Elemente de teoria probabilitatilor

•CONCEPTE DE BAZA

• VARIABILE ALEATOARE DISCRETE

• DISTRIBUTII DISCRETE

• VARIABILE ALEATOARE CONTINUE

• DISTRIBUTII CONTINUE

• ALTE VARIABILE ALEATOARE

Spatiul esantioanelor, puncte esantion, evenimente

• Spatiul esantioanelor e reprezentat de spatiul tuturor punctelor esantion:

– Exemplul 1 Aruncarea banului:

– Exemplul 2 Aruncarea zarului:

– Exemplu 3 Numarul de clienti intr-o coada:

– Exemplul 4 Timpul de ocupare a liniei( call holding time):

ω∈Ω

, C PΩ =

1,2,3,4,5,6Ω =

0,1,2, Ω =

0x R xΩ = ∈ >

Spatiul esantioanelor, puncte esantion, evenimente

Evenimentele reprezinta subseturi masurabile de

esantioane din Ω

– Exemplul 1: “Aparitia numerelor pare la aruncarea zarului”:

– Exemplul 2: “Lipsa clientilor in coada de asteptare”:

– Exemplul 3: “Timpul de ocupare a liniei telefonice mai mare decit 3 min”

, , ,A B C ⊂ Ω…

0A =

2,4,6A =

3A x R x= ∈ >

Spatiul esantioanelor, puncte esantion, evenimente

• Fie spatiul tuturor evenimentelor

– Evenimentul sigur: Este reprezentat de spatiul esantioanelor:

– Evenimentul imposibil: Este reprezentat de setul care nu contine nici

un eveniment:

Ψ A∈Ψ

Ω∈Ψ

φ∈Ψ

Combinatii de evenimente

• Reuniunea de evenimente: “ A sau B”:

• Intersectia evenimentelor: “ A si B”:

• Evenimentul complementar lui A:

• Evenimentele A si B sunt disjuncte daca:

• Un set de evenimente reprezinta o partitie pentru A daca

– (i)

– (ii)

A B A sau B∪ = ω∈Ω ω∈ ω∈

A B A si B∩ = ω∈Ω ω∈ ω∈

CA A= ω∈Ω ω∉

A B∩ = Φ

1 2 , , B B …

,i jB B pentru toti i j∩ = φ ≠

i iB A∪ =

Probabilitati

• Probabilitatea evenimentului A este notata prin

•

• Proprietati– (i)

– (ii)

– (iii)

– (iv)

– (v)

– (vi)

– (vii)

– (viii)

( ), ( ) [0,1]P A P A ∈

: [0,1]P Ψ→

0 ( ) 1P A≥ ≤

( ) 0P φ =

( ) 1P Ω =

( ) 1 ( )CP A P A= −

( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩

( ) ( ) ( )A B P A B P A P B∩ = φ→ ∪ = +

( ) ( )i iiB este o partitie a lui A P A P B⇒ =∑

( ) ( )A B P A P B⊂ ⇒ <

Probabilitati conditionate

• Presupunem ca P(B) > 0

• Definitie: probabilitatea conditionata a evenimentului A, in ipoteza ca evenimentul B se produce este:

• Rezulta:

( )( )

( )

P A BP A B

P B

∩=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P B P A B P A P B A∩ = =

Teorema probabilitatii totale

• Fie Bi o partitie pe spatiul esantioanelor Ω

• Rezulta ca A ∩ Bi reprezinta o partitie pentru evenimentul A. Astfel:

• Sa presupunem mai departe ca P(Bi) > 0 oricare ar fi i. Rezulta conf slide ant:

• Aceasta reprezinta teorema probabilitaii totale

( ) ( )iiP A P A B= ∩∑

( ) ( ) ( )i iiP A P B P A B= ∑

Teorema lui Bayes

• Fie Bi o partitie pe spatiul esantioanelor Ω

• Sa presupunem ca P(A) > 0 si P(Bi) > 0 pentru toate valorile i

• Conform teoremei probabilitaii totale avem:

• Aceasta reprezinta Teorema lui Bayes

– Probabilitatile P(Bi) se numesc probabilitai apriori ale evenimentelor Bi

– Probabilitatile P(Bi ‌ A) se numesc probabilitati aposteriori ale evenimentuluiBi

( ) ( )( )( )

