ECUAŢIA DE GRADUL II

OBIECTIVELE ACESTUI CAPITOL

Introducerea acestui capitol în programa şcolii generale este binevenită. O dată ce elevii sunt familiarizaţi cu noţiunea de ecuaţie, predarea acestei teme nu prezintă greutăţi deosebite, în schimb elevii îşi lărgesc orizontul matematic şi dobândesc la timp cunoştinţele necesare la fizică, la studiul mişcării uniform accelerate. Mai mult, trebuie examinată propunerea de a face încă un pas, introducând şi sistemele de ecuaţii de gradul II. Deoarece elevii au noţiunea de sistem de ecuaţii, această temă nu reprezintă nimic nou, dacă nu se dau artificii tip şi se tratează numai cazuri simple, când una dintre ecuaţiile sistemului este de gradul I şi deci se poate aplica metoda substituţiei.

Este foarte bine că nu se introduc şi numerele complexe şi se spune simplu: dacă determinantul unei ecuaţii de gradul II este negativ, ecuaţia nu are rădăcini. Ar fi bine să se procedeze astfel şi în liceu, până când se introduc sistematic numerele complexe şi se tratează complet. Cele câteva noţiuni care se dau de obicei în cadrul algebrei elementare nu fac dec1t să creeze confuzii.

Obiectivele care trebuie atinse sunt foarte simple:1) ca elevii să-şi însuşească metodele de rezolvare a ecuaţiilor de gradul II

necomplete şi formula de rezolvare a ecuaţiei complete;2) să poată deduce formula;3) să ştie să aplice aceste cunoştinţe la rezolvarea problemelor.Al doilea dintre aceste obiective merită mai multă atenţie decât i se dă de obicei.

Planul clasic după care se tratează această temă este următorul: se tratează întâi cele două forme incomplete, apoi forma completă.

FORMELE INCOMPLETE

1. Forma .02 =+ cax 2. Forma .02 =+ bxax

Considerăm că nu este cazul ca formele incomplete să fie prezentate de la început ca nişte cazuri particulare ale ecuaţiei 02 =++ cbxax şi rezolvate sub forma literală (ax2

+ c = 0, ax2 + bx = 0). Ecuaţia completă trebuie să apară după ecuaţiile incomplete, iar elevii trebuie să-şi însuşească prin exemple numerice procedeele după care se rezolvă aceste ecuaţii, nu pe bază de formule. Se pot propune, însă, ca exerciţii şi ecuaţii cu coe-ficienţi literali, ca, de exemplu:x2 – a2 = 0; m2x2 = n2; x2 + 2ab = a2 + b2; 9x2 + 10a = a2 + 25 ş.a.; 3x2 – ax = 0; x2 + ax + bx = 0 ş.a.

Printre aceste exerciţii pot figura şi ecuaţiile ax2 + c = 0 şi ax2 + bx = 0, dar ca exerciţii.

1. Forma ax2 + c = 0. Elevii ştiu de mult să rezolve ecuaţii de forma x2 = m, unde m este un număr dat. Ei au rezolvat astfel de ecuaţii ori de câte ori au aplicat teorema lui Pitagora – numai că acolo lucrurile apăreau într-o altă lumină: necunoscuta se nota cu AB sau MN şi reprezenta lungimea unui segment. Este bine să se pornească de aici şi să se pună problema sub forma generală: să se rezolve, de exemplu, ecuaţia x2 = 9.

Aici apare un fapt nou. Elevii găsesc uşor rădăcina x = 3; cu oarecare ajutor ei înţeleg şi faptul că ecuaţia mai admite o rădăcină, x = -3. Dar ar trebui demonstrat că ecuaţia nu admite şi alte rădăcini în afară de acestea două. Răspunsul greşit pe care-l dau de obicei elevii, că o ecuaţie ca x2 = 9 admite numai rădăcina x = 3, îi convinge de necesitatea demonstraţiei. Li se poate spune: ,,La început ni s-a părut că ecuaţia x2 = 9 are numai rădăcina x = 3, apoi am văzut că ea admite încă o rădăcină x = -3. Poate, dacă vom căuta mai bine, vom mai găsi o rădăcină”.

