Introducere

Unul din cele mai noi şi mai dinamice ramuri ale Fizicii nucleare este Fizica

nucleară relativistă. În anul 1948, Freier şi colaboratorii săi au descoperit componenta de

ioni grei relativişti a radiaţiei cosmice primare. Atunci s-au pus bazele acestei noi ramuri

a Fizicii nucleare şi s-au stabilit unele din caracteristicile sale de bază. Dificultăţile

deosebite legate de stabilirea caracteristicilor fasciculelor de raze cosmice şi statisticii

sărace nu au permis dezvoltarea deosebită a domeniului. Progresele ştiinţifice

remarcabile realizate în următoarele două decenii care au urmat descoperirii componentei

de ioni grei relativişti, precum şi dezvoltările tehnologice deosebite din aceeaşi perioadă,

au permis apariţia unor noi acceleratori de particule sau de ioni grei, iar energiile asociate

au devenit din ce în ce mai mari. Intrarea în funcţiune a primelor sisteme de accelerare

pentru ioni grei relativişti, începînd cu anul 1970, a dat un impuls nou acestui domeniu,

făcându-l unul din cele mai dinamice şi mai bogate în informaţii asupra structurii

materiei şi evoluţiei Universului.

Primul sistem de accelerare pentru ioni grei relativişti a intrat în funcţiune în

anul 1970 la Institutul Unificat de Cercetări Nucleare (IUCN) de la Dubna (fosta

U.R.S.S., în Rusia, în prezent). În cei aproape 30 de ani care au urmat acestui moment

studiile de Fizică nucleară relativistă au cunoscut o dezvoltare deosebită, performanţele

sistemelor de accelerare şi cele ale sistemelor de detecţie crescând continuu. Astăzi pot fi

accelerate nuclee cu numere de masă mai mari de 200 la energii de 150-200

GeV/nucleon, în sistemul laboratorului, şi pot fi detectate simultan câteva mii de

particule. De aceea, gama fenomenelor puse în evidenţă este extrem de diversă şi foarte

bogată în informaţii, evidenţiindu-se rolul Fizicii nucleare relativiste de punte de

legătură între Fizica nucleară clasică, Fizica particulelor elementare şi Cosmologie.

Fizicienii români, implicaţi în activitatea de cercetare ştiinţifică din domeniu la

IUCN Dubna, au participat la deschiderea domeniilor de cercetare specifice Fizicii

nucleare relativiste, încă din anul 1970. Acest statut de pionieri ai domeniului,

importanţa acestuia, bogăţia informaţiilor, deschiderile oferite, profunzimea

conexiunilor cu alte domenii, precum şi contribuţiile fizicienilor români la dezvoltarea

acestuia, au determinat introducerea cursului de Fizică nucleară relativistă, în anul

universitar 1990-1991, pentru studenţii din anul V care se specializau în domeniul Fizicii

nucleare şi Fizicii particulelor elementare. În cadrul programei actuale a secţiei de

Fizică acesta face parte din pachetul de cursuri opţionale pentru studenţii din anul IV

care doresc să se specializeze în domeniul Fizicii nucleare şi Fizicii particulelor

elementare. Prin introducerea acestui curs, Catedra de Fizică atomică şi nucleară a

Facultăţii de Fizică din Universitatea Bucureşti se numără printre puţinele din lume

care au inclus un astfel de curs în programele lor şi pot oferi studenţilor informaţii

directe din domeniul Fizicii nucleare relativiste.

Pentru facilitarea înţelegerii corecte şi cât mai profunde a domeniului s-a realizat

un manual pentru probleme legate de seminariile şi lucrările de laborator asociate

cursului, tipărit în anul 1999 în Editura Universităţii Bucureşti, precum şi prezentul curs.

Ele vin să acopere un gol absolut în literatura românească de specialitate, fiind,

totodată, unele din puţinele din literatura de specialitate din lume.

Deoarece Fizica nucleară relativistă foloseşte termeni specifici din toate

domeniile Fizicii nucleare, pentru parcurgerea lui sunt necesare cunoştinţe de bază din

aceste domenii. Acolo unde s-a considerat că actuala structură a programei secţiei de

Fizică a Facultăţii de Fizică din Universitatea Bucureşti nu acoperă toate cunoştinţele

necesare, s-a făcut o scurtă prezentare a ideilor fundamentale, ceea ce, sperăm, va facilita

înţelegerea tuturor problemelor abordate.

Cursul a fost structurat pe 4 părţi mari. S-a ales această structură pentru a se

permite o abordare corectă a problemelor majore ale Fizicii nucleare relativiste. Aceste

părţi sunt: (i) Mijloace şi metode experimentale în Fizica nucleară relativistă; (ii)

Mărimi fizice cu semnificaţie dinamică în ciocniri nucleare relativiste; (iii) Modelarea

dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste; (iv) Stări anomale şi tranziţii de fază în

materia nucleară.

Atragem atenţia că, deşi cursul este împărţit în patru părţi, numerotarea

capitolelor se face în continuare, fără separare pe părţi.

În prima parte sunt prezentate principalele tipuri de acceleratori folosiţi la

sistemele de accelerare pentru ioni grei relativişti. Sunt prezentate succint principalele

sisteme de accelerare folosite până în prezent în experimente de Fizică nucleară

relativistă. Se acordă atenţie celor mai noi sisteme de accelerare folosite pentru studiul

ciocnirilor nucleare relativiste, sistemele de tip “collider”, avându-se în vedere intrarea în

funcţiune, la sfârşitul anului 1999, a sistemului de la Laboratorul Naţional Brookhaven

din SUA [Brookvaven National Laboratory (BNL), Upton, New York] şi, la jumătatea

primului deceniu al secolului următor, a celui de la Centrul European de Cercetări

Nucleare de la Geneva, Elveţia [Centre Européen des Reserches Nucléaires (CERN)].

Sistemul de la BNL poartă numele de Relativistic Heavy Ion Collider (RHIC), adică

“Collider-ul de Ioni Grei Relativişti”. Cel de la CERN se numeşte Large Hadron

Collider (LHC), adică “Collider-ul Mare de Hadroni”.

Tot în această parte sunt prezentate principiile de funcţionare şi caracteristicile de

bază ale unor detectori mai des folosiţi în experimente de Fizică nucleară relativistă.

Unele din sistemele de detectori care au permis obţinerea de informaţii fundamentale în

domeniul ciocnirilor nucleare relativiste sunt prezentate, de asemenea, în această parte a

lucrării.

Diferitele tipuri de detectori şi sistemele de detecţie în care sunt incluse permit

obţinerea de informaţii experimentale asupra unei anumite game de mărimi fizice care

pot conţine informaţii cinematice şi dinamice importante. De aceea, în partea a II-a a

cursului sunt incluse cunoştinţe despre cele mai importante mărimi fizice determinate în

experimente de Fizică nucleară relativistă. Sunt abordate aspecte legate de numărul de

participanţi în interacţie şi spectatori la aceasta, multiplicităţile diferitelor tipuri de

particule generate în ciocniri nucleare relativiste, secţiunile eficace de ciocnire şi

producere de diferite tipuri de particule, caracteristicile spaţio-temporale ale sursei de

particule, distribuţiile unghiulare şi de impulsuri ale particulelor detectate etc.

Informaţiile dinamice conţinute în aceste mărimi fizice sunt folosite pentru

descrierea dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste şi ultrarelativiste. Ipotezele folosite în

mod curent în astfel de modelări ale dinamicii, conceptele fundamentale, ierarhizarea

modelelor în funcţie de tăria conceptelor folosite, domeniul de energii pe care se pot

folosi şi gama predicţiilor confirmate experimental sunt incluse în partea a III-a a

cursului. Sunt prezentate, pe scurt, modele de bază folosite în studiul dinamicii ciocnirilor

nucleare relativiste.

O problemă fundamentală a Fizicii nucleare relativiste este cea a observării unor

stări noi ale materiei nucleare, stări similare cu cele care au urmat, în evoluţia

Universului, “Exploziei primordiale” (“Big Bang”). Una din cele mai interesante şi mai

importante este plasma de cuarci şi gluoni. De aceea, ultima parte a cursului este

consacrată prezentării unor stări anomale observate în materia nucleară formată prin

ciocniri nucleare relativiste, consideraţiilor termodinamice referitoare la tranziţiile de fază

şi prezentării unor caracteristici importante ale unor tipuri de tranziţii de fază observate

până în prezent în materia nucleară. O atenţie deosebită se va acorda tranziţiei de fază la

plasma de cuarci şi gluoni. De observarea fără ambiguităţi a acestei stări a materiei sunt

legate cele mai mari speranţe ale Fizicii nucleare relativiste. Prin descoperirea plasmei

de cuarci şi guloni şi stabilirea proprietăţilor fundamentale se va confirma în mod clar

statutul Fizicii nucleare relativiste de punte de legătură între Fizica nucleară “clasică”,

Fizica particulelor elementare şi Cosmologie.

Multe din noţiunile introduse în curs şi o parte din concluziile acestuia se bazează

pe activitatea de cercetare ştiinţifică a autorilor, activitate derulată de-a lungul a mai mult

de două decenii. Principalele lucrări sunt legate de datele experimentale obţinute în

cadrul colaborării SKM 200 de la IUCN Dubna, precum şi de activităţile de cercetare din

cadrul colaborării BRAHMS de la BNL. O bună parte din această muncă de cercetare s-a

derulat în cadrul unor grant-uri acordate, de-a lungul anilor, de către Ministerul

Învăţământului şi Ştiinţei, Ministerul Educaţiei şi Învăţământului, Ministerul Educaţiei

Naţionale - prin Consiliul Naţional al Cercetării Ştiinţifice Universitare, Agenţia

Naţională pentru Ştiinţă, Tehnologie şi Inovare şi Academia Română. Tuturor acestor

instituţii, sincere mulţumiri!

Cursul poate fi util tuturor celor care doresc să se iniţieze în acest fascinant

domeniu, precum şi doctoranzilor care au teme din domeniu. El este rodul muncii de

cercetare menţionate şi a unui deceniu de predare a cursului studenţilor Facultăţii de

Fizică din Universitatea Bucureşti.

În munca lor, autorii au fost sprijiniţi de toţi membrii grupului de Fizică nucleară

relativistă de la Catedra de Fizică atomică şi nucleară a Facultăţii de Fizică din

Universitatea Bucureşti. Asist.univ.drd. Radu Zaharia şi doctoranzii Ion Sorin Zgură şi

Daniel Felea, membrii ai grupului, au acordat un sprijin deosebit în realizarea figurilor

din text. Studenţilor din anul V INPE, anul universitar 2000-2001, sincere mulţumiri

pentru sugestiile privind introducerea de aspecte noi în curs! Tuturor, sincere mulţumiri!

Partea I-a

Mijloace şi metode experimentale

în Fizica nucleară relativistă

Capitolul I

Apariţia Fizicii nucleare relativiste.

Direcţii de dezvoltare

Studiile intense întreprinse după cel de al doilea război mondial în domeniul

Fizicii nucleare şi particulelor elementare au inclus şi multe experimente care foloseau

radiaţia cosmică primară pentru inducerea unor interacţii de interes. Aceste studii au

permis descoperirea componentei de ioni grei relativişti a radiaţiei cosmice primare.

Această descoperire – făcută în anul 1948 de către Freier şi colaboratorii săi – au pus

bazele unui domeniu nou şi extrem de interesant al Fizicii nucleare, anume: Fizica

nucleară relativistă. Există foarte multe moduri de definire pentru acest domeniu. Una

din definiţii consideră că Fizica nucleară relativistă este fizica fenomenelor

multibarionice care se produc atunci când pătratul impulsului pe nucleon este mai mare

decât pătratul masei de repaus a nucleonului: 22

NN mp (relaţie scrisă folosind sistemul

natural de unităţi).

Primele studii de Fizică nucleară relativistă făcute în experimente cu ioni grei

relativişti din radiaţia cosmică primară au evidenţiat unele caracteristici fundamentale ale

ciocnirilor nucleu-nucleu la energii înalte. Printre acestea se numără: secţiuni eficace de

interacţie mari, multiplicităţi mari ale particulelor cu sarcină, existenţa unor fragmente

nucleare grele, abundenţa particulelor neutre în starea finală, dependenţa dinamicii

ciocnirii de geometria ciocnirii. Etapele următoare din evoluţia Fizicii nucleare relativiste

au confirmat complexitatea deosebită a interacţiilor specifice domeniului.

Complexitatea deosebită a ciocnirilor nucleu-nucleu la energii înalte şi foarte

înalte impune mijloace şi metode experimentale deosebite pentru obţinerea de informaţii

experimentale semnificative, utile în cunoaşterea structurii materiei nucleare şi a

interesantelor procese şi fenomene fizice care se produc aici. De aceea, este necesar ca

experimentele să asigure toate condiţiile pentru obţinerea unei informaţii experimentale

cât mai complete şi să permită o analiză rapidă, corectă şi completă a acesteia. Pentru

asigurarea acestora este necesară cunoaşterea principiilor de bază ale principalelor

mijloace experimentale existente în prezent, precum şi a fundamentelor fizice ale

metodelor experimentale folosite. De complexitatea şi performanţele mijloacelor

experimentale, precum şi de profunzimea bazelor fizice şi adecvarea metodelor

experimentale depinde calitatea informaţiei fizice obţinute. De aceea, este necesară

cunoaşterea acestora, iar prima parte a cursului se va ocupa de prezentarea celor mai

importante aspecte referitoare la mijloacele şi metodele experimentale din Fizica nucleară

relativistă. Prezentarea lor va ţine seama de cele două etape majore din istoria acestui

domeniu, anume:

(i) etapa razelor cosmice [1-3];

(ii) etapa sistemelor de accelerare [1-3].

Remarcă În curs, prin sistem de accelerare se înţelege aceea combinaţie de mai mulţi

acceleratori folosită pentru obţinerea energiei finale pe nucleon pentru tipul de ion

accelerat, fiecare dintre acceleratori având un rol bine definit în obţinerea tipului de

fascicul dorit şi a energiei acestuia.

Prima din aceste etape a debutat în anul 1948 odată cu descoperirea de către

Freier şi colaboratorii săi a componentei de ioni grei relativişti a radiaţiei cosmice

primare şi folosirea ei în experimente care foloseau ca detectori emulsiile nucleare.

Acestei prime etape din dezvoltarea Fizicii nucleare relativiste îi revine meritul de a fi

relevat - în pofida dificultăţilor legate de condiţiile experimentale - problemele

fundamentale ale domeniului.

Cea de a doua etapă a început odată cu intrarea în funcţiune a primului sistem de

accelerare pentru ioni grei relativişti, în luna august a anului 1970, la Institutul Unificat

de Cercetări Nucleare (IUCN) de la Dubna (azi, în Rusia) [1-6]. Acest sistem de

accelerare a fost Sincrofazotronul U-10 - care accelera, până atunci, numai protoni la

energii până la 10 GeV - dotat cu o nouă sursă de ioni şi un accelerator liniar

intermediar pentru injectarea fasciculului dorit în sincrofazotron.

În cadrul acestei a doua etape putem distinge câteva perioade care au trăsături

specifice, atât în plan experimental, cât şi în cel al abordărilor teoretice. Obiectivele

urmărite în experimente au depins de acestea. Se pot distinge trei perioade importante în

cadrul etapei sistemelor de accelerare. Prima perioadă este cuprinsă între anii 1970 şi

1986. Ea se caracterizează prin sisteme de accelerare care permit energii de accelerare

de câţiva GeV/nucleon şi are ca obiective fundamentale determinarea unor caracteristici

generale ale ciocnirilor nucleare relativiste şi stabilirea unor mecanisme de producere

de particule. Cea de a doua perioadă începe în anul 1986, prin intrarea în funcţiune a

unor sisteme de accelerare care permit energii de accelerare de zeci şi sute de

GeV/nucleon, cum sunt cele de la Centrul European de Cercetări Nucleare [Centre

Européen des Récherches Nucléaires (CERN)] din Geneva (Elveţia) şi de la Laboratorul

Naţional Brookhaven [Brookhaven National Laboratory (BNL)] din Upton, New York,

SUA. Obiectivelor anterioare ale experimentelor de Fizică nucleară relativistă le pot fi

adăugate căutări mai sistematice ale semnalelor experimentale ale unor tranziţii de fază

în materia nucleară, cu accent deosebit pe căutarea tranziţiei de fază la plasma de cuarci

şi gluoni. Această perioadă a etapei a doua este continuată de cea de a treia perioadă,

anume cea a sistemelor de accelerare de tip “collider”. Ea debutează în anul 1999 prin

intrarea în funcţiune a Collider-ului pentru ioni grei relativişti [Relativistic Heavy Ion

Collider (RHIC)] de la Laboratorul Naţional Brookhaven (SUA). Obiectivul major al

celei de a treia perioade este punerea în evidenţă a tranziţiei de fază la plasma de cuarci

şi gluoni în ciocniri nucleu-nucleu la energii peste 100 A GeV, în sistemul laboratorului.

Evidenţierea formării plasmei de cuarci şi gluoni va permite stabilirea unor conexiuni cu

fenomenele care au avut loc în prima microsecundă de la “Explozia primordială” (“Big

Bang”). Se va împlini astfel ceea ce David Scott spunea cu aproape două decenii în urmă:

“Fizica nucleară relativistă a început în ceruri şi tot acolo se va împlini” [2]. Prin

aceasta se va demonstra rolul fundamental al Fizicii nucleare relativiste, anume cel de

punte de legătură între Fizica nucleară clasică, Fizica particulelor elementare şi

Cosmologie [3,7].

Sistemele de accelerare construite în cele trei perioade ale etapei a doua

coexistă, aducându-şi contribuţiile specifice la dezvoltarea domeniului Fizicii nucleare

relativiste.

O problemă majoră care se pune în studiul ciocnirilor nucleu-nucleu la energii

înalte este aceea a detectării numeroaselor particule şi fragmente create în astfel de

ciocniri. Datorită ratei mari de informaţii şi necesităţii stabilirii unui număr mare de

mărimi care să caracterizeze o particulă detectată sau un fragment detectat este de dorit

ca în astfel de experimente să se folosească sisteme de detectori care să dispună de un

anumit număr de nivele de decizie. În prezent se consideră 5 nivele de decizie pentru un

sistem de detectori dintr-un aranjament experimental pentru studiul ciocnirilor nucleu-

nucleu la energii înalte, şi anume:

(i) declanşare primară;

(ii) declanşare secundară;

(iii) lucrul "în linie" cu microprocesoare programabile;

(iv) filtrare "în linie" a informaţiei înainte de înregistrare;

(v) monitorare şi control "în linie" cu ajutorul calculatorului.

Detectorii care fac parte din astfel de sisteme folosite în prezent în experimente de

Fizică nucleară relativistă nu au la bază principii de detecţie noi [1,3,5-12]. Ei sunt

incluşi în aranjamente experimentale complexe pentru a se obţine maxim de informaţie

experimentală în problema de interes abordată. Intrarea în funcţiune a sistemelor de

accelerare de tip "collider" va face necesară apariţia unor principii de detecţie noi [13-

15].

Gama de detectori folosiţi în experimentele de până acum este extrem de largă -

de la emulsii nucleare la detectori solizi de urme şi calorimetre - iar aranjamentele

experimentale cuprind mai multe tipuri de astfel de detectori. Toate marile laboratoare

care lucrează în domeniul Fizicii nucleare relativiste dispun de mai multe sisteme de

detectori deosebit de complexe, dedicate unor anumite tipuri de experimente [1,3,6-12].

Metodele experimentale asociate sunt în concordanţă cu sistemele de accelerare

şi sistemele de detectori folosite. În cele ce urmează se vor prezenta unele noţiuni de bază

pentru Fizica acceleratorilor şi Fizica detectării radiaţiilor nucleare pentru o mai bună

înţelegere a problemelor care se pun într-un experiment de Fizică nucleară relativistă.

Sunt prezentate şi cele mai folosite sisteme de acceleratori şi de detectori în câteva mari

laboratoare din lume care fac studii în domeniu.

Capitolul al II-lea

Obţinerea fasciculelor de ioni grei relativişti

II.1. Etapa razelor cosmice

În cazul radiaţiei cosmice primare componenta de ioni grei relativişti se

caracterizează printr-o intensitate slabă, iar erorile experimentale în determinarea sarcinii,

masei şi energiei ionilor componenţi sunt mari. Controlul extrem de limitat asupra

condiţiilor experimentale - incluzând imposibilitatea plasării sistemelor de emulsii

nucleare în câmpuri magnetice adecvate - nu a permis crearea de aranjamente

experimentale care să permită "paşi" prea numeroşi în aprofundarea domeniului. Totuşi,

experimentele făcute au permis să se sublinieze rolul hotărâtor al geometriei ciocnirii în

dinamica ciocnirii, determinarea unor caracteristici de bază - secţiuni eficace mari şi

multiplicităţi mari pentru diferite tipuri de particule - precum şi evidenţierea unor

fenomene "exotice", cum ar fi producerea de hipernuclee [4,16].

Remarcă. Un hipernucleu este un nucleu în care unul sau mai mulţi nucleoni au fost

înlocuiţi cu hiperoni. Hiperonii sunt de diferite tipuri (, , , ...).

Multe din rezultatele obţinute în această etapă au fost legate şi de dezvoltări în

alte domenii ale Fizicii nucleare şi particulelor elementare. De aceea, Fizica nucleară

relativistă nu a fost percepută totdeauna, în această etapă, ca un domeniu distinct.

II.2. Etapa sistemelor de accelerare

II.2.1. Acceleratori de particule. Caracteristici generale

De acceleratorii de particule sunt legate multe din rezultatele fundamentale ale

Fizicii nucleare, Fizicii particulelor elementare şi Fizicii nucleare relativiste. Apariţia

acceleratorilor a fost determinată de necesitatea investigării structurii nucleare şi stabilirii

proprietăţilor dinamice ale nucleelor. Se cunoaşte faptul că, una din ideile fundamentale

ale începuturilor Fizicii nucleare a fost aceea de a investiga structura atomică folosind

radiaţiile ş i avute atunci la dispoziţie [17,18]. Dacă încercările lui Lenard, bazate pe

folosirea radiaţiei , nu au fost încununate de succes, cele ale lui Rutherford, bazate pe

folosirea radiaţiei , au fost cele care au confirmat discontinuitatea materiei la nivel

atomic, existenţa unei structuri atomice şi existenţa nucleului atomic.

Studiile făcute de către Geiger şi Nuttall, concretizate în anul 1912 prin legea care le

poartă numele [17,18], au arătat faptul că energiile cinetice ale particulelor emise de

nucleele radioactive erau cuprinse între 2 MeV şi 9 MeV. Aceste energii nu păreau

suficiente pentru a putea evidenţia o posibilă structură a nucleului atomic. Ele au fost,

totuşi, suficiente pentru a pune în evidenţă doi constituenţi fundamentali ai nucleului

atomic: protonul şi neutronul [17,18]. Descoperirea primului este legată de realizarea

primei transmutaţii nucleare, anume:

42+

147N

178O+

11p.

Ea a fost descoperită în anul 1919 de către Ernest Rutherford. Cea de a doua

componentă a nucleului a fost descoperită tot pe baza studiului transmutaţiilor nucleare.

Autorul descoperirii este tot un fizician englez, din şcoala lui Rutherford, anume: James

Chadwick. El a studiat atent unele fenomene observate de către Bothe şi Becker, în anul

1930, fenomene confirmate de către Iréne Joliot Curie şi Frédéric Joliot Curie, în anul

1932. Aceste fenomene apăreau la bombardarea nucleelor de beriliu şi litiu cu particule

. Ele erau legate de apariţia unor presupuse cuante care dădeau naştere, în parafină,

unor protoni de recul. Măsurătorile sale, făcute cu o cameră de ionizare, confirmate de

măsurătorile lui Feather (1932), precum şi calculele sale, au confirmat existenţa unei noi

particule: neutronul.

Între cele două evenimente majore pentru destinul Fizicii nucleare s-au consemnat alte

descoperiri la fel de importante, fără de care Fizica nucleară şi Fizica nucleară relativistă

nu ar fi atins nivelele actuale de dezvoltare.

O serie dintre descoperirile majore care s-au făcut a fost determinată de introducerea ideii

de masă de repaus de către Albert Einstein, în anul 1905, în cadrul teoriei relativităţii.

O alta a fost determinată de introducerea ipotezei dualismului undă-corpuscul de către

Louis de Broglie, în anii 1924-1925. Conform acestei ipoteze, unei particule cu masă de

repaus nenule, având un impuls p , îi poate fi asociată o lungime de undă, B. Legătura

dintre cele două mărimi definitorii pentru comportamentul corpuscular, respectiv,

ondulatoriu, este dată de următoarea relaţie de legătură:

p

hB . (I.1)

Prin această definiţie lungimea de undă asociată (lungimea de undă de Broglie) devenea o

măsură cantitativă a micimii necesare sistemului nuclear incident pentru a “vedea”

structura ţintei. Se confirma faptul că particulele emise de nuclee care prezentau

fenomenul de radioactivitate naturală nu puteau fi folosite pentru evidenţierea structurii

interne a nucleului, datorită lungimii de undă de Broglie mult pre mari.

O idee contemporană cu ipoteza dualismului undă-corpuscul este cea a lui Ising,

din anul 1924. Ea se referea la posibilitatea accelerării particulelor cu sarcină în câmp

electric variabil. S-a avut în vedre faptul că o acceleraţie paralelă cu viteza determină o

modificare în mărime, fără a afecta direcţia, iar o acceleraţie perpendiculară pe viteză

determină o modificare în direcţie, fără a schimba mărimea vitezei. Apare astfel idea

folosirii câmpurilor magnetice pentru confinarea mişcării la limite practice. Odată cu ea

se impune, alături de sarcina specifică (m

q), o mărime importantă pentru definirea

tipurilor de acceleratori de particule şi ioni: rigiditatea magnetică a particulelor. Ea se

defineşte ca produsul dintre inducţia magnetică şi raza de curbură. Rigiditatea magnetică

rezultă din egalitatea forţei Lorentz cu forţa centripetă, pentru o particulă dată; se obţine:

q

mvBr , (I.2)

unde B este inducţia magnetică, r este raza de curbură, m este masa particulei/ionului, q

este sarcina particulei/ionului, iar v este viteza de accelerare a sistemului nuclear

considerat.

Se poate stabili o legătură între dimensiunea sistemului de investigat, d, impulsul

sistemului nuclear incident (particulă sau ion), p, şi valoarea câmpului electric

accelerator, E. Din relaţia (I.1) se obţine:

B d . (I.3)

Folosind constanta Planck redusă, = h/2, se poate introduce lungimea de undă

asociată redusă, B = B/2.. Condiţia (I.3) se poate scrie astfel:

dp

. (I.4)

Folosind, pentru energia cinetică, o relaţie de forma m

pEcin

2

2

se obţine, din relaţiile

anterioare, următoarea expresie:

2

22.

2

1

mcdmc

Ecin . (I.5)

Considerând lungimea de undă redusă Compton a sistemului nuclear folosit pentru

investigare, mc

C

, se obţine relaţia:

2

2.

2

1

dmc

Ecin . (I.6)

Forţa electrică care acţionează asupra particulei este dată de relaţia: EqF .

Considerând modulul câmpului electric accelerator de forma:

d

VE ,

se ajunge la următoarea expresie a energiei necesare pentru accelerarea particulei:

E = qV.

Experienţa anterioară, legată - în principal - de spectrometria de masă, sugera

necesitatea unui vid cât mai bun pentru a nu se pierde energie prin ciocniri suplimentare

cu atomii mediului respectiv.

Au fost stabilite astfel elementele de bază ale unui accelerator de particule. Ele

sunt:

- sursa de particule/ioni;

- camera de accelerare;

- camera de reacţie - include ţinta;

- dispozitiv de putere pentru sursa de ioni, camera de accelerare ş.a.;

- sistem de alimentare cu atomi pentru sursa de ioni;

- pompe de vid şi sistem de asigurare a vidului;

- colector de fascicul.

În Fig.I.1. este prezentată schema bloc a unui accelerator.

Pentru orice accelerator sau sistem de accelerare este foarte important să se

estimeze rata de reacţie pentru un anumit tip de interacţie, la o energie dată. Rata de

reacţie, R, se defineşte ca fiind produsul dintre secţiunea eficace a procesului de interacţie

la energia respectivă, , şi luminozitatea fasciculului, L:

R = .L . (I.7)

Luminozitatea fasciculului, L, este dată de relaţia următoare:

L = (nNi)/A , (I.8)

unde este frecvenţa, pentru fascicul, n este numărul de “mănunchiuri” de particule, Ni

este numărul de particule dintr-un “mănunchi” (bunch), iar A este aria fasciculului.

Pentru sisteme de accelerare de tip “collider” trebuie să se ia în considerare numărul de

particule din fiecare “mănunchi” şi relaţia (I.8) se va scrie astfel:

L = (nNi1Ni2)/A . (I.9)

Dispozit

iv

putere

Surs

a

ioni

Ali

Camera de

accelerare

Colect

or

fascicu

l

Pompa

Fig.I.1. Schema bloc a unui accelerator

De la primul accelerator liniar realizat de către fizicianul norvegian Wideroe, în

anul 1928, şi de la primul accelerator circular realizat de către fizicianul american

Lawrence, între anii 1928 şi 1932, [17,18] acceleratori de particule şi de ioni grei au

cunoscut numeroase dezvoltări şi perfecţionări, de la sursa de ioni şi sistemul de obţinere

a vidului la forma şi intensitatea câmpului accelerator [19,20]. În experimentele de interes

din Fizica nucleară, Fizica particulelor elementare şi Fizica nucleară relativistă se

folosesc, de cele mai multe ori, sisteme complexe de acceleratori pentru obţinerea naturii,

energiei şi intensităţii dorite pentru fascicule. De aceea, este utilă cunoaşterea

caracteristicilor generale ale unora dintre acceleratorii folosiţi în astfel de sisteme de

acceleratori.

II.2.2. Tipuri de acceleratori pentru experimente de Fizică nucleară

relativistă

În sistemele complexe de acceleratori folosite în experimente de Fizică nucleară

relativistă cele mai folosite tipuri de acceleratori sunt: acceleratori liniari (tip Alvarez sau

tandem), ciclotroane, sincrotroane sau sicrofazotroane de diferite tipuri (cu focalizare

slabă, cu focalizare tare, cu gradient alternant), inele de stocare, collider-i. În unele

situaţii, pentru preaccelerarea şi injecţia fasciculului de ioni grei se mai pot folosi şi alte

tipuri de acceleratoare liniare. Unele acceleratoare de electroni pot fi folosite pentru

“dezbrăcarea” de electroni a unor ioni care trebuie să fie acceleraţi, ceea ce măreşte

sarcina specifică şi uşurează procesele de accelerare.

Clasificarea acceleratorilor se poate face după foarte multe criterii. Unul din cele mai

utilizate criterii este cel al formei traiectoriei particulelor care sunt accelerate. Conform

acestui criteriu avem de a face cu acceleratori liniari şi cu acceleratori circulari (ciclici).

Un alt criteriu este legat de modul de producere a tensiunii înalte necesare pentru

accelerare. Printre cele mai răspândite metode sunt cele legate de folosirea generatorilor

electrostatici (acceleratorii respectivi sunt numiţi şi acceleratori statici) şi a oscilatorilor

de înaltă frecvenţă (acceleratorii respectivi sunt numiţi şi acceleratori de rezonanţă). În

multe situaţii de interes există posibilitatea combinării celor două criterii.

Acceleratorii statici cei mai cunoscuţi sunt: acceleratori cu generatori tip Van de Graaff;

acceleratori cu generatori tip Crockcroft-Walton; acceleratori cu transformator cu miez

izolator. Toţi sunt acceleratori care determină traiectorii liniare ale particulelor/ionilor

acceleraţi. Dintre aceştia, cel mai folosit în experimente de Fizică nucleară relativistă este

acceleratorul tandem. El face parte din categoria acceleratorilor cu generatori tip Van de

Graaff. Într-un astfel de accelerator, tip Van de Graaff, o sarcină electrică Q este

transportată la unul din capetele unui condensator având capacitatea C. Tensiunea

electrică obţinută, C

QV , este folosită pentru accelerarea ionilor. Sarcinile electrice

pozitive sunt pulverizate pe o bandă izolatoare folosind o tensiune de 20-30 kV. Ele sunt

transportate la terminalul condensatorului de către banda izolatoare, mişcată cu ajutorul

unui motor. Transferul sarcinilor electrice pe terminal este asigurat de un sistem de perii

aflat în interiorul electrodului condensatorului. Ionii pozitivi sunt produşi în sursa de ioni

şi sunt acceleraţi în coloana de accelerare. Fasciculul care iese din această coloană este, în

cele mai multe cazuri, deflectat de către un magnet pe ţintă. Sistemul care permite

accelerarea poate fi plasat în aer sau într-o incintă închisă care conţine un gaz izolator

aflat la presiune înaltă. În primul caz, tensiunile care se pot obţine sunt mai mici decât

tensiunile care se pot obţine în cel de al doilea caz. Valoarea maximă este în jur de 12

MV. Acceleratorul de tip tandem care foloseşte un generator de înaltă tensiune de tip Van

de Graaff are avantajul că poate dubla această tensiune. La acest tip de accelerator

terminalul se află la mijlocul incintei care conţine gazul la presiune înaltă. La unul din

capete se află sursa de ioni care asigură ioni negativi. Aceştia sunt acceleraţi spre

terminalul central. Aici ei sunt “dezbrăcaţi” de cel puţin doi electroni prin trecerea printr-

o foiţă de “dezbrăcare” sau printr-un canal care conţine un gaz de “dezbrăcare”. Ionii

pozitivi obţinuţi sunt acceleraţi spre celălalt capăt al incintei şi ating o energie

corespunzătoare unei tensiuni de accelerare duble. Cu acceleratori de tip tandem se pot

obţine fascicule de intensitate mare (până la 100 A) şi cu o rezoluţie energetică bună

(până la 10 keV). Nu se pot obţine energii prea mari (maxim 40 MeV pentru protoni, în

prezent). Pot fi foarte utili în experimente de stabilire a structurii nucleare şi pot fi folosiţi

ca sisteme de preaccelerare şi injecţie în experimente de Fizică nucleară relativistă.

Energii de accelerare mai mari pot fi obţinute cu ajutorul unor acceleratori liniari

care folosesc oscilatori de înaltă frecvenţă. Sunt cunoscute două căi de realizare a

procesului de accelerare. Prima este legată de idea iniţială a lui Wideroe. O serie de

tuburi cilindrice, cu lungimi care cresc după fiecare interval de accelerare, sunt conectate

la un oscilator de înaltă frecvenţă. Tuburile succesive au polarităţi opuse. Sursa de ioni

asigură injectarea ionilor pe axa tuburilor de accelerare. În interiorul tuburilor de

accelerare câmpul electric este nul. În spaţiile dintre tuburi valoarea câmpului electric

alternează cu frecvenţa oscilatorului. Pentru a asigura accelerarea particulelor/ionilor de

interes este necesară asigurarea unei legături între lungimea tubului, viteza de deplasare a

particulelor/ionilor în tub şi frecvenţa câmpului electric accelerator. Această legătură

impune necesitatea ca particula cu sarcină accelerată să ajungă în intervalul de accelerare

dintre tuburi atunci când câmpul electric (tensiunea de accelerare) este în zona valorii

maxime. Deoarece viteza particulei/ionului creşte în fiecare interval de accelerare este

necesar ca lungimea unui tub să crească după fiecare interval de accelerare, ceea ce face

ca lungimile atinse de astfel de acceleratori să devină foarte mari. De exemplu, un

accelerator liniar care asigură accelerarea electronilor la energii de 20 GeV atinge o

lungime de 3.2 km (2 mile) {Centrul pentru Acceleratori Liniari de la Stanford [Stanford

Linear Accelerator Center (SLAC)], SUA}. Cel mai mare accelerator liniar de protoni se

află la Los Alamos, SUA. Aici sunt acceleraţi protoni la 800 GeV, valoarea curentului

obţinut fiind de 1 mA. Un ajutor deosebit în accelerarea cu astfel de maşini îl dă

folosirea magneţilor supraconductori şi a vidului foarte înalt.

Folosirea acceleratorilor liniari ridică probleme de optica fasciculului de particule cu

sarcină deosebite [19,32]. O altă problemă importantă este legată de lungime mare pe

care trebuie să o aibă un accelerator liniar pentru a se obţine energii foarte mari. De

aceea, încă de la începuturile activităţii în domeniul Fizicii acceleratorilor s-a pus

problema înlocuirii acestui mod de accelerare cu un altul care să permită mişcarea

particulelor cu sarcină pe traiectorii circulare şi câştigarea de energie suplimentară prin

treceri succesive prin acelaşi interval de accelerare. Prima realizare de acest fel aparţine

fizicianului american E.O.Lawrence [19,32,51]. Între 1928 şi 1930 el a conceput un nou

tip de accelerator, care a fost denumit ciclotron [52,53].

Ciclotronul este primul accelerator ciclic realizat. El foloseşte un câmp magnetic extern.

Într-un plan perpendicular pe câmp se mişcă particula cu sarcină pe o traiectorie

circulară. Pentru particule accelerate la viteze nerelativiste raza de curbură este

proporţională cu viteza. Crescând raza de curbură creşte şi energia. De aceea, la

ciclotronul clasic se poate accelera continuu particula utilizând o frecvenţă de accelerare

fixă. Câmpul magnetic este constant şi se aplică perpendicular pe două piese cu forme

semicirculare, numite duanţi. Între cei doi duanţi se aplică tensiunea electrică de

frecvenţă mare şi în acest interval se face accelerarea particulei. În interiorul duanţilor

acţionează numai câmpul magnetic şi de aceea traiectoria este semicirculară într-un

duant. Ca urmare a trecerii prin intervalul de accelerare dintre duanţi particula cu sarcină

câştigă energie şi îşi modifică raza de curbură, în sensul creşterii ei. Acest lucru se repetă

la fiecare trecere prin intervalul de accelerare. De aceea, traiectoria completă a particulei

în ciclotron este sub formă de spirală. La un ciclotron sursa de ioni se află în centru, în

spaţiul dintre duanţi. Extragerea fasciculului se face cu ajutorul unor electrozi de

extracţie.

Ciclotronul nu este util pentru accelerarea electronilor, deoarece ei devin repede

relativişti şi realizarea condiţiilor necesare pentru frecvenţă şi câmp magnetic sunt extrem

de dificil de rezolvat din punct de vedere tehnologic. Pentru electroni se foloseşte, ca

accelerator ciclic, cu diferite aplicaţii, betatronul. În acest caz traiectoria este circulară şi

raza creşte la fiecare trecere prin intervalul de accelerare, până la atingerea razei maxime,

corespunzătoare tensiunii de accelerare maxime şi energiei maxime pentru care a fost

construit.

Pentru cazul în care efectele relativiste devin importante – pentru alte particule cu sarcină

decât electronul – folosirea ciclotronului clasic nu mai este indicată. Pentru energii mari,

la care efectele relativiste sunt importante, s-a construi ciclotronul izocron sau

sincrociclotronul. Se bazează pe modularea în frecvenţă şi este extrem de util pentru

injectarea de particule cu sarcină sau ioni grei în alţi acceleratori. Cu ajutorul unui astfel

de ciclotron se pot accelera protoni până la 10 GeV şi ioni grei cu energii până la 1

GeV/nucleon.

Construirea sincrociclotronului este un pas intermediar spre unul din cele mai folosite

tipuri de acceleratori în Fizica energiilor înalte şi Fizica nucleară relativistă, anume:

sincrotronul. Acest tip de accelerator a fost propus independent de către Veksler [54] şi

McMillan [55], în anul 1945. Ei au plecat de la observaţia că se poate folosi un câmp

magnetic mai mic la momentul injectării particulei cu sarcină, urmând să fie crescut

ulterior, succesiv, corespunzător cu câştigul de energie al particulei accelerate. În acest

fel se puteau înlocui duanţii – ale căror dimensiuni trebuiau să crească foarte mult cu

creşterea energiei – cu cavităţi de radiofrecvenţă mai simple. Apăreau 2 probleme noi

legate de stabilitatea de fază şi de focalizare. Veksler şi McMillan au considerat că

datorită trecerii periodice a fasciculului prin câmpul de radiofrecvenţă şi faptului că

timpul cât stă pe orbită o particulă depinde de energia sa trebuie să apară tendinţa

particulelor de a se grupa la o anumită fază a câmpului de radiofrecvenţă. În consecinţă,

particulele cu exces de energie se mişcă mai rapid pe orbită şi ajung la o anumită fază

mai devreme decât cele care se mişcă cu viteze mai mici. De aceea, ele “văd” un câmp de

radiofrecvenţă mai mic. În schimb, cele care au energii mai mici şi se mişcă mai lent pe

orbită ajung să “vadă” câmpul de radiofrecvenţă pentru o fază ulterioară şi sunt mai

puternic accelerate. Din aceste motive particulele cu sarcină injectate într-un domeniu de

faze, corespunzător caracteristicilor câmpului de radiofrecvenţă avut la dispoziţie, vor

avea energii în jurul energiei dorite. Pentru fiecare accelerator de acest tip se defineşte o

arie de stabilitate. Într-o reprezentare p (depărtarea de la impulsul corect)-

(depărtarea de la faza corectă) aria de stabilitate are o formă specifică cunoscută sub

numele de diagramă “peşte”. În interiorul arie de stabilitate avem stabilitatea procesului

de accelerare, iar în exterior avem instabilitatea acestuia.

În acest fel este rezolvată problema stabilităţii de fază. Rămâne de rezolvat problema

focalizării la astfel de acceleratori. Necesitatea focalizării este determinată de

împrăştierea în viteze transversale şi poziţii a particulelor cu sarcină injectate, în raport cu

traiectoria ideală a fasciculului, la energia considerată. În plus, efectele de sarcină spaţială

cresc aceste divergenţe. De aceea, sunt necesare mecanisme care să împiedice creşterea

acestor divergenţe. Trebuie spus că problema focalizării se pune pentru toate tipurile de

acceleratori. Primele tipuri de acceleratori au fost cu focalizare slabă. Cea mai delicată

problemă în realizarea focalizării este determinată de oscilaţiile în plan vertical, în raport

cu un câmp magnetic uniform. Efectele de focalizare sunt legate de indicele câmpului

magnetic. Mărimea se defineşte astfel:

r

dr

B

dB

n . (I.10)

Se cunosc trei tipuri de acceleratori de tip sincrotron: cu focalizare slabă, cu focalizare

tare, cu gradient alternant.

Acceleratorii de acest tip se numesc, în general, sincrotroane. În ţările din fost Uniune

Sovietică ele au fost denumite – datorită necesităţii stabilităţii de fază, care implică

sincronizarea fazelor – sincrofazotroane.

Principiul de funcţionare al sincrotronului este următorul: injectorul trimite particulele cu

sarcină cu o energie iniţială Ein în inelul de accelerare. Dipolii magnetici montaţi pe

inelul de accelerare determină curbarea traiectoriilor particulelor cu sarcină. Colimarea

fasciculului este menţinută cu ajutorul magneţilor cuadrupolari. Accelerarea particulelor

se face cu ajutorul unui număr de cavităţi de radiofrecvenţă. Traiectoria reală a

particulelor cu sarcină în sincrofazotron implică segmente în linie dreaptă - în interiorul

cavităţilor care determină accelerarea particulelor cu sarcină, elementelor de focalizare,

precum şi a altor elemente - şi segmente circulare - în interiorul magneţilor de curbare a

traiectoriei. Raza inelului de accelerare, R, este mai mare decât raza de curbură, .

Deoarece în sincrotron nu se poate face accelerarea direct la energia finală Ef într-un

singur inel de accelerare este necesar ca particulele cu sarcină să fie preaccelerate în

acceleratori mai mici.

Cu ajutorul sincrotroanelor s-au accelerat, iniţial, electroni şi protoni. La accelerarea

acestor particule la energii mari se pierde energie prin radiaţie. Pierderea aceasta este

cunoscută ca radiaţie sincrotronică. Folosind Electrodinamica clasică se poate arăta că

pierderea este semnificativă pentru electroni. Raportul energiilor pierdute este

proporţional cu puterea a patra a inversului raportului maselor, anume:

13

4

10)(

)(

e

p

m

m

pE

eE

Primul sincrotron de protoni a fost construit în anul 1952, la Laboratorul Naţional

Brrokhaven, Upton, New York, SUA. El accelera protoni la o energie maximă de 3 GeV şi

purta numele de Cosmotron. În anul 1957 s-a construit – la IUCN Dubna (fosta URSS) –

cel mai mare sincrofazotron. El accelera protoni la 10 GeV şi s-a numit, de aceea, U-10

(“uscariteli” înseamnă accelerator în limba rusă; de aici vine litera U în denumirea sa).

Datorită calităţilor şi particularităţilor constructive sincrotroanele au fost folosite ca

acceleratori de bază pentru sistemele de accelerare folosite în primele experimente de

Fizică nucleară relativistă.

Necesitatea reducerii costurilor mari implicate de folosirea acceleratorilor în experimente

cu ţintă fixă - experimente desfăşurate în sistemul laboratorului (SL) – a impus

construirea de acceleratori care să permită realizarea unor experimente cu fascicule care

se ciocnesc, experimente realizate direct în sistemul centrului de masă (SCM). Idea

aparţine lui Kerst şi colaboratorilor săi [56], precum şi lui O’Neill, din anul 1956 [57]. Ea

a fost pusă în aplicare în deceniul al VII-lea al secolului XX. Pentru punerea ei în aplicare

a fost necesară rezolvarea unor probleme legate de: obţinerea unui vid înalt, creşterea

intensităţii fasciculelor care se ciocnesc, realizarea focalizării tari a fasciculelor.

Primele sisteme de accelerare care au permis ciocniri în sistemul centrului de masă au

fost cele bazate pe inele de stocare care se intersectează. Ele au fost construite pentru

prima oară la Centrul European de Cercetări Nucleare (CERN) de la Geneva. Primele au

fost folosite pentru accelerarea protonilor. Modul de operare pentru un astfel de sistem de

accelerare este următorul: particulele cu sarcină (protonii) sunt accelerate într-un

sincrotron. După accelerare, sunt extraşi printr-un canal tangent la traiectorie şi îndreptaţi

către un dispozitiv de stocare şi comutare. Un magnet analizator permite trimiterea de

“mănunchiuri” de particule, alternativ, pe cele două ramuri ale unui sistem de tip “furcă”

cu două braţe. De pe fiecare ramură a “furcii” particulele sunt injectate în câte un inel de

stocare. Direcţiile de deplasare sunt opuse. Cele două inele de stocare, practic, se

suprapun. Ambele au cavităţi de accelerare cu radiofrecvenţă care cresc energia fiecărui

“mănunchi” de particule cu cantitatea minimă necesară depărtării de la orbita de injectare

iniţială. Următorul puls poate fi şi el plasat într-o manieră similară, ş.a.m.d. În acest fel

multe particule cu sarcină (protoni) pot fi stocate în inel. Un astfel de inel poate accepta

până la 400 de pulsuri, iar curenţii care se pot obţine pot avea până la 20 A. Ciocnirile

dintre fascicule se pot produce într-un anumit număr de intersecţii.

Sistemele de accelerare construite în ultimii ani care permit obţinerea de ciocniri în

sistemul centrului de masă sunt cunoscute sub numele de collider-i. Ele pot accelera

inclusiv ioni grei cu număr de masă mare (A 200). Primul sistem de accelerare pentru

protoni şi ioni grei relativişti a fost construit la Laboratorul Naţional Brookhaven din

Upton, Long Island, New York, SUA şi se numeşte Collider-ul pentru Ioni Grei

Relativişti [Relativistic Heavy Ion Collider (RHIC)]. Performanţele sale sunt prezentate

la sfârşitul acestei părţi a cursului.

Energia obţinută este foarte mare, în raport cu cele obţinute în experimente cu ţintă fixă.

Folosind cinematica relativistă [58] se poate stabili câştigul imens de energie care îl

asigură un astfel de accelerator care permite experimente direct în sistemul centrului de

masă.

Un invariant relativist important este masa totală a particulelor generate, M, definită în

modul următor:

2

2

1

2

1

MpEN

j

j

N

j

j

, (I.11)

unde N este numărul total de particule din starea finală.

Pătratul energiei disponibile în sistemul centrului de masă se poate determina

folosind cuadrivectorii energie-impuls pentru particula/ionul proiectil, PP, respectiv,

pentru particula/ionul ţintă, PT. Se poate scrie:

2)( TP PPs . (I.12)

Pentru experimente cu ţintă fixă expresia pătratului energiei disponibile în sistemul

centrului de masă este de forma următoare:

TPTP mEmms 222 , (I.13)

unde mP este masa particulei/ionului proiectil, mT este masa particulei/ionului ţintă, iar

22

PPP pmE este energia totală a particulei/ionului proiectil.

În cazul sistemelor de accelerare de tip inele de stocare sau collider pătratul energiei

disponibile în sistemul centrului de masă se poate scrie astfel:

TPTPTP ppEEmms 2222 . (I.14)

Având în vedere faptul că la astfel de acceleratori particulele sau ionii care se ciocnesc

sunt de acelaşi tip – deci 222 mmm TP - şi că 22 mp , pătratul energiei disponibile în

sistemul centrului de masă se poate scrie în forma următoare:

TP EEs 4 . (I.15)

Folosind relaţiile de mai sus se poate arăta că există într-adevăr o mare economie

de energie folosind sisteme de acceleratori de tip “inele de stocare” sau “collider”. Într-un

experiment desfăşurat la CERN Geneva, folosind sistemul de accelerare cu inele de

stocare (ISR = Interscting Storage Ring), se pot accelera protoni cu impulsul de 30

GeV/c. Energia disponibilă în sistemul centrului de masă, conform relaţiei (I.15) este de

60 GeV. Pentru a obţine aceeaşi energie într-un experiment cu ţintă fixă este necesară o

energie a fasciculului incident de protoni de circa 1920 GeV! Se observă uşor economia

realizată folosind astfel de acceleratori!

II.2.3. Sisteme de acceleratori pentru experimente

de Fizică nucleară relativistă

Cea de a doua etapă a început odată cu intrarea în funcţiune a primului sistem de

accelerare pentru ioni grei relativişti, în luna august a anului 1970, la Institutul Unificat

de Cercetări Nucleare (IUCN) de la Dubna (azi, în Rusia) [3-6,19,20]. Acest sistem de

accelerare a fost Sincrofazotronul U-10 - care accelera până atunci protoni la energii de

10 GeV - dotat cu o nouă sursă de ioni şi un accelerator liniar intermediar pentru

injectarea fasciculului dorit în sincrofazotron. Dacă la început se puteau accelera numai

deuteroni la 4.5 A GeV/c, după anul 1974 - când s-a pus în funcţiune o nouă sursă de

ioni - s-au putut accelera, la aceeaşi energie pe nucleon, nuclee cu numere de masă A

20. Sursa de ioni folosită era cu fascicul de electroni şi criogenizată. Ea se numeşte

CREBIS (CREBIS = CRyogenic Electron Beam Ion Source). Ea necesită un vid înalt (10-

11 Torr) şi un câmp magnetic longitudinal intens. Principiul de funcţionare este

următorul: o anumită cantitate de ioni unisarcină ai elementului de accelerat este

introdusă într-un fascicul de electroni de densitate foarte mare (sute de A/cm2), ionii

suferă oscilaţii radiale sub acţiunea câmpului electric al sarcinii spaţiale electronice, iar

în urma interacţiilor electron-ion se produc ionizări multiple ale ionilor unisarcină

iniţiali, ceea ce face mai uşoară accelerarea acestora. Intensităţile atinse sunt cuprinse

între 104 (

20Ne) şi 10

12 (d) nuclee/puls.

Până în anul 1986 s-au pus în funcţiune şi alte sisteme de accelerare pentru ioni

grei relativişti, energia la care se făcea accelerarea fiind de câţiva GeV/nucleon. Astfel, în

anul 1971 s-a pus în funcţiune - pentru numai 1 an - un sistem de accelerare pentru ioni

grei relativişti la Princeton (S.U.A.) [3-6,19,20].

Tot în anul 1971, la Lawrence Berkeley Laboratory (S.U.A.), s-au făcut primele

experimente de Fizică nucleară relativistă folosindu-se tot un sincrotron de protoni

modificat, anume Bevatron-ul [3-6,19-23]. În acest tip de experimente s-au folosit două

variante de sisteme de acceleratori, anume:

(a) Bevatron-ul - care implică sursa de ioni, un accelerator liniar de ioni grei de energii

joase (5 MeV/nucleon) - ca injector - şi sincrotronul Bevatron;

(b) Bevalac-ul - care implică aceeaşi sursă de ioni, un accelerator liniar de ioni grei de

energii joase, cunoscut sub numele de Superhilac (8.5 MeV/nucleon) - ca injector - şi

sincrotronul Bevatron.

Sistemul de acceleratori Bevatron permite accelerarea numai a nucleelor de 4He şi

12C la energii cuprinse între 0.1 şi 2.1 GeV/nucleon, iar sistemul de accelerare Bevalac

permite accelerarea nucleelor cu numere de masă cuprinse între 6 şi 20 la energii cuprinse

tot între 0.1 şi 2.1 GeV/nucleon. Intensităţile fasciculelor sunt cuprinse între 108-10

10

nuclee/fascicul la ambele sisteme de accelerare, iar ratele de extragere a fasciculelor sunt

cuprinse între 10 fascicule/min (pentru energii mai mari de 0.4 GeV/nucleon) şi 15

fascicule/min (pentru energii mai mici de 0.4 GeV/nucleon).

Trebuie menţionat faptul că sistemul de acceleratori Bevalac permite accelerarea

unor nuclee cu numere de masă mult mai mari, şi anume: 40

Ar, 56

Fe, 93

Nb, 238

U, la energii

până la 1.8 GeV/nucleon şi intensităţi între 104 şi 10

8 nuclee/fascicul.

Pentru unele studii de Fizică nucleară relativistă a fost folosit şi sistemul de

accelerare Saturne de la Saclay (Franţa). Acest sistem de accelerare permite accelerarea

nucleelor de 4He la energia de 1.2 GeV/nucleon, iar intensitatea fasciculului era de 2.10

10

nuclee/fascicul la o rată de 15 fascicule/min. Alte tipuri de nuclee, cu numere de masă

mai mari, se pot accelera numai până la energii de câteva sute de MeV/nucleon.

Din anul 1986 s-au folosit pentru studii de Fizică nucleară relativistă şi alte

sisteme de accelerare care erau menite să asigure energii de accelerare mai mari pentru

unele nuclee cu numere de masă mai mari [8-11,13,24].

Astfel, la Brookhaven National Laboratory (Laboratorul Naţional Brookhaven)

din S.U.A. a intrat în funcţiune, pentru experimente de Fizică nucleară relativistă - în

toamna anului 1986 - Sincrotronul cu gradient alternant [Alternating Gradient

Synchrotron (AGS)], folosit anterior numai pentru accelerarea protonilor. Cu ajutorul

acestui sistem de accelerare nuclee cu numere de masă până la A = 32 sunt accelerate la

energii de până la 15 GeV/nucleon. În acest caz sincrotronului de protoni i-a fost ataşată

o sursă de ioni corespunzătoare şi un accelerator de tip tandem ca injector. Ulterior, aici

s-au accelerat şi nuclee cu numere de masă A < 200, la energii în jur de 11 A GeV.

Tot din toamna anului 1986 Supersincrotronul de protoni de la CERN Geneva

[Super Proton Synchrotron (SPS)] a început să fie folosit şi el în studii de Fizică nucleară

relativistă. În acest caz se pot obţine ioni grei relativişti având energii de 60

GeV/nucleon, respectiv, 200 GeV/nucleon [8,11,13,24]. Numerele de masă erau, iniţial,

până la 32. Apoi ele au fost crescute până la numere de masă mari, specifice aurului

(197), plumbului (208) sau uraniului (238) [8,11,13,24]. De această dată între sursa de

ioni cu rezonanţă ciclotronică şi sincrotron se află un întreg sistem de acceleratori care

cuprinde: un preaccelerator de tip Alvarez [9], un accelerator liniar de energii joase (de

ordinul energiei de legătură pe nucleon în nucleu), un sincrotron. Acest din urmă

sincrotron din sistemul de acceleratori folosit ca injector permite obţinerea de ioni

complet "dezbrăcaţi" cu o energie de 10 GeV/nucleon.

După anul 1986 în "familia" laboratoarelor care dispun de sisteme de accelerare

pentru studii de Fizică nucleară relativistă a intrat şi Institutul de Cercetări pentru Ioni

Grei [GSI (Gesellschaft für Schwerionenforschung)] din Darmstadt, Germania. Din anul

1990 funcţionează sistemul de accelerare format din sincrotronul de ioni grei şi inelul de

stocare şi răcire cu electroni SIS-ESR [2,25]. Marele avantaj al acestui sistem de

accelerare constă în faptul că poate accelera ioni grei cu numere de masă A 238 la orice

energii până la 2 GeV/nucleon. Inelul de stocare şi răcire cu fascicul de electroni permite

"dezbrăcarea" completă de electroni a atomilor, indiferent de numărul de masă. Cu acest

sistem de accelerare se obţin cele mai mari luminozităţi; se pot obţine, de asemenea, şi

fascicule radioactive [10].

Sistemul de accelerare complet este format din: sursă de ioni cu rezonanţă

ciclotronică, accelerator liniar care furnizează fascicule de ioni grei pentru toate

elementele cu energii până la 20 MeV/nucleon şi care reprezintă un injector pentru

următoarea componentă a sistemului, anume sincrotronul de ioni grei de energie medie,

iar ca ultimă componentă se numără inelul de stocare şi răcire. Mai este prevăzut şi cu un

separator de fragmente care permite, în principal, obţinerea de fascicule secundare,

radioactive. Acest sistem de accelerare mai este dotat şi cu alte facilităţi ceea ce îl face

extreme de manevrabil, performant şi relativ uşor de modificat pentru creşterea

performanţelor tehnice.

II.2.3. Perspective în dezvoltarea sistemelor de accelerare

În general, toate marile laboratoare care dispun de sisteme de accelerare pentru

ioni grei relativişti au fost şi sunt preocupate de creşterea performanţelor tehnice ale

sistemelor de accelerare de care dispun. Eforturile sunt îndreptate, în principal, spre

creşterea energiei pe nucleon a nucleelor incidente, creşterea numerelor de masă ale

nucleelor incidente, mărirea intensităţii şi luminozităţii fasciculului incident. Pe de altă

parte, o atenţie deosebită s-a acordat introducerii sistemelor de accelerare de tip

“collider”.

Printre sistemele de accelerare intrate în funcţiune recent se numără şi Nuclotron-

ul de la IUCN Dubna [26,27] - care asigură accelerarea unor nuclee cu A 30 la energii

în jur de 7 GeV/nucleon - şi a Numatron-ului de la Tokyo. Sunt în pregătire şi alte

sisteme de accelerare, cum ar fi: Tevalac-ul de la LBL (S.U.A.), Saturne+Mimas de la

Saclay (Franţa) ş.a.

Cele mai importante eforturi ale comunităţii ştiinţifice internaţionale au fost şi

sunt, însă, concentrate pentru realizarea - la sfârşitul mileniului al doilea, respectiv, în

primul deceniu al mileniului al treilea - a două mari sisteme de accelerare, de tip

"collider", la BNL şi, respectiv, CERN [26-29], sisteme care să confirme intrarea în cea

de a treia perioadă a a etapei sistemelor de accelerare.

Sistemul de accelerare de la BNL, numit RHIC - adică Reltivistic Heavy Ion

Collider (Collider-ul de Ioni Grei Relativişti) - are la bază Sincrotronul cu Gradient

Alternant şi acceleratoarele de injecţie existente. Lor le-au fost adăugate o nouă sursă de

ioni, un ciclotron - intrat deja în funcţiune înainte de 1999, un sincrotron şi un "collider".

Acest sistem de accelerare permite ciocniri de nuclee cu A 200 la energii de câteva sute

de GeV/ nucleon, în sistemul centrului de masă. În prezent, collider-ul de ioni grei

relativişti de la Laboratorul Naţional Brookhaven din SUA poate accelera ioni de aur la

energii disponibile în sistemul centrului de masă cuprinse între 56 A GeV şi 200 A GeV

(28 A GeV/c, respectiv, 100 A GeV/c, în sistemul laboratorului). Primele testări au fost

făcute în cursul anului 1999, iar primele experimente s-au desfăşurat în vara anului 2000

la toate sistemele de detectori asociate, la energii în SCM de 56 A GeV şi 130 A GeV. Ele

au continuat în anul 2001 la energii în SCM de 200 A GeV, tot pentru ciocniri Au-Au.

Fizicienii români au participat activ la desfăşurarea achiziţiei de date experimentale

pentru ciocniri Au-Au folosind sistemul de detectori BRAHMS [28,30].

La CERN este în lucru un alt sistem de accelerare, care va fi folosit pentru studii

în domenii diverse ale Fizicii energiilor înalte, inclusiv de Fizică nucleară relativistă. El

se numeşte LHC (Large Hadron Collider) şi va intra în funcţiune în primul deceniu al

secolului XXI. Ca şi marea majoritate a celorlalte sisteme el foloseşte sistemele de

accelerare anterioare. În acest caz este vorba despre SPS (Super Proton Sincrotron –

Supersincrotronul de protoni) şi sistemele asociate. Este important de arătat că noul

sistem de accelerare va permite accelerarea unor nuclee cu A 200 până la energii de

câţiva TeV/nucleon. De exemplu, se vor putea accelera nuclee de plumb (A = 208)

asigurându-se energii totale disponibile în sistemul centrului de masă de 1262 TeV,

luminozităţi în jur de 1.8x1027

cm-2

s-1

şi intensităţi de 5x1010

ioni/fascicul [26].

Rezultatele preliminarii sunt încurajatoare, având în vedere faptul că s-a reuşit deja - cu o

nouă sursă de ioni la SPS - să se accelereze ioni de Pb la 168 GeV/nucleon încă din

toamna anului 1994 [11,13].

Capitolul al III-lea

Detectarea particulelor generate

în ciocniri nucleare relativiste

III.1. Consideraţii generale asupra detectării radiaţiilor nucleare

III.1.1. Introducere

Detectarea radiaţiilor nucleare se bazează pe procesele de interacţie dintre radiaţia

nucleară şi materie. De aceea, pentru orice tip de radiaţie nucleară – particule cu sarcină

de mase diferite (de la electroni la ioni grei), particule neutre cu masă de repaus nenulă,

radiaţii electromagnetice ş.a. – trebuie bine cunoscute aceste procese [12,14,15,31,32].

Prin procesul de interacţie, radiaţiile nucleare transferă o parte din energia lor – uneori,

toată energia disponibilă – mediului cu care interacţionează. Acesta este principiul

fundamental al detectării radiaţiilor nucleare. Particulele cu sarcină transferă energia lor

materiei prin ciocniri directe cu electronii atomilor, ceea ce provoacă excitarea sau

ionizarea atomilor. Radiaţia neutră (fără sarcină electrică) trebuie să sufere o reacţie cu

materia care să conducă la particule cu sarcină care, la rândul lor, excită şi/sau ionizează

atomii mediului respectiv. Forma sub care apare energia convertită în mediu depinde de

structura şi proprietăţile detectorului.

Trebuie menţionat faptul că, uneori, prin sistem de detecţie se înţelege detectorul de

radiaţii şi sistemul de prelucrare a semnalului [31,32].

Remarcă În curs, termenul de sistem de detecţie este folosit, uneori, şi pentru a descrie

sisteme mari de detectori folosiţi în experimente complexe de Fizică nucleară relatvistă,

cu luarea în considerare a sistemelor de prelucrare a semnalelor.

Orice detector de radiaţii nucleare este format din 3 părţi componente importante,

şi anume:

volumul sensibil;

elementele de structură;

sistemul de formare a semnalului.

În volumul sensibil se produc interacţiile dintre radiaţiile nucleare şi materie. În urma

acestor interacţii se obţine informaţia necesară. Sistemul de formare a semnalului permite

extragerea informaţiei obţinute în volumul sensibil şi pregătirea ei pentru sistemul de

prelucrare a semnalului. Elementele de structură implică acea parte a detectorului de

radiaţii care permite menţinerea volumului sensibil, sistemului de formare a semnalului

şi, eventual, a sistemelor de alimentare cu curent electric sau tensiune electrică, într-un tot

unitar. La mulţi detectori de radiaţii nucleare, printre elementele de structură se numără şi

fereastra de intrare. Această fereastră de intrare trebuie să fie transparentă la radiaţia

nucleară care este detectată. Trebuie remarcat că orice detector trebuie să dea un semnal

de ieşire.

Natura volumului sensibil al detectorului şi natura semnalului de ieşire dat de

detector sunt două criterii importante pentru clasificarea acestora. De aceea, se vorbeşte

despre detectori cu gaz, detectori lichizi (cu lichid), detectori solizi (cu corp solid),

respectiv, de detectori cu semnal electric şi detectori cu semnal neelectric. Pentru fiecare

tip de detector se obţin diferite semnale de ieşire, iar pentru fiecare tip de semnal există

metode diferite de prelucrare [12,14,15,31-35].

Prezentarea detectorilor de radiaţii nucleare se poate face din mai multe puncte de

vedere. Cele mai des folosite sunt cele care discută tipurile de detectori în termeni de

structură şi mod de operare. O altă cale de interes este cea a funcţiilor specifice

îndeplinite de detectori. Prima cale este de interes mai mare pentru cei care gândesc şi

construiesc diferite tipuri de detectori, iar cea de a doua cale este de folos pentru cei care

utilizează diferiţi detectori. O tratare completă implică ambele căi.

III.1.2. Proprietăţile şi funcţiile detectorilor

Aspectele menţionate anterior referitoare la detectorii de radiaţii nucleare pot fi

înţelese mai bine şi sunt legate mai profund prin proprietăţile fundamentale ale

detectorilor şi sistemelor de detecţie. Trebuie arătat faptul că tipul de detector determină

proprietăţile fundamentale, iar proprietăţile detectorului permit stabilirea funcţiilor

detectorului.

Detectorii pot avea şase proprietăţi fundamentale, şi anume:

1. Detecţia

2. Formarea semnalului de ieşire

3. Discriminarea

4. Măsurarea de energie

5. Măsurarea de timp

6. Măsurarea de poziţie

Din cele 6 proprietăţi prezentate numai 2 sunt comune tuturor detectorilor, anume:

detecţia şi formarea semnalului de ieşire.

Cele şase proprietăţi fundamentale menţionate determină cinci funcţii de bază pentru

detectorii de radiaţii. Acestea sunt:

1. Numărarea

2. Măsurarea de energie (Spectrometria de amplitudine a pulsurilor)

3. Măsurarea de poziţie (Formarea de imagini şi traiectorii)

4. Măsurarea de timp (Obţinerea de informaţii temporale)

5. Dozimetria radiaţiilor nucleare

Fiecare proprietate fundamentală este caracterizată printr-un parametru asociat şi printr-

o variabilă asociată. Variabila asociată stabileşte domeniul de aplicare a unei

proprietăţi, iar parametrul asociat dă o măsură cantitativă a acesteia.

Parametrul asociat proprietăţii de detecţie este eficacitatea de detecţie. Variabila

asociată acestei proprietăţi este numărul de semnale/pulsuri înregistrate. Pentru

proprietatea de formare a semnalului există diferiţi parametrii asociaţi, iar variabila

asociată este, pentru oricare dintre ei, conţinutul de informaţie. O situaţie similară se

întâlneşte şi în cazul proprietăţii de discriminare; şi în acest caz există diferiţi parametrii

asociaţi, iar variabila asociată este, pentru oricare dintre ei, natura radiaţiei. Rezoluţia

energetică este parametrul asociat proprietăţii de măsurare de energie. Variabila

asociată este, în acest caz, energia. Cea de a cincea proprietate din lista prezentată

anterior, măsurarea de timp, are ca parametru asociat rezoluţia temporală, variabila

asociată fiind timpul. În ceea ce priveşte proprietatea de măsurare de poziţie, parametrul

asociat este rezoluţia spaţială, iar variabila asociată este poziţia.

În multe situaţii se preferă tratarea globală a unor aspecte legate de performanţele

detectorilor şi se foloseşte termenul de caracteristici generale ale detectorilor. Prin

această formulare se regăsesc parametrii asociaţi proprietăţilor detectorilor, cu unele

componente ale lor. Printre aceste caracteristici generale ale detectorilor se numără:

sensitivitatea, răspunsul detectorului, rezoluţia energetică, funcţia de răspuns a

detectorului, timpul de răspuns, eficacitatea de detecţie şi timpul mort al detectorului.

Prin sensitivitate se înţelege capacitatea unui detector de radiaţii nucleare de a

produce un semnal de ieşire utilizabil pentru un tip de radiaţie dat şi o energie dată. Nici

un detector nu este sensibil la toate tipurile de radiaţie şi la toate energiile radiaţiilor

nucleare. Sensitivitatea unui detector depinde de secţiunile eficace ale proceselor de

ionizare în volumul sensibil al detectorului, masa volumului sensibil al detectorului,

zgomotul detectorului, natura elementelor de structură (natura materialului care

înconjoară volumul sensibil al detectorului), inclusiv a materialului din care este

realizată fereastra de intrare. Această caracteristică este legată, în principal, de

proprietatea de formare a semnalului.

Răspunsul detectorului este definit ca fiind relaţia dintre energia radiaţiei şi

sarcina totală sau amplitudinea pulsului pentru semnalul de ieşire. Este legat de

proprietatea de măsurare de energie. Relaţia dintre energia radiaţiei şi sarcina totală

sau amplitudinea pusului pentru semnalul de ieşire este, în cele mai multe situaţii de

interes, una liniară sau aproximativ liniară, pe anumite domenii de energie sau pentru

anumite tipuri de radiaţii. Răspunsul detectorului este, de aceea, dependent şi de

mecanismele de reacţie declanşate în volumul sensibil al detectorului de diferite

particule, sau de acelaşi tip de particulă dar cu energii în domenii diferite.

Rezoluţia energetică este parametrul asociat proprietăţii de măsurare de

energie. Nu toţi detectori au această proprietate. Se defineşte ca fiind extinderea în

energie pentru care detectorul de radiaţii mai poate detecta două radiaţii nucleare ca

distincte. În mod ideal, maximul care trebuie observat la o măsurare de energie ar trebui

să aibă forma unei funcţii (Dirac). Datorită fluctuaţiilor în numărul de excitări şi

ionizări, specifice proceselor la nivel atomic şi nuclear, forma maximului este de tip

gaussian. De aceea, rezoluţia energetică absolută este definită ca lărgimea totală la

semiînălţimea maximului. Rezoluţia energetică relativă este definită ca raportul dintre

rezoluţia energetică absolută şi energia pentru care a fost determinată rezoluţia

energetică absolută. Rezoluţia energetică relativă are o anumită dependenţă de energie.

Forma acestei dependenţe este determinată de tipul de detector de radiaţii nucleare

folosit. Este una din caracteristicile cele mai importante ale unui detector de radiaţii

nucleare.

Funcţia de răspuns a unui detector este legată tot de proprietatea de măsurare de

energie. Ea ia în considerare faptul că forma spectrului de energie măsurat prezintă

dependenţă de tipul radiaţiei nucleare detectate. Funcţia de răspuns a unui detector la o

energie dată este determinată de mai mulţi factori, şi anume: natura interacţiilor pe care

radiaţiile nucleare le suferă în volumul sensibil al detectorului, natura volumului sensibil,

forma detectorului şi geometria de detectare. În mod obişnuit funcţia de răspuns a

detectorului ia forma spectrului de amplitudini ale pulsurilor radiaţiilor nucleare

detectate. Ea este diferită de la un tip de detector la altul. De exemplu, forma funcţiei de

răspuns pentru energia de 661 keV a unor radiaţii este diferită pentru un detector cu

semiconductor (cu germaniu, de exemplu) şi pentru un detector cu scintilaţie (scintilator

organic, de exemplu). În primul caz, datorită faptului că secţiunea eficace pentru

producerea efectului fotoelectric este mare în raport cu secţiunea eficace pentru

împrăştiere Compton, la energia considerată, se va observa un maxim datorat efectului

fotoelectric foarte înalt şi îngust şi o distribuţie continuă datorată împrăştierii Compton

foarte mică. În cel de al doilea caz, datorită faptului că scintilatorul organic are un număr

atomic Z mic, se va observa în funcţia de răspuns a detectorului numai distribuţia

continuă datorată împrăştierii Compton, împrăştiere care este predominantă pentru

situaţia considerată.

Timpul de răspuns al detectorului reprezintă timpul necesar pentru formarea unui

semnal de ieşire, timp considerat de la ajungerea radiaţiei nucleare pe volumul sensibil al

detectorului. Timpul de răspuns al detectorului este asociat proprietăţii de măsurare de

timp. Pentru a îndeplini în condiţii optime funcţia de măsurare de timp este necesar ca

semnalul de ieşire să fie format rapid astfel încât să aibă o lărgime mică (să fie îngust), cu

un front de creştere cât mai rapid, aproape vertical. Este importantă şi durata semnalului,

deoarece în acest interval de timp nu mai poate fi înregistrat un al doilea eveniment. În

funcţie de natura volumului sensibil al detectorului pe durata înregistrării unui eveniment

pot interveni două situaţii, şi anume:

(a) detectorul este insensibil pentru un al doilea eveniment;

(b) din cauza prezenţei primului eveniment, cel de al doilea eveniment se va suprapune

peste primul eveniment; apare aşa numitul fenomen de “îngrămădire” (“pile-up”) care

contribuie la creşterea timpului mort al detectorului de radiaţii nucleare şi la limitarea

ratei de numărare.

Eficacitatea de detecţie este parametrul asociat proprietăţii de detecţie. Se pot

întâlni mai multe tipuri de eficacitate de detecţie. Cele mai des folosite sunt eficacitatea

de detecţie absolută şi eficacitatea de detecţie intrinsecă. Eficacitatea de detecţie absolută

sau eficacitatea de detecţie totală se defineşte ca raportul dintre numărul de radiaţii emise

de către sursă şi înregistrate (evenimente), în realitate, de către detector şi numărul de

radiaţii emise de sursă. De aceea, eficacitatea de detecţie totală depinde de geometria

detectorului, de distanţa de la sursa de radiaţii la detector, precum şi de probabilitatea de

interacţie în volumul sensibil al detectorului. În cazul în care lungimea traiectoriei

străbătute de radiaţie prin detector nu variază prea mult pentru un anumit detector sau

drumul liber mediu este foarte mic, eficacitatea de detecţie absolută poate fi factorizată în

două componente, şi anume: eficacitatea de detecţie intrinsecă, int,, şi eficacitatea de

detecţie geometrică, g. Se poate scrie următoarea relaţia de legătură: = int.g. Trebuie

amintit aici faptul că eficacitatea de detecţie geometrică este denumită şi acceptanţă.

Eficacitatea de detecţie intrinsecă este dată de raportul dintre numărul de radiaţii

căzute pe detector şi înregistrate de acesta şi numărul total de radiaţii căzute pe detector.

Cea mai importantă dependenţă a eficacităţii de detecţie intrinsecă este cea de secţiunea

eficace de interacţie a radiaţiei nucleare cu volumul sensibil al detectorului. De aceea, ea

este o funcţie de tipul de radiaţie, energia radiaţiei şi natura substanţei din care este făcut

volumul sensibil. În consecinţă, în multe situaţii de interes se pune problema

dimensiunilor detectorilor pentru a avea o probabilitate de interacţie suficient de mare

pentru detectarea unor radiaţii nucleare.

Eficacitatea de detecţie geometrică (acceptanţa) se poate defini ca fracţia din

radiaţia emisă de către o sursă de radiaţii nucleare care este interceptată (“văzută”) de

către detector. Ea depinde de configuraţia geometrică a detectorului şi sursei. Pentru

determinarea ei corectă este necesară cunoaşterea distribuţiei unghiulare a radiaţiei

nucleare a sursei considerate în experiment.

În cazul aranjamentelor experimentale complexe este necesară realizarea unor simulări

Monte Carlo pentru stabilirea acceptanţei. În Fig.I.2 este prezentată acceptanţa pentru un

astfel aranjament experimental. Este vorba de experimentul BRAHMS de la Collider-ul

de Ioni Grei Relativişti (RHIC) de la Laboratorul naţional Brookhaven (BNL) din SUA.

El va fi prezentat mai detaliat în curs.

O altă caracteristică de bază a unui detector este timpul mort. El este legat de

proprietatea de detecţie şi de parametrul asociat acesteia, eficacitatea de detecţie.

Timpul mort reprezintă timpul necesar unui detector de a prelucra un eveniment

(radiaţia nucleară înregistrată). Acest timp este finit şi depinde de durata semnalului

pentru pulsul considerat. Aşa cum s-a mai arătat, un detector de radiaţii nucleare poate

să rămână sau nu sensibil pe perioada prelucrării informaţiei de la un eveniment

înregistrat. În cazul în care detectorul nu este sensibil, orice altă radiaţie care ajunge în

această perioadă în volumul său sensibil este pierdută. Dacă detectorul rămâne sensibil,

atunci radiaţiile care ajung în intervalul de timp necesar prelucrării informaţiei pentru o

radiaţie nucleară înregistrată se pot “îngrămădi” (suprapune) peste radiaţia

înregistrată, ceea ce va determina distorsionarea semnalului de ieşire obţinut şi pierderi

ulterioare de informaţie pentru ambele radiaţii. Sunt afectate astfel ratele de numărare

obţinute (variabila asociată proprietăţii de detecţie). De asemenea, este distorsionată

distribuţia temporală a sosirii radiaţiilor nucleare pe volumul sensibil al detectorului,

ceea ce poate conduce la pierderea unor informaţii importante. De exemplu, pentru o

sursă care emite radiaţii nucleare în conformitate cu caracterul statistic al

dezintegrărilor radioactive se poate ajunge la distribuţie temporală care să nu mai fie

descrisă de o distribuţie de probabilitate de tip Poisson. Pentru reducerea valorilor

timpului mort şi pentru reducerea efectelor asupra informaţiei experimentale obţinute se

preferă rate de numărare mai mici care să scadă probabilitatea apariţiei unui alt

eveniment pe perioada înregistrării celui anterior. Există mai multe metode de

determinare şi măsurare a timpului mort, în funcţie de tipul de detector (paralizabil – cu

timp mort care se poate extinde, respectiv, neparalizabil – cu timp mort care nu se poate

extinde) [14,15,31-37].

În folosirea oricărui detector trebuie avute în vedere proprietăţile şi funcţiile

enumerate, precum şi diferitele lor caracteristici. Trebuie ţinut seama de faptul că un

detector poate să nu aibă toate proprietăţile menţionate şi, de aceea, nu poate îndeplini

toate funcţiile. În plus, caracteristicile lor de bază îi pot face mai utili pentru anumite

radiaţii nucleare sau pentru anumite energii ale acestora. În acest mod se poate obţine o

informaţie corectă şi completă asupra proceselor şi fenomenelor fizice investigate.

III.2. Detectori folosiţi în experimente de Fizică nucleară relativistă

III.2.1. Informaţii generale

Gama sistemelor de detecţie folosite în experimente de Fizică nucleară relativistă

este extrem de largă şi implică principii de detecţie diverse. În majoritatea aranjamentelor

experimentale propuse până în prezent – în absenţa unor principii de detecţie noi – se

încearcă combinarea multor tipuri de detectori, astfel încât informaţia fizică obţinută să

fie cât mai completă. De asemenea, electronica asociată detectorilor respectivi este tot

mai sofisticată pentru ca raportul dintre semnal şi zgomot să atingă valori care să permită

o analiză adecvată a informaţiei. În experimentele de Fizică nucleară relativistă se

întâlnesc domenii extrem de largi de mase, sarcini şi energii ale particulelor şi

fragmentelor detectate, ceea ce impune combinarea diferitelor metode de detecţie. De

aceea, într-un aranjament experimental pentru studiul ciocnirilor nucleare relativiste se

pot întâlni: spectrometre cu timp de zbor, detectori Cerenkov, detectori care pot măsura

energia şi pierderea de energie (E-E), scintilatori de diferite tipuri, detectori cu

semiconductori, detectori solizi de urme, diferiţi detectori cu vizualizare [emulsii

nucleare, camere cu bule, camere cu streamer, camere proporţionale multifilare, camere

cu deplasare (drift), camere cu proiecţie temporală ş.a.], spectrometre magnetice,

calorimetre de diferite tipuri ş.a.

Trebuie avut în vedere faptul că prin ciocniri nucleare relativiste se produc, aşa

cum s-a menţionat anterior, numeroase particule şi fragmente nucleare în starea finală, iar

masele, sarcinile şi energiile lor sunt extrem de diverse. În aceste condiţii o multitudine

de aspecte trebuie avute în vedere pentru extragerea informaţiei de interes asupra fiecărei

dintre particulele şi fragmentele detectate. De aceea, orice detector complex sau orice

sistem de detectori trebuie să satisfacă câteva cerinţe majore. Acestea ar fi: localizarea în

spaţiu a traiectoriei particulei; măsurarea energiei particulei; identificarea particulei;

localizarea în timp a particulei; obţinerea de detalii asupra naturii interacţiei cu materia

pentru fiecare din particulele considerate.

Pentru a servi acestor scopuri detectorii trebuie să ofere o separare spaţială

suficientă a particulelor detectate. De asemenea, o bună separare temporală este

necesară. Aceste două aspecte – diferite de rezoluţia spaţială, respectiv, rezoluţia

temporală – pot limita gama de detectori folosiţi atunci când se pregăteşte un aranjament

experimental. Aşa cum s-a mai spus, detectarea unei particule presupune măsurarea unor

observabile în procese distincte. Metodele de detecţie sunt în strânsă legătură cu natura

particulelor şi cu natura proceselor de interacţie cu materia. Ele pot fi clasificate după

foarte multe criterii. Printre acestea se numără cele care au la bază identitatea particulei

detectate. Dacă identitatea particulei este păstrată pe parcursul procesului de măsurare,

permiţând măsurători multiple, se consideră că metodele de detecţie sunt nedistructive.

Dacă identitatea particulei este distrusă prin procesul de detectare se poate vorbi de

metode de detecţie distructive. Alte criterii de clasificare a metodelor de detecţie sunt

legate de tipul de funcţie care se are în vedere, în principal, de modul de prelucrare a

informaţiei ş.a.m.d.

În Tabelul I.1 sunt prezentate performanţele unor metode de detecţie folosite în astfel de

experimente.

Fiecare din marile laboratoare din lume care au posibilitatea de a efectua

experimente de Fizică nucleară relativistă utilizează mai multe din aceste metode,

implicând clase mari de detectori. De aceea, în curs, se vor trece în revistă, pe scurt,

principiile de funcţionare pentru cei mai întâlniţi dintre detectorii utilizaţi. Prezentarea lor

detaliată este făcută în alte lucrări [14,15,31-33].

Metode de

detecţie

Energia

primară

Multiplicită

ţi

preexistent

e

Multiplicită

ţi create

Studii

semi-

exclusive

Declanşare Rezoluţie

spaţială

Metode

electronice

Timp de zbor Numai

pentru

hodoscoape,

în sistemul

proiectilului

Numai

pentru

hodoscoape,

în sistemul

proiectilului

Da

Detectori

Cerenkov

Da

Scintilatori Da

Detectori cu

semi-

conductori

Da

Calorimetrie Energia

totală

cedată

prin

cascade

nucleare

sau

electro-

Pentru arii

mari

(de exemplu,

“sfera” de

plastic –

Plastic Ball)

Pentru arii

mari

(de exemplu,

“sfera” de

plastic –

Plastic Ball)

Da,

pentru

detectori

de arii

mari

Da Relativ

scăzută

magneti

ce

Spectrometria

magnetică

În principal,

în sistemul

proiectilului

În principal,

pentru

rapidităţi

centrale şi

rapidităţi în

sistemul

proiectilului

Da,

pentru

arii

foarte

mari

Da

Metode vizuale

clasice

Emulsii

nucleare

Prin

distribuţii

unghiulare

ale

fragmentelor

proiectilului

şi/sau

mezoni

4 sr, inclusiv

fragmentele ţintei

cu parcurs mai

mare de 5 m

4 sr

Acoperire

completă la

energii sub 0.5 A

MeV

Da

Rapidităţi

pentru ţintă

şi pseudo-

rapidităţi

pentru

sistemul

proiectilului

Munai pentru

sisteme hibride

care conţin

emulsii

potrivite

0.5-5 m

Plastici 4 sr

Numai dacă

structura este de

tip “sferă” de

plastic

4 sr

Numai dacă

structura este de

tip “sferă” de

plastic

Da

În principal,

pentru

regiunea

centrală de

rapiditate şi

regiunea de

rapiditate a

proiectilului

Numai pentru

sisteme hibride

Relativ

scăzută

Camera cu

bule

4 sr

Fragmentele

ţintei care au

energie mică

sunt pierdute

dacă au

parcursul mai

mic de 100 m

4 sr Da

În principal,

pentru

regiunea

centrală de

rapiditate şi

regiuea de

rapiditate a

proiectilului

Numai pentru

sisteme hibride

1-10 m

Camera cu

streamer

4 sr

Fragmentele

ţintei de energii

mici sunt

pierdute în ţintă

4 sr

Informaţii despre

particule

secundare cu

sarcină (mai

Da

În principal,

pentru

regiunea

centrală de

Da > 10 m

ales pentru cele

negative)

rapiditate şi

regiuea de

rapiditate a

proiectilului

Tabelul I.1. Performanţele unor metode de detecţie folosite

în experimente de Fizică nucleară relativistă

III.2.2. Descrierea unor detectori folosiţi în experimente

de Fizică nucleară relativistă

Printre detectorii mai des folosiţi în experimente de Fizică nucleară relativistă se

numără: emulsiile nucleare, camerele cu bule, camerele cu streamer, camerele

proporţionale multifilare, camerele cu deplasare, camerele cu proiecţie temporală,

detectori cu siliciu (microstrip-uri), scintilatorii plastici, calorimetrele hadronice şi

electromagnetice. În cele ce urmează vor fi prezentate pe scurt aceste tipuri de detectori.

Emulsiile nucleare au fost folosite în primele experimente de Fizică nucleară

relativistă. Ele sunt plăci fotografice cu un conţinut ridicat de argint şi pot înregistra

traiectoriile particulelor cu sarcină, chiar şi la ionizare minimă. Obţinerea informaţiilor de

interes se face din determinarea densităţii de granule şi combinarea cu diverse alte

măsurători pentru determinarea vitezei şi masei particulei.

Fiind mici şi având sensitivitate continuă ele au fost foarte utile în experimente implicând

radiaţia cosmică primară. Au cea mai bună rezoluţie spaţială dintre toţi detectorii cu

vizualizare folosiţi. Acest fapt este datorat dimensiunilor foarte mici ale granulelor din

emulsiile nucleare (sub 0.5 m) şi a distanţelor mici dintre acestea, anume 1-2 m. În

multe cazuri sunt obţinute rezoluţii spaţiale similare, de 1-2 m. De aceea, ele pot fi

folosite pentru determinarea timpilor de viaţă foarte scurţi ai unor particule. Dacă, iniţial,

emulsiile nucleare au fost folosite singure, într-un strat sau în straturi multiple, în prezent

ele sunt folosite în sisteme complexe de detectori. Asociate cu camere cu bule şi detectori

cu semnal electric ele pot da informaţii privind localizarea interacţiilor de interes.

Datorită acestui fapt ele sunt încă folosite în unele experimente de Fizică nucleară

relativistă.

Camera cu bule este o dezvoltare directă a camerei cu ceaţă (Wilson, 1912) şi a fost

construită de Glasser în anul 1952. Volumul sensibil al acestui tip de detector este un

lichid, iar informaţia este înregistrată pe film sau, mai nou, pe placă holografică. În

camera cu bule se creează o stare instabilă a unui lichid prin supraîncălzire. Această

supraîncălzire a lichidului se realizează prin reducerea bruscă a presiunii lichidului. În

general, reducerea presiunii se face prin intermediul unui piston care se află în contact cu

lichidul din cameră. O cantitate foarte mică de energie depozitată de o particulă cu

sarcină care interacţionează cu volumul sensibil al camerei cu bule este suficientă pentru

a crea instabilitatea şi a produce fierberea lichidului. De exemplu, pentru camere cu bule

cu hidrogen lichid cantitatea de energie minimă care trebuie să fie depozitată este în jur

de 20 MeV/m (3.2x10-12

J/m). În aceste condiţii, traiectoriile particulelor cu sarcină devin

vizibile sub forma unor curbe alcătuite din mici bule.

Ca volume sensibile pentru camere cu bule se folosesc: hidrogen lichid (H2), deuteriu

lichid (D2), heliu lichid (He), propan lichid (C2H6), freon lichid (CF3Br), xenon lichid

(Xe). Parametrii de operare pentru lichidul din cameră sunt: temperatura, presiunea,

densitatea, indicele de refracţie şi lungimea de radiaţie. Ei au valori diferite pentru

lichidele folosite în mod curent ca volume sensibile (Tabelul I.2). Pentru fiecare lichid în

parte trebuie luate măsuri corespunzătoare, având în vedere că unele lichide sunt extrem

de explozive – H2, de exemplu – inflamabile (propanul) sau foarte scumpe (Xe).

O problemă importantă la operarea camerei cu bule este timpul de expansiune.

Este necesar ca fasciculul incident să intre în camera cu bule atunci când presiunea este la

valoarea minimă sau în vecinătatea valorii minime. În acest moment sensitivitatea

camerei cu bule este maximă. Iluminarea camerei pentru înregistrarea informaţiei pe film

sau placă holografică este întârziată în raport cu momentul intrării fasciculului incident în

cameră cu până la 1 milisecundă. Durata aceasta este legată de dimensiunea dorită a

bulei, având în vedere că pentru fiecare tip de volum sensibil (lichid) există anumiţi timpi

de creştere ai bulei. La stabilirea momentului iluminării camerei pentru a permite

creşterea suficientă a bulei trebuie luate în considerare şi caracteristicile filmului sau

plăcii holografice folosite pentru înregistrarea informaţiei.

Lichidul T p n Lungime Observaţii

care

reprezintă

volumul

sensibil

[oC] [atm] [g/cm

3] Indice de

refracţie

de

radiaţie

[m]

Hidrogen -246 5 0.06 1.09 11.45 Se foloseşte ca ţintă de

protoni pură; este foarte

exploziv

Deuteriu -240 7 0.13 1.10 9.50 Se foloseşte ca ţintă de

neutroni

Heliu -270 1 0.12 1.03 9.00 Foarte utilă ca sursă de

hiperfragmente; are spin 0

şi izospin 0

Propan 58 21 0.43 1.22 1.18 Este foarte inflamabil

Freon 30 18 1.5 0.11 Nu este inflamabil

Xenon -19 26 2.2 1.18 0.035 Este foarte scump

Tabelul I.2. Parametrii de operare pentru camere cu bule având diferite volume sensibile

Camera cu bule nu poate fi folosită pentru înregistrarea unui alt eveniment de

interacţie până în momentul reîntoarcerii pistonului la poziţia iniţială şi atingerea

presiunii iniţiale. Perioada scursă de la începerea detentei pistonului până la atingerea

presiunii iniţiale mai este cunoscută ca fiind ciclul camerei cu bule. Ratele de repetiţie

pentru o cameră cu bule obişnuită sunt cuprinse între 20 cicluri pe secundă şi 30 de

cicluri pe secundă. De aceea, ea este un detector bun pentru experimente implicând

fascicule de protoni şi ioni grei şi mai puţin adecvat pentru fascicule de alt tip (în

principal, electroni).

Pentru multe experimente, camerele cu bule pot fi plasate în câmpuri magnetice

perpendiculare pe direcţia fasciculului incident şi paralele cu axa optică a sistemului de

stereofotografieire. Valorile câmpurilor magnetice folosite sunt de până la 3 T (magneţi

supraconductori).

În cazul înregistrării holografice a informaţiei trebuie avut în vedere, la un sistem

optic convenţional, faptul că utilizarea unei aperturi largi pentru îmbunătăţirea rezoluţiei

poate să reducă adâncimea de focalizare. De aceea, se poate obţine rezoluţia necesară

pentru studierea particulelor de viaţă scurtă, dar se pot folosi şi fascicule largi incidente

pe camera cu bule deoarece straturile de adâncimi diferite nu interferă unul cu celălalt.

Experimentele de Fizica energiilor înalte pot folosi camere cu bule de dimensiuni

diferite, în acord cu obiectivele urmărite. Astfel, camerele cu bule de dimensiuni mici, cu

rezoluţie spaţială mare şi rată de repetiţie mare, pot fi folosite ca detectori de vertex de

interacţie în sisteme de detectori complexe, hibride, care implică mai multe tipuri de

detectori. Prezintă avantajul că în astfel de sisteme se poate face declanşarea camerei cu

bule în vederea înregistrării informaţiei doar pentru interacţiile de interes, în acord cu

informaţia dată de ceilalţi detectori din sistem. În cazul în care este folosită doar camera

cu bule nu se poate face declanşarea.

S-au construit şi camere cu bule de dimensiuni mari (lungimi de 3-4 m) pentru

experimente în care secţiunea de interacţie a particulei de interes cu substanţa este foarte

mică (de exemplu, la CERN a fost construită o cameră cu bule de 3.5 m destinată, în

principal, detectării neutrinilor). Dimensiunile tipice ale majorităţii camerelor cu bule

folosite în prezent sunt de 2m, în lungime, respectiv, 0.5 m, în înălţime.

Camerele cu bule pot fi folosite pentru reconstrucţia completă a traiectoriilor

particulelor cu sarcină. Procesul de reconstrucţie se bazează pe explorare (scanning) şi

măsurare [3,8]. Ambele operaţii necesită un timp de lucru mare, mai ales dacă informaţia

este înregistrată pe film.

Pentru o bună funcţionare şi păstrarea caracteristicilor legate de proprietatea de

măsurare de poziţie – rezoluţie spaţială bună, separarea vertex-urlor de interacţie şi de

dezintegrare, posibilitatea determinării masei din densitatea de granule ş.a. – este necesar

ca fasciculul incident să aibă intensitate mică pentru particule cu sarcină. Având în vedere

dezvoltările actuale din Fizica acceleratorilor, trebuie menţionat faptul că nu pot fi

folosite camere cu bule pentru acceleratori de tip “collider”.

Un alt detector cu vizualizare folosit în multe experimente de Fizică nucleară

relativistă – mai ales în prima perioadă din etapa sistemelor de acceleratori – este camera

cu streamer.

Camera cu streamer este un detector care are ca volum sensibil un gaz şi poate

înregistra informaţia de interes pe film sau placă holografică. De aceea, ca şi camera cu

bule, camera cu streamer este clasificată ca detector cu vizualizare. Primele camere cu

streamer au fost construite la IUCN Dubna de către Chikovani şi Dolgoshein şi

colaboratorii lor [38,39], urmaţi de grupuri de la CERN, din 1966 [40].

Principiul de funcţionare al camerei cu streamer se bazează pe interacţia particulelor cu

sarcină cu gazul din cameră şi pe teoria descărcărilor electrice în gaze [40]. Într-o cameră

cu streamer descărcările electrice sunt limitate la momentele iniţiale prin aplicarea pe o

durată foarte scurtă a pulsurilor de tensiune înaltă. La trecerea unei particule cu sarcină

printr-o cameră cu streamer, pe electrozii căreia s-a aplicat un astfel de puls de tensiune,

se produc ionizări ale gazului din cameră care determină apariţia unor electroni de

ionizare primară (electroni primari). Electronii primari pot genera avalanşe. Avalanşele se

pot transforma în streamer-i atunci când câmpul intern al sarcinii spaţiale (avalanşei)

devine comparabil cu câmpul electric aplicat. După câteva nanosecunde avalanşele devin

vizibile şi acţiunea câmpului electric extern trebuie să înceteze. De aici vine necesitatea

unui puls de tensiune înaltă cu o durată foarte scurtă.

Trebuie menţionat faptul că, în general, numărul streamer-ilor formaţi este mai mic decât

numărul electronilor primari. Acest lucru se poate explica simplu luând în considerare

faptul că doi sau mai mulţi electroni primari pot participa la crearea aceleaşi sarcini

spaţiale (avalanşe). O altă explicaţie importantă este legată de faptul că unele avalanşe se

transformă în streamer-i înaintea altora.

Streamer-ii la a căror formare au participat doi sau mai mulţi electroni primari se dezvoltă

mai aproape de traiectoria reală a particulei cu sarcină.

În funcţie de strălucirea streamer-ilor formaţi, pentru înregistrarea pe film sau placă

holografică a informaţiei este necesară sau nu folosirea unor intensificatori de imagine

(Fig.I.3).

Elementele principale ale unei camere cu streamer sunt: incinta - cea care conţine gazul

folosit ca volum sensibil, electrozii – pe care se aplică pulsul de tensiune înaltă şi de

durată foarte scurtă, sistemul de asigurare a tensiunii înalte, sistemul de formare a

pulsurilor, sistemul de asigurare a gazului, sistemul de purificare a gazului din incintă,

sistemul de înregistrare şi stocare a informaţiei.

+ 40

kV

Camera cu

streamer Divizor

de

tensiune

Fig.I.3. Intensificator de imagine pentru camera cu streamer. Schemă de principiu

Deoarece camera cu streamer poate fi inclusă în aranjamente experimentale complexe ea

este prevăzută cu un sistem de declanşare pentru evenimente de interes. Deoarece se

poate selecta atât tipul de particulă sau fascicul incident, cât şi tipul de eveniment de

interacţie, se poate considera că o cameră cu streamer are sistem de declanşare primară şi

sistem de declanşare secundară. Un sistem de detecţie cu cameră cu streamer, cu sistem

de declanşare, este prezentat în Fig.I.4.