( ) ( )i ii

iP B P A BP A B

P B AP A P A

∩= =

( ) ( )( )

( ) ( )i i

ij jj

P B P A BP B A

P B P A B= =

∑

Independenta statistica a evenimentelor

• Definitie: Evenimentele A si B sunt independente daca:

• Rezulta:

• In mod corespunzator avem:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

P A B P A P BP A B P A

P B P B

∩= = =

( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ =

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

P A B P A P BP B A P B

P A P A

∩= = =

Variabile aleatoare

• Definitie: Variabila aleatoare reala X este o functie reala si masurabila definita peΩ,

– Care asociaza fiecarui punct esantion ω, valoarea reala X(ω)

• Masurabilitatea inseamna ca toate seturile de tipul

apartin setului de evenimente Ψ:

• Probabilitatea unui astfel de eveniment este notata cu:

:X RΩ→

: ( ) X x X x≤ = ω∈Ω ω ≤ ⊂ Ω

X x≤ ∈Ψ

P X x≤

Exemple

• O moneda e aruncata de trei ori

• Spatiul esantioanelor este in acest caz

• Fie X variabila aleatoare care ne da numarul total de aparitii a “pajurei” in acest caz:

1 2 3( , , ) , , 1,2,3i C P iΩ = ω ω ω ω ∈ =

32221110X(ω)

PPPPPCPCPCPPPCCCPCCCPCCCω

Indicator de evenimente

• Fie un eveniment arbitrar

• Definitie: Indicatorul evenimentului A este o variabila aleatoare definita dupa cum urmeaza:

• Rezulta:

A∈Ψ

1,1 ( )

0,AA

A

ω∈⎧ω = ⎨ ω∉⎩

(1 1) ( )AP P A= =

(1 0) ( ) 1 ( )CAP P A P A= = = −

Functia de distributie cumulativa - Functia de repartitie

• Functia de repartitie a variabilei aleatoare X este o functie

definita astfel:

• Ea determina distributia variabilei aleatoare, adica probabilitatea

unde si

• Proprietati:

• i) este nedescrescatoare

• ii) este continua la dreapta

• iii)

• Iv)

: [0,1]XF R →

XF P X x= ≤

P X B∈

B R∈ X B∈ ∈Ψ

XF

XF

( ) 0XF −∞ =

( ) 1XF ∞ =

Independenta statistica a variabilelor aleatoare

• Variabilele aleatoare X si Y sunt independente daca pentru toti x si y au loc urmatoarele relatii:

• Variabilele aleatoare sunt total independente pentru toate

valorile i si xi daca are loc relatia:

( , ) ( ) ( )P X x Y y P X x P Y y≤ ≤ = ≤ ≤

1 2, , nX X X…

1 1 1 1( , , ) ( ) ( )n n n nP X x X x P X x P X x≤ ≤ = ≤ ≤… …

Valorile maxima si minima ale variabilelor aleatoare independente

• Fie variabilele aleatoare total independente

• Sa notam: . Avem:

• Sa notam: . Avem:

max1 1 , , n nP X x P X x X x P X x P X x≤ = ≤ ≤ = ≤ ≤…

1 2, , nX X X…

max1 2: max , , nX X X X= …

min1: min , nX X X= …

min1 1 , , n nP X x P X x X x P X x P X x> = > > = > >…

Variabile aleatoare discrete

• Definitie: Setul este numit discret daca este:

– Finit: sau

– Infinit numarabil

• Definitie: Variabila aleatoare X este discreta daca exista un set discret

astfel incat

• Rezulta:

• Si

• este numit setul de valori

A R⊂

1 2 , , nA x x x= …

1 2 , , A x x= …

XS R⊂

( ) 1XP X S∈ =

( ) 0 XP X x pentru toti x S= ≥ ∈

( ) 0 XP X x pentru toti x S= = ∉

XS

Probabilitati punctuale

• Fie o variabila aleatoare discreta

• Distributia lui este determinata de probabilitatile punctuale .