Pentru a putea răspunde la această întrebare, trebuie stabilită mai întâi propoziţia: un produs de doi factori este egal cu zero dacă şi numai dacă măcar unul din factori este egal cu zero.

Elevii înţeleg uşor că este suficient ca unul din factori să fie egal cu zero, căci aa ∀=⋅ ,00 şi .,00 bb ∀=⋅ Dar dacă 0≠a şi 0≠b ? La această întrebare elevii răspund cu

fermitate că produsul nu poate fi egal cu zero. Ei se bazează pe experienţa lor anterioară: ori de câte ori au înmulţit două numere diferite de zero au obţinut un produs diferit de zero. Demonstraţia se face prin reducere la absurd. Presupunem că ab = 0, dar 0≠a şi

0≠b . Atunci, împărţind ambele părţi ale egalităţii prin a (ceea ce este permis, căci 0≠a ), se obţine b = 0 - ceea ce este contrar ipotezei.

După această pregătire se reia ecuaţia x2 = 9, se pune sub forma (x—3)(x + 3) = 0, şi se aplică propoziţia de mai sus. Acest produs este egal cu zero dacă şi numai dacă x – 3 = 0, adică x = 3 sau x + 3 = 0, adică x = —3, deci ecuaţia admite numai rădăcinile x1 = 3, x2

= -3.Menţionăm cu această ocazie că în unele manuale se vorbeşte despre rădăcina

„aritmetică” şi rădăcina „algebrică” dintr-un număr: un număr (pozitiv) ar avea o singură rădăcină aritmetică, de exemplu 39 = , şi două rădăcini algebrice: .39 ±= Aceasta nu este în concordanţă cu noţiunea de operaţie. O operaţie trebuie să aibă un rezultat unic. Prin 0unde, >aa , se înţelege numărul pozitiv al cărui pătrat este a. Deci, 39 = , nu ± 3.

A afla 9 şi a rezolva ecuaţia x2 = 9 sunt două lucruri diferite; a afla 9 înseamnă a afla numărul pozitiv care ridicat la pătrat să dea 9, iar a rezolva ecuaţia x2 = 9 înseamnă a găsi toate numerele (reale) care o satisfac. De altfel, şi în practică simbolul folo-seşte pentru a desemna numărul pozitiv corespunzător. De exemplu, când se rezolvă ecuaţia x2 = 3, se scrie .3±=x Dacă simbolul 3 ar reprezenta două numere, şi anume +1,732... şi -1,732..., semnul ± din faţa lui ar fi de prisos.

2

După ce s-a dat o primă idee despre ecuaţia de gradul II şi elevii au înţeles că ecuaţia are două rădăcini, se trece la exemple din ce în ce mai complicate. Se recomandă ordinea următoare:

a) x2 = 16 (a = 1, - c este pătrat perfect);b) x 2 = 5 (a = 1, - c nu este pătrat perfect);c) 3x2 = 8( 1≠a ).Cazul ecuaţiilor care nu au rădăcini trebuie lăsat la urmă, când elevii vor fi

familiarizaţi cu această temă. Se porneşte, de exemplu, de la ecuaţia x2 = -25 şi se arată că ea nu poate avea nici o soluţie. Întradevăr, dacă x este pozitiv, x2 este de asemenea pozitiv, deci nu poate fi egal cu numărul negativ -25; dacă x este negativ, x2 este din nou pozitiv, deci ...; iar dacă x = 0, atunci şi x2 = 0, nu -25. Cum orice număr este sau pozitiv sau negativ sau egal cu zero, această ecuaţie nu are nici o soluţie. Concluzia rămâne valabilă pentru orice ecuaţie de forma x2 = a, unde a este un număr negativ.

