Dificultăţi în învăţarea matematicii la clasa...
222
3 Cuprins Prefaţă .................................................................................................................... 5 I. ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ........................................................... 7 Matrici......................................................................................................... 8 Matrici particulare ...................................................................................... 9 Inversa unei matrici .................................................................................. 13 Sisteme de ecuaţii liniare .......................................................................... 15 Problema compatibilităţii sistemelor ........................................................ 17 Problema determinării sistemelor ............................................................. 18 Întrebări de control şi exerciţii ................................................................. 19 Metode de rezolvare a sistemelor liniare .................................................. 20 Algoritmul lui Gauss pentru sisteme liniare ............................................. 21 Metoda eliminării complete (Gauss-Jordan) ............................................ 23 Spaţii vectoriale (liniare) .......................................................................... 25 II. PROGRAMAREA LINIARĂ ........................................................................ 30 Rezolvarea problemei de programare liniară ........................................... 32 Clasificarea soluţiilor ................................................................................ 33 Algoritmul Simplex .................................................................................. 34 Determinarea soluţiei optime a problemei de programare liniară ............ 43 Cazul soluţiei infinite................................................................................ 48 Degenerarea în problemele de programare liniară ................................... 49 Soluţii multiple. Soluţia generală ............................................................. 50 Exerciţii şi probleme. Întrebări de control ................................................ 50 III. ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ............................................ 54 Formula lui Taylor .................................................................................... 55 Funcţii reale de mai multe variabile reale ................................................ 57 Derivate parţiale ....................................................................................... 60 Interpretări economice ale derivatelor parţiale ......................................... 63 Derivatele funcţiilor compuse .................................................................. 64 Formula lui Taylor pentru funcţii de două variabile ................................ 65 Extremele funcţiilor de două variabile ..................................................... 67 Extreme pentru funcţii de mai multe variabile ......................................... 71 Ajustarea datelor numerice ....................................................................... 73 Extensii ale noţiunii de integrală .............................................................. 78 Funcţiile lui Euler de speţa întâia (Funcţia Beta) şi de speţa a doua (Funcţia Gamma) .......................................................................... 80 Exerciţii şi probleme ................................................................................. 83 IV. ELEMENTE DE TEORIA GRAFELOR ..................................................... 90 Matrici asociate unui graf ......................................................................... 94
Transcript of Dificultăţi în învăţarea matematicii la clasa...
3
Cuprins
Prefaţă.................................................................................................................... 5 I. ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ........................................................... 7
Matrici......................................................................................................... 8 Matrici particulare ...................................................................................... 9 Inversa unei matrici .................................................................................. 13 Sisteme de ecuaţii liniare.......................................................................... 15 Problema compatibilităţii sistemelor........................................................ 17 Problema determinării sistemelor............................................................. 18 Întrebări de control şi exerciţii ................................................................. 19 Metode de rezolvare a sistemelor liniare.................................................. 20 Algoritmul lui Gauss pentru sisteme liniare............................................. 21 Metoda eliminării complete (Gauss-Jordan) ............................................ 23 Spaţii vectoriale (liniare) .......................................................................... 25
II. PROGRAMAREA LINIARĂ ........................................................................ 30 Rezolvarea problemei de programare liniară ........................................... 32 Clasificarea soluţiilor................................................................................ 33 Algoritmul Simplex .................................................................................. 34 Determinarea soluţiei optime a problemei de programare liniară............ 43 Cazul soluţiei infinite................................................................................ 48 Degenerarea în problemele de programare liniară ................................... 49 Soluţii multiple. Soluţia generală ............................................................. 50 Exerciţii şi probleme. Întrebări de control................................................ 50
III. ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ............................................ 54 Formula lui Taylor.................................................................................... 55 Funcţii reale de mai multe variabile reale ................................................ 57 Derivate parţiale ....................................................................................... 60 Interpretări economice ale derivatelor parţiale......................................... 63 Derivatele funcţiilor compuse .................................................................. 64 Formula lui Taylor pentru funcţii de două variabile ................................ 65 Extremele funcţiilor de două variabile ..................................................... 67 Extreme pentru funcţii de mai multe variabile ......................................... 71 Ajustarea datelor numerice....................................................................... 73 Extensii ale noţiunii de integrală .............................................................. 78 Funcţiile lui Euler de speţa întâia (Funcţia Beta) şi de speţa a doua
(Funcţia Gamma) .......................................................................... 80 Exerciţii şi probleme................................................................................. 83
IV. ELEMENTE DE TEORIA GRAFELOR ..................................................... 90 Matrici asociate unui graf ......................................................................... 94
4
Algoritmul lui Y.C.Chen, pentru construirea matricii drumurilor (terminală)..................................................................................... 98
Matricea terminală triangularizată superior TTS ................................... 100 Drumuri hamiltoniene în grafe ............................................................... 101 Determinarea drumurilor hamiltoniene într-o reţea oarecare.
Algoritmul lui Foulkes................................................................ 109 Drumuri optimale ................................................................................... 118 Drum critic (rută maximă) în grafe fără circuite .................................... 118 Fluxul în reţea ......................................................................................... 126
V. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ................................... 132 Evenimente. Operaţii cu evenimente...................................................... 133 Definiţii ale noţiunii de probabilitate ..................................................... 136 Câmp de evenimente .............................................................................. 139 Probabilităţi condiţionate........................................................................ 140 Evenimente independente....................................................................... 144 Scheme clasice de probabilitate.............................................................. 151 Variabile aleatoare .................................................................................. 162 Vectori aleatori ....................................................................................... 168 Operaţii cu variabile aleatoare................................................................ 170 Caracteristici numerice pentru variabile aleatoare discrete.................... 177 Inegalitatea lui Cebîşev .......................................................................... 184 Variabile aleatoare continue ................................................................... 191 Caracteristici numerice pentru variabile aleatoare continue .................. 197 Legi de probabilitate continue uzuale..................................................... 205
Anexe……………………………………..……………………………219
Bibliografie........................................................................................................ 223
5
PREFAŢĂ
Matematica a furnizat întotdeauna modele şi metode de calcul
utile, uneori chiar esenţiale, celor mai diverse domenii ale activităţii
umane. Unele din aceste modele îşi aşteaptă încă utilizarea, apărând
diferenţe şi de 200 de ani de la crearea conceptului matematic şi
utilizarea acestuia.
Pe bună dreptate s-a afirmat că matematica este locomotiva care
trage după sine alte ştiinţe.
Ştiinţele economice au luat în ultimul timp o mare amploare,
datorită intensificării legăturilor internaţionale dintre agenţii
economici şi datorită globalizării. Dezvoltarea rapidă a cunoştinţelor
din domeniul economic a fost posibilă prin utilizarea din plin a
modelelor matematice, mai vechi sau mai noi, precum şi dezvoltării
puternice a informaticii.
Noţiunile din capitolele Algebră liniară şi Elemente de analiză
matematică din acest volum au aplicaţii directe în economie după cum
se vede din unele exemple, în plus pregătesc cititorul pentru
înţelegerea altor noţiuni.
Din portofoliul problemelor de optimizare cunoscut şi sub
denumirea de "Cercetări operaţionale" apărute în ultimii 70 de ani am
dezvoltat doar "Programarea liniară" şi "Elemente de teoria grafurilor"
care sunt mai uşor de înţeles şi totuşi foarte importante. Alte modele
ca Teoria jocurilor, Programarea stohastică, Teoria stocurilor şi Teoria
6
aşteptării pot fi înţelese cu ajutorul noţiunilor de bază culese din acest
volum.
În multe cazuri hazardul, întâmplarea îşi pun amprenta pe
desfăşurarea în timp a proceselor şi fenomenelor economice. Noţiunile
de eveniment, probabilitate, variabile aleatoare şi caracteristici
numerice ale acestora, fac obiectul de studiu al capitolului V
"Elemente de teoria probabilităţilor". Acest capitol pregăteşte cititorul
şi pentru studiul statisticii care la rândul ei e prezentă în toate ramurile
economice.
Materialul conţinut în acest volum reprezintă un minim necesar
pentru abordarea ştiinţifică a problemelor economice. Recomandăm
studenţilor, viitori economişti, să aprofundeze aceste noţiuni studiind
şi bibliografia indicată.
Noţiunile prezentate în fiecare capitol sunt ilustrate prin
exemple, majoritatea fiind rezolvate şi amănunţit explicate.
Au fost eliminate demonstraţiile prea lungi şi greoaie, astfel că,
materialul este uşor de abordat chiar de cei care studiază individual
această disciplină.
