edubh.roedubh.ro/matebh/mate/mate_judet/2017/Subiecte/08_2017_jud_sub.pdf · pe muchiile cubului...
1
Societatea de tiin e Matematice din România Olimpiada Nat ¸ional˘ a de Matematic˘ a Etapa Judet ¸ean˘ a¸ si a Municipiului Bucure¸ sti, 18 martie 2017 CLASA a VIII-a Problema 1. a) Fie m, n, p ∈ N, m > n, astfel ˆ ıncˆ at √ m - √ n = p. Demonstrat ¸ic˘a m ¸ si n sunt p˘ atrate perfecte. b) Determinat ¸i numerele abcd care verific˘ a egalitatea p abcd - p acd = bb. Gazeta Matematic˘ a Problema 2. Fie ABCDA 0 B 0 C 0 D 0 un cub de latur˘a a. Not˘ am cu M ¸ si P mijloacele muchiilor [AB], respectiv [DD 0 ] . a) Demonstrat ¸i c˘ a MP ⊥A 0 C ; b) Calculat ¸i distant ¸a dintre dreptele MP ¸ si A 0 C. Probleme 3. a) Fie x ∈ [1, ∞) . Demonstrat ¸i c˘ a x 3 - 5x 2 +8x - 4 ≥ 0. b) Fie a, b ∈ [1, ∞) . Determinat ¸i minimul expresiei ab (a + b - 10) + 8 (a + b) . Problema 4. Fie ABCDA 0 B 0 C 0 D 0 un cub de latur˘a 1. O furnic˘ a parcurge un drum pe suprafat ¸a cubului, pornind din A ¸ si terminˆ and ˆ ın C 0 . Deplasarea este permis˘a numai pe muchiile cubului ¸ si pe diagonalele fet ¸elor. S ¸tiind c˘ a drumul nu trece prin niciun punct de dou˘a ori, determinat ¸i lungimea maxim˘a a unui asemenea drum. Timp de lucru 4 ore. Fiecare problem˘ a este notat˘ a cu 7 puncte.
Transcript of edubh.roedubh.ro/matebh/mate/mate_judet/2017/Subiecte/08_2017_jud_sub.pdf · pe muchiile cubului...
Societatea de �tiin �eMatematice din România
Olimpiada Nationala de MatematicaEtapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, 18 martie 2017
CLASA a VIII-a
Problema 1.a) Fie m,n, p ∈ N, m > n, astfel ıncat
√m−√n = p. Demonstrati ca m si n sunt patrate
perfecte.b) Determinati numerele abcd care verifica egalitatea√
abcd−√
acd = bb.
Gazeta Matematica
Problema 2. Fie ABCDA′B′C ′D′ un cub de latura a. Notam cu M si P mijloacelemuchiilor [AB], respectiv [DD′] .a) Demonstrati ca MP⊥A′C;b) Calculati distanta dintre dreptele MP si A′C.
Probleme 3.a) Fie x ∈ [1,∞) . Demonstrati ca x3 − 5x2 + 8x− 4 ≥ 0.b) Fie a, b ∈ [1,∞) . Determinati minimul expresiei ab (a + b− 10) + 8 (a + b) .
Problema 4. Fie ABCDA′B′C ′D′ un cub de latura 1. O furnica parcurge un drumpe suprafata cubului, pornind din A si terminand ın C ′. Deplasarea este permisa numaipe muchiile cubului si pe diagonalele fetelor. Stiind ca drumul nu trece prin niciun punctde doua ori, determinati lungimea maxima a unui asemenea drum.
Timp de lucru 4 ore.Fiecare problema este notata cu 7 puncte.
