3

ef lucrri dr.ing. Ciprian CPN

ef lucrri drd. Ing. Mihai VDUVA

FENOMENE DE TRANSFER N INDUSTRIA ALIMENTAR

SIBIU 2008

4

Copyrigt 2008. Toate drepturile aparin autorilor. Multiplicarea mecanic, electronic sau de orice alt natur fr permisiunea autorilor se pedepsete conform legilor n vigoare.

Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a Romniei CPN, CIPRIAN Fenomene de transfer n industria alimentar / Cpn Ciprian, Vduva Mihai.- Sibiu:Editura Universitii Lucian Blaga din Sibiu, 2008 Bibliogr. ISBN 978-973-739-561-0

I. Vduva, Mihai 66.021.3/,4:664.022

5

CUPRINS Capitolul 1 9 I N T R O D U C E R E 9 1.1.Domeniul si caracteristicile industriei alimentare 9 1.2.Obiectul disciplinei 10 1.3.Proces tehnologic 10 1.4.Clasificarea operatiilor tip 14 Capitolul 2 MARIMI, MASURARI, SISTEME DE MASURA 15 2.1.Marimi, masurarea, valori numerice 15 2.2. Unitati de masur 15 2.3. Sisteme de unitati de masura 17 2.4. Sistemul International de Unitati de Masura(SI) 18 2.4.1.Definirea unitatilor de masura 19 2.4.2.Principalele reguli de formare si scriere a unitatilor SI 20 2.4.3. Multiplii si submultiplii unitatilor SI 21 Capitolul 3 SIMILITUDINE, ANALIZA DIMENSIONALA, MODELARE, BILANTURI 23 3.1.Similitudine 23 3.1.1. Introducere 23 3.1.2. Invarianti si criterii de similitudine 25 3.2. Analiza dimensionala 26 3.2.1. Introducere 26 3.2.2. Teorema 27 3.3. Metode pentru deducerea criteriilor de similitudine 28 3.3.1. Stabilirea criteriilor de similitudine din ecuatiile diferentiale care descriu fenomenul 28 3.3.2. Stabilirea criteriilor de similitudine prin tehnica analizei dumensionale 30 3.4. Modelare 34 3.5. Bilanturi 36 3.5.1. Notiuni introductive 36 3.5.2. Bilantul de materiale 37 3.5.3. Bilantul energiilor 40 3.5.3.1. Bilantul energiilor mecanice 41 3.5.3.2. Bilantul energiilor termice 42 Capitolul 4 TRANSFER DE IMPULS 47 4.1. Introducere 47 4.2. Statica fluidelor 48 4.2.1. Presiunea statica 49 4.2.2. Ecuatii de echilibru 50 4.2.2.1. Echilibrul fluidelor ntr-un cmp oarecare de forte 50 4.2.2.2.Echilibrul fluidelor n cmp gravitational 51 4.2.3.Masurarea presiunilor n tehnica 52 4.2.3.1. Aparate cu lichid 53 4.2.3.2. Aparate cu element elastic 55 4.3. Dinamica fluidelor 57 4.3.1. Notiuni fundamentale 57

6

4.3.2. Vscozitatea 59 4.3.3. Elemente de reologie 61 4.3.3.1. Corpuri cu proprietati unitare si comportare ideala 62 4.3.3.2. Fluide vscoase nenewtoniene 63 4.3.3.3. Corpuri fluide cu proprietati multiple 65 4.3.4. Fenomenologia curgerii 66 4.3.5. Ecuatii fundamentale ale dinamicii fluidelor 69 4.3.5.1. Ecuatiile bilantului de materiale( Ecuatiile de continuitate) 70 4.3.5.2. Ecuatiile bilantului de forte la curgerea fluidelor ideale

(Ecuatiile diferentiale ale lui Euler) 72 4.3.5.3. Ecuatiile bilantului de forte la curgerea fluidelor reale

(Ecuatiile lui Navier-Stokes) 74 4.3.5.4. Bilantul energetic ( Ecuatia lui Bernoulli) 75 4.3.6. Criterii de similitudine n procesele hidraulice 77 4.3.7. Pierderea de presiune datorita frecarii la curgerea fluidelor reale 78 4.3.7.1. Pierderea de presiune la curgerea prin conducte

a fluidelor necompresibile ( lichide) 78 4.3.7.2. Pierderea de presiune la curgerea fluidelor compresibile (gaze) 82 4.3.7.3. Pierderi de presiune locale 82 4.3.7.4. Pierderea de presiune la curgerea prin straturi granulare si umpluturi 83 4.3.8. Msurarea debitelor la fluide 85 4.3.8.1. Msurarea debitelor cu diafragma 85 4.3.8.2. Masurarea debitelor cu tubul Venturi 87 4.3.8.3. Masurarea debitelor cu tubul Pitot 88 4.3.8.4. Rotametre 89 Capitolul 5 TRANSFER DE CLDUR 90 5.1. Introducere 90 5.1.1.Terminologie 90 5.2.Transferul cldurii prin conducie 93 5.2.1. Legea lui Fourier 94 5.2.2. Conductivitatea termic 95 5.2.2.1. Conductivitatea termic la gaze 95 5.2.2.2. Conductivitatea termic la lichide 96 5.2.2.3. Conductivitatea termic la solide 96 5.2.3. Ecuaia diferenial a lui Fourier pentru transferul cldurii prin conducie 97 5.2.4. Condiii de univocitate pentru conducia cldurii 100 5.2.5. Conducia cldurii n regim staionar 100 5.2.5.1. Transferul cldurii prin conducie printr-un perete cu fee plane,

paralele i infinite (perete simplu) 101 5.2.5.2. Transferul cldurii prin conducie printr-un perete cu fee plane,

paralele i infinite, format din mai multe straturi (perete compus) 104 5.2.5.3. Transferul cldurii prin conducie printr-un perete cilindric

infinit lung (perete simplu) 106 5.2.5.4. Transferul cldurii prin conducie printr-un perete cilindric,

infinit lung, format din mai multe straturi (perete compus) 109 5.2.6. Conducia cldurii n regim nestaionar 112 5.2.6.1. nclzirea unei plci n regim nestaionar 112 5.2.6.1.1. Rezolvarea analitic 112 5.2.6.1.2. Rezolvarea cu ajutorul diagramelor 114 5.2.6.1.3. Rezolvarea prin metode grafice 116

7

5.2.7. Conducia cldurii prin gaze i lichide 118 5.3. Transferul de cldur prin convecie 118 5.3.1. Noiuni generale 119 5.3.2. Ecuaia diferenial Fourier Kirchhoff pentru transferul cldurii prin convecie 120 5.3.3. Transferul cldurii prin conducie i convecie n regim staionar 123 5.3.3.1. Transferul cldurii printr-un perete cu fee plane paralele

de la un fluid cald 1 la un fluid rece 2 123 5.3.3.2. Transferul cldurii printr-un perete plan

format din mai multe straturi paralele de la un fluid cald 1 la un fluid rece 2 125

5.3.3.3. Transferul cldurii printr-un perete cilindric de la un de la un fluid cald 1 la un fluid rece 2 125

5.3.3.4. Transferul cldurii printr-un perete cilindric format din mai multe straturi cilindrice coaxiale de la un fluid cald 1 la un fluid rece 2 126

5.3.4. Coeficieni pariali de transmisie termic. 126 5.3.5. Similitudinea transferului cldurii prin conducie i convecie n regim staionar 127 5.3.6. Clasificarea proceselor de transfer termic prin convecie 133 5.3.7. Calculul coeficienilor pariali de transmisie termic la convecia

fr schimbarea strii de agregare a fluidului (convecia monofazic) 134 5.3.8. Calculul coeficienilor pariali de transmisie termic la convecia

cu schimbarea strii de agregare a fluidului (convecia bifazic) 139 5.3.8.1. Fierberea lichidelor 139 5.3.8.2. Condensarea vaporilor 142 5.3.9. Transferul termic la temperaturi variabile 149 5.3.9.1. Transferul termic la temperaturi variabile, n regim staionar 150 5.3.9.1.1. Transferul termic la temperaturi variabile, n regim staionar,

la curgerea n curent paralel (echicurent) a fluidelor 150 5.3.9.1.2. Transferul termic la temperaturi variabile, n regim staionar,

la curgerea n contracurent a fluidelor 153 5.3.9.2. Transferul termic la temperaturi variabile, n regim nestaionar 154 5.3.9.2.1. nclzirea sau rcirea fluidelor: variaia temperaturilor numai n timp 154 5.3.9.2.2. nclzirea sau rcirea fluidelor: variaia temperaturilor n timp i spaiu 157 5.4. Transferul de cldur prin radiaie 161 5.4.1. Noiuni fundamentale 162 5.4.2. Legile radiaiei 163 5.4.3. Transferul de cldur prin radiaie ntre dou corpuri 167 5.4.4. Radiaia la gaze 167 5.5. Izolarea termic 168 5.6.nclzirea i rcirea n industria alimentar 172 5.6.1. Introducere 172 5.6.2. Ageni de schimb de cldur 173 5.6.2.1. Ageni purttori de cldur 173 5.6.2.1.1. nclzirea cu purttori de cldur n stare gazoas 173 5.6.2.1.1.1. nclzirea cu gaze de ardere 173 5.6.2.1.1.2. nclzirea cu aer cald 174 5.6.2.1.1.3. nclzirea cu abur supranclzit 174 5.6.2.1.2. nclzirea cu purttori de cldur n stare de vapori saturai 174 5.6.2.1.2.1. nclzirea cu vapori de ap saturai (abur saturat) 175 5.6.2.1.2.2. nclzirea cu vapori de substane organice 176 5.6.2.1.3. nclzirea cu purttori de cldur n stare lichid 176 5.6.2.1.3.1. nclzirea cu ap cald 177

8

5.6.2.1.3.2. nclzirea cu uleiuri minerale 177 5.6.2.1.3.3. nclzirea cu lichide organice definite 177 5.6.2.2. Ageni de rcire. Ageni purttori de frig 178 5.6.2.2.1. Rcirea cu ap 178 5.6.2.2.2. Ageni purttori de frig 178 5.6.3.nclzirea electric 179 Capitolul 6 TRANSFER DE MAS 180 6.1. Introducere 180 6.2. Exprimarea compoziiei fazelor 181 6.2.1.Fracia molar (xi) 181 6.2.2. Raportul molar ( oix ) 181

6.2.3. Fracia masic ( ix ) 182

6.2.4. Raportul masic ( oix ) 182

6.3. Echilibrul ntre faze 183 6.3.1.Legea fazelor (Gibbs) 183 6.3.2. Legea lui Raoult 184 6.3.3. Legea lui Henry 185 6.3.4. Legea de repartiie a lui Nernst 185 6.4Difuziunea 186 6.4.1.Difuziunea molecular 186 6.4.1.1. Flux i flux unitar de mas 187 6.4.1.2.Legea lui Fick 187 6.4.1.3. Coeficientul de difuziune (D) 188 6.4.1.3.1. Coeficieni de difuziune n gaze 188 6.4.1.3.2.Coeficieni de difuziune n lichide 189 6.4.1.3.3.Coeficieni de difuziune n solide 191 6.4.2. Difuziunea convectiv 192 6.4.2.1. Ecuaia diferenial a transferului de mas prin convecie 193 6.4.2.2.Criterii de similitudine n procesele de transfer de mas (substan) 196 6.5. Mecanismul transferului de mas 197 6.5.1. Modelul celor dou filme 197 6.5.2. Modelul renoirii suprafeei (teoria penetraiei) 197 6.6.Coeficieni individuali de transfer de mas 200 6.6.1.Coeficieni individuali la coloanele cu perei udai 200 6.6.2. Coeficieni individuali la coloanele cu umplutur 202 6.6.3. Coeficieni individuali n sistemele gaz-solid i lichid-lichid 203 6.7.Transferul de mas global 204 Bibliografie 206

9

Capitolul 1

I N T R O D U C E R EI N T R O D U C E R EI N T R O D U C E R EI N T R O D U C E R E

1.1.Domeniul si caracteristicile industriei alimentare

Industria alimentara prelucreaza materiile prime de origine biologica, provenind din

regnul vegetal sau animal, n sensul de a le conditiona, conserva , transforma sau de a extrage din

ele anumite elemente destinate hranei omului. n momentul n care echilibrul biologic natural se

ntrerupe, ncep fenomenele de degradare care conduc la alterari si pierderi de produse.

