Fisa de lucru, nr. 1 A. Partea I: 1. Divizorii naturali ai numărului 12 sunt .... 2. Multiplii lui 7 mai mici dacât 30 sunt …. 3. Dintre numerele 121; 143 şi 243, divizibil cu 3 este numărul ....

4. Cel mai mic număr natural de forma 234x divizibil cu 5 este egal cu ….

5. Dacă numărul xy este divizibil cu 9 şi 1,x y− = atunci numărul xy este egal cu ….

6. Cel mai mare număr natural de forma 24x divizibil cu 2 este …. 7. Valoarea de adevăr a propoziţiei “5554 este divizibil cu 5” este …. 8. Dacă 30A D= şi 2,B M= atunci ....A B∩ =

Partea a II-a: 9. Demonstraţi că 2 3 20062 2 2 ... 2+ + + + este divizibil cu 3.

10. a) Arătaţi că ( ) 9.abc cba− ⋮ b) Aflaţi numerele de forma 5x x divizibile cu 9.

11. Arătaţi că numărul natural 1996 19929 7− este divizibil cu 10. 12. Demonstraţi că numărul 35 2 125n n+ ⋅ − este divizibil cu 5 şi cu 9. B. Partea I: 1. Numerele prime mai mici decât 30 sunt …. 2. Descompunerea în produs de puteri de numere prime a numărului 420 este egală cu …. 3. Suma a două numere prime este 39. Produsul celor două numere este egal cu ….

4. Dacă ( )1 31,ab ab+ ⋮ atunci valoarea expresiei a b+ este egală cu …. sau cu ....

5. Un număr natural împărţit la 60 dă restul 45. Restul împărţirii aceluiaşi număr natural la 15 este egal cu …. 6. Numărul divizorilor naturali ai numărului 320 este egal cu …. 7. Valoarea de adevăr a propoziţiei “ 10 103 7+ este număr prim” este ….

8. Cel mai mic număr natural de forma abab, cu cel mai mic număr de divizori este egal cu …. Partea a II-a: 9. Arătaţi că:a) dacă ( )2 3 5x y+ ⋮ , atunci ( )12 18 5.x y+ ⋮ b) dacă ( )2 3x y+ ⋮ , atunci ( )5 7 3.x y+ ⋮

10. Determinaţi numerele prime a şi b ştiind că 3 16 54.a b+ =

11. Să se arate că dacă a a b c⋅ + şi ,a a c b⋅ + atunci .a bc cb+

12. Determinaţi numerele naturale x şi y ştiind că ( )2 3 864.x y⋅ + =

C. Partea I: 1. Cel mai mare divizor comun al numerelor 45 şi 70 este egal cu …. 2. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 12 şi 15 este egal cu …. 3. Valoarea de adevăr a propoziţiei “15 şi 38 sunt prime între ele” este …. 4. Dintre numerele 3612 şi 1236 mai mulţi divizori are numărul ….

5. Dacă numerele 37x şi 2 sunt prime între ele, atunci { }... .x∈

6. Un divizor comun al numerelor 24 şi 60 este egal cu …. 7. Un multiplu comun al numerelor 40 şi 25 este egal cu …. 8. Cel mai mare multiplu comun al numerelor 30 şi 20, mai mic decât 150 este egal cu …. Partea a II-a: 9. Suma a două numere naturale este 120. Determinaţi numerele ştiind că cel mai mare divizor comun al lor este egal cu 15. 10. Determinaţi cel mai mic număr natural care împărţit pe rând la 5; 6 şi 8 dă resturile 4; 5 şi respectiv 7. 11. Aflaţi cel mai mic număr natural care împărţit pe rand la 24; 40 şi 48 dă de fiecare dată restul 17. 12. Determinaţi două numere naturale ştiind că cel mai mare divizor comun al lor este 15, iar cel mai mic multiplu comun al lor este 360. D. Partea I: 1. Cel mai mare divizor comun al numerelor 120 şi 150 este egal cu ….

2. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 12 şi 25 este egal cu ….

3. Numărul numerelor de forma xy divizibile cu 10 este egal cu …. 4. Cel mai mare divizor comun al numerelor 2 3n + şi 5 8n + , n∈ℕ este egal cu …. 5. Un multiplu al numărului 7, divizibil cu 5 este egal cu …. 6. Dacă 3 9a b+ = şi a este număr prim, atunci valoarea numărului natural b este egală cu …. 7. Un divizor al numărului 230 este egal cu …. 8. Mulţimea 30 18\D D este egală cu …. Partea a II-a: 9. Să se arate că numărul 1 1 2 1 17 12 3 6 4 9 18 2n n n n n nA + + + + += ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ este divizibil cu 2001, oricare ar fi *.n∈ℕ 10. Numerele 348, 790 şi 1180 împărţite la acelaşi număr natural dau resturile 12, 6 şi respective 4. Aflaţi cel mai mic împărţitor. 11. Dacă 2 5A a b c= + + şi 15 46 20 ,B a b c= + + , , ,a b c∈ℕ să se demonstreze că 7 7.A B⇔⋮ ⋮