Prezentul volum este util studenţilor de la ştiinţele economice, în
special pentru cei de la învăţământul la distanţă, dar poate fi cercetat
cu folos şi de alţi specialişti care utilizează matematica.
I. ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ
Prin formă liniară se înţelege o expresie de mai multe variabile
toate la puterea întâia.
∑n
7
E = a x x x + a + … + a = 1 1 2 2 n n=1i
ii
unde a
xa
mai multe produse dar să ne încadrăm într-o anumită
sumă vom avea
are liniară" pe care o vom studia în unul din
pito
i liniare îl constituie
oţiunile de matrice şi determinant
precu rietăţile acestora.
i sunt coeficienţi, de obicei numere reale, iar xi sunt variabile.
Aceste expresii liniare sunt frecvent utilizate în modelele economice,
deoarece în economie apar formule cum ar fi S = q⋅p, unde S este
suma obţinută, q – cantitatea de marfă şi p – preţul unitar. Dacă dorim
să achiziţionăm
q1p1 + q2p2 + … + qnpn ≤ S.
Astfel de expresii apar şi în modelele matematice cuprinse sub
denumirea "Program
ca lele următoare.
Unul din principalele subiecte al algebre
sistemele liniare care au fost studiate şi în liceu.
În continuare dorim să evidenţiem câteva proprietăţi noi precum
şi a unor metode noi de rezolvare a acestora. Legat de sistemele liniare
au fost studiate şi sunt utile n
m şi prop
8
oar coeficienţii aij. Dacă în acest
rmenii liberi atunci vom obţine aşa numita matrice
extinsă a sistemului liniar. Reamintim pe scurt câteva operaţii şi
proprietăţi de bază ale matricilor.
Fie
Matrici
O matrice este un tablou dreptunghiular de numere. Ele au
apărut prin eliminarea dintr-un sistem liniar a variabilelor şi a
semnelor de operare rămânând d
tablou luăm te
n,1jm,1iij
22221 na...aaaA ⎟
⎟⎜⎜
=
mn2m1m a...aa ⎟⎠
⎜⎝
Egalitatea matricilor. Fie A = || a
n11211
ij a............
a...aa
==
=⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛
=
A = B ⇔ aij
p, adică au acelaşi număr de linii şi acelaşi număr de coloane.
C = A + B
ij ||, B = || bij ||, i = 1,m, j = 1,n,
= bij.
Adunarea matricilor. Se poate face doar dacă A şi B sunt de
acelaşi ti
n,1jm,1iijcC
==
= cij = aij + bij
Înmulţirea cu un scalar. Fie K un număr real sau complex.
Atunci
n,1jm,1iijKaAK
==
=⋅
Înmulţirea a două matrici se poate face doar dacă numărul de
a matrice este gal cu cel de linii de la a doua. Fie
deci:
coloane de la prim e
9
ikaA =p,1j=
m,1i= nj ,1=
avem că
pkkjbB,1=
=
n,1jm,1iij
=
cCAB == unde = ∑
=⋅=
p
1kkjikij
M
ba .
atrici particulare
Matricea zero este matricea care are toate elementele egale cu
zero. Se notează de o m,n
ă de cele de pe diagonala principală care sunt egale cu 1,
dică
c
bicei cu 0 .
Matrice unitate. Este o matrice pătrată având toate elementele
zero în afar
a
ijI δ= unde ⎩⎨⎧
≠=
=idacă
jidacă01
ijδ j
Are proprietatea că A⋅I = I⋅ A, ∀ matrice A cu care se poate face
înmulţirea.
Matrice diagonală este matricea care are elemente diferi e de
zero numai pe diagonala principală, în rest toate
t
fiind egale cu zero. Şi
e dia
elementele de
iulară inferior".
trice care are o singură linie respectiv
c re o singură coloană.
p gonala principală unele elementele pot fi zero.
Matrice triunghiulară. O matrice care are toate
sub diagonala principală egale cu zero, se numeşte "triunghiulară
superior" A = || aij ||, unde aij = 0 pentru i > j. Dacă e invers aij = 0
pentru i < j se numeşte "triungh
Matrice linie – este o ma
matricea oloană este aceea care a
10
dat de ordinul celui mai
ex
ma
Proprietăţi ale rangului
1.
Rangul unei matrici A, este numărul
tins determinant diferit de zero care se poate extrage din acea
trice. Se notează cu rang A.
Dacă n,1j=
ng A ⋅ B ≤ min rang A, rang B.
m,1iijaA=
2. Ra
ntele unei alte
umăr oarecare.
inanţilor (a
le;
de mai sus rezultă că
ouă
= ⇒ rang A ≤ minm,n
3. Rangul unei matrice nu se schimbă dacă:
a) se transpune matricea (se schimbă liniile şi coloanele între ele);
b) se înmulţesc elementele unei linii sau coloane cu un număr
nenul;
c) se permută între ele două linii (coloane);
d) se adaugă la elementele unei linii (coloane) eleme
linii (coloane) eventual înmulţită cu un n
Aceste afirmaţii rezultă din proprietăţile determ
minorilor de un anumit ordin r extraşi din matrice). Prin aplicarea
operaţiilor de mai sus situaţia unui minor de a fi zero sau diferit de
zero nu se schimbă.
Prin "Transformări elementare" aplicate unei matrici înţelegem:
1) înmulţirea unei linii sau coloane cu un număr nenul;
2) permutarea a două linii (coloane) între e
3) adunarea unei linii (coloane) cu o altă linie (coloană).
Două matrici ce rezultă una din alta prin transformări elementare
se numesc echivalente. În baza observaţiilor
d matrici echivalente au acelaşi rang.
11
elementare sunt
cât
nţilor şi care
ma
aflare a rangului unei matrici:
2.
supra celorlalte linii (coloane) până ce pe coloana (linia)
ă cel mult un element diferit
de
aceste elemente diferite
tricea ar fi diagonală.
Acest lucru nu este însă util după cum se va vedea.
5. Rangul matricii este egal cu numărul de elemente diferite de zero
din matricea quasidiagonală obţinută.
Se va dovedi în continuare că transformările
foarte utile pentru aflarea rangului, pentru obţinerea matricii inverse,
şi pentru rezolvarea sistemelor liniare.
Aceste operaţii efectuate doar cu ajutorul determina
au fost studiate la liceu sunt extrem de dificile mai ales dacă ordinul
tricei respectiv al sistemului este mai mare.
Procedeul practic de
1. Se alege un element pivot (de lucru) din matrice.
Se efectuează transformări elementare cu linia (coloana) pe care stă
pivotul a
pe care stă se obţin numai zerouri (exceptând pivotul).
3. Dacă pe toată coloana pivotului s-au obţinut zerouri atunci automat
pe linia lui putem înlocui toate elementele cu zerouri (exceptând
pivotul) sau reciproc.
4. Se continuă acest procedeu producând cât mai multe zerouri până
când pe fiecare linie sau coloană exist
zero.
Această formă a matricei o numim forma quasidiagonală. Dacă
s-ar mai face permutări de linii şi de coloane
de zero ar ajunge pe diagonala principală şi ma
12
Observaţie. Poziţia elementelor diferite de zero este utilă în
alegerea deter inantului principal, e sar pentru stab irea naturii
unui sistem liniar (compatibil, incompatibil).
lu. Să se determine rangul matricii
⎞⎜⎛ 2211
⎜⎜
⎝12211 ∼
⎞
⎜⎜ 0000
22∼
⎞
⎜⎜⎜⎛
00000001
∼
⎠⎜⎜
⎝ − 00200000
L1 (-1) + 2
1 (-1 3
m n ce il
Exemp
⎟⎟
⎠⎜⎜
⎝ −−−=
23112211A
⎞⎜⎛ 2211
⎜⎛ 11
⎟
⎟⎟⎟
⎠−−− 231 ⎠⎝ −−− 4520 ⎠⎝ −−− 4520
⎟⎞
⎜⎛ 0001
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
⎟⎟
L
L ) + L
În forma qvasidiagonală sunt două elemente diferite de zero deci
rang =2. Un determinant diferit de zero de ordin maxim ce s-ar putea
extrage din această matrice ar fi
211
11p −=
−=∆
El a fost găsit da i iţială alegem liniile şi că d n matricea in
coloanele corespunzătoare elementelor diferite de zero din forma
qvasidiagonală.
13
a matricială a sistemelor liniare.
a afla inversa unei
ară
asupra unei linii (sau colo tricea dată A, putem face
ată A la stânga (respectiv dreapta) cu
lementare pe coloane, respectiv pe linii ce sunt
necesare pentru a lă unitate.
e coloane pe care o notăm cu C.
