1. Introducere - John Nash și Teoria Jocurilor

! John F. Nash Jr.1 este unul dintre cei mai prestigioși matematicieni în viață, având contribuții semnificative în mai multe domenii: geometrie diferențială, ecuații diferențiale, dar mai ales teoria jocurilor. Profesor și cercetător matematician, întreaga sa carieră se leagă de Princeton University, acolo unde lucreaza din 1949, când a primit o bursă ca student. A fost considerat încă din studenție un geniu, fapt relevat foarte clar de scrisoarea de recomandare pe care a primit-o din partea profesorului său de matematică de liceu în vederea admiterii la Princeton. Scrisoarea conținea un singur rând: This man is a genius. (rom. Acest om este un geniu). Deși de obicei se consideră automat și poate nejustificat că geniile au un dram de nebunie, în cazul lui John Nash, acest lucru este cât se poate de adevărat. Din tinerețe, el s-a luptat cu o formă destul de gravă de schizofrenie paranoică, boală care îi face comportamentul imprevizibil și care îi cauzează halucinații. După ani de medicamentație și internare în sanatorii, John Nash a reușit să își țină boala sub control. Și în ziua de astăzi, la cei 81 de ani ai săi, poate fi găsit în biroul său din Fine Hall, Princeton unde continuă munca de cercetare și ține prelegeri ocazionale studenților în matematică și economie.! Cea mai importantă contribuție a lui Nash la știința matematică și economică este munca sa în domeniul Teoriei Jocurilor, o ramură a matematicii aplicate care încearcă să explice comportamentul adoptat de diferiți jucători în situații strategice, în care succesul lor depinde de alegerile celorlalți jucători. Această teorie, deși se referă de cele mai multe ori la jocuri efective, cu sumă zero (eng. zero-sum games), a fost aplicată cu mult succes într-o serie de domenii, precum economia și relațiile internaționale. Cele mai multe aplicații ale acestei teorii au încercat să găsească situații de echilibru, în care jucătorii adoptă strategii pe care nu le vor mai schimba. Teoria Jocurilor a fost dezvoltată în 1944 de către John von Neumann2 și Oskar Morgenstern3, în cartea Theory of Games and Economic Behavior (rom. Teoria Jocurilor și comportamentul economic). Analiza celor doi se rezumă însă la cazurile speciale de jocuri cu sumă zero. John Nash s-a concentrat pe acest subiect în căutarea unei teme de doctorat inovative, după repetate nereușite în alte domenii matematice. În 1950, a scris un articol despre jocuri non-cooperative (în care nici un jucător nu cunoaște strategia celorlalți) și a demonstrat că în orice astfel de joc trebuie să existe cel puțin o strategie mixtă care să conducă la echilibru. El a reluat acest subiect în lucrarea sa de doctorat de doar 30 de pagini, scrisă în 1951. ! Pentru contribuția sa la dezvoltarea Teoriei Jocurilor și la studierea aplicabilității ei în științele economice, John Nash a primit Premiul Nobel în Economie în anul 19944.

1 John Forbes Nash Jr. (1928-) - Matematician american, cercetător la Princeton University

2 John von Neumann (1903-1957) - Matematician american, unul dintre ci mai importanți ai secolului XX; a avut contribuții importante în domeniile teoriei jocurilor, mecanicii cuantice, analizei funcționale și ciberneticii

3 Oskar Morgenstern (1902-1977) - Economist austriac, profesor la Princeton University

4 Împreună cu Reinhard Selten și John Harsanyi

2. Elemente de teorie

Pentru ilustrarea atât a conceptelor de bază ale Teoriei Jocurilor, cât și a conceptului de echilibru Nash, vom utiliza un exemplu concret de joc, utilizat cel mai adesea în astfel de situații.5

Doi parteneri (X și Y) joacă simultan un joc în care nu pot comunica (non-cooperativ). Scopul jocului este acela de a obține cât mai multe puncte. Ei au de ales între a juca Roșu (R) sau Negru (N). Posibilitățile sunt următoarele:

- dacă X joacă N, câștigă 7 puncte, indiferent de culoarea jucată de Y. Acesta câștigă 3 puncte dacă joacă N sau 4 puncte dacă joacă R.

