DISTRIBUŢIA MAXWELL DUPĂ VITEZE 1. Scopul lucrării Lucrarea are drept scop studiul distribuţiei după viteze pentru un colectiv statistic reprezentativ format din 400 de bile. Mişcarea bilelor este considerată echivalentă cu mişcarea moleculelor unui gaz ideal aflat la echilibru termic. Graficul funcţiei de distribuţie după viteze obţinut experimental se va compara cu cel teoretic corespunzător funcţiei de distribuţie după viteze Maxwell. Se vor calcula două mărimi de interes fizic: viteza cea mai probabilă şi viteza pătratică medie. 2. Teoria lucrării Teoria cinetică a gazelor urmăreşte să determine parametrii macroscopici ai gazelor ca presiunea, temperatura sau volumul luând în considerare mişcarea şi compoziţia moleculară. În esenţă, teoria postulează că presiunea nu se datorează respingerii statice între molecule ci coliziunii între moleculele ce se mişcă cu o anumită viteză. Considerăm un sistem compus dintr-un număr mare N de particule. În funcţie de natura sistemului, fiecare particulă se poate găsi într-una din diferitele stări energetice posibile: astfel încât la un moment dat particule au energia , energia , etc. Spunem că numerele formează o partiţie.

...,, 321 EEE 1N 1E 2N

2E ,...,, 321 NNN Numărul total de particule este: ∑

=

=+++=1

321 ...i

iNNNNN

şi energia totală a sistemului este: ∑

=

=+++=1

332211 ...i

ii ENENENENE .

Pentru un sistem izolat (asupra căruia nu se exercită nicio acţiune din exterior) atât numărul total de particule cât şi energia totală se conservă: const

1

==∑=i

iNN , respectiv

. const1

==∑=i

ii ENE

Fiecare stare macroscopică a sistemului de N particule poate fi descrisă prin mai multe partiţii diferite; altfel spus există mai multe stări microscopice (microstări) compatibile cu o macrostare dată. Totuşi, pentru fiecare macrostare a sistemului există o partiţie care ţinând cont de condiţiile fizice ale sistemului de particule (număr de particule, energie totală, structura fiecărei particule), reprezintă partiţia cea mai probabilă. Când se realizează partiţia cea mai probabilă, sistemul se află în echilibru statistic şi rămâne în această stare dacă nu este perturbat din exterior. Un sistem în echilibru statistic are o temperatură T bine determinată şi este de asemenea în echilibru termic. În acest caz putem considera echivalente noţiunile de echilibru statistic şi echilibru termic. Principalul scop al mecanicii statistice este găsirea partiţiei celei mai probabile (descrisă matematic de legea de distribuţie) pentru un sistem izolat de compoziţie dată şi

1

deducerea proprietăţilor macroscopice ale acestuia pornind de la acestă lege de distribuţie. Una din cele mai des utilizate legi de distribuţie este legea Maxwell-Boltzmann, conform căreia, pentru sistem aflat în echilibru statistic la temperatura T, numărul de particule care au energia este:

iN

iE

kTE

i

i

AeN−

= unde: k este constanta lui Boltzmann şi A o constantă care depinde de temperatură, de numărul total de particule şi de masa particulelor sistemului. Dacă particulele nu interacţionează între ele şi nu se află în niciun câmp de forţe extern, reprezintă energia cinetică a particulelor. iE Partiţia după energia cinetică, adică numărul de particule cu energia cinetică cuprinsă în intervalul ( ) este:

Ndccc EEE d, +

ckTE

c EeEkT

NNc

d12d 212

3 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

π.

Înlocuind în această relaţie expresia energiei cinetice: 2

2mvEc = şi ţinând cont de

faptul că: obţinem partiţia Maxwell după viteze: vmvEc dd =

vvekT

mNN kTmv

d2

4d 2223 2

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=π

π (1)

care reprezintă numărul de particule având modulul vitezelor cuprins în intervalul: . ( )vvv d, +

Viteza cea mai probabilă a particulelor este viteza pentru care funcţia de

distribuţie: pv

( ) 2223 2

24 ve

kTmvf kT

mv−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=π

π (2)

este maximă şi are valoarea:

mkTvp

2= . (3)

Înlocuind relaţia (3) în (2) funcţia de distribuţie după viteze devine:

23

2

2

14)( vev

vf pvv

p

−

=π

(4)

Viteza pătratică medie, calculată cu relaţia de definiţie a mediei sttistice (pentru variabile aleatoare cu spectru de valori continuu) este:

( )∫∞

==

0

22 3dmkTvvfvv .

