ERORI DE MASURARE

Rezultatul unei masurari, oricat de precise ar fi aparatele de masura si metodele de masurare, nu coincide niciodata cu valoarea adevarata a marimii de masurat. Aceasta se datoreaza unor cauze obiective sau subiective care vor fi discutate in continuare.

         Valoarea adevarata (reala) a unei marimi este valoarea exacta a marimii respective, care nu poate fi aflata experimental decat cu aproximatie. Rezultatul unei masurari individuale reprezinta valoarea masurata. Abaterea valorii masurate fata de valoarea adevarata a masurandului (marimii care se masoara) constituie eroarea de masurare.

        

         2.1. Clasificarea erorilor de masurare

A. Dupa modul de calcul erorile pot fi : absolute, relative si raportate.

         a) Eroarea absoluta este diferenta dintre valoarea masurata si valoarea adevarata a marimii masurate :                       

DX = X - Xe                                                                                                                           (2.1)     

         Eroarea absoluta are aceleasi dimensiuni fizice ca si marimea masurata si se exprima in aceleasi unitati de masura.         

         Eroarea absoluta cu semn schimbat se numestecorectie.

         b) Eroarea relativa este raportul dintre eroarea absoluta si valoarea marimii masurate:              

                                                                     (2.2)

  [%]                                                                (2.3)

  [p.p.m.]                                                         (2.4)

Eroarea relativa poate fi exprimata ca un numar adimensional, in procente sau in parti pe milion (de ex., 2.10-4, sau 0,02% sau 200ppM).   

c) Eroarea raportata este raportul dintre eroarea absoluta maxima si o valoare conventionala Xc a marimii de masurat:

   [%]                                                                  (2.5)

         Valoarea conventionala poate sa fie intervalul de masura al unui mijloc de masurare (pentru mijloace de masurare cu scala liniara cum sunt voltmetrele si ampermetrele magnetoelectrice), unghiul de deviatie maxima (pentru mijloace de masurare cu scala neliniara cum sunt ohmetrele magnetoelectrice) sau chiar valoare indicata pentru mijloacele de masurare care nu au capat de scala (cum este contorul de inductie). Eroarea raportata se poate exprima in aceleasi moduri ca si eroarea relativa.

         B. Dupa sursa de aparitie erorile se clasifica astfel:

a) Erorile de model sunt datorate fenomenului supus masurarii si ele provin din simplificarea sistemului fizic asupra caruia se efectueaza masurarea neglijandu-se unele proprietati sau marimi fizice caracteristice acestuia.

         b) Erorile de

influenta  reprezinta erorile introduse de factorii de mediu care pot influenta marimea de masurat. Exemple: umiditatea mediului ambiant la masurarea grosimii hartiei cu grosimetre electrice capacitive,

         c) Erorile instrumentale reprezinta erorile proprii ale mijloacelor electrice de masurare fiind cuprinse, de regula, intre limite cunoscute in functie de modul de definire a preciziei precum si erorile suplimentare datorita marimilor de influenta, de ex.: temperatura, campurile electromagnetice, umiditatea etc.

         d) Erorile de interactiune dintre mijlocul electric de masurare si fenomenul supus masurariisunt cauzate de actiuni electromagnetice sau mecanice exercitate de mijlocul de masurare asupra fenomenului supus masurarii si reciproc. Exemple: masurarea temperaturii folosind un traductor rezistiv de marime suficient de mare pentru ca sa perturbe temperatura ce se masoara, masurarea tensiunii electrice cu un voltmetru cu impedanta mica de intrare, etc.

Fig. 2.1. Schema procesului de masurare si principalele

              elemente care intervin.

 e) Erorile de operator sunt cauzate de neasigurarea de catre beneficiar a conditiilor nominale de utilizare a mijlocului electric de masurare. Exemple: alimentarea cu o tensiune cu mult diferita de intervalul nominal de tensiune,  alimentarea cu o tensiune alternativa de frecventa mult diferita de intervalul nominal, folosirea in pozitie necorespunzatoare a mijlocului de masurare etc. Sunt erori subiective, care pot fi evitate printr-o cunoastere corecta a conditiilor de utilizare a mijlocului de masurare si prin citirea corecta a indicatiei acestora.

         C. Dupa modul de manifestare la repetarea masuratorilor, care au loc in conditii practic identice, erorile se clasifica in:

a) erori aleatoare,  caracterizate prin aceea ca variaza imprevizibil in timp,  ca durata si ca semn;

         b) erori sistematice care se caracterizeaza prin aceea ca nu variaza in timp sau au  o variatie lenta la repetarea masuratorilor;

         c) erorile grosolane sunt caracterizate prin abateri mari (aberante) fata de celelalte valori ale sirului de valori masurate.

         2.2. Erori aleatorii

         Daca se repeta masurarea unei marimi in conditii practic identice (respectiv cu aceleasi mijloace si metode de masurare, de catre acelasi operator, sub actiunea acelorasi marimi de influenta, etc) se constata ca valorile masurate obtinute difera intre ele, rezultand un sir de valori masurate x1, x2, xn.

         Daca nunarul de masuratori este foarte mare (teoretic infinit) prin reprezentarea grafica a frecventei de aparitie a valorilor masurate in cadrul sirului de valori in functie de valorile masurate se obtine o curba de forma celor din figura 2.1.