Din momentul ntreruperii echilibrului biologic natural, toate operatiile care se efectueaza

asupra materiilor prime apartin industriei alimentare. Aceasta atrage dupa sine necesitatea fie ca

echilibrul biologic natural sa fie ntrerupt de industria alimentara, n ntreprinderi organizate si

dotate corespunzator, cum sunt de exemplu ntreprinderile de industrializarea carnii, fie ca

materiile prime - dupa ce s-a ntrerupt echilibrul biologic natural - sa fie supuse anumitor

tratamente, care sa ncetineasca, sau sa elimine consecintele fenomenelor de degradare, cum se

petrece de exemplu n industria moraritului si a panificatiei.

Spre deosebire de toate celelalte ramuri industriale, caracteristica esentiala a industriei

alimentare consta n aceea ca unele operatii care trebuie efectuate sunt de natura biochimica. n

consecinta, procesele biochimice si microbiologice reprezinta caracteristicile de baza, care

deosebesc industria alimentara de celelalte industrii si n special de industria chimica, cu care,

sub alte aspecte, industria alimentara are multe asemanari.

Cresterea numarului populatiei, dezvoltarea societatii, emanciparea omului, impun o alta

caracteristica industriei alimentare, cea de dezvoltare vertiginoasa, att sub aspect cantitativ ct

si sub aspect calitativ. Realizarea dezvoltarii vertiginoase este strns legata de nlaturarea

empirismului si folosirea rezultatelor cercetarilor stiintifice. Introducerea n productie a

rezultatelor cercetarii stiintifice impune prelucrarea produselor n intreprinderi bine organizate si

dotate tehnic corespunzator, conduse si exploatate de personal cu o buna pregatire sub toate

aspectele.

Industria alimentara moderna reprezinta un complex coordonat de transformari fizice,

chimice si biochimice prin care se realizeaza produse alimentare utiliznd procedee tehnologice

si instalatii fundamentate stiintific, tehnic si economic. Avnd n vedere volumul real de

prelucrare si importanta considerabila a industriei alimentare pe planurile alimentatiei, sanatatii,

10

agriculturii, economiei generale si al echilibrului social, acestei ramuri i se asigura conditii

rationale de dezvoltare, fiind condusa de cadre cu pregatire adaptata specificului ei.

1.2.Obiectul disciplinei

Disciplina "Operatii si utilaje n industria alimentara"are rolul de a pune la dispozitia

celor interesati notiunile de baza privind fenomenologia diferitelor operatii tehnologice si

caracteristicile utilajelor folosite. Ea se constituie ca o disciplina tehnica de specialitate care face

posibila ntelegerea cunostintelor de la disciplinele ulterioare. Studierea operatiilor si utilajelor se

efectueaza dupa caracteristicile comune ale acestora.

1.3.Proces tehnologic

Transformarea materiilor prime n produse finite sau n semifabricate se realizeaza printr-

o succesiune de operatii de natura mecanica, fizica, biochimica, uneori chimica, sau operatiuni

combinate.

Ansamblul ordonat al operatiilor prin care se realizeaza fabricarea unui produs sau

unor produse se numeste proces tehnologic.

Operatiile sunt faze distincte ale unui proces tehnologic, si se pot grupa n diferite

moduri. Unul din modurile obisnuite de grupare este urmatorul:

1. operatii pentru pregatirea materiilor prime n vederea prelucrarii;

2. operatii pentru obtinerea produselor brute sau a semifabricatelor;

3. operatii pentru transformarea produselor brute sau semifabricatelor n produse

comercializabile, utilizate ca bunuri de consum (produse alimentare, n cazul industriei

alimentare);

4. operatii pentru prelucrarea subproduselor sau deseurilor;

5. operatii auxiliare.

Ansamblul indicativ al succesiunii operatiilor pentru obtinerea unui produs sau mai

multor produse ntr-un proces tehnologic se numeste schema bloc a procesului tehnologic.

n figura 1.1 se prezinta schema bloc simplificata a procesului de obtinere a sucului si a

pastei de tomate.

11

Fig. 1.1. Schema bloc a procesului tehnologic simplificat de

obtinere a sucului si a pastei de tomate (rosii).

Pasare

Recepie, sortare

Splare

Roii splate

Prenclzire

Corectare

Suc de roii

Corectare

mbuteliere, capsulare

Sterilizare

Suc sterilizat

Concentrare

Dozare, nchidere recipieni

Sterilizare

Semine i pielie

Dozare

Past de tomate

Ap i impuriti

Impuriti i deeuri

Vapori de ap

Ap Sare Zahr Roii

12

Elementele n care se realizeaza procesul tehnologic sunt utilajele. Conventional, sub

denumirea de aparat se ntelege un utilaj static, fara organe principale n miscare si sub

denumirea de masina, se defineste un utilaj cu organe n miscare. Notiunile de aparat si masina

se includ n sfera notiunii de utilaj.

nsiruirea ordonata a schitelor sau simbolurilor utilajelor n care se realizeaza

procesul tehnologic, cu indicarea circulatiei materialelor poarta numele de schema

tehnologica de legaturi.

n figura 1.2. se prezinta schema tehnologica de legaturi pentru procesul de obtinere a

alcoolului etilic alimentar prin fermentare.

Daca se analizeaza natura operatiilor care alcatuiesc un proces tehnologic din industria

alimentara, se pot face o serie de constatari, si anume:

1. o fabricatie, orict de complicata ar fi, este formata dintr-o nsiruire de operatii simple,

distincte;

2. din totalitatea operatiilor ntlnite n cadrul unui proces tehnologic doar cteva sunt

operatii n care transformarile sunt moleculare, de natura biochimica sau chimica, n rest sunt

operatii de natura fizica sau mecanica;

3. cele mai multe operatii fizice sau mecanice sunt comune mai multor procese

tehnologice pentru obtinerea de produse asemanatoare sau diferite; multe dintre ele se repeta

chiar n cadrul aceleiasi scheme;

4. utilajele ntrebuintate la realizarea unei anumite operatii ndeplinesc aceleasi functiuni

indiferent care ar fi procesul tehnologic sau faza din procesul tehnologic n care se utilizeaza;

rareori apar unele modificari caracteristice produsului dar si acestea nu schimba aspectul

functional al utilajului. Diferentierile ntre utilajele cu ajutorul carora se realizeaza o anumita

operatie, n general, sunt determinate de elementele constructive impuse de debit sau capacitate,

de modul n care se urmareste sa se realizeze operatia respectiva.

13

Fig.1.2. Schema tehnologica de legaturi pentru procesul de obtinere a alcoolului etilic alimentar prin fermentare

(instalatia de rafinare cu functionare continua).

1.-rezervor de alimentare; 2.-schimbator de caldura; 3.-coloana de frunti; 4.-deflegmator frunti; 5.-condensator

frunti; 6,14.-felinar control; 7.-conducta de legatura; 8.-coloana de rectificare; 9.-deflegmator spirt; 10.-

condensator spirt; 11.-conducta spirt frunti; 12.-conducta spirt rafinat; 13.-racitor spirt rafinat; 15,16.-conducte

ulei fuzel; 18.-ulei de fuzel; 19.-spirt cozi; 20.-conducta apa de luter; 21.-rezervor spirt cozi.

Operatiile fizico-mecanice care se ntlnesc la realizarea proceselor tehnologice sunt

denumite si operatii tip sau operatii unitare.

Tratarea operatiilor tip dupa principiile operatiilor si utilajelor se dezvolta dupa

urmatoarele criterii:

1. cercetarea factorilor care intervin n operatia respectiva;

2. analiza principiilor stiintifice fundamentale care stau la baza operatiei tip respective;

deducerea modelului matematic care cuprinde factorii ce intervin n operatia respectiva;

3. cunoasterea legilor de conservare (bilant de materiale, de energie);

4. cunoasterea relatiilor de transfer de cantitate de miscare, de caldura, de substanta, la

nivelul operatiei tratate;

5. influenta transferurilor asupra proceselor biochimice;

6. relatia ntre tipurile de transfer si ntre ele si procesele biochimice;

7. cunoasterea principalelor utilaje n care se realizeaza operatiile tip;

8. relatii de similitudine si analiza dimensionala care contribuie la lamurirea operatiilor

tip;

9. relatii de convenienta economica care pot duce la optimizarea procedeelor de

fabricatie, la dimensionarea economica a utilajelor n care se realizeaza operatiile tip.

14

1.4.Clasificarea operatiilor tip

Clasificarea operatiilor tip ntlnite n industriile cu caracter chimico-tehnologic, n

consecinta si n industria alimentara, se poate face din mai multe puncte de vedere.

I. Dupa modul n care se actioneaza asupra materialelor

a) operatii cu schimbarea starii fizice a materialelor: topire- -solidificare, fierbere-

condensare, sublimare, etc.;

b) operatii de amestecare si aglomerare de unde rezulta amestecuri omogene si

eterogene:brichetare, presare, amestecare, malaxare, framntare etc;

c) operatii de divizare si separare: spargere, maruntire, macinare, taiere, cernere, sortare,

separare pneumatica, separare electrostatica, sedimentare, decantare, filtrare, centrifugare,

stoarcere, uscare, cristalizare, distilare, rectificare etc;

d) operatii chimice si biochimice: neutralizare, carbonatare, fermentare, maturare, etc.;

e) operatii auxiliare: depozitare, transport, dozare, ncalzire-racire, etc.

