Fise_de_lucru_V

Investete n oameni! Proiect cofinanat din Fondul Social European prin Programul Operaional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritar: 1 Educaia i formarea profesional n sprijinul creterii economice i societii bazate pe cunoatere Domeniul major de intervenie: 1.1 Acces la educaie i formare profesional iniial de calitate Titlul proiectului: coala viitorului! mpreun pentru o societate bazat pe cunoatere Cod Contract: POSDRU/17/1.1/G/20765 Beneficiar: Inspectoratul colar al Judeului Vlcea

Numere prime. Numere compuse.

Determinarea numerelor prime in condiii date Prof. Cotoi Valerian

Scoala cu clasele I VIII ,,Teodor Balasel Stefanesti, Valcea

Definiie: Se numete prim orice numr natural, diferit de 1, care are ca divizori numai pe 1 si pe el nsui.

Divizori proprii. Divizori improrii

Orice numar natural m are divizorii improprii 1 si m. Orice alt divizor se

numeste divizor propriu.

Exemplu: Multimea divizorilor lui 6 este D = {1, 2, 3, 6}.

1 si 6 se numesc divizori improrii ai lui 6, iar 2 si 3 se numesc divizori

proprii ai lui 6.

Deci se numete numr prim orice numr natural, diferit de 1, care admite numai divizori improprii.

Exemplu: Numrul 2 se divide numai cu 1 si cu 2, adic numai cu 1 si cu el nsui. Numrul 3 se divide, de asemenea, numai cu 1 si cu el nsui. Urmtoarele numere sunt prime: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47.

Orice numr natural care nu este prim se numete neprim. Numerele neprime diferite de 1 se numesc numere compuse.

De exemplu numerele naturale 0, 4, 6, 8, 10, 24, 1470 sunt compuse.

Cum recunoastem daca un numar natural este prim

Impartim numarul, pe rand, la toate numerele prime in ordine cresctoare, incepand cu 2, pana cand obtinem un cat mai mic ssau egal cu impartitorul. Daca


numarul se divide cu unul din aceste numere prime, este evident ca el nu este prim.

Daca numarul considerat nu se divide cu nici unul din aceste numere prime, atunci

el este numar prim.

Exemplu numrul 137

137 nu se divide cu 2, cu 3, cu 5. Pentru a se vedea daca 137 se divide cu 7

facem impartirea lui 137 la 7 si obinem catul 19 si restul 4. Deci 137 nu se divide cu 7. Pentru a se vedea daca 137 se divide cu 11, facem impartirea lui

137 la 11. Obtinem catul 12 si restul 5. Deci 137 nu se divide cu 11.

Deoarece catul (12) este mai mare decat impartitorul (11), continuam sa

facem impartiri. Pentru a vedea daca 137 se divide cu 13 facem impartirea si

obtinem catul 10 si restul 7. Numarul 137 nu se divide cu 13. Am aratat ca

137 nu se divide cu nici un numar prim mai mic sau egal cu 13. Afirmam ca

el nu se divide nici cu numerele compuse mai mici decat 13. Intr-adevar,

daca 137 nu se divide cu 2, el nu se divide nici cu urmatorii multiplii ai lui

2:4, 6, 8, 10, 12, iar daca 137 nu se divide cu 3, el nu se divide nici cu 6, 9,

12. Pana aici am aratat ca numarul 137 nu se divide cu nici un numar

natural, diferit de 1, mai mic sau egal cu 13. Este oare posibil ca 137 sa se

divida cu un numar natural c mai mare decat 13 ?

Acest lucru nu este posibil, caci daca 137 se divide cu un numar c mai mare

dacat 13, atunci el se divide si cu catul impartirii lui 137 la numarul natural

c; acest cat este un numar mai mic decat 13. Or, am aratat ca 137 nu se

divide cu nici un numar natural, diferit de 1, mai mic sau egal cu 13.

In concluzie: numarul 137 nu se divide cu nici un numar natural, diferit de

1, mai mic sau egal cu 13, nici cu un numar natural mai mare decat 13. El

este deci numar prim.

Ciurul lui Eratostate

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Numerele prime mai mici dacat o 100

Cum identificm un numr prim ?

Dac un numr:

este par, nu este prim, pentru c este divizibil cu 2; are suma cifrelor multiplu de 3, nu este prim, deoarece este divizibil cu

3;

are ultima cifr 0 sau 5, nu este prim, deoarece este divizibil cu 5;

Metoda:

se verific dac numrul respectiv este divizibil cu 2; 3 sau cu 5. Daca este divizibil cu unul dintre aceste numere, nseamn ca numrul este compus si te opreti. Nu continui impartirile! Daca nu este divizibil cu nici unul dintre aceste numere se continu prin mpriri cu numere prime consecutive, n ordine, de la numrul prim 7 spre cel mai mare(din ciurul lui Eratostene). Dac la una din mpriri se obine restul zero, te opreti , nseamn c este divizibil cu acel numr i deci nu este prim, ci compus. Dac obii, de fiecare dat, restul diferit de zero,


atunci mpririle continu, pn cnd la o mprire obii ctul egal cu impartitorul si restul diferit de zero(te opresti) sau catul mai mic dect mpritorul i restul diferit de zero. n aceast situaie numrul este prim .

Exemple:

. 848 nu este prim, deoarece este par;

. 1251 nu este prim, deoarece 1 + 2 + 5 + 1 = 9 ; 3/ 9 i deci 3/ 1251. . 375 nu este prim, deoarece este divizibil cu 5;

S verificm numrul 2807 : - nu este par, nu este divizibil cu 2; - 2 + 8 + 7 = 17, 17 nu este divizibil cu 3, deci nu este divizibil cu 3; - ultima cifr nu este nici 0 , nici 5, nu este divizibil cu 5; - 2807 = 7 401, restul este 0, deci numrul este divizibil cu 7 . Ne oprim;

numrul nu este prim, este compus. - S verificm numrul 1549: - nu este par, nu este divizibil cu 2; - 1 + 5 + 4 + 9 = 19; 3 nu divide 19; 3 nu divide 1549; - Ultima cifr nu este nici 0 i nici 5, nu este divizibil cu 5; - continum prin mpriri succesive:

1549 7 1549 = 7 221 + 2 ; 1549 11

14 221 2 = 0 11 140

= 14 221 > 7 =44 1549 = 11 140 + 9

14 44 9 = 0

= =9 nu putem spune = = 9 140 > 11

7 c este prim, 0 nu putem spune c este 2 nici compus ; 9 prim, nici compus;


1549 13 1549 17 13 119 153 91

=24 1549 = 13 119 + 2; = =19 1549 = 17 91 + 2 13 2 = 0 17 2 = 0

119 119 > 13 = 2 91 > 17

117

= =2 nu putem spune

c este prim, nici compus; nu putem spune c este prim, nici compus;

1549 19 1549 23

152 81 138 67

= =29 1549 = 19 81 + 10; =169 1549 = 23 67 + 8 19 10 = 0 161 8 = 0

10 81 > 19 = =8 67 > 23

nu putem spune c este prim, nu putem spune c este nici compus; prim,

nici compus;

1549 29 1549 31 145 53 124 49

= =99 1549 = 29 53 + 18; =309 1549 = 31 49 + 30

81 18 = 0 279 30 = 0

18 53 > 29 30 49 > 31

nu putem spune c este nu putem spune c este prim, prim, nici compus; nici compus;


1549 37 1549 41 148 41 123 37

= =69 1549 = 37 41 + 32; = 319

37 32 = 0 287 1549 = 41 37 + 32 32 41 > 37 =32 32 = 0

37 < 41

nu putem spune c este prim, nici compus Da, acum putem

spune c 1549 este numr prim:

am obinut ctul mai mic dect mpritorul i restul diferit de 0.

Pentru a ti ( mai exact) , unde ne oprim cu mpririle, procedm n felul urmtor: Cutm primul ptrat perfect cu rdcina numr prim mai mare dect 1549 :

Observm c: 1549 = 39 + 28. Primul ptrat perfect cu rdcina numr prim este 1681( cu rdcina numrul prim 41). nseamn c ultima mprire trebuie s se opreasc la mprirea cu 41.

n general:

Dac, dup ce gseti primul ptrat perfect cu rdcina numr prim mai mare dect numrul dat, numerele prime mai mici dect acest numr nu divid acel numr, atunci putem spune c numrul este prim. Dac unul dintre aceste numere prime mai mici dect ptratul perfect cu rdcina numr prim divide numrul, atunci numrul este compus.


