, unde 𝑔𝑖𝑗 sunt componentele
covariante ale tensorului metric din spațiul Einstein–Minkowski;
matricea acestora este:
(𝑔𝑖𝑗) = (
10
0−1
0 00 0
0 0 −1 0 0 0 0 −1
).
Nu discutăm acum consecințele aparent contradictorii ale
teoriei lui Einstein asupra observatorilor aflați în repere inerțiale
diferite precum: contracția lungimilor, dilatarea timpului sau
relativitatea simultaneității.
Conform Teoriei relativității restrânse, ecuațiile lui
Maxwell sunt adevărate în toate reperele inerțiale și ca atare, ele
trebuie să aibă o formulare tensorială. Astfel, densitatea de
sarcină electrică 𝜌 este un scalar și densitatea de curent este un
4–vector de forma J=(𝑐𝜌, 𝐽𝑥, 𝐽𝑦, 𝐽𝑧), iar componentele câmpului
electric E=(𝐸𝑥, 𝐸𝑦, 𝐸𝑧) și magnetic B=(𝐵𝑥, 𝐵𝑦, 𝐵𝑧) vor fi
incorporate în componente ale unui tensor.
206
Definiția 7.1: Componentele dublu contravariante ale
tensorului electromagnetic sunt elementele următoarei matrici
antisimetrice:
𝐹𝑖𝑗 =
(
0 −𝐸𝑥 𝑐⁄ −𝐸𝑦 𝑐⁄ −𝐸𝑧 𝑐⁄
𝐸𝑥 𝑐⁄ 0 −𝐵𝑧 𝐵𝑦𝐸𝑦 𝑐⁄
𝐸𝑧 𝑐⁄
𝐵𝑧−𝐵𝑦
0 𝐵𝑥
−𝐵𝑥 0 )
iar componentele dublu covariante sunt (𝐹𝑖𝑗) = (𝐹𝑖𝑗)T.
Să considerăm ecuația:
𝜕𝐹𝑖𝑗
𝜕𝑥𝑖= 𝜇0𝐽
𝑗 . (10)
Înlocuind j=0 și explicitând însumarea după i, rezultă:
𝜕𝐹00
𝜕𝑥0+𝜕𝐹10
𝜕𝑥+𝜕𝐹20
𝜕𝑦+𝜕𝐹30
𝜕𝑧= 𝜇0(𝑐𝜌), adică
0+𝜕
𝜕𝑥(𝐸𝑥 𝑐⁄ ) +
𝜕
𝜕𝑦(𝐸𝑦 𝑐⁄ ) +
𝜕
𝜕𝑧(𝐸𝑧 𝑐⁄ ) = 𝜇0𝑐𝜌.
Deci,
𝜕(𝐸𝑥)
𝜕𝑥+𝜕(𝐸𝑦)
𝜕𝑦+𝜕(𝐸𝑧)
𝜕𝑧= 𝜇0𝑐
2𝜌, adică
divE=𝜇01
0𝜇0𝜌 =
𝜌
0. Tocmai legea M1!
Apoi înlocuim 𝛽=1, 2, 3 în (10) obținând:
𝜕𝐹𝑖1
𝜕𝑥𝑖= 𝜇0𝐽
1,𝜕𝐹𝑖2
𝜕𝑥𝑖= 𝜇0𝐽
2,𝜕𝐹𝑖3
𝜕𝑥𝑖= 𝜇0𝐽
3.
Înlocuind componentele 𝐹𝑖𝑗 și însumând după i, rezultă
respectiv relațiile
𝜕(𝐵𝑧)
𝜕𝑦−𝜕(𝐵𝑦)
𝜕𝑧= 𝜇0𝐽𝑥 +
1
𝑐2𝜕(𝐸𝑥)
𝜕𝑡,
𝜕(𝐵𝑥)
𝜕𝑧−𝜕(𝐵𝑧)
𝜕𝑥= 𝜇0𝐽𝑦 +
1
𝑐2
𝜕(𝐸𝑦)
𝜕𝑡 și
𝜕(𝐵𝑦)
𝜕𝑥−𝜕(𝐵𝑥)
𝜕𝑦= 𝜇0𝐽𝑧 +
1
𝑐2𝜕(𝐸𝑧)
𝜕𝑡,
Așadar, rot B=𝜇0𝐉 +1
𝑐2𝜕𝐄
𝜕𝑡, adică tocmai M4.
207
Considerăm acum tensorul antisimetric:
ℱ𝑖𝑗 =
(
0 −𝐵𝑥 −𝐵𝑦 −𝐵𝑧
𝐵𝑥 0 𝐸𝑧 𝑐⁄ −𝐸𝑦 𝑐⁄
𝐵𝑦𝐵𝑧
−𝐸𝑧 𝑐⁄
𝐸𝑦 𝑐⁄0
−𝐸𝑥 𝑐⁄ 𝐸𝑥 𝑐⁄ 0 )
,
care este de fapt dualul tensorului electromagnetic și ecuația
𝜕ℱ𝑖𝑗
𝜕𝑥𝑖= 0. Înlocuind j=1, 2, 3 și însumând după i, rezultă M3. În
fine, înlocuind j=0, rezultă 𝜕ℱ𝑖0
𝜕𝑥𝑖= 0 și însumând după i, se obține
div B=0 deci M2.