- dacă X joacă R, iar Y joacă N, X câștigă 3 puncte și Y câștigă 4 puncte- dacă X joacă R, iar Y joacă tot R, X câștigă 10 puncte și Y câștigă 5 puncte

Jocul și reguluile lui pot fi reprezentate și prin următorul tabel:

CuloareCuloare PunctePuncte

X Y X Y

N N 7 3

N R 7 4

R N 3 4

R R 10 5

Întrebarea jocului este: “Ce culoare alege X pentru a obține cele mai multe puncte?”

# Situația de mai sus reprezintă fidel un joc non-cooperativ (deoarece jucătorii nu comunică între ei); cei doi participanți se află în interacțiune strategică, alegerea unuia influențând situația celuilalt. Ei joacă în același timp, fiind astfel vorba de un joc static, sau simultan. Strategia fiecăruia reprezintă un plan de acțiuni care specifică ansamblul deciziilor care trebuie luate în cursul jocului. ! Numărul jucătorilor, ansamblul strategiilor disponibile fiecărui jucător, ordinea în care jucătorii intervin, informațiile de care dispune fiecare jucător și câștigurile corespunzătoare fiecărei strategii, sunt elementele care descriu un joc non-cooperativ.! Pentru a reprezenta un astfel de joc, există două posibilități echivalente: matricea recompenselor și arborele Kuhn.

5 Nicolas Eber - Théorie des Jeux (2007)

Matricea recompenselor (eng. payoff matrix)

YY

N R

XN 7 ; 3 7 ; 4

XR 3 ; 4 10 ; 5

!! Reprezentarea prin matrice are în centru numărul de puncte obținut de fiecare jucător în fiecare situație (recompense). Cifrele din fiecare dintre cele patru căsuțe roșii ale matricii reprezintă, în ordine, câștigul lui X și al lui Y în diferitele situații de joc. Această matrice este folosită foarte eficient în procesele de luare a deciziilor în cadrul companiilor, acolo unde recompensele nu sunt reprezentate prin puncte, ci eventual prin sume de bani sau număr de angajați.

Arborele lui Kuhn

! ! ! ! ! X

Y """

"""""""""""

" Forma extensivă de reprezentare a jocului, denumită și Arborele Kuhn6 , prezintă soluțiile posibile ale jocului printr-un arbore, în care nodurile reprezintă jucătorii, iar săgețile orientate reprezintă alegerile pe care ei le fac. Ideea principală a acestei reprezentări este aceea de a răta corespondența, ordinea și legătura dintre diferitele alegeri de strategie făcute de cei doi jucători. Deși în jocul nostru, cei doi joacă simultan, arborele pare să arate că primul care alege este X. Pentru a arăta simultaneitatea jocului, cele două noduri reprezentând jucătorul Y sunt unite de o săgeată bidirecțională.

6 După Harold W. Kuhn (1925-) - matematician american care a studiat Teoria Jocurilor. Profesor la Princeton University, a scris două cărți de referință în domeniu: Classics in Game Theory (1997) și The Essential John Nash (2001)

Y

N R

N NR R

7 ; 3 7 ; 4 3 ; 4 10 ; 5

! Ansamblul de noduri unite prin săgeți mai este denumit și ansamblu de informații. Atunci când un ansamblu de informații conține cel puțin două noduri, jocul este unul cu informații incomplete (ca în cazul nostru). Dacă ansamblul de informații conține un singur nod, el reprezintă un joc cu informații complete, în care fiecare jucător cunoaște poziția sa exactă în arbore în momentul începerii jocului.

