FUNCIIINJECTIVE SURJECTIVE BIJECTIVE-INVERSABILE1. Precizai care din urmtoarele funcii este injectiv. justificai rspunsula)( )25 9: , , , 2 5 24 8f f x x x __ + , ,b)( )3 2: , 3 2 4 f f x x x x + c)[ ) ( )224 2: 0, ,3xf f xx +d)[ ) ( ) : 0, , 2 2 f f x x x 2. Precizai care din urmtoarele funcii este surjectiv. justificai rspunsula){ } ( )3 5: \ 2 ,2xf f xx + b)[ ) [ ) ( )2: 3, 1, , 6 8 f f x x x +c)( ) : , 2 2 3 f f x x x + d) ( )( )22 1: ,2 5xf f xx x+ + + 3. Fie funcia : f astfel nct este injectiv i( ) ( ) ( ) 1 , f x f x f ax b +cu , . a bS se arate c : a)0 a ; b) ( ) 1 1; f b c) fnu este surjectiv.4. S se determine funcia injectiv : f , cu proprietatea c exist nastfel nct( ) ( ) ( ) ( )1 oriori... ... 2, .n nf f f x f f f x x++ oo o oo o 1 442 4 43 1 442 4 435. Fie funciile :i: f A B g B C . S se arate c a) Dac g f o este injectiv , atunci f este injectiv. b) Dac g f o este surjectiv, atunci geste surjectiv6. S se demonstreze c urmtoarea funcie este bijectiv( ) ( ) : , 2 5, f ,( )5 32xf xx+ Determinai inversa funciei.7. S se determine valoarea parametruluiapentru ca funcia

: f ,( )3 1, 22 , 2x xf xx a x+ '+ >

s fie bijectiv.8. S se demonstreze c urmtoarea funcie este bijectiv ( ) ( ) : , 3 7, f ,( )7 33xf xx+Determinai inversa funciei.9. S se determine valoarea parametruluiapentru ca funcia : f ,( )4 2, 32 , 3x xf xx a x+ '+ >

s fie bijectiv.10.Fie funcia : f dat de relaia ( )1,, \2x xf xxx ' a) Aflai valorile lui x pentru care( ) 1 f x .b) Stabilii dac 2 aparine mulimii( ) f.c) Esteinjectiv funcia f? Dar surjectiv ?11. Fie funcia : f dat de relaia ( )1 ,1, \x xf xxx ' a) Aflai valorile lui x pentru care( ) 1 f x .b) Demonstrai c funcia f nu este monoton.c) Demonstrai c funcia f este bijectiv.12. Se consider funciile( )21, 0, : ,5 1, 0x xf g f xx x ' > i( )24 2,03 2, 0x xg xx x < ' a) Calculai f g o.b) Studiai monotonia lui . fc) Studiai bijectivitateafunciei g.13. Se consider funciile( )24, 0, : ,3 2, 0x xf g f xx x ' > i ( )25 2,04 2, 0x xg xx x < ' a)Calculai g f o.b)Studiai monotonia lui g.c)Studiai bijectivitateafunciei g.14.a) Fie funcia[ ) ( )22: 1, ,1xf f xx + .Studiai monotonia si injectivitatea acestei funcii. b) Demonstrai inegalitatea ( )( )[ )2 2 2 23, , , 1,1 1 11a b c a b ca b ca b ca b c+ ++ + > + + ++ + +15. S se demonstreze c urmtoarea funcie este inversabil, i determinai inversa sa.

: f ,( )221,21,2x x xf xx x ' >16.S se demonstreze c urmtoarea funcie este inversabil, i determinai inversa sa.