• Definitie: functia densitate de probabilitate a lui X este o functiedefinita astfel:

• Functia de distributie este in acest caz o functie in trepte:

,i i i Xp P X x x S= = ∈

X

: [0,1]Xp R →

,( ) :

0,

i i XX

X

p x x Sp x P X x

x S

= ∈⎧= = = ⎨

∉⎩

:

i

X ii x x

F P X x p≤

= ≤ = ∑

X ip

Exemple

Functia densitate de probabilitate Functia de repartitie

1 2 3 4 , , , XS x x x x=

Independenta variabilelor aleatoare discrete

• Variabilele aleatoare discrete X si Y sunt independente daca si numaidaca pentru

toti si toti avem:i Xx S∈ j Yy S∈

, i j i jP X x Y y P X x P Y y= = = = =

Media statistica-Speranta matematica- Momentul de ordinul intai

• Definitie: Speranta (valoarea medie) lui X se defineste astfel;

– Nota 1: media exista numai daca:

– Nota 2: daca putem admite ca

• Proprietati:

– (i)

– (ii)

– (iii) X si Y sunt independente

: [ ] : ( )X X

X X i ix S x S i

E X P X x x p x x p x∈ ∈

μ = = = = =∑ ∑ ∑

i ii

p x < ∞∑

i ii

p x = ∞∑ [ ]E X = ∞

, [ ] [ ]c R E cX cE X∈ ⇒ =

[ ] [ ] [ ]E XY E X E Y=

[ ] [ ] [ ]E X Y E X E Y+ = +

Varianta matematica

• Definitie: Varianta lui X se defineste astfel;

• Se poate demonstra usor ca:

• Proprietati:

– (i)

– (ii) X si Y sunt independente

2 2 2: [ ] : [ ] : [( ( )) ]X D X Var X E X E Xσ = = = −

2 2 2[ ] [ ] [ ]D X E X E X= −

2 2 2, [ ] [ ]c R D cX c D X∈ ⇒ =

2 2 2[ ] [ ] [ ]D X Y D X D Y⇒ + = +

Covarianta

• Definitie: Covarianta intre X si Y se defineste;

• Se poate demonstra usor ca:

• Proprietati:

– (i)

– (ii)

– (iii)

– (iv) X si Y sunt independente

2 : [ , ] : [( ( )( ( )]XY Cov X Y E X E X Y E Yσ = = − −

[ , ] [ ] [ ] [ ]Cov X Y E XY E X E Y= −

[ , ] [ ]Cov X X Var X=

[ , ] [ , ]Cov X Y Cov Y X=

[ , ] [ , ] [ , ]Cov X Y Z Cov X Z Cov Y Z+ = +

[ , ] 0Cov X Y⇒ =

Alti parametri ai distributiilor

• Definitie: Deviatia standard a lui X se defineste;

• Coeficientul variatiei a lui X:

• Definitie: momentul de ordin k al lui X, e definit de:

2: [ ] : [ ] [ ]X D X D X Var Xσ = = =

[ ][ ] : [ ] :

[ ]

D Xc X C X

E X= =

1,2, ,k = …

[ ] : [ ]k kX X E Xμ =

Valori medii ale variabilelor IID

• Fie variabile aleatoare independente si identic distribuite (IID)

cu media si varianta

• Se defineste media ( media esantioanelor):

• Mai au loc urmatoarele relatii:

–

–

–

2: [ ] : [ ] [ ]X D X D X Var Xσ = = =

1

1:

n

n ii

X Xn =

= ∑

[ ]nE X = μ

1 2, , , nX X X…

μ 2σ

22[ ]nD X

n

σ=

[ ]nD Xn

σ=

Legea numerelor mari

• Fie variabile aleatoare independente si identic distribuite (IID)

cu media si varianta

• Legea slaba a numerelor mari: pentru toti ε > 0 are loc relatia:

• Legea tare a numerelor mari: cu probabilitate egala cu 1 are loc relatia:

0nP X −μ > ε →

1 2, , , nX X X…

μ 2σ

nX →μ

Distributi discrete – Distributia Bernoulli

– Descrie un experiment aleator cu doua posibile realizari: succes (1) siinsucces (0): aruncarea banului

– Succesul este caracterizat de probabilitatea p si insuccesul de probabilitatea 1-p

• Setul de valori:

• Probabilitatile punctuale:

• Media:

• Momentul de ordinul al-II-lea:

• Varianta:

( ), (0,1)X Bernoulli p p∈∼

2 2 2 2[ ] [ ] [ ] (1 )D X E X E X p p p p= − = − = −

2 2 2[ ] (1 )0 1E X p p p= − + ⋅ =

0,1XS =

( 1) , ( 0) 1P X p P X p= = = = −

[ ] (1 ) 0 1E X p p p= − ⋅ + ⋅ =

Distributi discrete – Distributia Binomiala

– Descrie numarul succeselor intr-o serie independenta de experimente

aleatoare simple (de tip Bernoulli), cu

– n = numarul total de experimente

– p = probabilitatea succesului intr-un experiment individual

• Setul de valori:

• Probabilitatile punctuale:

• Media:

• Varianta:

( , ), 1,2, , (0,1)X Bin n p n p∈ ∈∼ …

2 2 21[ ] [ ] [ ] (1 )nD X D X D X np p= + = −

1 2 nX X X X= + +

!( ) (1 ) ,

!( )!i i n i in n

nP X i C p p C

i n i−= = − =

−

1 2[ ] [ ] [ ] [ ]nE X E X E X E X np= + + =

( )iX Bernoulli p∼

0,1, , XS n= …

Distributii discrete – Distributia Geometrica

– Descrie numarul succeselor pana la primul insucces intr-o serie independentade experimente aleatoare simple (de tip Bernoulli)

– p = probabilitatea succesului intr-un experiment individual

• Setul de valori:

• Probabilitatile punctuale:

• Media:

• Momentul de ordinul al – II – lea:

• Varianta:

( ), (0,1)X Geom p p∈∼

2 2 2 2[ ] [ ] [ ] / (1 )D X E X E X p p= − = −

2 22

( 1)[ ] (1 )

(1 )

i

i

p pE X i p p

p

+= − =

−∑

( ) (1 )iP X i p p= = −

[ ] (1 ) / (1 )i

i

E X ip p p p= − = −∑

0,1, XS = …

Proprietatea memoryless a Distributiei Geometrice

• Distributia geometrica are proprietatea de a fi fara memorie: pentru toti

are loc relatia:

• Pentru demonstratie trebuie tinut cont de relatia:

( ) iP X i p≥ =

P X i j X i P X j≥ + ≥ = ≥

, 0,1, i j∈ …

Minimul varabilelor aleatoare cu distributie geometrica

• Fie si doua variabile independente.

Atunci

si

min

1 2

1 , 1,2

1i

ip

P X X ip p

−= = ∈

−

min1 2 1 2: min , ( , )X X X Geom p p= ∼

1 1( )X Geom p∼ 2 2( )X Geom p∼

Distributii discrete – Distributia Poisson

– Limita unei ditributii binomiale cand si astfel incat

.

• Setul de valori:

• Probabilitatile punctuale:

• Media:

• Momentul de ordinul al-II-lea:

• Varianta:

( ), 0X Poisson a a >∼

2 2 2[ ] [ ] [ ]D X E X E X a= − =

n →∞

!

iaa

P X i ei

−= =

[ ]E X a=

0p →

np a→

0,1, XS = …

2 2[ ]E X a a= +

Exemple

• Sa presupunem ca

– 200 abonati sunt conectati la o centrala locala.

– Traficul caracteristic fiecarui abonat este de 0.01 erl

– Abonatii se comporta independent

• Numarul apelurilor active este

• In cazul unei legi de tip Poisson

• Probabilitati punctuale:

(200,0.01) (1 )i i n ii nX Bin p C p p −= −∼

(2.0) 200 0.01 2

!

ia

i

X Poisson a np

ap e

i−

≈ = = ⋅ =

=

.0361.0902.1804.2701.2701.1353Poisson(2.0)

.0354.0893.1795.2693.2679.1326Bin(200, 0.01)

543210

Proprietati – Distributia Poisson

• (i) Suma: Fie si doua variabile

independente. Atunci:

• (ii) Fie variabila care defineste numarul de elemente intr-

un set si Y variabila care desemneaza marimea unui element aleator din acestset (fiecare element fiind luat independent cu probabilitatea p). Atunci:

• Sortarea aleatoare: Fie X si Y conform proprietatii (ii) , si .

Atunci Y si Z sunt independente ( X fiind dat necunoscut) si

.