La camera cu streamer incinta este umplută cu un gaz nobil sau cu o combinaţie de gaze

nobile. Datorită interacţiilor care se produc în volumul sensibil poate apare o degradare a

gazului din cameră. De aceea, gazul din cameră trebuie să fie înlocuit. Înlocuirea sa se

poate face în mod continuu sau în trepte. Pentru acest lucru incinta este în legătură cu

sistemul de asigurare a gazului, precum şi cu sistemul de purificare a gazului, sistem care

asigură valori extrem de mari ale purităţii lui (până la 99.9%). Presiunea gazului din

cameră este, pentru majoritatea camerelor cu streamer construite până în prezent, în jurul

presiunii atmosferice. Dacă înregistrarea informaţiei se face pe placă holografică se

preferă presiuni mari ale gazului din incinta camerei cu streamer (până la 10 atmosfere).

În acest caz rezoluţia spaţială este mult mai bună (circa 25 m) [41,42].

Fig.I.4. Sistem de detecţie cu cameră cu streamer

Pentru a se putea înregistra informaţia pereţii incintei sunt – în majoritatea cazurilor –

transparenţi sau semitransparenţi. Există unele camere cu streamer care au doar o

fereastră transparentă pentru înregistrarea informaţiei prin stereofotografiere.

În funcţie de numărul de electrozi utilizaţi incinta poate avea mai multe spaţii de lucru.

La camera cu streamer nu este necesar ca particulele cu sarcină să treacă printre electrozi

sau prin vecinătatea acestora. De aceea, electrozii unei camere cu streamer pot avea

forme şi dimensiuni diferite. În general, se utilizează electrozi sub formă de fire sau plăci.

Materialele din care se construiesc electrozii – aluminiu, cupru, oţel inox ş.a. – determină

forma şi dimensiunea aleasă pentru un electrod. Împreună, ele influenţează alegerea

materialului din care sunt construiţi pereţii incintei şi regimul de operare şi de

stereofotografiere al camerei cu streamer.

Incinta cu

gaz

Circuit

coinciden

ta

A Generato

r

Tl

Formato

r

pulsuri

Detect

or Part.in

c.

stream

er

electro

zi

detecto

r

Pe electrozi se aplică tensiunea înaltă furnizată de un generator de tip Marx [40].

Pentru a limita descărcarea la etapele de început ale formării avalanşei, pe electrozi se

aplică tensiuni de ordinul sutelor de kV pentru timpi foarte scurţi (10-20 ns). De aceea,

tensiunea înaltă trebuie să fie aplicată în pulsuri. O cameră cu streamer trebuie să fie

dotată cu un formator de pulsuri care să asigure atingerea valorii dorite a tensiunii în

câteva nanosecunde, iar pe toată durata pulsului volumul sensibil al camerei cu streamer

să aibă aceleaşi condiţii de câmp electric.

Există mai multe moduri de formare a pulsurilor. Cele mai cunoscute sunt cele bazate pe

intervale de descărcare – plasate între generatorul Marx şi camera cu streamer – şi cele

bazate pe considerarea camerei ca o linie de transmisie şi pe existenţa condiţiilor de

terminare completă a pulsului la capătul camerei depărtat de generator – mai este

cunoscut ca şi linie “Blumlein”.

Performanţele camerei cu streamer – precizia localizării traiectoriei particulei în

spaţiu, capacitatea de a distinge şi de a număra streamer-i individuali – sunt dependente şi

de modul de înregistrare a imaginii pe film sau placă holografică. Acesta este influenţat

de poziţia relativă dintre sistemul de înregistrare a imaginii şi electrozi. De aceea, se pot

considera trei regimuri de operare a camerei cu streamer, anume: (a) regim de streamer-i

uniţi; (b) regim de streamer-i izolaţi, în vedere laterală; (c) regim de streamer-i izolaţi, în

vedere de la un capăt al camerei – în raport cu direcţia fasciculului incident. Regimul de

streamer-i uniţi prezintă avantajul unei luminozităţi mai mari, ceea ce uşurează

înregistrarea stereoscopică a urmei traiectoriei particulei.

În cazul înregistrării pe placă holografică a imaginii există avantajul decuplării

adâncimii câmpului optic de rezoluţia spaţială, ceea ce permite mărirea rezoluţiei spaţiale

(până la câţiva zeci de micrometri). De asemenea, se înregistrează un număr mare de

interacţii într-o singură imagine şi se poate elimina folosirea intensificatorilor de imagine.

Caracteristicile tehnice şi performanţele determină folosirea camerei cu streamer

în numeroase experimente de Fizica particulelor elementare şi Fizică nucleară relativistă.

Un alt detector care foloseşte un gaz ca volum sensibil şi procesele de ionizare în

gaze pentru determinarea traiectoriei unei particule cu sarcină este camera proporţională

multifilară. Ea a fost creată de Georges Charpak în anul 1968 [12,14,15,31,40]. Spre

deosebire de ceilalţi detectori care permiteau localizarea în spaţiu a traiectoriei unei

particule cu sarcină folosind mijloace optice (detectori cu semnal neelectric), camera

proporţională multifilară permitea obţinerea de informaţii folosind semnale electrice.

La început s-au întâmpinat o serie de dificultăţi constructive legate de faptul că acest tip

de detector era văzut ca o arie de tuburi de contori proporţionali. Charpak a reuşit să

demonstreze că o arie de multe fire anodice foarte apropiate spaţial în aceeaşi cameră

poate să acţioneze fiecare ca un contor proporţional independent.

Datorită dezvoltării electronicii a devenit posibilă realizarea de amplificatori proprii

pentru fiecare fir anodic, ceea ce a făcut ca acest tip de detector să fie un detector sensibil

la poziţie. Posibilitatea obţinerii de semnale electrice – mult mai rapid prelucrabile – şi

sensibilitatea la poziţie au determinat folosirea pe scară largă a camerelor proporţionale

multifilare atât în experimente de Fizica energiilor înalte, cât şi în aplicaţii ale Fizicii

atomice şi nucleare în diferite domenii (formare de imagini în experimente cu raze X şi ,

Astrofizică, Medicină, Cristalografie ş.a.).

O cameră proporţională multifilară constă dintr-un plan de fire anodice egal

depărtate spaţial centrat între două plane catodice. Pe cele două tipuri de plane se aplică

un câmp electric de câţiva kV (de obicei, 3-4 kV). Se creează astfel, cu excepţia unei

regiuni foarte mici din vecinătatea firelor, linii de câmp electric paralele şi aproape

constante. O particulă cu sarcină care trece prin cameră ionizează gazul din cameră.

Ionizarea produsă este amplificată printr-o ionizare în avalanşă şi ionii produşi se

îndreaptă spre electrozi sub influenţa câmpului electric înalt aplicat pe ei.

Pentru a asigura condiţiile necesare, distanţa dintre firele anodice este de până la 2 mm –

dar nu mai mică de 0.5 mm - iar distanţa dintre planul firelor anodice şi planul catodic

este de 7-8 mm. Diametrele firelor anodice trebuie să fie foarte mici – între 10 m şi 50

m – pentru a asigura câmpurile electrice înalte care să producă avalanşele. În

vecinătatea firelor câmpul variază ca r

1 şi poate atinge valori de 10

4 – 10

5 V/cm.

Gazul folosit în mod obişnuit în camera proporţională multifilară este un amestec

de argon şi metan; ponderea metanului în amestec nu depăşeşte 10 % . Există şi alte

combinaţii de gaze folosite pentru camerele proporţionale multifilare. Un astfel de gaz,

cunoscut şi sub numele de “gaz magic” est eformat din argon (75%), isobutan (24.5%) şi

freon-13B1(0.5%). Proporţiile date sunt în volume.

În condiţiile optime menţionate mai sus se pot obţine rezoluţii spaţiale mai mici

sau cel mult egale cu 100 m. Valoarea rezoluţiei depinde de distanţa dintre fire şi

valoarea câmpului electric aplicat.

În modul proporţional propriu-zis semnalele de ieşire sunt proporţionale cu ionizarea

primară. De aceea, sunt posibile amplificări ale semnalului de până la 104. Pentru

amplificări mai mari de 105 poate apare un domeniu de neproporţionalitate, ceea ce

determină formarea de streamer-i saturaţi şi apariţia unor scântei, fenomene specifice

camerei cu streamer, camerei cu scântei sau tuburilor cu scânteiere (“flash”), precum şi a

unor camere proporţionale multifilare mai robuste.

În general, la o cameră proporţională multifilară timpul de creştere al avalanşei este de

circa 100 ps. Mobilitatea ionilor din cameră determină timpul de descreştere. Acesta este

în jur de 20 ns. Timpul de răspuns al camerei este determinat de distanţa dintre fire şi de

timpul necesar electronilor pentru deplasare pe o distanţă egală cu jumătate din spaţiul

dintre fire. De aceea, pentru soluţiile constructive uzuale – cu distanţe între fire între 0.5

mm şi 2 mm – rezoluţia temporală este cuprinsă între 20 ns şi 30 ns.

Folosirea de straturi succesive de camere proporţionale multifilare cu fire orientate în

direcţii diferite permite măsurarea traiectoriilor particulelor cu sarcină. Straturile

succesive de camere proporţionale multifilare cu orientări diferite ale firelor formează un

telescop. Ele pot fi folosite şi în câmpuri magnetice, ceea ce permite determinarea

impulsului particulei cu sarcină a cărei traiectorie a fost măsurată.

Semnalele electrice obţinute, pentru o singură particulă cu sarcină, în două straturi

ortogonale determină un punct unic în spaţiu. Dacă sunt prezente mai multe particule pot

să apară ambiguităţi în asocierea semnalelor de la diferite straturi. De aceea, în cele mai

multe cazuri, se folosesc module cu plane orientate de lungul axei Ox, respectiv, Oy. Se

obţine o cameră proporţională multifilară x-y. Utilitatea camerelor proporţionale

multifilare în determinarea caracteristicilor unor particule cu sarcină detectate este strâns

legată de calitatea electronicii asociate. Acest lucru este cel mai bine definit de metodele

specifice de prelucrare a semnalelor de ieşire de la camere proporţionale multifilare

(metoda centrului de greutate, metoda divizării sarcinii ş.a.) [12,14,15,31,40].

Eficacitatea intrinsecă a camerei proporţionale multifilare depinde de numărul de perechi

electron-ion formate şi colectate în cameră. Având în vedere că acest număr depinde de o

multitudine de caracteristici constructive şi de parametrii de funcţionare ai camerei

proporţionale multifilare – pierderea de energie pe unitatea de parcurs în gazul care

umple camera, distanţa dintre plane, presiunea gazului, ponderea gazelor electronegative

din amestecul de gaze din cameră, valoarea tensiunii electrice aplicate, valorile de prag

pentru amplitudinile semnalelor stabilite pentru electronica asociată, metoda de

prelucrare a semnalelor de ieşire (metoda centrului de greutate, metoda divizării sarcinii

ş.a. [12,14,15,31,40]) – pentru folosirea unei camere proporţionale multifilare la

parametrii optimi este necesară cunoaşterea exactă, experimentală, a tuturor acestor

dependenţe. În aceste condiţii eficacitatea intrinsecă a camerei proporţionale multifilare

poate atinge 98-99 %.

Camera cu deplasare (camera cu “drift”) s-a dezvoltat odată cu camera proporţională

multifilară. Încă de la început s-a observat că se poate obţine informaţie spaţială

măsurând timpul de deplasare până la fir, într-un câmp electric uniform, a ionilor sau

electronilor proveniţi dintr-un eveniment de ionizare. Dacă se cunoaşte viteza de

deplasare, atunci, cunoscând timpul cât durează deplasare, se poate determina cu precizie

mare coordonata spaţială [12,14,15,31,40]. Este necesar un semnal de start de la un alt

detector din sistemul de detectori pentru determinarea timpului. În acest caz, electronica

asociată camerei proporţionale multifilare este schimbată pentru un număr limitat de

canale temporale.

Principiul de operare a unei camere cu deplasare se bazează pe existenţa unei structuri de

fire care să determine apariţia unui câmp electric de deplasare uniform. Se defineşte o

celulă de deplasare printr-un electrod de înaltă tensiune la unul din capete, respectiv, prin

anodul unui contor proporţional simplu, la celălalt capăt. Pentru a crea câmpul electric

uniform se folosesc serii de fire catodice de câmp, puse la tensiuni corespunzătoare, în

regiunea de deplasare. Pentru semnalarea sosirii unei particule cu sarcină se plasează un

detector cu scintilaţie care să acopere întreaga arie sensibilă a camerei cu deplasare.

Plasarea detectorului cu scintilaţie se poate face înainte sau după camera cu deplasare. O

particulă care traversează camera şi scintilatorul eliberează electroni în gaz. Aceşti

electroni încep să se deplaseze către anod. În acelaşi timp, scintilatorul dă un semnal

rapid care porneşte un “ceas”. Semnalul creat la anod, prin sosirea electronilor pe firul

respectiv, va da semnalul de oprire a “ceasului”. Se obţine astfel timpul de deplasare.

Regiunile de deplasare tipice actuale sunt de 5-10 cm. În aceste condiţii tensiunile

electrice aplicate nu trebuie să fie foarte mari. În prezent se obţin viteze de deplasare de

până la 5 cm/s şi timpi de deplasare de 1-2 s. Acest timp mai este cunoscut ca şi

memoria camerei. Pentru acoperirea unei suprafeţe mai mari se pot folosi mai multe

celule de deplasare adiacente. Se pot construi astfel camere cu deplasare cu lungimi de

câţiva metri. Pentru obţinerea mai multor puncte de pe traiectoria unei particule cu

sarcină se pot folosi câteva camere cu deplasare cu orientări diferite ale firelor.

Multe din caracteristicile constructive ale camerelor cu deplasare sunt apropiate de cele

ale camerelor proporţionale multifilare. Spaţiile dintre fire sunt ceva mai mari, iar câmpul

electric asociat scade (în mod obişnuit, este de circa 1 kV/cm). Este necesară luare de

măsuri suplimentare pentru a păstra uniformitatea câmpului electric în spaţiul dintre

anozi. Problemele se rezolvă, de obicei, prin introducerea de fire suplimentare

interanodice.

Alegerea gazului care umple o cameră cu deplasare depinde de tipul de experiment în

care acest detector este folosit. Dacă se doreşte operarea la rate de numărare mari se

urmăreşte obţinerea de viteze de deplasare mari pentru a minimiza pierderile datorate

timpului mort. În cazul în care se doreşte obţinerea unei rezoluţii spaţiale bune se va

considera o viteză de deplasare mai mică, ceea ce va determina minimizarea erorilor în

determinarea timpului. Pentru prima situaţie este preferat ca gaz tetraflorura de carbon

(CF4) şi o hidrocarbură, ca gaz de “stingere”. În cel de al doilea caz se pot folosi gaze

precum bioxid de carbon (CO2), sau amestecuri de tip heliu-propan (He-C2H6), argon-

hidrocarbură ş.a.

Rezoluţia spaţială a camerei cu deplasare depinde, direct proporţional, de coeficientul de

difuzie al electronilor şi de poziţie şi, invers proporţional, de mobilitate şi de câmpul

electric aplicat. De asemenea, rezoluţia spaţială a camerei cu deplasare este determinată

de distanţa de difuzie. Pentru distanţe mai mici rezoluţia spaţială este mai bună (are valori

mai mici). Pentru camere cu deplasare obişnuite această rezoluţie spaţială este în jur de

100 m. Pentru camere realizate în condiţii speciale ea poate să scadă la circa 50 m sau

mai puţin.

În cazul în care camera cu deplasare este folosită în câmp magnetic traiectoriile

electronilor care se deplasează şi vitezele de deplasare vor fi afectate de forţa Lorentz. De

aceea, este necesară o cunoaştere precisă a câmpului magnetic pentru a corela timpul de

deplasare cu poziţia. În anumite situaţii se poate realiza o compensare a efectelor

câmpului magnetic prin modificarea corespunzătoare a direcţiei câmpului magnetic.

Camerele cu deplasare sunt din ce în ce mai folosite în experimente de Fizică

nucleară relativistă şi de Fizica energiilor înalte.

O cameră cu deplasare mult mai complexă este camera cu proiecţie temporală.

Este considerată ca fiind cel mai sofisticat detector cu ionizare. Camera cu proiecţie

temporală este un detector care permite determinarea tridimensională a traiectoriilor

particulelor cu sarcină. Alături de informaţia asupra unor puncte de pe traiectoria unei

particule camera cu proiecţie temporală oferă informaţii asupra pierderii de energie pe

unitatea de parcurs pentru particula considerată. De aceea, acest tip de detector este

considerat ca o cameră cu bule electronică. Ea poate fi folosită cu succes în experimente

de Fizica energiilor înalte la sisteme de accelerare de tip “collider”.

Camera cu proiecţie temporală are forma unui cilindru mare care este umplut cu

un gaz şi care are un electrod central subţire pe care se aplică tensiunea electrică înaltă.

Pentru acceleratori de tip “collider” dimensiunile detectorului - atât ca lungime, cât şi ca

diametru - pot atinge 2 m. La aplicarea tensiunii electrice înalte apare un câmp electric

uniform orientat de-a lungul generatoarei cilindrului (electrodului central). Simultan cu

câmpul electric este aplicat un câmp magnetic paralel. La capetele cilindrului, în plane

perpendiculare pe direcţia de deplasare, sunt plasaţi detectori bidimensionali, sectoriali,

de tipul unei camere proporţionale multifilare. De-a lungul direcţiei de deplasare

coordonata este măsurată temporal. De aceea, pentru determinarea traiectoriei

tridimensionale a unei particule cu sarcină în gaz se determină mai multe semnale de

ieşire succesive, în poziţii diferite, pe detectorul de la capătul camerei cu proiecţie

temporală.

Datorită distanţei lungi pe care se face deplasarea, difuzia – mai ales cea pe

direcţie laterală – poate să creeze o serie de probleme. Pentru rezolvarea acestora

intervine câmpul magnetic aplicat simultan şi paralel cu câmpul electric. Acesta are rolul

de a confina (strânge) electronii la traiectorii elicoidale în jurul direcţiei de deplasare. În

acest fel difuzia poate fi redusă cu un factor de 10. Pentru a realiza acest lucru cele două

câmpuri trebuie să fie aliniate foarte precis şi uniforme pe întregul volum al camerei

(precizie în jur de 10-4

sau mai bună). Alte probleme care apar în funcţionarea camerei cu

proiecţie temporală sunt determinate de acumularea unei sarcini spaţiale în volumul de

deplasare. Rezolvarea acestei probleme se poate face prin introducerea unei grile legate la

pământ, grilă plasată înaintea firelor anodice. Ea serveşte şi la separarea regiunii de

deplasare de regiunea descărcărilor în avalanşă şi permite un control independent asupra

fiecăreia dintre ele.

Sarcina colectată la capetele camerei cu proiecţie temporală este proporţională cu

energia pierdută de particulă. De aceea, amplitudinile semnalelor provenite de la anod pot

fi folosite pentru a determina energia pierdută pe unitatea de parcurs. Deoarece câmpul

magnetic aplicat permite determinarea impulsului particulei, din toate informaţiile

specificate până acum se poate face identificarea particulei. Trebuie menţionat aici că

pentru obţinerea unor informaţii corecte trebuie să fie luaţi în considerare foarte mulţi

factori, cum ar fi: rezoluţie foarte bună în determinarea pierderii de energie pe unitatea de

parcurs, pierderea de electroni prin ataşare la diferiţi ioni, variaţii în amplificare pentru

fire, calibrarea firelor, efecte de saturaţie, tipul şi presiunea gazului din cameră ş.m.a.

Deoarece la o cameră cu proiecţie temporală sunt obţinute foarte multe date

pentru fiecare eveniment este importantă selectarea unor dispozitive de citire a

semnalului de ieşire şi de stocare a informaţiei corespunzătoare. Printre ele se numără

dispozitive cu sarcină (încărcate electric) cuplate (charged-coupled devices = CCD) şi

convertori analog digitali cu “scânteiere” (flash).

Folosirea camerelor cu proiecţie temporală la acceleratori de tip “collider” oferă

posibilitatea plasării centrului detectorului în punctul de interacţie şi acoperirea unei

geometrii apropiate de 4. Acest lucru justifică folosirea acestui tip de detector în

experimentele noi de Fizică nucleară relativistă de la sistemul de acceleratori RHIC de la

BNL şi la sistemul de acceleratori LHC de la CERN.

O categorie de detectori extrem de utilă în experimente de Fizică nucleară, Fizica

particulelor elementare şi Fizică nucleară relativistă este cea a detectorilor cu scintilaţie.

Răspândirea lor este legată de faptul că foarte multe substanţe scintilează (produc lumină)

la trecerea unei particule cu sarcină prin ele. Ele sunt folosite ca volume sensibile pentru

astfel de detectori.

Astfel de detectori au fost folosiţi încă de la primele experimente de Fizică nucleară. În

anul 1903 Crooks a inventat “spintariscopul”. Acest detector consta dintr-un ecran de

sulfură de zinc (ZnS) care producea scintilaţii atunci când o particulă cădea pe el.

Aceste scintilaţii puteau fi urmărite cu un microscop sau cu ochiul liber, într-o cameră

întunecată. Acest tip de detector cu scintilaţie a fost folosit în experimentele de

împrăştiere a particulelor pe nuclee efectuate de Rutherford, Geiger şi Marsden [17,18].

Abia după 40 de ani, detectorii cu scintilaţie au reintrat în atenţia

experimentatorilor. Dezvoltările din Fizică şi Tehnologie au permis înlocuirea ochiului

uman cu un tub fotomultiplicator (1944 – Curran şi Baker), ceea ce a mărit considerabil

eficacitatea detectorului, făcându-l compatibil cu detectorii cu ionizare în gaz, folosiţi de

obicei în experimente de Fizică nucleară. După 1950 detectorii cu scintilaţie, cu o

electronică asociată mult mai sofisticată, devin sistemele de detecţie cele mai folosite.

Tuburile fotomultiplicatoare sunt sistemele de formare a semnalului pentru detectorii cu

scintilaţie.

Substanţele scintilatoare pot fi solide sau lichide. Cele solide sunt cristale

anorganice (iodură de sodiu, florură de cesiu, gemanat de bismut ş.a.), cristale organice

(de exemplu, antracen) sau plastice. Se mai folosesc substanţe scintilatoare sub formă de

lichide organice, cum este toluenul.

De obicei, cristalele anorganice sunt dopate cu un activator corespunzător.

Activatorul permite ca un astfel de cristal să poată da o radiaţie luminoasă detectabilă.

Principiul de funcţionare se bazează pe faptul că atunci când o particulă cu sarcină trece

prin cristal produce electroni liberi şi goluri care sunt capturaţi de activator. Se obţine o

stare excitată a acestuia care prin dezexcitare produce lumină.

În cazul scintilatorilor organici mecanismul de producere a luminii se bazează pe

excitarea stărilor moleculare şi dezexcitarea acestora. Lumina obţinută este în domeniul

ultraviolet. De aceea, în astfel de scintilatori trebuie să fie introduse substanţe

fluorescente adecvate pentru convertirea în lumină vizibilă.

Pentru toate tipurile de detectori cu scintilaţie tuburile fotomultiplicatoare permit

o multiplicare a numărului iniţial de electroni de până la 109 ori. Acest lucru se bazează

pe fereastra fotosensibilă de intrare a tubului (catodul fotomultiplicatorului), sistemul de

electrozi din interiorul tubului – cunoscuţi sub numele de dinode - şi pe electrodul final,

numit şi anodul fotomultiplictorului. Semnalul final obţinut este prelucrat suplimentar şi

amplificat de electronica asociată detectorului cu scintilaţie.

Folosirea scintilatorilor plastici în experimente de Fizică nucleară, Fizica

particulelor elementare şi Fizică nucleară relativistă are la bază atât caracteristicile

acestui tip de volum sensibil, cât şi preţul de cost, mult mai scăzut decât la scintilatorii cu

cristale. Trebuie subliniată rezoluţia temporală foarte bună a scintilatorilor plastici,

precum şi posibilitatea de a fi realizaţi în forme şi de dimensiuni diferite. O astfel de

formă – de interes în Fizica energiilor înalte – este cea de matrice de contori subţiri.

În anumite situaţii – legate de structura aranjamentului experimental – nu este

posibilă punerea în contact direct a volumului sensibil cu sistemul de formare a

semnalului. În aceste cazuri se pot folosi “conducte de lumină” realizate din lucită sau

fibră optică. Acest lucru poate să determine, de exemplu, funcţionarea în condiţii optime

a fotomultiplicatorului (de exemplu, absenţa câmpurilor magnetice puternice poate

permite operarea în condiţii optime a acestora).

Pentru scintilatori lichizi se pot folosi – în anumite situaţii – materiale care să

permită deplasarea lungimilor de undă din diferite domenii de lungimi de undă în

domeniul vizibil (de exemplu, un acril dopat cu molecule complexe, cum sunt cele de

tetra fenil).

Detectorii cu scintilaţie pot fi folosiţi – datorită proprietăţilor lor – la declanşarea

unor alte tipuri de detectori (de exemplu, camera cu streamer) sau pentru obţinerea

semnalelor de “start” şi “stop” la sistemele de detecţie cu timp de zbor. Ei sunt tot mai

mult introduşi în aranjamentele experimentale complexe de Fizică nucleară relativistă.

O altă categorie de detectori folosită, iniţial, cu rezultate deosebite în Fizica

nucleară la energii joase şi introdusă ulterior, cu succes, în experimente de Fizica

energiilor înalte este cea a detectorilor cu semiconductori.

Primele studii privind utilizarea semiconductorilor pentru realizarea unor detectori

de radiaţii nucleare datează din anii ’30, dar abia în anii ’50 a început folosirea lor în

experimente de Fizică nucleară. Folosirea detectorilor cu semiconductori a fost legată de

o mai mare putere de stopare a volumului sensibil construit din materiale

semiconductoare decât cea a gazelor, ceea ce implica o eficacitate de detecţie mai mare,

şi de rezoluţia lor energetică deosebită, ceea ce i-a impus în experimente de tip

spectroscopic. În ultimele două decenii ei s-au impus atenţiei experimentatorilor pentru

rezoluţia spaţială, ceea ce i-a impus şi în experimente de Fizica energiilor înalte pentru

determinarea traiectoriilor particulelor.

Principiul de funcţionare pentru un detector cu semiconductor se bazează pe

existenţa celor două tipuri de purtători de sarcină: electronii şi golurile. Pentru crearea

volumului sensibil se aplică pe joncţiunea semiconductoare o tensiune inversă de

polarizare. Aceasta va determina apariţia unei regiuni sărăcite în purtători de sarcină,

regiune care devine volum sensibil pentru detectorul respectiv. Comportarea ei poate fi

asemănată cu cea a unei camere cu ionizare. La trecerea unei particule cu sarcină se poate

detecta un semnal mic, cu o valoare mai mare decât a semnalului de fond datorat

curenţilor de scăpări.

Cel mai utilizat dispozitiv cu semiconductor folosit în experimente de Fizică

nucleară relativistă este cel cunoscut sub numele de “microstrip”-uri (“microbenzi”).

Materialul semiconductor folosit în mod obişnuit pentru realizarea unui astfel de detector

este siliciul.

Detectorul cu “microstrip”-uri (“microbenzi”) permite obţinerea de rezoluţii spaţiale

foarte bune şi de aceea este folosit adesea pentru determinarea vertex-ului de interacţie.

Într-un astfel de detector se pot realiza electrozi multipli sub forma unor “benzi” foarte

fine, de circa 10 m. Folosind straturi multiple, succesive, de astfel de plane cu electrozi

în formă de “benzi” se poate obţine un detector tridimensional. El se poate folosi ca “ţintă

activă”. Dacă se constată o creştere a semnalului de la un start la stratul următor, atunci se

poate considera că a avut loc o dezintegrare a unei particule neutre în particule cu sarcină.

De aceea, astfel de detectori sunt foarte utili în detectarea particulelor cu timpi de viaţă

foarte scurţi. De exemplu, în experimente de Fizică nucleară relativistă sunt foarte utili

pentru detectarea producerii de hipernuclee.

Determinarea traiectoriei se bazează pe măsurarea “centrului de greutate” al

semnalelor provenite de la “benzi”. Valoarea rezoluţiei spaţiale obţinute depinde de

lăţimea “benzii”, de distanţa dintre electrozi (“benzi”), grosimea stratului de siliciu. De

exemplu, pentru un cristal de siliciu cu o grosime de 280 m pe care s-au implantat benzi

cu grosimea de 10 m, separate între ele printr-un interval de 10 m, se obţine o rezoluţie

spaţială de câţiva micrometri. Pentru detectori cu “microbenzi” care acoperă suprafeţe

mari – peste 10 mm2 – este necesară creşterea pasului dintre “benzi”, până la 100 m. Şi

în această situaţie rezoluţia spaţială este foarte bună, anume sub 10 m.

Alături de detectorii cu “microbenzi”, în experimente de Fizica energiilor înalte

sunt din ce în ce mai des folosiţi şi alţi detectori sensibili la poziţie. Gatti şi Rehak au

propus camera cu deplasare cu siliciu [14,15,31-33]. La detectorii de acest tip se crează

un canal de deplasare de-a lungul planului central al unei plachete de siliciu prin sărăcirea

completă a plachetei la suprafeţele plate şi la unul din capete. Cu un astfel de detector cu

funcţionare similară unei camere cu deplasare, cu volum sensibil gazos, care nu necesită

o electronică prea voluminoasă pentru prelucrarea semnalului, se pot obţine rezoluţii

spaţiale în jur de 5 m.

De tot mai mare interes se bucură folosirea dispozitivelor cu sarcină (încărcate electric)

cuplate (charged-coupled devices = CCD) ca detectori pentru experimente de Fizica

energiilor înalte. Un astfel de detector este realizat din siliciu şi este format din două

suprafeţe de “gropi de potenţial” din staniu, fiecare cu o suprafaţă de câţiva micrometri

pătraţi. Când o radiaţie nucleară cade pe dispozitiv sunt eliberaţi electroni care sunt

captaţi de către “gropile de potenţial”. Informaţia de sarcină obţinută este analizată prin

deplasarea succesivă a sarcinii de la o “groapă” la alta, până la ajungerea la electronica

asociată prelucrării semnalului de ieşire. De la astfel de detectori se speră obţinerea unor

rezoluţii spaţiale sub 2 m. Acest lucru este posibil deoarece sunt detectori cu zgomot

foarte mic.

În experimentele de Fizica energiilor înalte sunt foarte des folosite – pentru măsurători de

energie – dispozitive mari în care particulele îşi pierd practic toată energia, prin diferite

procese de interacţie. Aceste dispozitive se numesc calorimetre deoarece energia pierdută

este convertită în căldură. Măsurarea energiei depozitate în calorimetru se face pe baza

determinării energiei pierdute în procesele de excitare şi ionizare din volumul sensibil

(volumele sensibile) al calorimetrului. Un astfel de detector mai este clasificat şi ca

detector bazat pe metode distructive de detecţie, deoarece particulele nu mai pot fi

folosite pentru alte studii.

Natura procesului dominant care conduce la pierderea de energie în calorimetru

determină caracteristicile de bază ale acestuia. De aceea, se consideră două categorii mari

de calorimetre, anume: calorimetre electromagnetice şi calorimetre hadronice.

Calorimetrele electromagnetice sunt cele în care predominante sunt interacţiile

electromagnetice ale electronilor şi radiaţiilor – radiaţie de frânare, producere de

perechi, împrăştiere Compton. În astfel de cazuri contribuţiile proceselor nucleare sunt

mici. Ca urmare a proceselor de interacţie care apar într-un calorimetru electromagnetic

sunt produse generaţii secundare de electroni, generaţii care pot provoca – la rândul lor –

apariţia unor fotoni. Se produce astfel o jerbă electromagnetică de fotoni, electroni şi

pozitroni. Particulele dintr-o astfel de jerbă se pot multiplica până la atingerea unui număr

maxim de particule. Valoarea acestui număr este legată de energia iniţială şi de energia

medie de ionizare. La atingerea lui nu mai este suficientă energie pentru continuarea

procesului de multiplicare. După acest moment jerbele electromagnetice încep să se

dezintegreze. Particulele cu sarcină pierd energie prin ionizare, iar fotonii prin

împrăştiere Compton. Există relaţii semiempirice pentru descrierea acestor procese

[6,8,12,14,15,31-33].

La realizarea unui calorimetru electromagnetic pentru măsurarea energiei electronilor

şi/sau fotonilor trebuie avută în vedere obţinerea unei rezoluţii energetice maxime. În

acest fel se poate localiza cât mai precis posibil poziţia electronului sau fotonului. De

aceea, trebuie luate în considerare caracteristicile unei jerbe electromagnetice. Sunt avute

în vedere – în principal – extinderea longitudinală, împrăştierea transversală şi rata de

pierdere a energiei de-a lungul traiectoriei străbătute în volumul sensibil. La discutarea

lor trebuie avută în vedere energia critică. Aceasta se defineşte ca energia electronului

pentru care pierderile de energie prin emisie de radiaţie devin egale cu pierderile de

energie prin ciocnire şi ionizare. Ea are valori specifice pentru diferitele materiale din

care se realizează calorimetrele electromagnetice (de exemplu, la argon este de 30 MeV,

iar la plumb este de 7 MeV). În funcţie de tipul de material se poate stabili grosimea la

care se atinge numărul maxim de particule din jerba electromagnetică [6,8,12,14,15,31-

33].

Rezoluţia energetică a calorimetrului electromagnetic depinde, în primul rând, de

fluctuaţiile de eşantionare ale energiei depozitate în volumul sensibil al acestuia. La

determinarea ei trebuie avut în vedere faptul că un calorimetru este construit, în cele mai

multe cazuri, din straturi succesive, alternante, de material absorbant şi detectori

[12,14,15,31,33].

Calorimetrele hadronice detectează particule care interacţionează tare. De aceea,

procesele de degradare a particulelor şi de detectare a lor sunt mai complexe decât în

cazul calorimetrelor electromagnetice. Ele depind de diferitele reacţii nucleare, de

excitări şi dezintegrări ale particulelor elementare. La calorimetrele electromagnetice

mărimile de interes – grosime maximă, rezoluţie energetică – erau dependente de

lungimea de radiaţie. Prin analogie, la calorimetrele hadronice mărimile de interes depind

de lungimea de absorbţie nucleară, definită astfel:

int

A

absN

A ,

unde A este numărul de masă, NA este numărul lui Avogadro, este densitatea volumului

sensibil, int este secţiunea eficace inelastică nucleonică. De aceea, pentru energii peste 2

GeV lungimea de absorbţie nucleară este aproape independentă de energie.

La realizarea unui calorimetru hadronic şi la stabilirea caracteristicilor sale trebuie luate

în considerare unele aspecte legate de faptul că sunt particule care nu îşi pierd energia în

volumul său sensibil, mai ales unele particule neutre (neutroni lenţi, neutrini ş.a.) Din

aceste motive rezoluţia energetică a unui calorimetru hadronic este mai salbă decât a unui

calorimetru electromagnetic (apar fluctuaţii mai mari în dezvoltarea jerbei). În plus,

modul de dezintegrare a pionilor neutri contribuie la creşterea variaţiilor în energia

depozitată în volumul sensibil. În general, circa 95% din energie este depozitată într-un

cilindru de rază abs. Principalele materiale din care se construiesc calorimetrele

hadronice sunt plumbul şi fierul. Ele sunt dispuse în straturi succesive, alternante, de

material şi detectori. Pot fi folosite în câmpuri magnetice.

Pentru experimentele de Fizică nucleară relativistă care urmăresc reconstrucţia

tridimensională a traiectoriilor particulelor sunt des utilizaţi şi detectorii Cerenkov.

Indiferent de tipul lor – detectori Cerenkov cu prag, detectori Cerenkov diferenţiali,

detectori Cerenkov inelari pentru formare de imagini (Ring Image Cerenkov Counter -

RICH) – toţi se bazează pe faptul că la trecerea unei particule printr-un mediu cu o viteză

mai mare decât viteza luminii în mediul respectiv este emisă o radiaţie electromagnetică

(efectul Cerenkov).

Orice detector Cerenkov foloseşte unul sau mai multe tuburi fotomultiplicatoare pentru a

detecta lumina Cerenkov şi a înregistra trecerea unei particule. Detectorii Cerenkov au

proprietatea de discriminare între particule care au viteze diferite. Dacă este posibilă

măsurarea impulsurilor acestor particule, atunci se poate face discriminare şi după masa

particulelor.

Un detector Cerenkov este format dintr-un container umplut cu un material transparent la

lumina Cerenkov – material aflat într-una din cele trei stări de agregare uzuale – cu indice

de refracţie ales în mod corespunzător.

Dacă detectorii Cerenkov cu prag şi cei diferenţiali sunt folosiţi, în principal, pentru

identificarea unor particule şi separarea lor pe intervale unghiulare mici, detectorii

Cerenkov inelari pentru formare de imagini pot fi folosiţi pentru identificarea particulelor

emise dintr-o interacţie într-un domeniu unghiular mare. În acest caz este necesară

folosirea unui sistem optic care să focalizeze lumina emisă într-un con Cerenkov într-un

detector de rază determinată de unghiul la vârf al conului, deci de viteza particulei. Este

util în spectrometre mari care folosesc câmpuri magnetice intense pentru identificarea

particulelor emise în anumite intervale unghiulare.

Folosirea detectorilor cu radiaţie de tranziţie are la bază apariţia unei radiaţii

electromagnetice atunci când o particulă cu sarcină străbate suprafaţa de contact dintre

două materiale care au proprietăţi dielectrice diferite. Detecţia s-ar putea baza pe

producerea de către particulă a unui câmp electric dependent de timp, atunci când variaţia

constantei dielectrice este la nivel macroscopic. Se produce o polarizare tranzientă a

mediului şi curentul de polarizare determină apariţia radiaţiei de tranziţie. Detectorii sunt

sub formă de straturi din două materiale diferite, ceea ce permite apariţia radiaţiei de

tranziţie la toate interfeţele. Performanţele unui astfel de detector depind de geometria şi

materialele folosite.

Primii detectori cu radiaţie de tranziţie au fost folosiţi în experimente de raze cosmice

pentru identificarea electronilor şi a pionilor de energii foarte mari. În prezent a început

folosirea lor şi în experimente la acceleratori.

Cunoscând principiile de funcţionare ale principalelor tipuri de detectori folosiţi în

experimente de Fizică nucleară relativistă se poate înţelege mai uşor de ce au fost

selectaţi unii dintre ei în diferite aranjamente experimentale complexe.

III.3. Sisteme de detecţie complexe pentru experimente

de Fizică nucleară relativistă

III.3.1. Consideraţii generale

O problemă majoră care se pune în studiul ciocnirilor nucleu-nucleu la energii

înalte este aceea a detectării numeroaselor particule şi fragmente create în astfel de

ciocniri. Datorită ratei mari de informaţii şi necesităţii stabilirii unui număr mare de

mărimi care să caracterizeze o particulă detectată sau un fragment detectat este de dorit ca

în astfel de experimente să se folosească sisteme de detectori şi sisteme de detecţie

asociate care să dispună de un anumit număr de nivele de decizie. În prezent se consideră

5 nivele de decizie pentru un sistem de detectori dintr-un aranjament experimental pentru

studiul ciocnirilor nucleu-nucleu la energii înalte, şi anume:

(i) declanşare primară;

(ii) declanşare secundară;

(iii) lucrul "în linie" cu microprocesoare programabile;

(iv) filtrare "în linie" a informaţiei înainte de înregistrare;

(v) monitorare şi control "în linie" cu ajutorul calculatorului.

Detectorii care fac parte din sistemele de detecţie care se folosesc în prezent în

experimente de Fizică nucleară relativistă nu au la bază principii de detecţie noi

[3,4,6,8,11]. Ei sunt incluşi în aranjamente experimentale complexe pentru a se obţine

maxim de informaţie experimentală în problema de interes abordată. Intrarea în funcţiune

a sistemelor de accelerare de tip "collider" va face necesară apariţia altor sisteme de

detecţie, fie – în viitor – a unor principii de detecţie noi [8,11,13-15].

Gama de detectori folosiţi în experimentele de până acum este extrem de largă -

de la emulsii nucleare la detectori solizi de urme şi calorimetre - iar aranjamentele

experimentale cuprind mai multe tipuri de astfel de detectori. Toate marile laboratoare

care lucrează în domeniul Fizicii nucleare relativiste dispun de mai multe sisteme de

detecţie deosebit de complexe, dedicate unor anumite tipuri de experimente [11,15,28-

30].

Orice detector complex sau orice sistem de detectori trebuie să satisfacă câteva

cerinţe majore. Acestea ar fi :

(i) localizarea în spaţiu a traiectoriei particulei;

(ii) măsurarea energiei particulei;

(iii) identificarea particulei;

(iv) localizarea în timp a particulei.

Fiecare tip de detector va permite o acoperire mai mică sau mai mare a acestor cerinţe în

funcţie de proprietăţile pe care le are şi, prin acestea, în raport cu funcţiile pe care poate

să le îndeplinească.

III.3.2. Sisteme de detecţie folosite în unele experimente

de Fizică nucleară relativistă

În marile laboratoare care dispun de sisteme de accelerare a ionilor grei relativişti

se folosesc numeroase tipuri de detectori. În cele mai mute situaţii, mai ales în ultimele

două perioade din etapa sistemelor de accelerare, se folosesc aranjamente experimentale

complexe care include multe tipuri de detectori, astfel încât informaţia obţinută să fie cât

mai bogată şi diversă. Deoarece multe din datele experimentale care vor fi considerate în

cadrul laboratorului asociat cursului de Fizică nucleară relativistă au fost obţinute de

autorii cursului în cadrul a două colaborări internaţionale în care şi-au desfăşurat şi îşi

desfăşoară activitatea de cercetare ştiinţifică se vor prezenta mai întâi aranjamentele

experimentale cu ajutorul cărora au fost obţinute, anume: spectrometrului SKM 200 de la

IUCN Dubna (Colaborarea SKM 200) şi sistemul de spectrometre BRAHMS de la

Laboratorul Naţional Brookhaven (Colaborarea BRAHMS).

III.3.2.1. Descrierea spectrometrului SKM 200

Institutul Unificat de Cercetări Nucleare (IUCN) de la Dubna a fost primul care a

obţinut şi a folosit fascicule de ioni grei relativişti. De-a lungul timpului aici s-au folosit

mai multe sisteme de detectori pentru experimete de Fizică nucleară relativistă. Unul

dintre cele mai importante este Spectrometrul SKM 200.

Spectrometrul SKM 200 de la IUCN Dubna are următoarele părţi componente

importante:

(i) camera cu streamer;

(ii) generatorul de pulsuri de înaltă tensiune;

(iii) sistemul de asigurare a gazelor;

(iv) magnetul analizor;

(v) sistemul de declanşare;

(vi) sistemul de stereofotografiere.

Camera cu streamer a fost construită la IUCN Dubna în perioada 1972-1974. Ea a

intrat în funcţiune în anul 1974 fiind folosită intens pentru studii de Fizică nucleară

relativistă, atât pentru studiul generării multiple de particule şi mecanismelor de producere

[1-6,43-47] cât şi pentru producerea de hipernuclee în ciocniri nucleare relativiste [16,48].

Dimensiunile acestei camere (2m x 1m x 0.6m) [49] au făcut ca, până în anul 1986 -

anul intrării în funcţiune, la CERN Geneva, a unei camere cu streamer având dimensiunile:

2m x 1.2m x 0.72m [50] - să fie cea mai mare cameră cu streamer construită.

Cele 2 spaţii de lucru - determinate de prezenţa a 3 electrozi - pot fi observate prin

două ferestre având dimensiunile următoare: 1.91m x 0.88m; ele sunt acoperite etanş cu

peliculă de "lavsan" de 0.15 mm grosime. Camera este montată pe o carcasă ecran şi este

instalată pe un cărucior mobil, ghidabil, şi plasată în spaţiul special creat în magnetul

analizor (Fig.I.5).

Cei trei electrozi ai camerei au forme diferite şi sunt plasaţi astfel: la partea

superioară, la mijlocul şi la baza camerei. Primii sunt cilindrici, din sârmă, iar cel inferior

este sub formă de placă. Formele şi dimensiunile optime ale acestor electrozi au fost

stabilite prin determinări experimentale, astfel încât să nu apară descărcări prin efect

corona [49]. Diametrele electrozilor cilindrici au următoarele valori: 0.1 mm, respectiv,

0.25 mm. Paşii corespunzători sunt de 0.6 mm, repectiv, 1.8 mm. O placă de duraluminiu

prevăzută cu 9 ferestre pentru fotografierea reperelor de referinţă este cel de al treilea

electrod al camerei cu streamer. Placa de duraluminiu este înnegrită pentru a reduce

reflexia luminii şi a creşte astfel calitatea imaginilor obţinute.

Intrarea fasciculului în camera cu streamer se face printr-o fereastră de intrare

plasată la circa 80 mm de electrodul mijlociu.

Ţinta este plasată în interiorul camerei cu streamer, la circa 30-40 cm de fereastra

de intrare. De obicei, aceasta este sub formă de disc subţire şi este montată în interiorul

unui cilindru din material electroizolant şi transparent, vidat şi închis, ceea ce permite

evitarea unor descărcări electrice parazite în timpul funcţionării, precum şi alte

disfuncţionalităţi în exploatare.

O altă problemă de interes este cea a generatorului de pulsuri de înaltă

tensiune. Pe electrozii camerei se aplică pulsuri de înaltă tensiune cu amplitudini de

până la 700 kV şi durate de zeci de nanosecunde folosind un generator Marx [40,49] şi

un formator de pulsuri bazat pe un cablu dublu coaxial. Cu cât durata unui puls este mai

mică, la aceeaşi valoare a amplitudinii, cu atât este mai mare strălucirea streamer-ilor. În

condiţiile date durata nu a putut fi mai mică de 10 ns, deoarece pentru valori mai mici

creştea brusc contribuţia efectului corona şi exista pericolul defectării instalaţiei

experimentale.

stereophoto

system magnet

S1 S2 S3

beam S4

Sch

streamer

chamber

target

vacuum Sn

tube S5 S6

Fig.I.5. Spectrometrul SKM 200 de la IUCN Dubna

Camera cu streamer de la IUCN Dubna poate funcţiona cu două tipuri de gaze

nobile: heliu şi neon. În cazul umplerii cu neon a camerei amplitudinea pulsului de tensiune

a fost de 500 kV, iar durata pulsului a fost de 10.5 ns. La umplerea cu heliu amplitudinea

pulsului poate atinge 700 kV, iar durata sa se apropie de 20 ns. Întârzierea totală a

pulsurilor de înaltă tensiune este de 1ns.

Sistemul de asigurare a gazelor pentru această cameră cu streamer permite

suflarea permanentă a gazului de lucru - heliu sau neon - în cameră, precum şi colectarea

şi regenerarea gazului degradat. Regenerarea gazului se poate face, în funcţie de

necesităţile de puritate a gazului din cameră, şi după întreruperea funcţionării sistemului de

detecţie.

Presiunea gazului în camera cu streamer este egală cu presiunea atmosferică şi

este păstrată pe toată durata funcţionării sistemului de detecţie. Urmărirea automată a

presiunii din camera cu streamer se face cu ajutorul unui gaz special ("gaz holder").

Debitele necesare pentru păstrarea presiunii gazului din cameră sunt cuprinse între

5 şi 500 l/h. Valoarea debitului depinde şi de durata "memoriei" camerei cu streamer (circa

10 ns). Productivitatea sistemului de regenerare a gazului este de minim 3 m3/h pentru

impurităţi mai mici de 0.01 %.

Magnetul analizor în al cărui spaţiu dintre cei doi poli se introduce camera cu

streamer - magnetul ISP-41 modificat - are suprafeţele polilor de 2m x 1m, iar spaţiul dintre

ele de 0.5 m. Ulterior, acest spaţiu a crescut la 0.76 m.

Pe polul inferior al magnetului se află ghidajele pentru introducerea camerei,

precum şi placa cu reperele de referinţă. În polul superior al magnetului s-a creat un spaţiu

sub formă de trunchi de piramidă, cu baza mare (1.8m x 0.8m) spre camera cu streamer,

pentru plasarea sistemului de stereofotografiere. Aceste modificări ale magnetului ISP-41

au determinat scăderea valorii câmpului magnetic sub 1 T, dar nu au produs neomogenităţi

mari ale câmpului magnetic în camera cu streamer. Astfel, în partea centrală a camerei

(1.6m x 0.6m x 0.4m) neomogenităţile nu depăşesc 5 %.

Sistemul de stereofotografiere este legat rigid de magnet. În funcţie de experiment

s-au folosit 2 până la 4 camere. Varianta obişnuită a fost cea cu 3 camere. Planul de

focalizare al obiectivelor camerelor se poziţionează pe axa fasciculului incident. Distanţa

de fotografiere este de 2300 mm, ceea ce conduce la un raport 1:40. Fotografierea se face

pe filme de mare sensibilitate (3000-4500 unităţi GOST şi coeficient de contrast 1.6-1.8) cu

lăţimea de 35 mm. In general, dimensiunile unui cadru sunt de 22mm x 50 mm.

Introducerea în cadrul fotografiei a unor informaţii de interes - numărul filmului, numărul

cadrului, numărul proiecţiei ş.a. - furnizate de un sistem de afişare a informaţiei

numerice se face cu ajutorul unui sistem optic. De aceea, evenimentul din camera cu

streamer şi informaţia numerică corespunzătoare se fotografiază simultan.

Spectrometrul SKM 200 face parte din categoria sistemelor de detecţie care dispun

de declanşare primară şi de declanşare secundară [3-5,12-15].

Declanşarea sa se face prin două sisteme de detectori cu scintilaţie plasate înainte

şi după camera cu streamer (Fig.I.5.). Primul sistem de detectori are rolul de a selecta

fasciculul incident de tipul dorit (precizie în numărul de masă şi numărul atomic al

nucleului incident mai bună de 99%) şi de energia dorită (acelaşi nivel de precizie). Cel

de al doilea sistem de detectori permite diferenţierea între ciocniri centrale şi ciocniri

periferice (inelastice). Modurile de declanşare ale spectrometrului SKM 200 se notează

prin T(ch,n). ch, respectiv, n, reprezintă valorile minime ale unghiurilor de emisie

acceptate pentru fragmente cu sarcină, respectiv, fragmente neutre ale nucleului incident.

Pentru ch = 0 şi n = 0 se obţine modul de declanşare periferic (inelastic), notat T(0,0), iar

pentru ch > 0 şi n 0 se obţine modul de declanşare central; de exemplu T(2,0), T(3,3),

T(5,0) sunt moduri de declanşare centrale. În cazul ciocnirilor nucleu-nucleu la 4.5 A

GeV/c se consideră ca fragmente de tip "stripping" ale nucleului proiectil cele pentru care

impulsul este mai mare de 3.5 GeV/c pe nucleon al fragmentului.

Modurile de declanşare sunt legate de geometria şi dinamica ciocnirii. Cu creşterea

valorilor unghiurilor minime acceptate pentru fragmentele nucleului incident creşte şi

gradul de centralitate a ciocnirii, ceea ce înseamnă scăderea parametrului de ciocnire. De

aceea, discutarea datelor şi rezultatelor experimentale se face în cadrul fiecărui mod de

declanşare.

III.3.2.2. Descrierea aranjamentului experimental BRAHMS

Particule detectate cu aranjamentul experimental BRAHMS sunt: , K

, p

. Detectarea

se face pe un domeniu larg de rapidităţi şi impulsuri transversale pentru toate tipurile de

fascicul şi la toate energiile disponibile la sistemul de acceleratori tip “collider” RHIC-

BNL. Condiţiile experimentale sunt foarte diferite, iar domeniile de valori ale mărimilor

fizice de interes implică un aranjament experimental complex. El include 2 spectrometre

magnetice care se pot roti, fiecare conţinând mai multe tipuri de detectori: (a)

Spectrometrul “Înainte” sau “Forward Spectrometer” (FS) (2.3o<<30

o; 1.3y4.0 ); (b)

Spectrometrul de rapiditate mediană sau “Mid Rapidity Spectrometer” (MRS)

(30o<<95

o; -0.1y1.3). Fiecare are o structură complexă. Astfel, Spectrometrul

“Înainte” este format din: 4 dipoli magnetici (D1D4), 2 camere cu proiecţie temporală

(T1, T2), 3 “pachete” de camere cu deplasare (drift) (T3T6), 2 hodoscoape (H1,H2)

pentru măsurători de timp de zbor - 48, respectiv, 32 detectori cu scintilaţie - folosite la

identificarea de particule cu sarcină cu impulsuri în domeniul 1-20 GeV/c, contor

Cerenkov cu prag (C1), detector Cerenkov inelar cu formare de imagine (RICH).

Structura Spectrometrului de rapiditate mediană include: 2 camere cu proiecţie temporală

(TPC1, TPC2) umplute cu un amestec de gaze Ar-CO2; un magnet dipolar (D5) – pentru

măsurători de impuls; perete de timp de zbor (TOFW); detector Cerenkov segmentat cu

gaz (GASC) – pentru identificare de particule cu p 5 GeV/c. Rezoluţia în impuls a

sistemului de detecţie este: p/p 0.01

Celor 2 spectrometre li se adaugă detectori pentru informaţia globală, anume:

a. Contori fascicul-fascicul – pentru declanşare iniţială, informaţie de vertex, start pentru

măsurători de timp de zbor - bazat pe detectori Cerenkov (35,42);

b. Detector de multiplicitate – pentru centralitatea ciocnirii în regiunea mediană de

rapiditate; conţine 24 detectori de Si segmentaţi (168 canale; declanşare rapidă pentru

selectarea centralităţii ciocnirii) şi 40 “ţigle” scintilatoare; cu ei se acoperă domeniul de

rapiditate -2.2y2.2;

c. Calorimetre de zero grade (ZDC) – de acelaşi tip cu cele pentru celelalte experimente

de la RHIC; sunt situate în spatele celor doi magneţi ai fasciculului (DX); se folosesc

pentru măsurători de luminozitate şi stabilirea condiţiilor geometrice ale ciocnirii

(măsurători de neutroni emişi înainte).

Cele 3 sisteme de detecţie dau informaţii asupra centralităţii în domeniile: -2.2y2.2, 3.2

4.3, precum şi la 0o. În Fig.I.6 este prezentat aranjamentul experimental

BRAHMS.

Fig.I.6. Aranjamentul Experimental BRAHMS de la RHIC-BNL

III.4. Remarci finale asupra metodelor şi mijloacelor experimentale

folosite în experimente de Fizică nucleară relativistă

Pentru realizarea unui aranjament experimental complex, care să permită

extragerea de informaţii fizice cât mai complete este necesară folosirea unor mijloace şi

metode experimentale adecvate. De aceea, nu se poate gândi corect un experiment în

absenţa cunoştinţelor specifice din diferite domenii ale Fizicii nucleare experimentale.

Datorită faptului că dezvoltările ştiinţifice şi tehnologice actuale nu permit unei singure

persoane să stăpânească toate cunoştinţele, atât în plan experimental, cât şi în plan

teoretic, experimentele sunt gândite şi realizate practic, astăzi, de grupuri din ce în ce mai

mari de fizicieni. Lor li se adaugă ingineri specializaţi în probleme de accelerare, câmpuri

magnetice, criogenie, tehnica vidului, transmiterea şi stocare informaţiei, tehnici asistate

de calculator. Unele din aceste aspecte au reieşit, probabil, din prezentarea făcută în

această parte a cursului unor metode şi mijloace experimentale specifice Fizicii nucleare

relativiste.

Nu se poate concepe realizarea unui experiment corect în absenţa unor modalităţi corecte,

repetabile şi reproductibile de obţinere a datelor experimentale. De aceea, pentru orice

fizician care doreşte să facă cercetări în domeniul Fizicii nucleare relativiste, obţinerea

unui bagaj minim de cunoştinţe în domeniul metodelor şi mijloacelor experimentale este

obligatorie, chiar dacă doreşte să se implice în probleme precum modelarea dinamicii

acestor ciocniri sau investigarea tranziţiilor de fază din materia nucleară creată în astfel

de ciocniri.

Pentru a se ajunge la informaţia fizică dorită este necesară o atentă şi corectă selectare şi

prelucrare a datelor experimentale primare în vederea obţinerii informaţiei asupra

mărimilor fizice de interes. Acestui nou pas în obţinerea rezultatelor experimentale îi este

consacrată a doua parte a cursului.

Bibliografie la partea I-a

[1]. A.S.Goldhaber, H.H.Heckman - Ann.Rev.Nucl.Part.Sci.28(1978)161

[2]. D.K.Scott - Prog.Part.Nucl.Phys.IV(1981)5

[3]. Al.Jipa - Teză de doctorat - Universitatea Bucureşti, Facultatea de Fizică, 1989

[4]. C.Beşliu, N.Ghiordănescu, M.Penţia - Studii şi Cercetări de Fizică 29(1977)817

[5]. A.M.Baldin - Prog.Part.Nucl.Phys.IV(1981)95

[6]. E.M.Friedlander, H.H.Heckman - Treatise on Heavy Ion Science - Plenum Press, New

York and London, 1984, vol.IV, pag.460

[7]. R.Stock - Phys.Rep.135(1986)259

[8]. C.W.Fabjan - Preprint CERN CERN-EP 88-73(1988)

[9]. K.D.Gross - GSI Report GSI-93-44(1993)

[10]. H.Geissel - Preprint GSI-94-70(1994)

[11]. Courrier CERN - colecţia pe anii 1991-1996

[12]. C.W.Fabjan, H.G.Fisher - Rep.Prog.Phys.43(1980)1003

[13]. G.Jarlskog, D.Rein (editors) - Large Hadron Collider Workshop, Aachen, 4-9.X.1990,

Preprint CERN CERN 90-10(1990), Preprint ECFA 90-133(1990)

[14]. Th.Farbel - Experimental Techniques in High Energy Nuclear and Particle Physics -

World Scientific, Singapore, 1991

[15]. W.R.Leo - Techniques for Nuclear and Particle Physics Experiments - Springer

Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo, 1995

[16]. C.Beşliu, Al.Jipa, Irina Tudoraşcu, R.Zaharia - Analele Universităţii Bucureşti -

Fizica XLIII(1994)26

[17]. Max Born - Fizica atomică - Editura Stiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1974

[18]. K.N.Muhin - Fizică nucleară experimentală - Editura Tehnică, Bucureşti, 1981 (vol.I)

[19]. H.Crawley-Milling - Rep.Prog.Phys.46(1983)51

[20]. M.Pignanelli - Prog.Part.Nucl.Phys.XV(1985)483

[21]. S.Nagamiya et al – Phys.Rev.C24(1981)971

[22]. S.Nagamiya - Prog.Part.Nucl.Phys.XV(1985)363

[23]. R.Stock - Prog.Part.Nucl.Phys.XV(1985)455

[24]. H.J.Specht - Prog.Part.Nucl.Phys.XV(1985)479

[25]. V.Metag - Prog.Part.Nucl.Phys.XXX(1993)75

[26]. P.J.Bussey, I.G.Knowles (editors) - Proceedings of the XXVII International

Conference on High Energy Physics, 20-27 July 1994, Glasgow, Scotland, UK - IOP

Publishing Ltd, Brristol and Philadelphia, 1995

[27]. A.K.Wroblewski et al (editors) - XXVIII-th International Conference on High Energy

Physics, 25-31.VII.1996, Warsaw (Poland), World Scientific, Singapore, 1997

[28]. ***** - http://www.rhic.bnl.gov

[29]. ***** - http://www.cern.ch

[30]. Colaborarea BRAHMS – Experimentul BRAHMS. Stadiul actual şi perspective -

Conferinţa Naţională de Fizică, Constanţa, 21-23.IX.2000 – comunicare orală prezentată de

către I.S.Zgură

[31]. W.H.Tait – Radiation detection – Butterworths, London, Boston, Sydney, Wellington,

Toronto, Durban, 1980

[32]. I.S.Hughes - Elementary particles - Cambridge University Press, Cambridge, New

York, Port Chester, Melbourne, Sydney, 1991

[33]. C.W.Fabjan, R.Wigmans – Rep.Prog.Phys.52(1989)1519

[34]. H.H.Gutbrod, A.M.Poskanzer, H.G.Ritter – Rep.Prog.Phys.52(1989)1267

[35]. R.P.Mount – Rep.Prog.Phys.55(1992)1385

[36]. A.Foglio Para, M.Mandelli Bettoni – Nucl.Instr.Meth.Phys.Res.70(1969)52

[37]. J.W.Muller – Nucl.Instr.Meth.Phys.Res.112(1973)47

[38]. G.E.Chikovani et al – Nucl.Instr.Meth.Phys.Res.29(1964)261

[39]. B.A.Dolgoshein et al – Nucl.Instr.Meth.Phys.Res.29(1964)270

[40]. P.Rice-Evans – Spark, Streamer, Proportional and Drift Chambers – The Richelieu

Press, London, 1974

[41]. S.P.K.Tavernier - Nucl.Instr.Meth.Phys,Res.225(1984)642

[42]. V.Eckardt et al - Nucl.Instr.Meth.Phys.Res.225(1984)651

[43]. V.D.Aksinsnko et al – Nucl.Phys.A348(1980)518

[44]. A.U.Abdurakhimov et al – Nucl.Phys.A362(1981)376

[45]. M.Anikina et al – Phys.Rev.C33(1986)895

[46]. Al.Jipa, C.Beşliu, Maria Iosif, R.Zaharia – Il Nuovo Cimento A112(1999)179

[47]. C.Beşliu, Al.Jipa et al – Nucl.Phys.A662(2000)446

[48]. E.Okonov – ANOMALON Project. Lettetr of intents – JINR Dubna 1991

[49]. A.U.Abdurakhimov et al – Preprint JINR 13-10692(1977)

[50]. A.Bamberger et al – Phys.Lett.B184(1987)271

[51]. I.Lazanu – Introducere în Fizica acceleratorilor de particule – Editura Universităţii din

Bucureşti, 1997

[52]. E.O.Lawrence, N.E.Edlefsen – Science 72(1930)376

[53]. E.O.Lawrence, M.S.Livingston - Phys.Rev.40(1932)19

[54]. V.Veksler – J.Phys. (USSR)9(1945)153

[55]. E.M.McMillan – Phys.Rev.68(1945)143

[56]. H.D.W.Kerst et al – Phys.Rev.102(1956)590

[57]. G.K.O’Neill – Phys.Rev.102(1956)1418

[58]. R.Hagedorn – Relativistic Kinematics - W.A.Benjamin Inc., New York, Amsterdam,

1964

Partea a II-a

Mărimi fizice cu semnificaţie

dinamică

în ciocniri nucleare relativiste

Capitolul al IV-lea

Consideraţii generale privind

mărimile fizice cu semnificaţie dinamică

Ciocnirile nucleu-nucleu la energii înalte se caracterizează prin secţiuni eficace

mari, multiplicităţi mari ale particulelor cu sarcină şi fragmentelor, precum şi prin

abundenţa particulelor neutre în starea finală [1-10]. Aceste caracteristici fac dificilă şi

complicată descrierea dinamicii acestor ciocniri. Diversitatea şi complexitatea

fenomenelor care se pot produce în ciocniri nucleu-nucleu la energii înalte complică, la

rândul lor, dinamica ciocnirii şi fac extrem de dificilă separarea contribuţiilor specifice.

De aceea, trebuie găsite acele mărimi fizice care să conţină cât mai multe informaţii

dinamice şi să poată fi corect determinate în condiţiile specifice ale aranjamentului

experimental folosit.

Pentru descrierea teoretică completă a dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste ar

fi necesară o teorie a mai multor corpuri, cuantică, relativistă, dependentă de timp, care să

includă toate gradele de libertate hadronice [11,12]. Cum o astfel de teorie nu se poate

constitui în prezent, pentru descrierea dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste s-a urmat

şi se urmează calea modelelor de diverse tipuri, modele care implică căi mai tratabile, cu

simplificări şi aproximaţii corespunzătoare [1-5,11-16].

Căile teoretice de abordare a dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste trebuie să

permită şi crearea unor legături între mărimile fizice determinabile experimental şi

mecanismele de ciocnire propuse şi proprietăţile sistemului nuclear format prin ciocnire.

Pe de altă parte, obţinerea de informaţii experimentale semnificative asupra mărimilor

fizice de interes necesită - aşa cum s-a arătat anterior - metode şi mijloace experimentale

care să asigure o analiză rapidă, corectă şi completă a informaţiei. Toate contribuie la

obţinerea informaţiilor necesare privind mărimile fizice cu semnificaţie dinamică.

În această parte a cursului se vor discuta cele mai importante mărimi fizice cu

semnificaţie dinamică folosite în studiile de Fizică nucleară relativistă, indiferent de etapa

de dezvoltare a acestei ramuri a Fizicii nucleare, anume: (i) etapa razelor cosmice; (ii)

etapa sistemelor de accelerare [6,7].

Majoritatea proceselor şi fenomenelor fizice de interes specifice ciocnirilor

nucleare relativiste sunt legate de producerea multiplă de particule. De aceea, pentru

descriere se iau în considerare proprietăţile distribuţiilor unor variabile care conţin

informaţii asupra dinamicii generării de particule şi, implicit, asupra dinamicii ciocnirii.

Având în vedere caracteristicile fundamentale ale ciocnirilor nucleare relativiste

(secţiuni eficace mari, multiplicităţi mari ale particulelor cu sarcină şi fragmentelor,

abundenţa particulelor neutre în starea finală) şi influenţele geometriei ciocnirii asupra

dinamicii ciocnirii în cadrul acestei părţi a cursului se vor considera următoarele mărimi

fizice: multiplicităţi şi distribuţii de multiplicitate, secţiuni eficace, numere de participanţi

şi spectatori, rapiditate, distribuţii unghiulare, distribuţii de impuls, caracteristici spaţio-

temporale ale sursei de particule. Se va pune un accent deosebit pe legăturile dintre aceste

mărimi, conţinutul dinamic al informaţiei obţinute, separarea contribuţiilor regiunilor

specifice ciocnirilor nucleare relativiste [1-7,17-20].

Capitolul al V-lea

Multiplicităţi şi distribuţii de multiplicitate

V.1. Noţiuni fundamentale

Printre mărimile fizice de interes în cunoaşterea dinamicii ciocnirilor nucleare

relativiste şi în punerea în evidenţă a unor fenomene "exotice" şi tranziţii de fază în

materia nucleară se numără multiplicitatea particulelor de diferite tipuri generate în

astfel de ciocniri şi distribuţiile de multiplicitate asociate. Trebuie remarcat faptul că în

cazul acestei mărimi fizice obţinerea informaţiei experimentale se poate face, în general,

relativ direct şi fără ca ea să fie afectată de erori experimentale mari.

Multiplicitatea se defineşte ca numărul de particule secundare de un anumit tip

produse într-un eveniment de un tip bine stabilit. Distribuţia de multiplicitate dă

repartizarea particulelor secundare de tipuri date produse în categorii de evenimente care

satisfac condiţii date. În general, distribuţia de multiplicitate reflectă geometria ciocnirii,

iar momentele asociate distribuţiei de multiplicitate reflectă dinamica ciocnirii

[4,5,20,21]. Acest fapt le face extrem de utile în studiul ciocnirilor nucleare relativiste,

ciocniri în care între geometria ciocnirii şi dinamica ciocnirii există legături extrem de

profunde [1-5,20-25].

Distribuţia de multiplicitate se poate defini în termeni specifici teoriei

probabilităţilor. Se consideră o ciocnire semiexclusivă de tipul:

XanananAA mmTP ...2211 . (II.1)

Distribuţia de multiplicitate corespunzătoare se poate defini ca fiind următoarea

distribuţie de probabilitate:

)};,;({221 ... aAAspP TPnnn , (II.2)

unde

m

m

m

m

nnn

TPnnn

TPnnn

nnnaAAs

aAAsp

,...,,

...

...

...

21

21

21

21 );,;(

);,;(

, (II.3)

cu );,;(...21aAAs TPnnn m

secţiunea eficace parţială.

Aici

m

m

nnn

TPnnnTP aAAsaAAs...

...

21

21);,;();,;( , (II.4)

este secţiunea eficace totală.

Este satisfăcută condiţia de normare pentru distribuţia de probabilitate P:

1);,;(...,

...

21

21

m

m

nnn

TPnnn aAAsp , (II.5)

Aşa cu s-a demonstrat în diferite lucrări [21,26-28], prin trecerea la distribuţii de

probabilitate nu se pierde informaţie asupra structurii în multiplicităţi, iar secţiunile

eficace care intervin în relaţiile de definiţie sunt determinate univoc până la un factor

dependent de energie, f(s). Acest factor este comun pentru toate secţiunile implicate,

pentru o ciocnire dată [27].

În termenii teoriei probabilităţilor distribuţiei de multiplicitate îi pot fi asociaţi

diferiţi parametrii fenomenologici, anume: momentele şi cumulanţii. Folosirea lor este

extrem de utilă în obţinerea de informaţii asupra dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste

şi relevarea unor fenomene noi în materia nucleară formată în aceste ciocniri. Unul dintre

momentele de interes ale distribuţiei de multiplicitate este momentul de ordinul I,

cunoscut şi ca multiplicitate medie. Un alt moment important - mai ales în contextul

definirii distribuţiilor de multiplicitate în termeni specifici teoriei probabilităţilor - este

momentul de ordinul 0. El reprezintă aria de sub curbă şi este folosit adesea pentru

normare. Alături de multiplicitatea medie se pot folosi, pentru studierea dinamicii

ciocnirilor nucleare relativiste, multiplicitatea modală şi multiplicitatea mediană.

Multiplicitatea modală sau modul unei distribuţii de multiplicitate, Mo, dă poziţia

maximului distribuţiei respective (multiplicitatea cu frecvenţa de apariţie cea mai mare).

Multiplicitatea mediană, Md, se defineşte prin relaţia următoare:

d dMn Mn

nn . Ea dă

multiplicitatea - pentru un număr impar de valori - sau perechea de multiplicităţi - pentru

un număr par de valori - pentru care ariile de sub curbă, situate la stânga sa (valori mai

mici ale multiplicităţii decât multiplicitatea mediană), respectiv, la dreapta sa (valori mai

mari ale multiplicităţii decât multiplicitatea mediană) sunt egale. Aici, n reprezintă

secţiunea eficace parţială.

Clasificarea momentelor se poate face în momente ordinare (simple) şi momente

factoriale. Momentele ordinare se clasifică după punctul în jurul căruia se face medierea.

Astfel, dacă punctul este ales arbitrar (na) avem momente ordinare necentrale (m'i).

Dacă acest punct este chiar valoarea medie a multiplicităţii (<n>) avem momente

ordinare centrale (mi). Relaţiile de definiţie, experimentale, sunt următoarele [20,21,26-

28]:

N

j

i

aj

iN

nnm

1

)(' , (II.6)

N

j

i

j

iN

nnm

1

)( , (II.7)

Cele două tipuri de momente ordinare pot fi deduse unul din celălalt folosind

următoarea relaţie de legătură:

i

j

i

ji

j

ii mmCm1

1 )'(' , (II.8)

Pentru momentele factoriale se foloseşte următoarea relaţie de definiţie:

N

kn

N

kn

nnkkk pknnnpnnF )]1)...(1([)()( . (II.9)

Momentele factoriale sunt integrale ale secţiunilor eficace inclusive [21,26-28].

Pentru cele trei tipuri de momente definite anterior se pot introduce funcţii

generatoare de momente specifice, G(z). Astfel, pentru momentele ordinare necentrale

funcţia generatoare asociată este de forma G(et), iar pentru momentele ordinare centrale

se foloseşte o funcţie generatoare de forma următoare: e-<n>t

G(et). În cazul momentelor

factoriale funcţia generatoare asociată este de forma G(t+1). Pentru toate aceste funcţii

parametrul t este real.

Relaţiile de definiţie pentru cele trei tipuri de momente, folosind funcţiile

generatoare de momente, se vor scrie astfel:

0

)(''

t

i

tii

idt

eGdnm , (II.10)

0

)]([

t

i

ttnii

idt

eGednm , (II.11)

0

)1(

t

i

i

idt

tGdF , (II.12)

Funcţiile generatoare de momente pentru cumulanţi se obţin prin introducerea

unor relaţii de forma H(u) = ln G(u), cu u = t, t+1, respectiv, et. Introducerea acestor

funcţii este posibilă datorită faptului că la energii finite funcţiile G(u) există şi se pot

dezvolta în serii de puteri convergente. În acest context se poate considera că funcţiile

G(u) = exp(H(u)) se pot dezvolta în serie, iar coeficienţii acestor dezvoltări sunt

cumulanţi de diferite tipuri.

Distribuţiile de multiplicitate se pot caracteriza şi cu ajutorul unor parametrii şi

indicatori de formă care se definesc folosind momente de diferite tipuri şi cumulanţi

[20,21,23-29].

Doi dintre parametrii cei mai folosiţi în descrierea distribuţiilor de multiplicitate

sunt parametrul de asimetrie (skewness), 1, şi parametrul de formare de maxime

(peaking), 2 . Cei doi parametrii sunt definiţi prin relaţiile de mai jos:

3

2

2

3

1m

m , (II.13)

2

2

42

m

m . (II.14)

În analiza contribuţiilor distribuţiilor de multiplicitate la stabilirea dinamicii ciocnirii se

are în vedere faptul că momentul central de ordinul al treilea este nul pentru populaţii

distribuite în mod simetric; de aceea 1 = 0.0 [20,21,26-28]. Pentru distribuţia normală

valoarea parametrului de formare de maxime este următoarea: 2 = 3.0.

Indicatorii de formă ai distribuţiei de multiplicitate se definesc astfel:

k

k

k

kk

D

g

g

g 2/

2

2 , (II.15)

În relaţia (II.2.15) gk sunt coeficienţii dezvoltării în serie pentru funcţia generatoare G(et)

= exp(H(et)), iar 2gD este dispersia distribuţiei de multiplicitate.

Ţinând seama de cele arătate se poate spune că analiza multiplicităţilor şi

distribuţiilor de multiplicitate este extrem de importantă şi de bogată în informaţii asupra

dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste, formării stărilor anomale în materia nucleară şi

apariţia unor tranziţii de fază în astfel de ciocniri. Câteva exemple în acest sens, care vor

fi prezentate în continuare, vor fi edificatoare.

V.2. Producerea necorelată de particule în ciocniri nucleare

relativiste

Aşa cum s-a arătat anterior, distribuţiile de multiplicitate oferă informaţii asupra

geometriei ciocnirii, iar momentele asociate dau informaţii asupra dinamicii ciocnirii. De

aceea, distribuţiile de multiplicitate pentru diferite tipuri de particule obţinute în ciocniri

nucleare relativiste cu diferite grade de centralitate pot fi descrise prin funcţii de densitate

de probabilitate care pot îngloba o serie de comportări dinamice de interes. Cea mai

folosită funcţie de densitate de probabilitate pentru descrierea distribuţiei de multiplicitate

experimentale este distribuţia Poisson [20,21,26-28]. Această distribuţie este adecvată,

pe baza proprietăţilor sale specifice, descrierii generării necorelate de particule în

ciocniri nucleare relativiste [3-5,21]. Dacă acordul dintre distribuţia Poisson şi

distribuţia de multiplicitate experimentală pentru tipul de particulă considerat este bun,

atunci avem de a face cu o generare total necorelată de particule. Abaterile - mai mici sau

mai mari - indică existenţa unor corelaţii în generarea tipului de particulă considerat [17-

19,21,30-33]. Trebuie menţionat aici că în analiza datelor experimentale sunt folosite mai

multe tipuri de multiplicităţi, în funcţie de condiţiile experimentale avute la dispoziţie.

Multiplicităţile particulelor cu sarcină - pozitive, negative sau de ambele semne - sunt

cele mai folosite în experimente. Se mai folosesc multiplicităţile unor anumite tipuri de

particule neutre (mai frecvent o, K

o,

o). O multiplicitate foarte rar folosită este

multiplicitatea adevărată sau multiplicitatea totală. Acest tip de multiplicitate ia în

considerare toate particulele cu sarcină şi neutre produse într-o ciocnire dată, la energie

dată. Datorită dificultăţilor experimentale majore în detectarea tuturor particulelor

generate, cu deosebire a celor neutre, multiplicitatea adevărată este foarte rar întâlnită în

analiza datelor experimentale.

Distribuţia Poisson are forma următoare:

n

n

th en

nnP

!)( , (II.16)

unde <n> este multiplicitatea medie. Ea reprezintă unicul parametru al acestei

distribuţii.

Folosind relaţiile (II.2.10), respectiv, (II.2.11), se pot obţine momentele ordinare

necentrale, respectiv, momentele ordinare centrale. Toate depind de multiplicitatea

medie, <n>. Valorile obţinute pentru momentele ordinare necentrale sunt următoarele:

nm th1' , (II.17)

)1('2 nnm th , (II.18)

]1)1[(' 2

3 nnm th , (II.2.19)

)1.7.6(' 23

4 nnnnm th . (II.20)

În cazul momentelor ordinare centrale valorile obţinute sunt de forma:

m1th = 0 , (II.21)

m2th = <n> , (II.22)

m3th = <n> , (II.23)

m4th = <n>(3<n> +1) , (II.24)

Folosind valorile momentelor ordinare centrale se pot calcula, pe baza relaţiilor

(II.13) şi (II.14), parametrul de asimetrie, 1, respectiv, parametrul de formare de

maxime, 2. Valorile celor doi parametrii sunt:

nth

11 , (II.25)

nth

132 . (II.26)

Tot pe baza momentelor ordinare calculate anterior se pot stabili valorile

dispersiei, Dth, şi lărgimii relative a distribuţiei, th. Se obţin următoarele valori:

nDth , (II.27)

12

n

Dth

th . (II.2.28)

Valorile teoretice ale momentelor şi parametrilor asociaţi distribuţiei Poisson

trebuie comparate cu valorile lor experimentale. În funcţie de rezultatele comparaţiilor se

pot face afirmaţii asupra tipului de mecanism de producere de particule (producere

necorelată sau producere corelată). În funcţie de forma distribuţiei de multiplicitate

experimentale, simetria nucleelor care participă la ciocnire, tipul ciocnirii (centrală sau

periferică) şi alte observaţii şi rezultate experimentale se pot propune alte funcţii de

densitate de probabilitate sau se pot combina două sau mai multe funcţii de densitate de

probabilitate care au forme mai simple şi pot fi asociate unor mecanisme de producere de

particule diferite [17-21]. Unele din ele vor fi discutate în cadrul cursului.

V.3. Comportări experimentale ale multiplicităţii medii

şi distribuţiei de multiplicitate asociate

Analiza datelor experimentale asupra multiplicităţii pionilor negativi şi

multiplicităţii particulelor cu sarcină obţinute în 13 ciocniri nucleu-nucleu, periferice şi

centrale, la 4.5 A GeV/c, folosind spectrometrul SKM 200 [20], a permis evidenţierea

unor comportări globale ale multiplicităţii medii experimentale, anume [3-5,17-19,32-

34]:

(a) creşterea valorii multiplicităţii medii cu creşterea numărului de masă al nucleului ţintă,

pentru un nucleu incident dat, atât pentru ciocniri periferice, cât şi pentru ciocniri

centrale;

(b) creşterea valorii multiplicităţii medii cu creşterea numărului de masă al nucleului

incident, pentru un nucleu ţintă dat, pentru ambele tipuri de ciocniri;

multiplicităţile medii sunt mai mari în ciocniri centrale decât în ciocniri periferice;

în general, multiplicităţile medii cresc cu creşterea centralităţii ciocnirii.

Tabelul II.1. conţine valorile medii ale acestor multiplicităţii pentru ciocnirile considerate.

Trebuie remarcat aici faptul că au fost observate comportări similare şi în alte

ciocniri nucleu-nucleu la energii cuprinse între 0.8 GeV/A şi 200 GeV/A [9,10,12-

15,22,35-38].

Valorile experimentale ale momentelor ordinare pentru diferite ciocniri nucleu-

nucleu la 4.5 A GeV/c sunt incluse în Tabelul II.2. Pe baza lor sunt calculate o serie de alte

mărimi fizice de interes, anume: dispersia, D, lărgimea relativă a distribuţiei de

multiplicitate, , parametrul de asimetrie, 1 şi parametrul de formare de maxime, 2.

Valorile obţinute sunt incluse în Tabelul II.3. Rezultatele experimentale incluse în aceste

tabele au fost comparate cu cele teoretice, obţinute în ipoteza unei generări total necorelate

de particule. Trebuie reamintit aici faptul că generarea total necorelată de particule este

descrisă de distribuţia Poisson [20,21,26-28].

Ciocnirea T(ch,n) Nev <n> Dexp exp

O-Ne T(2,0) 290 5.950.17 2.190.12 0.800.09

T(5,0) 36 6.040.41 2.410.28 0.960.23

T(14,0) 20 5.480.48 2.150.34 0.990.28

O-Pb T(2,0) 2191 11.070.31 3.490.05 1.100.04

T(5,0) 891 12.410.35 3.160.08 0.800.05

T(14,0) 491 12.760.37 3.120.11 0.760.06

C-Cu T(2,0) 2154 6.720.16 2.780.04 1.150.04

T(5,0) 470 7.850.21 2.610.08 0.870.06

T(14,0) 144 8.290.28 2.650.14 0.850.09

Tabelul II.1. Valorile multiplicităţilor medii ale pionilor negativi obţinuţi în câteva

ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c, pentru diferite moduri de declanşare a camerei cu

streamer a spectrometrului SKM 200 de la IUCN Dubna

AP – AT He-Li He-C He-Ne He-Al He-Cu He-Pb

m’1exp 0.850.02 1.050.05 1.140.05 1.330.05 1.650.08 1.870.08

m’1th 0.86 1.05 1.14 1.32 1.65 1.87

m’2exp 1.570.05 2.140.13 2.590.17 3.350.19 4.470.30 5.820.31

m’2th 1.68 2.25 2.80 3.65 5.02 6.19

m’3exp 3.630.18 5.460.44 7.460.67 10.730.87 16.371.43 22.011.54

m’3th 3.91 5.71 8.04 11.65 17.52 23.23

m’4exp 10.290.77 16.421.79 25.763.14 41.285.07 67.228.04 95.658.58

m’4th 10.48 16.57 26.11 41.69 68.06 96.57

Tabelul II.2. Valorile experimentale şi calculate (distribuţie Poisson) ale momentelor

ordinare pentru diferite ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c

AP-AT T(ch,n) Dexp exp 1exp nexp

He-Li T(2,0) 1.020.06 1.000.07 0.880.06 1.020.06

He-C T(2,0) 1.190.03 1.030.07 0.780.08 1.370.06

He-Al T(2,0) 1.390.12 1.120.11 0.770.12 1.720.12

He-Cu T(2,0) 1.470.05 1.010.08 0.550.10 2.150.10

He-Pb T(2,0) 1.450.05 0.940.07 0.650.07 2.230.08

C-C T(2,0) 1.990.04 1.030.05 0.500.06 3.850.08

C-Ne T(2,0) 2.130.04 1.020.04 0.330.05 4.450.06

C-Zr T(2,0) 2.760.07 1.010.06 0.060.05 7.550.23

C-Pb T(2,0) 3.110.05 1.160.05 0.180.05 8.350.24

Tabelul II.3. Valorile experimentale ale unor mărimi fizice specifice distribuţiilor de

multiplicitate ale pionilor negativi produşi în ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c

Din analiza datelor şi rezultatele experimentale cuprinse în aceste ultime două

tabele se constată abateri de la generarea total necorelată a pionilor negativi în ciocniri

nucleare la 4.5 A GeV/c. Compararea unor valori experimentale cu estimările teoretice care

au la bază distribuţia Poisson, pentru diferite mărimi fizice de interes, confirmă aceste

abateri. Se observă, de asemenea, că aceste diferenţe cresc cu creşterea gradului de

centralitate a ciocnirii, precum şi cu creşterea numerelor de masă ale nucleelor care se

ciocnesc.

Analiza bazată pe cumulanţi indică posibilitatea unei produceri total necorelate de

particule în sursa considerată, dacă sunt îndeplinite următoarele condiţii:

ngf 11 , (II.29a)

011 kk fd , (II.29b)

k

k ng , (II.2.29c)

unde dk şi fk sunt coeficienţii dezvoltărilor în serie pentru funcţiile G(t) = eH(t)

, respectiv,

G(t+1) = eH(t+1)

. Se consideră că mărimile fk sunt o măsură - insuficientă, totuşi, indiferent

de energie - a abaterii de la producerea total necorelată de particule.

Pentru ciocniri centrale O-Pb, în modul de declanşare T(2,0), ciocniri care implică

cele mai mari multiplicităţi pionice dintre ciocnirile considerate în tabelele anterioare, se

obţin următoarele valori ale cumulanţilor: f2exp = -2.29 ±0.57, g2exp = 95.79 ± 0.45. Aceste

valori sugerează un anumit grad de corelare în sursa de particule la generarea unora

dintre acestea.

Aceste rezultate experimentale vin să confirme o serie de observaţii experimentale

la energii apropiate [40,41], precum şi pe cele de la energii mai mari [42,43] decât cea

considerată pentru ciocnirile analizate anterior. Totodată, ele indică posibilitatea observării

unor semnale experimentale ale unor stări şi fenomene anomale ("exotice") în materia

nucleară fierbinte şi densă formată prin ciocniri nucleare relativiste.

Analiza rezultatelor experimentale obţinute în ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A

GeV/c confirmă rolul geometriei şi simetriei ciocnirii în descrierea generării multiple de

particule. Ciocnirile centrale sunt mai bogate în informaţii decât cele periferice prin

numărul mai mare de particule de un anumit tip create şi prin tipurile mai numeroase de

particule create. De asemenea, sunt sugerate unele conexiuni între modurile de declanşare

ale camerei cu streamer a spectrometrului SKM 200 şi valorile parametrilor de ciocnire

corespunzători. Valoarea parametrului de ciocnire pentru ciocniri centrale poate fi

determinată de razele nucleelor care se ciocnesc. Este un rezultat important care vine în

sprijinul ideii că geometria ciocnirii are un rol extrem de important în cunoaşterea

dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste.

Geometria ciocnirii este reflectată şi de forma distribuţiei de multiplicitate. De

aceea, în cele ce urmează se vor trata unele aspecte legate de informaţiile care se pot obţine

din forma distribuţiilor de multiplicitate şi din momentele asociate lor.

V.4. Stoparea nucleului incident, generarea parţial necorelată

şi curgerea materiei nucleare

Forma distribuţiei de multiplicitate se modifică uşor cu creşterea gradului de

centralitate a ciocnirii. Distribuţiile de multiplicitate ale pionilor negativi produşi în

ciocniri centrale O-Pb, la 4.5 A GeV/c, pentru modurile de declanşare T(2,0), respectiv,

T(5,0) confirmă o astfel de comportare. Această modificare permite să se încerce luarea

în considerare a unor contribuţii ale regiunilor participantă şi spectatoare la generarea

multiplă de particule în ciocniri nucleare relativiste.

Pentru confirmarea abaterilor de la comportarea de tip generare total necorelată -

distribuţie de multiplicitate descrisă complet şi corect de o distribuţie Poisson - observate

pentru momentele ordinare asociate este importantă fit-area distribuţiilor de multiplicitate

experimentale cu distribuţia Poisson. Se constată că între distribuţiile de multiplicitate

experimentale şi distribuţia Poisson există deosebiri, iar valorile testului 2 raportat la

numărul gradelor de libertate este semnificativ mai mare decât 1, şi anume: 4.96,

respectiv, 3.26. Valori similare se obţin şi pentru alte ciocniri. De exemplu, în ciocniri

centrale C-Cu, pentru modul de declanşare T(2,0), valoare 2/NGL este de 2,64, iar în

ciocniri centrale O-Ne, în acelaşi mod de declanşare, această valoare este de 2.12.

De exemplu, luând în considerare forma distribuţiei de multiplicitate

experimentale pentru ciocniri centrale O-Pb - pentru modul de declanşare T(2,0) - şi

făcând o tăiere corespunzătoare în multiplicitatea pionilor negativi (numai evenimentele

pentru care n 4 sunt considerate în calcul) se obţine următoarea valoare a testului,

anume: 2/NGL = 2.34. Această comportare poate fi legată de creşterea gradului de

centralitate a ciocnirii prin creşterea multiplicităţii minime în evenimentele selectate,

precum şi de unele procese cum ar fi: gradul de stopare al nucleului incident în nucleul

ţintă sau contribuţia regiunii spectatoare la procesul de generare multiplă de particule.

O cale de abordare sugerată de aceste rezultate experimentale referitoare la forma

distribuţiei de multiplicitate este legată de ipoteze dinamice, anume: nestoparea nucleului

incident în nucleul ţintă sau curgerea materiei nucleare formate în procesul de ciocnire

[17,44].

Pentru descrierea distribuţiei de multiplicitate se consideră un produs dintre

distribuţia Poisson şi distribuţia binomială [17]. La această formă s-a ajuns luându-se în

considerare şi alte aspecte care ţin de alte mărimi fizice cu semnificaţie dinamică care vor

fi discutate ulterior (anizotropia distribuţiei unghiulare a pionilor negativi, comportarea

numărului de nucleoni participanţi, caracteristicile termodinamice ale regiunii

participante, precum şi scăderea puterii de stopare cu creşterea energiei nucleelor

incidente [3-5,25,33,34,47,48]). De aceea, unele din argumente vor fi detaliate în

capitolele următoare ale cursului.

Comportarea de tip hidrodinamic a materiei nucleare formate în ciocniri nucleu-

nucleu la 4.5 A GeV/c [3-5,11-14,17,44-48] face ca distribuţia Poisson să descrie emisia

de particule la echilibru, iar distribuţia binomială să ia în considerare contribuţia

curgerii fragmentelor incomplet stopate ale celor două nuclee care se ciocnesc, precum

şi pe cea a unor particule care au fost reîmprăştiate la suprafaţa de contact dintre

regiunea participantă şi regiunea spectatoare. Aceste ipoteze iau în considerare

observarea a două maxime, pentru unghiurile de 0o şi 180

o, în distribuţia unghiulară a

pionilor negativi, în sistemul centrului de masă.

În modelele termodinamice se consideră că distribuţia de multiplicitate a pionilor

negativi este descrisă de o distribuţie de tip Poisson, iar multiplicitatea medie a pionilor

negativi va depinde de temperatura şi volumul sursei care îi emite [3-5,11-14,17,44-48].

Aşa cum s-a specificat anterior, pentru descrierea distribuţiei de multiplicitate se

consideră un produs dintre distribuţia Poisson şi distribuţia binomială [17,44]. O astfel de

populaţie este descrisă de o funcţie de densitate de probabilitate de forma următoare:

]!

].[)1([),,( exp

n

iiNii

NbP ei

nppCnnnD , (II.30)

unde nP este multiplicitatea particulelor generate într-un proces de tip Poisson, nb este

multiplicitatea particulelor implicate în procese de curgere cauzate de stoparea

incompletă a celor două nuclee care se ciocnesc sau de reîmprăştieri la suprafaţa de

contact dintre regiunea participantă şi regiunea spectatoare, nexp este multiplicitatea

experimentală definită astfel:

bP nnn exp . (II.31)

Aici p este probabilitatea pentru mişcarea de-a lungul direcţiei fasciculului, iar N este

dimensiunea populaţiei.

Calculul momentelor ordinare necentrale ale distribuţiei de multiplicitate asociate

cu funcţia de densitate de probabilitate (II.30) se face folosind funcţia generatoare de

momente următoare:

N

ii

it

P

i

Nn

Nt

pienpC

e

pezG

P0 )1(!

1)(

)1()( , (II.32)

unde t este un parametru real.

Luând în considerare relaţia de definiţie pentru momente ordinare necentrale,

anume:

0

)('

t

k

k

kdt

zGdm , se obţin următoarele expresii pentru primele 4 momente

ordinare necentrale:

j

PN

j

j

NPn

N

N

i

i

Pi

Nn

N

p

np

j

jCnNp

e

p

p

np

i

iC

e

pm

P

P

1!

)1(

1!

)1('

1

0

1

0

1

, (II.33)

1!

1)1(

1!

)1( '

j1

0

1

1

0

2

2

p

np

jCnNp

e

p

p

np

i

iC

e

pm

PN

j

j

NPn

N

N

i

i

Pi

Nn

N

P

P

, (II.34)

''

1!

)1(

1!

1)1(

11!)(

)1(

1!

)1( '

21

j1

0

1

1

j1

0

1

1

0

1

2

0

3

3

mmnNp

p

np

j

jCnNp

e

p

p

np

jCnNpp

p

np

p

np

i

iCi

e

p

p

np

i

iC

e

pm

P

PN

j

j

NPn

N

PN

j

j

NP

N

N

i

i

PPi

Nn

N

N

i

i

Pi

Nn

N

P

P

P

, (II.35)

321

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

2

1

1

0

4

4

')''(

1!

1)1(

1!1

)1(

1!1

)1(

1!

)1( '

mmmnNp

p

np

j

jCnNp

e

p

p

np

j

jCnNp

p

p

p

np

j

jCnNp

p

p

p

np

i

iC

e

pm

P

j

PN

j

j

NPn

N

j

PN

j

j

NP

N

j

PN

j

j

NP

N

N

i

i

Pi

Nn

N

P

P

. (II.36)

Între cele 4 momente ordinare necentrale există următoarea relaţie de legătură:

1

23

12

34

'

''

''

''

m

mm

mm

mm

. (II.37)

Această relaţie este îndeplinită de valorile experimentale ale acestor momente, obţinute în

ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c, valori incluse în Tabelul II.2.

Trebuie subliniat aici rolul important al momentului de ordin zero în definirea

corectă a parametrilor funcţiei de densitate de probabilitate. Acest moment permite

normarea valorilor corespunzătoare ale momentelor şi parametrilor pentru a se face

discuţia în termeni specifici teoriei probabilităţilor.

În Tabelul II.4. şi Tabelul II.5. sunt incluse valorile calculate şi experimentale ale

momentelor şi parametrilor pentru ciocniri centrale, respectiv, ciocniri periferice, în

diferite ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c.

AP – AT O-Ne O-Pb C-Cu

N 290 2693 100

<nP> 7.69 14.40 8.97

p (x10-2

) 0.78 0.41 0.56

m’1exp 4.910.22 11.830.25 6.550.24

m’1th 4.92 12.35 6.54

m’2exp 27.690.33 150.133.36 48.833.44

m’2th 27.31 159.05 50.50

m’3exp 168.9015.98 2009.6249.15 401.5342.11

m’3th 164.06 2124.43 413.77

m’4exp 1091.4096.85 28073.40756.70 3572.60502.20

m’4th 1055.00 29377.10 3577.60

<nb> 2.78 2.57 2.42

Tabelul II.4. Valorile calculate şi experimentale ale momentelor şi parametrilor

pentru diferite ciocniri centrale nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c

Având în vedere faptul că parametrul p poate fi asociat cu fracţia de nucleoni din

nucleul incident care "ţin minte" mişcarea iniţială, iar raportul dintre nb şi nP poate fi

determinat de contribuţia stopării incomplete a nucleelor care se ciocnesc la curgerea

hidrodinamică din regiunea participantă se poate concluziona că cele două nuclee care se

ciocnesc se stopează aproape complet (p < 0.01, în toate ciocnirile), iar regiunile

spectatoare absorb mai multe particule generate din regiunea participantă cu creşterea

dimensiunilor lor, deci cu gradul de asimetrie a ciocnirii. Aceste ultime aspecte rezultă

din valorile multiplicităţilor nb şi nP.

Se poate afirma că distribuţiile de multiplicitate experimentale pot fi descrise

corect de distribuţia de multiplicitate asociată cu funcţia de densitate de probabilitate dată

de relaţia (II.30). Acest fapt vine să confirme posibilitatea observării unor stări anomale,

"exotice", în materia nucleară fierbinte şi densă produsă în ciocniri nucleu-nucleu la 4.5

A GeV/c.

P – AT He-Li He-C He-Ne He-Al He-Cu He-Pb

N 4026 1099 988 1239 804 1048

<nP> 1.94 2.29 2.28 2.52 3.00 3.31

p (x10-2) 0.33 0.13 0.24 0.19 0.31 0.26

m’1exp 0.850.02 1.050.05 1.140.05 1.330.05 1.650.08 1.870.08

m’1th 0.86 1.05 1.14 1.32 1.65 1.87

m’2exp 1.570.05 2.140.13 2.590.17 3.350.19 4.470.30 5.820.31

m’2th 1.68 2.25 2.80 3.65 5.02 6.19

m’3exp 3.630.18 5.460.44 7.460.67 10.730.87 16.371.43 22.011.54

m’3th 3.91 5.71 8.04 11.65 17.52 23.23

m’4exp 10.290.77 16.421.79 25.763.14 41.285.07 67.228.04 95.658.58

m’4th 10.48 16.57 26.11 41.69 68.06 96.57

<nb> 1.09 1.24 1.14 1.19 1.35 1.44

Tabelul II.5. Valorile calculate şi experimentale ale momentelor şi parametrilor

pentru diferite ciocniri periferice nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c.

Problemele prezentate confirmă importanţa multiplicităţii, distribuţiei de

multiplicitate şi momentelor asociate în cunoaşterea dinamicii ciocnirilor nucleare

relativiste, stărilor anomale formate şi tranziţiilor de fază produse în materia nucleară

fierbinte şi densă. Multe alte aspecte dinamice pot fi observate din anliza multiplicităţilor

particulelor generate în ciocniri nucleare relativiste şi din comportarea distribuţiilor de

multiplicitate asociate. De aceea, pe parcursul cursului, se vor face adesea referiri la

aceste mărimi fizice.

