METODE NUMERICE DE EVALUARE A VALORILOR ŞI VECTORILOR PROPRII

Problema fundamentală în dinamica construcţiilor - determinarea caracteristicilor dinamice proprii – totalitatea pulsaţiilor şi formelor proprii corespunzătoare.

• Metoda energetică – METODA RAYLEIGH

• Metoda DUNKERLEY-SOUTHWELL

• Metoda aproximaţiilor succesive – VIANELLO – STADOLA

• Metoda HOLZER

• Metoda matriceală iterativă

METODA RAYLEIGH – Metoda energetică

Metoda are la bază legea conservării energiei şi se bazează pe aproximarea prealabilă a formelor proprii de vibraţie.

• Principiul lui Rayleigh – pulsaţia proprie a unui sistem conservativ, care vibrează în jurul poziţiei de echilibru, are o valoare staţionară în vecinătatea modului propriu corespunzător. Această valoare staţionară este totdeauna minimă pentru modul fundamental.

• Energia totală a unui sistem conservativ (în care nu există disipare de energie) este constantă pe tot timpul mişcării

(1)

• Ec(t) energia cinetică• Ep(t) energia potenţială

La determinarea energiilor cinetice şi potenţiale este necesar ca deformata dinamică corespunzătoare modului fundamental să fie compatibilă cu legăturile reale ale sistemului, adică să respecte condiţiile la limită.

.)()( consttEtEE pct

O aproximare satisfăcătoare a formei fundamentale de vibraţie o constituie deformata statică produsă de acţiunea încărcărilor gravitaţionale aplicate după direcţia GLD a sistemului.

Pentru un sistem discret cu n GLD expresiile energiilor cinetice şi potenţiale sunt:

(2)

Pentru forma fundamentală, deplasările sistemului sunt cele de mai jos dacă funcţia de timp are o formă armonică

(3)

ui(t) este amplitudinea deplasării

)(2

1)()(

2

1)(

1

2

1

tuGtEtumtE i

n

iipi

n

iic

nitutu ii ...2,1)sin()( 11

(4)

• Când sistemul trece prin poziţia de aechilibru energia potenţială este nulă iar energia cinetică maximă

• Când sistemul trece prin poztiţia extremă (deplasările sunt maxime) energia potenţială este maximă iar energia cinetică este nulă.

Rezultă

(5)

Se înlocuiesc expresiile din (4) în (5) şi rezultă formula lui Rayleigh

(6)

)(sin)(sin2

1)(

)(cos)(cos2

1)(

112max

111

221

112max2

111

221

tEuGttE

tEumttE

pi

n

iip

ci

n

iic

maxmaxpc EE

2

1

1

2

1

121

1

2

1

21

iuG

uGg

um

uGuGum n

ii

i

n

ii

i

n

ii

i

n

ii

i

n

iii

n

ii

Dacă se ţine cont de notaţia expresia pulsaţiei fundamentale

pentru un sistem cu 1GLD este

(7)

Pentru un sistem cu nGLD

(8)

(9)

GuGst

Gstu

g1

UMUEUKUE Tc

Tp 2

1

2

1 maxmax

UMU

UKUT

T

2

RELAŢII SIMPLIFICATE PENTRU ESTIMAREA PERIOADEI FUNDAMENTALE (conform P100-2006)

Pentru proiectarea preliminară a clădirilor cu înălţimi până la 40 m, se poate utiliza următoarea formulă simplificată pentru estimarea perioadei fundamentale de translatie

(B.3)

unde :

• T1 este perioada fundamentală a clădirii, în secunde.

• Ct este un coeficient ale cărui valori sunt funcţie de tipul structurii, după

cum urmează :

– Ct = 0,085 pentru cadre spaţiale din oţel,

– Ct = 0,075 pentru cadre spaţiale din beton armat sau din oţel cu

contravântuiri excentrice,

– Ct = 0,05 pentru celelalte tipuri de structuri.

• H înălţimea clădirii, în metri, măsurată de la nivelul fundaţiei sau de la

extremitatea superioară a infrastructurii rigide.

431 HCT t

Alternativ, valoarea coeficientului Ct corespunzătoare clădirilor cu pereţi structurali din beton armat sau din zidărie este dată de relaţia

(B.4)

în care (B.5)

unde • Ac aria totala efectivă (în m2) a pereţilor structurali de la primul nivel al

clădirii, • Aj aria efectivă a secţiunii transversale (în m2) a peretului structural “j”

situat la primul nivel al cladirii,• lwj lungimea peretelui structural “j” (în m) de la primul nivel, pe direcţie

paralelă cu fortele aplicate, cu restricţia • lwj / H < 0,9 (B.6)

Pentru structurile în cadre de beton armat şi otel care nu depaşesc 12 etaje în înălţime şi au o înălţime minimă de etaj de aproximativ 3 metri, perioada fundamentală de translaţie pe orice direcţie orizontală se poate estima cu relaţia simplificată: T1 = 0,1 n (B.7)

unde “n” este numărul de niveluri al structurii.

ct AC / 075,0

j

wjjc HlAA 22,0