Teoria probabilitatii si informatiei

download Teoria probabilitatii si informatiei

of 35

  • date post

    05-Aug-2015
  • Category

    Documents

  • view

    247
  • download

    6

Embed Size (px)

description

Al 3-lea laborator

Transcript of Teoria probabilitatii si informatiei

Moloniuc A.SISTEMUL DE PROGRAME MATHEMATICA41 SISTEMUL DE PROGRAME MATHEMATICA.Rezolvarea exerciiilor din Matematici(Material didactic pentru nceptori)8.2. Variabile aleatoare 8.2.1. Introducerenainte de a trece nemijlocit la tema enunat n denumirea paragrafului, dmomicinformaie. Unstudent antrebat profesorul: Cineacreat Sistemul deprogrameMathematica?Studentul aprimit rospuns la ntrebarea pus. Dar, avnd n vedere c atare ntrebare poate sapari laali studeni, dmoinformaiesuccintdestreSistemul Mathematica i creatorul lui. Creatorul Sistemului Mathematica estte Stephen Wolfram(S.U.A.). El s-a noscut la Londra n a. 1959. Prima lucrare tiinific a efectuat-o la vrsta de 15 ani. La vrsta de 20 ani a obinut titlul tiinific de Doctor n fizica teoretic. Din 1973 ncepe saplice calculatorul n cercetrile sale tiinifice. ntre anii 1979 i 1983 creaz programa SMP care este prima din Matematica simbolic. Menionm c anterior calculatorul era folosit, de obicei, la rezolvarea problemelor din Matematica de calcul. n a. 1986 ncepe crearea Sistemului Mathematica i n 1988 apare prima variant: Mathematica 1. Acest lucru a comtinuat i n 1991 apare Mathematica 2; n 1996 Mathematica 3 i n 1999 Mathematica 4. Aceste sisteme au mai multe versiuni. n unele sli de calculatoare din U.T.M. este instalat Sistemul de programe Mathematica 5.1. Anume acest Sistem este folosi de ctre studeni n cadrul lucrrilor de laborator la TPI. Lucrul asupra dezvoltrii de mai departe a Sistemului Mathematica continu. Cu aceasta seocupfirmaWolframResearch, Inc. Preedinteal eiesteStephen Wolfram.Inacest paragraf seconineoexpuneresuccintarezultatelor din teoria referitoare la variabile aleatoare i exemple de rezolvri ale exerciiilor respective. Se aplic, n afar de funciile definite anterior, i funciile Condition (notat i cu /;), Clear.F[x_]:=0/;x > , 0 , 0, 0 , 0 , 0 ,) () (1xx b aa be xx fab x a(8.2.70)Moloniuc A.SISTEMUL DE PROGRAME MATHEMATICA69 unde este funcia gama, care se definete prin egalitatea 01) ( dt e t at a.Au loc egalitile ] [ MbaD[] = b2a,. ] [ a b 5. Repartiia hi-ptrat (2). Se spune c variabila aleatoare continu are repartiie hi-ptrat (2) de parametri r i dac ea are densitatea de repartiie( )'< > . 0 , 0, 0 , , 0 ,2 2) (2) 2 ( 1 22xx N rre xx fr rx r (8.2.71)Repartiia hi-ptrat este caz particular dinrepartiia gama: funcia (8.2.71) se obine din(8.2.70) pentrua=r/2ib=22. Folosind rezultatele punctului precedent, deducem c pentru o variabil aleatoare cu repartiia hi-ptrat (8.2.71) avem:M[] = r2,D[] = 2r4,[] = 2r .Se demonstreaz c dac1,2, ...,rsunt variabile aleatoare cu repartiia normal de parametri m = 0 i = 1, atunci variabila aleatoare2 2221...r + + + are repartiie hi-ptrat de parametri = 1 i r.8.2.6. Exerciii pentru lucrul individual8.2.1.(TPSM.Ex1.5.1.pag.39 i 1.6.1.p.50). Este dat seria de repartiie a variabilei aleatoare discrete :

