Fise de lucru matematica clasa a V-a

Investeşte icircn oameni Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 ndash 2013 Axa prioritară 1 bdquoEducaţia şi formarea profesională icircn sprijinul creşterii economice şi socieţătii bazate pe cunoaştererdquo Domeniul major de intervenţie 11 bdquoAcces la educaţie şi formare profesională iniţială de calitate Titlul proiectului bdquoŞcoala viitoruluirdquo ndash Icircmpreună pentru o societate bazată pe cunoaştere rdquo Cod Contract POSDRU1711G20765 Beneficiar Inspectoratul Şcolar al Judeţului Vacirclcea

Numere prime Numere compuse

Determinarea numerelor prime in condiţii date Prof Cotoi Valerian

Scoala cu clasele I ndash VIII Teodor Balaselrsquorsquo

Stefanesti Valcea

Definiţie Se numeşte prim orice număr natural diferit de 1 care are ca

divizori numai pe 1 si pe el icircnsuşi

Divizori proprii Divizori improrii

Orice numar natural m are divizorii improprii 1 si m Orice alt divizor se

numeste divizor propriu

Exemplu Multimea divizorilor lui 6 este D = 1 2 3 6

1 si 6 se numesc divizori improrii ai lui 6 iar 2 si 3 se numesc divizori

proprii ai lui 6

Deci se numeşte număr prim orice număr natural diferit de 1 care admite

numai divizori improprii

Exemplu Numărul 2 se divide numai cu 1 si cu 2 adică numai cu 1 si cu el

icircnsuşi

Numărul 3 se divide de asemenea numai cu 1 si cu el icircnsuşi

Următoarele numere sunt prime

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 47

Orice număr natural care nu este prim se numeşte neprim

Numerele neprime diferite de 1 se numesc numere compuse

De exemplu numerele naturale 0 4 6 8 10 24 1470 sunt compuse

Cum recunoastem daca un numar natural este prim

Impartim numarul pe rand la toate numerele prime in ordine crescătoare

incepand cu 2 pana cand obtinem un cat mai mic ssau egal cu impartitorul Daca


numarul se divide cu unul din aceste numere prime este evident ca el nu este prim

Daca numarul considerat nu se divide cu nici unul din aceste numere prime atunci

el este numar prim

Exemplu numărul 137

137 nu se divide cu 2 cu 3 cu 5 Pentru a se vedea daca 137 se divide cu 7

facem impartirea lui 137 la 7 si obţinem catul 19 si restul 4 Deci 137 nu se

divide cu 7 Pentru a se vedea daca 137 se divide cu 11 facem impartirea lui

137 la 11 Obtinem catul 12 si restul 5 Deci 137 nu se divide cu 11

Deoarece catul (12) este mai mare decat impartitorul (11) continuam sa

facem impartiri Pentru a vedea daca 137 se divide cu 13 facem impartirea si

obtinem catul 10 si restul 7 Numarul 137 nu se divide cu 13 Am aratat ca

137 nu se divide cu nici un numar prim mai mic sau egal cu 13 Afirmam ca

el nu se divide nici cu numerele compuse mai mici decat 13 Intr-adevar

daca 137 nu se divide cu 2 el nu se divide nici cu urmatorii multiplii ai lui

24 6 8 10 12 iar daca 137 nu se divide cu 3 el nu se divide nici cu 6 9

12 Pana aici am aratat ca numarul 137 nu se divide cu nici un numar

natural diferit de 1 mai mic sau egal cu 13 Este oare posibil ca 137 sa se

divida cu un numar natural c mai mare decat 13

Acest lucru nu este posibil caci daca 137 se divide cu un numar c mai mare

dacat 13 atunci el se divide si cu catul impartirii lui 137 la numarul natural

c acest cat este un numar mai mic decat 13 Or am aratat ca 137 nu se

divide cu nici un numar natural diferit de 1 mai mic sau egal cu 13

In concluzie numarul 137 nu se divide cu nici un numar natural diferit de

1 mai mic sau egal cu 13 nici cu un numar natural mai mare decat 13 El

este deci numar prim

Ciurul lui Eratostate

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Numerele prime mai mici dacat o 100

Cum identificăm un număr prim

Dacă un număr

este par nu este prim pentru că este divizibil cu 2

are suma cifrelor multiplu de 3 nu este prim deoarece este divizibil cu

3

are ultima cifră 0 sau 5 nu este prim deoarece este divizibil cu 5

Metoda

se verifică dacă numărul respectiv este divizibil cu 2 3 sau cu 5

Daca este divizibil cu unul dintre aceste numere icircnseamnă ca numărul este compus

si te opreşti Nu continui impartirile Daca nu este divizibil cu nici unul dintre

aceste numere se continuă prin icircmpărţiri cu numere prime consecutive icircn ordine

de la numărul prim 7 spre cel mai mare(din ciurul lui Eratostene) Dacă la una din

icircmpărţiri se obţine restul zero te opreşti icircnseamnă că este divizibil cu acel număr

şi deci nu este prim ci compus Dacă obţii de fiecare dată restul diferit de zero


atunci icircmpărţirile continuă pacircnă cacircnd la o icircmpărţire obţii cacirctul egal cu impartitorul

si restul diferit de zero(te opresti) sau catul mai mic decacirct icircmpărţitorul şi restul

diferit de zero Icircn această situaţie numărul este prim

Exemple

848 nu este prim deoarece este par

1251 nu este prim deoarece 1 + 2 + 5 + 1 = 9 3 9 şi deci 3 1251

375 nu este prim deoarece este divizibil cu 5

Să verificăm numărul 2807

- nu este par nu este divizibil cu 2

- 2 + 8 + 7 = 17 17 nu este divizibil cu 3 deci nu este divizibil cu 3

- ultima cifră nu este nici 0 nici 5 nu este divizibil cu 5

- 2807 = 7 middot 401 restul este 0 deci numărul este divizibil cu 7 Ne oprim

numărul nu este prim este compus

- Să verificăm numărul 1549


- 1 + 5 + 4 + 9 = 19 3 nu divide 19 3 nu divide 1549

- Ultima cifră nu este nici 0 şi nici 5 nu este divizibil cu 5

- continuăm prin icircmpărţiri succesive

1549 7 1549 = 7 middot 221 + 2 1549 11

14 221 2 = 0 11 140

= 14 221 gt 7 =44 1549 = 11middot 140 + 9

14 44 9 = 0

= =9 nu putem spune = = 9 140 gt 11

7 că este prim 0 nu putem spune că este

2 nici compus 9 prim nici compus


1549 13 1549 17

13 119 153 91

=24 1549 = 13 middot 119 + 2 = =19 1549 = 17∙ 91 + 2

13 2 = 0 17 2 = 0

119 119 gt 13 = 2 91 gt 17

117

= =2 nu putem spune

că este prim nici compus nu putem spune că este

prim nici compus

1549 19 1549 23

152 81 138 67

= =29 1549 = 19∙ 81 + 10 =169 1549 = 23 middot 67 + 8

19 10 = 0 161 8 = 0

10 81 gt 19 = =8 67 gt 23

nu putem spune că este prim nu putem spune că este

nici compus prim

nici compus

1549 29 1549 31

145 53 124 49

= =99 1549 = 29 middot 53 + 18 =309 1549 = 31middot 49 + 30

81 18 = 0 279 30 = 0

18 53 gt 29 30 49 gt 31

nu putem spune că este

nu putem spune că este prim prim nici compus

nici compus


1549 37 1549 41

148 41 123 37

= =69 1549 = 37 middot 41 + 32 = 319

37 32 = 0 287 1549 = 41∙ 37 + 32

32 41 gt 37 =32 32 = 0

37 lt 41

nu putem spune că este prim

nici compus Da acum putem

spune că 1549

este număr prim

am obţinut cacirctul mai mic

decacirct icircmpărţitorul şi restul

diferit de 0

Pentru a şti ( mai exact) unde ne oprim cu icircmpărţirile procedăm icircn felul

următor

Căutăm primul pătrat perfect cu rădăcina număr prim mai mare decacirct 1549

Observăm că 1549 = 39sup2 + 28 Primul pătrat perfect cu rădăcina număr prim

este 1681( cu rădăcina numărul prim 41) Icircnseamnă că ultima icircmpărţire trebuie să

se oprească la icircmpărţirea cu 41

Icircn general

Dacă după ce găseşti primul pătrat perfect cu rădăcina număr prim mai

mare decacirct numărul dat numerele prime mai mici decacirct acest număr nu divid acel

număr atunci putem spune că numărul este prim Dacă unul dintre aceste numere

prime mai mici decacirct pătratul perfect cu rădăcina număr prim divide numărul

atunci numărul este compus


Exemple

529 este prim sau este compus

Primul pătrat perfect cu rădăcina număr prim este 841 care are rădăcina 29

0bservăm că 529 este divizibil cu 23(primul număr prim mai mic decacirct 29) şi

deci nu este prim


Primul pătrat perfect mai mare decacirct 317 şi care are rădăcina număr prim este

361 cu rădăcina numărul prim 19 Icircnseamnă că dacă este număr prim

icircmpărţirea trebuie să se oprească la icircmpărţirea cu 19 Se verifică dacă numărul este

divizibil cu numerele prime mai mici decacirct 19 fie icircn sens invers fie cum am

demonstrat mai sus

PITAGORA PRINTRE NUMERE PRIME SI DIVIZIBILITATE

Am sa incep povestea mea cu un citat al lui Emerson in eseul ldquo

Despre prietenierdquo unde acesta spune ca hellipsingura cale ca sa ai un prieten este

ca tu insuti sa fii unul

Este foarte greu sa-ti gasesti un prieten dar este si mai greu de crezut

ca nu numai oamenii isi pot gasi prieteni ci si numerele De aceea am sa va spun o

poveste despre numerele prietene

Ca sa-si asigure protectia unui senior ce-l dusmanea un cavaler a

trimis acestuia un dar foarte curios fiindca l-a potrivit in asa fel ca sa cuprinda

exact 220 de bucati Anume saci de grau de poame uscate vase de vin de ulei oi

porci si la acestea a adaugat o punga de bani atatia la numar cat mai era nevoie ca

impreuna cu numarul celorlalte bunuri sa ajunga la 220


Separat intr-o punga de piele cavalarelul i-a trimis seniorului un

medalion pe care era incrustat numarul 284

Seniorul nestiind ce semnificatie sa dea neobisnuitului cadou s-a dus

sa se lamureasca la cel mai mare matematician de atunci Pitagora

Pitagora si-a dat seama imediat ca aceasta problema poate fi rezolvata

cu ajutorul numerelor prime si a incercat sa-i explice seniorului de unde ar trebui

sa inceapa cu rezolvarea problemei El a inceput sa explice astfel

Numim numar prim orice numar natural mai mare decat 1care are

numai divizori impropriiNumerele prime sunt235711131719232931

ObsSingurul nrprim si par este 2

Pentru a afla daca un numar este prim sau nuil descompunem in

factori primiadica il impartim la toate numerele prime cu care este divizibilDaca

este divizibil doar cu 1 si cu el insusiatunci numarul este prim

Dupa aceste mici explicatii Pitagora il ruga pe senior sa imparta cele

doua numere in factori primi

Atunci seniorul nota pe hartie

220 = 2 x 2 x 5 x 11

284 = 2 x 2 x 71

Dar exista o deosebire intre factorii primi ai unui numar si divizorii

lui divizorii unui numar nu sunt numai factorii lui primi ci si produsele formate de

acestia

Daca reluam calculul adaugand si pe 1 (unu) printre factorii primi se

poate constata ca prin adunarea partilor lui 220 se obtine 284

2 x 2 = 4

2 x 5 = 10

2 x 11 = 22

5 x 11 = 55

2 x 2 x 5 = 20


2 x 2 x 11 = 44

2 x 5 x 11 = 110

Deci 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Daca il luam pe 284 descompus in factori primi obtinem 2 x 2 x 71

2 x 2 = 4

2 x 71 = 142

Deci 1 + 2 +4+ 71 + 142 = 220

Seniorul pleca multumit de explicatia data de marele Pitagora si astfel reusi sa

inteleaga mesajul cavalerului

Raspandindu-se vorba prin tinut despre intelepciunea lui Pitagora

intr-o dimineata acesta se trezi cu un nou musafir care incerca sa il puna in

incurcatura pe marele invatat Astfel Pitagora trebui sa rezolve o noua problema

care se pezenta astfel

- Un copil este de doua ori mai varstnic decat sora lui Ea are de trei

ori mai multe cirese decat are el alune Daca inmultim numarul ce

reprezinta varsta copilului cu numarul cireselor obtinem 510 Ce

varsta are sora copilului si cate alune are el

Pitagora se gandi un pic si isi dadu seama ca are de a face din

nou cu numerele prime Astfel daca descompunem in factori primi numarul 510

obtinem 2 x 3 x 5 x 17 Varsta frateleui trebuie sa fie compusa din doi dintre

acesti factori Cum este dublul varstei sorei unul din numere neaparat este 2

Numarul cireselor trebuie sa fie un multiplu de 3 Raman doi

factori primi 5 si 17 Dar varsta fratelui nu poate fi 2 x 17 = 34 pentru ca este

inca un copil Atunci putem spune ca are 2 x 5 = 10 ani iar surioara lui are 10 ndash 5

= 5 ani


Numarul cireselor va fi de 3 x 17 = 51 iar cel al alunelor este 17

Dar Pitagora il provoca pe musafirul sau sa rezolve si el o

problema destul de simpla iar acesta accepta Problema spunea cam asa ceva

Care sunt nr prime de 2 cifreavand produsul cifrelor 6

Rezolvare

ab=a este numar natural nenul si axb=6

=gtab sunt divizori ai lui 6

D6=1236

a=1b=6=gtab=16 si nu este nr prim

a=2b=3=gtab=23 si este prim

a=3b=2=gtab=32 si nu este prim


ab=2361

Pitagora spuse o alta problema crezand ca isi va pune musafirul in mare

incurcatura dar acesta o rezolva pe loc astfel

Care este numarul divizorilor naturali ai numarului

p=2x3x5

Rezolvare

Nr divizorilor este

(3+1)(1+1)(2+1)=4x2x3=24

In timp ce Pitagora cu musafirul sau se delectau rezolvand probleme la usa

lui Pitagora aparu un tanar care avea o problema cu mostenirea lasata de tatal sau

La inceput Pitagora nu a vrut sa il ajute dar mai tarziu ascultandu-i problema mai

pe indelete se invoi sa ii dea o mana de ajutor Iata cum se prezenta problema

Un negustor grec avea trei fii Dupa moartea sa el lasa mostenire

celor trei copii ai lui 19 camileDar el le-a spus copiilor sa le imparta in felul

urmator fiul cel mare sa ia jumatate din numarul camilelor cel mijlociu 14 din

toate camilele iar cel mai mic 15 din numarul lor


Dupa moartea tatalui lor cei trei feciori au incercat sa imparta intre ei

camilele asa cum lasase cu limba de moarte parintele lor Dar neizbutind sa faca

imparteala au cerut sfatul invatatului Pitagora Astfel ca Pitagora se duse impreuna

cu tanarul in grajd si ii dadu acestuia o camila spunandu-i ca acum daca va merge

acasa va putea rezolva problema mostenirii fara nici o dificultate Tanarul se duse

acasa putin nedumerit dar cand ajunse acasa isi dadu seama ca acum avea 20 de

camile si totul se putea rezolva mai usor

Feciorii facura urmatoarele impartiri

20 2 = 10

20 4 = 5

20 5 = 4

10 + 5 + 4 = 19 camile

Dupa impartirea facuta cei trei feciori au observat ca au o camila in plus

Bineanteles ca aceasta era camila marelui invatat Pitagora asa ca se duse toti trei si

o duse acestuia inapoi multumindu-i pentru ajutorul dat

Exercitiu rezolvat

Determinati numerele naturale prime a b c astfel incat a+ 6b+ 2c= 46

Solutie

primnr a

2 a 2 2c 2 6b 2 56 a= 2

Inlocuind in egalitate se obtine

2+ 6b+ 2c= 46 2

1+ 3b+ c= 23 -1

3b+ c= 22 3b si c au aceeasi paritate

Daca b= 2 obtinem 6+ c= 22-6 c= 16 (nu convine deoarece 16 nu este numar

prim)

Daca b= 3 obtinem 9+ c= 22-9c= 13


Daca b= 7 obtinem 21+ c= 22-21c=1 (nu convine 1 nu este numar prim)

Deci (abc)(2313) (257)


FISA DE LUCRU

NUMERE PRIME SI COMPUSE

1 Se considera sirul de numere naturale 0 41 12 26 302 1600 2703 5025 1586 750

6400 418

Precizati care numere din sirul de mai sus sunt divizibile cu234591025100

2 Determinati numerele naturale de forma 4 1x y divizibile cu 15

3 Fie multimile

A= 2 11x x x si 3x

B= 14y y y si 6y

Determinati A B A B A B

4 Stabiliti care din urmatoarele numere sunt prime si care sunt compuse 73 121 283 si 423

5

a) Suma a doua numere prime este 99 Aflati numerele

b) Suma dintre un numar natural par si un numar prim este 2010 Aflati numerele

c) Diferenta dintre un numar natural impar si un numar prim este 103 Aflati numerele

6 Alegeti raspunsul corect

a) Daca produsul dintre un numar prim si un numar impar este 54 atunci numerele sunt

