Elemente de Control Optimal

7/25/2019 Elemente de Control Optimal

1/10

1

UNIVERSITATEA POLITEHNICA BUCURESTI

FACULTATEA DE TRANSPORTURI

Elemente de control optimal

Cercetri operaionale

Masterand:Netcu Mariana Daniela

Master:Logistica Transporturilor

2014-2015


2/10

2

Elemente de control optimal

Studiul sistemelor optimale se face pornind de la urmtoarele elemente fundamentale:

1. Dinamica procesului este cunoscut, fiind exprimat sub forma unei ecuaii

de stare

(1.1)

presupus n cele mai multe cazuri a fi liniar.

2. Se limiteaz atenia la cazul determinist, adic se admite c sistemul nu estesupus unor perturbaii stohastice (iar msurarea vectorului de stare nu este alterat de

zgomote).

3. Vectorul de stare xi/sau comanda usunt supuse unor restricii diverse de

exemplu, componentele lui utrebuie s se ncadreze ntre anumite limite (restricii de

tip inegalitate), sau se pot impune anumite valori iniiale i finale pentrux(restricii de

tip egalitate), sau se impun chiar restricii privind durate tf a conducerii procesului

respectiv.

4. Se alege un indice de performan J, dependent n general de x i de u icresctor cumulativ cu timpul, adic de forma:

(1.2)

n raport cu care se realizeaz optimizarea.

5. Nu se face nici o presupunere cu privire la structura dispozitivului de conducere

optimal (spre diferenta de cazul proiectrii prin ncercri).Cu acestea, problema comenzii optimale se formuleaz concis astfel:

S se gseasc comanda optim uopt (numit i strategia de conducere

optimal) care optimizeaz indicele de performan J, n condiiile unor restricii

impuse.

n cadrul problemelor de optimizare se disting dou categorii:

1. Probleme de optimizare static.

2. Probleme de optimizare dinamic.

Optimizarea staticse ntalnete atunci cnd se cere conducerea optimal a unui procesa crui stare normal este regimul staionar.


3/10

3

Optimizarea static a proceselor poate fi realizat n dou moduri:

- ca optimizare n circuit deschis, utilizabil atunci cnd modelul matematic

al unui proces este bine cunoscut (inclusiv valorile parametrilor), iar

efectele perturbaiilor sunt neglijabile.

- ca optimizare n circuit nchis, pentru procesele n care parametrii sunt

insuficient cunoscui i/sau variaz cu timpul, iar perturbaiile de tip

aleatorau o puternic influen asupra strii sistemului; aceast metod se

bazeaz pe experimentare.

Problema optimizrii dinamiceeste caracterizat de vectori de stare i de comand

variabili n timp.

Metode de optimizare dinamic se realizeaz prin :

-optimizarea prin metode variaionale(metoda multiplicatorilor lui Lagrange i metoda

ecuaiei matriciale Riccati);

-programare dinamica lui Bellman;

- principiul maximului al lui Pontriaghin.

PRINCIPIUL MAXIMULUI

Exist o clas larg de probleme de tip variaional n optimizarea sistemelor

dinamice, probleme care nu pot fi soluionate prin metoda calculului variaional

ecuaii de tipEuler-Lagrange.

Ele ar putea fi abordate sub forma discret a programrii dinamice, dar, aceastmetod reprezint n fond o tehnic numeric care furnizeaz o informaie srac

asupra naturii fizice a problemei de optimizare n ansamblu. Iar aplicarea variantei

continue a principiului optimalitii se izbete de dificulti de calcul de ndat ce

sistemul nu este liniar, criteriul nu este de tip cuadratic, iar comanda sufer restricii de

tip inegalitate.

Principiul optimului, elaborat de Pontriaghin, Boltianskii i Gamkrelidze, este

similar calculului variaional i este strns legat de programarea dinamic fiind

dealtfel posibil obinerea principiului optimalitii din principiul maximului printr-o

schimbare de variabile.

