Elemente ale triunghiului

punctele A,B,C se numesc vârfurile triunghiului. [AB];[BC];[AC] se numesc laturile triunghiului. se numesc unghiurile(interne) triunghiului.

[modificare] Clasificarea triunghiurilor

[modificare] Clasificarea triunghiurilor în funcție de lungimile laturilor

Un triunghi cu toate laturile congruente se numește triunghi echilateral. Un triunghi cu două laturi congruente se numește triunghi isoscel. Un triunghi care are laturile de lungimi diferite se numește triunghi scalen.

Triunghi echilateral

Triunghi isoscel

Triunghi scalen

[modificare] Clasificare după felul unghiurilor

Triunghiurile cu toate unghiurile ascuțite sunt triunghiuri ascuțitunghice. Dacă, însă, unul din unghiuri este drept, triunghiul este denumit dreptunghic. Triunghiul cu un unghi drept se numește triunghi dreptunghic.

Triunghi dreptunghic

Triunghi optuzunghic

Triunghi ascutitunghic

[modificare] Puncte, linii, drepte în triunghi

[modificare] Centrul cercului circumscris

Intersecția celor trei mediatoare (perpendiculare pe mijlocul fiecărei laturi) ale triunghiului.

[modificare] Centrul cercului înscris

Intersecția celor trei bisectoare ale unghiurilor interne triunghiului.

[modificare] Ortocentru

Intersecția celor trei înăl ț imi ale triunghiului.

[modificare] Centru de greutate

Intersecția celor trei mediane ale triunghiului.

Linia mijlocie este segmentul determinat de mijloacele a două laturi ale triunghiului. Lungimea acesteia este egală cu jumătate din lungimea laturii cu care este paralelă.

Ortocentrul, centrul de greutate și centrul cercului circumscris triunghiului sunt coliniare, formând dreapta lui Euler.

Centrul de greutate se află pe fiecare mediană se află la 2/3 de vârf și la 1/3 de bază.

[modificare] Mediatoare

Mediatoarea este perpendiculara dusă prin mijlocul unui segment.

[modificare] Mediană

Mediana este segmentul de dreaptă care unește un vârf al unui triunghi cu mijlocul laturii opuse.

[modificare] Înălțime

Înălțimea este segmentul determinat de un vârf al unui triunghi și piciorul perpendicularei duse din acel vârf pe latura opusă sau pe prelungirea ei.

[modificare] Bisectoare

Bisectoarea este semidreapta interioara unghiului ce imparte unghiul in 2 unghiuri congruente

[modificare] Asemănarea triunghiurilor

Două triunghiuri sunt asemenea dacă au unghiurile corespunzătoare congruente și laturile corespunzătoare proporționale.

[modificare] Criterii de asemănare

1. Criteriul U.L.U. (unghi-latura-unghi): Două triunghiuri care au două perechi de unghiuri congruente, sunt asemenea.

2. Criteriul L.U.L. (latură-unghi-latură): Dacă un triunghi are un unghi congruent cu alt unghi al unui alt triunghi și laturile care formează cele două unghiuri sunt respectiv proporționale, atunci triunghiurile sunt asemenea.

3. Criteriul L.L.L. (latură-latură-latură): Dacă două triunghiuri au laturile corespunzătoare proporționale, atunci cele două triunghiuri sunt asemenea.

[modificare] Congruența triunghiurilor

Două triunghiuri sunt congruente dacă au toate cele trei laturi congruente.

[modificare] Criterii de congruență1. Criteriul L.U.L. (latură-unghi-latură): Dacă două laturi și unghiul determinat de ele dintr-

un triunghi sunt congruente cu elementele corespunzătoare din alt triunghi, atunci cele 2 triunghiuri sunt congruente.

2. Criteriul U.L.U. (unghi-latură-unghi): Dacă o latură și unghiurile alăturate ei dintr-un triunghi sunt congruente cu elementele corespunzătoare lor din alt triunghi, atunci cele două triunghiuri sunt congruente.

3. Criteriul L.L.L. (latură-latură-latură): Dacă cele trei laturi dintr-un triunghi sunt congruente cu laturile corespunzătoare lor din alt triunghi, atunci cele două triunghiuri sunt congruente.

[modificare] Congruența triunghiurilor dreptunghice

1. Cazul C.C. (catetă-catetă): două triunghiuri dreptunghice care au catetele congruente, sunt congruente.

2. Cazul C.U. (catetă-unghi): două triunghiuri dreptunghice care au câte o catetă și câte un unghi ascuțit congruent,sunt congruente.