Capitolul al VI-lea

Secţiuni eficace în ciocniri nucleare relativiste

VI.1. Secţiuni eficace. Definiţii

Secţiunea eficace este o mărime importantă în obţinerea de informaţii asupra

dinamicii ciocnirilor nucleare la diferite energii . Noţiunea de secţiune eficace este strâns

legată de caracterizarea proceselor de interacţie dintre sisteme nucleare de naturi diferite

şi având proprietăţi din cele mai diferite. O definiţie generală a secţiunii eficace este

destul de dificilă [49,50]. Se acceptă, în general, idea că este probabilitatea de realizare a

unei anumite interacţii, valoarea sa depinzând de natura sistemelor nucleare care participă

la ciocnire şi de energia incidentă, cu luarea în considerare a ipotezei formei sistemelor

nucleare care interacţionaeză. De aceea, unitatea de măsură este legată de secţiunea

geometrică normală a procesului de interacţie dintre două sfere. Unitatea de măsură

tolerată se numeşte barn şi ia în considerare dimensiunile specifice sistemelor nucleare,

anume: 1 barn = 10-28

m2 = 100 Fm

2.

Secţiunea eficace mai poate fi considerată ca un coeficient specific interacţiei.

Astfel, secţiunea unei entităţi ţintă, , pentru o interacţie produsă de un sistem nuclear

incident, cu sarcină sau fără sarcină, este definită ca raportul dintre probabilitatea de

interacţie pentru entitatea ţintă considerată, P, şi fluenţa sistemelor nucleare incidente,

, anume:

P . (II.38)

Fluenţa reprezintă numărul de particule incidente, dN, pe o sferă care are aria secţiunii

da. {[]SI = m-2

}. Definiţia secţiunii eficace dată de relaţia (II.38) este valabilă dacă

probabilitatea P îndeplineşte condiţia următoare: P << 1.

Trebuie menţionat faptul că termenul de interacţie se referă la orice proces în

care energia şi/sau direcţia particulei incidente este modificată sau particula incidentă

este absorbită. În urma interacţiei sunt emise una sau mai multe particule secundare.

Aşa cum s-a văzut, definirea distribuţiei de multiplicitate în termenii teoriei

probabilităţilor s-a făcut cu ajutorul secţiunilor eficace totale şi secţiunilor eficace

parţiale. În descrierea fenomenelor de producere multiplă de particule aceste secţiuni,

împreună cu secţiunea eficace topologică şi secţiunea eficace diferenţială, au un rol

important . Utilitatea acestor mărimi este legată de dependenţele lor de energia de

ciocnire, de natura sistemelor care participă la ciocnire, de tipul particulelor generate

[4,51,52].

Secţiunea eficace totală, t, este definită ca secţiunea de creare a tuturor

particulelor permise de legile de conservare într-o ciocnire dată, la o energie dată. Acest

tip de secţiune creşte lent cu creşterea energiei pentru diferite sisteme nucleare care se

ciocnesc.

Secţiunea eficace parţială, n, dă numărul de particule de un anumit tip, produse

la o energie dată. De aceea, acest tip de secţiune prezintă dependenţe de numărul de

particule şi de tipul de particulă considerat. Secţiunea eficace parţială prezintă un maxim

în vecinătatea energiei de prag pentru producerea tipului de particulă considerat.

Creşterea numărului de particule deplasează maximul spre energii mai mari.

Secţiunea eficace totală este dată de suma tuturor secţiunilor eficace parţiale,

anume:

n

n

n

nt

P

. (II.39)

Secţiunea eficace topologică, ch, descrie producerea unui anumit număr de

particule cu sarcină în starea finală a unei ciocniri la o energie dată. În acest caz,

numărul particulelor cu sarcină, nch, este o variabilă aleatoare, iar producerea unui

anumit număr de particule cu sarcină, în starea finală, este un eveniment aleator. De

aceea, descrierea secţiunii eficace topologice se face, pentru multiplicităţi relativ mici, cu

o distribuţie de probabilitate de tip Poisson, iar pentru multiplicităţi mari cu o distribuţie

de probabilitate de tip Gauss.

Dacă numărul de particule cu sarcină din starea finală este fixat şi se variază

energia de ciocnire, atunci secţiunea eficace topologică creşte cu energia până la o

anumită valoare a energiei de ciocnire, apoi scade lent cu creşterea energiei.

Într-un experiment se măsoară, în general, în mod direct secţiunile eficace

topologice, iar prin diferite normări, dependente de experiment, se pot obţine distribuţiile

de multiplicitate.

Descrierea completă a unui proces de interacţie necesită informaţii asupra

distribuţiilor secţiunilor eficace specifice în termenii energiei sau impulsului oricărui

sistem nuclear (particulă, nucleu) care există după interacţie sau unghiului solid de

emisie pentru sistemul nuclear considerat. Astfel de distribuţii sunt numite secţiuni

eficace diferenţiale.

Prin această raportare la diferite mărimi fizice, secţiunile eficace diferenţiale

permit obţinerea unui număr mare de caracteristici dinamice ale ciocnirilor nucleare. Fie

un proces semiexclusiv de forma:

AP + AT n1a1 + n2a2 + …… + nmam + X , (II.40)

cu ni (i=1,…,m) numărul de particule de tip ai (i=1,…,m) detectate în starea finală şi X

toate celelalte particule produse dar nedetectate. Fie iq (i=1,…,m) impulsurile

particulelor detectate în starea finală, exprimate în sistemul centrului de masă (SCM). În

acest caz, secţiunea eficace diferenţială se exprimă, în sistemul centrului de masă, astfel:

)...(1

...... 21

2

21

21 mAAm

m

m

m

m qqqppMspqqq

EEETP

. (II.41)

În relaţia (II.41) Ei (i=1,…,m) sunt energiile particulelor din starea finală,

2TP AA pps este pătratul energiei disponibile în sistemul centrului de masă, Mm este

amplitudinea de ciocnire (reacţie), iar p este impulsul sistemelor nucleare care se

ciocnesc, în sistemul centrului de masă.

Amplitudinea de ciocnire depinde de 3m variabile independente, invariante

relativist. Cunoaşterea amplitudinii de ciocnire permite caracterizarea completă a

ciocnirii. Pentru amplitudinea de ciocnire se pot alege variabile diferite: impuls total,

impuls longitudinal, impuls transversal , rapiditate, unghi de emisie, etc. În funcţie de

variabila în raport cu care se face diferenţierea în relaţia (II.41) şi de dependenţa mărimii

astfel obţinute în membrul stâng de variabila considerată se obţin diferite tipuri de

distribuţii. Cele mai importante sunt: distribuţia unghiulară (variabila aleasă în acest caz

este unghiul de emisie al particulei din starea finală; notaţiile uzuale pentru diferite

distribuţii unghiulare sunt: d

d,

d

d,

)(cos

d

d), distribuţia de rapiditate (variabila

aleasă este rapiditatea, definită prin relaţia următoare:

L

ii

L

ii

pE

pEy ln

2

1; o notaţie

uzuală este: dy

d) sau distribuţia de pseudorapiditate (variabila aleasă este

pseudorapiditatea, definită prin relaţia

2ln

tg ; notaţia uzuală este:

d

d);

distribuţia de impuls (notaţie uzuală: dp

d) şi distribuţia de energie (notaţie uzuală:

dE

d).

Pentru ultimele două se mai folosesc denumirile de spectrul de impuls, respectiv, spectrul

de energie.

Distribuţiile considerate anterior permit extragerea unor informaţii dinamice

extrem de importante pentru descrierea mecanismelor de interacţie în ciocniri nucleare

relativiste şi stabilirea influenţei geometriei ciocnirii asupra dinamicii ciocnirii. Câteva

din aspectele de interes vor fi discutate în cele ce urmează.

VI.2. Secţiuni eficace pentru ciocniri centrale şi periferice.

Legături cu geometria şi dinamica ciocnirilor nucleare relativiste

Pentru a obţine valoarea experimentală a secţiunii eficace într-o ciocnire dată

trebuie să fie cunoscute următoarele mărimi: numărul de interacţii în ţintă ale

nucleului incident şi numărul de nuclee incidente pe ţintă. Raportul dintre cele două

mărimi se înmulţeşte cu secţiunea eficace pentru ciocnirea nucleon-nucleon la aceeaşi

energie, secţiune care este tabelată [53], obţinându-se astfel secţiunea eficace a ciocnirii

nucleu-nucleu considerate [3-5,54,55].

Acest mod de determinarea a secţiunilor eficace în ciocniri nucleare relativiste

oferă posibilitatea ca rezultatele experimentale obţinute să prezinte o serie de dependenţe

de interes, cum ar fi:

(i) dependenţa de numărul de masă al nucleului ţintă;

(ii) dependenţa de numărul de masă al nucleului incident;

(iii) dependenţa de gradul de centralitate a ciocnirii.

Rezultatele experimentale obţinute în ciocniri nucleu-nucleu la energii peste 1 A

GeV indică unele dependenţe comune, anume [1-5,8-11,54-56]:

(a) secţiunile eficace - atât cele pentru ciocniri centrale, cât şi cele pentru ciocniri

periferice - cresc cu numărul de masă al nucleului ţintă, pentru un nucleu incident dat;

(b) secţiunile eficace pentru ciocniri periferice cresc cu creşterea numărului de masă al

nucleului incident, pentru un nucleu ţintă dat;

(c) secţiunile eficace pentru ciocniri centrale scad cu creşterea numărului de masă al

nucleului incident, pentru un nucleu ţintă dat;

(d) pentru o ciocnire dată secţiunea eficace scade cu creşterea gradului de centralitate a

ciocnirii; scăderea este mult mai rapidă pentru sisteme uşoare şi aproximativ simetrice;

(e) pentru o ciocnire dată valoarea secţiunii eficace creşte relativ lent cu energia;

creşterea secţiunii eficace este mult mai lentă decât creşterea energiei.

Rezultatele experimentale incluse în Tabelul II.6 şi Tabelul II.7, pentru ciocniri

nucleu-nucleu, centrale şi periferice, la 4.5 A GeV/c, confirmă aceste dependenţe. Multe

din comportări se pot observa mai uşor folosind rapoarte diferite, cum ar fi: raportul

dintre numerele de masă ale nucleelor care se ciocnesc, raportul dintre secţiunile eficace

ale ciocnirilor considerate la secţiunea eficace pentru ciocnirea care are suma maximă

dintre numerele de masă ale nucleelor care se ciocnesc sau energia maximă. În Tabelul

II.8. sunt incluse rezultatele obţinute pentru ciocniri O-Pb la energii cuprinse între 2.1 A

GeV şi 200 A GeV. Se observă că raportul )200(

)/(

AGeV

AE

in

in

creşte mult mai lent decât

raportul dintre energii. Această comportarea ar puea sugera unele legături cu invarianţa la

scală a secţiunilor eficace [3-5,9,10,27]. Invarianţa la scală implică găsirea unei variabile,

de obicei dată de raportul dintre multiplicitatea dint-un eveniment şi multiplicitatea

medie, z=n/<n>, pentru care distribuţia de multiplicitate asociată, P(z), nu îşi mai

schimbă forma sau/şi poziţia cu creşterea energiei disponibile în sistemul centrului de

masă, pentru ciocnire dată.

Din tipurile de comportări menţionate - pe baza rezultatelor experimentale incluse

în Tabelul II.7 - se mai observă că secţiunile eficace centrale îşi schimbă semnificativ

comportarea - într-o dependenţă de suma razelor nucleelor care se ciocnesc - pentru

533 TP AA . Această modificare a comportării se reflectă şi în alte dependenţe ale

secţiunilor eficace. Unele dintre dependenţe, cum ar fi cea legată de energia nucleului

incident, ar putea sugera unele legături cu proprietatea de invarianţă la scală asociată

distribuţiei de multiplicitate.

AP – AT exp(mb) calc(mb)

He-Li 320 15 399

He-C 450 20 511

He-Ne 615 40 655

He-Al 720 30 761

He-Cu 1150 50 1197

He-Pb 2400 170 2312

C-Ne 1040 60 930

C-Si 1130 80 1073

C-Cu 1700 90 1561

C-Zr 2025 120 1839

C-Pb 3025 160 2809

O-Ne 1237 147 1032

O-Pb 3785 350 2983

Table II.6. Secţiuni eficace experimentale pentru ciocniri periferice nucleu-nucleu

la 4.5 A GeV/c. Rezultatele calculelor bazate pe relaţia (II.42) sunt incluse în tabel

AP – AT T(ch , n) exp(mb)

He-Li T(2,0) 120 12

He-Li T(5,0) 75 7

He-Li T(14,0) 35 5

He-C T(2,0) 180 15

He-C T(5,0) 121 10

He-C T(14,0) 65 6

He-Cu T(2,0) 663 50

He-Cu T(5,0) 548 50

He-Cu T(14,0) 380 40

He-Pb T(2,0) 1840 160

He-Pb T(5,0) 1300 200

He-Pb T(14,0) 1060 200

C-C T(2,0) 35 4

C-C T(5,0) 2.1 0.5

C-C T(14,0) 0.4 0.2

C-Ne T(2,0) 89 7

C-Ne T(5,0) 10.9 1.2

C-Ne T(14,0) 3.3 0.5

C-Cu T(2,0) 340 40

C-Cu T(5,0) 95 12

C-Cu T(14,0) 29 4

C-Zr T(2,0) 490 40

C-Zr T(5,0) 150 20

C-Zr T(14,0) 50 8

C-Pb T(2,0) 950 80

C-Pb T(5,0) 440 40

C-Pb T(14,0) 280 35

O-Ne T(2,0) 50 6

O-Ne T(5,0) 4.7 0.9

O-Ne T(14,0) 2.6 0.6

O-Pb T(2,0) 880 80

O-Pb T(5,0) 360 44

O-Pb T(14,0) 200 25

Tabelul II.7. Secţiuni eficace experimentale pentru ciocnri centrale

nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c

E (GeV/A) exp(mb) exp(E/A) / exp(200 GeV/A)

2.1 3100 320 0.66 0.09

4.5 3785 350 0.80 0.10

60 4580 420 0.97 0.12

200 4720 390 1

Tabelul II.8. Compararea secţiunilor eficace experimentale obţinute în ciocniri

periferice (inelastice) O-Pb la diferite energii relativiste

Dependenţele experimentale observate sugerează o descriere pe baza unor relaţii

geometrice. Pentru ciocnirile periferice (inelastice) se pot folosi relaţii de forma

[4,5,20,54-56]:

2332 TPoin AAr , (II.42)

2

3332'

TP

TPTPoin

AA

AAAAr . (II.43)

Dependenţa dată de relaţia (II.42) sugerează că nucleele care se ciocnesc la

energii mari interacţionează în mod eficient într-o distanţă 33TPo AArr . În

această relaţii este un parametru de corecţie care este datorat "moliciunii"

(transparenţei) nivelelor cu nucleoni de la suprafaţa nucleelor. Această “moliciune” este o

consecinţă a proprietăţii de saturaţie a forţelor nucleare [57,58].

Valorile parametrilor ro şi variază de la experiment la experiment. Astfel, în

lucrarea [54] valorile considerate sunt ro = 1.3 Fm şi = 0.6, iar în lucrarea [56] se

raportează valorile ro = 1.2 Fm şi = 1.3. Din fit-urile la rezultatele experimentale

obţinute în unele ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c făcute până în prezent s-au

obţinut următoarele valori ale celor doi parametri: ro = 1.25 Fm, = 0.65 [4,55].

Relaţia (II.43) sugerează o modelare fenomenologică geometrică a tuturor

ciocnirilor nucleu-nucleu la energii peste 1 A GeV. Ea va fi discutată în cadrul părţii a

treia a cursului, consacrată modelării dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste. Ca şi

relaţia (II.42), relaţia (II.43) este utilă pentru secţiunile eficace inelastice. Ea se poate

aplica numai pentru ciocniri nesimetrice, însă. Cea mai folosită valoare a parametrului ro

este, în acest caz, 1.4 Fm [3-5,55].

Este important de subliniat aici faptul că relaţiile (II.42) şi (II.43) pot fi folosite şi

pentru sublinierea influenţei geometriei ciocnirii asupra dinamicii ciocnirii pe un

domeniu foarte larg de energii (1-200 A GeV) [3-5,8,9,30,31,54-56,59]. Ele pot fi legate,

de asemenea, de diferite mărimi fizice de interes pentru a aflat informaţii noi asupra

dinamicii ciocnirii. Printre aceste mărimi se numără multiplicitatea, numărul de

participanţi, interferometria de intensitate etc. Unele dintre aceste conexiuni au fost deja

amintite, iar altele se vor prezenta în capitolele următoare.

Trebuie menţionat - în încheierea acestei prezentări - faptul că metoda de

determinare experimentală a secţiunii eficace în ciocniri nucleare relativiste este afectată

de câteva surse de eroare. Aceste surse de eroare sunt legate, în general, de

caracteristicile tehnice ale sistemului de detecţie şi de metoda de prelucrare a

datelor experimentale primare. Pentru Spectrometrul SKM 200 de la IUCN Dubna,

sistem de detecţie cu ajutorul căruia s-au obţinut majoritatea datelor experimentale

folosite la laboratorul asociat cursului de Fizică nucleară relativistă sursele de eroare

legate de caracteristicile tehnice ale sistemului de detecţie sunt determinate de timpii

morţi ai detectorilor cu scintilaţie montaţi în anticoincidenţă (tm = 20 ns), precum şi de

posibilitatea unor declanşări incorecte, mai ales pentru ciocniri centrale, de către un

fragment al nucleului incident. Corecţiile necesare la secţiunea eficace sunt de 2-4 %, în

primul caz, respectiv, 1-2 %, în cel de al doilea caz.

Principalele surse de eroare determinate de metoda de explorare sunt

ineficacitatea de explorare şi pierderile de la explorare. Primele impun corecţii in jur de 1

%, iar celelalte necesită corecţii între 1 % şi 3 %, în funcţie de numărul de masă al

nucleului ţintă. Există şi alte surse de eroare, dar acestea impun corecţii foarte mici

asupra valorii experimentale a secţiunii eficace [4,20,54,55].

Capitolul al VII-lea

Participanţi şi spectatori în ciocniri nucleare

relativiste

VII.1. Definirea noţiunilor de participanţi şi spectatori

Dinamica ciocnirile nucleare relativiste este strâns legată de geometria ciocnirii.

Acest fapt a fost pus în evidenţă încă de la primele studii în domeniul Fizicii nucleare

relativiste [4,7]. Cea mai folosită geometrie este cea de tip "participanţi-spectatori" [1].

Această geometrie este folosită pentru descrierea ciocnirilor nucleare la diferite

energii luând în considerare comportarea lungimii de undă de Broglie, B, şi a drumului

liber mediu, [1,4]. Aceste două mărimi permit o selectare corectă a tipului de mecanism

de interacţie. Lungimea de undă de Broglie asociată nucleonului din nucleu - în sistemul

centrului de masă - dă o măsură a micimii necesare sistemului incident pentru a "observa"

ţinta, la o energie dată, în timp ce drumul liber mediu al nucleonilor în nucleu dă o măsură

a posibilităţii evidenţierii unor interacţii tari nucleon-nucleon.

Dacă cele două mărimi considerate anterior sunt comparate cu raza nucleului ţintă,

RT, se pot stabili fundamentele mecanismelor de interacţie la diferite energii.

În cazul energiilor joase şi intermediare, pentru care sunt satisfăcute relaţiile:

TB R , (II.44)

TR , (II.45)

nucleul ţintă este "observat" ca un întreg şi, de aceea, descrierea interacţiei se face, în

principal, prin împrăştieri pe potenţiale.

Pentru energii înalte - energii pentru care 22

NNN mp ( NNp este impulsul pe nucleon

al nucleului incident, iar Nm este masa de repaus a nucleonului liber ) - ciocnirea a două

nuclee, în sistemul centrului de masă, se poate descrie luând în considerare faptul că

lungimea de undă de Broglie, B, este mai mică decât distanţa internucleonică medie în

nucleu, d, iar drumul liber mediu, , este mai mic decât raza nucleului ţintă, RT. În aceste

condiţii - dB , respectiv, TR - cele două nuclee sunt considerate ca doi "nori" de

nucleoni, iar ciocnirea lor determină, în zona de suprapunere, ciocniri secvenţiale

nucleon-nucleon prin interacţii tari. Apar, astfel, două regiuni distincte care au

caracteristici dinamice diferite [1,4,20,45,60].

Regiunea de suprapunere a celor două nuclee care se ciocnesc este cunoscută şi ca

regiune participantă. În această regiune au loc ciocniri secvenţiale nucleon-nucleon şi se

produc cele mai multe din fenomenele fizice de interes. Părţile rămase nesuprapuse ale

celor două nuclee care se ciocnesc formează regiunea (regiunile) spectatoare (Fig.II.1.)

[1,4,20,45,60].

Fig.II.1. Imaginea participanţi-spectatori

Este de aşteptat ca în regiunea participantă să se producă variaţii semnificative ale

densităţii şi temperaturii materiei nucleare formate prin ciocnire, iar evoluţia acestei materii

nucleare comprimate şi fierbinţi necesită cunoaşterea unui număr important de mărimi

fizice cu semnificaţie dinamică. De asemenea, regiunea spectatoare poate influenţa

dinamica ciocnirii prin dimensiuni, contact cu regiunea participantă, absorbţie de particule

generate din regiunea participantă ş.a. Această imagine geometrică a ciocnirilor nucleare

la energii înalte este cea care poartă numele de imaginea participanţi-spectatori.

Geometria ciocnirii implică atât parametrul de ciocnire, cât şi gradul de simetrie

al nucleelor care se ciocnesc. În funcţie de geometria de ciocnire se stabileşte mărimea

regiunii de suprapunere a nucleelor care se ciocnesc. Această regiune va conţine un

număr mai mare sau mai mic de nucleoni. Ei au fost numiţi nucleoni participanţi. În

general, nucleonii participanţi se definesc ca nucleonii din exteriorul sferelor Fermi de

fragmentare a nucleelor proiectil şi ţintă [61,62].

Estimarea numărului de fragmente cu sarcină care participă la fiecare ciocnire se

face cu ajutorul unei relaţii de forma:

)(2 s

T

s

Pch nnnnQ , (II.46)

unde nch este multiplicitatea particulelor/fragmentelor cu sarcină, n este multiplicitatea

pionilor negativi, s

Pn este numărul de fragmente "spectator" ale nucleului incident

(proiectil), s

Tn este numărul de fragmente "spectator" ale nucleului ţintă.

AP - AT QT(0,0) QT(2,0) QT(5,0) QT(14,0)

O-Ne 6.1 0.7 9.6 0.3 11.7 1.3 13.2 1.1

O-Pb 19.0 0.9 39.6 0.5 44.8 1.4 48.6 2.0

C-Ne 5.1 0.4 8.9 0.9 11.0 0.6 12.2 0.8

C-Cu 9.0 0.8 19.7 1.0 22.3 1.4 22.9 1.5

He-C 2.9 0.3 4.7 0.2 5.1 0.3 5.2 0.5

He-Al 3.8 0.3 5.8 0.6 6.7 0.7 7.2 0.9

He-Cu 5.7 0.5 8.2 0.5 8.6 0.8 9.0 0.7

He-Pb 9.9 1.0 14.7 1.2 17.0 1.4 19.4 1.5

C-C 4.2 0.2 7.8 0.3 10.1 0.7 -

C-Zr 9.8 0.8 22.0 0.9 25.7 1.2 26.8 1.4

C-Pb - 34.8 1.3 43.9 2.0 48.3 2.2

Ne-Ne - 12.2 0.7 - -

AP - AT QT(0,0) QT(2,0) QT(5,0) QT(14,0)

Ne-Zr - 28.0 2.5 - -

Tabelul II.9. Valorile experimentale ale numărului de protoni participanţi în ciocniri

nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c, pentru moduri diferite de declanşare a camerei cu streamer

O ipoteză unanim acceptată este aceea că majoritatea fragmentele au sarcini egale

cu unitatea. Datorită faptului că numărul traiectoriilor particulelor cu sarcină care să aibă

ionizarea mai mare de 1, lungimea corzii trasei mai mare decât valorile prestabilite,

precum şi impulsul mai mare decât valorile impuse este foarte mic, în relaţia (II.46)

mărimea Q este identificată cu numărul de protoni participanţi [45,60-62].

Tabelul II.9 prezintă rezultatele experimentale referitoare la protoni participanţi,

rezultate obţinute în câteva ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c, pentru diferite moduri

de declanşare a camerei cu streamer a spectrometrului SKM 200 de la IUCN Dubna.

Studiile referitoare la protoni participanţi şi nucleoni participanţi sunt strâns legate

de existenţa unor corelaţii de multiplicitate în ciocniri nucleare relativiste [45,60-64]. Ele

pot oferi, totodată, importante informaţii asupra unor parametrii de interes în descrierea

sursei de particule, evoluţiei ei şi dinamicii asociate [1,3-5,17,22,45,48,60-64].

VII.2. Reflectarea geometriei şi dinamicii ciocnirii

în comportarea nucleonilor participanţi şi spectatori

Este de aşteptat ca geometria ciocnirii să fie reflectată de comportarea nucleonilor

participanţi şi spectatori. În funcţie de aceasta există mecanisme de reacţie (ciocnire)

specifice. De aceea, este de aşteptat să apară comportări specifice în ciocniri centrale şi în

ciocniri periferice. De asemenea, numărul de participanţi, respectiv, de spectatori, poate

influenţa evoluţia regiunii participante după creare. În consecinţă, un astfel de studiu ar

putea fi de interes pentru obţinerea informaţiilor dinamice necesare.

Deoarece Colaborarea SKM 200 de la IUCN Dubna a realizat un număr mare de

ciocniri, simetrice sau profund asimetrice, în moduri de declanşare diferite, o astfel de

analiză, care nu implică corecţii suplimentare în raport cu sistemul de detectori şi cu

modul de obţinere a rezultatelor experimentale, este posibilă şi utilă în cunoaşterea

dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste şi în determinarea unor aspecte legate de

comportarea materiei nucleare aflate în condiţii deosebite de densitate şi temperatură.

Obţinerea numărului de protoni participanţi în ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A

GeV/c se face pe baza relaţiei (II.46), cu explicitarea tipurilor şi numărului de fragmente

asociate pentru fiecare caz în parte. Relaţia la care se ajunge este următoarea

[4,5,20,45,60]:

)(2 1 FppRrsch nnnnnnQ

, (II.47)

unde 1sn este numărul de particule cu impuls p 3.5 GeV/c pe particulă, produse în

intervalul unghiular corespunzător modului de declanşare a camerei cu streamer a

spectrometrului SKM 200, T(ch,n),

rn este numărul de fragmente pozitive, de ionizare

mare, care au lungimea corzii trasei mai mică decât o valoare r,

Rn este numărul de

fragmente pozitive, de ionizare mare, care au lungimea corzii trasei cuprinsă între r şi R, cu

Rr , Fppn este numărul de fragmente pozitive, de ionizare mare, care ies din cameră şi

au un impuls Fpp , unde Fp este impulsul Fermi.

Valorile specifice diferitelor mărimi incluse în relaţia (II.47), stabilite în funcţie de

caracteristicile tehnice şi performanţele spectrometrului SKM 200, cele ale masei de

explorare folosită pentru explorare şi măsurare şi condiţiile cinematice specifice ciocnirilor

considerate, precum şi modul de lucru pentru obţinerea datelor şi rezultatelor experimentale

sunt date în lucrarea [20].

Având în vedere importanţa pentru obţinerea unor rezultate experimentale şi pentru

descrierea fenomenologică a dinamicii ciocnirii trebuie menţionat aici că, din considerente

de conservare a numărului de nucleoni (masei) şi numărului atomic (sarcinii), s-a propus

introducerea unei relaţii de legătură între numărul de nucleoni participanţi, QN, şi numărul

de protoni participanţi, Q, de forma următoare [3-5,45,60]:

QZZ

AAQ

TP

TPN

, (II.48)

unde AP,T sunt numerele de masă ale nucleelor proiectil şi, respectiv, ţintă, iar ZP,T sunt

numerele atomice ale aceloraşi nuclee.

Rezultatele astfel obţinute pot fi utilizate pentru a da o descriere fenomenologică,

geometrică, dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste la energii de câţiva GeV/nucleon.

VII.3. Influenţa caracteristicilor regiunii spectatoare asupra

proceselor care au loc în regiunea participantă

O problemă de interes în studiul dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste şi

comportarea materiei nucleare în condiţii diferite de densitate şi temperatură - pentru

punerea în evidenţă a unor stări şi fenomene anomale în materia nucleară fierbinte şi

densă - este separarea contribuţiilor regiunii participante şi regiunii spectatoare, cu luarea

în considerare a influenţei caracteristicilor regiunii spectatoare (dimensiuni, număr de

nucleoni, viteză de deplasare etc) asupra proceselor care au loc în regiunea participantă.

Pentru a se putea analiza posibilităţile de separare a contribuţiilor celor două tipuri

de regiuni, cu luarea ulterioară în considerare a influenţelor posibile asupra proceselor din

regiunea participantă, se propune introducerea unor funcţii de densitate de probabilitate

arbitrare pentru cele două tipuri de regiuni [18,19]. Fie fp(np) funcţia de densitate de

probabilitate a particulelor cu sarcină emise din regiunea particiantă, cu np

multiplicitatea asociată particulelor emise din această regiune. Dacă fs(ns) este funcţia

de densitate de probabilitate a particulelor cu sarcină emise din regiunea spectatoare -

cu ns multiplicitatea particulelor emise din regiunea respectivă - atunci:

)()()( ssppch nfnfnf , (II.49)

este funcţia de densitate de probabilitate a celor nch particule cu sarcină observate

experimental.

Calculul momentelor ordinare necentrale de diferite ordine se poate face pe baza

relaţiilor de definiţie uzuale [4,20,21,26,28]. Se obţin astfel expresiile pentru momentele

ordinare de interes pentru separarea contribuţiilor celor două regiuni.

Momentul ordinar necentral de ordin zero – moment care dă aria de sub curbă –

se scrie sub forma următoare:

ch p sn n n

ssppcho nfnfnfm )()()(' , (II.50)

cu pn

ppp Fnf )( şi sn

sss Fnf )( . Folosind aceste notaţii expresia momentului ordinar

de ordin zero, dată de relaţia (II.50), se va scrie în forma următoare:

spo FFm ' . (II.51)

Următoarele două momente ordinare necentrale pot fi calculate fără introducerea

unor ipoteze suplimentare. Se obţin expresiile de mai jos:

chn

ssppssppspchch FnFnnfnfnnnfnm )]()()[()('1 , (II.52)

sss

n nn

pppssppspchch FnFnnfnfnnnfnmch sp

)()()]()([)()(' 22

,

2222

2

(II.53)

În ecuaţiile de mai sus a fost folosită următoarea relaţie de legătură:

in

iiiii Fnfnn 22 )()( , (II.54)

unde i = p, respectiv, s. Aici, <np> şi <ns> sunt valorile medii ale multiplicităţilor

particulelor cu sarcină generate din regiunea participantă, respectiv, regiunea spectatoare, iar

p2 şi s

2 sunt dispersiile corespunzătoare.

Pentru a calcula mai rapid momentul ordinar necentral de ordinul al III-lea se poate

face ipoteza următoare:

in

iii nfnn 0)()( 3 , (II.55)

unde i = p, respectiv, s. În această ipoteză se consideră – conform celor discutate în capitolul

al V-lea şi în literatura de specialitate citată – numai distribuţii simetrice. Folosind această

ipoteză, momentul ordinar necentral de ordinul al treilea se scrie în forma următoare:

sssspppp FnnFnnm )3()3(' 3232

3 . (II.56)

Din aceleaşi considerente ca în cazul momentului necentral de ordinul al treilea –

simplificarea calculelor – şi pentru momentul de ordinul al patrulea se face o ipoteză

suplimentară, anume:

in

iiii Ffnn 44)( . (II.57)

În această ipoteză momentul ordinar necentral de ordinul al patrulea se scrie astfel:

sssppp FnFnm 222222

4 )()(' . (II.58)

Din cauza faptului că ultimele două momente au fost calculate în anumite ipoteze

restrictive – pentru simplificarea calculelor – este de dorit ca la rezolvarea sistemului de

ecuaţii (II.51)-(II.53), (II.56) şi (II.58) să se considere acele metode care să afecteze cât mai

puţin rezultatele finale. De preferat sunt metodele care folosesc acele momente pentru a

căror obţinere nu s-au introdus ipoteze simplificatoare, restrictive.

Trebuie supus aici, de asemenea, că ipotezele simplificatoare făcute ar putea afecta

rezultatele prin faptul că ar putea neglija interacţiile dintre particulele emise dintr-o anumită

regiune, precum şi interacţiile dintre cele două tipuri de regiuni sau dintre particulele emise

din cele două tipuri de regiuni.

O cale de rezolvare a sistemului ar fi să se ia în considerare toate momentele

calculate şi să se introducă o ipoteză restrictivă suplimentară, anume:

sp . (II.59)

O a doua cale de rezolvare a sistemului presupune folosirea relaţiilor (II.51)-(II.53) şi a

relaţiei de legătură dintre momentele ordinare necentrale şi centrale, anume:

j

jk

k

j

j

kk mmCm )'(' 1

1

, (II.60)

unde mk sunt momentele centrale, iar !)!(

!

jjk

kC j

k

.

Ceea de a doua cale nu implică ipoteze restrictive.

Pentru rezolvarea prin prima metodă propusă se introduc unele notaţii suplimentare

pentru uşurarea calculelor ulterioare. Cele mai importante sunt:

sp

p

FF

Fa

, (II.61)

sp

s

FF

Fab

1 . (II.62)

Folosind expresiile deduse anterior şi notaţiile de mai sus se pot scrie relaţii noi

pentru momentele ordinare necentrale normate. Noile forme sunt date de ecuaţiile de mai

jos:

)1.(.'

'' 11 anan

m

mm sp

o

n , (II.63)

)1).(().('

'' 222222 anan

m

mm sp

o

n , (II.64)

)1).(3().3('

'' 32323

3 annannm

mm sspp

o

n , (II.65)

)1).(().('

'' 2244 anan

m

mm sp

o

n . (II.66)

Rezolvarea sistemului de ecuaţii anterior conduce la ponderi ale producerii de

particule din cele două regiuni. În Tabelul II.10 sunt incluse rezultatele experimentale

obţinute în câteva ciocniri centrale. Se observă că multiplicităţile medii în regiunea

participantă sunt mult mai mari decât cele din regiunea spectatoare, iar pentru unele

ciocniri, cu deosebire pentru cele cu un grad de asimetrie mare, acestea depăşesc

multiplicitatea medie experimentală. Acest fapt sugerează creşterea procesului de

absorbţie în regiunea spectatoare cu creşterea dimensiunilor sale spaţiale.

AP – AT O-Ne O-Pb C-Cu

N 290 2693 100

<np> 7.69 14.40 8.97

m’1exp 4.910.22 11.830.25 6.550.24

m’1th 4.92 12.35 6.54

m’2exp 27.690.33 150.133.36 48.833.44

m’2th 27.31 159.05 50.50

m’3exp 168.9015.98 2009.6249.15 401.5342.11

m’3th 164.06 2124.43 413.77

m’4exp 1091.4096.85 28073.40756.70 3572.60502.20

m’4th 1055.00 29377.10 3577.60

<ns> 2.78 2.57 2.42

Tabelul II.10. Multiplicităţi în regiunea participantă şi în regiunea spectatoare pentru

ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c

Aceste rezultate experimentale asupra numerelor de participanţi şi spectatori,

alături de cele considerate anterior, confirmă existenţa stărilor şi proceselor anomale în

ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c.

VII.4. Informaţii asupra dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste din

comportarea protonilor participanţi

Pentru obţinerea unor informaţii suplimentare cu privire la dinamica ciocnirilor

nucleare relativiste este utilă studierea legăturilor dintre multiplicitatea medie a pionilor

negativi şi numărul mediu de protoni participanţi, respectiv, numărul mediu de nucleoni

participanţi [3-5,33,45,63].

Rezultatele experimentale refeitoare la multiplicităţi şi participanţi, incluse în

tabelele anterioare, obţinute pentru diferite ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c – atât

pentru ciocniri centrale, cât şi pentru ciocniri periferice – arată că numărul de protoni

participanţi creşte cu centralitatea ciocnirii, pentru o ciocnire dată. De asemenea,

numărul de protoni participanţi creşte cu creşterea numărului de masă pentru nucleul

incident, pentru un nucleu ţintă dat, respectiv, cu numărul de masă al nucleului ţintă,

pentru un nucleu incident dat. Comportări similare se observă şi pentru numărul total de

nucleoni participanţi.

Dependenţa numărului mediu de protoni participanţi de numărul de masă al

nucleului ţintă sugerează unele diferenţe între ciocnirile simetrice şi ciocnirile asimetrice.

Astfel de diferenţe au fost observate şi pentru alte mărimi, precum secţiunile eficace şi

multiplicităţile [3-5,45].

De aceea, s-a considerat că legătura dintre multiplicitatea pionilor negativi şi

numărul de protoni participanţi poate oferi informaţii despre dinamica ciocnirii [3-5,45].

O relaţie de interes, având în vedere constanaţa raportului dintre multiplicitatea medie a

pionilor negativi şi numărul mediu de protoni participanţi (Tabelul II.11), este cea dintre

numărul de protoni participanţi pe eveniment şi multiplicitatea pionilor negativi pe

eveniment.

Constanţa raportului dintre multiplicitatea medie a pionilor negativi şi numărul

mediu de protoni participanţi indică existenţa unor mecanisme de producere similare

pentru cele două tipuri de particule. Corelaţia dintre numărul de protoni participanţi pe

eveniment şi multiplicitatea pionilor negativi pe eveniment, menţionată mai sus, ar putea

da indicaţii asupra tipului de echilibru termodinmamic care se stabileşte în regiunea

participantă într-o ciocnire nucleu-nucleu la energii relativiste.

În Fig.II.2.(a,b,c) este prezentată dependenţa numărului de participanţi pe

eveniment de multiplicitatea pionilor negativi pe eveniment, pentru trei ciocniri centrale –

O-Ne, C-Cu şi O-Pb – la impulsul incident de 4.5 A GeV/c. Selectarea a fost făcută

pentru a avea numere diferite de nucleoni participanţi şi a observa influenţa numărului

gradelor de libertate asupra stabilirii echilibrului termodinamic în regiunea participantă.

Din analiza rezultatelor experimentale incluse în figură se poate constata că

pentru ciocniri nucleu-nucleu în care numerele de masă sunt mari, deci numerele de

nucleoni participanţi sunt mari, numărul de protoni participanţi pe eveniment creşte,

iniţial, cu multiplicitatea pionilor negativi din eveniment, dar, pentru valori ale

multiplicităţii pionilor negativi din eveniment sub valoarea multiplicităţii medii, <n>,

acest număr atinge, în limita erorilor experimentale, o valoare constantă. Această

valoarea este dată de numărul mediu de protoni participanţi. O astfel de comportare este

cu atât mai evidentă cu cât numărul mediu de protoni participanţi este mai mare (trecerea

de la C-Cu la O-Pb). Ea nu se observă pentru sisteme uşoare, de tipul O-Ne. O astfel de

comportare sugerează posibilitatea atingerii echilibrului termodinamic în condiţii mai

bune în sisteme care implică un număr mai mare de grade de libertate, adică au un

număr mai mare de nucleoni participanţi. De aceea, în multe experimente realizate după

anul 1990, sunt preferate ciocniri simetrice de nuclee cu numere de masă mari.

AP-AT T(ch,n) <n> <Q> <n>/<Q>

O-Pb T(0,0) 5.20.3 19.00.9 0.270.02

O-Pb T(2,0) 9.40.2 39.60.5 0.250.01

O-Pb T(5,0) 11.10.3 44.81.4 0.250.01

O-Pb T(14,0) 12.20.4 48.62.0 0.250.01

O-Ne T(0,0) 2.90.4 6.10.7 0.470.08

O-Ne T(2,0) 5.00.3 9.60.3 0.520.04

O-Ne T(5,0) 6.10.4 11.71.3 0.520.07

O-Ne T(14,0) 6.90.7 13.21.1 0.520.07

C-Ne T(0,0) 2.20.5 5.10.4 0.430.10

C-Ne T(2,0) 4.20.4 8.90.9 0.470.07

C-Ne T(5,0) 4.70.5 11.00.6 0.430.05

C-Ne T(14,0) 4.90.7 12.20.8 0.400.06

C-Cu T(0,0) 3.20.4 9.00.8 0.360.05

C-Cu T(2,0) 6.20.4 19.71.0 0.320.03

C-Cu T(5,0) 7.00.6 22.31.4 0.310.03

C-Cu T(14,0) 7.30.8 22.91.5 0.320.04

Tabelul II.11. Raportul dintre multiplicitatea medie a pionilor negativi şi numărul mediu

de protoni participanţi pentru ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c cu grade diferite de

centralitate

(a) (b)

(c)

Fig.II.2. Dependenţa numărului de protoni participanţi pe eveniment în funcţie de

multiplicitatea pionilor negativi din eveniment pentru trei ciocniri centrale

(T(2,0)) la 4.5A GeV/c: (a) O-Pb; (b) C-Cu; (c) O-Ne

Dependenţa raportului dintre multiplicitatea medie a pionilor negativi şi numărul

mediu de protoni participanţi de energia cinetică pe nucleon a nucleelor din fasciculul

incident indică, pentru ciocniri simetrice sau cuasisimetrice, existenţa unei dependenţe

liniare [3-5,30,45,63]. Trebuie menţionat aici faptul că pentru o energie dată a nucleelor

din fasciculul incident valoarea raportului scade cu creşterea gradului de asimetrie dintre

nucleele care se ciocnesc. Se observă, de asemenea, dependenţa raportului de masa

nucleului incident (Tabelul II.11 şi Tabelul II.12). În plus, datorită faptului că valoarea

raportului rămâne practic constantă pentru o ciocnire dată, la o energie dată, indifernt de

gradul de centralitate pe care îl are ciocnirea, poate să sugereze comportări similare ale

multiplicităţii medii a pionilor negativi şi a numărului mediu de protoni participanţi în

raport cu geometria ciocnirii şi cu energia nucleelor din fasciculul incident.

AP-AT <n> <Q> <n>/<Q>

He-C 1.370.06 4.70.2 0.290.02

He-Al 1.720.12 5.80.6 0.290.04

He-Cu 2.150.10 8.20.5 0.260.02

He-Pb 2.230.08 14.71.2 0.150.02

C-C 3.850.08 7.80.2 0.490.04

C-Zr 7.550.23 22.00.9 0.340.02

C-Pb 8.350.24 34.81.3 0.240.01

Tabelul II.12. Comportarea raportului <n>/<Q> pentru diferite ciocnirinucleu-nucleu

la energia cinetică de 3.6 A GeV, pentru modul de declanşare central T(2,0)

Trebuie remarcat faptul că dependenţa numărului mediu de protoni participanţi de

de numărul de masă al nucleului ţintă indică o schimbare a tipului de dependenţă la

trecerea de la ciocniri simetrice la ciocniri asimetrice. Schimbarea tipului de dependenţă

apare pentru un raport al razelor nucleelor care se ciocnesc în jur de 1.5-2.0, depinzând

uşor de raza nucleului incident. Valoarea acestui raport scade cu creşterea numărul de

masă al nucleului incident. Peste această valoare se trece de la o dependenţă liniară cu

pantă abruptă, la una mai lentă, cuasiliniară. Această modificare a comportării în jurul

acestor valori a fost observată şi pentru celelalte mărimi discutate.

O posibilă explicare a acestei comportări ar putea fi legată de fenomene care pot

avea loc în regiunea/regiunile spectatoare, cum ar fi: absorbţie mai mare în regiunile

spectatoare cu creşterea asimetriei dintre nucleele care se ciocnesc datorită creşterii

dimensiunilor acestora, dependenţele unor parametrii termodinamici şi hidrodinamici ai

regiunii spectatoare de masele/razele nucleelor care se ciocnesc. Este posibilă, de

asemenea, apariţia unor dificultăţi determinate de stabilirea cu acurateţe a gradului de

centralitate a ciocnirii, în anumite situaţii, pentru ciocniri asimetrice, ceea ce ar putea

conduce la modificarea dependenţei.

Pentru raportul dintre multiplicitatea medie a pionilor negativi şi numărul mediu

de protoni participanţi s-a propus o dependenţă empirică de energia pe nucleon a

fasciulului incident [3-5,9,30,45,63]. Dependenţa este de forma următoare:

<n>/<Q> = (AP/AT)0.15

exp(-2.15/2) , (II.67)

unde şi sunt factorii Lorentz pentru energia pe nucleon a nucleului incident în

ciocnirea considerată. Ei definesc transformarea Lorentz în SCM pentru ciocnirea

nucleon-nucleon la energie egală cu energia pe nucleon, relativ la SL. În acest caz, pentru

ciocniri nucleu-nucleu la energii până la 12 A GeV, se observă o tendinţă spre saturare,

cu creşterea energiei pe nucelon a nucleului incident. Acest lucru ar putea fi legat de

posibilitatea apariţiei unor tranziţii de fază în materia nucleară fierbinte şi densă formată

în aceste ciocniri. Alte informaţii asupra unor aspecte legate de dinamica ciocnirilor

nucleare relativiste şi apariţia unor tranziţii de fază pot fi obţinute prin studierea

comportării nucleonilor participanţi.

VII.5. Nucleoni participanţi.

Metode de detreminare şi informaţii dinamice

Stabilirea numărului de nucleoni participanţi s-a făcut, de-a lungul timpului, în

moduri diferite [1-5]. O primă cale avea în vedere explicit simetria ciocnirii [1,2]. Se

considera că, pentru ciocniri simetrice, numărul (total) de nucleoni participanţi este de

două ori numărul de protoni participanţi, adică:

QN = 2Q . (II.68)

Pentru ciocniri asimetrice s-a propus o relaţie de forma:

QN = 2.5Q . (II.69)

Aceste relaţii nu luau în considerare explicit asimetria dintr-o ciocnire dată.

Având în vedere importanţa numărului (total) de nucleoni participanţi în obţinerea unor

rezultate experimentale şi pentru descrierea fenomenologică a dinamicii ciocnirii s-a

propus, din considerente de conservare a numărului de nucleoni (masei) şi numărului

atomic (sarcinii), introducerea unei relaţii de legătură între numărul de nucleoni

participanţi, QN, şi numărul de protoni participanţi, Q, de forma următoare [3-5,45,60]:

QZZ

AAQ

TP

TPN

, (ecuaţia II.48)

unde AP,T sunt numerele de masă ale nucleelor proiectil şi, respectiv, ţintă, iar ZP,T sunt

numerele atomice ale aceloraşi nuclee.

Tabelul II.13 conţine valorile obţinute cu cele trei relaţii de mai sus.

AP-AT <Qexp > <QN >= 2 Qexp <QN >=

=2.5 <Qexp >

<QN >

-rel.(II.48)-

O-Ne 9.60.3 19.20.6 24.00.8 19.20.6

O-Pb 39.60.5 79.21.0 99.01.3 98.61.2

C-C 7.80.3 15.60.6 19.50.8 15.60.6

C-Ne 8.90.9 17.81.8 22.32.3 17.81.8

C-Cu 19.71.0 39.42.0 49.32.5 42.82.2

C-Zr 22.00.9 44.01.8 55.02.3 49.32.2

C-Pb 34.81.3 69.62.6 87.03.3 87.03.3

He-C 4.70.2 9.40.4 11.80.5 9.40.4

He-Al 5.80.6 11.61.2 14.51.5 12.01.2

He-Cu 8.20.5 16.41.0 20.51.3 18.01.1

He-Pb 14.71.2 29.42.4 36.83.0 37.13.0

Tabelul II.13. Numerele totale de nucleoni participanţi date de cele trei relaţii

[(II.68), (II.89) şi (II.48)]

Se constată faptul că relaţiile (II.68) şi (II.48) dau rezultate similare pentru

ccioniri simetrice şi cuasisimetrice, iar relaţiile (II.69) şi (II.48) dau rezultate similare

pentru ciocniri profund asimetrice. Pentru ciocnirile asimetrice, cu grad de asimetrie între

cele două limite extreme menţionate, rezultatele obţinute cu relaţia (II.48) dă valori între

cele două limite extreme propuse, în acord mai bun cu asimetria reală a ciocnirii

considerate.

Pentru verificarea acestei metode de determinarea a numărului total de nucleoni

participanţi s-a urmărit obţinerea unor informaţii şi rezultate experimentale suplimentare.

De aceea, s-a urmărit determinarea numărului de participanţi din nucleul incident şi din

nucleul ţintă [45,60].

Numărul mediu de protoni participanţi din nucleul incident se poate determina din

datele experimentale folosind următoarea relaţie de legătură [3-5,10,21,45]:

PZ

Z

stripPp ZZWnZQ1

)( , (II.70)

unde W(Z) este distribuţia fragmentelor de tip “stripping” ale nucleului incident în funcţie de

sarcinile lor.

O altă relaţie importantă este cea care dă numărul mediu de nucleoni participanţi din

nucleul ţintă. Ea se poate scrie astfel:

Q Q QA

AN

T

p

T

P

( ) . (II.71)

unde QP este dat de relaţia (II.70).

Numărul de protoni participanţi din regiunea de suprapunere a nucleelor care se

ciocnesc se poate estima folosind relaţia următoare:

>Q<+>Q>=<Q<tp .

(II.72)

unde Qp este dat de relaţia (II.70). Qt se poate obţine din Qp folosind relaţii diferite.

O analiză suplimentară a calităţii rezultatelor experimentale obţinute pentru

ciocniri nucleu-nucleu nesimetrice se bazează pe excesul de neutroni din nucleul ţintă.

Acest exces, notat prin QTn , poate fi estimat folosind relaţia de mai jos:

P

T

p

T

TT

n AQZ

AQ , (II.73)

unde numărul de protoni participanţi din nucleul ţintă, QpT, poate fi calculat astfel:

P

T

p ZQQ , (II.74)

Aici, ca şi în relaţiile anterioare, AP,T, respectiv, ZP,T, sunt numerele de masă, respectiv,

numerele atomice, ale nucleelor incident şi ţintă.

Câteva rezultate experimentale obţinute cu ajutorul relaţiilor de mai sus, pentru

unele ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c, având grade de centralitate diferite, sunt

incluse în Tabelul II.14.

AP-AT T(ch,n) <QPp > <QT

n >

C-Ne T(0,0) 2.30.3 5.61.0

C-Ne T(2,0) 4.10.2 12.01.0

C-Ne T(5,0) 5.40.2 12.01.4

C-Ne T(14,0) 6.0 13.81.5

C-Cu T(0,0) 2.90.8 12.92.5

C-Cu T(2,0) 5.50.2 31.02.0

C-Cu T(5,0) 6.0 35.32.3

C-Cu T(14,0) 6.0 36.42.8

O-Ne T(0,0) 3.10.9 6.21.1

O-Ne T(2,0) 5.30.7 12.71.5

O-Ne T(5,0) 7.40.6 12.62.9

O-Ne T(14,0) 8.0 14.22.8

O-Pb T(0,0) 4.30.7 36.75.1

O-Pb T(2,0) 7.20.3 90.64.3

O-Pb T(5,0) 8.0 100.05.0

O-Pb T(14,0) 8.0 108.07.0

Tabelul II.14. Numărul de protoni participanţi din nucleul incident

şi numărul de nucleoni din nucleul ţintă

Din analiza rezultatelor experimentale din tabelul II.14 se observă un acord rezonabil cu

rezultatele obţinute prin celelalte metode.

Folosind rezultatele experimentale prezentate până aici se pot stabili unele

conexiuni care să permită obţinerea unor informaţii privind dinamica ciocnirii. De

exemplu, din distribuţia de multiplicitate a pionilor negativi produşi într-o ciocnire şi

spectrul de impuls al acestora se poate încerca, pe baza imaginii participanţi-spectatori,

determinarea unor posibile interacţii în starea finală. Este importantă, de asemenea,

stabilirea regiunii din care au fost emişi diferiţi pioni [17,18]. Trebuie avută în vedere şi o

producere semnificativă de particule sub energia de prag de producere, energie

determinată în ciocniri independente nucleon-nucleon [31].

De aceea, se poate considera că regiunea/regiunile spectatoare - prin absorbţia de

particule produse în regiunea participantă şi fenomenele care au loc la suprafata de

contact dintre cele două tipuri de regiuni – poate fi considerată ca o posibilă sursă de

producere de pioni cu impulsuri mici. În general, multiplicitatea pionilor poate fi corelată

cu energia termică pe barion şi cu energia de compresie. O ipoteză general acceptată este

aceea că aceste energii pot să implice cam jumătate din energia disponibilă [9,11,14,15].

O relaţie de legătură între diferite mărimi fizice discutate şi aceste energii ar fi de interes.

Numărul de protoni participanţi şi numărul de nucleoni participanţi se pot

determina experimental, aşa cum s-a arătat şi mai sus, sau se pot calcula pentru diferite

ciocniri, la diferite energii, fie pe baza unor coduri de calcul, fie pe baza unor modele

fenomenologice geometrice [3-5], aşa cum se va vedea în partea a treia a cursului.

Pe de altă parte, pentru secţiunile eficace se pot folosi relaţii geometrice simple.

Fie secţiunea eficace geometrică pentru ciocnire a două nuclee [60]:

)A+A(r=21/3

T1/3P

2oG . (II.75)

Secţiunile eficace individuale (vazute ca arii simple) ale nucleelor care se ciocnesc, proiectil

şi ţintă, se pot scrie astfel:

Ar= 2/3P

2oP , (II.76)

respectiv,

Ar= 2/3T

2oT . (II.77)

Numărul de protoni participanţi din nucleul incident (proiectil), respectiv, numărul de

protoni participanţi din nucleul ţintă ar trebui să fie proporţionale cu rapoartele dintre arii şi

secţiunea eficace geometrică, precum şi cu numerele atomice. Din analiza datelor şi

rezultatelor experimentale s-a considerat că, pentru nucleul incidet, constanta de

proporţionalitate trebuie să fie factorul 1/ - cu “moliciunea” suprafeţei nucleare –

deoarece el este ce care exercită presiune asupra nucleului ţintă. În cazul nucleului ţintă

constanta de proporţionalitate propusă a fost 1/ - cu factorul Lorentz – pentru a lua în

considerare deformarea formei nucleare datorită contracţiei Lorentz; se consideră, în

general, factorul corespunzător ciocnirilor nucleon-nucleon, relativ la SCM (aproximaţia

impulsului extinsă).

Valoarea parametrului este dată de fitarea secţiunilor eficace inelastice cu relaţia

(II.42). Pentru sectiunile eficace inelastice (periferice) obţinute în ciocniri nucleu-nucleu la

4.5 A GeV/c, în cadrul colaborării SKM 200, această valoare este =0.65 [3-5,45,55,60].

Relaţiile finale sunt următoarele:

)A+A(

AZ>=Q<

21/3T

1/3P

T

2/3P

p

, (II.78)

)A+A(

AZ>=Q<

21/3T

1/3P

P

2/3T

t

. (II.79)

Trebuie avut în vedere faptul că, aşa cum s-a menţionat anterior, pentru un nucleu

incident (proiectil) dat, care ciocneşte nuclee ţintă diferite, există o schimbare a tipului de

dependenţă a secţiunii eficace de numărul de masă al nucleului ţintă pentru 1.5R

R

P

T . Cu

creşterea numărului de masă al nucleului incident creşte rolul mărimii suprafeţelor de

contact dintre nucleele care se ciocnesc, precum şi rolul caracteristicilor suprafeţrlor

nucleare implicate, inclusiv al “moliciunii” lor.

Producerea de pioni este posibilă prin mai multe mecanisme în ciocniri nucleare

relativiste. Unele dintre aceste mecanisme sunt directe (de exemplu, N+N +X),

altele sunt mecanisme indirecte, cum ar fi formarea iniţială a unor rezonanţe - barionice

sau mezonice - urmată de dezintegrarea lor prin canale care implică prezenţa a cel puţin

un pion, cu sarcină sau neutru. În ciocniri nucleare relativiste un canal comun de

producere de rezonanţe barionice este cel în care se produce rezonanţa barionică .

Canalul ei principal de dezintegrarea este următorul: +N [3-5,10]. Diferite calcule

de model sau coduri de simulare arată că la energii de ordinul a câţiva GeV/nucleon

echilibrul între nucleoni, pioni, rezonanţe şi alte particule prezente în regiunea

participantă se stabileşte în circa 10 Fm/c după ciocnire. După acest interval de timp în

aceste ciocniri apare o comportare de tip saturaţie. Echilibrul suferă unele modificări în

timpul expansiunii regiunii participante – denumită în cadrul multor modele dinamice

“sferă fierbinte” sau “fireball” – iar diferitele mecanisme de producere de pioni pot fi

reflectate în spectrele de impuls. Trebuie menţionat aici faptul că în studiul ciocnirilor

nucleare relativiste sunt extrem de utile atât spectrele de impuls total, cât şi spectrele de

impuls transversal şi de impul longitudinal. De exemplu, spectrele de impuls transversal

sunt extrem de utile în obţinerea temperaturii regiunii participante la emisia diferitelor

tipuri de particule, iar spectrele de impuls longitudinal, în sistemul centrului de masă,

oferă informaţii asupra centralităţii ciocnirii.

Studiile sistematice făcute asupra producerii de pioni în ciocniri nucleare

relativiste simetrice au evidenţiat o serie de trăsături caracteristice [9,22,30,31,61].

Printre acestea se numără:

- multiplicitatea pionilor creşte cu numărul de protoni participanţi;

- multiplicitatea pionilor creşte cu energia pe nucleon disponibilă pentru procesul de

termalizare; energia este evaluată în sistemul centrului de masă;

- existenţa unei corelaţii liniare între multiplicitatea pionilor şi energia disponibilă în

sistemul centrului de masă; apare de la energii de 0.1 A GeV.

Pentru ciocniri nucleare asimetrice este de aşteptat o creştere a absorbţiei

particulelor generate în regiunea participantă, în special pioni, în regiunea/regiunile

spectatoare.

Acestor observaţii legate de ciocniri simetrice trebuie să le fie adăugat rezultatul

obţinut în ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c legat de comportarea dependenţei

numărului de protoni participanţi pe eveniment de multiplicitatea pionilor negativi pe

eveniment în ciocniri centrale. Comportarea de tip saturaţie observată pentru ciocniri în

care sunt obţinute numere medii mari de nucleoni participanţi poate fi legat de procese de

termalizare în materia nucleară din regiunea participantă, dar şi de absorbţia pionilor în

regiunile spectatoare, regiuni ale căror dimensiuni cresc cu gradul de asimetrie dintre

nucleele care se ciocnesc. De asemenea, o altă cauză ar putea fi descreşterea energiei

termice pe nucleon participant.

Energia termică disponibilă în SCM se poate estima folosind o relaţie de forma

următoare [64]:

NNCMTh mQEE , (II.80)

unde QN este numărul total de nucleoni participanţi – determinat ca mai sus – iar mN este

masa nucleonului legat (mN 931 MeV/c2).

Energia disponibilă în SCM, ECM, se poate determina folosind relaţia de mai jos:

22)( pEEE TPCM , (II.81)

unde p este impulsul total al nucleului incident.

Dacă nucleul ţintă este în repaus, atunci, pentru calcularea energiei disponibile

datorate lui, se foloseşte relaţia următoare:

N

T

NT mQE , (II.82)

cu QNT numărul de nucleoni participanţi din nucleul ţintă [45,60].

Remarcă. (i) Impulsul total se obţine înmulţind impulsul pe nucleon pentru nucleul

incident cu numărul de masă al nucleului incident, A; de exemplu, dacă nucleul incident

este nucleul de oxigen (A=16) şi are impulsul pe nucleon de 4.5 A GeV/c, atunci

impulsul total este de 72 GeV/c.

Remarcă. (ii) Relaţiile (II.80)-(II.82) sunt scrise în sistemul natural de unităţi.

Luând în considerare rezultatele prezentate în capitolul consacrat multiplicităţilor

referitoare la stoparea aproape completă a nucleului incident în nucleul ţintă, precum şi

cele prezentate în acest capitol referitoare la determinarea contribuţiilor diferitelor regiuni

la producerea de particule (Tabelul II.4, Tabelul II.5 şi Tabelul II.10) şi calculele bazate

pe relaţiile (II.80)-(II.82) se poate constata că pentru unele ciocniri asimetrice nucleu-

nucleu la 4.5 A GeV/c multiplicitatea pionică calculată este mai mare decât

multiplicitatea pionică experimentală [64].

Diferenţele dintre calcule şi rezultatele experimentale ar putea fi mai mari dacă s-

ar face ipoteza nucleonii spectatori ai nucleului ţintă iau o fracţie din energia incidentă

disponibilă. Nu există o cale simplă de luare în considerare a acestui transfer de energie

de la nucleul incident la nucleul ţintă. Este de aşteptat ca diferenţa dintre calcule şi

rezultatele experimentale să fie mai mare dacă toate tipurile de pioni ar fi luate în

considerare, nu numai pionii negativi. Un ajutor în rezolvarea acestei probleme ar putea fi

dat de studierea comportării raportului -/

+ şi, prin acesta, a asimetriei de izospin în

mecanismele de producere de pioni [1,2,4.22,30,31,61].

Ar mai trebui spus că numărul total de nucleoni participanţi permite estimarea

extinderii spaţiale a regiunii participante, folosind o dependenţă similară celei dintre raza

nucleară şi numărul de masă al nucleului considerat [3-5,45,46]. Această dimensiune

poate fi legată de tipul de particulă, ceea ce poate furniza unele informaţii asupra

evoluţiei temporale a regiunii participante [45,46].

Toate aceste rezultate sunt extrem de utile în studierea dinamicii ciocnirilor

nucleare relativiste, în stabilirea unor caracteristici termodinamice sau hidrodinamice ale

comportării materiei nucleare înalt excitate, fierbinţi şi dense, formate.

Capitolul al VIII-lea

Interferometria particulelor identice

VIII.1. Noţiuni introductive asupra efectului Hanbury-Brown şi Twiss

Multe din aspectele dinamice ale ciocnirilor nucleare relativiste sunt bine

reflectate de diferite tipuri de corelaţii. Unele dintre corelaţii permit stabilirea

caracteristicilor spaţio-temporale ale sursei din care se emit particulele generate în

interacţii nucleare. Metoda poartă numele interferometrie de intensitate sau

interferometrie de particule identice. Aceasta este un fenomen de interferenţă a

intensităţilor când două particule identice sunt detectate în puncte spaţio-temporale sau

de impuls-energie diferite [65].

Primele experimente de acest tip au fost făcute în Astrofizică. În anul 1956

Hanbury-Brown şi Twiss au măsurat diametrul unghiular al unei stele folosind corelaţiile

dintre doi fotoni. Metoda se mai numeşte şi interferometrie de intensitate, iar efectul de

corelaţie spaţio-temporală sau de corelaţie energie-impuls la detectarea particulelor

identice emise dintr-o sursă extinsă se numeşte efect Hanbury-Brown - Twiss.

Acest efect este legat de teoria stărilor coerente şi oferă posibilitatea unor legături

între realizarea corelaţiilor şi gradul de coerenţă din sursă. Corelaţiile de tip Hanbury-

Brown şi Twiss sunt prezente în surse haotice şi absente din surse coerente.

Începând cu anul 1960 această metodă a fost aplicată în Fizica particulelor

elementare [66] şi în Fizica nucleară relativistă [67]. Printre particulele folosite în

interferometria de intensitate, alături de fotoni, se numără, cel mai frecvent, pionii, kaonii

şi protonii.

Aşa cum s-a menţionat anterior, începând cu anul 1960, această metodă a fost aplicată în

Fizica particulelor elementare [66]. S-au folosit observaţiile asupra distribuţiilor

unghiulare ale mezonilor π în anihilări p -p. S-a constatat că există abateri de la

predicţiile modelului statistico-termodinamic Fermi [68,69]. S-a propus o variantă

modificată a modelului statistico-termodinamic Fermi. În această variantă s-a făcut

ipoteza că rata de tranziţie dintr-o stare iniţială într-o stare finală dată este proporţională

cu probabilitatea de a găsi N mezoni π liberi în volumul de reacţie. Această probabilitate

a fost exprimată în termenii unor funcţii de undă simetrizate. Modelul, în această

variantă, reproduce calitativ rezultatele experimentale, prevăzând faptul că raza

volumului de interacţie este între jumătate şi trei sferturi din lungimea de undă Compton

asociată. S-a observat dependenţa efectelor corelaţiilor unghiulare de valoarea razei

sursei de particule. S-a constat faptul că, din punct de vedere cantitativ, rămân câteva

discrepanţe între predicţiile modelului şi rezultatele experimentale, dar nu s-a putut spune

cu claritate care este natura lor. S-a considerat că acestea ar putea fi determinate de

incertitudinile în datele experimentale sau de unele efecte dinamice. În absenţa

informaţiei asupra interacţiilor π-π şi a unor explicaţii satisfăcătoare asupra comportării

multiplicităţii medii a pionilor produşi în procese de anihilare antiproton-proton, a fost

subliniată natura preliminară a rezultatelor obţinute de grupul condus de Goldhaber. S-a

considerat că efectele de simetrizare discutate pot juca un rol major în analiza

distribuţiilor unghiulare. De asemenea, dependenţa de energie a corelaţiilor unghiulare a

constituit un element important în validarea ulterioară a modelului.

Teoria efectului Hanbury-Brown şi Twiss pentru ciocniri nucleon-nucleon, nucleon-

nucleu şi nucleu-nucleu la energii înalte a fost formulată pentru prima oară de oamenii

de ştiinţă ruşi G.I.Kopulov şi M.J.Podgoretsky [67]. Din analiza dimensiunii spaţiale, r,

şi a timpului de viaţă, τ, ei au dedus caracteristicile spaţio-temporale ale sursei de

particule. S-a pus problema gradului de coerenţă din sursa de particule şi astfel s-a

introdus aşa-numitul parametru de haos sau gradul de coerenţă, . Dacă există coerenţă

totală în sursa de particule, atunci parametrul de haos are valoarea λ=1. Dacă sursa este

complet haotică, atunci parametrul de haos are valoarea λ=0.

Emisia de pioni în ciocniri nucleare relativiste se poate considera ca fiind datorată

unei surse parţial haotice. Corelaţia de impuls a doi pioni identici detectaţi în coincidenţă

poate fi tratată folosind transformata Fourier a funcţiei de distribuţie a sursei în spaţiul

fazelor. Acest mod de abordare este aplicabil şi altor tipuri de particule identice. Luând în

considerare aceste aspecte, se poate spune că această metodă dă informaţii asupra

distribuţiei materiei în diferite momente specifice procesului de ciocnire. De aceea, ea

poate fi un instrument util în studierea structurii şi comportării materiei nucleare la

diferite temperaturi şi densităţi, precum şi în evidenţierea unor stări anomale şi a unor

tranziţii de fază în materia nucleară fierbinte şi densă.

Ulterior, metodele propuse au fost dezvoltate. S-a luat în considerare funcţia de corelaţie

dintre particule, adică probabilitatea de a detecta o pereche corelată. Multe din metodele

folosite implică determinarea probabilităţii de a găsi doi pioni liberi în volumul de

reacţie, aceştia având impulsurile 1p şi 2

p . Alte metode propun luarea în considerare a

efectului de curgere a materiei nucleare în ciocniri nucleare. De aici s-a trecut la

măsurarea volumului de ciocnire folosind tehnica Hanbury-Brown şi Twiss. A fost

posibilă, de asemenea, înţelegerea contribuţiei curgerii la funcţia de corelaţie. Odată cu

creşterea energiei disponibile în sistemul centrului de masă s-a propus folosirea unor

sisteme de referinţă noi. Creşterea energiei a pus problema considerării unor surse

nesferice, precum şi problema modificărilor caracteristicilor spaţio-temporale ale sursei

de particule în raport cu direcţia de observare. În acest caz se consideră o rază a sursei

observată pe o direcţie perpendiculară pe direcţia de mişcare a nucleelor care se ciocnesc,

r , şi o rază a aceleaşi surse observată pe o direcţie paralelă cu direcţia de mişcare a

nucleelor care se ciocnesc, IIr . Se obţin informaţii şi asupra timpului de viaţă al sursei, τ,

timp scurs de la crearea ei până la emisia particulelor considerate în interferometria de

intensitate. De asemenea, din comportarea funcţiei de corelaţie a particulelor considerate

în prezenţa interacţiilor cu mediul din care este formată sursa de particule se pot obţine

informaţii noi asupra caracteristicilor spaţio-temporale ale sursei de particule.

VIII.2. Determinarea caracteristicilor spaţio-temporale

ale sursei de particule. Consideraţii teoretice

Există diferite căi de determinare a caracteristicilor spaţio-temporale ale sursei de

particule. În cazul modelelor statistico-termodinamic de tip Fermi [68,69] şi Hagedorn

[70,71] se consideră un sistem închis într-un volum V; sistemul respectă condiţii

periodice la capete. Pentru astfel de modele se face presupunerea că rata de anihilare în

orice stare Nπ este dată de probabilitate PN(Ω), dată de relaţia:

PN(Ω)=(Ω/V)N , (II.83)

unde Ω este volumul de reacţie; în volumul de reacţie se presupune că se produce

amestecul statistic al stărilor. Mărimea PN(Ω) este considerată probabilitatea de a găsi N

pioni liberi în volumul de reacţie şi este definită prin relaţia următoare:

2

1...... NNN rdrdP , (II.84)

unde

N

m

mmNN rpiV 12

exp1

. (II.85)

Pentru cazul N=2, cu două particule identice, avînd impulsurile 1p şi

2p ,

probabilitatea corespunzătore, P2(Ω), are un rol important. Folosind notaţia Ψ(12) pentru

această probabilitate relaţia (II.84) se poate scrie în forma următoare pentru cazul

menţionat:

212

2,1)12( rdrdS . (II.86)

Integrarea se face după cele două variabile pe o sferă Ω=4πρ3/3, iar integrandul are

următoarea expresie:

2112exp2211exp2

12,1 rprpirprpi

V

S . (II.87)

Prin integrare se obţine, pentru o sursă de formă sferică, următoarea expresie a

probailităţii definite de relaţia (II.86):

21

2

32,

sincos9112 ppt

t

t

t

t

. (II.88)

Probabilitatea Ψ(12), definită de relaţia (II.86), respectiv, relaţia (II.88), nu va mai

depinde doar de mărimea volumului de interacţie Ω, ci şi de formă. Trebuie menţionat

aici faptul că probabilitatea Ψ(12) pentru un model care consideră o sursă sferică, cum

este cea dată de relaţia (II.88), diferă foarte puţin de probabilitatea Ψ(12) obţinută pentru

cazul în care se presupune o formă gaussiană:

2

21

2

2

2

12

exp12

exp2,112 srdrdrrS

, (II.89.a)

cu

21

21 pps . (II.89.b)

În acest caz se integrează de două ori pe întreg spaţiul. Calculele se pot simplifica înainte

de a se trece la evaluările numerice [66].

Descoperirea curgerii anizotropice transversale în ciocnirile nucleu-nucleu la

energii relativiste (curgerii eliptice)a impus reevaluarea unor căi de determinare a

caracteristicilor spaţio-temporale ale sursei de particule cu luarea în considerare a

efectului de curgere hidrodinamică a materiei nucleare. Determinarea volumului de

ciocnire folosind efectul Hanbury-Brown – Twiss şi metodele de calcul asociate permite

compararea cu rezultatele obţinute prin alte metode, specifice modelelor hidrodinamice

pentru ciocniri nucleare relativiste [9,11,12,22,25,31,72-77].

Analiza efectului Hanbury-Brown şi Twiss permite investigarea mărimii sursei în

mai multe dimensiuni [4,5,20,22,31,36,37,64-66,78-81]. Acest lucru se poate face

studiind dependenţa funcţiei de corelaţie, pe diferite componente ale impulsului perechii

de particule considerate. Pentru ciocniri nucleare relativiste cele mai folosite perechi sunt

cele de pioni, kaoni şi protoni. În cele mai multe situaţii de interes, analiza se face în

sistemul de coordnate “exterior” (“long-side-out”; se consideră că “long” este direcţia

impulsului, “out” este direcţia impulsului transversal al perechii de pioni, “side” este

planul perpendicular pe direcţia “out”). Sistemul “exterior” este prezentat în Fig.II.3.

Asupra unor aspecte legate de alegerea sistemului de coordonate se va mai reveni în curs.

y

pt=pt1+pt2

pt1 qside

q

qout

pt2

x

Fig.II.3. Sistemul de coordonate “exterior”

Pentru deducerea razelor efective ale sursei cu luarea în considerare a contribuţiei

curgerii la funcţia de corelaţie se introduce o funcţie de corelaţie de următoarea formă:

2

4

212

4

1

4

2,

2,

2,

1,

21

PxxSd

eP

xSP

xSxdxd

pqC

xxiq

, (II.90)

unde PxS , este funcţia sursei, q = p1-p2 este 4-impulsul relativ şi P=p1+p2 este 4-

impulsul total al perechii; PEP , , p1 şi p2 sînt 4-impulsurile particuleor considerate

(în cele mai multe cazuri, pioni). Considerînd forma exactă a funcţiei de corelaţie, se pot

genera corecţiile datorate geometriei sursei. Se foloseşte funcţia de corelaţie din relaţia

(II.90). Pentru considerarea corelaţiei spaţiu-impuls se presupune că funcţia sursei nu este

factorizată, adică:

PSxSPxS ms, . (II.91)

Mărimea sursei măsurate nu este mărimea întregii surse, ci doar regiunea efectivă

care emite particulele identice proprii considerate (se dă lungimea omogenităţii).

Pentru efectuarea calculelor necesare în formă covariantă, în unele modele, se

introduce 4-viteza sursei [82-84]. În general, însă, se urmăreşte obţinerea unor relaţii de

calcul independente de model. De aceea, în cele mai multe cazuri de interes se lucrează

cu transformări Lorentz între sisteme de referinţă diferite. Scopul principal este stabilirea

relaţiilor dintre mărimea sursei şi funcţia de corelaţie Hanbury-Brown – Twiss, funcţie

măsurată atunci cînd sursa este în mişcare.

Funcţia de corelaţie este prin definiţie raportul dintre densitatea invariantă biparticulă şi

produsul densităţilor invariante uniparticulă.

2

4

'''

212

4

1

4

2

',''

2

','

2

','''

1',,

21

PxSxd

eP

xSP

xSxdxd

PqCPqC

xxq

, (II.92)

unde prin prim (’) s-au notat valorile coordonatelelor şi ale impulsului în acest sistem

[82-84].

În cadrul modelului termodinamic de “sferă fierbinte” (fireball), la fiecare

parametru de ciocnire părţile care se suprapun ale nucleului proiectil şi ale nucleului ţintă

se amestecă şi toată energia este convertită într-o mişcare aleatoare. O astfel de conversie

poate avea loc dacă “sfera fierbinte” (fireball-ul) pierde memoria modului în care a fost

creat.

Fie cazul în care numărul de particule nu este mare, în ipoteza că în “sfera

fierbinte” nu există decât nucleoni, având masa de repaus m şi pioni cu masa de repaus

mπ. Probabilitatea de a avea n1 protoni, n2 neutroni, n3 pioni pozitivi, n4 pioni negativi şi

n5 pioni neutri este dată de o relaţie de forma:

54321

54321

54321

nnnnn

nnnnn

nnnnng

gP . (II.93)

unde

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

i

i

i

N

N

nnnnn pdpm

p

m

pE

nh

Vg

1

3

11

2

1

2

3

21

54321 22!

, (II.94)

cu

N1=n1+n2 , (II.94a)

N2=n3+n4+n5 , (II.94b)

N=N1+N2 , (II.94c)

E=Erel-N1mc2-N2mπc

2 . (II.94d)

Multiplicităţile n1, n2, n3, n4, n5 trebuie să respecte legile conservării numărului

barionic şi sarcinii, anume:

n1+n3-n4=Q , (II.95a)

n1+n2=B . (II.95b)

Ecuaţia (II.94) este o aproximaţie nerelativistă. Ea poate fi aplicată pentru

ciocniri de ioni cu numere de masă egale şi energii în sistemul laboratorului de cel mult

800 MeV/nucleon, ceea ce corespunde la 182 MeV/nucleon în sistemul centrului de masă.

Trebuie menţionat faptul că, pentru astfel de ciocniri, aproximaţia nerelativistă este

corectă pentru nucleoni. Este mai puţin corectă pentru pioni, care au o masă de repaus

mult mai mică. Integrala din ecuaţia (II.94) poate fi evaluată formal. Generalizarea

relativistă a ecuaţiei (II.94) nu poate fi evaluată pentru un număr mare de particule.

Pentru un parametru de ciocnire dat, spectrul inclusiv pentru pioni negativi pentru

un impuls relativ p, în sistemul de coordonate ataşat “sferei fierbinţi”, în repaus, este dat

de relaţia de mai jos:

5432121

2121

1

3

11

2

1

2

1

31

11

1

1

2

1

224

3

3

22

222nnnnn

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

i

P

pdpm

p

m

pE

pdpppm

p

m

p

m

pEn

pd

nd

(II.96)

Fie cazul a doi protoni în sistemul de coordonate în repaus ataşat “sferei fierbinţi”

(fireball-ului). Se face ipoteza că în “sfera fierbinte” (fireball) se află np protoni şi nn

neutroni (cu np+nn=n), cu energia nerelativistă E. Se consideră un experiment în care un

proton care se mişcă pe direcţia x cu un impuls fixat 1p este măsurat în coincidenţă cu un

alt proton care se mişcă pe direcţia opusă (direcţie aflată la 180o faţă de prima), dar avînd

orice mărime 2p . Considerăm şi o altă configuraţie în care se măsoară protoni cu un

impuls fixat 1p pe axa x, dar al doilea este pe direcţia y (deci, la 90o faţă de primul).

Definim raportul acestor două numere ca pe o corelaţie:

)90(

)180(0

0

N

NC . (II.97)

În acest raport, numărătorul şi numitorul, sunt daţi de următoarea relaţie:

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

pp

pddpppppm

p

m

pE

pdpE

dpdnnN

3

3

2

2

2

3

21

3

2

2

2

1

1

3

11

21

3

22

1

. (II.98)

Pentru prima configuraţie, 2p este în direcţia dată de unghiul de 180o, iar pentru cea de a

doua configuraţie direcţia este cea dată de unghiul de 90o.

După sumarea pe parametrii de ciocnire, corelaţia dată de ecuaţia (II.97) se poate

scrie astfel [82-84]:

bbbN

bbbN

N

NC

n

n

0

0

0

0

90,

180,

90

180 . (II.99)

Luând în considerare spinii particulelor emise şi detectate (fermioni sau bozoni)

se pot scrie relaţii specifice.

În ipoteza că funcţiile de undă ale bozonilor pot fi descrise prin funcţii de undă plane,

amplitudinea de detecţie a doi bozoni identici de la o sursă cu emisie spaţio-temporală

punctuală, fiecare având poziţiile şi impulsurile (11 , px ), respectiv, (

22 , px ), se poate

scrie în forma următoare:

222211222111

2

112

xrpixrpixrpixrpieeeeA

, (II.100)

unde 1r , respectiv, 2r sunt punctele detecţiei pentru particulele de impulsuri 1p şi,

respectiv, 2p . Probabilitatea de detecţie a unei perechi de bozoni este dată de integrala

pătratului amplitudinii, anume:

212

122

4

1

4

12 xxAxdxdP , (II.101)

unde x este distribuţia spaţio-temporală a bozonilor în sursă. Integrarea se face pe

toată distribuţia bozonilor în sursă. Dacă distribuţiile spaţio-temporale sînt independente

de impuls, integrala se separă şi se reduce la:

qCqPideal

2

2

12 1 , (II.102)

unde q este 4-impulsul 120 , ppq şi C2

ideal este funcţia de corelaţie.

Aceasta este interpretarea “tradiţională” a funcţiei de corelaţie. Ea permite

determinarea caracteristicilor spaţio-temporale ale sursei de particule.

VIII.3. Determinarea experimantală a caracteristicilor

spaţio-temporale ale sursei de particule

Determinarea experimenală a funcţiei de corelaţie care intervine în relaţia (II.102)

ridică o serie de probleme. Pentru rezolvarea lor s-au propus diferite metode. Două dintre

ele sunt mai des folosite, în situaţii comune.

Una dintre metodele folosite în obţinerea funcţiei de corelaţie din date şi rezultate

experimentale implică construirea unui raport de forma următoare:

0

00exp

,

,,

qqF

qqNqqR , (II.103)

unde N(q,qo) este numărul de particule cu impuls relativ q şi energie relativă qo, iar

F(q,qo) este fondul în absenţa corelaţiilor statistice, în acord cu natura particulelor

(bozoni sau fermioni).

Dependenţa funcţiei de corelaţie de impulsul relativ indică existenţa unui maximum.

Lărgimea şi înălţimea acestui maxim sînt raportate la dimensiunea sursei (extinderea

spaţială a sursei) şi timpul de viaţă pentru sursa de particule. Existenţa acestui maxim este

în acord cu ipoteza interacţiilor particulelor în starea finală.

A doua metodă de determinare experimentală a caracteristicilor spaţio-temporale

ale sursei de particule foloseşte, pentru obţinerea funcţiei de corelaţie, valorile

experimentale pentru următoarele mărimi: secţiunea eficace diferenţială pentru

producerea a două particule, secţiunea eficace diferenţială pentru producerea unei

particule, secţiunea eficace totală - toate pentru energia la care are loc ciocnirea nucleu-

nucleu considerată - şi momentele distribuţiilor de multiplicitate ale particulelor

implicate:

exp

21

2

2

21

2

11

Rdp

d

dp

d

n

n

dpdp

d

T

. (II.104)

În ecuaţia de mai sus Rexp reprezintă funcţia de corelaţie experimentală care trebuie

determinată.

Pentru a descrie caracteristicile spaţio-temporale ale sursei de particule, pot fi

folosite forme diferite ale distribuţiei spaţio-temporale x a bozonilor din sursă, inclusă

în ecuaţia (II.102). De exemplu, dacă emisia de particule este uniformă şi se consideră că

se face de la suprafaţa unei sfere de rază R, atunci funcţia de corelaţie poate fi scrisă sub

forma următoare:

2

0

2

04

1exp1, qqRqqC . (II.105)

Aici λ este un parametru care consideră interferenţa efectivă dintre particule. El se

mai numeşte parametru de haos sau grad (parametru) de coerenţă. Parametrul depinde

de gradul de coerenţă din sursă, de configuraţia sursei de particule şi de corelaţiile

dinamice specifice posibile.

Pentru o funcţie de distribuţie Gauss în sursa de particule, funcţia de corelaţie poate fi

scrisă astfel:

22exp1,

2

0

2

0

qqRqqCG

. (II.106)

La sfârşitul capitolului anterior se arăta că nucleonii participanţi pot ajuta la

determinarea extinderii spaţiale a sursei de particule. În plus, s-a arătat că numărul de

nucleoni participanţi, QN, este legat de posibilele corelaţii în generarea de particule.

Compararea rezultatelor obţinute pe cele două căi – luarea în considerare a relaţiei de

legătură clasică dintre raza unui nucleu şi numărul de nucleoni participanţi, repectiv,

interferometria de particule identice – poate oferi informaţii dinamice importante.

Pentru două din etapele evoluţiei regiunii participante – anume emisia de pioni şi

încetarea interacţiilor dintre regiuni – dimensiunile regiunii participante se pot estima cu

ajutorul relaţiilor de mai jos:

31

No Qrr , (II.107)

31

0 Nf Qrr . (II.108)

Aceste relaţii de legătură între dimesiunea sursei de particule (regiunii participante) şi

numărul total de nucleoni participanţi pot fi verificare folosind interferometria de

particule identice.

Metoda interferometriei pionice a fost folosită pentru descrierea caracterisiticilor

spaţio-temporale ale sursei de particule pentru ciocniri centrale O-Pb la 4.5 A GeV/c [3-

5,34]. A fost folosită o funcţie de corelaţie pentru care s-a considerat o funcţie de

distribuţie în sursă de formă gaussiană, anume:

2

2

2

0

2

exp),(

t

r

rtr . (II.109)

Au fost considerate 12028 perechi de pioni negativi. Primele calcule au fost facute fixând

parametrul de haos la valoarea =1. Aşa cum s-a menţionat anterior, această valoare

corespunde unei surse de particule care emite haotic sau total necorelat. Au fost făcute şi

calcule în care parametrul de haos a fost considerat parametru liber. Rezultatele

experimentale obţinute, pentru diferitele situaţii considerate, sunt incluse în Tabelul

II.15. Ele sunt în acord cu rezultatele experimentale obţinute la alte energii (Tabelul

II.16).

ro [Fm] cto[Fm] 2/NGL Obs.

3.68±0.29 1 6.94±1.29 1.12 =fixat

3.68±0.29 0.77±0.26 6.63±0.55 1.14 cto=fixat

4.29±0.23 0.30±0.28 6.80 0.92 cto=fixat

Date sumate

pe qo

(ec.(II.106))

Tabelul II.15. Caracteristicile spaţio-temporale ale sursei la emisia de pioni

în ciocniri centrale O-Pb la 4.5 A GeV/c (T(2,0))

AP-AT E

[A GeV]

r [Fm] Ref.

Ar + BaI2 1.8 3.05 1.10 [85]

Ar + Pb3O4 1.8 3.30 0.93 [85]

Ar + Pb3O4

central

1.8 3.98 0.78 [85]

Ar + KCl 2.1 3.12 0.33 [86]

Ar + KCl 1.5 4.93 0.44 [87]

Ar + KCl

central

1.2 3.80 0.50 [88]

d + Ta 3.4 2.20 0.50 [89]

He + Ta 3.4 2.90 0.40 [89]

C + Ta 3.4 3.40 0.30 [89]

C + C 3.4 2.75 0.76 [90]

C + C

central

3.4 3.76 0.88 [90]

Tabelul II.16. Rezultate experimentale asupra dimensiunilor surselor

de particule obţinute prin interferometrie pionică

Rezultatele experimentale incluse în Tabelul II.15 par să indice un anumit grad

de coerenţă în sursa de particule. Trebuie subliniat aici un fapt de interes pentru studiile

de dinamica ciocnirilor nucleare relativiste, anume: parametrul de corelaţie determinat

prin a treia cale de calcul este în acord cu valoarea coeficientului de corelaţie care rezultă

din fit-area distribuţiei de multiplicitate a pionilor negativi – obţinuţi în această reacţie –

cu o funcţie putere (0.320.07).

Compararea directă a rezultatelor experimentale obţinute în diferite experimente

pentru caracteristicile spaţio-temporale ale sursei de particule nu este posibilă datorită

folosirii unor aranjamente experimentale diferite, a unor direcţii de observare diferite şi a

unor distribuţii spaţio-temporale în sursă diferite.

Analiza rezultatelor experimentale incluse în cele două tabele indică, totuşi, unele

trasături comune. Cea mai importantă este aceea că dimensiunile spaţiale ale surselor de

particule, la emisia pionilor, sunt determinate, în principal, de dimensiunile nucleului

incident. Alţi factori importanţi care determină dimensiunile sursei pionice sunt

geometria ciocnirii (centralitate şi asimetria ei) şi energia nucleului incident. Pentru

ciocniri asimetrice, în principal, un rol revine şi dimensiunii nucleului ţintă.

AP -AT pT

[MeV/c]

T [MeV] <Qexp> <QN> r [Fm] [Fm-3

]

He-Li 241±3 69.0±2.0 2.0±0.5 4.0±1.0 1.80 0.163±

0.041

He-C 238±4 71.0±3.0 2.9±0.3 5.8±0.6 2.11 0.149±

0.015

He-Ne 230±5 76.0±3.3 3.6±0.3 7.2±0.6 2.12 0.183±

0.015

He-Cu 227±6 78.0±4.0 5.7±0.5 12.5±1.1 2.72 0.149±

0.013

He-Pb 204±4 94.0±3.0 9.9±1.0 24.9±2.5 3.06 0.208±

0.021

C -C 236±6 72.2±3.8 4.2±0.4 8.4±0.4 2.60 0.113±

0.005

C -Cu 220±4 82.8±2.7 9.0±0.8 19.6±1.7 3.05 0.165±

0.014

Ne-Ne 225±9 79.4±4.7 7.9±0.7 15.8±1.4 3.09 0.127±

0.011

Ne-Zr 195±5 100.8±3.8 12.3±0.4 27.3±0.9 3.62 0.138±0.005

O -Ne 229±9 76.7±5.9 6.1±0.7 12.2±1.4 2.86 0.123±0.014

O Pb 190±8 104.8±6.3 19.0±0.9 47.3±2.2 4.23 0.149±0.007

Table II.17 Caracterisiticile principale ale pionilor negativi produşi în diferite ciocniri

inelastice (periferice) nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c

AP -AT pT

[MeV/c]

T [MeV] <Qexp> <QN> r [Fm] [Fm-3

]

He-Li 198±3 98.6 ±2.4 2.8±0.3 5.6±0.6 1.50 0.396±0.04

2

He-C 195±5 100.5±3.7 4.7±0.2 9.4±0.4 1.78 0.398±0.01

7

He-Ne 189±5 105.6±4.0 6.1±0.8 12.2±1.6 1.93 0.405±0.05

3

He-Cu 186±6 107.6±4.9 8.2±0.5 18.0±1.1 2.20 0.403±0.02

4

He-Pb 167±4 123.6±3.7 14.7±1.2 37.1±3.0 2.82 0.399±0.03

2

C -C 194±6 101.7±4.6 7.8±0.3 15.6±0.6 2.10 0.402±0.01

5

C -Cu 181±4 112.3±3.3 19.7±1.0 42.8±2.2 2.94 0.402±0.02

1

Ne-Ne 185±9 108.9±7.3 9.8±0.7 19.6±1.4 2.28 0.395±0.02

8

Ne-Zr 160±5 130.4±4.6 26.2±2.1 58.2±4.7 3.27 0.395±0.03

2

O -Ne 188±9 106.3±7.2 9.6±0.3 19.2±0.6 2.25 0.399±0.01

3

O -Pb 156±8 134.3±7.7 39.6±0.5 98.6±1.2 3.89 0.401±0.00

5

Tabelul II.18. Caracterisiticile principale ale pionilor negativi produşi în diferite

ciocniri centrale (T(2,0)) nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c

În Tabelele II.17 şi II.18 sunt incluse câteva mărimi fizice de interes în stabilirea

dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste. Se remarcă faptul că razele regiunii

participante (sursei de particule) la emisia de pioni determinate pe baza relaţiei (II.107)

şi a unor relaţii similare sunt în acord cu rezultatele obţinute prin interferometrie

pionică. Toate rezulatele experimentale obţinute pemtru mărimile fizice cu semnificţie

dinamică justifică ipoteza posibilităţii modelării fenomenologice a dinamicii ciocnirilor

nucleare relativiste.

VIII.4. Căi de corelare a informţiilor asupra caracteristicilor

spaţio-temporale ale sursei de particule obţinute prin metode diferite

S-a menţionat anterior faptul că nu este posibilă compararea directă a rezultatelor

experimentale pentru caracteristicile spaţio-temporale ale sursei de particule obţinute în

diferite experimente datorită folosirii unor aranjamente experimentale diferite, a unor

direcţii de observare diferite şi a unor distribuţii spaţio-temporale în sursă diferite.

De aceea, s-au încercat diferite metode de “uniformizare” a modului de prezentare

a dimensiunilor surselor de particule (regiunilor participante). Cea mai cunoscută este cea

propusă de J.Bartke şi M.Kowalski, în lucrările [78,79].

Metoda propusă se bazează pe faptul că interferometria de particule identice

(numită şi interferometrie de intensitate sau efectul Hanbury-Brown şi Twiss) măsoară

separaţia medie dintre sursele de emisie, r , şi timpul de viaţă, τ. Dimensiunile

regiunii de emisie pot fi determinate o dată ce a fost specificată distribuţia spaţială în

sursă. Ea s-a aplicat pentru bosoni identici. În acest caz, aşa cum s-a mai arătat,

formalismul teoretic defineşte o funcţie de corelaţie, C(q,p), care dă rata de emisie pentru

două particule cu impulsuri relative q şi impulsul total p, comparativ cu cazul necorelat.

Corelaţiile pionilor pot fi descrise satisfăcător doar de statistica cuantică, corecţia

coulombiană şi influenţa interacţiilor din starea finală fiind, în general, relativ mici la

energii de ordinul GeV-i pe nucleon. În acest caz, funcţia C(q,p)-1 este proporţională cu

pătratul transformatei Fourier a distribuţiei spaţio-temporale a sursei de particule. Pentru

surse distribuite uniform peste suprafaţa unei sfere de rază R, funcţia de corelaţie poate fi

scrisă sub forma:

2

0

2

11,

q

RqIpqC t

, (II.110)

unde

x

xJxI

)(2 1 ,

cu J1 funcţia Bessel de primul ordin.

Aici, nnqqqt este modulul proiecţiei diferenţei impulsurilor ki ppq pe

planul perpendicular pe vectorul sumă a impulsurilor pionilor

ki

ki

pp

ppn

, iar

ki EEq 0 reprezintă diferenţa de energie a celor doi pioni. Pentru valori mai mici ale

produşilor (qtR) şi (qoτ), funcţia de corelaţie poate fi aproximată cu o expresie mai

simplă, de tipul celei date de ecuaţia (II.105):

2

0

2

4

1exp1, qRqpqC t

Aşa cum s-a prezentat anterior, funcţia de corelaţie experimentală se poate

determina ca fiind ca raportul distribuţiei perechilor de pioni cu sarcini identice şi

distribuţia fondului. Dimensiunile spaţio-temporale R şi τ sînt apoi determinate printr-o

procedură de fit-are.

Diverşi autori folosesc distribuţii spaţiale diferite pentru sursele care emit

particule, cum ar fi: suprafaţa unei sfere, distribuţii Gauss de forme diferite [78-90]. De

aceea, valorile publicate ale razei nu pot fi întotdeauna comparate direct între ele. În acest

context, Bartke şi Kowalski au propus folosirea razei pătratice medii [78,79]. Ei au

“corectat” unele din valorile publicate ale razei sursei de particule. Rezultatele

experimentale iniţiale şi cele “corectate” sunt incluse în Tabelul II.19.

Ciocnirea E

[A GeV]

Valoarea publicată a

razei [Fm]

Raza pătratică medie

[Fm]

Ref.

Ar + BaI2 1.8 3.05 1.10 3.74 1.35 [85]

Ar + Pb3O4 1.8 3.30 0.93 4.04 1.14 [85]

Ar + Pb3O4

central

1.8 3.98 0.78 4.87 0.96 [85]

Ar + KCl 2.1 3.12 0.33 3.82 0.40 [86]

Ar + KCl 1.5 4.93 0.44 6.04 0.54 [87]

Ar + KCl

central

1.2 3.80 0.50 4.65 0.61 [88]

d + Ta 3.4 2.20 0.50 2.20 0.50 [89]

He + Ta 3.4 2.90 0.40 2.90 0.40 [89]

C + Ta 3.4 3.40 0.30 3.40 0.30 [89]

C + C 3.4 2.75 0.76 2.75 0.76 [90]

C + C

central

3.4 3.76 0.88 3.76 0.88 [90]

Tabelul II.19. Valori experimentale şi valori “corectate”

ale razelor surselor pionice în câteva ciocniri nucleare relativiste

În raport cu tipul de distribuţie spaţială pentru sursa care emite particule (pioni, în

acest caz) au fost folosiţi factori de conversie diferiţi. Astfel, pentru distribuţia gaussiană

tipică,

2

2

expR

r, factorul de conversie al razei pătratice medii este

2

3. În cazul în

care forma gaussiană folosită este

2

2

2exp

R

r, factorul de conversie al razei pătratice

medii 3 . Dacă determinarea dimensiunilor sursei s-a făcut în ipoteza că există o

distribuire uniformă pe suprafaţa unei sfere de rază R, atunci factorul de conversie este

1.0.

Metoda propusă nu înlătură însă fluctuaţiile şi dificultăţile observate iniţial pentru

compararea razelor surselor pionice.

VIII.5. Luarea în considerare a direcţiei de observare în

determinarea caracteristicilor spaţio-temporale ale sursei de

particule

Printre cacrateristicile comportării razei sursei de particule la emisia de pioni se

numără şi dependenţa de energia nucleului incident şi de direcţia de observare. De aceea,

iniţial, pentru ciocniri periferice şi, ulterior, pentru ciocniri centrale, s-a pus problema

luării în considerare a deformării prin contracţie Lorentz a nucleului incident. În acest

mod a devenit posibilă considerarea unor surse nesferice, care să ia în considerare direcţia

de observare a acestora [82-84].

Primele rezultate experimentale au fost obţinute cu ajutorul spectrometrului

JANUS de la LBL, în ciocniri inelastice Fe + Fe → 2π- + X la 1.7 A GeV [91].

În acest caz, funcţia de corelaţie folosită are forma următoare:

222

exp1,,22

0

2222

0exp

qRqRqqqqC

, (II.111)

unde r este raza sursei pionice observată pe o direcţie perpendiculară pe direcţia de

mişcare a nucleelor care se ciocnesc, r este raza aceleiaşi surse observată pe o direcţie

paralelă cu direcţia de mişcare a nucleelor care se ciocnesc, iar este timpul de viaţă al

sursei pînă la emisia pionilor.

Măsurătorile au fost efectuate pentru două direcţii de observare care corespund unor

intervale unghiulare şi de impuls bine definite, în sistemul centrului de masă,

anume:(a) 0000 106,91,32,0 SCMSCM , (b) cMeVSCMp /400,100

şi cMeVSCMp /600,100 . Au fost considerate şi unele corecţii legate de efecte

coulombiene şi efecte Gamow, determinate de interacţiile în starea finală între pioni.