Exemple:

. 529 este prim sau este compus?

Primul ptrat perfect cu rdcina numr prim este 841 care are rdcina 29.

0bservm c 529 este divizibil cu 23(primul numr prim mai mic dect 29) i deci nu este prim.

. 317 este prim sau este compus?

Primul ptrat perfect mai mare dect 317 i care are rdcina numr prim este 361 cu rdcina numrul prim, 19 . nseamn c, dac este numr prim, mprirea trebuie s se opreasc la mprirea cu 19. Se verific dac numrul este divizibil cu numerele prime mai mici dect 19, fie n sens invers, fie cum am

demonstrat mai sus.

PITAGORA PRINTRE NUMERE PRIME SI DIVIZIBILITATE

Am sa incep povestea mea cu un citat al lui Emerson, in eseul :

Despre prietenie unde acesta spune ca : " singura cale ca sa ai un prieten este

ca tu insuti sa fii unul " .

Este foarte greu sa-ti gasesti un prieten dar este si mai greu de crezut

ca nu numai oamenii isi pot gasi prieteni, ci si numerele. De aceea am sa va spun o

poveste despre numerele prietene :

Ca sa-si asigure protectia unui senior ce-l dusmanea, un cavaler a

trimis acestuia un dar foarte curios fiindca l-a potrivit in asa fel ca sa cuprinda

exact 220 de bucati. Anume: saci de grau, de poame uscate, vase de vin, de ulei, oi,

porci si la acestea a adaugat o punga de bani, atatia la numar cat mai era nevoie ca

impreuna cu numarul celorlalte bunuri sa ajunga la 220.


Separat, intr-o punga de piele, cavalarelul i-a trimis seniorului un

medalion pe care era incrustat numarul 284.

Seniorul nestiind ce semnificatie sa dea neobisnuitului cadou, s-a dus

sa se lamureasca la cel mai mare matematician de atunci, Pitagora.

Pitagora si-a dat seama imediat ca aceasta problema poate fi rezolvata

cu ajutorul numerelor prime si a incercat sa-i explice seniorului de unde ar trebui

sa inceapa cu rezolvarea problemei. El a inceput sa explice astfel :

Numim numar prim orice numar natural mai mare decat 1,care are

numai divizori improprii.Numerele prime sunt:2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31...

Obs.:Singurul nr.prim si par este 2.

Pentru a afla daca un numar este prim sau nu,il descompunem in

factori primi,adica il impartim la toate numerele prime cu care este divizibil.Daca

este divizibil doar cu 1 si cu el insusi,atunci numarul este prim.

Dupa aceste mici explicatii, Pitagora il ruga pe senior sa imparta cele

doua numere in factori primi.

Atunci seniorul nota pe hartie :

220 = 2 x 2 x 5 x 11

284 = 2 x 2 x 71

Dar exista o deosebire intre factorii primi ai unui numar si divizorii

lui, divizorii unui numar nu sunt numai factorii lui primi ci si produsele formate de

acestia.

Daca reluam calculul adaugand si pe 1 (unu) printre factorii primi se

poate constata ca prin adunarea partilor lui 220 se obtine 284.

2 x 2 = 4

2 x 5 = 10

2 x 11 = 22

5 x 11 = 55

2 x 2 x 5 = 20


2 x 2 x 11 = 44

2 x 5 x 11 = 110

Deci : 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Daca il luam pe 284 descompus in factori primi obtinem 2 x 2 x 71

2 x 2 = 4

2 x 71 = 142

Deci : 1 + 2 +4+ 71 + 142 = 220

Seniorul pleca multumit de explicatia data de marele Pitagora si astfel reusi sa

inteleaga mesajul cavalerului.

Raspandindu-se vorba prin tinut despre intelepciunea lui Pitagora,

intr-o dimineata acesta se trezi cu un nou musafir care incerca sa il puna in

incurcatura pe marele invatat. Astfel Pitagora trebui sa rezolve o noua problema

care se pezenta astfel :

- Un copil este de doua ori mai varstnic decat sora lui. Ea are de trei ori mai multe cirese decat are el alune. Daca inmultim numarul ce

reprezinta varsta copilului cu numarul cireselor obtinem 510. Ce

varsta are sora copilului si cate alune are el ?.

Pitagora se gandi un pic si isi dadu seama ca are de a face din

nou cu numerele prime. Astfel daca descompunem in factori primi numarul 510,

obtinem : 2 x 3 x 5 x 17. Varsta frateleui trebuie sa fie compusa din doi dintre

acesti factori. Cum este dublul varstei sorei, unul din numere neaparat este 2.

Numarul cireselor trebuie sa fie un multiplu de 3. Raman doi

factori primi : 5 si 17. Dar varsta fratelui nu poate fi 2 x 17 = 34, pentru ca este

inca un copil. Atunci putem spune ca are 2 x 5 = 10 ani, iar surioara lui are 10 5 = 5 ani.


Numarul cireselor va fi de 3 x 17 = 51, iar cel al alunelor este 17.

Dar Pitagora il provoca pe musafirul sau sa rezolve si el o

problema destul de simpla, iar acesta accepta. Problema spunea cam asa ceva:

Care sunt nr. prime de 2 cifre,avand produsul cifrelor 6?

Rezolvare:

ab=?,a este numar natural nenul si axb=6

=>a;b sunt divizori ai lui 6

D6={1;2;3;6}

a=1,b=6=>ab=16 si nu este nr. prim

a=2,b=3=>ab=23 si este prim

a=3,b=2=>ab=32 si nu este prim

a=6,b=1=>ab=61 si este prim

ab={23;61}

Pitagora spuse o alta problema crezand ca isi va pune musafirul in mare

incurcatura, dar acesta o rezolva pe loc astfel:

Care este numarul divizorilor naturali ai numarului:

p=2x3x5

Rezolvare:

Nr. divizorilor este:

(3+1)(1+1)(2+1)=4x2x3=24

In timp ce Pitagora cu musafirul sau se delectau rezolvand probleme, la usa

lui Pitagora aparu un tanar care avea o problema cu mostenirea lasata de tatal sau.

La inceput Pitagora nu a vrut sa il ajute, dar mai tarziu ascultandu-i problema mai

pe indelete se invoi sa ii dea o mana de ajutor. Iata cum se prezenta problema :

Un negustor grec avea trei fii. Dupa moartea sa, el lasa mostenire

celor trei copii ai lui 19 camile.Dar el le-a spus copiilor sa le imparta in felul

urmator : fiul cel mare sa ia jumatate din numarul camilelor, cel mijlociu 1/4 din

toate camilele, iar cel mai mic 1/5 din numarul lor.


Dupa moartea tatalui lor, cei trei feciori au incercat sa imparta intre ei

camilele asa cum lasase cu limba de moarte parintele lor. Dar neizbutind sa faca

imparteala, au cerut sfatul invatatului Pitagora. Astfel ca Pitagora se duse impreuna

cu tanarul in grajd si ii dadu acestuia o camila, spunandu-i ca acum daca va merge

acasa va putea rezolva problema mostenirii fara nici o dificultate. Tanarul se duse

acasa putin nedumerit, dar cand ajunse acasa isi dadu seama ca acum avea 20 de

camile si totul se putea rezolva mai usor.

Feciorii facura urmatoarele impartiri :

20 : 2 = 10

20 : 4 = 5

20 : 5 = 4

10 + 5 + 4 = 19 camile

Dupa impartirea facuta, cei trei feciori au observat ca au o camila in plus.

Bineanteles ca aceasta era camila marelui invatat Pitagora asa ca se duse toti trei si

o duse acestuia inapoi, multumindu-i pentru ajutorul dat.

Exercitiu rezolvat

Determinati numerele naturale prime a, b, c astfel incat a+ 6b+ 2c= 46.