Principiul maximului se bazeaz pe urmtoarele elemente:

1. Sistemul este descris de ecuaia de stare(1.3)sau forma compact (1.1).

(1.3)


4/10

4

2. Timpul iniial t0i cel final tfsunt date.

3. Unele componente ale vectorului de stare au valori date la t0i tf.

4.

Indicele de performan este de forma funcionalei

(1.4)

5. Comanda u(t)este supus restriciilor de tip inegalitate.

6. Se caut strategia optim (comanda optimal) care va transfera

sistemul din starea initial n starea final de asemenea manier

nct s optimizeze criteriul J dat de (1.4), respectnd restriciile impuse

comenzii.

Coeficienii de pondere idin (1.4) pot fi privii ca fiind componentele unui

vector de ponderarenumit i vector obiectiv:

(1.5)

astfel nct criteriul (1.4) se poate exprima sub forma unui produs scalar

(1.6)

(Far a impieta asupra generalitii, putem considera c este normalizat, adic

).

Expresia (1.6) are semnificaia geometric a proieciei vectorului pe

vectorul ; aadar optimizarea criteriuluiJ(1.6) se traduce ca ncercarea de a optimiza

proiecia lui pe direcia vectorului obiectiv.

Vom considera mai nti cazul:

a) tfeste fixat, dar este liber.


5/10

5

Vom presupune c strategia optim a fost gsit i c traiectoria

optimal corespunztoare se cunoate. Vom studia modificarea dJa criteriului de

performan cauzat de o variaie de la strategia optim. O astfel de situaie,

pentru un caz bidimensional, este ilustrat n figura 1.

Figura 1. Abaterea de la strategia optim i abaterea rezultant de la traiectoria

optimal

ntruct comanda optim este de tip bang-bang, adic avnd valori extreme

ntre care se face comutaia (teoretic) instantanee (n fig. 1b se arat o astfel de

comutaie), este firesc a presupune c mica abatere de la strategia optim, adic

va reprezenta doar o modificare redus a momentului comutaiei valorii

comenzii. Aadar, variaia va consta din unul sau mai multe impulsuri de lime

finite dar foarte mic (un astfel de impuls este ilustrat n fig. 1 c). Se poate formula

diferena dintre principiul maximului i metoda calculului variaional astfel: dac

vectorul m-dimensional u(t)este supus restriciei

(1.6)


6/10

6

unde {U} este domeniul comenzilor admisibile n spaiul m-dimensional, atunci

metoda calculului variaional caut soluia optim n interiorul lui {U}, n timp ce

principiul maximului caut soluia optim pe frontiera lui {U}.

Introducem conceptul de vector adjunct de stare p(t)ale crui componente suntdefinite astfel:

(1.7)1

(1.7)2

n cazul sistemelor liniare, avnd ecuaia de stare , relaia

(1.7)1ia forma:

(1.8)

care definete aa-numitul sistem adjunct al sistemului cu ecuaia de stare de tipul

.

Vectorul de stare xi vectorul adjunct de stare pintroduce un numr total de2n

variabile, care trebuie s satisfac ecuaiile difereniale ordinare de ordinul unu (1.8) i(1.7)1; n plus, ele trebuie s satisfac cele 2ncondiii terminale specificate, n maniera

sparte n dou puncte:

i .

Analizm variaia componentei xi a vectorului x cauzat de variaia mai sus

menionatua lui u. Conform cu (1.8) avem:

(1.9)

Multiplicnd ambii membri ai relaiei (1.9) cu pi, nsumnd relaia astfel

obinut pentru toate cele n componente ale luixi, n final, integrnd ntret0i tfse

obine:

(1.10)


7/10

7

Membrul stng alrelaiei (1.10) poate fi integrat prin pri:

(1.11)

ntruct, firete, avem:

(1.12)

i innd cont de (1.7)2, vom avea:

(1.13)

Dar memebrul drept din (1.13) reprezint variaia cu semn schimbat acriteriuluiJ, adic:

(1.14)

Din (1.7)1, (1.9), (1.11), (1.13) i (1.14) rezult:

(1.15)

Factorul reprezint o diferen mic (de ordinul

unu) astfel c el poate fi dezvoltat n serie Taylor:

(1.16)

unde R este suma termenilor de ordin superior lui 1. Introducnd (1.16) n (1.15) se

obine:

(1.17)

Se consider doar funciilefi care sunt liniare n raport cuxi depind de un mod

aditiv, adic cele pentru care (1.1) ia forma:

(1.18)


8/10

8

Pentru aceastclas de funcii vom avea:

(1.19)

astfel c cea de-a doua integral din (1.15) va fi nul i relaia (1.15) se reduce la:

(1.20)

unde

(1.21)

reprezint aa-numita funcie de stare a lui Pontriaghin denumire justificat prin

aceea c H depinde exclusiv de vectorul de stare x(t) i ntlnit uneori i subdenumirea de Hamiltonian (dat fiind similaritatea sa cu expresia hamiltonianului

din mecanica clasic).

Relaia (1.20) se interpreteaz astfel: Dac se poate dovedi c o variaie u

arbitrar face ca integrala din (1.20) s fiepozitiv (negativ), aceasta va implica faptul

c dJs fie negativ (pozitiv)pentru aceste deviatii i u0va corespunde atunci la un

maxim (minim)al luiJ.

Dar integrala din (1.20) va fi pozitiv (negativ) dac integrandul va fi pozitiv

(negativ) pe ntregul interval , adic dac

(1.22)

sau

(1.23)

Aadar, principiul maximului seformuleaz astfel:

O condiie necesar i suficient pentru a avea un maxim (minim) al criteriului de

performan J dat de (1.4) este aceea ca: comanda optim u0s minimizeze

(maximizeze) funcia de stare H a lui Pontrianghin pe tot intervalul .


9/10

9

Concluzii

Metoda programrii dinamice a lui Bellman se aplic n cazul proceselordiscrete. Avantajul esenial al metodei programrii dinamice este adus de principiul

optimalitii i metoda scufundrii, care permit reducerea procesului de decizie nN

pai la un proces secvenial deNprocese de decizie cu un singur pas.

Principiul lui Pontriaghin se utilizeaz n cazul problemelor care nu pot fi

soluionate prin metoda calculului variaional de exemplu ecuaii de tip

Euler-Lagrange. Ele ar putea fi abordate sub forma discret a programrii dinamice,

dar, aceast metod reprezint n fond o tehnic numeric care furnizeaz o informaie

srac asupra naturii fizice a problemei de optimizare n ansamblu. Principiuloptimului, elaborat de Pontriaghin, Boltianskii i Gamkrelidze, este similar calculului

variaional i este strns legat de programarea dinamic.

Diferena dintre principiul maximului i metoda calculului variaional const n

faptul c : n timp ce metoda calculului variaional caut soluia optim n

interiorul lui {U}, principiul maximului caut soluia optim pe frontiera lui {U}, unde

{U} este domeniul comenzilor admisibile

n concluzie, n aceast lucrare am prezentat metode de rezolvare a problemei

comenzii optimale: S se gseasc comanda optim uopt (numit i strategia de

conducere optimal)care optimizeaz indicele de performan J, n condiiile unor

restricii impuse; n cazul proceselor dinamice n timp.


10/10

10

Bibliobrafie

[1] D. Mihoc, M. Ceaparu, S. St. Iliescu, I. Borangiu, Teoria si elementele sistemelor

de reglare automata, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1980

[2] Prof. Dr. V. Prepeli, T. Vasilache, M. Doroftei, Control Theory

1980

[3] Dr. Robert C. Nelson, Flight Stability and Automatic Control, McGraw-Hill,

Inc., 1989

[4] Frank L. Lewis, Vassilis L. Syrmos, Optimal Control, Second Edition, JohnWiley Sons, New York, 1995

[5] Lawrence C. Evans, An Introduction to Mathematical Optimal Control TheoryVersion 0.2

Elemente de Control Optimal

Documents

Transcript of Elemente de Control Optimal