Analog pe linii şi obţinem matricea transformărilor pe linii L.
Teoremă. Pentru orice matrice pătrată nesingurală A avem
Inversa unei matrici
Problema inversei se poate pune doar la matrici pătrate
(numărul liniilor egal cu cel al coloanelor) şi nesingulare
(determinantul ataşat diferit de zero). Matricea inversă are printre alte
aplicaţii un rol esenţial în rezolvare
Fiind dată matricea A, o altă matrice A-1 este inversa lui A dacă şi
numai dacă
A ⋅ A-1 = A-1 ⋅ A = I.
Metoda clasică cu complemenţi algebrici studiată în liceu este
deosebit de greoaie pentru matrici mai mari.
Vom da în continuare o metodă simplă de
matrici utilizând transformările elementare.
Observaţia 1. Pentru a efectua o transformare element
ane) din ma
această transformare asupra matricii unitate de acelaşi ordin cu A
după care înmulţim matricea d
cea obţinută din matricea unitate.
Observaţia 2. Fie C1, C2, …, Cn şi L1, L2, … Lm toate
transformările e
aduce matricea A la forma diagona
Dacă aplicăm transformările C1, C2, …, Cn asupra matricii
unitate de acelaşi ordin cu A obţinem aşa numita matrice a
transformărilor p
14
op
I = L ⋅ A pe de altă parte I= A-1⋅ A
luc em pe A la forma unitate vom
matrici.
este posibil înseamnă că
matricea A nu admite inversă lucru ce se poate verifica şi calculând
determinantul ataşat matricii care ar fi f st egal cu zero (matrice
singulară).
2. Aplicăm aceleaşi transformări elementare matricii unitate care se
transformă în matricea L adică A .
ntru r m aceste transformări
conc atricii turi.
crăm numai cu coloanele aşezăm matricea A şi I
una s ările crie pe marg
fle inv
I = L ⋅ A ⋅ C
Demonstraţie. Acest lucru rezultă prin aplicarea repetată a
eraţiunilor din observaţia 1.
Să presupunem acum că am putut aduce matricea A la forma
unitate cu transformări elementare numai pe linii. Atunci relaţia din
teoremă devine
Comparând cele două relaţii rezultă că L = A-1. Analog dacă
răm numai pe coloane ca să aduc
avea că A-1 = C.
Procedeu practic de obţinere a inversei unei
1. Aplicăm transformări elementare numai pe linii asupra matricii A
până ce o aducem la forma unitate.
Observaţie. Dacă acest lucru nu
o
-1
Observaţie. Pe apiditate efectuă
omitent asupra m A şi I aşezate ală
Dacă dorim să lu
ub alta. Transform efectuate le vom s ine.
Exemplu. Să se a ersa matricii
15
⎜A
Transformări
elementare pe linii
⎟⎟⎜ −= 211 ⎟⎞
⎜⎛ 111
⎠⎝ − 021
A I
1 1 1
1 -1 2
1
0 1 0 L1(-1) + L2
L1(-1) + L3
1 0 0
-2 0 0 0 1
1 1 1
0 -2 1
0 -3 -1
0
-1 0 1
L2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
21 + L1
L2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
23
1 0
-1 1 0 + L3
1 0 3/2
0 1 -1/2
0 0 -5/2
1/2 1/2 0
1/2 -1/2 0
1/2 -3/2 1
L3 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
53 + L1
L3 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
51 + L2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
4/5 -2/5 3/5
2/5 -1/5 -1/5
-1/5 3/5 -2/5
I A-1
Se poate verifica reuşita calculelor prin produsul A-1 ⋅ A = I.
Sisteme de ecu
După num o e ora o
S inia
a) compatibile:
aţii liniare
ărul s luţiilor ac st sistemele p t fi:
isteme l re:
16
determinate – o singură sol
- ne ate
incompatibile – nici o soluţie.
Prin solu n necunoscute se înţelege evident
de numere
- uţie;
determinate – o infinit de soluţii.
b)
un n-uplu
ţie a unui sistem cu
( )00 0n21 x,...,x,x care verifică toate ecuaţiile
secundare am1x1+am2x2+ … +amrxr
………………
+ … +amnxn =bm
Fără a micşora generalitatea problemei putem presupune că
determinantul de ordin r diferit de zero care a stabilit rangul matricii
sistemului este aşezat în colţul din stânga sus. Acest determinant se
ndare. Ecuaţiile sistemului care
au lin umăr de r, celelalte
sistemului. Vom aminti pe scurt condiţiile ca sistemul liniar să fie în
una din cele trei situaţii.
Fie un sistem liniar de m ecuaţii cu n necunoscute şi rang r,
r<min(m,n).
r necunoscute principale n-r necunoscute secundare
r
ecuaţii
a
principale a
11x1+a12x2+ …+a1rxr
a21x1+a22x2+ … +a2rxr
……….∆p………
+ … + a1nxn =b1
+ … +a2nxn =b2
………………
r1x1+ar2x2+ … +arrxr + … +arnxn =br
m-r
ecuaţii …………………………
numeşte determinant principal ∆p şi împarte ecuaţiile şi necunoscutele
sistemului în principale respectiv secu
ii în ∆p se numesc principale şi sunt în n
secundare sunt n-r. Analog cu necunoscutele x1. Cele care au coloane
în ∆p sunt principale (r), iar celelalte n-r secundare.
Determinant caracteristic ∆car,h se formează din ∆p la care se
adună o linie secundară., precum şi coloana termenilor liberi (doar cât
încape din fiecare).
17
hhr1h ba...a
Evident se pot forma m-r determinanţi caracteristici, adică câte
unul pentru fiecare
rb
ecuaţie secundară.
Vom reaminti mai jos două teoreme principale care dau
Teorema lui Rouché. Condiţia necesară şi suficientă pentru ca
S
caracteristici să fie nuli.
Această teoremă spune de fapt că orice soluţie a sistemului
princ totalitate. Acest lucru
S' f
term
sufi
fie
1
ph,car
bM∆
∆ =
Problema compatibilităţii sistemelor
condiţiile necesare şi suficiente pentru compatibilitate.
sistemul liniar să fie compatibil este ca toţi determinanţii
ipal verifică şi ecuaţiile secundare în
rezultă din proprietăţile determinanţilor.
Se numeşte matrice completă sau extinsă a sistemului S matricea
ormată din coeficienţii necunoscutelor la care se adaugă şi coloana
enilor liberi.
Teorema lui Kronecker-Capelli. Condiţia necesară şi
cientă ca sistemul liniar S să fie compatibil este ca rangul lui S să
egal cu rangul matricei complete S'.
Se observă rolul important jucat de rang în studiul sistemelor.
După verificarea compatibilităţii sistemului, ecuaţiile secundare pot fi
înlăturate, reţinându-le doar pe cele principale care formează sistemul
principal.
18
Problema determinării sistemelor
Se compară rangul r cu numărul necunoscutelor n.
n nu avem necunoscute secundare şi sistemul este
det ţie care se poate determina de
exemplu prin regula lui Cramer.
trecute în membrul doi, având rol de parametri. Sistemul este
nedeterminat, adică are o infinititate de solu
Observaţie. În problemele economice cele mai întâlnite şi mai
b
ă indică
specialistului că restricţiile impuse sunt prea tari şi în consecinţă
problema studiată nu are soluţii. Eventual trebuie modificate o parte
din condiţii.
a) Dacă r=
erminat. El are o singură solu
b) Dacă r<n atunci avem n-r necunoscute secundare care vor fi
ţii.
importante sunt sistemele compati ile şi nedeterminate, care au o
infinitate de soluţii, din care economistul trebuie printr-o metodă
specială să aleagă soluţia optimă.
Şi sistemele incompatibile au un rol prin faptul c
Exemplu. Să se rezolve sistemul
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−+=+−+=+−+
1u9z14y3x32u7z3yx
1uz4yx
Matricea sistemului este
19
⎜ ⎟⎟⎜ −⎟⎞
⎜⎛ − 111
= 7311A
⎠⎝ −− 91433
4
es 13141
p =−−
=∆Se obţine uşor rang S=2 unde am al . Rezultă
utele secundare x şi u,
singur determinant caracteristic
că necunoscutele principale sunt y şi z, necunosc
ecuaţiile principale primele două, ecuaţie secundară a treia. Există un
0143231141 −
3, =−−car =
este compatibil şi anume nedeterminat. El se
ma
−−=−
∆
Rezultă că sistemul
i poate scrie:
⎩⎨⎧ −−=−′
u7x2z3yS
y = 5 – x – 25 u, z = 1 – 6u
, u unde x, u ∈ R.
trol şi exerciţii
1. Ce este determinantul principal şi câţi pot fi?
2. Ce legătură există între rangul sistemului ărul ecuaţiilor şi cel
al necunoscutelor.
