final VII sem II - e-math · a) Calcula ţi numerele ştiind c ă împ ărţind unul din numere la...

1

Varianta 1

SUBIECTUL I – Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. a) Rezultatul calculului 26107,3 −⋅ este egal cu numărul …

b) Rădăcina pătrată a numărului 121 este egală cu numărul …

c) Media aritmetică a numerelor 73+ şi 73− este egală cu …

2. a) Soluţia întreagă a ecuaţiei 2145 =−x este … b) Descompusă în factori primi, expresia 24121 x− se scrie … c) Dacă 75% din x este egal cu 300, atunci x are valoarea …

3. a) Desenaţi un triunghi dreptunghic. b) Lungimea razei unui cerc este egală cu 8 cm. Lungimea diametrului este egală cu … cm. c) Calculând 00 60cos30sin + se obţine numărul …

4. Fie triunghiul isoscel ABC, ACAB = , ( ) °=∠ 120Am , 26=AB cm şi BCDBCAD ∈⊥ , .

a) Lungimea segmentului [AD] este egală cu … cm2. b) Perimetrul triunghiului ABC este egal cu … cm. c) Aria triunghiului ABC este egală cu … cm2. SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. a) Efectuaţi 12729827 −−+ .

b) Rezolvaţi în Q ecuaţia ( )61,06 2 =x .

c) Descompuneţi în factori expresia aaxax 21218 2 +− .

2. Suma a două numere naturale este egală cu 54. a) Calculaţi numerele ştiind că împărţind unul din numere la celălalt se obţine câtul 2 şi restul 6. b) Cât la sută din numărul mare reprezintă numărul mai mic? c) Calculaţi media geometrică a celor două numere.

3. În triunghiul ABC, ( ) °=∠ 90Am şi ( ) °=∠ 30Bm , [AM] este mediană, M ∈ (BC) şi AM = 18 cm.

a) Calculaţi perimetrul triunghiului ACM. b) Calculaţi aria triunghiului ABC. c) Fie ( ) ( )ABEACDEBCDBCAD ∈∈⊥ ,||,, . Calculaţi lungimea segmentului [DE].

2

Varianta 2


1. a) Rezultatul calculului 253− este numărul …

b) Soluţia întreagă a ecuaţiei 372 =+x este numărul … c) Media geometrică a numerelor 9 şi 25 este egală cu numărul …

2. a) Dintre numerele 325+=a şi 235+=b mai mare este …

b) Pătratul expresiei 3+x este egal cu …

c) Fie 54=+ yx şi 5=− yx , x, y ∈ R. Calculând 22 yx − se obţine numărul …

3. a) Desenaţi un trapez dreptunghic. b) Fie rombul ABCD cu ( ) °=∠ 60Am şi 7=AB cm. Aria sa este egală cu … cm2.

c) Perimetrul unui pătrat cu lungimea diagonalei de 8 2 cm este egal cu … cm.

4. În triunghiul dreptunghic ABC, ipotenuza 12=BC cm, BCDBCAD ∈⊥ , şi ( ) °=∠ 30Cm .

a) Lungimea laturii [AB] este egală cu … cm. b) Măsura unghiului BAD este egală cu …º. c) Segmentul [AD] are lungimea egală cu … cm. SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. a) Efectuaţi 801254520 −+− .

b) Rezolvaţi în Q ecuaţia: 3

12

65

3

2

−−=− xxx.

c) Descompuneţi în factori expresia: ( )1212 22 +−−++ yyxx .

2. Un produs s-a scumpit cu 10% din preţul pe care l-a avut iniţial. După un timp produsul s-a ieftinit cu 15% din noul preţ, ajungând să coste 561 lei.

a) Calculaţi preţul iniţial al produsului. b) Cu ce procent din preţul iniţial s-a micşorat preţul produsului după cele două modificări? c) Cât ar costa obiectul după o nouă scumpire cu 10% ?

3. Dreptunghiul ABCD are lungimea diagonalei 32=AC cm şi ( ) °=∠ 60BACm .

a) Calculaţi dimensiunile dreptunghiului. b) Calculaţi distanţa de la punctul A la diagonala [BD]. c) Calculaţi aria triunghiului AOD, unde {O}= AC ∩ BD.

3

Varianta 3


1. a) Rezultatul calculului 25 16− este numărul …

b) Media geometrică a numerelor 8 şi 18 este numărul …

c) Rezultatul calculului )66(:612 este numărul …

2. a) Fie expresia )1(12 +−+ xx . Reducând termenii asemenea se obţine …

b) Soluţia ecuaţiei 3x−1= −7, Q∈x , este numărul …

c) Numărul 4 reprezintă 5

2 din numărul x. Valoarea lui x este egală cu …

3. Fie triunghiul dreptunghic ABC, BCDBCADAm ∈⊥=∠ ,,90)( 0 , 16=BD cm şi 9=CD cm.

a) Lungimea înălţimii AD este egală cu … cm b) Lungimea catetei AC este egală cu … cm c) Valoarea tangentei unghiului B este egală cu …

4. a) Fie rombul ABCD, 8=BC cm şi 030)( =∠Bm . Aria rombului este egală cu … cm2.

b) Rezultatul calculului 0603 tg⋅ este numărul …

c) Raportul de asemănare a două triunghiuri este egal cu 2

3. Raportul perimetrelor celor două

triunghiuri este egal cu … SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. a) În prezent tatăl are 40 de ani, iar fiica 13 ani. Peste câţi ani vârsta tatălui va fi de două ori mai mare decât a fiicei sale ?

b) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( ) 42 2 =+x .

c) Rezolvaţi în Z inecuaţia xx 23243 +≤+⋅ .

2. a) Descompuneţi în factori expresia xxx 44 23 ++ , unde R∈x . b) Comparaţi numerele:

4322432712 −++=a şi ( ) 3819347232

+−++−=b .

c) Fie numărul ( ) ( ) 251022 +++⋅+= aaaaA , a∈ Z. Demonstraţi că A este pătrat perfect.

3. Fie dreptunghiul ABCD, 6=AD cm, 12=BD cm, punctul E este simetricul punctului B faţă de punctul C, punctul T este mijlocul segmentului [DE] şi }{GDCBT =∩ .

a) Calculaţi perimetrul dreptunghiului ABCD. b) Calculaţi lungimea segmentului [BT]. c) Calculaţi aria triunghiului DGT.

4

Varianta 4


1. a) Rezultatul calculului 222 − este … b) Descompunerea în factori a expresiei xx 32 − este … c) Soluţia număr întreg negativ a ecuaţiei 92 =x este …

2. a) Dintre numerele 32 şi 11 mai mare este numărul …

b) Rezultatul calculului ( )xx 7:7 2 − este ….

c) Mulţimea soluţiilor naturale a inecuaţiei 32 −x <3 este …

3. a) Desenaţi un triunghi dreptunghic isoscel ABC cu ( )Am ∠ �90= .

b) Triunghiul dreptunghic isoscel ABC are înălţimea corespunzătoare ipotenuzei egală cu 6 cm. Ipotenuza triunghiului are lungimea egală cu … cm.

c) În triunghiul dreptunghic isoscel, sinusul unui unghi ascuţit este egal cu ....

4. a) Punctele A, B şi C aparţin unui cerc astfel încât arcele AB, AC şi BC sunt congruente şi 7=AB cm. Perimetrul triunghiului ABC este egal cu … cm.

b) Triunghiurile ABC şi DEF sunt asemenea şi 3

2=DE

AB. Valoarea raportului

DF

AC este ….

c) Aria rombului cu latura de 4 cm şi un unghi cu măsura de 300 este … cm2. SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. În două depozite erau 786 kg, respectiv 548 kg marfă. După ce din primul depozit s-a scos de trei ori mai multă marfă decât din al doilea, în cele două depozite au rămas cantităţi egale.

a) Ce cantitate de marfă s-a scos din al doilea depozit? b) Ce cantitate de marfă a rămas în primul depozit?

2. a) Calculaţi două numere naturale consecutive care au media geometrică egală cu .142

b) Calculaţi: ( ) ( )( )323232 2 +−−− xxx .

c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor naturale inecuaţia: 515 +≤+ xx .

3. Fie triunghiul ABC, punctele M şi N aparţin segmentelor ( )AB respectiv ( )AC ,

( ) ( )ACBmAMNm ∠=∠ , 6=AB cm, 10=BC cm, 8=AC cm şi 3=AN cm.

a) Calculaţi perimetrul triunghiului AMN. b) Calculaţi măsura unghiului BAC. c) Calculaţi aria patrulaterului MNCB.

5

Varianta 5 SUBIECTUL I – Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. a) Rezultatul calculului ( ) xxx 10:37 −− , x∈R*, este egal cu…

b) În mulţimea R, soluţia ecuaţiei 32 =+− x este numărul …

c) Calculând ( )23− se obţine numărul …

2. a) Dintre numerele 2

1 şi

3

1 mai mare este …

b) După efectuarea sumei 94 + se obţine numărul … c) Descompunerea în factori a expresiei xx 92 − este …

3. Fie triunghiul dreptunghic ABC, 3,90)( 0 ==∠ ABAm cm şi 1=AC cm.

a) Lungimea ipotenuzei (BC) este egală cu … cm. b) Valoarea tangentei unghiului ABC este egală cu … c) Lungimea înălţimii corespunzătoare ipotenuzei (BC) este egală cu … cm.

