Fisa de Probleme Cu Vectori

1
RELAŢII METRICE CU VECTORI – FIŞĂ DE LUCRU Dacă A B , vectorul AB este ansamblul următoarelor concepte: - direcţie , ea fiind panta dreaptei determinată de punctele A şi B; - sens , acesta fiind dat de ordinea (A; B); - măsură , aceasta fiind lungimea segmentului AB Dacă A B atunci AB 0 = , acesta fiind vectorul nul. La demonstrarea relaţiilor metrice următoare se foloseşte exclusiv descompunerea unui vector în sumă de doi sau mai mulţi vectori prin regula poligonului: 1 n 1 2 2 3 n1 n AA AA AA ... A A - = + + + Principiul de rezolvare e simplu: se ia fiecare termen din datele iniţiale şi se exprimă in suma de termeni care să conţină şi vectori din relaţia de demonstrat. Astfel, folosind datele iniţiale şi compunând din aproape în aproape respectiva relaţie, într-un final aceasta se va confirma. EXEMPLU : Dacă [ ] ABCDEF este un hexagon cu centru de simetrie iar M şi N sunt respectiv mijloacele laturilor AF şi CD, atunci MN AB FE = + SOLUŢIE : Evident MN MA AB BC CN = + + + şi totodată MN MF FE ED DM = + + + , deci 2 MN MA AB BC CN MF FE ED DM = + + + + + + + . Cum însă MA MF 0 = , NC ND 0 = , DE AB = şi BC FE = , prin înlocuire se obţine MN AB FE = + APLICAŢII DE APROFUNDARE: 1) Dacă AM BM 0 = atunci 2 OM OA OB = + şi reciproc. 2) Dacă 2 AM BM 0 + = atunci 3 OM 2 OA OB = + şi reciproc. 3) Dacă 2 AM 3 BM 0 + = atunci 5 OM 2 OA 3 OB = + şi reciproc. 4) Dacă a AM b BM 0 + = atunci (a b) OM a OA b OB + = + , ( )a, b 2200 şi reciproc. 5) Dacă MA MB 0 = şi NC ND 0 = atunci AD BC 2 MN = 6) Dacă MA 2 MB 0 = şi NC 2 ND 0 = atunci AC 2 BD 3 MN = 7) Dacă 2 MA 3 MB 0 + = şi 2 NC 3 ND 0 + = atunci 2 AC 3 BD 5 MN + = 8) Dacă a MA b MB 0 + = şi a NC b ND 0 + = atunci a AC b BD (a b) MN + = + ,( )a, b 2200 9) Dacă AM BM 0 = , BN CN 0 = , CP DP 0 = , DQ AQ 0 = atunci MN PQ 0 = 10) Dacă AM 2 AB = , BN 3 BC = , CP 2 CD = , DQ 3 DA = atunci AB CD 0 = dacă şi numai dacă MN PQ 0 = 11) Dacă a, b * şi AM a AB = , BN b BC = , CP a CD = , DQ b DA = atunci AB CD 0 = dacă şi numai dacă MN PQ 0 = 12) Dacă AM AB = şi AN AC = atunci MN BC = 13) Dacă AM 2 AB = şi AN 2 AC = atunci MN 2 BC = 14) Dacă AM a AB = şi AN a AC = atunci MN a BC = 15) Dacă AM AB = şi MN BC = atunci AN AC = 16) Dacă AM a AB = şi MN a BC = atunci AN a AC = 17) Dacă A, B, C, D, E, F, G, H sunt puncte în plan, AE BF CG DH AH BG CF DE + + = + + + 18) Dacă i i A,B,i 1;n , sunt n puncte în plan, ( )n * 2200 , atunci n n i i i ni i1 i1 AB AB - = = = Silviu Boga, [email protected]

Transcript of Fisa de Probleme Cu Vectori

Page 1: Fisa de Probleme Cu Vectori

RELAŢII METRICE CU VECTORI – FIŞĂ DE LUCRU

Dacă A B≠ , vectorul AB����

este ansamblul următoarelor concepte: - direcţie, ea fiind panta dreaptei determinată de punctele A şi B; - sens, acesta fiind dat de ordinea (A; B); - măsură, aceasta fiind lungimea segmentului AB

Dacă A B≡ atunci AB 0=���� �

, acesta fiind vectorul nul.