( )Y Poisson pa∼

1 1( )X Poisson a∼

((1 ) )Z Poisson p a−∼

Z X Y= −

1 2 1 2( )X X Poisson a a+ +∼

( )X Poisson a∼

2 2( )X Poisson a∼

Variabile aleatoare continuue

• Definitie: Variabila aleatoare X este continua daca;exista o functie integrabila astfel incat pentru toti

• Functia este numita functie densitate de probabilitate(pdf)– Setul , pentru care este numit setul de valori

• Proprietati:– (i) pentru toti

– (ii)

– (iii)

– (iv)

( ) : ( )

x

X XF x P X x f y dy−∞

= ≤ = ∫

0P X x= =

:Xf R R+→ x R∈

XfXS 0Xf >

x R∈

( )

b

Xa

P a X b P a X b f x dx< < = ≤ ≤ = ∫ XA

P X A f dx∈ = ∫

1X

X XSP X R f dx f dx

∞

−∞

∈ = = =∫ ∫

Exemple

• Functia densitate de probabilitate

• Functia de repartitie

1 3[ , ]XS x x=

Speranta matematica si alti parametrii

• Definitie: Speranta matematica a variabilei aleatoare X este definita astfel:

• Nota 1: Media exista numai daca:

• Nota 2: Daca atunci admitem ca:

• Media are aceleasi proprietati ca si in cazul distributiilor discrete

• Ceilalti parametrii (varianta, covarianta,… ) se definesc ca si in cazuldistributiilor discrete

: [ ] ( )X XE X xf x dx

∞

−∞

μ = = ∫

[ ]E X = ∞

( )Xx f x dx

∞

−∞

< ∞∫

( )Xx f x dx

∞

−∞

= ∞∫

Distributi continue– Distributia Uniforma

– Echivalenta aruncarii zarului

• Setul de valori:

• Functia densitate de probabilitate:

• Functia de repartitie:

• Media:

• Momentul de ordinul al-II-lea:

• Varianta:

( , ),X U a b a b<∼

( ) : , ( , )Xx a

F x P X x x a bb a

−= ≤ = ∈

−

1( ) , ( , )Xf x x a b

b a= ∈

−

[ ] / ( ) ( ) / 2b

aE X x b a dx a b= − = +∫

2 2 2 2[ ] [ ] [ ] ( ) /12D X E X E X b a= − = −

( , )XS a b=

2 2 2 2[ ] / ( ) ( ) / 3b

aE X x b a dx a ab b= − = + +∫

Distributii continue– Distributia exponentiala

– Echivalenta continua a distributiei geometrice (probabilitatea insuccesului)

• Setul de valori:

• Functia densitate de probabilitate:

• Functia de repartitie:

• Media:

• Momentul de ordinul al-II-lea:

• Varianta:

( ), 0X Exp λ λ >∼

( ) : 1 , 0xXF x P X x e x−λ= ≤ = − >

( ) , 0xXf x e x−λ= λ >

0[ ] 1 /xE X xe dx

∞ −λ= λ = λ∫

2 2 2 2[ ] [ ] [ ] 1 /D X E X E X= − = λ

(0, )XS = ∞

2 2 20

[ ] 2 /xE X x e dx∞ −λ= λ = λ∫

dt≈ λ

Distributii continue– Distributia exponentiala

• Descrie intervalele de timp intre evenimente in cadrul unui proces Poisson, un proces in care evenimentele se produc continuu si independent, cu o rata medie constanta.

• Distributia exponentiala poate fi vazuta ca si echivalentul continuu al ditributiei geometrice care descrie numarul incercarilor Bernoulli necesareintr-un proces discret pentru schimbarea starii. Astfel, distributiaexponentiala exprima timpul necesar unui proces continuu pentruschimbarea starii.

• In lumea reala rata constanta reprezinta o presupunere rar intalnita. De, exemplu ratele de sosire ale apelurilor difera pe durata unei zile. Dar dacane fixam asupra unui interval anume, cum ar fi de la 10-16 in zilelelucratoare, distributia exponentiala poate fi utilizata ca o buna aproximarepentru intervalul de timp intre apeluri.