Rezultatele experimentale diferă pentru cele două situaţii. În cazul în care nu s-au

introdus corecţii s-au obţinut următoarele rezultate:

cFmFmrFmr /1.12.4,07.077.0,2.2,6.06.5 8.0

6.1

.

La introducerea corecţiilor, singura modificare semnificativă statistic s-a observat pentru

raza “transversală”. Rezultatele obţinute sunt următoarele:

cFmrFmr /7.08.3,04.078.0,5.1,2.06.4 7.0

5.1

.

Acest tip de analiză a devenit tot mai frecvent odată cu creşterea energie de

accelerare, în cea de a doua perioadă a etapei sistemelor de accelerare [65,82-84].

Trebuie subliniat faptul că pentru diferite procese care pot avea loc în regiunea

participantă forma şi durata de contact dintre regiunea participantă şi regiunea/regiunile

spectatoare sunt mărimi extrem de importante. Despre unele procese, cum ar fi cle de

termalizare şi de curgere hidrodinamică a materiei nucleare fierbinţi şi dense, se va

discuta în părţile următoare ale cursului.

VIII.6. Alte căi de determinare a caracteristicilor

spaţio-temporale ale sursei de particule

Obţinerea unor rezultate corecte în interferometria de intensitate implică, în cele

mai multe situaţii de interes, o alegere adecvată a coordonatelor. În acest sens, anterior, a

fost prezentat sistemul de coordonate „exterior”. În analize tridimensionale, pentru funcţii

de corelaţie experimentale, se poate alege şi alte sisteme de coordonate. Unul dintre ele

include următoarele trei axe: o componentă a impulsului diferenţial pe direcţia impulsului

0TQ , o componentă pe direcţia impulsului LQ şi o componentă perpendiculară pe

aceasta STQ .

Fie acest sistem de coordonate. Se face ipoteza suplimentară că distribuţia spaţială

a sursei de particule este descrisă de o distribuţie gaussiană simetrică dată de relaţia de

mai jos:

2

2

2

2

22

t

R

x

ex

, (II.112)

unde R şi τ sînt lărgimea spaţială şi, respectiv, lărgimea temporală

În aceste ipoteze funcţia de corelaţie se poate scrie astfel:

222222

000exp1,, LLTTTTLTT RQRQRQAQQQC

SSS , (II.113)

unde parametrul fenomenologic λ este haoticitatea (parametrul de haos) şi are valoarea 1

în cazul ideal.

Experimental, probabilitatea de a detecta o pereche corelată, adică funcţia de

corelaţie, se determinată folosind următorul raport:

qB

qAqC

exp

2 . (II.114)

În relaţia de mai sus qA este “distribuţia reală” şi reprezintă distribuţia a două particule

în funcţie de impulsul lor relativ, iar qB este “distribuţia de fond” şi este o distribuţie

tipică de două particule, construită din amestecul aleator de la toate evenimentele

conţinute în qA .

Sunt necesare câteva corecţii la ecuaţia anterioară, înainte extragerii informaţiei

dorite asupra unor mărimi dinamice din funcţia de corelaţie. În mod ideal, distribuţia

qB ar trebui să fie formată din perechi complet necorelate. Experimental, însă, dacă

eşantionul/mostra de perechi de particule ales/aleasă pentru a construi „distribuţia de

fond” conţine corelaţii, atunci o corelaţie reziduală va apare în evenimentele obţinute prin

amestecarea perechilor. Din cauza folosirii ipotezei că particulele nu interacţionează în

starea finală (ipoteză implicită prin folosirea funcţiilor de stare sub formă de unde plane),

nici o stare finală şi nici o interacţie coulombiană nu trebuie luate în considerare [82-84].

Funcţia de corelaţie pentru doi bozoni identici poate fi scrisă şi în forma

următoare:

2

002 ,1, qqqqC , (II.115)

unde 21 ppq este impulsul relativ 3-dimensional, 210 EEq , iar 0,qq este

transformata Fourier a funcţiei de distribuţie spaţială pentru sursa care emite particulele

(de obicei se consideră pioni).

Sunt necesare unele ipoteze asupra formei distribuţiei. Dacă se foloseşte o formă

gaussiană pentru distribuţia spaţială şi temporală, atunci distribuţia 0,qq poate fi

parametrizată astfel, luând în considerare deformarea Lorentz la energii relativiste şi

direcţia de observare:

2

2

2

2

2

2

exp,,

t

R

r

R

rtrr

. (II.116)

Aici, R şi R se referă la direcţiile perpendiculară, respectiv, paralelă în raport cu

orientarea fasciculului incident, iar α este o constantă de normare.

În ipoteza că RR (sursă sferică), relaţia de mai sus se poate scrie astfel:

2

2

2

2

exp,

t

R

rtr . (II.117)

Cu această formă pentru tr, se regăseşte relaţia folosită în subcapitolele anterioare,

anume:

22exp1,

22

0

22

02

qRqqqC . (II.118)

Expresia de mai sus ia în considerare aproximarea valorilorcelor două variabile, q şi qo, şi

faptul că ambele tind la zero, aşa cum se aştepta, de altfel, pentru bozoni identici.

Introducerea parametrului de haos, λ, sugerată de către Deutschmann şi

colaboratorii săi [82-84], a permis obţinerea unor fit-uri mai bune pentru datele

experimentale. El multiplică exponenţiala în funcţia de corelaţie definită mai sus. Funcţia

de corelaţie se poate scrie este astfel:

22exp1,

22

0

22

02

qRqqqC . (II.119)

Luând în considerare sistemul de coordonate ales se poate scrie şi următoarea formă a

relaţiei anterioare:

22exp1,

22

0

22

02

qRqqqC . (II.120)

În acest caz nu mai este necesară ipoteza sursei de formă sferică.

O serie de corecţii sistematice trebuie avute în vedere. Unele ţin de caracteristicile

specifice detectorilor folosiţi (de exemplu, eficacitatea de detecţie pentru tipul de

particulă folosit la interferometrie).

Altă categorie de corecţii este cea care încearcă luarea în considerare, totuşi, a

efectelor datorate repulsiei coulombiene reciproce dintre particulele identice în perechile

corelate. Pentru interacţia coulombiană repulsivă între două particule identice se poate

folosi, cu deosebire pentru pioni, factorul Gamow, definit astfel:

1

22

eG , (II.121)

unde 2

0

2 qq

m

.

Aplicarea corecţiilor se face înainte de fit-area funcţie de corelaţie experimentale.

Corecţia dată de factorul Gamow are un efect substanţial asupra parametrului de corelaţie

(haos) λ şi un efect relativ mic asupra razei [65,82-84].

Sunt şi alte aspecte importante de luat în considerare pentru a obţine un acord cât

mai bun între datele experimentale şi funcţia de distribuţie aleasă. Una dintre cele mai

interesante este cea a interacţiilor cu mediul nuclear din interiorul sursei emitente a

particulelor folosite în interferometria intensitate. Acest aspect va fi tratat în cadrul

cursului de Stări anomale şi tranziţii de fază în materia nucleară (anul V INPE

Masterat).

VIII.7. Interferometria de intensitate pentru particule cu stranietate

Pentru studierea dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste şi ultrarelativiste este

importantă cunoşterii evoluţiei temporale a sursei de particule (regiunii participante).

Interferometria de intensitate poate oferi informaţii în acest sens dacă se poate aplica,

pentru acelaşi experiment, pentru mai multe tipuri de particule. În acelaşi timp, căutarea

unor stări anomale şi tranziţii de fază în materia nucleară fierbinte şi densă creată în

regiunea de suprapunere a nucleelor care se ciocnesc, ar putea fi mai eficientă dacă

aranjamentul experimental permite detectarea de particule cu stranietate cu o statistică a

datelor experimentale suficientă pentru aplicarea interferometriei de particule identice.

Cele mai folosite particule pentru astfel de studii sunt kaonii. Ca şi ponii, cele mai

folosite particule în interferometria de particule identice, kaonii sunt bozoni. De aceea,

astfel de studii mai sunt cunoscute ca studii de corelaţii Bose-Einstein. Din aceste motive,

bazele fizice ale folosirii interferometriei de particule identice pentru astfel de particule

sunt legate de simetrizarea funcţiei de undă pentru bozoni identici, cu luarea în

considerare a statisticii Bose-Einstein.

Pentru a obţine funcţia de corelaţie, C2(q), distribuţia determinată (măsurată)

experimental, A(q), este împărţită la distribuţia fondului, B(q). Aceasta din urmă conţine

efectele spaţiului fazelor de două corpuri. În mod ideal, distribuţia rezultată, care depinde

de impulsul relativ al particulelor perechii considerate, poate fi legată de transformata

Fourier, q~ , a distribuţiei sursei, ρ(r), adică:

2exp

2~1 q

qB

qAqC . (II.122)

Una din formele funcţiei folosite pentru fit-area funcţiei de corelaţie

experimentale – mai ales pentru interferometrie de kaoni pozitivi – este o funcţie de

corelaţie unidimensională, de forma:

22

1N2QRQ

eQB

QAQC

. (II.123)

În această relaţie se foloseşte cuadri-impulsul relativ, invariant Lorentz, de forma:

qqQ ,

unde q este diferenţa de cuadri-impulsuri pentru particulele considerate, iar N este un

factor de normare care rezultă din faptul că distribuţia de fond, B(Q), este construită cu

număr de perechi mai semnificativ statistic decât distribuţia experimentală, A(Q). λ este

un factor fenomenologic inclus pentru a lua în considerare efectele interacţiilor din starea

finală care pot reduce mărimea corelaţiei. Distribuţia de fond, B(Q), se construieşte, ca şi

în celelalte cazuri, prin formarea alaeatoare a perechilor, rezultate din amestecarea

informaţiei specifice evenimentelor avute la dispoziţie.

Două corecţii trebuie aplicate raportului A(Q)/B(Q), obţinut experimental. O

primă corecţie este legată de repulsia coulombiană dintre particule cu acelaşi tip de

sarcină. Această corecţia se aplică folosind factorul Gamow, introdus anterior (relaţia

(II.121). O a doua corecţie este legată de dependenţa de cuadri-impulsul relativ Q.

Acaestă corecţie are un cacrater mai puţin general decât cea referitoare la repuslia

coulombiană şi trebuie să ia în considerare explicit structura aranjamentului experimental

folosit, caracteristicile specifice ale detectorilor incluşi în aranjament şi detalii de

identificare a particulelor şi de reconstrucţie a traiectoriilor acestora.

Corelaţiile Bose-Einstein au fost intens folosite pentru a studia mărimea sursei pentru

particule emise dintr-o mare varietate de reacţii [65,82-84]. Marea majoritate a acestor

studii au folosit rezultate experimentale pentru pioni, cu deosebire în prima perioadă a

etapei sistemelor de acceleratori.

Intrarea în funcţiune a Sincrotronului cu Gradient Alternant (AGS) de la BNL a permis

obţinerea unui număr semnificativ statistic de kaoni şi s-a putut trece la interferometrie

kaonică.

Pentru ciocniri centrale la 14.6 A GeV/c ale ionilor de 28

Si pe ţinte de Au şi Al, s-a făcut o

analiză sistematică de interferometrie pionică [65,80-84]. Au fost folosiţi atât pioni

pozitivi, cât şi pioni negativi. Pentru cazul interferometriei de pioni pozitivi (π+ - π

+) s-a

folosit pentru fit-are o distribuţie bidimensională, calculată în sistemul de coordonate al

sursei, având forma următoare:

22

0

22

02 exp1N, qRqqqC . (II.124)

Rezultatele obţinute prin interferometrie pionică la aceste energii confirmă observaţia

anterioară, anume: raza sursei de particule (regiunii participante) la emisia de pioni este

comparabilă cu raza nucleului incident (în acest caz, nucleul de Si).

Aceste studii s-au extins, pentru aceleaşi ciocniri, şi asupra kaonilor emişi. La

analizarea corelaţiilor Bose-Einstein dintre perechi de kaoni s-a avut în vedere faptul că

secţiunea eficace a kaonilor, cu deosebire a kaonilor pozitivi (K+) în materia nucleară este

semnificativ mai mică decît aceea pentru pioni. De aceea kaonii pot „vedea” o mărime

diferită a sursei de particule. De asemenea, s-a luat în considerare faptul că în ciocniri

nucleare relativiste la aceste energii producerea de kaoni este semnificativ mai mare şi ar

putea fi asociată unor mecanisme de producere exotice. S-a avut în vedere şi faptul că

funcţia de corelaţie pentru kaoni poate fi mai puţin sensibilă decît cea a pionilor la

contribuţia datorată dezintegrărilor unor rezonanţe.

Rezultatele experimentale obţinute pentru ciocniri Si + Au la 14.6 A GeV/c au

permis stabilirea următoarelor valori ale razei sursei de particule la emisia kaonilor,

respectiv, la emisia pionilor: FmKrQ 27.035.2 , FmrQ 33.067.4 [65,80-84].

Se confirmă, de asemenea, şi modificarea parametrului de haos în evoluţia regiunii

centrale, fierbinţi şi dense. Dacă în etapele de început sursa este mai haotică, pe parcursul

evoluţiei sale ea tinde să devină mai puţin haotică prin emisia succesivă a diferite tipuri

de particule: astfel, 07.053.0,14.074.0 K . Totuşi, la energia considerată,

scăderea nu este dramatică.

Determinarea razei sursei de particule s-a făcut şi folosind sistemul de coordonate

al sursei. Folosind ecuaţia (II.124), cu restricţia explicită R=τ, s-au obţinut următoarele

valori ale razei şi parametrului de haos la emisia de kaoni, respectiv, pioni:

13.071.0,21.085.1 FmR , respectiv, 07.056.0,24.076.2 R .

Metoda de „uniformizare” conduce la următoarele valori: Fm36.020.3 , respectiv,

Fm42.078.4 .

Aceste valori (care nu implică nici o modificare pentru efectele Lorentz), sînt în

acord cu cele anterioare. Prin ambele metode raza determinată pentru kaoni este mai mică

decît cea determinată pentru pioni. Folosirea metodei de „uniformizare” nu modifică

această concluzie. Acest rezultat confirmă evoluţia sursei de particule de la etapa iniţială,

de compresie maximă şi haoticitate maximă, la etape ulterioare în care presiunea scade

prin expansiunea regiunii participante, iar temperatura sistemului scade prin emisia

succesivă de diferite tipuri de particule şi interacţii multiple în sursă. Evoluţia are loc

până la încetarea contactului dintre regiuni şi încetarea interacţiilor în starea finală. În

sprijinul acestei comportări vin şi rezultatele experimentale obţinute prin interferometrie

protonică în ciocniri inelastice Ar + KCl la 1.8 A GeV [86-88]. S-a obţinut o rază a sursei

de particule la emisia de protoni de 2.4 - 2.8 Fm, mai mică decît cea a sursei la emisia de

pioni, în aceeaşi ciocnire, în jur de 4.00 Fm. [86-88]. Se observă că emisia de protoni este

anterioară celei de pioni. Rezultatele experimentale confirmă nu numai ideea de evoluţie

în timp a sursei care emite particule, dar şi scala de temperaturi obţinută din spectrele de

impuls. [65, 82-84].

VIII.8. Interferometria de intensitate în ciocniri nucleare

ultrarelativiste

După intrarea în funcţiune a sistemelor de acceleratori de la BNL (AGS) şi CERN

(SPS) s-a considerat că s-a făcut trecerea de la ciocniri nucleare relativiste la ciocniri

nucleare ultrarelativiste. Şi în interferometria de intensitate s-a ridicat problema

introducerii de forme noi pentru funcţia de corelaţie, pentru a putea lua corect în

considerare deformarea Lorentz şi necesitatea de a lucra numai cu invarianţi relativişti.

S-a avut în vedere faptul că interferometria de intensitate studiază faptul că bozoni

identici emişi de o sursă haotică extinsă, cu dimensiunea spaţială (raza) R, arată o

corelaţie în impulsul relativ q într-o categorie de evenimente pentru care este îndeplinită

condiţia: Rq / . Această corelaţie este convenţional exprimată în termenii funcţiei de

corelaţie, definită ca raportul dintre distribuţia măsurată, dependentă de impulsul relativ,

A(q), şi distribuţia fondului, B(q), care conţine spaţiul fazelor de două corpuri, în absenţa

corelaţiilor determinate de statistica Bose-Einstein.

Iminiţial, şi pentru ciocniri nucleare ultrarelativiste s-a folosit o funcţie de corelaţie de

tipul celei date de relaţia (II.122), anume:

2

2~1 q

qB

qAqC ,

unde q~ este transformata Fourier a distribuţiei spaţiale în sursa de particule, ρ(r).

Ulterior, s-au considerat alte forme. Ele au fost legate de folosirea quadri-

vectorului energie-impuls. Printre formele folosite pentru construirea funcţiei de corelaţie

se numără cele trei proiecţii diferite ale cuadri-impulsului relativ q≡p1-p2, anume: cuadri-

impulsul relativ invariant Lorentz, qqQ , diferenţele dintre impulsurile

tridimensionale şi energiiile particulelor din perechea considerată,

2121 , EEqppq , precum şi componentele longitudinală şi transversală ale

impulsului relativ q - determinate în raport cu direcţia - qL şi, respectiv, qT.

Funcţiile de corelaţie corectate pentru procese similare celor descrise anterior pot

fi fit-ate cu diferite forme funcţionale. Proiecţiile bidimensionale se pot fit-a cu funcţii de

forma 1 c :

22

0

22

02 exp1, qRqqqC N , (II.125)

2222

2 exp1N, TTLLTL RqRqqqC . (II.126)

Dacă se folosesc distribuţii care depind de cuadri-impulsul relativ invariant Lorentz,

qqQ alte două forme sunt considerate, anume:

22

2 exp1N invRQQC , (II.127)

invQRQC 2exp1N2 . (II.128)

Parametrul N din relaţiile de mai sus este o constantă de normare; valoarea lui

este determinată de numărul de evenimente alese pentru distribuţia de fond, B(q).

Parametrii Rinv, R, RL, RT se denumesc, în mod curent, “raze”.

Funcţiile de corelaţie definite prin relaţiile de mai sus au fost folosite pentru

detreminarea caracteristicilor spaţio-temporale ale sursei de particule formate în diferite

ciocniri nucleare ultrarelativiste [31,65,80-95].

Printre ciocnirile pentru care s-au aplicat aceste metode se numără ciocnirile Si+Au şi

Si+Al la 14.5 A GeV/c, precum şi ciocnirile Si+Pb şi Pb+Pb la 200 A GeV/c. Câteva

rezultate experimentale deosebite au fost obţinute prin interferometrie pionică şi

interferometrie kaonică pentru aceste ciocniri. Printre ele se numără şi unul deodebit de

semnificativ pentru cunoaşterea dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste şi ultrarelativiste

şi în analiza tranziţiilor de fază care pot avea loc în materia nucleară fierbinte şi densă

creată în astfel de ciocniri. Este vorba despre faptul că în ciocniri Si + Au şi Si + Pb la

14.5 A GeV/c, respectiv, 200 A GeV/c, ciocniri care au aproximativ acelaşi număr total de

nucleoni participanţi, raza sferei pionice este practic aceeaşi în ambele ciocniri

(4.45 0.44 Fm, respectiv, 4.50 0.31Fm), dar parametrul de haos scade de la

0.60 0.08, în ciocniri Si + Au la 14.5 A GeV/c, la 0.46 0.04, în ciocniri Si + Pb la 200

A GeV/c. Această scădere, semnificativă statistic, ar putea indica creşterea gradului de

coerenţă în sursa de particule şi, prin aceasta, creşterea probabilităţii de realizare a unor

tranziţii de fază în materia nucleară fierbinte şi densă creată prin astfel de ciocniri, cu ar fi

cele la plasma de cuarci, la plasma de dicuarci sau plasma de cuarci şi gluoni

[31,33,48,96-102]. Rezultate experimentale interesante au fost obţinute şi prin

interferometrie protonică [103] şi interferometrie kaonică [104] în ciocniri Pb+Pb la 158

A GeV, în acord cu cele obţinute prin interferometrie pionică [105]. Sunt disponibile

primele rezultate experimentale obţinute prin interferometrie pionică în experimente la

Collider-ul de Ioni Grei Relativişti (RHIC) de la BNL [106].

Metodele şi rezultatele experimentale prezentate în acest capitol al cursului oferă un

suport necesar abordării unor probleme extrem de interesante. Alături de informaţiile

despre caracteristicile spaţio-temporale ale sursei de particule, evoluţia temporală a

acesteia şi conexiuni cu semnalele unor tranziţii de fază pot fi abordate şi alte probleme

legate de structura internă a sursei de particule şi gradul de coerenţă în sursa de particule.

Ambele aspecte sunt strans legate de existenţa tranziţiilor de fază în materia nucleară

fierbinte şi densă formată prin astfel de ciocniri. Paşii făcuţi până în prezent pe această

cale folosind concepte legate de distribuţii Poisson şi celule elementare de emisie [107-

109] sau cele bazate pe distribuţia de probabilitate de spaţiu gol sunt încurajatoare

[110,111]. Unele din aceste probleme vor fi abordate la cursul de Stări anomale şi tranziţii

de fază în materia nucleară (anul V INPE Masterat).

Capitolul al IX-lea

Câteva remarci finale

Aşa cum fără cunoaşterea metodelor şi mijloacelor experimentale nu este posibilă

obţinerea unor date experimentale corecte, repetabile şi reproductibile, tot aşa, fără

cunoaşterea mărimilor fizice care pot fi extrase din datele experimentale brute pentru

obţinerea unor rezultate experimentale corecte, repetabile, reproductibile şi semnificative

statistic nu se poate concepe un studiu referitor la ciocniri nucleare relativiste (şi nu

numai)!

S-au avut în vedere o parte din mărimile fizice care pot furniza informaţia necesară

pentru cunoaşterea comportării materiei nucleare în diferite condiţii de densitate nucleară,

presiune şi temperatură. De aceea, şi prezentarea diferitelor mărimi s-a făcut în raport cu

dificultăţile în determinarea lor experimentală şi cu informaţiile care pot fi obţinute din

studierea comportării acestor mărimi.

Trebuie avut îm vedere faptul că între toate mărimile fizice determinate într-un

experiment există o serie de interdependenţe şi corelaţii care pot da informaţii dinamice

extrem de importante. Fiindcă autorii consideră că nu este posibilă înţelegerea corectă a

unor procese, a căilor de obţinere a informaţiei fizice dorite, fără legătura directă cu

datele şi rezultatele experimentale, în această parte a cursului au fost prezentate date şi

rezultate experimentale fundamentale pentru constituirea unei imagini fenomenologice a

dinamicii acestor ciocniri.

Mărimile fizice prezentate în această parte a cursului permit abordarea unor modelări ale

dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste şi ultrarelativiste, cu posibilitatea unui control

experimental adecvat. De asemenea, pot fi discutate posibilităţile de apariţie şi punere în

evidenţă prin experiment a unor tranziţii de fază în materia nucleară. Aceste ultime

aspecte vor fi discutate în părţile următoare ale cursului.

Bibliografie la partea a II-a

[1]. S.Nagamiya - Prog.Part.Nucl.Phys.XV(1985)363

[2]. R.Stock - Prog.Part.Nucl.Phys.XV(1985)455

[3]. C.Beşliu, Al.Jipa - Rev.Roum.Phys.33(1988)409

[4]. Al.Jipa - Teză de doctorat - Universitatea Bucureşti, Facultatea de Fizică, 1989

[5]. C.Beşliu, Al.Jipa - Rom.J.Phys.37(1992)1011

[6]. A.S.Goldhaber, H.H.Heckman - Ann.Rev.Nucl.Part.Sci.28(1978)161

[7]. D.K.Scott - Prog.Part.Nucl.Phys.IV(1981)5

[8]. M.Kh.Anikina et al - Phys.Rev.C33(1986)895

[9]. R.Stock - Phys.Rep.135(1986)259

[10].V.Metag - Prog.Part.Nucl.Phys.XXX(1993)75

[11].J.J.Molitoris, D.Hahn, H. Stöcker - Prog.Part.Nucl.Phys.XV(1985)239

[12].H.Stöcker, W.Greiner - Phys.Rep.137(1986)277

[13].S.Das Gupta, A.Z.Mekjian - Phys.Rep.72(1981)131

[14].G.F.Bertsch, S.Das Gupta - 160(1988)189

[15].J.Aichelin - Phys.Rep.202(1991)233

[16].N.S.Amelin et al - Phys.Rev.C52(1995)362

[17].Al.Jipa, C.Beşliu, R.Zaharia, A.David - J.Phys.G: Part.Nucl.Phys.22(19966)221

[18].Al.Jipa, R.Zaharia - Conferinţa Naţională de Fizică, Constanţa, 14-16.X.1993, pag.1

[19].C.Beşliu, Al.Jipa, Maria Iosif, R.Zaharia - Trends in Physics - The X-th General

Conference of the European Phyical Society, 9-13.IX.1996, Sevilla (Spain)

[20].C.Beşliu, Al.Jipa - Elemente de Fizică nucleară relativistă. Note de seminar şi

îndrumător de laborator - Editura Universităţii Bucureşti, Bucureşti, 1999

[21].P.Carruthers, C.S.Shih - Int.J.Mod.Phys.A2(1987)1447

[22].W.Cassing, V.Metag, U.Mosel, K.Niita - Phys.Rep.188 (1990)363

[23].L.Simic et al - Z.Phys.C48(1990)577

[24].L.Simic et al - Phys.Rev.C52(1995)356

[25].Maria Iosif - Teză de doctorat, Facultatea de Fizică, Univeritatea Bucureşti, 1997

[26].B.R.Martin - Statistics for Physicists, Plenum Press, 1971, London and New York

[27].Z.Koba - Preprint CERN, CERN 73-12(1973)171

[28].Boris Gndenko - The theory of probability, MIR Publishers, Moscow, 1982

[29].C.P.Wang - Phys.Rev.180(1969)1463

[30].S.Nagamiya et al - Phys.Rev.C24(1981)971

[31].Cheuk-Yin Wong - Introduction to High Energy Heavy Ion Collisions - World

Scientific, Singapore, New Jersey, London, Hong Kong, 1994

[32].C.Beşliu et al - The XXVIII-th International Conference on High Energy Physics,

Warsaw, Poland, 25-31 July 1996, PA06-021 - poster

[33].Al.Jipa, C.Beşliu, Maria Iosif, R.Zaharia - Il Nuovo Cimento A112(1999)179

[34].C.Beşliu et al - Prog.Part.Nucl.Phys.XV(1985)353

[35].G.Baym et al - Phys.Rev.C52(1995)1604

[36].K.Kadija - Proccedings of the XXVII International Conference on High Energy

Physics, 20-27 July 1994, Glasgow, Scotland, U.K., Institute of Physics Publishing, Bristol

and Philadelphia, 1995, page 517

[37].B.Lörstand - Proceedings of the XXVII International Conference on High Energy

Physics, 20-27 July 1994, Glasgow, Scotland, U.K., Institute of Physics Publishing, Bristol

and Philadelphia, 1995, page 513

[38].Achim Franz - The XXVIII-th International Conference on High Energy Physics,

Warsaw, Poland, 25-31 July 1996

[39].M.Buenerd, C.Furget - Phys.Rev.D41(1990)103

[40].A.Mukhopadhyay, P.L.Jain, G.Singh - Il Nuovo Cimento A106(1993)793

[41].Yu.M.Shabelski - Z.Phys.C57(1993)409

[42].L.Simic, S.Backovic, D.Salihagic - Phys.Rev.C52(1995)356

[43].Nu Xu for NA44 Coll.(CERN) - Nucl.Phys.A610(1996)175c

[44].Al.Jipa, C.Beşliu, R.Zaharia, A.M.David - Cz.J.Phys.45(1995)651

[45].C.Beşliu, Al.Jipa - Il Nuovo Cimento A106(1993)317

[46].C.Beşliu, Al.Jipa - Rom.J.Phys.38(1993)507

[47].Al.Jipa - Balkan Physics Letters 1(1993)76

[48].Al.Jipa - J.Phys.G: Nucl.Part.Phys. 22(1996)231

[49].Gh.Vlăducă - Reacţii nucleare şi fisiune nucleară - Tipografia Universităţii Bucureşti,

1981

[50].J.Sabol, P.-S.Weng - Introduction to Radiation Protection Dosimetry - World

Scientific, Singapore, New Jersey, London, Hong Kong, 1995

[51].I.J.R.Aitchison, A.J.Hey - Gauge Theories in Particle Physics - IOP Publishing Ltd &

Adam Hilger, Bristol and Philadelphia, 1989

[52].I.S.Hughes - Elementary particles - Cambridge University Press, Cambridge, New

York, Port Chester, Melbourne, Sydney, 1991

[53].Particle Data Group - Review of Particle Properties - în Physical Review D: Particles

and Fields 50(3)(1994)1173-1826

[54].V.D.Aksinenko et al - Nucl.Phys.A348(1980)516-534

[55].Al.Jipa - Analele Universităţii Bucureşti - Fizică XL-XLI(1991-1992)41-48

[56].P.D.Barnes et al - Phys.Lett.B206(1988)146

[57].Gh.Vlăducă - Elemente de Fizică nucleară (vol.I) - Editura Universităţii Bucureşti,

1988

[58].K.Heyde - Basic Ideas and Concepts in N uclear Physics - Institute of Physics

Publishing, Bristol and Philadelphia (second edition), 1999

[59].P.J.Karol - Phys.Rev.C11(1975)1203

[60].Al.Jipa - Il Nuovo Cimento A108(1995)1271

[61].A.Sandoval et al - Phys.Rev.Lett.45(1980)874

[62].J.Hüfner, J.Knoll - Nucl.Phys.A290(1977)460

[63].C.Beşliu et al - Prog.Part.Nucl.Phys.XV(1985)353

[64].Al.Jipa, R.Mărginean – Rom.Rep.Phys.50(7-9)(1998)475

[65].M.Plümer, R.Raha, R.M.Weiner (editors) - International Workshop on Correlations and

Multiparticle Production - Marburg, Germany, 14-16 May 1990, publicat în World

Scientific, Singapore, New Jersey, London, Hong Kong, 1991

[66].G.Goldhaber, S.Goldhaber, W.Lee, A.Pais - Phys.Rev.120(1960)300

[67].G.I.Kopulov, M.J.Podgoretsky - Yad.Fiz.18(1973)656

[68].E.Fermi – Progr.Theor.Phys.(Japan) 5(1950)570

[69].E.Fermi – Phys.Rev.81(1951)683, Phys.Rev.92(1953)452

[70].R.Hagedorn – Il Nuovo Cimento A52(1967)1336, Il Nuovo Cimento A56(1968)1027

[71].R.Hagedorn – Preprin CERN 71-12 (1971)

[72].H.H.Tang, Cheuk-Yin Wong - Phys.Rev.C21(1980)1846

[73].H.Stöcker et al - Phys.Rev.C25(1982)1873

[74].R.B.Clare, D.Strottman -Phys.Rep.141(1986)223

[75].A.M.Moiseev - Phys.Part.Nucl.25(1994)496

[76].C.Beşliu, Al.Jipa et al – Proceedings of the International Symposium on Large Scale

Collective Motion, Brolo, Italy, 15-19.X.1996 - World Scientific, Singapore, New Jersey,

Hong Kong, London, 1997, pages 307-317

[77].C.Beşliu, Al.Jipa et al – European Physical Journal A1(1998)65-75

[78].J.Bartke, M.Kowalski - Phys.Rev.C30(1984)1341

[79].J.Bartke - Phys.Lett.B174(1986)32

[80].B.Lörstad, Yu.M.Sinyukov - Phys.Lett.B265(1991)159

[81].T.Abott et al (E802 Coll) - Phys.Rev.Lett.69(1992)1030

[82].U.A.Wiedeman, U.Heinz – Phys.Rep.319(1999)145

[83].U.Heinz, Barbara Jacak – Annu.Rev.Nucl.Part.Sci.49(1999)529

[84].R.M.Weiner – Phys.Rep327(2000)249

[85].S.Y.Fung et al - Phys.Rev.Lett.41(1978)1592

[86].A.Zajc et al – Preprint LBL, LBL-12652(1982)-350

[87].D.Beavis et al – Phys.Rev.C27(1983)910

[88].D.Beavis et al – Phys.Rev.C28(1983)2561

[89].G.N.Agakhishiev et al – Yad.Fiz.39(1984)543

[90].N.Akhababian et al – Preprint IUCN E1-83-670(1983)

[91].A.D.Chacon et al - Phys.Rev.Lett.60(1988)780

[92].Y.Akiba et al (E802 Coll) - Phys.Rev.Lett.70(1993)1057

[93].M.C.Chu, S.Gardner, T.Matsui, R.Seki - Phys.Rev.C50(1994)3079

[94].M.Herrmann, G.F.Bertsch - Phys.Rev.C51(1995)328

[95].S.A.Voloshin, W.E.Cleland - Phys.Rev.C53(1996)917

[96].B.Műller – Lecture Notes in Physics 225(1985)1

[97].P.Koch, B.Műller, J.Rafelski – Phys.Rep.142(1986)167

[98].H.Satz – Nucl.Phys.A488(1988)511c

[99].J.Lettessier et al - Phys.Rev.D51(1995)3408

[100].Al.Jipa, Nicoleta Ioneci, R.Ionescu – Rom.Rep.Phys.48(1996)389

[101].V.K.Tiwari, C.P.Singh – Phys.Lett.B421(1998)363

[102].D.Teaney, L.Lauret, E.V.Shuryak – Phys.Rev.Lett.82(21)(2001)4783

[103].H.Appelshauser et al (NA49 Coll) – Phys.Lett.B467(1999)21

[104].I.G.Bearden et al (NA44 Coll) – Phys.Rev.Lett.87(11)(2001)112301-1

[105]. I.G.Bearden et al (NA44 Coll) – Phys.Rev.C58(1998)1656, Eur.Phys.J.C18(2000)

317

[106].C.Adler et al (STAR Coll) – Phys.Rev.Lett.87(8)(2001)082301-1

[107].D.E.Fields et al - Phys.Rev.C52(1995)986

[108].M.Biyajima et al Phys.Lett.B369(1996)

[109].Al.Jipa, R.Mărginean – Sesiunea Anuală de Comunicări Ştiinţifice a Facultăţii de

Fizică, Universitate Bucureşti, 1999

[110].Al.Jipa, G.Taban - Sesiunea Anuală de Comunicări Ştiinţifice a Facultăţii de Fizică,

Universitate Bucureşti, 2000

[111].Al.Jipa et al – Rom.Rep.Phys.53(2001) – acceptată spre publicare

Partea a III-a

Modelarea dinamicii

ciocnirilor nucleare relativiste

Capitolul al X-lea

Aspecte generale ale modelării dinamicii

ciocnirilor nucleare relativiste

X.1. Diferenţe în modelarea dinamicii

ciocnirilor nucleare la diverse energii

Pentru descrierea ciocnirilor nucleare la diferite energii trebuie să se ia în

considerare comportarea lungimii de undă de Broglie, B, şi a drumului liber mediu,

[1,2]. Aceste două mărimi permit o selectare corectă a tipului de mecanism de interacţie.

Se are în vedere faptul că lungimea de undă de Broglie asociată nucleonului din nucleu -

în sistemul centrului de masă - dă o măsură a micimii necesare sistemului incident pentru

a "observa" ţinta, la o energie dată, în timp ce drumul liber mediu al nucleonilor în nucleu

dă o măsură a posibilităţii evidenţierii unor interacţii tari nucleon-nucleon.

Dacă cele două mărimi considerate anterior sunt comparate cu raza nucleului

ţintă, RT, se pot stabili fundamentele mecanismelor de interacţie la diferite energii.

In cazul energiilor joase şi intermediare, pentru care sunt satisfăcute relaţiile B »

RT, respectiv, » RT, nucleul ţintă este "observat" ca un întreg şi, de aceea, descrierea

interacţiei se face, în principal, prin împrăştieri pe potenţiale.

Pentru energii înalte - energii pentru care p2 mN

2 (p este impulsul pe nucleon al

nucleului incident, iar mN este masa de repaus a nucleonului liber ) - ciocnirea a două

nuclee, în sistemul centrului de masă, se poate descrie luând în considerare faptul că

lungimea de undă de Broglie, B, este mai mică decât distanţa inernucleonică medie în

nucleu, d, iar drumul liber mediu, , este mai mic decât raza nucleului ţintă, RT. In aceste

condiţii - B « d, respectiv, < RT - cele două nuclee sunt considerate ca doi "nori" de

nucleoni, iar ciocnirea lor determină, în zona de suprapunere, ciocniri secvenţiale

nucleon-nucleon prin interacţii tari. Apar, astfel, două regiuni distincte care au

caracteristici dinamice diferite [1-11].

Regiunea de suprapunere a celor două nuclee care se ciocnesc este cunoscută şi

ca regiune participantă. In această regiune au loc ciocniri secvenţiale nucleon-nucleon şi

se produc cele mai multe din fenomenele fizice de interes. Părţile rămase nesuprapuse

ale celor două nuclee care se ciocnesc formează regiunea (regiunile) spectatoare

(Fig.III.1.) [1-4].

Este de aşteptat ca în regiunea participantă să se producă variaţii semnificative

ale densităţii şi temperaturii materiei nucleare formate prin ciocnire, iar evoluţia acestei

materii nucleare comprimate şi fierbinţi necesită cunoaşterea unui număr important de

mărimi fizice cu semnificaţie dinamică [1-11]. De asemenea, regiunea spectatoare va

influenţa dinamica ciocnirii prin dimensiuni, contact cu regiunea participantă, absorbţie

de particule generate din regiunea participantă ş.a. [1-4,6,7,10-12]. Această imagine

geometrică a ciocnirilor nucleare la energii înalte se numeşte imaginea participanţi-

spectatori.

Fig.III.1. Imaginea participanţi-spectatori

Modelarea dinamicii acestei regiuni presupune folosirea unei game extrem de

diverse de concepte, de la cele clasice la cele cuantice cu luarea în considerare a

geometriei şi simetriei ciocnirii [1,2,4,6,7,11,13-18].

În materia nucleară fierbinte şi densă formată se pot produce diferite fenomene

"exotice"/”anomale” şi pot apare diferite tranziţii de fază în materia nucleară aflată la

diferite temperaturi şi densităţi. Gama acestor tranziţii este extrem de diversă [1-6].

Punerea în evidenţă a unor astfel de stări şi fenomene în ciocniri nucleu-nucleu la energii

peste 1 GeV/nucleon este extrem de importantă în cunoaşterea structurii şi proprietăţilor

materiei nucleare la nivel nucleonic şi subnucleonic.

X.2. Influenţa geometriei ciocnirii asupra dinamicii

ciocnirilor nucleare la energii peste 1 GeV/nucleon

Imaginea participanţi-spectatori a ciocnirilor nucleare relativiste face ca

geometria ciocnirii să joace un rol extrem de important în descrierea dinamicii acestor

ciocniri. Este important de subliniat, în acest context, faptul că rolul geometriei ciocnirii a

fost stabilit încă din etapa razelor cosmice [19,20]. De aceea, în analiza datelor

experimentale se face distincţie între diferite tipuri de experimente - inclusive,

semiexclusive şi exclusive - şi, mai ales, între ciocniri periferice şi ciocniri centrale

[5,7,10,11,21-23]. De asemenea, în descrierea dinamicii ciocnirilor nucleu-nucleu la

energii înalte simetria nucleu incident-nucleu ţintă joacă un rol important [1-4,8,24,25].

Relevarea unor stări şi fenomene anomale în ciocniri nucleu-nucleu la energii mai

mari de 1 GeV/nucleon va fi strâns legată de geometria ciocnirii şi de simetria ciocnirii.

Acestea vor determina un anumit raport între regiunea participantă şi regiunea (regiunile)

spectatoare, ceea ce va face ca fenomenele de la suprafaţa de contact dintre cele două

regiuni să fie mai uşor sau mai dificil de observat şi de separat din punct de vedere

experimental [3,4,7,11].

Importanţa geometriei şi simetriei ciocnirilor nucleare relativiste este subliniată şi

de faptul că toate modelele propuse fac apel la acestea, iar analizarea datelor

experimentale şi discutarea rezultatelor experimentale nu este posibilă decât în cazul

luării în considerare a acestor aspecte. Este important de subliniat faptul că stabilirea unei

relaţii de legătură între diferite mărimi fizice de interes pentru ciocniri periferice, de

exemplu, nu presupune - decât în puţine cazuri - găsirea unor relaţii similare pentru

ciocniri centrale. Un exemplu semnificativ în acest sens îl reprezintă secţiunile eficace

[26].

Luarea corectă în considerare a contribuţiilor celor două tipuri de regiuni va

face posibilă o mai profundă cunoaştere a dinamicii acestor ciocniri şi a fenomenelor

care au loc în materia nucleară fierbinte şi densă formată în regiunea de suprapunere a

nucleelor care se ciocnesc [3,4,7,11,12,27-29].

Capitolul al XI-lea

Concepte folosite în descrierea dinamicii ciocnirilor

nucleare relativiste. Ierarhizarea modelelor

XI.1. Diversitatea conceptelor

Ciocnirile nucleu-nucleu la energii înalte se caracterizează prin secţiuni eficace

mari, multiplicităţi mari ale particulelor cu sarcină şi fragmentelor, precum şi prin

abundenţa particulelor neutre în starea finală [1-4,7,19,20,22,30,31]. Aceste

caracteristici fac dificilă descrierea dinamicii acestor ciocniri. Diversitatea şi

complexitatea fenomenelor care se pot produce în ciocniri nucleu-nucleu la energii înalte

complică la rândul lor dinamica ciocnirii şi fac extrem de dificilă separarea contribuţiilor

specifice.

Pentru descrierea teoretică completă a dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste ar

fi necesară o teorie a mai multor corpuri, cuantică, relativistă, dependentă de timp, care

să includă toate gradele de libertate hadronice [14,15]. Cum o astfel de teorie nu se

poate constitui în prezent, pentru descrierea dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste s-a

urmat şi se urmează calea modelelor de diverse tipuri, modele care urmează căi mai

tratabile, cu simplificări şi aproximaţii corespunzătoare [1-4,7,13-18]. Căile teoretice de

abordare a dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste trebuie să permită şi crearea unor

legături între mărimile determinabile experimental, pe de o parte, şi mecanismele de

ciocnire propuse şi proprietăţile sistemului nuclear format prin ciocnire.

Luarea în considerare a diverselor aspecte ale dinamicii ciocnirilor nucleare

relativiste a condus la apariţia a numeroase modele care folosesc un număr mare de

concepte, de la cele clasice la cele mai moderne, specifice modelului standard [32-34].

Printre conceptele cele mai des folosite în descrierea dinamicii ciocnirilor

nucleare relativiste de o largă răspândire se bucură cele statistice şi hidrodinamice [13-

16,20,21,34-37]. Caracterizarea stărilor şi proprietăţilor materiei nucleare, în condiţiile în

care densităţile şi temperaturile foarte mari atinse în regiunea de suprapunere a nucleelor

care se ciocnesc durează timpi de ordinul câtorva Fm/c, se poate face, totuşi, folosind

ipoteza echilibrului global - cazul modelelor termodinamice [38-41] - sau ipoteza

echilibrului local - cazul modelelor hidrodinamice [42-46]. Folosirea ipotezei echilibrului

în materia nucleară fierbinte şi densă permite introducerea unor variabile specifice

ansamblurilor statistice de tip canonic, cum ar fi temperatura şi densitatea. In acest caz se

pot defini diferite mărimi fizice de interes ca funcţii de variabilele canonice, precum şi

relaţii de legătură între diferitele mărimi de interes, folosind relaţii termodinamice

obişnuite [47,48]. Cea mai importantă relaţie care se doreşte a fi obţinută este ecuaţia de

stare a materiei nucleare [49,50].

În descrierea dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste se folosesc frecvent teorii

legate de câmpul mediu. In acest caz este necesară folosirea ecuaţiei Dirac dependente de

timp, pentru descrierea proceselor în care sunt implicaţi nucleonii. De asemenea, este

necesară luarea în considerare a câmpurilor mezonice - atractive şi repulsive - precum şi a

interacţiilor mezon-barion, ceea ce implică folosirea ecuaţiilor Klein-Gordon şi Proca sau

a altor tipuri de ecuaţii şi potenţiale [14-16,32-34,51-53]. Dacă în cazul modelelor

considerate anterior era importantă găsirea unei ecuaţii de stare corespunzătoare a

materiei nucleare folosind concepte şi relaţii termodinamice şi hidrodinamice, în acest

caz este importantă scrierea unui lagrange-ian efectiv în termenii unor energii cinetice şi

potenţiale corespunzătoare, care să permită folosirea de mase şi constante de cuplaj

fenomenologice. In funcţie de numărul şi natura termenilor introduşi în lagrange-ian se

poate descrie materia nucleară infinită la temperaturi şi densităţi diferite. Obţinerea

ecuaţiei de stare este posibilă, în acest caz, prin introducerea în lagrange-ian a unor

termeni legaţi de mase efective, compresibilitate, potenţial chimic, presiune ş.a.

Comportarea materiei nucleare în condiţii extreme este una din problemele cele

mai provocatoare care se pun Fizicii nucleare relativiste, iar răspunsul corect la această

problemă poate să aibă consecinţe în domenii care depăşesc cadrul strict al acestui

domeniu al Fizicii nucleare, dar care depind semnificativ de proprietăţile materiei

nucleare într-un domeniu foarte larg de densităţi şi temperaturi. Printre acestea se numără

mecanismul de explozie al supernovelor, structura internă a stelelor neutronice, formarea

materiei în timpul evoluţiei Universului timpuriu, imediat după “Explozia primordială”.

De aceea, gama conceptelor folosite pentru descrierea dinamicii ciocnirilor nucleare

relativiste se diversifică continuu, iar gama stărilor şi fenomenelor "exotice"/”anomale”

observabile este foarte largă, în acord cu creşterea energiei pe nucleon pentru fasciculul

incident, precum şi cu numărul de masă al nucleului incident.

In acest context este de remarcat teoria microscopică dinamică de n corpuri

cunoscută şi sub numele de "dinamică moleculară cuantică" [54,17]. Această teorie este o

extindere cuantică a dinamicii moleculare clasice folosită în studii de chimie şi

astrofizică. Trebuie subliniat faptul că se pleacă de la ecuaţia Schrödinger pentru n

corpuri şi se obţine ecuaţia de evoluţie în timp pentru transformata Wigner a unei matrice

de densitate de n corpuri. Evoluţia în timp este legată atât de partea reală cât şi de partea

imaginară a matricei de tranziţie, iar obţinerea soluţiilor necesare este legată de folosirea

unor sisteme de calcul cât mai puternice. De aceea, este necesară folosirea unui set

complet şi coerent de ipoteze simplificatoare pentru rezolvare. Principalele direcţii de

studiu sunt, în acest caz, fenomenele de fragmentare şi obţinerea ecuaţiei de stare. In

acest context trebuie subliniate extrem de interesantele rezultate asupra unor stări şi

fenomene "exotice" în materia nucleară fierbinte şi densă, precum şi sublinierea rolului

fundamental al ciocnirilor nucleare la energii înalte şi foarte înalte în cunoaşterea

structurii materiei, precum şi în elucidarea proceselor care au succedat imediat Exploziei

primordiale.

XI.2. Ierarhizarea modelelor

Diversele tipuri de modele propuse pentru descrierea dinamicii ciocnirilor

nucleare relativiste şi ultrarelativiste trebuie să ia în considerare multe din aspectele

majore, inclusiv producerea unor tranziţii de fază şi apariţia unor stări şi fenomene

"exotice" în materia nucleară fierbinte şi densă.

In funcţie de tăria conceptelor folosite şi de calitatea unor răspunsuri oferite

modelele propuse se pot clasifica astfel:

(i) ecuaţii de mişcare clasice nerelativiste şi relativiste;

(ii) problema a n corpuri şi ecuaţii Hartree-Fock dependente de timp;

(iii) ecuaţia Boltzmann;

(iv) ecuaţia Vlasov şi ecuaţia Vlasov-Uenling-Uhlenbeck;

(v) ciocniri nucleon-nucleon şi cascade intranucleare;

(vi) hidrodinamică şi termodinamică în ipoteza echilibrului local şi global;

(vii) cromodinamică cuantică şi noţiuni de astrofizică.

În cadrul cursului se vor detalia multe din aceste concepte, în contextul discutării

diferitelor modele. Aşa cum s-a mai spus, studiul ciocnirilor nucleu-nucleu la diferite

energii permite o înţelegere mai profundă a proprietăţilor globale ale materiei care

interacţionează tare, precum şi cunoaşterea diagramei de fază a materiei nucleare. Sunt

importante informaţiile la diferite densităţi şi temperaturi, în condiţii de echilibru diferite

pentru a avea posibilitatea cunoaşterii adecvate a acestor aspecte. În discutarea tuturor

modelelor, geometria ciocnirii şi stabilirea ecuaţiei de stare a materiei nucleare sunt

elementele fundamentale. Prin ele, legăturile cu domeniile pentru care Fizica nucleară

relativistă este considerată ca o punte sunt mult mai evidente.

Multe din modele prezentate în această parte a cursului sunt considerate căi

microscopice de abordare a ciocnirilor nucleare la diferite energii. Caracterizarea lor ca

modele microscopice este determinată de faptul că în ipotezele lor nucleonii, pionii şi alte

particule, precum şi constituienţii lor – cuarcii şi gluonii – sunt grade de libertate

fundamentale.

O altă carateristică importantă a modelelor microscopice este determinată de

modul în care este considerată evoluţia în spaţiul fazelor. Atunci când se înceracă

obţinerea informaţiei dinamice complete considerând spaţiul fazelor pentru toate gradele

de libertate avute la dispoziţie (n corpuri) se consideră aspecte legate de aşa-numita

dinamică moleculară. Dacă se urmăreşte integrarea pe coordonatele a (n-1) dintre

particulele folosite la determinarea gradelor de libertate fundamentale, atunci se obţin

ecuaţii cinetice pentru distribuţiile de densitate uniparticulă.

De aici se pot stabili legături cu căi macroscopice de descriere a dinamicii

ciocnirilor nucleare. De exemplu, integrarea suplimentară în spaţiul impulsurilor, în

ipoteze diferite, permite obţinerea ecuaţiilor hidrodinamice, specifice pentru o cale

macroscopică de abordare a acestui studiu.

În cazul în care se consideră forma distribuţiei de densitate uniparticulă în spaţiul

obişnuit, în ipoteze restrictive specifice şi cu considerarea unui număr de grade de

liberatate mai mic, se pot obţine aşa-numitele modele termice.

Deoarece fiecare din ele permite obţinerea unor informaţii importante asupra

dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste în curs se vor prezenta aspecte legate de toate

aceste tipuri de modele.

Capitolul al XII-lea

Modele clasice

XII.1. Consideraţii generale

Modelele dinamice clasice consideră, pentru descrierea dinamicii ciocnirilor nucleare

relativiste un sistem cu un număr de grade de libertate fixat. Numărul gradelor de

libertate este dat de suma dintre numerele de masă ale nucleelor care se ciocnesc,

anume: A = AP+AT. Starea unui sistem la un moment dat este descrisă printr-un punct

într-un spaţiu 6-dimensional (spaţiul fazelor) . Probabilitatea de a găsi sitemul într-un

punct din spaţiul fazelor ( pr, ) la momentul t, în elementul de volum d, este dată de

relaţia:

dtpprrdP AA );,...,;,...,( 11 . (III.1)

Aici, );,...,;,...,( 11 tpprr AA este o funcţie de distribuţie de A corpuri şi este o soluţie a

ecuaţiei Liouville clasice care descrie un ansamblu microcanonic:

0''1

A

ii

i

i

i

pp

rr

t

. (III.2)

Acest tip de ecuaţie se obţine dintr-o ecuaţie Hamilton de forma:

,Ht

, (III.3)

atunci când {H,} = 0

Ecuaţia Liouville clasică, pentru un ansamblu microcanonic, la echilibru, are forma

următoare:

AA pprrHEc ,...,;,...,

11 , (III.4)

unde c este o constantă.

În dezvoltarea modeleor clasice se are în vedere faptul că pentru ciocniri nucleare la

energii joase şi intermediare se poate considera că forţele nucleare pot fi separate în două

părţi importante. Cele două părţi pot fi legate de interacţiile de distanţă lungă, respectiv,

de interacţiile de distanţă scurtă. În primă parte se presupune o interacţie “clasică”

mediată de un câmp mezonic repulsiv de tip vectorial. Cea de a doua parte include un

câmp atractiv de tip “sigma”, care ia în considerare schimbul de doi pioni între nucleoni

[1,2,4,32,33]. Sunt incluse aici, de asemenea, corelaţiile stocastice de distanţă scurtă.

Pentru multe din modele clasice se consideră că este permisă interacţia simultană a mai

multor nucleoni şi că aceasta poate fi descrisă printr-un potenţial de interacţie explicit.

Pentru astfel de modele se folosesc ecuaţii newtoniene, ceea ce face ca descrierea

mişcărilor nucleonilor să se facă în termenii traiectoriilor şi forţelor clasice [14,55-58].

XII.2. Câteva modele clasice folosite în Fizica nucleară relativistă

Unul din primele modele clasice [55] foloseşte ecuaţii de mişcare nerelativiste cu

considerarea unor forţe de interacţie de două corpuri între toţi nucleonii. În acest model

se neglijează spinii nucleonilor şi nu se ia în considerare producerea de mezoni. Nu se

face nici o ipoteză asupra stării de echilibru termodinamic pentru sistemul considerat.

Potenţialul de interacţie considerat într-un astfel de model poate să aibă forme diferite. În

forma sa iniţială modelul folosea un potenţial central clasic care lua în considerare

interacţia fiecărui nucleon cu ceilalţi (A-1) nucleoni. Acest potenţial includea un potenţial

de tip Yukawa cu termen atractiv şi termen repulsiv. Modelul propus poate fi folosit atât

pentru ciocniri centrale, cât şi pentru ciocniri periferice. Principalele rezultate ale unui

astfel de model sunt legate de efectele de evaporare, distribuţii unghiulare, densitate

nucleară, fenomene de fuzionare/reunire (“coalescence”), viteză de curgere ş.a. Poate fi

folosit cu rezultate bune pentru ciocniri nucleu-nucleu la energii de câteva sute de

MeV/nucleon.

Indiferent de parametrizările folosite trebuie avută în vedere realizarea unui compromis

între reproducerea secţiunii eficace diferenţiale la CM=90o – care are influenţă asupra

transferului de impuls transversal – pentru ciocniri neutron-proton şi obţinerea unor

nuclee stabile şi energiile lor de legătură.

Compararea directă cu secţiunile eficace diferenţiale experimentale este dezavantajoasă

datorită fenomenelor de difracţie care pot avea loc şi existenţei unor efecte cuantice,

neincluse în modele clasice, în general . Modelul prezentat în lucrarea [55] nu include,

de asemenea, astfel de efecte.

În unele modele de tipul celui propus în lucrarea [55] – cunoscute şi ca modele de forţe

newtoniene – nucleele sunt considerate ansambluri de neutroni şi protoni distribuiţi

aleator într-o sferă de rază R=roA1/3

. Pentru evitarea “evaporării” nucleonilor cu cantităţi

mari de energie, datorită părţii repulsive a potenţialului Yukawa, este necesară

introducerea unor tăieri pentru poziţiile relative dintre nucleoni. Se consideră, în cele

mai multe situaţii de inters că ro este o limită rezonabilă [58]. Trebuie menţionat că

fenomenul de evaporare există chiar dacă se fac aceste tăieri. De asemenea, în modelele

de forţe newtoniene se ia în considerare faptul că nucleonii au impulsuri Fermi aleatoare.

Unele modele de forţe newtoniene folosesc cinematică relativistă şi încearcă tratarea

exactă a împrăştierilor multiple [56]. Prin introducerea mişcării Fermi pentru nucleonii

din ambele nuclee care se ciocnesc sunt descrise, în mod corect, spectrele inclusive ale

protonilor produşi în ciocniri centrale nucleu-nucleu. Nici acest tip de model clasic nu

poate descrie producerea de alte particule (mezoni, nuclee uşoare). Nu poate fi folosit

pentru descrierea unor ciocniri periferice, iar rezultatele obţinute pot fi afectate, pentru

ciocniri centrale, de efectele de declanşare a sistemului de detectori.

În unele modele clasice se propune simularea numerică a unei ciocniri nucleu-nucleu, la

o energie dată [58]. Se fixează un parametru de ciocnire, iar nucleele sunt considerate

ansambluri de neutroni şi protoni distribuiţi aleator într-o sferă de rază R=roA1/3

.

Limitarea “evaporării” nucleonilor cu cantităţi mari de energie, datorită părţii repulsive a

potenţialului Yukawa, este făcută prin introducerea unor tăieri pentru poziţiile relative

dintre nucleoni. Limita aleasă este ro. Nucleonii au impulsuri Fermi aleatoare. Pentru

realizarea simulării numerice a nucleelor care se ciocnesc le sunt atribuite impulsurile

corespunzătoare, în sistemul centrului de masă, energiei de ciocnire, parametrului de

impact şi numerelor lor de masă. Trecerea la sistemul centrului de masă se face prin

transformări Galilei. Rezolvarea ecuaţiilor Newton se face pentru un sistem de A=AP+AT

nucleoni. Se ia în considerare existenţa unui efect de evaporare. La integrarea ecuaţiilor

Netwon

A

ji

ijii rVrUr

U

t

pF

1

)()(, se are în vedere respectarea conservării

energiei. Prin ipotezele sale modelul permite descrierea evoluţiei în timp a interacţiei şi

punerea în evidenţă a unor fenomene interesante legate de curgerea hidrodinamică a

materiei nucleare, cum ar fi cele de “împroşcare laterală” (“side-splash”) şi de salt

(“bounce-off”). Dă acorduri bune cu rezultatele experimentale pentru ciocniri nucleu-

nucleu la energii sub 1 A GeV.

În încercarea de a explica anumite fenomene observate experimental, de-a lungul primei

perioade a etapei sistemelor de accelerare, au fost propuse modele care luau în

considerare tipuri de mecanisme de reacţie specifice interacţiilor directe la energii joase.

Un astfel de model este cel care foloseşte un mecanism de “knock-out” [59,60]. Modelul

se bazează pe ipoteza că anumite regiuni cinematice din spectrul protonilor produşi în

ciocniri nucleu-nucleu la energii intermediare şi mari rezultă din împrăştieri simple ale

nucleonilor din regiunea de suprapunere a nucleelor care se ciocnesc. Datorită absenţei

împrăştierilor suplimentare pentru aceşti protoni nu apare fenomenul de termalizare pe

direcţii perpendiculare pe direcţia de mişcare a nucleelor din fasciculul incident, în

sistemul centrului de masă nucleu-nucleu. În plus, protonii care provin din interacţie

directă prin mecanism de “knock-out” au energie cinetică mare [61,62].

Descrierea regiunii de energie mare a spectrului protonilor se poate face, în aceste

ipoteze, cu ajutorul unei relaţii de forma următoare:

),,(2

A

EEF

A

ZN

dEd

d P

PTPT

. (III.5)

În relaţia (III.5) PT este secţiunea eficace totală nucleu-nucleu la energia la care are loc

ciocnirea considerată, PTN este numărul de împrăştieri de “knock-out” pe fiecare

ciocnire, ponderat pe parametrul de ciocnire,

T

T

P

P

A

Z

A

Z

A

Z

2

1, iar ),,(

A

EEF P este

o funcţie universală care descrie cinematica de “knock-out”.

Mecanismul de ciocnire de tip “knock-out” se poate folosi pentru descrierea rezultatelor

experimentale obţinute în ciocniri nucleu-nucleu care au loc la energii până la 800 A

MeV.

Trebuie arătat că, deşi mecanismul de ciocnire de tip “knock-out” implică energii de

ciocnire pe nucleon la care împrăştierea nucleon-nucleon este neimportantă sau este

interzisă din punct de vedere cinematic, utilitatea modelului este dată de faptul că protonii

de “knock-out” dau informaţii asupra unor stări de neechilibru din regiunea de

suprapunere a nucleelor care se ciocnesc, precum şi asupra materiei nucleare din

vecinătatea acesteia. De asemenea, corelaţiile dintre protoni sunt sensibile la cinematica

mecanismului de “knock-out”, cu deosebire cele de doi protoni. De aceea, ele pot fi

folosite la separarea experimentală a protonilor după tipul de împrăştiere (împrăştiere

simplă sau împrăştiere multiplă). În cazul ciocnirilor nucleu-nucleu la energii la care

împrăştierea inelastică devine importantă compararea predicţiilor modelului cu

rezultatele experimentale devine dificilă sau imposibilă (în funcţie de energia incidentă şi

de procesele care au loc în regiunea de suprapunere).

XII.3. Potenţiale folosite în modele clasice

pentru ciocniri nucleare relativiste

Printre potenţialele folosite se numără şi unul care ia în considerare diferite interacţii de

două corpuri şi este format din 4 termeni, anume: interacţie tare (descrisă de un potenţial

Yukawa, VY), interacţie locală (potenţial de tip Skyrme, Vl), interacţie coulombiană,

VCoul, interacţie dependentă de impuls, Vp. Potenţialul total se poate scrie astfel:

pCoullY VVVVV . (III.6)

Formele unora dintre potenţiale folosite în relaţia anterioară sunt:

21

0

21

rr

eVV

a

rr

YY

, (III.7)

21 rrVV oll , (III.8)

r

ZeVV oCoulCoul

2

, (III.9)

21

2

215

2 1ln rrpptVV opp . (III.10)

Termenul Yukawa se introduce, de obicei, pentru a îmbunătăţii proprietăţile

interacţiei la suprafaţa nucleului. Acestea sunt importante pentru descrierea proceselor de

fragmentare.

Trebuie menţinat faptul că există mai multe moduri de rezolvare a problemei

interacţiei care are loc. Ele depind şi de forma funcţiei de stare şi de tipurile de interacţii

considerate. Astfel, se poate aproxima funcţia de stare (de undă) pentru interacţia a doi

nucleoni prin o expresie care să includă forme Gauss, în aproximaţia impulsului. În acest

caz, se poate scrie:

]))((

.[

3

2

)(

1),( R

trrrp

i

i

i

eR

tr

. (III.11)

Pentru o astfel de funcţie de stare termenul de interacţie de tip Skyrme include un

potenţial de mai multe corpuri care poate determina repulsii între nucleoni pentru

densităţi nucleare mari. Acest potenţial este de forma următoare:

i ij

R

rr

iji

R

rr

o

R

eV

R

eVV

jiji

3

2

)(

03

,3

2

)(

1

)2()2(

22

. (III.12)

La determinarea valorilor lui V01 şi V02 se folosesc unele proprietăţi ale materiei nucleare

în stare fundamentală. Cele mai folosite sunt energia de legătură (-16 MeV) şi densitatea

nucleară normală (=o=0.17 Fm-3

).

Parametrul care apare în al doilea termen al relaţiei (III.12) are valori diferite în funcţie

de tipul de ecuaţie de stare. El este introdus pentru a fixa compresibilitatea materiei

nucleare în stare fundamentală. De exemplu, pentru o ecuaţie de stare “moale” (“soft”)

se consideră o compresibilitate a materiei nucleare în starea fundamentală K=200 MeV,

ceea ce determină un parametru =7/6. În cazul unei ecuaţii de stare “tari” (“hard”)

valoarea cea mai folosită a parametrului este =2, ceea ce implică o compresibilitate a

materiei nucleare în starea fundamentală K=380 MeV.

Există numeroase alte tipuri de potenţiale şi parametrizări folosite în studiul

ciocnirilor nucleare la energii intermediare şi înalte. Unele dintre ele sunt legate şi de alte

tipuri de modele ale mecanismelor de ciocnire şi vor fi discutate în capitolele următoare.

Altele pot fi găsite în referinţele bibliografice date în curs.

XII.4. Câteva remarci finale

În folosirea modelelor clasice pentru descrierea dinamicii ciocnirilor nucleare la

energii intermediare şi înalte există unele rezultate de interes în cunoaşterea proprietăţilor

şi structurii materiei nucleare aflate în condiţii de densitate şi temperatură diferite. Aceste

rezultate sunt legate de faptul că există posibilitatea ca în acest mod să se producă o

apropiere de soluţia pentru problema a n corpuri în interacţie. Se pot studia, de

asemenea, efectele miezului repulsiv asupra comportării suprafeţei nucleare şi

proprietăţilor materie nucleare aflate la diferite densităţi şi temperaturi. Un alt rezultat

important al folosirii modelelor clasice în studiul mecanismelor de ciocnire la energii

intermediare şi înalte este legat de posibilitatea studierii efectelor de retrardare.

Pe lângă succesele menţionate, modelele clasice folosite în studiul dinamicii ciocnirilor

nucleare la energii intermediare şi înalte, cu deosebire cele de forţe newtoniene clasice,

prezintă unele dezavantaje. Cele mai importante sunt cele determinate de faptul că

potenţialele clasice dau o aproximaţie săracă a proprietăţilor împrăştierii nucleon-

nucleon şi legăturii nucleare. De asemenea, există dificultăţi la realizarea unor

generalizări relativiste.

Concluzia la descrierea folosirii modelelor clasice pentru descrierea dinamicii ciocnirilor

nucleare la energii intermediare şi înalte este aceea că aceste modele descriu cu succes

parţial interacţiile ionilor grei la energii intermediare.

Capitolul al XIII-lea

Ecuaţia Boltzmann, ecuaţia Vlasov,

ecuaţia Vlasov-Uenling-Uhlenbeck şi modele

asociate

XIII.1. Metoda Hartree-Fock dependentă de timp şi obţinerea ecuaţiei

Boltzmann

Pentru rezolvarea problemei interacţiei a A corpuri din punct de vedere cuantic,

nerelativist, este necesară rezolvarea ecuaţiei Schrödinger dependente de timp [62,63]:

H

ti , (III.13)

unde funcţia de stare depinde de toate cele A corpuri şi de timp: );,...,2,1( tA .

Deoarece această ecuaţie nu se poate rezolva direct a fost necesară găsirea unor metode

specifice şi aproximaţii pentru rezolvare. Unele dintre acestea au fost preluate din alte

domenii ale Fizicii.

Printre metodele des folosite pentru rezolvarea problemei de A corpuri în Fizica nucleară

se numără şi metoda Hartree-Fock. Ea are la bază teoria Hartree a câmpurilor auto-

consistente (“self-consistente”) folosită în Fizica atomică. În acest caz se pleacă de la un

set de funcţii de stare uniparticulă oarecare. Prin medierea interacţiei de mai multe

corpuri se generază un potenţial uniparticulă. Cu ajutorul acestui potenţial şi a setului de

funcţii de stare se rezolvă ecuaţia Schrödinger şi se obţine un set nou de funcţii de stare.

Se reia acest ciclu şi se repetă până la obţinerea consistenţei între funcţiile de stare şi

potenţialul de interacţie.

Există o teorie Hartree-Fock statică care implică unele modificări, şi anume:

(i) introducerea unui termen de schimb suplimentar;

(ii) funcţia de stare de mai multe corpuri este aproximată printr-un determinant Slater de

funcţii de stare uniparticulă;

(iii) hamiltoniainul de interacţie este compus dintr-un hamiltoniain dat de teoria Hartree

la care se adaugă un potenţial uniparticulă nonlocal.

Pentru rezolvare se folseşte, ca şi în primul caz, un procedeu iterativ. Acesta se repetă

până la atingerea consistenţei între interacţia mediată şi funcţiile de stare.

Remarcă. Prin metoda Hartree-Fock se construieşte o “mare Fermi” de particule cu o

suprafaţă Fermi bine definită, deoarece în calculul determinantului specific Hartree-Fock

se selectează A funcţii de stare uniparticulă care dau cele mai joase nivele de energie.

Metoda Hartree-Fock statică a fost folosită cu succes în modelele atomice, iar mai apoi în

modelele nucleare de pături [14,15,62-64].

Ciocnirile nucleare – indiferent de energia la care se produc – ridică problema

dependenţei de timp pentru descrierea evoluţiei celor A nucleoni care se ciocnesc. De

aceea, este necesară o cale tratabilă pentru o ecuaţie Hartree-Fock dependentă de timp. În

absenţa unui câmp central extern nucleonii sunt legaţi între ei, în nucleele din care provin,

prin interacţii mutuale (reciproce). Metoda Hartree-Fock este considerată, în cele mai

multe cazuri de interes, ca o aproximaţie. Acest lucru este legat de faptul că încearcă

reducerea problemei mai multor corpuri care interacţionează tare la una de mai multe

particule care nu interacţionează şi neglijează interacţiile reziduale. Aproximaţia Hartree-

Fock dependentă de timp permite descrierea stărilor excitate prin luarea în considerare a

părţii de distanţă lungă a potenţialului de interacţie sau prin considerarea unui câmp al

interacţiilor reziduale.

Determinantul Slater pentru un număr nederminat de stări a, b, c, … are o soluţie care se

poate scrie astfel:

,...,,

,...),,(...!

1...

cba

cba cbasignA

abc . (III.14)

În ipoteza că funcţia de stare a unui nucleu este o combinaţie liniară de

determinaţi Slater, hamiltonianul sistemului de mai multe corpuri se poate scrie sub

forma următoare:

ji lkji

lkjiijkljiij aaaaUaaTVTH, ,,,2

1 . (III.15)

În relaţia de mai sus Tij este un operator uniparticulă pentru energia cinetică, iar Uijkl este

un operator corespunzător energiei potenţiale şi ia în considerare interacţia a două

corpuri;

ia este operatorul de creare de particule, iar aj este operatorul de anihilare.

Pentru îndeplinirea condiţiilor de asimetrie pentru funcţiile de stare ale nucleonilor şi

respectarea principiului lui Pauli (nucleonii sunt fermioni) operatorii de creare şi de

anihilare satisfac relaţiile de mai jos:

0,

ji aa , (III.16)

ijji aa , . (III.17)

Se introduce o matrice de densitate uniparticulă de forma:

jiji aa , (III.18)

soluţie a ecuaţei von Neumann:

Haadt

di ji ,

, (III.19)

unde H este un operator hermitic.

Prin introducerea unei matrici de densitate de două particule de forma următoare:

ikjliljkijkl )2( , (III.20)

se poate obţine ecuaţia Hartree-Fock dependentă de timp:

,hdt

di . (III.21)

Hamiltonianul Hartree-Fock, h, care conţine conservarea numărului de particule şi

conservarea energiei, se poate scrie astfel:

ij

lk

kl

ikljikjlij VVTh . (III.22)

Ecuaţia (III.21) este similară cu ecuaţia Schrödinger dependentă de timp din relaţia

(III.13) pentru un hamiltonian de tip h.

Aproximaţia Hartree-Fock dependentă de timp se poate aplica, cu relativ succes,

pentru ciocniri nucleare la energii mai mari de 10 A MeV. Principalele procese şi

fenomene fizice de interes care se produc în ciocniri nucleare la energii intermediare şi

înalte şi se pot descrie folosind aproximaţia Hartree-Fock dependentă de timp sunt:

fuziunea în ciocniri cu ioni grei, formarea nucleului compus, disiparea, propagarea undei

de şoc în materia nucleară, fragmentarea nucleară multiplă ş.a.

Pentru aplicarea aproximaţiei Hartree-Fock dependentă de timp la energii pe

nucleon în vecinătatea energiei de repaus a nucleonilor – dar mai mici – sunt necesare

ipoteze suplimentare. Astfel, se poate considera că există procese fizice care perturbă

interacţia binară. Funcţia de stare perturbată care se obţine este o consecinţă a împrăştierii

particulelor pe orbitale neperturbate. De aceea, funcţia de stare perturbată se poate scrie

astfel:

0''''

'' ''

00''''0

11

kllkkllk

lklk lklk

ti

kllkkllk

ti aaaaVe

aaaaVdtei

.

(III.23)

Pentru obţinerea matricei de densitate se consideră următoarea ecuaţie von

Neumann:

iiiiii aVaVaa

idt

d,,

1

. (III.24)

Dacă se consideră cazul unidimensional matrice are o formă diagonală, anume:

ijiji n , (III.25)

unde nI sunt numere de ocupare. Prin introducerea în ecuaţia von Neumann dată de relaţia

(III.24) se determină numerele de ocupare. Relaţia (III.24) se poate scrie astfel:

j

ijjiiji aaaaV

idt

dn

1 . (III.26)

Neglijându-se termenii de ordin superior se poate scrie o nouă ecuaţie, de forma

următoare:

jiij

j

ijiji nnnnEEV

dt

dn 11

2 2

. (III.27)

Ecuaţia obţinută are o formă similară cu ecuaţia Boltzmann standard cu “regula de aur”

(Fermi) pentru interacţii inclusă [62-64].

Trebuie reamintit aici faptul că ecuaţia Boltzmann este o ecuaţie de tip ireversibil

şi descrie evoluţia în timp a unei funcţii de distribuţie. Această funcţie de distribuţie poate

fi şi numărul mediu de particule aflate într-o stare uniparticulă [65].

Remarcă. 1. “Regula de aur” (Fermi) dă legătura dintre probabilitatea de tranziţie de la o

stare iniţială i la o stare finală f, wfi, cu luarea în considerare a hamiltonianului de

interacţie, şi densitatea de stări pentru starea finală, )( fE . Ea se scrie astfel:

)(2 2

ffifi EHw

. (III.28)

Observaţie. Trecerea la funcţia Dirac, , se face în ipoteza că timpul t al tranziţiei de la o

stare la alta este suficient de lung, dar mai mic decât timpul de ciocnire. Se interzic astfel

ciocnirile de ordin superior (sunt acceptate numai ciocniri binare, aşa cum s-a presupus

iniţial).

Luarea în considerare a problemei interacţiei a două corpuri permite introducerea

termenilor de ciocnire în diferite modele care folosesc ecuaţia Boltzmann. Expresia

ecuaţiei Boltzmann pentru numărul de ocupare este următoarea:

)1)(1()1)(1(2

''''''

''

2

'' jijijijijiji

jji

iijji nnnnnnnnEEEEV

dt

dn

.

(III.29)

Dacă se consideră o funcţie de distribuţie uniparticulă ),,(1 tprf ecuaţia care se

poate scrie, cu luarea în considerare a termenilor de ciocnire, este de forma următoare:

PCtprfm

p

t

),,(1 . (III.30)

unde C este termenul de câştig, iar P este termenul de pierdere. Ambii termeni depind de

forma funcţiei de distribuţie uniparticulă, ),,(1 tprf , secţiunea eficace, , şi viteza

relativă, m

pp '.

Ecuaţia Boltzmann se poate folosi într-o gamă largă de modele pentru descrieirea

dinamicii ciocnirilor nucleare la energii intermediare şi relativiste. Astfel de modele sunt

cele de cascadă intranucleară şi cele hidrodinamice. Aceste modele vor fi discutate în

curs. Ecuaţia Boltzmann poate fi folosită şi pentru descrierea formării şi evoluţiei plasmei

de cuarci şi gluoni [66].

XIII.2. Ecuaţia Vlasov. Ecuaţia Vlasov-Uenling-Uhlenbeck

Pentru includerea ciocnirilor binare ecuaţia Hartree-Fock dependentă de timp

poate fi cuplată cu o ecuaţie Master. Ecuaţia Master ia în considerare probabilităţile de

ocupare, )(tPin , pentru stările uniparticulă ni. Ea se scrie, în general, astfel [65]:

m

nmnmnmn tPwtPwdt

tdP)()(

)( , (III.31)

unde wnm este probabilitatea de tranziţie din starea n în starea m, iar wmn este

probabilitatea de tranziţie din starea m în starea n.

În unele teorii, se propune înlocuirea probabilităţii de tranziţie Pn(t), cu o funcţie

Wigner, 2

,2

3 .),( sr

sr

spi

esdprf

.[67,68]. Proprietăţile fundamentale ale funcţiei

Wigner sunt:

),(.)2(

1)( 3

3 prfpdr

, (III.32)

),(.)2(

1)( 3

3 prfrdp

. (III.33)

Prin folosirea ecuaţiei Boltzmann (III.29) şi a aproximaţiei Born [61,64,67]:

d

dppVpp

2

2

2121

2''

, (III.34)

se obţine definirea termenului de ciocnire din relaţia (III.30).

În expresia aproximaţiei Born dată de relaţia (III.34),21

21

mm

mm

este masa

redusă a sistemului, iar d

d este secţiunea eficace diferenţială pentru interacţia

considerată.

Dacă se consideră derivata totală a funcţiei Wigner dependente de timp,

),,( tprf , şi se pune condiţia:

0dt

df

se obţine ecuaţia Vlasov:

0.

p

f

dt

pd

r

fv

t

f

dt

df , (III.35)

unde dt

rdv .

Dacă se ia în considerare expresia termenului de ciocnire care se obţine din

ecuaţia Boltzmann şi aproximaţia Born, pentru o funcţie de tip Wigner, anume:

)'()1)(1('')'1)('1()2(

'' 3

21212121126

2

3

1

3

2

3

ppffffffffVpdpdpd

dt

df

c

,

(III.36)

şi se pune condiţia următoare pentru derivata totală a funcţiei:

cdt

df

dt

df

se obţine ecuaţia Vlasov-Uenling-Uhlenbeck (ecuaţia VUU):

)'()1)(1('')'1)('1()2(

'' 3

21212121126

2

3

1

3

2

3

ppffffffffVpdpdpd

p

fU

r

fv

t

f

(III.37)

În relaţiile de mai sus s-au considerat ciocniri binare. Pentru starea iniţială impulsul total

este 21ppp , iar pentru starea finală este 21 ''' ppp ; s-au folosit şi următoarele

relaţii de legătură: UFdt

pd .

Pentru rezolvarea efectivă a ecuaţiei Vlasov-Uenling-Uhlenbeck sunt necesari unii

parametrii de intrare. Principalii parametrii de intrare sunt potenţialul de interacţie şi

secţiunea eficace diferenţială pentru ciocniri nucleon-nucleon. De obicei se consideră

aparoximaţia impulsului extinsă şi, de aceea, se folosesc secţiunile eficace pentru

ciocnirile nucleonilor liberi [61,62,64,67].

Trebuie menţionat aici faptul că distribuţia Fermi-Dirac, definită prin relaţia:

1

1)(

)(

eFFD , (III.38)

este o soluţie a ecuaţiei Vlasov, dar şi soluţie de echilibru a termenului de ciocnire.

Tartările sunt diferite în funcţie de forma aleasă pentru potenţialul U.

Descrierea ciocnirilor nucleare relativiste se poate face folosind ecuaţia Vlasov-

Uenling-Uhlenbeck în formă nerelativistă sau în formă relativistă. Tratările sunt legate de

teoria Bruckner a materiei nucleare [64,67,68].

Aşa cum s-a menţionat anterior, tartările sunt diferite în funcţie de forma aleasă pentru

potenţialul U. Un potenţial folosit în multe modele este potenţialul Skyrme [69].

Se consideră că interacţia poate fi descrisă printr-un potenţial general care include

interacţia de 2 corpuri şi interacţia de 3 corpuri, de forma următoare:

ij ijk

ijkij VVV )3()2( . (III.39)

Acest potenţial general poate să conducă la forme diferite ale potenţialului rezultatnt U

care apare în ecuaţia Vlasov-Uenling-Uhlenbeck. Cele mai folosite pentru descrierea

ciocnirilor nucleare relativiste sunt de formele de mai jos:

2)( baU , (III.40)

6/7)( baU . (III.41)

Cele două forme de potenţial rezultant amintesc de potenţialele folosite în unele modele

clasice şi sunt asociate unor tipuri de ecuaţii de stare pentru materia nucleară formată în

ciocniri nucleu-nucleu la energii intermediare şi înalte. Ele permit introducerea

compresibilităţii materiei nucleare în stare fundamentală.

Fie un potenţial rezultant de o formă similară cu formele considerate în relaţiile

(III.40) şi (III.41) şi fie H hamiltonianul de interacţie corespunzător. Legătura dintre cele

două mărimi este dată de o relaţie de forma:

HU .

În astfel de modele parametrii de intrare principali sunt: energia de legătură pe nucleon,

Eleg, energia Fermi, EF, şi coeficientul de compresibilitate a materiei nucleare, K.

Energia de legătură este determinată de forma hamiltonianului de interacţie, H, şi

de densitatea nucleară, . Între ele există relaţia:

HEleg .

Fie un potenţial rezultant de forma (III.40) şi o energie de legătură exprimată

printr-o relaţie de forma:

2

3

1

2

1

5

3 baEE Fleg , (III.42)

cu următoarele valori ale parametrilor iniţiali: Eleg = -16 MeV, EF = 23 MeV. Pentru

coeficeintul de comprtesibilitate – ales, de asemenea, ca parametru de intrare – se ia

valorea K = 380 MeV.

Se poate impune condiţia de saturare, definită prin relaţia următoare:

0

F

leg

k

E , (III.43)

unde kF este numărul de undă asociat energiei Fermi.

Condiţia de saturare este echivalentă cu condiţia de presiune nulă, definită prin relaţia de

mai jos:

02

legEp . (III.44)

Cele două relaţii anterioare permit obţinerea coeficientului de ocmpresibilitate, K:

leg

F

leg

F

E

k

EkK 9

2

2

2 . (III.45)

Având în vedere valoarea aleasă ca parametru de intrare pentru coeficientul de

compresibilitate, K=380 MeV, se obţine o ecuaţie de stare “tare” (“hard”) care conduce

la următoarele valorii ale coeficienţilor a şi b din expresia potenţialului rezultant U: a = -

124, b = 70.5.

În cazul în care s-ar fi ales un potenţial rezultant de tipul celui din relaţia (III.41), datorită

tipului de dependenţă de densitatea nucleară pentru coeficientul de compresibilitate a

materiei nucleare în starea fundamentală se alege valoare K = 200 MeV, iar ecuaţia de

stare asociată este o ecuaţie de stare “moale” (“soft”). Valorile coeficienţilor a şi b din

expresia potenţialului rezultant U sunt, în acest caz, următoarele: a = -356, b = 303.

Rezultatele obţinute – în ambele variante – sunt similare cu cele obţinute cu unele

variante de modele clasice şi, mai ales, cu cele obţinute cu modelele de cascadă

intranucleară [70], modele care vor fi discutate în capitolul următor al cursului.

XIII.3. Consideraţii generale privind teoria Vlasov-Uenling-

Uhlenbeck

Ecuaţia Vlasov-Uenling-Uhlenbeck se poate folosi cu succes în studierea

efectelor de neechilibru şi a efectelor cuantice. În plus, ecuaţia Vlasov-Uenling-

Uhlenbeck este o ecuaţie integro-diferenţială neliniară în spaţiul fazelor cu 6 dimensiuni.

Din aceste cauze există dificultăţi de rezolvare. Pentru limita clasică se face ipoteza că

pot fi folosite cuasiparticule, iar poziţiile lor medii sunt soluţii ale ecuaţiilor Newton:

r

U

dt

pd

dt

rd

m

pv

, . (III.46)

Prin introducerea câmpului mediu, blocării Pauli (pentru stările finale), cinematicii

relativiste şi unor mecanisme de producere de particule se obţine teoria Vlasov-Uenling-

Uhlenbeck pentru descrierea dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste.

O problemă importantă pe care trebuie să o rezolve teoria Vlasov-Uenling-Uhlenbeck

este cea a stabilităţii nucleelor în starea fundamentală. O altă problemă de interes pentru

obţinerea unei soluţii corecte este cea a determinării câmpului nuclear mediu optim. În

acest mod este posibilă stabilirea corectă a blocării Pauli pentru stările finale posibile.

Pentru o descriere corectă a procesului producerii de particule şi rezonanţe este

necesară sincronizarea ansamblurilor de nucleoni. De asemenea, se introduc secţiunile

eficace de împrăştiere experimentale pentru descrierea corectă a procesului de producere

de particule şi nuclee uşoare.

Teoria Vlasov-Uenling-Uhlenbeck încearcă eliminarea considerării de două ori a

câmpului mediu şi a termenului de ciocnire. Se ia în considerare faptul că potenţialul

Skyrme fenomenologic, prin partea sa reală, atractivă, descrie schimbul de pioni (termen

liniar), iar partea repulsivă este determinată de partea imaginară. În plus, la împrăştierea

de două corpuri se adaugă şi interacţiile reziduale. Trebuie menţionat aici faptul că în

ciocnirile binare şi în ansmablul de nucleoni total, mediat, sunt respectate legea

conservării energiei şi legea conservării impulsului. Datorită cuplajului dintre

ansamblurile de nucleoni cele două legi de conservare nu sunt respectate în fiecare

ansmablu de nucleoni considerat separat.

O problemă de interes în teoria Vlasov-Uenling-Uhlenbeck este cea a corectării secţiunii

eficace pentru a putea lua în considerare efectele mediului nuclear asupra proprietăţilor

unor particule, rezonanţe şi nuclee uşoare şi consecinţele pe care aceste efecte le au

asupra unor fenomene şi procese nucleare de interes produse în ciocniri nucleare la

energii intermediare şi înalte. Acest fapt este important pentru descrierea corectă a unor

posibile tranziţii de fază în materia nucleară aflată în condiţii diferite de densitate şi

temperatură.

Este posibilă blocarea stărilor finale permise într-o ciocnire nucleară datorită principiului

de excluziune al lui Pauli. Fracţia de blocare Pauli pentru fiecare nucleon, într-o ciocnire

nucleară dată, este definită de mărimea )1( if . De asemenea, probabilitatea de

împrăştiere este redusă de factorul Uenling-Uhlenbeck definit astfel: )1).(1( 21 ff .

Trebuie spus că importanţa blocării Pauli scade cu creşterea energiei pe nucleon. Astfel,

la energii pe nucleon sub energia de legătură pe nucleon fracţia de blocare Pauli poate

atinge, pentru o ciocnire dată, la un parametru de ciocnire fixat, valori între 0.9 şi 1.0.

Pentru aceeaşi ciocnire, dar pentru energii pe nucleon peste energia de repaus a

nucleonului valorile scad de la circa 0.3 pînă la aprope 0.0 (pentru energii pe nucleon

foarte mari). Teoria Vlasov-Uenling-Uhlenbeck (teoria VUU) rămâne o cale utilă de

investigare a dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste.

Capitolul al XIV-lea

Modele de cascadă intranucleară

XIV.1. Bazele fizice ale modelelor de cascadă intranucleară

Ca multe din modelel actuale folosite pentru descrierea dinamicii ciocnirilor

nucleare relativiste şi modelele de cascadă intranucleară îşi au originea în modelele

propuse pentru descrierea ciocnirilor nucleon-nucleon şi nucleon-nucleu. În anul 1947

R.Serber a propus un astfel de model pentru a descrie împrăştierea multiplă a unui proton

incident în interiorul unui nucleu [71]. Serber a propus o procedură de simulare pentru

descriere procesului. De aceea, cea mai generală definiţie a modelului de cascadă

intranucleară (CIN) este aceea de metodă de simulare a împrăştierii multiple în

interiorul nucleului, cu luarea în considerare a existenţei sistemelor multifermionice şi

includerea creerii sau absorbţiei de mezoni.

Pentru ciocniri nucleare relativiste este posibilă observarea individuală a

nucleonilor ţintei (imaginea participanţi-spectatori). De aceea, descrierea ciocnirii printr-

o succesiune de ciocniri binare nucleon-nucleon este posibilă. În plus, această succesiune

de cioniri binare poate fi ordonată în timp.

Aplicarea modelului de casscadă intranucleară la ciocniri nucleu-nucleu la energi

intermediare şi înalte este justificată de îndeplinirea condiţiilor următoare:

- energia totală pe nucleon a nucleului incident, E/A, este mult mai mare decât energia

de legătură pe nucleon, B: E/A >> B;

- lunginea de undă de Broglie, B, este mai mică decât distanţa internucleonică medie,

d: B < d;

- raza de interacţiune, rint, este mai mică decât distanţa internucleonică medie, d, care -

la rândul ei este mai mică decât drumul liber mediu, : rint, < d < ;

- drumul liber mediu este mai mic decât raza nucleului ţintă, RT: < RT.

În general, se poate scrie: B < rint, < d < < RT.

Aplicarea modelului de casdcadă intranucleară la ciocniri nucleare relativiste s-a

făcut pe două căi importante, legate de moduri diferite de considerare a nucleelor care se

ciocnesc, anume:

(a) nucleul ţintăeste considerat ca un mediu continuu, iar nucleul incident este

văzut ca o “colecţie de nucleoni” [72-76];

(b) atât nucleul ţintă, cât şi nucleul incident sunt consideraţi ca fiind nişte

“colecţii de nucleoni” [70,77,78].

În funcţie de interesle legate de evoluţia în timp a întregului sistem sau de

stabilirea “istoriei” dinamice a fiecărei particule care a suferit împrăştieri multiple (a

participat la cascada intranucleară) două mărimi fizice de interes sunt luate în

considerare, anume: (a) distanţa relativă minimă dintre două particule care se ciocnesc,

respectiv, (b) drumul liber mediu.

Fiecare dintre ele prezintă căi de abordare specifice. În cazul simulărilor bazate

pe considerarea distanţei minime de apropiere dintre particulele care se ciocnesc [72-

74,77,78] următoarele aspecte sunt luate în considerare:

(i) nucleonii din nucleele care participă la ciocnire pot avea poziţii şi impulsuri

aleatoare, conform cu distribuţia de densitate şi distribuţia Fermi; nucleul ţintă este

susţinut/menţinut de o transformare Lorentz;

(ii) nucleonii se mişcă pe traiectorii în linie dreaptă până la atingerea distanţei minime

de apropiere, dmin.

(iii) distanţa minimă, dmin, este determinată de secţiunea eficace totală la energia

disponibilă în sistemul centrului de masă pentru perechea de nucleoni care participă la

ciocnire, s ; pentru d<( s ) cei doi nucleoni trebuie să se împrăştie;

(iv) starea finală - dacă sunt posibile mai multe - se alege aleator în proporţia dată de

secţiunile eficace parţiale; impulsurile finale ale particulelor sunt stabilite în

concordanţă cu legile de conservare ale impulsului şi energiei şi secţiunile eficace

diferenţiale experimentale; calculele se fac în sistemul centrului de masă;

(v) pentru d>( s ) particulele nu interacţionează şi îşi continuă mişcarea în linie

dreaptă;

(vi) procesul de interacţie încetează când nu se mai produc ciocniri binare (rata de

ciocnire este suficient de mică); procesul de interacţie poate fi stopat şi prin punerea

unor alte criterii fizice.

Procedura este repetată prin schimbarea realizării stării iniiţiale. Se generează

evenimente, iar mărimile fizice sunt calculate ca medii ale unor ansambluri care implică

statistici mari.

Diferite aspecte de interes care pot să apară în ciocniri nucleare relativiste pot fi

introduse în codurile de simulare. Iată câteva dintre ele:

(a) Producerea de rezonanţe este luată în considerare prin introducerea de procese

inelastice care implică isobari. Unul din procesele studiate, încă de la începuturi, este cel

de forma:

N + N N + , (III.47)

N . (III.48)

Se estimează secţiunea eficace pentru procesul direct + N N + N luând în

considerare secţiunea eficace inelastică experimentală. Principiul balanţei

detaliate[61,62] permite calcularea secţiunii eficace pentru procesul invers [32,33,78].

Secţiunea eficace pentru interacţia + N este luată ca fiind secţiunea eficace totală

N, secţiune care este dată - în principal - de procese elastice. Dezintegrarea rezonanţei

barionice este legată de timpul de viaţă al rezonanţei. Masa rezonanţei este cea

determinată aleator dintr-o distribuţie Lorentz, cu luarea în considerare a unor parametrii

determinaţi din experiment.

Pot fi introduse şi alte procese de producere de particule, cum ar fi:

NN, , NN, NNNN, NN . (III.49)

(b) Introducerea principiului lui Pauli este posibilă prin controlarea ocupării spaţiului

fazelor în jurul punctului de localizare a ciocnirii.

(c) Luarea în considerare a numărului cuantic de isospin nu necesită consideraţii

suplimentare.

(d) Problema energiei de legătură, precum şi cea a tipurilor de legături, este importantă

pentru toate modelele de cascadă intranucleară, cu deosebire pentru modelel care

consideră nucleele ca pe nişte colecţii de nucleoni.

În absenţa efectului câmpului mediu asupra nucleonilor din nucleu, coeziunea

nucleului este asigurată prin îngheţarea mişcării Fermi [62,64,67]. Această mişcare este

permisă, ulterior, pentru orice nucleon care a suferit o primă ciocnire. De aceea, o

anumită cantitate de energie este îndepărtată înainte ca energia finală a unei particule

generate în ciocnire să fie comparată cu cea obţinută în experiment. Pentru cazurile mai

simple o cantitate fixă de energie este neglijată la sfârşit. Trebuie menţionat aici faptul că,

pentru modelele în care ambele nuclee sunt considerate “colecţii de nucleoni” absenţa

legăturilor poate să conducă la efecte nedorite legate de instabilitatea nucleară, iar

eventualele corecţii limitează direcţiile de mişcare ale nucleonilor în nucleu.

(e) Cinematica relativistă este folosită de toate codurile. În multe coduri de simulare

invarianţa relativistă nu este garantată, deşi o distanţă minimă de apropiere este introdusă

în multe dintre ele.

În cazul codurilor de simulare bazate pe determinarea drumului liber mediu, ,

se face ipoteza că pentru un nucleon din nucleul incident sau o particulă incidentă această

mărime se determină aleator, conform unei legi exponenţiale de forma:

eP )( , (III.50)

unde este densitatea barionică a mediului nuclear, iar este secţiunea eficace.

La terminarea drumului liber mediu particula incidentă sau nucleonul din nucleul

incident suferă o ciocnire cu unul din nucleonii nucleului ţintă. Nucleonul ciocnit din

nucleul ţintă se va deplasa pe o anumită direcţie, implicând un anumit drum liber mediu.

În locul acestui nucleon apare un gol. O structură de tip arborescent apare pentru

cascada considerată. Se poate remarca faptul că o particulă care participă la cascada

intranucleară “vede” un mediu continuu dacă nu este împrăştiată la unghiuri înapoi.

Pentru ciocnirile nucleare relativiste s-a considerat, iniţial, că particulele incidente care

participă la cascadă acţionează independente. Mai târziu, interacţii le între cascade au fost

luate în considerare. Aceste interacţii între cascade, indiferent de modul de introducere în

codul de simulare, se bazează pe determinarea drumului liber mediu.

XIV.2. Bazele matematice ale modelelor de cascadă intranucleară

Se consideră că modelele de cascadă intranucleară reprezintă un “truc” numeric

pentru rezolvarea ecuaţiei Boltzmann, în ipoteza unor fluide diluate (de obicei, gaze).

Prin aceasta, modelele de cascadă intranucleară sunt legate de teoriile de transport.

Pentru rezolvare se are în vedere construirea unor funcţii de distribuţie. Aceste

funcţii merg de la funcţii de distribuţie uniparticulă, la funcţii de distribuţie de A

particule. Aceste funcţii respectă condiţii de normare legate de numărul de nucleoni

implicaţi în ciocnirea considerată. De aceea, modelele de cascadă intranucleară necesită

abordarea unor probleme specifice teoriei mai multor corpuri. Trebuie subliniat aici că

stabilirea numărului de “corpuri” implicate (a numărului corect de grade de libertate,

altfel spus) este o altă problemă de interes în modelele de cascadă intranucleară. Energia

de ciocnire poate fi un suport în stabilirea numărului de grade de libertate [luarea în

considerare a structurii nucleare (nucleoni, mezoni) sau a structurii subnucleare (cuarci şi

gluoni)]. Alte probleme de interes - în strânsă legătură cu energia de ciocnire - sunt cele

referitoare la modul de tratare (clasic, cuantic, teorie de câmp - de exemplu) şi la tipul de

echilibru termodinamic considerat (global, local sau stare de neechilibru).

Tratarea unui sistem de A nucleoni care interacţionează se poate face folosind

potenţiale de interacţie în cadrul teoriei Schrödinger. Fie un hamiltonian de A corpuri de

forma:

A

j kj

jkj VTH1

. (III.51)

Tj sunt energiile cinetice ale particulelor din sistem, iar Vjk sunt potenţialele de interacţie

biparticulă.

Introducând matricile de densitate pentru sisteme de n corpuri, n, se poate scrie

un sistem de ecuaţii echivalente cu ecuaţia Schrödinger, anume:

)2,1(,, 212)2(111

VTrT

ti

, (III.52)

)3,2,1(,)2,1(, 32313)3(212212

VVTrVTT

ti

, (III.53)

………………………………,

n

i

ninn

ji

nij

n

i

nin nVTrnVnT

ti

1

11)1(

1

)1,...,1(,,...,1,,...,1,

. (III.54)

Trebuie menţionat faptul că simbolul Tr(k) indică faptul că urma este considerată pe

gradele de llibertate ale celei de a k-a particule. Pentru fiecare matrice de densitate k au

fost indicate explicit gradele de libertate.

În funcţie de posibilităţile de calcul avute la dispoziţie, de numărul de nucleoni

implicaţi în ciocnire, de energia de ciocnire şi de precizia dorită ierarhia dată de ecuaţiile

(III.52)-(III.54) este trunchiată corespunzător. Ce a mai folosită dintre truncheri este

următoarea:

12212 )2()1()2,1( , (III.55)

unde A12 este operatorul de antisimetrizare. Ecuaţia (III.52) se poate scrie, în această

alegere, astfel:

)1(),2( 111212)2(1

1

VTrTt

i

. (III.56)

O altă alegere pentru trunchiere este aceea în care se neglijează 3 şi se presupune

că matricea de densitate pentru sisteme de două corpuri, 2, este – la un anumit timp to -

produsul matricilor de densitate pentru sisteme de un singur corp, 1. La un moment de

timp ulterior, t, matricea de densitate pentru sisteme de două copruri, 2, va include

corelaţii care sunt datorate numai interacţiei. Soluţia pentru matrice de densitate pentru

sisteme de două corpuri, la timpul t, se poate scrie în forma următoare:

oo ttVTTi

o

ttVTTi

etet

12211221

),2,1(),2,1( 22 . (III.57)

Luând în considerare relaţia (III.55), aproximaţia că 2(1,2,to) este necorelată şi

considerând 2 numai în ordinul întâi al dezvoltării în raport cu V12 se obţine:

iTTEV

ViTTE

t

2112

121211

121112

2112

12112

1)2()1(

)2()1(1

)2()1(),2,1(

. (III.58)

În relaţia de mai sus s-a folosit limita 0t pentru a se putea introduce teoria

împrăştierii, precum şi condiţii la margine pentru unda de ieşire (“outgoing”), prin

energia . E12 poate fi privită va energia stării necorelate asupra căreia acţionează

operatorul 21 TT .