2. Forma ax2 + bx = 0. Acest caz nu prezintă nici un fel de greutăţi - dacă s-a stabilit în prealabil care este condiţia ca un produs să fie egal cu zero. În cazul contrar, acest lucru trebuie făcut acum. Pentru a rezolva ecuaţia, se scoate x în faţa parantezei, x(ax + b) = 0,

de unde se deduce x1 = 0 şi .2 a

bx −=

După cum am spus, în clasă nu se începe cu forma literală. Procedeul se arată pe exemple ca:x2 + 2x = 0, x2 – 5x = 0 ş.a. Folosind condiţia ca un produs să fie egal cu zero, se poate trece la ecuaţii ca (x – 1)( x – 3)( x + 5) = 0, (x+ 1)(2x + 3)(x— 2) = 0 ş.a, în care membrul stâng este format din mai mulţi factori. Mai mult, după ce se predă ecuaţia completă de gradul II, se pot rezolva ecuaţii ca (x2 – 3x + 2)(x2 — 7x + 12) = 0. După fiecare dintre formele incomplete trebuie rezolvate ecuaţii care cer unele calcule prealabile, ca:

( ) ( ) ( ) ( ) .21

32

2

1

1

1,0221

2

etcxx

xx

xxxx

−+−+=

−+

+=+−+

ECUAŢIA COMPLETĂ DE GRADUL II

1. Introducere. Pentru a introduce noţiunea de ecuaţie de gradul II, s-ar putea porni de la o problemă care duce la o asemenea ecuaţie; socotim însă că ar fi un ocol inutil. Elevii au rezolvat până acum destule probleme, şi vor mai rezolva probleme, aşa că se poate trece direct la subiect. Se explică elevilor că ecuaţiile pe care le-au rezolvat până acum în cadrul acestui capitol sunt ecuaţii de gradul II pentru că conţin x2, dar aceste ecuaţii nu erau complete. Apoi se dau câteva exemple de ecuaţii complete.

După aceea se arată că o ecuaţie de gradul II nu poate conţine mai mult decât trei termeni: un termen fără x (termen liber), un termen de gradul I şi unul de gradul II, şi se

3

dă forma generală: ax2 + bx + c = 0. Urmează câteva exerciţii de încadrare a unor ecuaţii cu coeficienţi numerici în forma generală. Se scrie pe tablă, de exemplu, 3x2 — 8 x + 2 = 0 şi se cere elevilor să spună ce valori au coeficienţii a, b şi c. Atenţie la coeficienţii negativi şi la cei care nu se scriu. De exemplu, în ultimul caz b = -8, nu 8, iar în ecuaţia 2x2

+ x – 2 = 0 avem b = +1. O oarecare ezitare apare în cazul ecuaţiilor incomplete: termenul care lipseşte există, dar are coeficientul zero. De exemplu, ecuaţia x2 – 3 = 0 se scrie x2 + 0x – 3 = 0, deci a = 1, b = 0, c = -3. Sunt utile şi câteva exerciţii inverse, ca: să se scrie ecuaţia în care a = 2, b= -3, c = -1. Cu acest prilej trebuie subliniat că primul coeficient nu are voie să fie zero, căci în acest caz ecuaţia nu mai este de gradul II.

2. Pregătirea pentru deducerea formulei. Modul în care se predă de obicei ecuaţia completă de gradul II dă următorul rezultat puţin satisfăcător: elevii ştiu că această ecuaţie se rezolvă cu ajutorul unei formule, pe care o ştiu foarte bine. Dar despre pro-venienţa formulei ei ştiu prea puţin. Acest fapt are două cauze. Pe de o parte, chestiunea de teorie se predă o singură dată, apoi se fac foarte multe aplicaţii, ceea ce face ca elevii să reţină numai formula. Această greşeală se face şi în alte împrejurări. Pe de altă parte, deducerea formulei este foarte grea pentru elevi dacă se face direct pe ecuaţia ax2 + bx + c = 0. Elevii au rezolvat până acum doar puţine ecuaţii cu coeficienţi literali şi aici se trece brusc la o ecuaţie care conţine 3 parametri, a, b şi c. Ei se rătăcesc în noianul de litere. Apoi, se fac transformări (completarea pătratului perfect) cu care elevii nu sunt familiarizaţi.