II. Dupa natura operatiilor :

1. operatii mecanice (fara schimbarea starii materialului): depozitare, transport, masurare,

dozare,etc.;

2. operatii fizice (cu schimbarea starii fizice a materialului): se subdivid n trei grupe:

a) operatii cu transfer de impuls : maruntire, spargere, macinare, taiere, cernere, sortare,

amestecare, malaxare, framntare, sedimentare, decantare, filtrare, centrifugare, separare

pneumatica, stoarcere, etc.;

b) operatii cu transfer de caldura : ncalzire, racire, evaporare, concentrare, condensare,

pasteurizare, sterilizare, refrigerare, congelare etc.;

c) operatii cu transfer de masa (combinat cu transfer de caldura): uscare, prajire, distilare,

rectificare, extractie, difuzie, cristalizare, etc.

3. operatii chimice si biochimice (operatii n care intervin transformari moleculare) :

neutralizare, fermentare, carbonatare, maturare etc.

n analiza operatiilor tip se face apel la legile fizicii, care guverneaza diferite fenomene,

la elemente matematice necesare stabilirii modelelor matematice, la calcule stoechiometrice

bazate pe legile ce guverneaza desfasurarea reactiilor chimice (legea proportiilor definite, legea

proportiilor multiple).

15

Capitolul 2Capitolul 2Capitolul 2Capitolul 2

MARIMI, MASURARI, SISTEME DE MARIMI, MASURARI, SISTEME DE MARIMI, MASURARI, SISTEME DE MARIMI, MASURARI, SISTEME DE

MASURAMASURAMASURAMASURA

2.1.Marimi, masurarea, valori numerice

Marimile fizice reprezinta concepte asociate proprietatilor, interactiunilor sau

transformarilor sistemelor, care pot fi legate prin relatii matematice denumite legi. Ele descriu

fenomenele fizice att din punct de vedere calitativ ct si cantitativ.

Marimile care pot fi comparate ntre ele, putnd deci fi egale, mai mari sau mai mici,

unele fata de altele, constituie o anumita specie de marimi de natura identica.

Caracteristica principala a marimilor fizice este aceea ca sunt masurabile. A masura o

marime de exemplu masa unui corp nseamna a determina raportul ei fata de o alta marime de

aceeasi natura considerata conventional unitate de masura, de exemplu fata de kilogramul

etalon.

Masurarea se bazeaza deci pe comparatia efectuata n conformitate cu anumite metode si

conduce la un numar care exprima de cte ori marimea considerata unitate de masura este

continuta n marimea de masurat. n acest mod orice marime fizica A se poate exprima printr-un

produs simbolic dintre valoarea masuratorii a si unitatea de masura .

= aA (2.1)

Ecuatia (2.1) poarta denumirea de ecuatia fundamentala a masurarii. Din analiza ei

rezulta ca valoarea numerica , a marimii A depinde de alegerea unitatii de masura. Marimea

fizica nsasi nu variaza cu variatia unitatii de masura; valoarea numerica a acesteia nsa creste

sau descreste daca unitatea de masura este mai mica sau mai mare.

2.2. Unitati de masur

Numarul ecuatiilor fizice care exprima matematic fenomenele fizice este mai mic dect

numarul marimilor fizice sau, mai corect, dect numarul speciilor de marimi de o anumita natura,

deoarece o parte din acestea sunt introduse prin analiza experientelor, fiind caracterizate prin

anumite proprietati obiective si n cadrul teoriei aplicate nu pot fi exprimate prin alte marimi

impuse initial. Aceste marimi denumite marimi primitive corespund unui continut fizic nou si nu

pot fi introduse dect prin experienta.

16

Marimile derivate se definesc prin relatii de definitie de forma :

( ) 0,..., =yxf (2-2)

si deci pot fi reprezentate prin anumite marimi primitive.

Din punct de vedere al unitatilor se pot distinge marimi fundamentale si marimi

secundare (derivate) cu unitati secundare (derivate).

Marimile fundamentale au unitati de masura definite independent. Numarul marimilor

fundamentale necesare variaza de la un domeniu la altul :

- geometrie : lungimea, L;

- cinematica : lungimea, L; timpul, T;

- caldura : lungimea, L; timpul, T; masa, M; temperatura, t.

Marimile derivate au unitati de masura derivate obtinute din relatiile de definitie; aceste unitati

de masura depind de unitatile fundamentale.

n definirea unitatilor de masura fundamentale sau derivate se mentioneaza procedeul de

masurare, iar valoarea unitatilor este astfel aleasa nct raportul a doua marimi de aceasi natura

sa fie independent de aceasta unitate.

Marimile fundamentale si derivate au urmatoarele proprietati :

- marimile de natura identica se aduna, daca n definitia lor nu intervine o origine conventionala

diferita;

- valorile marimilor de aceasi natura exprimate n aceleasi unitati se pot supune operatiilor

matematice obisnuite (adunare, nmultire sau mpartire cu numere abstracte, ridicare la putere

etc.);

- marimile derivate nu pot fi definite arbitrar n functie de marimile fundamentale, ele trebuie sa

fie functii de marimile fundamentale.

Dac n relatiile de definitie ale marimilor derivate se nlocuiesc marimile fundamentale

prin simbolurile lor dimensionale se obtine ecuatia dimensionala a marimilor derivate respective:

[ ] 1== TLT

Lv (2-3)

Un sistem de dimensiuni este determinat de grupul de marimi fundamentale cu ajutorul carora se

pot defini univoc toate marimile derivate. Sisteme de dimensiuni folosite : L T M si L T F.

17

2.3. Sisteme de unitati de masura.

Totalitatea unitatilor fundamentale, precum si a celor derivate care se definesc cu ajutorul

unitatilor fundamentale constituie un sistem de unitati de masura. Un sistem de unitati de

masura este caracterizat de grupul de unitati fundamentale n functie de care se definesc unitatile

derivate.

ntruct unitatile fundamentale sunt independente ntre ele si conventional alese pentru o

anumita marime fundamentala se pot alege una sau mai multe unitati fundamentale, exemplu :

masa - gramul, kilogramul si tona. Unui sistem de dimensiuni i pot corespunde unul sau mai

multe sisteme de unitati.

Conditiile care se impun unui sistem de unitati sunt :

- sa fie general, adica sa fie aplicabil n toate capitolele fizicii;

- sa fie coerent, adica unitatile derivate sa fie deduse conform principiului coerentei

dimensionale;

- sa fie practic, adica sa aiba la baza unitati fundamentale corespunzatoare unor valori potrivite,

nici prea mici nici foarte mari, pentru marimile obisnuite.

Se cunosc mai multe sisteme de unitati.

Sistemul C G S (centimetru, gram, secunda)este general, fara a conduce la unitati

practice; este adoptat n studiile stiintifice de mare finete si sensibilitate. Variante : C G S 0

(centimetru, gram, secunda, unitate de permitivitate); C G S 0 (centimetru, gram, secunda,

unitate de permeabilitate); C G S 0 0 (centimetru, gram, secunda, unitate de permitivitate si de

permeabilitate).

Sistemul M T S (metru, tona, secunda) are unitati prea mari pentru masa si forta, este

general, dar nu conduce la unitati coerente practice n electromagnetism.

Sistemul M K S (metru, kilogram, secunda) are unitati practice geometrice si mecanice

(n afara unitatilor de forta si de presiune), este general, coerent cu unitatile practice n

electromagnetism.

Sistemul F P S (foot,pound,secunda) utilizat nca n tari ca: SUA, Canada, Australia, etc.

Sistemul International de Unitati (S.I.) admite ca unitati fundamentale pentru lungime,

masa si timp aceleasi unitati ca si sistemul MKS, dar apar deosebiri la unitatile derivate.

Sistemele de dimensiuni de tipul L M T (lungime, masa, timp) sau LFT (lungime, forta,

timp) nu pot fi folosite n toate domeniile. A aparut necesitatea de a se completa sistemul de

dimensiuni si sistemele de unitati cu marimi si unitati fundamentale noi care sa dea posibilitatea

masurarii marimilor termice, electromagnetice si luminoase. Alegerea marimilor amintite a creat

mari dificultati.

18

Toate inconvenientele aparute au condus la necesitatea adoptarii unui sistem de unitati

care sa nlature toate neajunsurile si care sa fie aplicabil pe plan international.

2.4. Sistemul International de Unitati de Masura(SI)

Activitatea depusa de oamenii de stiinta pentru alegerea unui sistem de unitati care sa

nlature neajunsurile semnalate anterior si care sa fie aplicabil n toate domeniile de activitate si

aplicat n toate locurile de pe glob este veche.nca din 1875 s-a luat hotarrea crearii unui comitet

international care sa se ocupe de aceasta problema. La cea de-a XI-a Conferinta Generala de

Masuri si Greutati din nov. 1960 de la Paris, s-a luat hotarrea definitiva privind Sistemul

International de Unitati de Masura - SI - bazat pe sase marimi si unitati fundamentale,

adoptndu-se lista marimilor si unitatilor fundamentale, suplimentare si derivate. De asemenea s-

a definit modul de formare al unitatilor de masura, multiplii si submultiplii lor. La cea de-a XIV-

a Conferinta Generala de Masuri si Greutati din 1971 s-a decis introducerea cantitatii de

substanta drept a saptea marime fundamentala n SI cu unitatea fundamentala molul.

Sistemul International de Unitati , SI, a fost adoptat de diferite organizatii internationale

de standardizare ( ISO=Organizatia Internationala de Standardizare, CEI=Comisia Electrotehnica

Internationala, UIFPA=Uniunea Internationala de Fizica Pura si Aplicata, IUPAC = Uniunea

Internationala de Chimie Pura si Aplicata, OIML = Organizatia Internationala de Metrologie

Legala, etc.)

n Romnia, sistemul SI a fost introdus prin HCM nr. 550 din 30 august 1961,

stipulndu-se ca "n RSR sistemul de unitati de masura legal si obligatoriu este Sistemul

International de Unitati". Prin Legea Metrologiei votata de MAN la 3 nov. 1978 si intrata n

vigoare la 1 feb. 1979, se legifereaza obligativitatea utilizarii SI pe teritoriul Romniei,

considerndu-se ncheiata activitatea de introducere a acestui sistem n toate domeniile de

activitate.

Marimile fundamentale si suplimentare precum si unitatile aferente stabilite prin Sistemul

International de Unitati sunt prezentate n tabelul 2.1.

19

Tabelul 2.1. Marimi fundamentale si suplimentare, si unitatile lor corespunzatoare

Sistemului International de Unitati SI

Marimi fundamentale Unitati fundamentale Nr.

crt. Denumire Simbol Denumire Simbol

1 Lungimea L metru m

2 Masa M kilogram kg

3 Timpul T secunda s

4 Temperatura

termodinamica

kelvin K

5 Intensitate curent electric I amper A

6 Intensitate luminoasa J candela cd

7 Cantitatea de substanta N mol mol

Marimi suplimentare Unitati suplimentare

1 Unghi plan radian rad

2 Unghi solid steradian sr

Prin adoptarea a sapte marimi si unitati fundamentale, sistemul SI este un sistem

universal pentru toate domeniile de activitate.

