Ecuațiile NavierDe la Wikipedia, enciclopedia liber

Ecuațiile Navier–Stokes, numite adescriu mișcarea fluidelor. Aceste ecuala mișcarea fluidelor împreunăvitezei (fluid Newtonian), la care se adaug

Ecuațiile Navier-Stokes sunt folosite în foarte multe domenii almodela, de exemplu, mișcarea curenprin tuburi, scurgerea aerului în jurul miscarea galaxiilor, etc. Ecuaasemenea folositoare la proiectarea avioanelor la proiectarea stațiilor de putere, la analiza poluecuațiile lui Maxwell ele pot fi folosite la modelarea asemenea, aceste ecuații sunt studiate din punct de vedere pur matematic. Nu sdemonstreze pentru cazul tridimensional existensingularități sau discontinuitățStokes.

Ecuațiile Navier-Stokes dau viteza Navier-Stokes este numită câmpul de viteze, care spațiu și timp. O dată ce este cunoscut câmpul de viteze, se pot obAcest lucru este diferit de ceea ce particulelor. Determinarea vitezelor în loc de pozitotuși, pentru vizualizare se traseaz

Mecanica mediilor continue

[arată]Legi

[arată]Mecanica solidului

[arată]Mecanica fluidelor

[arată]Oameni de știin ță

Acest cadru: vizualizare • discuție • modificare

țiile Navier-Stokes De la Wikipedia, enciclopedia liberă

, numite așa după Claude-Louis Navier și George Gabriel StokesAceste ecuații au luat naștere prin aplicarea legii a doua a lui Newton

carea fluidelor împreună cu ipoteza că tensiunea fluidului este proporvitezei (fluid Newtonian), la care se adaugă gradientul presiunii.

Stokes sunt folosite în foarte multe domenii ale mecanicii fluidelorșcarea curenților atmosferici, ai curenților oceanici, scurgerea fluidelor

prin tuburi, scurgerea aerului în jurul unei aripi de avion, pentru mișcarea din interiorul stelelor, miscarea galaxiilor, etc. Ecuațiile Navier-Stokes, în formă completă sau simplificatasemenea folositoare la proiectarea avioanelor și mașinilor, la studiul curgerii sângelui prin vene

iilor de putere, la analiza poluării mediului înconjurăele pot fi folosite la modelarea și studiul magnetohidrodinamiciiții sunt studiate din punct de vedere pur matematic. Nu s

dimensional existența soluțiilor, sau dacă ele existi sau discontinuități. Aceasta este numită problema de existen

Stokes dau viteza și nu poziția unei particule de fluid. O soluă câmpul de viteze, care reprezintă viteza fluidului într

ă ce este cunoscut câmpul de viteze, se pot obține și alte mAcest lucru este diferit de ceea ce știm din mecanica clasică, unde soluțiile erau traiectorii ale particulelor. Determinarea vitezelor în loc de poziții are mai mult sens în mecanica fluidelor,

i, pentru vizualizare se trasează traiectoriile particulelor.

George Gabriel Stokes, legii a doua a lui Newton

fluidului este proporțională cu gradientul

mecanicii fluidelor pentru a ilor oceanici, scurgerea fluidelor

șcarea din interiorul stelelor, ă sau simplificată, sunt de

inilor, la studiul curgerii sângelui prin vene, rii mediului înconjurător, etc. Cuplate cu

magnetohidrodinamicii. De ii sunt studiate din punct de vedere pur matematic. Nu s-a reușit încă să se

ă ele există, conțin sau nu existență și netezime Navier-

ia unei particule de fluid. O soluție a ecuațiilor viteza fluidului într-un punct din

ț și alte mărimi de interes. țiile erau traiectorii ale

ii are mai mult sens în mecanica fluidelor,

Cuprins

• 1 Proprietăți o 1.1 Neliniaritatea o 1.2 Turbulența o 1.3 Aplicabilitate

• 2 Deducere și descriere o 2.1 Accelerația convectivă

� 2.1.1 Interpretată ca (v•∇)v � 2.1.2 Interpretată ca v•(∇v)

o 2.2 Tensiunile o 2.3 Alte forțe o 2.4 Alte ecuații

• 3 Fluide incompresibile Newtoniene o 3.1 Coordonate Carteziene o 3.2 Coordonate cilindrice o 3.3 Coordonate sferice o 3.4 Funcția de curent