! Metoda de reprezentare prin matricea recompenselor este foarte eficientă atunci când jocul studiat este unul simultan, în care jucătorii “mută” în același timp. Pentru jocurile secvențiale, reprezentarea sub formă extensivă devine de preferat, deoarece prezintă fidel ordinea mutărilor.7" " " " "

3. Echilibrul Nash

" Rezolvarea jocului presupune găsirea unei soluții “logice”, care să indice comportamentul pe care l-ar avea, în această situație, doi jucători raționali. Soluția acceptată în mod unanim este cea propusă de John Nash în cadrul celebrei sale lucrări de doctorat de 30 de pagini, numită astăzi echilibrul Nash. !! Echilibrul Nash este un ansamblu de strategii (una pentru fiecare jucător) prin aplicarea căruia nici un jucător nu poate obține câștiguri suplimentare prin schimbarea unilaterală a strategiei.8 Echilibrul Nash introduce conceptul “absenței regretului”. Astfel, după aflarea rezultatului, nici un jucător nu regretă felul în care a jucat, cunoscând modul în care au jucat partenerii săi.!! Să luăm exemplul jocului prezentat la început, pentru a vedea cum se poate determina punctul de echilibru Nash într-un joc. În acest exemplu, sunt două maniere de indentificare a echilibrului Nash. Prima este eliminarea succesivă a strategiilor strict dominate (strategiile care oferă jucătorului care le utilizează rezultate constant inferioare în comparație cu alte strategii, indiferent de strategia celorlalți jucători). Astfel, pot ieși la iveală strategii strict dominate pentru ceilalți jucători. Această metodă este denumită metoda dominanței iterative. În cazul în care ea poate fi aplicată până la capăt, va conduce de fiecare dată către echilibrul Nash. În fapt, oricare ar fi acțiunea partenerului său, un jucător va regreta întotdeauna jucarea unei strategii strict dominate, care nu va constitui niciodată un echilibru Nash. ! Jocul prezentat ca exemplu este suficient de simplu pentru a fi rezolvat prin această metodă. În acest joc, N este o strategie strict dominată pentru jucătorul Y, deoarece orice ar juca X, Y ar obține un câștig mai mare jucând R. În mod echivalent, R este strategia strict dominantă pentru jucătorul Y. Pentru că echilibrul Nash nu poate fi atins decât atunci când nici unul dintre jucători nu poate obține mai mult decât a obținut, oricare ar fi strategia celuilalt, este clar că o strategie strict dominată nu poate face parte din Echilibrul Nash.

7 Nicolas Eber - Théorie des Jeux (2007)

8 John F. Nash - Non-Cooperative Games (1951)

Astfel, putem elimina strategia N pentru jucătorul Y. Ori, dacă Y joacă R, este clar că N devine la rândul său o strategie strict dominată, de data aceasta pentru X, deoarece ar câștiga 7 puncte jucând N și 10 jucând R. Astfel, eliminând succesiv strategiile dominate pentru fiecare jucător, ne dăm seama că echilibrul Nash pentru jocul nostru este atins atunci când amândoi participanții joacă R. De altfel, (R ; R) este singurul echilibru Nash al jocului. Se poate verifica ușor că nici un jucător nu resimte regret în urma acestei strategii, criteriul absenței regretului formulat de Nash fiind astfel respectat.9 ! Majoritatea jocurilor nu este, însă, rezolvabilă prin aplicarea metodei dominanței iterative. În cele mai multe cazuri, strategiile strict dominate nu pot fi identificate și, în consecință, eliminate succesiv. În cazurile mai complicate, jocurile vor fi rezolvate “caz cu caz”, determinând unde există un echilibru Nash și unde nu. În jocul nostru, orice altă strategie în afară de (R ; R), luată individual, generează regret ulterior pentru cel puțin un jucător, nereprezentând echilibru Nash. Concluzionăm astfel că în acest joc, echilibrul Nash este unic și optim (deoarece oferă câștigul maxim posibil fiecărui jucător). !! Aceasta nu este, însă, o soluție generală. Multe jocuri pot avea un echilibru Nash sub-optimal, sau pot admite mai multe echilibre Nash. Însă, ceea ce a stabilit și demonstrat John Nash printr-o teoremă care îi poartă numele este că orice joc static finit admite cel puțin un echilibru Nash.10