Am stabilit astfel următoarea:
TEOREMĂ: Ecuațiile M1–M4 se scriu condensat, sub
formă tensorială, astfel:
𝜕𝐹𝑖𝑗
𝜕𝑥𝑖= 𝜇0𝐽
𝑗 și 𝜕ℱ𝑖𝑗
𝜕𝑥𝑖= 0 (11)
Dar virtutea tensorilor nu este numai simplificarea
scrierii! Desigur, a scrie că doi vectori (din ℝ3) sunt egali revine
la trei ecuații într-una singură; iar faptul că doi tensori de ordinul
k sunt egali înseamnă 3k ecuații scalare într-una; în cazul
electromagnetic, ecuațiile (11) înlocuiesc împreună
32 + 32 = 18 ecuații scalare.
Tensorii ascund o altă excepțională disponibilitate;
anume, permit decelarea comportării componentelor lor la
diverse schimbări de coordonate. În cazul tensorului
electromagnetic, putem studia modul cum câmpurile E, B depind
de mișcarea observatorului!
Să presupunem un observator aflat într-un reper care se
deplasează în lungul axei 𝑂𝑥1 cu viteza constantă v. Putem acum
deduce comportarea lui E și B din cunoașterea comportării în
reperul inițial și iată cum ...
208
Considerăm matricea transformării liniare Lorentz (9):
𝑀 = (
𝛾 −𝛾𝛽−𝛾𝛽 𝛾
0 00 0
0 00 0
1 00 1
).
Matricea (𝐹𝑖𝑗)′ = 𝑀𝐹𝑖𝑗𝑀T dă componentele tensorului
electromagnetic relativ la celălalt reper. Explicitând acest produs
de matrici și comparând componentele în cele două repere,
rezultă relațiile:
𝐸𝑥′ = 𝐸𝑥, 𝐸𝑦
′ = 𝑐𝛾(𝐸𝑦 𝑐⁄ − 𝛽𝐵𝑧),
𝐸𝑧′ = 𝑐𝛾(𝐸𝑧 𝑐⁄ + 𝛽𝐵𝑦);
𝐵𝑥′ = 𝐵𝑥, 𝐵𝑦
′ = 𝛾(𝐵𝑦 + 𝛽𝐸𝑧 𝑐⁄ ) și
𝐵𝑧′ = 𝛾(𝐵𝑧 − 𝛽𝐸𝑦 𝑐⁄ ). (12)
Să presupunem că E=0 și că B≠0. Așadar în reperul
(t, x, y, z) nu există câmp electric, dar există câmp magnetic.
Conform relațiilor (12), în celălalt reper, avem 𝐸𝑦′ = −𝑐𝛾𝛽𝐵𝑧 și
𝐸𝑧′ = 𝑐𝛾𝛽𝐵𝑦 deci avem atât câmp electric cât și câmp magnetic!
Invers, dacă B=0 și E≠0, atunci conform (12),
𝐵𝑦′ = 𝛾𝛽 𝐸𝑧 𝑐⁄ și 𝐵𝑧
′ = −𝛾𝛽 𝐸𝑦 𝑐⁄ deci avem din nou un câmp
electric și unul magnetic.
Așadar, existența și modul de manifestare al câmpurilor
electric și magnetic depind de mișcarea observatorului! Acesta
este încă un argument privind dependența profundă a celor două
câmpuri intim inter-legate.
§7.5. Transport paralel
În planul sau spațiul euclidian, orice doi vectori (liberi),
având puncte de aplicație diferite, pot fi aduși să aibă același punct
209
de aplicație prin simplă translație, fără a-și modifica valoarea
(vectorii bazei 𝐞𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 3, ai unui reper cartezian fiind
constanți). Dar în cazul unui vector tangent la o suprafață
„curbată”, pentru derivarea lui este necesară compararea lui cu
vectori tangenți vecini situați în alte plane tangente. Pentru a
realiza o astfel de comparare, se definește un transport mai
special.
Definiția 7.2: Considerăm un câmp de vectori v tangenți
la o suprafață Σ în lungul unei curbe 𝛾: 𝛒 = 𝛒(𝑡), 𝑡 ∈ 𝐼, situată pe
Σ. Câmpul v se numește paralel în lungul lui 𝛾 dacă derivata sa
covariantă este identic nulă, adică:
D𝐯
d𝑡= 0, pentru orice 𝑡 ∈ 𝐼. (13)
Dacă 𝑡0,𝑡1 ∈ 𝐼 sunt distincte, un vector 𝐙0 ∈ 𝑇𝛒(𝑡0)Σ se
numește paralel cu un vector 𝐙1 ∈ 𝑇𝛒(𝑡1)Σ dacă există un câmp
de vectori v paralel în lungul drumului 𝛒(𝑡), 𝑡 ∈ 𝐼, astfel încât
𝐙0 = 𝐯(𝑡0) și 𝐙1 = 𝐯(𝑡1); (fig. 7.4).
Fig. 7.4
Din definiția 7.2 și din formula (30) din Capitolul 6,
rezultă următoarea:
TEOREMĂ: Fie v(t) un câmp de vectori tangenți la o
suprafață Σ în lungul unei curbe 𝛾: 𝑢𝑖 = 𝑢𝑖(𝑡), 𝑡 ∈ 𝐼 situată pe Σ.