• 4 Fluide Newtoniene compresibile • 5 Aplicații

o 5.1 Soluții exacte ale ecuațiilor Navier–Stokes • 6 Vezi și • 7 Note • 8 Referințe • 9 Legături externe

Proprietăți

Neliniaritatea

Ecuațiile Navier-Stokes, în cele mai multe situații, sunt ecuații cu derivate parțiale neliniare. În unele cazuri, precum curgere unidimensională sau fluid Stokes, ecuațiile se pot simplifica și aduse la forma liniară. Neliniaritatea face ca rezolvarea ecuațiilor să fie mult mai dificilă, sau chiar imposibilă, cum este cazul scurgerii turbulente.

Neliniaritatea într-un fluid se datorează în special accelerației convective, indiferent dacă scurgerea fluidului este laminară sau turbulentă.

Turbulen ța

Turbulența este comportarea haotică dependentă de timp observată în scurgerea fluidelor, și se crede că această comportare se datorează inerției fluidului considerat ca un tot. Acolo unde efectele inerțiale ale fluidului sunt mici, scurgerea lui tinde spre o scurgere laminară, numărul Reynolds arătând cât de mult este afectată scurgerea fluidului de inerția lui. De asemenea se crede, dar nu se știe cu ceritudine, că ecuațiile Navier-Stokes descriu corect scurgerea turbulentă.

Rezolvarea numerică a ecuațiilor Navier-Stokes, pentru cazul turbulent, este extrem de dificilă, datorită diferențelor semnificative dintre scările de lucru implicate într-o astfel de mișcare. Astfel, o soluție numeric stabilă cere o rețea atât de fină încât calculul devine imposibil de realizat. Încercarea de a rezolva scurgerea turbulentă prin intermediul scurgerii laminare, rezultă într-o soluție nestaționară în timp și neconvergentă. De aceea, în practică, pentru astfel de calcule (CFD), se folosește o ecuație de mediere a timpului precum ecuația de mediere Navier-Stokes-Raynolds (RANS), suplimentată cu un model de turbulență, precum modelul k-ε. O altă tehnică de a rezolva numeric ecuațiile Navier-Stokes este simularea cu vârtejuri (LES), aceasta fiind mai costisitoare decât metoda RANS, dar produce rezultate mai bune, deoarece scările turbulente mari sunt rezolvate explicit.

Aplicabilitate

Împreună cu ecuația de continuitate (conservarea masei) și formularea corectă a condițiilor la limită, ecuațiile Navier-Stokes modelează cu acuratețe scurgerea fluidului, chiar și a scurgerilor turbulente, deși în medie, pentru a fi în acord cu observațiile reale.

Ecuațiile Navier–Stokes presupun că fluidul studiat este un mediu continuu care nu se mișcă cu viteză relativistă. La scară foarte mică sau în condiții extreme, evident fluidul nu mai poate fi considerat continuu, și soluțiile ecuațiilor Navier-Stokes vor fi diferite de cele ale mediilor continue. În aceste cazuri, mult mai apropiate de realitate sunt modelările statistice sau chiar prin dinamică moleculară. Diferențierea dintre un mediu continuu și un mediu discret este dată de numărul Knudsen.

În mod uzual, ecuațiile Navier-Stokes sunt scrise pentru fluidele cunoscute sub numele de fluide Newtoniene. Aceste fluide au tensiunile tangențiale dintre două straturi vecine proporționale cu viteza de deformație, coeficientul de proporționalitate µ numindu-se vâscozitate. Desigur, există și fluide care nu au această proprietate, ele numindu-se fluide nenewtoniene, fluide la care legile dintre tensiunele tangențiale și viteza de deformație au forme neliniare.

Deducere și descriere

Articol principal: Deducerea ecuațiilor Navier–Stokes.

Deducerea ecuațiilor Navier–Stokesimpulsului), lege scrisă pentru un volum de control arbitrar. Întrforma generală a ecuației unui fluid în mi

în care, v este viteza fluidului, forțele exterioare (pe unitatea de volum) care acnabla. De fapt, această ecuacunoscută ca ecuația impulsului Cauchy

De multe ori ecuația se scrise folosind legea a doua a lui Newton:

Partea stângă a ecuației reprezintși convective, sau, dacă sunt prezente, efectul coordonatelor neinersuma tuturor forțelor care actioneazgradientul de presiune și tensorul tensiunilor.

