Clasa a 9-a - 1 - Ecuatia de gradul doi - functia de grad doi

Ecuatia de gradul doi .

Forma generala :

- Ecuatia de gradul al doilea este ecuatia :

unde : a , b , c coeficienti a , b , c R a 0

Discriminantul ecuatiei :

- Discriminantul ecuatiei de gradul al doilea este expresia :

Radacina sau Solutie a ecuatiei :

- Numarul se numeste radacina sau solutie a ecuatiei daca este adevarata propozitia :

Ecuatia de gradul doi – Functia de gradul doi

Clasa a 9-a - 2 - Ecuatia de gradul doi - functia de grad doi

Radacinile ecuatiei de grad doi :

- Discutie dupa discriminantul ecuatiei :

1). Daca > 0 ecuatia are solutii reale x1 , x2 R cu proprietatea ca : x1 x2

2). Daca = 0 ecuatia are solutii reale x1 , x2 R cu proprietatea ca : x1 = x2

ss

3). Daca < 0 ecuatia nu admite solutii reale !!!

dar admite solutii complexe : x1 , x2 C

unde : i 2 = - 1

Relatii intre radacini si coeficienti ( Viete ) :

- Daca x1 si x2 sunt radacinile ecuatiei atunci :

Ecuatia de gradul doi – Functia de gradul doi

Clasa a 9-a - 3 - Ecuatia de gradul doi - functia de grad doi

Forma ecuatiei de gradul al doilea cand se cunosc radacinile :

- Forma ecuatiei de gradul al doilea cand se cunosc radacinile x1 si x2 este :

unde : S = x1 + x2

P = x1 x2

Descompunerea trinomului de gradul al doilea :

- Descompunerea trinomului de gradul al doilea in produs de polinoame de gradul intai este :

unde :x1 si x2 sunt radacinile ecuatiei

Ecuatii care admit aceleasi radacini :

- fie ecuatiile de gradul al doilea : si

- conditia ca cele doua ecuatii de gradul al doilea sa admita aceleasi radacini este ca coeficientii lor sa fie proportionali !!!

adica exista R* astfel incat : a’ = a , b’ = b , c’ = c

In cazul cand a , b si c sunt nenuli avem :

Ecuatia de gradul doi – Functia de gradul doi

Clasa a 9-a - 4 - Ecuatia de gradul doi - functia de grad doi

Ecuatii care admit o radacina comuna :

- fie ecuatiile de gradul al doilea : si

- Conditia ca cele doua ecuatii sa admita o radacina comuna este ca :

Functia de gradul al doilea .

Functia de gradul al doilea :

- O functie f : R R data prin :

unde : a , b , c R a 0

se numeste functie de gradul al doilea

Forma canonica :

- daca : , atunci se poate scrie

Ecuatia de gradul doi – Functia de gradul doi

Clasa a 9-a - 5 - Ecuatia de gradul doi - functia de grad doi

forma care se numeste forma canonica a functiei de gradul al doilea .

Ecuatia atasata :

- Ecuatia atasata ( asociata ) functiei de gradul al doilea este ecuatia :

unde : a , b , c coeficienti ai ecuatiei a , b , c R a 0

cu radacinile studiate anterior in functie de discriminant !!!!!!

Graficul functiei :

- Graficul functiei se numeste parabola , iar punctul

se numeste varful parabolei .

Punctul de extrem :

- Daca a > 0 , se numeste punct de minim al functiei .

Ecuatia de gradul doi – Functia de gradul doi

Clasa a 9-a - 6 - Ecuatia de gradul doi - functia de grad doi

- Daca a < 0 , se numeste punct de maxim al functiei .

Se numeste punct de extrem al functiei de gradul al doilea punctul de minim sau punctul de maxim .

Maximul sau minimul functiei :

- Daca a > 0 functia f are minim .

Minimul este :

adica

- Daca a < 0 functia f are maxim .

Maximul este :

adica

Graficul functiei :

- Reprezentarea geometrica a graficului functiei de gradul al doilea este o curba

numita parabola .

Pentru a reprezenta graficul se parcurg etapele :

1). Se determina intersectia graficului cu axa Oy .

2). Se determina intersectiile graficului cu axa Ox .

3). Se determina coordonatele varfului

Ecuatia de gradul doi – Functia de gradul doi

Clasa a 9-a - 7 - Ecuatia de gradul doi - functia de grad doi

4). Se intocmeste un tabel de variatie .

5). Tinand cont de cele determinate anterior se traseaza graficul .