4. Jocuri cu echilibre Nash multiple

! La fel cum am menționat la sfârșitul ultimei secțiuni, există un semnificativ număr de jocuri care acceptă echilibre Nash multiple. ! Cel mai edificator exemplu în acest sens este jocul orei fixe: acesta se joacă între doi parteneri care nu comunică între ei. Fiecare dintre aceștia trebuie să aleagă o oră (exprimată în ore, minute secunde). Dacă orele date de cei doi coincid, fiecare câștigă un punct. În caz contrar, nici unul dintre ei nu câștigă nimic. Acest joc este de coordonare pură și admite nu mai puțin de 86.400 de echilibre Nash optime. Asta deoarece există 86.400 de posibilități de ore care pot fi date de către cei doi jucători (24 ore X 60 minute X 60 de secunde = 86.400).! Mai importantă decât evidențierea fără echivoc a echilibrelor Nash multiple este relevarea de către acest joc a unui concept interesant, denumit punct focal11 . În cazul jocului orei fixe, s-a obsevat în urma studiilor că majoritatea covârșitoare a celor care participă aleg orele 12:00:00 sau 24:00:00. Aste deoarece aceste ore au o semnificație deosebită pentru ei (jumătatea zilei, ora pauzei etc.). Astfel, aceste două ore, denumite puncte focale, pot avea rolul de a coordona mental jucătorii spre o strategie comună. !! Thomas Schelling a experimentat acest joc, cerând unor participanți să își imagineze că trebuie să se întâlnească cu partenerii lor de joc într-un loc din New York, la

9 Joc prezentat de Nicolas Eber în Théorie des Jeux (2007)

10 John F. Nash - Equilibrium Points in n-Person Games (1950)

11 Sau punct Schelling, după matematicianul Thomas Crombie Scheling (1921-) care a definit acest concept

o anumită oră din zi, fără a putea comunica. Rezultatul: o majoritate zdrobitoare a ales Grand Central Terminal, la ora 12:00. ! Având aceste exemple edificatoare în minte, voi analiza mai departe două jocuri cu echilibre Nash multiple și utilitatea lor în teoria jocurilor și a deciziei.

! Jocul de negociere a lui Nash (eng. Nash bargaining game) este un joc simplu, de două persoane, utilizat pentru modelarea interacțiunilor de negociere. În acest joc, doi jucători solicită o anumită parte dintr-un bun, de obicei o sumă de bani. Fiecare propune o parte care i se cuvine, iar dacă suma acestora nu depășește valoarea totală a bunului, amândoi primesc partea solicitată. În caz contrar, nici un jucător nu primește nimic. Soluția acestui joc trebuie să fie eficientă Pareto12, și este denumită soluție Nash.! Analiza echilibrelor din acest joc relevă existența multiplelor echilibre Nash. Strategiile sunt reprezentate, ca de obicei, printr-o pereche (x,y), din intervalul [d,z], unde z este valoarea bunului în întregimea sa, iar d reprezintă punctul de divergență, de conflict, al jocului (sau amenințarea jocului), având de cele mai multe ori valoarea 0. Dacă x+y este egal sau mai mic decât z, primul jucător primește x, iar al doilea y. În caz contrar, amândoi primesc d. În primul rând, orice situație x+y=z este un echilibru Nash, deoarece dacă oricare jucător și-ar fi mărit cererea, amândoi ar fi primit 0. Condiția absenței regretului este, astfel, îndeplinită. Un alt echilibru Nash mai puțin evident este atunci când ambii jucători cer bunul în întregimea sa. Ambii primesc d=0, dar nici unul nu-și poate mări câștigul prin schimbarea unilaterală a strategiei. ! Nash a propus o soluție pentru acest joc, care trebuie să satisfacă, în viziunea lui, mai multe condiții:- să fie invariabilă față de transformări afine- să fie eficientă Pareto (optimul Pareto)- să fie independentă de alternative irelevante13