            Eroarea aleatorie reprezinta abaterea valorilor masurate fata de valoarea adevarata a masurandului daca se considera ca erorile sistematice sunt zero. Deoarece erorile aleatorii variaza in mod imprevizibil  ele nu pot fi eliminate prin corectii ci folosind legile statisticii este posibil doar sa se estimeze erorile limita despre care se poate afirma cu o anumitaprobabilitate ca nu vor fi depasite de erorile aleatoare.

                                                          

Pentru tratarea matematica a erorilor aleatoare, se admite in general, ca distributia probabilitatii erorilor este data de legea normala a erorilor - numita si legea erorilor a lui Gauss:

                                                              (2.6)

unde:    y - densitatea de probabilitate;

           x - variabila aleatoare (valoarea masurata);

           m - valoarea medie;

           s - eroarea medie patratica.

         Teoretic, cei doi parametrii m si s ai distributiei normale pot fi determinati cu formulele:

            ,                                (2.7)

unde xk reprezinta valorile masurate, ce formeaza sirul de valori.

         Semnificatia fizica a marimilor m si s este urmatoarea:

         -valoarea medie a unui sir de valori obtinute prin masurarea unei marimi de un numar foarte mare de ori (teoretic infinit) reprezinta chiar valoarea adevarata a acelei marimi;

         -eroarea medie patratica ne arata gradul de afectare cu erori a valorilor obtinute din masuratori. Pentru ca un sir de masuratori sa fie cat mai bine efectuat este necesar ca eroarea medie patratica a acelui sir sa fie cat mai mica.

         Legea normala de distributie, reda proprietatea de simetrie a erorilor aleatoare (erorile aleatoare cu semne diferite se intalnesc cu aceeasi probabilitate) si proprietatea de concentrare (erorile aleatoare mici in valoare absoluta apar mai frecvent decat cele mari). Aceste proprietati sunt caracteristice aproape tuturor cazurilor practice de masuratori.

     Se demonstreaza prin calcule ca probabilitatea ca y sa ia valori in afara intervalului m 3s  este foarte mica, de 0,27%, ceea ce inseamna ca 99,73% din valorile masurate vor fi grupate in intervalul  3s fata de valoarea medie. De aceea valoarea 3s  poate fi considerata ca eroare limita.

         Aplicarea relatiilor (2.7), necesita un numar foarte mare de masuratori (peste 50 de masuratori) si de aceea se estimeaza parametrii m si s,  pornind de  la un numar  relativ mic  de masuratori (cel putin 4 - 5 masuratori).

         In acest caz media m se estimeaza prin media aritmetica pentru un numar

finit de masuratori :

                                                                                                (2.8)

si media aritmetica se considera ca rezultat al masurarii.

         Eroarea medie patratica se estimeaza prin marimea:

                                                                                      (2.9)

care reprezinta eroarea medie patratica pentru un numar finit de masuratori.

         Eroarea medie patratica a valorii medii se estimeaza prin:

                                                                                   (2.10)

         Eroarea limita a mediei aritmetice obtinute dintr-un sir de masurari este:

                                                                      (2.11)

unde t este un coeficient de amplificare ce reprezinta parametrul distributiei Student pentru o anumita probabilitate (nivel de incredere)(tab.2.1).

         Rezultatul unei masuratori xi se gaseste in intervalul [ ] cu o probabilitate p* asociata cu numarul de masuratori si valoarea parametrului t. De asemenea  media   a rezultatelor unui sir de masuratori se afla in intervalul [

] cu aceeasi probabilitate p*, functie de n si t.

Probabilitatea p* se numeste nivel de   incredere , marimile  ,   se

numesc limite deincredere, iar intervalele [ ], respectiv [ ] se numesc intervale de   incredere .

In practica masurarilor nivelul de incredere se alege dupa criteriul importantei rezultatului (de exemplu in functie de consecintele posibile ale unui rezultat gresit). Astfel, in cazul masurarilor curente se poate alege un nivel de incredere de 0,90 sau 0,95, iar la masurarile de mare importanta se poate lua 0,9973.

            2.3. Estimarea erorilor totale pentru metodele indirecte de masurare

            Presupunand ca marimile sunt afectate de erori sistematice - erorile limita de masurare -  Da,Db, Dc, - atunci marimea X se determina cu o eroare sistematica DX :

X+DX= f(a+Da, b+Db, c+Dc,)                                                            (2.13)     

de unde:

DX = f(a+Da, b+Db, c+Dc) - f(a, b, c, )                                            (2.14)

Dezvoltand in serie Taylor si neglijand termenii de ordin superior se obtine:

                                             (2.15)

unde toti termenii se iau in valoare pozitiva.

         Eroarea relativa limita de masurare este deci

                      (2.16)

In tabelul 2.2 sunt prezentate formulele pentru calculul erorilor limita totale pentru unele formule intalnite curent.

                                                                                                                      Tabelul 2.2.

Functia

X = f(a,b)

Eroarea limita

DXi

Eroarea relativa limita

DXi/Xa + b Da + Db

a - b Da + Db

a × b Da ×½b½ + Db ×½a½

an Da ½n×an-1½