Accelerația convectivă

O caracteristică semnificativădependentă de coordonate și independent

care poate fi interpretată ca vectorului viteză . Ambele interpretcoordonate, arătând că este interpretat ca o

Interpretat ă ca (v•∇∇∇∇)v

Termenul convectiv se scrie adesea sub forma:

Stokes începe prin aplicarea legii a doua a lui Newtonă pentru un volum de control arbitrar. Într-un sistem de referinției unui fluid în mișcare este:[1]

este viteza fluidului, ρ densitatea, p presiunea, tensorul tensiunilorele exterioare (pe unitatea de volum) care acționează asupra fluidului, iar

ă ecuație este aplicabilă oricărui mediu continuuimpulsului Cauchy.

ia se scrise folosind derivata substanțială, făcând-o mul

ției reprezintă accelerația, și poate fi compusă din efecte dependente de timp ă sunt prezente, efectul coordonatelor neinerțiale. Partea dreapt

elor care actionează asupra volumului de control, precum forși tensorul tensiunilor.

semnificativă a ecuației Navier-Stokes este prezența accelerași independentă de timp, reprezentată de cantitatea neliniar

sau ca , în care este derivata tensorial. Ambele interpretări dau același rezultat, independent de sistemul de

este interpretat ca o derivată covariantă.[2]

Termenul convectiv se scrie adesea sub forma:

legii a doua a lui Newton (conservarea sistem de referință inerțial,

tensorul tensiunilor, f reprezintă asupra fluidului, iar este operatorul

mediu continuu nerelativist și este

o mult mai asemănătoare cu

ă din efecte dependente de timp țiale. Partea dreaptă reprezintă

asupra volumului de control, precum forța gravitațională,

accelerației convective, de cantitatea neliniară:

este derivata tensorială a i rezultat, independent de sistemul de

în care se folosește operatorul advectivdeoarece este mai simplă decât cea în termenii derivatei tensoriale

Interpretat ă ca v•(∇∇∇∇v)

Aici este derivata tensoralcomponentele gradientului pe cele trei direcajutorul derivatei tensoriale, și anume, direct prin folosirea

Această formă este folosită în special în curgerea irotavorticitate, este egal cu zero, adic

Dar, indiferent în ce fel de fluid este tratatneliniaritate asupra curgerii fluidului. Accelerafluidelor, cu excepția curgerilor incompresibileluat în considerație în curgerile lente

Tensiunile

Efectul tensiunii într-un fluid este dat de termenii forțelor de suprafață, similari cu tensiunile dintrderivă din partea izotropică a tensorului tensiunilor, datla suprafața volumului de lucru considerat. tensiunilor, care convențional descrie fornumai efectul de forfecare. Astfel, tensiunilor este dat de ecuația:

unde este matricea identitategradientul presiunii, nu și presiunea. Efectul gradientului de presiune aratpresiune ridicată către presiune scazut

Termenii p și nu sunt cunoscufi folosite pentru rezolvarea problemelor. Deci, în afarun model care să cupleze tensiuneaconstitutivă. În acest scop, s-

operatorul advectiv . Uzual este preferatăă decât cea în termenii derivatei tensoriale [2]

este derivata tensorală a vectorului viteză, egală în coordonate carteziene cu componentele gradientului pe cele trei direcții. Termenul convectiv mai poate fi exprimat far

și anume, direct prin folosirea identitaților calculului vectorial

ă în special în curgerea irotațională, în care rotorulro, adică .

Dar, indiferent în ce fel de fluid este tratată, accelerația convectivă apare ca un efect de neliniaritate asupra curgerii fluidului. Accelerația convectivă este prezentă în majoritatea curgerii

ia curgerilor incompresibile unidimensionale, dar efectul scurgerile lente, numite și curgeri Stokes.

un fluid este dat de termenii și , care reprezint, similari cu tensiunile dintr-un solid. se numește

ă a tensorului tensiunilor, dată în toate situațiile de a volumului de lucru considerat. este partea anizotropic

țional descrie forțele de frecare. Pentru fluidele incompresibilnumai efectul de forfecare. Astfel, este tensorul tensiunilor vâscoase, sau

ția:[5]

matricea identitate 3×3. Interesant este faptul că, în aceastăși presiunea. Efectul gradientului de presiune arată ă

tre presiune scazută.