- să fie simetrică

! Dacă u este funcția de utilitate pentru primul jucător, iar v funcția de utilitate pentru cel de-al doilea, agenții raționali vor alege să maximizeze produsul |u(x) − u(d)| |v(y) − v(d)|, unde u(d) și v(d) sunt utilitățile obținute dacă negocierea este refuzată. Acest produs este numit produsul Nash și reprezintă soluția lui Nash la jocul de negociere.14 Problema negocierii Nash este utilizată de filozofi și economiști pentru a explica atitudinea oamenilor către justiția distributivă.

12 Eficiență Pareto = într-un joc, orice schimbare unilaterală de strategie care aduce beneficii unui jucător, trebuie neapărat să aducă deservicii altui jucător.

13 Independență față de alternative irelevante = dacă într-o pereche de opțiuni (A,B), A este de preferat lui B, prin introducerea unei a treia opțiuni X, obținând (A,B,X), B nu trebuie să devină preferabil lui A

14 John F. Nash - The Bargaining Problem (1950)

! Jocul ultimatumului este un joc utilizat de cele mai multe ori în experimente economice, în care doi indivizi trebuie să decidă cum să împartă o sumă de bani care li se oferă. Primul jucător propune o metodă de împărțire, iar al doilea poate să o refuze sau să o accepte. Dacă al doilea jucător refuză, nici un jucător nu primește nimic, dacă el acceptă, banii se împart conform propunerii. Jocul se joacă o singură dată, excluzându-se astfel fenomenul reciprocității.

1

2

! Reprezentarea jocului ultimatumului prin arborele lui Kuhn (în figura de mai sus) este foarte utilă, deoarece arată cum jucătorul 1 poate propune o ofertă justă (J), de împărțire a banilor pe jumătate, sau una injustă (I), în care el ar obține mai mult decât jucătorul 2 - care are opțiunea acceptului (A) sau refuzului (R).! Prin analiza modelului acestui joc, se pot identifica mai multe puncte de echilibru Nash. Primul jucător alege o sumă p, în intervalul [0,x]. Al doilea jucător alege o funcție f:[0,x]➝ {“accept”, “refuz”}. Profilul strategiei devine astfel (p,f), unde p reprezintă propunerea, iar f funcția. Dacă f(p)=”accept”, primul jucător primește p, iar al doilea x-p, în caz contrar amândoi primesc 0. (p,f) este un echilibru Nash al jocului ultimatumului dacă f(p)=”accept” și nu există y>p, astfel încât f(y)=”accept” (cu alte cuvinte, p este cea mai mare sumă pe care o poate primi primul jucător, cu acceptul celui de-al doilea). Primul jucător nu va dori să își crească unilateral cererea, deoarece al doilea va refuza orice sumă mai mare, iar al doilea nu va dori să refuze oferta, deoarece în acest caz nu ar mai primi nimic. Mai există un echilibru Nash, acolo unde p=x și f(y)=”refuz”, pentru orice y>0 (adică al doilea jucător refuză orice ofertă care îi aduce primului vreun câștig). În acest caz, nici un jucător nu câștigă nimic, dar nici unul nu poate câștiga ceva prin schimbarea unilaterală a strategiei.15

