1

1. Un singur obiect intreg este scris ca numarul natural 1.

2. Mai multe obiecte intregi sunt scrise ca un numar natural diferit de zero.

Exemplu: cele 3 mere din farfurie sunt scrise in matematica prin numarul 3.

3. Semnificatia unei fractii: Fractia ne arata in cate parti egale au fost impartite mai

obiecte de acelasi fel.

4. Fractia se scrie astfel:

=

5. Prin linia care desparte numaratorul de numitor, fractia presupune operatia de

impartire.

6. Nu se accepta ca numitorul sa fie 0 deoarece nu putem imparti ceva cu nimic (este o

operatie imposibila).

7. Exemple de fractii:

o Un sapun impartit in 2 parti egale: 1

2 =

1

2

o o banana impartita in 5 parti egale: 1

5 =

1

5

o 3 pepeni impartiti in 6 parti egale: 3

6 =

3

6=

1

2

Dupa simplificarea fractiei se obtine 1

2 (sau altfel scris: 1/2) ceea ce inseamna

ca pentru a obtine din 3 pepeni 6 parti, fiecare pepene a fost impartit pe

jumatate.

o 10 pepeni impartiti in 5 parti egale: 10

5 =

10

5= 2

Dupa simplificarea fractiei se obtine 2 ceea ce inseamna ca au fost grupati cate 2 pepeni intregi pentru a forma 5 grupe de pepeni.

o 10 pepeni impartiti in 3 parti egale:

10

3 =

10

3=

9 + 1

3=

9

3+

1

3= 3 +

1

3

= 3 + 1

3

Fractia se transforma in 3 pepeni intregi si o treime.

2

8. Denumiri de fractii:

o un intreg (nu a fost impartit): 1

1= 1

o mai multi intregi (nu au fost impartiti): 5

1= 5

o jumatate sau o doime (jumatate dintr-un intreg): 1

2= 0,5

o treime (a treia parte dintr-un intreg): 1

3= 0,33

o patrime sau un sfert (a 4-a parte dintr-un intreg): 1

4= 0,25

o cinicme (a 5-a parte dintr-un intreg): 1

5= 0,2

o sesime (a 6-a parte dintr-un intreg): 1

6= 0,16

o septime (a 7-a parte dintr-un intreg): 1

7= 0,14

o optime (a 8-a parte dintr-un intreg): 1

8= 0,12

o zecime (a 10-a parte dintr-un intreg): 1

10= 0,1

Observatie: Cu cat numitorul este mai mare, cu atat rezultatul impartirii este mai mic

(cu alte cuvinte, cu cat impartim un intreg in mai multe parti egale, cu atat partile vor

fi din ce in ce mai mici).

Observatie: Din sirul de fractii

8 = 0,12

8= 1,25

8= 12,62

8 = 37,5

se constata ca cu cat numaratorul este mai mare si numitorul este acelasi, cu atat

rezultatul este mai mare.

9. Daca un obiect sau mai multe nu se vor imparti in parti mai mici (adica obiectele

raman intregi), si aceasta situatie se poate scrie sub forma de fractie.

Exemple:

o 1 bonsai care apartine lui Petru = 1

1 =

1

1= 1

o 10 pere = 10

10 =

10

10= 10

3

1. Simplificarea unei fractii: Cand la numitorul si numaratorul unei fractii avem aceleasi

numar, rezultatul impartirii acestora este 1. Astfel, spunem ca fractia se simplifica (se

scrie mult mai simplu). In multe exercitii, incercam sa scriem altfel fractia astfel incat

sa obtinem la numitor si numarator acelasi numar (acelasi numar impartit la el insusi

este 1). Arta in matematica consta in a gasi cu ce numar sa simplifcam o fractie astfel

incat operatia de simplificare sa ne ajute in rezolvarea ei. Exemplu de simplificare cu

numarul 2:

3

6 =

3

6=

2 =

1

2

=

1

2

=

1

2 1 =

1

2 = 0,5

2. Amplificarea unei fractii: Operatia de amplificare presupune sa inmultim fractia cu

un numar care sa ne ajute in rezolvarea ei (in mod obligatoriu, se inmulteste si

numitorul si numaratorul cu acel numar). Arta in matematica consta in a gasi cu ce

anume sa amplifcam o fractie astfel incat operatia de amplificare sa ne ajute in

rezolvarea ei. Exemplu de amplificare cu numarul 10:

5

7 =

5

7=

5

7=

50

70

3. Aducerea la aceleasi numitor comun a 2 sau mai multe fractii:

o Nu putem aduna sau scadea doua mai multe fractii decat daca au acelasi numitor !