2

Una din cele mai interesante aplicaţii ale distribuţiei Maxwell este determinarea energiilor şi vitezelor moleculelor unui gaz aflat în echilibru termic şi determinarea parametrilor macroscopici ce caracterizează gazul, precum presiunea şi temperatura. Energia cinetică medie a unei molecule de gaz ideal monoatomic este:

kTvm

Ec 23

2

2

== .

Ţinând cont de ecuaţia termică de stare a gazului ideal: NkTpV = rezultă imediat

că: cEVNp

32

= .

3. Dispozitivul experimental

Fig.1 - Dispozitivul experimental

Aparatul de modelare a teoriei cinetice a gazelor este compus din incinta (1) de înălţime reglabilă prin deplasarea pistonului superior (2). Baza incintei oscilează la frevenţe controlate cu ajutorul sursei de tensiune (3) şi a stroboscopului digital. Incinta este conectată la recipientul colector (4) compartimentat astfel încât să selecteze după viteze bilele expulzate prin orificiul lateral (5) al incintei. Stativul de pe masa de lucru conţine eprubete cu câte 400 de bile (marcate cu ”400”) cât şi epubete goale. Durata fiecărui experiment se măsoară cu ajutorul cronometrului digital. 4. Modul de lucru 1. Se introduc 400 de bile de sticlă în incinta (1), se fixează pistonul superior (2) la

înălţimea de 6 cm şi se setează frecvenţa oscilatorului la 50 Hz. Se deschide orificiul lateral (5) pentru 1 minut şi se determină numărul de bile expulzate. Bilele expulzate se reintroduc în incintă şi se repetă experimentul de încă două ori. Se determină numărul mediu de bile expulzate pe minut eN .

3

2. Se umplu eprubetele test A; B, C şi D fiecare cu un număr de eN bile. Se introduc în incintă 400 de bile şi se fac setările: pistonul superior (2) la înălţimea de 6cm, frecvenţa oscilatorului 50 Hz şi diferenţa de înălţime dintre orificiul de ieşire (5) şi receptor . Când frecvenţa este stabilă se deschide orificiul pentru 5 minute. La fiecare minut se completează numărul de bile din incintă cu conţinutul uneia din eprubetele test A, B, C,şi D astfel încât „densitatea de particule” să fie constantă pe durata experimentului. Se determină numărul de bile din fiecare din cele 24 de compartimente ale recipientului colector.

cm 8=h

5. Prelucrarea datelor experimentale

1. Ştiind că toate compartimentele au lungimea de 1cm se calculează viteza bilelor din fiecare compartiment al recipientului colector, cu ajutorul relaţiei:

h

gxvi 2=

unde x este distanţa pe orizontală la care a fost aruncată bila i, h = 8 cm şi g = 9,81 m/s2 este accelaraţia gravitaţională. Se determină viteza cea mai probabilă ca fiind viteza corespunzătoare

compartimentului cu cel mai mare număr de bile. pv

2. Se determină funcţia de distribuţie experimentală după viteze :

( )v

N

Nvf i

i Δ=∑

1exp ,

în care sunt numărul de bile din compartimentul „i” şi iN m/s 078,0=Δv este variaţia vitezei corespunzătoare intervalului cm 1=Δx . Datele experimentale şi cele calculate se sistematizează în tabelul:

Compartimentul iN (m/s)iv vN

Ni

i Δ∑1

1 2 .

3. Înlocuind viteza cea mai probabilă obţinută experimental în relaţia (4) se obţine funcţia de

distribuţie teoretică după viteze. 4. Se reprezintă pe acelaşi grafic funcţiile de distribuţie teoretică şi experimentală ca în figura:

4