3. Cazul I.U. (ipotenuză-unghi): două triunghiuri dreptunghice care au ipotenuzele congruente și o pereche de unghiuri ascuțite congruente, sunt congruente.

4. Cazul I.C. (ipotenuză-catetă): două triunghiuri dreptunghice care au ipotenuzele congruente și o pereche de catete congruente, sunt congruente.

[modificare] Rapoarte constante între elemente ale unui triunghi dreptunghic

Rapoartele constante în triunghiul dreptunghic sunt: sinusul, cosinusul, tangenta, cotangenta. Acestea se mai numesc și funcții trigonometrice.

Sinusul măsurii unui unghi, este raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului și lungimea ipotenuzei:

Cosinusul măsurii unui unghi, este raportul dintre lungimea catetei alăturate unghiului și lungimea ipotenuzei:

Tangenta măsurii unui unghi este raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului și lungimea catetei alăturate unghiului:

Cotangenta măsurii unui unghi este raportul dintre lungimea catetei alăturate unghiului și lungimea catetei opuse unghiului:

Fie X măsura unui unghi, iar (90°-X) măsura complementului său. Atunci au loc următoarele relații:

[modificare] Valori ale funcțiilor trigonometrice pentru măsurile unghiurilor de 0°, 30°, 45°, 60° și 90°

sin

cos

tg

ctg

[modificare] Relații:

    

    

    

    

[modificare] Formule trigonometrice

Formula fundamentală a trigonometriei:

[modificare] Reguli, proprietăți, teoreme aplicabile triunghiului

1. În orice triunghi suma măsurilor unghiurilor interne este de 180°.

1. Un triunghi are șase unghiuri externe, congruente două câte două.

1. Într-un triunghi isoscel unghiurile alăturate bazei sunt congruente.

1. Într-un triunghi dreptunghic unghiurile ascuțite sunt complementare.

1. Într-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare decât oricare din lungimile celor două catete.

1. Într-un triunghi oarecare, între două laturi: laturii mai mari i se opune un unghi mai mare decât cel care se opune laturii mai mici.

1. Într-un triunghi ascuțitunghic centrul cercului circumscris se găsește în interiorul triunghiului.

1. Într-un triunghi obtuzunghic centrul cercului circumscris se găsește în exteriorul triunghiului.

1. Într-un triunghi dreptunghic centrul cercului circumscris coincide cu mijlocul ipotenuzei.

1. Cercul înscris într-un triunghi intersectează (atinge) fiecare latură într-un singur punct, numit punct de tangență.

1. Într-un triunghi se pot construi trei linii mijlocii.

1. PROPRIETATEA LINIEI MIJLOCII:într-un triunghi linia mijlocie este paralelă cu cea de-a treia latură a triunghiului, și are lungimea egală cu jumătate din lungimea acesteia.

1. Dacă triunghiul este ascuțitunghic atunci ortocentrul se găsește în interiorul triunghiului.

1. Ortocentrul triunghiului obtuzunghic se găsește în exteriorul triunghiului.

1. Ortocentrul triunghiului dreptunghic coincide cu vârful unghiului drept.

1. PROPRIETATEA CENTRULUI DE GREUTATE:într-un triunghi centrul de greutate se găsește pe fiecare mediană la două treimi de vârf și la o treime față de bază.

1. Două triunghiuri congruente vor fi mereu echivalente. Reciproca nu este valabilă.

1. Într-un triunghi, mediana unei laturi împarte triunghiul în 2 triunghiuri echivalente, având fiecare jumătate din aria triunghiului inițial.

1. TEOREMĂ:Într-un triunghi oarecare măsura unui unghi exterior triunghiului este egală cu suma măsurilor unghiurilor interioare nealăturate. Un unghi exterior unui triunghi este mai mare decât oricare din unghiurile interne nealăturate.

1. TEOREMĂ:În orice triunghi înălțimile sunt concurente, mediatoarele sunt concurente, medianele sunt concurente și bisectoarele sunt concurente.

1. TEOREMĂ:În orice triunghi produsul dintre lungimea înălțimii și lungimea laturii corespunzatoare ei este constant.

1. TEOREMĂ:În orice triunghi bisectoarea interioară a unui unghi împarte latura opusă în segmente proporționale cu laturile ce formează unghiul.

