T R A

I A N

1

LOGARITMI

10

1 2 1 2

Funcţia logaritmicăf :(0, ) , ( ) log , 0, 1Notaţii specialelog lg logaritm zecimallog ln logaritm natural ( 2,71)Dacă 1 atunci funcţia este strict crescătoareadică log logDacă

b

e

b b

f x x b b

x xx x eb

x x x xb

1 2 1 2

0,1 atunci funcţia este strict descrescătoareadică log log

Proprietăţi:1) log 1 02) log 13) log log log

4) log log log

5) log log16) log log

17) log log8) log log

9) l

n

n

b b

b

b

b b b

b b bn

b b

b b

b bn

b b

x x x x

bx y x yx x yyx n x

xxx xnx x

log log

log

logog log110) log log

11)12)

b b

b

tb

t

b xx a

x

xx b

x ba xb x

: log rx r x bb IMPORTANT

EXERCIŢII 1. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei 5log (3 4) 2.x + = 2. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia:

( )22log x 7 3+ = .

3. Să se determine numărul real x pentru care ( )3log 3 x 3+ = . 4. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale strict pozitive

ecuaţia: 9log x 2= .

5. Să se calculeze 8log12log2log 333 −+ .

6. Să se calculeze partea întreagă a numărului 6log2 . 7. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale strict pozitive ecuaţia

3 3log 2 log x 1+ =

8. Să se determine numărul real pozitiv a dacă a24 log9log = .

9. Să se calculeze suma soluţiilor ecuaţiei: 22log (x +3)=2

10. Să se calculeze 2log 8 . 11. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale strict pozitive

ecuaţia: 7log x=0 .

12. Să se arate că 2 2log 3 log 6− ∈ .

13. Să se arate că 2 3log (log 9)∈ . 14. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale strict pozitive

ecuaţia: 2log x=-1.

15. Să se calculeze 41log4log 22 +

16. Să se calculeze 3

81log3

17. Să se rezolve 2 22 2log (x +7)=log (2x +3x+7) .

18. Să se rezolve 25 5log (x+1)=log (x +x) .

19. Să se arate că numărul 18log48log3log 222 −+ este natural.

20. Să se determine numărul real x dacă lgx+lg2=lg6 . 21. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia:

xlog 4=2 . 22. Să se determine numărul real x pentru care

4log (3+x)=2 . 23. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia:

2 42 2log (2x +7)= log (x +8) .

24. Să se determine numerele naturale y pentru care

23<log y<4 25. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei

.3log)2(log 22 =++ xx 26. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei

.3)5(log)2(log 22 =−−+ xx 27. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei

).32(log)6(log 32

3 −=− xx 28. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei

.2)44(log 23 =+− xx

29. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei .3)5(log2 =+x

30. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei .0)3(log2 =−x

31. Să se rezolve ecuaţia ).33(log)52(log 2

22 ++=+ xxx

32. Să se rezolve ecuaţia .1)1(log 23 =−x

33. Să se rezolve ecuaţia ).23(log)4(log 2

22

2 +−=− xxx 34. Să se rezolve ecuaţia

).12(log)12(log 32

3 +=−− xxx

35. Să se rezolve ecuaţia .1)9(log 25 =− x

36. Să se rezolve ecuaţia .1)12(log5 =+x

37. Să se rezolve ecuaţia .2)10(log3 =− x

38. Să se rezolve ecuaţia .2)32(log5 =+x

T R A

I A N

2

39. Să se rezolve reale ecuaţia .1)52(log)2(log 55 =−−+ xx

40. Să se rezolve reale ecuaţia .3)103(log 22 =−+ xx

41. Să se rezolve reale ecuaţia .1)1(log)2(log 22 =+−+ xx 42. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei

.2)2(log 22 =−− xx

43. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale pozitive ecuaţia .2log 2