2.4.1.Definirea unitatilor de masura

Definirea unitatilor de masura a marimilor fundamentale si suplimentare este urmatoarea:

- metrul (m) unitatea de lungime egala cu 1650763,73 lungimi de unda n vid ale

radiatiei care corespunde tranzitiei atomului de Kripton 86 ntre nivele 2p10 si 4d5, sursa de

radiatii fiind racita cu azot lichid; ( cea de-a 11-a CGPM din 1960)

- kilogramul (kg) unitatea de masa egala cu masa "kilogramului international" de platin-

iridiu (10%) adoptat n 1889 de Conferinta Generala de Masuri si Greutati, care se gaseste la

Sevres (Paris - Franta);(cea de-a 3-a CGPM din 1901)

- secunda (s) unitatea de timp egala cu durata a 9192631770 perioade ale radiatiei

corespunzatoare tranzitiei ntre cele doua nivele de energie hiperfine ale starii fundamentale a

atomului de Cesiu 113 ; ( cea de-a 13-a CGPM din 1967)

- kelvin (K) unitatea temperaturii termodinamice egala cu fractiunea 1/273,16 din

temperatura termodinamica a punctului triplu al apei ; ( cea de-a 13-a CGPM din 1967)

- amperul (A) unitatea de intensitate electrica corespunzatoare unui curent electric

constant mentinut n doua conductoare rectilinii, paralele, cu lungime infinita si cu sectiune

20

circulara neglijabila, asezate n vid la o distanta de 1 metru unul de celalalt, ce are ca efect

aparitia unei forte de 2 x 10-7 N/m; (cea de-a 9-a CGPM din 1948)

- candela (cd) este intensitatea luminoasa emisa normal la temperatura de solidificare a

platinei la presiune atmosferica normala, de catre un radiator integral(corp negru) cu suprafata de

1/600000 m2;(a 13-a CGPM din 1967)

- molul (mol) unitatea de cantitate de substanta, este cantitatea de substanta a unui sistem

care contine attea entitati elementare cti atomi exista n 0,012 kilograme de Carbon12. De cte

ori se ntrebuinteaza molul, entitatile elementare trebuie specificate, ele putnd fi atomi,

molecule, ioni, electroni, alte particule sau grupuri de asemenea particule. ( cea de-a 14-a

CGPM din 1971)

- radianul (rad) unghiul plan cu vrful n centru unui cerc, si care delimiteaza pe

circumferinta cercului un arc a carui lungime este egala cu raza cercului; ( cea de-a 11-a CGPM

din 1960)

- steradianul (sr) unghiul solid cu vrful n centrul unei sfere, care delimiteaza pe

suprafata sferei o arie egala cu aria unui patrat a carui latura este egala cu raza sferei. ( cea de-a

11-a CGPM din 1960)

2.4.2.Principalele reguli de formare si scriere a unitatilor SI

Principalele reguli de formare si scriere a unitatilor SI sunt :

- denumirile unitatilor de masura se scriu cu litere mici ex.: metru, amper, candela, cu

exceptia cazurilor cnd propozitiile/frazele ncep cu acestea;

- simbolurile unitatilor de masura se scriu cu litere romane drepte, mici, cu exceptia celor

a caror denumire deriva din nume proprii si se scriu cu litere mari (metrul, m ; amperul, A).

- simbolurile unitatilor de masura nu sunt urmate de punct dect n cazul n care acesta

face parte din punctuatia textului;

- denumirile unitatilor de masura alcatuite sub forma unui produs de unitati se scriu cu

trasura de unire ntre unitatile respective ( ex.: newton - metru, kiloohm - metru );

- denumirile unitatilor de masura alcatuite sub forma unui raport de unitati se scriu cu

prepozitia " pe " ntre unitatile de la numarator si cele de la numitor (ex.: metru pe secunda la

patrat );

- simbolurile unitatilor de masura alcatuite sub forma unui raport de unitati se scriu cu

linie oblica sau orizontala ntre simbolurile unitatilor de la numarator si simbolurile unitatilor de

la numitor sau sub forma unor produse cu factori la puteri pozitive si negative ( ex. m/s sau m . s -1; N/m2 sau N . m-2). n cazul n care unitatile de masura alcatuite sub forma unui raport de

unitati scris cu linie oblica, au numitorul constituit dintr-un produs se foloseste una din

21

urmatoarele forme de scriere : ori produsul simbolurilor de la numitor se scrie ntre paranteze, ori

simbolurile unitatilor care alcatuiesc raportul se scriu sub forma unui produs de simboluri cu

factori la puteri pozitive si negative ( ex. J/(kgK) sau J kg-1K-1;W/(m2K) sau Wm-2K-1);

- pluralul denumirilor unitatilor de masura se formeaza dupa regulile de formare a

pluralului substantivelor n limba romna; n cazul unitatilor alcatuite sub forma unui produs sau

raport de unitati aceste reguli se aplica primei unitati a produsului, respectiv primei unitati de la

numaratorul raportului (ex. secunda-secunde, newton-metru - newtoni-metru, joule pe kilogram

kelvin - jouli pe kilogram kelvin );

- simbolul unitatii de masura nu ia forma diferita la plural ( ex. 1m - 2m, 1K - 120 K );

-calculele cu unitati de masura se fac de regula numai cu ajutorul unitatilor fundamentale,

suplimentare si derivate ale Sistemului International, nu si cu al multiplilor si submultiplilor

zecimali ai acestora ( ex. se scrie Q=KAt = 900 W/(m2K) 5 m210 K, si nu Q = 90010-3

kW/(m2K) 5106 mm210 K ) Utilizarea n calcule n acelasi timp a multiplilor si a submultiplilor

unitatilor SI poate conduce la erori;

- valorile marimilor fizice se exprima n general n unitati de masura cu valori numerice

cuprinse ntre 0,1 si 1000 ( ex. 0,12 m; 1,3 kg; 125,70C).

2.4.3. Multiplii si submultiplii unitatilor SI.

La definirea sistemului SI o preocupare de baza a fost si cea de stabilire a regulilor pentru

formarea multiplilor si submultiplilor unitatilor sistemului. Ei se formeaza pe baza principiului

zecimal si sunt prezentati n tabelul 2.2.

Tabelul 2.2. Multiplii si submultiplii sistemului international SI

Multipli Submultipli

Multiplicatorul

unitatii de referinta

Prefix Simbol Multiplicatorul

unitatii de referinta

Prefix Simbol

1024 yotta Y 10 -1 deci d

10 18 exa E 10 -2 centi c

10 15 peta P 10 -3 mili m

10 12 tera T 10 -6 micro

10 9 giga G 10 -9 nano n

10 6 mega M 10 -12 pico p

10 3 kilo k 10 -15 femto f

10 2 hecto h 10 -18 atto a

10 deca da 10-24 yocto y

22

La formarea si utilizarea multiplilor si submultiplilor sistemului SI trebuie sa se tina

seama de urmatoarele reguli:

- prefixele si simbolurile care indica un multiplu sau un submultiplu se scriu fara spatiu

liber sau alta separare naintea simbolului unitatii;

- nu se folosesc prefixe compuse ( ex. milimicrometru n loc de nanometru); singura

unitate SI al carei nume contine un prefix este unitatea de masa, ea fiind formata adaugnd

prefixul "kilo" la cuvntul "gram";

- daca unitatea de masura este formata din cteva unitati, prefixul poate fi numai naintea

primei unitati, neadmitndu-se combinatii;

- daca simbolul unitatii de masura care este precedat de simbolul unui multiplu sau

submultiplu este urmat de un exponent acesta se considera aplicat ntregii unitati

( ex. 1 cm2 = (110-2 m)2 = 110-4 m2 ).

Prin Sistemul International de Unitati se urmareste si unificarea prezentarii fenomenelor

fizice definite prin unitati derivate. Toate unitatile derivate n acest sistem sunt concordante cu

ecuatiile de definitie, conducnd astfel la expresiile cele mai simple prin eliminarea factorilor

numerici.

Adoptarea si perfectionarea continua a Sistemului International de Unitati prezinta o serie

de avantaje si anume :

- a dat posibilitatea unificarii unitatilor de masura pentru toate marimile fizice, mecanice,

termice, electromagnetice, etc., eliminnd prin aceasta marile dificultati ce apareau n cazul

folosirii a diferite unitati de masura pentru aceeasi marime;

- a simplificat scrierea formulelor si ecuatiilor n stiinta si tehnica, ceea ce atrage dupa

sine reducerea timpilor de calcul;

- a nlaturat posibilitatea confundarii unitatii de masa (kilogramul) cu cea a unitatii de

forta (newtonul), confundare care este un caz destul de frecvent n celelalte sisteme.

23

Capitolul 3Capitolul 3Capitolul 3Capitolul 3

SIMILITUDINE, ANALIZA SIMILITUDINE, ANALIZA SIMILITUDINE, ANALIZA SIMILITUDINE, ANALIZA

DIMENSIONALA, MODELARE, DIMENSIONALA, MODELARE, DIMENSIONALA, MODELARE, DIMENSIONALA, MODELARE,

BILANTURIBILANTURIBILANTURIBILANTURI

3.1.Similitudine

3.1.1. Introducere

Fenomenele din natura sunt dirijate de legi obiective fizice sau chimice, fixe si generale,

cunoscute sau nca necunoscute.

Multe din legile cunoscute sunt exprimate matematic prin relatii generale ntre marimile

determinante care intervin n desfasurarea fenomenului. De obicei, aceste relatii generale sunt

ecuatii diferentiale, valabile pentru ntreaga clasa de fenomene la care se refera legea sau legile

exprimate prin ecuatiile diferentiale respective.

Individualizarea unui fenomen se face introducnd n rationament conditiile de

univocitate. Acestea sunt :

- conditii geometrice adica dimensiunile sistemului si dimensiunile traiectoriilor urmate de

elementele sistemului;

- conditii fizice sau de material reprezentate prin constantele fizice si parametrii de stare ai

substantelor;

- conditii dinamice ale elementelor sistemului : viteze, acceleratii, etc.;

- conditii la limita adica conditiile geometrice, fizice si dinamice ale starii initiale si ale starii

finale ale sistemului.

Ecuatiile generale n care s-au introdus conditiile de univocitate prin :

- precizarea constantelor;

- integrarea ntre limitele corespunzatoare conditiilor initiale si finale;

- introducerea unor conditii suplimentare;

dau ecuatii proprii fenomenului particular, caracterizat prin conditiile de univocitate impuse.

Cnd legile care guverneaza fenomenul studiat nu sunt cunoscute sau cnd ecuatiile

deduse pe cale teoretica sunt prea complicate ori nerezolvabile, se recurge la determinarea

experimentala a dependentelor dintre marimile care influenteaza fenomenul.