Aproximaţia dată de relaţia (III.58) se aplică numai în limita cuplajului slab.

Această limită implică potenţiale foarte mici şi timpi de ciocnire mult mai mici decât

timpul asociat drumului liber mediu dintre ciocniri. Pe baza acestor consideraţii ecuaţia

(III.52) se poate scrie astfel:

12111212

2112

)2(

2112

12111212)2(

121211111212)2(111

)2()1(1

1)2()1(

)2()1()1()2(),1(

VViTTE

Tr

iTTEVVTr

VVTrUTt

i

(III.59)

În relaţia de mai sus câmpul mediu este dat de expresia următoare:

)2()1( 11212)2( VTrU . (III.60)

Deoarece funcţiile Green care apar în ecuaţiile de mai sus se pot exprima prin relaţii de

forma:

2112

21122112

11TTEi

TTEP

iTTE

, (III.61)

ecuaţia (III.58) se poate scrie - ţinând seama numai de partea imaginară şi de

reperzentarea Wigner a matricilor de densitate – în forma următoare:

)()()()(

.~

1~

1~~~

1~

1~~

2.

2.

2

),,(...1

432432

4322432433

4

3

3

3

3

3

2

3

1

pepepepepppp

ffffffffppppWpdpdpd

tprfUUpmt

pp

(III.62)

În ecuaţia (III.62) s-a folosit notaţiile:

2

21243243~~ ppVppppppW , (III.63)

tprff ii ,,~

1 . (III.64)

m

ppe

2)(

2

. (III.65)

S-a folosit, de asemenea, câmpul mediu Hartree-Fock în reprezentarea Wigner, anume:

tprfesVsd

pdtprfrrVpdrdtprUsppi

,',)2(

',','''',, 1

.'

3

33

112

33

.

(III.66)

În relaţiile anterioare au fost neglijate derivatele de ordin superior în câmpul

nuclear mediu. În plus, relaţia (III.62) reprezintă o ecuaţie de transport pentru sisteme

nucleare. O astfel de ecuaţie este considerată o ecuaţie “bună”, chiar dacă se consideră de

către unii autori că în cazul materiei nucleare situaţia se află peste limita de diluţie

considerată în obţinerea acestei ecuaţii. Se are în vedere faptul că în interacţii tari

particulele care se ciocnesc în mod repetat una cu cealaltă, în timp ce energia lor se poate

modifica datorită fondului creat de particulele care nu sunt implicate într-o anumită

interacţie, în acord cu teoria Brueckner a materiei nucleare. Pentru a lua în considerare

efectele mediului asupra împrăştierii particulelor şi pentru păstra mărimile în limita

localizării temporale se foloseşte matricea Brueckner, G [79]:

GjeieE

QVVG

ij

)()(12

1212

. (III.67)

Ea înlocuieşte interacţia simplă V12 şi include energiile uniparticulă care se schimbă de

la punct la punct:

prUm

ppe ,

2)(

2

, (III.68)

unde Qij este operatorul Pauli care acţionează asupra stărilor intermediare i,j.

Pentru rezolvarea acestei probleme au mai fost propusă flosirea aproximaţiilor de

denistate locală [79,80]. În acest caz se poate scrie:

)(),(),,(),(

rTTrBHF TpUprU

, (III.69)

2

21243243~~),()( ppTGppppppW , (III.70)

TpUm

ppe B ,,

2)(

2

. (III.71)

Câmpul nuclear uniparticulă UB se calculeayă pentru o materie nucleară uniformă la

densitate şi temperatură T, în acord cu teoria Brueckner a materiei nucleare [64,67,68].

Ecuaţiile de transport pentru sisteme nucleare, date de relaţiile (III.62), (III.67)-

(III.71), au fost obţinute, exceptând procesele de producere de particule, în următoarele

ipoteze: (a) interacţii descrise de potenţiale; (b) împrăştieri de două corpuri; (c) absenţa

corelaţiilor de ordin superior; (d) perechile de nucleoni care se ciocnesc nu sunt corelate.

În cazul tratării cuantice nu se iau în considerare efectele de retardare. Nu toate ipotezele

pot fi păstrate cu creşterea energiei. De exemplu, ipoteza (c) nu este valabilă la densităţi

mari şi energii incidente mari. Pentru rezolvarea unor situaţii de acest tip s-au propus de-a

lungul timpului diferite soluţii. În anumite situaţii se pot introdece timpi relativi care

determină termenul de ciocnire să devină nelocal [81]. De asemenea, se poate introduce o

funcţie de distribuţie cu caracter mai general. Astfel, în afara dependenţelor obişnuite –

de poziţie, de impuls şi de timp - se poate introduce dependenţa de frecvenţă, . Se

foloseşte şi conceptul de cuasiparticulă, deoarece pentru aceasta energia nu este complet

determinată la orice timp t, dar este centrată în jurul valorii ),(2

)(2

prUm

ppe . Bazele

fizice ale conceptului de cuasiparticulă sunt legate de faptul că între ciocniri particulele

nu au viteze atât de mari pentru a considera comportări asimptotice ale acestora.

De aceea, se poate afirma că în modelele de cascadă intranucleară se pot folosi

ecuaţii de transport pentru sisteme nucleare. La tratarea problememlor specifice fiecărei

ciocniri nucleare trebuie luate în considerare, în primul rând, aspectele legate de

efectele câmpului nuclear mediu şi de efectele de compresie asociate acestuia. Cu alte

cuvinte, trebuie considerată cu atenţie dinamica ciocnirilor nucleare la energii

intermediare şi înalte. În general, tratarea câmpului nuclear mediu implică folosirea de

traiectorii diverse între două ciocniri succesive, de la traiectorii liniare la traiectorii

curbilinii. Acest lucru este posibil în tratări de tipul teoriei Vlasov-Uenling-Uhlenbeck

sau teoriei Vlasov-Landau [82-84].

Există, de asemenea, dificultăţi specifice fiecărei metode de simulare folosite

pentru rezolvarea ecuaţiei de transport. Evaluarea termenului de ciocnire prin metode

Monte Carlo implică, în general, un număr mare de ciocniri. De aceea, în unele variante

de model de cascadă intranucleară în care folosesc cuasiparticule se înlocuieşte un

nucleon prin N particule – cu pondere 1/N – care interacţionează cu o secţiune eficace

/N, în loc de .

O altă problemă importantă a modelelor de cascadă intranucleară este stabilirea

funcţilor de distribuţie de mai multe corpuri. Pentru aceasta este necesară folosirea unor

ecuaţii de transport mai complicate şi a unor simulări adecvate. Ele pot avea legături

directe cu unele mărimi fizice de interes. De exemplu, funcţia de distribuţie de două

corpuri, cu impuls relativ mic, poate oferi informaţii asupra unor posibile efecte de

formare de sisteme nucleare de mai mulţi nucleoni (“clusterizare”) sau a unor corelaţii

dinamice.

XIV.3. Includerea dinamicii ciocnirii în modelele de cascadă

intranucleară

Modelele de cascadă intranucleară folosesc imaginea participanţi-spectatori şi

consideră două etape majore în desfăşurarea ciocnirilor nucleu-nucleu la energii

intermediare şi înalte, anume: o etapă iniţială în care se produce compresia sistemului

format prin ciocnire, urmată de o a doua care implică expansiunea sistemului format prin

ciocnire. Se consideră că expansiunea sistemului începe după atingerea compresiei

maxime. În funcţie de ipotezele făcute pentru descrierea expansiunii sistemului există

posibilitatea echilibrării sistemului pentru timpi foarte scurţi (1-2 Fm/c). O ipoteză des

folosită în modelele de cascadă intranucleară este aceea că expansiunea se face la

entropie constantă şi se atinge echilibrul termodinamic la atingerea compresiei maxime.

Trebuie spus că evoluţia iniţială a sistemului este spre echilibru termic, dar –

datorită faptului că nu este un sistem închis, bine delimitat – el începe să expandeze

datorită presiunii mari create în sistem în etapa de compresie. În timpul expansiunii se

emit particule; este posibilă descompunerea sistemului în mai multe subsisteme.

Se poate afirma că natura nucleelor care se ciocnesc, energia de ciocnire şi

parametrul de ciocnire pot determina rata de echilibrare, rata de expansiune şi

extinderea în spaţiul fazelor.

Evoluţia în spaţiul fazelor poate fi descrisă de momentele unei funcţii de

distribuţie uniparticulă (de un singur corp). Compresia sistemului este însoţită de

tendinţa spre termalizare.

Expansiunea sistemului se poate caracteriza prin comportarea corelaţiilor date de

produsul scalar dintre vectorul de poziţie şi vectorul impuls: pr. . În general, în timpul

expansiunii se constată o creştere a acestor corelaţii; ele reflectă o schimbare continuă de

la expansiune adiabatică la o expansiune liberă. Termalizarea este destul de rapidă, în

principal pentru participanţi. Datorită efectelor de dimensiune finită a sistemului nuclear

format prin ciocnire termalizarea nu este completă. Termalizarea incompletă poate fi

datorată – la energii mari – unei stopări incomplete. De asemenea, în condiţiile în care

stoparea este completă, pot exista nucleoni de la suprafaţa regiunii participante care pot

părăsi regiunea, ceea ce miscşorează gradele de libertate şi nu permite termalizarea

completă. Mărimea acestui efect depinde de raportul dintre drumul liber mediu, , şi

dimensiunea sistemului, Rrf. Trebuie menţionat că în domeniul de energii în care

modelele de cascadă intranucleară dau descrieiri corecte ale dinamicii ciocnirilor nucleare

relativiste, anume de la 10 A MeV la 10 A GeV, gradul de stopare a nucleelor care se

ciocnesc este practic maxim [11; vezi şi partea a II-a din curs pentru calculul complet]. În

plus, în acest domeniu de energii se produc numeroase procese de împrăştiere inelastică

nucleon-nucleon, în interiorul regiunii de suprapunere a nucleelor care se ciocnesc, care

determină producerea abundentă de rezonanţe [70,78,85].

A fost menţionat anterior faptul că una din ipotezele des folosite în modelele de

cascadă intranucleară este aceea că expansiunea se face la entropie constantă şi se atinge

echilibrul termodinamic la atingerea compresiei maxime. Această ipoteză este legată de

extinderea sistemului în spaţiul fazelor. Această extindere poate fi măsurată de entropia

pe barion. Acceastă mărime este strâns legată de procesele de termalizare şi de ecuaţia de

stare a materiei nucleare formate prin ciocniri nucleare la energii intermediare şi înalte.

Există unele dificultăţi legate de determinarea experimentală a entropiei pe barion. În cele

mai multe cazuri [3,4,13-16] se foloseşte raportul dintre multiplicitatea deuteronilor şi

multiplicitatea protonilor – raport propus de Siemens şi Kapusta în lucrarea [86].

Entropia pe barion, Sb, este, în acest caz, dată de relaţia de mai jos:

p

d

bm

mS ln95.3 , (III.72)

unde md este multiplicitatea deuteronilor, iar mp este multiplicitatea protonilor.

Se poate afirma că entropia este afectată de gradul de stoparea a nucleelor care se

ciocnesc şi de efectele de transparenţă asociate. Transparenţa determină un număr mediu

mic de ciocniri pe care un nucleon le poate suferi în regiunea participantă, precum şi

unele procese cuasilibere. Transparenţa este determinată de timpul de relaxare. Trebuie

menţionat faptul că datorită timpilor de echilibrare foarte scurţi (1-2 Fm/c) timpul de

relaxare nu afectează evoluţia cascadei intranucleare, atunci când gradul de stopare este

suficient de mare. La aceasta se adaugă şi faptul că evoluţia cascadei intranucleare nu

depinde prea mult de detaliile ciocnirii şi de ceea ce se întâmplă la scală mică; interesează

mai mult ceea ce se întâmplă cu unele variabile macroscopice. De aceea, se consideră că

modelele de cascadă intranucleară se ocupă de dinamica globală a ciocnirii. Acest lucru

implică absenţa suprafeţei şi a efectelor de drum liber mediu. Trebuie reamintit aici faptul

că absenţa legăturilor, cu deosebire în modelele de cascadă intranucleară care consideră

cele două nuclee care se ciocnesc ca pe nişte colecţii de nucleoni, poate să determine

efecte nedorite legate de instabilitatea nucleară, iar eventualele corecţii introduse pot să

limiteze direcţiile de mişcare ale nucleonilor în nucleu.

Pentru analiza dinamicii în ansamblu a ciocnirilor nucleu-nucleu la energii

intermediare şi înalte modelele de cascadă intranucleară folosesc momentele de diferite

ordine ale ecuaţiei generale date de relaţia (III.62) şi relaţiile ajutătoare (III.63)-(III.66).

Calculul momentelor permite determinarea unor variabile macroscopice colective şi

stabilirea unor ecuaţii pentru conservarea unor astfel de mărimi, cum ar fi numărul de

particule, impulsul şi energia. Într-o astfel de analiză sunt suficiente momentele de ordin

inferior.

Fig.III.2. Evoluţia în timp a densităţii Fig.III.3. Evoluţia în timp a densităţii

prevăzută de modelele de cascadă prevăzută de modelele hidrodinamice

intranucleară [87] [88]

Ecuaţiile momentelor formează o ierarhie, ceea ce presupune că derivata celui de

al k-lea moment implică derivata celui de al (k+1)-lea moment. Întreaga ierarhie a

ecuaţiilor momentelor este echivalentă cu ecuaţia (III.62) şi ecuaţiile asociate. Dacă se

introduce un potenţial cu miez tare se poate face tratarea în limita hidrodinamică. Cazul

cel mai simplu este cel al hidrodinamicii fluidului ideal. Deoarece în unul din capitolele

următoare ale lucrării se va face prezentara modelelor hidrodinamice pentru descrierea

dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste în acest capitol nu se va face o prezentare

detaliată a ierarhiei ecuaţiilor. Ceea ce se poate afirma aici este faptul că modelele de

cascadă intranucleară şi modelel hidrodinamice dau rezultate similare pentru

caracteristicile generale ale dinamicii ciocnirii. De exemplu, ele descriu în mod

asemănător evoluţia în timp a ciocnirii (Fig.III.2. şi Fig.III.3.)

Există unele diferenţe legate de timpul de atingere a densităţii maxime, valoarea

acesteia şi rata de expansiune. Ele ţin de ipotezele specifice celor două clase de modele.

Trebuie arătat că există situaţii în care se constată abateri de la descrierea de

ansamblu a dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste. Unele din ele sunt legate de

dependenţa entropiei pe barion de parametrul de ciocnire. Datorită posibilităţii unor

schimbări semnificative ale entropiei pe barion la modificarea parametrului de ciocnire,

ceea ce ar implica dependenţe de raportul dintre drumul liber mediu şi dimensiunile

sistemului, R

, ar putea apare corelaţii de doi protoni tipice unor procese de “knock-out”.

Trebuie spus că astfel de procese nu sunt importante pentru sisteme mari care implică un

număr mare de nucleoni participanţi.

XIV.4. Compararea predicţiilor modelelor de cascadă intranucleară

cu rezultatele experimentale

Principalele predicţii ale modelelor de cascadă intranucleară sunt legate de rata de

echilibrare, rata de expansiune şi extinderea în spaţiul fazelor. Se pot obţine, de

asemenea, informaţii asupra producerii diferitelor tipuri de particule şi secţiunilor

eficace. Conexiuni importante cu ecuaţia de stare a materiei nucleare, multiplicităţile

pionice şiobservaile legate de fenomene de curgere şi stopare a materiei nucleare pot fi

stabilite în diferitele variante ale modelelor de cascadă intranucleară [70].

Există un număr mare de predicţii ale diferitelor variante de model de cascadă

intranucleară pentru o varietate mare de nuclee incidente şi nuclee ţintă, într-un domeniu

energetic larg (0.4 A GeV-4.5 A GeV ), dar există un număr ceva mai mic de comparaţii

directe cu rezultatele experimentale. Printre ciocnirile nucleare relativiste ale căror

rezultate experimentale au fost comparate cu predicţiile corespunzătoare ale modelelor de

cascadă intranucleară se numără: Ne-NaF la energiile de 0.4 A GeV, 0.8 A GeV, 2.1 A

GeV, Ar-Ar la energia de 0.8 A GeV, Ne-U la energia de 0.4 A GeV, Ar-Ca la energia de

1.2 A GeV [1,2,4,14,30,31,70], ciocniri la energiile specifice IUCN Dubna

[2,4,21,22,70,72,74] ş.a.

Pentru spectrele protonilor modelele de cascadă intranucleară prevăd scăderi

exponenţiale la unghiuri în jur de 900, în sistemul centrului de masă. Această comportare

este determinată de ipoteza aleatorizării complete a mişcării nucleonilor în regiunea de

suprapunere a nucleelor care se ciocnesc prin numărul mare de ciocniri care se produc în

cascadele intranucleare care apar. Rezultatele experimentale prezintă un “umăr” în

spectrele de impuls ale protonilor. De asemenea, distribuţiile unghiulare experimentale

ale protonilor, în sistemul centrului de masă - care ar trebui să fie izotrope, conform

ipotezelor specifice modelelor de cascadă intranucleară – prezintă anizotropie. Gradul de

anizotropie este determinat şi de simetria dintre nucleele care se ciocnesc, de parametrul

de ciocnire şi de energia de ciocnire.

Pentru o descriere corectă a comportării protonilor, stabilită experimental, în

unele modele de cascadă intranucleară s-a introdus ipoteza aleatorizării incomplete a

mişcării nucleonilor din regiunea participantă. Au mai fost discutate aspecte legate de

curgerea colectivă, de tip hidrodinamic, a materiei nucleare [89,90], influenţa energiei de

legătură, mişcarea Fermi a nucleonilor în cele două nuclee care se ciocnesc, blocarea

Pauli, efectele repulsiei coulmbiene a protonilor ş.a. [91-94].

Aşa cum se menţiona anterior, modelele de cascadă intranucleară tratează

producerea de pioni prin ciconiri inelastice nucleon-nucleon. Majoritatea modelelor de

cascadă intranucleară introduc producerea de pioni prin intermediul rezonanţelor

barionice, în principal rezonanţa . Indiferent de modul de introducere a rezonanţelor

barionice şi de modul în care este considerată evoluţia producerii de pioni toate modelele

de cascadă intranucleară supraestimează producerea acestora [2,14-16,70]. În Fig.III.4

sunt prezentate secţiunile eficace inclusive invariante ale pionilor în funcţie de energia

cinetică a pionilor, în sistemul laboratorului. Rezulatatele experimentale au fost obţinute

la Bevatron-ul de la Lawrence Berkeley Laboratory în ciocniri Ar-Ar la 0.8 A GeV [95].

Se constată că forma spectrului experimental este relativ corect descrisă de modelul de

cascadă intranucleară propus de Cugnon, dar că sunt mult supraestimate – mai ales în

partea de impulsuri mari ale pionilor.

Fig.III.4 Secţiunile eficace inclusive invariante ale pionilor în funcţie de energia cinetică

a pionilor, în sistemul laboratorului. Ciocnirea considerată este Ar-Ar la 0.8 A GeV.

Calculele făcute cu codul propus de J.Cugnon [77] sunt reprezentate cu linie continuă,

iar rezultatele experimentale din lucrarea [95] prin puncte.

Compararea spectrelor experimentale ale pionilor negativi produşi în ciocniri

centrale Ar-KCl la 1.8 A GeV [95] cu predicţiile codului de cascadă intranucleară a lui

Cugnon [77] conduce la o anizotropie prea mare la energii medii şi înalte ale pionilor

negativi produşi. Se reproduce forma spectrului de impuls, dar apar diferenţe

semnificative pentru pionii negativi de impulsuri mari. Cele mai bune acorduri dintre

calculele de model şi rezultatele experimentale sunt obţinute cu modelele de cascadă

intranucleare – şi codurile asociate lor – popuse de Gudima şi Toneev [72,73,93] pentru

ciocniri nucleare la energii de 2.1 A GeV şi 4.5 A GeV. Kitazoe şi colaboratorii [94] au

îmbunătăţit acordul dintre rezultatele experimentale şi predicţiile modelului lor luând în

considerare diferite căi de formare a rezonanţelor barionice şi propunând şi alte căi de

producere a pionilor. Au fost impuse limitări pentru definirea legăturilor lor în diferite

sisteme.

Analiza dependenţei multiplicităţii medii a pionilor negativi de energia pe

nucleon, în sistemul centrului de masă, a fascicului incident pentru ciocniri Ar-KCl –

obţinute la Bevatron-ul de la Lawrence Berkeley Laboratory [96] - indică, de asemenea,

o reproducere calitativă o formei dependenţei şi o supraestimare cantitativă, de până de 2

ori, a valorilor experimentale (Fig.III.5). În varianta de model de cascadă intranucleară

folosită în acest caz [70,97] se consideră producerea de rezonanţe barionice şi moduri

specifice de formare şi dezintegrare a acestora, cum ar fi: N , respectiv, N .

Fig.III.5. Compararea dependenţei multiplicităţii medii a pionilor negativi

de energia cinetică a fascicului incident, în ciocniri Ar-KCl, cu predicţiile unor modele

Modelele de cascadă intranucleară nu descriu cantitativ exact multiplicitatea

medie a pionilor. Pentru îmbunătăţirea acordului au fost incluse aspecte noi. Printre cele

mai importante se numără introducerea energiei de legătură. Această ipoteză implică

scăderea energiei disponibile în satrea iniţială şi, în consecinţă, descreşterea multiplicităţii

particulelor generate şi, în principal, a pionilor. O ipoteză de interes care ar trebui să fie

luată în considerare de către modelele de acest tip este aceea că o parte din energia

disponibilă este stocată, la sfârşitul etapei de compresie, în energie de comprimare. De

această ipoteză ar putea fi legată descrierea producerii unor particule cu stranieitate în

modele de cascadă intranucleară, cum ar fi kaoni şi hiperonii. Producerea lor s-ar putea

realiza în etapa de compresie şi ei ar suferi numai cioaniri elastice. Ipoteza nu este

confirmată cantitativ de compararea cu rezultatele experimentale (de exemplu,

producerea de kaoni pozitivi în ciocniri Ne-NaF la 2.1 A GeV). Unele ipoteze

suplimentae, precum existenţa reîmprăştierii şi considerarea unor canale de producere

noi, cum ar fi cele de tipul + NK+ + X , ar putea îmbunătăţii acordul dintre predicţiile

de model şi rezultatele experimentale.

Multe modele de cascadă intranucleară înceracă să ia în considerare ipoteze noi pentru a

descrie cât mai corect producerea de particule în ciocniri nucleare relativiste, cu

deosebire cea de pioni. Aceste ipooteze includ efectele câmpului mediu nuclear asupra

stării iniţiale, dar şi efectele mediului nuclear asupra proprietăţilor fundamentale ale

unor particule elementare şi rezonanţe. În ciuda acestor eforturi există supraestimări ale

producerii de pioni de către modelele de cascadă intranucleară. Ele descriu însă, cu

deosebire cele realizate la IUCN Dubna [4,70,93], dependenţa de numărul mediu de

protoni participanţi. Această dependenţă de tip liniar justifică consatnţa raportului dintre

cele două mărimi, găsită experimental [3,4,6,730,31,98] şi discutată în partea a doua a

cursului. Ea indică mecanisme de generare similare. De asemenea, multe din codurile

asociate modelelor de cascadă intranucleară dau o descriere corectă a lărgimii distribuţiei

de multiplicitate a pionilor [70,93].

Pentru descrierea corectă a dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste în multe variante de

model de cascadă intranucleară se consideră corelaţiile dintre particule. Printre

particulele a căror corelare interesează se numără protonii. Rezultatele obţinute au indicat

legături cu fenomene de tip hidrodinamic, cum ar fi efectul de “salt” (“bounce-off”),

efectul de “împroşcare laterală” (“side-splash”). Mărimea corelaţiilor în aceste

fenomene sunt legate de măsura în care s-a atins echilibrul în regiunea de suprapunere

a nucleelor care se ciocnesc şi de comportarea colectivă a materiei nucleare.

Experimentele au evidenţiat în unele din aceste ciocniri existenţa unor mecanisme de

interacţie directă (cu deosebire, cele de “knock-out” [4,70]).

Nu toate modelele de cascadă intranucleară includ astfel de fenomene. Cele care iau în

considerare astfel de aspecte încearcă să facă o selectare după parametrul de ciocnire

folosind tăieri în multiplicitatea particulelor cu sarcină. Ca metodă de investigare a unor

astfel de comportări, având în vedere legăturile cu ecuaţiile hidrodinamice, legături

menţionate anterior, se foloseşte analiza globală [15,99-101]. Rezultatul includerii în

codurile de cascadă intranuclerară este acela al prevederii unei curgeri finite, dar valorile

mărimilor fizice de interes sunt sub sub valorile experimentale [87]. O prezentare a

aspectelor legate de analiza globală se va face în cadrul capitolului consacrat modelelor

hidrodinamice.

În lucrarea [102] a fost propusă o altă metodă de determinare a curgerii materiei

nucleare. Ea implică studiere dependenţei impulsului transversal mediu, proiectat pe

planul reacţiei reconstruit, al unei particule de rapiditatea acestei. Analiza se poate face

pentru diferite tăieri în multiplicitatea particulelor cu sarcină. Dacă nu există curgere

impulsul transversal mediu este nul pentru toate rapidităţile. Şi în cadrul acestei metode

se obţin informaţii asupra curgerii materiei nucleare formate, dar valorile mărimilor fizice

de interes prevăzute de codurile de cascadă intranucleară sunt mai mici decât valorile

exeperimentale.

XIV.5. Câteva remarci finale asupra modelelor de cascadă

intranucleară

Compararea predicţiilor codurile de calcul asociate diferitelor versiuni de model

de cascadă intranucleară cu rezultatele experimentale arată că există dependenţe de modul

în care sunt incluse în ipotezele modelului unele efecte fizice, de valorile de intrare ale

mărimilor fizice asociate efectelor. Printre efectele fizice prin a căror introducere se

îmbunătăţeşte acordul dintre predicţiile de model şi rezultatele experimentale se numără:

- legarea nucleonilor în cele două nuclee iniţiale, precum şi în regiunile spectatoare;

- descrierea corectă a unor caracteristici ale nucleeelor iniţiale (densitatea nucleară,

mişcarea Fermi, respectarea principiului lui Pauli ş.a.);

- luarea în considerare a producerii de particule compuse;

- evaporarea particulelor din regiunile spectatoare;

- problema “îngheţului” (păstrarea caracteristicilor de bază) în regiunile spectatoare;

- considerarea blocării Pauli în timpul ciocnirii;

- introducerea dependenţei de izospin a secţiunii eficace elementare;

- descrierea producerii de particule prin procese inelastice;

- deplasarea masei de repaus a rezonanţei în mediul nuclear.

Un aspect important în discutarea modelelor de cascadă intranucleară este cel al

distingerii între modelele care folosesc strict ipoteze specifice de cascadă intranucleară şi

cele care include ipoteze suplimentare legate de câmp mediu dependent de timp sau teorii

Vlasov-Uenling-Uhlenbeck (sau Boltzmann-Uenling-Uhlenbeck). În toate aceste variante

de modele trebuie să fie rezolvate aspecte legate de tratarea mecanismelor de producere

de particule, importanţa efectelor mediului nuclear şi includerea efectelor cuantice.

Modelele de cascadă intranucleară permit stabilirea unor legături cu ecuaţia de stare

nucleară. Extragerea ecaţiei de stare ar putea fi poosibilă din compararea predicţiilor de

model cu rezultatele experimentale.

Inexistenţa unui mecanism dinamic intrinsec pentru luarea în considerare a producerii

clusterilor face dificilă rezolvarea unor probleme de acest tip şi compararea cu rezultatele

experimentale. Se pune problema dacă folosirea unor funcţii de distribuţie multiparticulă

(de mai multecorpuri) ar putea fie utile în analiza corelaţiilor de mai multe corpuri,

având în vedere faptul că astfel de corelaţii ar putea determina producerea de fragmente.

Printre lucrurile noi permise de modelele de cascadă intranucleară se numără

posibilitatea descrierii evoluţiei sistemului în spaţiul fazelor, folosirea metodelor de

simulare ca instrument de încredere în investigarea unor fenomene specifice Fizicii

nucleare, studierea dinamicii ciocnirilor nucleare în condiţii departe de echilibru.

Trebuie spus că variante de cascadă intranucleară sunt incluse în modelări mult

mai complexe, bazate pe metode de simulare. Acest lucru se datorează faptului că

formele iniţiale de modele de cascadă intranucleară au fost înlocuite treptat cu teorii de

câmp mediu şi rezolvări de ecuaţii de transport.

Modelele de cascadă intranucleară permit unele legături cu modelele termice

(termodinamice), dar, mai ales, cu modelele hidrodinamice. Introducerea unor efecte

cuantice a făcut posibilă obţinerea altor coduri de simulare pentru descrierea

mecanismelor de producere şi dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste. Aceste aspecte au

determinat o prezentare mai detaliată amodelelor de cascadă intranucleară în această

parte a cursului.

În final, se poate spune că modele de cascadă intranucleară dau un acord

calitativ bun cu rezultatele experimentale într-un domeniu larg de energii – de la

100 A MeV până la 10 A GeV – iar acordul cantitativ este mai puţin bun.

Capitolul al XV-lea

Modele termodinamice

XV.1. Consideraţii generale asupra primelor modele termodinamice

Modelele termodinamice pentru descrierea dinamicii ciocnirilor nucleare

relativiste sunt modele fenomenologice. Ele se bazează pe “aspectele termodinamice”

conţinute în datele experimentale. Ele sunt dezvoltări ale unor modele anterioare folosite

pentru descrierea ciocnirilor nucleon-nucleon şi nucleon-nucleu la energii înalte.

Termodinamica interacţiilor tari se bazează pe idealizări. Primele încercări de a da o

descriere termodinamică proprietăţilor materie hadronice înalt excitate se bazează pe o

idee a lui Heisneberg din anul 1936 [102]. El a considerat că, pe baza aspectelor noi

introduse de către Enrico Fermi în teoria scalară a dezintegrării , se poate trata

producerea multiplă de particule în ciocniri proton-proton la energii înalte. Heisenberg

considera că, pentru energii mai mari decât o anumită energie critică, ar putea avea loc

procese explozive în care se produc particule noi. Aceste procese apar în cioconirile la

energii înalte dintre doi nucleoni (protoni) contractaţi Lorentz. Diamaetrul fiecărui “disc”

rezultat din contracţia Lorentz este determinat de raportul m

1, iar grosimea este dată de

raportul m

1, unde este factorul de contracţie Lorentz În urma procesului exploziv se

formează un pachet de unde foarte dens care reprezintă suprapunerea unui număr foarte

mare de stări într-un volum mic. În urma extinderii spaţiale apare o puternică disipare de

energie şi se produc particule noi. Heisenberg a încercat şi o abordare hidrodinamică a

interacţiilor proton-proton despre care se va discuta la capitolul consacrat modelelor

hidrodinamice. Insuficienţele modelului propus de Heisenberg – legate de interacţiile în

stare finală ale particulelor generate (mezoni şi nucleoni, conform teoriei forţelor

nucleare, recent dezvoltate la momentul respectiv) - au fost considerate de către Lewis,

Oppenheimer şi Wouthuysen [103]. Ei tratează într-o aproximaţie semiclasică interacţia

dintre câmpul mezonic şi câmpul nucleonic. Modelul propus de ei conducea la distribuţii

unghiulare izotrope în sistemul centrului de masă şi dădea relaţii de legătură între

multiplicitatea particulelor generate şi energia protonului (nucleonului) incident de

formele următoare:

31

En în sistemul laboratorului , (III.73)

32

cmEn în sistemul centrului de masă , (III.74)

Modelul propus de Lewis, Oppenheimer şi Wouthuysen nu lua în considerare interacţiile

dintre particule în starea finală şi de aceea, chiar dacă în variante ulterioare au fost

introduse unele ipoteze restrictive (de exemplu, nu toată energia disponibilă era folosită

pentru producerea de particule, distribuţia unghiulară în sistemul centrului de masă putea

să nu fie izotropă) şi o tratare relativistă, nu descria corect rezultatele experimentale.

Unele abordări noi ale termodinamicii interacţiilor tari (Koppe [104,105] şi Fermi [106])

au permis apariţia unui model nou, anume: modelul statistico-termodinamic al lui Enrico

Fermi [106-108]. Acest model stă la baza tuturor modelelor termodinamice ulterioare.

Totodată, el stă la baza studiului rezonanţelor de orice tip. Enrico Fermi l-a folosit pentru

punerea în evidenţă a rezonanţei barionice .

Ideea de bază a modelului statistico-termodinamic propus de Fermi este aceea că

în urma ciocnirilor sistemelor nucleare iniţiale se formează un sistem compus între

componentele căruia stabileşte echilibrul termodinamic; în plus, energia totală de

interacţie este concentrată într-un volum mic bine definit, , şi este repartizată foarte

rapid pe toate gradele de libertate ale sistemului compus, conform legilor termodinamicii

statistice (independenţa particulelor în starea finală). Densitatea de energie este dată de o

lege de tip Stefan-Boltzmann, având în vedere stabilirea echilibrului între toate stările

finale posibile. Stările finale sunt dictate de legile de conservare fundamentale pentru

impuls, energie, sarcină, număr de nucleoni, izospin ş.a.

Volumul sistemului compus este parametrul ajustabil al modelului propus de

către Fermi. La estimarea lui se consideră o formă sferică a sistemului compus. Raza sa,

r, este egală cu raza norului de mezoni care se află în jurul unui nucleon. Pentru cazul

nerelativist raza şi volumul se pot scrie:

mr

, (III.75)

3

4 3

0

r . (III.76)

Contracţia care apare în cazul relativist conduce la o altă expresie a volumului, anume:

0 , (III.77)

unde factorul de contracţie Lorentz este definit de relaţia E

m2 , cu m masa sistemului

în starea finală şi E energia sistemului nuclear incident.

Deoarece în starea finală pot exista configuraţii diferite se pune problema

determinării probabilităţii de realizare a unei anumite stări finale, P(E). În modelul

statistico-termodinamic Fermi se consideră că probabilitatea menţionată este

proporţională cu densitatea de stări din spaţiul fazelor, )(Esf , şi cu pătratul

elementului de matrice, 2

M . Se poate scrie:

)()(2

EMEP sf . (III.78)

Calculul probabilităţii de realizare a unei anumite stări finale nu se poate face

deoarece, pentru cele mai multe situaţii de interes, pătratul elementului de matrice nu este

cunoscut. De aceea, Fermi a introdus în modelul său statistico-termodinamic următoarea

ipoteză: Pătratul elementului de matrice este constatnt şi egal cu probabilitatea de ca

particulele din starea finală să se găsească în acelaşi volum de interacţie, . În această

ipoteză probabilitatea de realizare este dată de denistatea în spaţiul fazelor, pentru n

particule în starea finală, anume:

n

i

icm

n

i

n

i

i

i

in

sf EEpE

pd

11 1

3

3

)( , (III.79)

unde Ecm este energia totală în sistemul centrului de masă.

Modelul statistico-termodinamic Fermi prevede următoarea dependenţă a

multiplicităţii particulelor generate, n, de energia totală în sistemul centrului de masă,

Ecm:

41

cmEn . (III.80)

Această dependenţă este verificată experimental pentru un domeniu larg de energii, în

diferite ciocniri hadronice (de exemplu, nucleon-nucleon, mezon-nucleon, nucleon-

antinucleon) şi în diferite procese de producere de particule (de exemplu, generare de

pioni, generare de particule stranii, producere de rezonanţe). Este unul din succesele

importante ale modelului.

Principalele deficienţe ale modelului – izotropia distribuţiei unghiulare şi

dependenţa de energie a impulsului transversal mediu – sunt legate de unele contradicţii

în ipotezele fundamentale ale modelului. De exemplu, ipoteza că echilibrul termodinamic

se stabileşte rapid în volumul de interacţie implică faptul că interacţia este foarte

puternică, dar ipoteza independenţei particulelor în starea finală contravine acestei

ipoteze.

Ipotezele modelului fac acesta să se conducă la acordri mai bune cu rezultatele

experimentale pentru ciocniri centrale, ciocniri în care transferul de impuls este mare.

Trebuie de avut în vedere şi faptul că ponderea ciocnirilor centrale în numărul total de

ciocniri scade cu creşterea energiei fasciculului incident.

Pentru corectarea deficienţelor modelului statistico-termodinamic Fermi, legate, în

principal, de contradicţiile în ipotezele sale fundamentale referitoare la stabilirea rapidă

a echilibrului termodinamic şi independenţa particulelor în satrea finală, se pot

introduce interacţii între particulele din starea finală. În acest fel a apărut o nouă

variantă de model termodinamic, variantă datorată lui Raymond Hagerdorn [109,110].

Pentru corectarea deficienţelor modelului statistico-termodinamic al lui Fermi şi

îmbunătăţirea acordului cu datele experimentale Hagedorn propunerea luarea în

considerare, în mai mare măsură, a împrăştierilor inelastice. El consideră că imediat

după ciocnire se formează o materie nucleară înalt excitată. În plus, se consideră că o

parte din energia disponibilă în ciocnire este folosită pentru mişcarea colectivă a

particulelor, pe direcţia de mişcare a sistemului nuclear incident; ele formează un “fluid

nuclear”. Mişcarea colectivă este descrisă de o “funcţie de viteză”, universală, care

poate să fie determinată din date exeperimentale. “Funcţia de viteză” este preupusă

independentă de energia incidentă. Partea rămasă din energie este transformată adiabatic

în căldură. Particulele din starea finală sunt produse prin evaporarea “fluidului nuclear”.

Procesul de evaporare se desfăşoară conform legilor termodinamicii statistice.

În ipotezele anterioare, modelul termodinamic propus de Hagedorn descrie corect

spectrele observate experimental ale pionilor, kaonilor şi antiprotonilor, într-un domeniu

larg de energii incidente.

Principalele deficienţe ale modelului – este aplicabil, în varianta iniţială, numai

ciocnirilor proton-proton, iar spectrele obţinute sunt spectre totale, suimate pe toate

multiplicităţile – sunt înlăturate parţial prin introducerea unor dezvoltări ulterioare legate

de noţiunea de “sferă fierbinte” (“fireball”) şi considerarea interacţiilor în starea finală

prin crearea de izobari şi dezintegrarea lor finală.

Trebuie menţionată necesitatea separării cinematice dintre mişcarea colectivă – pe

direcţia de mişcare a sistemului nuclear incident – şi mişcarea termică izotropă. Este

necesară considerarea ipotezei că mişcarea colectivă nu determină creşterea turbulenţei.

Dezvoltările modelului au permis folosirea lui pentru descrierea ciocnirilor nucleon-

nucleu şi dezvoltarea lui pentru descrierea ciocnirilor nucleare relativiste.

XV.2. Bazele fizice ale modelelor termodinamice

pentru ciocniri nucleare relativiste

Modelele termodinamice pentru ciocniri nucleare relativiste au la bază imaginea

participanţi-spectatori (Fig.III.1). De aceea, geometria ciocnirii, prin parametrul de

ciocnire, b, şi gradul de simetrie dintre nucleele care se ciocnesc – determinat de raportul

în care se află numerele lor de masă – are un rol important în descrierea dinamicii

ciocnirii. Se consideră că, în sistemul centrului de masă, regiunile spectatoare se

deplasează cu viteze apropiate de viteza nucleului incident, iar împrăştierea în viteze a

nucleonilor spectatori se poate descrie prin mişcarea Fermi a nucleonilor în interiorul

nucleului [62,64,67,111]. În sistemul laboratorului spectatorii şi regiunile spectatoare pot

avea două origini distincte. Astfel, cei cu energii mici şi care au unghiuri de emisie

diferite îşi au originea în nucleul ţintă, în timp ce cei cu energii foarte mari, în vecinătatea

energiei pe nucleon a nucleului incident, şi sunt emişi la unghiuri limitate la unghiuri

înainte, îşi au originea în nucleul incident. Pentru modelele termodinamice importanţi

sunt participanţii. Trebuie avută în vedere, însă, necesitatea separării cinematice dintre

cele două tipuri de regiuni, participantă şi spectatoare. De exemplu, dacă se consideră că

impulsul Fermi pentru nucleonii din nucleu este de 230 MeV/c, nucleonii spectatori care

îşi au originea în nucleul ţintă nu pot avea – în sistemul laboratorului – impulsuri mai

mare decât acest impuls Fermi. În plus, nucleonii spectatori din nucleul incident au

unghiuri de emisie limitate, care depind de energia pe nucleon a nucleului incident; astfel,

la o energie incidentă de 0.8 A Gev fragmentele spectatoare ale nucleului incident nu pot

să apară la unghiuri mai mari de 90. De aceea, în diferite experimente se pot separa

participanţii de spectatori.

S-a menţionat anterior faptul că modelele termodinamice folosite pentru descrierea

dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste sunt modele fenomenologice, ele bazându-se pe

“aspectele termodinamice” conţinute în datele şi rezultatele experimentale. Printre

“aspectele termodinamice” conţinute în rezultatele experimentale se numără lipsa de

structură a secţiunilor eficace de producere a unor particule, cum ar fi protonii şi

deuteronii. Cum în regiunea participantă apar densităţi şi temperaturi mari pentru timpi

scurţi, datorită transferului foarte mare de energie – transfer de energie care este mult mai

mare decât energia de legătură pe nucleon – se poate presupune că aici sunt generate

marea majoritate a particulelor detectate în starea finală. În cazul celor două tipuri de

particule menţionate lipsa de structură poate aminti de un “gaz” nucleonic fierbinte.

Analiza dinamicii regiunii participante formate prin ciocniri nucleare relativiste se

poate face folosind spectrele de energie sau impuls ale unor particule, precum pionii şi

protonii, la unghiuri de 900, în sistemul centrului de masă. Acest lucru este posibil

deoarece la aceste unghiuri contribuţia regiunii spectatoare/regiunilor spectatoare este

minimă, conform consideraţiilor cinematice anterioare. Pentru a reduce la minim

conbtribuţiile regiunilor spectatoare se pot considera ciocniri de nuclee cu numere de

masă aproximativ egale. Se constată că spectrele pionilor şi protonilor – la 090cm - nu

depind puternic de numerele de masă ale nucleelor care se ciocnesc. Se poate considera

că energia pe nucleon a fasciculului incident este cea care determină, în principal,

dinamica ciocnirii.

Spectrele particulelor menţionate pot fi descrise – mai ales în parte de

impulsuri/energii mari - prin funcţii de tip exponenţial, de forma:

0

3

3E

Ecm

edp

dE

. (III.81)

Dacă spectrul pionilor poate fi explicat printr-o formă exponenţială simplă, de pantă

)()( 00 pEE , pentru explicarea spectrului protonilor, care prezintă un “umăr”

(“shoulder-arm”) în partea de energii/impulsuri mici sunt necesare ipoteze suplimentare.

Printre ele se numără producerea abundentă de protoni peste limita cinematică de

producere a protonilor pentru ciocniri de nucleoni liberi, anume: energii de peste 180 A

MeV (aproximaţia impulsului extinsă poate conduce la unele limitări în mediul nuclear).

De asemenea, luarea în considerare a mişcării Fermi proprii a nucleonilor în nucleu şi

considerarea ciocnirilor multiple nucleon-nucleon sunt alte căi de explcare a forme

spectrelor protonilor.

Distribuţiile unghiulare şi cele de multiplicitate pot conţine în ele informaţii

asupra comportării termodinamice a materiei nucleare fierbinţi şi dense create în regiunea

participantă. Realizarea unui echilibru termoidinamic global ar impune ca distribuţia

unghiulară a particulelor generate numai din regiunea participantă să fie izotropă, iar

distribuţia de multiplicitate să fie descrisă complet de o funcţie de distribuţie de tip

Poisson.

XV.3. Descrierea generală a principalelor modele termodinamice

Pentru descrierea dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste au fost propuse mai

multe variante de model termodinamic [2,4,6,13,14,16,112,113]. Printre cele mai

importante se numără: modelul de “sferă fierbinte” (modelul de “fireball”), modelul de

“tuburi fierbinţi” (modelul de “firestreaks”), modelul de două “sfere fierbinţi”, modelul

de spaţiul fazelor, modelul termic modificat (modelul de implozie-explozie).

XV.3.1. Modelul de “sferă fierbinte” (Modelul de “fireball”)

Modelul de “sferă fierbinte” [37,38], în forma sa iniţială, nu a luat în considerare

decât procese specifice regiunii participante. Pentru descrierea geometriei ciocnirii

modelul iniţial consideră că nucleele care se ciocnesc determină formarea unui cilindru

în regiunea de suprapunere, iar nucleonii participanţi din nucleul incident îşi transferă

complet impulsurile în sistemul de masă efectiv al tuturor nucleonilor care formează

“sfera fierbinte” sau “fireball”-ulul. “Sfera fierbinte” se mişcă pe direcţia înainte, în

sistemul laboratorului, cu o viteză cuprinsă între viteza nucleului ţintă (în repaus, în

sistemul laboratorului, în varianta iniţială) şi viteza nucleului incident. Se face ipoteza că

în sistemul centrului de masă propriu “sfera fierbinte” (“fireball”-ul) expandează izotrop,

cu o distribuţie de tip Maxwell în energie.

Deoarece în interiorul “sferei fierbinţi” energia cinetică medie pe nucleon este mult mai

mare decât energia de legătură pe nucleon ansamblul de particule de aici se poate trata ca

un gaz ideal la echilibru. De aceea, el este caracterizat prin temperatură. Varianta iniţială

a modelului de “sferă fierbinte” considera că, pentru o energie pe nucleon dată a

fascicului incident, temperatura este independentă de numărul de masă A. De aceea, între

energia incidentă pe nucleon, în sistemul centrului de masă, A

E in

cm , şi temperatură se

consideră o relaţie empirică de forma:

2

29

2

03.22

3cm

cm

TT

A

E in

cm

, (III.82)

unde 0 este densitatea materiei nucleare în satre fundamentală, iar este densitatea

materie nucleare comprimate şi excitate din “sfera fierbinte” (regiunea participantă).

În această variantă de model termodinamic se consideră că energia totală disponibilă în

regiunea participantă este folosită integral pentru procese de termalizare, în interiorul

regiunii stabilindu-se un echilibru termodinamic global.

Energia totală în sistemul centrului de masă, Ecm, este legată de energia totală în

sistemul laboratorului, Elab, printr-o relaţie de forma:

)( lablabcm PEE , (III.83)

unde energia totală în sistemul laboratorului este dată de următoarea relaţie:

T

lab

P

lablab EEE , (III.84)

iar şi sunt factorii Lorentz, definiţi astfel:

lab

lab

E

P , (III.85)

21

1

. (III.86)

În toate aceste relaţii impulsul în sistemul laboratorului este considerat pentru cazul în

care nucleul ţintă este în repaus, anume:

P

lablab PP , (III.87)

unde P

labP este impulsul total al nucleului incident.

Energiile totale, în sistemul laboratorului, ale nucleului prroiectil, EP

lab, respectiv,

nucleului ţintă, ET

lab, sunt date de ecuaţiile de mai jos:

)( ef

N

P

N

P

lab mQE , (III.88)

ef

N

T

N

T

lab mQE . (III.89)

În relaţiile anterioare ef

Nm este masa efectivă a nucleonului ( 2/931 cMeVmef

N ), este

energia pe nucleon a fascicului incident, în sistemul laboratorului, P

NQ este numărul de

nucleoni participanţi din nucleul incident, iar P

NQ este numărul de nucleoni participanţi

din nucleul ţintă.

Relaţiile (III.82)-(III.89) sunt scrise lând în considerare sistemul natural de unităţi.

Pentru stabilirea unor aspecte dinamice ale ciocnirii trebuie avut în vedere faptul că

modelul de “sferă fierbinte” consideră că etapa primară a ciocnirii se desfăşoară într-un

timp foarte scurt şi că în această etapă interacţia este localizată la regiunea de

suprapunere a nucleelor care se ciocnesc. Ulterior, energia acumulată în procesul de

comprimare datorat suprapunerii nucleonilor din cele două nuclee în cilindrul format,

precum şi energia de suprafaţă sunt disipate. Disiparea energiei şi emisia de particule din

“sfera fierbinte” determină ineracţiuni cu regiunile rămase nesuprapuse (regiunile

spectatoare) ale nucleelor care se ciocnesc.

În estimarea unor mărimi fizice de interes trebuie avut în vedere faptul că în ciocnirile

nucleu-nucleu pentru care se realizează condiţia:

N

T

N

P

Ncm mQQE )( , (III.90)

cu mN masa nucleonului liber (mN =939 MeV/c2), există suficientă energie pentru ca toţi

nucleonii să fie eliberaţi în participanţi.

Luând în considerare ipotezele menţionate anterior, cu deosebire cele legate de

termalizare, echilibru termodinamic global şi expansiunea “sferei fierbinţi”, se consideră

că spectrele nucleonilor eliberaţi în participanţi au expresii date de distribuţia Fermi-

Dirac. Numărul de protoni, respectiv, numărul de neutroni se pot determina astfel:

1)2( )'(

2

3

p

e

dpdpgVN p , (III.91)

1)2( )'(

2

3

n

e

dpdpgVN n , (III.92)

cu g factor de degenerare de spin şi V volumul “sferei fierbinţi ” la un anumit moment de

timp din evoluţia “sferei fierbinţi”. Aici, p este potenţialul chimic al protonilor, iar n

este potenşialul chimic al neutronilor.

Energia disponibilă în sistemul centrului de masă se poate calcula acum folosind

relaţia de mai jos:

1

'

1

'

)2( '

2

'

2

3

np

e

dpdp

e

dpdpgVEEE n

cm

p

cmcm . (III.93)

Modelul iniţial de “sferă fierbinte” introducea ipoteza că volumul “sferei

fierbinţi” la momentul desfacerii sale în constituienţi este dat de o relaţie de forma

următoare:

f

T

N

P

N

f

QQV

, (III.94)

unde f este densitatea în “sfera fierbinte” la momentul considerat. În general, se

presupune că 0 f . Modelul iniţial de “sferă fierbinte” considera următoarea valoare

a acestei densităţi: 312.0 Fmf .

Relaţiile de mai sus scos în evidenţă importanţa metodelor experimentale de

determinare a unor mărtimi fizice cu semnificţie dinamică, legate de geometria ciocnirii,

cum ar fi: numărul de nucleoni participanţi, din nucleul incident şi nucleul ţintă,

temperatura la emisia unor particule, ş.a.

Pentru energii peste 0.4 A GeV, în sistemul laboratorului, distribuţia Fermi-Dirac poate fi

aproximată de o distribuţie Maxwell-Boltzmann. Introducând funcţiile Macdonald, Kj,

[114] se poate scrie următoarele ecuaţii pentru numărul de protoni şi energia protonilor în

sistemul centrului de masă:

m

KmeV

N

p

p 2

2

2 , (III.95)

m

Km

mKme

VE

p

p

cm 21

3

2

3 . (III.96)

Se pot scrie relaţii de legătură între spectrul protonilor în sistemul centrului de masă

propriu al “sferei fierbinţi” şi spectrul acestora în sistemul laboratorului. Calculele pentru

spectrul protonilor în sistemul centrului de masă propriu se fac pentru un parametru de

ciocnire dat. Se poate scrie o relaţie de legătură de forma:

coslablabcm p , (III.97)

unde cos este direcţia de observare în sistemul laboratorului.

Modelul de “sferă fierbinte” permite includerea producerii de particule (pioni,

kaoni etc) şi nucleee uşoare (deuteroni, tritoni, nuclee de heliu ş.a.) [115,116]. În ipoteza

atingerii echilibrului termodinamic global se atinge atât echilibrul mecanic şi termic, cât

şi echilibrul chimic [47,48,65]. De aceea, pentru un proces de interacţie de tipul

NdNnp , la echilibru chimic, se poate scrie că potenţialul chimic al

deuteronului este dat de suma potenţialelor chimice asociate protonului şi neutronului,

anume: npd . În mod similar se pot scrie potenţialel chimice pentru diferite alte

tipuri de nuclee uşoare create în ciocniri nucleare relativiste. Calculul numărului de

nuclee uşoare create într-o ciocnire se poate face pe baza unei relaţii similare cu relaţiile

(III.91) şi (III.92). De exemplu, pentru o particulă alfa se poate scrie:

dpdpeeV

N

pmnp

2

)(2

3

22

)2(

. (III.98)

Calculul potenţialelor chimice pentru diferite particule şi rezonanţe se poate face

într-un mod similar. De exermplu, pentru determinarea potenţialului chimic al rezonanţei

- rezonanţă care se dezintegrează în modul următor: p - se poate folosi

reacţia nnnp . Din această reacţie se deduce potenţialul chimic al pionului

pozitiv, anume: np

, de unde rezultă potenţialul chimic al rezonanţei, anume:

np 2 . Includerea producerii de pioni şi nucleoni prin dezintegrarea

rezonanţelor barionice conduce la modificări în secţiunile eficace, distribuţiile de

multiplicitate şi în spectrele de impuls şi energie [117]. De exemplu, introducerea

rezonanţelor barionice determină modificarea formei distribuţiei de multiplicitate şi a

multiplicităţii medii, iar în spectrele de impuls şi energie determină creşterea ponderii

părţii de impulsuri mici, respectiv, de energii micii, ceea ce determină scăderea

temperaturii “sferei fierbinţi” (regiunii participante).

O problemă importantă care se pune în cadrul modelelor termodinamice este

aceea stabilirii semnificaţiei unor noţiuni, cum sunt cele de temeperatură şi potenţial

chimic. De asemenea, este necesară considerarea unor aspecte legate de noţiunile de

“izvor de căldură” şi “izvor de particule”. Trebuie menţionat, în acest context, faptul că

unele modele fenomenologice care au considerat ipoteze diferite, inclusiv termodinamice,

au încercat să ia în considerare şi contribuţiile regiunii/regiunilor spectatoare atribuindu-

le funcţii legate de cele două tipuri de “izvoare” considerate în Termodinamică

[3,4,7,36,37]. Pentru discutarea dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste în cadrul

modelelor termodinamice este folosită o ipoteză comună, anume aceea că nucleonii

suferă ciocniri multiple. De aceea, “sfera fierbinte” pierde memoria modului în care s-a

format (“îşi uită istoria”). În aceste condiţii toate părţile (celulele) spaţiului fazelor sunt

egal probabile. În plus, spaţiul fazelor există atât nucleoni, cât şi alte tipuri de particule.

Toate tipurile de particule care apar respectă legile de conservare (în principal,

conservarea sarcinii, numărului de barioni şi energiei), iar abundenţele lor sunt dictate de

spaţiul fazelor. Există posibilitatea ca spectrele inclusive ale diferitelor tipuri de particule

să fie calculate numai din spaţiul fazelor (ansamblul microcanonic), fără a fi necesară

introducerea temperaturii şi potenţialului chimic. Această cale este mult mai dificilă decât

cea în care se consideră că numărul de particule este suficient de mare pentru a aplica

legile specifice Termodinamicii statistice. Pentru un număr suficient de mare de grade de

liberatate se poate introduce temperatura T şi potenţialul chimic în locul energiei E.

Se are în vedere ca valorile mărimilor respective să fie alese astfel încât să se regăsească

valorile corecte ale energie medii, respectiv, numărului mediu de particule.

Folosirea unui dintre ansamblurile termodinamice uzuale – ansamblu

microcanonic, ansamblu canonic, ansamblu macrocanonic – depinde de tipul de

experiment considerat şi de mărimile fizice de interes determinate în experimet.

Printre mărimile de interes în studierea dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste se

numără multiplicitatea medie şi distribuţia de multiplicitate asociată. Aşa cum s-a arătat

în partea a doua a cursului, distribuţia de multiplicitate poate fi exprimată în termeni

specifici teoriei probabilităţilor [4,118,119]. Fie nP distribuţia de probabilitate pentru

producerea a n particule de un anumit tip într-o ciocnire nucleu-nucleu dată. Ea se

numeşte şi distribuţie de multiplicitate [119]. Modelele termodinamice [13-16,120,121]

permit realizare calculului distribuţiei de multiplicitate şi multiplicităţii medii pentru

orice tip de particulă.

Fie un parametru de ciocnire fixat pentru o ciocnire nucleu-nucleu dată în care se

conservă energia, E, numărul de barioni, B, şi sarcina, Q. Pentru un număr mare de

particule generate în ciocnire se poate introduce temperatura, T. La o temperatură dată

probabilitatea de a obţine n1 particule de un anumit tip în starea proprie S1, n2 particule de

un alt tip în starea proprie S2 ş.a.m.d. se poate scrie astfel:

......

)()(

)()(

....

.....

21

21

2211

2211

21

21

.....

.....

nnSS

T

nE

T

nE

T

nE

T

nE

nn

SSSS

SS

ee

eeP . (III.99)

În relaţia (III.99) partiţiile n1, n2, … trebuie să respecte legile de conservare pentru număr

de barioni şi sarcină.

Pe baza relaţiei anterioare se poate determina probabilitatea de a obţine n1 particule de un

tip, n2 particule de alt tip ş.a.m.d.. Se poate scrie relaţia de mai jos:

......

)()(

...

)()(

.....

21

21

2211

21

2211

21

.....

.....

nnSS

T

nE

T

nE

SS

T

nE

T

nE

nnSS

SS

ee

ee

P . (III.100)

Funcţia de partiţie a unei particule de tip i, notată Zi,este definită prin relaţia de

mai jos:

dpdpeVg

Z Ti

i

i

2

3)2(

, (III.101)

unde gi este factorul de degenerare de spin, iar 22 pmii este energia particulei de

tip i.

Se observă că există următoarea relaţie de legătură pentru funcţia de partiţie canonică de

ni particule:

S

T

nE

n

i

i

iS

i eZn

)(

!

1 . (III.102)

De aceea, relaţia (III.100) se mai poate scrie în modul următor:

...

2

2

1

1

2

2

1

1

.....

21

21

21

21

.....!

1

!

1

.....!

1

!

1

mm

mm

nn

nn

Zm

Zm

Zn

Zn

P . (III.103)

Relaţia (III.103) defineşte distribuţia de multiplicitate în modele termodinamice

(de “sferă fierbinte”, în principal). Pentru determinarea multiplicităţii medii a unui anumit

tip de particulă se pot folosi relaţiile specifice pentru multiplicităţi [118,119]:

......21 innnii Pnn . (III.104)

Sumarea în ecuaţia (III.104) se face cu restricţiile impuse de legile de conservare a

sarcinii şi numărului de barioni.

Trebuie spus că relaţia anterioară este destul de dificil de folosit în practică

datorită numărului mare de nucleoni, pioni, rezonanţe barionice (rezonanţe , în

principal) , mezoni, nuclee uşoare ş.a. De aceea, sunt necesare unele aproximaţii pentru a

aduce relaţia (III.104) la o formă mai uşor de calculat. Cele mai multe aproximaţii sunt

legate de natura particulelor produse şi de legile de conservare a sarcinii şi numărului de

barioni. Ele trebuie să ia în considerare şi dezintegrările unor particule sau rezonanţe (de

exemplu, creşterea numărului de pioni prin dezintegrarea rezonanţei barionice delta),

ceea ce complică semnificativ calculele. În baza diferitelor aproximaţii se deduce că

distribuţia de multiplicitate este descrisă de o distribuţie Poisson [118-121]:

i

i

i

n

i

n

i

n en

nP

! . (III.105)

Valoarea medie <ni> este apropiată de valoarea obţinută folosind ansmablul

macrocanonic, anume Ti

i

eZ

.

Principalele deficienţe ale modelului termodinamic de “sferă fierbinte”, în forma

sa iniţială, sunt legate de imposibilitatea descrierii “umărului” observat în spectrele de

impuls ale protonilor, de faptul că dă aceeaşi valoare a temperaturii pentru toate tipurile

de particule emise din aceeaşi “sferă fiebinte” – în dezacord cu rezultatele

exdperimentale. Acest model termodinamic prevede o distribuţie unghiulară izotropă

pentru particulele emeise din “sfera fierbinte”, în sistemul centrului de masă, ceea ce nu

este în acord cu rezultatele experimentale.

Pentru corectarea unor deficienţe ale acestui prim model termodinamic au mai

fost propuse şi alte modele de acest tip. Ele folosesc idea iniţială de “sferă fierbinte”, ceea

ce face ca să existe un conţinut termodinamic similar, iar diferitele variante să difere între

ele prin cinematica considerată.

XV.3.2. Modelul de “tuburi fierbinţi” (Modelul de “firestreaks”)

Un prim model termodinamic propus după modelul de “sferă fierbinte”a fost

modelul de “tuburi fierbinţi” (modelul de “firestreaks”) [122,40]. Acest model încerca să

explice anizotropia distribuţiei unghiulare observată experimental propunând o nouă

geometrie a ciocnirii (Fig.III.6). În acest model regiunea de suprapunere a nucleelor care

se ciocnesc este alcătuită dintr-o distribuţie continuă de tuburi paralele. Un tub din

nucleul incident P se suprapune cu un tub din nucleu ţintă T, se contopesc şi formează un

“tub fierbinte”, datorită interacţiilor din interiorul tubului format.

Fig.III.6. Geometria ciocnirii în modelul de “tuburi fierbinţi”

Ciocnirea nucleu-nucleu se poate descrie acum pe baza unor ciocniri “tub”-

“tub”. Pentru fiecare parametru de ciocnire este necesară calcularea energiei disponibile

pentru termalizare în fiecare “tub”. De aceea, nu mai este necesară considerarea

echilibrului termodinamic global. Echilibrul termodinamic se realizează în fiecare “tub

fierbinte”. Pentru a justifica acest lucru se introduce ipoteza că ciocnirea nucleu-nucleu

la energii înalte este determinată de procese total inelastice în regiunea de suprapunere a

nucleelor care se ciocnesc. În plus, se consideră că geometria de “tuburi” asigură o

decuplare completă pe direcţie transversală, deoarece nu există comunicare (conexiuni)

între “tuburile” vecine.

Modelul face ipoteza că proprietăţile materiei nucleare aflate în fiecare “tub”

sunt determinate numai de raportul dintre numărul de particule dintr-un “tub” al

nucleului incident, k

Pn , şi suma numrului de particule dintr-un “tub” al nucleului

incident, k

Pn şi numărului de particule din “tubul” corespunzător al nucleului ţintă, k

Tn ,

anume:

k

T

k

P

k

P

nn

n

. (III.106)

Natura difuzivă a suprafeţelor nucleare permite obţinerea de valori continue ale

parametrului pentru diferitele “tuburi” create în regiunea de suprapunere a nucleelor

care se ciocnesc. Ele sunt cuprinse între valoarea 0 – cazul nucleului ţintă “spectator” – şi

valoarea 1 – cazul nucleului incident “spectator”.

Autorul modelului de “tuburi fierbinţi”, W.D.Myers [122], a propus intregrarea

după parametrul de ciocnire pentru fiecare valoare a raportului dat de relaţia (III.106). Ea

se face odată pentru totdeauna. Pentru perechi specifice de nuclee care se ciosnesc acesta

a calculat tabele pentru o mărime, notată )( iY , a cărei expresie este dată de relaţia

următoare:

i

i

yxyxdxdywbdbdY bbi )),('(),(2')( . (III.107)

Mărimea wb(x,y) se obţine prin proiectarea combinaţiei dintre distribuţiile de densitate ale

nucleelor care se ciocnesc în planul (x,y). De aceea, această mărime are dimensiuni de

particule pe unitatea de suprafaţă. Trebuie menţionat faptul că în detreminarea mărimii

wb(x,y) se ia în considerare difuzivitatea suprafeţelor nucleare. Toate aceste observaţii

permit să se considere că mărimea dată de relaţia (III.107) consideră, în principal,

geometria ciocnirii.

Calculul unor mărimi fizice de interes se poate face folosind mărimea )( iY . În

acest scop se folosesc sume după o serie de termeni, fiecare conţinând factori de naturi

diferite. De obicei se introduc trei tipuri de factori, anume: geometri, cinematic şi

statistic. De exemplu, pentru calcularea densităţilor în spaţiul impulsului, în sistemul

laboratorului, pentru particule de tip k, )( pFk , se foloseşte următoarea relaţie:

i

ikippik tpfJYpF )(;')()()('

. (III.108)

În relaţia de mai sus )( i este viteza tubului considerat, )(' ipp

J

este Jacobian-ul

transformării de la sistemul de referinţă al “tubului” la sistemul de referinţă al

laboratorului, iar mărimea )(;' ik tpf conţine termodinamica ciocnirii. Ea reprezintă

distribuţia în spaţiul impulsului, în sistemul centrului de masă, pentru particulele de tip k

care se aşteaptă să fie emise dintr-un sistem combinat excitat care are o energie internă pe

particulă egală cu t. Această energie internă se normează astfel încât să corespundă la rata

de producere pe nucleon aşteptată de la sistemul combinat iniţial.

Pentru a explica anizotropia distribuţiei unghiulare în sistemul centrului de masă –

anizotropie observată experimental – modelul de “tuburi fierbinţi” ia în considerare faptul

că în fiecare “tub” numerele de nucleoni care provin din nucleul incident, respectiv, din

nucleul ţintă diferă. De aceea, în sistemul centrului de masă apare o mişcare

longitudinală. Chiar dacă particulele sunt emise izotrop în raport cu fiecare “tub

fierbinte”, emisia de particule care rezultă prezintă maxime pe direcţiile “înainte” şi

“înapoi”. Este o explicaţie calitativă a anizotropiei distribuţiei unghiulare în ciocniri

nucleare relativiste.

Modelul “de tuburi fierbinţi” are şi el o serie de dificultăţi în explicarea cantitativă

şi calitativă a unor rezultate experimentale. Astfel, ca şi modelul de “sferă fierbinte” acest

model termodinamic nu poate explica “umărul” observat în spectrele experimentale de

impuls ale protonilor. De asemenea, supraestimează diferitele mărimi fizice calculate. Un

exemplu în acest sens este supraestimarea păroducerii de pioni. Ca şi modelul de “sferă

fierbinte”, nu poate să explice diferenţele de pantă în spectrele de impuls, deci diferenţele

de temperatură pentru diferite tipuri de particule emise din aceeaşi sursă (de exemplu,

pentru protoni şi pioni).

Modelul de “tuburi fierbinţi” iniţial a fost propus pentru explicarea unor rezultate

experimentale obţinute la Laboratorul Naţional Berkeley (LBL), din SUA. Luând în

considerare deficienţele modelului şi energia mai mare la care s-au făcut experimentele,

la Institutul Unificat de Cercetări Nucleare (IUCN) de la Dubna (Rusia) s-a propus o

variantă care lua în considerare posibilele conexciuni între tuburi [123,124]. Nici modelul

de “tuburi fierbinţi coerente” nu a permis obţinerea unui acord mai bun cu rezultatele

experimentale obţinute în ciocniri He-AT la 4.5 A GeV/c.

XV.3.3. Modelul de două “sfere fierbinţi” (Modelul de două “fireball”-uri)

Modelele termodinamice anterioare considerau că în cazul ciocnirii a două nuclee

simetrice (numere de masă egale) centrul de masă definit pentru aceste nuclee este identic

cu sistemul centrului de masă pentru “sfera fierbinte” (“fireball”). De aceea, în acest

sistem de referinţă – pentru ciocniri simetrice – secţiunile eficace ale particulelor emise,

inclusiv cea a protonilor, ar trebui să fie simetrice. Totuşi, rezultatele experimetale

obţinute în ciocniri C-C şi Ne-NaF, la energiile disponibile la LBL (SUA), indică prezenţa

unei asimetrii destul de mari pentru secţiunile eficace ale protonilor, în sistemul centrului

de masă considerat. Pentru explicarea acestei asimetrii observată experimental a fost

introdus modelul termodinamic de două “sfere fierbinţi” [125,126]. Ipoteza principală a

modelului este legată de numărul relativ mic de nucleoni participanţi implicaţi, ceea ce

implică o transparenţă parţială a nucleelor care se ciocnesc. Deoarece stoparea nu este

completă părţile care se suprapun ale nucleelor care se ciocnesc nu îşi pierd în totalitate

impulsurile iniţiale (nu îşi pierd complet “memoria”), ceea ce conduce la formarea a două

“sfere fierbinţi” (două “fireball”-uri). Deoarece o parte din energie este folosită pentru

termalizare, iar o altă parte este folosită pentru mişcarea de translaţie pe direcţia de

ciocnire iniţială emisia de particule se face izotrop din cele două “sfere fierbinţi” formate,

dar – pe ansamblu – distribuţia unghiulară globală este anizotropă, în sistemul centrului

de masă.

Pentru descrierea cantitaivă a asimtriei observate în secţiunea eficace a protonilor, în

sistemul cemntrului de masă definit pentru nuclee simetrice uşoare care se ciocnesc la

diferiţi parametrii de ciocnire, s-a introdus o mărime care să ia în considerare fracţia din

impulsul iniţial care rămâne după ciocnire, la un parametru de ciocnire b. Fie y(b) această

fracţie. La estimarea fracţiei y(b) trebuie să se aibă în vedere faptul că în ciocniri nucleon-

nucleon la energii egale cu energia pe nucleon a nucleului incident din ciocnirea nucleu-

nucleu considerată impulsul fiecărui nucleon, în sistemul centrului de masă, este redus, în

medie, cu o valoare 5.0 . În ipoteza că numărul de ciocniri pe care un nucleon din

nucleul incident le are cu nucleonii din nucleul ţintă, )(b , este dat – în medie – de

raportul dintre lungimea medie a unui fragment care se ciocneşte la un anumit parametru

de ciocnire b, )(bl , şi drumul liber mediu, , pentru ciocniri nucleon-nucleon la energii

comparabile cu energia la care are loc ciocnirea nucleu-nucleu, se poate scrie relaţia

următoare:

)()(

bby

, (III.109)

unde

)(

)(bl

b . Mărimea poate fi calculată pentru o ciocnire nucleară dată, la o energie

dată şi un parametru de ciocnire dat, numai din considerente geometrice [121,125,126].

Au apărut diferite variante de model termodinamic de două “sfere fierbinţi”.

Unele dintre ele se pot aplica şi ciocnirilor asimetrice (numerele de masă ale nucleelor

care se ciocnesc diferă unul de altul).

Printre rezultatele obţinute cu ajutorul modelului de două “sfere fierbinţi” se numără şi

raportul dintre multiplicitatea particulelor secundare obţinută în ciocniri nucleon-nucleu

şi multiplicitatea particulelor secundare obţinute în ciocniri nucleon-nucleon, la aceeaşi

energie. Relaţia semiempirică obţinută este de forma următoare:

21)( ccR , (III.110)

unde 61.0,47.0 21 cc , iar este numărul mediu de ciocniri dintre nucleon şi nucleu.

Cu ajutorul acestei relaţii ecuaţia (III.109) se mai poate scrie astfel:

)()(

Rby . (III.111)

Modelul de două “sfere fierbinţi” explică – ca şi modelul de “tuburi fierbinţi” –

anizotropia distribuţiei unghiulare în sistemul centrului de masă, precum şi asimetria

secţiunuii eficace a protonilor în sistemul centrului de masă definit pentru nucleele care

se ciocnesc. De asemenea, ca şi modelul de “tuburi fierbinţi”, nu poate explica “umărul”

din spectrele de impuls pentru protoni şi temeperaturile diferite ale particulelor emise din

aceeaşi sursă. La fel ca toate modelele termodinamice supraestimează producerea de

particule, în principal, cea de pioni.

XV.3.4. Modelul termodinamic de spaţiul fazelor

O dezvoltare a modelului termodinamic de “tuburi fierbinţi” este modelul

termodinamic de spaţiul fazelor [127,128]. Geometria folosită este ce de “tuburi

fierbinţi”. În fiecare “tub” se ia în considerare, complet şi corect, conservarea energiei şi

a impulsului. Modelul leagă modelele de tip termodinamic de modelele de ciocnire

independentă nucleon-nucleon [60]. Astfel, în cazul în care un “tub” conţine numai doi

nucleoni se regăsesc formulele specifice modelului de ciocnire independentă nucleon-

nucleon, cu includerea mişcării Fermi.

Modelul încearcă să explice “cozile” de la energii înalte ale spectrelor. Se consideră că

ele provin, în principal, de la ciocniri multiple nucleon-nucleon. Se obţine un acord

aproximativ cu predicţiile unor modele termodinamice. În regiunea de energii joase

împrăştierile nucleon-nucleon cuasielestice, multiple, dau naştere la un exces în

producerea de protoni. Se observă pentru valori în jur de 180 MeV, în sistemul centrului

de masă. Apare, de asemenea, numai în ciocniri nucleu-nucleu la energii pe nucleon în

sistemul centrului de masă mai mari de 180 MeV ( MeVA

EE

cm

incm

p 182 ). În acest mod

se explică “umărul” care apare în spectrele de impuls pentru protoni generaţi în ciocniri

nucleare relativiste. Modelul explică şi defernţa dintre pantele spectrelor de impuls ale

protonilor şi pionilor care provin din aceeaşi susrsă de particule. Se consideră că pentru o

energie totală fixată (dată) este disponibilă mai puţină energie cinetică pentru emisia de

pioni decât pentru emisia de protoni. Trebuie avut în vedere faptul că protonii există deja

în regiunea de suprapunere a nucleelor care se ciocnesc, în timp ce pentru producerea de

pioni trebuie să fie asigurată energia de repaus specifică, de circa 140 MeV.

Deficienţele principale ale modelului de spaţiul fazelor sunt legate de deficienţele

generale ale modelelor termodinamice. Se remarcă şi în cazul acestui model

supraestimarea producerii de particule. În particular, prodecerea de pioni este

supraestimată cu un factor de 2-3.

XV.3.5. Modelul de implozie-explozie (Modelul de explozie termică)

Modelul de implozie-explozie este un model termodinamic care foloseşte, în mare

măsură, geometria ciocnirii şi ipotezele modelului de “sferă fierbinte” (“fireball”). El a

fost propus de Siemens şi Rasmussen, în anul 1979 [44].

În cadrul modelului se face ipoteza că în faza iniţială a ciocnirii materia nucleară

este mai întâi comprimată. Ca urmare a procesului de comprimare se acumulează energie

care determină apariţia unui proces de explozie. Se poate crea astfel o undă de şoc spre

exterior. În urma exploziei apare un fenomen de curgere – cu expansiune radială de

viteză rad – care se suprapune peste mişcarea termică, complet haotică.

Particulele care au viteze mici sunt influenţate de curgere mai mult decât cele care au

viteze mari. Din această cauză spectrele de impuls ale protonilor se abat semnificativ de

la forma exponenţială, cu deosebire în partea de impulsuri joase. În acest mod se poate

explica prezenţa “umărului” în spectrele de impuls experimentale.

Modelul de implozie-explozie reuşeşte să dea o explicaţie şi pentru diferenţele

observate experimental între pantele pionilor şi protonilor emişi din aceeaşi sursă de

particule. În acest caz se consideră că la o energie cinetică fixată viteza unui proton este

mult mai mică decât viteza unui pion. Deoarece masele de repaus ale celor două particule

diferă semnificativ - 71.6m

m p - se obţin modificări în energiile lor cinetice, în sensul

creşterii energiei cinetice a protonilor în raport cu cea a pionilor.

Modelul de implozie-explozie supraestimează producerea de pioni deoarece, în

forma sa iniţială, nu lua în considerare faptul că o parte considerabilă din energia

disponibilă este utilizată în procesul de compresie şi nu în cel de producere de particule,

în general, şi de producere de pioni, în particular. Unele dezvoltări ale modelului [86] iau

în considerare aceste aspecte. Se consideră că până la 50% din energia cinetică

disponibilă este transportată de unda de şoc creată. Dezvoltările modelului acoperă numai

unele din deficienţele modelului în explicarea datelor şi rezultatelor experimentale [30].

Acest model depăşeşte prin ipotezele sale limitele modelelor termodinamice. Ele

permite legături cu modelele de cascadă intranucleară şi cu modelele hidrodinamice.

XV.3.6. Modelul “şiruri pe şiruri” (Modelul “rows-on-rows”)

Un alt model care depăşeşte limita convenţională a ipotezelor specifice modelelor

termodinamice este modelul “şiruri pe şiruri” (“rows-on-rows”) [129].

Modelul “şiruri pe şiruri” foloseşte concepte specifice modelelor termodinamice,

modelelor de cascadă intranucleară şi geometria ciocnirii considerată de modelul

termodinamic de “tuburi fierbinţi”. Acest model încearcă să ia în considerare faptul că un

număr mare de procese dinamice pot conduce la Termodinamică. Pentru evitarea unor

aspecte delicate legate de necesitatea luării în calcul a tuturor acestor procese modelul

“şiruri pe şiruri” încearcă obţinerea unei soluţii cuasianalitice a problemei mai multor

corpuri folosind informaţii extrase din analiza unor ciocniri nucleon-nucleon la energii

joase pentru descrierea ciocnirilor nucleu-nucleu la energii înalte. Pentru obţinerea

spectrelor inclusive uninucleonice se foloseşte teoria Glauber [130] în următoarea ipoteză

geometrică: nucleonii individuali se mişcă pe traiectorii în linie dreaptă. Folosirea

acestei variante a teoriei Glauber şi a imaginii participanţi-spectatori a ciocnirilor

nucleare relativiste a condus pe autorii modelului la observaţia că nu toţi nucleonii din

regiunea participantă interacţionează unul cu celălalt. Ei fac ipoteza că interacţionează

numai nucleonii care se află pe aceeaşi traiectorie în linie dreaptă. De aceea, ei introduc o

geometrie a ciocnirii de tip “tuburi” şi consideră că un “şir” de nucleoni aflat într-un

“tub” din nucleul incident se împrăştie numai pe acel “şir” de nucleoni dintr-un “tub” al

nucleului ţintă care se află pe aceeaşi traiectorie în linie dreaptă. Ciocnirile dintre

nucleonii din cele două “şiruri”pot fi descrise folosind calcule de cascadă intranucleară

unidimensională. Se foloseşte o ecuaţie pentru distribuţii de probabilitate, cu considerarea

legilor de conservare pentru energie şi impuls. Modelul “şiruri pe şiruri” permite

obţinerea unui acord bun cu rezultatele experimentale pentru secţiuni eficace

uninucleonice şi relevă importanţa lungimii de stopare în descrierea dinamicii ciocnirilor

nucleare relativiste.

Pentru efectuarea unor calcule se consideră că aria secţiunii oricărui “tub” care

conţine un “şir” de nucleoni este dată de secţiunea eficacce totală nucleon-nucleon, tot

NN .

De asemenea, în fiecare “tub” de acest tip drumul liber al nucleonilor este dat de relaţia

tot

NN

1 , unde este densitatea barionică. Fiecare nucleon din “şirul” incident va

interacţiona secvenţial cu fiecare nucleon din “şirul” ţintă şi invers. Se neglijează

interacţiile reciproce dintre nucleonii nucleului incident, precum şi cele dintre nucleonii

nucleului ţintă.

Fie ),( ipW P

mn distribuţia de impuls total a celui de al m-lea nucleon dintr-un “şir”

al nucleului incident după ce s-a împrăştiat cu primii n nucleoni ai “şirului”

corespunzător din nucleul ţintă şi fie ),( ipW T

mn distribuţia de impuls total a celui de al n-

lea nucleon din “şirul” ţintă după ce a fost lovit de primii m nucleoni din “şirul” incident.

Indicele suplimentar i ia în considerare excitaţiile inelastice posibile de la starea

nucleonică fundamentală [deci i poate însemna nucleon – N(939) – dar şi diferite

rezonanţe barionice – de exemplu, rezonanţa )1232( ]. Se consideră că starea celui de al

m-lea nucleon din “şirul” incident, respectiv, a celui de al n-lea nucleon din “şirul” ţintă,

înainte de ciocnire, este descrisă de distribuţia P

mnW 1 , respectiv, de distribuţia T

nmW 1 .

Situaţia după ciocnire este descrisă de probabilitatea unită de a găsi particulele cu

impulsuri totale pp' şi Tp' şi în stările Pi' şi Ti' definită astfel:

)''''(

),(),()''''( 11

TTPPTTPP

TT

T

nm

ii

PP

P

mnTPTTPPmn

ipipipipM

ipWipWpdpdipipWTP

. (III.112)

Relaţia de mai sus este valabilă dacă există dependenţă numai de distribuţiile

P

mnW 1 şi T

nmW 1 şi nu de modul în care ele au fost obţinute prin diferitele procese de

interacţie anterioare (proces Markov).

Probabilitatea de tranziţie microscopică M conţine întreaga informaţie asupra

proceselor microscopice implicate în ciocnire. De aceea, ea depinde de secţiunile eficace

microscopice nucleon-nucleon şi respectălegile de conservare ale energiei şi impulsului.

Se ţine cont de faptul că, iniţial, toţi nucleonii sunt în stare fundamentală [N(939)] şi, de

aceea, distribuţia lor de impuls este ce a unui gaz Fermi de nucleoni. Se poate scrie:

NiPPP

P

m PppFipW )(),(

00 , (III.113)

NiTTT

T

n TpFipW ),(0 . (III.114)

La energii relativiste, în cele două relaţii de mai sus, trebuie introdus factorul de

contracţie Lorentz, . În plus, indiferent de energie, se neglijează corelaţiile dintre

nucleoni. În acest caz probabilitatea unită dată de relaţia (III.112) se reduce la o

probabilitate simplă prin integrarea pe impulsurile celorlalte particule:

Ti

TTPPmnTPP

P

mn ipipWpdipW'

)''''(')','( , (III.115)

Pi

TTPPmnPTT

T

mn ipipWpdipW'

)''''(')','( . (III.116)

Distribuţiile obţinute în acest mod sunt folosite ca valori de intrare pentru ciocnirea

următoare. La terminarea tuturor ciocnirilor se verifică dacă distribuţia de impuls obţinută

este asemănătoare cu distribuţia prevăzută în cadrul modelelor de o singură “sferă

fierbinte” sau de două “sfere fierbinţi”.

Modelul “şiruri pe şiruri” prezintă unele deficienţe. În primul rând nu consideră

efectul de “îngrămădire” (suprapunere) a densităţilor. De asemenea, datorită faptului că

nu sunt luate în considerare decât ciocniri binare nu se pot estima probabilităţi de formare

a unor nuclee uşoare.

Şi acest tip de model termodinamic, prin ipotezele şi deficienţele sale, vin în

sprijinul afirmaţiei făcute anterior că multitudinea de fenomene complexe care se produc

în ciocniri nucleare relativiste este greu de luat în întregime în considerare pentru a face o

descriere dinamică completă a acestor ciocniri.

XV.3.7. Modelul de “fuzionare” (Modelul de “coalescenţă”)

Pentru explicarea producerii de nuclee uşoare în ciocniri nucleare relativiste a fost

propus un model termodinamic care lua în considerare interacţiile din starea finală, model

numit şi model de “fuzionare” (“coalescenţă”) [131]. În cadrul acestui model se consideră

că datorită interacţiilor în starea finală poate apare fuzionarea (coalescenţa) nucleonilor

emişi. La “fuzionare”, pentru formarea unui nucleu, participă numai nucleonii care au

impulsuri mai mici decât o anumită valoare, numită şi “rază de fuzionare”, p0. În toate

situaţiile de interes, “raza de fuzionare” este mai mică decât impulsul Fermi, pF.

Probabilitatea de formare prin “fuzionare” a unui nucleu cu număr atomic A este dată de

relaţia următoare:

AA

A

dpdp

dp

Adpdp

d

2

1

21

0

0

2

2

3

4

!

1

. (III.117)

Pentru obţinere unor rezultate corecte este necesar ca secţiunea eficace dublu diferenţială

pentru formarea nucleului cu număr de masă A, dpdp

d A

2

2, şi secţiunea eficace dublu

diferenţială pentru formarea unui singur nucleon, dpdp

d2

1

2, să fie evaluate la acelaşi

impuls pe nucleon, cu luarea în considerare a factorului Lorentz, şi a secţiunii eficace

totale pentru ciocnirea considerată, 0 .

Rezultatele obţinute pentru diferite experimente arată că “raza de fuzionare”, p0,

este destul de uniformă şi respectă condiţia de a fi mai mică decât impulsul Fermi, pF. De

exemplu, în ciocniri Ne-U la energii cinetice cuprinse între 0.250 A GeV şi 2.100 A GeV

– experimente desfăşurate la LBL (SUA) cu detectarea a 4 nuclee uşoare, anume: d, t,

3He,

4He - au fost obţinute “raze de fuzionare” cuprinse între 105 MeV/c şi 150 MeV/c.

Compararea predicţiilor modelului de “fuzionare” cu rezultatele experimentale a

permis obţinerea următoarelor concluzii:

(a) “raza de fuzionare” scade foarte lent cu creşterea energiei cinetice a nucleului;

(b) creşterea numărului de masă al nucleului determină o scădere uşoară a “razei de

fuzionare”;

(c) “raza de fuzionare” nu dă informaţii asupra începutului expansiunii; în general,

modelul de “fuzionare” nu dă informaţii asupra altor etape din evoluţia sistemului creat

după ciocnire.

Există posibilitatea dezvoltării modelului de “fuzionare” prin trecerea la spaţiul fazelor.

În acest caz se consideră volumul elementar din spaţiul fazelor – determinat de constanta

lui Planck, h – se ia în considerare faptul că nucleonii sunt fermioni şi se ia în considerare

degenerarea după spini.; “raza de fuzionare” poate ajunge până la 200 MeV/c. Modelul

de “fuzionare” este foarte mult folosit pentru descrierea producerii de hipernuclee

[132,133].

XV.4. Câteva remarci finale asupra modele termodinamice

Toate modelele termodinamice permit calcularea unor mărimi fizice de interes în

baza unei geometrii a ciocnrii bine definită – bazată, în general, pe imaginea participanţi-

spectatori – şi a unor ipoteze comune, şi anume: (i) toţi hadronii sunt în echilibru termic;

(ii) interacţiile tari încetează atunci când densitatea hadronilor atinge o valoare critică,

numită şi densitate de “îngheţare” (“freeze-out”); (iii) la atingerea densităţii critice se

pot folosi relaţiile specifice pentru un gaz de particule care nu interacţionează; (iv)

pentru descrierea producerii de pioni şi nuclee uşoare se introduc rezonanţe barionice.

Folosirea acestor ipoteze are unele consecinţe asupra rezultatelor obţinute şi a

comportării materiei nucleare din regiunea de suprapunere a nucleelor care se ciocnesc.

De exemplu, prin introducerea rezonanţelor barionice se produce o răcire a “sferei

fierbinţi”. Efectele introducerii rezonanţelor barionice asupra temperaturii “sferei

fierbinţi” la emisia pionilor se observă în Fig.III.7. Ele cresc uşor cu creşterea energiei

nucleului incident.

Fig.III.7. Dependenţa temperaturii pionice de energia nucleului incident în modelul de

“sferă fiebinte”. Influenţa indroducerii rezonanţelor )1232( în ciocniri de nuclee cu

mase egale

De asemenea, dacă nucleele care se ciocnesc sunt bogate în neutroni este posibilă o

conversie netă a netronilor la protoni. În acest mod ar putea fi explicată multiplicitatea

mai mare a pionilor negativi în raport cu multiplicitatea pionilor pozitivi. De asemenea,

modificarea abundenţelor relative ale unor nuclee uşoare produse în ciocniri nucleare

relativiste ar putea fi explicată prin această conversie.

Modelele termodinamice permit studierea comportării materiei nucleare la temperaturi şi

densităţi înalte. Dependenţa temperaturii de densitatea critică (de “îngheţ”), pentru

diferite energii ale fasciculului incident (Fig,III.8) arată că odată cu creşterea energie

fasciculului creşte atât temperatura, cât şi densitatea critică. Se aşteaptă ca densitatea

critică să fie sub densitatea nucleară normală ( 17.00 Fm-3

[1,2,13-17]). Modelele

termodinamice prevăd densităţi de îngheţ cuprinse între 0.04 Fm-3

şi 0.12 Fm-3

. S-a

constat, de asemenea, şi faptul că la densităţi critice mai mici raportul dintre pioni şi

numărul de nucleoni este mai mare decât la densităţi critice mai mari, apropiate de

densitatea nucleară normală.

Fig.III.8. Dependenţa temperaturii “sferei fierbinţi” de densitatea critică pentru diferite

energii ale fasciculului incident, în ciocniri de nuclee cu mase egale

În cadrul modelelor termodinamice pot fi estimate caracteristicile spaţio-

temporale ale sursei de particule, folosind interferometria de particule identice [13].

O mărime de interes în stabilirea mecanismelor de reacţie şi determinarea ecuaţiei

de stare a materiei nucleare este entropia sistemului creat prin ciocnire. Pentru aceasta se

foloseşte raportul dintre multiplicitatea deuteronilor şi multiplicitatea protonilor. Studiul

comportării raportului în funcţie de energia fasciculului incident indică o descreştere a

acestuia cu creşterea energiei, ceea ce presupune creşterea entropiei pe nucleon. De

asemenea, la o energie dată raportul are valoare mai mare într-o ciocnire în care sunt mai

mulţi nucleoni partcipanţi. Ţinând seama de relaţia de legătură cu entropia pe barion,

anume:

p

d

m

m

A

Ss ln95.3

în lucrarea [15] s-a făcut o analiză a dependenţei raportului dintre cele două multiplicităţi

de valoarea enetropiei pe barion. S-a constatat că între comportarea raportului iniţial şi

cea a raportului final există mari diferenţe (Fig.III.9). Raportul iniţial este diminuat

semnificativ prin dezintegrarea unor particule, nuclee uşoare instabile, rezonanţe

hadronice existente în “sfera fierbinte”. Analiza lui detaliată poate da detalii asupra

dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste.

Fig.III.9. Dependenţa raportului dintre multiplicitatea deuteronilor

şi multiplicitatea protonilor de entropia pe nucleon

O caracteristică comună tuturor modelelor termodinamice este supraestimarea

producerii de particule, cu deosebire a celei de pioni.

Se poate afirma că modelele termodinamice pure întâmpină unele dificultăţi în

descrierea dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste, dar folosirea conceptelor specifice

Termodinamicii statistice este extrem de necesară deoarece foarte multe procese

dinamice complexe conduc la termodinamică.

Capitolul al XVI-lea

Modele hidrodinamice.

Analiză globală.

Jeturi de materie nucleară şi unde de şoc

XVI.1. Consideraţii generale

Ciocnirile nucleu-nucleu la energii mari şi foarte mari oferă posibilitatea studierii

materiei nucleare în condiţii extreme de densitate şi temperatură şi, de aceea, se pot

stabili multe din proprietăţile sistemelor de mai multe corpuri care interacţionează tare.

Ele pot fi puse mai clar în evidenţă prin analiza caracteristicilor colective ale datelor şi

rezultatelor experimentale. În cadrul cursului prin colectivitate se va denumi o

carateristică comună obţinută din datele şi rezultatele experimentale pentru mai multe

particule care sunt emise într-o ciocnire. O trăsătură comună intens studiată este curgerea

colectivă. Ea descrie mişcarea unui număr mare de particule emise într-o direcţie

comună sau cu o mărime comună a vitezelor. Există diferite moduri de curgere colectivă.

Ideea existenţei unor legături între comportarea colectivă şi proprităţile fundamentale ale

materiei nucleare aparţine lui L.D.Landau [134]. În anul 1953 el a propus primul model

hidrodinamic pentru descrierea ciocnirilor nucleon-nucleon la energii înalte. În cadul

modelului se face ipoteza că în etapa iniţială a ciocnirii se realizează un echilibru

termodinamic local instantaneu. Se presupuneau interacţii puternice între particulele din

sistemul creat prin ciocnire. Se făcea, de asemenea, ipoteza că sistemul format se extinde

pe o direcţie paralelă cu direcţia de mişcare a nucleonilor incidenţi, înainte de ciocnire. Se

presupunea că emisia de particule se face într-un proces similar cu curgerea unui fluid.

Comportarea fluidului se descriea cu ajutorul ecuaţiilor Navier-Stokes, în ipoteza

continuităţii pentru energie şi impuls. S-a introdus, de asemenea, o ecuaţie de stare care

lega presiunea locală de densitate (de energie sau barionică). Trebuie menţionat faptul că

folosirea ipotezei echilibrului local instantaneu şi a ecuaţiei de stare se întâlneşte în toate

modelele de tip hidrodinamic dezvoltate ulterior pentru cioniri nucleon-nucleu şi nucleu-

nucleu. Modelul hidrodinamic Landau descrie corect multiplicitatea particulelor generate

şi dă comportări similare cu cele prevăzute de modelul statistico-termodinamic al lui

Fermi. Un avantaj al introducerii modelului hidrodinamic pentru descrierea ciocnirilor

hadronice la energii înalte a fost acela că poate explica forma distribuţiilor unghiulare. În

plus, dă valori corecte cu cele obţinute experimental pentru impulsurile transversale ale

particulelor produse în ciocnire.

Folosirea modelelor hidrodinamice pentru descrierea dinamicii ciocnirilor nucleon-

nucleon, nucleon-nucleu şi nucleu-nucleu la energii înalte a permis introducerea

conceptului de undă de şoc pentru producere de particule. Aceste unde de şoc determină

apariţia unor structuri în distribuţiile unghiulare ale particulelor. Se consideră că

particulele incluse în aceste structuri au fost emise cu o viteză comună într-o direcţie

comună, în acord cu ipotezele formării undelor de şoc în fluide.

Modelele hidrodinamice au fost incluse, alături de modelele de cascadă intranucleară şi

alte modele bazate pe ecuaţia Vlasov sau ecuaţia Boltzmann, în categoria modelelor de

transport. Ele pot include diferite tipuri de ipoteze, multe din ele specifice ciocnirilor

nucleu-nucleu la energii intermediare şi înalte (câmp mediu, efecte cuantice, blocare

Pauli ş.a.). În general, concluziile modelelor de transport nu sunt unice. De asemenea,

există încă procese şi fenomene relevate de datele şi rezultatele experimentale care nu au

primit o interpretare consistentă. Problema ecuaţiei de stare a materiei nucleare este o

problemă deschisă în Fizica nucleară relativistă.

Având în vedere aceste aspecte în cadrul acestui capitol se va face o scurtă trecere în

revistă a fundamentelor modelelor de tip hidrodinamic şi căi de investigare a

proprietăţilor materiei nucleare în stare fundamentală şi în stare înalt excitată. Se are în

vedere faptul că aceste modele par să descrie multe din fenomenele şi procesele care se

produc în ciocniri nucleare relativiste. Unele semnale experimentale ale unor tranziţii de

fază în materia nucleară pot fi găsite, de asemenea, folosind metode legate de modelele

hidrodinamice.

XVI.2. Tipuri de curgere. Fenomenologie şi evoluţie temporală

XVI.2.1. Tipuri de curgere

Pentru descrierea proprietăţilor macroscopice şi cuasimacroscopice ale materiei nucleare

trebuie să fie definite unele observabile colective. Având în vedere definiţia generală a

colectivităţii, dată anterior (carateristică comună obţinută din datele şi rezultatele

experimentale pentru mai multe particule care sunt emise într-o ciocnire), se impune

restrângerea la observabile cinematice. Cu ajutorul lor se poate defini mai exact curgerea

colectivă. Trebuie menţionat faptul că orice trăsătură comună a tuturor particulelor

emise într-o ciocnire nucleu-nucleu poate fi considerată ca un indicator al distribuţiei

spaţiului fazelor pentru materia nucleară formată.

Printre fenomenele colective mai des întâlnite şi analizate în ciocniri nucleare relativiste

şi ultrarelativiste se numără: curgerea longitudinală, curgerea radială, curgerea

transversală, “împroşcarea”(curgerea) laterală (“side-splash” sau “side-flow”), efectul

de salt (“bounce-off”), curgerea eliptică ş.a.

Curgerea longitudinală este curgerea definită prin modelulu hidrodinamic al lui Landau

şi descrie mişcarea colectivă a particulelor în direcţia iniţială, dată de direcţia fasciculului

incident.

Curgerea radială apare pentru un câmp de viteze cu simetrie sferică; se cracterizează

prin faptul că particulele care sunt emise din sursa de particule au un câmp de viteze

comun, independent de direcţie.

Curgerea transversală este aceea curgere pentru care câmpul de viteze este independent

de unghiul azimutal.

Curgerea (“împroşcarea”) laterală este legată de orientarea vectorului asociat

parametrului de ciocnire. În ciocniri nucleu-nucleu orientarea vectorului asociat

parametrului de ciocnire defineşte o direcţie azimutală specifică. Creşterea emisiei de

particule în această direcţie se numeşte curgere laterală sau “împroşcare” laterală.

Curgerea eliptică a fost introdusă pentru a descrie o formă de emisie în care

particulele sunt emise în mod preferenţial în raport cu un anumit unghi azimutal şi cu o

simetrie “spate în spate”.

Fiecare tip de curgere este asociat cu modele hidrodinamice specifice şi cu

metode de evidenţiere specifice [4,6,14-16,35].