De ce ? Explicatia este logica: Fiecare fractie reprezinta o parte de un anumit tip

dintr-un obiect. Daca avem parti care nu sunt de acelasi tip (de aceeasi dimensiune)

nu le putem aduna sau scadea (este ca si cum am incerca sa adunam 7 jumatati de

ananas cu trei sferturi de ananas).

o Solutia consta in transforma elementele de adunat sau scazut la aceeasi dimensiune

sau tip. Acest lucru se face prin operatia de aducere la acelasi numitor comun.

o Operatia de aducere la acelasi numitor comun se efectueaza atunci cand avem de

adunat sau scazut doua sau mai multe fractii care nu au acelasi numitor.

o Operatia de aducere la acelasi numitor comun se efectueaza astfel: inmultim fiecare

fractie cu un numar astfel incat numitorii tuturor fractiilor sa devina identici.

Exemple:

o Daca avem 2 fractii, atunci se inmulteste prima fractie cu numitorul celei de-a

2-a fractii si a 2-a fractie cu numitorul primei fractii.

9

+

1

=

9

5+

1

3=

27

+

5

=

+

15=

32

15

4

o Daca avem 3 fractii, atunci se inmulteste fiecare fractie cu numitorii celorlalte

fractii.

1

+

1

+

3

=

1

5+

1

3 +

3

=1

+

1

+

45

=

+ +

30=

47

30

o Aducerea la acelasi numitor comun se poate si altfel: Se determina cel mai mic

numitor a tuturor numitorilor si apoi se inmulteste fiecare fractie cu numarul

prin care numitorul devine egal cu cel mai mic numitor comun. In exemplul de

mai jos, numitorul comun este 8 si va trebui sa inmultim fiecare fractie cu un

numar astfel incat numitorul sa devina 8.

1

+

1

+

3

=

1

4+

1

8 +

3

=

2

+

1

+

12

=

+ +

8=

47

30

Definitii:

o Cel mai mic multiplu comun a 2 sau mai multe numere intregi nenule este cel mai mic numar care imparte exact (rest = 0) numerele respective.

o Cel mai mic multiplu comun se afla prin inmultirea tuturor divizorilor acelor numere cu puterea cea mai mare.

4. Identificarea intregilor dintr-o fractie: Operatia este posibila doar daca numaratorul

este mai mare sau egal cu numitorul. De aceea, nu toate fractiile indica existenta

unor intregi. Exemple:

o un intreg: 1

1= 1

o mai multi intregi: 5

1= 5

o fractie care contine intregi: 10 pepeni impartiti in 3 parti egale inseamna 3

pepeni intregi si o treime.

10

3 =

=

9 + 1

3=

9

3+

1

3= +

= 3 +

1

3

Definitii suplimentare:

o Cel mai mare divizor comun a 2 sau mai multe numere intregi nenule este cel mai mare numar care imparte exact (rest = 0) numerele respective.

o Cel mai mare divizor comun a unor numere se afla prin inmultirea divizorilor comuni ai numerelor cu puterea cea mai mica.

5

1. =

2. =

3. =

4. = +

5. = +

6. + = 1 + 1 = (1 + 1) = 2 = 2

7. x + = ( + ) = ( + )

8. 5 - 2 = 5 2 = (5 2) = 3 = 3

9. x = ( ) = ( )

10.

=

= =

11. +

=

+

= +

12.

=

=

13.

+

=

+

(cand adunam 2 fractii care au acelasi numitor se

aduna numaratorii intre ei, iar numitorul ramane neschimbat)

6

14.

=

(cand scadem 2 fractii care au acelasi numitor se

scad numaratorii intre ei, iar numitorul ramane neschimbat)

15.

+

=

+

=

+

(adunarea a 2 fractii

care nu au acelasi numitor; se foloseste aducerea la acelasi numitor comun)

16.

=

=

(scaderea a 2 fractii

care nu au acelasi numitor; se foloseste aducerea la acelasi numitor comun)

17.

=

18.

= , unde n m

19.

=

(inmultirea a 2 fractii)

20.

=

(impartirea a 2 fractii)