A 1 si 54 B 2 si 27 C 3 si 18 D 6 si 9

b) Daca numerele prime a si b altb verifica relatia 5a+4b=38 atunci b este

A 3 B 5 C 7 D 11

7

a) Determinati numerele prime a b c care verifica relatia a+2b+4c=30

b) Determinati numerele prime a b c care verifica relatia 3a+4b+2c=48

8

a) Aflati numarul natural n astfel incat n n+2 n+4 sa fie numere prime

b) Aflati numarul natural n stiind ca n+5 n+9 n+11 n+21 n+29 sunt simultan numere

prime


9 Sa se determine numerele prime a b ccare indeplinesc simultan relatiile a+b+c=2008 si

b+c=759

EXERCITII PROPUSE CA TEMA

1Suma dintre un număr prim şi un număr impar este 371 Aflaţi numerele

2 Stabiliţi dacǎ numǎrul 413 este prim sau compus

3 Aflaţi numerele naturale a b şi c ştiind că a este număr prim

a +b + c = 61 şi b = 25+c

4 Aflaţi numerele naturale prime a b c care verifică egalitatea

a + 2b + 10c = 82

5 Aflaţi dacǎ existǎ abcd prime astfel icircncacirct 3a+5(3b+7c)=330ndash45d

6 Arǎtaţi cǎ numǎrul y=235711131719232931ndash169 nu este prim

7 Să se determine numerele prime a b c care satisfac relaţia 10a+5b+2c=75

8 Un segment [AB] are lungimea de 3280 cm El este icircmpărtit icircn segmente

disjuncte necongruente de lungime cm fiecare

Numărul segmentelor icircn care este icircmpărtit [AB] este

a) 6 b) 9 c) 8 d) 7

Rezolvare

Trecem numărul 3280 din baza 10 icircn baza 3

Avem = Trecacircnd apoi din baza 3 icircn baza 10

obtinem = + + + + + + + adică

3280 = + + + + + + +

Segmentele vor avea lungimile de cm cm cm cm cm

cm 3cm si =1 cm Deci vom avea 8 segmente


Metoda comparaţieiMetoda graficăMetoda reducerii la unitateMetoda

figurativă

Prof BADEA CĂTĂLIN

Metoda comparaţiei

Pentru rezolvarea problemelor prin această metodă parcurgem etapele

-stabilim simbolurile problemei

-comparăm cele 2 cazuri

-eliminăm una din necunoscute

-se determină cealaltă necunoscută

-icircnlocuim icircn una din situaţiile iniţiale

Avem două tipuri de probleme

a)eliminarea unei necunoscute prin scădere

1Se ştie că 4 cărţi şi 5 caiete costă 42000 leiiar12 cărţi şi 7 caiete costă 110000 lei Cacirct

costă o carte şi cacirct costă un caiet

2Cinci sărituri ale unui ogar şi 7 sărituri ale unei vulpi măsoară icircmpreună 17mDouă sărituri

ale unui ogar şi 5 sărituri ale unei vulpi măsoară icircmpreună 9mCe distanţă parcurge fiecare după

30 de sărituri

3Cacircnd un sfert din numărul băieţilor din clasa a- IV-a A pleacă icircn curtea şcolii icircn clasă rămacircn

24 de elevi Cacircnd un sfert din numărul din numărul fetelor pleacă din clasă icircn clasă rămacircn 25 de

elevi Cacircţi elevi sunt icircn clasa a-IV-a A

47 echere4 compasuri şi 5 raportoare costă 67 lei 4 echere7 compasuri şi 6 raportoare costă

65 lei iar 1 echer1 compas şi 15 raportoare costă 68 lei Cacirct costă 1echer1 compas şi 1

raportor

b) eliminarea unei necunoscute prin icircnlocuire

1 3 kg de banane costă atacirct cacirct 5 kg de portocale Pentru Crăciun s-au cumpărat 30 kg de

banane şi 45 kg de portocale şi s-au plătit 34200 lei Care este preţul unui kg de banane

şi care este preţul unui kg de portocale

2 Patru mere cacircntăresc cacirct 5 pere3 pere cacircntăresc cacirct 7 piersici iar 5 piersici cacircntăresc cacirct

8 nuci Dacă pe un taler al unei balanţe aşezăm 3 mere cacircte nuci trebuie să aşezăm pe

celălalt taler pentru ca balanţa să fie icircn echilibru


Metoda grafică

Reprezentarea datelor problemelor se face de regulă prin segmente de dreaptă care vor fi

luate ca părţi Avem mai multe tipuri de probleme

a)cacircnd se cunosc suma şi diferenţa

1Suma a trei numere este 340Suma primelor două este mai mare decacirct suma ultimelor două

cu 80iar al doilea număr este cu 50 mai mare decacirct al treilea Să se afle cele trei numere

2Suma a două numere este 168 Aşezacircndu-i unuia din ele cifra 1 icircn faţă obţinem un număr

egal cu celălalt Să se afle cele două numere

b) cacircnd se cunosc suma şi raportul

1Suma a trei numere naturale este123Al doilea număr este cu 2 mai mare decacirct triplul primului

număr iar al treilea este jumătate din suma celorlalte două numere Să se afle numerele

2Suma a două numere naturale este de forma a3 Să se afle cele două numere ştiind că unul din

ele este de 3 ori mai mare decacirct celălalt

3Să se afle trei numere ştiind că produsul primelor două este 21produsul ultimelor două este

84iar suma dintre primul şi ultimul este 15

c)cacircnd se cunosc diferenţa şi raportul

1Vacircrsta unei fete este icircn prezent cu 21 de ani mai mică decacirct vacircrsta mamei sale Peste 9 ani

vacircrsta mamei va fi de 2 ori mai mare decacirct vacircrsta fiicei sale Aflaţi vacircrsta pe care o are fiecare icircn

prezent

2Icircmpărţind un număr la celălalt obţinem cacirctul 3 şi restul 5iar diferenţa lor este 21Să se afle

cele două numere

d) cacircnd cunoaştem raportul lor iniţial şi apoi raportul după unele modificări

1Icircntr-o fructieră sunt de 3 ori mai multe prune decacirct mere La masă sunt 5 persoane şi fiecare din

ele icircşi ia pe farfurioară cacircte un măr şi cacircte o prună Rămacircn icircn fructieră de 5 ori mai multe prune decacirct

mere Cacircte mere şi cacircte prune erau iniţial

2 Icircmpărţind un număr la altul obţinem cacirctul 4 şi restul 3 Icircmpărţind primul număr mărit cu 2 la

al doilea număr micşorat cu 2 obţinem cacirctul 5 şi restul 5

e) cacircnd cunoaştem fracţii dintr-un icircntreg

1Un tată icircşi icircmparte moştenirea celor 4 fii icircn felul următor

primul ia jumătate din avere minus 3000 de galbeni

al doilea ia o treime minus 1000de galbeni

al treilea ia exact o pătrime din avere

al patrulea ia 600 livre şi o cincime din avere

Cacirct era icircntreaga avere şi care a fost partea fiecăruia


2Un biciclist a parcurs 9

4 dintr-un drum şi icircşi dă seama că mai are de mers cu 3 km mai puţin

decacirct 4

1 din rest pentru a ajunge la jumătatea drumului Ce lungime are drumul

Metoda figurativă

Ca şi metoda grafică aceasta constă icircn reprezentarea prin desen a mărimilor necunoscute şi fixarea

icircn desen a relaţiilor dintre ele Figurarea este mai sugestivă deoarece folosim simboluri

1Dacă elevii unei clase se aşează cacircte 2 icircntr-o bancă rămacircn 3 elevi icircn picioare dacă se aşează

cacircte 3 elevi icircntr-o bancă rămacircn 3 bănci goale şi una ocupată de un elev Cacircte bănci şi cacircţi elevi sunt icircn

clasă

2La un concurs au participat băieţi şi fete Numărul fetelor a fost cacirct jumătate plus unu din

numărul băieţilor După o probă au fost eliminaţi 4 băieţi şi 7 fete rămacircnacircnd astfel de 3 ori mai mulţi

băieţi decacirct fete Cacircţi băieţi şi cacircte fete au fost iniţial

3 Icircntr-un coş sunt de 3 ori mai multe mere decacirct pere Cele 4 persoane de la masă mănacircncă

cacircte un măr şi cacircte o pară Icircn coş rămacircn de patru ori mai multe mere decacirct pere Cacircte

mere şi cacircte pere erau iniţial icircn coş

Metoda reducerii la unitate

Această metodă se poate sintetiza prin regula pentru a şti valoarea mai multor unităţi trebuie să

determinăm valoarea unei singure unităţi şi invers

Cele două mărimi prezente icircn probleme pot fi icircn relaţie de

-direct proporţionalitate adică dacă una din ele se măreşte(se micşorează) de un anumit număr

de ori atunci şi cealaltă se măreşte(se micşorează) de acelaşi număr de ori

-invers proporţionalitate adică dacă una din ele se măreşte(se micşorează) de un anumit număr

de ori atunci cealaltă se micşorează(se măreşte) de acelaşi număr de ori

Mărimile sunt direct proporţionale

1Icircn 7 ore un biciclist parcurge 105 km iar un automobilist parcurge icircn 3 ore 195 km Cu

cacircţi km parcurge mai mult automobilistul icircn patru ore decacirct biciclistul icircn 9 ore

2 Inima unui om bate de aproximativ 140 de ori icircn 2 minute De cacircte ori bate icircntr-o oră


Mărimile sunt invers proporţionale

1Dacă un elev ar lucra suplimentar cacircte 5 probleme pe zi ar termina de rezolvat problemele

dintr-o culegere icircn 18 zile Icircn cacircte zile ar termina lucracircnd cacircte 6 probleme pe zi

2 Pentru a termina o lucrare icircn 7 zile sunt necesari 12 muncitori Cacircţi muncitori sunt

necesari pentru a termina o lucrare icircn 4 zile

Regula de trei compusă

1Prin 3 robinete deschise timp de 4 zile cacircte 7 ore pe zi curg 30240 litri de apă

Icircn cacircte zile prin 4 robinete cu acelaşi debit deschise cacircte 3 ore pe zi curg cacircte 21600 litri de

apă

2O lucrare poate fi executată icircn 20 de zile de către 15 muncitori Deoarece după 8 zile de

lucru unii dintre aceşti muncitori pleacă pe alt şantier lucrarea se termină după alte 30 zile

Cacircţi muncitori au plecat pe alt şantier

3 Icircn 12 zile o echipă de muncitori ar efectua 5

2 dintr-o lucrare iar alta

9

4 din rest

Icircn cacircte zile lucracircnd icircmpreună ar termina lucrarea cele două echipe


Tema 2-clasa a V-a- excelenţă Metoda falsei ipoteze Metoda mersului invers Probleme de

mişcare

Prof Badea Delia Şc bdquoTake Ionescurdquo Rm Vacirclcea

1 Metoda falsei ipoteze

Metoda falsei ipoteze are la bază o presupunere o ipoteză Ea solicită introducerea unor date

ipotetice şi confruntarea situaţiei obţinute astfel cu situaţia reală Icircntacircmplător ele pot coincide Icircn

alte cazuri ele nu coincid dar concluziile deduse din această confruntare ne coordonează

căutările

Avem probleme -cu 2 mărimi ce solicită o singură ipoteză

-cu mai multe mărimi ce solicită mai multe ipoteze succesive sau gruparea elementelor din

diferite mulţimi pentru a elimina din mărimi

1 Adrian are suma de 435 lei icircn bancnote de 5 lei şi 10 lei Ştiind că sunt icircn total 50 de

bancnote să se afle cacircte bancnote de fiecare fel are Adrian 2 300 de grinzi unele de brad şi unele de stejar cacircntăresc icircmpreună 10524 kg O grindă de brad cacircntăreşte 28 kg iar una de stejar 46 kg Cacircte grinzi de fiecare fel sunt 3 Un ţăran are găini şi oi icircn total 77 capete şi 184 picioare Cacircte găini şi cacircte oi are ţăranul 4 Icircntr-un bloc sunt apartamente cu 2 şi 3 camere icircn total 44 apartamente cu 99 de camere Cacircte apartamente sunt de fiecare fel 5 Cantitatea de 102 l de vin se toarnă icircn 39 vase de 1l 5l şi 10l Să se afle cacircte vase sunt de fiecare fel ştiind că numărul vaselor de 1l este de 3 ori mai mare decacirct al vaselor de 5l 6 La o librărie s-au adus 31 de truse cu 23 şi 4 creioane icircn total 105 creioane Ştiind că numărul truselor de 4 creioane este de trei ori mai mare decacirct al celor cu două creioane aflaţi numărul truselor de fiecare fel


7 Cristian a cumpărat cu 281 lei 15 caiete de trei feluri de 10 lei de 15 lei şi de 47 de lei Cacircte caiete de fiecare fel a cumpărat ştiind că cele de 10 lei erau de 2 ori mai multe decacirct cele de 15 lei 8 La o fermă sunt vaci oi găini şi raţe icircn total 3623 de capete şi 12096 de picioare Ştiind că oi sunt de 4 ori mai multe decacirct vaci iar numărul găinilor este cu 2 mai mic decacirct triplul numerelor de raţe să se afle cacircte vaci oi găini şi raţe are ferma 9 S-a amestecat o cantitate de bomboane de 36 lei pe kg cu o altă cantitate de bomboane de 24 de lei pe kg Cantitatea astfel obţinută s-a vacircndut cu 27 de lei pe kg Ce cantitate s-a luat din fiecare calitate dacă din bomboanele de prima calitate s-au luat mai puţin cu 48 kg decacirct din cele de-a doua calitate 10Dacă icircntr-o sală de clasă se aşează cacircte 3 elevi icircntr-o bancă rămacircn 5 bănci libere iar dacă se aşează cacircte 2 rămacircn 5 elevi icircn picioare Cacircţi elevi şi cacircte bănci sunt icircn sală

11 Icircntr-o sală intră mai mulţi elevi Dacă se aşează cacircte 2 icircn bancă rămacircn 9 elevi icircn picioare iar

dacă se aşează cacircte 3 icircntr-o bancă rămacircn 7 bănci neocupate şi una ocupată cu un singur elev

Cacircte bănci şi cacircţi elevi sunt

2Metoda mersului invers

Metoda mersului invers se foloseşte icircn anumite probleme icircn care elementul necunoscut apare la icircnceputul şirului de relaţii dat icircn enunţ Se urmăreşte enunţul de la sfacircrşit la icircnceput mergacircnd invers icircn fiecare etapă a metodei se efectuează operaţia inversă celei din enunţ 1M-am gacircndit la un număr l-am icircmpărţit la 4la rezultat am adunat 8 iar din suma obţinută icircnjumătăţită am scăzut 5 şi apoi am icircnmulţit cu 2 obţinacircnd 18 La ce număr m-am gacircndit 2Aflaţi numărul natural bdquoardquo din ecuaţia 5+55+5(a-5)]5-5=10 3Un vacircnzător vinde pepeni la 3 cumpărători Primului icirci vinde o jumătate din cantitate celui de-al doilea o treime din ce icirci rămăsese iar celui de-al treilea o cincime din noul rest Cacircţi pepeni a avut iniţial vacircnzătorul dacă i-au mai rămas 16 pepeni

4Un gospodar vinde cireşe la trei cumpărători Primului icirci vinde jumătate din cantitate şi icircncă o

jumătate de kg celui de al doilea jumătate din cantitatea rămasă şi icircncă o jumătate de kg iar

celui de al treilea jumătate din cantitatea rămasă după plecarea celui de al doilea şi icircncă o

jumătate de kg Ştiind că după plecarea celui de al treilea cumpărător au mai rămas 3 kg de

cireşe se cere să se afle cacircte kg de cireşe a avut producătorul şi ce cantitate a cumpărat fiecare

dintre cei trei cumpărători

5Dintr-un coş cu mere se ia jumătate din numărul merelor şi icircncă un măr apoi două treimi din

numărul merelor rămase şi icircncă două mere apoi trei pătrimi din rest şi icircncă trei mere După ce se

mai ia jumătate din numărul merelor rămase şi icircncă 5 mere se constată că au mai rămas icircn coş 4

mere Cacircte mere au fost icircn coş şi cacircte mere s-au luat de fiecare dată

6Icircn vacanţa de vară o grupă de elevi a organizat o excursie de 3 zile cu biciclete Icircn prima zi au

mers 13 din distanţa totală fără 2 km A doua zi au mers jumătate din distanţa rămasă fără 3


km iar icircn a treia zi 89 din distanţa rămasă după a doua zi şi icircncă 6 km Cacircţi kilometrii au mers

elevii icircn cele trei zile

7Avem două vase A şi B cu apă Turnăm a treia parte din A icircn B Apoi turnăm a treia parte din

B icircn A şi apoi constatăm că icircn fiecare vas se afla 36 litri apă Cacircţi litri de apă erau iniţial icircn

fiecare vas

8 Avem trei vase cu apă Jumătate din apa din primul vas o distribuim icircn mod egal icircn celelalte

două vase Apoi jumătate din apa ce se află acum icircn al doilea vas o vărsăm icircn mod egal icircn

primul şi respectiv al treilea vas Icircn sfacircrşit turnăm jumătate din apa ce se află icircn al treilea vas icircn

mod egal icircn primul şi respectiv al doilea vas

După aceste operaţii constatăm că icircn primul vas se află 60l icircn al doilea 36l iar icircn al treilea se află

40lCe cantitate de apă era iniţial icircn fiecare vas 3Probleme de mişcare Formulele de bază ale acestui tip de probleme sunt d=vt v=dt t=dv unde d=distanţa lungimea drumului pe care se deplasează mobilul v=viteza cu care se deplasează t= timpul icircn care se face deplasarea Probleme de aflare a uneia din cele trei mărimi 1Un tren cu lungimea de 35 decametri intră pe podul de la Cernavodă cu viteza de 600 de metri pe minut După 7 minute iese de pe pod Ce lungime are podul 2Sunetul parcurge icircn 3 minute 612 hm Care este viteza sunetului icircn metri pe secundă 3 Un elev se deplasează cu viteza medie de 82mminIcircn cacirct timp străbate o distanţă de 41 dam 4O veveriţă aduce o alună icircn vizuină icircn 4 minute Care este distanţa de la alun la vizuină dacă fuge fără alune cu 6ms iar cu alune cu 3ms Probleme de icircntacirclnire 5Doi biciclişti pleacă din A spre B unul icircn icircntacircmpinarea celuilalt primul cu viteza medie de 20kmh şi celălalt cu 29 kmh Ştiind că distanţa dintre A şi B este de 98 km aflaţi a)după cacirct timp se icircntacirclnesc b)ce distanţă este icircntre ei după o oră de la plecare 6Un automobilist pleacă din RmVacirclcea spre Botoşani cu o viteză medie de 64kmh iar simultan din Botoşani spre Rm Vacirclcea pleacă un autocar cu viteza medie de 77kmh Se icircntacirclnesc după 4 ore de la plecare a) Care este distanţa dintre cele două oraşe b)Ce distanţă se află icircntre ele după 3 ore de la plecare c)Dar după 5 ore d)Ce distanţa mai are fiecare de parcurs pacircnă la destinaţie după 6 ore de mers 7Distanţa de la Arad la Bucureşti este de 547 km Din Arad pleacă spre Bucureşti la ora 12 un autobuz iar din Bucureşti pleacă spre Arad la ora 16 un autocar care are viteza cu 19 kmh mai mare decacirct a


autobuzului Cele două autovehicule se icircntacirclnesc la ora 19 Cacircţi kilometri a parcurs fiecare pacircnă la momentul icircntacirclnirii Probleme de urmărire 8La ora 7 din A spre B pleacă un motociclist cu viteza de 52kmh La ora 9 pleacă din A spre B un automobilist cu viteza medie de 78kmh a)La ce oră icircl ajunge din urmă b)Care este distanţa dintre A şi B dacă plecacircnd la ora 10 automobilistul l-ar fi ajuns din urmă chiar icircn B 9Doi biciclişti parcurg o pistă circulară pornind din acelaşi loc şi icircn acelaşi sens Unul rulează cu 15ms şi altul cu 20msŞtiind că unul trece pe lacircngă celălalt icircntr-un minut şi 24 secunde să se afle a)lungimea pistei b)de cacircte ori icircnconjoară fiecare pista pacircnă icircn momentul icircntacirclnirii 10 Viteza unui păstrăv este de 20kmh El icircnoată 72km de la A la B icircn sensul curentului apei icircn 3 ore Icircn cacirct timp parcurge păstrăvul distanţa de la B la A 11Un ogar fugăreşte un iepure care are 18 sărituri avans Icircn timp ce iepurele face 6 sărituri ogarul face numai patru dar 5 sărituri ale ogarului fac cacirct 9 ale iepurelui Cacircte sărituri face ogarul pacircnă prinde iepurele