3. În ce situaţie se află sistemele pentru care avem:
ux1z4y
Prin rezolvare cu o metodă elementară se obţine:
Mulţimea soluţiilor sistemului depinde de doi parametrii n şi u
x, 5 – x – 25u, 1 – 6u
Întrebări de con
, num
a) m = 7, n = 6, r = 5
20
b) m = 5, n = 7, r = 5
c) m = 6, n = 6, r = 5
d) m = 4, n = 6, r = 5
unde m = numărul ecuaţiilor, n = numărul necunoscutelor şi r =
rangul.
4. Ce le în rezolvarea
sis
transformări elementare să se determine inversele
urm
sunt necunoscutele secundare şi ce rol au e
temului.
5. Cum pot fi scrise toate soluţiile în cazul sistemelor nedeterminate
ştiind că acestea sunt o infinitate.
6. Folosind
ătoarelor matrici
1210
1023 −−
121
1220112 şi
2321 −−−
348
7. Să se determine r
⎝ −−−−−−−
⎟
angul următoarelor matrici
−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
16531312312
431221543121
Metoda lui Cramer, cu ajuto determinanţilor, devine foarte
eoa
calculatorului nu este de
are
542
1312
312100121
1216
Metode de rezolvare a sistemelor liniare
rul
gr ie dacă sistemele sunt mai mari adică tocmai cazul problemelor
ce provin din economie. Nici chiar utilizarea
m ajutor.
21
Vom da în continuare două metode simple şi utile pentru astfel
de sisteme de mărime mijlocie 10 – 30 ecuaţii.
Algoritmul lui Gauss pentru sisteme liniare
12x2 + … + a1nxn = b1
uaţie cu a11≠ 0. Înmulţim noua ecuaţie
do
bxa....................................′=′+
Fie sistemul
a11x1 + a
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
…………………………………
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
Împărţim prima ec
respectiv cu -a21, -a31, …, -am1 şi o adunăm respectiv la ecuaţiile a
ua, a treia şi aşa mai departe. Obţinem astfel sistemul
2nn2222
1nn12121bxa...xabxa...xax′=′++′′=′++′+
22m ...xa +′ mnmn
Vom face un lucru analog cu ecuaţia a doua apoi a treia
ţiilor de mai jos.
În final vom avea forma
xdxcxcxcx
=
=++=+++=++++
..............................................
333
222
11132121
Sistemul de mai sus se rezolvă extrem de uşor înlocuind
variabilele de jos în sus.
Pe parcursul algoritmului pot apărea următoarele situaţii:
acţionând doar asupra ecua
nn
nn
nn
nn
dx
dxcxdxcxc 323
3
22
or unei ecuaţii devin toţi nuli iar termenul
liber este diferit de zero. În acest caz sistemul este incompatibil şi
b) coefi
corespunzător sunt toţi nuli. În acest caz această ecuaţie dispare.
a) coeficienţii necunoscutel
rezolvarea se sistează.
cienţii necunoscutelor unei ecuaţii, inclusiv termenul liber
Mai simplu aceste operaţii se pot face direct pe matricea completă a
sistemului, ne mai trebuind să scriem variabilele xi şi semnele de
operare.
Exemplu: Să se rezolve sistemul
⎪
⎪⎪⎨ =++
=++−=++
⎪⎩ =−+5xx3x2xxx2
7x5xx
321
321
321
⎧
14x3x3x2 321
Avem matricea
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎜⎝
⎛ −
527
131112511
~
− 14332 ⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ −7511
− 12420~
−− 16910
281310 ⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎛1
−
−−−
4416
7
22091
51
~ 00
− 442200⎝
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ −7511
⎟
−4416
0220910
~
0000 ⎟
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ −7511
− 2100−16
00
910
Sistemul devine
00
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−=+−=++
2x16x97x5xx
3
3
321 x2
23
c ad ite lu x 1, x -2.
Metoda elimin rii complete (Gauss-Jordan)
Se bazeaz ări elementare asupra
matric e a sistemului pr lte zerouri până ce
în locul matricii A stemului va obţine matricea unitate. Se
lu ea ev n imultan şi asupra termenilor liberi. În final se poate
citi direct soluţ si mului. Reamintim că această metodă poate fi
u za şi n o nerea matricii inverse lui A, care la rândul ei
lă a sistemelor liniare.
Exemplu: Folosind metoda eliminării complete a lui Gauss-
Jordan să se rezolve
1 2 3 + x4 = 1
1 2 3 4
1 = 5
Calculele se vor org l, ca mai jos. Pe marginea
tabelului se recomandă să ările elementare ce au fost
efectuate.
x1 x2 3 4 b T
are m so ţia 1 = 2 = 2, x3 =
ă
ă pe efectuarea de transform
ii extins oducând cât mai mu
a si se
cr ză ide t s
ia ste
tili tă pe tru bţi
poate servi la rezolvarea matricia
sistemul
x – 2x + x
x – x + 3x – 2x = –1
x + 2x + x + 5x2 3 4
aniza într-un tabe
scriem transform
x x ransformări elementare
1
1
1
-2
-1
2
1
-1
5
L1 )+L2
L1 )+L3 nghi ca pivot
1
2
1
1
-2
5
(-1
(-1
Se alege elementul din
dreptu
1
0
0
-2
1
4
1
-2
4
L2 )+L1
L2 )+L3
1
1
0
1
-3
4
(2
(-4
24
1
0
0
0
1
0
3
1
-4
5
3
16 1
L3 ) apoi
L2
L )+L1
3
2
2
(-1/4
L3(-1)+
3(-3
1
0
0
1
6
1
-3
0 0 1 -4
0
0
7
1
Rezultă soluţia sistemului
x1 = 6 – 7x4
x2 = 1– x4
x2 + x3 = 6
– 2x2 = 0
b T s
x3 = –3 + 4x4
x4 = necunoscută secundară (parametru)
Exemplul 2: Să se rezolve sistemul
x1 +
x1 – x2 + 2x3 = 5
x1
x1 x2 x3 ran formări elementare
1
1 -1 2
1 -2 0
6
5
-3
-1 1 L1(-1)+L2
L1(-1)+L3
1 1
0
0
-2
-3
1
-1
-1
-9
L
1 6 L2(-1/2) apoi
2(-1)+L1
L2(3)+L3
1 0 3/2
0 1 -1/2
0 -5/2 0
11/2 L3(-2/5) apoi
1/2 L
-15/2 L3(-3/2)+L1
3(1/2)+L2
25
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
2
3
Soluţia este
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
3x2x1x
3
2
1
Există şi alte metode exacte de rezolvare pentru sistemele
lă stă i eto
rte mari,
3 = 9
4x1 – 7x2 +
b) 2x1 + 2x2 – x3 + x4 = 4
6
4 = 12
liniare: Metoda matricia , metoda radicalului etc. Exi ş m de
aproximative care permit rezolvarea chiar a unor sisteme foa
de ordinul sutelor de ecuaţii.
Probleme propuse: Să se rezolve următoarele sisteme prin
metoda eliminării complete:
a) 2x1 – x2 + 3x
3x1 – 5x2 + x3 = -4 4x1 + 3x2 – x3 + 2x4 =
x3 = 5 8x1 + 5x2 – 3x3 + 4x
3x1 + 3x2 – 2x3 + 2x4 = 6
Spaţii vectoriale (liniare)
Vom încerca să facem legătura dintre noţiunea de vector sub
forma geometrică cunoscută de la fizică şi forma analitică care va fi
folosită în capitolul următor.
Descompunerea unui vector după trei direcţii în R3
Vectorul vr se descompune folosind regula paralelogramului în
3vuv rrr +=
21 vvu rrr +=
26
1
M(a,b,c)vr 3 vr
k jr
vr 2
vr ir
ur
r
adică apoi
321 vvvv rrr ++= .
