Fisa de Lucru Asimptote

prof. Cornelia Mestecan

Clasa a XI-a lic tehnologic Fi de lucru ASIMPTOTE

1

Breviar teoretic Asimptotele sunt drepte care se folosesc pentru studiul comportamentului ramurilor infinite ale graficelor

funciilor. Aceste drepte numite asimptote, au proprietatea c ramurile infinite ale graficelor se aproprie orict de mult de ele. Asimptotele pot fi mprite n dou clase: asimptote verticale (paralele cu axa OY) i asimptote oblice (neparalele cu axa OY). Dintre asimptotele oblice se desprind asimptotele orizontale (paralele cu axa OX).

1.Asimptotele oblice

Definiie. Fie funcia : ;f a . Spunem c dreapta d de ecuaie y mx n este asimptot oblic

spre pentru graficul funciei f dac lim 0x

f x mx n

. Dac 0m , asimptota se numete

oblic spre , iar dac 0m , asimptota se numete orizontal spre . Asimptota oblic i cea orizontal se exclud reciproc!!! Analog se definesc asimptotele oblice i orizontale spre .

Teorem. Dreapta d de ecuaie y mx n este asimptot spre pentru graficul funciei f dac i

numai dac exist i sunt finite

Algoritm determinarea asimptotelor oblice

a) dac lim ,x

f x n n

(finit), atunci dreapta y n este asimptota orizontal spre

b) dac limx

f x

nu este finit , atunci avem dou cazuri:

dac exist i sunt finite

atunci dreapta y mx n este asimptota oblic spre

dac cel puin una din limitele:

limx

f xm

x , lim

xn f x mx

este infinit sau nu

exist, atunci nu exist asimptot spre Analog se determin asimptotele spre 2.Asimptote verticale

Definiie. Fie funcia : , ,f D D a , un punct de acumulare pentru D. Spunem c dreapta d de

ecuaie x a este asimptot vertical la stnga (respectiv la dreapta) la graficul funciei f dac

respectiv

Exerciii rezolvate: Determinai asimptotele urmtoarelor funcii:

1). :f , 2 5f x x x ;

Rezolvare: 2 2lim lim 5 limx x x

f x x x x

; 2 2lim lim 5 limx x x

f x x x x

. Cum

ambele limite sunt infinite nseamn c funcia nu admite asimptote orizontale. Cutm asimptote oblice:

2 25lim lim lim limx x x x

f x x x xm x

x x x

rezult c funcia noastr nu admite asimptote oblice.

limx

f xm

x i lim

xn f x mx

limx

f xm

x i lim

xn f x mx

limx ax a

f x

limx ax a

f x



2

2). : \ 0f , 2

2

2 7 3

3

x xf x

x

Rezolvare: 2 2

2 2

2 7 3 2 2 2lim lim lim lim

3 3 3 3x x x x

x x xf x

x x

finit, rezult c

2

3y este asimptot

orizontal spre

2 2

2 2

2 7 3 2 2 2lim lim lim lim

3 3 3 3x x x x

x x xf x

x x

finit, rezult c

2

3y este asimptot

orizontal spre , prin urmare putem spune simplu, c 2

3y este asimptot orizontal.

Avnd asimptot orizontal, nu admite asimptot oblic. Deoarece 0 (capt de interval) este scos din domeniul de definiie, cutm asimptote verticale:

2

220 00 0

2 7 3 3 1 1lim lim

3 01 03 0x xx x

x xf x

x

deci 0x este asimptot vertical la stnga

2

220 00 0

2 7 3 3 1 1lim lim

3 01 03 0x xx x

x xf x

x

deci 0x este asimptot vertical la

dreapta, prin urmare putem spune simplu, c 0x este asimptot vertical.

3). : \ 1f , 22 7 3

1

x xf x

x

,

Rezolvare: 2 22 7 3 2

lim lim lim lim21x x x x

x x xf x x

x x

2 22 7 3 2

lim lim lim lim 21x x x x

x x xf x x

x x

, rezult c f nu admite asimptote orizontale,

putem cuta asimptote oblice:

2

2 2 2

2 2

2 7 3

2 7 3 1 2 7 3 21lim lim lim lim lim 21x x x x x

x xf x x x x x xxmx x x x x x x

finit

2 2 22 7 3 2 7 3 2 2 9

lim lim 2 lim lim 91 1 1x x x x

x x x x x x xn f x mx x

x x x

finit

deci dreapta de ecuaie 2 9y mx n y x este asimpatot oblic spre

Analog, se obine c dreapta de ecuaie 2 9y mx n y x este asimpatot oblic spre , adic

putem spune c 2 9y x este asimptota oblic la graficul funciei.