12. Aflaţi numerele de forma abc, mai mici decât 500, dacă:

a) dau restul 5 la împărţirea cu 9;b) (a+b+c)⋮7 şi ( acb+2)⋮7. E. Partea I: 1. Descompunerea în produs de puteri de numere prime a numărului 2010 este egal cu …. 2. Cel mai mare divizor comun al numerelor 45 şi 32 este egal cu …. 3. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 18 şi 30 este egal cu …. 4. Dintre numerele 18, 19 şi 20 numărul prim este egal cu …. 5. { }60 5 ... .D M∩ =

6. { } { }14 3 3 ... .A x x a b= ∈ = =ℕ ⋮

7. Numerele naturale n , pentru care 3 5

1

n

n

+ ∈+

ℕ sunt egale cu ….

8. Numerele de forma 7 3x y divizibile cu 15 sunt egale cu …. Partea a II-a: 9. Numerele 4277; 4998 şi 6079 împărţite la un număr natural nenul dau resturile 17; 18 şi respectiv 19. Aflaţi împărţitorul. 10. Aflaţi numerele naturale a şi b ştiind că produsul lor este 6750, iar cel mai mare divizor comun al lor este 15. 11. Arătaţi că numerele 12 5 7n nA += ⋅ + şi 12 5 3n nB += ⋅ + sunt prime între ele, unde .n∈ℕ F. Partea I:

1. Scrierea sub formă de fracţie zecimală a numerelor 25 7 11

; ;10 3 2

şi 37

5 este ....

2. Scrierea sub formă de fracţie ordinară a numerelor 1,(2); 21,(34); 4,5(6) şi 1,23(13) este ....

3. Dintre numerele 7

3 şi

9

5 mai mare este numărul ….

4. Dacă mulţimea 4 12 11

;2,5; ;5;7; ,3 3 2

A =

atunci ...A∩ =ℕ şi ....A∩ =ℚ ….

5. Ordinea descrescătoare a numerelor 1,234; 1,(234); 1,2(34) şi 1,23(4) este ….

6. Valoarea naturală a numărului n pentru care fracţia 5

6 este echivalentă cu fracţia

24

n este egală

cu ….

7. Fracţia ireductibilă echivalentă cu 125

375 este egală cu ….

8. Amplificând fracţia 13

14 cu 5 se obţine fracţia egală cu ….

Partea a II-a:

9. Fie mulţimile 1 1 1

7 2A n

n

= ∈ < < ℕ şi

3 5 2.

2 3B n

n

= ∈ > > ℕ Determinaţi , , \A B A B A B∪ ∩

şi \ .B A

10. Determinaţi cifrele a şi b din baza 10 astfel încât 3 ,( ) 2 , 30.a b b a⋅ + ⋅ =

11. Determinaţi n∈ℕ , astfel încât fracţia 3 7

2 3

n

n

++

să se simplifice.

12. Arătaţi că fracţia 7 5

4 3

n

n

++

este ireductibilă, oricare ar fi .n∈ℕ

G. Partea I:

1. Rezultatul calculului 4 7

15 10+ este egal cu ….

2. Rezultatul calculului 1,3 2,(5)+ este egal cu ….

3. Rezultatul calculului 3 11

2 15 13

− este egal cu ….

4. Rezultatul calculului 2,45 11,29− este egal cu ….

5. Rezultatul calculului 3 1

4 27 31

⋅ este egal cu ….

6. Rezultatul calculului 2,5 3,71⋅ este egal cu ….

7. Scrierea numărului 1

5 ca o sumă de două numere raţionale cu acelaşi numitor este egală cu ….

8. Numărul cu 11

5 mai mare decât

13

2 este egal cu ….

Partea a II-a: 9. Calculaţi:

a) 1 1 1 1

... .2 4 4 6 6 8 2008 2010

+ + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅

b) 1 1 1 1

1 1 1 ... 1 .2 3 4 2010

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ +

10. Fie 7 2 3 3 1

, ,2 3 3 1 7

x y xa b c

x y x

+ += = =+ +

şi ( ) ( )2 2

25,

2 2 1d

x y=

+ + + , *.x y∈ℕ Arătaţi că

numerele , ,a b c sunt simultan numere naturale dacă şi numai dacă d este număr natural.

11. Dacă , , , , 0a b c d e> şi 1 2 3 4 5

1,1 1 1 1 1a b c d e

+ + + + =+ + + + +

calculaţi

2 3 4 5.

1 1 1 1 1

a b c d e

a b c d e+ + + +

+ + + + +

12. Fie mulţimea 1

*, 2 .A n nn

= ∈ ≥

ℕ

a) Calculaţi 61

31

21 ++ .

b) Scrieţi numărul 1 ca sumă a 12 elemente distincte din mulţimea A. c) Numărul 1 poate fi scris ca sumă de elemente distincte din A, având numitorii numere

prime? H. Partea I:

1. Rezultatul calculului 23

4

este egal cu ....