La demonstrarea relaţiilor metrice următoare se foloseşte exclusiv descompunerea unui vector în sumă de doi sau mai mulţi vectori prin regula poligonului:

1 n 1 2 2 3 n 1 nA A A A A A ... A A−= + + +������ ������ ������� ��������

Principiul de rezolvare e simplu: se ia fiecare termen din datele iniţiale şi se exprimă in

suma de termeni care să conţină şi vectori din relaţia de demonstrat. Astfel, folosind datele iniţiale şi compunând din aproape în aproape respectiva relaţie,

într-un final aceasta se va confirma. EXEMPLU: Dacă [ ]ABCDEF este un hexagon cu centru de simetrie iar M şi N sunt respectiv

mijloacele laturilor AF şi CD, atunci MN AB FE= +���� ���� ����

SOLUŢIE: Evident MN MA AB BC CN= + + +

���� ���� ���� ���� ���� şi totodată MN MF FE ED DM= + + +

���� ���� ���� ���� ����, deci

2 MN MA AB BC CN MF FE ED DM⋅ = + + + + + + +���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ����

. Cum însă MA MF 0+ =���� ���� �

, NC ND 0+ =���� ���� �

, DE AB=���� ����

şi BC FE=���� ����

, prin înlocuire se obţine MN AB FE= +���� ���� ����

APLICAŢII DE APROFUNDARE: 1) Dacă AM BM 0+ =

���� ���� � atunci 2 OM OA OB⋅ = +

����� ���� ���� şi reciproc.

2) Dacă 2 AM BM 0⋅ + =���� ���� �

atunci 3 OM 2 OA OB⋅ = ⋅ +����� ���� ����

şi reciproc. 3) Dacă 2 AM 3 BM 0⋅ + ⋅ =

���� ���� � atunci 5 OM 2 OA 3 OB⋅ = ⋅ + ⋅

����� ���� ���� şi reciproc.

4) Dacă a AM b BM 0⋅ + ⋅ =���� ���� �

atunci (a b) OM a OA b OB+ ⋅ = ⋅ + ⋅����� ���� ����

, ( )a, b∀ ∈ℝ şi reciproc.

5) Dacă MA MB 0+ =���� ���� �

şi NC ND 0+ =���� ���� �

atunci AD BC 2 MN+ = ⋅���� ���� ����

6) Dacă MA 2 MB 0+ ⋅ =

���� ���� � şi NC 2 ND 0+ ⋅ =���� ���� �

atunci AC 2 BD 3 MN+ ⋅ = ⋅���� ���� ����

7) Dacă 2 MA 3 MB 0⋅ + ⋅ =

���� ���� � şi 2 NC 3 ND 0⋅ + ⋅ =

���� ���� � atunci 2 AC 3 BD 5 MN⋅ + ⋅ = ⋅

���� ���� ����

8) Dacă a MA b MB 0⋅ + ⋅ =���� ���� �

şi a NC b ND 0⋅ + ⋅ =���� ���� �

atunci a AC b BD (a b) MN⋅ + ⋅ = + ⋅���� ���� ����

,( )a, b∀ ∈ℝ

9) Dacă AM BM 0+ =���� ���� �

, BN CN 0+ =���� ���� �

, CP DP 0+ =���� ���� �

, DQ AQ 0+ =���� ���� �

atunci MN PQ 0+ =���� ���� �

10) Dacă AM 2 AB= ⋅

���� ����, BN 3 BC= ⋅���� ����

, CP 2 CD= ⋅���� ����

, DQ 3 DA= ⋅���� ����

atunci AB CD 0+ =���� ���� �

dacă şi numai dacă MN PQ 0+ =

���� ���� �

11) Dacă a, b *∈ℝ şi AM a AB= ⋅���� ����

, BN b BC= ⋅���� ����

, CP a CD= ⋅���� ����

, DQ b DA= ⋅���� ����

atunci AB CD 0+ =���� ���� �

dacă şi numai dacă MN PQ 0+ =���� ���� �

12) Dacă AM AB=

���� ���� şi AN AC=���� ����

atunci MN BC=���� ����

13) Dacă AM 2 AB= ⋅

���� ���� şi AN 2 AC= ⋅���� ����

atunci MN 2 BC= ⋅���� ����

14) Dacă AM a AB= ⋅

���� ���� şi AN a AC= ⋅���� ����

atunci MN a BC= ⋅���� ����

15) Dacă AM AB=

���� ���� şi MN BC=���� ����

atunci AN AC=���� ����

16) Dacă AM a AB= ⋅

���� ���� şi MN a BC= ⋅���� ����

atunci AN a AC= ⋅���� ����

17) Dacă A, B, C, D, E, F, G, H sunt puncte în plan, AE BF CG DH AH BG CF DE+ + + = + + +

���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ����

18) Dacă i iA ,B , i 1;n∈ , sunt n puncte în plan,( ) n *∀ ∈ℕ , atunci n n

i i i n ii 1 i 1

A B A B −= =

=∑ ∑����� �������

Silviu Boga, [email protected]