Scoaterea factorului comun

ProfStatie Ileana

1) Dacă 7 49xz yz z şi 7x y =6aflaţi numerele naturale xyz

2) Dacă a +b=25 şi b+c=34aflaţi 13 18 5a b c 2ab b ac bc 2 ac bc ab a

3) Dacă x y =21 şi 4 7 3 117x y z aflaţi 2x + xy xz yz

4) Dacă 23a b şi 7 6 131a b c calculaţi 2a ab ac bc

5) Rezolvaţi ecuaţia 3 102x xyz xz dacă xyzN şi 3 16z yz

6) Rezolvaţi ecuaţia 23 4 5 2004 3 223223x x x x

Criptaritm

1) Reconstituiţi adunarea

GIURGIU IURGIU +URGIU RGIU GIU IU U =1506641

2) Reconstituiţi adunarea 74915ARE OARE SOARE

3) Aflaţi xyz ştiind că 12 12 1 2 2 1 124053xyz xyz xyz xyz

4) Suma dintre abc şi răsturnatul său cba este 423Aflati a b c

5) Determinaţi numerele naturale de trei cifre care sunt mai mari cu 693 decat

răsturnatele lor

6) Aflati abcd ştiind că 25a b c d si 319abc ab a

7) Determinaţi abc ştiind că 6abc bc

8) Determinaţi abc ştiind că 4 5 6a aa a a bcb

9) Aflati abcd ştiind că abcd c bdc

10) Aflaţi ab dacă 63 85 1996 14 2 48 a a a b

11) Aflaţi ab dacă ab ba xya

12) Determinaţi numărul par abc ştiind că 2 4 6 8 00abc abc

13) Determinaţi numărul abc care se icircmparte exact la 3 ştiind că

3 6 9 00abc abc



4 8 12 00abc abc

15) Aflaţi x y z ştiind că 2

xyz yz

16) Un număr natural de şase cifre are ultima cifră 6Se mută această cifră la icircnceputul

numărului şi se obţine un număr de 4 ori mai mare Aflaţi numărul

17) Aflaţi numărul abcdef dacă 3abcdef bcdefa

18) Aflaţi cifrele a şi b şi numărul natural n dacă 1 2 11n ab ab ab ab

19) Determinaţi numerele abcd ştiind că 3000abcd bcd cd d

20) Să se determine numărul abcd ştiind că 1770abcd abc ab a

21) Reconstituiţi adunarea 9486abcd bcdd

22) Determinţi cifrele abc ştiind că 7a b şi

( 5) ( 1) 10 ( 2)( 5)abc c a a a cb b a b

23) Care sunt numerele abc pentru care 2abc bc c abc bc c

24) Aflaţi cifra c ştiind că 4abcd dcba

25) Determinaţi abc astfel ca 0 2a a bb caaa


CALCULUL UNOR SUME REMARCABILE ŞIRURI

prof Aron Roxana CNMircea cel Bătracircn

I Calculaţi sumele

1) 7) 2+4+6+hellip+100

2) 8) 3+6+9+hellip+2010

3) 1+2+3+hellip+50 9) 6+12+18+hellip+2010

4) 1+2+3+hellip+2009 10) 140+133+126+hellip+7

5) 0+1+2+3+hellip+500 11) 10+11+12+hellip+100

6) 91+90+89+hellip+1 12) 25+30+35+hellip+2010

II

13) Se consideră suma S=1+3+5+hellip+101

a Cacircţi termeni are suma

b Calculaţi suma şi verificaţi că este pătrat perfect

14) Calculaţi suma S=2009+2007+2005+hellip+3+1

15) Se consideră suma S=1+5+9+hellip2009


b 1751 este termen al sumei

c Calculaţi suma

16) Se dă şirul 1 4 7 10 hellip

a Care este al 50-lea termen al şirului

b Calculaţi suma primilor 50 de termeni

17) Aflaţi cacircte numere de forma există şi apoi calculaţi suma lor

18) Calculează suma tuturor numerelor naturale de 3 cifre care se impart exact la 12

19) Determină cel mai mic şi apoi cel mai mare număr de 4 cifre care icircmpărţit la 9 dă restul 2

Calculează suma tuturor numerelor de 4 cifre care icircmpărţite la 9 dau restul 2


III

20) Să se determine numărul a natural care verifică egalitatea

21) Calculează

22) Arătaţi că numărul este cub perfect

23) Demonstraţi că oricare ar fi n număr natural numărul este

pătrat perfect

24) Aflaţi restul icircmpărţirii numărului la la 2000

25) Determină numărul ştiind că =

26)Să se completeze cu icircncă trei termeni următoarele şiruri

1) 14 15 16 2) 8 10 12 3) 13 15 17

4) 5 8 11 5) 0 1 1 2 3 5 8 6) 0 1 1 2 4 8 16

7) 1 2 6 24 120 8) 1 3 7 15 9) 61 52 63

27) Să se determine numărul de numere din următoarele şiruri

1)15 16 17 30 2) 2 4 6 54

3) 4 7 10 76 4) 2 7 12 77

28) Se consideră şirul de numere naturale 2 7 12 17 22

a) Aflaţi al 501-lea termen al şirului

b) Stabiliţi dacă 2007 este un termen al şirului Dar 2008

c) Calculaţi suma primilor 100 termeni ai şirului

29) Se consideră şirul de numere naturale 12 45 78 111

a) Completaţi şirul cu icircncă doi termeni

b) Care este al 2008-lea este termen al şirului

c) Demonstraţi că oricare termen al şirului este divizibil cu 3

30) Fie şirul de numere 1 5 9 13

a) Completaţi şirul cu icircncă 3 termeni

b) Găsiţi al 155-lea al 378-lea al 2003-lea număr din şir

c) Justificaţi care dintre următoarele numere fac parte din şir 497 531 794 1073

Precizaţi locul icircn şir dacă este cazul

d) Calculaţi suma primilor 20 termeni


31) Fie şirul de numere naturale 1 23 456 78910 Să se determine al 7-lea şi al 100-lea

termen

32) Fie numărul A= 123456789101112131420022003

a) Aflaţi cacircte cifre are numărul A b) Care este a 2000-a cifră a numărului A

33) Fie cifre

A2007

9999999999 Cacircte cifre de 1 are numărul A

34) Calculaţi următoarele sume

a) S=111+222++999

b) S=9+19+29++1999

c) S=3+5+7++2001-2-4-6--2000


a) S=12+23++1920 b) S=123+234++181920

36) Fie cifre

S2007

252222225225255

a) Cacircte cifre are termenul din mijloc

b) Cacircte cifre de 2 sunt icircn sumă

c) Cacircte cifre de 5 sunt icircn sumă

d) Care sunt ultimele două cifre ale lui S


Teorema impartirii cu rest

Oricare ar fi numerele naturale a si b cu bne0 exista doua numere reale q si r numite cat

si respectiv rest astfel incat a=bq+r 0lerltb Numere determinate in aceste conditii sunt unice

Observatii

1 Proprietatea de mai sus se numeste teorema impartirii intregi sau teorema impartirii cu

rest Resturile posibile la impartirea la numarul natural b bne0 sunt 012hellipb-1

2 Daca doua numere naturale dau acelasi rest la impartirea cu un alt numar natural

diferenta lor se imparte exact la acel numar

Aplicatii

IProbleme date la olimpiada de matematica faza locala sau judeteana in 2009

1 Determinati toate numerele naturale de forma abc care impartite la bc dau catul 5 si

restul bc -5(Braila et locala)

2 Sa se determine suma tututror resturilor impartirilor la 10 ale numerelor naturale n cu

proprietatea 0lenle2009(Bucuresti et locala)

3 Un numar natural impartit la 8 da restul 5 si impartit la 9 da restul 7 Ce rest va da

numarul impartit prin 72(Buzau et judeteana)

4 Consideram multimea tuturor numerelor naturale care impartite la 101 dau catul egal

cu restul Aratati ca dublul sumei elementelor acestei multimi se poate scrie ca produsul a

trei numere naturale consecutive(Caras-Severin et locala)

5 Suma a 10 numere naturale este 2009 Impartind fiecare din aceste numere la numarul

natural nenul n se obtin numai resturi egale cu 2 sau cu 3 Suma tuturor acestor resturi

este egala cu 28

a) Cate resturi din cele 10 sunt egale cu 2

b) Determinati cel mai mic numar n care satisface conditiile din enunt

(Constanta et locala)

6 Sa se determine toate perechile de numere naturale nenule stiind ca impartindu-l pe

primul la al doilea si pe al doilea la primul se obtine de fiecare data suma intre cat si rest

egala cu 4(Constanta et judeteana)

7 Determinati cel mai mare numar de forma xyz6 care impartit la un numar de doua

cifre sa dea restul 98 (Dambovita et locala)

8 Aratati ca nu exista niciun numar natural care impartit la 35 da restul 7 si impartit la 21

da restul 6(Dolj et locala)


9 Fie abc trei numere naturale care impartite pe rand la 2009 dau resturile 1935 700

800 Sa se determine restul impartirii numarului a+3b+5c la 2009(Galati et judeteana)

10 a)Aflati cate numere naturale exista care impartite la 320 dau catul egal cu restul

Aratati ca 2247 dace parte dintre ele si ca toate sunt divizibile cu 321

b) Aflati cate numere de 4 cifre indeplinesc conditiile de la punctul ardquo si calculati suma

lor(Gorj et judeteana)

11 Suma a patru numere naturale este 420 Daca se impart cele patru numere prin acelasi

numar natural nenul se obtin caturile numere naturale consecutive iar resturile 1 2 3 si

respectiv 4 Determinati numerele(Hunedoara et locala)

12 Suma a doua numere naturale este 2009 iar daca impartim numarul mare la sfertul

numarului mic obtinem catul si restul egale cu 7 Aflati numerele(Maramures et locala)

13 Aflati numerele naturale de doua cifre a si b stiind ca daca impartim pe a la b obtinem

restul 30 iar daca impartim pe b la a obtinem restul 35(Maramures et judeteana)

14 Impartind numarul A la 2008 obtinem restul 512 Aflati restul imaprtirii lui a la

251(Mehedinti et locala)

15 Determinati numerele abcd stiind ca daca impartim numarul 2009 la numarul aa

obtinem catul bc si restul d(Mehedinti et judeteana)

16 La o impartire a doua numere naturale suma dintre cat impartitor si rest este 114

Stiind ca diferenta dintre cat si impartitor este 55 iar impartitorul este cu 2 mai mic decat

triplul restului aflati cele doua numere(Olt et locala)

17 Un numar este cu 17 mai mare decat altul Impartind suma numerelor la diferenta lor

obtinem 235 si restul 0 Aflati numerele(Salaj et locala)

18 a) Aflati restul impartirii numarului B=1∙2∙3∙hellip∙2009+3 la 8

b) Aflati restul impartirii numarului B=1∙2∙3∙hellip∙2009-3 la 8

(Timis et locala)

19 Fie numerele x1x2x3hellipx2009 care impartite la un numar natural nenul n dau resturi

diferite doua cate doua si caturi nenule diferite doua cate doua

a) Aratati ca n ge2009

b) Calculati cea mai mica valoare a sumei x1+x2+x3+hellip+x2009(Timis et judeteana)

20 Aranjam numerele 123hellip2009 astfel

1 56789 2122232425 3738394041

2 4 10 20 26 36

3 3 11 19 27 35

4 2 12 18 28 34

51 1314151617 2930313233


Pe care linie se afla 2009 Justificati (Valcea et locala)

IIProbleme date la alte concursuri - Tema

1 Sa se calculeze suma tututror numerelor naturale care impartite la 2002 dau catul 7

2 Determinati suma resturilor impartirilor a 100 de numere consecutive la 19 stiind ca

primul se imparte exact la 19

3 Intr-o impartire de numere naturale nenule deimpartitul este 33 ori mai mare decat

restul impartitorul este dublul catului iar restul este jumatete din cat

a) Aflati deimpartitul impartitorul catul si restul

b) Aratati ca deimpartitul se poate scrie ca produs de doua numere consecutive

4 Cate numere naturale mai mici decat 4230 impartite la 38 dau restul 11

5 Cate numere de trei cifre exista cu proprietatea ca impartite la un numar de doua cifre

dau restul 97

6 Un numar de trei cifre are primele doua cifre identice iar a treia cifra este 5 Acest

numar se imparte la un numar de o singura cifra si se obtine restul 8 Sa se gasesca deimartitul

impartitorul si catul

7 Aflati cel mai mare numar natural de trei cifre care impartit la cel mai mare numar

natural de doua cifre da cel mai mare rest

8 La impartitrea cu rest a doua numere naturale a caror suma nu depaseste 111 obtinem

catul 3 si restul 19 Deduceti toate valorile posibile pentru deimpartit si impartitor

Principiul lui Dirichlet (principiul cutiei)

Daca in doua bdquocutiirdquo se gasesc trei obiecte (sau mai multe) atunci exista o bdquocutierdquo care

contine cel putin doua obiecte

Sau

Fiind date n cutiirdquo si n+1 obiecte atunci exista o cutie care contine doua obiecte

Aplicatii

1Se dau sapte numere naturale Demonstrati ca printre numerele naturale date cel putin doua dau

acelasi rest la impartirea cu 6

2Sa se demonstreze ca printre oricare sase numere naturale exista doua numere a caror diferenta

este divizibila cu 5

3Intr-o padure de conifere cresc 600000 de brazi Fiecare brad are cel mult 500000 de ace Sa se

demonstreze ca exista 2 brazi cu acelasi numar de ace


4Intr-o clasa sunt 40 de elevi Exista o luna a anului in care cel putin 4 elevi isi sarbatoresc ziua

de nastere

5Sa se arate ca din trei numere naturale se pot alege doua a caror suma si diferenta sa fie

divizibile cu 2

Observatii

1Suma si diferenta a doua numere naturale au aceeasi paritate

2Numarul plusmn1plusmn2plusmn3plusmnhellipplusmnn si 1+2+hellip+n au aceeasi paritate

6Aratati ca din 2011 numere naturale se pot alege doua a caror diferenta este divizibila cu 2010

Generalizare Aratati ca din n+1 numere naturale se pot alege doua a caror diferenta este

divizibila cu n

7 In 500 cutii se afla mere Se stie ca in fiecare cutie se afla cel mult 240 mere Sa se demonstreze

ca exista cel putin 3 cutii care au acelasi numar de mere

8Intr-o cutie sunt 10 creioane de culoare rosie 8 de culoare albastra 8 de culoare verde si 4 de

culoare galbena Aleator(la intamplare) din cutie se extrag n creioane Sa se determine numarul

minim de creioane care trebuie extras astfel incat sa fie

a)nu mai putin de 4 creioane de aceeasi culoare

b)cate un creion de fiecare culoare

9La teza de matematica dintr-o clasa de 30 de elevi 22 de elevi au rezolvat prima problema 23

de elevi au rezolvat-o pe a doua 24 de elevi au rezolvat-o pe a treia si 25 de elevii au rezolvat-o

pe a patra Sa se arate ca cel putin 4 elevi au rezolvat toate cele 4 probleme

10Intr-o scoala sunt 1099 de elevi Aratati ca exista cel putin 4 elevi care isi serbeaza ziua de

nastere in aceeasi zi a anului

11Intr-o urna se afla mai multe bile care difera numai prin culoare Daca sunt bile de 5 culori

diferite care este numarul minim de bile pe care trebuie sa il extragem din urna fara a privi

inauntru pentru a fi sigur ca am scos doua bile de aceeasi culoare

12In 10 cutii se afla 84 de bile de 4 culori diferite Stiind ca in fiecare cutie se afla bile de toate

culorile aratati ca exista doua cutii cu acelasi numar de bile

13Se pot pune 209 bomboane in 20 de cutii astfel incat in fiecare cutie sa fie cel putin o

bomboana si sa nu existe doua cutii cu acelasi numar de bomboane

14Intr-un magazin s-au adus 25 de lazi de mere de trei calitatiIn fiecare lada sunt numai mere de

aceeasi calitate Se pot gasi totdeauna 9 lazi astfel incat toate cele 9 lazi sa contina mere de

aceeasi calitate

15Suma mai multor numere naturale distincte este 5051 Sa se arate ca cel putin unul dintre ele

este mai mare ca 100


Tema

1a)Aratati ca din 733 de elevi ai unei scoli cel putin 3 elevi s-au nascut in aceeasi zi a anului

b)Aratai ca din 8 elevi cel putin 2 s-au nascut in aceeasi zi a saptamanii

2Suma a 63 de numere naturale este 2005

a)Demonstrati ca cel putin doua dintre ele sunt egale

b)Daca din cele 63 de numere 62 sunt egale cate solutii are problema

3Aratati ca din 23 de numere naturale exista in totdeauna cel putin 3 numere care dau acelasi rest

la impartirea cu 11

4La olimpiada de matematica dintr-o scoala participa 60 de elevi 40 au rezolvat prima problema

40 a doua problema 51 a treia si 54 a patra Sa se arate ca exista cel putin 5 elevi care au obtinut

punctajul maxim


TEOREMA IMPARŢIRII CU REST

31 octombrie 2010 Prof Genoiu Leon

Daca d şi icirc sunt numere naturalecu icirc 0atunci există şi sunt unice numerele naturale c şi

rnumite cacirct şi respectiv restastfel icircncacirct d=icirc c+r rlticirc

Probleme propuse

1Relaţia 58=10 5+8 reprezinta relaţia teoremei imparţirii cu rest

2Cu numerele 0557 se poate scrie o relaţie care sa reprezinte teorema icircmparţirii cu rest