210
Câmpul este paralel în lungul lui 𝛾 ⇄ scriind v=𝑣𝑖𝐠𝑖 (𝐠𝑖 =𝜕𝐫
𝜕𝑢𝑖 ),
componentele scalare contravariante 𝑣𝑖(𝑡) sunt soluții ale
sistemului diferențial:
d𝑣𝑖
dt+ 𝑣𝑘Γ𝑘𝑗
𝑖 d𝑢𝑗
d𝑡= 0, pentru 1 ≤ i ≤ 3. (14)
În mod echivalent, componentele scalare 𝑣𝑖 verifică relația:
𝑣;𝑗𝑖 = 0 pentru orice 𝑖, 𝑗. (15)
Notă: Simbolurile Γ𝑘𝑗𝑖 depind de 𝑢1, 𝑢2; deoarece Σ și 𝛾
sunt date, parametrii 𝑢1(𝑡), 𝑢2(𝑡) depind de t și sunt cunoscuți.
Atunci sistemul (14) este un sistem liniar și omogen, cu
coeficienți variabili. Se determină 𝑣1(𝑡), 𝑣2(𝑡), 𝑣3(𝑡) și apoi v(t),
cunoscând condițiile inițiale la momentul t0; în acest mod se
determină câmpul paralel v(t) căutat la orice alt moment 𝑡 ∈ 𝐼.
Aplicație
1) Curbele 𝛒 = 𝛒(𝑡), 𝑡 ∈ 𝐼, tangente la suprafața Σ și în
lungul cărora D𝛒′
d𝑡= 0 pentru orice 𝑡 ∈ 𝐼 (adică ∇𝛒′𝛒
′ ≡ 0 deci 𝛒′
se deplasează paralel în direcția 𝛒′) sunt geodezice pe Σ.
În acest caz,
𝛒(𝑡) = 𝐫(𝑢1(𝑡), 𝑢2(𝑡)) deci,
𝛒′(𝑡) =𝜕𝐫
𝜕𝑢𝑗d𝑢𝑗
d𝑡=d𝑢𝑗
d𝑡𝐠𝑗; așadar, vectorul 𝛒′(𝑡) are
componentele d𝑢1
d𝑡,d𝑢2
d𝑡, 0 relativ la reperul {𝐠1, 𝐠2, 𝐠3}.
Ca atare, vectorul v=𝛒′(𝑡) are componentele 𝑣𝑖(𝑡) =d𝑢𝑖
d𝑡
pentru i=1, 2 și 𝑣3(𝑡) ≡ 0. Atunci sistemul diferențial (14)
devine: d
d𝑡(d𝑢𝑖
d𝑡) +
d𝑢𝑘
d𝑡Γ𝑘𝑗𝑖 d𝑢𝑗
d𝑡= 0, adică:
d2𝑢𝑖
d𝑡2+ Γ𝑘𝑗
𝑖 d𝑢𝑗
d𝑡
d𝑢𝑘
d𝑡= 0, 1 ≤ 𝑖 ≤ 2. (16)
211
Acesta este tocmai sistemul diferențial al geodezicelor pe
suprafața Σ.
2) Studiem transportul paralel în lungul unei curbe 𝛾
situate pe sfera Σ cu centrul în O și raza R. Am văzut în §6.3
metrica spațiului în coordonate sferice r, 𝜃, 𝜑. Pe suprafața Σ
avem r=R, deci metrica pe Σ este dată de:
d𝑠2 = 𝑅2d𝜃2 + 𝑅2sin2𝜃d𝜑2.
Așadar, tensorul metric pe Σ are componentele:
(𝑔𝑖𝑗) = (𝑅2 00 𝑅2sin2𝜃
) și (𝑔𝑖𝑗) = (1 𝑅2⁄ 0
0 1 𝑅2sin2𝜃⁄).
Putem acum calcula simbolurile lui Christoffel, folosind
formula (21) din Capitolul 6, anume:
Γ𝑖𝑗𝑝 =
1
2𝑔𝑘𝑝 (
𝜕𝑔𝑖𝑘
𝜕𝑢𝑗+𝜕𝑔𝑗𝑘
𝜕𝑢𝑖−𝜕𝑔𝑖𝑗
𝜕𝑢𝑘); sumă după k.
Notând 𝑢1 = 𝜃 și 𝑢2 = 𝜑 rezultă:
Γ221 =
1
2𝑔𝑘1 (
𝜕𝑔2𝑘
𝜕𝑢2+𝜕𝑔2𝑘
𝜕𝑢1−𝜕𝑔22
𝜕𝑢𝑘) =
=1
2𝑔11 (
𝜕𝑔21
𝜕𝑢2+𝜕𝑔21
𝜕𝑢1−𝜕𝑔22
𝜕𝑢1) + 0 =
1
2·1
𝑅2(0 + 0 −
𝜕
𝜕𝜃(𝑅2sin2𝜃)) = −sin 𝜃 cos 𝜃; apoi
Γ212 =
1
2𝑔𝑘2 (
𝜕𝑔2𝑘
𝜕𝑢1+𝜕𝑔1𝑘
𝜕𝑢2−𝜕𝑔21
𝜕𝑢𝑘) =
1
2𝑔22 (
𝜕𝑔22
𝜕𝑢1+𝜕𝑔12
𝜕𝑢2−𝜕𝑔21
𝜕𝑢2) =
1
2·
1
𝑅2sin2𝜃·𝜕
𝜕𝜃(𝑅2sin2𝜃) =
cos𝜃
sin𝜃; valorile celor 8
simboluri Γ𝑗𝑘𝑖 sunt Γ22
1 = −sin 𝜃 cos 𝜃, Γ212 = Γ12
2 =cos𝜃
sin𝜃 și restul
de 5 sunt nule.
Folosind sistemul (34), se pot determina geodezicele
sferei (care sunt cercurile mari).