XVI.2.2. Evoluţia temporală a curgerii

La descrierea prin metode specifice miodelelor hidrodinamice a ciocnirii dintre două

nuclee (ioni grei) este necesară luarea în considerare a planului de reacţie. Acesta este

definit de orientarea în spaţiu a celor două nuclee care se ciocnesc şi de direcţia

fasciculului incident. Parametrul de ciocnire, notat de obicei cu b, este localizat în planul

de reacţie.

În faza iniţială a ciocnirii celor două nuclee, la momentul începerii suprapunerii lor, se

poate considera că, datorită relaţiilor dintre lungimea de undă de Broglie şi distanţa

internucleonică medie, respectiv, dintre drumul liber mediu şi raza nucleului, pot să apară

împrăştieri nucleon-nucleon cu proprietăţi similare celor din spaţiul liber (aproximaţia

impulsului extinsă). De aceea, nucleonii de la suprafaţă vor reflecta comportarea de tip

forţă Lorentz a interacţiei nucleon-nucleon în mod direct. Ei vor fi deviaţi spre exterior.

Datorită simetriei, pentru prametrii de ciocnire finiţi, aceşti nucleoni vor determina o

creştere e emisiei de particule în planul de reacţie.

La suprapunerea completă a celor două nuclee care se ciocnesc se presupune că

proprietăţile ciocnirii nucleon-nucleon nu mai pot fi considerate aceleaşi cu cele din cazul

spaţiului liber. Trebuie menţionat aici faptul că nu se cunosc prea bine proprietăţile

interacţiei nucleon-nucleon în mediu nuclear.

Procesele fizice care au loc la suprapunerea completă a celor două nculee care se

ciocnesc depind de energia fasciculului incident. În cazul în care energia fasciculului

incident este suficient de mare pentru ca viteza sunetului în materia nucleară aflată în

stare fundamentală (estimată în prezent ca fiind cs 2.0 ) nucleonii nu pot scăpa

suficient de repede din regiunea de suprapunere şi de aceea se crează o denistate mare în

această zonă. Chiar şi la densitate normală se pot produce efecte datorate interacţiei a mai

multe corpuri. De asemenea, sunt de aşteptat ca efectele mediului nuclear să se manifeste

indiferent de densitatea nucleară. Diferite tipuri de tranziţii de fază în materia nucleară

pot apare, în funcţie de valorile atinse de densitatea nucleară.

Dacă sistemele nucleare care se ciocnesc sunt mari şi secţiunile eficace de interacţie sunt

suficient de mari regiunea de suprapunere se dezvoltă într-un sistem unic caracterizat

printr-o densitate barionică iniţială şi o densitate de energie iniţială.

Condiţiile de densitate nucleară şi temperatură atinse la un moment dat din evoluţia

sistemului unic format sunt date de ecuaţia de stare. În ecuaţia de stare se lucrează cu

valori medii.

Procesele de comprimare şi încălzire a materie nucleare care se produc în faza de

suprapunere a nucleelor care se ciocnesc şi de formare a sistemului unic sunt strâns legate

de gradul de stopare a nucleeor care se ciocnesc. Acesta poate fi determinat de cantitatea

de energie din mişcarea longitudinală iniţială transferată gradelor de liberatate interne

ale sistemului unic format prin ciocnire. Prin energia stocată în procesul de compresie şi

prin energia folosită pentru excitarea termică, ciocnirile nucleare la energii intermediare

şi înalte permit obţinerea unor condiţii de densitate şi temperatură care nu sunt realizate

decât în isteme care nu pot investigate direct în laborator (stele neutronice, supernove

ş.a.). Particulele noi care pot fi emise în astfel de condiţi de densitate nucleară şi

temperatură pot oferi, prin caracteristicile lor, informaţii asupra proprietăţilor globale ale

mediului nuclear în care au fost create şi din care au fost emise.

Aşa cum s-a mai spus anterior în curs, este important să se ia în considerare ceea ce se

întâmplă şi cu nucleonii spectatori. Ei pot să ofere, prin comportarea lor, multe informaţii

de interes despre comportarea materiei nucleare din regiunea de suprapunere a nucleelor

care se ciocnesc. În cadrul multor modele hidrodinamice se consideră că nucleonii

spectatori suferă numai influenţa cîmpului mediu distorsionat al nucleelor părinte iniţiale

şi că, de aceea, se propagă foarte puţin deviaţi de la direcţia de mişcare a nucleelor din

care provin.

După suprapunerea completă a nucleelor care se ciocnesc şi atingerea compresibilităţii

maxime şi temperaturii maxime urmează expansiunea sistemului unic format, ceea ce

determină scăderea densităţii nucleare, densităţii de energie şi temperaturii. Descrierea

modului în care se produce expansiunea sistemului rezultat prin suprarpunerea celor două

nuclee care s-au ciocnit este o problemă dificilă şi care depinde puternic de geometria

ciocnirii. Prin geometria ciocnirii se are în vedere atât gradul de simetrie dintre numerele

de masă ale nucleelor care s-au ciocnit, cât şi parametrul de ciocnire. În general, pentru

ciocniri centrale dintre nuclee cu numere de masă egale se presupune că expansiunea

prezintă o simetrie azimutală. În cazul unor parametrii de ciocnire finiţi şi, eventual, a

unei asimetrii între numerele de masă ale nucleelor care se ciocnesc, presupunerea unui

anumit tip de simetrie pentru expansiune este extrem de dificilă. Dificultatea este legată,

în principal, de existenţa unui câmp de viteze orientat. Ele este datorat numărului mare de

spectatori ai nucleeelor care se ciocnesc. De obicei, se consideră că acest câmp este

suprapus peste expansiunea datorată proceselor şi fenomenelor din regiunea de

suprapunere a nucleelor care se ciocnesc. De aceea, se consideră că expansiunea are loc

pe direcţia celor mai mari gradienţi în densitate nucleară, densitate de energie şi

teperatură. Se consideră că în direcţie transversală expansiunea iniţială este mai mare pe

direcţie planului de reacţie. În direcţia longitudinală expansiunea depinde de gradul de

stopare pentru nucleele care se ciocnesc. Aşa cum s-a arătat în partea a doua a cursului,

pentru energii sub 10 A GeV gradul de stopare pentru cele două nuclee care se ciocnesc

este mare. Pentru astfel de situaţii este de presupus faptul că nucleele sunt contractate

Lorentz pe direcţie longitudinală şi, de aceea, gradientul de presiune este mai mare pe

direcţia fasciculului incident. În aceste condiţii apare o relaxare mai mare a sistemului pe

direcţie longitudinală şi este favorizată curgerea longitudinală (se mai foloseşte şi

termenul de “sferă fierbinte” Landau). În cazul în care stoparea nucleelor care se ciocnesc

este micăpoate apare o decuplarea expansiunii pe direcţie longitudinală şi pe direcţie

transversală [135].

Viteza cu care se produce expansiune a sistemului este determinată de de diferiţi

parametri de relaxare a sistemului. Ea impune introducerea unei scale de timp care poate

fi comparată cu scala de timp dată de energia cinetică a fasciculului incident. Se

consideră o relaţie de forma următoare:

fasc

TP

v

RRt

, (III.118)

unde RP este raza nucleului incident, RT este raza nucleului ţintă, vfasc este viteza

fasciculului, iar este factorul de contracţie Lorentz.

Este important de subliniat aici faptul că, în funcţie de viteza de expansiune,

materia nucleară din regiunea centrală poate interacţiona cu materia nucleară rece a

nucleonilor spectatori. Această interacţie poate să modifice forma distribuţiei unghiulare

azimutale. Trebuie menţionat faptul că în cazul unor ciocniri elastice pot să apară

reîmprăştieri, iar în cazul unor ciocniri inelastice se poate produce absorbţia unor

particule în regiunile specatoare. Dacă expansiunea este foarte rapidă în raport cu

mişcarea longitudinală, ceea ce se întâmplă, de obicei, la energii ale fasciculului incident

în jur de 1 A GeV, se poate preupune că nucleonii care participă la expansiune sunt

absorbiţi, în marea lor majoritate, în planul de reacţie , deoarece aici sunt prezenţi

nucleonii spectatori. Este de presupus că la energii mai mari – cum sunt cele specifice

SPS-CERN şi RHIC-BNL – viteza nucleonilor spectatori creşte mult mai repede. De

aceea, luând în considerare scala de timp definită anterior, nucleonii spectatori nu vor mai

fi prezenţi în planul de reacţie după timpul necesar formării sistemului unic – prin

suprapunerea nucleelor care se ciocnesc – comprimării şi încălzirii materie nucleare

incluse aici. Din această cauză, expansiunea sistemului va fi din ce în ce mai liberă în

planul de reacţie. Este posibil ca o astfel de comportare să apară de la energiile

disponibile la Sincrofazotronul U-10 de la IUCN Dubna [100,136-141].

Trăsăturile specifice comportării colective dispar atunci când cionire atinge un

anumit punct din dezvoltarea sa. Acest punct este cunoscut ca încetarea interacţiilor,

“îngheţ” sau “freeze-out”. La atingerea acestui punct densitatea barionică şi densitatea

nucleară sunt suficient de mici pentru ca drumul liber mediu să fie suficient de lung în

raport cu dimensiunile sistemului astfel încât să nu se mai producă ciocniri suplimentare.

Se consideră că proprietăţile sistemului la atingerea punctului de “îngheţ” pot fi reflectate

de rapoartele unor particule emise (p

pK

K

K,,,

ş.a.). Cu ajutorul acestor rapoarte se

pot obţine informaţii asupra temperaturilor şi potenţialelor chimice, iar prin acestea,

informaţii asupra unor posibile tranziţii de fază.

Toate aceste reziltate confirmă importanţa studierii fenomenelor colective care se produc

în ciocniri nucleare relativiste şi ultrarelativiste. Trebuie subliniat faptul că observabile

bazate pe curgerea colectivă, spre deosebire de multe observabile hadronice – inclusiv

rapoartele de particule – nu pierd memoria condiţiilor iniţiale din tipul procesului de

realizare a echilibrului deoarece curgerea se defineşte luând în considerare întreaga

istorie a ciocnirii. Este aşteptat ca producerea unei tranziţii de fază să modifice anumite

comportări colective specifice pentru o ciocnire dată, luând în considerare comportările la

diferite energii ale fasciculului incident. De exemplu, pentru tranziţia de fază la plasma

de cuarci şi gluoni este de aştepatat ca presiunea să fie mai mică decât în faza hadronică

pură. Din acest motiv este de aşteptat ca viteza de expansiune să se reducă. În plus,

curgerea eliptică şi “împroşcarea” laterală se vor reduce semnificativ.

Fenomenele de curgere a amteriei nucleare apar pe întregul domeniul de energii specific

Fizicii nucleare la energii intermediare şi înalte [142]. De aceea, în evaluarea

fenomenelor de curgere nucleară şi a tranziţiilor de fază care se pot produce în materia

nucleară aflată în diferite condiţii de densitate şi temperatură sunt folosite mai multe scale

de timp. Cele mai folosite scale de timp sunt următoarele: (i) timpul de trecere pentru

nucleele care se ciocnesc, ttrecere; (ii) timpul de realizare a echilibrului în regiunea de

spuprapunere a nucleelor care se ciocnesc (regiunea participantă sau “sfera foerbinte”),

techilibru; (iii) timpul de expansiune, texpansiune.

Se poate observa faptul că numai timpul de trecere nu depinde de proprietăţile materie

nucleare formate în timpul ciocnirii celor două nuclee; el depinde numai de energia

fasciculului incident şi de dimensiunile sistemului străbătut. Celelalte scale de timp

depind de proprietăţile materiei nucleare formate. Astfel, realizarea echilibrului este

determinată de tipul şi tăria interacţiilor care se produc între particulele care se află în

regiunea de suprapunere a nucleelor care se ciocnesc, de numărul lor precum şi de

numărul de ciocniri dintre particule. În cazul expansiunii trebuie avute în vedere

presiunea şi energia de compresie. De asemenea, trebuie avut în vedere faptul că

numărul gradelor de libertate trebuie să fie luat în considerare pentru evaluarea corectă a

ponderilor diferitelor tipuri de energii în energia totală a sistemului. Alături de energia de

compresie trebuie avută în vedere energia termică, energia potenţială ş.a. Unii autori au

propus chiar considerarea unei energii de curgere în ecuaţia de stare a sistemului [136-

141]. Pentru o analiză corectă a datelor experimentale este necesară considerarea atentă a

ipotezelor şi predicţiilor principalelor tipuri de modele hidrodinamice.

XVI.3. Clase de modele hidrodinamice

XVI.3.1. Consideraţii generale

În cazul modelelor folosite pentru studiul dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste

trebuie avută totdeauna în vedere necesitatea ca ipotezele fundamentale să fie în acord.

cât mai mult posibil, cu experimentul considerat. În multe experimente de interes

geomatria ciocnirii şi energia fasciculului incident nu permite să se ajungă la un număr

mare de nucleoni participanţi, deci la un număr suficient de grade de liberatate. O altă

problemă de interes este cea a timpului cât duraeză ciocnirea şi a scalelor de timp

asociate. Multe dintre modelele discutate până în prezent folosesc ipoteza echilibrului

termodinamic global şi scale de timp adecvate pentru realizarea lui, dar condiţiile sunt

dificl de îndeplinit în cele mai multe dintre experimente. De aceea, aplicarea conceptelor

statistico-termodinamice în mod sistematic este dificilă în majoritatea situaţiilor

experimentale de interes. Această problemă, ridicată de la începuturile modelelor

ststistico-termodinamice (a se vedea capitolul al XV-lea din curs), a fost rezoilvată parţial

de modelele hidrodinamice. Primul model hidrodinamic a fost introdus, aşa cum s-a

menţionat anterior, de către Landau, în anul 1953.

Modelul Landau - aşa cum s-a mai menţionat - presupune că echilibrul termic este atins

numai local şi numai în prima fază a procesului şi admite existenţa unor interacţii

apreciabile între particulele generate. În cea de-a doua fază a procesului, sistemul

intermediar se extinde pe o direcţie paralelă cu direcţia de mişcare a particulei incidente,

particulele finale fiind emise printr-un proces asemănător cu curgerea unui fluid, a cărui

comportare poate fi descrisă prin ecuaţia Navier - Stokes. Pentru multiplicitatea

particulelor generate în proces, modelul Landau obţine un rezultat identic cu cel a l

teoriei statistice a lui Fermi. Modelul Landau explică bine distribuţiile unghiulare şi

impulsurile transversale observate experimental. Viteza longitudinală a fluidului este mult

mai mare decât viteza lui transversală. De aici rezultă impulsuri transversale mici pentru

particulele din starea finală, în concordanţă cu rezultatele experimentale.

De-a lungul timpului au fost propuse diferite modele hidrodinamice pentru descrierea

ciocnirilor nucleon-nucleon, nucleon-nucleu şi nucleu-nucleu la energii intermediare şi

înalte. Ele pot fi clasificate după diferite criterii. Unul dintre ele este cel determinat de

modul de obţinere a ecuaţiilor hidrodinamice specifice. Conform acestui criteriu

modelele hidrodinamice pot fi împărţite în două categorii mari, anume:

(i) modele ce folosesc ecuaţia Boltzmann pentru obţinerea ecuaţiilor hidrodinamice;

(ii) modele ce folosesc teoria Hartree-Fock dependentă de timp pentru obţinerea

ecuaţiilor hidrodinamice.

În ambele situaţii, stabilirea echilibrului local instantaneu trebuie presupusă ca fiind

atinsă rapid pentru a se atinge regimul hidrodinamic.

XVI.3.2. Modele care folosesc ecuaţia Boltzmann

pentru obţinerea ecuaţiilor hidrodinamice

Ecuaţia Boltzmann descrie evoluţia în timp a unei funcţiei de distribuţie uniparticulă,

),,( tvrf

:

Sfvt

f

, (III.119)

unde S este termenul de ciocnire.

Forma termenului de ciocnire este următoarea:

)],',(),,(),,(),,([),;',,( 21212

3

1

3 tvrftvrftvrftvrfbvvvvwddbvdvdS

(III.120)

unde w reprezintă probabilitatea de realizare a unei ciocniri între două particule cu viteze

1v

şi 2v

, la un parametru de ciocnire b şi un unghi azimutal , din care rezultă două

particule cu viteze v

şi v

.

Termenul de ciocnire impune introducerea unor ipoteze suplimentare; printre cele mai

importante se numără următoarele:

- pentru a putea lua în seamă numai interacţii binare, sistemul trebuie să fie suficient de

diluat;

- drumul liber mediu al nucleonilor trebuie să fie mic în raport cu distanţa pe care funcţia

de distribuţie uniparticulă f variază semnificativ;

- particulele sunt necorelate (ele "uită" ciocnirile suferite anterior).

Ecuaţiile hidrodinamice se obţin prin integrarea ecuaţiei Boltzmann după viteză cu o

pondere )(v

:

Svvdvt

)(3

(III.121)

Mărimile din paranteze sunt mărimi mediate după viteze. Pentru ponderea s-au luat

mărimi ce sunt invarianţi de ciocnire, anume: 1, v

şi 2v

. Pentru aceste mărimi se poate

arăta că integrala din membrul drept al ecuaţiei (III.121) se anulează. În final, se obţin

următoarele trei ecuaţii:

)()()(

)()(

0)(

vpqvt

pvvvt

vt

(III.122)

unde este energia medie per particulă, p

este tensorul tensiunilor, iar q

este fluxul de

căldură.

Mărimile anterioare se pot exprima prin relaţiile de mai jos:

2

2

)(

)()(

2

1=

vvvvq

vvvvp

vvm

(III.123)

În relaţiile de mai sus s-a folosit următoarea notaţie:

tvrfvdtr ,,, 3

Setul de ecuaţii (III.123) poate fi rezolvat numai dacă p

şi q

pot fi exprimate în funcţie

de , v

, şi . Acest lucru este adevărat în ipoteza echilibrului local instantaneu. În

acest caz funcţia de distribuţie este de tip Maxwell-Boltzmann sau Fermi – Dirac, pentru

cazul general.

Se poate remarca faptul că în sistemul de ecuaţii (III.123) a dispărut termenul de ciocnire.

Din acest motiv, aveste ecuaţii au un caracter mai general decât ecuaţia Boltzmann

(III.119), putând fi aplicate şi sistemelor nediluate.

XVI.3.2. Modele care folosesc teoria Hartree-Fock

pentru obţinerea ecuaţiilor hidrodinamice

Pentru introducerea modelelor de acest tip s-a luat în considerare ecuaţia Hartree-

Fock dependentă de timp [64], iar ciocnirile binare sunt luate în considerare prin ipoteza

echilibrului local instantaneu. Ecuaţia Hartree-Fock dependentă de timp se scrie în modul

următor:

trrtrrtrrtrrrrVrrVrd

trrm

trrt

i

,,,,,,,,

,,2

,,

3

222

(III.124

)

Aici

este matricea densitate. Ea se obţine prin sumare pe toate stările ocupate şi are

expresia următoare:

trtrtrr ,,,, *

. (III.125)

Funcţia de undă se poate descompune în modul următor:

trimS

trtr,

exp,, , (III.126)

cu şi S câmpuri reale. Trebuie menţionat aici faptul că acet tip de legătură dintre

Hidrodinamică şi Mecanică cuantică a fost propusă încă din anul 1926, de către

Madelung [4,14].

Câmpurile hidrodinamice pot fi scrise astfel:

trrtr ,,,

, (III.127)

vtrrim

trurr

1,,lim

2, . (III.128)

Fie energia cinetică internă. Ea se defineşte în modul următor:

22

2

m

. (III.129)

Folosind această definiţie se poate trece la separarea părţii reale şi părţii imaginare din

ecuaţia (III.124). Se obţine expresia următoare (ecuaţia (III.130)):

23

3

,1

1)(

0)(

rrrrVrdm

rrrVrdmm

SSut

ut

Prima dintre ecuaţiile (III.130) are forma unei ecuaţii hidrodinamice. A doua ecuaţie

trebuie să fie prelucrată pentru a căpăta o astfel de formă. Pentru aceasta se separă

potenţialul într-un termen de distanţă scurtă, dependent de densitate, şi un termen de

distanţă lungă. Se obţie expresia de mai jos:

rrVrrrVrrV LS

. (III.131)

Se introduce tensorul tensiunilor, definit prin relaţia:

uvuvm

p

1

. (III.132)

În cazul în care se neglijează vâscozitatea mediului nuclear, tensorul tensiunilor definit

anterior conţine numai presiunea scalară, presiune care este datorată fluctuaţiilor termice.

În final rezultă următoarea ecuaţie de mişcare:

LVm

pm

uuut

11 . (III133)

Introducerea temperaturii necesită obţinerea unei a treia ecuaţii. Se obţine în final ecuaţia

standard pentru conservarea energiei din hidrodinamica clasică.

Din analiza ecuaţiilor hidrodinamice obţinute pe baza teoriei Hartree-Fock dependente de

timp se observă că modelele hidrodinamice care au la bază ecuaţia Hartree-Fock

dependentă de timp, deşi mai dificil de tratat din punct de vedere matematic, permit

introducerea firească a unor ipoteze şi presupunerea unui mediu continuu prin folosirea

densităţii de probabilitate din mecanica cuantică. Aşa cum s-a mai menţionat ipoteza

echilibrului local instantaneu este fundamentală pentru obţinerea ecuaţiilor

hidrodinamice.

XVI.3.3. Comentarii asupra informaţiilor fizice

obţinute cu modele hidrodinamice

Ecuaţiile hidrodinamice obţinute din ecuaţia Boltzmann sau din ecuaţia Hartree - Fock

dependentă de timp trebuie să fie completate cu o ecuaţie de stare. De obicei, ecuaţia de

stare este dată sub forma depenedenţei energiei de legătură per nucleon de densitate şi

entropie. O expresie uzuală a ecuaţiei de stare este următoarea:

SWWSW thO ,, . (III.134)

unde OW reprezintă energia de legătură în absenţa excitaţiei termice (la enetropie

nulă). OW este considerată şi energia necesară realizării compresiei materiei nucleare

fără încălzire. De aceea, două forme mai des utilizate pentru OW sunt următoarele:

O

OO

O

KW

18

2

, (III.135)

2

2

18 O

OO

O

KW

. (III.136)

În relaţiile de mai sus KO este compresibilitatea materiei nucleare, iar O este densitatea

materiei nucleare în condiţii normale.

Pentru a da o formă completă informaţiei fizice care se poate obţine din ecuaţiile

prezentate până acum ar fi necesară introducerea vâscozităţii şi termoconductivităţii

materiei nucleare. Pentru că aceste două mărimi nu sunt prea bine cunoscute, multe

modele nu le iau în considerare.

Modelele hidrodinamice sunt folosite în special pentru descrierea ciocnirilor centrale

simetrice, deoarece procesele centrale duc la un număr mare de ciocniri nucleon –

nucleon, deci la o comportare hidrodinamică, în timp ce procesele periferice, cu un număr

mai mic de ciocniri nucleon – nucleon, pot fi bine descrise într-un model de tip cascadă

intranucleară.

Pentru ciocniri centrale la energii relativiste se poate intoduce ipoteza undei de şoc ca

mecanism de tip hidrodinamic pentru producerea de particule [143,144]. Se consideră că

unda de şoc este plată, iar sistemul se extinde rapid pe o direcţie perpendiculară pe

direcţia de mişcare a nucleului incident (proiectil). Apare o curgere laterală care este o

consecinţă a presupunerii realizării echilibrului local instantaneu. Această ipoteză permite

o conversie rapidă a impulsului de pe direcţia fasciculului incident (impulsul

longitudinal) în impuls transversal. De aceea se poate considera curgerea laterală ca o

metodă de detectare directă a echilibrului atins în reacţie. Din păcate, ciocnirile centrale

sau aproape centrale nu contribuie prea mult la secţiunea totală de reacţie. În aceste

condiţii este necesară şi studierea ciconirilor care se produc la parametrii de ciocnire

intermediari. În cazul ciconirilor semicentrale şi periferice apare o rotaţie a zonei de

compresie. Pentru parametri de ciocnire şi mai mari se obţin în starea finală fragmente

nucleare emise la unghiuri mici, ca şi cum ar fi avut loc o reacţie adânc inelastică. Acest

efect se numeşte efect de “salt” („bounce-off”). Dacă se face analiza distribuţiei energiei

şi densităţii în starea finală se observă trei zone distincte, anume: două zone periferice de

joasă temperatură şi densitate mare, corespunzătoare fragmentelor rămase din proiectil şi

ţintă, şi o zonă centrală foarte fierbinte şi diluată, care este rămăşiţa zonei de compresie.

Modelele hidrodinamice confirmă prin urmare imaginea participanţi-spectatori, ca şi

celelalte tipuri de modele discutate până în prezent.

În cazul ciocnirilor asimetrice, mecanismele de bază sunt aceleaşi. Apar însă trăsături

caracteristice datorate contribuţiei mai mari a nucleonilor spectatori la geometria

ciocnirii. Şi în cazul ciocnirilor semicentrale şi perifierice apar fenomene precum undele

de şoc, jeturile de materie nucleară, “împroşcarea” laterală sau efectul de “salt” („bounce-

off”). Există o mai mare probabilitate a competiţiei dintre diferitele mecanisme de

producere de particule [100,101,145].

XVI.4. Analiza globală în studiul

comportării hidrodinamice a materie nucleare

Pentru descrierea cât mai completă adinamicii ciocnirilor nucleare relativiste folosind

modele de tip hidrodinamic s-a introdus analiza globală. Este o metodă sensibilă la

etapa compresiei. Prin analiză globală se introduc mărimi care descriu mişcarea medie a

particulelor în starea finală, pentru fiecare eveniment în parte 14–16,113,146. Pentru

definrea mărimilor fizice de interes se folosesc combinaţii pătratice de tipji pp ale

componentelor carteziene ale impulsului pentru particulele produse în ciocnirile nucleare

relativiste. Aceste produse prezintă avantajul că au o comportare saturată imediat după

atingerea densităţii maxime, la sfârşitul etapei de compresie 14–16,113,136-140,146-

148. Pot fi obţinute informaţii directe legate de comportarea materiei nucleare în

primele momente ale ciocnirii.

Mărimile globale se pot determina prin calculul variabilelor globale pentru fiecare

eveniment, ţinând cont de toate particulele emise într-un eveniment. În acest caz se

determină suma totală a mărimilor cinematice care definesc particulele emise într-un

eveniment. Se obţin astfel componentele unor tensori, care vor fi diagonalizaţi, iar

componentele diagonale ale acestora vor fi folosite pentru definirea unor mărimi fizice de

interes. Descrierea hidrodinamică a ciocnirilor nucleare relativiste presupune stabilirea

rapidă (instantanee) a echilibrului local. Acest lucru este posibil dacă au loc numeroase

ciocniri între particule pentru a se produce termalizearea. Ca urmare, pentru o corectă

abordare hidrodinamică a ciocnirii, este necesar ca un mare număr de nucleoni

participanţi să fie antrenaţi în ciocnire. O consecinţă importantă a ipotezei echilibrului

local instantaneu este conversia impulsului longitudinal în impuls transversal. În acest

caz, poate fi pusă în evidenţă “curgerea laterală” sau “împroşcarea laterală a materiei

nucleare 149,150.

Au fost propuse mai multe tipuri de tensori în analiza globală pentru studieerea dinamicii

ciocnirilor nucleare la energii înalte 14,15,149-151. Unul dintre cei mai folosiţi tensori

este tensorul de curgere sau tensorul cinetic de curgere 14,15,149. Componentele

acestui tensor sunt definite de relaţia de mai jos:

n

jiij npnpnwF )()()( , (III.137)

unde: i,j=x,y,z, n este numărul trasei, w(n) este factorul de pondere al particulei sau

fragmentului considerat.

Componentele tensorului formează în spaţiul impulsului un elipsoid de rotaţie ale

cărui axe sunt determinate de valorile proprii ale tensorului. Acestea servesc şi la

definirea unor mărimi globale, precum raportul de curgere – definit ce raportul dintre

axa cea mai mare şi axa cea mai mică a elipsoidului – şi unghiul de curgere – definit ca

unghiul dintre axa cea mai mare a elipsoidului şi direcţia nucleului incident (proiectil).

Pentru ciocniri centrale simetrice şi nesimetrice unghiul de curgere scade cu creşterea

parametrului de ciocnire, în timp ce factorul de curgere creşte cu creşterea factorului de

ciocnire. Pentru ciocniri la un parametru de ciocnire b < 3.5 Fm (valori considerate, în

general, specifice ciocnirilor centrale şi ultra centrale) unghiul de curgere este mare, iar

factorul de curgere este mic. Această comportare indică o formă cuasisferică a

eleipsoidului. De aceea, la energii de câţiva GeV/nucleon se poate considera că – pentru

interferometrie de particule identice – este corectă folosirea unei distribuţii sferice pentru

sursa care emite particule (definită de regiunea de suprapunere a nucleelor care se

ciocnesc) şi că rezultatele obţinute pentru caracteristicile sale spaţio-temporale sunt

corecte.

Cea mai probabilă direcţie iniţială de curgere a materiei nucleare formate în regiunea de

suprapunere a celor două nuclee poate fi determinată folosind mărimea numită thrust

(“împingere”). Tensorul de thrust (tensorul de “împingere”) este definit prin relaţia de

mai jos 139,140,150:

n

n

np

enp

T)(

)(

max

, (III.138)

unde e

este versorul unei direcţii oarecare

Direcţia versorului e

pentru care se obţine maximul expresiei de mai sus defineşte

direcţia de curgere cu cea mai mare probabilitate pentru materia nucleară fierbinte şi

densă care se formează în regiunea de suprapunere a celor două nuclee care

interacţionează la energii intermediare şi înalte.

Pentru o descriere completă a dinamicii ciocnirilor nucleare la energii de câţiva GeV/A

trebuie luată în consideraţie geometria ciocnirii. De exemplu, distribuţiile unghiului

“thrust” (“împingere”) sunt diferite pentru ciocnirile nucleare simetrice şi cuasisimetrice,

respectiv, nesimetrice [143,144,151]. Valorile unghiurilor de “thrust” şi valorile direcţiei

indică posibilitatea ca particulele să fie generate în conuri pe diferite direcţii. Pentru

ciocniri nucleu nucleu la 4.5 A GeV/c – în experimente folosind spectrometrul SKM 200

la care înregistrarea informaţiei se face pe film – aceste conuri sunt în acord cu imaginile

de pe film. Aceste conuri au fost numite jeturi de materie nucleară.

O altă mărime de interes în studierea comportării hidrodinamice a materiei nucleare este

sfericitatea. Ea poate fi calculată folosind tensorul de sfericitate definit astfel:

])()()([ 2 n

jiijij npnpnpS . (III.139)

Prin rezolvarea ecuaţiei de funcţii şi valori proprii asociate tensorului, se poate

defini sfericitatea ca fiind raportul următor:

3

1

33

i

i

S

, (III.140)

unde i sunt valorile proprii ale tensorului de sfericitate definit prin relaţia (III.139),

ordonate descrescător. Sfericitatea ia valori între S=0 – când apar 2 jeturi de materie

nucleară, în direcţii opuse – şi S=1 – caz pentru care emisia este izotropă.

Folosind valorile proprii pentru ecuaţii de funcţii şi valori proprii a tensorului de

sfericitate se poate introduce o altă mărime importantă, anume: planaritatea. Relaţia de

definiţie este dată de următoarea relaţie:

3

1

23 )(3

i

i

P

, (III.141)

Forma diagramei de curgere poate oferi diverse argumente pentru comportarea

hidrodinamică a materiei nucleare în ciocnirile nucleare la energii înalte. Este important

să precizăm că multe dintre aceste mărimi sunt de asemenea folosite în Fizica particulelor

elementare pentru stabilirea structurii de jet a producerii de particule şi a structurii de

cuarc pentru hadroni 32,152–157. Despre alte mărimi specifice analizei globale se va

mai discuta în această parte a cursului.

XVI.5. Metode de evidenţiere a jeturilor de materie nucleară

produse în ciocniri nucleare relativiste

S-a menţionat anterior faptul că datele experimentale indică prezenţa unor jeturi

de materie nucleară. S-a specificat, de asemenea, faptul că analiza globală oferă

metodele de evidenţiere a existenţei acestora în contextul studierii comportării colective

de tip hidrodinamic a materie nucleare formate prin ciocniri nucleare relativiste.

Pentru evidenţierea experimentală a jeturilor de materie nucleară – prin analogie

cu existenţa jeturilor în ciocniri leptonice şi hadronice la energii foarte mari - prima

metodă utilizată este analiza de sfericitate. Ea a fost introdusă prima oară în lucrările

158,159 şi constă în determinarea, pentru fiecare eveniment, a axei pentru care

mărimea ),1(2

chi Ti nip este minimă, după care se calculează mărimea numită

sfericitate. Aceasta mărime se poate deduce din relaţiile (III.139) şi (III.140) sau dintr-o

relaţie de următoarea formă:

i i

i Ti

p

pS

2

2

2

3 , (III.142)

unde Tip este impulsul transvers al particulei i, iar

ip este impulsul total al aceleiaşi

particule

Trebuie menţionat aici faptul că sensibilitatea analizei de sfericitate creşte dacă

există posibilitatea de a se lua în considerare şi particulele neutre. Din cauza faptului că

există dificultăţi în detectarea particulelor neutre (a se vedea partea I-a şi partea a II-a a

cursului) în foarte puţine analize experimentale sunt folosite şi aceste particule.

Din Fizica particulelor elementare se cunoaşte fatul că pot exista structuri de două

jeturi (bi-jet), trei jeturi (tri-jet) sau patru jeturi (cuadri-jet) [32,33].

Pentru a stabili structura de bi–jet a unor evenimente s-au folosit mărimi precum

“thrust”-ul sau “împingerea” (legată de tensorul de “thrust” definit de relaţia (III.138))

şi sferocitatea 160,161. Pentru definirea acestor mărimi se pot utiliza şi următoarele

relaţii:

n

i

i

n

i

Li

p

p

T

1

1

, (III.143)

şi, respectiv:

2

1

1

2

0

4

n

i

i

n

i

Ti

p

p

S

. (III.144)

Valorile proprii ale tensorului de “thrust” sunt cuprinse între 1/2 şi 1. Pentru T = 1 toate

particulele au aceeaşi direcţie a impulsului, iar pentru T = 1/2 emisia de particule este

izotropă. Aşa cum s-a mai spus, pentru tensorul de “thrust” axa jetului se alege astfel

încât să maximizeze valoarea lui T dată de relaţia (III.138), adică:

n

i

i

n

i

i

p

np

nT

1

1)max(

cu n

versorul axei jetului.

În cazul sferocităţii axa jetului se alege astfel încât să minimizeze mărimea definită prin

relaţia (III.144).

Pentru evenimentele cu structură de trei jeturi se inrtoduce mărimea numită triplicitate,

definită astfel 162:

n

i

i

j Ci

ji

p

np

TRj

1

3

1

max

. (III.145)

Aici fiecare particulă i este inclusă într-una din cele 3 clase C j, j = 1,2,3, iar jCi dacă

este îndeplinită condiţia:

kiji npnp , cu kj (III.146)

Alte mărimi pentru studiul evenimentelor cu structură de trei jeturi sunt legate de

următoarele variabile:

3

1

min

i

i

i

q

q

, (III.147)

ji nn

,cosmax , (III.148)

unde iq

este impulsul total al particulelor din clasa Ci

Clasele Ci , cu i = 1,2,3 sunt determinate din calculul tensorului de triplicitate. Variabila

caracterizează distribuţia de impuls în fiecare clasă Ci, iar descrie orientările axelor

definite de tensorul de triplicitate şi de ecuaţia de funcţii şi valori proprii asociată 163.

Pentru analiza evenimentelor cu structură de 4 jeturi a fost introdus tensorul de “di-

thrust” (“dublă împingere”) 164. Această mărime este definită de relaţia:

n

i

i

j Ci

ji

p

np

DTj

1

2

1

...

max

, (III.149)

unde 1n

şi 2n

sunt vectorii unitate pe axele tensorului de “di-thrust”.

Particula i este inclusă în clasa Ci dacă este satisfăcută următoarea condiţie:

21 npnp ii

(III.150)

De asemenea trebuie folosite cele două variabile definite prin relaţiile (III.147) şi

(III.148), anume:

3

1

min

i

i

i

q

q

21,cosmax nn

Pentru calculul variabilelor necesare în descrierea jeturilor se pot folosi diverse metode.

Pentru studiul ciocnirilor nucleare relativiste cele mai importante sunt următoarele două

categorii de metode: (i) metodele ierarhice; (ii) metodele neierarhice.

Metodele ierarhice pornesc de la ipoteza că asemănarea obiectelor (particulelor) poate fi

descrisă de o măsură a asemănării, numită distanţă. Asocierea unei valori numerice

proprietăţii de asemănare oferă posibilitatea particulelor emise într-o ciocnire dată de a fi

localizate în nodurile unei structuri ramificate.

Ca o măsură cantitativă a distanţei dintre două particule poate fi ales unghiul dintre

vectorii impuls care corespund celor două particule:

ji

ji

jipp

pp

arccos, . (III.151)

O metodă neierarhică des folosită este metoda centrului de greutate. Cele N particule

dintr-un eveniment sunt aleator divizate în M grupuri, cu M N. Pentru fiecare subgrup

se calculează centrul de greutate. După aceasta, în etapa următoare, fiecare particulă este

inclusă în subgrupul care are centrul de greutate situat la cea mai mică distanţă. Pentru

subgrupurile obţinute după această iteraţie se calculează noile centre de greutate, după

care se reia împărţirea pe subgrupuri. Procesul se opreşte când se obţine o configuraţie

stabilă de cluster. Pentru a stabili dacă numărul de subgrupuri M ale celor N particule

dintr-un eveniment este egal cu numărul jeturilor se introduce următoarea mărime:

N

l

l

M

j

m

i

j

i

M

p

p

T

j

1

1 1

. (III.152)

Această mărime ia valori de la 0 la 1. Valoarea MT = 0 corespunde situaţiei în care toate

particulele formează un singur grup, şi poate fi obţinută numai dacă sunt incluse şi

particulele neutre. Valoarea MT = 1 corespunde cazului în care fiecare particulă din

eveniment formează câte un grup. Acestea sunt cayurile extreme.

Ţinând cont de ipotezele folosite la obţinerea relaţiilor anterioare (cu deosebire a relaţiei

(III.152)), dependenţa mărimii MT de numărul de jeturi este cea dată în Fig.III.10. O

caracteristică a comportării acestei mărimi este faptul că dacă valoarea M este egală cu

numărul de jeturi, atunci MT tinde discontinuu la 1.

0 2 4 6 80.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

T M

Nr. jeturi

Fig.III.10. Dependenţa mărimii MT de numărul de jeturi

Analiza globală a fost aplicată pentru studierea comportării colective a materiei

nuceare formate în ciocniri nucleu-nucleu asimetrice şi cuasisimetrice, centrale şi

periferice la 4.5 A GeV/c [100,101,136-141]. Cele mai importante rezultate vor fi

discutate în partea finală a acestui capitol.

XVI.6. Jeturi de materie nucleară

în ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c

Acest capitol consacrat modelelor de tip hidrodinamic folosite pentru descrierea

dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste – modele care dau o descriere calitativă şi

cantitativă destul de completă comportării colective a materie nucleare formate în astfel

de ciocniri şi aflată în diferite condiţii de densitate şi temperatură – se va încheia cu

prezentarea aplicării metodei analizei globale pentru evidenţierea structurii de jeturi de

materie nucleară, sugerată de datele experimentale primare, în ciocniri nucleu-nucleu la

4.5 A GeV/c. Experimentele au fost efectuate la IUCN Dubna în cadrul Colaborării SKM

200.

S-a arătat anterior (vezi şi partea a II-a a cursului) că la această energie stoparea nucleului

proiectil în nucleul ţintă este aproape completă 11. Valorile diferitelor mărimi,

observate experimental, reflectă geometria ciocnirii şi ţin cont de absorbţia în regiunea

spectatoare, la această energie 1,2,4,6,14,15,36,37,85,100,101,113.

Datorită faptului că spectrul de impuls al pionilor negativi este afectat şi modificat

de diferitele fenomene care au loc în materia nucleară densă şi fierbinte

1,2,4,6,14,15,100,101,113, au fost făcute unele tăieri, dintre care cea mai importantă

este tăierea în impuls. S-a considerat că pioni negativi sunt numai particulele negative de

ionizare minimă care au impulsuri mai mari decât 50 MeV/c. Astfel, contribuţia

posibililor leptoni negativi – în special miuoni – a fost eliminată.

Pentru această analiză s-au considerat pionii negativi produşi în patru ciocniri asimetrice

necentrale (periferice (inelastice)), anume: He+Li, He+Al, He+Cu, He+Pb. Pentru aceste

ciocniri s-a observat existenţa unei comportări colective de tip hidrodinamic. Ea a fost

pusă în evidenţă cu ajutorul analizei globale [100,136-141]. Diverse comportări ale

rapoartelor de curgere, ale unghiurilor de curgere şi ale unghiurilor de “împingere”

(“thrust”) au fost observate în ciocniri nucleare centrale şi periferice la 4.5 A GeV/c

100,136-141.

De exemplu, valoarea raportului de curgere pentru ciocniri centrale scade în comparaţie

cu valoarea sa pentru ciocniri periferice. Numărul de participanţi pe eveniment sau pe

ciocnire influenţează de asemenea curgerea hidrodinamică. Pentru o ciocnire dată

distribuţia unghiului de curgere în funcţie de numărul de participanţi este o constantă, iar

distribuţia raportului de curgere scade semnificativ cu creşterea numărului de participanţi.

Pentru o valoare oarecare a numărului de participanţi – 20 pentru multe ciocniri

asimetrice – distribuţia numărului de participanţi este constantă în limita erorilor

experimentale 140. Unghiul de “thrust” scade cu creşterea asimetriei celor două nuclee

implicate în ciocnire 139. Toate rezultatele experimentale confirmă rolul important al

geometriei ciocnirii şi, în consecinţă, rolul nucleonilor participanţi în descrierea dinamicii

cionirilor nucleare relativiste.

Alegerea sfericităţii ca variabilă pentru evidenţierea existenţei jeturilor de materie

nucleară este legată de faptul că această mărime reflectă forma evenimentelor. Pot fi

obţinute astfel informaţii noi asupra mecanismelor de producere a particulelor, în ipoteza

că topologia ciocnirii reflectă dinamica acesteia. Folosind relaţia (III.139) şi valorile

proprii ordonate ale tensorului de sfericitate date de relaţia (III.140), anume: 1 2 3,

se poate obţine un elipsoid ale cărui axe sunt date de valorile proprii. Direcţia axei

asociate cu valoarea cea mai mare, 1, este direcţia de curgere, adică direcţia pentru

care suma impulsurilor transversale este minimizată. Dacă S tinde la 0, elipsoidul tinde

către o linie, iar dacă S = 1, elipsoidul devine o sferă.

Folosind sfericitate şi metoda neierarhică a centrelor de greutate, prezentată anterior, au

fost analizate cele 4 ciocniri asimetrice necentrale He – AT la 4.5 A GeV/c menţionate

mai sus. Cu ajutorul variabilelor definite anterior a fost posibilă clasificarea pionilor

negativi conţinuţi în fiecare eveniment în evenimete cu structură de două, trei sau patru

jeturi de materie nucleară emise longitudinal (jeturi longitudinale), pe direcţia înainte,

respectiv, pe direcţia înapoi, sau transversal (jeturi transversale). Fiecare jet de pioni

negativi a fost asociat cu numărul cumulativ total [151,165]. În acest mod poate fi

investigată posibilitatea ca structura de jet să fie o consecinţă a ciocnirii cu o ţintă

multinucleonică (flucton) 166,167.

Pentru ciocnirile necentrale (inelastice) He – Li la 4.5 A GeV/c au fost analizate

4026 evenimente. Principalele rezultate obţinute pentru multiplicităţi sunt: multiplicitatea

medie a particulelor cu sarcină în evenimetele selectate nch = 5.7 0.2,

multiplicitatea medie a particulelor negative n- = 1.87 0.04, numărul mediu de

protoni participanţi Q = 2.0 0.5, numărul mediu de nucleoni participanţi QN =

4.0 1.0, secţiunea eficace inelastică in = 327 20 mb, impulsul transversal mediu pT

= 241 3 MeV/c, rapiditatea medie în sistemul centrului de masă y = – 1.20

3,4,7,36,37,85,100,101.

Din cele 4026 evenimente au fost alese numai 2336, deoarece acestea respectă

condiţia impusă pentru multiplicitate, anume: nch 4. Trebuie menţionat faptul că în cele

2336 de evenimente selectate multiplicităţile particulelor cu sarcină sunt cuprinse între 4

şi 14. Pentru fiecare eveniment a fost construit tensorul de sfericitate şi a fost calculată

sfericitatea pe eveniment folosind relaţiile (III.139) şi (III.149). S-a făcut, de asemenea, o

selecţie după multiplicitatea particulelor încărcate din fiecare eveniment. În Fig.III.11.a –

d sunt prezentate distribuţiile sfericităţii în evenimente cu nch = 4, nch = 6, nch = 8 şi,

respectiv, nch 9. Valorile medii ale sfericităţii pentru aceste cazuri sunt următoarele:

S(4) = 0.158 0.007, S(6) = 0.223 0.009, S(8) = 0.242 0.008, respectiv,

S(9) = 0.273 0.011.

Din analiza distribuţiilor de sfericitate pentru cele 4 domenii de multiplicităţi ale

particulelor cu sarcină se ajunge la concluzia că o astfel de comportare este compatibilă

cu o structură de jeturi multiple de materie nucleară.

Pentru evenimente cu multiplicităţi mici ale particulelor cu sarcină este suficientă ipoteza

superpoziţii de ciocniri independente nucleon – nucleon. Pentru evenimente cu

multiplicităţi mai mari ale particulelor cu sarcină trebuie presupuse mecanisme mai

complexe de producere a particulelor, cu probabilităţi mai mici. Se poate lua în

considerare şi un mecanism de tip producere cumulativă de particule

166,3,4,7,100,101,136-141,143,151,165,167,168, Partea a IV a a cursului.

Fig.III.11.a. Distribuţia de sfericitate în evenimente pentru care multiplicitatea

particulelor cu sarcină îndeplineşte condiţia nch = 4

(ciocniri He-Li la 4.5 A GeV/c)

Fig.III.11.b. Distribuţia de sfericitate în evenimente pentru care multiplicitatea

particulelor cu sarcină îndeplineşte condiţia nch = 6

(ciocniri He/Li la 4.5 A GeV/c)

Fig.III.11.c. Distribuţia de sfericitate în evenimente pentru care multiplicitatea

particulelor cu sarcină îndeplineşte condiţia nch = 8

(ciocniri He/Li la 4.5 A GeV/c)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.80.0

0.2

0.4

0.6

0.8

dN/dS

S

Fig.III.11.d. Distribuţia de sfericitate în evenimente pentru care multiplicitatea

particulelor cu sarcină îndeplineşte condiţia nch 9

(ciocniri He/Li la 4.5 A GeV/c)

Având în vedere că primele experimente în care au fost puse în evidenţă jeturi au

contribuit la stabilirea existenţei cuarcilor, este de menţionat faptul că distribuţia de

impuls a perechii cuarc–anticuarc trebuie să fie similară cu cea a hadronilor emişi. În

acest caz, în absenţa corelaţiilor între hadronii neconsecutivi, poate fi scrisă relaţia de mai

jos, care leagă sfericitatea medie pentru o multiplicitate dată, nch, de multiplicitatea

respectivă:

1/exp

1/

ch

chnn

nSch

, (III.153)

unde este o constantă.

Pentru 1/ chn relaţia (III.153) poate fi scrisă în modul următor:

/chn nSch . (III.154)

În figurile III.12-III.15 este reprezentată dependenţa sfericităţii medii de

multiplicitatea particulelor cu sarcină pentru cele 4 ciocniri considerate, anume: He-Li,

He-Al, He.Cu, He-Pb. Pentru nch 10 se observă o schimbare semnificativă a comportării

distribuţiei, lucru care sugerează diferite mecanisme de producere a particulelor 1–

6,7,8,143,144,151,165. În fiecare dintre figuri este inclus fit-ul cu expresia dată de

relaţia (III.154).

O altă problemă care se pune este cea a numărului de evenimente cu structură de două

sau mai multe jeturi. Din 2336 evenimente selectate, pentru ciocniri He-Li la 4.5 A

GeV/c, 1433 evenimente au o structură de 2 jeturi, iar 903 evenimete au o structură de 3

jeturi. Nu au fost detectate evenimente cu structură de 4 jeturi pentru astfel de ciocniri.

Comportarea sfericităţii medii pentru o multiplicitate dată a particulelor încărcate

în funcţie de acea multiplicitate sugerează posibilitatea unor mecanisme cumulative de

producere a particulelor cu sarcină 3,4,7,36,37,85,100,101,143,151,165,166–168.

Aceste mecanisme sunt legate de structura de cuarci şi gluoni a materie la nivel

subnuclear. De aceea a fost făcută şi o analiză a numărului cumulativ pentru evenimente

cu 2 sau 3 jeturi 100,101,136-141,151.

0 2 4 6 8 10 12 140.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

He-Li, 4.5 A GeV/c

<S>=nch/

1/=0.03697;1/=0.00188

=0.9362

<S>

nch

Fig.III.12. Dependenţa sfericităţii medii de multiplicitatea particulelor încărcate

în ciocniri inelastice He-Li la 4.5 A GeV/c.

0 2 4 6 8 10 12 140.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

He-Al, 4.5 A GeV/c

<S>=nch

/

1/=0.02091; 1/

=0.00289

=1.4456

<S

>

nch

Fig.III.13. Dependenţa sfericităţii medii de multiplicitatea particulelor încărcate

în ciocniri inelastice He-Al la 4.5 A GeV/c.

0 2 4 6 8 10 12 140.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

He-Cu, 4.5 A GeV/c

<S>=nch

/

1/=0.01764; 1/

=0.0015

=0.4659

<S

>

nch

Fig.III.14. Dependenţa sfericităţii medii de multiplicitatea particulelor încărcate

în ciocniri inelastice He-Cu la 4.5 A GeV/c.

0 2 4 6 8 10 12 140.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

He-Pb, 4.5 A GeV/c

<S>=nch

/

1/=0.01695; 1/

=0.00225

=0.8184

<S

>

nch

Fig.III.15. Dependenţa sfericităţii medii de multiplicitatea particulelor încărcate

în ciocniri inelastice He-Pb la 4.5 A GeV/c.

În evenimentele cu 2 jeturi numărul cumulativ mediu pentru particulele din jetul

emis pe direcţia înainte este Q2f = 1.30 0.21, iar cel corespunzător particulelor din

jetul emis înapoi este Q2b = 9.09 0.99. Numărul cumulativ mediu pentru toate

evenimentele cu 2 jeturi este Q2T = 10.40 1.21. Toate aceste valori sunt legate de

cinematica ciocnirii şi sunt corelate cu valorile medii ale unghiurilor de deschidere ale

jeturilor de materie nucleară, anume: 2f = 47.3O 2.1

O, respectiv 2b = 53.1

O 2.7

O, cu

2f 2b. .

Pentru evenimentele cu structură de 3 jeturi de materie nucleară numerele

cumulative medii corespunzătoare celor trei tipuri de jeturi – înainte (f), înapoi (b), şi

respectiv transversal (t) – au următoarele valori: Q3f = 1.05 0.19, Q3b = 9.47

1.13, Q3t = 3.20 0.72. În acest caz, numărul cumulativ mediu pentru toate

evenimentele cu 3 jeturi este Q3T = 13.72 1.35.

Comparând între ele toate aceste valori, putem observa că Q3T Q2T şi că

Q3f + Q3b = Q2T . De aceea, se poate considera că jetul transversal de materie

nucleară, în evenimentele cu structură de 3 jeturi, are o contribuţie importantă.

În evenimentele cu structură de 3 jeturi, observate în ciocniri inelastice He – Li la

4.5 A GeV/c, unghiurile medii de deschidere ale jeturilor de materie nucleară sunt

următoarele: jet înainte - 3f = 41.9O 2.5

O; jet înapoi - 3b = 44.7

O 2.6

O; jet

transversal - 3t = 37.4O 2.5

O.

Pentru un studiu mai aprofundat al caracteristicilor jeturilor de materie nucleară

produse în ciocniri necentrale asimetrice He-AT la 4.5 A GeV/c este necesară analiza

corelaţiilor dintre diferite mărimi fizice care caracterizează aceste evenimente. Printre

mărimile ale căror corelaţii interesează se numără: unghiul de deschidere a jetului de

materie nucleară şi multiplicitate, unghiul de deschidere a jetului de materie nucleară şi

numărul cumulativ, impulsul transversal şi numărul cumulativ, etc. De exemplu, dacă se

presupune o dependenţă liniară între unghiul mediu de deschidere şi numărul cumulativ

mediu pentru cele trei jeturi – înainte, înapoi şi transversal – pentru coeficientul de

corelaţie r s-au obţinut următoarele valori: r3f = 0.143, r3b = 0.179, r3t = 0.127. Se

constată o foarte slabă corelaţie liniară între cele două mărimi.

Şi celellalte trei ciocniri - He – Al, He – Cu şi He – Pb la 4.5 A GeV/c - au fost analizate

în mod asemănător. S-au observat comportări similare ale distribuţiilor de sfericitate şi

sfericităţii medii în evenimente cu o multiplicitate dată a particulelor încărcate (Fig.III.16

– III.19). Dacă se foloseşte o funcţie liniară de forma y(x) = a + bx pentru fit-are datelor

experimentale, atunci se obţine o pantă negativă pentru două din cele trei ciocniri. Dacă

se consideră pentru fit o creştere de tip exponenţial, atunci sfericitatea medie poate fi

descrisă cu o funcţie de forma y(x) = a + becx

. Fit-urile cu această funcţie şi valorile

parametrilor a, b, c sunt incluse în Fig.III.16–III.19.

0 2 4 6 8 10 12 140.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

He-Li, 4.5 A GeV/c

date experimentale

<S>=a+b*nch

; a=0.10491; b=0.01381

<S>=a+b*exp(nch

/c); a=-20.84633; b=21.03669; c=5.47268E3

<S

>

nch

Fig.III.16. Dependenţa sfericităţii medii de multiplicitatea particulelor încărcate

în ciocniri necentrale He-Li la 4.5 A GeV/c – fit cu funcţie liniară şi funcţie exponenţială.

0 2 4 6 8 10 12 140.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

He-Al, 4.5 A GeV/c

date experimentale

<S>=a+b*nch

; a=0.20286; b=-0.00209

<S>=a+b*exp(nch

/c); a=0.12396; b=0.06411; c=1.27242E6

<S

>

nch

Fig.III.17. Dependenţa sfericităţii medii de multiplicitatea particulelor încărcate

în ciocniri necentrale He-Al la 4.5 A GeV/c – fit cu funcţie liniară şi funcţie exponenţială

0 2 4 6 8 10 12 140.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

He-Cu, 4.5 A GeV/c

date experimentale

<S>=a+b*nch

; a=-0.03642; b=0.023

<S>=a+b*exp(nch

/c); a=-5.94374; b=6.06308; c=1.3538E3

<S

>

nch

Fig.III.18. Dependenţa sfericităţii medii de multiplicitatea particulelor încărcate

în ciocniri necentrale He-Cu la 4.5 A GeV/c – fit cu funcţie liniară şi funcţie exponenţială

0 2 4 6 8 10 12 140.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

He-Pb, 4.5 A GeV/c

date experimentale

<S>=a+b*nch

; a=0.19324; b=-0.00225

<S>=a+b*exp(nch

/c); a=-0.36972; b=0.51643; c=158.14

<S

>

nch

.

Fig.III.19. Dependenţa sfericităţii medii de multiplicitatea particulelor încărcate

în ciocniri necentrale He-Pb la 4.5 A GeV/c – fit cu funcţie liniară şi funcţie exponenţială

Pentru ciocnirile necentrale He – Pb la 4.5 A GeV/c s-au analizat 1048 evenimente.

Dintre ele, 1004 evenimente au multiplicitatea particulelor cu sarcină nch 4. Din 1004

evenimente, 322 evenimete prezintă o structură 3 jeturi de materie nucleară. Numerele

cumulative medii pentru cele 3 tipuri de jeturi sunt următoarele: Q3f = 1.38 0.16,

Q3b = 13.77 2.18, Q3t = 2.43 0.35. Comparând aceste valori cu cele

corespunzătoare ciocnirilor necentrale He – Li la aceeaşi energie, se observă o creştere

semnificativă numai pentru numărul cumulativ mediu al jetului înapoi. Acest lucru se

poate datora creşterii numărului de participanţi în ciocnirile necentrale He – Pb, sau

emisiei preferenţiale a pionilor negativi cumulativi pe direcţia înapoi 165,167,168.

Numerele medii de protoni, respectiv, de nucleoni participanţi în ciocnirile necentrale He

– Pb la 4.5 A GeV/c sunt: P He – Pb = 7.9 1.2, respectiv PN He – Pb = 25.0 2.5 4–

6,32,36,60. De asemenea, secţiunea eficace inelastică este considerabil mai mare, iar

impulsul transversal mediu este mai mic: 1702400PbHe

in mb, respectiv pT He – Pb

= 204 4 MeV/c 3,4,7,36,37,85. Comportarea impulsului transversal mediu indică

influenţa regiunilor spectatoare, mult mai mari pentru ciocniri He-Pb.

Unghiurile medii de deschidere pentru evenimetele cu structură de trei jeturi în ciocniri

He-Pb la 4.5 A GeV/c au următoarele valori: 3f He – Pb = 53.8O 1.7

O, 3b He – Pb =

54.7O 1.8

O, 3t He – Pb = 45.3

O 2.4

O. În acest caz se poate observa cum direcţiile

înainte – înapoi au aproximativ acelaşi unghi mediu de deschidere. Unghiul mediu de

deschidere pentru jetul transversal continuă să rămână mai mic decât celelalte două, dar

creşte în comparaţie cu unghiul corespunzător din ciocnirile inelastice He – Li la aceeaşi

energie. Deschiderea unghiulară mai mare poate fi privită ca o consecinţă a creşterii

gradului de termalizare 3,4,7,36,37,85,101.

Coeficienţii de corelaţie pentru o dependenţă liniară a unghiului de deschidere de

numărul cumulativ pentru cele 3 jeturi sunt următorii: 148.03 PbHe

fr , PbHe

br30.253,

PbHe

tr30.141. Comparând aceste rezultate cu rezultatele experimentale pentru ciocnirile

He–Li la aceeaşi energie, se observă o creştere a coeficienţilor de corelaţie pentru jeturile

înapoi şi transversale. Această comportare poate fi legată atât de comportarea numerelor

cumulative, cât şi de geometria şi simetria ciocnirii. De asemenea, acest rezultat poate fi

corelat cu “împroşcarea” laterală observată în aceleaşi ciocniri analizând comportarea

hidrodinamică a materie nucleare cu ajutorul tensorului de curgere 136-141.

Aceste comportări sunt prezente în toate cele 3 ciocniri He-AT, valorile mărimilor

de interes crescând odată cu numărul de masă al nucleului ţintă.

Pentru a obţine informaţii suplimentare asupra dinamicii ciocnirii, s-a calculat -pentru

evenimetele cu aceeaşi structură de jeturi multiple de materie nucleară - impulsul total

mediu şi impulsul transversal mediu. Pentru ciocnirile He–Pb valorile medii ale

impulsului total – calculate ca sume ale impulsurilor totale ale tuturor particulelor din jet

– sunt următoarele: 741.0874.63 PbHe

fp GeV/c, 357.0041.43 PbHe

bp

GeV/c, şi 456.0275.43 PbHe

tp GeV/c. Dacă se presupune o dependenţă liniară

între unghiul de deschidere şi impulsul mediu total pentru fiecare tip de jet, obţinem

valori mici ale coeficienţilor de corelaţie pentru jeturile înainte şi înapoi (0.127, respectiv

0.139), în timp ce pentru jetul transversal coeficientul de corelaţie este aproximativ 0.

Tabelul III.1. conţine o comparaţie între valorile experimentale ale ponderilor jeturilor de

materie nucleară pentru ciocnirile inelastice He – Pb la 4.5 A GeV/c, ponderi stabilite

prin metoda analizei de sfericitate, şi valorile ponderilor obţinute prin simulări Monte

Carlo pentru aceeaşi ciocnire. La realizarea simulărilor prin metoda Monte Carlo valorile

pentru tensorul de “thrust” au fost stabilite folosind impulsurile şi multiplicităţile

experimentale pentru fiecare eveniment. Componentele carteziene ale impulsului pentru

fiecare particulă au fost calculate cu ajutorul unui generator de numere aleatoare.

Nr. jeturi per eveniment expP

ran

jetP

1 jet 0.256 0.030 0.012 0.001

2 jeturi 0.145 0.040 0.045 0.003

3 jeturi 0.080 0.007 0.030 0.001

Tabelul III.1. Ponderi experiemntale şi estimate ale diferitelor tipuri de jeturi de materie

nucleară în ciocniri He-Pb la 4.5 A GeV/c

Ponderea ran

jetP a fost calculată ca raportul dintre numărul de evenimente cu T 0.9 şi

numărul de evenimente construite aleator. Diferenţele sunt mult peste limita erorilor

experimentale pentru toate cele trei tipuri de jeturi de materie nucleară considerate.

Toate aceste rezultate confirmă faptul că în ciocnirile nucleu–nucleu la 4.5 A

GeV/c comportarea hidrodinamică a materiei nucleare formate – inclusiv existenţa unei

structurii de jeturi – este prezentă semnificativ, iar diferitele tipuri de comportări

colective sunt rezultatele unor procese fizice şi nu rezultatul unor fluctuaţii geometrice

sau statistice.

În concluzie, se poate afirma că în ciconiri nucleu-nucleu la energii mai mari de 1

A GeV există condiţii pentru formarea jeturilor de materie nucleară. Originea acestor

jeturi nucleare este diferită şi poate fi legată de diverse mecanisme de ciocnire. Informaţii

dinamice importante se pot obţine din studierea detaliată a originii jeturilor transversale

de materie nucleară 100,101,143,144,151,165,168. Pentru ciocnirile He-AT la 4.5 A

GeV/c analizate mai detaliat în curs se poate afirma că o contribuţie importantă la

formarea jetului transversal de materie nucleară o are producerea cumulativă de particule.

El poate fi format, însă, şi în fenomene legate de curgerea colectivă, hidrodinamică, a

meteriei nucleare. Geometria ciocnirii are o influenţă semnificativă asupra structurii de

jeturi şi a proprietăţilor acestei structuri.

Este important să se studieze mai multe ciocniri la diferite energii pentru a obţine

mai multă informaţie asupra dinamicii ciocnirilor nucleare la energii de câţiva GeV/A.

Numai în această situaţie pot fi separate diverse efecte, cum ar fi: nestoparea nucleului

incident în nucleul ţintă, procesele de echilibru şi neechilibru, etc.

Se poate afirma că modelele hidrodinamice şi metodele asociate lor aduc o

cantitate semnificativă de informaţii asupra dinamicii ciocnirilor nucleare la energii

intermediare şi mari. Ele pot rflecta corect – alături de alte modele şi metode –

competiţia dintre diferite tipuri de mecanisme.

Capitolul al XVII-lea

Modele de dinamică moleculară cuantică relativistă

XVII.1. Consideraţii generale

Printre modelele microscopice propuse pentru descrierea dinamicii ciocnirilor

nucleare relativiste se numără şi modelele de dinamică moleculară. Ca şi în celelalte

cazuri gradele fundamentale de libertate sunt nucleonii, ceilalţi hadroni şi constituienţii

lor: cuarcii şi gluonii. Informaţia dinamică este conţinută în spaţiul fazelor pentru n

corpuri. De aici vine partea de dinamică moleculară din denumirea unor astfel de modele.

Aşa cum s-a arătat în capitolele anterioare integrarea pe coordonatele a (N-1) particule

permite obţinerea unor ecuaţii cinetice pentru funcţii de distribuţie uniparticulă (modele

bazate pe ecuaţia Vlasov şi ecuaţia Vlasov-Uehling-Uhlenbeck, modele de cascadă

intranucleară ş.a.). Dacă se integrează pe spaţiul impulsurilor presupunând realizarea unui

echilibru termic local se pot obţine ecuaţiile de mişcare hidrodinamice, ecuaţii

macroscopice, în esenţă. La aceste căi de descriere a dinamicii ciocnirilor nucleare

relativiste se pot adăuga cele care presupun echilibru termic global într-un volum limitat

din spaţiu, cu număr limitat de grade de liberatate, anume modelele termice sau

termodinamice. Se simţea nevoia dezvoltării unor modele care să ia în considerare cât

mai multe aspecte şi să fie aplicabile pe domenii de energii cât mai largi.

Modelele de dinamică moleculară cuantică combină propagarea clasică a hadronilor

(dinamică moleculară) cu unele efecte cuantice. Printre efectele cuantice care se pot

introduce în astfel de ciocniri se numără împrăştierea stocastică, dezintegrarea

particulelor, blocarea Pauli ş.a. Modelele de dinamică moleculară cuantică relativistă sunt

extinderi ale modelelor de dinamică moleculară cuantică nerelativiste folosite pentru

studiul ciocnirilor nucleare la energii pe nucleon cuprinse între 50 şi 2000 A MeV [54,

169]. Între cele două variante de model există o serie de diferenţe [17].

La alegerea variantei de model de dinamică moleculară cuantică trebuie avut în vedere

faptul că în modelele nerelativiste rezultatele devin din ce în ce mai dependente de

sistemul de referinţă din care se face observarea ciocnirii pe măsură ce energia

fasciculului incident creşte. De asemenea, pentru energii relativiste şi ultrarelativiste

modelele de dinamică moleculară cuantică trebuie să fie în mod explicit invariante

Lorentz. De aceea, propagarea printr-un hamiltonian nerelativist în modelele de dinamică

moleculară cuantică nerelativistă este înlocuită prin ecuaţii de mişcare invariante Lorentz

în modelele de dinamică moleculară cuantică relarivistă. Acest lucuru este posibil

deoarece hamiltonianul este o funcţie scalară Lorentz în spaţiul fazelor. La energii

relativiste trebuie luate în considerare şi numeroasele canale de reacţie care pot fi

deschise. În plus, trebuie avut în vedere faptul că la energii foarte mari hadronii nu mai

sunt grade de libertate corespunzătoare.

Trebuie menţionat faptul că în prezent unii autori au tendinţa de a considera că

majoritatea modelelor microscopice propuse implică tratare prin prisma dinamicii

moleculare cuantice, în formă nerelativistă sau relativistă [170]. De aceea, în multe cazuri

tratarea modelelor de dinamică moleculară cuantică se face cu înglobarea multora dintre

modelele prezentate anterior.

O altă tendinţă majoră în cadrul modelelor de dinamică moleculară cuantică, cu deosebire

a celor pentru energii relativiste sau ultrarelativiste, este de a avea asociate coduri de

calcul complexe care să permită obţinerea unei informaţii dinamice cât mai bogate.

Printre cele mai importante coduri se numără cele numite RQMD (Relativistic Quantum

Molecular Dynamics) şi UrQMD (Ultrarelativistic Quantum Molecular Dynamics) [171,

172].

XVII.2. Baze fizice ale modelelor de

dinamică moleculară cuantică relativistă

Modelele de dinamică moleculară cuantică relativistă [Relativistic Quantum

Molecular Dynamics (RQMD)] sunt considerate modele microscopice de transport care

descriu fenomenologia interacţiilor hadonilor la energii joase şi intermediare ( s < 5

GeV) în termenii interacţiilor dintre hadronii cunoscuţi şi rezonanţele lor. Pentru energii

mai mari, s >5 GeV, sunt permise şi alte tipuri de procese. În acest domeniu de energii

producerea multiplă de particule este dominată de excitarea “corzilor” (“string”-urilor) şi

fragmentarea lor ulterioară în hadroni. Se introduc astfel modelele de dinamică

moleculară cuantică ultrarelativistă [Ultrarelativistic Quantum Molecular Dynamics

(UrQMD)]. Aşa cum s-a mai spus, la energii joase şi intermediare ciocnirile hadron-

hadron şi nucleu-nucleu sunt descrise în termenii interacţiilor dintre hadronii constituienţi

şi stările lor excitate, rezonanţele (nivele particulă şi nivele cuasiparticulă), dar la energii

înalte trebuie să fie luate în considerare şi gradele de liberatate datorate consituienţilor

hadronilor, anume cuarcii şi gluonii. Folosind termenii teoriei “corzilor” (“string”-urilor),

se introduc excitaţiile “corzilor” de culoare şi se ia în considerare fragmentarea “corzilor”

excitate în hadroni. Se consideră că cele mai frecvente ciocniri hadron-hadron sunt

următoarele: N , , , NN , , N , K , , , K . Cele 10 interacţii

descriu numai 50 % din toate ciocnirile hadron-hadron care se pot produce. De aceea, în

codurile de calcul asociate modelelor de dinamică moleculară cuantică ultrarelativistă

sunt incluse încă 120 de ciocniri hadron-hadron. În acest fel se pot descrie circa 90 %

dintre interacţiile care au loc în ciocniri nucleare ultrarelativiste, în acord cu modelele de

dinamică moleculară cuantică ultrarelativistă. Pentru a lua în considerare 99 % dintre

interacţiile hadron-hadron modelate şi acceptate de către codurile UrQMD sunt necesare

câteva mii de combinaţii de interacţii hadron-hadron. Deoarece pentru efectuarea

calculelor în modelele de dinamică moleculară cuantică şi pentru utilizarea eficientă a

codurilor asociate este necesară cunoaşterea secţiunilor eficace pentru toate aceste

procese de interacţie apar limitări legate de faptul că numai o mică parte a acestor

secţiuni eficace este determinată experimental. De aceea, în multe situaţii de interes se

folosesc extrapolări, prin intermediul principiului balanţei detaliate, ale unor procese de

interacţie cunoscute. Toate acestea sunt necesare pentru înţelegerea dinamicii extrem de

complexe a dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste.

Modelele de dinamică moleculară cuantică pentru energii relatativiste şi ultrarelativiste –

ca modelel microscopice de transport – folosesc propagarea covariantă a tuturor

hadronilor pe traiectorii clasice în combinaţie cu împrăştieri binare stocastice, formarea

“corzilor” de culoare şi dezintegrarea rezonanţelor. Codul de calcul asociat este o soluţie

Monte Carlo la un set larg de de ecuaţii integro-diferenţiale parţial cuplate pentru

evoluţiile în timp a diferitelor densităţi în spaţiul fazelor, fi(x,p), ale particulelor prezente

la ciocniri, ,,Ni ,….

Pentru cazul nerelativist se presupune o formă Boltzmann pentru setul de ecuaţii integro-

diferenţiale:

pxfSt

t

pxf

x

pxf

t

x

p

pxf

t

p

dt

pxdfi

iiii ,,,,,

, (III.155)

unde x şi p sunt poziţia şi impulsul particulei, iar St fi(x,p) reprezintă termenul de ciocnire

sau termenul sursă al diferitelor tipuri de particule. Ele sunt legate de celalalte tipuri de

particule, definite prin funcţii de densitate fk .

Pentru ciocniri barion-barion (BB) la energii joase se consideră schimburile de

sarcină electrică, sarcină barionică, stranietate şi cuadri-impuls în canalul t. Interacţiile

mezon-barion (MB) şi mezon-mezon (MM) sunt tratate cu luarea în cocnsiderare a

dezintegrării rezonanţelor (canalul de reacţie s). Pentru energii disponibile în sistemul

centrului de masă mai mari de 5 GeV ( s >5 GeV) se ia în considerare şi canalul de

reacţie t pentru astfel de ciocniri.

În cazul ciocnirilor nucleu-nucleu la energii înalte interacţiile “moi”, binare şi

ternare, dintre nucleoni pot fi descrise prin partea reală a matricii G, parte care ia în

considerare mediul nuclear în care se află nucleonii. Această parte a matricii se poate

aproxima printr-un potenţial Skyrme dependent de densitate, nerelativist, de următoarea

formă [Skyrme curs p3]:

kj

kji

ji

ji

ji

Sk xxxxtxxtV

21!3

1

!2

1 , (III.156)

unde cu x s-au notat coordonatele spaţiale în spaţiul fazelor cuantic. Primul termen

simulează un potenţial atractiv pentru interacţia nucleon-nucleon, iar cel de al doilea ia în

considerare saturarea. În unele modele se introduc potenţiale de tip Coulomb şi potenţiale

Yukawa. Toate aceste potenţiale permit calcularea ecuaţiei de stare a sistemului de mai

multe corpuri aflate în interacţie. Calculul se poate face atât timp cât sistemul este

dominat de nucleoni (nucleonii sunt “corpurile” cele mai numeroase din sistem).

Potenţiale de interacţie menţionate sunt folosite în cadrul modelelor de dinamică

moleculră cuantică pentru baruioni sau nucleoni cu impulsuri relative p < 2 GeV/c.

În aceste aproximaţii se poate lucra pe un domeniu larg de energii, de la cele specifice

SIS-18 (GSI Darmstadt, Germania), unde 2s A GeV, la cele specifice Collider-ului

de Ioni Grei Relativişti (RHIC) de la Laboratorul Naţional Brookhaven (BNL, SUA),

unde s-a atins o energie s = 200 A GeV, în vara anului 2001.

La energii foarte mari se produc particule de foarte multe tipuri, cu multiplicităţi uriaşe

(mii de particule într-un singur eveniment de ciocnire). De aceea, modelul trebuie să

permită realizarea unui număr extrem de mare de reîmprăştieri ulterioare. În consecinţă,

termenul de ciocnire include mai mult de 50 de specii de barioni şi 45 de mezoni. De

asemenea, au fost considerate şi antiparticulele coresounzătoare. Pentru aceasta s-a folosit

conjugarea de sarcină astfel încât să se asigure simetria barion-antibarion. Nu sunt

considerate explicit rezonanţele mezonice foarte grele (cele cu m > 2 GeV/c2).

Toate particulele care sunt produse în ciocniri hadron-hadron pot interacţiona

ulterior unele cu altele. În codurile de calcul asociate sunt implementate diferitele canale

de dezintegrare ale nucleonilor, rezonanţele nucleonice (în principal, rezonanţa ) şi

modurile lor de dezintegrare, hiperonii, precum şi alte rezonanţe cu mase de repaus până

la 2.25 GeV/c2. Sunt incluşi, de asemenea, mezonii şi modurile lor de dezintegrare. La

energii mai mari se ţine seama de proprietatea de universalitate a hadronilor. Se introduce

un model de “corzi” (“string”-uri) pentru studierea dezintegrării stărilor intermediare .

La folosirea codurilor de simulare asociate modelelor de dinamică moleculară cuantică

trebuie luat în considerare faptul că pentru modelele microscopice de transport trebuie

luate ca date de intrare fundamentale tipurile de particule considerate şi secţiunile eficace

pentru interacţii hadron-hadron, dependente de energia de ciocnire. Secţiunile eficace

totale sunt interpretate geoimetric. O ciocnire între doi hadroni se realizează dacă distanţa

minimă dintre cele două particule, d, este în următoarea relaţie de legătură cu secţiunea

eficace totală pentru interacţia considerată, tot , anume:

totd . În codurile de

simulare UrQMD secţiunea efucace totală, tot , depinde de izospinii particulelor care se

ciocnesc, de aromele lor şi de energia disponibilă în sistemul centrului de masă.

Secţiunile eficace parţiale pot fi utilizate pentru a calcula ponderile relative pentru diferite

canale de reacţie care se pot deschide în ciocnirea considerată, la o anumită energie. În

aceste calcule trebuie avut în vedere că numai o mică parte din toate secţiunile eficace

hadronice a fost măsurată în experimente.

Hadronii sunt “obiecte” dinamice. Ei provin din spaţiul configuraţiilor Fock cu

dimensiuni spaţiale foarte diferite. La energii foarte mari configurtaţiile de cuarci şi

gluoni ale hadronilor incidenţi pot fi considerate fixate (“îngheţate”) datorită dilatării

timpului (dilatrea Lorentz a timpului). De asemenea, la aceste energii, datorită lungimii

de coerenţă mari (peste două unităţi) se poate aplica optica de culoare geometrică.

“Obiectele” mici produse în procese de interacţie tare, cu transferuri mari de impuls, Q2,

au, de aceea, secţiuni eficace de interacţie reduse. În procese de interacţie tare cu valori

moderate ale trasferului de impuls Q2 astfel de “obiecte” compacte care reperzintă o

superpoziţie coerentă de stări proprii al hamiltonian-ului specific Cromodinamicii

cuantice ar putea să câştige în dimensiuni. Atunci când configuraţia de cuarci şi gluoni

este mare este posibil să se producă o creştere a secţiunii eficace de interacţie a

hadronilor cu mediul nuclear.

În funcţie de varianta de model sau de cod de simulare asociat unui model de

dinamică moleculară cuantică pot fi introduse şi alte ipoteze. Datorită codurilor de

simulare asociate modelele de acest tip se apropie cel mai mult de ceea ce se invoca la

începutul acestei părţi a cursului, anume o teoreie de mai multe corpuri, cuantică,

relativistă, cu luarea în considerare a gradelor de liberatate subnucelonice. De aceea, în

prezent, acest cod de simulare este unul dintre cele mai folosite pentru studierea dinamicii

ciocirilor nucleare relativiste şi ultrarelativiste.

XVII.3. Predicţii ale modelelor de dinamică moleculară cuantică şi

comparaţii cu rezultatele experimetale

Modelele de dinamică moleculară pot da informaţii dintre cele mai diferite asupra

dinamcii ciocnirilor nucleare relativiste. Cantitatea şi calitatea acestor informaţii depinde

de ipotezele iniţiale folosite, de domeniul de energie considerat, geometria ciocnirii –

incluzând aici şi parametrul de ciocnire şi gradul de simetrie dintre numerele de masă ale

nucleelor care se ciocnesc – de calitatea codului de simulare asociat.

Printre problemele de interes cărora modelele de dinamică moleculară au încercat să dea

răspunsuri se numără: stoparea nucleară, termalizarea, densitatea nucleară şi evoluţiile

lor temporale, precum şi analiza semnalelor experimentale posibile ale formării plasmei

de cuarci şi gluoni.

În etapa actuală a dezvoltării Fizicii nucleare relativiste cea mai interesantă direcţie de

utilizarea a modelelor de dinamică nucleară este cea a analizei semnalelor experimentale

ale formării plasmei de cuarci şi gluoni [173-178]. Despre unele din ele se va discuta la

cursul de Stări anomale şi tranziţii de fază în materia nucleară (anul V INPE Masterat).

Capitolul al XVIII-lea

Modelul fenomenologic geometric

XVIII.1. Bazele experimentale şi fenomenologice ale modelului

De-a lungul părţii a doua a cursului s-au discutat o serie de asapecte legate de

comportarea rezultatelor experimentale referitoare la unele mărimi fizice cu semnificaţie

dinamică (secţiuni eficace, multiplicităţi, participanţi, dpectre de energie şi impuls,

caracteristici spaţio-temporale ale sursei de particule ş.a.). De fiecare dată s-a subliniat

modul în care ele reflectă geometria ciocnirii – determinată de parametrul de ciocnire şi

de gradul de simetrie dintre nucleele care se ciocnesc. Rezultatele experimentale pentru

ciocnirile nucleu-nucleu de la energii de câteva sute de GeV/nucleon la energii de sute de

GeV/nucleon reflectă imaginea participanţi-spectatori. Pornind de la faptul că, la energii

relativiste, lungimea de undă asociată unui nucleon din nucleul incident este mult mai

mică decât distanţa internucleonică medie în nucleul ţintă, iar drumul liber mediu al

nucelonilor din nucleul incident în nucleul ţintă este mai mic decât raza acestuia,

descrierea dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste are la bază ipoteza că nucleele care se

ciocnesc pot fi considerate ca nişte “nori” de nucleoni individuali care se propagă unul

prin celălalt, iar în regiunea de suprapeunere a celor două nuclee care se ciocnesc se

produc interacţii tari secvenţiale nucleon-nucleon. Regiunea de suprapunere a celor două

nuclee care se ciocnesc se numeşte regiune participantă, iar regiunea/regiunile

nesuprapusă/nesuprapuse se numeşte/numesc regiune/regiuni spectatoare. De ipotezele

privind forma regiunii de suprapunere depind multe din informaţiile dinamice care se pot

obţine.

Analiza comportării rezultatelor experimentale obţinute în ciocniri nucleu-nucleu

la 4.5 A GeV/c a permis să se considere următoarea imagine a desfăşurării ciocnirii

[3,4,7,11,27-29,36,37,85]: în regiunea de suprapunere a celor două nuclee care se

ciocnesc apare o regiune fierbinte; această regiune “curge” printre regiunile spectatoare,

periferice, mult mai reci. Regiunile spectatoare pot să frâneze mişcarea regiunii

participante şi să permită o expansiune “privilegiată” pe anumite direcţii permise de

geometria ciocnirii. Totodată, ele pot absorbi unele particule generate din regiunea

fierbinte. Pentru descrierea multor fenomene este important să se ia în considerare ceea

ce se întîmplă la regiunea de contact dintre cele două feluri de regiuni în timpul

“curgerii”.

Pentru a estima unele mărimi fizice de interes, se fac unele ipotze simplificatoare

legate, în principal, de geometria ciocnirii. Printre cele mai importante sunt următoarele:

(i) nucleonii sunt sfere de rază ro , iar nucleele sunt sfere de rază 31

0 ArR ;

(ii) iniţial, în nucleul ţintă se crează o zonă sferică; volumul acestei zone depinde de

parametrul de impact b şi de energia fasciculului;

(iii) zona sferică evoluează într-o sferă fierbinte de volum egal cu volumul zonei sferice;

(iv) raportul TP

TP

ZZ

AA

rămâne constatnt şi în regiunea de suprapunere a nucleelor care

se ciocnesc.

Cu ajutorul ipotezelor de mai sus se pot calcula raza regiunii de suprapunere a

nucleeor care se ciocnesc (raza regiunii fierbinţi), r, numărul total de nucleoni

participanţi, QN, şi numărul de protoni participanţi, Q. Relaţiile care se obţin sunt

următoarele:

31

22

2

2

13

1

332

hrrhc

r

(III.157)

3

0

22

2

2

1

8

)33(

r

hrrhQN

(III.158)

TP

TPN

AA

ZZQQ

(III.159)

unde 222

2,1 PT RbRr , h=2RP , cu RP şi RT raza nucleului incident, respectiv, raza

nucleului ţintă; c(γ) este o cantitate care depinde de factorul Lorentz şi de momentul din

evoluţia regiunii fierbinţi. Pentru trei momente importante în descrierea dinamicii

ciocnirilor nucleare relativiste, anume: crearea sferei fierbinţi, emisia pionilor, respectiv,

încetarea contactului dintre regiunea participantă şi regiunile spectatoare, valorile

mărimii c() sunt: -1, -2/3

, respectiv, 1. La introducerea acestor valori s-a avut în vedere,

aşa cum s-a menţionat, contracţia Lorentz şi energia pe nucleon a fasciculului incident,

precum şi natura proceselor care au loc. În cazul formării sferei fierbinţi s-a avut în

vedere faptul că procesele se produc în întregul volum al regiunii participante. Emisia de

pioni este considerată un proces de suprafaţă şi, în baza ipotezelor fundamentale şi

ipotezelor de calcul, s-a ajuns la forma -2/3. La încetarea contactului dintre regiuni se

poate considera că tipul scurs a fost suficient de lung pentru ca expansiunea să conducă la

situarea particulelor din sfera fierbinte la distanţe suficient de mari între ele astfel încât să

aibă loc încetarea interacţiilor tari şi dispariţia contracţiei Lorentz iniţiale. De aceea,

valoarea mărimii c() se consideră egală cu 1.

După creare, sfera fierbinte “curge” un anumit timp – determinat de energia

fasciculului incident şi dimensiunea nucleelor care se ciocnesc – între regiunile

spectatoare, cu care este în interacţie în timpul “curgerii”. De aceea, poate fi folosită

următoarea presupunere: numărul de nucleoni din sfera fierbinte se schimbă foarte lent.

În acest caz, estimarea densităţii nucleare, la diferite momente ale evoluţiei acestei sfere,

poate fi făcută folosind următoarea relaţie:

t

sf

N

tV

Q (III.160)

cu Vsf t volumul sferei fierbinţi la momentul t. Ca momente importante din evoluţia sferei

fierbinţi trebuie considerate: crearea sferei fierbinţi, emisia pionilor, încetarea

contactului dintre regiunea participantă şi regiunile spectatoare.

În timpul procesului de suprapunere a celor două nuclee care se ciocnesc are loc

compresia şi încălzirea materiei nucleare din regiunea de suprapunere.

Estimarea coeficientului de compresibilitate, K, respectiv, estimarea vâscozităţii,

η, la momentul creerii sferei fierbinţi se poate face cu ajutorul relaţiilor de mai jos:

0

iNN

i

QWK , (III.161)

sf

i

NN

NTP

v

v

WQ

WAA.

0

. (III.162)

În relaţiile de mai sus WN este energiei de repaus a nucleonului liber, εo este densitatea de

energie a materiei nucleare în starea fundamentală (εo=125 MeV/Fm3), WN

o este energia

de repaus a nucleonului legat, vi este viteza iniţială a sferei fierbinţi, iar vsf este viteza de

curgere a sferei fierbinţi (ambele viteze sunt considerate în sistemul laboratorului).

Factorul Lorentz, γ, în sistemul centrului de masă este dat de relaţia următoare:

N

cin

AM

E.

2

112 , (III.163)

cu A

Ecin energia cinetică pe nucleon în sistemul laboratorului şi MN masa de repaus a

nucleonului.

Pentru estimarea coeficientului de vâscozitate este necesară cunoaşterea ecuaţiei

de stare a materiei nucleare. Se consideră o ecuaţie de stare are forma:

CTN EEWTW 0

, , (III.164)

unde ET şi EC sunt energia termică pe barion, respectiv, energia de compresie pe barion.

Relaţiile de definiţie uzuale pentru cele două energii sunt următoarele:

2

0

2

0

18

i

C

KE , (III.165)

TE , (III.166)

cu Tm

Tf

, unde T este temperatura de emisie a particulelor cu masă de repaus m. O

expresie des folosită pentru funcţia

m

Tf este următoarea:

32

.128

135.

8

15.

8

15

2

3

m

T

m

T

m

T

m

Tf . (III.167)

Pentru calcularea presiunii p şi vitezelor sferei fierbinţi, la momentul iniţial, vi, şi în

timpul curgerii, vsf, mărimi care permit estimarea vâscozităţii, se poste folosi ecuaţia

Rankine-Hugoniot, precum şi ecuaţiile de continuitate pentru densitatea de energie şi

densitatea de flux. Ecuaţia Rankine-Hugoniot are următoarea formă:

00

02

0

2

WWpWW . (III.168)

Pentru vitezele sferei fierbinţi la momentul iniţial şi în timpul curgerii se obţin

următoarele expresii:

2

1

0000 ))((

pW

pWWW

c

vi , (III.169)

2

1

00

00

)(

)(

WpW

WWp

c

vsf . (III.170)

Folosind relaţiile anterioare se poate estima vâscozitatea materiei nucleare.

Trebuie menţionat faptul că, mai târziu, s-a propus introducerea în ecuaţia de stare

a unui termen suplimentar care să ia în considerare curegerea hidrodinamică a materiei

nucleare. Acest termen s-a numit termen de curgere [27,140].

Modelul fenomenologic geometric propus permite şi estimarea secţiunilor eficace

inelastice pentru ciconiri asimetrice.

S-a arătat în partea a doua a cursului că secţiunile eficace inelastice pot fi descrise cu

următoarea relaţie geometrică:

231

312

0

1 TPin AAr , (III.171)

unde δ este un parametru de corecţie care se referă la “moliciunea” (transparenţa)

suprafeţelor nucleelor care se ciocnesc. Această moliciune este o consecinţă a proprietăţii

de saturaţie a forţelor nucleare.

Pentru secţiuni eficace inelastice, în ciocniri nesimetrice, în cadrul modelului, este

presupusă următoarea relaţie:

2

31

31

312

0

2

)(

PT

TP

TPinAA

AAAAr (III.172)

Din analiza rezultatelor experimentale se poate conchide că nucleele care se

ciocnesc la energii mari interacţionează în mod eficient într-o rază r = ro(AP1/3

+ AT1/3

- ).

Aşa cum s-a arătat în capitolul consacrat secţiunilor eficace din partea a II-a a

cursului valorile parametrilor ro şi variază de la experiment la experiment. Din fit-urile la

rezultatele experimentale obţinute în unele ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c făcute pînă

în prezent s-au obţinut următoarele valori ale celor doi parametri: ro=1.25Fm, =0.65

[3,4,7,36,37,85].

XVIII.2. Compararea calculelor de model cu rezultatele

experimentale

Pentru confirmarea descrierii fenomenologice făcute, folosind modul în care

geometria ciocnirii este reflectată de datele şi rezultatele experimentale, şi validarea

ipotezelor făcute este necesară compararea calculelor şi predicţiilor modelului cu

rezultatele experimentale.

O mărime fundamentală pentru validarea modelului fenomenlogic geometric este

numărul de participanţi. Folosind relaţiile (III.158) şi (III.159) s-au calculat numerele

totale de nucleoni participanţi şi de protoni participanţi pentru 11 ciconiri nucleu-nucleu

la 4.5 A GeV/c. Calculele au fost comparate cu rezultatele experimentale obţinute pentru

aceleaşi ciocniri. Acordul dintre calcule şi rezultatele experimentale este bun

[3,4,7,29,36,37,85,98,179]. În plus, se obţin rezultate mult mai bune decât în cazul în care

s-ar folosi metoda considerată anterior pentru estimarea numărului de nucleoni

perticipanţi pornind de la numărul de protoni participanţi determinaţi experimental [1,2].

Aşa cum s-a menţionat în partea a doua a cursului (Capitolul al VII-lea), în literatura de

specialitate a timpului se folosea pentru estimarea numărului de nucleoni participanţi, în

ciocniri simetrice, o relaţie de forma:

QNest

= Q , (III.173)

iar pentru ciocniri asimetrice o relaţie de forma:

QNest

= 2.5Q . (III.174)

În Tabelul III.2. sunt incluse valorile experimentale, valorile calculate pe baza

relaţiilor (III.158) şi (III.159), precum şi estimările pe baza relaţiilor (III.173) şi

(III.174) pentru trei ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c, pentru grade de

centralitate diferite. Din analiza valorilor incluse în tabel se constată că există un

acord bun între valorile experimentale şi cele calculate, pentru toate gradele de

centralitate a ciocnirii (determinate de modurile de declanşare a camerei cu streamer,

notate prin T(ch,n)). Un argument convingător suplimentar este oferit şi de

introducerea în tabel a rezultatleor calculelor de model pentru nucleoni participanţi

folosins atât valuarea experimentală, cât şi valoarea calculată a numărului de protoni

participanţi. Se constată, de asemenea, că pentru ciocniri simetrice şi cuasisimetrice

estimările pe baza relaţiei (III.173) dau rezultate similare cu cele obţinute pe baza

calculelor de model, în timp ce pentru ciocniri nesimetrice se obţine o concordanţă

bună cu calculele de model folosind estimările pe baza relaţiei (III.174). Pentru

ciocniri care au raportul dintre suma numerelor de masă la suma numerelor atomice

cuprins între 2 şi 2.5 calculele de model dau rezultate între cele două estimări extreme

şi în acord cu rezultatele experimentale. Toate aceste observaţii justifică introducerea

ipotezei (iv) a modelului fenomenologic geometric. Prin aceasta se individualizează

fiecare ciocnire şi se obţin rezultate mai apropiate de realitatea fizică.

AP-AT T(ch,n

)

Qexp Qc QNest

rel.(III.17

3)

QNest

rel.(III.17

4)

QNc-exp

QNc

O-Ne T(2,0) 9.580.2

4

9.85 19.160.4

8

23.950.6

0

19.160.4

8

19.70

T(5,0) 9.720.3

2

9.90 19.440.6

4

24.300.8

0

19.440.6

4

19.80

T(14,0) 9.860.3

6

9.92 19.720.7

2

24.650.9

0

19.720.7

2

19.84

C-Cu T(2,0) 19.700.

91

20.0

0

39.401.8

2

49.252.2

8

42.751.9

7

43.43

T(5,0) 22.101.

10

21.4

0

44.202.2

0

55.202.7

5

47.802.3

9

46.20

T(14,0) 22.601.

30

22.5

0

45.202.6

0

56.503.2

5

48.902.8

2

48.20

O-Pb T(2,0) 39.510.

44

36.8

0

79.020.8

8

98.781.1

0

98.332.8

2

91.60

T(5,0) 47.602.

30

45.7

0

95.204.6

0

119.005.

75

118.505.

73

113.70

T(14,0) 50.902.

70

50.1

0

101.805.

40

127.206.

75

126.706.

72

124.70

Tabelul III.2. Valorile experimentale, estimate şi calculate ale numărului mediu de

protoni participanţi şi ale numărului total mediu de nucleoni participanţi în diferite

ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c cu diverse grade de centralitate.

Rezultate similare au fost obţinute şi pentru alte ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A

GeV/c, în modul de declanşare T(2,0) al camerei cu streamer a spectrometrului SKM

200 de la IUCN Dubna (Tabelul III.3).

Datorită acordului bun dintre rezultatele experimentale şi calculele de model se

poate trece la compararea calculelor de model cu rezultatele experimentale referitoare

la alte mărimi fizice de interes. Cum în studierea dinamicii ciocnirilor nucleare

relativiste şi a proprietăţilor materie nucleare înalt excitate este importantă

cunoaşterea densităţii barionice

AP-AT Qexp Qc QNest

rel.(III.17

3)

QNest

rel.(III.17

4)

QNc-exp

QNc

He-C 4.70.2 4.6 9.40.4 11.80.5 9.40.4 9.3

He-Al 5.80.6 7.0 11.61.2 14.51.5 12.01.3 14.6

He-Cu 8.20.5 10.1 16.41.0 20.51.3 18.01.1 22.1

He-Pb 14.701.

2

14.5 29.42.4 36.83.0 37.13.0 36.6

C-C 7.800.3 6.2 15.60.6 19.50.8 15.60.6 12.4

C-Ne 10.10.5 9.7 20.21.0 25.31.3 20.21.0 19.4

C-Zr 22.00.9 21.2 44.01.8 55.02.3 49.320 47.7

C-Pb 34.81.3 33.8 69.62.6 87.03.3 87.03.3 84.4

Tabelul III.3. Valorile experimentale, estimate şi calculate ale numărului mediu de

protoni participanţi şi ale numărului total mediu de nucleoni participanţi în diferite

ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c, pentru modul de declanşare T(2,0)

şi de energie a materiei nucleare este importantă determinarea caracteristicilor spaţio-

temporale ale sferei fierbinţi – care este sursa de particule principală în ciocniri nucleare

relativiste – şi determinarea densităţii barionice la diferite momente din evoluţia sferei

fierbinţi, conform relaţiei (III.160). În mod similar se poate determina densitatea de

energie, pentru aceleaşi moment, anume:

t

sf

NN

tV

WQ . (III.175)

Pentru determinarea razei sursei de particule, în cadrul modelului fenomenologic

geometric, se foloseşte relaţia (III.157). Valorile obţinute pot fi comparate cu cele

obţinute prin interferometrie de particule identice [180-182]. Dacă acordul dintre cele

două metode este bun se poate considera că valorile obţinute pentru densităţile barionice

şi de energie reflectăp corerct dinamica ciocnirii.

În Tabelul III.4 sunt prezentate valorile obţinute, pe baza calculelor de model,

pentru raza sferei fierbinţi şi densitatea barionică în trei momente din evoluţia acesteia,

anume: crearea sferei fierbinţi, emisia pionilor, respectiv, încetarea contactului dintre

regiunea participantă şi regiunile spectatoare. Calculele au fost făcute pentru 11 ciocniri

centrale nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c, în modul de declanşare T(2,0) a camerei cu

streamer a spectrometrului SKM 200 de la IUCN Dubna [3,4,7,34,36,37], cu luarea în

considerare a valorilor corespunzătoare ale mărimii c() pentru aceste momente.

AP-AT rI

[Fm

]

iexp

[Fm-

3]

ic

[Fm-

3]

rexp

[Fm

]

rc

[Fm

]

exp

[Fm-

3]

c

[Fm-

3]

rfexp

[Fm

]

rfc

[Fm

]

fexp

[Fm-

3]

fc

[Fm-

3]

O-Ne 1.91 0.656 0.675 2.25 2.27 0.401 0.402 3.21 3.24 0.13

8

0.138

O-Pb 3.18 0.729 0.680 3.89 3.80 0.399 0.398 5.54 5.41 0.13

8

0.138

He-C 1.48 0.692 0.685 1.78 1.77 0.398 0.400 2.53 2.52 0.13

9

0.139

He-

Al

1.72 0.563 0.685 1.93 2.06 0.398 0.399 2.75 2.93 0.13

8

0.138

He-

Cu

1.98 0.553 0.680 2.20 2.36 0.403 0.401 3.14 3.36 0.13

9

0.139

He-

Pb

2.34 0.617 0.682 2.81 2.79 0.399 0.402 4.00 3.98 0.13

8

0.139

C-C 1.62 0.876 0.696 2.10 1.95 0.402 0.399 2.99 2.78 0.13

9

0.138

C-Ne 1.87 0.737 0.708 2.29 2.26 0.401 0.401 3.27 3.22 0.13

8

0.139

C-Cu 2.48 0.669 0.680 2.94 2.96 0.402 0.400 4.19 4.21 0.13

9

0.139

C-Zr 2.55 0.710 0.687 3.09 3.05 0.399 0.401 4.40 4.35 0.13

8

0.138

C-Pb 3.10 0.697 0.676 3.73 3.69 0.400 0.401 5.32 5.26 0.13

8

0.138

Tabelul III.4. Valorile razei sferei fierbinţi şi densităţii barionice în trei momente din

evoluţia regiunii participante - crearea sferei fierbinţi (i), emisia pionilor () şi încetarea

contactului dintre regiunea participantă şi regiunile spectatoare (f) – pentru diferite

ciocniri centrale nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c, într-un mod de declanşare T(2,0)

Trebuie menţionat faptul că în tabelul anterior s-a notat ca valoare experimentală

valoarea obţinută pornind de la valoarea experimentală a numărului mediu de protoni

participanţi, iar ca valoare calculată valoarea obţinută folosind relaţiile (III.157)-

(III.159) date de către modelul fenomenologic geometric.