4. Arcul AB al cercului de centru O şi rază 10 cm are măsura de 060 . a) Lungimea coardei AB este egală cu …cm b) Măsura unghiului AOBeste egală cu …0. c) Triunghiul AOB este un triunghi ... SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. a) Calculaţi: ( )( )1515 +− .

b) Calculaţi valoarea numărului real x din egalitatea:182

15

15

2 +=−x

.

2. a) Descompuneţi în factori expresa 33 23 −+− xxx , unde x∈R. b) Demonstraţi că ( ) 12 +−xx este număr raţional, oricare ar fi x număr raţional.

c) Rezolvaţi în R ecuaţia: ( ) 5953 22 −=− xx .

3. Fie trapezul isoscelABCD, cu bazele AB şi CD , 10== ADAB cm şi 22=CD cm. a) Calculaţi lungimea diagonalei ][ AC .

b) Calculaţi distanţa de la punctul A la dreapta .BC c) Fie { }MBCAD =∩ . Calculaţi lungimea segmentului ][MA .

6

Varianta 6


1. a) Calculând 172174 − se obţine ….

b) Rezolvând în R ecuaţia 132 =−x se obţine soluţia … c) Media geometrică a numerelor 27 şi 3 este numărul….

2. a) Dintre numerele 32 şi 23 mai mare este ...

b) Efectuând 2)2( +x , x ∈ R, se obţine ….

c) Expresia 442 ++ xx , x ∈ R, este pătratul sumei …

3. a) Într-un cerc, la arce congruente corespund coarde ... b) Calculând 2⋅sin300 se obţine numărul ...

c) În triunghiul ABC, 5=AB cm, 12=BC cm, 13=AC cm. Atunci, măsura unghiului ABC este egală cu ...0.

4. a) Fie triunghiurile asemenea ABC şi DEF în care 6=AB cm, 8=AC cm şi 9=DE cm. Atunci lungimea segmentului ][DF este ... cm.

b) Măsura unui unghi înscris într-un cerc este egală cu 350. Atunci măsura arcului de cerc cuprins între laturile unghiului este egală cu ...0.

c) Fie două puncte distincte A şi B ale cercului ),( ROC , 6=AB cm şi OM perpendiculară pe

AB , ABM ∈ . Lungimea segmentului [BM] este egală cu ... cm. SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. a) Calculaţi ( )23223 + şi ( )2

23 − .

b) Arătaţi că numărul 325625261230 +−−−+=n este natural.

c) Arătaţi că ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )136333363:3161058

−=⋅

−⋅−⋅+−

−−

2. Într-o clasă, dacă se aşază câte doi elevi într-o bancă, atunci un elev stă singur şi nu rămâne nicio bancă neocupată. Dacă se aşază câte trei elevi într-o bancă, atunci rămân patru bănci libere. a) Câte bănci sunt în clasă? b) Câţi elevi sunt în clasă?

3. Triunghiul dreptunghic ABC are cateta 14=AB cm şi ipotenuza 50=BC cm. a) Calculaţi lungimea catetei ][ AC . b) Fie punctulD proiecţia punctului A pe ipotenuza ][BC . Calculaţi perimetrul triunghiului ADC.

c) Fie punctulP proiecţia punctului C pe bisectoarea unghiului ABC. Calculaţi lungimea segmentului ][CP .

7

Varianta 7


1. a) Cel mai mare număr întreg mai mic decât 33− este ….

b) Fie proporţia ( )

9

3,03,0 =x

, R∈x . Valoarea numărului x este egală cu ....

c) Soluţia reală negativă a ecuaţiei 252 =x este ….

2. a) Valoarea de adevăr a propoziţiei “ 2 3 12− = ” este ….

b) Fie numărul 205 ⋅=x . Calculând 1−x se obţine numărul ...

c) Rezultatul calculului ( )( )1313 −+ este numărul ...

3. a) Măsura unui unghi înscris într-un cerc are 600. Măsura arcului corespunzător este egală cu ... 0. b) Calculând xx cossin4 ⋅⋅ pentru �45=x se obţine ... .

c) Fie triunghiurile asemenea ABC şi MNP în care ( ) �70=∠ABCm , ( ) �60=∠BACm . Atunci

( )MPNm ∠ este de ….� .

4. a) Pe un cerc se consideră punctele R şi P astfel încât arcul PR are măsura de �60 şi 6=RP cm. Lungimea razei cercului este de ... cm. b) Triunghiul isoscel MNP are �120)( =∠MNPm , punctul T este piciorul înălţimii din N pe latura ][MP , 16=MN cm. Atunci ][NT are lungimea de … cm.

c) Triunghiul ABC este echilateral, AB = 6 cm. Aria triunghiului este egală cu ... cm2. SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. a) Fie 141

22 =+

xx , unde x ∈ R+. Calculaţi valoarea sumei

xx

1+ .

b) Calculaţi media geometrică a numerelor: ( )[ ]{ } 912896 ++−+−=a şi ( ) ( )727,32712,035,0 +−=b .

c) Efectuaţi ( ) ( ) ( ) ( )2323412513 22 +⋅−⋅−+⋅−− xxxx , unde x ∈ R.

2. a) Fie numărul ba 5− . Introduceţi factorii sub radical şi scrieţi condiţiile ce trebuie să

îndeplinească numerele reale a şi b.

b) Ordonaţi descrescător numerele .5

6,504,1252 −−−

3. Fie triunghiul dreptunghic ABC, raportul lungimilor catetelor )(AB şi )(AC este egal cu 4

3 iar

înălţimea BCDAD ∈),( , are lungimea egală cu 36 cm.

a) Calculaţi perimetrul triunghiuluiABC. b) Calculaţi raportul ariilor triunghiurilor ADC şi ABC.

c) Bisectoarea unghiului ABC intersectează latura )(AC în M şi perpendiculara în M pe BM intersectează AB în N . Calculaţi lungimea segmentului )(AN .

8

Varianta 8


1. a) Fie x, y ∈ R, 73 =− yx şi x = −8. Valoarea numărului y este egală cu …

b) Media aritmetică a numerelor 32 şi 38 este egală cu numărul …

c) Partea întreagă a numărului 5 este egală cu …

2. a) Descompunerea în factori a expresiei: ( )( ) ( )21421 −++− xxx este …

b) Ecuaţia ( ) 2332 −=− x are ca soluţie numărul întreg …

c) Media geometrică a numerelor 3 şi x este egală cu 35 . Valoarea numărului x este …

3. a) Segmentul AB cu lungimea de 10 cm, se împarte în două segmente proporţionale cu numerele 2 şi 3. Lungimea segmentului mai mare este de … cm.

b) Dacă triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul ACB, atunci ABC este triunghi … c) Valoarea sumei 00 60cos30sin + este egală cu …

4. Fie triunghiul ABC dreptunghic în A, 30,, =∈⊥ ABBCDBCAD cm şi 030)( =∠Bm .

a) 030tg este …

b) Lungimea segmentului (AD) este egală cu … cm. c) Lungimea catetei (AC) este egală cu … cm. SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. Numerele N∈cba ,, , sunt direct proporţionale cu numerele 3, 4 şi 5.

a) Demonstraţi că 22 ba + este pătrat perfect. b) Fie 128=+ bcab . Calculaţi valorile numerelor a, b şi c.

2. a) Fie expresia bbbaaaE −+−+= 22 2 , unde R∈ba, . Dacă 1=− ba , calculaţi valoarea

expresiei E .

b) Calculaţi valorile întregi ale numărului n pentru care ∈+−=5

42

n

na Z.

3. Fie patrulaterul convex ABCD, 25== BCAB cm, 39== DCAD cm şi 30=AC cm. a) Demonstraţi că diagonalele patrulaterului ABCD sunt perpendiculare. b) Calculaţi lungimea diagonalei (BD). c) Calculaţi aria patrulaterului ABCD.

9

Varianta 9


1. a) Rezultatul calculului 182 ⋅ , scris fără radical, este numărul ...

b) Media geometrică a numerelor naturale 2 şi x este 23 . Numărul natural x este egal cu ...

c) Valoarea absolută a numărului 10− este egală cu numărul ...

2. a) Valoarea de adevăr a propoziţiei “ Z∈92 ” este ...

b) Fie expresia R∈− xxx ,714 2 . Scoţând 7x factor comun se obţine ...

c) Fie numerele reale 3−= xa şi xb += 3 . Calculând ba ⋅ se obţine …

3. a) Valoarea numărului real x care verifică egalitatea x : 2 = 1

6 este egală cu ...

b) Partea întreagă a numărului – 2,7 este numărul întreg ... c) Fie expresia R∈− aa ,)2( 3 . Efectuând ridicarea la putere se obţine expresia …

4. a) Fie triunghiul ABC, 040)( =∠Am şi punctele ][],[ ABNACM ∈∈ astfel încât triunghiurile ABC

şi AMN să fie asemenea. Ştiind că 053)( =∠Mm , )( Cm ∠ este egală cu ...0.

b) Fie triunghiul ABC, dreptunghic în A, 8=AB cm şi 10=BC cm. Lungimea catetei (AC) este egală cu ... cm. c) Fie punctele A, B şi C aparţinând unui cerc de centru O, astfel încât măsura arcului mic AB este egală cu 140o . Măsura unghiului ACB este egală cu ... 0.

SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. a) Calculaţi, folosind eventual formulele de calcul prescurtat: 22 3)2)(1()3( xxxx ++−−+ .

b) Descompuneţi în factori: 562 ++ xx .

2. Catetele unui triunghi dreptunghic sunt invers proporţionale cu numerele 5 şi 12 iar ipotenuza are lungimea egală cu 13 cm.

a) Calculaţi lungimile catetelor. b) Calculaţi aria triunghiului.

3. Fie trapezul ABCD (figura alăturată), AB = 10 cm , CD = 20 cm, BC = 12 cm, AD = 10 cm

şi { }MBCAD =∩ .

a) Calculaţi lungimea segmentului (MC). b) Fie O mijlocul segmentului (CD). Calculaţi lungimea segmentului (OB). c) Calculaţi lungimea segmentului (BD).

D C

A

O

B

10

Varianta 10


1. a) Numărul raţional a pentru care numărul 3a este număr raţional este egal cu ...

b) Dintre numerele 37 − şi 104− , pozitiv este ...

c) Valoarea tangentei unui unghi cu măsura de o30 este egală cu ...

2. a) După reducerea termenilor asemenea, expresia abab−3 este egală cu ...

b) Transformată în produs, expresia 249 x− este egală cu ...

c) Soluţia ecuaţiei 0663 =+− x este numărul întreg ...

3. În figura alăturată, triunghiul ABC este dreptunghic în A, BCMN ⊥ , AB = 3 cm, BC = 5 cm şi MC = 2,5 cm. a) Cateta (AC) are lungimea egală cu ... cm. b) Înălţimea corespunzătoare ipotenuzei are lungimea egală cu ... cm. c) Lungimea segmentului (MN) este egală cu ... cm.

4. Fie paralelogramul ABCD, ABDD ⊥' , ][' ABD ∈ , oAm 45)( =∠ ,

210=AB cm şi 25'=DD cm. a) Lungimea segmentului [AD] este egală cu ... cm. b) Măsura unghiului ADB este egală cu ... cm. c) Aria paralelogramului ABCD este egală cu ... cm2 . SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. a) Arătaţi că numărul 10020)552( 2 −+−=x este număr întreg.

b) Calculaţi media geometrică a numerelor a şi b ştiind că 242+=a şi 224 −=b .

2. a) Efectuaţi: 22 )1()2( ++− xx .

b) Arătaţi că 724 22 +++− yyxx >0, oricare ar fi x şi y numere reale.

c) Dacă 2)(347 ba −=− , calculaţi numerele reale a şi b.

3. În figura alăturată triunghiul ABC este isoscel cu baza

312=BC cm şi aria egală cu 336 cm2. Fie punctul A’ astfel încât BCAA⊥' şi { }DBCAA =∩' .

a) Demonstraţi că (AA’) este un diametru al cercului. b) Calculaţi lungimea înălţimii (AD) a triunghiului ABC. c) Calculaţi lungimea razei cercului.

A C

B

M

N

A

A’

B C D

11

Varianta 11


1. a) Rezultatul calculului 2222 −− este numărul ...

b) Dintre numerele 99 şi 98 mai mic este numărul ...

c) Soluţia negativă a ecuaţiei 132 =x este numărul real ...

2. a) Ecuaţia bx =+1 , cu necunoscuta x, are ca soluţie numărul – 4. Valoarea numărului b este … b) Rezultatul calculului 222 1845 aaa −+ este ...

c) Valoarea de adevăr a propoziţiei “Oricare ar fi xxx =∈ 2,R ” este ...

3. În figura alăturată este un cerc cu centrul O, raza AO = 4 cm, m(∠AOB) = 600 şi AC = BC.

a) Lungimea segmentului (AB) este egală cu ... cm. b) Măsura unghiului ACB este egală cu ...0

c) Masura unghiului CAO este egală cu...0

4. În triunghiul ABC, fie M∈(AB), N∈(AC) şi MN || BC.

a) Dacă 2

1=MB

AM, atunci valoarea raportului

AN

NC este egală cu ...

b) Dacă 3

1=BC

MN, atunci valoarea raportului

AB

AM este egală cu ...

c) Dacă 3

1=BC

MN, atunci valoarea raportului

ABC

AMN

A

A este egală cu ...


1. a) Fie numărul 1)52(A 7 −−= . Demonstraţi că A < 0.

b) Fie numărul 22 )75()75(B ++−= . Demonstraţi că B∈Z.

c) Descompuneţi în factori expresia yxxyx 3323 −+− , unde x, y∈R.

2. Într-o cutie sunt 30 de mere, pere şi nuci. Se ştie că că numărul de mere şi pere este egal cu numărul de pere şi nuci, iar numărul de pere este de trei ori mai mare decât numărul de mere.

a) Arătaţi că în cutie numărul de mere este egal cu numărul de nuci. b) Calculaţi numărul de mere din cutie.

3. În triunghiul dreptunghic ABC din figura alăturată 090)( =∠Am ,

(BD este bisectoarea unghiului ABC, 5=AB cm şi 12=AC cm. Fie AP perpendiculară pe BD, unde BCP∈ . a) Completaţi desenul cu segmentul (AP). b) Calculaţi lungimea laturii (BC). c) Calculaţi lungimea segmentului (CP).

12

Varianta 12


1. a) Restrângând expresia ( ) 3743 −++−= xxxxE se obţine …

b) Fie expresia ( ) 263 2 −+−= xxxE . Calculând ( )xE− se obţine ... c) Fie numerele reale 533 ⋅⋅= yxE şi 564 ⋅⋅=⋅ yxFE . Calculând F se obţine …

2. a) Descompunând în factori 962 +− xx se obţine ... b) Descompunând în factori 492 −x se obţine produsul ... c) În R, soluţia pozitivă a ecuaţiei 0492 =−x este numărul …

3. Fie triunghiurile asemenea ABC şi MNP. a) Dacă 030)( =∠Am şi 070)( =∠Bm , atunci =∠ )( Nm ...0

b) Dacă AB = 4 m, BC = 6 m şi MN = 2 m atunci lungimea segmentului NP este ... m. c) Dacă AB = 4 m, MN = 2 m şi aria triunghiului ABC este egală cu 100 m2. Atunci aria triunghiului MNP este ... m2.

4. Fie cercul C(O, R), cu raza R = 4 cm şi punctele A, B∈C(O, R) astfel încât măsura arcului AB este egală cu 900 (figura alăturată).

a) Diametrul cercului are lungimea egală cu ... cm. b) Măsura unghiului AOB este egală cu ... 0. c) Perimetrul triunghiului AOB este egal cu ... cm. SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. a) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( ) 0125 =−− xx .

b) Un excursionist parcurge o cincime din lungimea traseului său şi constată că pentru a finaliza mai are de parcurs încă 20 km. Calculaţi lungimea traseului său. c) Fie x∈N* şi numerele 2x+3, 3x+2 şi 6x+1 care reprezintă lungimile laturilor unui triunghi. Calculaţi valorile numărului natural x.

2. a) Fie R∈ba, şi 4=+ ba . Calculaţi valoarea expresiei 32 22 +++ baba .

b) Arătaţi că 040122 >++ xx , pentru orice număr real x. c) Fie R∈yx, şi 05444 22 =++++ yxyx . Calculaţi valorile numerelor x şi y.

3. a) Desenaţi un triunghi dreptunghic..

Fie triunghiul dreptunghic ABC cu măsura unghiului BAC egală cu 900, [AM] este o înălţime a triunghiului, M∈(BC), BM = 2 cm şi BC = 5⋅BM.

b) Calculaţi lungimea segmentului (AM). c) Fie punctul P mijlocul laturii AC). Calculaţi valoarea sinusului unghiului MPA.

13

Varianta 13


1. a) Soluţia negativă a ecuaţiei 362 =x este numărul real ...

b) Dintre 52 şi 33 mai mare este numărul ...

c) Rezultatul calculului 2332 ++− este ...

2. a) Fie 5=x şi 3=+ ax . Valoarea numărului real a este egală cu ... b) Fie 1222 =− yx şi 6=− yx . Valoarea sumei yx + este egală cu ...

c) Valoarea de adevăr a propoziţiei „ 804040 =+ ” este …

3. Fie triunghiul dreptunghic ABC, cu măsura unghiului A egală cu 900, BC = 26 m, AC = 24 m şi [AD] este înălţime, D∈BC.

a) Lungimea laturii [AB] este egală cu ... m. b) Lungimea înălţimii [AD] este egală cu ... m. c) Valoarea tangentei unghiului ACD este egală cu ...