Considerăm însă curba 𝛾: 𝜃 = 𝜃0 (paralel al sferei) și
transportăm paralel vectorul v=(𝑣1, 𝑣2) care la momentul inițial
212
t=0 are valoarea (0, 1). Așadar, 𝑢1(𝑡) = 𝜃0, 𝑢2(𝑡) = 𝜑(𝑡) și
v(t)=v(𝜃0, 𝜑(𝑡)); 𝑣1(0) = 0, 𝑣2(0) = 1. Sistemul (14) devine:
d𝑣1
dt+ Γ22
1 d𝑢2
d𝑡𝑣2 = 0,
d𝑣2
dt+ Γ21
2 d𝑢2
d𝑡𝑣1 + Γ12
2 d𝑢1
d𝑡𝑣2 = 0.
d𝑣1
dφ𝜑′(𝑡) − sin 𝜃0 cos 𝜃0 𝑣
2𝜑′(𝑡) = 0,
d𝑣2
dφ𝜑′(𝑡) +
cos𝜃0
sin𝜃0𝜑′(𝑡)𝑣1 = 0 .
Ca atare,
d𝑣1
dφ− sin 𝜃0 cos 𝜃0 𝑣
2 = 0,d𝑣2
dφ+cos𝜃0
sin𝜃0𝑣1 = 0. (17)
Derivând prima ecuație, rezultă:
d2𝑣1
d𝜑2− sin 𝜃0 cos 𝜃0
d𝑣2
dφ= 0, adică
d2𝑣1
d𝜑2+ cos2 𝜃0 𝑣
1 = 0 .
Aceasta este o ecuație diferențială de forma:
d2𝑦
d𝜑2+ 𝜔2𝑦 = 0, care are soluția generală
𝑦(𝜑) = 𝐴 cos(𝜔𝜑) + 𝐵 sin(𝜔𝜑) etc.
Așadar,
𝑣1 = 𝐴 cos(𝜑cos𝜃0) + 𝐵 sin(𝜑cos𝜃0) și similar,
𝑣2 = 𝐶 cos(𝜑cos𝜃0) + 𝐷 sin(𝜑cos𝜃0).
Se pun condițiile inițiale:
𝑣1|𝜑=0 = 0, 𝑣2|𝜑=0 = 1.
Apoi din relațiile (17), rezultă:
d𝑣1
d𝜑|𝜑=0
= sin 𝜃0 cos 𝜃0 și d𝑣2
d𝜑|𝜑=0
= 0.
Din aceste relații, rezultă A=0, B=sin 𝜃0, C=1, D=0.
În concluzie, se determină 𝑣1 = sin 𝜃0 · sin(𝜑 cos 𝜃0) și
𝑣2 = cos(𝜑 cos 𝜃0), deci componentele vectorului transportat.
213
Notă: Se poate arăta că prin transport paralel în lungul
unei curbe situate pe o suprafață, vectorii își conservă norma
(adică ‖𝐙0‖ = ‖𝐙1‖ în figura 7.4). În cazul unei suprafețe plane,
în lungul unei drepte 𝛾, transportul paralel al unui vector revine
la o simplă translație (fig. 7.5.a). Dar în cazul unei sfere, pe curba
închisă pqNp formată dintr-un arc de ecuator pq și două arce de
median qN, Np, un vector v cu punctul de aplicație în p și orientat
spre Nord, revine în p având o altă orientare. Această aparentă
anomalie este datorată curburii suprafeței sferice.
Fig. 7.5
Transportul paralel poate fi definit și pe varietăți
diferențiabile, care extind deopotrivă curbele și suprafețele. Fără
a intra în detalii, o varietate diferențiabilă M de dimensiune n este
un spațiu metric care local este un interval deschis (pentru n=1),
un disc deschis (pentru n=2), o bilă deschisă pentru n=3 etc.
Pentru orice punct 𝑎 ∈ 𝑀, se definește spațiul 𝑇𝑎𝑀 al
vectorilor tangenți la M în a; acest spațiu vectorial are o bază
mobilă de tipul 𝜕𝐫
𝜕𝑢𝑖; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. Se pot considera tensori pe o
varietate și câmpuri de vectori tangenți, derivata covariantă D𝐯
d𝑡 și
transportul paralel al unui câmp de vectori tangenți în lungul unei
214
curbe situate pe M. Modelul îl constituie cazul suprafețelor
prezentat anterior.
Varietatea M se numește riemanniană dacă pentru orice
punct 𝑎 ∈ 𝑀, se poate indica un produs scalar abstract
𝐠𝑎 ∶ 𝑇𝑎𝑀 × 𝑇𝑎𝑀 → ℝ; notând 𝑔𝑖𝑗(𝑎) = 𝐠𝑎 (𝜕𝐫
𝜕𝑢𝑖,𝜕𝐫
𝜕𝑢𝑗), se
definesc componentele unui tensor dublu covariant (0+2) pe M,
numit tensorul metric al varietății M. O teoremă a lui I. Nash
arată că orice varietate riemanniană se scufundă într-un spațiu
euclidian. Dar Riemann ne-a lăsat o moștenire neprețuită, anume
posibilitatea de a considera diverse metrici d𝑠2, inclusiv unele
compatibile cu Fizica Universului material, precum metrica
Schwarzschild.
§7.6. Tensorul de curbură și ecuațiile lui Einstein
Studiul curburii unui spațiu este un subiect central în
Fizică și Matematică; acesta poate fi abordat doar apelând la
tensori de ordin superior.