nu sunt cunoscuți și din acest motiv ecuațiile de miscare în forma generalfi folosite pentru rezolvarea problemelor. Deci, în afară de ecuațiile de miș

tensiunea la mișcarea fluidului[6]. O astfel de rela-au făcut diverse ipoteze în ceea ce privește comportarea specific

. Uzual este preferată această reprezentare

în coordonate carteziene cu l convectiv mai poate fi exprimat fară

ților calculului vectorial:[3][4]

rotorul vitezei, numit și

ă apare ca un efect de este prezentă în majoritatea curgerii

unidimensionale, dar efectul său dinamic este

, care reprezintă gradienții ște gradientul presiunii și țiile de tensiunea normală

este partea anizotropică a tensorului ele de frecare. Pentru fluidele incompresibile reprezintă

sau deviator, iar tensorul

, în această ecuație apare doar i presiunea. Efectul gradientului de presiune arată că fluidul curge de la

iile de miscare în forma generală nu pot țiile de mișcare avem nevoie de

. O astfel de relație se numește relație ște comportarea specifică a

fluidului, ipoteze bazate pe observatii naturale termenii variabilelor fluidului, precum vitez

Ecuațiile Navier-Stokes rezultă:[7]

• tensiunile vâscoase dispar pentru fluidele care sunt îgalileene acestea nu depind direct de viteza fluidului, ci numavitezei fluidului.

• în ecuațiile Navier–Stokes, tensiunile vâscoase sunt exprimate ca produs al gradientului

tensorului al vitezei fluidului cu tensorul de vâscozitate • fluidul este presupus a fi

fiind un tensor izotropic; mai mult, deoarece tensorul tensiunile vâscoase este simetric,rezultă că poate fi exprimat în termenii a doi scalari ai

în care , este divergen

• tensorul tensiunile vâscoase are tridimensional avem 2µ

În final, tensorul tensiunile vâscoase al ecua

în care, cantitatea dintre paranteze exprimdeformație . Vâscozitatea dinamicde lucru precum temperatură conceptul de curgere turbulentă

Presiunea p este modelată folosind una din fluidelor incompresibile, presiunea fluid rămâne constant, rezultând o curgere

[9]

Alte for țe

Câmpul vectorial f reprezintăincluse și alte câmpuri, precum cele electromagnetice. Întrpot fi introduse alteforțe precum cele asociate cu

fluidului, ipoteze bazate pe observatii naturale și aplicate în scopul specifictermenii variabilelor fluidului, precum viteză și densitate.

Stokes rezultă din următoarele ipoteze asupra tensorului tensiunilor vâscoase

tensiunile vâscoase dispar pentru fluidele care sunt în repaus, iar datoritacestea nu depind direct de viteza fluidului, ci numai de derivatele spa

Stokes, tensiunile vâscoase sunt exprimate ca produs al gradientului

al vitezei fluidului cu tensorul de vâscozitate , adicăfluidul este presupus a fi izotrop, ipoteză valabilă pentru gaze și lichide, în acest caz fiind un tensor izotropic; mai mult, deoarece tensorul tensiunile vâscoase este simetric,

poate fi exprimat în termenii a doi scalari ai vâscozității dimanice

, este divergența, care exprimă viteza de expansiune a fluidului, iar

, tensorul vitezei de deformație

tensorul tensiunile vâscoase are urma egală cu zero, astfel în2µ + 3µ” = 0.

În final, tensorul tensiunile vâscoase al ecuațiilor Navier-Stokes are următoarea form

în care, cantitatea dintre paranteze exprimă partea neizentropică a tensorului vitezei de itatea dinamică µ nu este constantă în general, ea depinzând de condi

de lucru precum temperatură și presiune, sau în modelarea curgerilor turbulentecurgere turbulentă vâscoasă folosit la aproximarea tensiunii medii a vâs

ă folosind una din ecuațiile de stare existente.fluidelor incompresibile, presiunea constrânge fluidul în așa fel încât volumul elementului de

mâne constant, rezultând o curgere izocoră într-un câmp de viteze

reprezintă "alte" forțe. Tipic această forță este numai i alte câmpuri, precum cele electromagnetice. Într-un sistem de coordonate neiner

precum cele asociate cu mișcările relative.