Solutie:

primnr a

2 a 2 2c 2, 6b 2, 56 a= 2

Inlocuind in egalitate se obtine:

2+ 6b+ 2c= 46 / :2

1+ 3b+ c= 23/ -1

3b+ c= 22 3b si c au aceeasi paritate

Daca b= 2 obtinem 6+ c= 22/-6 c= 16 (nu convine deoarece 16 nu este numar

prim)

Daca b= 3 obtinem 9+ c= 22/-9c= 13

Daca b= 5 obtinem 15+ c= 22/-15c= 7

Daca b= 7 obtinem 21+ c= 22/-21c=1 (nu convine, 1 nu este numar prim)

Deci (a,b,c){(2,3,13), (2,5,7)}


FISA DE LUCRU.

NUMERE PRIME SI COMPUSE

1. Se considera sirul de numere naturale : 0; 41; 12; 26; 302; 1600; 2703; 5025; 1586; 750;

6400; 418.

Precizati care numere din sirul de mai sus sunt divizibile cu:2,3,4,5,9,10,25,100.

2. Determinati numerele naturale de forma 4 1x y divizibile cu 15.

3. Fie multimile:

A={ / ,2 11x x x si 3x }

B={ / , 14y y y si 6y }.

Determinati : ; ;A B A B A B

4. Stabiliti care din urmatoarele numere sunt prime si care sunt compuse: 73, 121, 283 si 423

5.

a) Suma a doua numere prime este 99. Aflati numerele. b) Suma dintre un numar natural par si un numar prim este 2010. Aflati numerele c) Diferenta dintre un numar natural impar si un numar prim este 103. Aflati numerele

6. Alegeti raspunsul corect:

a) Daca produsul dintre un numar prim si un numar impar este 54, atunci numerele sunt: A. 1 si 54 ; B. 2 si 27 ; C. 3 si 18 ; D. 6 si 9

b) Daca numerele prime a si b , a


9. Sa se determine numerele prime a, b, ccare indeplinesc simultan relatiile: a+b+c=2008 si

b+c=759

EXERCITII PROPUSE CA TEMA

1.Suma dintre un numr prim i un numr impar este 371. Aflai numerele.

2. Stabilii dac numrul 413 este prim sau compus.

3. Aflai numerele naturale a, b i c, tiind c a este numr prim,

a +b + c = 61 i b = 25+c.

4. Aflai numerele naturale prime a, b, c care verific egalitatea:

a + 2b + 10c = 82

5. Aflai dac exist a,b,c,d prime astfel nct 3a+5(3b+7c)=33045d.

6. Artai c numrul y=235711131719232931169 nu este prim.

7. S se determine numerele prime a, b, c care satisfac relaia 10a+5b+2c=75. 8. Un segment [AB] are lungimea de 3280 cm. El este mprtit n segmente

disjuncte, necongruente, de lungime cm fiecare.

Numrul segmentelor n care este mprtit [AB] este: a) 6 ; b) 9 ; c) 8; d) 7.

Rezolvare

Trecem numrul 3280 din baza 10 n baza 3. Avem : = . Trecnd apoi din baza 3 n baza 10 ,

obtinem: = + + + + + + + ; adic ,

3280 = + + + + + + +

Segmentele vor avea lungimile de cm, cm, cm, cm, cm,

cm, 3cm si =1 cm. Deci vom avea 8 segmente.


Metoda comparaiei.Metoda grafic.Metoda reducerii la unitate.Metoda figurativ.

Prof. BADEA CTLIN

Metoda comparaiei

Pentru rezolvarea problemelor prin aceast metod parcurgem etapele: -stabilim simbolurile problemei

-comparm cele 2 cazuri -eliminm una din necunoscute -se determin cealalt necunoscut -nlocuim n una din situaiile iniiale Avem dou tipuri de probleme: a)eliminarea unei necunoscute prin scdere 1.Se tie c 4 cri i 5 caiete cost 42000 lei,iar12 cri i 7 caiete cost 110000 lei. Ct cost o carte i ct cost un caiet? 2.Cinci srituri ale unui ogar i 7 srituri ale unei vulpi msoar mpreun 17m.Dou srituri ale unui ogar i 5 srituri ale unei vulpi msoar mpreun 9m.Ce distan parcurge fiecare dup 30 de srituri? 3.Cnd un sfert din numrul bieilor din clasa a- IV-a A pleac n curtea colii, n clas rmn 24 de elevi. Cnd un sfert din numrul din numrul fetelor pleac din clas, n clas rmn 25 de elevi. Ci elevi sunt n clasa a-IV-a A? 4.7 echere,4 compasuri i 5 raportoare cost 67 lei; 4 echere,7 compasuri i 6 raportoare cost 65 lei, iar 1 echer,1 compas i 15 raportoare cost 68 lei. Ct cost 1echer,1 compas i 1 raportor?

b) eliminarea unei necunoscute prin nlocuire

1. 3 kg de banane cost att ct 5 kg de portocale. Pentru Crciun s-au cumprat 30 kg de banane i 45 kg de portocale i s-au pltit 34200 lei. Care este preul unui kg de banane i care este preul unui kg de portocale?

2. Patru mere cntresc ct 5 pere,3 pere cntresc ct 7 piersici, iar 5 piersici cntresc ct 8 nuci. Dac pe un taler al unei balane aezm 3 mere, cte nuci trebuie s aezm pe cellalt taler pentru ca balana s fie n echilibru?


Metoda grafic

Reprezentarea datelor problemelor se face, de regul, prin segmente de dreapt, care vor fi luate ca pri. Avem mai multe tipuri de probleme : a)cnd se cunosc suma i diferena 1.Suma a trei numere este 340.Suma primelor dou este mai mare dect suma ultimelor dou cu 80,iar al doilea numr este cu 50 mai mare dect al treilea. S se afle cele trei numere. 2.Suma a dou numere este 168. Aezndu-i unuia din ele cifra 1 n fa, obinem un numr egal cu cellalt. S se afle cele dou numere. b) cnd se cunosc suma i raportul 1.Suma a trei numere naturale este123.Al doilea numr este cu 2 mai mare dect triplul primului

numr, iar al treilea este jumtate din suma celorlalte dou numere. S se afle numerele.

2.Suma a dou numere naturale este de forma a3 . S se afle cele dou numere, tiind c unul din ele este de 3 ori mai mare dect cellalt.

3.S se afle trei numere, tiind c produsul primelor dou este 21,produsul ultimelor dou este 84,iar suma dintre primul i ultimul este 15.

c)cnd se cunosc diferena i raportul 1.Vrsta unei fete este n prezent cu 21 de ani mai mic dect vrsta mamei sale. Peste 9 ani

vrsta mamei va fi de 2 ori mai mare dect vrsta fiicei sale. Aflai vrsta pe care o are fiecare n prezent.

2.mprind un numr la cellalt obinem ctul 3 i restul 5,iar diferena lor este 21.S se afle cele dou numere.

d) cnd cunoatem raportul lor iniial i apoi raportul dup unele modificri 1.ntr-o fructier sunt de 3 ori mai multe prune dect mere. La mas sunt 5 persoane i fiecare din

ele i ia pe farfurioar cte un mr i cte o prun. Rmn n fructier de 5 ori mai multe prune dect mere. Cte mere i cte prune erau iniial?

2. mprind un numr la altul obinem ctul 4 i restul 3. mprind primul numr ,mrit cu 2, la al doilea numr ,micorat cu 2 obinem ctul 5 i restul 5. e) cnd cunoatem fracii dintr-un ntreg 1.Un tat i mparte motenirea celor 4 fii n felul urmtor: primul ia jumtate din avere, minus 3000 de galbeni al doilea ia o treime ,minus 1000de galbeni

al treilea ia exact o ptrime din avere al patrulea ia 600 livre i o cincime din avere. Ct era ntreaga avere i care a fost partea fiecruia?


2.Un biciclist a parcurs 9

4 dintr-un drum i i d seama c mai are de mers cu 3 km mai puin

dect 4

1 din rest pentru a ajunge la jumtatea drumului. Ce lungime are drumul?

Metoda figurativ

Ca i metoda grafic, aceasta const n reprezentarea prin desen a mrimilor necunoscute i fixarea n desen a relaiilor dintre ele. Figurarea este mai sugestiv deoarece folosim simboluri.

