EXAMEN DE MATURITATE 1964 SESIUNEA IUNIE sunt conciclice. SESIUNEA AUGUST 1. S a se determine ˘si s...
1
EXAMEN DE MATURITATE 1964 SESIUNEA IUNIE 1. Se d˘ a ecuat ¸ia 4x 3 + x 2 - 4x + a =0¸ si se cere: a) S˘ a se discute natura r˘ ad˘ acinilor ecuat ¸iei cˆ and a variaz˘ a. b) S˘ a se rezolve ecuat ¸ia de mai sus cˆ and a = 5 4 · c) S˘ a se reprezinte grafic funct ¸ia y =4x 3 + x 2 - 4x + 5 4 · d) S˘ a se determine coordonatele punctelor a¸ sezate pe curba de mai ˆ ınainte ¸ si ˆ ın care tangentele la curb˘ a sunt paralele cu y =6x. e) S˘ a se scrie ecuat ¸iile acestor tangente ¸ si s˘ a se calculeze distant ¸a dintre ele. 2. Se consider˘ a p˘ atratul OABC ale c˘ arui vˆ arfuri sunt O(0, 0), A(1, 0), B(1, 1), C(0, 1). O dreapt˘ a variabil˘ a ce trece prin punctul C taie dreapta AB ˆ ın P ¸ si OA ˆ ın Q. Se cere: a) Locul geometric al punctului M , mijlocul lui [PQ]. b) S˘ a se arate c˘ a ecuat ¸ia acestui loc se poate pune sub forma y = x - 1 2x - 1 ¸ si apoi s˘ a se reprezinte grafic. c) S˘ a se determine pozit ¸ia dreptei variabile ce trece prin C astfel ca s˘ a avem PQ = √ 5 2 · d) La punctul anterior are dou˘ a solut ¸ii la care corespund punctele P 1 , P 2 ¸ si Q 1 , Q 2 . S˘ a se arate c˘ a cele patru puncte sunt conciclice. SESIUNEA AUGUST 1. S˘ a se determine α ¸ si s˘ a se rezolve ecuat ¸ia x 3 - 9x 2 + 26x - α = 0, ¸ stiind c˘ a x 1 + x 2 = x 3 + 1. Se consider˘ a punctele A(3, 0), B(4, 2), C(0, 4) raportate la sistemul rectangular xOy. a) S˘ a se scrie ecuat ¸iile laturilor triunghiului ABC. b) S˘ a se calculeze aria triunghiului ABC . c) S˘ a se scrie ecuat ¸ia cercului circumscris triunghiului ABC . d) Scriet ¸i ecuat ¸iile tangentelor la cercul g˘ asit ˆ ın punctele A, B, C. e) Locul geometric al punctului de intersect ¸ie al unei drepte variabile dus˘ a pri A cu o dreapt˘ a variabil˘ a, perpendicular˘ a pe ea, dus˘ a prin C. 2. a) S˘ a se discute ecuat ¸ia f (x)= x 4 +4x 3 - 16x + α = 0, α fiind variabil. b) S˘ a se reprezinte grafic funct ¸ia definit˘ a pentru α = -16. Se d˘ a sistemul de axe rectangular xOy ¸ si punctul L(4, 8). Se cere: (i) Ecuat ¸ia parabolei prin origine, care are ca ax˘ a pe Ox ¸ si trece prin L(4, 8). (ii) Fie M un punct pe parabol˘ a. S˘ a se scrie ecuat ¸ia tangentei la parabol˘ aˆ ın punctul M . (iii) Tangenta ˆ ın M la parabol˘ a taie axele Ox ¸ si Oy respectiv ˆ ın A ¸ si B. Se cere locul geometric al mijlocului lui [AB] cˆ and M variaz˘ a. 1
Transcript of EXAMEN DE MATURITATE 1964 SESIUNEA IUNIE sunt conciclice. SESIUNEA AUGUST 1. S a se determine ˘si s...
EXAMEN DE MATURITATE 1964SESIUNEA IUNIE
1. Se da ecuatia 4x3 + x2 − 4x+ a = 0 si se cere:
a) Sa se discute natura radacinilor ecuatiei cand a variaza.
b) Sa se rezolve ecuatia de mai sus cand a =5
4·
c) Sa se reprezinte grafic functia y = 4x3 + x2 − 4x+5
4·
d) Sa se determine coordonatele punctelor asezate pe curba de mai ınainte si ın care tangentele la curba suntparalele cu y = 6x.
e) Sa se scrie ecuatiile acestor tangente si sa se calculeze distanta dintre ele.
2. Se considera patratul OABC ale carui varfuri sunt O(0, 0), A(1, 0), B(1, 1), C(0, 1). O dreapta variabila ce treceprin punctul C taie dreapta AB ın P si OA ın Q. Se cere:
a) Locul geometric al punctului M , mijlocul lui [PQ].
b) Sa se arate ca ecuatia acestui loc se poate pune sub forma y =x− 1
2x− 1si apoi sa se reprezinte grafic.
c) Sa se determine pozitia dreptei variabile ce trece prin C astfel ca sa avem PQ =
√5
2·
d) La punctul anterior are doua solutii la care corespund punctele P1, P2 si Q1, Q2. Sa se arate ca cele patrupuncte sunt conciclice.
SESIUNEA AUGUST
1. Sa se determine α si sa se rezolve ecuatia x3 − 9x2 + 26x− α = 0, stiind ca x1 + x2 = x3 + 1.
Se considera punctele A(3, 0), B(4, 2), C(0, 4) raportate la sistemul rectangular xOy.
a) Sa se scrie ecuatiile laturilor triunghiului ABC.
b) Sa se calculeze aria triunghiului ABC.
c) Sa se scrie ecuatia cercului circumscris triunghiului ABC.
d) Scrieti ecuatiile tangentelor la cercul gasit ın punctele A, B, C.
e) Locul geometric al punctului de intersectie al unei drepte variabile dusa pri A cu o dreapta variabila,perpendiculara pe ea, dusa prin C.
2. a) Sa se discute ecuatia f(x) = x4 + 4x3 − 16x+ α = 0, α fiind variabil.
b) Sa se reprezinte grafic functia definita pentru α = −16. Se da sistemul de axe rectangular xOy si punctulL(4, 8). Se cere:
(i) Ecuatia parabolei prin origine, care are ca axa pe Ox si trece prin L(4, 8).
(ii) Fie M un punct pe parabola. Sa se scrie ecuatia tangentei la parabola ın punctul M .
(iii) Tangenta ın M la parabola taie axele Ox si Oy respectiv ın A si B. Se cere locul geometric al mijloculuilui [AB] cand M variaza.
1