i aplicate în scopul specificării tensiunilor în

toarele ipoteze asupra tensorului tensiunilor vâscoase

n repaus, iar datorită invarianței i de derivatele spațiale ale

Stokes, tensiunile vâscoase sunt exprimate ca produs al gradientului

, adică: . și lichide, în acest caz

fiind un tensor izotropic; mai mult, deoarece tensorul tensiunile vâscoase este simetric, ții dimanice µ și µ” :

viteza de expansiune a fluidului, iar

cu zero, astfel încât, pentru un fluid

ătoarea formă:

a tensorului vitezei de în general, ea depinzând de condițiile

turbulente depinzând de folosit la aproximarea tensiunii medii a vâscozității.

existente.[8] În cazul special al a fel încât volumul elementului de

un câmp de viteze solenoidal, în care

este numai gravitația, dar pot fi un sistem de coordonate neinerțial,

Adesea, aceste forțe pot fi reprezentate drept gradientul unei mgravitația, are direcția z și este presiunea apare în ecuație prin gradientul ei, putem rezolva problema faceste forțe, ci numai prin simpla modificare corespunz

Alte ecuații

Ecuațiile Navier-Stokes exprimătotale a curgerii fluidului, avem nevoie de mai multe informale facem). Aceste informații pot include condienergiei, sau o ecuație de stare

În ceea ce privesc ipotezele scurgerii fluidului, lucru se realizează prin adăugarea generală de ecuația:

sau, folosind derivata substanț

Fluide incompresibile Newtoniene

O simplificare a ecuației NavierNewtonian. Ipoteza incompresibilitmică decât viteza sunetului. fenomene de compresibilitate, iar ipoteza simplificatoare de incompresibilitate nu mai este valabilă.

În general, fluidele incompresibile sunt considerate acele fluide la care mic de 0.3. În această ipotezăconstante, iar ecuația Navier-Stokes în form

țe pot fi reprezentate drept gradientul unei mărimi scalare. De exemplu și este reprezentată drept gradientul funcției U = ție prin gradientul ei, putem rezolva problema fă ă

e, ci numai prin simpla modificare corespunzătoare a presiunii.

Stokes exprimă strict legea de conservare a impulsului. În scopul descrierii totale a curgerii fluidului, avem nevoie de mai multe informații (care depind de ipotezele pe care

ții pot include condițiile la limită, conservarea mție de stare.

În ceea ce privesc ipotezele scurgerii fluidului, conservarea masei este absolut necesar prin adăugarea ecuației de continuitate a masei, dată

țială:

Fluide incompresibile Newtoniene

i Navier-Stokes se obține când fluidul este considerat Newtonian. Ipoteza incompresibilității exclude apariția undelor de șoc, viteza fiind mult mai

. Dacă viteza fluidului se apropie de viteza sunetului, atunci apar fenomene de compresibilitate, iar ipoteza simplificatoare de incompresibilitate nu mai este

În general, fluidele incompresibile sunt considerate acele fluide la care numă ipoteză se presupune că vâscozitatea dinamică µ

Stokes în formă vectorială se scrie: [10]

ărimi scalare. De exemplu U = -ρgz. Deoarece și

ie prin gradientul ei, putem rezolva problema fără a adăuga explicit

strict legea de conservare a impulsului. În scopul descrierii ii (care depind de ipotezele pe care , conservarea masei, conservarea

este absolut necesară. Acest a masei, dată în forma cea mai

ine când fluidul este considerat fluid incompresibil , viteza fiind mult mai

viteza fluidului se apropie de viteza sunetului, atunci apar fenomene de compresibilitate, iar ipoteza simplificatoare de incompresibilitate nu mai este

numărul Mach este mai µ și densitatea ρ sunt

în care, f reprezintă "alte" forforfecare devine în cazul fluidului incompresibil

Pentru a pune în evidență sensul fiecimpulsului a lui Cauchy:

De notat că doar termenul corespunzincompresibil Newtonian. Acceleradirecției vitezei, de exemplu, accelerarea fluidului care intrindividual particule de fluid sunt accelerate viteze nu este neapărat dependent de timp.

O altă observație importantă este cunui câmp de viteze, aici, interpretat ca diferenvitezei volumului înconjurător. Acest lucru aratimpuls, care lucrează cam în acelacăldură, care de asemenea implic

Dacă efectul temperaturii este de asemenea neglijabil, pentru a rezolva problema mai avem nevoie de o ecuație, aceasta fiiincompresibil staționar, densitatea este constant

Aceste ecuații se scriu în mod uzual în 3 sisteme de coordonate: Deoarece ecuațiile Navier-Stokes sunt ecuasisteme de coordonate nu mai este la fel de simpltransferului de căldură.