Semnul functiei de gradul al doilea :

- Se disting trei situatii :

1). Daca < 0 , atunci f(x) are semnul lui a , ( ) x R

x - + Semnul lui a

2). Daca = 0 , atunci f(x) are semnul lui a , ( ) x R \ si

f(x) = 0 , pentru :

x - +

Semnul lui a 0 semnul lui a

Ecuatia de gradul doi – Functia de gradul doi

Clasa a 9-a - 8 - Ecuatia de gradul doi - functia de grad doi

3). Daca > 0 , si x1 si x2 sunt radacinile atasate , atunci f(x) are semnul

lui a in afara intervalului radacinilor , si semn contrar lui a in intervalul

radacinilor si f(x) = 0 pentru x = x1 , x = x2 .

x - x1 x2 +

Semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a

Sa se stabileasca semnul urmatoarelor functii :

1).

2).

3).

4).

Rezolvati inecuatiile :

1).

2).

3).

4).

5).

6).

7).

8).

9).

10).

11).

12).

13).

Ecuatia de gradul doi – Functia de gradul doi

Clasa a 9-a - 9 - Ecuatia de gradul doi - functia de grad doi

14).

15).

16).

17).

18).

19).

20).

21).

22).

23).

24).

25).

26).

27).

28).

29).

30).

31).

32).

33).

34).

35).

36).

Rezolvati sistemele de inecuatii :

a).

b).

Ecuatia de gradul doi – Functia de gradul doi

Clasa a 9-a - 10 - Ecuatia de gradul doi - functia de grad doi

c).

d).

e).

f).

g).

h).

i).

j).

k).

Rezolvati ecuatiile cu module :

1).

2).

3).

4).

5).

6).

7).

8).

9).

Ecuatia de gradul doi – Functia de gradul doi

Clasa a 9-a - 11 - Ecuatia de gradul doi - functia de grad doi

10).

11).

12).

13).

14).

15).

16).

Rezolvati in R inecuatiile :

1).

2).

3).

4).

5).

6).

7).

8).

9).

10).

11).

12).

13).

Ecuatia de gradul doi – Functia de gradul doi

Clasa a 9-a - 12 - Ecuatia de gradul doi - functia de grad doi

14).

15).

16).

17).

18).

19).

20).

21).

22).

23).

24).

25).

26).

27).

28).

Exercitiu :

Pentru ce valori ale lui m urmatoarea inecuatie este verificata pentru orice x R :

Exercitiu :

Sa se determine valorile lui m asa incat inecuatia :

sa nu aiba nici o solutie .

Exercitiu :

Ecuatia de gradul doi – Functia de gradul doi

Clasa a 9-a - 13 - Ecuatia de gradul doi - functia de grad doi

Sa se determine valorile lui m astfel incat ecuatia :

sa aiba radacini reale .

Exercitiu :

Fie fractia E = . Sa se determine m astfel incat fractia E sa

aiba

sens si sa fie pozitiva pentru orice x R .

Exercitiu :

Sa se determine parametrul m R astfel incat intre radacinile ecuatiilor urmatoare sa existe relatia scrisa in dreptul fiecareia :

a).

b).

c).

d).

e).

f).

g).

Ecuatia de gradul doi – Functia de gradul doi

Clasa a 9-a - 14 - Ecuatia de gradul doi - functia de grad doi

h).

Exercitiu :

Determinati valorile lui m R , pt. care ecuatia :

1). are

doua radacini reale ;

2). nu are

radacini reale .

Exercitiu :

Determinati valorile lui m R , pt. care ecuatia :

are cel putin o

radacina reala .

Exercitiu :

Aflati valorile parametrului real m pentru care :

1).

2).

3).

Exercitiu :

Determinati m R astfel incat :

Ecuatia de gradul doi – Functia de gradul doi

Clasa a 9-a - 15 - Ecuatia de gradul doi - functia de grad doi

1).

2).

3).

4).

Exercitiu :

Determinati valorile parametrului m R pentru care radacinile urmatoarelor ecuatii indeplinesc conditiile indicate :

1).

2).

Exercitiu :

Determinati valorile parametrului m R pentru care radacinile urmatoarelor ecuatii indeplinesc conditiile indicate :

1).

2).

3).

Ecuatia de gradul doi – Functia de gradul doi

Clasa a 9-a - 16 - Ecuatia de gradul doi - functia de grad doi

Ecuatia de gradul doi – Functia de gradul doi