2. Rezultatul calculului 11 64 4

:5 5

este egal cu ….

3. Rezultatul calculului 4

:0,255

este egal cu ….

4. Inversul numărului 211

122 este egal cu ….

5. Rezultatul calculului 1 4 1 1

:12 5 2 3

+ −

este egal cu ….

6. Rezultatul calculului 1 2 2

:2 3 9

+ este egal cu ….

7. Rezultatul calculului 17 21 34

: :3 4 7

este egal cu ….

8. Rezultatul calculului 22 11 11

2 : :3 5 10 +

este egal cu ….

Partea a II-a: 9. Efectuaţi:

a) 8 3 33 3 2 12 5 1

2 3 .35 2 35 14 35 7 14 3

+ − + − − − + ⋅

b) [ ]1 22 2 0,(1) 0,(2) :3,1(6).

2 3 + − ⋅ +

c) 1 2 5 7 1 1 12 1

: 6 : 5 1 .2 3 6 12 18 4 25 3

+ + − ⋅ ⋅ ⋅ −

10. Determinaţi cel mai mic număr raţional nenul care împărţit la numerele 2 3

,5 4

şi 11

12 să dea câturi

numere naturale.

11. Arătaţi că 1 1 1

0,999 ... 0,9999.1 2 2 3 1999 2000

< + + + <⋅ ⋅ ⋅

12. Determinaţi numărul natural 202505 202505

: .110 0

xy yxA

x yx y y y

+= + ⋅ ⋅

I. Partea I:

1. Media aritmetică a numerelor 1 2

;5 5

şi 3

5 este egală cu ….

2. Soluţia ecuaţiei 2 3

3 2x + = este egală cu ….

3. Media aritmetică ponderată a numerelor 2; 3 şi 4 cu ponderile 1; 2 şi 3 este egală cu …. 4. Soluţia ecuaţiei 0,8 5 14x − = este egală cu ....

5. Un număr este egal cu 5

8 din alt număr, iar suma lor este 130. Produsul celor două numere este

egal cu ….

6. Înmulţind un număr cu 2

,3

apoi rezultatul înmulţirii cu 14

13, obţinem

11.

15 Numărul iniţial este

egal cu ….

7. Soluţia ecuaţiei 2 3 6

x x x+ = este egală cu ….

8. Media aritmetică a cinci numere este 11

.4

Suma celor cinci numere este egală cu ….

Partea a II-a: 9. Rezolvaţi ecuaţiile:

a) 0,(1 ) 0,(2 ) ... 0,(9 ) .x x x x+ + + = b) 1 3 2 7 8 2

12 : 2 : 1 1 1 5.3 4 3 8 11 3

x + ⋅ ⋅ + =

c) 0,(6) 2 0,(3) 4 2( 1) 3,(6).x x x+ − = − + +

10. Un elev are o sumă de bani. Determinaţi suma de bani ştiind că după ce a cheltuit 1

4 din ea, apoi

1

6 din rest, apoi

1

3 din noul rest şi încă 120 lei, i-au mai rămas 600 lei.

11. Aflaţi media aritmetică a zece numere raţionale, ştiind că media aritmetică a primelor două numere este 5, media aritmetică a următoarelor trei numere este 25, iar media aritmetică a ultimelor cinci numere este 200. 12. Maria are 11 ani şi mama sa are 39 de ani. Peste câţi ani vârsta mamei va fi de trei ori mai mare decât vârsta Mariei? J. Partea I:

1. Rezultatul calculului 5 7

6 8+ este egal cu ….

2. Rezultatul calculului 7 3

25 4

− este egal cu ….

3. Soluţia ecuaţiei 2 1 1

3 2 5

x − = este egală cu ….

4. Dintre fracţiile 11

3− şi

13

5− mai mare este fracţia ….

5. Media aritmetică ponderată a numerelor 3 şi 7 cu ponderile 2 şi 3 este egală cu ….

6. Rezultatul calculului 1 2

2 12 5

⋅ este egal cu ….

7. Rezultatul calculului 4 2

:15 5

este egal cu ….

8. Dacă fracţiile 11

9 şi

27

n sunt echivalente, atunci valoarea numărului natural n este egală cu ….

Partea a II-a:

9. Rezolvaţi în mulţimea numerelor naturale nenule ecuaţia 1 1 1

.3x y

+ =

10. Calculaţi:a) [ ]150,0(6) 1,28 2 0,125 0,08(3) .

64+ ⋅ − ⋅ − b)

1 10,5 0,1(6) : 2,5.

3 4 ⋅ + −

11. Un automobil a parcurs o distanţă în trei zile astfel: în prima zi a parcurs 7

20 din drum, a doua zi

a parcurs 1

5 din distanţa rămasă, iar a treia zi a parcurs restul de 624 km.

a) Câţi km are întreaga distanţă?b) Câţi km a parcurs automobilul a doua zi?