Din aceste motive, demonstraţia formulei trebuie pregătită prin rezolvarea fără formulă a unui număr necesar de ecuaţii complete cu coeficienţi numerici. Abia pe urmă se poate trece la formulă. Şi aici se aplică recomandarea: „să nu încredinţăm formalismului decât lucrurile bine asimilate”.Se poate folosi următorul sistem de lucrări preliminare:

a) trinomul este un pătrat perfect: a = 1. De exemplu: ;0962 =+− xx

b) trinomul nu este un pătrat perfect, a = 1; b este un număr cu soţ. De exemplu: x2

– 6x + 5 = 0;c) a = 1; b este un număr fără soţ. De exemplu: x2 – 7x+ 10 =0;d) 1≠a . De exemplu: 3x2 – 7x + 4 = 0.În primul caz soluţia este imediată. Se restrânge pătratul şi se obţine (x – 3)2 = 0,

de unde x – 3 = 0, x = 3. În cazul al doilea se scriu primii doi termeni, x2 – 6x, apoi se completează pătratul perfect. Pentru aceasta trebuie adăugat 9, deci ecuaţia se scrie x2 – 6x + 9 – 9 + 5 = 0 (se adună şi se scade 9), apoi se restrânge pătratul: (x — 3)2 = 4; x – 3 = ± 2; x = 3 ± 2; x1 = l, x2 = 5. Cazul al treilea este în fond acelaşi cu al doilea, totuşi se simte nevoia de a-l trata separat din următorul motiv: elevii ştiu că, pentru a completa pătratul perfect, se împarte coeficientul lui x prin 2 şi se ridică la pătrat. În cazul când acest coeficient este impar apare o fracţie, ceea ce dă calculelor un alt aspect. În cazul

4

ecuaţiei x2 – 7x + 10 = 0 se adaugă (şi se scade) ,2

72

adică ,

4

49deci lucrurile se prezintă

astfel:

.5,2;2

3

2

7;2

3

2

7;4

9

2

7;010

4

49

4

497 21

22 ==±=±=−=

−=+−+− xxxxxxx

În sfârşit, când 1≠a , se împart ambele părţi ale ecuaţiei prin a în cazul ecuaţiei 3x2 – 7x + 4 = 0, de exemplu, se procedează astfel:

.....36

1

6

7;

36

49

6

7;6

7

3

7;0

3

4

36

49

36

49

3

7;0

3

4

3

722

22 =

−

=

=+−+−=+− xesteluijumatateaxxxx

Un alt procedeu ar fi următorul:Pentru ca primul termen să fie un pătrat perfect, ar trebui ca şi coeficientul lui x2

să fie un pătrat perfect; pentru aceasta este deajuns să înmulţim ambele părţi ale ecuaţiei cu 3. Pentru completarea pătratului perfect este mai convenabil ca coeficientul lui x să fie un număr par (se evită fracţiile); dacă înmulţim ambele părţi ale ecuaţiei cu 2, acest scop este atins, dar atunci stricăm efectul primei înmulţiri, căci primul coeficient devine 18, care nu este pătrat perfect. De aceea înmulţim a doua oară nu cu 2, ci cu 4, adică înmulţim ambele părţi ale ecuaţiei cu 1243 =⋅ . Obţinem pe rând: 36x2 – 84x + 48 = 0; 36x2 – 84x + 49 – 49 + 48 = 0; (6x – 7)2 = 1 ş.a.m.d.

Acest procedeu are avantajul că evită fracţiile, în schimb termenul care trebuie adăugat pentru a forma pătratul perfect, 49, se află mai greu.

3. Reprezentarea geometrică. Foarte sugestivă este următoarea reprezentare geometrică:Fie ecuaţia: x2+ 10x = 119. Dacă x reprezintă lungimea unui segment, x2 reprezintă aria pătratului cu latura x, iar o expresie de forma ax reprezintă aria unui dreptunghi cu dimensiunile a şi x.