24

Experimentarea poate fi conceputa si condusa n trei moduri corespunznd la trei

obiective :

1. - cu intentia de a studia un caz particular si a gasi rezultate valabile pentru cazul studiat;

2. - cu intentia de a gasi formule empirice valabile pentru un interval restrns de variatie a

parametrilor;

3. - cu intentia de a descoperii legea generala care guverneaza fenomenul studiat si a deduce

relatii valabile pentru domenii mai extinse dect cele n care au variat parametrii n timpul

experimentarii.

Formulele empirice si corelarile alcatuite pe baza lor nu reprezinta o rezolvare

stiintifica a problemei, deoarece ele nu conduc la cunoasterea legilor fundamentale si nu permit

generalizarea dincolo de limitele conditiilor n care s-a experimentat.

Din contra, conducerea stiintifica a experimentarii si interpretarea rezultatelor cu ajutorul

teoriei similitudinii si al analizei dimensionale duc la relatii care pot fi extrapolate deoarece ele

exprima legile de baza ale fenomenului.

Teoria similitudinii sau teoria modelelor studiaza deducerea si folosirea criteriilor de

similitudine, cu scopul de a gasi metodele de transpunere a rezultatelor experimentale obtinute

cu un sistem studiat (model) ,la un alt model. Cu alte cuvinte se studiaza criteriile dupa

care trebuie alese conditiile experimentale pentru a fi similare conditiilor industriale.

Experimentarea n aparatura de dimensiuni reduse n conditii convenabile si cu materiale

usor accesibile, constituie un avantaj foarte important al folosirii modelelor ca parte integranta a

mijloacelor generale de lucru ale tehnicii.

Fenomene similare sau fenomene asemenea sunt fenomenele pentru care conditiile de

univocitate sunt similare, adica fenomenele care ndeplinesc conditiile de :

- similitudine geometrica;

- similitudine fizica;

- similitudine dinamica;

- similitudine a conditiilor la limita.

Primele trei conditii de similitudine sunt exprimate prin relatiile :

- similitudinea geometrica :

ln

n al

L

l

L

l

L==== ...

2

2

1

1 (3-1)

- similitudinea fizica :

cn

n ac

C

c

C

c

C==== ...

2

2

1

1 (3-2)

25

- similitudinea dinamica :

tn

n at

T

t

T

t

T==== ...

2

2

1

1 (3-3)

n care :

L1, L2,...- dimensiunile geometrice ale sistemului industrial;

l1, l2,... - dimensiunile geometrice corespunzatoare ale modelului;

C1, C2,...- parametrii fizici ai sistemului industrial;

c1, c2,...- parametrii fizici n punctele corespunzatoare ale modelului;

T1, T2,...- duratele pentru parcurgerea unor portiuni de traiectorii ale elementelor sistemului

industrial;

t1, t2,...- duratele pentru parcurgerea unor portiuni similare de traiectorii ale elementelor

modelului;

al- constanta de similitudine geometrica;

ac- constanta de similitudine fizica;

at- constanta similitudinii de timp.

- similitudinea conditiilor la limita nseamna ndeplinirea celor trei tipuri de similitudine n

starile initiale si n starile finale ale ambelor sisteme.

3.1.2. Invarianti si criterii de similitudine

Constantele de similitudine s-au obtinut prin raportul ntre marimile care caracterizeaza

sisteme asemenea. Ele sunt nedimensionale. Daca toate marimile pentru care se scriu rapoartele

n vederea obtinerii constantelor de similitudine se masoara n aceleasi unitati, raportul a doua

marimi care caracterizeaza acelasi sistem este nedimensional si egal cu raportul marimilor din

cel de-al doilea sistem n punctele n care au fost asemenea. Astfel :

lill

L

L=== ...

2

1

2

1

cic

c

C

C=== ...

2

1

2

1 (3-4)

tit

t

T

T=== ...

2

1

2

1

Toate aceste rapoarte contin elemente dintr-un singur sistem, sunt nedimensionale si se

numesc invarianti de similitudine.

Daca invariantii de similitudine sunt rapoarte ntre doua marimi de aceeasi natura, ca cei

din relatia de mai sus, se numesc simplecsi de similitudine. Daca invariantii sunt rapoarte ntre

mai multe marimi, se numesc multiplecsi sau criterii de similitudine.

26

Criteriile de similitudine se determina din nsasi esenta fenomenelor. Ele sunt marimi

abstracte, se pot stabili pentru orice fenomen fizic cu conditia sa existe relatii analitice care sa

lege ntre ele variabilele fenomenului cercetat. Deducerea criteriilor de similitudine se realizeaza:

- din ecuatiile care descriu fenomenul;

- cu ajutorul ecuatiilor diferentiale, pe baza teoremelor similitudinii;

- cu ajutorul analizei dimensionale.

Similitudinea si aplicarea ei n practica se bazeaza pe trei teoreme si anume:

Teorema I, formulata de Newton, stabileste legatura ntre fenomenele asemenea. Se

enunta astfel: "Fenomenele asemenea ntre ele au aceleasi criterii de similitudine si criteriile

de similitudine au aceeasi valoare". Pe baza acestei teoreme se pot deduce criteriile de

similitudine din ecuatiile diferentiale care descriu fenomene asemenea fara sa se recurga la

rezolvarea analitica a ecuatiilor diferentiale.

Teorema II, a fost formulata de Buckingham si stabileste posibilitatea reprezentarii

solutiei integrale a ecuatiei diferentiale pe baza de criterii de similitudine. Se enunta astfel :

"Orice functie care caracterizeaza un fenomen oarecare poate fi prezentata ca o functie de

criterii de similitudine". Forma cea mai generala a acestei functii este :

( ) .,...,, 21 constNNNf n = (3-5)

n care: N1, N2, ... - numere adimensionale sau criterii de similitudine.

Forma este cea obtinuta cu ajutorul teoremei .

Teorema III, a fost formulata de Kipircev-Guhman si indica ce conditii sunt necesare si

suficiente pentru ca fenomenele sa fie asemenea. Se enunta astfel: "Pentru ca doua fenomene sa

fie asemenea este necesar si suficient ca ele sa fie calitativ identice, iar criteriile determinante

corespunzatoare sa aiba aceeasi valoare numerica".

3.2. Analiza dimensionala

3.2.1. Introducere

Analiza dimensionala reprezinta ansamblul de cunostinte si metode pentru tratarea

unor probleme de inginerie, folosind formulele dimensionale ale marimilor fizice. Analiza

dimensionala considera ca relatiile care permit descrierea fenomenelor sunt dimensional

omogene, adica cei doi termeni ai relatiei sunt identici sub aspect dimensional. Analiza

dimensionala a aparut ca rezultat al extinderii principiilor asemanarii geometrice la alte

fenomene fizice.

Expresia prin care se exprima o marime functie de marimile fundamentale a fost

numita ecuatie dimensionala sau ecuatie de dimensiuni.

27

n general orice marime tinnd seama de marimile fundamentale este definita printr-o

relatie de forma :

dcba TtMLX = (3-6)

Unde:

X - marimea definit;

L,M,t,T - marimile fundamentale;

a,b,c,d - exponenti.

Ecuatia este valabila pentru toate sistemele de unitati de masura din sistemul de

dimensiuni L M t T.

Principalele aplicatii ale analizei dimensionale sunt :

- verificarea corectitudinii formulelor, fie din punct de vedere dimensional, fie al unitatilor

particulare;

- deducerea naturii factorilor care intervin n relatii;

- transpunerea formulelor dintr-un sistem de unitati de masura n alt sistem de unitati de masura;

- stabilirea formei generale a ecuatiilor care definesc un fenomen oarecare.

3.2.2. Teorema

O aplicatie de mare utilitate practica este folosirea analizei dimensionale pentru stabilirea

formei generale a ecuatiilor care descriu anumite fenomene complexe, dependente de un numar

mare de variabile. Aceasta metoda se poate utiliza n cazurile n care se pot stabili toti parametrii

care influenteaza un anumit fenomen sau proces. Cunoscnd parametrii de care depinde

fenomenul sau procesul, se poate scrie o functie nedeterminata, caracteristica procesului

respectiv, de forma :

( ),...,,, dcbafF = (3-7)

n care : a, b, c, d, ... - parametrii care influenteaza fenomenul; F - fenomenul.

Prin analiza dimensionala nu se obtin informatii complete asupra relatiilor dintre

parametrii care determina fenomenul. Pentru a avea informatii complete este necesar sa se

recurga la experienta. Utiliznd analiza dimensionala se poate reduce considerabil numarul de

determinari experimentale necesare.

Analiza dimensionala, alaturi de experienta, conduce la rezultate numai daca se cunosc

toti factorii sau marimile care influenteaza fenomenul sau procesul. De aceea prima etapa n

aplicarea analizei dimensionale este cea de stabilire a marimilor fizice care intervin n fenomenul

studiat. Daca se introduc marimi suplimentare sau se omit anumite marimi care influenteaza

fenomenul, analiza dimensionala nu poate conduce la un rezultat concret si corect.

28

Pentru a reduce numarul determinarilor experimentale necesare caracterizarii n totalitate

a fenomenului, analiza dimensionala conduce la gruparea factorilor sau marimilor care

influenteaza fenomenul n grupuri de marimi fara dimensiuni. Acest lucru este posibil tinnd

seama de faptul ca toate ecuatiile fizice trebuie sa fie dimensional omogene. Pentru aceasta se

aplica metoda bazata pe teorema .

Teorema sau teorema lui Buckingham (1914) este teorema fundamentala a analizei

dimensionale.

Un fenomen fizic, tinnd seama de teorema , poate fi descris printr-o functie de forma :

( ) ....,, ,321 constNNNf =

n care N1, N2, N3, ... sunt grupuri nedimensionale care cuprind marimile fizice si constantele

dimensionale care influenteaza fenomenul, inclusiv fenomenul.

Numarul n de produse nedimensionale independente ce determina functia de tipul de

mai sus, n cazul unui fenomen sau proces ce depinde de m parametrii dimensionali ntre care

intra si fenomenul analizat n care se gasesc u marimi fundamentale care intra n ecuatiile de

definitie, conform teoremei , este egal cu diferenta ntre numarul de parametrii, m, si

numarul de marimi fundamentale, n, care intra n ecuatiile de definitie a parametrilor:

umn =

Pentru fenomene mecanice, numarul marimilor fundamentale u = 3 (lungime, masa,

timp) pentru fenomene termice u = 4 (lungime, masa, timp, temperatura). Pentru fiecare caz

valoarea lui u trebuie sa fie verificata pe baza marimilor fizice si a constantelor dimensionale.

Alegerea sistemului de unitati de masura, n principiu, este arbitrara; se poate alege sistemul cel

mai comod pentru studiul propus. Tinnd seama de superioritatea sistemului international SI, si

de legislatia n vigoare se utilizeaza de regula acest sistem.

Prin tot ceea ce se cuprinde n enuntul teoremei se respecta conditia egalitatii de

dimensiuni a celor doua parti ale relatiei care defineste fenomenul sau procesul. Teorema pune

conditia m > u ; n alt caz nu se poate aplica.

