UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" DIN BUCURETI CATEDRA DE FIZIC

LABORATORUL DE FIZIC ATOMIC I FIZICA SOLIDULUI BN - 120 A

EFECTUL PELICULAR

1997

1

EFECTUL PELICULAR

1. Scopul lucrrii

Determinarea grosimii stratului pelicular i a conductivitii electrice a unui metal din studiul efectului pelicular.

2. Teoria lucrrii 2.1. Consideraii generale asupra efectului pelicular (Skin efect). Efectul pelicular este fenomenul care apare la trecerea undelor electromagnetice prin medii conductoare i care se manifest prin apariia simultan a absorbiei i dispersiei undelor care trec prin astfel de medii, avnd ca urmare creterea densitii de curent n straturile superficiale. Absorbia este fenonenul care nsoete propagarea undelor ntr-un mediu disipativ i care const n micorarea intensitii undei cu distana parcurs. Pentru undele electromagnetice, metalele constituie mediile disipative, aa nct are loc o scdere puternic a intensitii cu distana parcurs, datorat n primul rnd electronilor de conducie care, sub influena cmpului alternativ exterior, creaz n interiorul conductoarelor un cmp electric ce se suprapune peste cel exterior, slbindu-l. Fie I0 intensitatea undei electromagnetice care cade normal pe suprafaa superioar a

unui mediu disipativ (metal), fig. 1.

Fig. 1

Problema care se pune este de a determina intensitatea ( )I z a undei dup ce a strbtut distana z . Notm cu ( )dI z scderea intensitii undei dup ce a strbtut distana elementar

( )dz z z dz; + , ea fiind proporional cu ( )I z i cu distana parcurs: ( ) ( )dI z I z dz= (1)

2

este un coeficient numit coeficient de absorbie, iar semnulul minus indic faptul c intensitatea undei scade cu creterea stratului absorbant. Pentru a determina intensitatea undei la distana z , va trebui s nsumm toate variaiile ( )dI z , adic s integrm relaia (1):

( )( )

( ) dI zI z

dzI

I z z

0 0 =

de unde ( )I z I e z= 0 (2) Relaia (2) arat c ntr-un mediu conductor intensitatea undelor electromagnetice scade exponenial cu distana parcurs. Deoarece intensitatea undelor electromagnetice este egal cu ptratul amplitudinii intensitii cmpului electric, rezult c i mrimea amplitudinii ( )E z scade exponenial cu distana:

( )E z E e E ezz

= = 012 0 (3)

unde E0 este mrimea amplitudinii cmpului electric n unda incident, iar =2

reprezint

adncimea la care amplitudinea cmpului electric scade de e ori (fa de valoarea sa la suprafaa conductorului) i se numete grosimea stratului pelicular. 2.2. n teoria cmpului electromagnetic se arat c grosimea stratului pelicular depinde de frecvena a undei i de proprietile electrice i magnetice ale mediului. S considerm cazul unui semispaiu infinit i conductor. Ne alegem astfel sistemul de axe carteziene, nct axele Ox, Oy s fie n planul conductorului ( )z = 0 , iar axa Oz s fie orientat ctre interiorul conductorului fig. 2. Admitem c vectorul electric

rE i vectorul

densitate de curent de conducie j sunt orientai dup axa Ox iar vectorul cmp magnetic rB

este orientat dup axa Oy. Deci

( ) ( ) ( )r r rE E j j B Bx x y, , ; , , ; , ,0 0 0 0 0 0

3

Componentele vectorilor respectivi sunt funcii numai n coordonata z i de timpul t (aceste componente nu variaz cu coordonatele x i y ). Ecuaiile care stau la baza analizei efectului

pelicular sunt ecuaiile de propagare a undelor electromagnetice n medii materiale. Propagarea undelor electromagnetice ntr-un mediu conductor se studiaz lund n consideraii faptul c densitatea curentului de conducie predomin fa de densitatea curentului de deplasare. Neglijnd curentul de deplasare, obinem urmtoarele ecuaii de propagare a cmpului magnetic i electric din conductori

rr r

BBt

EEt

= = ; (4)

Acestea n cazul de fa capt forma:

2

2

2

2Ez

Et

B

z

Bt

x x y y= =; (5) Este util s observm c putem scrie componenta By a cmpului magnetic n funcie de

componenta Ex a cmpului electrice, dac utilizm ecuaia Maxwell-Faraday, care pentru

cazul analizat, se poate scrie astfel:

( ) = = rE Ez

Bty

x y

(6)

Admitem o variaie periodic cu timpul a cmpului electric, a densitii de curent i a cmpului magnetic, de forma:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

E z t E z ej z t j z eB z t B z e

xi t

xi t

yi t

,,,

===

(7)

nlocuind expresia lui Ex dat de (7) n ecuaia diferenial (5) obinem

( ) ( )d E z

dzi E z

2

2 = (8) Introducnd notaia

p i2 = (9) ecuaia diferenial (8) captat forma

( ) ( )d E z

dzp E z

2

22= (10)

Soluia general a acestei ecuaii difereniale este: ( )E z A e A epz pz= + 1 2 (11) unde A1 i A2 sunt dou constante de integrare iar

( )p i i i= = = + 12

1 (12)

unde am pus ( )i i= +12

1 . Constantele de integrare se determin din condiiile:

pentru ( )z E z + 0 i deci A1 0= ;

4

pentru ( ) ( )z E z E E A = = =0 0 0 2. ( E0 este cmpul electric la planul z = 0 ). Aadar soluia (11) capt forma:

( ) ( )E z E e E epz i z= = + 0 0 1 2

(13)

Dac introducem constanta

=2

(14)

ecuaia (13) se poate scrie sub forma:

( ) ( )E z E e E e eiz z

iz

= = + 01

0 (15) nnd seama de ecuaia (7) i de ecuaia (15) rezult

( )E z t E e exz i t

z

, =

0 . (16)

Pentru calculul densitii de curent ( )j z tx , i a componentei By a cmpului magnetic se folosesc aceleai relaii, obinndu-se:

( )( )

j z t E e e

B z ti

E e e

x

z i tz

y

z i tz

,

,

=

= +

0

01

(17)

Mrimea notat cu = =2 1

reprezint grosimea stratului (peliculei) de

ptrundere a cmpului electric alternativ respectiv a undei electromagnetice n conductor i valoarea lui variaz invers proporional cu frecvena cmpului i cu conductivitatea metalului . Dependena grosimii de frecven a undei pune n eviden faptul c simultan cu absorbia are loc i o dispersie a undelor electromagnetice. Se observ c pe msur ce frecvena crete, grosimea stratului pelicular scade, adic unda electromagnetic este localizat practic pe suprafaa metalului. Datorit acestui efect, conductorii utilizai pentru cureni de nalt frecven pot fi de form tubular, ceea ce permite economisirea metalului din care sunt confecionai. n tabelul de mai jos se indic valorile grosimii stratului pelicular a unui curent electric alternativ, pentru un conductor de cupru, n cazul a dou frecvene ale curentului alternativ 50 Hz i 5 105 Hz. Tabel

5

Rezult c grosimea stratului pelicular scade cu creterea frecvenei curentului. 2.3. n lucrarea de fa se determin dou mrimi, - grosimea stratului pelicular precum i - conductivitatea electric, pentru diferite valori ale frecvenei de lucru. Pentru aceasta, se las s cad o und electromagnetic de frecven cunoscut pe un mediu conductor alctuit din una sau mai multe plci metalice i se nregistreaz amplitudinea tensiunii alternative generate de undele care strbat mediul, ntr-o bobin receptoare. Deoarece tensiunea este proporional cu intensitatea cmpului electric, rezult c are loc o scdere exponenial a amplitudinii tensiunii alternative incidente U0 cu distana z , tot dup

o lege de forma (3) adic:

( )U z U ez

= 0 (18) unde

ln lnU Uz= 0 (19)

sau

lnUU

z

0= (19)

Dac se reprezint grafic dependena dintre lnUU0

i z , se obine o dreapt de pant

m = 1 . Determinnd panta rezult grosimea stratului pelicular =1m

.

Din relaia (14) se observ c este o funcie liniar de 1

= =1 1 1

m' (20)

Reprezentnd grafic dependena dintre i 1 i determinnd panta m' a dreptei se calculeaz apoi conductivitatea electric.

=1

2m' (21)

unde

= 0 7 24 10NA

.