12. Fie şirul de fracţii 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 2007 2008

; ; ; ; ; ; ; ; ; ;...; ; .1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 2 1

a) Aflaţi câţi termeni are şirul.b) Să se afle al câtelea termen este fracţia 1008

.1001

c) Să se afle care este al 2008-lea termen. K. Partea I:

1. Rezultatul calculului 15 2 1

:6 5 2

− este egal cu ….

2. Media aritmetică ponderată a numerelor 4; 8 şi 10 cu ponderile 2; 3 şi 5 este egală cu ....

3. 7

5 din 125 este egal cu ….

4. Ordinea crescătoare a numerelor 25 27

;26 28

şi 29

30 este ….

5. Dacă triplul unui număr este 1

89

, atunci numărul este egal cu ....

6. Soluţia ecuaţiei 5

2 3 4

x x+ = este egală cu ….

7. Valorile naturale ale numărului a pentru care au loc relaţiile 2 3 7

5 20 10

a< < sunt ….

8. Cel mai mic număr natural nenul care înmulţit cu numerele raţionale 1 5 4

; ;7 21 15

dă de fiecare dată

un număr natural este egal cu …. Partea a II-a: 9. Se consideră numerele raţionale pozitive:

12 102 1002 10002

48 408 4008 40008A = + + + şi

1 1 1 1 1 2 3 20041 ... ... .

2 3 4 2005 2 3 4 2005B = + + + + + + + + + +

Calculaţi , BB A A− şi ( ) 12000 .AB

+−

10. Fie mulţimea ( ) ( )11 2 .S abc x x

abc

= = + ⋅ +

Calculaţi suma elementelor mulţimii .S

11. Determinaţi ultimele trei zecimale ale numărului raţional 2008

2007.

2

12. Fie , , , *a b c d∈ℕ astfel încât numerele 3 3 3

, ,a b c

bcd acd abd şi

3d

abc sunt naturale. Arătaţi că:

a) 4 4 4 4 4 .a b c d abcd+ + + = b) ( )20052004 2004 2004 2004 4 .a b c d abcd+ + + =

c) ( ) ( )5012005 2005 2005 2005 .a b c d abcd a b c d+ + + = + + +

L. Partea I: 1. Urmărind figura 1, completaţi spaţiile punctate: a) ( ) ( ) ...;m BAC m CAD+ =∢ ∢

b) ( ) ( ) ...;m ADE m ADC+ =∢ ∢ figura 1

c) ( ) ( ) ...;m BAD m DAE+ =∢ ∢

d) ( ) ( ) ....m BCD m ACD− =∢ ∢

2. Laturile unghiului MOP∢ sunt semidreptele …. 3. Urmărind figura 1, precizaţi valoarea de adevăr a propoziţiilor: a) ( )intC BAE∈ ∢ …; b) ( )extB ADC∈ ∢ …; c) ( )intD CAE∉ ∢ …;

d) A CDA∈∢ …; e) ( )intE ABC∉ ∢ …; f) ( )intCD BAE⊂ ∢ ….

4. În figura 2, ( ) ( ) 90m BOC m BOD= = �∢ ∢ şi ( ) 40 .m AOB = �∢ Precizaţi:

a) un unghi drept …; b) un unghi obtuz ...; figura 2 c) un unghi nul ...; d) un unghi cu laturile în prelungire ….

5. Construiţi un unghi cu măsura de 115.�

6. 7 ...".=� 7. Precizaţi două unghiuri congruente din figura 2. 8. Urmăriţi figura 2 şi precizaţi valoarea de adevăr a următoarelor propoziţii:

a) ( ) 40m DOA = �∢ …; b) ( ) 130m AOC = �∢ …; c) ( ) 180m DCO = �∢ ….

Partea a II-a:

9. Fie un unghi ABC∢ şi ( )int .P ABC∈ ∢ Fără a utiliza raportorul, arătaţi că

( ) ( ).m ABC m PBC>∢ ∢

10. Dacă ( ) 120m AOB = �∢ şi semidreptele [OC , [OD sunt situatre în interiorul AOB∢ astfel încât

( ) ( )1

2m AOC m BOD= ⋅∢ ∢ şi ( ) 48 ,m COD = �∢ atunci calculaţi ( )m AOC∢ şi ( ).m BOD∢

11. Fie , ,A O B trei puncte coliniare, în această ordine. Semidreptele [OP şi [OQ împart unghiul

AOB∢ în trei unghiuri congruente. Dacă ( )intD QOB∈ ∢ şi ( ) 35 ,m DOB = �∢ atunci aflaţi

( )m POD∢ şi ( ).m QOD∢

M. Partea I: 1. Efectuaţi:

a) 17 35'48" 12 57 '36";+� � b) 47 2 14'25";−� � c) 11 23'45" 2;⋅� d) 47 : 2.� 2. Dintre figurile de mai jos, figura … conţine unghiuri adiacente.