Din analiza valorilor incluse în Tabelul III.4 se constată că razele cresc – pentru

un nucleu incident dat – cu creşterea numărului de masă al nucleului ţintă. Pentru o

ciocnire dată, raza sferei fierbinţi creşte de la momentul iniţial al formării la momentul

încetării contactului dintre regiuni. Densitatea barionică – dar şi densitatea nucleară şi

densitatea de energie – în regiunea participantă scade cu creşterea razei sferei fierbinţi.

Pentru un anumit moment din evoluţia sferei fierbinţi - crearea sferei fierbinţi (i), emisia

pionilor () sau încetarea contactului dintre regiunea participantă şi regiunile

spectatoare (f) – densitatea barionică, densitatea nucleară şi densitatea de energie sunt

constante pentru toate ciocnirile. Această comportare sugerează o dependenţă puternică

de energia nucleului incident.

Se observă, de asemenea, faptul că densitatea barionică la momentul formării

sferei fierbinţi – la fel ca şi celelalte două tipuri de densităţi considerate – este cea mai

sensibilă la fluctuaţiile unor mărimi fizice care intervin în calcule (acest lucru este mai

evident pentru valorile experimentale). Diferenţele cele mai mari între valorile

experimentale şi calculate se constată pentru ciocniri centrale simetrice şi

cuasisimetrice. Aceste diferenţe s-ar putea datora faptului că numărul de nucleoni din

regiunea participantă scade mai rapid datorită absenţei interacţiilor semnificative cu

regiunea/regiunile spectatoare, ceea ce determină o expansiune mult mai rapidă a sferei

fierbinţi şi scade mult – până la anulare – probabilitatea de absorbţie a particulelor

emise din regiunea participantă de către regiunile spectatoare.

Este de remarcat, de asemenea, faptul că valoriile medii sunt practic egale pentru

valorile experimentale şi valorile calculate, pentru toate cele trei momente considerate

din evoluţia regiunii participante. Astfel, pentru momentul formării se obţin următoarele

valorii medii: <iexp

> = 0.6820.089 Fm-3

, <ic> = 0.6820.010 Fm

-3. Dacă se

raportează la densitatea barionică a materie nucleare în stare fundamentală, 0 = 0.170

Fm-3

, se obţine: <i > = 40. Dacă se consideră momentul emisiei pionilor valoriile medii

obţinute sunt egale: <exp

> = 0.4000.001 Fm-3

, <c> = 0.4000.001 Fm

-3. Prin

raportarea la denistatea barionică a materiei nucleare în stare fundamentală se obţine

următorul rezultat: <> = 2.35 0. Pentru momentul încetării contactului dintre cele

două tipuri de regiuni rezultatele obţinute sunt identice, anume: <fexp

> = 0.1380.001

Fm-3

, <c> = 0.1380.001 Fm

-3. Ele coresund unei denistăţi relative <f> = 0.81 0..

Densitatea la momentul încetării contactului dintre cele două regiuni poate fi

asociată cu densitatea de “îngheţ” (”freeze-out”) sau cu densitatea de “rupere”

(“break-up”). Aceste densităţi se întâlnesc în modelele termodinamice şi modelele

hidrodinamice.

Trebuie făcute, totuşi, unele precizări, anume:

(a) în cazul acestor modele se presupune, din considerente teoretice, o anumită densitate

de “îngheţ”; în cazul modelului fenomenologic geometric densitatea la momentul

încetării contactului dintre regiuni se poate calcula din mărimi determinate

experimental;

(b) valorile relative ale densităţii de “îngheţ” şi ale densităţii de “rupere” sunt cuprinse,

pentru energii de ordinul a câţiva GeV/nucleon, între 0.50 0 şi 0.80 0;

(c) este posibil să existe o dependenţă a acestei densităţi de energia fasciculului incident;

(d) există posibilitatea existenţei unor interacţii de distanţă lungă care între cele două

tipuri de regiuni care să se manifeste şi după încetarea contactului direct dintre regiuni.

La discutarea interferometriei de particule identice (capitolul al VIII-lea, partea a

II-a) s-a sublinita faptul că este dificilă compararea directă a valorilor razei sursei datorită

folosirii unor distribuţii spaţiale diferite cu care se fit-ează funcţia de corelaţie

experimentală în diversele experimente considerate. Pentru descrierea sursei de particule

pot fi folosite diferite funcţii de distribuţie. Spre exemplu, dacă emisia de particule este

uniformă de la suprafaţa unei sfere de rază R, atunci funcţia de corelaţie poate fi descrisă

prin expresia de mai jos:

2

0

2

04

1exp1, qqRqqC (III.176)

Aici λ este un parametru care consideră interferenţa efectivă dintre particule. Parametrul

depinde de gradul de coerenţă, de configuraţia sursei de particule şi de corelaţiile

dinamice specifice posibile. Se numeşte şi parametru de haos. Pentru o funcţie de

distribuţie Gauss în sursa de particule, funcţia de corelaţie poate fi scrisă astfel:

22exp1,

2

0

2

0

qqRqqCG (III.177)

Pentru ciconirile nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c s-a considerat forma de tip Gauss

dată de relaţia (III.177). Ea oferă posibilitatea de a stabile caracteristicile spaţio-

temporale ale sursei de particule în toate cele trei etape ale ciocnirii: crearea zonei

fierbinţi (ri), emisia de pioni (rπ) şi încetarea interacţiilor dintre regiunea participantă şi

regiunea spectatoare (rf).

S-a folosit interferometria de intensitate pentru determinarea dimensiunilor

regiunii participante la emisia de pioni în câteva ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c

[3,4.7,183,184]. Pentru ciocniri centrale O-Pb s-au considerat peste 12 000 de perechi de

pioni negativi. Valorile obţinute pentru raza regiunii participante, timpul de viaţă şi

parametrul de haos sunt: r = 3.680.29 Fm, = 6.630.55 Fm/c, = 0.770.26.

Valaorea razei regiunii participante la emisia de pioni este într-un acord bun cu valorile

obţinute cu ajutorul modelului fenomenologic geometric, anume: rexp

= 3.89 Fm,

respectiv, rc = 3.80 Fm. Acorduri bune au fost obţinute şi pentru ciocniri He-AT şi C-AT

la aceeaşi energie [184]. Rezultatele obţinute măresc încrederea în modelul considerat.

Ţinînd seama de faptul că numărul de nucleoni participanţi, QN, este legat de

posibilele corelaţii în generarea de particule şi luând în considerare relaţia de legătură

clasică dintre raza unui nucleu şi numărul de nucleoni din nucleu se pot determina

dimensiunile regiunii participante pentru două din momentele din evoluţia regiunii

participante, anume: emisia de pioni şi încetarea interacţiilor. Relaţiile propuse sunt de

forma următoare [179]:

31

No Qrr , (III.178)

31

0 Nf Qrr . (III.179)

Şi în acest caz se obţin acorduri bune între calculele de model şi rezultatele

experimentale.

În faza iniţială, de suprapunere a nucleelor care se ciocnesc, apare compresia

materie nucleare. Coeficienţii de compresibilitate calculaţi pe baza relaţiei (III.161),

pentru 11 ciocniri centrale nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c sunt incluşi în Tabelul III.5.

AP-AT QNexp

Kiexp

[MeV]

He-C 9.4 82.3

He-Al 12.0 105.2

He-Cu 18.0 157.5

He-Pb 37.1 324.7

C-C 15.6 136.5

C-Ne 20.2 176.8

C-Cu 42.8 374.2

C-Zr 49.3 431.5

C-Pb 87.0 761.4

O-Ne 19.2 167.7

O-Pb 98.3 860.6

Tabelul III.5. Valorile experimentale ale coeficientului de compresibilitate

Din analiza valorilor coeficienţilor de compresibilitate pentru ciocnirile considerate, cu

grade de asimetrie diferite, se constată faptul că valorile acestuia cresc semnificativ cu

creşterea numărului de masă al nucleului ţintă. Pentru un nucleu ţintă dat coeficientul de

compresibilitate creşte cu creşterea numărului de masă al nucleului incident. Această

creştere este dată, aproximativ, de raportul suprafeţelor.

Mărimile determinate permit estimarea din mărimi determinate experimental a ecuaţiei de

stare a materie nucleare pentru ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c. În Tabelul III.6

sunt incluse rezultatelele calculelor bazate pe relaţiile (III.162)-(III.170) folosind valori

experimentale pentru mărimile fizice care intervin. Calculele sunt efectuate pentru cele

11 ciocniri centrale considerate anterior.

Se constată faptul că energia de compresie este mult mai dependentă de raportul dintre

numerele de masă ale nucleelor care se ciocnesc decât energia termică. De asemenea,

energia totală pe nucleon este aproximativ egală cu energia totală pe nucleon în sistemul

centrului de masă (mN = 1604 MeV/nucleon). Rezultatele obţinute pentru coeficientul de

vâscozitate indică dependenţa de raportul dintre masele nucleelor care se ciocnesc. De

asemenea, ele reflectă importanţa fenomenelor şi proceselor fizice care au loc la suprafaţa

de contact dintre regiunea participantă şi regiunea/regiunile spectatoare pentru descrierea

corectă a dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste. Valorile obţinute sunt în acord cu cele

stabilite prin alte metode pentru ciocniri nucleu-nucleu la energii cuprinse între 0.4 A

GeV şi 15 A GeV [3,4,7,34,36,37].

AP-AT EC

[MeV/A]

ET

[MeV/A]

W(,T)

[MeV/A]

P[MeV/Fm3] vi /c vsf /c vi /vsf

O-Pb 483.2 503.1 1917.4 1057.1 0.99 0.87 1.13 1.49

O-Ne 94.2 412.7 1438.1 357.2 0.91 0.76 1.19 1.30

He-C 46.2 384.1 1361.5 283.6 0.88 0.73 1.20 1.19

He-Al 59.1 428.2 1418.5 337.6 0.90 0.75 1.19 1.77

He-Cu 88.5 439.1 1458.8 378.4 0.92 0.77 1.10 2.61

He-Pb 182.4 446.0 1559.5 491.6 0.94 0.80 1.17 3.87

C – C 76.7 373.0 1380.8 301.6 0.89 0.74 1.20 1.07

C- Ne 99.3 410.8 1441.3 360.4 0.91 0.76 1.19 1.13

C-Cu 210.2 457.8 1599.2 540.8 0.95 0.81 1.17 1.20

C-Zr 242.4 473.9 1647.4 604.6 0.96 0.82 1.16 1.40

C-Pb 427.8 503.1 1862.0 949.3 0.98 0.87 1.13 1.65

Tabelul III.6.

Modelul prevede formarea nucleelor uşoare prin interacţiile care au loc la

suprafaţa de contact dintre regiunea participantă şi regiunea/regiunile spectatoare.

Majoritatea particulele elementare – kaoni de diferite tipuri, hiperoni, rezonanţe barionice

şi mezonice etc. – sunt produse în interiorul regiunii participante. Această ipoteză este în

acord cu ratele de producere experimentale pentru astfel de particule. Este de presupus că

mecanismele de formare şi ratele de producere sunt afectate de pierderile de energie în

regiunea participantă, absorbţiile în regiunile spectatoare ş.a.

Modelul permite studierea unor tranziţii de fază precum cele la faza de vapori-

lichid, materie de rezonanţă, plasmă hadronică şi plasmă de dicuarci.

În forma sa iniţială modelulul nu putea descrie decât ciocnirile nucleu-nucleu la energii

până la 15 A GeV. O variantă a modelului a fost adaptată pentru descrierea dinamicii

ciocnirilor nucleare la sisteme de accelerare de tip “collider” [185]. Rezultatele obţinute

sunt în acord cu rezultatele experimentale şi cu calculele bazate pe diferite coduri de

simulare. În pofida unor dificultăţi legate de domeniile energetice de aplicabilitate şi de

imposibilitatea deducerii unor mărimi obţinute experimental, modelul feonomenologic

geometric dă o descriere generală corectă a dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste.

Capitolul al XIX-lea

Unele remarci finale

Luarea în considerare a diverselor aspecte ale dinamicii ciocnirilor nucleare

relativiste a condus la apariţia a numeroase modele care folosesc un număr mare de

concepte, de la cele clasice la cele specifice modelului standard [32-34].

Printre conceptele cele mai des folosite în descrierea dinamicii ciocnirilor

nucleare relativiste de o largă răspândire se bucură cele statistice şi hidrodinamice [13-

16,20,21,34-37]. Caracterizarea stărilor şi proprietăţilor materiei nucleare, în condiţiile în

care densităţile şi temperaturile foarte mari atinse în regiunea de suprapunere a nucleelor

care se ciocnesc durează timpi de ordinul câtorva Fm/c, se poate face, totuşi, folosind fie

ipoteza echilibrului global - cazul modelelor termodinamice [38-41] - fie ipoteza

echilibrului local - cazul modelelor hidrodinamice [42-46]. Folosirea ipotezei echilibrului

în materia nucleară fierbinte şi densă permite introducerea unor variabile specifice

ansamblurilor statistice de tip canonic, cum ar fi temperatura şi densitatea. In acest caz se

pot defini diferite mărimi fizice de interes ca funcţii de variabilele canonice, precum şi

relaţii de legătură între diferitele mărimi de interes, folosind relaţii termodinamice

obişnuite [47,48]. Cea mai importantă relaţie care se doreşte a fi obţinută este ecuaţia de

stare a materiei nucleare [49,50].

În descrierea dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste se folosesc frecvent teorii

legate de câmpul mediu. In acest caz este necesară folosirea ecuaţiei Dirac dependente de

timp, pentru descrierea proceselor în care sunt implicaţi nucleonii. De asemenea, este

necesară luarea în considerare a câmpurilor mezonice - atractive şi repulsive - precum şi a

interacţiilor mezon-barion, ceea ce implică folosirea ecuaţiilor Klein-Gordon şi Proca sau

a altor tipuri de ecuaţii şi potenţiale [14-16,32-34,51-53]. Dacă în cazul modelelor

considerate anterior era importantă găsirea unei ecuaţii de stare coresunzătoare a materiei

nucleare folosind concepte şi relaţii termodinamice şi hidrodinamice, în acest caz este

importantă scrierea unui lagrange-ian efectiv în termenii unor energii cinetice şi

potenţiale corespunzătoare, care să permită folosirea de mase şi constante de cuplaj

fenomenologice. In funcţie de numărul şi natura termenilor introduşi în lagrange-ian se

poate descrie materia nucleară infinită la temperaturi şi densităţi diferite. Obţinerea

ecuaţiei de stare este posibilă, în acest caz, prin introducerea în lagrange-ian a unor

termeni legaţi de mase efective, compresibilitate, potenţial chimic, presiune ş.a.

Comportarea materiei nucleare în condiţii extreme este una din problemele cele

mai provocatoare care se pun Fizicii nucleare relativiste, iar răspunsul corect la acestă

problemă poate să aibă consecinţe în domenii care depăşesc cadrul strict al acestui

domeniu al Fizicii nucleare, dar care depind semnificativ de proprietăţile materiei

nucleare într-un domeniu foarte larg de densităţi şi temperraturi. Printre acestea se

numără mecanismul de explozie al supernovelor, structura internă a stelelor neutronice,

formarea materiei în timpul evoluţiei Universului timpuriu, după “Explozia primordială”.

De aceea, gama conceptelor folosite pentru descrierea dinamicii ciocnirilor nucleare

relativiste se diversifică continuu, iar gama stărilor şi fenomenelor "exotice" observabile

este foarte largă, în acord cu creşterea energia pe nucleon pentru fasciculul incident,

precum şi cu numărul de masă al nucleului incident.

In aceest context este de remarcat teoria microscopică dinamică de "n" corpuri

cnoscută şi sub numele de "dinamică moleculară cuantică" [54,17]. Această teorie stă la

baza unor modele în care gradele fundamentale de libertate considerate sunt nucleonii,

ceilalţi hadroni, dar şi constituienţii lor fundamentali: cuarcii şi gluonii. Informaţia

dinamică este conţinută în spaţiul fazelor pentru n corpuri. De aici vine partea de

dinamică moleculară din denumirea unor astfel de modele. Modelele de dinamică

moleculară cuantică combină propagarea clasică a hadronilor (dinamică moleculară) cu

unele efecte cuantice. Printre efectele cuantice care se pot introduce în astfel de ciocniri

se numără împrăştierea stocastică, dezintegrarea particulelor, blocarea Pauli ş.a.

Modelele de dinamică moleculară cuantică relativistă sunt extinderi ale modelelor de

dinamică moleculară cuantică nerelativiste folosite pentru studiul ciocnirilor nucleare la

energii pe nucleon cuprinse între 50 şi 2000 A MeV. Între cele două variante de model

există o serie de diferenţe [17]. Această clasă de modele este legată de coduri de simulare

specifice. Prin posibilităţile oferite de biblioteci de date, de structura modulară a

programelor şi subprogramelor folosite – ceea ce permite introducerea de interacţii noi,

descrise prin diferite metode – modelel de dinamică molecuară cuantică tind saă acopere

majoritatea fenomenelor şi proceselor fizice de interes care apar în ciocniri nucleare

relativiste şi ultrarelativiste.

Pentru a familiariza pe cei ce se iniţiază în domeniul Fizicii nucleare relativiste cu

importanţa descriereii adecvate a datelor şi rezultatelor experimentale, precum şi a

extragerii informaţiei dinamice corecte din comportările acestor s-a considerat că este

utilă prezentarea modalităţii de construire a unui model fenomenologic geometric.

Ipotezele şi rezultatele lui stau la baza multor dintre calculele prezentate în întregul curs,

dar cu deosebire în partea a II-a şi a III-a.

Fiecare clasă de modele în parte vine cu setul propriu de ipoteze, cu căile

specifice de abordare a mecanismelor de reacţie şi de producere de particule. Toate aceste

căi nu sunt posibile în afara cunoaşterii adecvate a fenomenologiei reflectate de datele şi

rezultatele experimentale şi a metodelor de evidenţiere experimentală a unor procese şi

fenomene fizice noi, extrem de bogate în informaţii pentru cunoaşterea structurii

materiei.

Modelele care descriu dinamica ciocnirilor nucleare relativiste oferă un

instrument de lucru extrem de util pentru cunoaşterea complexităţii fenomenelor care

se produc, bogăţiei informaţiilor dinamice care se pot obţine şi deschiderilor fascinante

ce se deschid spre cunoaşterea structurii materiei, atât la nivel microscopic – al

“cărămizilor” fundamentale din care este alcătuit Universul - cât şi la nivel

macroscopic – al apariţiei şi evoluţiei Universului.

Bibliografie la partea a III-a

[1]. S.Nagamiya - Prog.Part.Nucl.Phys.XV(1985)363

[2]. R.Stock - Prog.Part.Nucl.Phys.XV(1985)455

[3]. C.Beşliu, Al.Jipa - Rev.Roum.Phys.33(1988)409

[4]. Al.Jipa - Teză de doctorat - Universitatea Bucureşti, Facultatea de Fizică, 1989

[5]. M.Buenerd, C.Furget - Phys.Rev.D41(1990)103

[6]. W.Cassing, V.Metag, U.Mosel, K.Niita - Phys.Rep.188 (1990)363

[7]. C.Beşliu, Al.Jipa - Rom.J.Phys.37(1992)1011

[8]. A.Mukhopadhyay, P.L.Jain, G.Singh - Il Nuovo Cimento A106(1993)793

[9]. Yu.M.Shabelski - Z.Phys.C57(1993)409

[10].L.Simic, S.Backovic, D.Salihagic - Phys.Rev.C52(1995)356

[11].Al.Jipa, C.Beşliu, R.Zaharia, A.David - J.Phys.G: Part.Nucl.Phys.22(1996)221

[12].Al.Jipa, R.Zaharia - Conferinţa Naţională de Fizică, Constanţa, 14-16.X.1993, pag.1

[13].S.Das Gupta, A.Z.Mekjian - Phys.Rep.72(1981)131

[14].J.J.Molitoris, D.Hahn, H.Stöcker - Prog.Part.Nucl.Phys. XV(1985)239

[15].H.Stöcker, W.Greiner - Phys.Rep.137(1986)277

[16].G.F.Bertsch, S.Das Gupta - 160(1988)189

[17].J.Aichelin - Phys.Rep.202(1991)233

[18].N.S.Amelin et al - Phys.Rev.C52(1995)362

[19].A.S.Goldhaber, H.H.Heckman - Ann.Rev.Nucl.Part.Sci.28(1978)161

[20].D.K.Scott - Prog.Part.Nucl.Phys.IV(1981)5

[21].M.Kh.Anikina et al - Z.Phys.C9(1981)105

[22].M.Kh.Anikina et al - Phys.Rev.C33(1986)895

[23].J.Barrette et al -Phys.Rev.C50(1994)3047

[24].M.Vidovic, M.Greiner, C.Best, G.Soff - Phys.Rev.C47 (1993)2308

[25].H.Huber, F.Weber, M.K.Weigel - Phys.Rev.C51(1995)1790

[26].Al.Jipa - Analele Universităţii Bucureşti - Fizică XL-XLI(1990-1991)41

[27].C.Beşliu, Al.Jipa, Maria Iosif, R.Zaharia - Trends in Physics - The X-th General

Conference of the European Phyical Society, 9-13.IX.1996, Sevilla (Spain)

[28].Al.Jipa, C.Beşliu, Maria Iosif, R.Zaharia - Quark Matter´96 - Twelfth International

Conference on Ultra-Relativistic Nucleus-Nucleus Collisions, Heidelberg, Germany, 20-

24.V.1996

[29].C.Beşliu, Al.Jipa, Radu Zaharia, D.Felea, Maria Iosif, C.Rusu, D.Argintaru, Cristina

Argintaru, Nicoleta Ioneci, Cl.Grigorie, V.Cartaş - XXVIII-th International Conference on

High Energy Physics, 25-31.VII.1996, Warsaw (Poland)

[30].R.Stock - Phys.Rep.135(1986)259

[31].V.Metag - Prog.Part.Nucl.Phys.XXX(1993)75

[32].I.J.R.Aitchison, A.J.Hey - Gauge Theories in Particle Physics - IOP Publishing Ltd &

Adam Hilger, Bristol and Philadelphia, 1989

[33].I.S.Hughes - Elementary particles - Cambridge University Press, Cambridge, New

York, Port Chester, Melbourne, Sydney, 1991

[34].P.J.Bussey, I.G.Knowles (editors) - Proceedings of the XXVII International

Conference on High Energy Physics, 20-27 July 1994, Glasgow, Scotland, UK - IOP

Publishing Ltd, Brristol and Philadelphia, 1995

[35].J.A.Maruhn, W.Greiner - in "Treatise on Heavy Ion Science" - Plenum Press, New

York and London, 1985, vol.IV, pag.595

[36].Al.Jipa - Balkan Physics Letters 1(3,4)(1993)79

[37].Al.Jipa - J.Phys.G: Part.Nucl.Phys.22(1996)231

[38].G.D.Westfall et al - Phys.Rev.Lett.37(1976)1202

[39].J.Gosset et al - Phys.Rev.C16(1977)629

[40].J.Gosset, J.I.Kapusta, G.D.Westfall - Phys.Rev.C18 (1978)844

[41].H.Stöcker, A.Oglobin, W.Greiner - Z.Phys.A303(1981)259

[42].B.Andersson, G.Jarlskog, G.Damgaard - Nucl.Phys.B112 (1976)413

[43].A.A.Amsden, F.H.Harlow, J.R.Nix-Phys.Rev.C15(1977) 2059

[44].Ph.J.Siemens, J.O.Rasmussen - Phys.Rev.Lett.42(1979)880

[45].H.H.Tang, Cheuk-Yin Wong - Phys.Rev.C21(1980)1846

[46].R.B.Clare, D.Strottman -Phys.Rep.141(1986)223

[47].Ş.Ţiţeica - Termodinamica - Editura Academiei R.S.R., Bucureşti, 1982

[48].L.Landau, E.Lifchitz - Physique statistique - Editions MIR, Moscou, 1984

[49].R.Bock - Lectures Notes in Physics 279(1987)399

[50].Zhi-Xin Qian, Hong-Qiu Song, Ru-Keng Su - Phys.Rev.C48(1993)154

[51].C.W.Wong - Phys.Rep.136(1986)1

[52].P.J.Mulders - Phys.Rep.185(1990)83

[53].W.Weise - International School on Heavy Ion Phisics, Erice, Italy, 6-16.X.1993

[54].J.Aichelin, H.Stöcker - Phys.Lett.B176(1986)14

[55].A.R.Bodmer, C.N.Panos – Phys.Rev.C15(1977)1342

[56].J.D.Stevenson – Phys.Rev.Lett.53(1978)1702

[57].D.J.E.Callaway, L.Wilets, Y.Yariw – Nucl.Phys.A327(1979)250

[58].J.J.Mollitoris et al – Phys.Rev.Lett.53(1984)899

[59].S.E.Koonin – Phys.Rev.Lett.39(1977)680

[60].R.L.Hatch, S.E.Koonin – Phys.LettB81(1979)1

[61].W.Tobocman – Theory of direct nuclear reactions – Oxford University Press, 1961

[62].Max Born - Fizica Atomică - Editura Stiinţifică, Bucureşti, 1973

[63].Ş.Ţiţeica – Mecanica cuantică – Editura Academiei R.S.R., Bucureşti, 1984

[64].K.Heyde – Basic Ideas and Concepts in Nuclear Physics – IOP Publishing, Bristol

and Philadelphia, 1999

[65].Gh.Ciobanu – Termodinamică şi Fizică statistică – Tipografia Universităţii Bucureşti,

1982

[66].U.Heinz, Ed.Iancu – Nucl.Phys.B (2000)

[67].J.M.Eisenberg, W.Greiner – Nuclear Theory (3 volumes) – North-Holland Publishing

Company, American Elsevier Publishing Company – Amsterdam, Oxford, New York,

1975

[68].M.R.Anastasio, L.S.Celenza, P.S.Wong – Phys.Rep100(6)(1983)327-392

[69].T.H.R.Skyrme – Nucl.Phys.9(1959)615;635

[70].J.Cugnon, J.Vandermeulen – Fundamentals of Nuclear Physics – Proceedings of the

Winter College on Fundamental Nuclear Physics, Trieste, Italy, 1984 – World Scientific,

Singapore, New Jersey, London, Hong Kong, 1985, vol.III, pag.1372

[71].R.Serber - Phys.Rev.72(1947)1114

[72].K.K.Gudima, V.D.Toneev - Sov.J.Nucl.Phys.27(1978)351

[73].K.K.Gudima, H.Iew, V.D.Toneev - J.Phys.G: Nucl.Part.Phys.5(1978)229

[74].V.S.Barashenkov, J.J.Musulmanbekov, T.G.Gereghi - Z.Phys.A296(1980)371

[75].Y.Yariv, Z.Fraenkel - Phys.Rev.C20(1979)2227

[76].Y.Yariv, Z.Fraenkel - Phys.Rev.C24(1981)488

[77].J.Cugnon - Phys.Rev.C22(1980)1885

[78].J.Cugnon, T.Mizutani, J.Vandermeulen - Nucl.Phys.A352(1981)505

[79].W.Botermans, R.Malfliet – Phys.Lett.B171(1986)22

[80].J.Cugnon, A.Lejeune, P.Grange – Phys.Rev.C35(1987)861

[81].P.Danielewicz – Ann.Phys.152(1984)239

[82].J.J.Molitoris, H.Stöcker – Phys.Rev.C32(1985)346

[83].C.Grégoire et al – Nucl.Phys.A447(1985)55c

[84].W.Cassing et al - Phys.Lett.B181(1986)217

[85].Al.Jipa, C.Beşliu, Maria Iosif, R.Zaharia – Il Nuovo Cimento A112(1999)179

[86].P.J.Siemens, J.I.Kapusta – Phys.Rev.Lett.43(1979)1486

[87].J.Cugnon, D.L’Hote – Nucl.Phys.A452(1986)738

[88].H.Stoecker, J.Maruhn, W.Greiner – Z.Phys.A286(1978)121

[89].H.Stoecker et al – Phys.Rev.Lett.47(1981)1807

[90].J.R.Nix, D.Strottman, Y.Yariv, Z.Fraenkel – Phys.Rev.C25(1982)2491

[91].J.D.Stevenson – Phys.Rev.Lett.45(1980)1773

[92].G.N.Agakishiev et al – Sov.J.Nucl.Phys.37(1983)559

[93].K.K.Gudima, V.D.Toneev - Nucl.Phys.A400(1983)173c

[94].Y.Kiatazoe et al – Phys.Rev.C29(1984)828, Phys.Rev.Lett.58(1987)1508

[95].S.Nagamiya et al – Phys.Lett.B81(1979)147, Phys.Rev.C24(1981)971

[96].A.Sandoval et al – Phys.Rev.Lett.45(1980)874

[97].M.Cahay, J.Cugnon, J.Vandermeulen – Nucl.Phys.A411(1983)524

[98].C.Beşliu, Al.Jipa – Il Nuovo Cimento A106(1993)317

[99].C.Beşliu, Al.Jipa, Cl.Rusu, R.Zaharia – Rom.Rep.Phys.48(5,6)(1996)69

[100].C.Beşliu, Al.Jipa et al – Eur.Phys.J. A1(1998)65

[101].C.Beşliu, Al.Jipa et al – Nucl.Phys. A672(2000)44

[102].W.Heisenberg – Z.Phys.101(1936)533

[103].H.W.Lewis et al – Phys.Rev.73(1942)127

[104].H.Koppe – Zeit. fur Naturforsch.3A(1948)251

[105].H.Koppe – Phys.Rev.76(1949)688

[106].E.Fermi – Prog.Theor.Phys.5(1950)570

[107].E.Fermi – Phys,Rev.81(1951)683

[108].E.Fermi – Phys.Rev.92(1953)452

[109].R.Hagedorn – Il Nuovo Cimento, Supplements 3(1965)127

[110].R.Hagedorn – Il Nuovo Cimento A52(1967)1336

[111].A.S.Goldhaber – Phys.Lett.B53(1974)306

[112].L.P.Csernai, J.I.Kapusta – Phys.Rep.131(1986)213

[113].B.Schűrmann, W.Zwermann, R.Malfliet – Phys.Rep.147(1987)1

[114].M.Abramowitz, I.A. Stegun – Handbook of Mathematical Functions – Dover

Publications, Inc., New York, 1968

[115].A.Z.Mekjian – Phys.Rev.Lett.38(1977)640

[116].A.Z.Mekjian – Phys.Rev.C17(1978)1051

[117].J.I.Kapusta – Phys.Rev.C16(1977)640

[118].B.R.Martin – Statistics for Physicists – Academic Press, London and New York,

1971

[119].C.Beşliu, Al.Jipa – Elemente de Fizică nucleară relativistă. Note de seminar şi

îndrumător de laborator – Editura Universităţii din Bucureşti, 1999

[120].S.Das Gupta – Phys.Rev.C18(1978)2773

[121].G.Cecil, S.Das Gupta, A.Mekjian – Phys.Rev.C20(1979)1021

[122].W.D.Myers – Nucl.Phys.A296(1978)1450

[123].A.K.Abdurakimov et al – Nucl.Phys.A362(1981)376

[124].M.K.Anikina et al – Z.Phys.C18(1983)109

[125].S.Das Gupta – Phys.Rev.Lett.41(1978)1450

[126].S.Das Gupta, C.S.Lam – Phys.Rev.C20(1979)1192

[127].J.Knoll, J.Huefner, A.Bouyssy – Nucl.Phys.A308(1978)500

[128].J.Knoll – Phys.Rev.C20(1979)773

[129].J.Huefner, J.Knoll – Nucl.Phys.A290(1977)460

[130].R.J.Glauber – Lectures in Theoretical Physics – Interscience Publishing, New York,

1959, vol.I, pag.315 (Editors: W.E.Brittin, L.G.Dunham)

[131].H.H.Gutbrod et al – Phys.Rev.Lett. 37(1976)667

[132].H.Bando, O.Hashimoto, K.Ogawa (Editors) – Proceedings of 1986 Institute of

Nuclear Study International Symposium on Hypernuclear Physics, Tokyo, Japan, August

20-23, 1986, University of Tokyo, Toseisha Printing Co., Tokyo, 1986

[133].B.F.Gibson, E.V.Hungerford III – Phys.Rep.257(1995)349

[134].L.Landau – Izd.Akad.Nauk SSSR 17(1953)57

[135].J.D.Bjorken – Phys.Rev.D27(1983)140

[136].C.Beşliu, Al.Jipa et al - International Conference on High Energy Physics, Glasgow

(Scotland), 20-27 July 1994, Gls-0773, page 1440

[137].C.Beşliu, Al.Jipa et al - EPS Conference on High Energy Physics, Brussels, 27 July

1995 - 7 August 1995, EPS-HEP Abstracts - 0511

[138].C.Beşliu, Al.Jipa, R.Zaharia - Paper Abstracts of the National Physics Conference,

Baia Mare, 30.XI-2.XII.1995,page 7

[139].C.Beşliu, Al.Jipa, Cl.Rusu, R.Zaharia - Romanian Reports in Physics

48(5,6)(1996)407-415

[140].C.Beşliu, Al.Jipa et al - Proceedings of the International Symposium on Large

Scale Collective Motion of Atomic Nuclei, Brolo, Italy, 15-19.X.1996, World Scientific,

Singapore, 1997, pages 307-317

[141].Al.Jipa et al – EPS Conference on High Energy Physics, Jerusalem, July 1997,

EPS-HEP Abstracts - 057

[142].N.Herrmann, J.P.Wessels, Th.Wienold – Annu.Rev.Nucl.Part.Sci.49(1999)581

[143].Cristina Argintaru – Teză de doctorat, Universitatea Bucureşti, 1998

[144].Viorel Cartaş - Teză de doctorat, Universitatea Bucureşti, 1999

[145].C.Beşliu, Al.Jipa et al – Rom.J.Phys.43(1998)489

[146].V.A.Berezin - Int.J.Mod.Phys.A2 (1987)1591

[147].C.Beşliu, Al.Jipa et al - National Physics Conference - Paper Abstracts, Constanta,

13-15.X.1993, page 2

[148].C.Beşliu, Al.Jipa et al - National Physics Conference - Paper Abstracts, Sibiu, 21-

24.IX.1994, page 2

[149].J.Kapusta, D.Strottman - Phys.Lett.B110(1983)181

[150].H.Stoecker et al - Phys.Rev.C4(1982)1873

[151].Dan Argintaru - Teză de doctorat, Universitatea Bucureşti, 1998

[152].A.M.Moiseev – Phys.Part.Nucl.25(1994)496

[153]. R.D.Field, R.Feynman – Phys.Rev.D15(1977)259

[154].B.Anderson et al – Phys.Rep.971983)31

[155].D.Perkins – Introduction to High Energy Physics – Addison-Wesley Publishing

Company - London, Amsterdam, Don Mills (Ontario), Sydney, Tokyo, 1982

[156].J.B.Berge et al – Nucl.Phys.B184(1981)13, Nucl.Phys.B203(1982)1, Nucl.Phys.

B203(1982)16

[157].J.B.Babcock, R.E.Cutkosky - Nucl.Phys. B201(1982)527

[158].J.D.Bjorken, S.J.Brodsky – Phys.Rev.D1(1970)1416

[159].S.P.Ratti, G.Introzzi, E.R.Nakamura – XV-th Symposium on Multiparticle

Dynamics, Stockholm, Sweden, 1984

[160].H.Georgi, M.Machacek – Phys.Rev.Lett.39(1977)1237

[161].E.Farhi – Phys.Rev.Lett.39(1977)1587

[162].S.Brandt, H.D.Dahmen – Z.Phys.C1(1979)61

[163].G.C.Fox , S.Wolfram – Phys.Rev.Lett.41(1978)1581

[164].A.M.Baldin et al – Yad.Fiz.41(1985)995

[165].Maria Iosif - Teză de doctorat, Universitatea Bucureşti, 1997

[166].A.M.Baldin - Prog.Part.Nucl.Phys.IV(1981)95

[167].C. Beşliu et al - Prog.Part.Nucl.Phys.XX(1988)243

[168].C. Beşliu et al - Rom.Rep.Phys.49(1997)

[169]. G.Peilert, H.Stoecker, W.Greiner – Phys.ReV.C39(1988)1402

[170]. H.Sorge – Nucl.Phys.A498(1989)567

[171]. S.A.Bass, M.Belkacem, M.Bleicher, M.Brandstetter, L.Bravina, C.Ernst,

L.Gerland, M.Hofmann, S.Hofmann, J.Konopka, G.Mao, L.Neise, S.Soff, C.Spieles,

H.Weber, L.A.Winckelmann, H.Stocker, W.Greiner, C.Hartnack, J.Aichelin and

N.Amelin - Prog. Part. Nucl. Phys. 41 (1998) 225-370

[172]. M.Bleicher, E.Zabrodin, C.Spieles, S.A.Bass, C.Ernst, S.Soff, H.Weber,

H.Stocker, W.Greiner - http:/www.th.physik.uni-frankfurt.de/~urqmd/urqmd.html

[173]. S.A.Bonometto, O.Pantano - Phys.Rep.228(1993)175

[174].C.Adam, G.E.Brown – Phys.Rep.234(1993)1

[175].C.P.Singh - Phys.Rep.236(1993)147

[176].K.Geiger – Phys.Rep.258(1995)237

[177].H.Meyer-Ortmanns – Rev.Mod.Phys.68(1996)473

[178].Al.Jipa et al – Rom.Rep.Phys.53(2001) – acceptat spre puplicare

[179]. Al.Jipa – Il Nuovo Cimento A108(1995)1271

[180]. U.A.Wiedeman, U.Heinz – Phys.Rep.319(1999)145

[181]. U.Heinz, Barbara Jacak – Annu.Rev.Nucl.Part.Sci.49(1999)529

[182]. R.M.Weiner – Phys.Rep327(2000)249

[183]. C.Beşliu et al – Prog.Part.Nucl.Phys.15(1985)353

[184]. C.Beşliu et al – Analele Universităţii Bucureşti – Fizica (1993)

[185]. Al.Jipa et al – Rom.Rep.Phys.52(2000) – sub tipar.

Partea a IV-a

Fenomene şi stări anomale în

materia nucleară.

Tranziţii de fază

Capitolul al XX-lea

Fenomene şi stări anomale în materia nucleară.

Consideraţii generale

XX.1. Condiţii experimentale pentru crearea de stări anomale

în ciocniri nucleare relativiste

Apariţia unor stări şi fenomene anomale în materia nucleară fierbinte şi densă

formată prin ciocniri nucleare relativiste poate fi legată de creşterea semnificativă a unor

mărimi fizice care descriu comportarea acestei în regiunea participantă, cum ar fi:

temperatura nucleară şi densitatea nucleară. Având în vedere faptul că dimensiunile

regiunii participante sunt determinate de geometria şi energia ciocnirii este importantă

stabilirea comportării fiecărei mărimi fizice de interes în funcţie de parametrul de

ciocnire şi energia de ciocnire. Sunt eliminate astfel fluctuaţiile geometrice. Prin

asigurarea unor statistici mari pentru datele experimentale se vor putea elimena şi

fluctuaţiile statistice. Eliminarea fluctuaţiilor statistice şi geometrice va permite

evidenţierea clară a fluctuaţiilor dinamice în mărimile fizice de interes. Acest tip de

fluctuaţii determină originea stărilor şi fenomenelor anomale.

La energii de câţiva GeV/A este posibil ca multe din gradele de libertate ale

cuarcilor şi gluonilor să nu fie excitate, în timp ce gradele de liberate ale barionilor şi

mezonilor sunt complet excitate. La aceste energii temperaturile nucleare caractersitice la

emisia diferitelor tipuri de hadroni sunt, în general, de ordinul de mărime sau sub masa de

repaus a mezonului (m = 139.6 MeV/c2) [1-6].

Densitatea barionică, la aceleaşi energii, se presupune a fi mai mare decât

densitatea barionică normală, o = 0.17 Fm-3

[3-9]. În ciocniri nucleu-nucleu la aceste

energii se pot manifesta gradele de libertate colective. Calculul densităţii este legat de

imaginea participanţi-spectatori, în ipoteza că energia în sistemul centrului de masă al

participanţilor este folosită pentru crearea regiunii centrale fierbinţi şi dense – denumită,

în general, în aceast curs regiune participantă, sursă de particule sau "fireball" (“sferă

fierbinte”). Posibile stări anomale pot apare în timpul formării şi expansiunii regiunii

participante printre regiunile spectatoare.

Participanţii, sau nucleonii participanţi, se definesc, aşa cum s-a arătat în partea a

doua a cursului, ca nucleonii din afara sferelor Fermi de fragmentare a nucleului

incident şi a nucleului ţintă [9-13]. Estimarea numărului de fragmente cu sarcină care

participă în ciocnire se face pe baza unei relaţii de forma următoare:

)(2 s

T

s

Pch nnnnQ . (IV.1)

Aici, nch este multiplicitatea totală a particulelor şi fragmentelor cu sarcină, n este

multiplicitatea pionilor negativi, nPs este numărul de fragmente "spectator" ale nucleului

incident, iar nTs este numărul de fragmente "spectator" ale nucleului ţintă. Pentru

stabilirea numărului de protoni participanţi se face ipoteza că fragmentele au sarcina

egală cu unitatea şi se identifică mărimea Q, definită prin ecuaţia (IV.1), cu numărul de

protoni participanţi. Ipoteza este corectă dacă numărul fragmentelor cu sarcină mare

este foarte mic [3,4,9-13]. În multe situaţii de interes se foloseşte numărul de nucleoni

participanţi. El este determinat din numărul de protoni participanţi, prin următoarea

relaţie de legătură, relaţie indrodusă în ipoteza conservării sarcinii şi a numărului de

nucleoni în cele două nuclee care se ciocnesc şi în regiunea lor de suprapunere [3-5]:

QZZ

AAQ

TP

TP

N

, (IV.2)

unde AP este numărul de masă al nucleului incident, AT este numărul de masă al nucleului

ţintă, ZP este numărul atomic al nucleului incident, iar ZT este numărul atomic al

nucleului ţintă.

Densitatea barionică, pentru diferite momente din evoluţia în timp a regiunii

participante, se defineşte printr-o relaţie de forma:

)()(

tV

Qt N , (IV.3)

unde V(t) este volumul regiunii participante la momentul de timp considerat. Pentru

cunoaşterea valorii experimentale a acestei mărimi este necesară determinarea

dimensiunilor regiunii participante. Interferometria de particule identice poate oferi

informaţii asupra caracteristicilor spaţio-temporale ale sursei de particule. De aceea,

densitatea barionică se poate determina experimental pentru diferite momente din

evoluţia regiunii participante. Aşa cum s-a văzut în partea a doua a cursului, aceste

momente sunt determinate de particulele folosite în interferometrie.

Denistatea de energie depinde de valorile densităţii barionice la diferite momente

din evoluţia regiunii participante. Se poate scrie sub forma următoare:

)()()(

tV

mQe NN . (IV.4)

Pentru condiţii normale valorile densităţii barionice şi densităţii de energie sunt o

= 0.17 Fm-3

, respectiv, o=125 MeV/Fm3. Trebuie menţionat faptul că densitatea de

energie în interiorul unui nucleon este mai mare decât în interiorul nucleului. În acest

caz valoarea este de circa 440 MeV/Fm3 . Valorile anterioare pot varia uşor în funcţie de

valoarea parametrului ro folosit în estimarea razei nucleare [2,3,6,8].

Şi în cazul densităţii de energie, ca şi în cazul densităţii barionice, este necesară

cunoaşterea caracterisiticilor spaţio-temporale ale sursei de particule. Aşa cum se

menţiona, cea mai folosită metodă de determinare experimentală a caracteristicelor

spaţio-temporale ale unei surse de particule (regiuni participante) este interferometria

particulelor identice [14-17]. Metoda se bazează pe interferenţa intensităţilor atunci când

sunt detectate particule identice în puncte spaţio-temporale diferite (puncte de energie-

impuls diferite) şi a fost introdusă, iniţial, în Astronomie de către Hanbury-Brown şi

Twiss [14]. Ei au măsurat diametrul unei stele folosind corelaţiile dintre doi fotoni. Acest

tip de interferometrie se mai numeşte şi interferometrie de intensitate, iar fenomenul de

corelaţie spaţio-temporală a particulelor identice detectate emise de o sursă de particule

extinsă mai este cunoscut ca efect Hanbury-Brown şi Twiss [15].

Interferometria de intensitate permite studiul stărilor coerente [16] şi a fost

aplicată în domeniul Fizicii particulelor elementare în diferite moduri şi pentru perechi de

particule identice numeroase [17-26]. În funcţie de natura particulelor folosite se pot

obţine informaţii asupra dimensiunilor regiunii participante la diferite momente din

evoluţia sa [23-26].

Deoarece interferometria de intensitate permite studiul stărilor coerente multe

eforturi se fac în prezent pentru obţinerea de informaţii asupra parametrului de haos din

funcţia de corelaţie [27-29]. De aceea, aceste aspecte sunt deosebit de utile în

cunoaşterea stărilor şi fenomenelor anomale, precum şi a tranziţiilor de fază în materia

nucleară.

XX.2. Tipuri de stări şi fenomene anomale posibile

în materia nucleară fierbinte şi densă

În ciocniri nucleu-nucleu la energii înalte se pot obţine - în regiunea participantă -

temperaturi şi densităţi nucleare înalte [3-6]. În funcţie de valorile acestora pot apare

stări şi fenomene noi [15,23,28,29]. Gama acestor stări şi fenomene este foarte largă,

incluzând producerea coerentă de particule [3-6,12,13,15,22-24,26-29], generarea

cumulativă de particule [30-32], modificarea unor proprietăţi fundamentale ale unor

particule aflate în materia nucleară firbinte şi densă [33-35] sau apariţia unor tranziţii

de fază care să determine noi faze ale materiei nucleare, cum ar fi: materie de rezonanţă

[36,37], plasma de dibarioni şi dicuarci [38-41], plasma de cuarci şi gluoni [42-44] ş.a.

XX.2.1. Mecanisme de generare multiplă de particule.

Coerenţă şi necoerenţă în generarea multiplă de particule

XX.2.1.1. Consideraţii generale

Ciocnirile nucleare relativiste sunt caracterizate, aşa cum se menţiona anterior,

prin evenimente cu secţiuni eficace de interacţie mari, multiplicităţi mari ale particulelor

cu sarcină, existenţa unor fragmente nucleare grele şi prin abundenţa particulelor neutre

în starea finală. De aceea, stabilirea corectă a mecanismelor de generare multiplă de

particule este un pas extrem de important în cunoaşterea dinamicii ciocnirilor nucleare

relativiste [3-6,13,45-47].

Un prim aspect de interes este cel al producerii coerente sau necoerente de

particule. El se regăseşte în forma distribuţiei de multiplicitate, precum şi în comportarea

sursei emitente de particule. Cele două aspecte sunt legate între ele, dar şi cu stări şi

fenomene exotice în materia nucleară fierbinte şi densă. De aceea, este de interes

abordarea unor aspecte referitoare la comportarea distribuţiei de multiplicitate,

producerea cumulativă de particule şi coerenţa sursei de particule în ciocniri nucleare

relativiste.

XX.2.1.2. Distribuţia de multiplicitate

Distribuţia de multiplicitate este folosită intens în studiul mecanismelor de

generare multiplă de particule. Această folosire intensă este determinată de faptul că

multiplicitatea, variabila asociată distribuţiei de multiplicitate, este o mărime fizică care

poate fi stabilită fără erori experimentale mari - mai ales în cazul detectorilor cu

vizualizare - cât şi posibilităţii descrierii distribuţiei prin distribuţii de probabilitate.

Se defineşte distribuţia de multiplicitate ca modul de repartizare a particulelor

secundare de tipuri date produse în categorii de evenimente care satisfac condiţii date.

Ea reflectă geometria ciocnirii. Fiecărei distribuţii îi sunt asociate diferite tipuri de

momente care dau informaţii asupra dinamicii ciocnirii [3-5,18,44-47].

Un avantaj deosebit al tratării distribuţiilor de multiplicitate prin distribuţii de

probabilitate este acela că oferă posibilitatea unor tratări independente de model sau a

unor tratări valabile pentru clase largi de modele. Această tratare oferă posibilitatea

introducerii unor tehnici generale pentru descrierea teoretică şi fenomenologică a unor

seturi de date experimentale. Introducerea de ipoteze specifice unor modele impune

folosirea şi a altor tehnici specifice teoriei probabilităţilor, îndeosebi a corelaţiilor [45-

48].

Dintre distribuţiile de probabilitate care sunt folosite pentru descrierea

distribuţiilor de multiplicitate un rol important revine distribuţiilor binomială, Poisson,

Gauss şi binomială negativă [49].

Pentru analizarea producerii non-coerente sau coerente de particule un rol

deosebit revine distribuţiei Poisson. Această distribuţie descrie generarea total

necorelată de particule [3,4,12,41-46]. Abaterile distribuţiilor de multiplicitate

experimentale de la forma acestei distribuţii sugerează unele mecanisme de producere

corelată a particulelor. Această producere corelată poate fi asociată cu apariţia unor stări

şi fenomene anomale în materia nucleară, precum şi a unor tranziţii de fază.

XX.2.1.3. Coerenţă în sursa de particule

Regiunea participantă are carateristici spaţio-temporale diferite care depind de

numerele de masă ale nucleelor care se ciocnesc, de energia de ciocnire, precum şi de

parametrul de ciocnire. De aceea, este de aşteptat ca între raza zonei fierbinţi şi numărul

de nucleoni participanţi să existe şi alte conexiuni decât cele menţionate anterior [3-

5,9,28,29]. Acest lucru face posibilă conexiunea cu problema corelaţiilor în distribuţia de

multiplicitate.

Metodele curente de determinare a caracteristicilor spaţio-temporale ale surselor

de particule sunt legate de interferometria de intensitate [14-24]. În cadrul acestei metode

se construieşte o funcţie de corelaţie experimentală, dată de raportul de mai jos:

),(

),(),(

o

o

oqqF

qqNqqR , (IV.5)

unde N(q,qo) este numărul real de perechi cu impuls relativ q şi energie relativă qo, iar

F(q,qo) este fondul de corelaţii întâmplătoare. Această funcţie de corelaţie poate fi fit-ată

cu o funcţie de forma următoare:

)( 2222

1),( oqrq

oth eqqR

. (IV.6)

În această relaţie reprezintă coeficientul de corelaţie în sursa de particule sau

parametrul de haos, r este raza sursei de particule, iar este timpul ei de viaţă. Este

extrem de important să se definească o cale de legătură între parametrul de haos şi

mărimi fizice care să ia în considerare corelaţiile din sursa de particule.

Două căi importante au fost luate în considerare în curs, anume:

(i) legătura directă dintre parametrul de haos şi coeficientul de corelaţie al distribuţiei de

multiplicitate asociate unei ciocnirii date, în ipoteza unei comportări de tip Poisson a

acestora [28,29];

(ii) folosirea unor modele de tip "string" (coardă), cu luarea în considerare a unor

distribuţii de multiplicitate convolutate [27].

XX.2.1.4. Producere cumulativă de particule

Există posibilitatea ca în ciocnirile nucleu-nucleu la energii înalte să fie studiate

unele fenomene care au loc în regiunea de fragmentare limită a acestora [51,31,32].

Această regiune este interzisă din punct de vedere cinematic ciocnirilor independente

nucleon-nucleon la energii similare. Ea este caracterizată prin independenţa secţiunii

eficace, în sistemul centrului de masă, de energia incidentă. Regiunea de fragmentare

limită se mai numeşte şi regiune cumulativă, iar efectul care îi este asociat se numeşte

efect cumulativ [32].

Limitele cinematice ale efectului cumulativ sunt date de numărul cumulativ

(numărul de cumulativitate), Nmincum

, definit ca numărul efectiv de nucleoni implicaţi în

producerea unei particule care are o cinematică anomală în raport cu ciocnirea nucleon-

nucleon la aceeaşi energie cu a ciocnirii nucleu-nucleu considerate [32,38]. Cea mai

cunoscută relaţie de defiiniţie a numărului cumulativ este următoarea:

N

i

Licum

m

pEN

min , (IV.7)

unde Ei este energia particulei, iar piL este impulsul longitudinal al aceleeaşi particule. mN

este masa nucleonului liber. Particulele pentru care este îndeplinită condiţia:

1min cumN , (IV.8)

se numesc particule cumulative.

Alături de efectul cumulativ un alt proces important în studierea producerii

multiple şi "cooperative" de particule este cel al producerii de "clusteri" corelaţi [31].

XX.2.2. Modificarea unor proprietăţi ale particulelor elementare

în materia nucleară fierbinte şi densă

În multe ciocniri nucleu-nucleu la energii înalte pe nucleon s-a observat creşterea

producerii de particule sub energia de prag de producere corespunzătoare pentru ciocniri

nucleon-nucleon la energii similare [52-56]. Pentru explicarea acestei comportări s-au

propus mai multe ipoteze. Cele mai importante dintre ele sunt legate de violarea

aproximaţiei impulsului în ciocniri nucleare relativiste sau de crearea unor rezonanţe care

să determine apariţia unor tranziţii de fază intermediare în materia nucleară [32-44].

O altă ipoteză luată în considerare este cea a modificării maselor de repaus ale

particulelor generate în aceste ciocniri. Modificarea maselor de repaus poate fi

determinată de separarea dintre scala nucleară şi scala hadronică [33]. Această ipoteză

poate explica şi comportarea unor rapoarte de producere de diferite tipuri de particule

[57,58], rapoarte care au fost considerate iniţial ca fiind semnale experimentale ale

tranziţiei de fază la plasma de cuarci şi gluoni [42,43].

Schimbările proprietăţilor particulelor elementare - în principal, ale hadronilor - în

materia nucleară fierbinte şi densă par să fie determinate de simetriile care le guvernează

şi de ruperea acestor simetrii la temperaturi şi densităţi nucleare înalte.

Unul din modelele care ia în considerare aceste aspecte este modelul propes de

Nambu şi Jona-Lasinio [59,60]. Într-o abordare termodinamică, cu luarea în considerare a

unui câmp scalar mediu, în lucrările [33,34,61] se propun diferite comportări ale maselor

de repaus ale particulelor care sunt generate din regiunea participntă a nucleelor care se

ciocnesc. De interes pentru temetica acestei părţi a cursului este cea în raport cu

densitatea barionică a regiunii participante la emisia fiecărui tip de particulă

[33,34,61,62]. De asemenea, este important să se cunoască comportarea masei de repaus

a unor particule cu creşterea temperaturii nucleare. Interesează cunoaşterea modurilor de

comportare a maselor pionilor şi a maselor kaonilor în vecinătatea temperaturii critice. O

atenţie deosebită a fost acordată comortării masei pionului deoarece el joacă un rol

esenţial în stabilirea dinamicii materiei nucleare fierbinţi şi dense. Acest rol este datorit

masei de repaus relativ mici [35,63-65].

La o temperatură nucleară T = 0 se consideră că pionul este stabil din punct de

vedere hadronic. Pentru temperaturi nucleare T 0 apar procese de dezintegrare a

pionului. În acest caz, în partea imaginară a funcţie Green asociate pionului, apare o

lărgime nenulă. Această lărgime este asimilată cu un “coeficient de atenuare”. Având în

vedere faptul că această lărgime reprezintă, pentru un hadron, un partametru de ordine

fenomenologic pentru o tranziţie de fază este utilă studierea funcţie Green a pionului la

temperatura critică asociată tranziţiei considerate [35,63-65]. Odată cu creşterea

temperaturii nucleare hadronii “se topesc”, iar lărgimile lor ar putea să devină infinite

pentru T = Tc, unde Tc este temperatura critică a tranziţiei de fază respective. De aceea,

nu vor mai exista maxime de rezonanţă în funcţia spectrală hadronică. În acest caz funcţia

spectrală devine o funcţie “netedă” de energie, iar valoarea sa coincide cu cea dată de

Cromodinamica cuantică perturbativă.

Modelul Nambu - Jona-Lasinio (NJL) actual se bazează pe o versiune a grupului

de simetrie SU(3), anume grupul de simetrie SU(3) de aromă. Studiul schimbării stării

<q*q> cu creşterea densităţii barionice, , este legat de structura vidului. Având în vedere

dependenţele considerate anterior, o analiză atentă a acestei dependenţe este extrem de

utilă pentru stabilirea corectă a unor semnale experimentale ale unor stări anomale sau

tranziţii de fază. De aceea, în cele ce urmează se vor discuta mai pe larg cauzele şi

consecinţele experimentale ale unei astfel de comportări.

XX.2.3. Alte semnale ale unor stări anomale în materia nucleară

Semnalelor menţionate anterior trebuie să le fie adăugate alte două, cu

semnificaţii importante pentru cunoaşterea comportării materiei nucleare în diferite

condiţii de temperatură nucleară şi densitate barionică sau de energie, precum şi de

dinamica mecanismelor de producere de particule în ciocniri nucleare relativiste. Ele sunt

legate de comportarea secţiunilor eficace [3-5,29,66] şi producerea de hipernuclee

[3,29,67] în ciocniri nucleare relativiste.

Energiile totale disponibile în sistemul centrului de masă, pentru ciocniri N-N,

compatibile cu energiile pe nucleon pentru ciocniri nucleu-nucleu, sunt cuprinse, până în

prezent, între 3 GeV şi 100 GeV. Pentru acest domeniu de energii secţiunile eficace totale

sunt aproximativ constante şi au valori în jur de 40 mb [68]. Din dependenţele prezentate de

"Particle Data Group" se constată contribuţia mare a proceselor de tip inelastic, procese care

implică pierderi de energie semnificative de către nucleonii care iau parte la ciocnire. Pentru

s (3 GeV, 100 GeV) se constată, din aceleaşi dependenţe, că secţiunea eficace inelastică

este în jur de 30 mb. Faptul că procesele de tip inelastic au o mult mai mare contribuţie la

secţiunea eficace totală decât cele de tip elastic este important pentru posibilitatea producerii

de stări de densitate de energie mare în regiunea participantă specifică ciocnirilor nucleu-

nucleu la energii înalte.

În acest context, având în vedere că multe rezultate experimentale din curs sunt

obţinute cu acest sistem de detectori, este util de subliniat faptul că separarea ciocnirilor

nucleu-nucleu obţinute cu ajutorul spectrometrului SKM 200 în ciocniri centrale şi ciocniri

inelastice se referă la parametrii de ciocnire asociaţi. De aceea, o mai adecvată denumire

pentru modul de declanşare T(0,0) ar fi cel de mod de declanşare periferică.

Pentru ciocniri N-N la energii înalte probabilitatea de pierdere de energie prin

ciocnire este mare şi de aceea există o probabilitate mare de generare de particule. De

asemenea, pentru diferite tipuri de procese există dependenţe fenomenologice între

secţiunile eficace şi diferite variabile cinematice - impuls, rapiditate, ş.a. - precum şi între

diferite tipuri de multiplicităţi şi energia disponibilă în sistemul centrului de masă [69,70].

Forma distribuţiilor de impuls transversal obţinute în ciocniri N-N poate oferi alte

informaţii de interes legate de comportarea secţiunilor eficace, precum şi asupra altor

mărimi fizice de interes. Distribuţia de impuls transversal, pentru partea de impulsuri mici,

are o pantă exponenţială abruptă care devine, cu creşterea valorilor impulsului transversal,

mai puţin abruptă. Atunci când este posibilă identificarea particulelor se introduce variabila

m = (m2 + p

2)

1/2 - numită masă transversală - iar distribuţia de impuls transversal este

prezentată în funcţie de această variabilă. Această variabilă permite introducerea unor

parametrizări ale secţiunilor eficace diferenţiale invariante în termenii lui exp(-m/T)/mi; se

poate obţine o comportare aproximativ universală în raport cu m cunoscută ca "invarianţă

la scală în masa transversală".

Distribuţia de impuls transversal permite separarea particulelor în două clase,

anume: paricule "moi" (particule cu p 1 GeV/c), respectiv, paricule "tari" (particule cu p

1 GeV/c). Originea particulelor cu impulsuri transversale mai mici de 1 GeV/c este

determinată de procese descrise de Cromodinamica cuantică neperturbativă, în vreme ce

particulele "tari" îşi au originea în procese descrise de Cromodinamica cuantică perturbativă.

Producerea de particule "moi" se face cu o mult mai mare probabilitate decât producerea de

particule "tari". Datorită dificultăţilor care sunt legate de folosirea Cromodinamicii

cuantice neperturbative descrierea producerii de particule "moi" se face pe baza unor

modele fenomenologice, euristice sau calitative, cum ar fi: mecanismul Schwinger,

Electrodinamica cuantică, preconfinare, fragmentarea clusterilor sau fragmentarea

"corzilor" (string-urilor), ş.a. [69-71].

La calcularea energiei barionice pierdută în ciocnire trebuie avută în vedere legea

de conservare a numărului barionic care cere ca la o ciocnire N-N sau barion-barion, în

general, trebuie să existe cel puţin doi barioni în starea finală. Este posibil ca fiecare din cei

doi barioni din starea finală să se afle în regiuni de fragmentare distincte: unul în regiunea

de fragmentare a proiectilului, iar celălalt în regiunea de fragmentare a ţintei. Ei sunt, în

general, particule "leading" (“conducătoare”) pentru regiunile respective.

Particula “conducătoare” ("leading") este acea particulă care transportă o fracţie

substanţială din energia incidentă, în sistemul centrului de masă şi, de aceea, se numără

printre cele mai rapide particule pe direcţia înainte sau înapoi. Se poate considera, de

asemenea, că particulele "leading" sunt o consecinţă a degradării impulsurilor din conurilor

de lumină ale barionilor care se ciocnesc.

Trebuie reamintit aici faptul că în sistemul centrului de masă caracteristicile celor

două regiuni de fragmentare sunt similare şi pot fi exprimate în funcţie de variabila

specifică conului luminos pe direcţia înainte, x. Un parametru important este gradul de

inelasticitate a ciocnirii.

Gradul de inelasticitate al ciocnirii se defineşte ca raportul dintre impulsul barionului

"leading" din conul luminos pe direcţia înainte şi impulsul barionului incident "părinte".

Un fenomen important legat de această mărime este cel de invarianţei la scală

Feynman ("scaling" Feynman). El presupune independenţa secţiunii eficace măsurate de

energiile incidente, ceea ce presupune că aceste secţiunii măsoară unele proprietăţi

intrinsece ale particulelor detectate în raport cu particulele "părinte". În acest mod a fost

introdus conceptul de parton ca şi constituient al hadronilor [72]. Particulele detectate îşi au

originea în procese de interacţie tare sau în procese de fragmentare directă a uneia din

particulele "părinte". În regiunea pentru care x este aproape de 1 secţiunea eficace a

proceselor de interacţie tare depinde numai de funcţia de structură a partonului în fasciculul

de particule şi de funcţia de fragmentare. Funcţia de structură este chiar distribuţia de

impuls, iar funcţia de fragmentare descrie fragmentarea particulei "părinte" în partoni.

Existenţa partonilor face ca "invarianţa la scală" Feynman să devină o consecinţă

observabilă experimental.

Estimările asupra a două mărimi sunt importante, anume: energia cinetică medie

pierdută într-o ciocnire inelastică N-N, respectiv, rapiditatea medie pierdută într-o astfel de

ciocnire. Aceste estimări conduc la următoarele rezultate: barionii produşi transportă

aproximativ jumătate din impulsul iniţial, iar pierderea de rapiditate este de aproximativ o

unitate.

În ciocniri nucleu-nucleu la energii înalte nucleonii unui nucleu suferă ciocniri

multiple cu nucleonii celuilalt nucleu, ceea ce face ca pierderile de energie şi de impuls

incidente să fie destul de mari. Aceste pierderi pot conduce la stoparea barionilor în

sistemul centrului de masă. Există, de asemenea, o corelaţie experimentală directă între

energia barionică pierdută şi multiplicitatea particulelor produse.

Toate aceste rezultate obţinute în ciocniri N-N sunt foarte utile în descrierea

dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste şi în semnalarea unor stări şi fenomene anomale

sau a unor tranziţii de fază în materia nucleară fierbinte şi densă. Trebuie reamintit aici

faptul că pentru descrierea dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste se foloseşte

aproximaţia impulsului extinsă. Abaterile observate de la rezultatele pentru ciocnirile

nucleon-nucleon la energii echivalente pot fi o măsură a gradului de anmomalitate în

materia nucleară fierbinte şi densă formată prin ciocniri nucleu-nucleu la energii înalte. De

aceea, această parte a cursului este consacrată discutării unor astfel de aspecte observate în

ciocniri nucleare relativiste şi ultrarelativiste.

Bibliografie la Capitolul al XX-lea

[1]. S.DasGupta, A.Z.Mekjian - Phys.Rep.72(1981)131

[2]. M.Gyulassy - Prog.Part.Nucl.Phys.XV(1985)403

[3]. Al.Jipa - Teză de doctorat, Facultatea de Fizică, Universitatea Bucureşti, 1989

[4]. C.Beşliu, Al.Jipa - Rev.Roum.Phys.33(1988)409

[5]. C.Beşliu, Al.Jipa - Rom.J.Phys.37(1992)1011

[6]. Al.Jipa - J.Phys.G: Nucl.Part.Phys.22(1996)231

[7]. H.Stöcker, W.Greiner - Phys.Rep.137(1986)277

[8]. W.Cassing, V.Mettag, U.Mosel, K.Niita - Phys.Rep.188(1990)363

[9]. C.Beşliu, Al.Jipa - Rom.J.Phys.38(1993)507

[10]. A.Sandoval et al - Phys.Rev.Lett.45(1980)874

[11]. J.Hüfner, J.Knoll - Nucl.Phys.A290(1977)460

[12]. C.Beşliu, Al.Jipa - Il Nuovo Cimento A106(1993)317

[13]. C.Beşliu, et al - The XXVIII-th International Conference on High Energy Physics, 25-

31 July 1996, Warsaw, Poland, PA06-021 (poster)

[14]. R.Hanbury-Brown, R.Q.Twiss - Phil.Mag.45(1954)633

[15]. R.J.Glauber - Phys.Rev.Lett.10(1963)84

[16]. G.Goldhaber, S.Goldhaber, W.Lee, A.Pais - Phys.Rev.120(1960)300

[17]. G.I.Kopylov, M.J.Podgoretsky - Yad.Fiz.18(1973)656

[18]. S.Y.Fung et al - Phys.Rev.Lett.41(1978)1592

[19]. D.Beavis et al - Phys.Rev.C27(1983)910; Phys.Rev.C28(1983)2561

[20].G.N.Agakishiev et al - Yad.Fiz.39(1984)543

[21]. J.Bartke, M.Kowalski - Phys.Rev.C30(1984)1341

[22]. J.Bartke - Phys.Lett.B174(1986)32

[23]. C.Beşliu et al - Prog.Part.Nucl.Phys.XV(1985)353

[24]. C.Beşliu et al - Analele Universităţii Bucureşti, Fizica XLII(1993)3

[25]. D.Boal, C.K.Gelbke, B.K.Jennings - Rev.Mod.Phys.62(1990)553

[26]. W.A.Zajc - Particle Production in Highly Excited Matter (Editors: H.H.Gutbrod,

J.Rafelski), Plenum Press, New York, 1993, pag.435

[27]. M.Biyajima, N.Suzuki, G.Wilk, Z.Wlodarczyk - International Conference on High

Energy Physics, Warsaw, Poland, 25-31.VII.1996, poster; Phys.Lett.B369(1996)

[28]. C.Beşliu, Maria Iosif, Al.Jipa - Analele Universităţii Bucureşti - Fizica XLV(1996)

[29]. Al.Jipa, C.Beşliu, Maria Iosif, R.Zaharia - Il Nuovo Cimento A112(1999)179

[30]. V.V.Burov, V.K.Lukyanov, A.I.Titov - Preprint IUCN E2-10680(1977)

[31]. T.Fujita - Phys.Rev.Lett.39(1977)174

[32]. A.M.Baldin - Prog.Part.Nucl.Phys.IV(1981)95

[33]. W.Weise - "Probing the Nuclear Paradigm" - Proceedings of the International School

in Heavy Ion Physics, Erice, Italy, 6-16.X.1993

[34]. C.Beşliu, Al.Jipa, R.Zaharia - Rom.Rep.Phys.46(1994)389

[35]. C.A.Dominguez, M.Loewe - Phys.Lett.B233(1989)201

[36]. V.Metag - "Probing the Nuclear Pardigm" - Proceedings of the International School

on Heavy Ion Physics, Erice, Italy, 6-16.X.1993

[37]. K.D.Gross - Preprint GSI, GSI-93-40(1993)

[38]. C.Beşliu et al -Prog.Part.Nucl.Phys.XX(1988)243

[39]. C.Beşliu, Lucia Popa, V.Popa - Rev.Roum.Phys.37(1992)219

[40].C.Beşliu, L.Popa, V.Popa - J.Phys.G: Nucl.Part.Phys.18(1992)807

[41].C.Beşliu, Lucia Popa, V.Popa, V.Topor-Pop - J.Phys.G: Nucl.Part.Phys.19(1993)

1831

[42]. Larry McLerran - Preprint FERMILAB, FERMILAB-Conf-84/101-T(1984)

[43]. B.Müller - Lectures Notes in Physics 225(1986)1

[44]. Cheuk-Yin Wong - Introduction to High Energy Heavy Ion Collisions - World

Scientific, Singapore, New Jersey, London, Hong Kong, 1994

[45]. B.R.Martin - Statistics for Physicists, Academic Press, New York, 1971

[46]. P.Carruthers, C.C.Shih - Int.J.Mod.Phys.A2(1987)1447

[47]. Al.Jipa, C.Beşliu, R.Zaharia, A.M.David - J.Phys.G: Nucl.Part.Phys.22(1996)221

[48]. Gh.Mihoc, V.Craiu - Tratat de statistică matematică, vol.IV "Corelaţie şi regresie

liniară", Editura Academiei R.S.R., Bucureşti, 1981

[49]. M.Biyajima, G.N.Fowler, N.Suzuki, R.M.Weiner, G.Wilk - Z.Phys.C44(1989)199

[50]. P.Bozek, M.Ploszajczak - Phys.Lett.B254(1991)502

[51]. J.Benecke et al - Phys.Rev.188(1969)2159

[52]. J.W.Harris et al - Phys.Rev.Lett.47(1981)229

[53]. A.Shor et al - Phys.Rev.Lett.48(1982)1597

[54]. P.Koch et al - Phys.Rev.C40(1989)145

[55]. J.Julien et al - Phys.Lett.B264(1991)269

[56]. M.Belkacem, E.Suraud, S.Ayik - Phys.Rev.C47(1993)R16

[57]. Sa Ben-Hao et al - Phys.Rev.C48(1993)2995

[58]. Al.Jipa, C.Beşliu, Maria Iosif, R.Zaharia - Quark Matter´96 - The XIII-th

International Conference on Ultra-Relattivistic Nucleus-Nucleus Collisions, Heidelberg,

20-24 May 1996 - poster

[59]. Y.Nambu, G.Jona-Lasinio - Phys.Rev.122(1961)345

[60]. T.Inagaki, T.Muta, S.D.Odintsov - Modern Physics Letters 8(1993)2117

[61]. W.Weise - Phys.Rev.Lett.70(1993)225

[62]. Al.Jipa - Ppreprint DOE/ER/40651-36-INT98(1998)

[63]. C.A.Dominguez - Nucl.Phys.B(Proc.Suppl.)15(1990)225

[64]. C.A.Dominguez, M.Loewe - Z.Phys.C49(1991)423

[65]. C.A.Dominguez, J.C.Rojas - Z.Phys.C59(1993)63

[66]. Al.Jipa – Analele Universităţii Bucureşti – Fizica XL-XLI(1991-1992)41

[67]. C.Beşliu, Al.Jipa, Irina Tudoraşcu, R.Zaharia - Analele Universităţii Bucureşti –

Fizica XLIII(1994)26

[68]. Particle Data Group – Phys.Rev.D45(1992)

[69]. D.H.Perkins – Introduction to High Energy Physics, Addison-Wesley Publishing

Company Inc, Menlo Park, 1987

[70]. I.J.R.Aitchinson, A.J.G.Hey – Gauge Theories in Particle Physics – Adam Hilger and

IOP Publishing Ltd, Bristol and Philadelphia, 1989

[71]. I.S.Hughes – Elementary particles – Cambridge University Press – Cambridge, 1991

[72]. R.Feynman – Phys.Rev.Lett.23(1969)1415

Capitolul al XXI-lea

Efectul cumulativ

Printre stările anomale care pot fi create în materia nucleară fierbinte şi densă

formată prin ciocniri nucleare relativiste se numără şi efectul cumulativ [1]. Acest efect

poate fi considerat ca o signatură a unor stări local supracomprimate din materia nucleară.

Efectul cumulativ este legat de posibilitatea oferită de ciocnirile nucleare relativiste

de a se studia procesele de generare multiplă de particule care apar în regiunea de

fragmentare limită a nucleelor [2]. Această regiune este interzisă cinematic ciocnirilor

independente nucleon-nucleon. În ipoteza fragmentării limită se pot determina formele

secţiunilor eficace diferenţiale parţiale de diferite tipuri pentru energii foarte mari şi

impulsuri longitudinale finite. Este important de subliniat faptul că în aceste condiţii

secţiunile efcicace diferenţiale nu mai depind de energie, în cazul tratării în sistemul

centrului de masă. Ele tind spre o limită constantă şi nenulă.

Regiunea de fragmentare limită poate fi atinsă prin ciocniri nucleare relativiste,

dar este, aşa cum s-a mai spus, interzisă cinematic ciocnirilor independente nucleon-

nucleon. Efectul cumulativ poate fi consierat ca procesul de generare de particule care

au o cinematică anomală în raport cu ciocnirile independente nucleon-nucleon la

energii incidente mari şi transferuri mari de impuls. El presupune violarea aproximaţiei

impulsului extinsă [1,2].

Primele studii asupra efectului cumulativ au început în anul 1971, la IUCN Dubna,

şi sunt legate de posibilitatea obţinerii, la energiile specifice Sincrofazotronului de aici, a

unor diferenţe între rapidităţile nucleului incident, yP, şi nucleului ţintă, yT, mai mari decât

lungimea de corelaţie de distanţă scurtă, L, anume:

2 Lyy TP . (IV.9)

Această condiţie impusă lungimii de corelaţie este determinată de faptul că atât

ipoteza fragmentării limitate, cât şi ipoteza invarianţei la scală, specifice ciocnirilor

hadronice la energii înalte, pot fi deduse pe baza unor ipoteze fenomenologice care

implică:

limitarea valorilor impulsurilor transversale;

corelaţii în spaţiul impusurilor longitudinale, corelaţii care sunt de rază scurtă.

Trebuie subliniat aici faptul că la separarea mişcării longitudinale de mişcarea transversală

contribuie mărimea rapiditate, indrodusă anterior şi definită prin relaţia de mai jos:

L

L

pE

pEy

ln

2

1 , (IV.10)

unde E este energia particulei considerate, iar pL este impulsul longitudinal al aceleaşi

particule.

Pentru studierea efectului cumulativ este necesară, de aceea, studierea producerii

multiple de particule care implică transferuri mari de impuls. Sunt discutate distribuţiile

uniparticulă în regiunea de fragmentare limită interzisă, aşa cum s-a specificat anterior,

ciocnirilor independente nucleon-nucleon. Pentru această regiune este îndeplinită condiţia:

1 TP yy

e , (IV.11)

Pentru un proces inclusiv de forma:

AP+AT1+X , (IV.12)

între masa nucleonului, mN, şi energia transversală a particulei detectate, dată de relaţia:

2

1

2

11 mpm , (IV.13)

există următoarea relaţie de legătură:

N

yymem TP

1 . (IV.14)

În acest caz trebuie luate în considerare limitele de variaţie ale rapidităţii particulei

detectate în procesul inclusiv de producere de particule considerat mai sus. Aceste limitele

de variaţie sunt legate de “masa lipsă” (missing mass). Ea se defineşte prin următoarea

relaţie:

)(2

)(

)(

)(

)(

)(

2

1

222

12

1

2

112

1

2

1

TP

TP

TP

TT

TP

PPTP

yych

mmmM

yych

yychpEm

yych

yychpEmmm

, (IV.15)

Dacă, în regiunea de fragmentare a proiectilului, sunt îndeplinite simultan condiţiile:

1)(

)( 1

TP yy

TP

eb

yyya , (IV.16)

atunci ecuaţia (IV.15) se poate scrie astfel:

Pyy

TP

TP em

yych

yychpEm

1

112

1

2

1)(

)( . (IV.17)

Limitele cinematice sunt obţinute cu ajutorul numărului de cumulativitate, Ncum.

Acest număr se defineşte ca numărul efectiv de nucleoni ai unui nucleu care se

fragmentează şi care sunt implicaţi în producerea unei particule. Pentru distribuţiile

uniparticulă se defineşte numărul de cumulativitate minim, Ncummin

, care este determinat de

masele nucleelor implicate în ciocnire. Dacă condiţia impusă prin ecuaţia (IV.14) este

îndeplinită, atunci numărul de cumulativitate minim este definit, în regiunea de fragmentare

limită a nucleului incident, prin următoarea relaţie:

N

yy

cumm

emN

P )(

1min1

. (IV.18)

Această relaţie se poate scrie în sistemele proprii ale nucleelor care se ciocnesc - nucleul

incident, şi, respectiv, nucleul ţintă. Se obţin în formele următoare pentru numărul de

cumulativitate minim:

oo pp

Lcum

N

Lcum

pE

pESTN

m

pESPN

1

1min

1

1min

)(

)(

, (IV.18’)

unde EPo este energia pe nucleon al nucleului incident, iar pP

o este impulsul pe nucleon al

aceluiaşi nucleu.

Se consideră, în general, că efectul cumulativ corespunde regiunii pentru care

numărul cumulativ minim este mai mare decât 1 (Ncummin

> 1). La definirea efectului

cumulativ se pot folosi şi alte relaţii [3-5].

Modelul care a stat la baza descrierii efectului cumulativ de către A.M.BAldin, în

anul 1971, este modelul partonic [6]. Ipoteza de bază folosită de A.M Baldin este aceea că

distribuţia uniparticulă în regiunea de fragmentare a nucleului incident P, cu număr de

masă AP, notată prin r1, se poate trata ca o superpoziţie de funcţii de distribuţie uniparticulă

care sunt datorate fragmentării limită a sistemelor de masă Ncum.mN, în interiorul nucleului

P:

),(),( 1111 ryyPryy P

N

NNP

T

P

cum

cumcum , (IV.19)

cu cumNP probabilitatea de a găsi un sistem de masă NcummN în interiorul nucleului incident

P.

Pe baza relaţiei (IV.19) se pot face următoarele observaţii:

(i) TP nu ar trebui să depindă de proprietăţile nucleului ţintă T datorită fragmentării

limită;

(ii) o formă echivalentă a acestei ecuaţii este:

TP(Ncum

min,r1) =NcumPNcumNcum(Ncum

min,r1), (IV.20)

cu Ncum = 0 pentru N < Ncum;

(iii) în volumul de cumulare nu se strâng foarte mulţi nucleoni, ceea ce face ca cumNP să fie

o funcţie rapid descrescătoare de Ncum.

Din observaţia (iii) se poate ajunge la următoarea formă pentru funcţia respectivă:

mincumaNT

P Ce

, (IV.21)

cu a şi C mărimi care nu depind practic de proprietăţile nucleului ţintă T în regiunea de

fragmentare a nucleului incident P.

În cadrul modelului propus de către Baldin se consideră că hadronii cumulativi pot

fi produşi numai de către partoni cumulativi. Tinând seama de faptul că un fenomen

deosebit de interesant în Fizica energiilor înalte, anume producerea de jeturi, este descris

tot în cadrul modelelor partonice [7,8] este extrem de importantă studierea producerii de

jeturi sau de jeturi de materie nucleară [9-12] în ciocniri nucleare relativiste (a se vedea şi

Capitolul al XVI-lea din Partea a III-a a cursului).

Efectul cumulativ a fost descoperit în cadrul unei colaborări dintre Universitatea

Bucureşti şi IUCN Dubna [1,3-5]. Primele ciocniri în care a fost pus în evidenţă

experimental acest efect au fost ciocnirile p-Cu şi d-Cu la 4.5 A GeV/c [1,3-5]. Deşi

primele rezultate experimentale asupra efectului cumulativ au fost obţinute încă din anul

1975, iar predicţiile teoretice referitoare la acest proces datează de la începutul anilor ´70

[1,3-6], după introducerea conceptului de fragmentare limitată [2], au rămas încă o serie

de aspecte teoretice şi experimentale neabordate sau incomplet abordate [13,14]. De

aceea, în cadrul activităţii de cercetare studiul acestui efect constituie, în continuare, un

obiectiv important. Importanţa sa este determinată, pe de o parte, de interesul actual

pentru diferite procese de tip "cooperativ" (de cluster-izare) [15], cât şi, pe de altă parte,

de preocupările legate de stabilirea dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste [16-20].

Obţinerea unui mecanism de generare cumulativă de particule implică prezenţa

mai multor nucleoni la distanţe mai mici decât dimensiunile unui singur nucleon, ceea ce

face ca unii din constituienţii partonici ai acestora să fie "colectivizaţi". În acest mod se

pot obţine condiţii pentru formarea de entităţi noi, specifice. Printre acestea se pot

număra şi dibarionii. Dibarionul este un sistem muticuarc metastabil [21,22]. Aplicarea

modelului de sac de cuarci indică posibilitatea interpretării lor ca stări supradense ale

materiei nucleare.

Fig.IV.1. Distribuţia numărului de cumulativitate

în ciocniri O-Pb şi O-Ne la 4.5 A GeV/c

Analiza producerii cumulative de particule în ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A

GeV/c a condus la câteva rezultate experimentale interesante. În Fig.IV.1 este prezentată

distribuţia numărului de cumulativitate al pionilor negativi generaţi în ciocniri O-Pb şi O-

Ne la 4.5 A GeV/c. Se constată faptul că producerea cumulativă este mai pronunţată pentru

ciocniri simetrice decât pentru ciocniri asimetrice. Acest fapt ar putea fi legat de contribuţia

mai importantă a regiunilor spectatoare la absorbţia şi reîmprăştierea particulelor generate

din regiunea participantă cu creşterea asimetriei ciocnirii.

Analiza producerii cumulative a particulelor aflate în jeturile de materie nucleară

observate în ciocniri He-AT la 4.5 A GeV/c [11,12] indică următoarele aspecte de interes:

(a) numerele de cumulativitate medii ale particulelor din jetul de materie nucleară

pe direcţia înainte sunt mai mici decât cele ale particulelor din jetul pe direcţia înapoi, atât

în evnimentele cu două jeturi, cât şi în cele cu mai multe jeturi;

(b) pentru evenimentele cu 3 şi 4 jeturi cel mai mare număr de cumulativitate

rămâne cel pentru jetul de materie nucleară pe direcţia înapoi;

(c) numerele de cumulativitate totale în evenimente cu cele mai multe jeturi sunt

cele mai mari;

(d) numerele de cumulativitate cresc uşor cu creşterea numărului de masă al

nucleului ţintă.

Aceste rezultate experimentale confirmă posibilitatea creerii şi observării unor

stări şi fenomene anomale în materia nucleară fierbinte şi densă în ciocniri nucleu-

nucleu la 4.5 A GeV/c. Legături interesante pot fi stabilite cu prezenţa jeturilor de

materie nucleară, precum şi cu gradul de coerenţă în sursa de particule.

Bibliografie la Capitolul al XXI-lea

[1].A.M.Baldin - Prog.Part.Nucl.Phys.IV(1981)95

[2].J.Benecke et al - Phys.Rev.188(1969)2159

[3].C.Beşliu, N.Ghiordănescu, M.Penţia - Studii şi Cercetări de Fizică 29(1977)817

[4].N.Ghiordănescu - Preprint IUCN Dubna (1981)

[5].C.Beşliu et al - Prog.Part.Nucl.Phys.XX(1988)243

[6].A.M.Baldin - JINR Rapid Communications in Physics 1(1971)35

[7].R.D.Field, R.Feynman - Phys.Rev.D15(1977)259

[8].A.M.Moiseev - Phys.Part.Nucl.25(1994)496

[9].H.Stöcker et al - Phys.Rev.C25(1982)1873

[10].C.Beşliu et al - Conferinţa Naţională de Fizică, Sibiu, 1994

[11].D.Argintaru et al - EPS Conference on High Energy Physics, Brussels, Belgium, 27

July-3 August 1995, EPS-0511

[12].C.Beşliu et al - European Physical Journal A1(1998)65

[13].C.Beşliu et al - Proceedings of the International Symposium on Large Scale Collective

Motion, Brolo, Italy, 15-19.X.1996 - World Scientific, Singapore, 1997, pages 307-317

[14].Maria Iosif - Teză de doctorat, Facultatea de Fizică, Uniuversitatea Bucureşti, 1997

[15].A.A.Baldin - The XXVIII International Conference on High Energy Physics -

Warsaw, Poland, 25-31.VII.1996, PA06-002

[16].C.Beşliu et al - Rom.J.Phys.43(1998)489

[17].C.Beşliu et al - International Nuclear Physics Conference - Paris, France, 24-

28.VIII.1998 - Abstracts of Contributed Papers, vol.II, page 496

[18].C.Beşliu, Al.Jipa - Rom.J.Phys.44(5,6)(1999)

[19].Al.Jipa, C.Beşliu, Maria Iosif, R.Zaharia – Il Nuovo Cimento A112(1999)179

[20].C.Beşliu et al – Nucl.Phys.A672(2000)446

[21].C.Beşliu et al - J.Phys.G: Nucl.Part.Phys.18(1992)807

[22].C.Beşliu et al - J.Phys.G: Nucl.Part.Phys.19(1993)1831

Capitolul al XXII-lea

Modificarea maselor de repaus ale particulelor

elementare în materia nucleară fierbinte şi densă

XXII.1. Consideraţii generale

În multe ciocniri nucleu-nucleu la energii pe nucleon mari s-a observat creşterea

producerii de particule sub energia de prag de producere corespunzătoare pentru ciocniri

nucleon-nucleon la energii similare [1-5]. Pentru explicarea acestei comportări s-au

propus mai multe ipoteze. Cele mai importante dintre ele sunt legate de violarea

aproximaţiei impulsului în ciocniri nucleare relativiste sau de crearea unor rezonanţe care

să determine apariţia unor tranziţii de fază intermediare în materia nucleară [6-14].

O altă ipoteză luată în considerare este cea a modificării maselor de repaus ale

particulelor generate în aceste ciocniri. Modificarea maselor de repaus poate fi

determinată de separarea dintre scala nucleară şi scala hadronică [15]. Această ipoteză

poate explica şi comportarea unor rapoarte de producere de diferite tipuri de particule

[16-18], rapoarte care au fost considerate iniţial ca fiind semnale experimentale ale

tranziţiei de fază la plasma de cuarci şi gluoni [14,19].

Schimbările proprietăţilor particulelor elementare - în principal, ale hadronilor - în

materia nucleară fierbinte şi densă par să fie determinate de simetriile care le guvernează

şi de ruperea acestor simetrii la temperaturi nucleare şi densităţi barionice înalte.

Unul din modelele care ia în considerare aceste aspecte este modelul Nambu -

Jona-Lasinio [20-22]. Într-o abordare termodinamică, cu luarea în considerare a unui

câmp scalar mediu, în lucrarea [21] se propun diferite comportări ale maselor de repaus

ale particulelor care sunt generate din regiunea participntă a nucleelor care se ciocnesc.

De interes pentru obiectivele urmărite în acest curs este cea în raport cu densitatea

regiunii participante la emisia fiecărui tip de particulă [22-24].

XXII.2. Modelul Nambu – Jona-Lasinio modificat

Dependenţa de densitatea barionică a masei de repaus

Modelul Nambu - Jona-Lasinio (NJL) actual se bazează pe o versiune a grupului

de simetrie SU(3), anume grupul de simetrie SU(3) de aromă. Studiul schimbării stării

N

yy

cu mm

emN

P )(

1min1

cu creşterea densităţii barionice arată că această schimbare este legată de

structura vidului.

La o denistate barionică = 0 ecuaţia masei pionilor este de forma:

22*

fmqqm o , (IV.22)

unde f este constanta de dezintegrare a pionului, iar m este masa de repaus a acestuia.

Pentru densităţi mai mari - > 0 - comportarea stării qq este descrisă, conform

teoremei Hellmann - Feynman, de următoarea ecuaţie:

*

)(

m

eqqqq o

, (IV.23)

unde e() este densitatea de energie la densitatea barionică . Densitatea de energie se

poate determina luând în considerare energia de repaus a nucleonilor, energia cinetică şi

energia internă a acestora, la densitatea barionică :

)()()( int eeme cinN , (IV.24)

cu mN masa de repaus a nucleonilor liberi.

Termenul al doilea din partea dreaptă a ecuaţiei (IV.23) are următoarele valori:

(i) pentru vid: 22**

* fmqqmm

em vid

(IV.25.1)

pentru nucleon liber: NN NqqNm

m

mm

*

** (IV.25.2)

pentru materia nucleară:

qqm

m

em *

*

)(* (IV.25.3)

Pentru constantele de dezintegrare f, respectiv, N , cele mai utilizate valori sunt 93.3

MeV, respectiv, 45±8 MeV.

Comportările maselor de repaus ale diferitelor tipuri de particule (hadroni) se pot

stabili dacă se iau în considerare structura stării qq şi comportarea cuarcilor de

valenţă în nucleon, cu condiţia ca densitatea scalară să fie pozitivă. Pentru vid avem

starea 0 qq .

Pentru masa de repaus a nucleonului se obţine următoarea dependenţă:

.2

3

10

311

)(2

22

N

v

N

s

N

FN

oN

N

m

U

m

U

m

p

fmqq

qq

m

m

(IV.26)

În ecuaţia de mai sus se folosesc potenţialele date de modelul NJL iniţial (potenţialul

scalar, Us, respectiv, potenţialul vectorial, Uv). Se ia în considerare şi mişcarea Fermi a

nucleonilor în nucleu, prin impulsul Fermi, pF. Pentru scrierea ecuaţiei anterioare s-a

făcut şi ipoteza că qqmN .

Pentru studiul stărilor anomale şi al tranziţiilor de fază în materia nucleară

fierbinte şi densă este de interes să se studieze modificările maselor de repaus ale pionilor

şi kaonilor în mediul nuclear considerat. În cadrul modelului NJL se introduc următoarele

ecuaţii caracteristice:

0);,(222 qmq , (IV.27.1)

0);,()(222 qmq K . (IV.27.2)

În ecuaţiile de mai sus );,( q reprezintă câmpul pionic, iar );,()( q reprezintă

câmpurile kaonice. Dependenţele de densitatea barionică obţinute pentru masele de

repaus ale celor două tipuri de particule sunt următoarele:

)1()()(

222

2

2

2

fmf

f

qq

qq

m

m N

o

, (IV.28.1)

)1(

4

322

2

K

KN

K

KK

ff

mm , (IV.28.2)

unde qsq rm 222 . S-a notat cu mq masele cuarcilor constituienţi şi cu rs raza scalară

a aceloraşi cuarci.

Fig.IV.2. Comportarea masei de repaus a pionului în funcţie de densitatea relativă

Fig.IV.3. Comportarea maselor de repaus ale kaonilor în funcţie de densitatea relativă

In Fig.IV.2, respectiv, Fig.IV.3 sunt prezentate comportările maselor de repaus ale

pionilor, respectiv, kaonilor, în funcţie de densitatea barionică relativă. Se observă că

masa de repaus a pionilor creşte foarte lent cu creşterea densităţii relative, pentru toate

tipurile de pioni, în timp ce masele de repaus ale kaonilor pozitivi şi negativi au

comportări diferite: pentru kaonii pozitivi masa de repaus creşte cu densitatea, iar cea

pentru kaonii negativi descreşte cu creşterea densităţii relative.

XXII.3. Compararea predicţiilor modelului Nambu - Jona-Lasinio

cu rezultatele experimentale pentru ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A

GeV/c

Pe baza relaţiilor prezentate mai sus, precum şi unele rezultate experimentale

asupra diferitelor mărimi fizice de interes [13,22,25-33], multe din ele incluse în curs, a

fost analizată posibilitatea ca pionii şi kaonii să îşi modifice masele de repaus în materia

nucleară fierbinte şi densă formată prin ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c.

Au fost luate în considerare patru momente importante din evoluţia regiunii

participante ("fireball"-lui), şi anume: (i) formarea "fireball"-ului (t=0); (ii) emisia

kaonului (t=tK); (iii) emisia pionului (t=t); (iv) încetarea interacţiilor dintre regiunea

participantă şi regiunile spectatoare (t=tf).

Prin folosirea relaţiilor (IV.22)-(IV.28) şi, mai ales, a rezultatelor experimentale,

s-au obţin următoarele valori medii ale densităţii nucleare în cele patru momente de

interes, anume: (i) (t=0) = 0.682 ± 0.089 Fm-3

(4.01o); (ii) (t=tK) = 0.503 ± 0.102

Fm-3

(2.96o); (iii) (t=t) = 0.400 ± 0.020 Fm-3

(2.35o); (iv) (t=tf) = 0.138 ± 0.018

Fm-3

(0.80o).

Aşa cum s-a menţionat anterior, la aceste densităţi barionice, masele de repaus ale

tuturor pionilor cresc cu creşterea densităţii nucleare sau densităţii barionice - conform

predicţiilor modelului NJL (Fig.IV.2), iar pentru kaonii cu sarcină comportările sunt

distincte, şi anume: masa de repaus a kaonilor negativi scade cu creşterea densităţii

nucleare/barionice, iar masa de repaus a kaonilor pozitivi cresc cu creşterea densităţii

nucleare-barionice (Fig.IV.3). Valorile cu care se modifică masele de repaus ale pionilor

şi kaonilor - prevăzute de modelul NJL, la aceste densităţi barionice experimentale - care

sunt în acord cu cele calculate pe baza modelului geometric [13,22,25-30] – sunt

următoarele: m() = 41 MeV/c2, m(K

+) = 150 MeV/c

2, m(K

-) = 85 MeV/c

2. Ele sunt

într-un acord bun cu valorile teoretice pentru densităţile barionice menţionate (Fig.IV.2 şi

Fig.IV.3).

Rezultatele obţinute ar putea explica comportarea unor mărimi fizice importante

pentru sudiul posibilităţilor de apariţie a unor alte stări şi fenomene anomale în materia

nucleară fierbinte şi densă, precum şinal unor tranziţii de fază [12-14,24,27,31]. Un

exemplu în acest sens este comportarea raportului K/, considerat, până de curând [19],

un semnal al tranziţiei de fază la plasma de cuarci şi gluoni [12-14,26,27,30,31]. De

aceea, discutarea mai detaliată a consecinţelor acestei comportări se va face în capitolele

consacrate plasmei de cuarci şi gluoni.

XXII.3. Dependenţa masei de repaus de temperatură

Pentru cunoasterea tipurilor de tranziţii de fază posibile este necesară cunoaşterea

parametrilor termodinamici de bază, precum şi a comportării unor mărimi fizice de

interes în vecinătatea valorilor critice a acestora, specifice fiecărei tranziţii de fază.

Datorită masei de repaus mici, pionul joacă un rol special în dinamica materiei

nucleare fierbinţi şi dense. La T = 0 se consideră că pionul este stabil din punct de vedere

hadronic. Pentru T 0 intervine procesul de dezintegrare a pionului, care conduce la o

lărgime nenulă în partea imaginară a funcţiei Green a pionului. Această lărgime este

considerată ca un coefficient de “atenuare” care poate să determine divergenţa funcţiei

Green a pionului la temperatura critică de tranziţie specifică. In general, lărgimea unui

hadron este un parametru de ordine fenomenologic pentru tranziţia de fază. Cu creşterea

temperaturii hadronii “se topesc”, iar lărgimile lor ar putea creşte pînă ar deveni infinite

la T = Tc. In aceste condiţii nu vor mai exista maxime de rezonanţă în funcţia spectrală

hadronică, funcţie care devine o funcţie netedă de energie, valoarea sa coincizînd cu cea

din cromodinamica cuantică perturbativă.