! Însă doar unul dintre aceste echilibre Nash satisface condiția mai restrictivă a perfecțiunii sub-jocului (eng. subgame perfection). Dacă primul jucător oferă o împărțire care alocă jucătorului 2 o sumă mică de bani acesta o refuză, dar, într-un sub-joc al jocului ultimatumului, acest lucru înseamnă că alege să primească nimic, când ar putea primi “ceva”. Astfel, ar însemna că jucătorul 2 ar trebui să accepte orice propunere care îi alocă

15 The Ultimatum Game Detailed - Foundation for Teaching Economics (2004)

J

R

I

A A R

5 ; 5 0 ; 0 7 ; 3 0 ; 0

orice sumă mai mare decât 0. Dacă jucătorul 1 știe acest lucru, e clar că va oferi cea mai mică sumă posibilă jucătorului 2.! Tocmai acest rezultat contradictoriu al jocului ultimatumului a provocat o dezbatere asupra aplicabilității modelului clasic homo economicus (individul care acționează cu unicul interes de a-și maximiza câștigul personal). Dacă un om pus în fața alegerii prezentate de jocul ultimatumului alege să nu primească nimic, când ar putea primi ceva, înseamnă că nu este un actor rațional, ci preferă o alegere “justă”, uneia raționale. Explicația găsită pentru acest fenomen pare să conducă spre ideea că teoria economică tradițională a actorului rațional este incompletă și că, în jocul ultimatumului, jucătorul 2 alege să își maximizeze utilitatea anticipată, doar că aceasta nu se traduce doar prin bani. Poate că individul obține beneficii de ordin psihologic refuzând oferta din partea jucătorului 1, sau poate se folosaște de capacitatea lui decizională ca de o pârghie pentru a-l obliga pe cel care face împărțirea sumei să fie corect. Toate acestea sunt elemente pe care definiția lui homo economicus nu le ia în calcul.16

! Dacă un joc admite un echilibru Nash unic și este jucat în anumite condiții, atunci setul de strategii care conduce către echilibrul Nash va fi întotdeauna adoptat. Condițiile suficiente care asigură acest lucru au fost definite astfel:- jucătorii vor face totul pentru a-și maximiza câștigurile, în condițiile jocului- execuția strategiei jucătorilor este impecabilă- jucătorii sunt suficient de inteligenți pentru a deduce soluția- fiecare jucător cunoaște strategia de echilibru a celorlalți jucători- jucătorii cred că o deviere în strategia lor nu va cauza devieri în cazul celorlalți- se știe că toți jucătorii îndeplinesc toate aceste condiții17

! Stabilitatea este un concept util care poate fi aplicat multor tipuri de echilibre, inclusiv echilibrului Nash. Un echilibru Nash pentru un joc cu strategie mixtă este stabil, dacă o mică schimbare (chiar infinitezimală) în probabilități pentru un jucător generează o situație în care două condiții sunt îndeplinite:- jucătorul care nu a schimbat strategia nu are o strategie mai bună în noile circumstanțe- jucătorul care a schimbat strategia are acum o strategie strict mai slabă decât înainte! Dacă aceste condiții se aplică, jucătorul care a schimbat strategia va reveni imediat la echilibrul Nash, iar echilibrul este denumit stabil. Dacă prima condiție nu se aplică, atunci echilibrul este instabil, iar dacă doar prima condiție se aplică, atunci cel mai probabil există un număr infinit de strategii optime pentru jucătorul care a schimbat. ! Stabilitatea este crucială pentru aplicațiile practice ale echilibrului Nash, deoarece strategiile mixte ale fiecărui jucător nu sunt cunoscute, dar trebuie deduse din distribuția statistică a acțiunilor sale din timpul jocului. În acest caz, echilibrele instabile sunt greu de identificat în practică, deoarece orice schimbare în proporțiile strategiilor ar conduce la o modificare de strategii și la pierderea stării de echilibru Nash.