1. TEOREMĂ:într-un triunghi isoscel unghiurile alăturate bazei sunt congruente.

1. TEOREMĂ:într-un triunghi isoscel bisectoarea unghiului de la vârf, mediana și înălțimea bazei coincid și sunt inclusive mediatoarei bazei.

1. TEOREMĂ:într-un triunghi isoscel medianele corespunzătoare laturilor congruente, sunt congruente.

1. TEOREMĂ:într-un triunghi isoscel înălțimile corespunzătoare laturilor congruente, sunt congruente.

1. TEOREMA BISECTOAREI:bisectoarea unui unghi al unui triunghi, determină pe latura opusă unghiului segmente proporționale cu laturile care formează unghiul.

1. TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII:o paralelă dusă la una din laturile unui triunghi, formează cu celelalte două laturi, sau cu prelungirile lor, un triunghi asemenea cu triunghiul dat.

1. Dacă două triunghiuri sunt asemenea, atunci raportul lor de asemănare este egal cu raportul înălțimilor corespunzătoare, a bisectoarelor corespunzătoare, a medianelor corespunzătoare.

1. Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci, pătratul raportului de asemănare este egal cu raportul mărimilor celor două triunghiuri.

1. PROPRIETĂȚI DE ASEMĂNARE:orice triunghi este asemenea cu el însuși; dacă triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul A1B1C1, iar triunghiul

A1B1C1 este asemenea cu triunghiul A2B2C2, atunci și triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul

A2B2C2; dacă triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul A1B1C1, atunci și triunghiul

A1B1C1 este asemena cu triunghiul ABC; două triunghiuri congruente sunt întotdeauna asemenea(reciproca nu este valabila); 2 triunghiuri

echilaterale sunt întotdeauna asemenea.

1. TEOREMA CATETEI:într-un triunghi dreptunghic, lungimea catetei este egală cu media geometrică dintre lungimea ipotenuzei și proiecția sa pe ipotenuză.

1. TEOREMA ÎNĂLȚIMII:într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este egală cu media geometrică dintre proiecțiile catetelor pe ipotenuză.

1. Dacă într-un triunghi isoscel unghiurile alăturate bazei au măsura de 60°, atunci triunghiul este echilateral.

1. TEOREMA 30°—90°:într-un triunghi dreptunghic, dacă un unghi are măsura de 30°, atunci cateta opusă lui (cea care are unghiul alăturat de 60°) are lungimea sa egală cu

jumătate din lungimea ipotenuzei.

1. Într-un triunghi dreptunghic mediana corespunzătoare ipotenuzei are lungimea egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.

1. Într-un triunghi echilateral mediatoarea corespunzătoare unei laturi este și înălțime corespunzătoare acesteia și mediană corespunzătoare acesteia și bisectoare corespunzătoare unghiului opus laturii respective.

Teorema lui Thales  : în orice triunghi, o paralelă dusă la una din laturile unui triunghi, împarte cele două laturi, sau prelungirile lor, în segmente proporționale.

Reciproca Teoremei lui Thales  : în orice triunghi, dacă o dreaptă determină pe două laturi ale unui triunghi, sau prelungirile lor, segmente proporționale, atunci ea este

paralelă cu a treia latură a triunghiului.

Teorema lui Pitagora : suma dintre pătratele lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei.

[modificare] Formule folosite in triunghi

[modificare] Perimetru și semiperimetru

[modificare] Arie

, iar

FORMULA LUI HERON:

ALTE FORME ALE FORMULEI LUI HERON:

FORMULE DERIVATE DIN FORMULA LUI HERON:

Un triunghi cu laturile de lungime a, b și respectiv c și unghiurile de măsura α, β și respectiv γ.

unde

unde

unde , iar

[modificare] Alte formule

sau

sau

sau

 ;  ;

 ;  ;

A (arie); l (una dintre laturile triunghiului); a,b,c (laturile unui triunghi); α,β,γ (unghiurile triunghiului); P (perimetru); p (semiperimetru); h (înălțime); c (cateta); x,y(catetele unui triunghi dreptunghic);i (ipotenuza); R (raza cercului circumscris triunghiului);D (diametrul cercului circumscris al triunghiului) ; r (raza cercului înscris în triunghi); ec (echilateral); dr (dreptunghic); pr (proiecția catetei pe ipotenuză); m (mediana); H,S,σ (variabile matematice)