,_

4 3 2 14 3 2 1:p p p px x x x(datelenumericeseconinpevariantedupenunul exerciiului). Se cere: 1) s introduc nSistemul Mathematica v.a.d.; 2) funcia de repartiiei graficul ei; 3) probabilitateacasprimeascvalori din intervalul [1; 4); 4) sperana matematic; 5) dispersia; 6) abaterea medie ptratic; 7) momentele pniiale de ordine pn la 4 inclusiv; 8) momentele centrate de ordine pn la 4 inclusiv; 9) aspmetria; 10) excesul.1) x1=1, x2=0, x3=2, x4=3, p1=0,1, p2=0,5, p3=0,4, p4=0,2; 2) x1=0, x2=1, x3=7, x4=3, p1=0,6, p2=0,2, p3=0,1, p4=0,1; 3) x1=2, x2=1, x3=0, x4=1, p1=0,2, p2=0,4, p3=0,3, p4=0,1; Moloniuc A.SISTEMUL DE PROGRAME MATHEMATICA70 4) x1=1, x2=2, x3=5, x4=6, p1=0,1, p2=0,5, p3=0,3, p4=0,1; 5) x1=2, x2=3, x3=4, x4=3, p1=0,1, p2=0,2, p3=0,3, p4=0,4; 6) x1=1, x2=3, x3=4, x4=5, p1=0,2, p2=0,6, p3=0,1, p4=0,1; 7) x1=2, x2=4, x3=5, x4=6, p1=0,1, p2=0,4, p3=0,4, p4=0,1; 8) x1=1, x2=0, x3=1, x4=2, p1=0,4, p2=0,1, p3=0,3, p4=0,2; 9) x1=2, x2=1, x3=0, x4=1, p1=0,1, p2=0,2, p3=0,1, p4=0,6; 10) x1=0, x2=1, x3=2, x4=3, p1=0,6, p2=0,1, p3=0,2, p4=0,1; 11) x1=1, x2=2, x3=4, x4=5, p1=0,1, p2=06, p3=0,2, p4=0,1; 12) x1=2, x2=3, x3=5, x4=7, p1=0,1, p2=0,4, p3=0,3, p4=0,2; 13) x1=3, x2=4, x3=5, x4=6, p1=0,1, p2=0,5, p3=0,3, p4=0,1; 14) x1=1, x2=3, x3=4, x4=5, p1=0,2, p2=0,6, p3=0,1, p4=0,1; 15) x1=2, x2=4, x3=5, x4=6, p1=0,1, p2=0,6, p3=0,2, p4=0,1; 16) x1=0, x2=1, x3=3, x4=4, p1=0,5, p2=0,3, p3=0,1, p4=0,1; 17) x1=2, x2=1, x3=0, x4=2, p1=0,1, p2=0,4, p3=0,3, p4=0,2; 18) x1=1, x2=0, x3=1, x4=2, p1=0,1, p2=0,5, p3=0,3, p4=0,1; 19) x1=0, x2=1, x3=2, x4=3, p1=0,1, p2=0,6, p3=0,2, p4=0,1; 20) x1=1, x2=2, x3=3, x4=5, p1=0,2, p2=0,5, p3=0,1, p4=0,2; 21) x1=1, x2=0, x3=1, x4=2, p1=0,2, p2=0,4, p3=0,3, p4=0,1; 22) x1=2, x2=1, x3=0, x4=2, p1=0,3, p2=0,1, p3=0,4, p4=0,2; 23) x1=0, x2=1, x3=3, x4=4, p1=0,1, p2=0,3, p3=0,4, p4=0,2; 24) x1=1, x2=3, x3=5, x4=7, p1=0,2, p2=0,1, p3=0,3, p4=0,4; 25) x1=2, x2=3, x3=4, x4=5, p1=0,4, p2=0,2, p3=0,1, p4=0,3; 26) x1=0, x2=2, x3=3, x4=5, p1=0,3, p2=0,4, p3=0,2, p4=0,1; 27) x1=1, x2=2, x3=3, x4=5, p1=0,2, p2=0,3, p3=0,4, p4=0,1; 28) x1=2, x2=3, x3=5, x4=6, p1=0,3, p2=0,4, p3=0,1, p4=0,2; 29) x1=1, x2=4, x3=5, x4=6, p1=0,4, p2=0,1, p3=0,2, p4=0,3; 30) x1=1, x2=3, x3=4, x4=5, p1=0,1, p2=0,2, p3=0,3, p4=0,4. 