1.Dac elevii unei clase se aeaz cte 2 ntr-o banc rmn 3 elevi n picioare; dac se aeaz cte 3 elevi ntr-o banc rmn 3 bnci goale i una ocupat de un elev. Cte bnci i ci elevi sunt n clas?

2.La un concurs au participat biei i fete. Numrul fetelor a fost ct jumtate plus unu din numrul bieilor. Dup o prob ,au fost eliminai 4 biei i 7 fete, rmnnd astfel de 3 ori mai muli biei dect fete. Ci biei i cte fete au fost iniial ?

3. ntr-un co sunt de 3 ori mai multe mere dect pere. Cele 4 persoane de la mas mnnc cte un mr i cte o par. n co rmn de patru ori mai multe mere dect pere. Cte mere i cte pere erau iniial n co?

Metoda reducerii la unitate

Aceast metod se poate sintetiza prin regula: pentru a ti valoarea mai multor uniti trebuie s determinm valoarea unei singure uniti i invers. Cele dou mrimi prezente n probleme pot fi n relaie de: -direct proporionalitate adic dac una din ele se mrete(se micoreaz) de un anumit numr de ori , atunci i cealalt se mrete(se micoreaz) de acelai numr de ori. -invers proporionalitate adic dac una din ele se mrete(se micoreaz) de un anumit numr de ori , atunci cealalt se micoreaz(se mrete) de acelai numr de ori.

Mrimile sunt direct proporionale

1.n 7 ore un biciclist parcurge 105 km, iar un automobilist parcurge n 3 ore 195 km. Cu

ci km parcurge mai mult automobilistul n patru ore dect biciclistul n 9 ore? 2 Inima unui om bate de aproximativ 140 de ori n 2 minute. De cte ori bate ntr-o or?


Mrimile sunt invers proporionale

1.Dac un elev ar lucra suplimentar cte 5 probleme pe zi, ar termina de rezolvat problemele dintr-o culegere n 18 zile. n cte zile ar termina lucrnd cte 6 probleme pe zi.

2. Pentru a termina o lucrare n 7 zile sunt necesari 12 muncitori. Ci muncitori sunt necesari pentru a termina o lucrare n 4 zile?

Regula de trei compus

1.Prin 3 robinete, deschise timp de 4 zile, cte 7 ore pe zi, curg 30240 litri de ap. n cte zile , prin 4 robinete cu acelai debit , deschise cte 3 ore pe zi, curg cte 21600 litri de ap? 2.O lucrare poate fi executat n 20 de zile de ctre 15 muncitori. Deoarece, dup 8 zile de lucru, unii dintre aceti muncitori pleac pe alt antier, lucrarea se termin dup alte 30 zile. Ci muncitori au plecat pe alt antier?

3. n 12 zile o echip de muncitori ar efectua 5

2 dintr-o lucrare, iar alta

9

4 din rest.

n cte zile, lucrnd mpreun, ar termina lucrarea cele dou echipe?


Tema 2-clasa a V-a- excelen Metoda falsei ipoteze. Metoda mersului invers. Probleme de

micare.

Prof. Badea Delia , c. Take Ionescu Rm Vlcea

1. Metoda falsei ipoteze. Metoda falsei ipoteze are la baz o presupunere, o ipotez. Ea solicit introducerea unor date ipotetice i confruntarea situaiei obinute astfel cu situaia real. ntmpltor, ele pot coincide. n alte cazuri ele nu coincid, dar concluziile deduse din aceast confruntare ne coordoneaz cutrile. Avem probleme : -cu 2 mrimi ce solicit o singur ipotez -cu mai multe mrimi ce solicit mai multe ipoteze succesive sau gruparea elementelor din diferite mulimi pentru a elimina din mrimi. 1. Adrian are suma de 435 lei n bancnote de 5 lei i 10 lei. tiind c sunt n total 50 de bancnote, s se afle cte bancnote de fiecare fel are Adrian. 2. 300 de grinzi , unele de brad i unele de stejar cntresc mpreun 10524 kg. O grind de brad cntrete 28 kg , iar una de stejar ,46 kg. Cte grinzi de fiecare fel sunt? 3. Un ran are gini i oi, n total 77 capete i 184 picioare. Cte gini i cte oi are ranul? 4. ntr-un bloc sunt apartamente cu 2 i 3 camere, n total 44 apartamente cu 99 de camere. Cte apartamente sunt de fiecare fel? 5. Cantitatea de 102 l de vin se toarn n 39 vase de 1l ,5l i 10l. S se afle cte vase sunt de fiecare fel tiind c numrul vaselor de 1l este de 3 ori mai mare dect al vaselor de 5l. 6. La o librrie s-au adus 31 de truse cu 2,3 i 4 creioane, n total 105 creioane. tiind c numrul truselor de 4 creioane este de trei ori mai mare dect al celor cu dou creioane, aflai numrul truselor de fiecare fel.


7. Cristian a cumprat cu 281 lei 15 caiete de trei feluri: de 10 lei , de 15 lei i de 47 de lei. Cte caiete de fiecare fel a cumprat , tiind c cele de 10 lei erau de 2 ori mai multe dect cele de 15 lei. 8. La o ferm sunt vaci, oi , gini i rae, n total 3623 de capete i 12096 de picioare. tiind c oi sunt de 4 ori mai multe dect vaci, iar numrul ginilor este cu 2 mai mic dect triplul numerelor de rae, s se afle cte vaci, oi, gini i rae are ferma. 9. S-a amestecat o cantitate de bomboane , de 36 lei pe kg ,cu o alt cantitate de bomboane de 24 de lei pe kg. Cantitatea astfel obinut s-a vndut cu 27 de lei pe kg. Ce cantitate s-a luat din fiecare calitate , dac din bomboanele de prima calitate s-au luat mai puin cu 48 kg dect din cele de-a doua calitate. 10.Dac ntr-o sal de clas se aeaz cte 3 elevi ntr-o banc, rmn 5 bnci libere, iar dac se aeaz cte 2, rmn 5 elevi n picioare. Ci elevi i cte bnci sunt n sal?

11. ntr-o sal intr mai muli elevi. Dac se aeaz cte 2 n banc , rmn 9 elevi n picioare, iar dac se aeaz cte 3 ntr-o banc , rmn 7 bnci neocupate i una ocupat cu un singur elev. Cte bnci i ci elevi sunt?

2.Metoda mersului invers.

Metoda mersului invers se folosete n anumite probleme n care elementul necunoscut apare la nceputul irului de relaii dat n enun. Se urmrete enunul de la sfrit la nceput, mergnd invers , n fiecare etap a metodei se efectueaz operaia invers celei din enun. 1.M-am gndit la un numr, l-am mprit la 4,la rezultat am adunat 8, iar din suma obinut njumtit am sczut 5 i apoi am nmulit cu 2 obinnd 18. La ce numr m-am gndit? 2.Aflai numrul natural a din ecuaia: 5+5:{*5+5(a-5)]:5-5}=10 3.Un vnztor vinde pepeni la 3 cumprtori. Primului i vinde o jumtate din cantitate, celui de-al doilea o treime din ce i rmsese, iar celui de-al treilea o cincime din noul rest. Ci pepeni a avut iniial vnztorul , dac i-au mai rmas 16 pepeni?

4.Un gospodar vinde ciree la trei cumprtori. Primului i vinde jumtate din cantitate i nc o jumtate de kg; celui de al doilea, jumtate din cantitatea rmas i nc o jumtate de kg, iar celui de al treilea, jumtate din cantitatea rmas dup plecarea celui de al doilea i nc o jumtate de kg. tiind c dup plecarea celui de al treilea cumprtor au mai rmas 3 kg de ciree, se cere s se afle cte kg de ciree a avut productorul i ce cantitate a cumprat fiecare dintre cei trei cumprtori. 5.Dintr-un co cu mere se ia jumtate din numrul merelor i nc un mr; apoi dou treimi din numrul merelor rmase i nc dou mere; apoi trei ptrimi din rest i nc trei mere. Dup ce se mai ia jumtate din numrul merelor rmase i nc 5 mere, se constat c au mai rmas n co 4 mere. Cte mere au fost n co i cte mere s-au luat de fiecare dat? 6.n vacana de var o grup de elevi a organizat o excursie de 3 zile cu biciclete. n prima zi au mers 1/3 din distana total , fr 2 km. A doua zi au mers jumtate din distana rmas , fr 3


km, iar n a treia zi 8/9 din distana rmas dup a doua zi i nc 6 km. Ci kilometrii au mers elevii n cele trei zile?