Vom considera pe
fiecare axă câte un
vector standard de
modul 1 având acelaşi
sens cu axa. Aceşti
taţi cu k,j,irrr
se numesc versori. Vectorii 1, 2, vr vr vr 3
a, b, c.
vectori unitari no
se pot exprima cu ajutorul versorilor şi a unor constante
Putem scrie vr= vr 1+vr 2+vr 3 = kcjbiarrr
++ = (a, b, c . Cu alte
nte există o corespondenţă biunivoc
)
cuvi ă între mulţimea vectorilor şi
r . Cele trei numere sunt de fapt coordonatele
vectorului.
or se poate exprima ca un n-uplu de numere
(a11, a12, …, a1n),
a t ipletelor de numere
punctului M din vârful
În Rn un vect
vr 1 vr 2(a21, a22, …, a2n)
ij –
În capitolul u şi matrici, liniile
privite ca vectori. Vom folosi frecvent
rici.
entr istemele liniare şi
încă alte câteva expresii a tăţi comune este indicată
a se numesc componente ale vectorilor. Primul indice indică
vectorul, al doilea, numărul componentei în vector.
rmător vom lucra mult cu sisteme
şi coloanele acestora pot fi
denumirile de vector linie sau vector coloană. Operaţiile cu vectori şi
proprietăţile acestora sunt utile în operaţiile cu sisteme şi mat
P u că vectorii (linii sau coloane), matricile, s
lgebrice au proprie
27
al, ca
or
po are (produs) αx ∈ S astfel
încât oricare ar fi x, y, z ∈ S ie verificate următoarele
ax
1. x + (y + z) = (x + y) + z
2. x + y = y + x
3.
4.
0
. (α
8. 1 ⋅ x = x
tr-un
Dacă există scalarii a ca relaţia de mai sus să
c, rezultă că x1, x2, …, xn este un sistem liniar dependent.
Definiţie 2. Un sistem tori) bi
B=
o scurtă privire asupra noţiunii de spaţiu liniar sau spaţiu vectori
structură algebrică.
Definiţie. O mulţime S se numeşte spaţiu liniar dacă pentru
ice două elemente x, y din S şi orice număr α (scalar) din K∈R se
ate defini o sumă x + y ∈ S şi o multiplic
şi α şi β∈K să f
iome:
există în S un element neutru (zero) aşa ca x + 0 = x
fiecărui element x ∈ S i se ataşează un alt element – x∈ S numit
opusul lui x, aşa ca x + (–x) =
5. α (x + z) = αx + αy
6. (α + β)x = αx + βx
7 β)x = α(βx)
Definiţie 1. Un sistem finit de elemente x1, x2, …, xn din
spaţiu liniar S se numeşte liniar independent dacă din faptul că
α1x1 + α2x2 + … + αnxn =0 , ai∈ K
rezultă a1 = a2 = … = an = 0.
a1, a2, …, an ∈ K aş
aibă lo
de elemente (vec
b , b , …, b 1 2 n
28
aţiului liniar, dacă:
,
as
dintr-un spaţiu liniar S se numeşte bază a sp
1. B este o mulţime liniar independentă şi
2. B este un sistem de generatori în sensul că orice element x ∈ S se
poate reprezenta ca şi o combinaţie liniară a elementelor din B
deci ∀ x ∈ S există un sistem de scalari
c1, c2, …, cn ∈ K
tfel încât
∑=
=n
1kkkbcx
Cu acest procedeu având dată o bază se poate construi tot
spaţiu . Reprezentarea oric din S cu
ajuto este
Da mentelor (vectorilor) d n atunci
orice sis lemente este liniar depe
ă o bază
B = b1, b2, …, bn
formată din n elemente atunci se spune că S are dimensiunea n.
Se observă că dimensiunea unui spaţiu finit dimensional
coincide cu numărul maxim de elemente liniar independente care
există în acel spaţiu. De exemplu în spaţiul Rn sistemul de elemente
E = e1, e2, …, en
unde
e1(1, 0, 0, …, 0)
e2(0, 1, 0, …, 0)
en(0, 0, 0, …, 1)
l vectorial S ărui element
rul unei baze mică.
că numărul ele intr-o bază este
tem de n + 1 e ndent.
Definiţie 3. Dacă în spaţiul liniar S exist
29
ste o bază, numită baza canonică a lui Rn.
Verificarea iniare a unor
ectori se face comparând rangul matricii formate cu toate
nuit la
2)
3, 1) şi separat vectorii
f2(5, 6, -1, 6)
f3(-2, 5, -11, 7)
e
dependenţei sau a independenţei l
v
componentele sistemului de vectori cu numărul vectorilor şi anume:
a) dacă rangul < numărul vectorilor, aceştia sunt liniar dependenţi;
b) dacă rangul = numărul vectorilor, aceştia sunt liniar independenţi.
Noţiunile din acest paragraf vor constitui limbajul obiş
modelele ce vor urma.
Exerciţii:
Să se verifice că vectorii:
e1(1, -2, 1, 1)
e2(1, 1, 2,
f
e3(-1, -1,
e4(-2, 1, 3, 2) f
1(-2, 0, -8, 6)
4(2, 10, -10, 5) 4sunt independenţi, deci formează o bază în R .
30
II. PROGRAMAREA LINIARĂ
Noţiunea "program" sau plan se referă la stabilirea unor date,
cantităţi, necesare a fi produse, cumpărate, sau vândute bineînţeles în
aşa fel ca totul să se situeze în poziţia optimă (minimă sau maximă).
it , heltuieli minime, timp de producţie minim etc.
a punerea problemei sunt
afară de acest model mai există şi altele ca programarea pătratică,
programarea stohastică, programarea dinamică, programarea
parametrică, etc.
Exemple:
1. Organizarea optimă ţiei
O întreprindere urmează s oducă n tipuri de produse Pj,
Prof maxim c
Dacă funcţiile şi expresiile ce servesc l
liniare atunci modelul matematic se numeşte programare liniară. În
a produc
ă pr
m,1i =n,1j = prin utilizarea a m tipuri de resurse Ri, . Se cunosc
coefic Ri necesară
producerii unei unităţi din produsul P ), cantităţile disponibile b din
resursele R ,
ienţii tehnici aij (adică cantitatea din resursa
j i
i m,1i = şi beneficiile unitare cj pentru fiecare produs P , j
n,1j = . Să se întocmească planul (programul) optim de producţie al
societăţii, astfel încât beneficiul total să fie maxim.
Restricţiile ce vor apărea se datorează limit rselor, iar ării resu
funcţia de optimizat (maximizat) este chiar funcţia ce reprezintă
beneficiul total. Să notăm cu x , j n,1j = cantitatea ce se va produce
din produsul Pj. Vom constata că modelul matematic al problemei
propuse este
31
(1)
+
+++
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤++
≤≤+++
mnmn
2222121
nn1212111
axa....................
ba...xaxabxa...xaxa
(2) xj ≥ 0,
1
nn2 x
22mn1m bxa...x...............................
n,1j =
(3) f' = c1x1 + c2x2 + … + cnx mă
Dacă notăm cu A=n → maxi
( )n,1m,1 matricea coefic
jiija== ienţilor tehnologici
u B
b
≥ 0
c = (b1, b2, …, bm) vectorul cantităţilor disponibile cu C(c1, c2, …,
cn) vectorul beneficiilor unitare şi cu X=(x1, x2, …, xn) vectorul
necunoscutelor, atunci modelul matematic precedent se scrie sub
forma matriceală mai simplă
Ax ≤
x
f = cx → maximă
2. Problema raţiei optime
Se consideră substanţele nutritive Si, m,1i = necesare vieţii din
care trebuie asigurate zilnic cantităţile b , i m,1i = . Asigurarea acestor
substanţe se realizează prin consumarea alimentelor Aj, n,1j = care
conţin acele substanţe în proporţii date. Cunoscând cantităţile aij din
n,1j = precum şi substanţele Si ce se găsesc în alimentele Aj, m,1i = ,
n,1j = ,
32
co r Aj, sturile unitare cj ale alimentelo să se întocmească o
raţ
acă notăm cu xj cantitatea ce se va consuma din alimentul Aj
modelul mate
⎧
ie optimă adică costul raţiei să fie minim.
D
matic devine:
⎪⎪⎩ ≥+++
⎪⎪⎨
≥+++≥+++ 1nn1212 bxa...xa
mnmn22mn1m bxa...xaxa...................................................
2nn2222121 bxa...xaxa
111xa
xj ≥ 0, n,1j =
f' = c x + c x + … + cnxn → minimă
Sau matriceal
Ax b
x ≤ 0
că la problemele de
matematic al acesteia este
liniară
1 1 2 2
≥
f = cx → minimă.
Observaţie. Se va vedea în continuare
programare liniară este util ca restricţiile să fie sub forma unor
egalităţi, adică să avem aşa numita problemă canonică sau standard.