3Ce numar natural dă prin icircmparţire la 4 cacirctul 6

4Determinaţi numerele naturale mai mici ca 60care prin icircmpărţire la 9 dau restul 5

5Determinaţi numerele naturale de trei cifre care icircmpărţite la 200 dau restul 15

6Determinaţi toate numerele naturale de trei cifre care prin icircmpărţire la un număr de două cifre

dau cacirctul 9 şi restul 98

7Determinaţi cel mai mare număr natural care la icircmpărţirea cu 305 dă cacirctul şi restul mai mici

sau egale cu 503

8Care este cel mai mare număr natural care acircmpărţit la 200 dă cacirctul 200

9Aflaţi toate numerele naturale care icircmpărţite la 6 dau cacirctul egal cu restul

10Determinaţi cel mai mare număr natural n care icircmpărţit la 2010 dă cacirctul mai mic decacirct

restul

11La o icircmpărţire restul este16deicircmpărţitul este 26806 iar cacirctul este 705 Să se afle

icircmpărţitorul

12Dacă icircmpărţim suma numerelor 171 şi 30 la diferenţa dintre 18 şi un alt număr a obţinem

cicirctul 22 şi restul 3 Aflaţi numărul a

13Icircmpărţind un număr la 8 obţinem restul 2iar cicirctul este cu 244 mai mic decicirct dublul

numărului Care este numărul

14Suma a două numere naturale diferite este 54 Să se afle cele două numereştiind că dacă

icircmpărţim numărul mai mare la 7obţinem cicirctul şi restul egale cu numărul mai mic(Rezolvaţi şi

prin metoda grafică)

15Suma a trei numere naturale este2028Al doilea număr este de trei ori mai mic decicirct primul

Dacă se icircmparte al treilea număr la diferenţa dintre primul şi al doilea se obţine cicirctul 110 şi

restul 12 Aflaţi cele trei numere

16Aflaţi numerele naturale a şi b care icircndeplinesc simultan condiţiile

i) a + b= 24 ii)a+b se icircmparte exact la a ndashb


17Dacă restul icircmpărţirii numărului a la b este a restul icircmpărţirii numărului 2b la c este 2b

arătaţi că c-2a gt0

18Aflaţi cicircte numere de două cifre dau restul 1 la icircmpărţirea cu 6

19Aflaţi cicircte numere de trei cifre dau restul 8 la icircmpărţirea cu cu 13

20Aflaţi cicircte numere de patru cifre dau restul 3 la icircmpărţirea cu 16

21Aflaţi toate numerele naturale care icircmpărţite la 8 dau cicirctul egal cu restul

22Aflaţi toate numerele naturale care icircmpărţite la 9 dau restul de două ori mai mic decicirct cicirctul

23Aflaţi toate numerele naturale care icircmpărţite la 7 dau restul mai mare cu 2 decicirct cacirctul

24Aflaţi toate numerele naturale de două cifre care icircmpărţite la un număr natural format dintr-

o singură cifră dă restul 8

25Aflati cel mai mare număr natural de trei cifre care icircmpărţit la un număr natural de două

cifre dă restul 97

PRINCIPIUL CUTIEI (LUI DIRICHLET)

Prof Genoiu Leon

ldquoDacă icircn n cutii se află n+1 sau mai multe obiecteatunci există o cutie care conţine cel puţin două

obiectersquorsquo

Probleme(cazul optim)

1Este posibil să asezăm 36 de bile in 8 cutii astfel icircncacirct icircn fiecare cutie să fie cel puţin o bilă şi să nu

existe două cutii cu acelaşi număr de bile Dar 9 bile icircn 4 cutii Dar 155 de bile icircn 10 cutiiastfel icircncacirct

icircn fiecare cutie să fie cel puţin 10 bile şi să nu existe două cutii cu acelaşi număr de bile

2 a)Se poate scrie numărul 5049 ca sumă a 100 de numere naturale nenule si distincte

b)Dar ca sumă a 100 de numere naturale distincte

3Suma a 100 de numere naturale distincte şi nenule este 5051 Aflaţi numerele

4 Icircn10 cutii se găsesc 84 de bile roşiigalbenealbastre sau verzi Ştiind că icircn fiecare cutie se află bile de

toate culorile este posibil să nu existe două cutii cu acelaşi număr de bile

5Suma a 2003 numere naturaledistincte este egală cu 2005003 Calculaţi produsul acestor numere

Probleme(cazul cel mai nefavorabil)

6Icircntr-o urna se află mai multe bile care diferă numai prin culoareDacă sunt bile de 5 culori diferite

care este numărul minim de bile pe care trebuie să le extragem din urnă fără a privi icircnăuntru pentru

a fi siguri că am scos două bile de aceeaşi culoare

7Icircntr-o urnă sunt 12 bile roşii 30 de bile albastre şi 65 de bile galbeneFără a ne uita icircn urnă

i)Care este cel mai mic număr de bile pe care trebuie să le extragem pentru a fi siguri că am luat

a)cel puţin o bilă albastră


b)cel puţin o bila de fiecare culoare

c)cel puţin trei bile de aceeaşi culoare

ii)Care este cel mai mare număr de bile pe care putem să le luămpentru a fi siguri că au rămas

a)cel puţin o bilă albastră b)cel puţin cicircte o bilă de fiecare culoare

c)cel puţin două bile de aceeaşi culoare

8Arătaţi că din 2010 numere naturaleoarecareexistă cel puţin două care prin impărţire la 2009

dau acelaşi rest

9Arătaţi că din patru numere naturaleoarecare există cel puţin două a căror sumă sau diferenţă

se icircmparte exact la 5

10Icircntr-o şcoală sunt 1831 de elevi Demonstraţi că există cel puţin 6elevi care-şi serbează ziua

de naştere icircn aceeaşi zi

11 La olimpiada de matematică dintr-o şcoalăparticipă60 de elevi 40 au rezolvat prima problemă

40 au rezolvat a doua problemă51 a treia şi 54 a patra problemă Să se arate că există cel puţin 5 elevi

care au rezolvat cele patru probleme

12Să se arate că oricum am alege şapte pătrate perfecte distincteexistă cel puţin două a căror diferenţă


13Se pot transporta 50 de buşteni avicircnd masele de 370kg372kg374kg468kg cu 7 camioane

de cicircte 3 tone Fiecare camion face un singur transport

14Icircntr-un magazin s-au adus 34 de lăzi cu mere de trei calităţiIcircn fiecare ladă sunt numai mere de

aceeaşi calitate Se pot găsi totdeauna 12 lăzi astfel icircncacirct toate aceste 12 lăzi să conţină mere de aceeaşi

calitate

15 Fie 100de numere naturale nenule şi distincte avicircnd suma 9998 Arătaţi ca printre ele există cel puţin

două numere pare

16 Suma a 63 numere naturale nenule este 2000 Sa se arate ca cel putin doua dintre acestea sunt egale

Care este cel mai mare numar de numere egale cu proprietatea ceruta


DIVIZIBILITATE IN N

PROPRIETATILE RELATIEI DE DIVIZIBILITATE

CRITERII DE DIVIZIBILITATE

Def Numarul natural b divide numarul natural a daca exista un numar natural c astfel

incat a=b∙c

Notam ba sau ab

Notam Da=xN xa citim multimea divizorilor lui a

Notam Ma= xN x a citim multimea multiplilor lui a

Proprietatile relatiei de divizibilitate

1aa xN (reflexivitatea)

2ab si baa=b (antisimetria)

3ab si bcac (tranzitivitatea)

4a1a=1

5a0 aN

60aa=0

7ab ab∙c cN

8ab1 si ab2ab1+b2 si ab1-b2 (b1geb2)

Generalizare ab1 ab2hellip abn ab1+b2+hellip+bn

9ab si a ∤ca∤b+c

10ab1 si ab2ab1c1+b2c2 c1 c2N

Generalizare ab1 ab2hellip abn ab1c1+b2c2+hellip+bncn c1 c2 hellip cnN

11abacbc cN

12 abbc si cne0ab

13 a1b1 si a2b2a1∙a2b1∙b2

Generalizare a1b1 a2b2hellipanbn a1∙a2∙hellip∙anb1∙b2∙hellip∙bn

Criterii de divizibilitate

1Criteriul de divizibilitate cu 2 Un numar natural este divizibil cu 2 daca si numai

daca ultima sa cifra este para adica 0 2 4 6 8

2 Criteriul de divizibilitate cu 3 Un numar natural este divizibil cu 3 daca si numai

daca suma cifrelor sale este divizibila cu 3



daca ultimele doua cifre ale sale formeaza un numar care este divizibil cu 4


daca ultima sa cifra este 0 sau 5




daca ultima sa cifra este 0

7 Criteriul de divizibilitate cu 10n nN Un numar natural este divizibil cu 10

n daca si

numai daca ultimele n cifre ale sale sunt zerouri


daca ultimele doua cifre ale sale sunt 00 25 50 75


daca suma dintre cifra unitatilor dublul cifrei zecilor si cifra sutelor marita de 4 ori este

divizibila cu 8(Exemplu 512912 are 2+2∙1+4∙9=408)

10 Criteriul de divizibilitate cu 7 11 si 13 Un numar natural este divizibil cu 7 cu 11 sau cu

13 daca si numai daca diferenta dintre cele doua numere naturale obtinute din numarul dat prin

taierea lui in doua astfel ca la dreapta sa ramana 3 cifre se divide cu 7 cu 11 sau respectiv cu

13 (Exemplu a) 4653 are 653-4 =649=11∙5911b)8645 are 645-8=637=7∙917 c)68068 are

68-68=0 si este divizibil atat cu 7 cat si cu 11 si 13)

11Alt criteriu de divizibilitate cu 11 Un numar natural este divizibil cu 11 daca si numai daca

diferenta dintre suma cifrelor cu indice (rang) par si suma cifrelor cu indice (rang) impar din

numarul natural dat este divizibila cu 11 Daca N= 012n1nn aaaaa atunci 11N

11 ( a1+a3+a5+hellip)-( a0+a2+a4+hellip) sau 11( a0+a2+a4+hellip)-( a1+a3+a5+hellip) (Exemplu 4653 este

divizibil cu 11 deoarece 11(4+5)-(6+3))

12 Criteriul de divizibilitate cu 3 7 si 19 Un numar natural este divizibil cu 3 cu 7 sau cu 19

daca si numai daca suma dintre numarul format din ultimele doua cifre marit de patru ori si

numarul format din celelalte cifre este divizibila cu 3 cu 7 respectiv cu 19 Daca

N= 012n1nn aaaaa atunci 19N19 22n1nn aaaa +4 01aa (Exemplu 107445 este

divizibil cu 19 deoarece 19(1074+4∙45) adica 1919∙66)

13 Criteriul de divizibilitate cu 27 si 37 Un numar natural este divizibil cu 27 sau 37 daca si

numai daca suma numerelor obtinute din numarul natural dat prin taierea acestuia in grupe de

trei cifre incepand de la dreapta se divide cu 27 sau 37 (Exemplu a)141912 este divizibil cu

27 deoarece 27(141+912) adica 2727∙39b)352351 este divizibil cu 37 deoarece

37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII

1Sa se arate ca numarul A=2n+1

∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN

este divizibil cu 33

2Aratati ca numarul a=22n+1

∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7

n este divizibil cu 4032 n N

3 Sa se arate ca numarul A=22n+3

∙52n+1

-1 nNeste divizibil cu 3 dar nu este divizibil cu 9

4Stabiliti daca numarul 1234567hellip40 se divide cu 9

5Aratati ca oricum am alege 7 numere naturale patrate perfecte exista cel putin doua a caror

diferenta este un numar care se divide cu 10

6Sa se arate ca numarul a=61+6

2+hellip+6

100 este divizibil cu 42

7Demonstrati ca numarul a=21+2

2+hellip+2

2004 se divide cu 63

8Sa se arate ca numarul n=9+92+9

3+hellip+9

1998 este divizibil cu 5 numere naturale impare

consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003


10Sa se arate ca numerele de forma 73k+2

∙113k+1

∙53k

+539 cu k numar natural se divide cu 1078

11Aratati ca numarul a=340

-240

se divide cu 5

12Sa se demonstreze ca numarul E= dcbaabcd se divide cu 11

13Demonstrati ca numerele ba0ab0b0aa0b sunt divizibile cu 211 oricare ar fi cifrele a

si b

14Fie a si b numere naturale astfel incat 3a+4b se divide cu 7Aratati ca 4a+3b se divide cu 7

15Aratati ca numarul A=(2n+1)(4n+1)(5n+3) cu n natural se divide cu 3

16Sa se arate ca numerele naturale de forma abbab -2b sunt divizibile cu 7

17Stiind ca un numar natural prin impartirea la 95 da restul 71 sa se arate ca restul impartirii

numarului la 19 este divizibil cu 7

18Fie abc N si A=3a+4b+5c iar B=2a+5b+8c Daca A este divizibil cu 7 demonstrati ca si

B este divizibil cu 7

19Fie A=x+5y+3z B=3x+4y+z xyzN Aratati ca daca A si B se divid cu 11 atunci z se

divide cu 11

20Sa se arate ca pentru abN au loc implicatiile

a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)

21Sa se arate ca numarul n=1988100

+1987100

-198650

-198950


22Aratati ca numarul N=1∙2∙3∙hellip∙1111 se divide cu 11110

dar nu se divide cu 11111

23Determinati x numar natural daca


a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)

24Aratati ca numarul orinori1norin

11143335222

este divizibil cu numarul 100030002ori1nori1n

25Daca 20a-14b2+15c=0 cu a b c numere naturale sa se arate ca 35b(a-c)

Tema

1Demonstrati ca numarul A=2n∙3

n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10

n∙2 se divide cu 17oricare ar fi n numar

natural

2Aratati ca numarul a=5+52+5

3++5

33 este multiplu de 31

3Aratati ca 82008

-20088 este divizibil cu 10

4 Determinati x numar natural daca(2x+1) (5x+7)

5Stabiliti daca numarul 123456789101112hellip2001 este divizibil cu 9


numarul se divide cu unul din aceste numere prime este evident ca el nu este prim

Daca numarul considerat nu se divide cu nici unul din aceste numere prime atunci

el este numar prim

Exemplu numărul 137

137 nu se divide cu 2 cu 3 cu 5 Pentru a se vedea daca 137 se divide cu 7

facem impartirea lui 137 la 7 si obţinem catul 19 si restul 4 Deci 137 nu se

divide cu 7 Pentru a se vedea daca 137 se divide cu 11 facem impartirea lui

137 la 11 Obtinem catul 12 si restul 5 Deci 137 nu se divide cu 11

Deoarece catul (12) este mai mare decat impartitorul (11) continuam sa

facem impartiri Pentru a vedea daca 137 se divide cu 13 facem impartirea si

obtinem catul 10 si restul 7 Numarul 137 nu se divide cu 13 Am aratat ca

137 nu se divide cu nici un numar prim mai mic sau egal cu 13 Afirmam ca

el nu se divide nici cu numerele compuse mai mici decat 13 Intr-adevar

daca 137 nu se divide cu 2 el nu se divide nici cu urmatorii multiplii ai lui

24 6 8 10 12 iar daca 137 nu se divide cu 3 el nu se divide nici cu 6 9

12 Pana aici am aratat ca numarul 137 nu se divide cu nici un numar

natural diferit de 1 mai mic sau egal cu 13 Este oare posibil ca 137 sa se

divida cu un numar natural c mai mare decat 13

Acest lucru nu este posibil caci daca 137 se divide cu un numar c mai mare

dacat 13 atunci el se divide si cu catul impartirii lui 137 la numarul natural

c acest cat este un numar mai mic decat 13 Or am aratat ca 137 nu se

divide cu nici un numar natural diferit de 1 mai mic sau egal cu 13

In concluzie numarul 137 nu se divide cu nici un numar natural diferit de

1 mai mic sau egal cu 13 nici cu un numar natural mai mare decat 13 El

este deci numar prim

Ciurul lui Eratostate

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100



Dacă un număr



3


Metoda












Exemple















1549 7 1549 = 7 middot 221 + 2 1549 11

14 221 2 = 0 11 140

= 14 221 gt 7 =44 1549 = 11middot 140 + 9

14 44 9 = 0





1549 13 1549 17

13 119 153 91

=24 1549 = 13 middot 119 + 2 = =19 1549 = 17∙ 91 + 2

13 2 = 0 17 2 = 0

119 119 gt 13 = 2 91 gt 17

117

= =2 nu putem spune


prim nici compus

1549 19 1549 23

152 81 138 67

= =29 1549 = 19∙ 81 + 10 =169 1549 = 23 middot 67 + 8

19 10 = 0 161 8 = 0

10 81 gt 19 = =8 67 gt 23


nici compus prim

nici compus

1549 29 1549 31

145 53 124 49

= =99 1549 = 29 middot 53 + 18 =309 1549 = 31middot 49 + 30

81 18 = 0 279 30 = 0

18 53 gt 29 30 49 gt 31



nici compus


1549 37 1549 41

148 41 123 37

= =69 1549 = 37 middot 41 + 32 = 319

37 32 = 0 287 1549 = 41∙ 37 + 32

32 41 gt 37 =32 32 = 0

37 lt 41



spune că 1549

este număr prim



diferit de 0


următor





Icircn general







Exemple




deci nu este prim






demonstrat mai sus






























220 = 2 x 2 x 5 x 11

284 = 2 x 2 x 71



acestia



2 x 2 = 4

2 x 5 = 10

2 x 11 = 22

5 x 11 = 55

2 x 2 x 5 = 20


2 x 2 x 11 = 44

2 x 5 x 11 = 110

Deci 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284


2 x 2 = 4

2 x 71 = 142

Deci 1 + 2 +4+ 71 + 142 = 220


















= 5 ani






Rezolvare



D6=1236





ab=2361




p=2x3x5

Rezolvare

Nr divizorilor este

(3+1)(1+1)(2+1)=4x2x3=24


















20 2 = 10

20 4 = 5

20 5 = 4

10 + 5 + 4 = 19 camile




Exercitiu rezolvat


Solutie

primnr a

2 a 2 2c 2 6b 2 56 a= 2


2+ 6b+ 2c= 46 2

1+ 3b+ c= 23 -1



prim)




Deci (abc)(2313) (257)