Coordonate Carteziene

Scrierea explicită a sistemcomponentele vitezei pe cele trei direc

"alte" forțe, precum gravitația sau forțe centrifugale. Termenul devine în cazul fluidului incompresibil și Newtonian .[11]

ță sensul fiecărui termen să comparăm ecuația de mai sus cu

doar termenul corespunzător accelerației convective este neliniar pentru fluid incompresibil Newtonian. Accelerația convectivă este o accelerația cauzată

iei vitezei, de exemplu, accelerarea fluidului care intră într-o duzindividual particule de fluid sunt accelerate și prin urmare sunt în mișcare instabil

rat dependent de timp.

ie importantă este că, vâscozitatea este reprezentată de Laplacianul vectorialunui câmp de viteze, aici, interpretat ca diferența dintre viteza dintr-un punct

ător. Acest lucru arată că vâscozitatea Newtonianăă cam în același fel ca transferul de caldură din ecua

, care de asemenea implică Lapacianul.

efectul temperaturii este de asemenea neglijabil, pentru a rezolva problema mai avem ție, aceasta fiind ecuația de continuitate a masei. În ipoteza fluidului

ionar, densitatea este constantă, iar ecuația de continuitate se scrie:

ii se scriu în mod uzual în 3 sisteme de coordonate: CartezianStokes sunt ecuații vectoriale, însemnă că scrierea lor în diversele

sisteme de coordonate nu mai este la fel de simplă ca scrierea unor ecuații scalare, precum cea a

a sistemului Navier-Stokes, cu notațiile uzuale componentele vitezei pe cele trei direcții, este următoarea:

. Termenul tensiunii de [11]

ția de mai sus cu ecuația

este neliniar pentru fluid ția cauzată de o schimbare a

o duză convergentă. Deși șcare instabilă, câmpul de

Laplacianul vectorial al un punct și valoarea medie a

vâscozitatea Newtoniană este un transfer de ă din ecuația transferului de

efectul temperaturii este de asemenea neglijabil, pentru a rezolva problema mai avem ia de continuitate a masei. În ipoteza fluidului

ia de continuitate se scrie:

Cartezian, cilindric și sferic. ă ă scrierea lor în diversele

ții scalare, precum cea a

iile uzuale , și , pentru

De notat că gravitația a fost consideratcele trei direcții ale sistemului de coordonate ales, adic

Ecuația de continuitate se scrie:

Când mișcarea este staționară (nu depinde de timp), ecua

Pentru fluide incompresibile densitatea fiind constant

Această formă a sistemului celor patru ecuafluidelor. Soluția sistemului este în general greu de gderivate diferențiale parțiale. Scazul tridimensional nu se cunosc.

Coordonate cilindrice

În sistemul cilindric, adică în variabilele

ia a fost considerată ca forță, deci, în general vom avea trei proiecului de coordonate ales, adică .

ia de continuitate se scrie:

ționară (nu depinde de timp), ecuația de continuitate se scrie:

Pentru fluide incompresibile densitatea fiind constantă, ecuația de continuitate se scrie:

a sistemului celor patru ecuații este cea mai comună pentru studiul miia sistemului este în general greu de găsit, deoarece rămâne un sistem neliniar cu

țiale. S-au găsit soluții pentru curgeri uni și bidimensionale, dar pentru cazul tridimensional nu se cunosc.

ă în variabilele și , sistemul Navier-Stokes se scrie:

, deci, în general vom avea trei proiecții ale ei pe

ia de continuitate se scrie:

ia de continuitate se scrie:

ă pentru studiul mișcarii ămâne un sistem neliniar cu i bidimensionale, dar pentru

Stokes se scrie:

Ecuația de continuitate devine:

Reprezentarea în coordonate cilindrice se facdeoarece unele componenete ale vitezei dispar. Un caz foarte comun este cel al scurgerii axial

simetrice, caz în care se presupune cfiind independente de , rezultând sistemul:

Coordonate sferice

În coordonate sferice variabilele sunt: Navier-Stokes capătă forma:

ia de continuitate devine:

Reprezentarea în coordonate cilindrice se face în unele cazuri datorită avantajului simetriei, deoarece unele componenete ale vitezei dispar. Un caz foarte comun este cel al scurgerii axial

simetrice, caz în care se presupune că viteza tangențială este zero , rezultând sistemul:

În coordonate sferice variabilele sunt: și , se mai numește și

e în unele cazuri datorită avantajului simetriei, deoarece unele componenete ale vitezei dispar. Un caz foarte comun este cel al scurgerii axial

), mărimile rămase

ș și colatitudine. Ecuațiile

Ecuația de continuitate se scrie:

Funcția de curent

Dacă asupra ecuației Navier-Stokes se apliclucru este ușor de făcut în cazul bidimensional (2D), în care se presupune cfuncțiile rămase nu depind de

Diferențiind prima ecuație în funcecuație în care presiunea este eliminatcurent prin:

ecuația de continuitate este satisf2D incompresibil se reduce la o singur

în care este operatorul biarmonicîmpreună cu condițiile la limităcinematică este un parametru cunoscut. De notat ccând partea sângă a sistemului este presupus

În curgerile axial simetrice se folosedetermina componentele vitezei din curgerea incompresibil

Fluide Newtoniene compresibile

ia de continuitate se scrie:

Stokes se aplică rotorul, rezultatul este eliminarea presăcut în cazul bidimensional (2D), în care se presupune c

mase nu depind de z. În acest caz, sistemul se reduce la:

ție în funcție de y, a doua în funcție de x și scăie în care presiunea este eliminată, precum și orice forță potențială

ia de continuitate este satisfăcută necondiționat, astfel că sistemul Navier2D incompresibil se reduce la o singură ecuație:

operatorul biarmonic, iar este vâscozitatea cinematiciile la limită descriu curgerea bidimensională a fluidului, în care vâscozitatea

este un parametru cunoscut. De notat că, ecuația pentru cugerile lentesistemului este presupusă a fi zero.

În curgerile axial simetrice se folosește altă funcție numită funcția de curgere Stokesdetermina componentele vitezei din curgerea incompresibilă, funcția fiind tot scalar

Fluide Newtoniene compresibile

, rezultatul este eliminarea presiunii. Acest cut în cazul bidimensional (2D), în care se presupune că , iar

și scăzându-le, obținem o țială. Definind funcția de

sistemul Navier-Stokes în cazul

vâscozitatea cinematică. Acestă ecuație a fluidului, în care vâscozitatea

ia pentru cugerile lente rezultă atunci

ția de curgere Stokes, pentru a ția fiind tot scalară.

Apropierea vitezei fluidului de viteza sunetului are ca efect principal aparifluidului. Descrierea acestui fenomen conduce la o formStokes. Dacă se presupune căNavier-Stokes capătă forma:[12]

în care, este coeficientul de coeficient de vâscozitate.

De data aceasta, problema mitemperaturi, deoarece densitatea stare și a ecuației energiei. Ecuaț

în care, e este energia unei particule de fluid, temperatura, iar Φ funcția de disipa

în care λ = -2µ/3 + µ″. Aceastăși în alte sisteme de coordonate.

Aplicații

Ecuațiile Navier-Stokes, chiar sunt mai degrabă de natură genericpoate fi foarte diversă. Acest lucru se datoreazproblemele care pot fi modelate cu ajutorul acestor ecuadistribuția de presiune statică, la complicat, precum curgerea multifazicsuperficială.

În general, aplicațiile la probleme specifice de curgere încep cu câteva ipoteze, care simplificproblema, la care se adaugă condianaliză la scară. De exemplu, presupunem cîn mișcare paralelă staționară, unidimensoinalsunt:

Apropierea vitezei fluidului de viteza sunetului are ca efect principal aparifluidului. Descrierea acestui fenomen conduce la o formă mai complicată

se presupune că vâscozitatea µ este constantă, fluidul fiind Newtonian, ecua[12][13]

este coeficientul de vâscozitate volumică, cunoscut și sub numele de

De data aceasta, problema mișcării mecanice nu mai poate fi trată separat de cea temperaturi, deoarece densitatea ρ a fluidului depinde de temperatură prin intermediul ecua

iei energiei. Ecuația energiei în acest caz se scrie:

este energia unei particule de fluid, k coeficientul de transmisibilitate a cția de disipație, care vectorial se scrie:

. Această formă vectorială este utilă pentru exprimarea funci în alte sisteme de coordonate.