I

x2

A B

II

5x

III5x 25

5

Considerăm problema rezolvată şi fie x = AB, deci primul termen al ecuaţiei, x2, reprezintă aria pătratului I. La acest pătrat urmează să adăugăm un dreptunghi cu dimensiunile x şi 10. Vom adăuga două dreptunghiuri cu dimensiunile x şi 5, şi anume unul la dreapta pătratului II şi celălalt sub el III. Ecuaţia ne spune că figura astfel obţinută are aria 119. Acest lucru nu este util, căci figura are o formă neobişnuită; dar dacă adăugăm partea haşurată, obţinem un pătrat. Ceea ce adăugăm este un pătrat cu latura 5, deci cu aria 25. Rezultă că aria pătratului mare care se obţine este 119 + 25 = 144, deci latura sa este AC = 144 = 12; prin urmare AB = 12 – 5 = 7 şi în consecinţă x = 7.

Să se observe că această construcţie urmează pas cu pas procedeul folosit pentru a deduce formula de rezolvare a ecuaţiei de gradul II. Completarea pătratului perfect corespunde adăugării părţii haşurate (se obţine efectiv un pătrat, în sens geometric), scoaterea rădăcinii corespunde cu aflarea laturii pătratului ş.a.m.d.

Acest procedeu a fost folosit de arabi pentru rezolvarea ecuaţiei de gradul II. El poate fi folosit numai dacă ecuaţia are o rădăcină pozitivă şi una negativă şi rădăcina negativă are o valoare absolută mai mare (căci numai în acest caz coeficientul lui x este pozitiv şi în partea dreaptă figurează un număr pozitiv; altfel, ar însemna să se scoată din pătratul I o parte sau să se obţină în cele din urmă o arie negativă) şi dă numai rădăcina pozitivă.

4. Deducerea formulei. Abia după ce elevii stăpânesc bine procedeul descris mai sus de a rezolva ecuaţia de gradul II, se poate trece la deducerea formulei. După această pregătire, demonstraţia nu va mai fi o „chestiune de teorie” pe care elevii o înţeleg foarte greu. Profesorul arată că procedeul folosit până acum este lung; de aceea aceste transformări se fac o dată pentru totdeauna pe ecuaţia generală, ax2 + bx + c = 0, şi se obţine o formulă care permite să se afle uşor rădăcinile. Este recomandabil să se trateze în paralel o ecuaţie cu coeficienţi numerici şi cazul general. Pentru aceasta se ia, de exemplu, ecuaţia 3x2 – 5x – 2 = 0 şi ax2 + bx + c = 0, se arată că prima ecuaţie este un caz particular a celei de-a doua, şi anume cazul când a = 3, b = -5, c = -2. Apoi se fac amănunţit transformările necesare pentru a rezolva prima ecuaţie. Apar lucrurile care se văd în prima coloană a tabloului de mai jos:

6

a

acbbxxx

x

a

acb

a

acb

a

bxx

a

acb

a

bxx

a

c

a

b

a

bxx

a

c

a

b

a

bx

a

bxxx

a

c

a

b

a

bx

a

bxxx

a

cx

a

bxxx

cbxaxxx

2

41,

3

2

6

15

2

4

4

4

26

1

36

1

6

5

4

4

236

1

36

24251

6

5

423

2

36

25

6

5

223

2

6

5

6

5

3

5

022

03

2

6

5

6

5

3

5

003

2

3

5

00253

2

21

2

2

2

2

222

2

222

222

222

222

222

22

22

−±−===

±=

−±=−±=

+±=±=−

−=

+=−=

−

−=

+−=

−

−

=

++−

=

+−

=+

−

++=+

−

+−

=++=+−

=++=+−

După aceasta se trece la ecuaţia ax2 + bx + c = 0 şi profesorul cere elevilor să facă cu această ecuaţie exact aceleaşi lucrări. Am împărţit prin 3, deci vom împărţi cu a, şi vom