7.Avem dou vase A i B cu ap. Turnm a treia parte din A n B. Apoi turnm a treia parte din B n A i apoi constatm c n fiecare vas se afla 36 litri ap. Ci litri de ap erau iniial n fiecare vas?

8. Avem trei vase cu ap. Jumtate din apa din primul vas o distribuim n mod egal n celelalte dou vase. Apoi, jumtate din apa ce se afl acum n al doilea vas o vrsm, n mod egal , n primul i respectiv al treilea vas. n sfrit , turnm jumtate din apa ce se afl n al treilea vas, n mod egal, n primul i respectiv al doilea vas. Dup aceste operaii constatm c n primul vas se afl 60l, n al doilea 36l iar n al treilea se afl 40l.Ce cantitate de ap era iniial n fiecare vas? 3.Probleme de micare. Formulele de baz ale acestui tip de probleme sunt: d=vt , v=d:t, t=d:v, unde d=distana, lungimea drumului pe care se deplaseaz mobilul, v=viteza cu care se deplaseaz, t= timpul n care se face deplasarea . Probleme de aflare a uneia din cele trei mrimi: 1.Un tren cu lungimea de 35 decametri intr pe podul de la Cernavod cu viteza de 600 de metri pe minut. Dup 7 minute iese de pe pod. Ce lungime are podul? 2.Sunetul parcurge , n 3 minute, 612 hm. Care este viteza sunetului n metri pe secund? 3. Un elev se deplaseaz cu viteza medie de 82m/min.n ct timp strbate o distan de 41 dam? 4.O veveri aduce o alun n vizuin n 4 minute. Care este distana de la alun la vizuin , dac fuge fr alune cu 6m/s, iar cu alune cu 3m/s? Probleme de ntlnire: 5.Doi bicicliti pleac din A spre B , unul n ntmpinarea celuilalt , primul cu viteza medie de 20km/h i cellalt cu 29 km/h. tiind c distana dintre A i B este de 98 km aflai: a)dup ct timp se ntlnesc. b)ce distan este ntre ei dup o or de la plecare. 6.Un automobilist pleac din Rm.Vlcea spre Botoani ,cu o vitez medie de 64km/h, iar simultan , din Botoani spre Rm. Vlcea, pleac un autocar , cu viteza medie de 77km/h. Se ntlnesc dup 4 ore de la plecare. a) Care este distana dintre cele dou orae? b)Ce distan se afl ntre ele dup 3 ore de la plecare? c)Dar dup 5 ore? d)Ce distana mai are fiecare de parcurs, pn la destinaie , dup 6 ore de mers? 7.Distana de la Arad la Bucureti este de 547 km. Din Arad pleac spre Bucureti la ora 12 ,un autobuz, iar din Bucureti pleac spre Arad, la ora 16, un autocar care are viteza cu 19 km/h mai mare dect a


autobuzului. Cele dou autovehicule se ntlnesc la ora 19. Ci kilometri a parcurs fiecare pn la momentul ntlnirii? Probleme de urmrire: 8.La ora 7, din A spre B pleac un motociclist cu viteza de 52km/h. La ora 9 pleac din A spre B , un automobilist cu viteza medie de 78km/h. a)La ce or l ajunge din urm? b)Care este distana dintre A i B , dac plecnd la ora 10, automobilistul l-ar fi ajuns din urm , chiar n B? 9.Doi bicicliti parcurg o pist circular , pornind din acelai loc i n acelai sens. Unul ruleaz cu 15m/s i altul cu 20m/s.tiind c unul trece pe lng cellalt ntr-un minut i 24 secunde , s se afle: a)lungimea pistei b)de cte ori nconjoar fiecare pista, pn n momentul ntlnirii. 10. Viteza unui pstrv este de 20km/h. El noat 72km , de la A la B , n sensul curentului apei , n 3 ore. n ct timp parcurge pstrvul distana de la B la A. 11.Un ogar fugrete un iepure care are 18 srituri avans. n timp ce iepurele face 6 srituri , ogarul face numai patru, dar 5 srituri ale ogarului fac ct 9 ale iepurelui. Cte srituri face ogarul pn prinde iepurele?


Scoaterea factorului comun

Prof.Statie Ileana

1) Dac 7 49xz yz z i 7x y =6,aflai numerele naturale x,y,z.

2) Dac a +b=25 i b+c=34,aflai 13 18 5a b c ; 2ab b ac bc ; 2 .ac bc ab a

3) Dac x y =21 i 4 7 3 117x y z ,aflai 2x + xy xz yz .

4) Dac 23a b i 7 6 131a b c ,calculai 2a ab ac bc . 5) Rezolvai ecuaia 3 102x xyz xz , dac x,y,zN i 3 16.z yz

6) Rezolvai ecuaia 23 4 5 .... 2004 3 223223x x x x

Criptaritm

1) Reconstituii adunarea

GIURGIU IURGIU +URGIU RGIU GIU IU U =1506641.

2) Reconstituii adunarea 74915ARE OARE SOARE .

3) Aflai xyz tiind c 12 12 1 2 2 1 124053xyz xyz xyz xyz

4) Suma dintre abc i rsturnatul su cba este 423.Aflati a b c . 5) Determinai numerele naturale de trei cifre care sunt mai mari cu 693 decat

rsturnatele lor.

6) Aflati abcd tiind c 25a b c d si 319abc ab a .

7) Determinai abc tiind c 6abc bc .

8) Determinai abc tiind c 4 5 6a aa a a bcb .

9) Aflati abcd tiind c :abcd c bdc .

10) Aflai ab dac 63 85 1996 14 2 48 .a a a b

11) Aflai ab dac .ab ba xya

12) Determinai numrul par abc tiind c 2 4 6 8 ... 00abc abc .

13) Determinai numrul abc care se mparte exact la 3 tiind c

3 6 9 ... 00.abc abc


14) Determinai numrul abc care se mparte exact la 4 tiind c

4 8 12 ... 00.abc abc

15) Aflai , ,x y z tiind c 2

.xyz yz

16) Un numr natural de ase cifre are ultima cifr 6.Se mut aceast cifr la nceputul numrului i se obine un numr de 4 ori mai mare. Aflai numrul.

17) Aflai numrul abcdef dac 3abcdef bcdefa .

18) Aflai cifrele a i b i numrul natural n dac 1 2 11n ab ab ab ab .

19) Determinai numerele abcd tiind c 3000abcd bcd cd d .

20) S se determine numrul abcd tiind c 1770abcd abc ab a .

21) Reconstituii adunarea: 9486.abcd bcdd 22) Determini cifrele a,b,c tiind c 7a b i

( 5) ( 1) 10 ( 2)( 5)abc c a a a cb b a b .

23) Care sunt numerele abc pentru care : 2abc bc c abc bc c ? 24) Aflai cifra c tiind c 4abcd dcba .

25) Determinai a,b,c astfel ca 0 2.a a bb caaa


CALCULUL UNOR SUME REMARCABILE .IRURI

prof. Aron Roxana, C.N.Mircea cel Btrn I. Calculai sumele:

1). 7). 2+4+6++100

2). 8). 3+6+9++2010

3). 1+2+3++50 9). 6+12+18++2010

4). 1+2+3++2009 10). 140+133+126++7

5). 0+1+2+3++500 11). 10+11+12++100

6). 91+90+89++1 12). 25+30+35++2010

II.

13). Se consider suma S=1+3+5++101

a. Ci termeni are suma?

b. Calculai suma i verificai c este ptrat perfect.

14). Calculai suma S=2009+2007+2005++3+1

15). Se consider suma S=1+5+9+2009

a. Ci termeni are suma?

b. 1751 este termen al sumei?

c. Calculai suma .

16). Se d irul 1, 4, 7, 10,

a. Care este al 50-lea termen al irului?

b. Calculai suma primilor 50 de termeni.