Ne reamintim că produsul a două matrice pătrate A, B de
același ordin este necomutativ, deci comutatorul lor C=AB–BA
este, în general, nenul. În mod similar, compunerea a doi operatori
este necomutativă.
Exemplu: Fie A=operatorul de derivare a funcțiilor de o
variabilă (𝜑 ↦ 𝜑′) și B=operatorul de înmulțire cu x (𝜑 ↦ 𝑥𝜑).
Atunci 𝐴(𝜑) = 𝜑′ și 𝐵(𝐴(𝜑)) = 𝑥𝜑′, în timp ce
𝐴(𝐵(𝜑)) = (𝑥𝜑)′ = 𝜑 + 𝑥𝜑′ deci 𝐵𝐴 ≠ 𝐴𝐵.
215
Fixăm un reper mobil 4D ℛ ={𝐠1, 𝐠2, 𝐠3, 𝐠4} ≡
(𝑂 𝑢1𝑢2𝑢3𝑢4) în coordonate curbilinii. Comparăm „operatorii”
de derivare covariantă pe direcția 𝐠𝑗 și pe direcția 𝐠𝑘.
Fie v∈V4 un vector; apelând la componente covariante,
v=𝑣𝑖𝐠𝑖. Derivata covariantă pe direcția 𝐠𝑗 va fi tensorul având
componentele dublu covariante 𝑣𝑖;𝑗 =𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑢𝑗− Γ𝑖𝑗
𝑝𝑣𝑝 și apoi derivata
covariantă a acestui tensor, notat 𝑣𝑖𝑗, pe direcția 𝐠𝑘, va fi:
𝑣𝑖𝑗;𝑘 =𝜕𝑣𝑖𝑗
𝜕𝑢𝑘− Γ𝑖𝑘
𝑞 𝑣𝑞𝑗 − Γ𝑗𝑘𝑟 𝑣𝑖𝑟 deci
𝑣𝑖𝑗;𝑘 =𝜕
𝜕𝑢𝑘(𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑢𝑗− Γ𝑖𝑗
𝑝𝑣𝑝) − Γ𝑖𝑘𝑞 (
𝜕𝑣𝑞
𝜕𝑢𝑗− Γ𝑞𝑗
𝑝 𝑣𝑝) −
Γ𝑗𝑘𝑟 (
𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑢𝑟− Γ𝑖𝑟
𝑝𝑣𝑝) =𝜕2𝑣𝑖
𝜕𝑢𝑘𝜕𝑢𝑗−𝜕(Γ𝑖𝑗
𝑝)
𝜕𝑢𝑘𝑣𝑝 − Γ𝑖𝑗
𝑝 𝜕𝑣𝑗
𝜕𝑢𝑘− Γ𝑖𝑘
𝑞 𝜕𝑣𝑞
𝜕𝑢𝑗+
Γ𝑖𝑘𝑞 Γ𝑞𝑗
𝑝 𝑣𝑝 − Γ𝑗𝑘𝑟 𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑢𝑟+ Γ𝑗𝑘
𝑟 Γ𝑖𝑟𝑝𝑣𝑝 (în total 7 termeni). (18)
Așadar, pornind de la v≡ (𝑣𝑖), am considerat viteza de
variație a lui 𝑣𝑖 pe direcția 𝐠𝑗 și apoi variația acelei viteze pe
direcția 𝐠𝑘. Vom explicita acum aceleași variații, dar inversând
ordinea (fig. 7.6). Așadar,
Fig. 7.6
Ca mai sus, intervertind indicii j, k, avem:
𝑣𝑖;𝑘 =𝜕𝑣𝑖𝑘
𝜕𝑢𝑗− Γ𝑖𝑗
𝑝𝑣𝑝 și
216
𝑣𝑖𝑘;𝑗 =𝜕2𝑣𝑖
𝜕𝑢𝑗𝜕𝑢𝑘−
𝜕(Γ𝑖𝑘𝑝)
𝜕𝑢𝑗𝑣𝑝 − Γ𝑖𝑘
𝑝 𝜕𝑣𝑝
𝜕𝑢𝑗− Γ𝑖𝑗
𝑞 𝜕𝑣𝑞
𝜕𝑢𝑘+
Γ𝑖𝑗𝑞Γ𝑞𝑘
𝑝 𝑣𝑝 − Γ𝑘𝑗𝑟 𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑢𝑟+ Γ𝑘𝑗
𝑟 Γ𝑖𝑟𝑝𝑣𝑝. (18’)
Într-un spațiu euclidian „plat”, simbolurile lui Christoffel
sunt identic nule, deci 𝑣𝑖𝑗;𝑘 = 𝑣𝑖𝑘;𝑗. Ca atare, orice diferență care
apare în formulele (18) și (18’) este datorată curburii spațiului ℝ3
relativ la reperul ℛ. Comparând termen cu termen cele două
formule, constatăm că primii termeni coincid (conform teoremei
lui Schwartz din Analiza matematică); apoi termenul al 4–lea din
(18) coincide cu al 3–lea din (18’) și al 3–lea din (18) cu al 4–lea
din (18’) și în fine, penultimii și ultimii termeni coincid, deoarece
Γ𝑗𝑘𝑟 = Γ𝑘𝑗
𝑟 .
Ca atare, am demonstrat următoarea:
TEOREMĂ: Pentru orice i, j, k
𝑣𝑖𝑗;𝑘 − 𝑣𝑖𝑘;𝑗 = (𝜕Γ𝑖𝑘
𝑝
𝜕𝑢𝑗−𝜕Γ𝑖𝑗
𝑝
𝜕𝑢𝑘+ Γ𝑖𝑘
𝑞 Γ𝑞𝑘𝑝 − Γ𝑖𝑗
𝑞Γ𝑞𝑘𝑝 ) 𝑣𝑝 ; (19)
sumă după p.