scrie în rândul al doilea, la dreapta, ;02 =++a

cx

a

bx apoi am împărţit coeficientul lui x prin

2, am ridicat la pătrat, iar rezultatul l-am adăugat şi l-am scăzut - facem aceleaşi lucruri la dreapta; ş.a.m.d. Ultima operaţie, aflarea efectivă a rădăcinilor, nu se poate face. Tocmai aici se vede rostul formulei: ea reprezintă penultimul pas în rezolvarea ecuaţiei. Pentru a rezolva efectiv ecuaţia, se înlocuiesc coeficienţii a, b, c prin valorile lor şi se efectuează calculele.

5. Fixarea şi aplicarea formulei. După ce s-a demonstrat formula de rezolvare a ecuaţiei de gradul II, elevii trebuie ajutaţi să o înveţe. Mulţi profesori procedează astfel: formula se scrie vizibil într-un colţ al tablei, iar pentru fiecare ecuaţie în parte elevii stabilesc ce valori au a, b şi c şi le înlocuiesc în formulă. Socotim că este util să se folosească şi procedeul următor, mai sugestiv. Formula se traduce în cuvinte astfel: x este egal cu: linie de fracţie; jos vine dublul primului coeficient; sus se scrie coeficientul de la mijloc cu semn schimbat, plus minus radical; sub radical vine pătratul numărului din faţa radicalului minus primul înmulţit cu ultimul coeficient, înmulţit cu 4.

Este adevărat că formularea nu este elegantă, dar în realitate aşa se lucrează. În cazul ecuaţiei bx2 – (3a + 2b)x + ab = 0, de exemplu, noi nu ne întrebăm cât este a, cât este b şi cât este c; ne orientăm după locul pe care-1 ocupă coeficienţii în ecuaţie. Elementul topic joacă aici un rol important.

7

Când se aplică formula, calcularea expresiei de sub radical cere mai multe operaţii. Se pierde multă vreme cu copierea întregii expresii până se ajunge la locul unde trebuie efectuat un calcul. Este mai bine să se afle determinantul separat. În cazul ecuaţiei 3x2 + 7x – 26 = 0, de exemplu, se calculează separat (în unele cazuri mintal): 72 = 49; 3 – 26 =

78; 78 – 4 = 312; 49 + 312 = 361; 19361 = . Apoi se scrie =±−=6

197x

Este util să se arate elevilor că formula se poate aplica şi în cazul ecuaţiilor incomplete, că ea este generală. Pentru ca elevii să nu uite procedeul după care se deduce formula de rezolvare a ecuaţiei de gradul II, este util ca după ce ei s-au obişnuit să o aplice în mod automat, să le cerem din când în când să rezolve o ecuaţie de gradul II fără a folosi formula, prin formarea unui pătrat perfect.

6. Formula a doua. De obicei se dă o a doua formulă de rezol vare a ecuaţiei de gradul II, pentru cazul când coeficientul lui x este un număr par; în unele manuale se dă şi o a treia formulă pentru cazul când a = 1, şi în acest caz ecuaţia se scrie x2 + px + q = 0. De ce nu x2 + bx + c = 0? Pentru a da impresia că este un alt fel de ecuaţie?

Considerăm că este o încărcare absolut inutilă a elevilor. Aceste formule sunt invenţii tipic şcolăreşti, a căror valoare practică esti aproape nulă, dar care fac pe unii elevi să creadă că formula generală nu mai este aplicabilă în aceste cazuri particulare. Întradevăr în cazul ecuaţiei 4x2 – 12x – 27 = 0, de exemplu, dacă se foloseşte formula a

doua, se obţin rădăcinile 8

12− şi 2

9, dintre care prima urmează a fi simplificată, iar în

cazul al doilea se obţin direct rădăcinile 2

3− şi .2

9

Şi mai izbitoare este situaţia în cazul rădăcinilor iraţionale. De exemplu, în cazul ecuaţiei x2 – 2x – 4 = 0, formula generală dă determinantul 20, iar formula a doua dă determinantul 5; nu este ma greu să scoţi rădăcina pătrată din 20 decât din 5.