figura 1 figura 2 figura 3

3. Bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare formează un unghi cu măsura de ….�

4. Complementul unghiului de 72� este egal cu ….

5. Bisectoarele a două unghiuri adiacente complementare formează un unghi cu măsura de ... .�

6. Suplementul unghiului de 26� este egal cu ….

7. În figura de mai jos, , ,A O B sunt coliniare, ( ) 70m DOE = �∢ , iar semidreptele (( ,OP OQ sunt

bisectoarele unghiurilor , .AOD BOE∢ ∢ Măsura unghiului POQ∢ este egală cu … .�

8. În figura de mai jos, ( ) 90m AOB = �∢ , iar (OEeste bisectoarea unghiului .DOB∢ Valoarea lui

x este egală cu … .� Partea a II-a: 9. Aflaţi măsura unui unghi ştiind că media aritmetică a complementului şi suplementului său este 3

2 din măsura unghiului.

10. Fie unghiurile suplementare AOB∢ şi BOC∢ astfel încât ( ) ( ).m AOB m BOC>∢ Dacă

punctele M şi P sunt în interiorul unghiului AOB∢ astfel încât ( ) ( )m MOP m BOC=∢ ∢ şi (OX ,

(OY sunt bisectoarele unghiurilor MOA∢ şi respectiv ,POB∢ arătaţi că ( ) 90 .m XOY ≤ �∢ În ce

situaţie avem egalitate?

11. Unghiurile AOB∢ şi COD∢ sunt complementare, unghiul COD∢ este inclus în interiorul AOB∢ , semidreapta (OC este inclusă în interiorul unghiului AOD∢ şi

( ) ( )2 .m AOB m COD= ⋅∢ ∢ Aflaţi măsurile celor două unghiuri şi măsura unghiului format de

bisectoarele unghiurilor AOC∢ şi BOD∢ . N. Partea I:

1. Suma măsurilor unghiurilor formate în jurul unui punct este egală cu … .�

2. Măsura unghiului format de bisectoarele a două unghiuri opuse la vârf este egală cu … .� 3. Două unghiuri opuse la vârf sunt complementare. Măsura unui unghi din cele două este egală cu

… .� 4. Fie unghiurile , ,AOB BOC COA∢ ∢ ∢ congruente, în jurul punctului .O Măsura unghiului format

de bisectoarele unghiurilor AOB∢ şi AOC∢ este egală cu … .�

5. Valoarea lui x din figura alăturată este egală cu … .�

6. Măsura unghiului AOD∢ din figura de mai jos este egală cu … .�

7. În figura de mai jos, , ,A O B şi , ,C O D sunt coliniare, iar semidreptele (( , OP OT sunt

bisectoarele unghiurilor , .AOD AOC∢ ∢ Măsura unghiului POT∢ este egală cu … .� 8. Fie AB şi CD două drepte concurente în .O Dacă ( ) ( )2 3 ,m AOC m BOC⋅ = ⋅∢ ∢ atunci măsura

unghiului BOD∢ este egală cu … .� Partea a II-a: 9. Unghiurile , , ,AOB BOC COD DOA∢ ∢ ∢ ∢ sunt unghiuri în jurul unui punct astfel încât BOC∢

este unghi drept, ( ) 21m DOC = �∢ şi ( ) ( ) 27 .m AOB m AOD= + �∢ ∢ Arătaţi că punctele , , D O E

sunt coliniare, unde (OE este bisectoarea unghiului .AOB∢

10. Se dau punctele , , A O B şi , , C O D coliniare. Dacă ( ) 40m BOC = �∢ şi ( )intM AOD∈ ∢ astfel

încât ( ) 30 ,m AOM = �∢ atunci calculaţi:

a) ( );m BOM∢ b) ( );m DOM∢ c) ( ).m COD∢

11. Se consideră dreptele AC şi BD concurente în .O Ştiind că bisectoarea unghiului AOB∢

formează cu semidreapta [OC un unghi cu măsura de 115 ,� aflaţi măsurile unghiurilor cu vârful în

.O

12. Fie *n∈ℕ şi unghiurile proprii 1 2 2 3 1, , ..., nA OA A OA A OA∢ ∢ ∢ în jurul punctului ,O cu

( ) ( ) ( )1 2 2 3 1, ,..., nm A OA m A OA m A OA∢ ∢ ∢ numere naturale pare în ordine crescătoare.

a) Să se determine valoarea maximă a lui .n b) Pentru n determinat la punctual a), calculaţi măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor

5 6A OA∢ şi 9 10.A OA∢

O. Partea I:

1. Măsura unui unghi cu laturile în prelungire este egală cu … .�

2. Suma dintre complementul şi suplementul unui unghi este de 110 .� Măsura unghiului este egală

cu … .�

3. Dacă unghiurile AOB∢ şi BOC∢ sunt adiacente şi ( ) ( )2 70 ,m AOB m BOC= ⋅ = �∢ ∢ atunci

măsura unghiului format de bisectoarele celor două unghiuri adiacente este egală cu … .�

4. Dacă ( ) 99 ,m MAP = �∢ atunci unghiul MAP∢ este:

a) ascuţit; b) drept; c) obtuz; d) nul; e) alungit.

