1

FIZICĂFIZIFIZICCĂĂ

Bazele fizice ale mecanicii cuanticeBazele fizice ale mecanicii cuantice

ş.l. dr. Marius COSTACHE

2

Mecanica cuantică (Fizica cuantică) studiază legile de mişcare ale microparticulelor (e-, p+,...) şi ale sistemelor care cuprind aceste microparticule (nuclee atomice, atomi, molecule, ioni) precum şi interacţiunile care guvernează mişcarea acestora.

********************************************************************************

1924, Louis de Broglie: fiecărei particule i se asociază o undă plană monocromatică (“undă de Broglie”) care are:

mv

h

p

h==λ (lungimea de undă)

BAZELE FIZICII CUANTICE

3

RELAŢIILE DE NEDETERMINARE ALE LUI HEISENBERG

În fizica clasică, starea unui sistem de particule se poate determina prin ansamblul tuturor coordonatelor şi impulsurilor particulelor

OBS. Precizie bună la determinarea poziţiei determină o nesiguranţă completă la măsurarea impulsului

h

h

h

>∆⋅∆

>∆⋅∆

>∆⋅∆

zp

yp

xp

z

y

x

În mecanica cuantică, între imprecizia la determinarea impulsului (∆p) şi imprecizia la determinarea coordonatei (∆x) există relaţiile:

(relaţiile de nedeterminare ale lui

Heisenberg)

π2

h=h

∞→∆⇒→∆ xpx 0h>∆⋅∆ tE

∆E = imprecizia la determinarea energiei particulei cuantice

∆t = intervalul de timp cât durează această stare energetică

(constanta lui Planck redusă)

4

Deoarece:

)(),(ψ rktiAetrrrr ⋅−−= ω

(funcţia de undă)

h

h

pp

hk

EhEhE

===

=⇒==

π

λ

π

ωωπν

22

2,

rezultă:)(

),(ψrptE

i

Aetr

rr

hr ⋅−−

=

ECUAŢIA LUI SCHRÖDINGER

� Faza undei de Broglie: ( ) ( )rpEttrrr

h⋅−=

1,ϕ

5

ECUAŢIA LUI SCHRÖDINGER

=> contradicţie cu teoria relativităţii (nici o viteză nu poate fii mai mare decât viteza luminii ! )

Viteza de fază a undei de Broglie:

Viteza de fază a undei de Broglie se obţine din condiţia:

( ) 0, =trdϕ

cc

m

mc

p

E

dt

drf >====

vvv

22

� Pentru rezolvarea contradicţiei, s-a asociat microparticulei un grup de unde (pachet de unde) monocromatice plane, foarte puţin diferite una de alta:

( ) ( ) ( )[ ]dkekAtr

kk

kk

rktki

∫

∆+

∆−

−−=Ψ2

2

0

0

, ω

Viteza de grup a undei de Broglie: cdk

dg <== vv

ω

6

ECUAŢIA LUI SCHRöDINGER

� Schrödinger a asociat mişcării microparticulelor o funcţie de coordonate şi de timp, numită funcţie de undă sau funcţie de stare:

Această funcţie de undă este soluţie a ecuaţiei diferenţiale:

( ) ( ) ( )[ ]kdekAtr

rktkirrr rrr

⋅−⋅−+∞

∞−

∫=Ψ ω,

( ) ( ) ( )trrUmt

tri ,

2

, 2rrh

r

h Ψ

+∆−=

∂

Ψ∂ (ecuaţia temporală a lui Schrödinger)

în care:2

2

2

2

2

2

zyx ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∆ (operatorul lui Laplace)

)(rUr

= energia potenţială a particulei

7

ECUAŢIA LUI SCHRÖDINGER

� Dacă energia potenţială a particulei nu depinde explicit de timp, atunci funcţia de undă se poate scrie:

Înlocuind această soluţie în ecuaţia temporală a lui Schrödinger, se obţine :

(ecuaţia atemporală a lui Schrödinger)

(ecuaţia lui Schrödinger a stărilor staţionare)

în care: m = masa particulei , E = energia totală a particulei

( ) ( )retrtE

irr

h ψ⋅−

=Ψ ,

( ) ( ) ( ) ( )rErrUrm

rrrrhψψψ =+∆−

2

2

( ) ( ) ( )rErrUm

rrrhψψ =

+∆−

2

2

8

ECUAŢIA LUI SCHRODINGER

Obs: Rezolvând ecuaţia lui Scrodinger se găseşte funcţia de undă Ψ(r,t).

)(2

2

rUm

Hrh

+∆−=Not: = operatorul energiei totale (operatorul lui Hamilton)

cineticeenergieioperatorulm

=∆−2

2h

potentialeenergieioperatorulrU =)(r

( ) ( ) ( )dzz,z,dyy,y,dxx,x +++

� Sensul fizic al funcţiei de undă

Pătratul modulului funcţiei de undă reprezintă densitatea de probabilitate ρ(r,t)

de a găsi particula la un moment de timp t în elementul de volum dV=dx dy dz ,

domeniu delimitat de coordonatele:

9

ECUAŢIA LUI SCHRODINGER

Obs: Densitatea de probabilitate nu depinde de timp.

Din sensul fizic al pătratului modulului funcţiei de undă rezultă că

mecanica cuantică are un caracter statistic:

� mecanica cuantică nu ne permite să găsim locul exact din spaţiu

în care se găseşte o microparticulă

� mecanica cuantică determină probabilitatea de a găsi

microparticula într-o anumită regiune (domeniu) din spaţiu.

( ) ( ) ( )rrtrdV

dPtr

rrrrρρ ====

22ψ,ψ),(

Densitatea de probabilitate:

10

BIBLIOGRAFIE� F. BARVINSCHI – “Fizică Generală”,

Ed. Orizonturi Universitare, Timişoara, 2004

www.et.upt.ro>CATEDRE>BFI>CadreDidactice>BarvinschiF>DownloadStudenţi

� M. CRISTEA, D. POPOV, F. BARVINSCHI, I. DAMIAN, I. LUMINOSU, I. ZAHARIE – “Fizică. Elemente fundamentale” ,

Ed. Politehnica, Timişoara, 2006

� I. LUMINOSU – “Fizică. Elemente fundamentale”Ed. Politehnica, Timişoara,2004

� S. PRETORIAN, M. COSTACHE, V. CHIRIŢOIU – “Fizică. Elemente fundamentale. Aplicaţii”, Ed. Politehnica, Timişoara, 2006

� Luminosu I., Pop N., Chiritoiu V., COSTACHE Marius – “Fizică. Teorie, probleme şi teste grilă” , Ed. Politehnica, Timişoara, 2010