7. Alte demonstraţii ale formulei. Ne-am ocupat pe larg de demonstraţia clasică a formulei după care se rezolvă ecuaţia de gradul II. Ea nu este singura posibilă. Urmează alte două demonstraţii.

1) Fiind dată ecuaţia ax2 + bx + c = 0, se introduce o necunoscută y prin relaţia x = y + h, unde h este un număr deocamdată nedeterminat. Înlocuind în ecuaţie pe x prin y + h şi făcând calculele, se obţine: ay2 + (2ah + b)y + ah2 + bh+ c= 0. Acum alegem h astfel încât

y să dispară, deci: 2ah + b = 0; .2a

bh −= Ecuaţia devine: 0

4

422 =−−

a

acbay şi dă:

a

acby

2

42 −±=

de unde: .2

4

2

2

a

acb

a

byhx

−±−=+=

8

Acest procedeu are, faţă de cel clasic, avantajul că este general, adică el se aplică şi la ecuaţii de grad superior, pentru a obţine forma redusă a unei ecuaţii date. În cazul ecuaţiei de gradul II, forma redusă este ax2 + c = 0 şi se poate rezolva. Dar calitatea lui principală constă în faptul că ne scuteşte de completarea pătratului perfect, care este un artificiu.

Aşa cum a fost expusă aici, s-ar părea că demonstraţia este prea grea (necunoscută ajutătoare, folosirea unei constante care se determină ulterior). Dar dacă se aplică acest procedeu mai întâi pe exemple numerice, el devine accesibil.

2) Considerăm ecuaţia x2 + px + q = 0 şi o punem sub forma: x(x + p) = - q. Introducem încă o necunoscută: y = x + p şi obţinem sistemul: xy = - q, x - y = - p. Pentru a-l rezolva, folosim identitatea:

( ) ( ) .422 xyyxyx ++−=+Înlocuind aici x - y prin - p şi xy prin -q, obţinem:

( ) qpyxqpyx 4;4 222 −±=+−=+ .Nu rămâne decât să rezolvăm sistemul:

−=−−±=+

pyx

qpyx 42

care dă: .2

42 qppx

−±−=

8. Probleme de gradul II. Aceste probleme nu prezintă nimic nou în ceea ce priveşte punerea în ecuaţie. Mai mult, cele mai multe probleme de gradul II care se găsesc în culegeri sunt mai uşor de pus în ecuaţie decît unele probleme de gradul I. În schimb apar două lucruri noi, şi anume:

1) trebuie văzut dacă ambele rădăcini sunt acceptabile sau numai una din ele sau nici una;

2) în timp ce la ecuaţiile de gradul I faptul că o problemă este imposibilă apărea în mod izbitor, căci x se reducea, aici trebuie calculat determinantul.Dăm două exemple:

1) Un biciclist trebuie să parcurgă un drum de 36 km şi îşi face socoteala că va ajunge la destinaţie la o anumită oră. Drumul fiind rău, viteza sa este cu 3 km/oră mai mică decât cea prevăzută şi din cauza aceasta el ajunge la destinaţie cu o întârziere de o oră. Se cere viteza cu care trebuie să meargă biciclistul.

Ecuaţia problemei este: 136

3

36 =−− xx

şi dă x1 = -9, x2 = 12. Numai soluţia a doua este

acceptabilă, căci viteza trebuie să fie un număr pozitiv.

2) Să se formeze dintr-un fir lung de 20 cm un dreptunghi cu aria de 120 cm2.Notăm cu x baza dreptunghiului. Atunci înălţimea sa este 10 – x. Ecuaţia problemei:

x (10 – x) = 120, nu are nici o soluţie. Problema este imposibilă. (Dreptunghiul de arie

9

maximă care se poate forma dintr-un fir de lungime dată este pătratul, care are în cazul de faţă o arie de 25 cm2.)

10