DREPTUNGHIUL

Definitie. Paralelogramul cu un unghi drept se numeste dreptunghi.

In figura 1, este desenat dreptunghiul ABCD.

Figura 1

Observatie. Dreptunghiul este un paralelogram particular, deci are toate proprietatile

paralelogramului:

are laturile opuse paralele; are laturile opuse congruente; are unghiurile opuse congruente; oricare doua unghiuri alaturate sunt suplementare; diagonalele au acelasi mijloc (se njumatatesc).Prezentam conditii necesare si suficiente ca un patrulater convex sa fie dreptunghi.

Teorema 1. Toate unghiurile dreptunghiului sunt unghiuri drepte.

Demonstratie. Fie dreptunghiul ABCD cu m p?Aq 90. Conform definitiei, ABCDeste si paralelogram, deci

m p?Aq m p?Cq 90. (1)

Tot datorita faptului ca ABCD este paralelogram, oricare doua unghiuri alaturate sunt

suplementare, deci

m p?Aq `m p?Bq 90 m p?Bq 90 (2)

si

m p?Aq `m p?Dq 90 m p?Dq 90. (3)

Relatiile (1), (2) si (3) spun ca toate unghiurile dreptunghiului sunt unghiuri drepte.

Teorema 2. (Reciproca teoremei 1.) Daca un patrulater convex are toate unghiurile

congruente, atunci patrulaterul este dreptunghi.

Demonstratie. Consideram patrulaterul convex ABCD cu toate unghiurile congruente.

Tinand cont ca suma masurilor tuturor unghiurilor patrulaterului convex este 360, avem

m p?Aq m p?Bq m p?Cq m p?Dq 360

4 90.

Am dedus ca unghiurile opuse sunt congruente doua cate doua, deci ABCD este paralelo-

gram si cum m p?Aq 90, rezulta ca ABCD este dreptunghi. Teorema 3. Daca un patrulater convex are trei unghiuri drepte, atunci patrulaterul este

dreptunghi.

Fise cu teorie pentru gimnaziuDreptunghiul

1 Profesor Marius Damian, Braila

Demonstratie. Daca trei unghiuri au masura de 90, atunci al patrulea unghi are tot 90,

deoarece suma masurilor tuturor unghiurilor patrulaterului convex este 360. In continuare,

demonstratia urmeaza acceasi pasi ca n teorema precedenta.

Teorema 4. Dreptunghiul are diagonalele congruente.

Demonstratie. Fie dreptunghiul ABCD (figura 2).

Figura 2

Din definitia dreptunghiului si teorema 1, deducem ca

rADs rBCs si m p?ADCq m p?BCDq 90.

Prin urmare, 4ADC 4BCD (C.C.), de unde rACs rBDs. Teorema 5. (Reciproca teoremei 4.) Daca un paralelogram are diagonalele congruente,

atunci paralelogramul este dreptunghi.

Demonstratie. Fie paralelogramul ABCD cu rACs rBDs.Conform definitiei paralelogramului, avem rADs rBCs. Deducem ca 4ADC 4BCD

(L.L.L.), de unde m p?ADCq m p?BCDq . Totodata, din AD BC, avem m p?ADCq `m p?BCDq 180 si obtinem m p?ADCq 90.

In final, cum ABCD este paralelogram si are un unghi drept, rezulta ca este dreptunghi.

Observatie. Teoremele 4 si 5 pot fi date ntr-o singura teorema:

Un paralelogram este dreptunghi daca si numai daca are diagonalele congruente.

Observatie. Dreptunghiul are:

un centru de simetrie: punctul de intersectie a diagonalelor; doua axe de simetrie: mediatoarele laturilor opuse. (figura 3)

Figura 3

Observatie. Un patrulater convex este dreptunghi daca ndeplineste una din conditiile de

mai jos.

Este paralelogram si are un unghi drept. Are toate unghiurile congruente. Are trei unghiuri drepte. Este paralelogram si are diagonalele congruente.

Fise cu teorie pentru gimnaziuDreptunghiul

2 Profesor Marius Damian, Braila