In cadrul algebrei de curenţi s-a propus următoarea relaţie, cunoscută şi ca relaţia

Gell-Mann – Oakes - Renner :

qqmmmf du

*22 )( , (IV.29)

unde fл93 MeV, <q*q> = <u

*u>=<d

*d>= - 0.01 GeV

3. Urmărindu-se realizarea de

corecţii de temperatură la relaţia de mai sus, se obţine dependenţa de temperatură a masei

pionului. Pentru T = 0, funcţia corespunzătoare are forma următoare:

)(0)0()(0)( 2

55

4

5 qiqjxAxdiq iqx , (IV.30)

Calculul funcţiei )( 2

5 q se face în cadrul cromodinamicii cuantice perturbative,

pînă în ordinal trei în masa cuarcilor, cu luarea în considerare a corecţiilor neperturbative

de diferite tipuri. Folosind următoarele valori ale unor mărimi care intervin în rezolvarea

ecuaţiei IV.30 , mu 5 MeV, md10 MeV, 2)/( Gs (14)10-2

GeV4, q

21 GeV2,

se obţine expresia de mai jos:

24*2222

5 )/(]))(8/1[(2)/ln())(8/3(|)( Gqmmqqqmmq sduduCDC

(IV.31)

Cea mai joasă stare hadronică este pionul; de aceea, din punct de vedere hadronic,

saturarea în cea mai joasă stare hadronică conduce la următoarea formă:

)]/(1)][/(2[|)( 22222

5 qmmmmfq duHAD , (IV.32)

Expresia de mai sus se modifică dacă se introduce rezonanţele pionice mai înalte;

pentru energii sub 1 GeV este posibilă absorbirea acestora în continuum. Fie s0 pragul de

continuum. Folosind teorema Cauchy pentru HADq |)( 2

5 şi CDCs |)(5 şi regulile de

sumare pentru energii finite se obţin corecţiile termice la temperature finite:

os

dudu dsmmqqmmmf0

22*22 ))(8/3()(22 , (IV.33.1)

os

dusdu sdsmmGmmmf0

222242 ))(8/3()/())(8/1(2 , (IV.33.2)

iar partea imaginară a funcţiei CDCTs |),(5 se poate scrie astfel:

)())(2/()2/)((21)[)(8/3(|),( 22

5 sTmmTsxnmmTs duFduCDC , (IV.33.3)

cu nF(x) = ( 1 + ex )

-1 factorul termic Fermi.

In Fig.IV.4 se prezintă comportarea rapoartelor fл(T)/ fл(0) , <q*q>T/<q

*q>0 , s0(T)/s0(0)

în funcţie de temperatura relativă T/Tc. Se observă că toate cele trei rapoarte au

comportări similare pînă la T/Tc = 0.8 , iar pentru valori mai mari se constată o scadere

rapidă, atingîndu-se valoarea 0 a raportului pentru T/Tc = 1.2.

Fie ecuaţiile:

)]2/(21[3/[())(8/3()()(2

)]}2/(21[

)3/4{())(8/3()(2)()(2)(

)(

0

22242

)(

0

2222*22

0

0

TsnsdsGmmTmTf

Tsnds

TmmqqmmTmTfTG

F

Ts

sdu

F

Ts

duT

du

(IV.34)

.

Fig.IV.4. Comportare constantei de dezintegrare, în diverse aproximaţii,

în raport cu temperatura relativă

In Fig.IV.5. se reprezintă comportarea raportului G(T)/G(0) pentru s0(0) = 1GeV2.

Se constată acelaşi tip de comportare ca în Fig.IV.4.

Fig.IV.5. Comportarea raportului G(T)/G(0) în funcţie de temperaturra relativă

Fig.IV.6 prezintă variaţia raportului mл(T)/mл(0) cu creştera temperaturii

relative.Există mici diferenţe în valoarea temperaturii relative la care apare creşterea

raportului maselor în funcţie de valorile parametrilor folosiţi. Aceste rezultate par să indice

că masa pionului nu se modifică cu creşterea temperaturii regiunii participante pentru

temperaturi sub temperatura critică de tranziţie.

Fig.IV.6. Variaţia masei de repaus a pionilor cu creşterea temperaturii relative

Bibliografie la Capitolul al XXII-lea

[1]. J.W.Harris et al – Phys.Rev.Lett.47(1981)229

[2]. A.Shor et al – Phys.Rev.Lett.48)1982)1597

[3]. P.Koch et al – Phys.Rev.C40(1989)145

[4]. J.Julien et al – Phys.Lett.B264(1991)269

[5]. M.Belkacem, E.Suraud, S.Ayik – Phys.Rev.C47(1993)R16

[6]. H.Leutwyler, A.V.Smilga - Nucl.Phys.B342(1990)302

[7]. C.A.Dominguez, E.de Rafael - Ann.Phys.174(1987)372

[8]. R.A.Berttmann et al - Z.Phys.C39(1988)231

[9]. A.I.Bochkarev, M.E.Shaposnikov - Nucl.Phys.B268(1986)220

[10]. C.A.Dominguez, M.Loewe - Phys.Rev.D52(1995)3143

[11]. V.Metag - International School on Heavy Ion Physics, Erice, Italy, 6-16.X.1993

[12]. C.Beşliu, Nicoleta Ioneci, Al.Jipa, R.Zaharia - Rom.Rep.Phys.48(5,6)(1996)47

[13]. Al.Jipa - J.Phys.G: Nucl.Part.Phys.22(1996)231

[14]. Al.Jipa, Răzvan Ionescu, Nicoleta Ioneci - Rom.Rep.Phys.48(5,6)(1996) 53

[15]. W.Weise - Probing the Nuclear Paradigm - Proceedings of the International School in

Heavy Ion Physics, Erice, Italy, 6-16 October 1993

[16]. R.Mattiello et al - Phys.Rev.Lett.63(1989)1459

[17]. P.Vincent et al. - Nucl.Phys.A498(1989)67

[18]. Sa Ben-Hao et al - Phys.Rev.C48(1993)2995

[19]. J.Letessier et al - Phys.Rev.D51(1996)3408

[20]. J.Nambu, G.Jona-Lasinio - Phys.Rev.122(1961)345

[21]. W.Weise – Phys.Lett.B278(1992)29

[22]. C.Beşliu, Al.Jipa, R.Zaharia - Rom.Rep.Phys.46(1994)389

[23]. W.Weise – Phys.Lett.B405(1997)215

[24]. Al.Jipa, C.Beşliu, Maria Iosif, R.Zaharia – Il Nuovo Cimento A112(1999)179

[25]. Al.Jipa – Teză de doctorat, Universitatea Bucureşti, Facultatea de Fizică, 1989

[26]. Al.Jipa - Turkish Journal of Physics 19(1995)846

[27].Al.Jipa, C.Beşliu, Maria Iosif, R.Zaharia - Quark Matter´96, Heidelberg, Germany, 20-

24.V.1996

[28]. C.Beşliu, Al.Jipa - Rev.Roum.Phys.33(1988)409

[29]. C.Beşliu, Al.Jipa - Rom.J.Phys.37(1992)1011

[30]. C.Beşliu et al - The XXVIII International Conference on High Energy Physics,

Warsaw (Poland), 25-31.VII.1996, PA06-021

[31]. Al.Jipa, C.Beşliu, Maria Iosif, R.Zaharia - The X General Conference of the European

Physical Society "Trends in Physics", Sevilla (Spain), 9-13.IX.1996

[32]. C.Beşliu, Al.Jipa - Il Nuovo Cimento A106(1993)317

[33].Al.Jipa - Balkan Physics Letters 1(1993)79

Capitolul al XXIII-lea

Secţiuni eficace pentru diferite tipuri de particule

produse în ciconiri nucleare relativiste

XXIII.1. Consideraţii generale

O problemă importantă este cea a comportării ratelor de producere de diferte

tipuri de particule, respectiv, a secţiunilor eficace asociate în ciocniri nucleare relativiste.

Aceste mărimi fizice sunt importante în absenţa unor posibilităţi de control experimentale

directe ale evoluţiei dinamice a ciocnirilor nucleare relativiste.

Unele secţiuni eficace - totale sau diferenţiale - pot da informaţii globale

importante asupra unor aspecte de interes legate de influenţa mediului nuclear în

descrierea dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste. De exemplu, distribuţiile de

rapiditate pot aduce informaţii asupra creşterii efectelor mediului nuclear asupra

ciocniriilor nucleon-nucleon cu creşterea stopării nucleare şi cu creşterea energiei

incidente, iar spectrele dublu diferenţiale ale unor particule uşoare, produse în

experimente exclusive, ar putea să permită estimări brute ale timpilor de echilibrare sau a

scalei de timp în care se desfăşoară diferite procese. Distribuţiile de impuls, total sau

transversal, pot da informaţii asupra temperaturii sursei la emiterea diferitelor tipuri de

particule. De asemenea, cele de impuls longitudinal, în SCM, pot oferi informaţii asupra

geometriei ciocnirii. Astfel, se pot obţine informaţii semnificative asupra evoluţiei şi

dinamicii sursei de particule.

Includerea efectelor mediului nuclear se poate face pe două căi, şi anume:

(i) calea dinamică - prin termeni diferiţi în matricile de ciocnire care să redea ratele de

producere;

(ii) calea statisticii cuantice - prin introducerea unor termeni expliciţi asupra blocării

Pauli în starea finală.

Comportarea secţiunilor eficace pentru particule cu stranietate este utilă în

studierea unor tranziţii de fază care pot avea loc în materia nucleară fierbinte şi densă

creată prin ciocniri nucleare relativiste. De aceea, având în vedere informaţiile incluse în

capitolul al XX-lea, se vor discuta câteva aspecte legate de aceste secţiuni.

XXIII.2. Secţiuni eficace pentru particule cu stranietate

La energii de câţiva GeV/nucleon este posibilă producerea de particule cu

stranietate, precum kaonii, hiperonii , , ş.a. Procesele elementare care pot sta la

baza producerii acestor particule sunt de următoarele tipuri:

(a) producere asociată (NN NK+, NN NK

+, NN K

+, NK

+,

K+);

(b) schimb de stranietate ( NK-);

(c) producere de perechi (BB B´B´´K+K

-; B = barion);

(d) ciocniri pion-barion (+n K

+).

Nucleul este considerat ca un sistem de 3A-corpuri, prin luarea în calcul a

structurii de cuarci şi gluoni a nucleonilor. Se are în vedere faptul că există dependenţe

specifice de energia şi impulsul care se transferă nucleului pentru evidenţierea acestei

structuri [1-8].

Luând în considerare faptul că activitatea de laborator este legată, în prezent, de

datele experimentale obţinute în cadrul colaborării SKM 200 de la IUCN Dubna, trebuie

menţionat aici faptul că observarea acestor tipuri de particule este posibilă la

Spectrometrul SKM 200 folosit pentru obţinerea datelor experimentale [9-15]. Camera cu

streamer a spectrometrului fiind un detector cu vizualizare trebuie menţionat că

observarea particulelor cu stranietate la astfel de detectori se face prin dezintegrările în

zbor ale acestora, în interiorul respectivului sistem de detecţie, în particule cu sarcină.

Cele mai importante canale de dezintegrare pentru particulele neutre cu stranietate

observabile la Spectrometrul SKM 200 sunt următoarele: Ko +-

, o p-

, o

o.

Particulele cu stranietate pot fi create oriunde în interiorul regiunii participante,

centrală, fierbinte şi densă. De aceea, posibilităţile de observare pentru astfel de particule

sunt determinate de probabilităţile lor de “evadare” (scăpare) din regiunea participantă. O

mărime necesară pentru estimarea acestor probabilităţi de “evadare” este drumul liber

mediu. Pentru kaoni cu impulsuri în jur de 1 GeV/c secţiunea eficace de interacţie kaon-

nucleon este în jur de 16 mb, ceea ce conduce, pentru densităţi de ordinul densităţii

nucleare normale, la un drum liber mediu de circa 4 Fm. Această valoare scade cu

creşterea densităţii materiei nucleare. Valorile drumului liber mediu sugerează că este

posibil ca unele particule cu stranietate să "scape" din regiunea participantă, fierbinte şi

densă, fără interacţii suplimentare. Acestă probabilitate de scăpare este mai mare pentru

ciocniri simetrice sau cuasisimetrice între nuclee cu numere de masă medii, deoarece raza

regiunii participante este, conform rezultatelor obţinute prin interferometrie pionică, de

ordinul razei nucleului incident, iar regiunile spectatoare sunt de dimensiuni mici, ceea ce

nu creşte probabilitatea de absorbţie a particulelor cu stranietate “scăpate” în interiorul

lor. La energii de câţiva GeV/A, probabilitatea de interacţie K este, de asemenea, foarte

mică.

Pentru ciocniri nucleu-nucleu la energii înalte se constată o scădere a energiei de

prag pentru producerea de particule cu stranietate şi o creştere a valorilor secţiunilor

eficace de producere [1-5,16].

Pentru experimentele desfăşurate la IUCN Dubna folosind Spectrometrul SKM

200 nu este posibilă identificarea directă a particulelor cu sarcină [9-14]. De aceea, s-a

propus o metodă de identificarea pentru particule cu sarcină stopate în camera cu

streamer bazată pe invarianţa la scală a particulelor care se mişcă cu aceeaşi viteză printr-

un mediu dat [12-15]. Folosind această metodă, s-au obţinut următoarele valori ale

secţiunilor eficace de producere a kaonilor pozitivi: pentru ciocniri O-Pb, (K*) = 1.31 ±

0.09 mb, iar pentru ciocniri C-Cu, (K*) = 1.01 ± 0.11 mb. Aceste rezultate sunt

importante pentru susţinerea formării de stări şi fenomene anomale în materia nucleară

fierbinte şi densă. În determinarea secţiunii eficace a kaonilor s-a luat în considerare

următoarea relaţie de definiţie [3]:

(K) = 800[pmax/[GeV/c]]4 [b] . (IV.35)

Rezultatele obţinute pe două căi sunt într-un acord satisfăcător. Este de remarcat faptul că

aceste valori sunt sub cele prevăzute de unele modele, cum ar fi cele de transport [17],

hadrochimice [18] sau cele bazate pe prima "generaţie" de ciocniri nucleon-nucleon [1]

(Fig.IV.7).

Fig.IV.7. Predicţii teoretice pentru secţiunea eficace inclusivă de producere a kaonilor

pozitivi în funcţie de de energia cinetică pe nucleon, pentru ciocniri simetrice

Fig.IV.8. Spectre de producere inclusivă de kaoni pozitivi în funcţie de

energia cinetică în sistemul centrului de masă, pentru diferite ciocniri.

Comparaţii cu predicţiile modelelor termice

Fig.IV.9. Spectre de producere inclusivă de kaoni negativi în funcţie de energia cinetică

în sistemul centrului de masă. Comparaţie cu predicţiile modelelor termice

Acestor rezultate trebuie să le fie adăugate rezultatele modelelor termice [19],

modele care permit estimarea temperaturii regiunii participante fierbinţi la emisia

kaonilor (Fig.IV.8 şi Fig.IV.9).

Două observaţii sunt importante pentru discuţiile de până acum din această parte

a cursului, anume:

(a) secţiunea eficace de producere pentru kaoni pozitivi este mult mai mare decât cea

pentru kaoni negativi (1.31 ± 0.09 mb faţă de 0.25 ± 0.12 mb pentru ciocniri O-Pb la 4.5

A GeV/c);

(b) temperatura sursei de particule este mai mică la emisia kaonilor negativi decât la

emisia kaonilor pozitivi.

Aceste rezultate pot fi puse în legătură cu posibilitatea modificării unor

proprietăţi ale particulelor elementare în materia nucleară fierbinte şi densă, cum ar fi

masa de repaus, aşa cum s-a discutat anterior în această parte a cursului. Ele cresc

posibilităţile de observare a stărilor anomle şi tranziţiilor de fază în materia nucleară.

Bibliografie la Capitolul al XXIII-lea

[1]. R.Stock - Phys.Rep.135(1985)259

[2]. P.Koch, B.Müller, J.Rafelski - Phys.Rep.142(1986)167

[3]. P.J.Mulders - Phys.Rep.185(1990)83

[4]. W.Cassing, V.Metag, U.Mosel, K.Niita - Phys.Rep.188(1990)363

[5]. ***** (Particle Data Group) - Phys.Rev.D45(1992)

[6]. D.Perkins - Introduction to High Energy Physics, Reading, MA, Addison-Wesley Press,

1987

[7]. I.J.R.Aitchison, A.J.G.Hey - Gauge Theories in Particle Physics, Adam Hilger and IOP

Publishing Ltd, Bristol and Philadelphia, 1989

[8]. I.S.Hughes - Elementary particles - Cambridge University Press, Cambridge, New

York, Port Chester, Melbourne, Sydney, 1991

[9].A.Kh.Abdurakhimov et al - Nucl.Phys.A362(1981)376

[10].M.Anikina et al - Phys.Rev.Lett.50(1983)1971

[11].M.Anikina et al - Phys.Rev.C33(1986)895

[12].Al.Jipa - Teză de doctorat, Universitatea Bucureşti, Facultatea de Fizică, 1989

[13].Al.Jipa - Turkish Journal of Physics 19(1995)846

[14].Al.Jipa, C.Beşliu, Maria Iosif, R.Zaharia - Quark Matter´96, Heidelberg, Germany, 20-

24.V.1996

[15].Al.Jipa, Coralia Labu, Cleopatra Simion – Rom.Rep.Phys.48(5,6)(1996)459

[16].C.B.Dover, P.Koch, M.May - Phys.Rev.C40(1989)115

[17].W.Greiner, P.Koch, J.Rafelski - Phys.Lett.B145(1984)142

[18].J.Julien et al - Phys.Lett.B264(1991)269

[19].G.E.Diebold et al - Phys.Rev.C48(1993)2984

Capitolul al XXIV-lea

Producerea de hipernuclee

în ciocniri nucleare relativiste

XXV.1. Introducere în Fizica hipernucleelor

Descoperirea primului hipernucleu în urmă cu aproape cincizeci de ani în

experimente de interacţii ale razelor cosmice cu emulsii nucleare a deschis un domeniu

de mare interes pentru Fizica particulelor elementare şi Fizica nucleară relativistă [1]. De

atunci s-au acumulat numeroase date experimentale şi s-au propus diferite modele pentru

descrierea formării unor astfel de nuclee care conţin unul s-au mai mulţi hiperoni (, ,

ş.a.) în locul nucleonilor, pe diferite nivele nucleare.

Primul hipernucleu a fost observat în anul 1953 de către M.Danysz şi J.Pniewski,

într-o emulsie nucleară expusă la radiaţii cosmice, prin dezintegrarea unui fragment

nuclear greu (Fig.IV.10) [1]. Prin compararea urmei "a" cu cele ale altor particule cu

sarcină stopate în emulsie permite o estimare brută a sarcinii fragmentului; cea mai

probabilă valoare găsită a fost 5. Energia cinetică a fragmentului iniţial a fost estimată

folosind parcursul şi sarcina. Valoarea obţinută, 60 MeV, nu era suficientă pentru a

produce o stea cum este cea din punctul B. Acest rezultat, precum şi observaţia că

formarea întâmplătoare a stelei din punctul B, la capătul trasei "a", este foarte puţin

probabilă au condus la ipoteza că fragmentul iniţial a fost format din nucleoni şi o

particulă neutră grea, ceea ce face posibilă dezintegrarea sa ulterioară, în punctul B.

Printre particule neutre luate în considerare s-au numărat hiperonii , şi . Estimările

făcute au condus pe Danysz şi Pniewski la concluzia că s-a format un nou tip de nucleu,

anume: 6He în care un nucleon a fost înlocuit cu un hiperon . El s-a numit hipernucleu

simplu de heliu.

Fig.IV.10. Observarea primului hipernucleu

Zece ani mai târziu s-a observat formarea primului hipernucleu dublu, anume:

6He [2]. De atunci, extrem de puţine hipernuclee duble au mai fost puse în evidenţă

experimental, alături de hipernucleele de 6He şi

10Be [3]. Ambele hipernuclee duble

au fost detectae în emulsii nucleare expuse la fascicule de kaoni negativi.

Existenţa hipernucleelor duble este extrem de importantă în cunoaşterea tăriei

interacţiei -, precum şi a termenului dependent de spin în energia de legătură. Ele pot

fi puse în evidenţă prin compararea energiei de legătură a celor doi hiperoni în

hipernuclee duble, B, cu energia de legătură corepunzătoare, B, pentru hipernuclee

simple asociate, adică:

)()( 1ZBZBB AA

. (IV.36)

Valorile experimentale obţinute pentru B sunt în jur de (4.6 ± 0.5) MeV.

În prezent se fac studii în domeniul Fizicii hipernucleelor la cele mai importante

sisteme de accelerare din lume. Principalele canale de producere a hipernucleelor în

ciocniri nucleare la energii înalte sunt legate de procesele elementare de producere a

unor hipernuclee în ciocniri N-N la energii echivalente. Cel mai probabil este canalul

NN KN [4-6]. Creşterea energiei de accelerare, precum şi diversificarea gamei de

nuclee incidente au determinat obţinerea de hipernuclee cu A 16.

XXIV.2. Producerea de hipernuclee în ciocniri nucleare relativiste

Primele experimente de producere de hipernuclee în ciocniri nucleare relativiste

au fost făcute la Lawrence Berkeley Laboratory în perioada 1975-1976 [4]. În acest

experiment ionii de 16

O au fost acceleraţi la 2.1 A GeV şi au fost folosiţi pentru

bombardarea unei ţinte de polietilenă. Au fost detectate hipernuclee simple de 16

O şi

16

N. Secţiunea şi timpul de viaţă pentru ambele hipernuclee au valorile : = (2 ± 1) b,

respectiv, = (0.86 ± 0.30) .10-10

s

La IUCN Dubna studiile experimentale asupra producerii de hipernuclee au

început în anii ´80. Un experiment important care s-a desfăşurat aici a fost cel din anul

1986. Scopul acestui experiment a fost legat de producerea de hipernuclee de 4He şi

3He. Pe o ţintă de CH2 au căzut nuclee de

4He, accelerate la 4.5 A GeV, iar produşii de

reacţie au fost detectaţi cu ajutorul Spectrometrului HYBS [5]. În acest spectrometru a

fost inclusă aceeaşi cameră cu streamer ca în cazul Spectrometrului SKM 200.

Au fost înregistrate 60000 de imagini. Dintre acestea, după explorare şi măsurare

au fost considerate de interes numai 47 de evenimente. Secţiunea eficace şi timpul de

viaţă pentru hipernucleul de 4He au fost stabilite din analiza celor 47 evenimente

selecţionate. Valorile obţinute sunt următoarele: = (0.4 ± 0.2) b, respectiv, =(2.2 ±

0.5) .10-10

s

Majoritatea rezultatelor experimentale asupra producerii de hipernuclee obţinute

până în prezent consideră hipernucleele formate ca fragmente ale nucleului ţintă. În

general, acest tip de fragmente se caracterizează prin energii cinetice relativ mici, ceea ce

determină parcursuri mici. Acest fapt determină dificultăţi în identificarea hipernucleelor

şi în stabilirea caracteristicilor cinematice. Deoarece timpi de viaţă ai hiperonilor legaţi în

hipernuclee sunt mai scurţi decât cei pentru hiperoni liberi, parcursurile hipernucleelor

sunt foarte scurte, iar ele se mai numesc şi anomaloni [6-10].

Pentru a înlătura acest inconvenient legat de parcursurile foarte scurte ale ale

hipernucleelor produse ca fragmente ale nucleului ţintă la IUCN Dubna a fost iniţiat, din

anul 1989, proiectul "ANOMALON" [7]. Iniţierea sa are la bază rezultatele

experimentale promiţătoare ale colaborării de la Spectrometrul HYBS [5]. În cadrul

acestui proiect se studiază producerea şi dezintegrarea hipernucleelor ca fragmente ale

nucleului incident. Principalele avantaje sunt următoarele:

(a) Parcursurile medii ale hipernucleelor relativiste sunt suficiente pentru a permite

folosirea ţintelor subţiri.

(b) Vitezele hipernucleelor sunt foarte apropiate de cele ale nucleelor incidente şi de

aceea există condiţii favorabile pentru a măsura timpii de viaţă ai hipernucleelor formate.

(c) Unghiurile de emisie ale hipernucleelor relativiste şi ale produşilor lor de dezintegrare

sunt mici (câteva grade), ceea ce face posibilă introducerea în aranjamentele

experimentale a unor spectrometre cu unghiuri de acceptanţă mici.

Fig.IV.11. Schema bloc a spectrometrului "ANOMALON" de la IUCN Dubna

În Fig.IV.11 este prezentată schema de principiu a spectrometrului ANOMALON,

construit special în acest scop. Principalele elemente componente sunt următoarele:

(i) Ţinta – este făcută din scintilator organic lichid.

(ii) Două camere proporţionale multifilare, CPMF1 şi CPMF2, patru detectori

Cerenkov şi doi detectori cu siliciu - folosiţi pentru măsurarea sarcinii nucleului incident

şi a coordonatelor traiectoriei acestuia.

(iii) Opt camere proporţionale multifilare - introduse pentru măsurarea raportului

A/Z pentru hipernucleu şi produşii lui de dezintegrare.

iv) Treizeci de detectori Cerenkov - care asigură măsurarea corectă a sarcinii Z a

fragmentelor.

(v) Un sistem de declanşare conceput special pentru detecţia produşilor de

dezintegrare de la diferitele hipernuclee formate.

Prin folosirea spectrometrului ANOMALON se urmăreşte obţinerea de rezultate

experimentale referitoare la hiperrnuclee cu A 16. Astfel de hipernuclee nu au putut fi

studiate experrimental până în prezent.

Trebuie menţionat faptul că producerea de hipernuclee este legată de producerea

de stranietate în ciocniri nucleare relativiste. Aşa cum se va discuta ulterior în curs,

creşterea producerii de stranietate poate fi considerată ca semnal experimental al unor

tranziţii de fază în materia nucleară fierbite şi densă, în principal de cea la plasma de

cuarci şi gluoni. De aceea, se poate considera că studierea sistematică şi corelată a celor

două tipuri de fenomene poate să dea informaţii importante asupra unor astfel de tranziţii.

XXIV.3. Modelarea producerii de hipernuclee

în ciocniri nucleare relativiste

Descrierea formării de hipernuclee în ciocniri nucleare relativiste implică

folosirea unor concepte specifice, dar şi a unor modelări generale introduse pentru

descrierea dinamicii acestor ciocniri [6-16].

Dintre aceste modele de un interes aparte se bucură modele de "fuzionare". Aceste

modele sunt de tip fenomenologic cu aspecte termodinamice importante. El a fost propus de

către grupul Profesorului A.Sandoval, de la Lawrence Berkeley Laboratory, în anul 1976

[15]. Ulterior, acest model a fost preluat de grupul japonez al Profesorului Hiroharu Bando,

extrem de activ în domeniul Fizicii hipernucleelor [16]. Unele din estimările pentru

producerea de hipernuclee în ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c au la bază ipotezele

acestui model [17,18]. De aceea, modelul va fi prezentat pe scurt în cele ce urmează.

Modelul de "fuzionare" [15] îşi propune să explice emisia de fragmente uşoare în

ciocniri nucleare relativiste prin interacţii în starea finală. În urma interacţiilor dintre

nucleoni în starea finală are loc fuzionarea acestora, dacă au impulsuri mai mici decât o

anumită valoare, po, numită rază de fuzionare. Probabilitatea de formare a unui fragment

uşor cu număr de masă A este dată de relaţia următoare:

dpdp

dp

Adpdp

dA

o

o

2

1

13

2

2

3

4

!

1

, (IV.37)

unde este factorul Lorentz, o este secţiunea eficace totală la energia considerată,

dpdp

d2

1 este secţiunea eficace de formare a unui singur nucleon în starea finală.

Compararea calculelor cu rezultatele experimentale indică scăderea lentă a razei

de "fuzionare" cu creşterea energiei cinetice a nucleului incident, precum şi creşterea

slabă a valorii ei cu creşterea masei fragmentului emis. Raza de "fuzionare" nu conţine

informaţii asupra momentelor iniţiale ale ciocnirii.

În lucrarea [16] modelul de "fuzionare" a fost aplicat pentru descrierea formării de

hipernuclee şi pentru estimarea secţiunilor de producere pentru diferite tipuri de hipernuclee

la energia de 2.1 A GeV, cu luarea în considerare a unor aspecte specifice ciocnirilor

nucleare relativiste.

În ciocniri nucleu-nucleu la energii înalte se produc nucleoni, mezoni de diferite

tipuri, hiperoni şi fragmente nucleare. Formarea unui hipernucleu poate să aibă loc prin

capturarea unui hiperon ( în principal, pentru ciocniri nucleare la energii în jur de 1 A GeV)

de către un fragment nuclear produs în ciocnire celor două nuclee, dacă impulsul

hiperonului şi al fragmentului nuclear sunt mai mici decât valoarea po a razei de

"fuzionare". În general, în ciocniri nucleare relativiste se produc mulţi pioni. Ei pot sta la

baza unor ciocniri de tipul + N + K, în regiunea participantă. Acest tip de cioniri pot

deveni o sursă suplimentară de formare a unor hipernuclee.

Estimatrea secţiunii eficace de formare a unui hipernucleu de masă A cu n hiperoni

ataşaţi are la bază metoda propusă de Kerman şi Weiss în anul 1973 [11]. Această metodă

constă în estimarea producerii de particule stranii pentru ciocnirea unui singur nucleon cu

nucleul ţintă, urmată de generalizarea rezultatelor obţinute pentru nuclee incidente mai

complexe.

Numărul de ciocniri, nc, pe care le suferă un nucleon incident la trecerea sa printr-un

nucleu ţintă de masă AT, este proporţional cu raza nucleului ţintă, RT, şi invers proporţional

cu drumul liber mediu în sistemul respectiv, VNN n

1

, unde NN este secţiunea eficace de

ciocnire NN la energia considerată, iar nV este numărul de centrii de împrăştiere pe unitatea

de volum. Se poate scrie:

Tc

Rn . Numărul de ciocniri, nc, împreună cu probabilitatea de

formare a N hiperoni într-o ciocnire, P(N), permit stabilirea secţiunii eficace de formare a

unui hipernucleu cu n hiperoni ataşaţi, în cazul nostru. Se obţine următoarea relaţie:

3

3

3

3

,

3

3

3 )(.

)(..

fr

n

fr

Fnn

F

f

Fn

r dk

Fd

dk

dS

m

mnm

dk

d

, (IV.38)

unde NM

Mm

, N

F

FM

Mm ,

2/12

1

N

f

M

k , r este secţiunea eficace de reacţie,

iar Sn,F este factorul de "fuzionare" a celor n hiperoni şi a fragmentului F. Acest factor de

"fuzionare", Sn,F, se exprimă în raport de funcţia de stare relativă, (r), dintre fragment şi

hiperoni, precum şi de funcţia de distribuţie spaţială a materiei din sursa de particule, Di(r),

unde i=(,F). Formele explicite ale factorului de "fuzionare" depind de numărul de

hipernuclee luate în considerare. Astfel, pentru cazul unui singur hiperon ataşat la

fragmentul F, se poate scrie (n=1):

)()()2)((2

3

, rrrdFwS FF , (IV.39)

unde

)'()'(')( rDrrDrdr F

F . (IV.40)

În cazul ataşării a doi hiperoni relaţia de definire a factorului de "fuzionare" se scrie astfel:

),(),()2)(( ,2

26

,2 RrRrRdrdFwS FF , (IV.40)

unde

)()2

1()

2

1(),(,2 xDrRxDrRxDxdRr F

F

, (IV.41)

cu r şi R coordonatele relative dintre cei doi hiperoni, respectiv, dintre centrul de masă al

celor doi hiperoni şi fragment. Pentru hiperonii din hipernucleu se folosesc funcţii de stare

de tip oscilator armonic, nlms, iar pentru funcţiile Di se presupun forme gaussiene.

Modelul permite obţinerea de acorduri destul de bune cu rezultatele experimentale

existente [5-19]. El poate fi extins şi la producerea de particule H [20,21].

XXIV.4. Rezultate experimentale pentru secţiunile de formare

ale unor hipernuclee în ciocniri nucleare relativiste

Pentru estimarea secţiunilor eficace de formare a unor hipernuclee sunt

importante secţiunile eficace de producere pentru particule cu stranietate obţinute în

diferite ciocniri nucleare relativiste [4,5,22-26,]. Calculele făcute pentru estimarea

secţiunilor de producere pentru diferite tipuri de hipernuclee trebuie să aibă în vedere

canalele de producere care se deschid la diverse energii [21]. În Fig.IV.12 este prezentată

dependenţa secţiunii eficace de formare a hipernucleelor simple de numărul de masă al

fragmentului nuclear pentru ciocniri Ne + Ne F + X la două energii: (a) 2.1 A GeV;

(b) 4.5 A GeV.

Fig.IV.12. Secţiunile eficace de formare a unor hipernuclee simple în ciocniri Ne-Ne la

2.1 A GeV (a), respectiv, 4.5 A GeV (b) în funcţie de numărul de masă al fragmentului

nuclear

Se constată că această secţiune creşte cu creşterea energiei pe nucleon pentru

nucleul incident. Acest fapt se datorează creşterii ratelor de producere a hiperonilor - ,

în acest caz - cu creşterea energiei nucleului incident. Trebuie subliniat, de asemenea,

faptul că fuzionarea dintre hiperonul şi fragmentul nuclear devine mai puţin probabilă

cu creşterea energiei nucleului incident. Acest rezultat poate să dea un răspuns unor

probleme legate de formarea stărilor anomale în materia nucleară şi apariţia tranziţiilor de

fază, în sensul ponderilor specifice pentru cele două fenomene la diferite energii. Plasma

de cuarci şi gluoni, atât în formă pură, cât şi în formă bogată în barioni, cu signatura sa

specifică, de creştere a producerii de stranietate, apare şi devine dominantă la energii

mari.

Secţiunea de formare de hipernuclee duble este mult mai mică, pentru aceeaşi

ciocnire, la aceeaşi energie, decât cea pentru hipernuclee simple. Scăderea este de câteva

ordine de mărime, de la valori de ordinul b - pentru hipernuclee simple - la valori de

ordinul nb - pentru hipernuclee duble.

Pentru producerea de particule H (dibarioni) secţiunea eficace estimată, pentru

ciocniri Ne + Ne la 4.5 A GeV, este de 2.6 b.

AP-AT (4He-

12C)

[b]

(4Li-

12C)

[b]

(12

C-12

C)

[b]

(19

F-12

C)

[b]

Ecin

[A GeV]

3.7 3.0 3.7 3.7

3H 0.06 0.07 0.07 0.11

4H 0.29 0.68 0.39 0.65

4He 0.27 0.10 0.39 0.30

5H - 0.05 0.03 0.08

5He - 0.84 2.58 1.94

6He - 0.25 0.32 0.54

6Li - 0.09 0.30 0.37

7He - 0.07 0.09 0.20

7Li - 0.11 0.24 0.33

7Be - - 0.07 0.05

Tabelul IV.1. Valorile calculate ale secţiunilor eficace de formare a unor

hipernuclee simple în trei ciocniri la energii cinetice mai mari de 3 A GeV

În Tabelul IV.1 sunt incluse valorile calculate ale secţiunilor eficace de formare

pentru diferite tipuri de hipernuclee simple - de la 3He la

12C - în trei ciocniri - He+C,

Li+C şi C+C - la energii cinetice peste 3 A GeV, specifice IUCN Dubna. Acolo unde

există rezultate experimentale s-au inclus şi acestea.

Din analiza valorilor incluse în tabel se constată că hipernucleele pentru care

există o structură de tip 4N+ au secţuni eficace mult mai mare decât alte tipuri de

hipernuclee. Pentru hipernucleele de tip 4H şi

3H - produse în ciocniri la energia

cinetică de 3.7 A GeV - se observă un acord bun între calcule şi rezultate experimentale.

Toate aspectele fenomenologice şi rezultatele experimentale considerate până în

prezent confirmă posibilitatea observării unor stări şi fenomene anomale în materia

nucleară fierbinte şi densă formată prin ciocniri nucleu-nucleu la energii de câţiva

GeV/nucleon. Sunt sugerate, de asemenea, posibile legături cu unele tranziţii de fază

în materia nucleară fierbinte şi densă De aceea, în cele e urmează se vor aborda câteva

aspecte legate de tranziţiile de fază care pot săp apară în materia nucleară formată prin

ciocniri nucleare relativiste.

Bibliografie la Capitolul al XXIV-lea

[1].M.Danysz, J.Pniewski - Phyl.Mag.44(1953)348

[2].M.Danysz et al - Phys.Rev.Lett.11(1963)29

[3].D.J.Prowse et al - Phys.Rev.Lett.17(1966)782

[4].K.J.Nield et al - Phys.Rev.C13(1976)1263

[5].A.U.Abdurakhimov et al - Il Nuovo Cimento A102(1990)645

[6].H.Bando, O.Hashimoto, K.Ogawa (editors) - Proceedings of 1986 International

Symposium on Hypernuclear Physics, Tokyo, Japan, 20-23 August 1986

[7].E.Okonov - Letter of intent, JINR Dubna, 1990

[8].E.Oset, P.Fernandez de Cordoba, L.L.Salcedo, R.Brockmann - Phys.Rep.188 (1990)79

[9].J.Nieves, E.Oset - Phys.Rev.C47(1993)1478

[10].Jufa Hao et al - Phys.Rev.Lett.71(1993)1498

[11].A.K.Kerman, M.S.Weiss - Phys.Rev.C8(1973)408

[12].T.Motoba, H.Bando, T.Fukuda - Nucl.Phys.A534(1991)597

[13].H.J.Krappe, V.V.Pashkievich - Phys.Rev.C47(1993)1970

[14].P.J.Lombard, S.Marcos, J.Mares - Phys.Rev.C51(1995)1784

[15].H.H.Gutbrod et al - Phys.Rev.Lett.37(1976)667

[16].F.Asai, H.Bando, M.Sano - Phys.Lett.B145(1984)19

[17].C.Beşliu, Al.Jipa, Irina Tudoraşcu, R.Zaharia – Analele Universităţii Bucureşti – Fizica

XLIII(1994)26

[18].Cristiana Iosif – Teză de doctorat, Universitatea Bucureşti, Facultatea de Fizică, 1997

[19].H.Bando, T.Motoba, J.Zofka - Int.J.Mod.Phys.5(1990)4021

[20].H.Bando, M.Sano, M.Wakai - Nucl.Phys.A501(1989)900

[21].Particle Data Group - Phys.Rev.D50(1994)1

[22].W.Greiner, P.Koch, J.Rafelski - Phys.Lett.B145(1984)142

[23].J.Julien et al - Phys.Lett.B264(1991)269

[24].G.E.Diebold et al - Phys.Rev.C48(1993)2984

[25].Al.Jipa - Turkish Journal of Physics 19(1995)846

[26].Al.Jipa, C.Beşliu, Maria Iosif, R.Zaharia - Quark Matter´96, Heidelberg, Germany, 20-

24.V.1996

Capitolul al XXV-lea

Tranziţii de fază în materia nucleară

XXV.1. Consideraţii termodinamice asupra tranziţiilor de fază

Starea de echilibru a unei substanţe este descrisă de diferiţi parametrii

termodinamici. Această stare de echilibru corespunde fie unei singure stări omogene fie

la două sau mai multe stări omogene aflate în contact [1,2]. Stările respective corespund

unor faze distincte ale substanţei/materiei. Ea poate fi caracterizată prin diferiţi

parametrii termodinamici. Ei definesc condiţiile în care două faze sunt în echilibru.

Condiţia de bază pentru obţinerea echilibrului între două faze este aceea ca

temperaturile celor două faze să fie egale. Deci:

T(1) = T(2) , (IV.42)

unde T(i), cu i = 1,2, sunt temperaturile în cele două faze. Egalitatea temperaturilor evită

existenţa unor gradienţi şi asigură omogenitatea substanţei.

O altă condiţie este legată de necesitatea exercitării unor forţe egale şi de sensuri

contrare pe suprafaţa de contact dintre cele două faze. Această condiţie impune - în

ambele faze - egalitatea presiunilor:

P(1) = P(2) , (IV.43)

cu P(i), i = 1,2, presiunile în cele două faze.

Pentru obţinerea omogenităţii celor două faze aflate în echilibru este necesară

asigurarea egaltăţii potenţialelor chimice corespunzătoare, anume:

(1) = (2) . (IV.44)

Cele trei mărimi termodinamice considerate se pot exprima unul în funcţie de

celelate, ceea ce indică faptul că echilibrul fazelor nu poate avea loc pentru valori

arbitrare ale celor trei mărimi considerate. De exemplu, dacă potenţialul chimic se

exprimă în funcţie de temperatură şi presiune, anume:

1(P,T) = 2(P,T) , (IV.45)

cunoaşterea temperaturii de echilibru, T, implică determinarea completă a presiunii de

echilibru, P. Reprezentarea grafică a uneia din aceste mărimi în funcţie de cealaltă - de

exemplu, temperatura în funcţie de presiune - permite obţinerea curbei de echilibru a

fazelor (diagramei de fază). Punctele care se află de o parte şi de alta a curbei de

echilibru reprezintă stările omogene, iar punctele de pe curba de echilibru indică valorile

parametrilor termodinamici pentru care este posibil echilibrul.

Este de remarcat faptul că folosirea altor mărimi termodinamice în diagrama de

fază - de exemplu, temperatură şi volum - poate conduce la ocuparea unor părţi din plan

de către stările în care cele două faze coexită. In cazul mărimilor considerate, temperatură

şi volum, această comportare este determinată de faptul că volumele corespunzătoare

celor două faze sunt diferite.

Din punct de vedere termodinamic nu sunt permise mai mult de trei faze în

echilibru. In acest caz condiţiile de echilibru se scriu astfel:

T(1) = T(2) = T(3) , (IV.46)

P(1) = P(2) = P(3) , (IV.47)

(1) = (2) = (3) . (IV.48)

Pe baza relaţiei (IV.45) se poate scrie următoarea relaţie pentru echilibrul celor

trei faze:

1(T,P) = 2(T,P) = 3(T,P) . (IV.49)

Se obţin astfel valori bine determinate ale temperaturii şi presiunii. Ele determină pe

diagrama de fază aşa-numitul punct triplu. Punctul triplu reprezintă starea în care

coexistă simultan cele trei faze şi se află la intersecţia curbelor de echilibru dintre

perechile de faze implicate, anume: (1,2), (1,3) şi (2,3).

Tranziţia de fază reprezintă trecerea dintr-o fază în alta şi are loc cu emisie sau

absorbţie de energie. In funcţie de condiţii pot avea loc diferite tipuri de tranziţii de fază.

O problemă de interes este cea a punctului critic. Prin punct critic se înţelege

punctul în care se termină curba de echilibru într-o diagramă de fază. El dă valorile

critice pentru cele două mărimi folosite pentru obţinerea diagramei de fază. Cele mai des

folosite mărimi sunt temperatura şi presiunea, iar valorile corespunzătoare dau

temperatura şi densitatea critică.

Este important de subliniat faptul că pentru valori mai mari decât cele critice nu

mai există faze diferite, iar în punctul critic este posibil să aibă loc o trecere continuă şi,

astfel, nu se mai produce separarea dintre cele două faze. De aceea, este posibilă

ocolirea punctului critic fără trecerea peste curba de echilibru. Totodată, pentru punctul

critic nu se mai pot identifica stările specifice fiecărei faze.

În ceea ce priveşte tranziţiile de fază este de remarcat existenţa a două tipuri de

tranziţii de fază, şi anume:

(i) tranziţii de fază de speţa I - ele sunt tranziţii în care fazele pot coexista la

echilibru în punctul de tranziţie (critic); de asemenea, există diferenţe cantitative între

faze;

(ii) tranziţii de fază de speţa a II-a - aceste tranziţii se caracterizeză prin absenţa

punctului critic, ceea ce implică faptul că în acest caz curba de echilibru merge la infinit

sau se termină la intersecţia cu curba de echilibru a altei faze.

În căutarea unor tranziţii de fază în materia nucleară aflată în diferite condiţii de

temperatură şi presiune trebuie să se aibă în vedere aceste consideraţii termodinamice, iar

analiza rezultatelor experimentale trebuie să conducă la valorile critice specifice, precum

şi la stabilirea speţei/tipului tranziţiei de fază în funcţie de ecuaţiile de stare implicate. De

aceea, în cele ce urmează se vor considera câteva tranziţii de fază specifice materiei

nucleare în funcţie de două mărimi fizice importante, anume: temperatura nucleară şi

densitatea nucleară.

XXV.2. Tipuri de tranziţii de fază în materia nucleară

Conceptul de materie nucleară a fost introdus de către Brueckner, Bethe ş.a [3-5].

Se face ipoteza că nucleul poate fi considerat ca un sistem infinit de nucleoni care

interacţionează prin schimb de pioni virtuali - cunate de schimb ale interacţiei tari.

Acesată stare reprezintă materia nucleară în stare fundamentală. Este de remarcat faptul

că, datorită necesităţii de a se obţine rezultate finite în calculul mărimilor care

caracterizează sistemul, nu se iau în considerare efectele interacţiilor coulombiene dintre

nucleoni.

Una dintre mărimile definitorii pentru caracterizarea stării sistemului este în acest

caz densitatea materiei nucleare. În ipoteza unor nucleoni constituienţi ai sistemului de

formă sferică se poate estima valoarea acestei mărimi. Valoarea acceptată în prezent

pentru desitatea barionică a materiei nucleare în starea fundamentală este de 0.17 Fm-3

[6].

Pentru calcularea unor mărimi fizice definitorii pentru materia nucleară se fac şi

alte ipoteze simplificatoare, cum ar fi:

echivalenţa tuturor poziţiilor nucleonilor,

folosirea funcţiilor de undă plane pentru descrierea stării nucleonilor ş.a.

Ceea ce interesează în cadrul acestei părţi a cursului este modul de comportare şi

feneomenele de interes care intervin atunci când materia nucleară este adusă - în urma

unor procese de interacţie - la diferite densităţi şi temperaturi. Într-o astfel de diagramă de

fază (Fig.IV.13) se pot distinge mai multe faze posibile [6-9].

Fig.IV.13. Diagrama de fază pentru tranziţii de fază în ciocniri nucleare

relativiste

Ceea ce este interesant de subliniat este faptul că se acceptă apariţia simultană a

două tipuri majore de stări:

materie structurată;

comportări colective datorate absenţei structurii.

Tranziţiile de fază care sunt posibil să aibă loc în materia nucleră aflată în diferite

condiţii de temperatură şi densitate sunt:

a. Tranziţia de fază lichid-vapori (evaporarea nucleară) [10].

b. Tranziţia de fază la stări nucleare condensate (condensarea pionică, de exemplu) [11].

c. Tranziţia de fază la plasma hadronică. [12-15].

d. Tranziţia de fază la plasma de cuarci şi gluoni [16-18].

Este de subliniat faptul că în cadrul tranziţiilor de tip c sunt incluse, în general, mai multe

procese. Printre acestea se numară pionizarea şi materia de rezonanţă [8,9,19,20].

În cazul în care temperatura nu creşte mult (T < 20 MeV) nu sunt îndeplinite

condiţii pentru o hadronizare semnificativă în materia nucleară creată în regiunea de

suprapunere a nucleelor care se ciocesc. Se presupune că la aceste temperaturi (T < 20

MeV), în condiţiile unor densităţi sub densitatea materiei nucleare în starea fundamentală

(densitatea nucleară normală), pot apărea comportări tipice pentru o materie în care

interacţii atractive de distanţă lungă coexistă cu interacţii repulsive de distanţă scurtă.

Acest tip de comportare caracterizează un gaz Van der Waals şi de aceea se consideră că

poate avea loc o tranziţie de fază lichid nuclear-vapori. Valorile critice ale acestei

tranziţii par să fie următoarele: cr = 0.4o , Tcr = 18 MeV [6,7,12,14]. Faza de lichid şi

cea de gaz pot coexista pentru o densitate determinată, atât timp cât temperatura este mai

mică decât temperatura critică.

Condiţii pentru realizarea unei astfel de faze pot să apară în ciocniri

nucleu-nucleu la energii mari, în etapele finale ale ciocnirii, atunci când interacţiile dintre

regiunea participantă şi regiunea participantă încetează şi are loc o răcire adiabatică a

sistemului format [6,7,12,14]. Pentru temperaturi mai mari decât temperatura critică

separarea dintre cele două faze nu mai există şi se poate observa o stare care este

presupusă ca fiind o fază de fluid.

Din punct de vedere experimental observarea acestei tranziţii de fază ar putea fi

legată de schimbări substanţiale în distribuţiile de masă ale fragmentelor uşoare şi medii.

De asemenea, urmărirea comportării sistemului format după încetarea tuturor interacţiilor

dintre regiunea participantă şi regiunea spectatoare ar putea să permită obţinerea de

informaţii experimentale asupra acestei faze. Printre comportările de interes se numară

efectele dimensiunii finite a sistemului, scalele de timp şi corelaţiile din sistem [12,14,17-

21].

Cea de a doua clasă de tranziţii de fază considerate este cea referitoare la apariţia

unor izomeri de densitate în materia nucleară la densităţi = (3-5)o [11]. Ideea este

veche de cincizeci de ani şi aparţine lui Feenberg şi Primakoff [22].

Crearea acestor izomeri de densitate poate fi legată de restaurarea simetriei chirale

pentru stările anomale care pot apare la densităţile specificate datorită interacţiilor în

câmpuri mezonice scalare neliniare. În cazul restabilirii simetriei chirale nucleonii îşi

pierd masa, iar energia de legătură poate deveni extrem de mare; de aceea, energia de

compresie atinge valori de sute de MeV/nucleon.

Un alt mecanism posibil, care poate determina valori foarte mari în energia de

compresie, este cel de excitare colectivă a modurilor de spin-izospin de frecvenţă zero în

materia nucleară. Mecanismul poartă numele de condensare pionică, deoarece aceste

moduri păstrează numerele cuantice ale pionilor [11,23].

Existenţa izomerilor de densitate poate fi studiată pornind şi de la studiul materiei

nucleare normale. În condiţiile în care modelarea propusă reuşeşte să descrie această

materie se pot introduce ipoteze suplimentare care să ia în considerare apariţia stărilor

anoamle. Este important de arătat faptul că unele stări anomale pot fi legate de

introducerea rezonanţelor . Pe de o parte, introducerea acestor rezonanţe poate

determina valorile foarte mari ale energiei de compresie, iar prin valoarea mare a

constantei de cuplaj a acestui tip de rezonaţă stările specifice anomale pot fi ocupate de

rezonaţe şi nu de nucleoni. Pe de altă parte există posibilitatea considerării unui

mecanism de introducere a rezonanţelor pentru densităţi similare, dar temperaturi mai

mari. În acest caz apare o formă nouă de materie, numită materie de rezonanţă

[8,9,19,20,24].

Introducerea diferitelor tipuri de rezonanţe, cu deosebire a celor cu moduri de

dezintegrare mezonice, precum şi deschiderea unor canale de interacţie care să conducă

la apariţia unor fenomene de pionizare va determina - pentru temperaturi mai mari de 50

MeV şi densităţi cuprinse între 3 şi 5 densităţi nucleare normale - apariţia unei faze

bogate în nucleoni şi pioni, în special, cărora li se adaugă alte tipuri de particule

elementare, fază cunoscută sub numele de plasmă hadronică sau gaz hadronic

[6,7,12-17].

Această stare implică foarte multe fenomene, iar descrierea lor corectă va permite

realizarea de progrese importante în cunoaşterea condiţiilor pentru tranziţia la faza de

plasmă de cuarci şi gluoni [6-8,12,16-18,25,26].

Trebuie arătat că între faza de plasmă hadronică şi faza de plasmă de cuarci şi

gluoni pot să apară - în afară de materia de rezonanţă - diferite stări intermediare, cum ar

fi: plasma de dibarioni şi plasma de dicuarci [26-28]. O altă stare de interes care ar putea

să facă extrem de dificilă separarea dintre diferite faze ar putea fi cea legată de existenţa

unor picături de plasmă de cuarci şi gluoni în materia nucleară fierbinte şi densă [29,30],

asemanătoare cu cele din stele [30].

Un alt aspect important care trebuie să fie luat în considerare în acest context este

acela al similarităţii proceselor care au loc în ciocnirile nucleu-nucleu la energii mari şi

foarte mari cu cele care au avut loc la formarea Universului, în timpul şi după ce a avut

loc “Marea Explozie Primordială” (“Big Bang”) [31,32]. Găsirea unor semnale

experimentale de încredere asupra tranziţiilor de fază în ciocniri nucleare relativiste şi

ultrarelativiste va face posibilă o mai completă şi profundă cunoaştere a proceselor care

au avut loc la crearea Universului [33].

XXV.3. Materia de rezonanţă

XXV.3.1. Consideraţii generale. Definiţii

Una din stăriile de mare interes în cunoaşterea structurii materiei nucleare, aflată

în diferite condiţii de temeperatură şi densitate, este materia de rezonanţă [9,19,20,24].

Definirea acestei tranziţii de fază este legată, totodată, de problema comportării

unor particule elementare şi rezonanţe în mediul nuclear. De interes pentru studiul acestei

forme de existenţă a materiei nucleare este studiul dependenţei masei unei particule sau

rezonanţe de densitatea şi de temperatură mediului nuclear.

Noţiunea de rezonanţă este legată de descoperirea unor stări excitate ale

nucleonilor de către Fermi şi colaboratorii săi în perioada 1952-1956. Prima dintre

acestea a fost rezonanţa (1232) şi venea să confirme structura internă a nucleonului,

anume: (a) existenţa norului de pioni [34], (b) structura de cuarci şi gluoni [35] - ceva

mai târziu.

Fiind un sistem compus şi nucleonul poate fi excitat pe diferite stări energetice

superioare, stări care sunt caracterizate prin masă (m), spin (J), paritate (P) şi izospin (I).

Fig.IV.14. Principalele stări excitate ale nucleonului.

Proprietăţi şi moduri de dezintegrare

În Fig.IV.14. sunt prezentate principalele stări excitate ale nucleonului cu

indicarea proprietăţilor de bază, precum şi a modurilor de dezintegrare specifice. În

general, stările excitate ale nucleonului se dezintegrează, prin interacţii tari, într-un

nucleon în stare fundamentală şi unul sau mai mulţi mezoni. Timpul de viaţă al unei

astfel de stări excitate este de ordinul timpului nuclear, ceea ce face ca lărgimea naturală

să fie de ordinul a 100 MeV. Datorită lărgimii mari ele au fost denumite rezonanţe. Prin

extensie, materia de rezonanţă reprtezintă o formă de materie nucleară mult

"îmbogăţită" în astfel de rezonanţe şi presupune faptul că mulţi dintre pioni, precum şi

unii dintre nucleoni au fost generaţi prin dezinegrarea acestor rezonanţe. Dacă procesele

de generare a acestor stări excitate în ciocniri nucleon-nucleon, precum şi cele de

dezintegrare pentru astfel de ciocniri sunt bine studiate - atât teoretic, cât şi experimental

[36,37] - în cazul ciocnirilor nucleu-nucleu apar o serie de fenomene noi, de interes

deosebit, ceea ce face ca aproximaţia impulsului să nu mai fie totdeauna valabilă. Dintre

rezonanţele nucleonice un rol deosebit în studiul materiei de rezonanţă revine rezonanţei

(1232).

În cazul ciocnirilor nucleare relativiste şi ultrarelativiste materia nucleară fierbinte

şi densă formată poate să determine următoarele procese:

(i) prin dezintegrarea N se pot obţine nucleoni care să găsească starea finală

ocupată; în acest caz respectiva dezintegrare este interzisă, în acord cu principiul de

excluziune a lui Pauli; (ii) datorită nucleonilor din mediul nuclear în care se află

rezonanţa se poate produce dezintegrarea acesteia pe calea următoare: N NN.

Cele două canale de dezintegrare considerate au acţiuni contrare, şi anume:

procesele de dezintegrare de tip (i) determină o scădere a lărgimii naturale a rezonanţei

în mediul nuclear, iar cele de tip (ii) provoacă o creştere a acesteia. Pentru densităţi ale

materiei nucleare apropiate de cea normală cele două procese se contrabalansează. Acest

lucru este evidenţiat şi de procesele de fotoabsorbţie. Este de remarcat faptul că prezenţa

mediului nuclear determină scăderea energiei incidente pe nucleon pentru care pot apare

pioni proveniţi din dezintegrarea . Deci, exită o probabilitate de producere sub energia

de prag a unor rezonanţe [38].

Se defineşte materia de rezonanţă ca fiind acea stare a materiei nucleare aflate

la temperaturi şi densităţi peste valorile considerate normale care este mult îmbogăţită

în rezonanţe barionice care se dezintegrează tare [9].

XXV.3.2. Evidenţierea experimentală a materiei de rezonanţă

Modul de formare şi evoluţia zonei centrale fierbinţi şi dense formate în regiunea

de suprarpunere a celor două nuclee care se ciocnesc se pot determina din analiza naturii

şi proprietăţilor sistemelor nucleare detectate în starea finală, luând în considerare diferite

aspecte termodinamice şi hidrodinamice [5-9,39].

Pentru obţinerea de informaţii asupra diferitelor momente din evoluţia zonei

centrale - de la crearea sa până la "îngheţ" (“freeze-out”) - s-au propus diferite metode.

Ele se pot grupa în două clase mari, anume:

studiul spectrelor nucleonilor şi fragmentelor emise în ciocnirea considerată;

determinări ale caracteristicilor cinematice ale particulelor create în urma procesului de

interacţie şi care nu existau în starea iniţială (pioni, kaoni, antiprotoni, hiperoni ş.a.) [40].

Ambele clase de metode prezintă avantaje şi dezavantaje. În cazul metodelor de

tip (a), luând în considerare trăsăturile specifice ale ciocnirilor nucleare relativiste, există

avantajul unor statistici bune de date experimentale care permit analize generale

satisfăcătoare ale rezultatelor experimentale, în timp ce metodele de tip (b) prezintă

avantajul că particulele considerate sunt produse certe ale procesului de interacţie dintre

cele două nuclee care se ciocnesc. Dezavantajele sunt determinate, în cazul clasei de

metode de tip (a), de dificultăţile corectei separări dintre nucleonii participanţi şi

nucleonii spectatori [41,42], iar în cazul clasei de metode de tip (b) de imposibilitatea

obţinerii, în marea majoritate a situaţiilor, de statistici suficiente.

In cazul metodelor de tip (b) trebuie avute în vedere atât statisticile mici ale

particulelor de interes, cât şi multiplicităţile mari ale nucleonilor şi fragmentelor în starea

finală, pentru fiecare eveniment. De asemenea, de mare interes este analiza spectrelor de

masă efectivă pentru identificarea diferitelor tipuri de particule, cu sarcină sau neutre.

În producerea materiei de rezonanţă în ciocniri nucleare relativiste un rol

important revine celei mai joase stări excitate a nucleonului, anume rezonanţa (1232),

datorită probabilităţii mari de formare chiar la energii în jur de 1 A GeV. Prezenţa acestei

rezonanţe poate determina creşterea multiplicităţii pionilor, în principal a celor cu

impulsuri mici. Acest lucru se datoreşte canalului pprincipal de dezintegrare a rezonanţei

(1232), anume: N. Analize interesante asupra producerii de pioni prin acest

mecanism au fost făcute atât pentru ciocniri nucleon-nucleon cât şi pentru ciocniri

nucleu-nucleu la energi intermediare şi mari [8,9,19,20,24,34,43-45]. Ponderea

rezonanţei se poate estima cunoscând unele din mărimile cinematice importante -

distribuţii de multiplicitate, distribuţii de impuls (total, transversal şi longitudinal),

distribuţii de rapiditate, distribuţii unghiulare ş.a. - cu luarea în considerare a drumului

liber mediu al pionilor în sursa care emite particule, , şi a probabilităţii de transmisie,

anume:

T = exp(-<R>/) , (IV.50)

cu <R> distanţa medie de la punctul de creare a pionului până la ieşirea din sursa de

particule.

Posibilitatea separării pionilor proveniţi din diferite procese permite stabilirea

temperaturii sursei de particule la diferite momente [46-48,25]. Cele mai folosite

distribuţii pentru determinarea temperaturii sursei de particule sunt distribuţiile de impuls

transversal, datorită invarianţei în cele două siteme de referinţă importante: sistemul

laboratorului (SL) şi sistemul centrrului de masă (SCM). Aceste distribuţii experimentale

sunt fit-ate cu diferite tipuri de distribuţii teoretice, dintre care distribuţia Boltzmann şi

distribuţia Maxwell sunt cele mai folosite [25,46,47].

Din rezultatele experimentale obţinute se constată că, pentru o energie dată,

diferitele tipuri de particule pot fi emise la temperaturi diferite ale sursei de particule,

deci la momente diferite din evoluţia regiunii centrale, participante, fierbinţi şi dense.

Trebuie subliniat faptul că impulsul transversal creşte, la energii sub 1 A GeV, cu

creşterea energiei nucleului incident, iar pentru energii peste 1 A GeV acesta tinde spre

valori de saturaţie, situate în jur de 220-250 MeV/c [9,14,19,20,24,47].

În timp ce impulsul transversal tinde spre valori de saturaţie cu creşterea energiei

incidente pe nucleon, probabilitatea de producere de pioni pe nucleon participant creşte

cu creşterea acestei energii. Aceasta presupune că energia primită de sistem este folosită

pentru excitarea unui număr de nucleoni la diferite rezonanţe - rezonanţe , în principal -

care se dezintegrează ulterior prin emisie de pioni. Având ca principal canal de producere

şi dezinegrarea canalul NN N NN, pentru rezonanţa se poate calcula

abundenţa chimică folosind următoarea relaţie:

(t) = (0).(1 - e-t

) , (IV.51)

unde (t) este densitatea rezonanţei la momentul t, după atingerea echilibrului, (0)

este densitatea rezonanţei la echilibru, iar este o constantă proporţională cu energia

termică medie, cu = [(N2<NN N.>)/2(0)]. În general, starea caracterizată prin

(t) este menţinută pentru un timp mai lung decât timpul de viaţă al rezonanţei . Acest

fapt este posibil datorită proceselor de regenerare a rezonanţelor după dezintegrare.

Atingerea echilibrului termic poate fi întârziată datorită secţiunilor eficace mari ale unor

procese de tip N. Rezonanţele care nu sunt absorbite în procese de interacţie de

tip N NN se vor dezintegra prin emisie de pioni. Secţiunea eficace pentru acest tip de

proces scade rapid cu scăderea densităţii în timpul expansiunii "fiireball"-ului. De aceea,

multiplicitatea finală a pionilor va putea fi un indicator al amestecului - la încetarea

interacţiilor ("freeze-out" sau "îngheţ").

În afara rezonanţei de interes pentru formarea materiei de rezonanţă, dar şi

pentru considerente hadrodinamice legate de procese de interacţie în materia nucleară

[49], mai sunt rezonanţele N(1440) şi N(1535). Primul tip de rezonanţă este legat de

partea de impuls transversal mare a spectrului pionic, iar cel de al doilea tip de existenţa

mezonilor , mezoni care sunt o probă a formării rezonanţei N(1535). Ponderea unei

rezonanţe de un anumit tip, de masă m, Pi(m), se poate stabili folosind o relaţie de forma:

T

mmm

i

N

emP

)(

)(

, (IV.52)

unde mN este masa nucleonului, iar m este masa pionului.

Rezultatele experimentale şi calculele teortice obţinute pentru ciocniri nucleu-

nucleu la energii peste 1 A GeV indică creşterea ponderii diferitelor rezonanţe, pentru o

ciocnire dată, cu creşterea energiei nucleului incident. Un exemplu de interes este cel

prezentat în lucrarea [50]. Astfel, în ciocniri ciocniri Ar+Ca la 1 A GeV şi 1.5 A GeV - în

experimente desfăşurate la GSI Darmstadt - ponderile celor trei rezonanţe principale - ,

N(1440), respectiv N(1535) - sunt următoarele: 7.6%, 1.4%, 0.1%, respectiv, 15.0%, 4.4

%, 0.4%. Rezultate similare s-au obţinut şi pentru alte ciocniri [8,9,19,20,24]. Trebuie

menţionat faptul că în cazul calculelor este necesară considerarea cu atenţie a

temperaturii pentru care se fac acestea, precum şi a gradelor de libertate de izospin pentru

diferite tipuri de particule.

Toate rezultatele experimentale indică existenţa acestei stări a materiei nucleare la

temperaturi şi densităţi înalte: materia de rezonanţă. Această formă de existenţă a

materiei nucleare apare şi în ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c [19-20].

XXV.3.3. Formarea materiei de rezonanţă în ciocniri

nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c

În experimentele desfăşurate la IUCN Dubna se poate pune în evidenţă materia de

rezonanţă, avându-se în vedere faptul că la energia respectivă sunt deschise foarte multe

canale de reacţie pentru producerea de rezonanţe. Folosirea spectrometrului SKM 200 ca

sistem de detecţie prezintă, însă, un inconvenient important legat de dificultăţile de

identificare a altor particule, cu excepţia pionilor negativi, protonilor participanţi şi

hiperonilor o [13-15].

Rezultatele experimentale asupra densităţilor şi temperaturilor în ciocniri

inelastice (Tabelul IV.2) şi ciocniri centrale (Tabelul IV.3) la 4.5 A GeV/c sunt un suport

important pentru formarea materiei de rezonanţă în aceste ciocniri.

Folosind relaţiile (IV.51) şi (IV.52), precum şi rezultatele pentru temperaturi din

cele două tabele se poate estima probabilitatea de formare a principalelor trei rezonanţe

nucleonice - , N(1440) şi N(1535) - în ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c.

AP -AT pT

[MeV/c

]

T [MeV] <Qexp> <QN> r

[Fm]

[Fm-3

]

He-Li 241±3 69.0±2.0 2.0±0.5 4.0±1.0 1.80 0.163± 0.041

He-C 238±4 71.0±3.0 2.9±0.3 5.8±0.6 2.11 0.149± 0.015

He-Ne 230±5 76.0±3.3 3.6±0.3 7.2±0.6 2.12 0.183± 0.015

He-Cu 227±6 78.0±4.0 5.7±0.5 12.5±1.1 2.72 0.149± 0.013

He-Pb 204±4 94.0±3.0 9.9±1.0 24.9±2.5 3.06 0.208± 0.021

C –C 236±6 72.2±3.8 4.2±0.4 8.4±0.4 2.60 0.113± 0.005

C -Cu 220±4 82.8±2.7 9.0±0.8 19.6±1.7 3.05 0.165± 0.014

Ne-Ne 225±9 79.4±4.7 7.9±0.7 15.8±1.4 3.09 0.127± 0.011

Ne-Zr 195±5 100.8±3.

8

12.3±0.4 27.3±0.9 3.62 0.138±0.005

O -Ne 229±9 76.7±5.9 6.1±0.7 12.2±1.4 2.86 0.123±0.014

O Pb 190±8 104.8±6.

3

19.0±0.9 47.3±2.2 4.23 0.149±0.007

Tabelul IV.2. Temperaturile pionice şi densităţile nucleare la emisia de pioni

în câteva ciocniri inelastice nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c

AP -AT pT

[MeV/c

]

T [MeV] <Qexp> <QN> r

[Fm]

[Fm-3

]

He-Li 198±3 98.6 ±2.4 2.8±0.3 5.6±0.6 1.50 0.396±0.042

He-C 195±5 100.5±3.

7

4.7±0.2 9.4±0.4 1.78 0.398±0.017

He-Ne 189±5 105.6±4.

0

6.1±0.8 12.2±1.6 1.93 0.405±0.053

He-Cu 186±6 107.6±4.

9

8.2±0.5 18.0±1.1 2.20 0.403±0.024

He-Pb 167±4 123.6±3.

7

14.7±1.2 37.1±3.0 2.82 0.399±0.032

C –C 194±6 101.7±4.

6

7.8±0.3 15.6±0.6 2.10 0.402±0.015

C -Cu 181±4 112.3±3.

3

19.7±1.0 42.8±2.2 2.94 0.402±0.021

Ne-Ne 185±9 108.9±7.

3

9.8±0.7 19.6±1.4 2.28 0.395±0.028

Ne-Zr 160±5 130.4±4.

6

26.2±2.1 58.2±4.7 3.27 0.395±0.032

O -Ne 188±9 106.3±7.

2

9.6±0.3 19.2±0.6 2.25 0.399±0.013

O -Pb 156±8 134.3±7.

7

39.6±0.5 98.6±1.2 3.89 0.401±0.005

Tabelul IV.3. Temperaturile pionice şi densităţile nucleare la emisia de pioni

în câteva ciocniri centrale nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c

AP - AT pT

[MeV/c]

T

[MeV]

p

[%]

pN(1440)

[%]

pN(1535)

[%]

He - Li 246.40 65.62 2 10.453 0.401 0.091

He - Cu 212.55 87.74 3 17.281 1.615 0.546

He - Pb 211.01 89.12 2 17.411 1.644 0.578

Tabelul IV.4. Probabilităţiile de formarea a rezonanţelor

(1232), N(1440) şi N(1535) în câteva ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c

p probabilitatea de formare a rezonanţei Δ(1232)

pN(1440) probabilitatea de formare a rezonanţei N(1440)

pN(1535) probabilitatea de formare a rezonanţei N(1535)

In Tabelul IV.4 sunt trecute probabilităţile de formare ale celor trei tipuri de

rezonanţe în câteva ciocniri He-AT şi C-AT la 4.5 A GeV/c. Se observă creşterea

probabilităţilor de formare, pentru toate tipurile de rezonanţe considerate, cu creşterea

numărului de masă al nucleului ţintă, pentru un nucleu incident dat. Pentru un nucleu

ţintă dat se observă o creştere uşoară a probabilităţii de formarea a rezonanţelor cu

creşterea numărului de masă al nucleului incident. Valorile obţinute sunt în acord cu cele

obţinute la energii mai joase [8,9,24,40], în experimentele de la GSI Darmstadt, sau la

energii mai mari, în experimentele de la BNL, folosind ca sistem de accelerare

sincrotronul cu gradiient alternant (AGS) modificat [51]. În cazul pionilor trebuie avut în

vedere faptul că ponderea celor care provin din dezintegrările rezonanţelor poate să

crească prin luarea în considerare a simetriei de izospin, respectiv prin medierea pe toate

stările de izospin.

Foarte important pentru studiul stărilor anomale şi tranziţiilor de fază în materia

nucleară fierbinte şi densă este cel al modului în care sunt corelate temperatura şi

densitatea nucleară în diferite momente din evoluţia regiunii centrale, fierbinţi şi dense

("fireball"-ului). O posibilă legătură între densitatea relativă şi temperatură este

următoarea:

0

])([

2

1.

2.

1

ie

i

i

it

ir

e

dppg , (IV.53)

unde 22)( impie , iar este potenţialul chimic al rezonanţei sau particulei

considerate.

In Fig.IV.15. este prezentată evoluţia ocupării relative a stării fundamentale şi a

stării corespunzătoare rezonanţei (1232) în funcţie de temperatură. Se observă că există

o componentă importantă de materie de rezonanţă în faza de temperatură şi densitate

maximă a ciocnirii. Acest lucru este legat şi de creşterea probabilităţiilor de formare a

unor rezonanţe cu creşterea energiei nucleului incident (Fig.IV.16 [50,51]). Prezenţa

masivă a rezonanţelor, pe de altă parte, ar putea să conducă la o scădere semnificativă a

temperaturii regiunii centrale, ceea ce ar atrage o modificare sensibilă a parametrilor

termodinamici necesari - temperatură şi densitate - pentru tranziţia de fază la plasma de

cuarci şi gluoni (Fig.IV.17 [45,50,51]).

Fig.IV.15. Ocuparea relativă a stării fundamentale şi a rezonanţei (1232)

în funcţie de temperatură

Fig.IV.16. Probabilităţile de excitare ale diferitelor rezonanţe

în ciocniri nucleu-nucleu la energii înalte

Fig.IV.17. Modificarea comportării dependenţei temperaturii de energia nucleului

incident cu creşterea numărului de rezonanţe din regiunea centrală, fierbinte şi densă

O confirmare necesară a formării materiei de rezonanţă în ciocniri nucleu-nucleu

la 4.5 A GeV/c este regăsirea unor semnale specifice unor rezonanţe nucleonice în

spectrele de mase efective. Pentru a se obţine aceste spectre se face ipoteza unei dinamici

de generare similare pentru pionii negativi, pentru care există informaţie experimentală

directă, respectiv, pionii pozitivi. In aceste condiţii se poate considera că prin extragerea

din spectrul de impuls pentru particule pozitive de ionizare minimă a unui spectru de

impuls similar cu cel al pionilor negativi - presupus anterior ca fiind identic cu cel al

pionilor pozitivi - se poate obţine, într-o bună aproximaţie, spectrul de impuls al

protonilor. Cu ajutorul celor două spectre se poate obţine spectrul de masă efectiivă

pentru cel mai important canal de dezintegrare a rezonanţei (1232), anume cel care face

ca în starea finală să existe un proton şi un pion pozitiv.

In Fig.IV.18 este prezentată distribuţia de masă efectivă proton-pion în ciocniri

He-Li la 4.5 A GeV/c. Se observă existenţa unor maxime în regiunile de masă

corespunzătoare maselor rezonanţelor de interes considerate: (1232), N(1440) şi

N(1535). Mărimea maximelor reflectă probabilităţile de formare considerate anterior. Se

confirmă astfel existenţa materiei de rezonanţă în regiunea centrală fierbinte şi densă

formată prin ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c.

Fig.IV.18. Distribuţia de masă efectivă proton-pion în ciocniri He-Li la 4.5 A GeV/c

XXV.3.4. Materia de rezonanţă şi posibilitatea observării unor stări

şi fenomene anomale în materia nucleară fierbinte şi densă

Existenţa unui număr mare de rezonanţe în materia nucleară fierbinte şi densă

formată prin ciocniri nucleare relativiste poate determina creşterea probabilităţii de

producere de particule la energii mult sub energia de prag pentru particula respectivă.

Principala explicaţie a acestui fenomen este legată de numărul mare de ciocniri multiple

între rezonanţe şi nucleoni, rezonanţe şi rezonanţe, nucleoni şi nucleoni. Aceste ciocniri

sunt ca un "rezervor de enrgie" care asigură formarea unor particule sub energia de prag

în ciocniri NN simple. Efectele mediului nuclear sunt decisive în aceste procese de

producere sub energia de prag. Foarte importante sunt producerile de kaoni, antiprotoni,

dileptoni şi particule stranii.

Studiul producerii de kaoni sub energia de prag şi în vecinătatea acesteia poate să

ofere un instrument important de investigare a unor stări anomale şi a unor tranziţii de

fază în materia nucleară fierbinte şi densă. În general, producerea de kaoni se pote face în

asociere cu hiperoni pentru a se asigura conservarea stranietăţii. Energia de prag pentru

acest proces este în jur de 1.6 GeV. Prezenţa hiperonului poate fi pusă în evidenţă prin

analiza masei invariante pentru canalul principal de dezintegrare, anume: o p

-.

O altă cale importantă de producere a kaonilor este ciocnire dintre rezonanţe

(ciocnire , de exemplu), precum şi ciocnirea nucleon-rezonanţă. Aceste tipuri de

procese necesită densităţi nucleare mai mari de 2.5o şi timpi între două ciocniri mai mari

de 1.6 Fm/c [7-9]. Este important de subliniat faptul că pentru ciocniri nucleu-nucleu la

energii de 1 A GeV şi uşor mai mari, circa 90% din kaoni provin din ciocniri N [40], iar

restul de circa 10% se datoreşte contribuţiei rezonanţei N(1440) [50,51]. Trebuie

menţionat faptul că rezonanţa N(1440) este mult mai eficientă în acumularea de energie,

ceea ce face ca prin ciocniri succesive să se poată produce particule cu energii de prag -

pentru ciocnirea NN simplă - mult mai mari.

Un astfel de caz este cel al producerii de perechi proton-antiproton. Energia de

prag în acest caz, pentru ciocniri NN, este de 5.6 GeV. Producerea de astfel de perechi în

ciocniri nucleu-nucleu la energii de 1-5 A GeV este posibilă numai prin ciocniri multiple

şi posibile efecte colective, cum ar fi efectul cumulativ [13-15]. Din nou, contribuţia

ciocnirilor N şi este importantă. Prezenţa rezonanţei N(1440) la producerea de

perechi de proton-antiproton este foarte mare. Astfel, în ciocniri simetrice la energii în jur

de 2 A GeV contribuţia ei este cuprinsă între 70% şi 90%. Contribuţia ei scade lent cu

creşterea energiei [50,51]. De aceea, se poate considera că prezenţa antiprotonilor la

energiile considerate este un semnal indirect al existenţei rezonanţei N(1440). Producerea

de kaoni şi de antiprotoni sub energia de prag arată că materia de rezonanţă şi rezonanţele

interacţionează tare cu mediul nuclear în care se află.

Prezenţa rezonanţelor în regiunea participantă, fierbinte şi densă, poate determina

şi apariţia unor perechi de leptoni. Originea lor poate să fie dezintegrarea Dalitz a

mezonilor neutri o şi (în e

+e

-) sau cea a unor mezoni vectoriali, precum , şi (în

perechi e+e

-). De interes sunt şi radiaţia de frânare a nucleonului (N Ne

+e

-)

şi

dezintegrarea Dalitz a rezonanţei ( Ne+e

-). Ponderea acestor canale de

dezintegrare este diferită şi depinde de energia de ciocnire. Trebuie arătat că producerea

de mezoni vectoriali poate avea loc în materia de rezonanţă prin anihilarea +

-. Din

spectrele de masă invariantă se pot obţine informaţii asupra modificărilor unor proprietăţi

în materia nucleară fierbinte şi densă.

Toate aceste procese de producere considerate - pentru kaoni, antiprotoni şi

perechi de leptoni - sunt legate şi de posibilitatea tranziţei la plasma de cuarci şi gluoni.

Canalele de dezintegrarea specifice prezenţei unor rezonanţe dominante din materia de

rezonanţă trebuie luate în considerare la analizarea semnalelor experimentale specifice

plasmei de cuarci şi gluoni, cel puţin ca semnale de fond.

XXV.4. Plasma de cuarci şi gluoni

XXV.4.1. Consideraţii asupra formării plasmei de cuarci şi gluoni

în ciocniri nucleare relativiste şi ultrarelativiste

Ciocnirile centrale nucleu-nucleu la energii înalte şi ultraînalte reprezintă singura

posibilitate de a investiga în laborator proprietăţile plasmei de cuarci şi gluoni [16-18].

Cunoaşterea acestora va permite să se obţină mult mai multă informaţie asupra

momentelor de început, imediat după “Explozia primordială” (“Big Bang”), ale

expansiunii Univesului. Se consideră că în timpul expansiuunii a avut loc, la circa 1-10

s după “Explozia primordială”, o tranziţie de la plasma de cuarci şi gluoni la materia

hadronică. Investigaţiile de laborator vor permite obţinerea de informaţii atât asupra

tranziţiei de la plasma de cuarci şi gluoni la materia hadronică, cât şi asupra procesului

invers [31,32,53-55].

Plasma de cuarci şi gluoni nu este o stare obişnuită a materiei. Pentru obţinerea ei

este necesar ca temperatura să atingă (1.72.9)x1012

K (150-250 MeV), iar densitatea de

energie să depăşească 2 GeV/Fm-3

[16-18]. În aceste condiţii structura obişnuită a

materiei nucleare se modifică drastic: protonii şi nucleonii se dizolvă în constituienţii lor

pentru a forma această nouă fază. Pentru a observa această transformare de fază este

necesar să se studieze anumite proprietăţi ale spaţiului. Faza de plasmă de cuarci şi gluoni

permite propagarea aproape liberă a cuarcilor, în timp ce cuarcii sunt confinaţi, în mod

obişnuit, în "vidul adevărat". În condiţiile extreme de temperatură şi densitate produse în

ciocniri nucleare relativiste şi ultrarelativiste se trece la o fază a vidului care conduce

sarcina de culoare. Această "topitură a vidului" este extrem de interesantă şi de bogată în

informaţii pentru întreaga Fizică a interacţiilor tari. O problemă delicată este aceea a

separării contribuţiilor specifice diferitelor procese şi fenomene care au loc în interiorul

regiunii centrale, fierbinţi şi dense, în care se produce această "topitură".

XXV.4.2. Semnale experimentale ale formării plasmei de cuarci şi gluoni

Odată formată, plasma de cuarci şi gluoni "trăieşte" un timp scurt, de ordinul a 5-

10 Fm/c. În acest interval de timp are loc scăderea temperaturii sub temperatura critică,

Tc, datorită expansiunii regiunii centrale, fierbinţi şi dense, precum şi emisiei de particule

de la suprafaţă. În acest mod se ajunge la o altă formă de existenţă a materiei, anume:

plasma hadronică [12-18,50,51]. Dacă scăderea temperaturii este foarte accentuată şi

rapidă în timp, cea a densiităţii sub densitatea critică, c, este mult mai lentă. Acest fapt

determină interacţiii violente între particule în interiorul regiunii participante, fierbinţi şi

dense ("fireball"-ului), până la atingerea unor distanţe între particule mai mari decât

distanţa de acţiune a forţelor nucleare tari. De aceea, dacă "fireball"-ul ar prezenta o

signatură cinematică caracteriistică cât timp se află în faza de plasmă de cuarci şi gluoni,

atunci există o probabilitate mare ca această signatură să fie distrusă de către interacţiile

hadronice în starea finală. De aici rezidă şi marile dificultăţi în observarea experimentală

a plasmei de cuarci şi gluoni [12-18].

Datorită suprarăcirii masive a "fireball"-ului în timpul expansiunii sale, fără o

scădere tot atât de rapidă a densităţii, este de aşteptat să se producă o "explozie" la

tranziţia la plasma hadronică [56,57]. Această explozie va determina apariţia unor unde

de şoc în materia nucleară, unde care pot fi puse în evidenţă în spectrele de impuls

transversal [57].

Pentru o analiză corectă a signaturilor plasmei de cuarci şi gluoni este necesar să

se ia în considerare acele proprietăţi carre nu sunt afectate de interacţiile în starea finală.

Două tipuri de observabile se pot lua în considerare:

particule care nu inteacţionează tare;

numere cuantice care nu se modifică prin interacţii tari.

Plasma de cuarci şi gluoni are o serie de proprietăţi caracteristice care determină

următoarele aspecte:

(i) numărul gradelor de libertate accesibile particulelor "colorate" în plasma de cuarci şi

gluoni este mult mai mare decât cel disponibil particulelor care formează plasma

hadronică;

(ii) signaturile plasmei de cuarci şi gluoni se bazează pe abundenţa mult crescută a

particulelor de energii relativ mici; majoritatea particulelor au energii cuprinse între Tc

şi 2Tc..

Alte câteva aspecte sunt importante. Datorită deconfinării locale a culorii în

plasma de cuarci şi gluoni creşte numărul gradelor de libertate; de asemenea, energia pe

particulă este mult mai mică în plasma de cuarci şi gluoni datorită creşterii numărului

gradelor de libertate şi distribuirii energiei disponibile pe mai multe grade de libertate.

De aici pot să apară alte dificultăţi majore determinate de posibilitatea acoperirii

semnalului de către flucuaţii şi fond, mai ales în condiţiile în care procesele care conduc

la crearea fondului nu sunt toate foarte bine cunoscute.

Luând în considerare toate aceste aspecte se pot considera trei categorii mari de

semnale ale fazei de plasmă de cuarci şi gluoni în materia nucleară fierbinte şi densă

creată prin ciocniri nucleu-nucleu la energii înalte, şi anume:

(A) producerea de perechi de fotoni şi leptoni;

(B) producerea de stranietate;

(C) semnale experimentale particulare (scăderea producerii de particule J/ în raport

cu producerea de perechi de leptoni [58-60], apariţia jeturilor [61,62], fenomene de

intermitenţă [63,64], interferometrie de intensitate şi corelaţii în sursa de particule [65-

67], etc.).

Fiecare tip de semnal are unele caracteristici generale, precum şi unele aspecte specifice.

În cazul producerii de fotoni şi perechi de leptoni trebuie avute în vedere două

aspecte generale majore:

(A1) sunt particule care interacţionează numai electromagnetic;

(A2) pot fi produse suficient de abundent în plasma de cuarci şi gluoni şi de aceea se pot

detecta experimental.

În cazul producerii de fotoni selectarea celor care apar datorită dezintegrărilor

unor particule create în plasma de cuarci şi gluoni - o 2, 3, 3

o 6 - se

poate face prin considerarea spectrelor de masă efectivă (analiză de masă invariantă).

În acest tip de analiză apar o serie de dificultăţi datorate numărului mare de

particule care se dezintegrează tare în fotoni. Pentru ciocniri nucleu-nucleu la 200 A GeV

se estimează producerea de 50-100 de mezoni o într-un eveniment. Pe de altă parte,

fotonii pot fi produşi în întreg volumul "fireball"-ului, prin procese qq- sau ca

radiaţie de frânare a cuarcilor, iar emisia de mezoni o este una de suprafaţă. De aceea,

raportul n/no se estimează a fi subunitar pentru nuclee grele (circa 0.2).

Producerea de perechi de leptoni de energii mari din plasma de cuarci şi gluoni

conduce la maxime în spectrul de masă invariantă cuprinse între 300 şi 500 MeV.

Principala sursă de fond este în acest caz anihilarea +

-. Această anihilare se desfăşoară

cu producerea de mezoni ("canalul "); masa invariantă a perechii de leptoni este

concentrată , în acest caz, în regiunea 770±100 MeV/c2. Ceea ce este important de

semnalat aici este faptul că raportul contribuţiilor perechilor de leptoni care au cele două

origini este o măsură foarte sensibilă a temperaturii iniţiale atinse în faza de plasmă.

Acest raport poate fi, în anumite situaţii, şi o măsură a masei efective a cuarcilor.

La discutarea producerii de fotoni şi perechi de leptoni trebuie avute în vedere trei

aspecte importante, anume:

- în estimări sunt luaţi în considerare, în general, numai cuarcii "up" şi "down";

- ar trebui avută în vedere şi problema leptonilor grei (taonii) care sunt produşi de

cuarcii cu stranietate;

- prin anihilarea cuarcilor cu stranietate se produc, de asemenea, fotoni; se estimează

că se produce 1 foton pe ciocnire prin acest proces.

O a doua cale importantă de studiere experimentală a producerii plasmei de cuarci

şi gluoni este producerea de stranietate.

Timpul de viaţă al "fireball"-ului este estimat la 5-10 Fm/c. Într-un astfel de

interval de timp interacţiile slabe nu au posibilitatea să devină importante. În aceste

condiţii, odată produsă, stranietatea nu poate fi distrusă decât prin anihilarea ss-.

Deoarece în plasma de cuarci şi gluonii numărul de cuarci cu stranietate este mare prin

anihilări ss- nu se poate distruge toată stranietatea produsă. Ea se va păstra şi după

terminarea fazei de pllasmă de cuarci şi gluoni. Producerea de stranietate în faza de

plasmă de cuarci şi gluoni trebuie să fie comparată cu producerea de stranietate în alte

faze - plasmă hadronică, materie de rezonanţă - creşterile observate putând fi un semnal

al formării plasmei de cuarci şi gluoni.

La realizarea estimărilor trebuie avute în vedere câteva aspecte interesante, şi

anume:

- anticuarcii cu stranietate ( s ) nu pot fi conţinuţi într-un barion, spre deosebire de

cuarcii cu stranietate (s);

- particulele care conţin cuarcii cu stranietate se pot produce în asociere cu mezoni K;

de exemplu, ciocnirea p + p p + + K+, care are o energie de prag de circa 1 GeV,

în sistemul laboratorului, pentru ciocniri de protoni liberi;

- există posibilitatea desfăşurării unor procese deosebite, "extrvagante", cum ar fi

crearea de antibarioni cu stranietate; două exemple sunt semnificative în acest sens: p +

p p + p + + - (Eprag = 8 GeV, în SL); p + p p + p + p + -

+ K- (Eprag = 9 GeV,

în SL).

Trebuie remarcat faptul că aceste tipuri de ciocniri sunt inhibate şi datorită

faptului că sunt necesare trei perechi qq- într-o singură ciocnire, iar impulsurile trebuie să

fie similare.

O altă problemă importantă este aceea a eliminării asimetriei de izospin în canalul

de intrare. Aceasta necesită luarea în considerare a tuturor cuarcilor uşori. De aceea, în

discutarea formării plasmei de cuarci în ciocniri nucleare relativiste, estimarea rapoartelor

dintre numărul de cuarci cu stranietate şi numărul de cuarci uşori, respectiv, dintre

numărul de anticuarci cu stranietate şi numărul de anticuarci uşori, este utilă. Există

numeroase căi de estimare [12-18,68].

Dintre celelalte categorii de semnale ale plasmei de cuarci şi gluoni - creştera

producerii de antinuclee în faza de plasmă de cuarci şi gluoni, lipsa corelaţiilor de sarcină

dintre pionii cu impulsuri apropiate, ş.a. - în ultima vreme s-a impus analiza producerii de

particule cu "charm" (farmec) în raport cu producerea de perechi de leptoni.

Cel mai important semnal este cel obţinut de colaborarea NA50 de la CERN

Geneva pentru ciocniri Pb+Pb la 158 A GeV (circa 3.6 TeV în sistemul centrului de masă

[69,70].

Particulele J/ sunt stări legate ale cuarcilor şi anticuarcilor cu "farmec" şi sunt

produse abundent în contactul iniţial dintre nucleele care se ciocnesc. Probabilitatea de

producere a particulelor J/ scade cu disiparea energiei de ciocnire. În sistemul centrului

de masă se poate considera că particula J/ trebuie să străbată materia nucleară formată

şi aflată în mişcare. De aceea, se poate considera că particula J/ joacă acelaşi rol ca

radiaţia X obişnuită. Experimental, se determină distanţele dintre centrele nucleelor care

se ciocnesc şi locurile prin care aceste particule părăsesc regiunea de suprarpunere. Se pot

compara astfel ciocnirile în care distanţa străbătută prin materia formată este mai lungă

cu cele în care această distanţă este mai scurtă..

Dezinegrarea particulei J/ se face prin emisia unei perechi +

-, imediat ce

părăseşte regiunea de suprapunere a nucleelor care se ciocnesc. Acest mod de

dezintegrare permite să se numere câte particule J/ ies din regiunea participantă. Pentru

ciocniri Pb+Pb la 158 A GeV se constată o scădere apreciabilă a numărului de particule

J/ care "supravieţuiesc" până la ieşirea din "fireball", în raport cu ciocnri S+S şi S+Pb la

aceaşi energie. Explicarea fenomenului observat experimental se poate face în termenii

interacţiilor idividuale particulă-particulă care rup starea legată sau inhibă formarea sa,

deoarece gluonii au un rol important la ruperea particulelor J/. Ceea mai interesantă

sugestie este aceea că se produce un fenomen neaşteptat care ar putea fi o signatură a

palsmei de cuarci şi gluonii în ciocniri nucleare ultrarelativiste. Mari speranţe sunt legate

de intrarea în funcţiune a sistemelor de accelerare de tip “collider” RHIC (Relativistic

Heavy Ion Collider) de la BNL – deja la primele date experimentale - şi LHC (Large

Hadron Collider) de la CERN, în următorii ani. Un vis frumos al tuturor fizicienilor,

găsirea în laborator a condiţiilor din Univers imediat după “Explozia primordială”, este

pe cale să se împlinească!

Bibliografie la capitolul al XXV-lea

[1]. Serban Tiţeica - Termodinamica - Editura Academiei R.S.R., Bucureşti, 1982

[2]. L.D.Landau, E.M.Lifşiţ - Fizică statistică - Editura Tehnică, Bucureşti, 1988

[3]. K.A.Brüeckner - Phys.Rev.86(1952)936

[4]. H.A.Bethe - Phys.Rev.103(1956)1353

[5]. M.P.Anastasio, L.S.Celenza, S.W.Pong, C.M.Shakin - Phys.Rep.100(1983)327

[6]. H.Stöcker, W.Greiner - Phys.Rep.137(1986)277

[7]. J.J.Molitoris, D.Hahn, H.Stöcker - Prog.Part.Nucl.Phys.XV(1985)239

[8]. W.Cassing, V.Metag, U.Mosel, K.Niita - Phys.Rep.188(1990)363

[9]. V.Metag - International School on Heavy Ion Physics "Solving the Nuclear Paradigm",

6-16.X.1993, Erice, Italy

[10].J.Pochodzalla et al - Phys.Rev.Lett.75(1995)1040-1043

[11].A.B.Migdal, E.E.Saperstein, M.A.Troitsky, D.N.Voskresensky - Phys.Rep.

192(1990)179

[12].S.Nagamyia - Prog.Part.Nucl.Phys.XV(1985)363

[13].C.Beşliu, Al.Jipa - Rev.Roum.Phys.33(1988)409

[14].Al.Jipa - Teză de doctorat, Universitatea Bucureşti, Facultatea de Fizică, 1989

[15].C.Beşliu, Al.Jipa - Rom.J.Phys.37(1992)1011

[16].L.McLerran - Preprint FERMILAB, Fermilab-Conf-84/101T(1984)

[17].B.Müller - Lect.Not.Phys.225(1985)1

[18].G.E.Brown, H.A.Bethe, P.M.Pizzochero - Phys.Lett.B263(1991)337

[19].C.Beşliu, N.Ioneci, Al.Jipa, R.Zaharia - EPS International Conference on High Energy

Physics, 27.VII-2.VIII.1995, Brussels, Belgium, EPS 0512

[20].C.Beşliu, N.Ioneci, Al.Jipa, R.Zaharia - Romanian Reports in Physics 48(1996)425-

431

[21].L.P.Csernai, J.I.Kapusta - Phys.Rep.131(1986)223

[22].E.Feenberg, H.Primakoff - Phys.Rev.70(1946)980

[23].A.B.Migdal - JETF 34(1972)1184

[24].V.Metag - Prog.Part.Nucl.Phys.XXX(1993)75

[25].Al.Jipa - J.Phys.G: Part.Nucl.Phys.22(1996)231

[26].Al.Jipa, R.Ionescu, Nicoleta Ioneci - Rom.Repp.Phys.48(1996)389-397

[27].C.Beşliu et al - J.Phys.G: Part.Nucl.Phys.18(1992)807

[28].C.Beşliu et al - J.Phys.G: Part.Nucl.Phys.19(1993)1831

[29].K.Werner, J.Aichelin - Phys.Rev.C52(1995)1582

[30].H.Heiselberg, C.J.Pethick, E.Staubo - Phys.Rev.Lett.70(1993)1355

[31].H.Reeves -Nucl.Phys.A488(1988)665c

[32].H.Reeves - Phys.Rep.201(1991)335

[33].C.Beşliu, Al.Jipa, Amelia Horbuniev - Conferinţa Naţională de Fizică, Constanţa, 16-

18.IX.1998

[34].H.L.Anderson et al - Phys.Rev.85(1952)934

[35].H.I.Friedman, R.W.Kendall - Ann.Rev.Nucl.Sci.22(1972)203

[36].W.Ehehalt, W.Cassing, U.Mosel,G.Wolf - Phys.Rev.C47(1993)???

[37].***** - Nucl.Phys.A386(1982)571

[38].G.E.Brown, J.Stachel, G.M.Welke - Phys.Lett.B253(1991)19

[39].G.F.Bertsch, S.Das Gupta - Phys.Rep.169(1988)189

[40].***** - Preprint GSI Darmstadt, GSI 08-94(1994)

[41].Al.Jipa, R.Zaharia - Conferrinţa Naţională de Fizică, Constanţa, 1993

[42].Al.Jipa, C.Beşliu, R.Zaharia, A.M.David - J.Phys.G: Nucl.Part.Phys.22(1996)221

[43].W.G.McMillan, E.Teller - Phys.Rev.72(1947)1

[44].A.Lang, W.Cassing, U.Mosel,K.Weber - Nucl.Phys.A545(1992)507

[45].Gy.Wolf, W.Cassing, U.Mosel - Nucl.Phys.A545(1992)139c

[46].R.Hagedorn - Preprint CERN, CERN (1971)

[47].A.Z.Mekjian, S.DasGupta - Phys.Rep.72(1981)131

[48].Al.Jipa - Balkan Physics Letters 1(1993)78

[49].Al.Jipa - Preprint Institute of Nuclear Theory, University of Washington, Seattle,

DOE/ER/40561-36-INT98(1998)1-29

[50].Gy.Wolf et al - Nucl.Phys.A517(1990)615

[51].Bao-An Li, C.M.Ko, G.Q.Li - Phys.Rev.C50(1994)R2675

[52].R.Stock - Phys.Rep.135(1986)259

[53].G.E.Brown, D.Jackson, H.A.Bethe, P.M.Pizzochero - Nucl.Phys.A560(1993)1035

[54].S.Sarkar, D.K.Srivastava, B.Sinha - Phys.Rev.C51(1995)318

[55].A.K.Mohanty, S.K.Kataria - Phys.Rev.C53(1996)887

[56].M.Gyulassy - Prog.Part.Nucl.Phys.XV(1985)403

[57].H.W.Barz et al - Phys.Lett.B254(1991)332

[58].H.Satz - Nucl.Phys.A488(1988)511c

[59].J.Kapusta, L.McLerran, D.K.Srivastava - Preprint TPI-MINN-92/3-T(1992)

[60].R.Stock - The XXVIII International Conference on High Energy Physics, Warsaw,

Poland, 25-31.VII.1996

[61].G.Eilam, M.Sajjad Zahir - Phys.Rev.D26(1982)2991

[62].M.Rammerstorfer, U.Heinz - Phys.Rev.D41(1990)306

[63].M.I.Adamovich et al (EMU01 Coll.) - Phys.Lett.B263(1991)539

[64].A.Bialas, R.C.Hwa - Phys.Lett.B253(1991)436

[65].D.E.Fields et al - Phys.Rev.C52(1995)986

[66].C.Beşliu, Maria Iosif, Al.Jipa - Analele Universităţii Bucureşti, Fizica XLIV(1996)

[67].M.Biyajima, N.Suzuki, G.Wilk, Z.Wlodarczyk - Phys.Lett.B(1996)

[68].C.Y.Wong - Introduction to High Energy Heavy-Ion Collisions, World Scientific,

Singapore, New Jersey, London, Hong Kong, 1994

[69].R.Stock - Quark Matter´96, Heidelberg, Germany, 20-24.V.1996

[70].R.Stock - The XXVIII International Conference on High Energy Physics, Warrsaw,

Poland, 25-31.VII.1996