DTS Model Matematic

7/18/2019 DTS Model Matematic

http://slidepdf.com/reader/full/dts-model-matematic 1/11

Universitatea Politehnica BucureştiFacultatea de Automatică şi Calculatoare

Departamentul de Automatică şi Informatica Industriala

DTS200 - Sistem cu trei

rezervoare – Modelare

matematica

Alexandru COMSAVictor Alexandru LICAConstantin VOINEA



1.1 Model neliniar

Figura 1: Structura principala exemplifcand parametrii si aria!ilele

hi nielele de lic"id #m$Q1, Q2 de!itele de intrare #m%&sec$

A sectiunea cilindrului #m'$Sl sectiunea scurgerii #m'$Sn sectiunea conductei de conectare #m'$Qij de!itele pe conductele de conectare intre re(eroare #m%&sec$Qli de!itele pe conductele de simulare a spargerilor #m%&sec$azi coefcienti de!it pe conductele de conectare )simulare in*undari+azli coecienti de!it pe conductele de scurgere )simulare spargeri+unde i&1,',% si )i,-+&#)1,%+.)%,'+.)',/+$

0aca *olosim ecuatia:

Adh

dt =s )1+

unde s este suma tuturor de!itelor pentru toate cele trei re(eroare,o!tinem:

Adh1

dt =Q 1−Q 13−Q l1 )'+

Adh3

dt =Q13−Q32−Q l3 )%+



Adh1

dt =Q 2+Q 32−Q 20−Q l3 )+

2entru determinarea de!itelor Q13; Q32; Q20; Ql1; Ql2 si Ql3 se poate aplica

regula 3orricelli generali(ata:

4 ¿ azS n sgn (∆ h )√ 2g|∆ h| )5+

unde: g acceleratia graitationalasgn(z) semnul argumentu lui (

∆ h di*erenta de lic"id dintre doua re(eroare conectate

az coecient de!it de iesire )*actor de corectie, adimensional, alori reale de la /la 1+q de!itul re(ultat in conducta ce conectea(a re(eroarele

0upa aplicarea regulii 3oricelli de!itele pot f scrise ast*el:

Q13=¿ az1 Sn sgn (h1 -h3)√ 2 g|h1 -h3| )6+

Q32=¿ az 3Sn sgn (h3 - h2 ) √ 2g|h3 - h2| )7+

Q20=¿ az 2Sn √ 2 gh2 )8+

Q l1=¿ az l1 Sn √ 2gh1 )9+

Q l2=¿ az l2Sn √ 2gh2 )1/+

Q l3=¿ az l3 Sn √ 2 gh3 )11+

Cunoscand ectorii:

Vectorul nielelor de lic"id din cele % !a(ine:

"&) "1,"',"%+ 3 )1+

Vectoul de!itelor de intrare:

&) 1,'+ 3 )1%+

2entru ca(ul ideal cand nu exista aarii la nici un re(eror:

A)"+&) 1 −¿ 1%,%' −¿ '/, '

−¿ %' −¿ %'+

31

A )1+

;&) "1,"'+ 3 )15+

2entru a putea scrie sistemul de ecuatii de stare defnim matricea:



<&1

A (1 0

0 1

0 0) )16+

Sistemul de ecuatii pre(entat anterior poate f scris:

{dh

dt = A (h )+BQ

y=(h1, h2 )T )17+

=

1.2 Modelul liniarizat

Liniari(area sistemului neliniar a f reali(ata in -urul unui punct

static de *untionare determinat de :

ue=(Q1e ,Q2e )

T

La ec"ili!ru cele % niele or aea o aloare constanta= In consecinta

om aea urmatoarele relatii:

h1e=ct .⇔

d h1e

dt =0

h2e=ct .⇔

d h2e

dt =0

h3e=ct .⇔

d h3e

dt =0

In aceste conditii, aplicand sistemului comanda

Q

(¿¿1e ; Q2e)ue=¿

,

dupa un timp sufcient de lung acesta a a-unge la ec"ili!ru=

In ca(ul reginului stationar om considera de!itele de simulare a

spargerilor Qli ca find nule= Ast*el om o!tine ecuatiile in regim

stationar:



{

Ad h

1e

dt =Q

1e−Q13=0

Ad h

3e

dt =Q

13−Q

32=0

A d h2e

dt =Q2e−Q32−Q20=0

⟹

{ Q1e=a z1 Sn √ 2g (h1e−h3 e)

a z1

Sn √ 2 g(h1e−h

3e)=a z3

Sn√ 2g (h3e−h

2e )

a z2

Sn √ 2g h2e=Q

2e+az3

Sn √ 2g(h3 e−h

2e) ⟹

{h1e−h

3e=( Q

1e

a z1 Sn

)2

1

2g

h3e−h2e=( Q

1e

a z3 Sn

)2

1

2g

h2e=(

Q2e+Q1e

a z2

Sn

)2

1

2 g

Ast*el am o!tinut expresiile celor % niele in *unctie de de!itele de

ec"ili!ru si de constantele a z i = 2entru a o!tine alorile celor % niele

om considera a zi &1 si ue=(12∗10

−4

,0

) [m

3

s ] si om aea > alori

exprimate in metri:

{h1e=0.1602

h2e=0.0253

h3e=0.0912

In continuare om reali(a operatia de centrare in -urul punctului de

ec"ili!ru si om aea:

dh

dt =f ( h , u ) unde {h=h

0+ Δ h

u=u0+ Δ u si

dh

dt =

d Δ h

dt =

∂ f

∂ h Δ h+

∂ f

∂ u ∆ u



{d h

1

dt =

1

A (Q1e−az1Sn√ 2g (h1−h3))

df

dQ1

=1

A

df d Q

2

=0

df

dh1

=1

A (−a z1Sn

√ 2g

2√ h1e−h3e

)df

d h2

=0

df

d h3

=1

A a z

1Sn

√ 2g

2√ h1e−h3e

d ∆h1

dt =

1

A(∆Q

1e−az1Sn

√ 2g

2√ h1e−h3e

(∆h1−∆h

3 ))

{d h

3

dt =

1

A (a z1 Sn √ 2g (h1−h3 )−a z3 Sn √ 2 g (h3−h2 ))

df

d Q1=0

df

d Q2

=0

df

d h1

=1

A a z

1Sn

√ 2 g

2√ h1e−h3e

df

d h2

=1

A a z

3Sn

√ 2 g

2√ h3e−h2e

df

d h3

=1

A(−a z

1Sn

√ 2g

2√ h1e−h3e

−a z3

Sn

√ 2g

2√ h3 e−h2e

)

d ∆h3

dt =

1

A(az

1Sn

√ 2g

2√ h1e−h3e

(∆h1−∆h

3 )+az3Sn

√ 2g

2√ h3e−h2e

(∆h2−∆h

3 ))



d h2

dt =

1

A (Q

2−a z

3Sn√ 2g ( h

3−h

2)−a z2

Sn√ 2g h2)

df

d Q1

=0

df

d Q2=

1

A¿

a z1

Sn

√ 2g

2√ h1e−h3e

−a z2

Sn

√ 2g

2√ 2gh2e

¿df

d h2

= 1

A a z

3Sn

√ 2 g

2√ h3e−h2e

df

d h1

= 1

A ¿

¿

d ∆ h2

dt =

1

A(∆Q

2e−a z3

Sn

√ 2g

2√ h3e−h2e

(∆ h2−∆ h

3 )+a z2

Sn

√ 2g

2√ 2gh2e

∆ h2)

O!tinem ast*el ecuatiile di*erentiale care descriu sistemul liniar= Vom

alege:

x=(h1

h2

h3

) vectorul starilor

u=(Q1

Q2)vectorulintrarilor

y=(h1

h2)

vectoruliesirilor



Se a o!tine ast*el repre(entarea liniara a sistemului de *orma:

?epre(entarea in spatiu starilor este:

Numeric o!tinem:

1.3 Simulare

Q13=az

1S

1sgn (h1−h3 ) √ 2 g (h1−h3 ) ec= 1



Fig 1:Implementarea Simulink a ec. 1.

Ql1=azl1Sn√ 2gh3

ec= '

Fig. 2:Implementarea Simulink a ec. 2.

Conectam toate cele 6 su!sisteme ast*el incat sa o!tinem ecuatiile%,,5 =

Ad h

1

dt =Q

1−Q

13−Q l1 ec=

%

A d h3

dt =Q

13−Q32−Ql3 ec=

Ad h

2

dt =Q

2+Q

32−Q

20−Ql2 ec=

5

?e(ultatul conectarii su!sitemelor este pre(entat in fgura %=



Fig.

3:Conectarea subsitemelor.

Fig= pre(ita sistemul fnal cu intrari si iesirile acestuia=



Fig. 4:Sistemul

fnal.

DTS Model Matematic

Documents

Transcript of DTS Model Matematic