17). Aflai cte numere de forma exist i apoi calculai suma lor.

18). Calculeaz suma tuturor numerelor naturale de 3 cifre care se impart exact la 12.

19). Determin cel mai mic i apoi cel mai mare numr de 4 cifre care mprit la 9 d restul 2. Calculeaz suma tuturor numerelor de 4 cifre care mprite la 9 dau restul 2.


III.

20). S se determine numrul a natural care verific egalitatea:

21). Calculeaz

22). Artai c numrul este cub perfect.

23). Demonstrai c oricare ar fi n numr natural, numrul este ptrat perfect.

24). Aflai restul mpririi numrului la la 2000.

25). Determin numrul tiind c = .

26)S se completeze cu nc trei termeni urmtoarele iruri: 1) 14, 15, 16,... 2) 8, 10, 12,... 3) 13, 15, 17,...

4) 5, 8, 11,... 5) 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,... 6) 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16,

...

7) 1, 2, 6, 24, 120, ... 8) 1, 3, 7, 15, ... 9) 61, 52, 63, ...

27) S se determine numrul de numere din urmtoarele iruri: 1)15, 16, 17, ..., 30 2) 2, 4, 6, ..., 54

3) 4, 7, 10, ..., 76 4) 2, 7, 12, ..., 77

28) Se consider irul de numere naturale: 2, 7, 12, 17, 22, ... a) Aflai al 501-lea termen al irului; b) Stabilii dac 2007 este un termen al irului. Dar 2008? c) Calculai suma primilor 100 termeni ai irului. 29) Se consider irul de numere naturale: 12, 45, 78, 111, ... a) Completai irul cu nc doi termeni; b) Care este al 2008-lea este termen al irului? c) Demonstrai c oricare termen al irului este divizibil cu 3. 30) Fie irul de numere 1, 5, 9, 13,... a) Completai irul cu nc 3 termeni b) Gsii al 155-lea, al 378-lea, al 2003-lea numr din ir. c) Justificai care dintre urmtoarele numere fac parte din ir: 497, 531, 794, 1073. Precizai locul n ir, dac este cazul. d) Calculai suma primilor 20 termeni.


31). Fie irul de numere naturale: 1; 23; 456; 78910; ... S se determine al 7-lea i al 100-lea termen .

32) Fie numrul A= 1234567891011121314...20022003. a) Aflai cte cifre are numrul A. b) Care este a 2000-a cifr a numrului A?

33) Fie cifre

A2007

9...999....999999 . Cte cifre de 1 are numrul A?

34) Calculai urmtoarele sume: a) S=111+222+...+999 b) S=9+19+29+...+1999 c) S=3+5+7+...+2001-2-4-6-...-2000

35) Calculai urmtoarele sume:

a) S=12+23+...+1920 b) S=123+234+...+181920

36) Fie cifre

S2007

25...222....2225225255 .

a) Cte cifre are termenul din mijloc?

b) Cte cifre de 2 sunt n sum? c) Cte cifre de 5 sunt n sum? d) Care sunt ultimele dou cifre ale lui S?


Teorema impartirii cu rest

Oricare ar fi numerele naturale a si b, cu b0, exista doua numere reale q si r, numite cat si respectiv rest, astfel incat a=bq+r, 0r


9. Fie a,b,c trei numere naturale care impartite pe rand la 2009 dau resturile 1935, 700,

800. Sa se determine restul impartirii numarului a+3b+5c la 2009.(Galati, et. judeteana)

10. a)Aflati cate numere naturale exista, care impartite la 320 dau catul egal cu restul.

Aratati ca 2247 dace parte dintre ele si ca toate sunt divizibile cu 321.

b) Aflati cate numere de 4 cifre indeplinesc conditiile de la punctul ,,a si calculati suma lor.(Gorj, et. judeteana)

11. Suma a patru numere naturale este 420. Daca se impart cele patru numere prin acelasi

numar natural nenul se obtin caturile numere naturale consecutive, iar resturile 1, 2, 3 si

respectiv 4. Determinati numerele.(Hunedoara, et. locala)

12. Suma a doua numere naturale este 2009, iar daca impartim numarul mare la sfertul

numarului mic obtinem catul si restul egale cu 7. Aflati numerele.(Maramures, et. locala)

13. Aflati numerele naturale de doua cifre a si b stiind ca daca impartim pe a la b obtinem

restul 30, iar daca impartim pe b la a obtinem restul 35.(Maramures, et. judeteana)

14. Impartind numarul A la 2008 obtinem restul 512. Aflati restul imaprtirii lui a la

251.(Mehedinti, et. locala)

15. Determinati numerele abcd stiind ca daca impartim numarul 2009 la numarul aa

obtinem catul bc si restul d.(Mehedinti, et. judeteana)

16. La o impartire a doua numere naturale, suma dintre cat, impartitor si rest este 114.

Stiind ca diferenta dintre cat si impartitor este 55, iar impartitorul este cu 2 mai mic decat

triplul restului, aflati cele doua numere.(Olt, et. locala)

17. Un numar este cu 17 mai mare decat altul. Impartind suma numerelor la diferenta lor

obtinem 235 si restul 0. Aflati numerele.(Salaj, et. locala)

18. a) Aflati restul impartirii numarului B=1232009+3 la 8. b) Aflati restul impartirii numarului B=1232009-3 la 8. (Timis, et. locala)

19. Fie numerele x1,x2,x3,,x2009, care, impartite la un numar natural nenul n, dau resturi diferite doua cate doua si caturi nenule, diferite doua cate doua.

a) Aratati ca n 2009. b) Calculati cea mai mica valoare a sumei x1+x2+x3++x2009.(Timis, et. judeteana) 20. Aranjam numerele 1,2,3,,2009 astfel :

1 5;6;7;8;9; 21;22;23;24;25; 37;38;39;40;41

2 4 10 20 26 36

3 3 11 19 27 35

4 2 12 18 28 34

51 13;14;15;16;17; 29;30;31;32;33


Pe care linie se afla 2009? Justificati! (Valcea, et. locala)

II.Probleme date la alte concursuri - Tema

1. Sa se calculeze suma tututror numerelor naturale care impartite la 2002 dau catul 7.

2. Determinati suma resturilor impartirilor a 100 de numere consecutive la 19, stiind ca

primul se imparte exact la 19.

3. Intr-o impartire de numere naturale nenule, deimpartitul este 33 ori mai mare decat

restul, impartitorul este dublul catului, iar restul este jumatete din cat.

a) Aflati deimpartitul, impartitorul, catul si restul.

b) Aratati ca deimpartitul se poate scrie ca produs de doua numere consecutive.

4. Cate numere naturale mai mici decat 4230 impartite la 38 dau restul 11?

5. Cate numere de trei cifre exista cu proprietatea ca impartite la un numar de doua cifre

dau restul 97?

6. Un numar de trei cifre are primele doua cifre identice, iar a treia cifra este 5. Acest

numar se imparte la un numar de o singura cifra si se obtine restul 8. Sa se gasesca deimartitul,

impartitorul si catul.

7. Aflati cel mai mare numar natural de trei cifre care impartit la cel mai mare numar

natural de doua cifre da cel mai mare rest.

8. La impartitrea cu rest a doua numere naturale, a caror suma nu depaseste 111, obtinem

catul 3 si restul 19. Deduceti toate valorile posibile pentru deimpartit si impartitor .

Principiul lui Dirichlet (principiul cutiei)

Daca in doua cutii se gasesc trei obiecte (sau mai multe), atunci exista o cutie care contine cel putin doua obiecte.

Sau

Fiind date n ,,cutii si n+1 obiecte, atunci exista o cutie care contine doua obiecte.

Aplicatii:

1.Se dau sapte numere naturale. Demonstrati ca printre numerele naturale date cel putin doua dau

acelasi rest la impartirea cu 6.

2.Sa se demonstreze ca printre oricare sase numere naturale exista doua numere a caror diferenta

este divizibila cu 5.

3.Intr-o padure de conifere cresc 600.000 de brazi. Fiecare brad are cel mult 500.000 de ace. Sa se

demonstreze ca exista 2 brazi cu acelasi numar de ace.