16 M. Nowak, K. Page, K. Sigmund - Fairness Versus Reason in the Ultimatum Game (2000)

17 John F. Nash - Non-Cooperative Games (1951)

5. Concluzii

! Conceptul de echilibru Nash și aplicarea sa în soluționarea diferitelor jocuri economice reprezintă o semnificativă contribuție la știința economică și la teoria luării deciziei. Însă, după cum am arătat și în această lucrare, condițiile necesare de existență a acestor stări de echilibru sunt greu de îndeplinit în realitate, iar existența echilibrelor Nash este astfel foarte improbabilă. ! Oamenii, participanți la jocuri, tind să fie mereu foarte subiectivi, iar condițiile de non-echilibru, domină întotdeauna condițiile de echilibru într-o societate. Economia comportamentală (eng. behavioural economics) a arătat în ultimele decenii că oamenilor le este foarte greu să facă fiecare calcul rațional înainte de luarea deciziilor, după cum presupune economia convențională. Ei tind să folosească scurtături mentale care conduc spre previziuni eronate. În practică, au fost observați mai mulți factori de subiectivizare: optimismul (cei mai mulți oameni sunt siguri că sunt mai deștepți decât ceilalți), iluzia controlului (posibilitățile de control pe care indivizii le au sunt de cele mai multe ori supraestimate), eroarea fudamentală de atribuire (motivele celorlalți sunt de cele mai multe ori interpretate greșit) și devalorizarea reactivă (un beneficiu este subevaluat, din simplul motiv că este oferit de către alt individ). Toți acești factori tind să crească probabilitatea de greșeală în deciziile economice și cu atât mai mult în cele polititce. Oamenii sunt intrinsec mai mult iraționali decât raționali. ! Majoritatea economiștilor care au încercat să găsească metode de a aplica echilibrul Nash în procesul de luare a deciziilor în politică sau economie au concluzionat că acest lucru nu este deloc recomandat, în condițiile unui mediu foarte instabil, unde presupunerea că partenerii de negociere sunt raționali poate fi naivă.

! Un mare merit al teoriei echilibrului Nash este acela că a demonstrat că un actor care încearcă să acționeze pe principii raționale poate fi pus în situația de a alege între două tipuri de beneficii: unele evidente, tangibile, economice și unele mai puțin evidente, de natură intangibilă (precum justiția, reputația, virtutea). Acest lucru se întâlnește în jocul ultimatumului, ale cărui nenumărate aplicații practice au demonstrat că în toate culturile, indivizii se urmăresc obținerea unei utilități non-economice de fiecare dată, demonstrând că teoria clasică a deciziei raționale și a actorului economic rațional prin excelență este una cel puțin incompletă, dacă nu complet necorespunzătoare cu natura umană. ! Cel de-al doilea merit al echilibrului Nash este evidențierea faptului că un grup de jucători are cel mai mult de câștigat de pe urma unei mentalități de cooperare, nu de competiție. Obiectivul “câștigați cât de mult posibil” nu ar trebui privit de jucători ca unul individual, ci colectiv, ei alegând în acest fel soluția sau decizia care aduce cel mai mare beneficiu întregului grup (echilibrul Nash). Pentru comportamentul politic și economic, această concluzie este cea mai revelatoare; oamenii au un simț înnăscut al corectitudinii și justiției, pe care trebuie să îl utilizeze și în acest context decizional.

Bibliografie:

1. Brams, Steven J. (1994) - Theory of Moves 2. Eber, Nicolas (2007) - Théorie des Jeux 3. Foundation for Teaching Economics (2004) - The Ultimatum Game Detailed 4. Kuhn, Harold W. (1997) - Classics in Game Theory 5. Nash, John F. (1950) - The Bargaining Problem 6. Nash, John F. (1951) - Equilibrium Points in n-Person Games 7. Nash, John F. (1951) - Non-Cooperative Games 8. Nowak M., Page K., Sigmund K. (2000) - Fairness Versus Reason in the Ultimatum Game