4. Fie cercul C de centru O şi raza R = 4 cm, punctele A, B şi C aparţin cercului astfel încât măsura arcului AC este egală cu 1800 şi măsura unghiului ACB este egală cu 300 (figura alăturată).

a) Lungimea segmentului {AC) este egală cu ... cm. b) Măsura arcului AB este egală cu ... 0. c) Aria triunghiului AOB este egală cu ... cm2. SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. Descompuneţi în factori: a) 22 155 xyyx − b) yxyxyx 332 22 +−+− c) yxyx 2222 ++−

2. a) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( ) 5412 22 +=− xx .

b) Calculaţi numerele naturale x astfel încât 212 +<− xx . c) Calculaţi valoarea minimă a expresiei 322 ++ xx , unde R∈x .

3. a) Desenaţi un trapez isoscel ABCD, cu CDAB şi CDAB > .

Fie ABCD un trapez isoscel cu CDAB , AB = 50 cm, CD = 10 cm şi BC = AD = 40 cm.

b) Calculaţi aria trapezului ABCD. c) Fie }{ MBCAD =∩ . Calculaţi aria triunghiului DCM.

14

Varianta 14


1. a) Rezultatul calculului 100259 −+ este numărul ...

b) Fie numărul 125=a . După scoaterea factorilor de sub radical se obţine a = ...

c) Media geometrică a numerelor 1 şi 49 este numărul ...

2. a) Descompunerea în factori a numărului real 281 m− este produsul ... b) În R, soluţia negativă a ecuaţiei 4002 =x este numărul ...

c) Valoarea de adevăr a propoziţiei “ )1(,0 este un număr raţional ” este ...

3. În figura alăturată măsurile unghiurilor ABC şi CDE sunt egale cu 900,

CD = 3 cm, BC = 9 cm şi AB = 12 cm. a) Lungimea segmentului DE este egală cu ... cm. b) Lungimea segmentului CE este egală cu ... cm. c) Lungimea segmentului AE este egală cu ... cm.

4. În figura alăturată este cercul C(O, R), punctele A, B, C şi D aparţin cercului C, măsurile arcelor AB, BC şi CD sunt egale între ele iar AD este un diametru al cercului.

a) Măsura unghiului BOC este egală cu ... 0. b) Fie AO = 4 cm. Perimetrul patrulaterului ABCD este egal cu ... cm. c) Fie AO = 4 cm. Aria triunghiului ABC este egală cu ... cm2. SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. Fie R∈a şi ecuaţia )2()(2 −=− xaax cu x∈R .

a) Pentru a = 3, rezolvaţi ecuaţia în mulţimea numerelor reale. b) Dacă 30 este soluţie a ecuaţiei, calculaţi valoarea numărului a. c) Arătaţi că pentru 2≠a , mulţimea soluţiilor ecuaţiei este }0{=S .

2. Fie xxA −= 2 şi yyB += 2 , Q∈yx, .

a) Descompuneţi în factori diferenţa BA− .

b) Demonstraţi că 4

1+A este un număr raţional.

c) Calculaţi numerele x şi y ştiind că 02

1 =++ BA .

3. a) Desenaţi un triunghi dreptunghic.

Triunghiul ABC este dreptunghic, cu măsura unghiului A egală cu 900, punctul O este mijlocul laturii (BC), punctul M aparţine laturii (AC) astfel încât dreapta MO este perpendiculară pe latura (BC), AM =1 cm şi MC = 2 cm.

b) Calculaţi valoarea sinusului unghiului ABM. c) Demonstraţi că ABMOAMBOOABM ⋅+⋅=⋅ .

15

Varianta 15


1. a) Dintre numerele 8

3 si

5

3 mai mic este …

b) Rezultatul calculului 494 + este egal cu ...

c) Media geometrică a numerelor 6 şi 8 este egală cu numărul real …

2. a) Rezultatul calculului 7473 − este ...

b) Rezultatul calculului ( )227 + este ...

c) Descompunerea în factori a expresiei 14 2 −x este …

3. a) În triunghiul ABC dreptunghic în A, (AD) este înălţime, BCD ∈ , BD = 4 cm şi CD = 9 cm. Lungimea înălţimii (AD) este egală cu …….cm.

b) Latura unui pătrat cu aria de 24 cm2 are lungimea egală cu … cm c) Aria unui triunghi isoscel cu 8== ACAB cm şi măsura unghiului BAC de 300 este …cm2

4. Un dreptunghi ABCD are lungimea laturii AB = 12cm şi perimetrul egal cu 34 cm. a) Lungimea laturii (BC) este egală cu …cm b) Lungimea diagonalei (AC) este egală cu …cm c) Valoarea tangentei unghiului CAD este egală cu … SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. a) Efectuaţi ( )2:10453

1204 −+− .

b) Rezolvaţi ecuaţia ( )( ) ( )( ) R∈+−=+− xxxxx ,2253 .

c) Descompuneţi în factori expresia ( ) 94 2 −+x .

2. Media aritmetică a numerelor a şi b este egală cu 14. Dacă numărul a se măreşte cu 50% din el şi numărul b se micşorează cu 20% din el, media aritmetică este tot 14.

a) Calculaţi numărul a. b) Calculaţi numărul b. c) Calculaţi media geometrică a numerelor a şi b.

3. Trapezul isoscel ABCD, cu CDAB || are ( ) 060=∠Bm , BCAC ⊥ şi 310=BD cm. Calculaţi:

a) Perimetrul trapezului. b) Aria trapezului. c) Aria triunghiului ACD.

16

Varianta 16


1. a) Dintre numerele 72 şi 33 mai mic este …

b) Rezultatul calculului 8125 − este …

c) Media geometrică a numerelor 4 şi 8 este egală cu …

2. a) Rezultatul calculului 232 − este egal cu …

b) Fie xxa 53 2 += şi xxb 52 2 −= , unde x∈ R. Calculând suma ba + se obţine … c) Descompunerea în factori a expresiei xx +29 este …

3. a) Diagonala unui dreptunghi cu laturile de 6 cm şi 12 cm are lungimea egală cu …cm b) Triunghiul ABC are ( ) 090=∠Am , ( ) 060=∠Bm şi AC = 6 cm. Atunci AB = …cm

c) Aria unui triunghi ABC cu AB = 6 cm, BC = 8 cm şi ( ) 030=∠ABCm este egală cu …cm2

4. Punctele A, B şi C, în această ordine, aparţin unui cerc de centru O şi rază 10 cm, astfel încât măsura arcului AB este de 600.

a) Măsura unghiului AOB este egală cu …….0 . b) Măsura unghiului ACB este egală cu …….0. c) Lungimea segmentului (AB) este egală cu …….cm SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. Efectuaţi:

a) 1

7

2:

2

3

8

7

18

5−

+− .

b) 232323 −−−+− .

c) ( ) ( )( )335 2 +−−+ xxx , unde x ∈R.

2. Pentru 16 kg de mere şi banane cumpărate s-au plătit la un loc 50 de lei. Un kg de mere costă 2 lei şi un kg de banane costă 5 lei. a) Câte kilograme de mere s-au cumpărat ? b) Câte kilograme de banane s-au cumpărat ? c) Cât la sută din cantitatea de fructe cumpărată reprezintă cantitatea de mere?

3. Fie ABCD un pătrat. În exteriorul pătratului se construieşte triunghiul echilateral ABE cu lungimea

înălţimii egală cu 34 cm. Calculaţi:

a) Lungimea laturii AB. b) Aria triunghiului ABE. c) Diagonala pătratului.

17

Varianta 17


1. a) După scoaterea factorilor de sub radical numărul 108devine …

b) Modulul numărului 52 − este egal cu numărul …

c) Rezultatul calculului 5653 + este egal cu numărul …

2. a) Rezultatul calculului 327 xx ⋅ este egal cu expresia … b) Rezultatul calculului ( )25+x este egal cu expresia …

c) Descompunerea în factori a expresiei 162 −x este egală cu expresia …

3. În triunghiul dreptunghic ABC, ( ) 090=∠Am , [ ]AD este înălţime, BCD ∈ , 3=BD cm şi

12=DC cm. a) Lungimea ipotenuzei (BC) este egală cu …cm. b) Lungimea înălţimii (AD) este egală cu …cm. c) Valoarea tangentei unghiului ACB este egală cu …

4. Triunghiul ABC are ( ) 030=∠Am şi este înscris în cercul de centru O şi rază 4 cm.

a) Măsura arcului de cerc BC este egală cu …0. b) Măsura unghiului BOC este egală cu …0. c) Lungimea coardei BC este egală cu …cm. SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. Determinaţi numărul real x în fiecare din cazurile:

a) 6

14

3

1

4

53 +=−−− xxx.

b) ( ) 52 2 =−x .

c) 22222 36123 −+−+=x , unde +∈ Rx .

2. Fie expresiile ( )( ) 153 +++= xxA şi ( ) ( )12345 +−+= xxxB , unde +∈ Rx .

a) Demonstraţi că expresia A se poate scrie ca pătratul unei sume de doi termeni. b) Descompuneţi în factori expresia B. c) Determinaţi numerele reale m şi n pentru care ( ) ( )4B A x mx n− = + + .

