1. Model structural pentru exagon treapta:X=[x12 / x11 / x2] E RnX`=Ax+Bu

Y=Cx+Du

A=[A1 A3 / 0 A2] E RnxnB=[B1 / B2 / B3] E RnxmC=[C1 C2 C3] E RpxnD=[D1] E Rqxn1/s=x12/(u+x2) == x12.s=u+x2 == x`12=u+x2

X2=0

2/(s+1)=x11/x12 == x11=x11.s+x11 = 2.x12==x`11=-x11+2x12Y= - x11+2.x2

A=[0 0 1/ -2 2 0 / 0 0 0]

B=[1 / 0 / 0]

[x`12 / x`11 / x`2]=[0 0 1 / -1 2 0 / 0 0 0].[x12 / x11 / x2]+[1 / 0 / 0].u

C=[-1 0 2]

Y=[-1 0 2].[x12 / x11 / x2]+[0].u

D=[0]

2. Sa se calculeze compesatorlu solutie pcis cu estimator la alegere

Compesator cu estimator unitar:

a=[0 0;2 -1];b=[1;0]

c=[0 1;0 -1];d=[0;0]

coef=poly([-1 -1 -1 -1]);

r=ctrb(a,b);

r1=inv(r);

xda=polyvalm(coef,a);

ft=-[0 1]*r1*xda;

t=-[0 0;1 1];

t1=inv(t);

atil=t*a*t1;

btil=t*b;

ctil=c*t1;

ftil=ft*t1;

a1til=atil(1:2,1:2);

a2til=atil(3:4,1:2);

a3til=atil(1:2,3:4);

a4til=atil(3:4,3:4);

b1til=btil(1:2);

b2til=btil(3:4);

f1til=ftil(:,1:2);

f2til=ftil(:,3:4);

a1tilt=a1til;

a2tilt=a2til;

f01=[-5 -8;3 37]

g01=[-11;5]

a1p=a1tilt+a2tilt*f01;

a2p=a2tilt*g01;

coef=poly([-1 -1]);

rl=ctrb(a1p,a2p);

rl1=inv(rl);

xdal=polyvalm(coef1,a1p);

lp=-[0 1]*rl1*xdal;

lt=f01+g01*lp;

l=lt;

j=a1til+l*a2til;

h=a3til+l*a4til-l*a2til*l-a1til*l;

m=l*b2til+b1til;

k=f1til;

n=f2til-f1til*l;

ac=j+m*k;

bc=h+m*n;

gc=n; fc=k;

subplot(2,1);

plot(t,y(: ,1),k);

title(volutia lui y1);

grid;

subplot(212);

plot(t,y(:,2),k);

title(volutia lui y2);

xlabel(t[sec]);

grid;

3. Sa se prezinte si sa se algoritmeze procedura de proiectare a compesatorului stabilizator cu estimatorlu ales la pc2.

Algoritmul de sinteza a compensatorului stabilizator de estimator minimal:

date:

Sistemul: x=Ax+Bu; y=Cx;

Cu prerechea (A,B) controlabila si perechea(C,A) observabila

2 multimi de valori proprii impuse: DFimp cu n valori proprii pentru reactie si DEimp cu n-p valori proprii pentru estimator:

DF,Eimp E { C_ ; C(0,1).

Algoritm:

Pa1:Se calculeaza matricea F E Rmxn a.i. O(A+Bf)=DFimp , cu algoritmul de stabilizare prin reactie dupa stare

Pas2:Se completeaza matricea C E Rpxn cu o matrice CE R(n-p)xn a.i. T=[C/ C] E Rnxn sa fie matrice nesingulara

Pas3: Se calculeaza sistemul transformat

A~=TAT-1 = [A1~ A3~/ A2~ A4~]

B~ = TB=[B1~ / B2~]

C~ =CT-1=[0 Ip]

F~ =FT-1=[F1~ F2~]}n

Pas4: se calculeaza L E R(n-p)xp a.i. O(A1~+LA2~)=Dn-pimp=Deimp cu algoritmul de stabilizare prin reactie dupa stare aplicat perechii(A1T~ , A2T~)

Pas5: Se calculeaza matricile estimatorului in E si ale reactiei in Z

{ J=A1~+LA2~;

H=A3~+LA4~-LA2~L-A1~L;

M=LB2~+B1~; K=F1~;

N=F2~-F1~L

Pas6: Se calculeaza matricile compensatorului:

{ Ac=J+Mk;

Bc=H+MN

Fc=k;

Gc=N;

Pas7:Se simuleaza sistemul in circuit inchis, folosind una din matricele;

a)bucla proces compesator

{ x=Ax+Bu;

Y=Cx;

Xc=AcXc+BcU;

U=FcXc+Gcy

b)bucla proces estimator , reactie dupa starea estimata

{ x=Ax+Bu;

Y=Cx;

Z`=Jz+Hy+Mu;

U=Kz+Ny;

4. Matlab pentru simularea in circuit inchis utilizand odea=[0 0;2 -1];b=[1;0]

c=[0 1;0 -1];d=[0;0]

coef=poly([-1 -1])

r=ctr(a,b)

r1=inv(r)

xda=polyvalm(coef,a)

qt=[0 1]*r1

ft=-qt*xda

ord1.mfunction xd=ord1(t,x);

global v fc;

u=fc*[x(1) x(2)]+v;

xd(1)=u;

xd(2)=2*x(1)-x(2);

xd=xd;

pcis_min.mfunction yd=pcis_min(t,y);

global u ac bc gc fc;

yd(1)=u;

yd(2)= 2*x(1)-x(2);

z=-y(2);

yd(3)=y(4);

y(4)=0;

yd(5)=ac(1,1)*y(5)+ac(1,2)*y(6)+ac(1,3)*y(7)+bc(1)*z;