4.Intr-o clasa sunt 40 de elevi. Exista o luna a anului in care cel putin 4 elevi isi sarbatoresc ziua

de nastere?

5.Sa se arate ca din trei numere naturale se pot alege doua a caror suma si diferenta sa fie

divizibile cu 2.

Observatii:

1.Suma si diferenta a doua numere naturale au aceeasi paritate.

2.Numarul 123n si 1+2++n au aceeasi paritate.

6.Aratati ca din 2011 numere naturale, se pot alege doua a caror diferenta este divizibila cu 2010.

Generalizare: Aratati ca din n+1 numere naturale, se pot alege doua a caror diferenta este

divizibila cu n.

7. In 500 cutii se afla mere. Se stie ca in fiecare cutie se afla cel mult 240 mere. Sa se demonstreze

ca exista cel putin 3 cutii care au acelasi numar de mere.

8.Intr-o cutie sunt 10 creioane de culoare rosie, 8 de culoare albastra, 8 de culoare verde si 4 de

culoare galbena. Aleator(la intamplare) din cutie se extrag n creioane. Sa se determine numarul

minim de creioane care trebuie extras, astfel incat sa fie:

a)nu mai putin de 4 creioane de aceeasi culoare;

b)cate un creion de fiecare culoare.

9.La teza de matematica, dintr-o clasa de 30 de elevi, 22 de elevi au rezolvat prima problema, 23

de elevi au rezolvat-o pe a doua, 24 de elevi au rezolvat-o pe a treia si 25 de elevii au rezolvat-o

pe a patra. Sa se arate ca cel putin 4 elevi au rezolvat toate cele 4 probleme.

10.Intr-o scoala sunt 1099 de elevi. Aratati ca exista cel putin 4 elevi care isi serbeaza ziua de

nastere in aceeasi zi a anului.

11.Intr-o urna se afla mai multe bile care difera numai prin culoare. Daca sunt bile de 5 culori

diferite, care este numarul minim de bile pe care trebuie sa il extragem din urna, fara a privi

inauntru, pentru a fi sigur ca am scos doua bile de aceeasi culoare?

12.In 10 cutii se afla 84 de bile de 4 culori diferite. Stiind ca in fiecare cutie se afla bile de toate

culorile, aratati ca exista doua cutii cu acelasi numar de bile.

13.Se pot pune 209 bomboane in 20 de cutii astfel incat in fiecare cutie sa fie cel putin o

bomboana si sa nu existe doua cutii cu acelasi numar de bomboane?

14.Intr-un magazin s-au adus 25 de lazi de mere de trei calitati.In fiecare lada sunt numai mere de

aceeasi calitate. Se pot gasi totdeauna 9 lazi astfel incat toate cele 9 lazi sa contina mere de

aceeasi calitate?

15.Suma mai multor numere naturale distincte este 5051. Sa se arate ca cel putin unul dintre ele

este mai mare ca 100.


Tema:

1.a)Aratati ca din 733 de elevi ai unei scoli, cel putin 3 elevi s-au nascut in aceeasi zi a anului.

b)Aratai ca din 8 elevi, cel putin 2 s-au nascut in aceeasi zi a saptamanii.

2.Suma a 63 de numere naturale este 2005.

a)Demonstrati ca cel putin doua dintre ele sunt egale;

b)Daca din cele 63 de numere, 62 sunt egale, cate solutii are problema?

3.Aratati ca din 23 de numere naturale exista in totdeauna cel putin 3 numere care dau acelasi rest

la impartirea cu 11.

4.La olimpiada de matematica dintr-o scoala participa 60 de elevi. 40 au rezolvat prima problema,

40 a doua problema, 51 a treia si 54 a patra. Sa se arate ca exista cel putin 5 elevi care au obtinut

punctajul maxim.


TEOREMA IMPARIRII CU REST

31 octombrie 2010 Prof. Genoiu Leon

Daca d i sunt numere naturale,cu 0,atunci exist i sunt unice numerele naturale c i r,numite ct i respectiv rest,astfel nct d= c+r, r


17.Dac restul mpririi numrului a la b este a, restul mpririi numrului 2b la c este 2b, artai c c-2a >0. 18.Aflai cte numere de dou cifre dau restul 1 la mprirea cu 6 . 19.Aflai cte numere de trei cifre dau restul 8 la mprirea cu cu 13. 20.Aflai cte numere de patru cifre dau restul 3 la mprirea cu 16. 21.Aflai toate numerele naturale care mprite la 8 dau ctul egal cu restul. 22.Aflai toate numerele naturale care mprite la 9 dau restul de dou ori mai mic dect ctul. 23.Aflai toate numerele naturale care mprite la 7 dau restul mai mare cu 2 dect ctul. 24.Aflai toate numerele naturale de dou cifre care mprite la un numr natural format dintr-o singur cifr d restul 8. 25.Aflati cel mai mare numr natural de trei cifre care mprit la un numr natural de dou cifre d restul 97.

PRINCIPIUL CUTIEI (LUI DIRICHLET)

Prof. Genoiu Leon

Dac n n cutii se afl n+1 sau mai multe obiecte,atunci exist o cutie care conine cel puin dou obiecte. Probleme(cazul optim)

1.Este posibil s asezm 36 de bile in 8 cutii, astfel nct n fiecare cutie s fie cel puin o bil i s nu existe dou cutii cu acelai numr de bile? Dar 9 bile n 4 cutii? Dar 155 de bile n 10 cutii,astfel nct n fiecare cutie s fie cel puin 10 bile i s nu existe dou cutii cu acelai numr de bile? 2. a)Se poate scrie numrul 5049 ca sum a 100 de numere naturale nenule si distincte? b)Dar ca sum a 100 de numere naturale distincte? 3.Suma a 100 de numere naturale distincte i nenule este 5051. Aflai numerele. 4. n10 cutii se gsesc 84 de bile roii,galbene,albastre sau verzi. tiind c n fiecare cutie se afl bile de toate culorile, este posibil s nu existe dou cutii cu acelai numr de bile? 5.Suma a 2003 numere naturale,distincte este egal cu 2005003. Calculai produsul acestor numere.

Probleme(cazul cel mai nefavorabil)

6.ntr-o urna se afl mai multe bile care difer numai prin culoare.Dac sunt bile de 5 culori diferite, care este numrul minim de bile pe care trebuie s le extragem din urn, fr a privi nuntru, pentru a fi siguri c am scos dou bile de aceeai culoare? 7.ntr-o urn sunt 12 bile roii, 30 de bile albastre i 65 de bile galbene.Fr a ne uita n urn: i)Care este cel mai mic numr de bile , pe care trebuie s le extragem, pentru a fi siguri c am luat: a)cel puin o bil albastr?


b)cel puin o bila de fiecare culoare? c)cel puin trei bile de aceeai culoare? ii)Care este cel mai mare numr de bile pe care putem s le lum,pentru a fi siguri c au rmas: a)cel puin o bil albastr? b)cel puin cte o bil de fiecare culoare? c)cel puin dou bile de aceeai culoare? 8Artai c din 2010 numere naturale,oarecare,exist cel puin dou care prin imprire la 2009 dau acelai rest. 9.Artai c din patru numere naturale,oarecare exist cel puin dou a cror sum sau diferen se mparte exact la 5.

10.ntr-o coal sunt 1831 de elevi. Demonstrai c exist cel puin 6elevi care-i serbeaz ziua de natere n aceeai zi. 11. La olimpiada de matematic dintr-o coal,particip60 de elevi. 40 au rezolvat prima problem, 40 au rezolvat a doua problem,51 a treia i 54 a patra problem. S se arate c exist cel puin 5 elevi care au rezolvat cele patru probleme.

12.S se arate c oricum am alege apte ptrate perfecte distincte,exist cel puin dou a cror diferen se mparte exact la 10.

13.Se pot transporta 50 de buteni ,avnd masele de: 370kg,372kg,374kg,......,468kg, cu 7 camioane de cte 3 tone? Fiecare camion face un singur transport.

14.ntr-un magazin s-au adus 34 de lzi cu mere de trei caliti.n fiecare lad sunt numai mere de aceeai calitate. Se pot gsi totdeauna 12 lzi astfel nct toate aceste 12 lzi s conin mere de aceeai calitate?