FISA DE LUCRU



6400 418



3 Fie multimile

A= 2 11x x x si 3x

B= 14y y y si 6y



5






A 1 si 54 B 2 si 27 C 3 si 18 D 6 si 9


A 3 B 5 C 7 D 11

7



8



prime



b+c=759





a +b + c = 61 şi b = 25+c


a + 2b + 10c = 82







a) 6 b) 9 c) 8 d) 7

Rezolvare




3280 = + + + + + + +





figurativă


Metoda comparaţiei













30 de sărituri






raportor









Metoda grafică


















prezent


cele două numere

















decacirct 4


Metoda figurativă





clasă




























apă






9

4 din rest




mişcare






căutările






























fiecare vas











ProfStatie Ileana







Criptaritm







răsturnatele lor









3 6 9 00abc abc



4 8 12 00abc abc


xyz yz









( 5) ( 1) 10 ( 2)( 5)abc c a a a cb b a b







I Calculaţi sumele

1) 7) 2+4+6+hellip+100

2) 8) 3+6+9+hellip+2010

3) 1+2+3+hellip+50 9) 6+12+18+hellip+2010

4) 1+2+3+hellip+2009 10) 140+133+126+hellip+7

5) 0+1+2+3+hellip+500 11) 10+11+12+hellip+100

6) 91+90+89+hellip+1 12) 25+30+35+hellip+2010

II








c Calculaţi suma









III


21) Calculează



pătrat perfect




1) 14 15 16 2) 8 10 12 3) 13 15 17

4) 5 8 11 5) 0 1 1 2 3 5 8 6) 0 1 1 2 4 8 16

7) 1 2 6 24 120 8) 1 3 7 15 9) 61 52 63


1)15 16 17 30 2) 2 4 6 54

3) 4 7 10 76 4) 2 7 12 77

















termen

32) Fie numărul A= 123456789101112131420022003


33) Fie cifre

A2007



a) S=111+222++999

b) S=9+19+29++1999

c) S=3+5+7++2001-2-4-6--2000


a) S=12+23++1920 b) S=123+234++181920

36) Fie cifre

S2007

252222225225255









Observatii





Aplicatii













este egala cu 28




































(Timis et locala)






1 56789 2122232425 3738394041

2 4 10 20 26 36

3 3 11 19 27 35

4 2 12 18 28 34

51 1314151617 2930313233













dau restul 97











Sau


Aplicatii









de nastere


divizibile cu 2

Observatii





divizibila cu n






















aceeasi calitate




Tema







la impartirea cu 11



punctajul maxim






Probleme propuse









sau egale cu 503




restul


icircmpărţitorul

























cifre dă restul 97


Prof Genoiu Leon


obiectersquorsquo

























dau acelaşi rest














calitate


două numere pare




DIVIZIBILITATE IN N




incat a=b∙c

Notam ba sau ab







4a1a=1

5a0 aN

60aa=0

7ab ab∙c cN






11abacbc cN

12 abbc si cne0ab


















n daca si


























37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008





21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100



Dacă un număr



3


Metoda












Exemple















1549 7 1549 = 7 middot 221 + 2 1549 11

14 221 2 = 0 11 140

= 14 221 gt 7 =44 1549 = 11middot 140 + 9

14 44 9 = 0





1549 13 1549 17

13 119 153 91

=24 1549 = 13 middot 119 + 2 = =19 1549 = 17∙ 91 + 2

13 2 = 0 17 2 = 0

119 119 gt 13 = 2 91 gt 17

117

= =2 nu putem spune


prim nici compus

1549 19 1549 23

152 81 138 67

= =29 1549 = 19∙ 81 + 10 =169 1549 = 23 middot 67 + 8

19 10 = 0 161 8 = 0

10 81 gt 19 = =8 67 gt 23


nici compus prim

nici compus

1549 29 1549 31

145 53 124 49

= =99 1549 = 29 middot 53 + 18 =309 1549 = 31middot 49 + 30

81 18 = 0 279 30 = 0

18 53 gt 29 30 49 gt 31



nici compus


1549 37 1549 41

148 41 123 37

= =69 1549 = 37 middot 41 + 32 = 319

37 32 = 0 287 1549 = 41∙ 37 + 32

32 41 gt 37 =32 32 = 0

37 lt 41



spune că 1549

este număr prim



diferit de 0


următor





Icircn general







Exemple




deci nu este prim






demonstrat mai sus






























220 = 2 x 2 x 5 x 11

284 = 2 x 2 x 71



acestia



2 x 2 = 4

2 x 5 = 10

2 x 11 = 22

5 x 11 = 55

2 x 2 x 5 = 20


2 x 2 x 11 = 44

2 x 5 x 11 = 110

Deci 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284


2 x 2 = 4

2 x 71 = 142

Deci 1 + 2 +4+ 71 + 142 = 220


















= 5 ani






Rezolvare



D6=1236





ab=2361




p=2x3x5

Rezolvare

Nr divizorilor este

(3+1)(1+1)(2+1)=4x2x3=24


















20 2 = 10

20 4 = 5

20 5 = 4

10 + 5 + 4 = 19 camile




Exercitiu rezolvat


Solutie

primnr a

2 a 2 2c 2 6b 2 56 a= 2


2+ 6b+ 2c= 46 2

1+ 3b+ c= 23 -1



prim)




Deci (abc)(2313) (257)


FISA DE LUCRU



6400 418



3 Fie multimile

A= 2 11x x x si 3x

B= 14y y y si 6y



5






A 1 si 54 B 2 si 27 C 3 si 18 D 6 si 9


A 3 B 5 C 7 D 11

7



8



prime



b+c=759





a +b + c = 61 şi b = 25+c


a + 2b + 10c = 82







a) 6 b) 9 c) 8 d) 7

Rezolvare




3280 = + + + + + + +





figurativă


Metoda comparaţiei













30 de sărituri






raportor









Metoda grafică


















prezent


cele două numere

















decacirct 4


Metoda figurativă





clasă




























apă






9

4 din rest




mişcare






căutările






























fiecare vas











ProfStatie Ileana







Criptaritm







răsturnatele lor









3 6 9 00abc abc



4 8 12 00abc abc


xyz yz









( 5) ( 1) 10 ( 2)( 5)abc c a a a cb b a b







I Calculaţi sumele

1) 7) 2+4+6+hellip+100

2) 8) 3+6+9+hellip+2010

3) 1+2+3+hellip+50 9) 6+12+18+hellip+2010

4) 1+2+3+hellip+2009 10) 140+133+126+hellip+7

5) 0+1+2+3+hellip+500 11) 10+11+12+hellip+100

6) 91+90+89+hellip+1 12) 25+30+35+hellip+2010

II








c Calculaţi suma









III


21) Calculează



pătrat perfect




1) 14 15 16 2) 8 10 12 3) 13 15 17

4) 5 8 11 5) 0 1 1 2 3 5 8 6) 0 1 1 2 4 8 16

7) 1 2 6 24 120 8) 1 3 7 15 9) 61 52 63


1)15 16 17 30 2) 2 4 6 54

3) 4 7 10 76 4) 2 7 12 77

















termen

32) Fie numărul A= 123456789101112131420022003


33) Fie cifre

A2007



a) S=111+222++999

b) S=9+19+29++1999

c) S=3+5+7++2001-2-4-6--2000


a) S=12+23++1920 b) S=123+234++181920

36) Fie cifre

S2007

252222225225255









Observatii





Aplicatii













este egala cu 28




































(Timis et locala)






1 56789 2122232425 3738394041

2 4 10 20 26 36

3 3 11 19 27 35

4 2 12 18 28 34

51 1314151617 2930313233













dau restul 97











Sau


Aplicatii









de nastere


divizibile cu 2

Observatii





divizibila cu n






















aceeasi calitate




Tema







la impartirea cu 11



punctajul maxim






Probleme propuse









sau egale cu 503




restul


icircmpărţitorul

























cifre dă restul 97


Prof Genoiu Leon


obiectersquorsquo

























dau acelaşi rest














calitate


două numere pare




DIVIZIBILITATE IN N




incat a=b∙c

Notam ba sau ab







4a1a=1

5a0 aN

60aa=0

7ab ab∙c cN






11abacbc cN

12 abbc si cne0ab


















n daca si


























37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008








Exemple















1549 7 1549 = 7 middot 221 + 2 1549 11

14 221 2 = 0 11 140

= 14 221 gt 7 =44 1549 = 11middot 140 + 9

14 44 9 = 0





1549 13 1549 17

13 119 153 91

=24 1549 = 13 middot 119 + 2 = =19 1549 = 17∙ 91 + 2

13 2 = 0 17 2 = 0

119 119 gt 13 = 2 91 gt 17

117

= =2 nu putem spune


prim nici compus

1549 19 1549 23

152 81 138 67

= =29 1549 = 19∙ 81 + 10 =169 1549 = 23 middot 67 + 8

19 10 = 0 161 8 = 0

10 81 gt 19 = =8 67 gt 23


nici compus prim

nici compus

1549 29 1549 31

145 53 124 49

= =99 1549 = 29 middot 53 + 18 =309 1549 = 31middot 49 + 30

81 18 = 0 279 30 = 0

18 53 gt 29 30 49 gt 31



nici compus


1549 37 1549 41

148 41 123 37

= =69 1549 = 37 middot 41 + 32 = 319

37 32 = 0 287 1549 = 41∙ 37 + 32

32 41 gt 37 =32 32 = 0

37 lt 41



spune că 1549

este număr prim



diferit de 0


următor





Icircn general







Exemple




deci nu este prim






demonstrat mai sus






























220 = 2 x 2 x 5 x 11

284 = 2 x 2 x 71



acestia



2 x 2 = 4

2 x 5 = 10

2 x 11 = 22

5 x 11 = 55

2 x 2 x 5 = 20


2 x 2 x 11 = 44

2 x 5 x 11 = 110

Deci 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284


2 x 2 = 4

2 x 71 = 142

Deci 1 + 2 +4+ 71 + 142 = 220


















= 5 ani






Rezolvare



D6=1236





ab=2361




p=2x3x5

Rezolvare

Nr divizorilor este

(3+1)(1+1)(2+1)=4x2x3=24


















20 2 = 10

20 4 = 5

20 5 = 4

10 + 5 + 4 = 19 camile




Exercitiu rezolvat


Solutie

primnr a

2 a 2 2c 2 6b 2 56 a= 2


2+ 6b+ 2c= 46 2

1+ 3b+ c= 23 -1



prim)




Deci (abc)(2313) (257)


FISA DE LUCRU



6400 418



3 Fie multimile

A= 2 11x x x si 3x

B= 14y y y si 6y



5






A 1 si 54 B 2 si 27 C 3 si 18 D 6 si 9


A 3 B 5 C 7 D 11

7



8



prime



b+c=759





a +b + c = 61 şi b = 25+c


a + 2b + 10c = 82







a) 6 b) 9 c) 8 d) 7

Rezolvare




3280 = + + + + + + +





figurativă


Metoda comparaţiei













30 de sărituri






raportor









Metoda grafică


















prezent


cele două numere

















decacirct 4


Metoda figurativă





clasă




























apă






9

4 din rest




mişcare






căutările






























fiecare vas











ProfStatie Ileana







Criptaritm







răsturnatele lor









3 6 9 00abc abc



4 8 12 00abc abc


xyz yz









( 5) ( 1) 10 ( 2)( 5)abc c a a a cb b a b







I Calculaţi sumele

1) 7) 2+4+6+hellip+100

2) 8) 3+6+9+hellip+2010

3) 1+2+3+hellip+50 9) 6+12+18+hellip+2010

4) 1+2+3+hellip+2009 10) 140+133+126+hellip+7

5) 0+1+2+3+hellip+500 11) 10+11+12+hellip+100

6) 91+90+89+hellip+1 12) 25+30+35+hellip+2010

II








c Calculaţi suma









III


21) Calculează



pătrat perfect




1) 14 15 16 2) 8 10 12 3) 13 15 17

4) 5 8 11 5) 0 1 1 2 3 5 8 6) 0 1 1 2 4 8 16

7) 1 2 6 24 120 8) 1 3 7 15 9) 61 52 63


1)15 16 17 30 2) 2 4 6 54

3) 4 7 10 76 4) 2 7 12 77

















termen

32) Fie numărul A= 123456789101112131420022003


33) Fie cifre

A2007



a) S=111+222++999

b) S=9+19+29++1999

c) S=3+5+7++2001-2-4-6--2000


a) S=12+23++1920 b) S=123+234++181920

36) Fie cifre

S2007

252222225225255









Observatii





Aplicatii













este egala cu 28




































(Timis et locala)






1 56789 2122232425 3738394041

2 4 10 20 26 36

3 3 11 19 27 35

4 2 12 18 28 34

51 1314151617 2930313233













dau restul 97











Sau


Aplicatii









de nastere


divizibile cu 2

Observatii





divizibila cu n






















aceeasi calitate




Tema







la impartirea cu 11



punctajul maxim






Probleme propuse









sau egale cu 503




restul


icircmpărţitorul

























cifre dă restul 97


Prof Genoiu Leon


obiectersquorsquo

























dau acelaşi rest














calitate


două numere pare




DIVIZIBILITATE IN N




incat a=b∙c

Notam ba sau ab







4a1a=1

5a0 aN

60aa=0

7ab ab∙c cN






11abacbc cN

12 abbc si cne0ab


















n daca si


























37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008





1549 13 1549 17

13 119 153 91

=24 1549 = 13 middot 119 + 2 = =19 1549 = 17∙ 91 + 2

13 2 = 0 17 2 = 0

119 119 gt 13 = 2 91 gt 17

117

= =2 nu putem spune


prim nici compus

1549 19 1549 23

152 81 138 67

= =29 1549 = 19∙ 81 + 10 =169 1549 = 23 middot 67 + 8

19 10 = 0 161 8 = 0

10 81 gt 19 = =8 67 gt 23


nici compus prim

nici compus

1549 29 1549 31

145 53 124 49

= =99 1549 = 29 middot 53 + 18 =309 1549 = 31middot 49 + 30

81 18 = 0 279 30 = 0

18 53 gt 29 30 49 gt 31



nici compus


1549 37 1549 41

148 41 123 37

= =69 1549 = 37 middot 41 + 32 = 319

37 32 = 0 287 1549 = 41∙ 37 + 32

32 41 gt 37 =32 32 = 0

37 lt 41



spune că 1549

este număr prim



diferit de 0


următor





Icircn general







Exemple




deci nu este prim






demonstrat mai sus






























220 = 2 x 2 x 5 x 11

284 = 2 x 2 x 71



acestia



2 x 2 = 4

2 x 5 = 10

2 x 11 = 22

5 x 11 = 55

2 x 2 x 5 = 20


2 x 2 x 11 = 44

2 x 5 x 11 = 110

Deci 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284


2 x 2 = 4

2 x 71 = 142

Deci 1 + 2 +4+ 71 + 142 = 220


















= 5 ani






Rezolvare



D6=1236





ab=2361




p=2x3x5

Rezolvare

Nr divizorilor este

(3+1)(1+1)(2+1)=4x2x3=24


















20 2 = 10

20 4 = 5

20 5 = 4

10 + 5 + 4 = 19 camile




Exercitiu rezolvat


Solutie

primnr a

2 a 2 2c 2 6b 2 56 a= 2


2+ 6b+ 2c= 46 2

1+ 3b+ c= 23 -1



prim)




Deci (abc)(2313) (257)


FISA DE LUCRU



6400 418



3 Fie multimile

A= 2 11x x x si 3x

B= 14y y y si 6y



5






A 1 si 54 B 2 si 27 C 3 si 18 D 6 si 9


A 3 B 5 C 7 D 11

7



8



prime



b+c=759





a +b + c = 61 şi b = 25+c


a + 2b + 10c = 82







a) 6 b) 9 c) 8 d) 7

Rezolvare




3280 = + + + + + + +





figurativă


Metoda comparaţiei













30 de sărituri






raportor









Metoda grafică


















prezent


cele două numere

















decacirct 4


Metoda figurativă





clasă




























apă






9

4 din rest




mişcare






căutările






























fiecare vas











ProfStatie Ileana







Criptaritm







răsturnatele lor









3 6 9 00abc abc



4 8 12 00abc abc


xyz yz









( 5) ( 1) 10 ( 2)( 5)abc c a a a cb b a b







I Calculaţi sumele

1) 7) 2+4+6+hellip+100

2) 8) 3+6+9+hellip+2010

3) 1+2+3+hellip+50 9) 6+12+18+hellip+2010

4) 1+2+3+hellip+2009 10) 140+133+126+hellip+7

5) 0+1+2+3+hellip+500 11) 10+11+12+hellip+100

6) 91+90+89+hellip+1 12) 25+30+35+hellip+2010

II








c Calculaţi suma









III


21) Calculează



pătrat perfect




1) 14 15 16 2) 8 10 12 3) 13 15 17

4) 5 8 11 5) 0 1 1 2 3 5 8 6) 0 1 1 2 4 8 16

7) 1 2 6 24 120 8) 1 3 7 15 9) 61 52 63


1)15 16 17 30 2) 2 4 6 54

3) 4 7 10 76 4) 2 7 12 77

















termen

32) Fie numărul A= 123456789101112131420022003


33) Fie cifre

A2007



a) S=111+222++999

b) S=9+19+29++1999

c) S=3+5+7++2001-2-4-6--2000


a) S=12+23++1920 b) S=123+234++181920

36) Fie cifre

S2007

252222225225255









Observatii





Aplicatii













este egala cu 28




































(Timis et locala)






1 56789 2122232425 3738394041

2 4 10 20 26 36

3 3 11 19 27 35

4 2 12 18 28 34

51 1314151617 2930313233













dau restul 97











Sau


Aplicatii









de nastere


divizibile cu 2

Observatii





divizibila cu n






















aceeasi calitate




Tema







la impartirea cu 11



punctajul maxim






Probleme propuse









sau egale cu 503




restul


icircmpărţitorul

























cifre dă restul 97


Prof Genoiu Leon


obiectersquorsquo

























dau acelaşi rest














calitate


două numere pare




DIVIZIBILITATE IN N




incat a=b∙c

Notam ba sau ab







4a1a=1

5a0 aN

60aa=0

7ab ab∙c cN






11abacbc cN

12 abbc si cne0ab


















n daca si


























37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008





1549 37 1549 41

148 41 123 37

= =69 1549 = 37 middot 41 + 32 = 319

37 32 = 0 287 1549 = 41∙ 37 + 32

32 41 gt 37 =32 32 = 0

37 lt 41



spune că 1549

este număr prim



diferit de 0


următor





Icircn general







Exemple




deci nu este prim






demonstrat mai sus






























220 = 2 x 2 x 5 x 11

284 = 2 x 2 x 71



acestia



2 x 2 = 4

2 x 5 = 10

2 x 11 = 22

5 x 11 = 55

2 x 2 x 5 = 20


2 x 2 x 11 = 44

2 x 5 x 11 = 110

Deci 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284


2 x 2 = 4

2 x 71 = 142

Deci 1 + 2 +4+ 71 + 142 = 220


















= 5 ani






Rezolvare



D6=1236





ab=2361




p=2x3x5

Rezolvare

Nr divizorilor este

(3+1)(1+1)(2+1)=4x2x3=24


















20 2 = 10

20 4 = 5

20 5 = 4

10 + 5 + 4 = 19 camile




Exercitiu rezolvat


Solutie

primnr a

2 a 2 2c 2 6b 2 56 a= 2


2+ 6b+ 2c= 46 2

1+ 3b+ c= 23 -1



prim)