Modelul
Ax = B
x ≥ 0
f = cx → optimă (maximă sau minimă)
Rezolvarea problemei de programare
Metoda de rezolvare a vom dezvolta pe aşa numita formă
canonică (standard) pe care o vom scrie mai jos dezvoltat. Vom vedea
33
că da conduce la restricţii ce nu sunt egalităţi
ceste
3.
=+++
că problema practică va
a a se pot adapta pentru ca problema să devină sub forma
canonică.
Forma standard este compusă din trei elemente:
1. Sistemul liniar (ce provine din restricţii)
2. Condiţiile de nenegativitate
Funcţia de scop, de optimizat, care este tot liniară.
adică
⎪⎨
⎧=+++=+++
2nn2222121
1nn1212111bxa...xaxabxa...xaxa
⎪
⎪⎪⎩ mnmn22mn1m bxa...xaxa
...................................................
x
(1)
j ≥ 0, n,1j = (2)
f' = c1x1 + c2x2 + … + cnxn (3)
ne că sistemul (1) este compatibil
nedeterminat, adică are contrar problema găsirii
soluţiilor
. So de programare liniară, este orice
vector (n-uplu) car (1) şi condiţiile de
ne
strict pozitive, restul fiind zero.
În continuare vom presupu
o ∞ de soluţii, în caz
optimului nu mai are sens.
Clasificarea
1 luţie posibilă a problemei
e verifică sistemul
negativitate (2).
2. Soluţie de bază este o soluţie posibilă care are cel mult m
componente
34
ză.
Este una din cele mai importante şi uşoare metode de rezolvare a
problemelor de programare e la bază metoda eliminării
complete de rezolvare a unui sistem de ecuaţii liniare, care este
adaptată pentru găsirea numai a soluţiilor cu componente nenegative
şi în final a so liniară f are valoare optimă.
Metoda de rezolvare este descrisă pentru forma canonică a
roblemei. În practică însă nu totdeauna transcrierea problemei
Pe ală cu
inegalităţi la forma standard numai cu egalităţi vom introduce
necunoscute noi numite necunoscute de compensare sau artificiale
sau alţii le spun ecart.
De exemplu la inegalitatea
Reamintim că m este numărul ecuaţiilor principale (egal cu
rangul). Soluţia de bază se obţine când necunoscutele secundare se iau
egale cu zero.
3. O soluţie de bază se zice degenerată dacă numărul componentelor
strict pozitive este mai mic decât m.
Soluţiile de bază sunt importante deoarece se arată că soluţia
optimă căutată este una dintre soluţiile de ba
Pentru soluţia optimă funcţia de scop îşi atinge valoarea maximă
în cadrul problemelor de maxim şi respectiv minimul în cadrul
problemelor de minim.
Algoritmul Simplex
liniară. Ar
luţiei pentru care funcţia
p
economice conduce la sistemul standard. În forma generală un sistem
poate să conţină inegalităţi de ambele sensuri şi egalităţi.
ntru transformarea problemei de la forma gener
35
ai1n1 + … + ain n ≤ bi
de nenegativitate. În acest caz
cuaţ
inus se obţine micşorarea
de
ine ri se introduc variabile de compensare, sau artificiale
ob ţie de bază, care în acest caz este
for
nsare se introduc
cu la în cadrul
algori
4x3 – ilele xi verifică următoarele restricţii:
x2 – 3x3 + 2x4 ≤ 8
x
Se adaugă în membrul întâi xn+1 ≥ 0 şi inecuaţia devine ai1x1+ …
+ ainxn + xn+1 = bi.
Pentru o restricţie de forma
ak1n1 + … + aknxn ≤ bk
Se va considera necunoscuta de compensare xn+2 ≥ 0. Toate
variabilele trebuie să respecte condiţiile
e ia devine
ak1n1 + ak2x2+ … + aknxn – xn+2 = bk
Prin introducerea ei cu semnul m
corespunzătoare a membrului întâi. Numărul de variabile
compensare ce trebuiesc introduse este evident egal cu numărul de
galităţi. Uneo
chiar şi în egalităţi câte una distinctă pentru fiecare ecuaţie pentru a
ţine de la bun început o solu
mată numai din variabile de compensare.
În funcţia de eficienţă necunoscutele de compe
coeficienţi egali cu zero. Variabilele artificiale se vor ru
tmului de rezolvare şi în general vor fi eliminate treptat.
Exemplu: Să se găsească maximul formei liniare f = 3x1 + 7x2 –
x4 dacă variab
2x1 + 5x2 – x3 + x4 = 11
4x1 – 6x2 – 5x3 + 2x4 ≥ 6
x1 +
xj ≥ 0, 4,1j =
5x1 + 2x2 + x3 – x4 ≤ 9
36
mai
8x
8
7=+=+
∗
∗
Dăm mai jos forma standard în care se transformă problema de
sus după introducerea variabilelor de compensare toate nenegative
max f = 3x1 + 7x2 – 4x3 – x4 + 0⋅x5 + 0⋅x6 + 0⋅x7 + 0⋅x8
9xxxy12x5 4321 −++x2x3xx
6xx2x5x6x411xxxx5x2
4321
64321
54321
+−+=−+−−=+−−+
∗
∗
8,1j = xj ≥ 0,
Algoritmul simplex este o metodă generală şi foarte practică
pentru rezolvarea problemelor de programare liniară. Ea a fost
descrisă pentru prima dată de G.B.Dantzig în 1947. Ea are la bază
met
liniare dar orientată în permanenţă după scopul urmărit adică
opti
Una din teoremele imp ale programării liniare afirmă că
soluţia optimă dacă există trebuie să fie una de bază.
1. A
2. G
r
3. T
o
oda eliminării complete de rezolvare a unui sistem de ecuaţii
mizarea funcţiei de scop (eficientă).
ortante
Etapele algoritmului Simplex sunt:
ducerea sistemului la forma canonică (standard, cu egalităţi);
ăsirea unei soluţii de bază (cu numere, componente pozitive şi
estul zero);
recerea de la o soluţie de bază, la alta mai bună decât ea, în sensul
ptimului enunţat. Mai precis:
37
a trebuie să
re o o m m d ât v he
Pentru nc de cop ca e se ere a in ers
Soluţia pti nu se caută la întâmplare printre cele de baz
eriu de bunătăţ unc i
de efic ţă
4. G ţ şi aflar valorii optime a funcţiei e
nţă. Evident se foloseşte un criteriu care stabileşte dacă
ajuns la valoarea optimă şi funcţia de scop nu mai poate fi
îmbunătăţită.
rimele m coloane (m ≤ n) adică în bază se află primele
variabile x1, x ctorii P1, P2, …,
loană Pi.
) Dacă pentru funcţia de scop se cere minim, atunci
gene ze val area ai ică ec cea ec .
b) fu ţia s la r c m xim v .
o mă ă ci
dirijat verificând permanent un crit îm ire a f ţie
ien .
ăsirea solu iei optime ea d
eficie s-a
Vom lua pe rând aceste etape indicând şi operaţiile de
desfăşurare a acestora.
A. Pentru determinarea unei soluţii de bază vom utiliza metoda
eliminării complete (Gaus-Jordan). Presupunem că am produs
zerouri pe p
2, …, xm (sau în altă exprimare ve
Pm). Reamintim că unei coloane i corespunzătoare unei variabile xi
i se mai spune vectorul co
Matricea sistemului devine
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
′
′
′
′′′
′
′′
+
+
m
1
mn1m,
n11m,1
b...
b
a..................
a...a0
Dacă toţi b'i ≥ 0,
...01
+ 2n21m,2 b............
a...a0...10
ma1...00
m,1i = soluţia de bază este B = (b'1, b'2, …,
b'm , 0 … 0). 1
38
1jjj
B. Schimbarea bazei olu i de bază mai bune.
ctor Pα şi în locul lui punem altul Pβ.
Pentru uşurinţa calculelor acest lucr se face într-un tabel şi se
lucrează cu transformări elementare. O astfel de operaţie se
ex construit pe baza iniţială
Pα … Pm … Pk … Pβ … Pn
Pentru această soluţie B1 funcţia de scop devine
f(B1) = ∑ ′m
bc =
= găsirea altei s ţi
Obţinerea unei noi soluţii de bază se va face prin schimbarea
doar a unei singure variabile. În limbaj vectorial, spunem că din
baza veche scoatem un ve
u
numeşte pas simplex şi comportă mai multe operaţiuni.