15. Fie 100de numere naturale nenule i distincte, avnd suma 9998. Artai ca printre ele exist cel puin dou numere pare. 16. Suma a 63 numere naturale nenule este 2000. Sa se arate ca cel putin doua dintre acestea sunt egale.

Care este cel mai mare numar de numere egale cu proprietatea ceruta?


DIVIZIBILITATE IN N.

PROPRIETATILE RELATIEI DE DIVIZIBILITATE.

CRITERII DE DIVIZIBILITATE

Def. Numarul natural b divide numarul natural a daca exista un numar natural c astfel

incat a=bc.

Notam ba sau ab. Notam Da={xN xa}; citim multimea divizorilor lui a.

Notam Ma= {xN x a}; citim multimea multiplilor lui a.

Proprietatile relatiei de divizibilitate

1.aa, xN (reflexivitatea)

2.ab si baa=b (antisimetria)

3.ab si bcac (tranzitivitatea)

4.a1a=1

5.a0, aN

6.0aa=0

7.ab abc, cN

8.ab1 si ab2ab1+b2 si ab1-b2 (b1b2)

Generalizare: ab1, ab2,, abn ab1+b2++bn

9.ab si a cab+c 10.ab1 si ab2ab1c1+b2c2 c1, c2N

Generalizare: ab1, ab2,, abn ab1c1+b2c2++bncn, c1, c2 ,, cnN

11.abacbc cN

12. abbc si c0ab

13. a1b1 si a2b2a1a2b1b2 Generalizare: a1b1, a2b2,,anbn a1a2anb1b2bn.

Criterii de divizibilitate

1.Criteriul de divizibilitate cu 2. Un numar natural este divizibil cu 2 daca si numai

daca ultima sa cifra este para, adica: 0, 2, 4, 6, 8.

2. Criteriul de divizibilitate cu 3. Un numar natural este divizibil cu 3 daca si numai

daca suma cifrelor sale este divizibila cu 3.



daca ultimele doua cifre ale sale formeaza un numar care este divizibil cu 4.


daca ultima sa cifra este 0 sau 5.


daca suma cifrelor sale este divizibila cu 9.


daca ultima sa cifra este 0.

7. Criteriul de divizibilitate cu 10n, nN. Un numar natural este divizibil cu 10n daca si

numai daca ultimele n cifre ale sale sunt zerouri.


daca ultimele doua cifre ale sale sunt: 00, 25, 50, 75.


daca suma dintre cifra unitatilor, dublul cifrei zecilor si cifra sutelor marita de 4 ori, este

divizibila cu 8.(Exemplu: 512912 are 2+21+49=408). 10. Criteriul de divizibilitate cu 7, 11 si 13. Un numar natural este divizibil cu 7, cu 11 sau cu

13 daca si numai daca diferenta dintre cele doua numere naturale, obtinute din numarul dat prin

taierea lui in doua, astfel ca la dreapta sa ramana 3 cifre, se divide cu 7, cu 11 sau respectiv cu

13. (Exemplu: a) 4653 are 653-4 =649=115911;b)8645 are 645-8=637=7917; c)68068 are 68-68=0 si este divizibil atat cu 7, cat si cu 11 si 13).

11.Alt criteriu de divizibilitate cu 11. Un numar natural este divizibil cu 11 daca si numai daca

diferenta dintre suma cifrelor cu indice (rang) par si suma cifrelor cu indice (rang) impar din

numarul natural dat este divizibila cu 11. Daca N= 012n1nn a...aaaa , atunci 11N

11 ( a1+a3+a5+)-( a0+a2+a4+) sau 11( a0+a2+a4+)-( a1+a3+a5+). (Exemplu: 4653 este

divizibil cu 11, deoarece 11(4+5)-(6+3)). 12. Criteriul de divizibilitate cu 3, 7 si 19. Un numar natural este divizibil cu 3, cu 7 sau cu 19

daca si numai daca suma dintre numarul format din ultimele doua cifre marit de patru ori si

numarul format din celelalte cifre este divizibila cu 3, cu 7, respectiv cu 19. Daca

N= 012n1nn a...aaaa , atunci 19N19 22n1nn ...aaaa +4 01aa . (Exemplu: 107445 este

divizibil cu 19, deoarece 19(1074+445) adica 191966). 13. Criteriul de divizibilitate cu 27 si 37. Un numar natural este divizibil cu 27 sau 37 daca si

numai daca suma numerelor obtinute din numarul natural dat prin taierea acestuia in grupe de

trei cifre , incepand de la dreapta, se divide cu 27 sau 37. (Exemplu: a)141912 este divizibil cu

27, deoarece 27(141+912) adica 272739;b)352351 este divizibil cu 37, deoarece

37(352+351) adica 373719).


APLICATII

1.Sa se arate ca numarul A=2n+13n +2n3n+1+6n+1, nN* este divizibil cu 33.

2.Aratati ca numarul a=22n+19n7n+1+28n32n+1-4n32n7n este divizibil cu 4032, n N*.

3. Sa se arate ca numarul A=22n+352n+1 -1, nN,este divizibil cu 3, dar nu este divizibil cu 9.

4.Stabiliti daca numarul 123456740 se divide cu 9. 5.Aratati ca oricum am alege 7 numere naturale patrate perfecte, exista cel putin doua a caror

diferenta este un numar care se divide cu 10.

6.Sa se arate ca numarul a=61+6

2++6100 este divizibil cu 42. 7.Demonstrati ca numarul a=2

1+2

2++22004 se divide cu 63. 8.Sa se arate ca numarul n=9+9

2+9

3++91998 este divizibil cu 5 numere naturale impare consecutive.

9.Aratati ca N=213

+223

+233

+243++22003 este divizibil cu 103.

10.Sa se arate ca numerele de forma 73k+2113k+153k+539, cu k numar natural, se divide cu 1078.

11.Aratati ca numarul a=340

-240

se divide cu 5.

12.Sa se demonstreze ca numarul E= dcbaabcd se divide cu 11.

13.Demonstrati ca numerele ba0ab0b0aa0b sunt divizibile cu 211, oricare ar fi cifrele a si b.

14.Fie a si b numere naturale astfel incat 3a+4b se divide cu 7.Aratati ca 4a+3b se divide cu 7.

15.Aratati ca numarul A=(2n+1)(4n+1)(5n+3), cu n natural, se divide cu 3.

16.Sa se arate ca numerele naturale de forma abbab -2b sunt divizibile cu 7.

17.Stiind ca un numar natural prin impartirea la 95 da restul 71, sa se arate ca restul impartirii

numarului la 19 este divizibil cu 7.

18.Fie a,b,c N* si A=3a+4b+5c, iar B=2a+5b+8c. Daca A este divizibil cu 7, demonstrati ca si B este divizibil cu 7.

19.Fie A=x+5y+3z, B=3x+4y+z, x,y,zN*. Aratati ca daca A si B se divid cu 11 atunci z se divide cu 11.

20.Sa se arate ca pentru a,bN au loc implicatiile:

a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b) 21.Sa se arate ca numarul n=1988

100+1987

100-1986

50-1989

50 este divizibil cu 10.

22.Aratati ca numarul N=1231111 se divide cu 11110, dar nu se divide cu 11111. 23.Determinati x numar natural daca:


a)(2x+1) 15;

b)(x+1) (2x+5);

c)(2x+3) (4x+15);

d)(2x-3) (3x+9).

24.Aratati ca numarul orinori1norin

11...1433.3522...2

este divizibil cu numarul 100...0300...02ori1nori1n

.

25.Daca 20a-14b2+15c=0, cu a, b, c numere naturale, sa se arate ca 35b(a-c).

Tema:

1.Demonstrati ca numarul A=2n3n5n+2n15n14+3n10n2 se divide cu 17,oricare ar fi n numar

natural.

2.Aratati ca numarul a=5+52+5

3+..+5

33 este multiplu de 31.

3.Aratati ca 82008

-20088 este divizibil cu 10.

4. Determinati x numar natural daca:(2x+1) (5x+7). 5.Stabiliti daca numarul 1234567891011122001 este divizibil cu 9.

Fise_de_lucru_V

Documents

Transcript of Fise_de_lucru_V