3.3. Metode pentru deducerea criteriilor de similitudine

3.3.1. Stabilirea criteriilor de similitudine din ecuatiile diferentiale care descriu fenomenul

O ecuatie diferentiala completa, dimensional omogena, ce descrie un proces, se poate

pune sub forma adimensionala n vederea obtinerii criteriilor de similitudine. n acest scop, n

primul rnd se reduce ecuatia diferentiala la o forma dimensionala generalizata, omitnd semnele

diferentiala, apoi se mparte prin unul din termeni pentru a se obtine toti ceilalti termeni

adimensionali.

29

Se considera de exemplu, ecuatiile diferentiale ale lui Navier - Stokes pentru transferul de

impuls. Ele sunt valabile pentru curgerea izoterma a unui fluid newtonian. ntruct, cele trei

componente ale sistemului de ecuatii au aceeasi forma este suficient sa se scrie numai una, cea

pentru directia 0x :

++

+

+

+

x

pg

z

ww

y

ww

x

ww

t

wx

zz

yy

xx

x

03

12

2

2

2

2

2

=

+

+

+

+

z

w

y

w

x

w

z

w

y

w

x

w

xzyxzyx (3-8)

Ecuatia este omogena si fiecare termen reprezinta o forta raportata la unitatea de volum.

n ecuatia (3-8) se omit semnele diferentiala si constanta numerica 1/ 3 de la termenul V.

Se scrie ecuatia dimensionala generalizata :

[ ] 2222

=

++

+

TML

l

w

l

pg

l

w

t

w

(3-9)

I II III IV V,VI

n care l - marimea liniara caracteristica. Termenii V si VI sunt identici.

Analiznd ecuatia (3-9) se constata ca prin mpartirea celorlalti termeni la termenul II se

pot obtine patru grupuri adimensionale independente si anume :

- criteriul de similitudine Reynolds, care reprezinta raportul ntre fortele de inertie si cele de

viscozitate :

lwlw

lw

l

wl

w

II

V =

==

=

= ReRe

12

2

(3-10)

- criteriul de similitudine Froude care reprezinta raportul ntre fortele de inertie si cele de

gravitatie :

lg

wFr

Frw

lg

l

w

g

II

III

==

=

=

2

22

1

(3-11)

- criteriul de similitudine Euler sau coeficientul de presiune, care reprezinta raportul ntre fortele

de presiune si fortele de inertie :

Euw

p

l

wl

p

II

IV=

=

= 22 (3-12)

I II III IV

V VI

30

- criteriul de similitudine de homocronism sau criteriul lui Strougal, care

caracterizeaza aspectul stationar sau nestationar al curgerii :

l

twHo

Hotw

l

l

wt

w

II

I ==

=

=1

2

(3-13)

Functia criteriala care se obtine poate fi scrisa sub forma implicita, si anume:

( ) .,Re,, ctEuFrHof = (3-14)

sau sub forma explicita pentru Eu :

321Re nnn HoFrkEu = (3-15)

n care k si exponentii n1, n2, n3, se determina experimental.

Ecuatia (3-15) i-a gasit cele mai importante aplicatii n operatia de amestecare, pentru

calculul consumului de energie. Dupa unele transformari, se ajunge de la caderea de presiune

care apare la organul de amestecare la necesarul de putere.

Avantajul metodei consta n aceea ca evidentiaza semnificatia fizica a fiecarui criteriu -

masura a raportului ntre doua forte.

Dezavantajul metodei de stabilire a ecuatiilor criteriale din ecuatiile diferentiale consta n

aceea ca se neglijeaza unele variabile n nsasi rationamentul de deducere al acestor ecuatii.

Aceste variabile, care nu apar n ecuatia diferentiala nu pot sa apara nici n ecuatiile criteriale.

Astfel, n exemplul de mai sus este neglijata tensiunea superficiala. Luarea n considerare la

curgerea fluidelor si a tensiunii superficiale face sa apara un nou criteriu de similitudine, criteriul

Weber.

3.3.2. Stabilirea criteriilor de similitudine prin tehnica analizei dumensionale

Determinarea numarului complet de grupuri adimensionale pe baza parametrilor ce

influenteaza procesul, inclusiv procesul, se poate face prin doua metode : metoda indicilor si

metoda matricei dimensionale.

Pentru ntelegerea modului de aplicare a metodelor precizate se considera transferul de impuls

la curgerea stationara si izoterma a unui fluid newtonian.

31

Fenomenul este descris de sapte variabile si anume :

Variabila Simbol Unitati de

masura n

SI

Formula

dimensionala

Lungimea caracteristica l m L

Viteza fluidului w m/s L . T-1

Densitatea fluidului kg/m3 M . L-3

Viscozitatea dinamica a

fluidului

Pa . s M . L-1 . T-1

Tensiunea superficiala N/m M . T-2

Caderea de presiune p Pa M . L-1 . T-2

Accelerarea gravitatiei g m/s2 L . T-2

Variabilele sunt exprimate functie de trei marimi fundamentale si conform teoremei ,

fenomenul va fi descris de 7 - 3 = 4 grupuri adimensionale independente.

Metoda indicilor

Formulele dimensionale ale variabilelor se pot scrie sub forma unor puteri, astfel nct

produsul variabilelor astfel scrise sa fie adimensional :

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0007654321 TMLgpwl xxxxxxx = (3-16)

unde x1, x2, ... reprezinta indici necunoscuti, iar parantezele patrate precizeaza ca este vorba de

formule dimensionale si nu de variabile. Dupa nlocuirea formulelor dimensionale se obtine :

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] 000221

21131

76

54321

TMLTLTLM

TMTLMLMTLLxx

xxxxx

=

(3-17)

Cu ajutorul exponentilor sau indicilor marimilor fundamentale se obtin trei ecuatii de

conditie :

Conditia pentru L : x1 + x2 - 3x3 - x4 - x6 + x7 = 0

Conditia pentru M : x3 + x4 + x5 + x6 = 0

Conditia pentru T : - x2 - x4 - 2x5 - 2x6 - 2x7 = 0

Acest sistem de ecuatii se poate rezolva doar pentru trei exponenti care se exprima

functie de ceilalti, considerati cunoscuti :

x1 = - x4 - x5 + x7

x2 = - x4 - 2x5 - 2x6 - 2x7

x3 = - x4 - x5 - x6

ecuatia (3-16) capata forma :

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 000222 76546547654754 TMLgpwl xxxxxxxxxxxxxx = + (3-18)

32

sau

000222 7654

TMLgl

w

p

wwllwxxxx

=

(3-19)

Apare un nou criteriu :

=

2wlWe (3-20)

Criteriul de similitudine Weber reprezinta raportul ntre fortele de inertie si fortele de

suprafata datorate tensiunii superficiale.

Functia criteriala ce descrie curgerea stationara izoterma a unui fluid newtonian va avea

forma:

- implicita : f( Re, We, Eu, Fr) = const. (3-21)

- explicita : 321Re2

nnn WeFrkw

p=

(3-22)

n care :n1 = x4 / x6 ; n2 = x7 / x6 ; n3 = x5 / x6

Valorile numerice ale coeficientului k si a exponentilor n1, n2, n3 se determina

experimental.

n general, se recomanda ca produsele adimensionale sau criteriile de similitudine sa fie

obtinute pornindu-se de la ecuatiile diferentiale ce definesc fenomenul sau clasa de fenomene

dar, atunci cnd aceste ecuatii neglijeaza unele variabile trebuie folosita n paralel si analiza

dimensionala.

n exemplul dat acest lucru se pune n evidenta : ecuatia diferentiala Navier - Stokes

pentru curgerea izoterma a fluidelor newtoniene nu ia n considerare tensiunea superficiala;

functia criteriala rezultata (3-15) nu prezinta n componenta sa un criteriu care sa contina acest

parametru.

Utilizndu-se analiza dimensionala si incluznd ntre parametri si tensiunea superficiala a

fluidelor apare n ecuatia criteriala (3-22) si criteriul Weber. Aceasta ecuatie este mai completa.

Metoda matricei dimensionale

Pentru acelasi proces de curgere izoterma a lichidelor newtoniene, matricea dimensionala

are forma :

Variabila l w p g

Exponentul

variabilei

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

Exponentul lui L 1 1 -3 -1 0 -1 1

Exponentul lui M 0 0 1 1 1 1 0

Exponentul lui T 0 -1 0 -1 -2 -2 -2

33

Ea este construita din m = 7 coloane si n = 3 rnduri ( rangul matricei).

Cu ajutorul primelor n coloane se formeaza determinantul si se verifica daca este diferit

de zero :

01

010

100

311

+=

= (3-23)

Daca aceasta conditie nu este ndeplinita se schimba una sau mai multe coloane ale

matricei. Variabilele primelor trei coloane, denumite variabile comune sau variabile

determinante, daca nu ndeplinesc conditia ca determinantul sa fie diferit de zero, nseamna ca nu

au fost bine alese.

n continuare, se formeaza toti determinantii posibili alcatuiti prin schimbarea succesiva a

coloanelor determinantului cu celelalte coloane ale matricei dimensionale. Determinantii nou

formati se vor nota cu doi indici : primul se refera la coloana schimbata din determinant iar al

doilea la coloana nou introdusa din matricea initiala. Prin substitutia succesiva a coloanelor se

obtin n total n(m - n) determinanti de ordinul n :

1

011

101

311

41=

= xx 1

012

101

310

51=

= xx

0

012

101

311

61=

= xx 1

012

100

311

71=

= xx (3-24)

1

010

110

311

42=

= xx 2

020

110

301

52=

= xx

2

020

110

311

62=

= xx 2

020

100

311

72=

= xx

1

110

100

111

43=

= xx 1

210

100

011

53=

= xx

1

210

100

111

63=

= xx 0

210

000

111

73=

= xx

34

Cu ajutorul valorilor obtinute pentru cei 12 determinanti se formeaza o noua matrice

constituita din m coloane si m-n siruri ce se refera la m - n grupuri adimensionale. Primele n

coloane ale matricei sunt constituite din valorile, cu semn schimbat ale rapoartelor ntre

determinantii nou formati si determinantul initial, iar ultimele m - n coloane formeaza un

determinant de rangul m - n cu elementele diagonalei principale egale cu unitatea si celelalte

elemente nule.

l w p g Rangul

matricei x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

x4 -1 -1 -1 1 0 0 0

x5 -1 -2 -1 0 1 0 0

x6 0 -2 -1 0 0 1 0

Exponentii

grupurilor

adimension

ale x7 1 -2 0 0 0 0 1

Grupurile de marimi adimensionale se formeaza punnd variabilele din capul tabelului la

exponentii dintr-un sir. Fiecarui sir i corespunde un criteriu de similitudine. Se obtin n total

patru criterii :

1Re=

wl1

2=

We

wl

Eu

w

p=

2 1

2=

Fr

w

gl (3-25)

Din aceste criterii i pe baza acelorai rationamente se obtin functiile (3-21) si (3-22).