Deci (abc)(2313) (257)


FISA DE LUCRU



6400 418



3 Fie multimile

A= 2 11x x x si 3x

B= 14y y y si 6y



5






A 1 si 54 B 2 si 27 C 3 si 18 D 6 si 9


A 3 B 5 C 7 D 11

7



8



prime



b+c=759





a +b + c = 61 şi b = 25+c


a + 2b + 10c = 82







a) 6 b) 9 c) 8 d) 7

Rezolvare




3280 = + + + + + + +





figurativă


Metoda comparaţiei













30 de sărituri






raportor









Metoda grafică


















prezent


cele două numere

















decacirct 4


Metoda figurativă





clasă




























apă






9

4 din rest




mişcare






căutările






























fiecare vas











ProfStatie Ileana







Criptaritm







răsturnatele lor









3 6 9 00abc abc



4 8 12 00abc abc


xyz yz









( 5) ( 1) 10 ( 2)( 5)abc c a a a cb b a b







I Calculaţi sumele

1) 7) 2+4+6+hellip+100

2) 8) 3+6+9+hellip+2010

3) 1+2+3+hellip+50 9) 6+12+18+hellip+2010

4) 1+2+3+hellip+2009 10) 140+133+126+hellip+7

5) 0+1+2+3+hellip+500 11) 10+11+12+hellip+100

6) 91+90+89+hellip+1 12) 25+30+35+hellip+2010

II








c Calculaţi suma









III


21) Calculează



pătrat perfect




1) 14 15 16 2) 8 10 12 3) 13 15 17

4) 5 8 11 5) 0 1 1 2 3 5 8 6) 0 1 1 2 4 8 16

7) 1 2 6 24 120 8) 1 3 7 15 9) 61 52 63


1)15 16 17 30 2) 2 4 6 54

3) 4 7 10 76 4) 2 7 12 77

















termen

32) Fie numărul A= 123456789101112131420022003


33) Fie cifre

A2007



a) S=111+222++999

b) S=9+19+29++1999

c) S=3+5+7++2001-2-4-6--2000


a) S=12+23++1920 b) S=123+234++181920

36) Fie cifre

S2007

252222225225255









Observatii





Aplicatii













este egala cu 28




































(Timis et locala)






1 56789 2122232425 3738394041

2 4 10 20 26 36

3 3 11 19 27 35

4 2 12 18 28 34

51 1314151617 2930313233













dau restul 97











Sau


Aplicatii









de nastere


divizibile cu 2

Observatii





divizibila cu n






















aceeasi calitate




Tema







la impartirea cu 11



punctajul maxim






Probleme propuse









sau egale cu 503




restul


icircmpărţitorul

























cifre dă restul 97


Prof Genoiu Leon


obiectersquorsquo

























dau acelaşi rest














calitate


două numere pare




DIVIZIBILITATE IN N




incat a=b∙c

Notam ba sau ab







4a1a=1

5a0 aN

60aa=0

7ab ab∙c cN






11abacbc cN

12 abbc si cne0ab


















n daca si


























37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008





Exemple




deci nu este prim






demonstrat mai sus






























220 = 2 x 2 x 5 x 11

284 = 2 x 2 x 71



acestia



2 x 2 = 4

2 x 5 = 10

2 x 11 = 22

5 x 11 = 55

2 x 2 x 5 = 20


2 x 2 x 11 = 44

2 x 5 x 11 = 110

Deci 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284


2 x 2 = 4

2 x 71 = 142

Deci 1 + 2 +4+ 71 + 142 = 220


















= 5 ani






Rezolvare



D6=1236





ab=2361




p=2x3x5

Rezolvare

Nr divizorilor este

(3+1)(1+1)(2+1)=4x2x3=24


















20 2 = 10

20 4 = 5

20 5 = 4

10 + 5 + 4 = 19 camile




Exercitiu rezolvat


Solutie

primnr a

2 a 2 2c 2 6b 2 56 a= 2


2+ 6b+ 2c= 46 2

1+ 3b+ c= 23 -1



prim)




Deci (abc)(2313) (257)


FISA DE LUCRU



6400 418



3 Fie multimile

A= 2 11x x x si 3x

B= 14y y y si 6y



5






A 1 si 54 B 2 si 27 C 3 si 18 D 6 si 9


A 3 B 5 C 7 D 11

7



8



prime



b+c=759





a +b + c = 61 şi b = 25+c


a + 2b + 10c = 82







a) 6 b) 9 c) 8 d) 7

Rezolvare




3280 = + + + + + + +





figurativă


Metoda comparaţiei













30 de sărituri






raportor









Metoda grafică


















prezent


cele două numere

















decacirct 4


Metoda figurativă





clasă




























apă






9

4 din rest




mişcare






căutările






























fiecare vas











ProfStatie Ileana







Criptaritm







răsturnatele lor









3 6 9 00abc abc



4 8 12 00abc abc


xyz yz









( 5) ( 1) 10 ( 2)( 5)abc c a a a cb b a b







I Calculaţi sumele

1) 7) 2+4+6+hellip+100

2) 8) 3+6+9+hellip+2010

3) 1+2+3+hellip+50 9) 6+12+18+hellip+2010

4) 1+2+3+hellip+2009 10) 140+133+126+hellip+7

5) 0+1+2+3+hellip+500 11) 10+11+12+hellip+100

6) 91+90+89+hellip+1 12) 25+30+35+hellip+2010

II








c Calculaţi suma









III


21) Calculează



pătrat perfect




1) 14 15 16 2) 8 10 12 3) 13 15 17

4) 5 8 11 5) 0 1 1 2 3 5 8 6) 0 1 1 2 4 8 16

7) 1 2 6 24 120 8) 1 3 7 15 9) 61 52 63


1)15 16 17 30 2) 2 4 6 54

3) 4 7 10 76 4) 2 7 12 77

















termen

32) Fie numărul A= 123456789101112131420022003


33) Fie cifre

A2007



a) S=111+222++999

b) S=9+19+29++1999

c) S=3+5+7++2001-2-4-6--2000


a) S=12+23++1920 b) S=123+234++181920

36) Fie cifre

S2007

252222225225255









Observatii





Aplicatii













este egala cu 28




































(Timis et locala)






1 56789 2122232425 3738394041

2 4 10 20 26 36

3 3 11 19 27 35

4 2 12 18 28 34

51 1314151617 2930313233













dau restul 97











Sau


Aplicatii









de nastere


divizibile cu 2

Observatii





divizibila cu n






















aceeasi calitate




Tema







la impartirea cu 11



punctajul maxim






Probleme propuse









sau egale cu 503




restul


icircmpărţitorul

























cifre dă restul 97


Prof Genoiu Leon


obiectersquorsquo

























dau acelaşi rest














calitate


două numere pare




DIVIZIBILITATE IN N




incat a=b∙c

Notam ba sau ab







4a1a=1

5a0 aN

60aa=0

7ab ab∙c cN






11abacbc cN

12 abbc si cne0ab


















n daca si


























37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008





















220 = 2 x 2 x 5 x 11

284 = 2 x 2 x 71



acestia



2 x 2 = 4

2 x 5 = 10

2 x 11 = 22

5 x 11 = 55

2 x 2 x 5 = 20


2 x 2 x 11 = 44

2 x 5 x 11 = 110

Deci 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284


2 x 2 = 4

2 x 71 = 142

Deci 1 + 2 +4+ 71 + 142 = 220


















= 5 ani






Rezolvare



D6=1236





ab=2361




p=2x3x5

Rezolvare

Nr divizorilor este

(3+1)(1+1)(2+1)=4x2x3=24


















20 2 = 10

20 4 = 5

20 5 = 4

10 + 5 + 4 = 19 camile




Exercitiu rezolvat


Solutie

primnr a

2 a 2 2c 2 6b 2 56 a= 2


2+ 6b+ 2c= 46 2

1+ 3b+ c= 23 -1



prim)




Deci (abc)(2313) (257)


FISA DE LUCRU



6400 418



3 Fie multimile

A= 2 11x x x si 3x

B= 14y y y si 6y



5






A 1 si 54 B 2 si 27 C 3 si 18 D 6 si 9


A 3 B 5 C 7 D 11

7



8



prime



b+c=759





a +b + c = 61 şi b = 25+c


a + 2b + 10c = 82







a) 6 b) 9 c) 8 d) 7

Rezolvare




3280 = + + + + + + +





figurativă


Metoda comparaţiei













30 de sărituri






raportor









Metoda grafică


















prezent


cele două numere

















decacirct 4


Metoda figurativă





clasă




























apă






9

4 din rest




mişcare






căutările






























fiecare vas











ProfStatie Ileana







Criptaritm







răsturnatele lor









3 6 9 00abc abc



4 8 12 00abc abc


xyz yz









( 5) ( 1) 10 ( 2)( 5)abc c a a a cb b a b







I Calculaţi sumele

1) 7) 2+4+6+hellip+100

2) 8) 3+6+9+hellip+2010

3) 1+2+3+hellip+50 9) 6+12+18+hellip+2010

4) 1+2+3+hellip+2009 10) 140+133+126+hellip+7

5) 0+1+2+3+hellip+500 11) 10+11+12+hellip+100

6) 91+90+89+hellip+1 12) 25+30+35+hellip+2010

II








c Calculaţi suma









III


21) Calculează



pătrat perfect




1) 14 15 16 2) 8 10 12 3) 13 15 17

4) 5 8 11 5) 0 1 1 2 3 5 8 6) 0 1 1 2 4 8 16

7) 1 2 6 24 120 8) 1 3 7 15 9) 61 52 63


1)15 16 17 30 2) 2 4 6 54

3) 4 7 10 76 4) 2 7 12 77

















termen

32) Fie numărul A= 123456789101112131420022003


33) Fie cifre

A2007



a) S=111+222++999

b) S=9+19+29++1999

c) S=3+5+7++2001-2-4-6--2000


a) S=12+23++1920 b) S=123+234++181920

36) Fie cifre

S2007

252222225225255









Observatii





Aplicatii













este egala cu 28




































(Timis et locala)






1 56789 2122232425 3738394041

2 4 10 20 26 36

3 3 11 19 27 35

4 2 12 18 28 34

51 1314151617 2930313233













dau restul 97











Sau


Aplicatii









de nastere


divizibile cu 2

Observatii





divizibila cu n






















aceeasi calitate




Tema







la impartirea cu 11



punctajul maxim






Probleme propuse









sau egale cu 503




restul


icircmpărţitorul

























cifre dă restul 97


Prof Genoiu Leon


obiectersquorsquo

























dau acelaşi rest














calitate


două numere pare




DIVIZIBILITATE IN N




incat a=b∙c

Notam ba sau ab







4a1a=1

5a0 aN

60aa=0

7ab ab∙c cN






11abacbc cN

12 abbc si cne0ab


















n daca si


























37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008





2 x 2 x 11 = 44

2 x 5 x 11 = 110

Deci 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284


2 x 2 = 4

2 x 71 = 142

Deci 1 + 2 +4+ 71 + 142 = 220


















= 5 ani






Rezolvare



D6=1236





ab=2361




p=2x3x5

Rezolvare

Nr divizorilor este

(3+1)(1+1)(2+1)=4x2x3=24


















20 2 = 10

20 4 = 5

20 5 = 4

10 + 5 + 4 = 19 camile




Exercitiu rezolvat


Solutie

primnr a

2 a 2 2c 2 6b 2 56 a= 2


2+ 6b+ 2c= 46 2

1+ 3b+ c= 23 -1



prim)




Deci (abc)(2313) (257)


FISA DE LUCRU



6400 418



3 Fie multimile

A= 2 11x x x si 3x

B= 14y y y si 6y



5






A 1 si 54 B 2 si 27 C 3 si 18 D 6 si 9


A 3 B 5 C 7 D 11

7



8



prime



b+c=759





a +b + c = 61 şi b = 25+c


a + 2b + 10c = 82







a) 6 b) 9 c) 8 d) 7

Rezolvare




3280 = + + + + + + +





figurativă


Metoda comparaţiei













30 de sărituri






raportor









Metoda grafică


















prezent


cele două numere

















decacirct 4


Metoda figurativă





clasă




























apă






9

4 din rest




mişcare






căutările






























fiecare vas











ProfStatie Ileana







Criptaritm







răsturnatele lor









3 6 9 00abc abc



4 8 12 00abc abc


xyz yz









( 5) ( 1) 10 ( 2)( 5)abc c a a a cb b a b







I Calculaţi sumele

1) 7) 2+4+6+hellip+100

2) 8) 3+6+9+hellip+2010

3) 1+2+3+hellip+50 9) 6+12+18+hellip+2010

4) 1+2+3+hellip+2009 10) 140+133+126+hellip+7

5) 0+1+2+3+hellip+500 11) 10+11+12+hellip+100

6) 91+90+89+hellip+1 12) 25+30+35+hellip+2010

II








c Calculaţi suma









III


21) Calculează



pătrat perfect




1) 14 15 16 2) 8 10 12 3) 13 15 17

4) 5 8 11 5) 0 1 1 2 3 5 8 6) 0 1 1 2 4 8 16

7) 1 2 6 24 120 8) 1 3 7 15 9) 61 52 63


1)15 16 17 30 2) 2 4 6 54

3) 4 7 10 76 4) 2 7 12 77

















termen

32) Fie numărul A= 123456789101112131420022003


33) Fie cifre

A2007



a) S=111+222++999

b) S=9+19+29++1999

c) S=3+5+7++2001-2-4-6--2000


a) S=12+23++1920 b) S=123+234++181920

36) Fie cifre

S2007

252222225225255









Observatii





Aplicatii













este egala cu 28




































(Timis et locala)






1 56789 2122232425 3738394041

2 4 10 20 26 36

3 3 11 19 27 35

4 2 12 18 28 34

51 1314151617 2930313233













dau restul 97











Sau


Aplicatii









de nastere


divizibile cu 2

Observatii





divizibila cu n






















aceeasi calitate




Tema







la impartirea cu 11



punctajul maxim






Probleme propuse









sau egale cu 503




restul


icircmpărţitorul

























cifre dă restul 97


Prof Genoiu Leon


obiectersquorsquo

























dau acelaşi rest














calitate


două numere pare




DIVIZIBILITATE IN N




incat a=b∙c

Notam ba sau ab







4a1a=1

5a0 aN

60aa=0

7ab ab∙c cN






11abacbc cN

12 abbc si cne0ab


















n daca si


























37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008









Rezolvare



D6=1236





ab=2361




p=2x3x5

Rezolvare

Nr divizorilor este

(3+1)(1+1)(2+1)=4x2x3=24


















20 2 = 10

20 4 = 5

20 5 = 4

10 + 5 + 4 = 19 camile




Exercitiu rezolvat


Solutie

primnr a

2 a 2 2c 2 6b 2 56 a= 2


2+ 6b+ 2c= 46 2

1+ 3b+ c= 23 -1



prim)




Deci (abc)(2313) (257)


FISA DE LUCRU



6400 418



3 Fie multimile

A= 2 11x x x si 3x

B= 14y y y si 6y



5






A 1 si 54 B 2 si 27 C 3 si 18 D 6 si 9


A 3 B 5 C 7 D 11

7



8



prime



b+c=759





a +b + c = 61 şi b = 25+c


a + 2b + 10c = 82







a) 6 b) 9 c) 8 d) 7

Rezolvare




3280 = + + + + + + +





figurativă


Metoda comparaţiei













30 de sărituri






raportor









Metoda grafică


















prezent


cele două numere

















decacirct 4


Metoda figurativă





clasă




























apă






9

4 din rest




mişcare






căutările






























fiecare vas











ProfStatie Ileana







Criptaritm







răsturnatele lor









3 6 9 00abc abc



4 8 12 00abc abc


xyz yz









( 5) ( 1) 10 ( 2)( 5)abc c a a a cb b a b







I Calculaţi sumele

1) 7) 2+4+6+hellip+100

2) 8) 3+6+9+hellip+2010

3) 1+2+3+hellip+50 9) 6+12+18+hellip+2010

4) 1+2+3+hellip+2009 10) 140+133+126+hellip+7

5) 0+1+2+3+hellip+500 11) 10+11+12+hellip+100

6) 91+90+89+hellip+1 12) 25+30+35+hellip+2010

II








c Calculaţi suma









III


21) Calculează



pătrat perfect




1) 14 15 16 2) 8 10 12 3) 13 15 17

4) 5 8 11 5) 0 1 1 2 3 5 8 6) 0 1 1 2 4 8 16

7) 1 2 6 24 120 8) 1 3 7 15 9) 61 52 63


1)15 16 17 30 2) 2 4 6 54

3) 4 7 10 76 4) 2 7 12 77

















termen

32) Fie numărul A= 123456789101112131420022003


33) Fie cifre

A2007



a) S=111+222++999

b) S=9+19+29++1999

c) S=3+5+7++2001-2-4-6--2000


a) S=12+23++1920 b) S=123+234++181920

36) Fie cifre

S2007

252222225225255









Observatii





Aplicatii













este egala cu 28




































(Timis et locala)






1 56789 2122232425 3738394041

2 4 10 20 26 36

3 3 11 19 27 35

4 2 12 18 28 34

51 1314151617 2930313233













dau restul 97











Sau


Aplicatii









de nastere


divizibile cu 2

Observatii





divizibila cu n






















aceeasi calitate




Tema







la impartirea cu 11



punctajul maxim






Probleme propuse









sau egale cu 503




restul


icircmpărţitorul

























cifre dă restul 97


Prof Genoiu Leon


obiectersquorsquo

























dau acelaşi rest














calitate


două numere pare




DIVIZIBILITATE IN N




incat a=b∙c

Notam ba sau ab







4a1a=1

5a0 aN

60aa=0

7ab ab∙c cN






11abacbc cN

12 abbc si cne0ab


















n daca si


























37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008













20 2 = 10

20 4 = 5

20 5 = 4

10 + 5 + 4 = 19 camile




Exercitiu rezolvat


Solutie

primnr a

2 a 2 2c 2 6b 2 56 a= 2


2+ 6b+ 2c= 46 2

1+ 3b+ c= 23 -1



prim)




Deci (abc)(2313) (257)