Definiția 7.3: Termenii din paranteză reprezintă
componentele 𝑅𝑖𝑗𝑘𝑝
ale unui tensor de tip 1+3 (o dată
contravariant și de trei ori covariant), numit tensorul de curbură
al lui Riemann și notat cu R.
Așadar,
𝑣𝑖𝑗;𝑘 − 𝑣𝑖𝑘;𝑗 = 𝑅𝑖𝑗𝑘𝑝 𝑣𝑝 (sumă după p). (20)
COROLAR: Un spațiu este „plat” (≡fără curbură) ⇄ toate
cele 44 componente 𝑅𝑖𝑗𝑘𝑝
sunt identic nule pentru orice i, j, k, p.
Definiția 7.4: Tensorul lui Ricci este obținut contractând
în tensorul lui Riemann indicii p și j deci 𝑅𝑖𝑘 = 𝑅𝑖𝑝𝑘𝑝
(sumă după p).
217
Scalarul R=𝑔𝑖𝑘𝑅𝑖𝑘 (sumă după i și k) este numit curbura
lui Ricci.
Definiția 7.5: Tensorul lui Einstein este tensorul dublu
covariant, având componentele:
𝐸𝑖𝑗 = 𝑅𝑖𝑗 −1
2𝑅𝑔𝑖𝑗.
Acest tensor apare în următoarea ecuație a Relativității
generale, anume
𝐸𝑖𝑗 + Γ𝑔𝑖𝑗 =8𝜋𝐺
𝑐4𝑇𝑖𝑗, (21)
unde (𝑇𝑖𝑗) este tensorul energie–moment, care caracterizează
diverse ipostaze ale materiei în Univers, de exemplu fluxuri de
energie sau masă; G este constanta gravitațională, Γ este constanta
cosmologică și c – viteza luminii.
Ecuația (21) este forma tensorială a unui sistem de ecuații
diferențiale neliniare de ordin 2; impunând condiții suplimentare
la frontiera unor regiuni, se obțin soluții care descriu câmpul
gravitațional din acele regiuni.
În ecuația (21) este concentrată următoarea profeție a lui
Einstein: ”materia descrie modul în care spațiul (≡ Universul) se
curbează, iar spațio–timpul lui Minkowski descrie modul în care
materia se mișcă”. Nu dăm alte detalii.
Exemplu: Să considerăm ca spațiu suprafața Σ a unei sfere
de rază R din ℝ3. Am văzut că metrica suprafeței este dată de
d𝑠2 = 𝑅2d𝜃2 + 𝑅2(sin2θ)d𝜑2; notând coordonatele cu indicii 1,
2 în loc de 𝜃, 𝜑, avem 𝑔11 = 𝑅2, 𝑔12 = 𝑔21 = 0, 𝑔22 = 𝑅
2sin2𝜃
și 𝑔11 =1
𝑅2, 𝑔12 = 𝑔21 = 0, 𝑔22 =
1
𝑅2sin2𝜃. Am văzut în
aplicația V că: Γ221 = −sin 𝜃 cos 𝜃 , Γ12
2 = Γ212 =
cos𝜃
sin𝜃 și restul,
nule. Atunci componentele tensorului lui Riemann de curbură pot
218
fi calculate explicit; fără a mai da detalii, se obțin următoarele
componente 𝑅1122 = −1, 𝑅121
2 = 1 (restul fiind nule).
Așadar, sfera nu este un spațiu plat, deoarece R ≠0.
§7.7. O retrospectivă: Geometria și Fizica
Ambele sunt domenii vechi ale cunoașterii nu doar
contemplative. Se vorbește de intuiția geometrică, de
interpretările geometrice ale unor considerații, de reprezentări
geometrice ale datelor etc. Dar s-a ajuns acum la o situație când
utilizarea obiectelor sau conceptelor geometrice nu mai are
înțelesul uzual. Descoperirea coordonatelor (prin Descartes și
Galilei) a lărgit mult disponibilitățile Geometriei, prin studiul
curbelor și suprafețelor, ca și conexiunile cu Mecanica și legile
mișcării pe curbe sau suprafețe. S-au clarificat bazele Geometriei
analitice – vectori, operațiile cu vectori, măsurile (lungimi, arii,
219
volume) și ale Analizei matematice prin Newton, Leibniz, Euler,
Lagrange, Abel. După 1800, Gauss a dezvoltat Teoria
suprafețelor, stabilind între altele „Theorema Egregium” relativ
la curbură (ca un invariant intrinsec, independent de spațiul
ambiant). Acesta a fost începutul Geometriei diferențiale
moderne și Calculului tensorial datorat îndeosebi la Riemann și
Levi Civita. După 1850 s-a declanșat studiul spațiilor cu mai
multe dimensiuni și al Algebrei liniare, iar Klein a stabilit legătura
dintre diversele geometrii posibile și grupurile de transformări.
De exemplu, Geometria euclidiană clasică este în esență studiul
grupului de deplasări (roto–translații și simetrii). În ultimul secol,
Geometria a descoperit obiecte noi de studiu – varietăți, fibrați,
corzi („strings”–uri), care nu erau importante pentru ele însele.