3. Fie triunghiul isoscel ABC, AB = AC = 2 6cm, BC = 4 cm, punctul D este mijlocul laturii (BC) şi

punctul E este simetricul punctului D faţă de punctul B. a) Calculaţi perimetrul triunghiului. b) Calculaţi sinusul unghiului ACB. c) Demonstraţi că triunghiul EAC este isoscel.

18

Varianta 18


1. a) Dintre numerele 9 şi 27 este mai mare numărul …

b) Partea întreagă a numărului iraţional 15 este egală cu numărul …

c) Rezultatul calculului 2532 ⋅ este egal cu numărul …

2. a) Rezultatul calculului ( ) ( )834 +−+ xx este expresia …

b) Rezultatul calculului ( )( )77 +− xx este expresia …

c) Descompunerea în factori a expresiei xx 42 − este …

3. În trapezul ABCD, AB || CD, 6=AB cm, 15=CD cm, 14=AC cm şi diagonalele se intersectează în punctul O.

a) Triunghiul AOB este asemenea cu triunghiul …

b) Valoarea raportului OD

BO este egală cu …

c) Lungimea segmentului [OC] este egală cu …cm.

4. Punctele A, B şi C aparţin cercului de centru O astfel încât măsura arcului mic de cerc AB este egală cu 720 şi punctul C este diametral opus punctului A.

a) Măsura arcului mare de cerc AB este egală cu …0. b) Măsura unghiului ACB este egală cu …0. c) Măsura unghiului ABC egală cu …0. SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. a) Demonstraţi că numărul 54:36

10

63

52

+−=a este raţional.

b) Demonstraţi că numărul ( ) ( ) ( )5222432 2 ++−−−= xxxxb are aceeaşi valoare pentru orice

R∈x .

c) Fie 5=+ yx , R∈yx, . Calculaţi numărul 56233 22 −+++++= xyyyxxc .

2. a) Rezolvaţi în R ecuaţia 22

21 +=+− x

x.

b) Calculaţi valorile numărului real x pentru care( ) 95 2 =+x . c) Patru prăjituri şi trei sucuri costă la un loc 14 lei. Preţul unui suc este de două ori mai mare decât preţul unei prăjituri. Calculaţi preţul unei prăjituri.

3. Fie triunghiul ascuţitunghic ABC, ( ) ( )CmBm ∠>∠ , [AD] este înălţime, D∈BC, 5=AB cm,

( )5

1cos =∠B şi ( )

7

5cos =∠C .

a) Calculaţi lungimea înălţimii (AD). b) Calculaţi perimetrul triunghiului ABC. c) Calculaţi aria triunghiului ABC.

19

Varianta 19


1. a) După raţionalizarea numitorului fracţiei 3

2 se obţine numărul …

b) Dintre numerele 32 + şi 32 − mai mare este numărul …

c) Scrierea expresiei 94 2 −x ca produs dintre suma şi diferenţa de doi termeni este …

2. a) Soluţia naturală a ecuaţiei xxx 7)2(44 =−+ este …

b) Calculând media geometrică a numerelor 29 şi 25 se obţine numărul … c) Soluţia naturală ale inecuaţiei x2 −1 < 0 este numărul …

3. a) Desenaţi un triunghi ABC şi construiţi dreapta BCDE , unde )(ABD ∈ şi )(ACE ∈ .

b) Lungimea unei catete a unui triunghi dreptunghic este de 3 cm şi unghiul opus ei are măsura de 30º. Cealaltă catetă are lungimea de … cm.

c) Rezultatul calculului °⋅°−°⋅° 60cos60sin30cos30sin este egal cu …

4. Patrulaterul ABCD este dreptunghi, AB = 12 cm şi diagonala AC = 20 cm. a) Lungimea laturii (BC) este egală cu … cm. b) Aria triunghiului ACD este egală cu ... cm2. c) Calculând sinusul unghiului ACD se obţine raportul … SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. a) Fie 922 =+ ba şi 3=ab , unde R∈ba, . Calculaţi 2)( ba − .

b) Calculaţi 2222 )325()123(45 −+−+− .

c) Calculaţi valoarea numărului x∈ R* din proporţia x

27

27

2 +=−

.

2. a) Calculaţi valoarea numărului natural n care verifică relaţia 4523 +<≤+ nn .

b) Arătaţi că 3742 ≥++ xx , pentru orice număr real x.

c) Rezolvaţi în mulţimea { }1,1−−R ecuaţia 1

2

1

1

1

12 −

=−

++ xxx

.

3. Fie trapezul dreptunghic ABCD, CDAB , CDAB< , 090)( =∠Am , 6=AD cm, 34=BD cm şi

BDBC ⊥ . a) Calculaţi perimetrul trapezului ABCD. b) Calculaţi aria trapezului ABCD.

c) Determinaţi valoarea raportului dintre aria patrulaterului BCED şi aria tiunghiului ABD, unde punctul E este simetricul punctului B faţă de punctul O, mijlocul laturii (CD).

20

Varianta 20


1. a) Media aritmetică a numerelor 25− şi 2 este … b) Soluţia reală a ecuaţiei 312 =+x este …

c) Scriind în ordine crescătoare numerele 23 şi 32 obţinem …

2. a) Expresia 252 −x scrisă ca produs dintre sumă şi diferenţă de doi termeni este egală cu …

b) Calculând 165− obţinem numărul natural … c) Soluţia naturală ale inecuaţiei ( ) 933 ≤+x este ...

3. a) Lungimea diametrului unui cerc este egală cu 12 cm. Lungimea razei este egală cu … cm. b) Aria triunghiului ABC cu 6=AB cm, 8=AC cm, °=∠ 45)( BACm este egală cu … cm2.

c) Valoarea expresiei 060sin2

3 + este egală cu …

4. Fie pătratul ABCD, 5=OA cm, unde punctul O este intersecţia diagonalelor. a) Lungimea segmentului (AB) este egală cu … cm. b) Perimetrul pătratului ABCD este egal cu … cm. c) Aria triunghiului ADM , unde M este mijlocul laturii (AB) este egală cu … cm2 SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. a) Fie R∈ba, , 822 =+ ba şi 4=+ ba . Calculaţi ab.

b) Calculaţi 220082 )12(|32|)1()32( −+−⋅−+− .

c) Calculaţi 22 )10()5)(10(2)5( ++++−+ xxxx .

2. a) Fie punctele A(4; 0) şi B(0; 3). Reprezentaţi în sistemul de axe perpendiculare xOy punctele A

şi B şi calculaţi lungimea segmentului (AB). b) Arătaţi că )1()1)(1()1( 2 −++−++ xxxxx este divizibil cu 2 oricare ar fi x număr natural.

c) Rezolvaţi în R ecuaţia 16962 =+− xx .

3. Fie paralelogramul ABCD cu 16=AB cm, 8=AD cm, 030)( =∠Am , ).(, ABMABDM ∈⊥

a) Calculaţi perimetrul paralelogramului ABCD. b) Calculaţi aria triunghiului AMD. c) Fie )(, BDPADMP ∈ . Calculaţi aria triunghiului MBP.

21

Varianta 21


1. a) Dintre numerele 5 şi 33 mai mic este …

b) Fie b

a 31

31

+=−

, .0,, ≠∈ bba R Produsul ab este egal cu …

c) Descompunerea în factori a expresiei xx 2712 3 − este …

2. a) Fie 12 +=a . Calculând 2a se obţine … b) Soluţia reală negativă a ecuaţiei 32 =x este numărul … c) Rezultatul calculului 22 2575 − este …

3. a) Rezultatul calculului 50188 −+ este …

b) Media geometrică a două numere este 12, iar unul dintre ele este 6. Celălalt număr este … c) Calculând ( )27:614 obţinem …

4. a) Fie triunghiurile asemenea ABC şi A’B’C’ cu raportul lor de asemănare egal cu 3

1 şi perimetrul

triunghiului ABC egal cu 17 cm. Perimetrul triunghiului A’B’C’ este … cm. b) Calculând ctg 060 tg 030 obţinem … c) Diametrul unui cerc este de 14 cm. Raza are lungimea de … cm. SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. a) Calculaţi: ( ) ( )( )135 2 +−−− xxx , x ∈R.

b) Descompuneţi în factori: 22 42 aayy +−− .

c) Determinaţi a, b∈R, astfel încât să aibă loc relaţia: 028216 22 =+−−+ baba .

2. a) Rezolvaţi în R ecuaţia: ( ) ( )( ) ( )xxxx 216121232 2 +=+−−− .

b) Într-un bloc sunt 60 apartamente cu 2 şi 3 camere. Ştiind că în bloc sunt în total 140 de camere, calculaţi numărul apartamentelor cu două camere. .

c) Rezolvaţi în Z inecuaţia: ( ) ( )2312 +−≤− xxx .

3. a) Desenaţi un triunghi ABC dreptunghic în A.

Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A, D proiecţia lui A pe BC, AC = 15 cm şi AD = 12 cm. b) Calculaţi perimetrul triunghiului DAC. c) Calculaţi raza cercului în care triunghiul ABC este înscris.

22

Varianta 22


1. a) Pătratul sumei numerelor 2 şi 3 este ...

b) Media geometrică a numerelor 23 − şi 23 + este …

c) Cel mai mare număr întreg mai mic decât ( )213 + este …

2. a) Descompunerea în factori a expresiei 92416 2 ++ xx este …

b) Fie 16

1

1

1 +=+

x

x, 1−≠x . Valoarile numărului real x sunt …

c) Soluţia reală a ecuaţiei ( )7523 −=− xx este …

3. a) Rezolvând în Z inecuaţia: 0105 <+− x , obţinem S = {…}. b) Dacă suma a 6 numere întregi consecutive este 3, atunci cel mai mic dintre ele este …

c) Efectuând: ( ) ( )345 352 aaa −⋅⋅− , 0≠a , obţinem …

4. a) Un triunghi dreptunghic isoscel cu ipotenuza de 10 cm are o catetă de … cm.

b) În triunghiul ABC, ( ) 090=∠Am , M ∈ [BC], BM = MC, AM = 8 cm, AC = 38 cm.

Atunci AB = … cm. c) Triunghiul ABC înscris într-un cerc are ( ) 070=∠ABCm şi ( ) 050=∠ACBm .

Atunci ( ) =∠BACm … 0 .


1. a) Fie 28175112 −+=a şi 11263448 −+=b . Calculaţi media geometrică a celor

două numere. b) Efectuaţi: ( ) ( ) ( )3225123 +−−−+−−+− bababa .

c) Suma a două numere este 500. Ştiind că unul este cu 20 mai mare decât dublul celuilalt, aflaţi numerele.

2. a) Calculaţi ( ) 123

−− .

b) Descompuneţi în factori 81025 2 −− xx .

c) Rezolvaţi în R ecuaţia 5832 +=− xx .

3. Fie triunghiul ABC, ( ) 030=∠Bm , BCAD ⊥ , ( )BCD ∈ , 8=AB cm, 36=BC cm.

a) Calculaţi lungimea segmentului (DC). b) Calculaţi Csin .

23

Varianta 23


1. a) Dintre numerele 32 şi 23 mai mare este ... .

b) Rezultatul calculului 552 −− este egal cu … .

c) Rezultatul calculului 169 + este egal cu … .

2. a) Valoarea de adevăr a propoziţiei “ 5 3 2 3 10 3⋅ = ” este ... .

b) Rezultatul calculului ( ) ( )( )222 2 +−−+ xxx este egal cu … .

c) Soluţia naturală a inecuaţiei 112 <−x este… .

3. a) Ipotenuza unui triunghi dreptunghic ale cărui catete au lungimile de 5 cm şi 12 cm, are lungimea de ... cm.

b) Dacă în triunghiul ABC, AB = 10 cm, AC = 6 cm şi BC = 8 cm, atunci ( )Cm ∠ = ...0.

c) Rezultatul calculului 00 60cos430sin6 − este egal cu … .

4. a) Aria unui triunghi ABC cu AB = 4 cm, BC = 6 cm şi 060)( =∠Bm , este egală cu ... cm2 .

b) O coardă situată la distanţa de 3 cm de centrul cercului de rază 5 cm are lungimea de … cm.

c) Un triunghi echilateral cu înălţimea de 34 cm are perimetrul de ... cm.


1. Valoarea raportului a două numere naturale este 64,0 iar media lor geometrică este 80.

a) Calculaţi cele două numere. b) Calculaţi media aritmetică a celor două numere.

2. a) Demonstraţi că numărul 11025 2 ++ nn este pătrat perfect pentru orice N∈n .

b) Demonstraţi că numărul ( ) 2245323222

−−−+−=n este număr natural.

3. În triunghiul dreptunghic ABC cu ipotenuza BC = 50 cm se construieşte înălţimea AD = 24 cm şi mediana (AM), ( )BCMD ∈, .

a) Calculaţi perimetrul şi aria triunghiului ADM. b) Calculaţi perimetrul şi aria triunghiului ABC. c) Fie ACDE , ( )ABE ∈ . Calculaţi lungimea segmentului (DE).

24

Varianta 24


1. a) Rezultatul calculului 1087512 −+ este egal cu … .

b) Media geometrică a numerelor ( )232 + şi ( )2

32 − este egală cu … .

c) Soluţia ecuaţiei 4916936 −=x , Rx∈ , este numărul … .

2. a) Rezultatul calculului ( ) ( )6325423 22 −−+− xxxxx este egal cu … .

b) Soluţia naturală a ecuaţiei ( ) ( )23 2 3 5x x+ = + este … .

c) Valoarea de adevăr a propoziţiei “ 9 16 3 4+ = + ” este … .

3. a) Înălţimea unui triunghi dreptunghic cu lungimea ipotenuzei de 25 cm şi lungimea unei catete de 20 cm, are lungimea de … cm.

b) Rezultatul calculului 00 452303 tgtg ⋅+⋅ este egal cu … .

c) Aria unui romb cu latura de 6 cm şi măsura unui unghi ascuţit de 600 este egală cu …cm2.

4. a) Valoarea raportului de asemănare a două triunghiuri este 5

2. Raportul ariilor lor este … .

b) Un cerc cu diametrul de 8 cm are lungimea razei de … cm. c) Măsura unui unghi înscris în cerc este de 055 . Măsura arcului cuprins între laturile sale este egală cu …0 .


1. Diferenţa pătratelor a două numere naturale este 616 şi media lor aritmetică este 14. a) Calculaţi cele două numere. b) Calculaţi cât la sută din numărul mai mare reprezintă numărul mai mic.

2. Descompuneţi în factori: a) ( ) ( ) ( )yxayxyx +++−+ 52 .

b) 20205 2 ++ xx . c) 1492 ++ xx .

3. Fie trapezul dreptunghic ABCD, CDAB , 15=AB cm, 9=DC cm, latura oblică 10=BC cm şi

}{ PADBC =∩ .

a) Calculaţi perimetrul şi aria trapezului ABCD. b) Calculaţi perimetrul şi aria triunghiului PAB. c) Fie ( ) ( )BCNADMABMN ∈∈ ,, şi 2=AM cm. Calculaţi lungimea segmentului (MN).

25

Varianta 25


1. a) Rezultatul calculului 18523 ⋅ este numărul natural …

b) Mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei 202 =x este …

c) Fie expresia ( )252 yx + , R∈yx, . Efectuând ridicarea la putere se obţine …

2. a) Media geometrică a numerelor 74 − şi 74 + este egală cu …

b) Mulţimea soluţiilor naturale ale inecuaţiei 1227 ≤−x este … c) Suma a trei numere pare consecutive este 66. Cel mai mare număr dintre acestea este …

3. a) Fie triunghiul DEF şi EM ⊥ DF, DFM ∈ . Proiecţia laturii (ED) pe dreapta DF este segmentul…

b) În triunghiul ABC dreptunghic în A, 25=AB cm şi 5=AC cm. Lungimea laturii BC este … c) Măsura unghiului la centru care subîntinde între laturile sale un arc având 0120 este egală cu ...

4. În figura alăturată, punctele A, B şi C aparţin cercului de centru O şi rază 6=R , măsura arcului AB este de 1200 şi măsura arcului BC este de 600.

a) Măsura unghiului ABC este egală cu … b) Lungimea segmentului [ ]AC este egală cu …

c) Valoarea sinusului unghiului BAC este egală cu …


1. a) Calculaţi ( )( ) ( )236535352323 −++−− .

b) Determinaţi valoarea de adevăr a propoziţiei: “ ( ) ( ) 52353522

=++− ”. Justificaţi.

c) Calculaţi valoarea maximă a expresiei xxE 611 2 +−= , R∈x .

2. a) Rezolvaţi în N ecuaţia: ( ) 6332 −=+ xx .

b) Într-o tabără sunt de trei ori mai mulţi băieţi decât fete. Dacă în tabără ar mai sosi trei fete şi ar pleca şase băieţi, numărul băieţilor ar fi de două ori mai mare decât cel al fetelor. Câţi băieţi şi câte fete erau la început în tabără?

3. În triunghiul ABC din figură ,|| BCMN 12=AB cm,

10=BC cm, 18=AC cm, 6=AN cm. a) Calculaţi lungimea segmentului (MN). b) Calculaţi perimetrul trapezului MNCB.

c) Fie }{OBNMC =∩ . Calculaţi valoarea raportului MC

MO.

26

Varianta 26


1. a) Rezultatul calculului ( ) ( )58:2040− este numărul întreg …

b) Media geometrică a numerelor 5 şi 20 este numărul natural …

c) Mulţimea soluţiilor naturale ale inecuaţiei 172 <x este {…}.

2. a) Fie expresia ( )223 ba − , unde R∈ba, . Efectuând ridicarea la putere se obţine … b) Numărul 3 este soluţie a ecuaţiei R∈=− mmx ,032 . Valoarea numărului m este egală cu ...

c) Forma cea mai simplă a expresiei ( ) ( ) 51235523 ++−−+ yxyx este ...