FISA DE LUCRU



6400 418



3 Fie multimile

A= 2 11x x x si 3x

B= 14y y y si 6y



5






A 1 si 54 B 2 si 27 C 3 si 18 D 6 si 9


A 3 B 5 C 7 D 11

7



8



prime



b+c=759





a +b + c = 61 şi b = 25+c


a + 2b + 10c = 82







a) 6 b) 9 c) 8 d) 7

Rezolvare




3280 = + + + + + + +





figurativă


Metoda comparaţiei













30 de sărituri






raportor









Metoda grafică


















prezent


cele două numere

















decacirct 4


Metoda figurativă





clasă




























apă






9

4 din rest




mişcare






căutările






























fiecare vas











ProfStatie Ileana







Criptaritm







răsturnatele lor









3 6 9 00abc abc



4 8 12 00abc abc


xyz yz









( 5) ( 1) 10 ( 2)( 5)abc c a a a cb b a b







I Calculaţi sumele

1) 7) 2+4+6+hellip+100

2) 8) 3+6+9+hellip+2010

3) 1+2+3+hellip+50 9) 6+12+18+hellip+2010

4) 1+2+3+hellip+2009 10) 140+133+126+hellip+7

5) 0+1+2+3+hellip+500 11) 10+11+12+hellip+100

6) 91+90+89+hellip+1 12) 25+30+35+hellip+2010

II








c Calculaţi suma









III


21) Calculează



pătrat perfect




1) 14 15 16 2) 8 10 12 3) 13 15 17

4) 5 8 11 5) 0 1 1 2 3 5 8 6) 0 1 1 2 4 8 16

7) 1 2 6 24 120 8) 1 3 7 15 9) 61 52 63


1)15 16 17 30 2) 2 4 6 54

3) 4 7 10 76 4) 2 7 12 77

















termen

32) Fie numărul A= 123456789101112131420022003


33) Fie cifre

A2007



a) S=111+222++999

b) S=9+19+29++1999

c) S=3+5+7++2001-2-4-6--2000


a) S=12+23++1920 b) S=123+234++181920

36) Fie cifre

S2007

252222225225255









Observatii





Aplicatii













este egala cu 28




































(Timis et locala)






1 56789 2122232425 3738394041

2 4 10 20 26 36

3 3 11 19 27 35

4 2 12 18 28 34

51 1314151617 2930313233













dau restul 97











Sau


Aplicatii









de nastere


divizibile cu 2

Observatii





divizibila cu n






















aceeasi calitate




Tema







la impartirea cu 11



punctajul maxim






Probleme propuse









sau egale cu 503




restul


icircmpărţitorul

























cifre dă restul 97


Prof Genoiu Leon


obiectersquorsquo

























dau acelaşi rest














calitate


două numere pare




DIVIZIBILITATE IN N




incat a=b∙c

Notam ba sau ab







4a1a=1

5a0 aN

60aa=0

7ab ab∙c cN






11abacbc cN

12 abbc si cne0ab


















n daca si


























37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008





FISA DE LUCRU



6400 418



3 Fie multimile

A= 2 11x x x si 3x

B= 14y y y si 6y



5






A 1 si 54 B 2 si 27 C 3 si 18 D 6 si 9


A 3 B 5 C 7 D 11

7



8



prime



b+c=759





a +b + c = 61 şi b = 25+c


a + 2b + 10c = 82







a) 6 b) 9 c) 8 d) 7

Rezolvare




3280 = + + + + + + +





figurativă


Metoda comparaţiei













30 de sărituri






raportor









Metoda grafică


















prezent


cele două numere

















decacirct 4


Metoda figurativă





clasă




























apă






9

4 din rest




mişcare






căutările






























fiecare vas











ProfStatie Ileana







Criptaritm







răsturnatele lor









3 6 9 00abc abc



4 8 12 00abc abc


xyz yz









( 5) ( 1) 10 ( 2)( 5)abc c a a a cb b a b







I Calculaţi sumele

1) 7) 2+4+6+hellip+100

2) 8) 3+6+9+hellip+2010

3) 1+2+3+hellip+50 9) 6+12+18+hellip+2010

4) 1+2+3+hellip+2009 10) 140+133+126+hellip+7

5) 0+1+2+3+hellip+500 11) 10+11+12+hellip+100

6) 91+90+89+hellip+1 12) 25+30+35+hellip+2010

II








c Calculaţi suma









III


21) Calculează



pătrat perfect




1) 14 15 16 2) 8 10 12 3) 13 15 17

4) 5 8 11 5) 0 1 1 2 3 5 8 6) 0 1 1 2 4 8 16

7) 1 2 6 24 120 8) 1 3 7 15 9) 61 52 63


1)15 16 17 30 2) 2 4 6 54

3) 4 7 10 76 4) 2 7 12 77

















termen

32) Fie numărul A= 123456789101112131420022003


33) Fie cifre

A2007



a) S=111+222++999

b) S=9+19+29++1999

c) S=3+5+7++2001-2-4-6--2000


a) S=12+23++1920 b) S=123+234++181920

36) Fie cifre

S2007

252222225225255









Observatii





Aplicatii













este egala cu 28




































(Timis et locala)






1 56789 2122232425 3738394041

2 4 10 20 26 36

3 3 11 19 27 35

4 2 12 18 28 34

51 1314151617 2930313233













dau restul 97











Sau


Aplicatii









de nastere


divizibile cu 2

Observatii





divizibila cu n






















aceeasi calitate




Tema







la impartirea cu 11



punctajul maxim






Probleme propuse









sau egale cu 503




restul


icircmpărţitorul

























cifre dă restul 97


Prof Genoiu Leon


obiectersquorsquo

























dau acelaşi rest














calitate


două numere pare




DIVIZIBILITATE IN N




incat a=b∙c

Notam ba sau ab







4a1a=1

5a0 aN

60aa=0

7ab ab∙c cN






11abacbc cN

12 abbc si cne0ab


















n daca si


























37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008






b+c=759





a +b + c = 61 şi b = 25+c


a + 2b + 10c = 82







a) 6 b) 9 c) 8 d) 7

Rezolvare




3280 = + + + + + + +





figurativă


Metoda comparaţiei













30 de sărituri






raportor









Metoda grafică


















prezent


cele două numere

















decacirct 4


Metoda figurativă





clasă




























apă






9

4 din rest




mişcare






căutările






























fiecare vas











ProfStatie Ileana







Criptaritm







răsturnatele lor









3 6 9 00abc abc



4 8 12 00abc abc


xyz yz









( 5) ( 1) 10 ( 2)( 5)abc c a a a cb b a b







I Calculaţi sumele

1) 7) 2+4+6+hellip+100

2) 8) 3+6+9+hellip+2010

3) 1+2+3+hellip+50 9) 6+12+18+hellip+2010

4) 1+2+3+hellip+2009 10) 140+133+126+hellip+7

5) 0+1+2+3+hellip+500 11) 10+11+12+hellip+100

6) 91+90+89+hellip+1 12) 25+30+35+hellip+2010

II








c Calculaţi suma









III


21) Calculează



pătrat perfect




1) 14 15 16 2) 8 10 12 3) 13 15 17

4) 5 8 11 5) 0 1 1 2 3 5 8 6) 0 1 1 2 4 8 16

7) 1 2 6 24 120 8) 1 3 7 15 9) 61 52 63


1)15 16 17 30 2) 2 4 6 54

3) 4 7 10 76 4) 2 7 12 77

















termen

32) Fie numărul A= 123456789101112131420022003


33) Fie cifre

A2007



a) S=111+222++999

b) S=9+19+29++1999

c) S=3+5+7++2001-2-4-6--2000


a) S=12+23++1920 b) S=123+234++181920

36) Fie cifre

S2007

252222225225255









Observatii





Aplicatii













este egala cu 28




































(Timis et locala)






1 56789 2122232425 3738394041

2 4 10 20 26 36

3 3 11 19 27 35

4 2 12 18 28 34

51 1314151617 2930313233













dau restul 97











Sau


Aplicatii









de nastere


divizibile cu 2

Observatii





divizibila cu n






















aceeasi calitate




Tema







la impartirea cu 11



punctajul maxim






Probleme propuse









sau egale cu 503




restul


icircmpărţitorul

























cifre dă restul 97


Prof Genoiu Leon


obiectersquorsquo

























dau acelaşi rest














calitate


două numere pare




DIVIZIBILITATE IN N




incat a=b∙c

Notam ba sau ab







4a1a=1

5a0 aN

60aa=0

7ab ab∙c cN






11abacbc cN

12 abbc si cne0ab


















n daca si


























37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008






figurativă


Metoda comparaţiei













30 de sărituri






raportor









Metoda grafică


















prezent


cele două numere

















decacirct 4


Metoda figurativă





clasă




























apă






9

4 din rest




mişcare






căutările






























fiecare vas











ProfStatie Ileana







Criptaritm







răsturnatele lor









3 6 9 00abc abc



4 8 12 00abc abc


xyz yz









( 5) ( 1) 10 ( 2)( 5)abc c a a a cb b a b







I Calculaţi sumele

1) 7) 2+4+6+hellip+100

2) 8) 3+6+9+hellip+2010

3) 1+2+3+hellip+50 9) 6+12+18+hellip+2010

4) 1+2+3+hellip+2009 10) 140+133+126+hellip+7

5) 0+1+2+3+hellip+500 11) 10+11+12+hellip+100

6) 91+90+89+hellip+1 12) 25+30+35+hellip+2010

II








c Calculaţi suma









III


21) Calculează



pătrat perfect




1) 14 15 16 2) 8 10 12 3) 13 15 17

4) 5 8 11 5) 0 1 1 2 3 5 8 6) 0 1 1 2 4 8 16

7) 1 2 6 24 120 8) 1 3 7 15 9) 61 52 63


1)15 16 17 30 2) 2 4 6 54

3) 4 7 10 76 4) 2 7 12 77

















termen

32) Fie numărul A= 123456789101112131420022003


33) Fie cifre

A2007



a) S=111+222++999

b) S=9+19+29++1999

c) S=3+5+7++2001-2-4-6--2000


a) S=12+23++1920 b) S=123+234++181920

36) Fie cifre

S2007

252222225225255









Observatii





Aplicatii













este egala cu 28




































(Timis et locala)






1 56789 2122232425 3738394041

2 4 10 20 26 36

3 3 11 19 27 35

4 2 12 18 28 34

51 1314151617 2930313233













dau restul 97











Sau


Aplicatii









de nastere


divizibile cu 2

Observatii





divizibila cu n






















aceeasi calitate




Tema







la impartirea cu 11



punctajul maxim






Probleme propuse









sau egale cu 503




restul


icircmpărţitorul

























cifre dă restul 97


Prof Genoiu Leon


obiectersquorsquo

























dau acelaşi rest














calitate


două numere pare




DIVIZIBILITATE IN N




incat a=b∙c

Notam ba sau ab







4a1a=1

5a0 aN

60aa=0

7ab ab∙c cN






11abacbc cN

12 abbc si cne0ab


















n daca si


























37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008





Metoda grafică


















prezent


cele două numere

















decacirct 4


Metoda figurativă





clasă




























apă






9

4 din rest




mişcare






căutările






























fiecare vas











ProfStatie Ileana







Criptaritm







răsturnatele lor









3 6 9 00abc abc



4 8 12 00abc abc


xyz yz









( 5) ( 1) 10 ( 2)( 5)abc c a a a cb b a b







I Calculaţi sumele

1) 7) 2+4+6+hellip+100

2) 8) 3+6+9+hellip+2010

3) 1+2+3+hellip+50 9) 6+12+18+hellip+2010

4) 1+2+3+hellip+2009 10) 140+133+126+hellip+7

5) 0+1+2+3+hellip+500 11) 10+11+12+hellip+100

6) 91+90+89+hellip+1 12) 25+30+35+hellip+2010

II








c Calculaţi suma









III


21) Calculează



pătrat perfect




1) 14 15 16 2) 8 10 12 3) 13 15 17

4) 5 8 11 5) 0 1 1 2 3 5 8 6) 0 1 1 2 4 8 16

7) 1 2 6 24 120 8) 1 3 7 15 9) 61 52 63


1)15 16 17 30 2) 2 4 6 54

3) 4 7 10 76 4) 2 7 12 77

















termen

32) Fie numărul A= 123456789101112131420022003


33) Fie cifre

A2007



a) S=111+222++999

b) S=9+19+29++1999

c) S=3+5+7++2001-2-4-6--2000


a) S=12+23++1920 b) S=123+234++181920

36) Fie cifre

S2007

252222225225255









Observatii





Aplicatii













este egala cu 28




































(Timis et locala)






1 56789 2122232425 3738394041

2 4 10 20 26 36

3 3 11 19 27 35

4 2 12 18 28 34

51 1314151617 2930313233













dau restul 97











Sau


Aplicatii









de nastere


divizibile cu 2

Observatii





divizibila cu n






















aceeasi calitate




Tema







la impartirea cu 11



punctajul maxim






Probleme propuse









sau egale cu 503




restul


icircmpărţitorul

























cifre dă restul 97


Prof Genoiu Leon


obiectersquorsquo

























dau acelaşi rest














calitate


două numere pare




DIVIZIBILITATE IN N




incat a=b∙c

Notam ba sau ab







4a1a=1

5a0 aN

60aa=0

7ab ab∙c cN






11abacbc cN

12 abbc si cne0ab


















n daca si


























37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008







decacirct 4


Metoda figurativă





clasă




























apă






9

4 din rest




mişcare






căutările






























fiecare vas











ProfStatie Ileana







Criptaritm







răsturnatele lor









3 6 9 00abc abc



4 8 12 00abc abc


xyz yz









( 5) ( 1) 10 ( 2)( 5)abc c a a a cb b a b







I Calculaţi sumele

1) 7) 2+4+6+hellip+100

2) 8) 3+6+9+hellip+2010

3) 1+2+3+hellip+50 9) 6+12+18+hellip+2010

4) 1+2+3+hellip+2009 10) 140+133+126+hellip+7

5) 0+1+2+3+hellip+500 11) 10+11+12+hellip+100

6) 91+90+89+hellip+1 12) 25+30+35+hellip+2010

II








c Calculaţi suma









III


21) Calculează



pătrat perfect




1) 14 15 16 2) 8 10 12 3) 13 15 17

4) 5 8 11 5) 0 1 1 2 3 5 8 6) 0 1 1 2 4 8 16

7) 1 2 6 24 120 8) 1 3 7 15 9) 61 52 63


1)15 16 17 30 2) 2 4 6 54

3) 4 7 10 76 4) 2 7 12 77

















termen

32) Fie numărul A= 123456789101112131420022003


33) Fie cifre

A2007



a) S=111+222++999

b) S=9+19+29++1999

c) S=3+5+7++2001-2-4-6--2000


a) S=12+23++1920 b) S=123+234++181920

36) Fie cifre

S2007

252222225225255









Observatii





Aplicatii













este egala cu 28




































(Timis et locala)






1 56789 2122232425 3738394041

2 4 10 20 26 36

3 3 11 19 27 35

4 2 12 18 28 34

51 1314151617 2930313233













dau restul 97











Sau


Aplicatii









de nastere


divizibile cu 2

Observatii





divizibila cu n






















aceeasi calitate




Tema







la impartirea cu 11



punctajul maxim






Probleme propuse









sau egale cu 503




restul


icircmpărţitorul

























cifre dă restul 97


Prof Genoiu Leon


obiectersquorsquo

























dau acelaşi rest














calitate


două numere pare




DIVIZIBILITATE IN N




incat a=b∙c

Notam ba sau ab







4a1a=1

5a0 aN

60aa=0

7ab ab∙c cN






11abacbc cN

12 abbc si cne0ab


















n daca si


























37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008













apă






9

4 din rest




mişcare






căutările






























fiecare vas











ProfStatie Ileana







Criptaritm







răsturnatele lor









3 6 9 00abc abc



4 8 12 00abc abc


xyz yz









( 5) ( 1) 10 ( 2)( 5)abc c a a a cb b a b







I Calculaţi sumele

1) 7) 2+4+6+hellip+100

2) 8) 3+6+9+hellip+2010

3) 1+2+3+hellip+50 9) 6+12+18+hellip+2010

4) 1+2+3+hellip+2009 10) 140+133+126+hellip+7

5) 0+1+2+3+hellip+500 11) 10+11+12+hellip+100

6) 91+90+89+hellip+1 12) 25+30+35+hellip+2010

II








c Calculaţi suma









III


21) Calculează



pătrat perfect




1) 14 15 16 2) 8 10 12 3) 13 15 17

4) 5 8 11 5) 0 1 1 2 3 5 8 6) 0 1 1 2 4 8 16

7) 1 2 6 24 120 8) 1 3 7 15 9) 61 52 63


1)15 16 17 30 2) 2 4 6 54

3) 4 7 10 76 4) 2 7 12 77

















termen

32) Fie numărul A= 123456789101112131420022003


33) Fie cifre

A2007



a) S=111+222++999

b) S=9+19+29++1999

c) S=3+5+7++2001-2-4-6--2000


a) S=12+23++1920 b) S=123+234++181920

36) Fie cifre

S2007

252222225225255









Observatii





Aplicatii













este egala cu 28




































(Timis et locala)






1 56789 2122232425 3738394041

2 4 10 20 26 36

3 3 11 19 27 35

4 2 12 18 28 34

51 1314151617 2930313233













dau restul 97











Sau


Aplicatii









de nastere


divizibile cu 2

Observatii





divizibila cu n






















aceeasi calitate




Tema







la impartirea cu 11



punctajul maxim






Probleme propuse









sau egale cu 503




restul


icircmpărţitorul

























cifre dă restul 97


Prof Genoiu Leon


obiectersquorsquo

























dau acelaşi rest














calitate


două numere pare




DIVIZIBILITATE IN N




incat a=b∙c

Notam ba sau ab







4a1a=1

5a0 aN

60aa=0

7ab ab∙c cN






11abacbc cN

12 abbc si cne0ab


















n daca si


























37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008






mişcare






căutările






























fiecare vas











ProfStatie Ileana







Criptaritm







răsturnatele lor









3 6 9 00abc abc



4 8 12 00abc abc


xyz yz









( 5) ( 1) 10 ( 2)( 5)abc c a a a cb b a b







I Calculaţi sumele

1) 7) 2+4+6+hellip+100

2) 8) 3+6+9+hellip+2010

3) 1+2+3+hellip+50 9) 6+12+18+hellip+2010

4) 1+2+3+hellip+2009 10) 140+133+126+hellip+7

5) 0+1+2+3+hellip+500 11) 10+11+12+hellip+100

6) 91+90+89+hellip+1 12) 25+30+35+hellip+2010

II








c Calculaţi suma









III


21) Calculează



pătrat perfect




1) 14 15 16 2) 8 10 12 3) 13 15 17

4) 5 8 11 5) 0 1 1 2 3 5 8 6) 0 1 1 2 4 8 16

7) 1 2 6 24 120 8) 1 3 7 15 9) 61 52 63


1)15 16 17 30 2) 2 4 6 54

3) 4 7 10 76 4) 2 7 12 77

















termen

32) Fie numărul A= 123456789101112131420022003


33) Fie cifre

A2007



a) S=111+222++999

b) S=9+19+29++1999

c) S=3+5+7++2001-2-4-6--2000


a) S=12+23++1920 b) S=123+234++181920

36) Fie cifre

S2007

252222225225255









Observatii





Aplicatii













este egala cu 28




































(Timis et locala)