Fie următorul tabel simpl
Baza P0 P1 P2 …
P1
P2
M
b
←Pα
M
b
Pm bm 0 0
M
0
M
M
1
M
M
amk
M
M
amβ
M
M
amn
1
b2
M
1
0
M
0
1
M
0
0 0
0 a a1β
a2β
a1n
a2n
1k
a2k
α
M
0
M
0
M
1
M
0 a aαnaαβαk
Ne propunem să scoatem din bază vectorul Pα (variabila xα) şi să
β β
ik torului
k
introducem în locul lui vectorul P (variabila x ).
Observaţie. Exprimarea vectorilor din afara bazei în funcţie de
vectorii bazei se face chiar cu coeficienţii a de pe coloana vec
P de exemplu:
39
element privot sau de lucru.
Pk = a1k P1 + a2k P2 + … + amk Pm
Elementul aαβ de la intersecţia liniei α şi coloanei β se numeşte
1. Prima operaţie este împărţirea liniei α cu elementul privot obţinând
valorile αβ
αθ a k= , k = 1, 2, …, n. ak
2. Apoi producem zerouri pe toată coloana privotului mai puţin în
locul acestuia unde rămâne 1.
Elementele noii matrici vor fi:
⎪⎩
⎪⎨⎧ −=−=′ jkjkjk
a
m,1j,aaa αθ β
=′ kk θβ
Urmărind acum ca soluţia nou să fie de asemenea o soluţie de ă
bază, adică cele m componente diferite de zero să fie pozitive trebuie
să avem satisfăcute inegalităţile:
bj - θ ⋅ ajβ > 0, α−= m,1j .
Pentru că numerele b sunt pozitive (ele aparţineau vechii baze)
ficient ca pentru θ
pozitiv să avem ajβ pozitiv şi
j
pentru a fi satisfăcute inegalităţile de mai sus este su
βθ
j
jab
0 << .
Rezultă deci că numărul pozitiv θ să fie valoarea minimă
pozitivă a rapoartelor bj / ajβ.
În concluzie:
40
Un
e combinaţii de semne ar
îngreuna metoda inutil.
− Pentru fixarea vectorului Pα (variabilei xα) care se scoate din bază
se determină numărul pozitiv
− vector Pβ (variabilă xβ) din afara bazei poate fi introdus în baza
nouă dacă are componente pozitive. Alt
αβ
α
βθ
aamin
jj=⎟
⎟⎠
⎜⎜⎝
=+
considerând că j ia doar valorile care corespund coefi
bb j ⎞⎛
cienţilor pozitivi
a .
Rezolvarea practică a trecerii de la o soluţie de bază la alta, adică
de la un tabel simplex la următorul se realizează prin aşa numita
od
1. Fixarea vectorului Pβ (variabilei xβ) care se introduce în bază.
l are rap rte p iv bj / ajβ pentr e
cu ajutorul căru af ul Pα (variabila xα) care
se scoate din bază.
3 et inarea în noul tabel sim lex a elementelo de
re nz are vecto lui introdus în bază adică a numerelor θk
u rel iile
jβ
met ă simplex. Calculele se efectuează în următoarele etape:
2. Ca cul a oa lor ozit e u det rminarea
numărului θ ia lăm vector
. D erm p r pe linia
co spu ăto ru Pβ
c aţ
αβaαα θθ a,
ab k=
adică împărţirea liniei α cu elementul pivot.
eterm na a oul t el mp x a lementelor de pe celelalte
linii cu relaţiile
αβk=
4. D i re în n ab si le e
αθθ ββ −= =−′⋅−j=′ m,1j,aaa sAbb jjkjkjj
Această ultimă etapă se poate rezolva uşor şi rapid prin ap a
a numi i u tri gh lu d ptun ic: Un lement l
ţine scăzând din elementul situat în vârful
unghiului drept produsul elementelor de la extremitatea ipotenuzei.
ultatul se pune în noul tabe în l ul o spunză r celui ocupat de
cel din vârful drept din vechiul tabel, după schema.
i k
licare
şa te reg li a un iu i re gh e din nou
tabel simplex se ob
Rez l, oc c re to
bj ajβ ajk ajβ
θ θ
41
Exemplu: Să se întocmească tabelele simplex corespunzătoare
soluţiilor de bază, pentru următorul sistem:
6,1j,0x
10xx8x3x4 6321⎪⎩ =++−−
12x5 =+x4x27xx2x
j
21
432
=≥
⎪⎨ −
=x3 1⎧ ++−
int
să uare şi cu o coloană pentru
sus vom avea următoarele calcule:
j a'jk
k
b'
Se observă că o soluţie de bază este (0,0,0,7,12,10) deci în bază
ră variabilele x4, x5, x6 (vectorii P4, P5, P6).
Observaţie. Pentru sistematizarea calculelor se recomandă ca
se aşeze tabelele simplex în contin
rapoartele bj / ajβ.
Pentru exemplul de mai
42
Exemplu: 3
10214a;222712b5 −=⋅⎟⎞
⎜⎛−−−=′=⋅−=′
333 52⎠⎝
Baza P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6βj
jab
Tabele S
←P4 7 3 -1 2 1 0 0 θ=7 3
P5 12 2 -4 0 0 1 0 62= 12
S I
1Pβ = P
P6 10 -4 -3 8 0 0 1 -
-31
32
31 0 0
27
32:
37
= →P1 37 1
P5 322 0 -
310 -
34 -
32 1 0 -
←P3
32 34 0 1 6 3
58 0 -3
13 θ==
=
1629
332:
358
S II Pβ = P3
-161 0 ←P1 8
9 1 41 0 - 1 θ==
29
41:
89
16
P5 439 0 -
8 0 -31
21 1
81 -
→P3 1629 0 -
3213 1
81 0
323
229
81
1:
629
P
=
S III
β = P4
→P4 29 -4
41 0 1 0 -
41
P5 12 2 -4 - - -132
27
P3 45 -
21 -
83 1 0 0 -
1281
S IV
Determinarea soluţiei optime a problemei de
programare liniară
43
op (sau de scop) care
Problema programării liniare constă, în determinarea valorii
time (minime sau maxime) a funcţiei de eficienţă
este şi ea liniară
∑ ⋅=n
=jj xcf (1)
as
Gă
ice că optimul a fost atins şi nu
mai este necesară schimbarea bazei.
ntru aceasta vom studia varia ei de icienţă la
ea soluţiei de bază.
Fie z0 valoarea funcţiei de eficienţă f corespunzătoare primei
s de d
1j
În vederea obţinerii scopului fixat va trebui să urmărim două
pecte:
1. sirea unui criteriu, care să indice că o soluţie de bază nouă este
mai bună decât cea veche, în sensul optimului funcţiei de eficienţă.
2. Stabilirea unui criteriu, care să ind
Pe
schimbar
oluţii
ţia funcţi ef
bază a ică
m,1j,bxăciccbxcz jjm
1jjj
n
1jjj0 ===⋅= ∑∑
== (2)
Fie z'0 valoarea funcţiei f corespunzătoare soluţiei de bază din
tab ul urmel ător, SII adică
∑′∈
⋅′=′Γj
jc j0 bz ( )
Dar cum soluţia de bază II se obţine din I prin formulele de
recurenţă
3
⎩⎨⎧
=≠∈−
αθαΓθ β
jjab j
avem
⎠⎜⎜⎜⎜
⎝
−+=⋅+−=′ ∑∑∑∈∈∈ 4342143421
β
Γββ
ΓΓββ θθθ
z
jjj
z
jjj
jjjj0 caccbccabz
0
ă notăm cu
j,j (4)
( )⎟⎟⎟⎟⎟⎞
⎜⎛
∑∈
=Γ
ββj
jj caz (5) Dac
vom avea
( ) βββ ∆θθ ⋅+=−+=′ 000 zzczz (6)
Observaţie. θ este totdeauna pozitiv (acest lucru s-a fixat în
prealabil prin convenţie pentru simplificarea regulilor ce trebuiesc
ărite, în cazul c ţiei de
eficienţă).
a) Det ui funcţiei de eficienţă
Dacă ∆β= cβ - zβ > 0 > 0 ă z'0 > z0 adică prin
oarea funcţiei de eficienţă devine mai
mare. Cu alte cuvinte pentru maxi izarea funcţiei de eficienţă sunt
necesare următoarele două condiţii:
1. Să existe în afara bazei cel puţin un vector Pβ (variabilă xβ) care să
2. Vectorului ales P trebuie să-i corespundă o diferenţă pozitivă ∆ =
urm ă se cauză maximul, respectiv minimul func
erminarea maximul
cum θ rezult
trecerea de la o bază la alta val
m
aibă cel puţin o componentă pozitivă (ajβ > 0).