3. a) Desenaţi un triunghi dreptunghic înscris într-un cerc. b) Fie triunghiul ABC, dreptunghic în A cu măsura unghiului ABC de 30o şi 6=AB cm. Lungimea laturii BC este egală cu ... cm. c) Fie pătratul ABCD, AB = 6 cm. Lungimea diagonalei (AC) este egală cu … cm.

4. În figura 1, triunghiul ABC este echilateral şi are perimetrul de 18 cm. Punctele M, N respectiv P, Q împart laturile (AB) respectiv (AC) în trei segmente congruente.

a) Lungimea segmentului (MP) este … cm. b) Lungimea segmentului (NQ) este egală cu … cm. c) Perimetrul trapezului MPCB este egal cu ... cm.

figura 1 SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. a) Calculaţi : ( ) ( )( )4234237531322

+−−++ .

b) Rezolvaţi în R ecuaţia ( ) 512 2 =−x .

c) Descompuneţi în factori: 99 246 +−− xxx , R∈x .

2. Un test are 20 de probleme. Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 10 puncte, iar pentru fiecare problemă rezolvată greşit se scad 4 puncte. a) Calculaţi punctajul primit de un elev care a rezolvat corect 12 probleme. b) Calculaţi numărul problemelor rezolvate corect de un elev care a obţinut 60 de puncte.

3. În figura 2, triunghiul ABC este dreptunghic, ( ) 090=∠Am ,

34=AB cm, 6=BD cm şi BCAD ⊥ .

a) Calculaţi lungimea segmentului [AD]. b) Calculaţi perimetrul triunghiului ABC. c) Prin punctul B construiţi paralela la dreapta AD care intersectează dreapta AC în punctul Q. Calculaţi aria patrulaterului ADBQ. figura 2

C

B

D

A

27

Varianta 27


1. a) Rezultatul calculului ( )332− este …

b) Media geometrică a două numere este 6 şi unul dintre numere este 3. Celălalt număr este … c) Fie expresia ( )253 yx − , R∈yx, . Efectuând ridicarea la putere se obţine …

2. a) Prin descompunerea în factori a expresiei 24 49xx − , R∈x , obţinem …

b) Mulţimea soluţiilor naturale ale inecuaţiei 715 ≤+x este egală cu {…}. c) Valoarea parametrului R∈a pentru care ecuaţiile 062 =−x şi ,0210 =− ax R∈x , au aceeaşi

soluţie (sunt echivalente) este ...

3. a) Desenaţi proiecţia unui segment [AB] pe o dreaptă d ştiind că punctele dBA ∉, şi dreapta AB nu

este perpendiculară pe dreapta d. b) Un pătrat are lungimea laturii de 9 cm. Lungimea diagonalei pătratului este egală cu … cm.

c) Aria paralelogramului cu laturile de 6 cm, 34 cm şi un unghi de 600

este egală cu ... cm2.

4. Fie triunghiul ABC (figura 1), ( ) 090=∠BACm , BCAD ⊥ ,

18=DB cm, 32=CD cm. a) Lungimea înălţimii [AD] este egală cu …cm. b) Lungimea catetei (AC) este egală cu … cm. c) Aria triunghiului ABC este egală cu … cm2. SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. a) Calculaţi: 752273182 −+

b) Rezolvaţi în R ecuaţia: 212 =−x .

c) Calculaţi cea mai mică valoare a expresiei 291054 22 ++++−= yyxxE , R∈yx,

2. a) Rezolvaţi în Z inecuaţia: 65 <+x .

b) Diferenţa a două numere reale este 32 iar diferenţa pătratelor acestor numere este 48. Calculaţi

cele două numere.

3. În figura 2, ABCD este trapez isoscel, CDAB ,

7=AB cm, 12=DC cm şi perimetrul de 29 cm. a) Calculaţi măsurile unghiurilor trapezului ABCD. b) Calculaţi aria trapezului ABCD.

c) Fie DCAE ⊥ , E ∈DC şi }{QAEBD =∩ .

Calculaţi lungimea segmentului [QE].

figura 1

A

C D

B

figura 2

C

B

D

A

28

Varianta 28


1. a) Rezultatul calculului 7772 − este egal cu ...

b) Rezultatul calculului ( )262 este egal cu ...

c) După raţionalizarea numitorului, fracţia 2

32este egală cu ...

2. a) Valoarea de adevăr a propoziţiei „ ( ) 4049252

−=− ” este ...

b) Soluţia reală a ecuaţiei 3132 =+⋅ x este egală cu ...

c) Mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei 42 =x este egală cu ...

3. Fie un cerc cu centrul în O, un diametru AB al acestuia şi C un punct al cercului diferit de A şi B. a) Desenaţi o figură corespunzătoare datelor problemei. b) Suma măsurilor arcelor AC şi CB este egală cu ...o c) Măsura unghiului ACB este egală cu ...o

4. Fie triunghiul ABC dreptunghic în A, cu lungimile catetelor [AB] şi [AC] egale cu 15 cm şi respectiv 20 cm.

a) Lungimea ipotenuzei [BC] este egală cu ...cm. b) Lungimea proiecţiei catetei [AB] pe ipotenuză este egală cu ... cm. c) Lungimea înălţimii corespunzătoare ipotenuzei este egală cu ... cm. SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. O bancă acordă o dobândă anuală la depozit de 6%. O persoană depune o sumă de bani, iar după împlinirea unui an retrage 590 de lei, rămânând cu 1000 de lei.

a) Cât la sută din suma de bani depusă la bancă, reprezintă suma după un an a persoanei? b) Ce sumă a depus persoana la bancă?

2. a) Efectuaţi produsul numerelor x şi y, unde 19227147 −+=x şi 7512432 −−=y .

b) Calculaţi media aritmetică şi media geometrică a numerelor 74 +=a şi 74 −=b .

c) Rezolvaţi în mulţimea { }3;2;1;0;1;2−− inecuaţia ( ) ( ) ( ) ( )31323213 +−+>−−− xxx .

3. Fie trapezul isoscel ABCD cu baza mare (AB) şi diagonalele perpendiculare. Lungimea bazei mari este de 10 cm şi a bazei mici de 6 cm.

a) Calculaţi lungimea înălţimii trapezului. b) Dacă înălţimea trapezului este de 8 cm, calculaţi perimetrul trapezului. c) Fie {M} = AD ∩ BC. Calculaţi aria triunghiului MAB.

29

Varianta 29

SUBIECTUL I– Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. a) Rezultatul calculului 3735 − este egal cu ...

b) Rezultatul calculului ( )( )3535 +− este egal cu ...

c) Rezultatul calculului 2)32( − este egal cu ...

2. a) Soluţia reală a ecuaţiei 022 =+x este egală cu ... b) Valoarea de adevăr a propoziţiei „Perechea ordonată (1, - 2) este o soluţie a ecuaţiei 0432 =++ yx ” este ...

c) Valoarea reală a lui x pentru care 23

42 =−xeste egală cu ...

3. a) Desenaţi un trapez ABCD şi linia mijlocie (MN) a acestuia.

b) Lungimea diagonalei unui pătrat este 25 cm. Perimetrul pătratului este egal cu ... cm. c) Aria triunghiului echilateral cu lungimea laturii egală cu 2 cm este egală cu ... cm2.

4. Triunghiul ABC dreptunghic în A şi isoscel are lungimea ipotenuzei de 2 cm. a) Lungimea catetei (AC) este egală cu ...cm b) Perimetrul triunghiului ABC este egal cu ... cm c) Aria triunghiului ABC este egal cu ... cm2 SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. Un călător a parcurs un drum în trei zile, astfel: în prima zi a parcurs o treime din drum şi încă 30 km, a doua zi a parcurs două treimi din rest rămânând pentru a treia zi 110 km.

a) Calculaţi lungimea totală a drumului. b) Calculaţi distanţa parcursă de drumeţ în prima zi. c) Calculaţi distanţa parcursă de drumeţ a doua zi.

2. a) Efectuaţi: 3

6

62

4850

6

3218 ⋅

++−.

b) Stabiliţi semnul numărului 873735 −−− .

c) Fie a, b ∈ R, 6522 =+ ba şi 11=+ ba . Calculaţi ba ⋅ .

3. Triunghiul isoscel ABC are lungimile laturilor congruente AB şi AC de 12 cm şi măsura unghiului BAC de 30o. A

a) Calculaţi aria triunghiului ABC. b) Calculaţi lungimea înălţimii (BD) a triunghiului. c) Fie punctul M mijlocul laturii (AC). Calculaţi aria triunghiului BMD. M

D

B C

30

Varianta 30


1. a) Rezultatul calculului 331 −− este egal cu …

b) Soluţia negativă a ecuaţiei 92 =x este numărul … c) Rezultatul calculului ( )xx 32 −⋅ este egal cu …

2. a) După raţionalizarea numitorului, fracţia 2

4 este egală cu …

b) În N* soluţia inecuaţiei 2223 ≤−x este numărul … c) Probabilitatea ca alegând la întâmplare un număr din mulţimea { }3;5,1;1=A , acesta să fie un

număr iraţional este egală cu …

3. Fie un triunghi dreptunghic cu catetele de lungimi 6 cm şi 8 cm. a) Lungimea ipotenuzei triunghiului este egală cu … cm. b) Lungimea înălţimii corespunzătoare ipotenuzei este egală cu … cm. c) Lungimea razei cercului circumscris triunghiului este egală cu … cm.