3. Descrierea instalaiei experimentale i a aparaturii utilizate Dispozitivul experimental fig. 3 este format dintr-un generator de oscilaii sinusoidale n domeniul 10 - 100 kHz cu un nivel de 1000 mV (Versatester - tip E0502), la care se conecteaz o bobin oscilator B1 i o bobin receptor B2 , ntre care se plaseaz diverse foie metalice (de Cu, Al, Sn). Prin alimentarea bobinei B1 cu un curent alternativ (de la cablul coaxial C1 ) apare un fenomen de inducie electromagnetic n urma cruia n bobina

6

receptoare B2 se induce o tensiune alternativ. Frecvena curentului inductor poate fi variat, iar tensiunea indus n B2 se msoar cu ajutorul unui milivoltmetru (mV) ncorporat n

aparat.

4. Modul de lucru 4.1. Se alimenteaz aparatul la 220 V c.a., dup care se conecteaz cablul coaxial C1 al bobinei oscilator B1 la mufa IEIRE 50. Se apas clapa 10 - 100 kHz, iar selectorul de

nivel (NIVEL INTERN) se pune pe poziia 1000 nV. 4.2. Cu ajutorul selectorului fin de frecven (notat prin FRECVENA) se alege o prim frecven de lucru (de exemplu = 50 kHz) care se citete pe afiul digital, punnd selectorul inferior pe poziia INTERN F. 4.3. Se alege o plac metalic de grosime z cunoscut ( ) ( )z zAl Cu= =80 40; ; ( )zSn = 50 care se pune ntre bobinele B1 i B2 i se determin tensiunea recepionat la milivoltmetrul mutnd comutatorul extern pe poziia EXTERN F. Se adaug apoi succesiv cte o plac din acelai metal i se nregistreaz apoi pentru fiecare grosime total z n z'= ( n fiind numrul total de plci), tensiunea recepionat. Se repet determinrile pentru cel puin alte patru valori ale frecvenei (de exemplu = 60 kHz, 70 kHz, 80 kHz, 90 kHz). Datelor obinute se trec ntr-un tabel de forma I:

Tabel I

4.4. Se repet irul de determinri pentru celelalte metale existente, iar datele obinute se nregistreaz pentru fiecare material n parte, n cte un tabel de aceeai form. 4.5. n vederea determinrii conductivitii electrice a materialelor utilizate, dup prelucrarea datelor obinute se complecteaza un al doilea tip de tabel de forma II:

Tabel II

7

5. Prelucrarea datelor experimentale 5.1. Pentru fiecare metal n parte i pentru fiecare frecven fix 1 2, ... se reprezint (pe acelai grafic) dependena ( )ln U

Uf z

0= unde U0 reprezint tensiunea n lipsa plcuei

metalice. Conform relaiei (19) se obine astfel pentru un anumit metal o familie de drepte pentru care se determin pantele m m1 2, ... (n valoare absolut) i se calculeaz grosimile

stratului pelicular 1 2, ... innd seama c = 1m . 5.2. Utiliznd datele din tabelul de forma II pe un alt grafic se reprezint dependena dintre i

1 . Se obin o dreapt de pant m' i conform relaiei (21) se calculeaz conductivitatea

electric . Se determin apoi n acelai mod conductivitile electrice i a celorlalte metale utilizate. 6. Calculul erorilor 6.1. Pentru determinarea pantei dreptei ce are ecuaia general y ax= se poate aplica metoda celor mai mici ptrate. Aceast metod de calcul d urmtorul estimat pentru mrimea necunoscut

ax y

x

x y x y x yx x x

i ii

n

ii

nn n

n= = + + ++ + +

=

=

1

2

1

1 1 2 2

12

22 2

......

(22)

unde x yi i, reprezint numrul de perechi msurate experimental.

Valoarea parametrului a este afectat de abaterea ptratic medie.

( )

( )S

y ax

n xa

i ii

n

ii

n=

=

=

2

1

2

1

1 2

1

/

(23)

6.2. Dependena liniar dintre lnUU0

i z este de forma:

8

lnUU

z

0= sau ln

UU

z0 = .

Vom nota: yUU

x z a= = =ln , ,0 1 . Mrimea necunoscut a se poate exprima n funcie de estimatul su i de abaterea ptratic medie a a Sa= (24) n mod asemntor = S (25) innd seama de faptul c ( ) = f a S

aS

a aa

22

2= =

. (26)

6.3. Acelai metod se aplic i n cazul determinrii conductivitii . n acest caz y x= = , /1 2 , iar = S (27)