Fizica pusese bazele Electromagnetismului prin Faraday,
Maxwell și Hertz și ale studiului fenomenelor tehnice prin Carnot,
Joule, Boltzmann; după mai puțin de un secol, au apărut mari
spirite iscoditoare – Poincaré, Einstein, Heisenberg, Hawking
ș.a., ca și mari întrebări fără răspuns direct relativ la natura
luminii, timpului, Universului, precum și la misterele lumii
atomice. Microcosmosul și Macrocosmosul, ca obiecte și subiecte
de studiu sistematic, erau de mare interes pentru toți oamenii de
știință. Întrebări serioase există și astăzi legate de tipurile de
interacțiuni și simetrii din natură, de gravitație, undele
gravitaționale, de lumea cuantică, găurile negre, multiversuri etc.
Spațiul fizic a rămas o sursă permanentă pentru adâncirea
conceptelor de măsură, continuitate, curbură sau categoriilor
filozofice analogic/digital/cuantic sau algoritmic–computațional.
Scopul declarat al Fizicii a fost acela de a descoperi legile care
guvernează fenomenele din Univers, căutând unitatea lor în
220
sensul „visului lui Einstein” și explicarea tuturor interacțiunilor
cunoscute – coliziuni, atracții/respingeri, reacții, acțiuni etc. De
exemplu, gravitatea ne ține pe Pământ, forța electromagnetică
ține atomii împreună, manifestându-se în lumină și în celelalte
unde electromagnetice; iar interacțiunile slabe și tari determină
fisiunea/fuziunea nucleară.
Pentru matematicieni și fizicieni, un șoc l-a constituit
dependența de scală; astfel, comportarea unui fluid la distanța de
peste 1 cm este descrisă de ecuațiile Navier–Stokes; sub 0,1 cm,
este necesar studiul structurilor granulare și sub 1Å–studiul
atomului. Iar la dimensiuni picometrice, modelul actual este cel
al teoriilor de calibrare („gauge”), care negociază dualitatea
undă/corpuscul și a particulelor elementare. La fiecare scară
dimensională se aplică altă dinamică și praguri separatoare sunt
constituite de constanta lui Planck și cea „a structurii fine”. Se
poate spune că marile progrese în Geometria modernă sunt
datorate îndeosebi unor cercetători din domeniul Fizicii, care au
orientat și au stimulat eforturile de materializare, cu crearea altor
standarde de rigoare și control al noilor euristici. Printre
specialiști există astăzi convingerea că Universul cu toate
problemele lui admite o descriere geometrică; inclusiv misterul
vieții se află în adâncurile materiei, așa cum spunea Pasteur.
Mișcarea liberă (inerțială) este legată de Geometria spațiului și
are loc în lungul geodezicelor (sistemul (7)). Dacă în teoria lui
Newton, cauza (≡ sursa generatoare) a câmpului gravitațional
este masa, în Teoria Relativității, locul masei este luat de tensorul
energie–impuls al lui Einstein, extins la un Univers curbat. Este
suficient pentru a înțelege de ce Fizica și Geometria se află
într-un parteneriat secular neîntrerupt.
221
În această carte, am pornit de jos ...
Nu ne adresăm specialiștilor dintr-un domeniu sau altul și
am considerat că merită prezentate, atât cât ne pricepem, pentru
cei mai diverși cititori, câteva concepte și metode în jurul celor
trei cuvinte–cheie care dau titlul cărții. Cu experiența noastră, am
observat că s-au realizat progrese nu numai în știință sau
tehnologie, ci și în simplificarea modului de prezentare și
propagare a consecințelor sau speranțelor induse de acele
progrese. În comunicare cu cei tineri, nu trebuie să ne temem că
„suntem înțeleși”, ascunzându-ne după un limbaj prețios.
222
223
224
225
BIBLIOGRAFIE
1. I.V.BELKO, A.A.BURDUN – Geometrie diferențială, Minsk, 1982.
2. E. BISTRICEANU – Bazele Mecanicii, vol. I, II, Ed. Sigma 2010.
3. V. BRÎNZĂNESCU, O. STĂNĂȘILĂ – Matematici speciale –
Ed. ALL, 1998.
4. D. FLEISCH – Vectors and Tensors (a student’s guide),
Cambridge Univ. Press, 2012.
5. L. JALBĂ, D. STANOMIR, O. STĂNĂȘILĂ –
Fizică pentru nepoți, Fundația Floarea Darurilor, 2015
6. I. MANIN – Mathematics and Physics, Birkhauser, 1981.
7. L. ORNEA – O introducere în Geometria diferențială,
Ed. Theta, 2015.
8. R. PENROSE – The Geometry of the Universe, Math. Today, 1978.
9. R. A. SHARIPOV – Quick introduction to Tensor Analysis,
lecture notes, Internet, 2004.
10. B. SCHUTZ – A first course in General Relativity,
Cambridge Univ. Press, 2009.
11. IAN STEWART – De ce frumusețea este adevărul,
Ed. Humanitas, 2010.