4. a) Dacă A, B, C sunt puncte situate pe un cerc cu centrul în punctul O, astfel încât ( ) �60=∠ABCm , atunci ( )AOCm ∠ este egală cu … � .

b) Rezultatul calculului ( ) ( )2230cos30sin �� + este egal cu …

c) În triunghiul ABC, BCMN ( )ACNABM ∈∈ , , AM = 1,5 cm, MB = 2 cm, AN = 1,5 cm.

Lungimea segmentului ( )AC este egală cu … cm.


1. a) Calculaţi media geometrică a numerelor 3=x şi 27=y .

b) Fie ,, R∈ba astfel încât 3=− ba şi 322 −=+ ba . Calculaţi 22 ba − şi .22 ba +

c) Rezolvaţi în R ecuaţia: ( ) ( ) ( ) ( ).13221222222 +−+=−−+− xxxxxx

2. Fie N∈cba ,, , astfel încât numerele cba ,, sunt direct proporţionale cu 18, 15, 9 şi

.3152 =+− cba a) Calculaţi numerele a, b, şi c. b) Calculaţi media aritmetică a numerelor b şi c pentru a = 36.

3. a) Desenaţi un dreptunghi ABCD cu BCAB < .

Într-un dreptunghi ABCD lungimea proiecţiei laturii (AB) pe diagonala (BD) este egală cu 18 cm iar lungimea proiecţiei laturii (AD) pe diagonala (AC) este egală cu 32 cm. b) Calculaţi dimensiunile dreptunghiului. c) Calculaţi lungimea diagonalei unui pătrat a cărui arie este egală cu aria dreptunghiului ABCD.

31

Varianta 31


1. a) Rezultatul calculului xx ⋅+−⋅ 2)2( este …

b) Fie numărul 5−1. Efectuând ridicarea la putere se obţine …

c) Dintre numerele 7 şi 50 , mai mare este numărul …

2. a) După introducerea factorului sub radical, numărul 36

se scrie … b) Descompunerea în factori a expresiei 162 −x este … c) Soluţia pozitivă a ecuaţiei 19 2 =x este numărul real …

3. a) În fig.1, ,BCMP AM = 6 cm, AB = 9 cm, AC =12 cm.

Lungimea segmentului (PC) este egală cu … cm. b) Un cerc are aria de π16 cm2. Raza cercului are lungimea egală cu … cm. c) Fie triunghiul ABC, (DE) este linie mijlocie

ACEABD ∈∈ , , perimetrul triunghiului ABC este egal cu 32 cm. figura 1

Perimetrul triunghiului ADE este egal cu … cm.

4. Fie triunghiul dreptunghic ABC, ( )( )�90=Am , BC = 13 cm şi AB = 5 cm.

a) Lungimea catetei (AC) este egală cu … cm. b) Valoarea tangentei unghiului ACB este … c) Fie AC = 12 cm. Aria triunghiului dreptunghic ABC este egală cu … cm2 SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. a) Într-un sistem de axe perpendiculare xOy reprezentaţi punctele )2,1(A şi )4,2(B .

b) Dacă ( )ABP∈ astfel încât 3

1=PA

PB, calculaţi coordonatele punctului P.

2. a) Calculaţi ( ) .1322

−

b) Demonstraţi că numărul ( ) ( )2223341331 ++−−−=a este natural.

c) Fie 2=a şi .535 cba +=− Calculaţi numerele întregi b şi c.

3. Fie triunghiul dreptunghic ABC, ( )( )�90=Am , xAB 2= cm, xBC 4= cm, 36=AC cm.

a) Calculaţi valoarea numărului real x. b) Pentru 3=x , calculaţi lungimea înălţimii corespunzătoare ipotenuzei triunghiului ABC. c) Pentru 3=x , calculaţi lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC.

C

A

B

P M

32

Varianta 32


1. a) Rezultatul calculului 312 ⋅ este numărul natural …

b) Partea întreagă a numărului 65 este egală cu …

c) Soluţia ecuaţiei 33 =⋅ x este numărul real …

2. a) Descompunerea în factori a expresiei 12 −x este … b) Probabilitatea ca aruncând un zar să apară un număr impar este egală cu … c) Fie 1−=+ yx şi 5=− yx . Valoarea numărului real x este egală cu …

3. a) Diagonala unui pătrat cu aria de 72 cm2 are lungimea egală cu … cm.

b) Dacă ( )ABM ∈ astfel încât 5

3=MB

MA şi AB = 24 cm, atunci MA = … cm.

c) Bazele unui trapez au lungimile egale cu 3 cm şi 9 cm. Linia mijlocie a trapezului are lungimea egală cu … cm.

4. a) Ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele de lungimi 5 cm şi 35 cm are lungimea egală

cu … cm. b) Lungimea razei cercului circumscris unui triunghi dreptunghic este de 10 cm. Lungimea ipotenuzei triunghiului este egală cu … cm. c) Fie triunghiul dreptunghic ABC ( )�90)( =∠Am , cateta (AB) are lungimea egală cu dublul

lungimii catetei (AC). Valoarea tangentei unghiului ABC este egală cu … SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. Fie numerele 21069,138 ⋅−=a şi .108,442 22 ⋅+=b

a) Calculaţi numerele a şi b. b) Dacă a = 25 şi b = 90, calculaţi raportul dintre media geometrică şi media aritmetică a numerelor a şi b.

2. a) Calculaţi: ( ) ( ) .15:535

15

3

6 1−−+

−

b) Fie numărul 234 44 xxxA ++= , Z∈x . Demonstraţi că A este pătrat perfect. c) Rezolvaţi în R ecuaţia ( ) ( ) ( )( ).122131210 2 +−−−=−− xxxx

3. Triunghiul dreptunghic ABC ( )�90)( =∠Am este înscris într-un cerc cu centrul în punctul O şi cu

raza de 12 cm. Măsurile arcelor AB şi AC sunt direct proporţionale cu numerele 10

3 şi

5

3.

a) Calculaţi lungimea ipotenuzei. b) Calculaţi lungimile catetelor (AB) şi (BC).

c) Fie D punctul diametral opus punctului A. Calculaţi valoarea raportului .ACBD

BOD

S

S

33

Varianta 33


1. a) Rezultatul calculului 2712 + este egal cu ...

b) Descompunerea în factori a expresiei x 2 − 4 este ...

c) Numărul natural x care verifică egalitatea 22 =x , este egal cu ...

2. a) Aproximarea cu două zecimale a numărului 3 este ...

b) Dintre numerele 3 şi 1,7 mai mic este numărul ...

c) Media aritmetică a numerelor 32=a şi 34=b este egală cu ...

3. a) Fie triunghiul ABC, BCMN , ( )ABM ∈ , ( )ACN ∈ , 2=AM cm, 6=AB cm şi 3=AN cm.

Lungimea segmentului (AC) este egală cu ... cm. b) Un pătrat are lungimea laturii de 2 cm. Lungimea diagonalei este egală cu ... cm.

c) Un triunghi echilateral are lungimea laturii egală cu 32 cm. Lungimea înălţimii triunghiului

este egală cu ... cm.

4. Un triunghi dreptunghic are lungimile catetelor 5=AB cm şi 12=AC cm. a) Lungimea ipotenuzei (BC) este egală cu ... cm. b) Calculând Csin se obţine … c) Înălţimea )(AD corespunzătoare ipotenuzei, BCD ∈ are lungimea … cm.


1. a) Calculaţi ( )23223 −+− .

b) Calculaţi ( ) 32985032 −⋅−+ .

c) Calculaţi media geometrică a numerelor 32=a şi 27=b .

2. a) Fie ABCD un dreptunghi având dimensiunile reprezentate prin numere naturale consecutive şi lungimea diagonalei AC = 5 cm. Calculaţi dimensiunile dreptunghiului.

b) Fie triunghiul ABC, dreptunghic în A, AB = 3 cm şi AC = 4 cm. Calculaţi lungimile proiecţiilor celor două catete pe ipotenuză.

c) Arătaţi că 01062 >++ xx pentru orice x număr real.

3. a) Desenaţi un trapez isoscel.

ABCD este trapez isoscel, CDAB , 6=AB cm, 2=CD cm şi ( ) 060=∠ABCm .

b) Calculaţi perimetrul trapezului ABCD. c) Fie punctul { } BCADP ∩= . Calculaţi aria triunghiului PCD.

final VII sem II - e-math · a) Calcula ţi numerele ştiind c ă împ ărţind unul din numere la...

Documents

Transcript of final VII sem II - e-math · a) Calcula ţi numerele ştiind c ă împ ărţind unul din numere la...