5. Rezultatul calculului 17 24'35" 2 25'33"−� � este egal cu .... 6. Fie unghiurile adiacente AOB∢ şi BOC∢ , semidreptele [ ,[OP OT bisectoarele celor două

unghiuri şi ( ) ( )90 , 60 .m AOT m COP= =� �∢ ∢ Măsura unghiului POT∢ este egală cu ... .�

7. Unul dintre cele 6 unghiuri congruente din jurul unui punct are măsura egală cu … .� 8. Rezultatul calculului [,AOB AOC C OB∩ ∉∢ ∢ , este egal cu ….

Partea a II-a: 9. Aflaţi măsurile a patru unghiuri în jurul unui punct, dacă fiecare, începând cu al doilea are măsura

cu 18� mai mare decât măsura celui precedent. 10. Fie unghiurile AOB∢ şi AOC∢ adiacente suplementare. Dacă bisectoarea [OP a unghiului

BOC∢ formează cu bisectoarea [OT a unghiului AOP∢ un unghi cu măsura de 35,� atunci aflaţi

măsura unghiului .AOC∢ 11. Se dau unghiurile adiacente suplementare AOB∢ şi BOC∢ , iar semidreapta [OD este opusă semidreptei [ .OB Fie punctele int ,M AOB∈ ∢ int ,N BOC∈ ∢ intP COD∈ ∢ şi intQ DOA∈ ∢

Arătaţi că dacă bisectoarele unghiurilor ,AOM COP∢ ∢ şi ,BON DOQ∢ ∢ sunt respectiv semidrepte opuse, atunci punctele , ,M O P şi , ,N O Q sunt respectiv coliniare. 12. Fie unghiul propriu AOB∢ şi punctele , ,M N M în interiorul unghiului ,AOB∢ iar N în

exteriorul unghiului .AOB∢ Semidreapta [OP este bisectoarea unghiului ,AOM∢ ( ) 60m POB = �∢

şi ( ) ( )2 .m BOM m BON= ⋅∢ ∢ Dacă [OQ este bisectoarea unghiului ,AOP∢ atunci aflaţi măsura

unghiului .NOQ∢ P. Partea I:

1. Suma măsurilor a două unghiuri opuse la vârf este de 17.� Unul dintre cele două unghiuri are măsura egală cu ….

2. Suplementul unui unghi cu măsura de 112� este egal cu ….�

3. Raportul măsurilor a două unghiuri suplementare este 5. Măsurile celor două unghiuri sunt …� şi

… .�

4. Rezultatul calculului 26 13'' 5−� � este egal cu ….

5. Complementul unui unghi cu măsura de 17� este egal cu ….� 6. Fie unghiurile AOB∢ şi AOC∢ neadiacente suplementare, intB AOC∈ ∢ . Dacă

( ) 60 ,m BOC = �∢ atunci măsura unghiului AOC∢ este egală cu … .�

7. Dacă unghiurile AOB∢ şi BOC∢ sunt adiacente suplementare, [OP este bisectoarea unghiului

BOC∢ , [OQ semidreapta opusă semidreptei [OP şi ( ) 120 ,m BOQ = �∢ atunci măsura unghiului

POC∢ este egală cu … .�

8. Măsura unghiului format de bisectoarele a două unghiuri opuse la vârf este egală cu … .� Partea a II-a:9. Se consideră unghiul COD∢ în interiorul unghiului ,AOB∢ astfel încât

( ) 12m AOC = �∢ şi ( ) 18 .m BOD = �∢ Determinaţi măsura unghiului format de bisectoarele

unghiurilor AOB∢ şi .COD∢

10. În interiorul unghiului drept AOB∢ considerăm semidreptele [ ,[ ,[OX OY OZ astfel

încât ( ) 45m XOZ = �∢ şi int ,X AOY∈ ∢ int , int .Y XOZ Z YOB∈ ∈∢ ∢ Determinaţi măsura unghiului

format de bisectoarele unghiurilor AOX∢ şi .BOZ∢

11. Bisectoarele unghiurilor adiacente AOB∢ şi BOC∢ formează un unghi cu măsura de 10.�

a) Arătaţi că ( ) ( )80 5 4 100 .m AOB m BOC< ⋅ + ⋅ <� �∢ ∢

b) Dacă ( ) ( )5 4 90 ,m AOB m BOC⋅ + ⋅ = �∢ ∢ atunci arătaţi că [OB este bisectoarea unghiului

.AOC∢ Q. Partea I: 1. Perimetrul triunghiului echilateral cu latura de 7 cm este egal cu ... cm. 2. Dacă triunghiurile ABC∆ şi MPQ∆ au ,AB MP= BC PQ= şi B P≡∢ ∢ , atunci cele două triunghiuri sunt congruente conform cazului de congruenţă …. 3. Construiţi triunghiul ABC∆ ştiind că:

a) 6AB AC= = cm şi ( ) 40 ;m BAC = �∢

b) 7BC = cm; ( ) 60m ABC = �∢ şi ( ) 30 ;m ACB = �∢

c) 5AB = cm, 6AC = cm şi 7BC = cm. 4. În triunghiul RST∆ , unghiul opus laturii [ ]ST este unghiul …, iar latura opusă unghiului

RST∢ este latura …. 5. Construiţi un triunghi dreptunghic isoscel. 6. Dacă ,ABC MPQ∆ ≡ ∆ 3AB = cm şi 5PQ= cm, atunci produsul MP BC⋅ este egal cu ….