2 =x

44. Să se rezolve ecuaţia .11log2 =+x 45. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei

).1(log1)13(log 55 −+=+ xx 46. Să se rezolve reale ecuaţia

.1)42(log)2(log 22

2 =−−−− xxx 47. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale eucaţia

.0)12(log 14 =−+x

48. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia

.1log 32 =x

49. Să se rezolve ecuaţia .03lg4lg2 =+− xx

50. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei .2)12(log7 =+x

51. Se consideră numărul .3log2=a Să se arate că

.1218log2 += a

52. Să se calculeze .9log213log 22 −

53. Să se calculeze .23log3log 22 −

54. Să se calculeze .10log6log5log 333 −+

55. Să se compare numerele 22 şi .32log2

56. Să arate că numărul 8log3 2)2( este natural.

57. Să se calculeze .9log25log 35 −

58. Să arate că .369log4log 32 <+

59. Să se calculeze .5log10log3log 666 −+

60. Să se calculeze .89log...

23log

12log 333 +++

61. Să se arate că .130log12log5log 222 =−+

62. Să se verifice că .23log

2log18log

5

55 =−

63. Să se arate că .0841log 3

2 =−−

64. Să se calculeze .23log3log 22 −

65. Să se verifice egalitatea .1109lg...

32lg

21lg −=+++

66. Să se calculeze .10log6log5log 333 −+

67. Să se compare numerele 22 şi .32log2

68. Să se arate că numărul ( ) 8log3 22 este natural.

69. Să se calculeze .9log25log 35 −

70. Să se calculeze .25log21

5

3

−

−

71. Să se arate că .7log6log3log14log 2222 =−+

72. Să se compare numerele 46

26 CCa −= şi

).42(log 12 ⋅= −b

73. Să se calculeze .9log213log 22 −

74. Se consideră numărul 3log2=a . Să se arate că

1218log2 += a .

75. Să se arate că 1324log3 += a , unde 2log3=a . 76. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia

lg( 1) lg(6 5) 2x x− + − = . V3 77. Să se determine inversa funcţiei bijective

( ) ( ) ( ) 2: 1, 0, , 3logf f x x∞ → ∞ = . V5 78. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia

12log (2 1)x x− + + = . V9

79. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia lg( 1) lg9 1 lgx x+ − = − . V10

80. Să se calculeze 1 2 3 99lg lg lg ... lg2 3 4 100+ + + + . V14

81. Să se calculeze

( ) ( )3 3 3log 5 7 log 5 7 log 2− + + − . V15

82. Să se arate că ( )32 log 4, 5∈ . V20

83. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2lg( 9) lg(7 3) 1 lg( 9)x x x+ + + = + + . V22

84. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia

2 4 811log log log6

x x x+ + = . V24

85. Să se rezolve în intervalul (0; )∞ ecuaţia 2lg 5lg 6 0x x+ − = . V27

86. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia

3 3log ( 1) log ( 3) 1x x+ + + = . V30

87. Ştiind că 3log 2 a= , să se arate că 161 3log 24

4a

a+

= .

V31 88. Să se arate că numărul 3

4 3log 16 log 9 27+ + este natural. V33

89. Să se arate că ( )2log 3 l, 2∈ . V38

90. Să se arate că numărul lg 2 3100 27+ − este natural. V41

T R A

I A N

3

91. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2lg lg 6x x+ = . V46

92. Să se arate că numărul 39 4log 3 log 2+ este raţional. V49

93. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 22 2log log (4 ) 4x x+ = . V57

94. Să se arate că numărul 1 1 1 1lg 1 lg 1 lg 1 ... lg 12 3 4 100

− + − + − + + −

este

întreg. V59 95. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia

33

1 5loglog 2

xx

+ = . V59

96. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia

55log log 52xx + = . V60

97. Să se arate că funcţia 2: , ( ) log (3 1)xf f x→ = +

este injectivă. V70 98. Să se calculeze 7 7log 2009 log 287 1 . V71 99. Să se ordoneze crescător numerelor

32

127 , log16

a b= − = şi 2c = − . V75

100. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale

ecuaţia 22log ( 2) 1x x+ − = . V75

101. Să se calculeze lg7 310 343− . V78

102. Să se arate că funcţia 3: , ( ) log 2xf f x x→ = − este injectivă. V78

103. Să se arate că 23( , ) (log 3, )2

−∞ ∩ ∞ =∅ . V79

104. Să se determine partea întreagă a numărului 2log 500 . V81

105. Să se arate că numărul 3 3 aparţine intervalului 2( 2, log 5) . V83

106. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia lg lg(9 2 ) 1x x+ − = . V90

107. Să se arate că funcţia ( ) 1: 1,1 , ( ) ln1

xf f xx

−− → =

+ este

impară. V94 108. Să se studieze monotonia funcţiei

( ) 2009: 0, , ( ) 2009 logxf f x x∞ → = + . V95 109. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale inecuaţia

2 4log log 3x x+ ≥ . V96

110. Să se ordoneze crescător numerele 323!, 100, log 32 . V97

111. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 2 log 2 9x x+ = . V98

112. Să se arate că funcţia

( ) 3: 3,3 , ( ) ln3

xf f xx

−− → =

+ este impară.

Bac2010 113. Determinaţi 0x > , ştiind că

log 2log 3 3log 2a a ax = − , unde 0, 1a a> ≠ . Bac2011