Stokes, chiar și atunci când sunt scrise în mod explicit pentru aplicaă generică și aplicarea corespunzătoare a lor la probleme specifice

ă. Acest lucru se datorează, în special, existenței unproblemele care pot fi modelate cu ajutorul acestor ecuații, variind de la fel de simplu, precum

ia de presiune statică, la complicat, precum curgerea multifazică guvernat

iile la probleme specifice de curgere încep cu câteva ipoteze, care simplifică condiții ini țiale sau la limită, și care pot fi urmat

. De exemplu, presupunem că avem două placi paralele printre care curge uționară, unidimensoinală, neconvectivă. Condițiile la limit

Apropierea vitezei fluidului de viteza sunetului are ca efect principal apariția compresibilității mai complicată a ecuațiilor Navier-

, fluidul fiind Newtonian, ecuațiile

și sub numele de al doilea

ă separat de cea a câmpului de ă prin intermediul ecuației de

smisibilitate a căldurii, T

pentru exprimarea funcției de disipație

i atunci când sunt scrise în mod explicit pentru aplicații specifice, toare a lor la probleme specifice

ței unei varietăți enorme de ii, variind de la fel de simplu, precum

ă guvernată de tensiunea

iile la probleme specifice de curgere încep cu câteva ipoteze, care simplifică i care pot fi urmate de o eventuală

placi paralele printre care curge un fluid țiile la limită în acest caz

Această problemă se rezolvă u

Mergând mai departe, se pot obrezistența.

Dificultăți pot apărea atunci când problema devine pumodestă a fluxului paralel de mai sus creeazimplică convecție și neliniaritattrebuie să îndeplinească condi

R fiind numărul lui Reynoldsde rezolvat analitic, soluția implicând cu existența soluțiilor reale ale polinomului cubic apar pentru în care ipotezele curgerii își pierd aplicabilitatea lor, precum înâmpinate la numere Reynolds mari.

Soluții exacte ale ecuațiilor Navier

Există doar câteva cazuri în care avem solucurgere Couette, curgere Poiseuilleneliniar este zero. De asemenea avem soludin acestea fiind vârtejul Taylorimplică și stabilitatea ei, turbulen

Ca exemplu se poate da cazul în care fluidul este incompresibil

într-un domeniu plan bidimensional nem

ă ușor cu ajutorul câmpului de viteze:

Mergând mai departe, se pot obține ușor și alte cantitați de interes, precum

rea atunci când problema devine puțin mai complicată a fluxului paralel de mai sus creează un flux radial între plăci paralele. Acest lucru

i neliniaritate. Câmpul de viteze poate fi reprezentat de o funcă condițiile:

rul lui Reynolds. Termenul neliniar al ecuației face ca problema sția implicând integrale eliptice și rădăcinile polinomulu

iilor reale ale polinomului cubic apar pentru R > 1.41. Acesta este un exemplu și pierd aplicabilitatea lor, precum și un exemplu al dificult

înâmpinate la numere Reynolds mari.

țiilor Navier –Stokes

doar câteva cazuri în care avem soluții exacte ale ecuațiilor Naviercurgere Poiseuille și stratul limită Stokes oscilator, cazuri în care termenul

neliniar este zero. De asemenea avem soluții si pentru cazul în care termenul neliniar existvârtejul Taylor–Green.[14][15][16] De notat că existența acestei solu

i stabilitatea ei, turbulența putându-se dezvolta pentru numere Reynolds mari.

Ca exemplu se poate da cazul în care fluidul este incompresibil și staționar, curgerea f

un domeniu plan bidimensional nemărginit, în coordonatele polare

i de interes, precum presiunea sau forța de

in mai complicată. O răsucire aparent ăci paralele. Acest lucru

e. Câmpul de viteze poate fi reprezentat de o funcție f(z), care

problema să fie foarte greu cinile polinomului cubic. Probleme

. Acesta este un exemplu și un exemplu al dificultăților

iilor Navier-Stokes. Aceste sunt: oscilator, cazuri în care termenul

ii si pentru cazul în care termenul neliniar există, unul acestei soluții exacte nu

se dezvolta pentru numere Reynolds mari.

ș ționar, curgerea făcându-se

, având soluția:[17]

fiind componentele vitezsoluție este valabilă pentru

fiind componentele vitezei, presiunea, iar A și B două constante arbitrare. Aceastși pentru .

ă constante arbitrare. Această