1 56789 2122232425 3738394041

2 4 10 20 26 36

3 3 11 19 27 35

4 2 12 18 28 34

51 1314151617 2930313233













dau restul 97











Sau


Aplicatii









de nastere


divizibile cu 2

Observatii





divizibila cu n






















aceeasi calitate




Tema







la impartirea cu 11



punctajul maxim






Probleme propuse









sau egale cu 503




restul


icircmpărţitorul

























cifre dă restul 97


Prof Genoiu Leon


obiectersquorsquo

























dau acelaşi rest














calitate


două numere pare




DIVIZIBILITATE IN N




incat a=b∙c

Notam ba sau ab







4a1a=1

5a0 aN

60aa=0

7ab ab∙c cN






11abacbc cN

12 abbc si cne0ab


















n daca si


























37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008




























fiecare vas











ProfStatie Ileana







Criptaritm







răsturnatele lor









3 6 9 00abc abc



4 8 12 00abc abc


xyz yz









( 5) ( 1) 10 ( 2)( 5)abc c a a a cb b a b







I Calculaţi sumele

1) 7) 2+4+6+hellip+100

2) 8) 3+6+9+hellip+2010

3) 1+2+3+hellip+50 9) 6+12+18+hellip+2010

4) 1+2+3+hellip+2009 10) 140+133+126+hellip+7

5) 0+1+2+3+hellip+500 11) 10+11+12+hellip+100

6) 91+90+89+hellip+1 12) 25+30+35+hellip+2010

II








c Calculaţi suma









III


21) Calculează



pătrat perfect




1) 14 15 16 2) 8 10 12 3) 13 15 17

4) 5 8 11 5) 0 1 1 2 3 5 8 6) 0 1 1 2 4 8 16

7) 1 2 6 24 120 8) 1 3 7 15 9) 61 52 63


1)15 16 17 30 2) 2 4 6 54

3) 4 7 10 76 4) 2 7 12 77

















termen

32) Fie numărul A= 123456789101112131420022003


33) Fie cifre

A2007



a) S=111+222++999

b) S=9+19+29++1999

c) S=3+5+7++2001-2-4-6--2000


a) S=12+23++1920 b) S=123+234++181920

36) Fie cifre

S2007

252222225225255









Observatii





Aplicatii













este egala cu 28




































(Timis et locala)






1 56789 2122232425 3738394041

2 4 10 20 26 36

3 3 11 19 27 35

4 2 12 18 28 34

51 1314151617 2930313233













dau restul 97











Sau


Aplicatii









de nastere


divizibile cu 2

Observatii





divizibila cu n






















aceeasi calitate




Tema







la impartirea cu 11



punctajul maxim






Probleme propuse









sau egale cu 503




restul


icircmpărţitorul

























cifre dă restul 97


Prof Genoiu Leon


obiectersquorsquo

























dau acelaşi rest














calitate


două numere pare




DIVIZIBILITATE IN N




incat a=b∙c

Notam ba sau ab







4a1a=1

5a0 aN

60aa=0

7ab ab∙c cN






11abacbc cN

12 abbc si cne0ab


















n daca si


























37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008








ProfStatie Ileana







Criptaritm







răsturnatele lor









3 6 9 00abc abc



4 8 12 00abc abc


xyz yz









( 5) ( 1) 10 ( 2)( 5)abc c a a a cb b a b







I Calculaţi sumele

1) 7) 2+4+6+hellip+100

2) 8) 3+6+9+hellip+2010

3) 1+2+3+hellip+50 9) 6+12+18+hellip+2010

4) 1+2+3+hellip+2009 10) 140+133+126+hellip+7

5) 0+1+2+3+hellip+500 11) 10+11+12+hellip+100

6) 91+90+89+hellip+1 12) 25+30+35+hellip+2010

II








c Calculaţi suma









III


21) Calculează



pătrat perfect




1) 14 15 16 2) 8 10 12 3) 13 15 17

4) 5 8 11 5) 0 1 1 2 3 5 8 6) 0 1 1 2 4 8 16

7) 1 2 6 24 120 8) 1 3 7 15 9) 61 52 63


1)15 16 17 30 2) 2 4 6 54

3) 4 7 10 76 4) 2 7 12 77

















termen

32) Fie numărul A= 123456789101112131420022003


33) Fie cifre

A2007



a) S=111+222++999

b) S=9+19+29++1999

c) S=3+5+7++2001-2-4-6--2000


a) S=12+23++1920 b) S=123+234++181920

36) Fie cifre

S2007

252222225225255









Observatii





Aplicatii













este egala cu 28




































(Timis et locala)






1 56789 2122232425 3738394041

2 4 10 20 26 36

3 3 11 19 27 35

4 2 12 18 28 34

51 1314151617 2930313233













dau restul 97











Sau


Aplicatii









de nastere


divizibile cu 2

Observatii





divizibila cu n






















aceeasi calitate




Tema







la impartirea cu 11



punctajul maxim






Probleme propuse









sau egale cu 503




restul


icircmpărţitorul

























cifre dă restul 97


Prof Genoiu Leon


obiectersquorsquo

























dau acelaşi rest














calitate


două numere pare




DIVIZIBILITATE IN N




incat a=b∙c

Notam ba sau ab







4a1a=1

5a0 aN

60aa=0

7ab ab∙c cN






11abacbc cN

12 abbc si cne0ab


















n daca si


























37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008






4 8 12 00abc abc


xyz yz









( 5) ( 1) 10 ( 2)( 5)abc c a a a cb b a b







I Calculaţi sumele

1) 7) 2+4+6+hellip+100

2) 8) 3+6+9+hellip+2010

3) 1+2+3+hellip+50 9) 6+12+18+hellip+2010

4) 1+2+3+hellip+2009 10) 140+133+126+hellip+7

5) 0+1+2+3+hellip+500 11) 10+11+12+hellip+100

6) 91+90+89+hellip+1 12) 25+30+35+hellip+2010

II








c Calculaţi suma









III


21) Calculează



pătrat perfect




1) 14 15 16 2) 8 10 12 3) 13 15 17

4) 5 8 11 5) 0 1 1 2 3 5 8 6) 0 1 1 2 4 8 16

7) 1 2 6 24 120 8) 1 3 7 15 9) 61 52 63


1)15 16 17 30 2) 2 4 6 54

3) 4 7 10 76 4) 2 7 12 77

















termen

32) Fie numărul A= 123456789101112131420022003


33) Fie cifre

A2007



a) S=111+222++999

b) S=9+19+29++1999

c) S=3+5+7++2001-2-4-6--2000


a) S=12+23++1920 b) S=123+234++181920

36) Fie cifre

S2007

252222225225255









Observatii





Aplicatii













este egala cu 28




































(Timis et locala)






1 56789 2122232425 3738394041

2 4 10 20 26 36

3 3 11 19 27 35

4 2 12 18 28 34

51 1314151617 2930313233













dau restul 97











Sau


Aplicatii









de nastere


divizibile cu 2

Observatii





divizibila cu n






















aceeasi calitate




Tema







la impartirea cu 11



punctajul maxim






Probleme propuse









sau egale cu 503




restul


icircmpărţitorul

























cifre dă restul 97


Prof Genoiu Leon


obiectersquorsquo

























dau acelaşi rest














calitate


două numere pare




DIVIZIBILITATE IN N




incat a=b∙c

Notam ba sau ab







4a1a=1

5a0 aN

60aa=0

7ab ab∙c cN






11abacbc cN

12 abbc si cne0ab


















n daca si


























37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008







I Calculaţi sumele

1) 7) 2+4+6+hellip+100

2) 8) 3+6+9+hellip+2010

3) 1+2+3+hellip+50 9) 6+12+18+hellip+2010

4) 1+2+3+hellip+2009 10) 140+133+126+hellip+7

5) 0+1+2+3+hellip+500 11) 10+11+12+hellip+100

6) 91+90+89+hellip+1 12) 25+30+35+hellip+2010

II








c Calculaţi suma









III


21) Calculează



pătrat perfect




1) 14 15 16 2) 8 10 12 3) 13 15 17

4) 5 8 11 5) 0 1 1 2 3 5 8 6) 0 1 1 2 4 8 16

7) 1 2 6 24 120 8) 1 3 7 15 9) 61 52 63


1)15 16 17 30 2) 2 4 6 54

3) 4 7 10 76 4) 2 7 12 77

















termen

32) Fie numărul A= 123456789101112131420022003


33) Fie cifre

A2007



a) S=111+222++999

b) S=9+19+29++1999

c) S=3+5+7++2001-2-4-6--2000


a) S=12+23++1920 b) S=123+234++181920

36) Fie cifre

S2007

252222225225255









Observatii





Aplicatii













este egala cu 28




































(Timis et locala)






1 56789 2122232425 3738394041

2 4 10 20 26 36

3 3 11 19 27 35

4 2 12 18 28 34

51 1314151617 2930313233













dau restul 97











Sau


Aplicatii









de nastere


divizibile cu 2

Observatii





divizibila cu n






















aceeasi calitate




Tema







la impartirea cu 11



punctajul maxim






Probleme propuse









sau egale cu 503




restul


icircmpărţitorul

























cifre dă restul 97


Prof Genoiu Leon


obiectersquorsquo

























dau acelaşi rest














calitate


două numere pare




DIVIZIBILITATE IN N




incat a=b∙c

Notam ba sau ab







4a1a=1

5a0 aN

60aa=0

7ab ab∙c cN






11abacbc cN

12 abbc si cne0ab


















n daca si


























37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008





III


21) Calculează



pătrat perfect




1) 14 15 16 2) 8 10 12 3) 13 15 17

4) 5 8 11 5) 0 1 1 2 3 5 8 6) 0 1 1 2 4 8 16

7) 1 2 6 24 120 8) 1 3 7 15 9) 61 52 63


1)15 16 17 30 2) 2 4 6 54

3) 4 7 10 76 4) 2 7 12 77

















termen

32) Fie numărul A= 123456789101112131420022003


33) Fie cifre

A2007



a) S=111+222++999

b) S=9+19+29++1999

c) S=3+5+7++2001-2-4-6--2000


a) S=12+23++1920 b) S=123+234++181920

36) Fie cifre

S2007

252222225225255









Observatii





Aplicatii













este egala cu 28




































(Timis et locala)






1 56789 2122232425 3738394041

2 4 10 20 26 36

3 3 11 19 27 35

4 2 12 18 28 34

51 1314151617 2930313233













dau restul 97











Sau


Aplicatii









de nastere


divizibile cu 2

Observatii





divizibila cu n






















aceeasi calitate




Tema







la impartirea cu 11



punctajul maxim






Probleme propuse









sau egale cu 503




restul


icircmpărţitorul

























cifre dă restul 97


Prof Genoiu Leon


obiectersquorsquo

























dau acelaşi rest














calitate


două numere pare




DIVIZIBILITATE IN N




incat a=b∙c

Notam ba sau ab







4a1a=1

5a0 aN

60aa=0

7ab ab∙c cN






11abacbc cN

12 abbc si cne0ab


















n daca si


























37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008






termen

32) Fie numărul A= 123456789101112131420022003


33) Fie cifre

A2007



a) S=111+222++999

b) S=9+19+29++1999

c) S=3+5+7++2001-2-4-6--2000


a) S=12+23++1920 b) S=123+234++181920

36) Fie cifre

S2007

252222225225255









Observatii





Aplicatii













este egala cu 28




































(Timis et locala)






1 56789 2122232425 3738394041

2 4 10 20 26 36

3 3 11 19 27 35

4 2 12 18 28 34

51 1314151617 2930313233













dau restul 97











Sau


Aplicatii









de nastere


divizibile cu 2

Observatii





divizibila cu n






















aceeasi calitate




Tema







la impartirea cu 11



punctajul maxim






Probleme propuse









sau egale cu 503




restul


icircmpărţitorul

























cifre dă restul 97


Prof Genoiu Leon


obiectersquorsquo

























dau acelaşi rest














calitate


două numere pare




DIVIZIBILITATE IN N




incat a=b∙c

Notam ba sau ab







4a1a=1

5a0 aN

60aa=0

7ab ab∙c cN






11abacbc cN

12 abbc si cne0ab


















n daca si


























37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008








Observatii





Aplicatii













este egala cu 28




































(Timis et locala)






1 56789 2122232425 3738394041

2 4 10 20 26 36

3 3 11 19 27 35

4 2 12 18 28 34

51 1314151617 2930313233













dau restul 97











Sau


Aplicatii









de nastere


divizibile cu 2

Observatii





divizibila cu n






















aceeasi calitate




Tema







la impartirea cu 11



punctajul maxim






Probleme propuse









sau egale cu 503




restul


icircmpărţitorul

























cifre dă restul 97


Prof Genoiu Leon


obiectersquorsquo

























dau acelaşi rest














calitate


două numere pare




DIVIZIBILITATE IN N




incat a=b∙c

Notam ba sau ab







4a1a=1

5a0 aN

60aa=0

7ab ab∙c cN






11abacbc cN

12 abbc si cne0ab


















n daca si


























37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008





























(Timis et locala)






1 56789 2122232425 3738394041

2 4 10 20 26 36

3 3 11 19 27 35

4 2 12 18 28 34

51 1314151617 2930313233













dau restul 97











Sau


Aplicatii









de nastere


divizibile cu 2

Observatii





divizibila cu n






















aceeasi calitate




Tema







la impartirea cu 11



punctajul maxim






Probleme propuse









sau egale cu 503




restul


icircmpărţitorul

























cifre dă restul 97


Prof Genoiu Leon


obiectersquorsquo

























dau acelaşi rest














calitate


două numere pare




DIVIZIBILITATE IN N




incat a=b∙c

Notam ba sau ab







4a1a=1

5a0 aN

60aa=0

7ab ab∙c cN






11abacbc cN

12 abbc si cne0ab


















n daca si


























37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008
















dau restul 97











Sau


Aplicatii









de nastere


divizibile cu 2

Observatii





divizibila cu n






















aceeasi calitate




Tema







la impartirea cu 11



punctajul maxim






Probleme propuse









sau egale cu 503




restul


icircmpărţitorul

























cifre dă restul 97


Prof Genoiu Leon


obiectersquorsquo

























dau acelaşi rest














calitate


două numere pare




DIVIZIBILITATE IN N




incat a=b∙c

Notam ba sau ab







4a1a=1

5a0 aN

60aa=0

7ab ab∙c cN






11abacbc cN

12 abbc si cne0ab


















n daca si


























37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008






de nastere


divizibile cu 2

Observatii





divizibila cu n






















aceeasi calitate




Tema







la impartirea cu 11



punctajul maxim






Probleme propuse









sau egale cu 503




restul


icircmpărţitorul

























cifre dă restul 97


Prof Genoiu Leon


obiectersquorsquo

























dau acelaşi rest














calitate


două numere pare




DIVIZIBILITATE IN N




incat a=b∙c

Notam ba sau ab







4a1a=1

5a0 aN

60aa=0

7ab ab∙c cN






11abacbc cN

12 abbc si cne0ab


















n daca si


























37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008





Tema







la impartirea cu 11



punctajul maxim






Probleme propuse









sau egale cu 503




restul


icircmpărţitorul

























cifre dă restul 97


Prof Genoiu Leon


obiectersquorsquo

























dau acelaşi rest














calitate


două numere pare




DIVIZIBILITATE IN N




incat a=b∙c

Notam ba sau ab







4a1a=1

5a0 aN

60aa=0

7ab ab∙c cN






11abacbc cN

12 abbc si cne0ab


















n daca si


























37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008









Probleme propuse









sau egale cu 503




restul


icircmpărţitorul

























cifre dă restul 97


Prof Genoiu Leon


obiectersquorsquo

























dau acelaşi rest














calitate


două numere pare




DIVIZIBILITATE IN N




incat a=b∙c

Notam ba sau ab







4a1a=1

5a0 aN

60aa=0

7ab ab∙c cN






11abacbc cN

12 abbc si cne0ab


















n daca si


























37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008
















cifre dă restul 97


Prof Genoiu Leon


obiectersquorsquo

























dau acelaşi rest














calitate


două numere pare




DIVIZIBILITATE IN N




incat a=b∙c

Notam ba sau ab







4a1a=1

5a0 aN

60aa=0

7ab ab∙c cN






11abacbc cN

12 abbc si cne0ab


















n daca si


























37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008











dau acelaşi rest














calitate


două numere pare




DIVIZIBILITATE IN N




incat a=b∙c

Notam ba sau ab







4a1a=1

5a0 aN

60aa=0

7ab ab∙c cN






11abacbc cN

12 abbc si cne0ab


















n daca si


























37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008





DIVIZIBILITATE IN N




incat a=b∙c

Notam ba sau ab







4a1a=1

5a0 aN

60aa=0

7ab ab∙c cN






11abacbc cN

12 abbc si cne0ab


















n daca si


























37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008














n daca si


























37(352+351) adica 3737∙19)


APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008





APLICATII


∙3n +2

n∙3

n+1+6

n+1 nN



∙9n∙7

n+1+28

n∙3

2n+1-4

n∙3

2n∙7



∙52n+1






2+hellip+6



2+hellip+2



3+hellip+9


consecutive

9Aratati ca N=213

+223

+233

+243

+hellip+22003



∙113k+1

∙53k



-240

se divide cu 5



si b









divide cu 11


a) 7(a+b)7(3a-4b)

b) 7(a+6b)7(3a+4b)


+1987100

-198650

-198950






a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008





a)(2x+1) 15

b)(x+1) (2x+5)

c)(2x+3) (4x+15)

d)(2x-3) (3x+9)


11143335222



Tema


n∙5

n+2

n∙15

n∙14+3

n∙10


natural


3++5


3Aratati ca 82008




Fise de lucru matematica clasa a V-a

Documents

Transcript of Fise de lucru matematica clasa a V-a