7. În triunghiul MAC∆ unghiurile alăturate laturii [ ]MA sunt … şi ….

8. Dacă intM ABC∈ ∆ şi ext ,P ABC∈ ∆ atunci valoarea de adevăr a propoziţiei “ MP ABC∩ ∆ = ∅ ” este …. Partea a II-a: 9. În ABC∆ , fie D∈(BC), astfel încât AD=CD. Dacă perimetrul triunghiului ABC este de 37 cm, iar perimetrul triunghiului ABD este de 25 cm, să se afle lungimea laturii AC. 10. Fie O mijlocul segmentului [ ]AB , iar punctele C şi D astfel încât OAD OBC≡∢ ∢ ( , ,D O C

coliniare). Demonstraţi că .OAD OBC∆ ≡ ∆

11. Dacă D este mijlocul laturii ( )BC a triunghiului ABC∆ , atunci arătaţi că .2

AB ACAD

+<

12. În exteriorul triunghiului ABC∆ ascuţitunghic se construiesc triunghiurile echilaterale ATB∆ şi .ACS∆ Demonstraţi că triunghiurile ATC∆ şi ABS∆ sunt congruente.

R. Partea I: 1. În triunghiul isoscel ABC∆ , AB AC= , fie M mijlocul laturii ( ).BC Demonstraţi că

.BAM CAM≡∢ ∢ 2. În triunghiul isoscel ABC∆ , AB AC= , fie [AM bisectoarea unghiului BAC∢ , ( ).M BC∈

Demonstraţi că .BM CM= 3. Demonstraţi că un triunghi isoscel are două unghiuri congruente.

4. Se consideră un triunghi dreptunghic ABC∆ , ( ) 90 ,m A = �∢ 4AC = cm, 3AB= cm şi punctele

,M CA N AB∈ ∈ astfel încât ( ),A CM∈ ( ),B AN∈ 3AM = cm şi 1BN = cm. Demonstraţi că

.BC MN= 5. În triunghiul isoscel , ,ABC AB AC∆ = se duce bisectoarea [ ( ), .AD D BC∈ Dacă perimetrul

ABC∆ este egal cu 32 ,cm iar perimetrul ABD∆ este egal cu 20 ,cm atunci ...AD = .

6. Fie triunghiul ,ABC M∆ mijlocul laturii [ ]AC şi T BC∈ astfel încât

( ) 90 .m TMC = �∢ Dacă 3 ,TC cm= atunci ...AT = .

7. Fie triunghiul ,ABC∆ dreptunghic în A şi ( ) 30 .m B = �∢ Dacă 10 cmBC = şi D este simetricul

punctului C faţă de A , atunci perimetrul triunghiului BCD este egal cu ….

8. Fie triunghiul ( ), 120 , 12 cmABC m BAC AB AC∆ = = =�∢ şi M mijlocul lui [ ].BC Lungimea

segmentului [ ]AM este egală cu ....

Partea a II-a: 9. Se dă triunghiul isoscel ABC∆ , AB AC= . Dacă punctele ,D E sunt mijloacele laturilor

[ ] [ ],AB AC , atunci arătaţi că .BE CD=

10. Pe laturile [OX şi [OY ale XOY∢ se iau punctele , ' [A A OX∈ , OYBB [', ∈ astfel încât OA =

OB, OA' = OB'. Dacă }{'' MBAAB =∩ , să se arate că:

a) [OM este bisectoarea unghiului XOY∠ ;b) triunghiurile 'AMA∆ şi 'BMB∆ sunt congruente. 11. Fie triunghiul ABC∆ şi ( )[ ,AD D BC∈ bisectoarea unghiului .BAC∢ Prelungim [ ]AB cu

segmentul [ ] [ ] ( ),BE DC B AE≡ ∈ şi [ ]AC cu segmentul [ ] [ ] ( ), .CF BD C AF≡ ∈ Dacă ,AE AF=

atunci arătaţi că triunghiul ABC∆ este isoscel.

12. Fie XOY şi YOZ două unghiuri adiacente congruente. Dacă ((( , ,A OX B OZ M OY∈ ∈ ∈ astfel

încât , ,A M B necoliniare şi ,OA OB= atunci demonstraţi că triunghiul MABeste isoscel. S. Partea I: 1. Un triunghi are … unghiuri exterioare. 2. Un triunghi are lungimile laturilor de 5 cm, 4 cm şi 7 cm. Perimetrul triunghiului este egal cu … cm.