yd(6)=ac(2,1)*y(5)+ac(2,2)*y(6)+ac(2,3)*y(7)+bc(2)*z;

yd(7)=ac(3,1)*y(5)+ac(3,2)*y(6)+ac(3,3)*y(7)+bc(3)*z;

u=fc(1)*y(5)+fc(2)*y(6)+fc(3)*y(7)+gc*z;

yd=yd;

pp_pcis_min.m

echo off;

global u ac bc fc gc;

u=0;[t,y]=ode23(pcis_min,[0:2],[0 0 0 1 0 0 0];

for k=1:legh(t);

if(t(k)>1;

y(k,4)=0;

end;

zc(k)=y(k-3)-y(k-2);

end;

clf;

figure(1);

plot(t,y(:,2),-r,t,y(:,3),-g);

grid;

figure(2);

plot(t,zc,-l);

grid;

5. Sa se verifive conditiile necesare de existenta a soluctie pcss in A3 oarecare. Sa se demonstreze una din ele la alegere

Conditiile necesare pentru ca o solutie pris sa fie generic structural stabila in A3(DA3 oarecare) sunt:

a)citibilitatea vectorului marimilor de calitate din vectorul marimilor masurate;

b)modelul intern. Compensatorul sa contina o copie a exogenului pe fiecare canal de calitate activata nemijlocit de vectorul marimilor de calitate

c)valorile proprii sa nu fie zerouri de transmisie al tripletului(A,B,D1)

daca aceste conditii sunt indeplinite sistemul extins cu reprezentarea structurala (Ae,Be,Ce) este controlabil si observabil.

6. Ce este un sistem extins? Sa se scrie reprezentarea structurala a sistemului extins(generalizare) particularizare la procelsul dat

Un sistem extins este un sistem format din starile procesului x1 si starile modelului intern xc2 si este reprezentat sub forma:Xc=[x1 ; xc1] , Ac=[A1 0 ; D1 YIq]; Bc=[B1 ; 0];

Ye=[y;xc2]; Ce=[C1 0 ; Iq]

Care se poate erscrie compact in forma:

{ x`e=Aexe+Beu; ye=Cexe;

X`c1=Ac1Xc1+[Bc1 Ac2]ye;

U=Fc1Xc1+[Gc Fc2]ye;

II. Analiza. Sa se defineasca proprietatile de stabilizabilitate si detectabilitate in cazul neted .Sa se prezinte criteriul Hautus de apreciere

proprietatea de stabilizabilitate:

-pentru cazul neted: x`(t)=Ax(t)+Bu(t), t E R;

-pentru cazuldiscret: x(t+1)=Ax(t)+Bu(t); t E R;

Sistemul prin reactie dupa stare: u=Fx,u E Rm, x E Rn, f E Rmxn;

Sistemul in circuit inchis devine: x`=Ax+Bu=Ax+BFx=(A+BF)x=Aox si are solutia x(t)=eAotx(to), Ao=A+BF este matricea sistemului in circuit inchis

Stabilitatea sistemului in circuit inchis este asigurat daca:

O(A+BF) E {C- pentru sisteme netede; C(0 ,1) pentru sisteme discrete == limx(t)=0, A xo=x(to)

Un sistem liniar neted sau discret este stabilizabil daca exista o matrice de reactie F E Rmxn a.i.sitemul in circuit inchis sa fie stabil

Criteriul Houtus

O pereche (A,B) este stabilizabila daca si numai daca:

Rang[ YI-A B]=n , Y E C+ -pt.sisteme netede;

Rang[YI-A B]=n , Y E C/(0,1) pt sisteme discrete

Ord1:

function xd=ord1(t,x);

global v fc

u=fc*[x(1) x(2) x(3) x(4)]'+v;

xd(1)=x(2);

xd(2)=3/4*x(1)+x(4);

xd(3)=x(4);

xd(4)=-2*x(2)+x(3)+u;

xd=xd';

princord1:

global v ft

x0=[0 0 0 0];

[t,x]=ode23('ord1',[0 10],x0);

for k=1:length(t)

y1(k)=x(k,1);

y2(k)=x(k,3);

uc(k)=ft*[x(k,1) x(k,2) x(k,3) x(k,4)]'+v;

end

plot(t,y1,'-ok',t,y2,'-*g');

xlabel('t[sec]');

title('Iesirea y1 si iesirea y2');

grid;

ord2:

function xd=ord2(t,x);

global kp tp zeta u;

xd(1)=x(2);

xd(2)=-2*zeta*x(2)/tp+(kp*u-x(1))/tp^2;

xd=xd';

princord2:

echo off;

global kp tp zeta u;

[t,y]=ode23('ord2',[0 20],[0 0]);

for k=1:length(t)

uc(k)=u;

end;

plot(t,y(:,1),'-r',t,uc,'-b');

grid;

functionala:

a=[0 1 0 0;3/4 0 0 1;0 0 0 1;0 -2 1 0];

b=[0;0;0;1]

c=[1 0 0 0;0 0 1 0];

d=[0;0]

o=obsv(a,c);

rang=rank(o);

q=o(1:4,:)

coef=poly([-1 -1 -1 -1]);

r=ctrb(a,b);

r1=inv(r);

xda=polyvalm(coef,a);

ft=-[0 0 0 1]*r1*xda;

xj=poly([-1]);

j=[-1];

xja=polyvalm(xj,a);

g=ft*xja*inv(q);

g1t=g(:,1:2);

g2t=g(:,3:4);

nt=g2t;

h1t=g1t-1*nt;

h=h1t;

v1t=ft-nt*c;

v=v1t;

m=v*b;

nc=rang-1;

kt=1

ac=j+m*kt;

bc=h+m*nt;

fc=kt;

gc=nt;