Alegerea arbitrara a primelor coloane face sa nu rezulte ntotdeauna direct grupurile

adimensionale cunoscute. n cazul de fata s-a obtinut inversul criteriilor Re, We, Fr. Aducerea

lor la forma dorita se poate face prin operatii algebrice asupra fiecarui grup independent.

3.4. Modelare

Fenomenele pot fi studiate att teoretic ct si experimental. n inginerie se utilizeaza

modelarea fizica sau modelarea matematica n scopuri multiple.

Modelarea fizica presupune realizarea experimentelor pe instalatii mici denumite modele.

Se impune realizarea conditiilor din instalatiile industriale adica realizarea tuturor conditiilor de

similitudine.

Drumul urmat n studiu este urmatorul :

1. Analiza teoretica a fenomenului sau procesului de studiat cu gasirea ecuatiilor analitice care-l

descriu matematic si transpunerea acestora sub forma unei ecuatii criteriale.

2. Stabilirea conditiilor de similitudine ntre utilajul industrial si model care impun ca ecuatiile

criteriale precum si valorile numerice ale lor sa fie aceleasi. Pentru aceasta trebuie sa se

ndeplineasca unele conditii : fenomenul care are loc n cele doua instalatii trebuie sa fie de

aceeasi natura fizica; conditiile la limita ntre cele doua instalatii trebuie sa fie identice; libertatea

35

alegerii constantelor si parametrilor fizici pentru model este limitata de conditia respectarii

egalitatii valorilor criteriilor determinante ntre cele doua instalatii.

Prin intermediul criteriilor de similitudine rezultatele experimentelor de pe model sunt

extrapolate la instalatia industriala.

n etapa actuala, modelarea matematica capata o tot mai mare importanta. Ea prezinta

importanta prin sine nsasi ct si prin faptul ca modelarea fizica apeleaza n parte la modelarea

matematica.

Modelarea matematica este expresia formala a realitatii fizice. Este cunoscut ca, cu

exceptia unor cazuri banale, universul real si cel matematic sunt incomensurabile; nici un model

matematic nu poate reprezenta perfect o realitate fizica nebanala. De aceea, adeseori, nu se pune

alternativa alegerii ntre un model corect si altul gresit, ci a alegerii celui mai bun model dintre

cele accesibile.

n ntelegerea actuala a modelarii sunt cuprinse urmatoarele etape :

1. examinarea procesului care urmeaza a fi modelat;

2. analiza structurala a procesului, reprezentarea lui n forma unui sistem ierarhic organizat;

3. exprimarea matematica a sistemului printr-un numar necesar si suficient de ecuatii;

4. evaluarea (teoretica, experimentala) a coeficientilor modelului.

Daca aceste etape se trec cu succes se poate avansa la simulare.

5. ntocmirea unui program experimental, dupa criterii selectionate;

6. efectuarea programului experimental pe calculator, prin repetare succesiva n conditii variate.

n aceasta schema punctele 3 si 5 sunt decisive.

Desi n trecut fenomene complicate au putut fi modelate, parcurgndu-se punctele 1-3,

exploatarea modelului a fost limitata de capacitatea fizica redusa de solutionare a ecuatiilor

respective. Introducerea calculatoarelor de mare capacitate permite astazi eliminarea acestei

dificultati, fara sa fie nevoie sa se recurga la o reducere drastica a reprezentarii realitatii.

Tipuri de modele matematice :

- modele analitice (sau deterministe) se obtin prin izolarea unei portiuni restrnse a spatiului

aparatului astfel aleasa nct variatiile (de concentratie, temperatura, etc.) care au loc sa fie

infinitezimale. Pentru acest spatiu se scriu ecuatiile de conservare corespunzatoare de masa,

energie, moment. Ecuatiile diferentiale obtinute se integreaza pentru ntreg spatiul aparatului.

Utilizarea calculatoarelor permite astazi elaborarea de modele deterministe puternice,

reprezentnd apropiat fenomenul fizic, ecuatiile respective rezolvndu-se prin metode numerice.

- modelele stohastice sunt utilizate pentru sistemele a caror evolutie ntmplatoare nu poate fi

satisfacator reprezentata de un model determinist. Parametrii introdusi n model sunt evaluati

prin metode statistice;

36

- modele statistice (empirice) sunt adeseori atragatoare prin simplitatea lor, si prin faptul ca

parametrii modelului se determina din date experimentale uzuale. Ele nu necesita o reprezentare

a mecanismului procesului care urmeaza a fi modelat.

Modelele matematice au o utilizare variata. Principalele posibilitati sunt urmatoarele :

- dimensionare;

- operare;

- transpunere la scara;

- optimizare;

- control optimal.

3.5. Bilanturi

3.5.1. Notiuni introductive

O operatie sau un proces tehnologic poate decurge discontinuu sau continuu.

Operatia sau procesul este discontinuu cnd instalatia se ncarca cu materiale formndu-

se o sarja; sarja este prelucrata si dupa terminarea prelucrarii este evacuata sub forma de produs

finit. Urmeaza un nou ciclu de prelucrare. Caracteristice pentru operatiile discontinue sunt

marimea sarjei si durata unui ciclu.

Operatia sau procesul este continuu cnd instalatia este alimentata nentrerupt si

uniform cu materie prima, materiale si utilitati si debiteaza nentrerupt si uniform produsul finit.

Caracteristicile unei operatii continue sunt: debitul de alimentare, debitul de produse finite,

intervalul de timp n care produsul se afla n instalatie.

Un aparat, masina sau instalatie poate functiona n regim stationar sau nestationar.

Utilajele n care se produc acumulari de materiale ( sarje ) sau de energie, functioneaza n

regim nestationar. Ele sunt utilaje cu functionare discontinua sau n regim tranzitoriu.

Un aparat sau masina functioneaza n regim stationar cnd s-a realizat stabilizarea la

valori locale constante a tuturor parametrilor de stare - presiune, temperatura, concentratie - si a

parametrilor de functionare - debite, viteze, directii de curgere - n toate punctele instalatiei.

Invarianta parametrilor se refera la invarianta n timp a parametrilor pentru un punct al

sistemului.

Pentru intrarea n regim stationar, instalatia functioneaza dupa pornire n regim

tranzitoriu. n aceasta perioada toti parametrii variaza de la valoarea de pornire la valoarea de

regim. Tot n regim tranzitoriu functioneaza instalatiile continue atunci cnd trec de la un regim

de lucru la altul.

Procesele continue prezinta o serie de avantaje importante n comparatie cu cele

discontinue, si anume :

37

- posibilitatea realizarii unei mecanizari si automatizari complete a proceselor tehnologice;

- asigurarea unei productii mai omogene, cu posibilitati de mbunatatire a calitatii;

- reducerea spatiului ocupat de utilaje.

3.5.2. Bilantul de materiale

La realizarea activitatilor legate de desfasurarea unui proces tehnologic pe lnga forta de

munca si utilaje mai sunt necesare materii prime si auxiliare, energie de diferite tipuri.

Pentru dimensionarea utilajelor si instalatiilor ct si pentru conducerea optima a

proceselor tehnologice, cunoasterea cantitatilor de materiale, a debitelor care circula prin

instalatie, precum si toate schimbarile care intervin constituie o problema esentiala.

Cunoasterea cantitativa si calitativa a materialelor care intra si ies dintr-un proces

tehnologic sau dintr-un utilaj, se poate realiza cu ajutorul bilantului de materiale.

Bilantul de materiale se bazeaza pe legea conservarii materiei si se defineste prin relatia

de conservare a materiei :

++=+ prieie MMMMM (3-26) n care :

Me - este suma materialelor existente n sistem;

Mi - suma materialelor intrate n sistem;

Mies - suma materialelor iesite din sistem;

Mr - suma materialelor ramase n sistem;

Mp - suma materialelor pierdute din sistem.

Ecuatia (3-26) reprezinta forma generala de exprimare a bilantului de materiale.

Diferenta ( Mr - Me ) = A se numeste acumulare.

n cazul proceselor cu desfasurare continua acumularea este egala cu zero si relatia (3-26) capata

forma :

+= piei MMM (3-27) Daca si pierderile pot fi considerate egale cu zero ecuatia generala capata forma particulara:

= iei MM (3-28) n activitatea de ntocmire a bilantului de materiale apar doua etape :

a. alegerea sistemului si izolarea lui;

b. alegerea elementului de baza.

Alegerea sistemului implica limitarea zonei asupra careia urmeaza a se efectua calculele

de bilant de materiale ( fig. 3.1.)

38

Fig.3.1 Alegerea sistemului i izolarea lui

Ca element de baza se alege elementul care intra n cel mai mic numar de curenti ce

intersecteaza conturul sistemului. Daca un element intra numai ntr-un singur curent poate fi

considerat element de baza

Bilantul de materiale poate fi :

- global, total sau general;

- partial.

Bilantul de materiale global se ntocmeste pentru un sistem format dintr-un utilaj,

instalatie sau fabricatie fiind cuprinse toate cantitatile sau debitele masice de materiale care

intersecteaza limitele sistemului.

Bilantul de materiale partial se ntocmeste pentru sistemul precizat anterior referindu-se

la un singur component din fluxurile de materiale care intersecteaza limitele sistemului.

Referindu-ne la sistemul din figura 3.1 se poate scrie :

- bilant global de materiale :

Ln = Lc + W (3-29)

- bilant partial de materiale n substanta uscata :

cc

nn L

suL

su=

100100 (3-30)

n care :

sun este concentratia, n procente de masa, substanta uscata, continuta de laptele normalizat;

suc este concentratia, n procente de masa, substanta uscata, continuta n laptele concentrat.

Cu ajutorul bilantului de materiale se pot stabili consumurile specifice, randamentul de

fabricatie, etc. Bilantul de materiale poate furniza relatiile si datele necesare pentru optimizarea

anumitor procese de productie.

Lapte normalizat

Concentrare

Lapte concentrat Vapori de ap

Ln

Lc W

39

Se precizeaza ca bilantul de materiale se scrie pentru cantitatile de materiale exprimate

numai n unitati de masa sau unitati de cantitate de substanta si n nici un caz n unitati de volum.

Dupa scrierea ecuatiilor de bilant de materiale si efectuarea calculelor analitice care

conduc la determinarea fluxurilor necunoscute, se reprezinta grafic circulatia materialelor

(fig. 3.2). Se efectueaza aceasta reprezentare deoarece constituie o metoda de verificare grafica a

corectitudinii rezolvarii bilantului de materiale.

Pentru reprezentarea grafica se dispun n ordine cantitatile de materiale si se alege un

raport de reprezentare de asa maniera nct pe de o parte sa nu fie prea mare cmpul ocupat de

grafic, iar pe de alta parte sa se poata reprezenta si cantitatile cele mai mici. Atunci cnd ntre

datele care trebuie reprezentate sunt diferente foarte mari, valorile foarte mici se pot figura prin

simple linii pe care se scrie valoarea, celelalte date ramnnd a fi aduse la scara conform

raportului conventional ales. Graficul, de regula, se coloreaza n culori conventionale.