3. Construiţi triunghiul ABC∆ ştiind că 5AB= cm, ( ) ( ) 40 .m A m B= = �∢ ∢

4. Se dă triunghiul ABC∆ cu ( ) 50 ,m A = �∢ ( ) 60m B = �∢ şi ( ) 70 .m C = �∢ Măsurile unghiurilor

exterioare ale triunghiului sunt egale cu …. 5. Construiţi un triunghi echilateral cu latura de 4 cm. 6. Numărul triunghiurilor din figura de mai jos este egal cu …. 7. Dacă punctulM este mijlocul laturii [ ]BC a triunghiului ABC∆ şi al laturii [ ]AD a triunghiului

ABD∆ atunci ...BAM∆ ≡ .

8. În triunghiul ( ), 100 , , .ABC m ABC AD BC D BC∆ = ⊥ ∈�∢ Atunci măsura unghiului DAB∢ este

egală cu …. Partea a II-a: 9. Fie punctele coliniare A, B, C, D (în această ordine). Fie M şi N în semiplane opuse astfel încât

ABNABM ∆≡∆ . Arătaţi că CDNCDM ∆≡∆ . 10. Se dă segmentul [ ]AB şi punctele C şi D de aceeaşi parte a dreptei ABastfel încât

,CAB DBA≡∢ ∢ DAB ABC≡∢ ∢ şi { }.AC BD O∩ = Arătaţi că: a) ;AC BD= b) triunghiurile DOC∆ şi AOB∆ sunt isoscele.

11. În triunghiul isoscel ABC∆ , AB AC= avem punctele ( )M AB∈ şi ( )P AC∈ astfel încât

.AM AP= Dacă { },CM BP S∩ = arătaţi că triunghiurile MSB∆ şi PSC∆ sunt congruente. 12. Fie dreptunghiul ABCD cu AB>BC. Bisectoarea unghiului ABC taie CD în Q şi AD în P. Fie [DT bisectoarea unghiului PDQ, T∈(BP). Dacă CT∩AD={M} şi AT∩CD={S}, arătaţi că SQ=DM. T. Partea I: 1. Dacă perimetrul unui triunghi isoscel este de 19 cm şi o latură este de 5 cm, atunci lungimile celorlalte două laturi sunt egale cu ... sau cu …. 2. Construiţi un triunghi ABC∆ ştiind că 5AB= cm, 5BC = cm şi 6AC = cm.

3. Dacă triunghiul ABC∆ este dreptunghic, ( ) 90 ,m B = �∢ atunci latura [ ]AB se numeşte ….

4. Dacă ABC RST∆ ≡ ∆ şi ,ABC RTS∆ ≡ ∆ atunci triunghiul ABC∆ este:

a) isoscel; b) echilateral; c) oarecare.

5. Construiţi un triunghi MPQ∆ ştiind că 4MP = cm, 5MQ = cm şi ( ) 120 .m M = �∢

6. Dacă ,ABC HGT∆ ≡ ∆ ( ) 74m B = �∢ şi 5HT = cm, atunci lungimea segmentului [ ]AC este egală

cu ... cm, iar măsura unghiului HGT∢ este egală cu ... .�

7. Dacă NPR CDE∆ ≡ ∆ şi �( ) �( )40 , 70m P m R= =� � atunci �( ) ...m C = .

8. În triunghiul DEF∆ , punctul M este mijlocul lui [ ]EF . Ştiind că

DEM∆ şi DFM∆ au perimetre egale, atunci � ...DEF ≡ . Partea a II-a: 9. Fie triunghiul ABC∆ şi ( ),D AB∈ ( ),E AC∈ { },BE CD F∩ = ,BF CF= .DF EF= Arătaţi că:

a) ;BD CE= b) ;AB AC= c) ;ACB ABC≡∢ ∢ d) dacă ( ), ,M BC MB MC∈ = atunci punctele , ,A F M

sunt coliniare. 10. Punctele , , ,A B C D sunt coliniare, în această ordine. De o parte şi de alta a dreptei AB se consideră triunghiurile ABE∆ şi DCF∆ astfel încât .ABE DCF∆ ≡ ∆ Demonstraţi că: a) ;AF DE= b) dacă { },AD EF M∩ = atunci M este mijlocul segmentului [ ].EF

11. Pe latura ( )AB a triunghiului isoscel ,ABC∆ AB AC= , ( ) 20m BAC = �∢ se ia un punct D astfel

încât .AD BC= În exteriorul triunghiului ABC∆ se construieşte triunghiul echilateral .ADE∆ Demonstraţi că [CD este bisectoarea unghiului .ACE∢ (admitem cunoscut faptul că suma

măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180).�

12. Fie triunghiul isoscel ABC∆ , AB AC= şi punctele P şi Q în interiorul său astfel încât

.AP PB AQ QC= = = Dacă { },BP AQ S∩ = să se demonstreze .SPQ QCB≡∢ ∢