• In teoria cozilor de asteptare timpii de servire ai clientilor unui sistem suntadesea modelati cu ajutorul variabilelor aleatoare distribuite exponential.( Timpii inter sosiri sunt modelati prin distributii Poisson, iar lungimeaprocesului (privita ca o secventa de proceses independente) este modelatade o variabila ce urmeaza o distributie Erlang( care reprezinta distributiaunei sume de variabile aleatoare independente distribuite exponential)

Proprietatea de memoryless a distributiei exponentiale

Distributia exponentiala are proprietatea de a fi fara memorie: Asta inseamnaca daca X este ditribuita exponential, atunci probabilitatea ei conditionatasatisface relatia:

pentru toti

Demonstratie:

( )

( )

( )

( )( )

( )

( )

( )

( )

u x

x

u x y

x y

x y

x yy

x

P A BP A B

P B

P B P X x e du e

P A P X x y e du e

P A B P X x y si X x P X x y e

eP X x y X x e

e

∞

−λ −λ

∞

−λ −λ +

+

−λ +

−λ +−λ

−λ

∩=

= > = λ =

= > + = λ =

∩ = > + > = > + =

> + > = =

∫

∫

P X x y X x P X y> + > = >

, (0, )x y∈ ∞

Proprietatea de memoryless a distributiei exponentiale

• Aplicatii:

– Sa presupunem ca timpul de ocupare al unei linii telefonice este distribuitexponential cu media h (min);

– Sa presupunem ca un apel are deja o intarziere de g minute. Datoritaproprietatii de memoryless aceasta informatie nu ne spune nimic despretimpul de ocupare care a ramas: acesta e distribuit ca si timpul initial de ocupare si in medie intarzie tot h minute.

• Exemplu numeric:

x g

y h

==

30 min

10 min

40 30 10

T X

g

y

P T T P T

===

> > = >

Minimul variabilelor aleatoare exponentiale

• Fie si independente. Atunci:

si

min1 2 1 2: min , ( )X X X Exp= λ + λ∼

xP X x e−λ> =

min

1 2 1,2i

iP X X iλ

= = ∈λ + λ

1 1( )X Exp λ∼ 2 2( )X Exp λ∼

Distributi continue– Distributia normala (Gaussiana) standard

– Limita sumei normalizate a variabilelor IID cu media 0 si varianta 1

• Setul de valori:

• Functia densitate de probabilitate:

• Functia de repartitie:

• Media:

• Varianta:

(0,1)X N∼

( ) : ( ) : ( )x

XF x P X x x y dy−∞

= ≤ = Φ = ϕ∫

2121

( ) ( ) :2

x

Xf x x e−

= ϕ =π

[ ] 0E X =

2[ ] 1D X =

( , )XS = −∞ ∞

Distributii continue– Distributia normala (Gaussiana)

– Daca

• Setul de valori:

• Functia densitate de probabilitate:

• Functia de repartitie:

• Media:

• Varianta:

2( , ), , 0X N Rμ σ μ∈ σ >∼

( ) : ( )XX x x

F x P X x P−μ −μ −μ

= ≤ = ≤ = Φσ σ σ

' 1( ) ( ) ( )X X

xf x F x

−μ= = ϕ

σ σ

[ ] [( ) / ]E X E X= μ + σ −μ σ = μ

2 2 2 2[ ] [( ) / ]D X D X= σ −μ σ = σ

( , )XS = −∞ ∞

( ) / (0,1)X N−μ σ ∼

Proprietati– Distributia normala (Gaussiana)

– (i) transformare liniara: fie si

– (ii) Suma: fie si

– (iii) media esantioanelor: fie variabilele IID:

Are loc relatia:

2( , )X N μ σ∼

2

1

1 1: ( , )

n

n ii

X X Nn n=

= μ σ∑ ∼

2 2: ( , )Y X N= α +β αμ +β α σ∼

, Rα β∈

21 1 1( , )X N μ σ∼ 2

2 2 2( , )X N μ σ∼

2 21 2 1 2 1 2( , )X X N+ μ + μ σ + σ∼

2( , ), 1, ,iX N i nμ σ =∼ …

Teorema limita centrala

• Fie: variabile IID cu medie si varianta

• Teorema limita centrala:

• Rezulta:

μ

21( , )nX N

n≈ μ σ

1, , nX X…

1( ) (0,1)

/nX N

n−μ →

σ

2σ

Alte variabile aleatoare

• Pe langa var aleatoare dicrete si cele continuue exista asa numitele variabilealeatoare mixte

– Continand atat elemente continuue cat si discrete

• Exemple:– Timpul de asteptare al unui client W intr-o coada de asteptare are o

valoare discreta la zero ( ) dar in rest distributia e continua 0 1 0P W = = −ρ >

/ /1M M