Pentru trasarea graficului circulatiei materialelor sistemul considerat se reprezinta

schematic sau se simbolizeaza printr-un dreptunghi. Se face apel si la elementul estetic.

Bilantul de materiale se rezolva utiliznd datele cunoscute si scriind o serie de ecuatii cu

ajutorul carora se determina necunoscutele. Sunt putine regulile care se pot indica pentru a da o

metoda precisa la rezolvarea problemelor de bilant de materiale. Drumul cel mai bun de urmat se

poate stabili numai prin observarea atenta a problemei n studiu. Ca indicatii generale pot fi

urmatoarele :

- sa se utilizeze ct mai multe ecuatii de bilant de materiale cu termenii rezultati din

analiza materialelor, adica ecuatii de bilant de materiale partial referitoare la anumiti

componenti. Analiza materialelor n cele mai multe cazuri este mai expeditiva si mai exacta

dect masurarea cantitatilor. Se poate scrie un numar de ecuatii de bilant de materiale partial egal

cu numarul componentilor individuali;

L

L

W

Fig.3.2 Graficul de circulaie a materialelor (diagrama Sankey)

n

c

40

- sa se ia ca baza de referinta componentii care ramn neschimbati tot timpul procesului,

raportnd la acestia pe cei care sufera schimbari;

- componentii care se iau ca baza de referinta sa fie n cantitate ct mai mare raportati la

ceilalti pentru a reduce la minim influenta aproximatiilor si a erorilor;

- n problemele n care intervine aerul sau alte gaze umede, continutul de umezeala sa fie

considerat separat deoarece este supus la fluctuatii mari datorita temperaturii si umezelii relative;

- ecuatiile necesare pentru rezolvarea problemelor de bilant de materiale, n mod curent,

sunt ecuatii care au la baza principiul conservarii materiei sau ecuatii pe baza de rapoarte

stoechiometrice. Pentru rezolvarea problemelor nsa, n anumite cazuri, se pot utiliza si alte tipuri

de ecuatii adecvate cazului respectiv.

3.5.3. Bilantul energiilor

Bilantul energiilor serveste la urmarirea energiilor care intervin ntr-o instalatie sau ntr-

un proces tehnologic. El este o aplicatie a principiului conservarii energiei.

Ecuatia generala care defineste bilantul energiilor are forma :

++=+ pierie EEEEE (3-31) n care :

Ee - este suma energiilor existente n sistem;

Ei - suma energiilor intrate n sistem;

Er - suma energiilor ramase n sistem;

Eies - suma energiilor iesite din sistem;

Ep - suma energiilor pierdute din sistem.

Prin Ep , suma energiilor pierdute din sistem, se nteleg toate energiile mecanice,

termice, etc. care parasesc sistemul n mod natural si inevitabil, constituind pierderi n ceea ce

priveste realizarea scopului propus. Aceste energii pierdute pot fi micsorate dar nu anulate;

existenta lor conduce la micsorarea randamentului energetic al sistemului considerat.

Deoarece energiile se transforma usor ntre ele, nu pot exista bilanturi partiale referitoare

la un singur fel de energie, asa cum sunt bilanturile de materiale partiale pentru un singur

component. Totusi atunci cnd este posibil se poate scrie numai bilantul energiilor mecanice sau

numai bilantul energiilor termice.

Formele de energie care intervin n ecuatia de bilant energetic sunt :

- energia potentiala sau de pozitie :

hgmE p = (3-32)

- energia cinetica sau energia de miscare :

41

2

2wmEc

= (3-33)

- energia interna:

umU = (3-34)

- lucrul mecanic extern sau energia de presiune pentru introducerea unui corp n sistemul

considerat :

vpmLe = (3-35)

- energia calorica absorbita din exterior : Q

- lucrul mecanic dat sistemului din exterior: LM

n relatiile de mai sus :

m este masa corpului, n kg,

g - acceleratia gravitationala, n m/s2,

h - naltimea (distanta pna la un plan de referinta), n m,

w - viteza corpului n raport cu un sistem de referinta considerat stationar, n m/s,

u - energia interna, n J/kg,

v - volumul specific, n m3/kg,

p - presiunea, n Pa.

Primele patru tipuri de energie sunt aduse cu masa corpurilor care intra n sistem sau

sunt luate cu masa corpurilor care ies din sistem; ultimele doua, sunt energii de schimb ntre

sistemul considerat si mediul exterior.

Considernd un proces cu desfasurarea continua, Ee = Er, ecuatia generala de bilant

energetic (3-31) n care se opereaza introducerea expresiilor tipurilor de energie mai sus

amintite, capata forma :

( ) ( ) ++++=+++++ pierduteeieiecpMeiicp ELUEELQLUEE iei (3-36)

3.5.3.1. Bilantul energiilor mecanice

Daca se considera un sistem la care energia calorica schimbata cu exteriorul este

neglijabila sau nula, Q = 0, si variatia energiei interne a sistemului (Uies - Ui) este neglijabila,

ecuatia (3-36) capata forma :

+++=+++ fecpMecp ELEELLEE ieieieiii (3-37)

sau

fieieie

ieMiii

i Evpmwm

hgmLvpmwm

hgm ++

+=++

+22

22

(3-38)

n care Ef este energia mecanica pierduta ca urmare a frecarilor.

42

( ) fp

p

iieM Edp

mwwmhgmL +++= 2

1

22

2

1

(3-39)

care :

- pentru fluidele necompresibile - lichide (densitatea constanta) devine :

( ) fiieM Epm

wwmhgmL +

++=

22

2

1 (3-40)

- pentru fluide compresibile - gaze (densitatea variabila) ecuatia (3-39) devine :

( ) ( ) fg

giieM EpM

lRmwwmhgmL +

++= ln

2

1 22 (3-41)

Ecuatia (3-39) reprezinta una din formele generale ale ecuatiei lui Bernoulli.

Formele (3-40) si (3-41) sunt particularizate pentru lichide si gaze.

Ecuatia lui Bernoulli are numeroase aplicatii n calculele de inginerie, ncepnd cu

determinarea puterii motoarelor ce actioneaza pompele si ventilatoarele si terminnd cu curgerea

prin orificii, canale etc.

3.5.3.2. Bilantul energiilor termice

O forma particulara a bilantului energiilor, forma care apare n multe cazuri din tehnica

este cea a bilantului termic (caloric). El reprezinta de fapt o simplificare a bilantului energetic

general prin urmarirea lui numai sub aspectul variatiilor caldurilor din sistemul considerat, adica

se considera:

( ) ( ) 00

=++

=

iecpicpM

EEEE

L

Cu aceste simplificari ecuatia (3-36) devine:

( ) ( ) 0=+++ QLULU ieeie

sau ( ) ( ) 0=+++ Qvpmumvpmum iei (3.42)

( )[ ] 0=++ Qvpum

0=+ Qhm

Ecuatia (3-42) reprezinta expresia bilantului termic ( caloric ).

Aceasta expresie se mai poate scrie si sub forma :

++=+ pierie QQQQQ (3-43) n care :

Qe - este suma cantitatilor de caldura existente n sistem;

Qi - suma cantitatilor de caldura introduse n sistem;

43

Qr - suma cantitatilor de caldura ramase n sistem;

Qies - suma cantitatilor de caldura iesite din sistem;

Qp - suma cantitatilor de caldura pierdute din sistem.

De regula, bilantul termic al sistemelor considerate, se scrie cu scopul :

- determinarii cantitatilor de materiale care nu pot fi obtinute din bilantul de materiale, ca de

exemplu cantitatea de agent de ncalzire - racire;

- determinarea valorii unei temperaturi, n calcule de verificare;

- determinarii unor dimensiuni, cum ar fi suprafete de schimb de caldura, n cazul calculelor de

proiectare.

De asemenea bilantul termic se poate scrie si pentru stabilirea fluxurilor termice.

Datorita simplificarilor efectuate, bilantul caloric nu este exact cnd se aplica sistemelor

n care materialele au viteze mari sau n care lucrul mecanic al pompelor, ventilatoarelor,

agitatoarelor, turbinelor au valori importante.

Caldurile care intervin ntr-un sistem luat n considerare pot fi :

- calduri sensibile;

- calduri latente;

- calduri transmise prin conductivitate, convectie si/sau radiatie;

- calduri provenite din variatia energiei interne (calduri de reactie, dilutie, etc.);

- calduri provenite din transformarea altor tipuri de energii n caldura(ex. energia electrica).

Semnificatia termenilor ecuatiei bilantului termic.

Calduri sensibile. De regula, temperatura unui corp este o masura a nivelului energetic

intern al acestuia. Pentru intervale mici de temperatura, intervale n care nu apar transformari de

faza, cantitatea de caldura cedata sau absorbita de corp este direct proportionala cu variatia

temperaturii. Aceasta cantitate de caldura care se pune n evidenta prin variatia temperaturii

corpului care o absoarbe sau o cedeaza se numeste caldura sensibila si este data de relatia :

dtcmdQ = (3-44)

n care :

dQ - este variatia de caldura sensibila, n J,

m - este cantitatea de substanta, n kg sau moli,

c - factor de proportionalitate caracteristic fiecarei substante denumit capacitate calorica masica

sau molara, n J/(kg.K) sau J/(mol.K),

dt - variatia de temperatura, n grade Celsius sau Kelvin.

44

Capacitatile calorice masice si molare sunt n general variabile cu temperatura, deci cu

intervalul de temperatura n care se realizeaza racirea sau ncalzirea. Pentru a evita integrarea n

fiecare caz, n calcule se folosesc capacitati calorice masice medii, respectiv molare medii.

n marimi finite relatia (3-44) capata forma :

tcmQ = (3-45)

Calduri latente. Caldura absorbita sau eliberata fara ca substanta sa-si schimbe

temperatura se numeste caldura latenta. Absorbtia sau cedarea caldurii, deci marirea sau

micsorarea energiei interne a sistemului, fara schimbarea temperaturii, este nsotita de o

modificare a legaturilor intermoleculare din care rezulta o schimbare de stare fizica sau o

transformare de faza. Se ntlnesc urmatoarele transformari de faza :

- topire - solidificare;

- evaporare - condensare;

- sublimare - desublimare;

- cristalizare - dizolvare - diluare;

- sorbtie - desorbtie.

Ca valoare, caldura latenta de evaporare (condensare) este mai mare dect caldura latenta

de topire (solidificare) deoarece n cazul starii gazoase moleculele sunt mai departate dect

moleculele din starea lichida iar pentru a le aduce n aceasta stare se consuma o cantitae mai

mare de energie.

Termodinamica considera pozitive caldurile absorbite de catre sistem si anume caldura de

topire, vaporizare, sublimare pe cta vreme termochimia considera pozitive caldurile cedate de

catre sistem si anume caldura de solidificare, condensare, desublimare.

Caldurile de transformare adica de schimbare a sistemului de cristalizare pot fi pozitive

sau negative.

Caldurile latente se noteaza cu r sau l si se exprima n J/kg sau J/mol.

Cantitatea de caldura latenta se c