Deoarece 1 (capt de interval) este scos din domeniul de definiie, cutm asimptote verticale: 2

11

2 7 3 12lim

1 0xx

x x

x

, deci 1x este asimptot vertical la stnga,

2

11

2 7 3 12lim

1 0xx

x x

x

, deci 1x este asimptot vertical la dreapta,

prin urmare putem spune c 1x este asimptot vertical.



3

4). : \ 1;1f , 27 3

1

xf x

x

,

Rezolvare: 2 2

7 3 7 7 7lim lim lim 0

1x x x

x x

x x x

, finit, rezult c 0y este aimptot orizontal spre

2 2

7 3 7 7 7lim lim lim 0

1x x x

x x

x x x

, finit, rezult c 0y este aimptot orizontal spre , deci

putem spune c 0y este aimptot orizontal.

Avnd asimptot orizontal, nu admite asimptot oblic.

Deoarece 1;1 (capete de intervale) sunt scoase din domeniul de definiie, cutm asimptote verticale:

211

7 3 4lim

1 0xx

x

x


211

7 3 4lim

1 0xx

x

x



211

7 3 10lim

1 0xx

x

x


211

7 3 10lim

1 0xx

x

x



5). : ; 2 2;f , 2

2

xf x

x

Rezolvare: 2 2

lim lim 1 12 2x x

x x

x x

, finit, rezult c 1y este aimptot orizontal spre

2 2lim lim 1 1

2 2x x

x x

x x

, finit, rezult c 1y este aimptot orizontal spre , deci putem

spune c 1y este aimptot orizontal.

Avnd asimptot orizontal, nu admite asimptot oblic. Deoarece 2 (capt de interval) este scos din domeniul de definiie, cutm asimptote verticale:

22

2 4lim

2 0xx

x

x

, deci 2x este asimptot vertical la dreapta.

6). : ; 1 0;f , 2f x x x

Rezolvare: 2 2lim lim lim lim limx x x x x

f x x x x x x

, nu exist asimptot orizontal spre

2 2lim lim lim lim limx x x x x

f x x x x x x

, nu exist asimptot orizontal spre

Cutm asimptote oblice:

2lim lim lim lim 1x x x x

f x xx x xm

x x x x



4

2 2 2 2

2

2lim lim lim lim

11

1lim

211 1

x x x x

x

x x x x x x x x xn f x mx x x x

x x xx x

x

x

xx

Deci dreapta de ecuaie 1

2y mx n y x este asimpatot oblic spre

2lim lim lim lim 1x x x x

f x xx x xm

x x x x

2 2 2 2

2

2lim lim lim lim

11

1lim

211 1

x x x x

x

x x x x x x x x xn f x mx x x x

x x xx x

x

x

xx

Deci dreapta de ecuaie 1

2y mx n y x este asimpatot oblic spre

Nu exist capete scoase din intervale, nseamn c nu exist asimptote verticale.

Exerciii propuse: Determinai asimptotele urmtoarelor funcii:

1). :f , 25 2f x x x ; 2). :f , 26 3f x x x ;

3). : \ 0f , 2

2

2 5

2

x xf x

x

; 4). : \ 0f ,

2

2

3 2

6

x xf x

x

;

5). : \ 0f , 22 7 3x x

f xx

; 6). : \ 3f ,

2 7 1

3

x xf x

x

,

7). : \ 4f , 2 3

4

x xf x

x

, 8). : \ 1;1f , 2

3

1

xf x

x

,

9). : \ 2;2f , 21

4

xf x

x

, 10). : ; 3 3;f ,

3

3

xf x

x

,

11). : ; 4 4;f , 4

4

xf x

x

; 12). : ;0 2;f ,

2

xf x

x

13). : ; 2 2;f , 2

2 4

xf x

x

; 14). : ; 3 0;f , 2 3f x x x

Fisa de Lucru Asimptote

Documents

Transcript of Fisa de Lucru Asimptote