: f ,( )21, 05 1, 0x xf xx x + ' + >17. S se cerceteze pentru ce valori ale parametrului realm urmtoarele funcii sunt inversabile . S se stabileasc forma funciei inverse a) : f ,( )2, 01, 0x mxf xx x+ '+ >b) : f ,( )1, 01 , 0mx xf xx x+ ' >18.S se construiasc o funcie [ ] [ ] : 0,1 0,1 f , bijectiv, astfel nctfnu este monoton pe nici un intervalpropriu [ ] 0,1 J 19. Fie , , , a b c a b < i[ ] : , f a b o funcie definit prin ( ) 2 . f x x c Arunci feste injectiv dac i numai dac( ) , c a b 20. Fie funcia : f o funcie astfel nct( ) ( ) ( ) , , . f x y f x f y xy Atunci feste constant.21. Fie[ ] , I a b cu , a b i : f I I o funcie astfel nct ( ) ( ) , , . f x f y x y xy I Atunci ( ) ( ) , , . f x f y x y xy I 22. S se determine funciile nenule: f cu proprietatea( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , . xf y yf x x y f x f y xy + + 23. S se determine toate funciile : f care auproprietile a) ( ) ( ), f f x x x b) funcia( ) ( ) : , , g g x x f x x + este injectiv24.Fie funcia : f o funcie astfel nct( ) 0 1 f i( ) 0 f x ,0 x . S se arate c nu exist 1 2, : f f dou funcii bijective astfel nct1 2. f f f +25. Fie funcia : f o funcie arbitrar. Atunci exist dou funcii surjective 1 2, : f f astfel nct 1 2. f f f +26. S se construiasc o funcie surjectiv : f care s ia aceeai valoare de dou ori.27.Fie [ ] , : 0,1 f g dou funcii arbitrare. Atunci[ ] , 0,1 xy astfel nct ( ) ( )1, , .4f x g y xy xy I + Generalizare.28. Fie 1 2, ,...,na a a i : f o funcie definit prin ( ) ( )111cos .2nk kkf x x a +Dac 1 2, x x i( ) ( )1 20 f x f x atunci 1 2. x x 29. Fie : f o funcie definit prin ( ) ( )1sin , , .ni i i iif x a x b a b + Dac ( ) 0 0 f i 0, , x k k astfel nct( )00 f x , atunci 0. f 30. S se determine funciile : f+ cu proprietatea c ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 , . f x f x f x f x x + + 31. S se determine toate funciile : f i : g care verific condiiilea) g este injectiv;b) ( ( ) ) ( ( )), f gx y gx f y + + pentru orice , x y ;32. S se decid dac exist numerele naturale , mn i funciile : f i : g astfel ca2 1( )( )mf g x x+ oi 2 2( )( )ng f x x+ o .33. Fie : f o funcie bijectiv, strict cresctoare. S se determine funciile : g pentru care ( )( ) ( )( ), f g x x g f x x o o .34. S se determine funciile : (0, ) (0, ) f cu proprietatea 1 1( ) ( ) ( )4 4f ax by f x f ya b+ + , pentru orice numere pozitive , , , a b x y.35. ) S se determine funciile: f care ndeplinesc simultan condiiilea) ( ) ( ) ( ) 2 f m n f m f n mn + + +, oricare ar fi , mn;b) Pentru oricen , numrul ( ) f n este ptrat perfect.36.Demonstrai c nu exist nici o funcie : f astfel nct ( ) ( )1987 f f n n +37. S se determine toate funciile: f cu proprietatea ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, , f x f y f f y xf y f x xy + + 38. Rezolvaiecuaia funcional.2( ( ) ( )) ( ), f xf x f y y f x xy + + 39.Gsii toate perechile de funcii : f i : g , care pentru orice , x y

reali satisfac relaia:( ( )) ( ) ( ) ( ) f x gy xf y yf x gx + +.40. S se determine funciile injective : f cu proprietatea ( )( ) ( ) 1 0, f f x f x x o .41.S se determine toate funciile: f cu proprietatea ( ) ( ) ( ), f f n f m m n + + , . m n 42. S se determine toate funciile strict cresctoare : f cu proprietile( ) 2 2 f i( ) ( ) ( ) f mn f m f n , , . m n

Funcieinversabil:Spunemcfuncia: f A B esteinversabildaca exist o funcie 1: f B A, astfel nct: 11Bf f o i 11Af f o.Teorema: O funcie este inversabil dac ea este injectiv i surjectiv.Interpretare geometric a funciei bijective: o funcie este bijectiv dac orice paralel dus prin punctele codomeniului intersecteaz graficulfunciei o singur dat.Elevii sunt verificai frontal la tema pentru acasSe verific exerciii din tem. Se propun pe tabl spre rezolvare (din tema pentru acas), se accept orice idee de rezolvare i se alege varianta optim:Ex.1. S se arate c funcia( )1: 0, ( 1,1), ( )1xf f xx + este bijectiv i s se gseasc inversa ei.Rezolvare:Injectivitatea: 1 21 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 21 21 1( ) ( ) 1 11 1x xf x f x x x x x x x x x x xx x + + + +Surjectivitatea:fie( 1,1) y , din1 1( )1 1x yf x y y xx y + +; cum( 1,1) y avem 1 1 y < < 1 01 0yy+ > ' >, adic( ) 0, x ; calculm 1( )1yf x f yy _ + ,, q.e.d..Inversa:Din 11( ) ( )1yf x y x f yy +.Trecem x yy x ', obinem 11( )1xf xx+, 1: (0, ) ( 1,1) f.Ex. 2. Fie funcia 2 3, 1: , ( )4, 1x xf f xx x+ '+ > . Se cere:a) artai c funcia este bijectivb) gsii inversa lui fRezolvare:a) vom reprezenta grafic funcia f.Tabelul de valori:Grafic:x - 0 1 2 +2x+335]////////////////////////x+4 /////////////////(5 6 Se observ c orice paralel dus la graficul funciei prin punctele codomeniului intersecteaz graficul o singur dat, deci funcia este bijectiv.b) Calculm inversa pe ramuri:Caz I. pentru 1 x avem 132 3 ( )2yy x x f y + idin1 x 2 2 x 2 3 5 5. x y + Caz II. pentru1 x >avem14 4 ( ) y x x y f y + i din 1 4 5 x x > + > 5 y >.Dup trecerea x yy x ' rezult 1 13, 5: , ( )24, 5xxf f xx x ' > Ex. Fie funcia 1, 3: , ( )4, 3ax xf f xx x+ '+ > . Se cere:a) gsii a astfel nct f s fie inversabil;b) pentru aaflat la a) gsii inversa lui f. Rezolvarea) Tabelul de valori l completm ncepnd cu ramura cunoscut:x - 0 3 4 +ax+11 3a+1]//////////////////////x+4 /////////////////(7 8Pentru ca funcia s fie bijectiv (orice paralel dus la graficul funciei prin punctele codomeniului intersecteaz graficul o singur dat) trebuie ca cele dou ramuri s aib un punct comun, adic3 1 7 2 a a + .b) Pentru2 1, 32 ( )4, 3x xa f xx x+ '+ >i se va obine 1 11, 7: , ( )24, 7xxf f xx x ' >