8.2.2.Presupunem c probabilitatea statistic ca un copil nou nscut s fie in biat este 0,51. Se cere: 1) s se determine seria de repartiie a variabileialeatoarecarereprezintnumrul debieiprintre1000de copii noi nscui; 2) s se calculeze probabilitatea ca printre 1000 de copii noi nscui numrul bieilor s fie cuprims ntre 300+k i 500+k, unde k este numrul variantei.8.2.3.(TPSM.Ex1.7.1.p.58). Numrul de particule alfa emise de un gram de o substan radioactiv ntr-o secund este o variabil aleatoare discret culegea de repartiie Poissoncuparametrula, undeaeste numrul mediudeparticulealfaemisentr-osecundi sedetermin experimental pentrufiecaresubstanradioactiv. 1) Ssedetermine seria de repartiie a v.a.d.. 2) S se calculeze probabilitile Moloniuc A.SISTEMUL DE PROGRAME MATHEMATICA71 evenimentelor:A ={ntr-osecundvorfi emisenumai mult dedou particule alfa} i B = {ntr-o secund vor fi emise cinci particule alfa}. C = {ntr-o secund vor fi emise mai mult de zece particule alfa}. Care este numrul de particule alfa care corespunde celei mai mari probabiliti? S se considere c a=1+0,25n, unde n este numrul variantei.8.2.4.(TPSM.Ex1.7.3.p.50).S se scrie legea de repartiie a variabilei aleatoarecarereprezintnumrul dearuncri nereuitealeunui zar pn la prima apariie a numrului 4. S se calculeze probabilitatea ca n timpul aruncrilor cu numerele de ordin de la 5+k pn la 15+k numrul 4 nu va aprea, unde k este numrul variantei..8.2.5.(TPSM.Ex1.8.1.p.66).Variabila aleatoare continueeste definit de densitatea sa de repartiief(x). S se determine: 1) reprezentarea v.a.c.n Sistemul Mathematica; 2) linia de repartiie, 3) funcia de repartiieF(x) i graficul ei, 4) sperana matematic, 5) dispersia, 6) abaterea medie ptratic, 7) coeficientul de variaie, 8) momentele iniiale de ordinele pn la 4 inclusiv, 9) momentele centrale de ordinele pn la 4 inclusiv, 10) asimetria, 11) excesul, 12) probabilitatea ca s primeasc valori din prima jumtate a intervalului de valori posibile. Funcia f(x) este dat pe variante.1)' ]; 3 , 1 [ , 0], 3 , 1 [ , 2 ) 1 () (xx xx f 2)' ]; 4 , 1 [ , 0], 4 , 1 [ , 9 ) 1 ( 2) (xx xx f 3)' ]; 2 , 1 [ , 0], 2 , 1 [ , 2 2) (xx xx f4)' ]; 5 , 1 [ , 0], 5 , 1 [ , 8 ) 1 () (xx xx f 5)' ]; 6 , 1 [ , 0], 6 , 1 [ , 25 ) 1 ( 2) (xx xx f6)' ]; 7 , 1 [ , 0], 7 , 1 [ , 18 ) 1 () (xx xx f7)' ]; 8 , 1 [ , 0], 8 , 1 [ , 49 ) 1 ( 2) (xx xx f8)' ]; 3 , 2 [ , 0], 3 , 2 [ ), 2 ( 2) (xx xx f9)' ]; 4 , 2 [ , 0], 4 , 2 [ , 2 ) 2 () (xx xx f10)' ]; 5 , 2 [ , 0], 5 , 2 [ , 9 ) 2 ( 