12. C. VILLANI – Teorema vie, Ed. Humanitas, 2014
13. H. WEYL – Space, Time, Matter, Dover publications, Inc., 1950.
226
227
INDICE DE NUME ȘI NOTAȚII
A
abscisa, 27
accelerația radială, 196
accelerația tangențială, 196
accelerația unghiulară, 101
aplicație liniară, 61
axă, 26
B
balansarea scalarului, 55
baza duală, 148
baza reciprocă, 75, 79
bază, 33
bază canonică, 59
bijecția lui Descartes, 27
brațul forței, 88
C
calcul, 150
câmp, 107
câmp de gradienți, 130
câmp de tensori, 167
câmp de vectori, 107
câmp electromagnetic, 140
228
câmp magnetic, 123
câmp paralel în lungul lui, 209
câmp vectorial, 107
câmpul tensorului metric, 177
centripetă, 102
centru de greutate, 91
coborârea indicelui, 164
colatitudine, 47
combinație liniară, 22
componentă vectorială, 26
componente, 153
componente scalare, 28, 33
componente–etaj, 76
componentele derivatei covariante, 187
componentele scalare, 108
componente–subsol, 76
contravariante, 76, 80
conul luminii, 56
conul viitorului, 56
coordonate, 60
coordonate carteziene, 28, 33
coordonate curbilinii, 169
coordonate polare, 194
coordonate sferice, 47
copie, 15
coprodus scalar, 158
corp omogen, 91
covariante, 76, 80
covector, 148
229
cuplu, 87
curba netedă, 98
curent constant, 122
curent continuu, 122
curent de inducție, 129
curent direct, 122
curent electric, 122
D
densitate de volum, 91
densitate liniară, 91
deplasări, 63
derivata după o direcție, 131
dimensiune finită, 58
direcție, 16
distanța euclidiană, 55
dualul lui V, 148
dualul tensorului, 164
E
echilibru stabil, 92
echipolente, 14
echivalent, 16
ecuația de continuitate, 142, 143
ecuație a Relativității generale, 217
ecuații parametrice, 98
F
formulele translației, 65
230
forță magnetică, 125
frecvența, 101
funcție armonică, 136
funcțională liniară, 147
funcționale, 62
G
generează spațiul, 57
gradientul lui φ, 130
greutatea, 115
grup comutativ, 21
I
imaginea, 62, 63
inducție magnetică, 123
inegalitatea triunghiului, 55
irotațional, 133
izomorfe, 61
izomorfism, 61
L
legea lui Coulomb, 116
legea lui Lorentz, 126
liniar dependenți, 23, 58
liniar independenți, 57
liniară, 102
linie de câmp, 111
longitudine, 47
lucru elementar, 83
231
lucru mecanic, 81
lungimea vectorului, 55
M
marime aditivă, 83
matrice asemenea, 152
matrice de trecere, 70
matricea de inerție, 201
matricea Gram, 75
matricea Gram asociată, 164
măsura, 18
măsura „unghiului” , 55
metrica euclidiană, 180
mișcare uniformă, 101
moment, 87
moment de repaus, 99
moment rezultant, 88
momentele de inerție ale sistemului, 201
multiplicat, 161
N
n–dimensionali, 53
norma euclidiană, 55
normală, 102
O
observator, 73
operator liniar, 68
operatori diferențiali, 135
232
operația de contracție, 162
opus, 161
orientate la fel, 73
originea axei, 26
ortogonale, 139
P
parametrii lui Lamé, 45, 48, 49, 139
periferică, 102
perioada, 101
plan înclinat, 93
planul tangent, 191
potențial electrostatic, 121
potențialul câmpului electric, 143
potențialul scalar newtonian, 115
pozitivitate, 55
primar, 14
produs scalar, 35
produs scalar euclidian, 54
produse ale inerției, 201
produsul tensorial, 161
punct oarecare, 15
punct singular, 131
R
radială, 102
raza polară, 47
reciproci, 79
reducere, 69
233
reducerea matricei, 152
reper cartezian 1D, 27
reper cartezian 2D, 27
reper cartezian 3D, 32
reper cartezian fixat, 174
reper în V, 73
reper mobil, 46, 174, 194
reper mobil 3D, 50
reper ortogonal, 29, 171
reper ortonormal, 29, 32, 50
reper ortonormal 3D mobil, 49
rezultanta, 19
riemanniană, 214
rotație, 161
S
sarcină în mișcare, 123
scalar, 17, 52, 152
scalarul lui Ricci, 217
simbolurile lui Christoffel, 183
sistem de coordonate, 73
solenoidal, 133
spațiu vectorial, 52
spațiul n–dimensional, 53
spin, 161
subspațiu, 54
substanță, 107
suma, 19
suprafața de nivel, 110
234
T
tangențială, 102
tensiune, 121
tensor dublu contravariant, 156
tensor dublu covariant, 156
tensor liber, 160
tensor mixt, 157
tensori de ordin 0, 153
tensorul de curbură, 216
tensorul de inerție, 147
tensorul de volum, 165
tensorul electromagnetic, 206
tensorul lui Einstein, 217
tensorul lui Kronecker, 158
tensorul lui Ricci, 216
tensorul metric, 159, 163, 214
tensorul nul, 161
tensorul tensiunilor, 147
traiectorie, 99
transformare geometrică, 62
transformare liniară, 61
transformat, 62
transformata, 63
transformări rigide, 63
translație de vector, 63
transport paralel, 211
triplet, 21
turația, 101
235
V
vector, 52
vector abstract, 52
vector contravariant, 154
vector coplanar, 32
vector de poziție, 21
vector egal, 15
vector liber, 15
vector nul, 15
vector paralel, 209
vector unitar, 22
vectori alunecători, 16
vectori coliniari, 23
vectori covarianți, 155
vectori legați, 16
vectorul–accelerație, 193, 195
vectorul–viteză, 98, 99, 193, 195
vectorul–viteză tangențială, 104
versor, 22
viteza liniară, 102
viteza radială, 196
viteza tangențială, 196
volt, 122
236
237
238
239
240