E. DIVIZIBILITATEA 

1) Determina]i numerele de forma 1x5y divizibile cu 18 

REZOLVARE 1x5y 2 Þ 1x50 ; 1x52 ; 1x54 ; 1x56 ; 1x58

1x5y 18 Þ Þ {1152 ; 1350 ; 1458 ; 1656 ; 1854}

1x5y 9 Þ 1350 ; 1152 ; 1854 ; 1656 ; 1458 

2) Ar@ta]i c@ num@rul A = 4n+3 + 4n+2 + 5∙4n+1 este divizibil cu 100 oricare ar fi n Î N 

REZOLVARE 

A= 4n∙43 + 4n∙42 + 5∙4n∙4∙1 = 4n∙(64+16+20)=4n∙100 Þ A 100 

3) Demonstra]i c@ num@rul A= 2n∙3n+3 - 27 este divizibil cu 135 

REZOLVARE 

A= 2n∙3n∙33 - 33 = 33∙(6n - 1) = 27∙(6n - 1) dar 135 = 27∙56n are ultima cifra 6 Þ(6n - 1) are ultima cifra 5 Þ (6n - 1) este divizibil cu 5Daca A este divizibil cu 27 si A divizibil cu 5 Þ A este divizibil cu 135 

4) Determinati numerele naturale a si b daca a + b = 120 si (a , b)=15 

REZOLVARE 

Din (a , b) = 5 Þ a=15∙x si b=15∙y

Din a + b = 120 Þ 15x + 15y = 120 Þ x + y =8 Þ x=1 y=7 Þ a=15 b=105x=3 y=5 a=45 b=75x=7 y=1 a=105 b=15x=5 y=3 a=75 b=45

S-au cautat valori naturale pentru x si y astfel incit suma lor sa fie 8.Atentie! valorile care se dau lui x si y trebuie sa fie numere prime intre ele.

5) Determinati numerele naturale a si b daca a ∙b = 2835 si [a,b]=315 

REZOLVARE 

Din a∙b=(a,b)∙[a,b] Þ 2835=(a,b)∙315 Þ (a,b)=9 Þ a=9x si b=9y Þ 9x∙9y=2835 Þ x∙y=35

Din x∙y=35 Þ x=1 y=35 Þ a=9 b=315

x=5 y=7 Þ a=45 b=63

x=35 y=1 Þ a=315 b=9

x=7 y=5 Þ a=63 b=45

 

6) Afla]i 2 numere }tiind c@ raportul lor este 7 / 9 iar prin ^mp@r]ire se ob]ine c$tul 1 }i restul 16. 

REZOLVARE 

·Not@m numerele : nr.mare = x ; nr.mic = y 

· Form@m ecua]ii ( se aplic@ teorema ^mp@r]irii cu rest) y 7 

D : % = C }i RÞ D = %∙C + RÞx : y =1R16Þx =y∙1 + 16 ;din raport rezult@ ecua]ia ---- = ---x 9

x = y+16 Þ x - y = 16 /∙(-7) Þ -7x + 7y =-102 Þ y = 56y 7 7x - 9y = 0 7x - 9y = 0 x = 72 

Þ ---- = ----x 9 

7) Afla]i cel mai mic num@r natural care ^mp@r]it pe r$nd la 12 ; 18 ; 30 d@ de fiecare dat@ restul 8. 

REZOLVARE 

· Not@m num@rul cu n 

· Se scrie pentru fiecare ^mp@r]ire teorema ^mp@r]irii cu restn : 12 = c1 rest 8 n = 12∙c1 + 8 n - 8 = 12∙c1

n : 18 = c2 rest 8 Þ n = 18∙c2 + 8 Þ n - 8 = 18∙c2

n : 30 = c3 rest 8 n = 30∙c3 + 8 n - 8 = 30∙c3

n - 8 = M(12 , 18 , 30) 

· Se afl@ c.m.m.m.c al numerelor 12 , 18 , 3012 = 22∙318 = 2∙32

30 = 2∙3∙5

M = 22∙32∙5 = 180 Þ n - 8 = 180 Þ n = 188

8) Afla]i cel mai mic num@r natural care prin ^mp@r]irea la numerele 12 ,18 ,40 d@ resturile 10 ,16 ,38. 

REZOLVARE 

· Se procedeaz@ ca la exerci]iul precedent

n : 12 = c1 rest 10 n = 12∙c1 + 10 n+2=12c1+12 n+2=12(c1+1)n : 18 = c2 rest 16 Þ n = 18∙c2 + 16 (+2) Þ n+2=18c2+18 Þ n+2=18(c2+1)n : 40 = c3 rest 38 n = 40∙c3 + 38 n+2=40c3+40 n+2=40(c3+1)

n+2=M(12 , 18 , 40)

Deoarece resturile nu mai sunt egale nu se mai pot trece in partea stanga a egalitatii.In aceasta situatie se aduna la fiecare egalitate un numar (in cazul nostru 2) care adunat cu restul sadea un numar egal cu impartitorul (ca sa putem scoate factor comun, transformand astfel sumaalgebrica din dreapta egalitatii in produs) Atentie ! Numarul se aduna atat in dreapta cat si in stanga egalitatii. 

·Se calculeaz@ M ca la exerci]iul precedent }i se ob]ine M = 360 Þ n+2=360 Þ n = 358