2) (xx xx f11)' ]; 6 , 2 [ , 0], 6 , 2 [ , 8 ) 2 () (xx xx f 12)' ]; 7 , 2 [ , 0], 7 , 2 [ , 25 ) 2 ( 2) (xx xx fMoloniuc A.SISTEMUL DE PROGRAME MATHEMATICA72 13)' ]; 8 , 2 [ , 0], 8 , 2 [ , 18 ) 2 () (xx xx f 14)' ]; 9 , 2 [ , 0], 9 , 2 [ , 49 ) 2 ( 2) (xx xx f15)' ]; 4 , 3 [ , 0], 4 , 3 [ , 6 2) (xx xx f16)' ]; 5 , 3 [ , 0], 5 , 3 [ , 2 ) 3 () (xx xx f17)' ]; 6 , 3 [ , 0], 6 , 3 [ , 9 ) 3 ( 2) (xx xx f18)' ]; 7 , 3 [ , 0], 7 , 3 [ , 8 ) 3 () (xx xx f19)' ]; 8 , 3 [ , 0], 8 , 3 [ , 25 ) 3 ( 2) (xx xx f 20)' ]; 9 , 3 [ , 0], 9 , 3 [ , 18 ) 3 () (xx xx f 21)' ]; 2 , 0 [ , 0], 2 , 0 [ , 2 ) 2 () (xx xx f22)' ]; 4 , 0 [ , 0], 4 , 0 [ , 8 ) 4 () (xx xx f23)' ]; 6 , 0 [ , 0], 6 , 0 [ , 18 ) 6 () (xx xx f 24)' ]; 8 , 0 [ , 0, ] 8 , 0 [ , 32 ) 8 () (xx xx f 25)' ]; 10 , 0 [ , 0], 10 , 0 [ , 50 ) 10 () (xx xx f 26)' ]; 1 , 0 [ , 0], 1 , 0 [ ), 1 ( 2) (xx xx f 27)' ]; 3 , 0 [ , 0], 3 , 0 [ , 9 ) 3 ( 2) (xx xx f 28)' ]; 5 , 0 [ , 0], 5 , 0 [ , 25 ) 5 ( 2) (xx xx f 29)' ]; 7 , 0 [ , 0], 7 , 0 [ , 49 ) 7 ( 2) (xx xx f 30)' ]. 9 , 0 [ , 0], 9 , 0 [ , 81 ) 9 ( 2) (xx xx f 8.2.6.(TPSM.Ex1.9.1.p.74).Variabila aleatoareare repartiie normal cu sperana matematic m i cu abaterea medie ptratic . 1) s se instaleze pachetul de programe Statistics`NormalDistribution` ; 2) s sedefineasc(introduc) v.a.c. dat ; 3) ssedefineasc(determine) densitatea de repartiie ; 4) s se construiasc linia de repartiie ; 5) s se defineasc (determine) funcia de repartiie ; 6) s se construiasc graficul funciei derepartiie ; 7) sseconstruiascpeacelai desengraficele densitii de repartiie i al funciei de repartiie ; 8) s se construiasc pe acelaidesen gfaficele densitiide repartiieial funcieide repartiie astfel, ca grosimea graficului densitii de repartiie s fie egal cu 0,5 din grosimeastandard, iargrosimeagraficului funciei derepartiiesfie egal cu 0,9 din grosimea standard;9) S se calculeze probabilitatea ca s primeasc valori din intervalul [, ]. Valorile luim,,isunt date pe variante.Moloniuc A.SISTEMUL DE PROGRAME MATHEMATICA73 1)m=3,=2,=2,=8; 2)m=4,=2,=2,=7; 3)m=5,=2,=2,=6; 4)m=6,=2,=4,=9; 5)m=7,=2,=4,=8; 6)m=9,=2,=6,=9; 7)m=9,=2,=7,=12; 8)m=3,=3,=2,=5; 9)m=4,=3,=2,=7; 10)m=5,=3,=4,=7; 11)m=6,=3,=4,=9; 12)m=7,=3,=6, =9;13)m=8,=3,=5,=9; 14)m=9,=3,=7,=10;15)m=5,=4, =4,=8; 16)m=6,=4,=4,=9; 17)m=7,=4,=5,=8; 18)m=8, =4,=5,=9; 19)m=9,=4,=7,=10; 20)m=6,=5,=4,=7; 21)m=7,=5,=4,=9; 22)