β β
cβ - zβ > 0.
44
45
o diferenţă negativă
∆β = cβ - zβ < 0 care conduce la z'0 < z0.
Pentru o mai bună organizare a calculelor, tabelul precedent
ce t tre re e b ă la alta, se va completa cu trei linii
ş co ană, ân o a os
SI
c1 c c ck
b) În cazul căutării minimului funcţiei de eficienţă, singurul lucru care
se modifică, este că lui Pβ trebuie să-i corespundă
ne sar pen ru ce a d la o az
i o lo av d f rm de mai j .
Tabelul
2 m cβ cnCoefi-
n
ci
co
punză-
or
bazei
Baz1 2 Pm Pk
cie ţii
res-
t i
a P0P P Pβ Pn
c1
c2
M
cα
cm
P1
P2
M
P
M
Pm
M
Bm
M
0
0…
M
0
M
0
0…
0…
M
1
1k
2k
M
aαk
M
amk
a1
a2v
M
aαβ
1n
2n
aαn
amn
M
α
B1
B2
Bα
M
1
0
0
M
1…
0
M
a
aβ
M M
amβ
a
a
M
zk z0 z1 z2 zm zk z zβ n
kkck z−=∆ - -z c2-z2… c - c1 1 m zm… ck-zk… cβ-zβ… cn-zn
46
ple t în a t od tabelul SI, numerele zk se obţin
mulţind coeficienţii cj din prima coloană cu componentele vectorului
k şi adunându-le. Ţinând seama că în capul coloanelor determinate de
f = x2 – 3x3 + 2x5
în caz
Com ta ces m
în
p
vectorul pk se află situat coeficientul ck, diferenţele ck – zk se scriu
imediat sub zk din coloana respectivă.
Evident, pentru vectorii bazei avem zk = ck, deci
∆k = ck – zk = 0.
Exemplu. Să se determine minimul funcţiei
ul că xi verifică condiţiile
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+++−=++−=+−+
10xx8x3x412xx4x27x2xx3x
6532
432 5321
6,1j,0x j =≥
Este vizibilă imediat, o soluţie de bază luând x1=7, x4=12,
x =10, iar necunoscutele secundare 2 3 5=0. Adică soluţia de
ţie de bază
aceasta se putea obţine prin metoda eliminării complete studiată
ţa calculelor necesare pentru obţinerea
ţiei care realizează minimul funcţiei de scop.
x =0, x =0, x6
bază este (7,0,0,12,0,10). Dacă nu aveam imediat o solu
anterior sau prin adăugarea unor variabile artificiale. În tabelul
următor vom ilustra secven
solu
47
0 1 -3 0 2 0 c Baza P
P P P P P5 P6 βj
j Explicarea ab
lelor calcuj 01 2 3 4
0 7 1 3 -1 0 2 0 - P1
0 ← 12 0 -2 4 P4 1 0 0 34
12=
0 P6 10 0 -4 3 0 8 1 3,33
10=
zk 0 0 0 0 0 0 0
∆k= k - 0 1 -3 0 2 0
S I iferenţe
; este ∆3=-3
e vectorului P3
θ=3 m nt de
soluţie (pivot) 4 ck-z
D∆k=ck-zk<0
corespunzătoar
β=3
Ele e
0 ← 10 1 41
2 0 10:P1 25
2=4 0
5
-3 → 3 3 0 P -21 1
41
0 0 -
0 P4 1 0 -25 0 -
43
8 1 -
zk -9 0 23 -3 -
43
0 0
∆k=
S II
∆ =c -z ; Diferenţe k k k<0
este 21
corespunzătoare
vectorului P2 5
β=2θ=4
2
soluţie
ck-zk - 0 -21 0
43
2 0 Element de
(pivot) 2
5
1 →P2 4 52 1 0
101
51 0
-3 P3 5 51 0 1
103
52
0
0 P6 11 1 0 0 -21
10 1
zk -11 -51 1 -3 -
54 -
52
0
∆k=ck-zk - 0
fost atinsă pentru soluţia: x1=0, x2=4, x3=5 x4=0, x5=0, x6=11
f min = -11
51 0 0
54
512
S III Nu mai există diferenţe
∆k=ck-zk<0. Valoarea minimă a funcţiei a
48
acă ar mai exista, vectorul
ă la
calcula
ndiţii:
Obţinerea soluţiei care realizează optimul (în acest caz minimul)
este marcată de următoarele condiţii:
- Nu mai există diferenţe ∆k=ck-zk<0 sau d
corespunzător să nu aibă componente pozitive, care să serveasc
rea lui θ, pentru a putea face un nou pas.
Cazul soluţiei infinite
Există situaţii în care funcţia de optimizat are un maxim infinit,
adică valoarea ei poate fi făcută oricât de mare. Aceasta se întâmplă
dacă există o diferenţă cj – zj pozitivă, dar pe coloana acesteia nu
există nici un element pozitiv care să poată fi luat ca pivot.
Exemplu. Să se determine maximul formei liniare
f = x1 + 2x2 + 2x3 + x4,
fiind satisfăcute relaţiile de co
⎪⎩
j
Soluţie. Baza iniţială e
⎪
⎪
⎨=≥ .4,3,2,1j,0x
432
ste formată din vectorii unitari P1 şi P2.
⎪=−+ 1xxx
2
⎧ =+− 1x1xx 431
Avem, calculele următoare:
49
0 1 -3 0 cj Baza P0
P1 P2 P3 P4 βj
jab
Explicarea calculelor
Tabela S
1 ←P1 1 1 0 -1 21
2
2 P2 1 0 1 1 -1 -
zk 3 1 2 1 -
23
∆ - 0
S I
Maxim ∆k > 0
∆4= 25 ; Pβ=P4; θ=2;
P =P ; Element de
soluţie
α 1
21
k 0 1
25
1 →P4 2 2 0 -2 1
2 P2 2 -1 0 3 1
zk 6 8 2 -4 1
∆k -5 6 0
II
Maxim > 0; ∆3 =
ă β; căci P e
componentele negative - 0
S
∆k 6
Nu exist P 3 ar
m opr carea algoritm simp S II; funcţia f(x ste
nemărginită. Pr ema d rogram ar admite luţie.
Degenerarea în problemele de programare liniară
Reamintim că so ia de bază se n eşte degenerată dacă
num zitive e mai mi ecât m (unde
m este numărul de ecuaţ , deci ce uţin o necunoscut rincipal re
valoarea zero. Această situaţie, ap e când ntrodu ea în b
unui vector, e ă mai multe elem te poz are fu zează i
raport minim
A it apli ului lex la ) e
obl e p are lini ă nu so
luţ um
ărul componentelor sale strict po ste c d
ii) l p ă p ă a
ar la i cer ază a
xist en itive c rni acelaş
.
50
Soluţii multiple. Soluţia generală
Există ţii în care problema de programare liniară ar cel
puţ ă so ii disti care conduc la aceiaşi val e optim n
acest caz solu optim rală s oate sc ca o co inaţie ră
convexă a sol ilor inde ndente inute.
Fie de e mplu X 2 două luţii op e distin atunc
XG X1 + unde α1, α2 , α1 + 1.
Rezultă că având două soluţii optime prin variaţia lui α1 şi α2
ceastă situaţie, în practică,
economistul trebuie să se hotărasc asupra unui singur rezultat, în
a fixa
soluţia fără ca optimul să se modifice.
Exerciţii şi probleme. Întrebări de control
1. Ce este o so
e e bază este degenerată?
3. Care sunt elementele unei probleme de programare liniară
4. Cum se poate transforma o problemă de programare liniară
generală în una standard?
5. Poate avea o pr g ar mai multe soluţii
optime diferite. Cum se procedează în cest caz?
Să se rezolve, cu algoritmul simplex, următoarea
ă de programare liniară
situa e
in dou luţ ncte oar ă. Î
ţia ă gene e p rie mb linia
uţi pe obţ
xe 1 şi X so tim cte i
= α1 α2 X2 ≥ 0 α2 =
obţinem, de fapt, în final o infinitate de soluţii optime. Evident prin
soluţie se înţelege un n-uplu. În a
ă
consecinţă, va mai impune o condiţie convenabil aleasă care v
luţie de bază?
2. Când o soluţi d
standard?
oblemă de pro ram e liniară
Exemplu.
problem
51
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪ =++ 5x2xx 321⎪
⎨
⎧
→+++=
=≥
=+++
=++
imămaxx5x3x2xf
4,1j,0x
8xxx2x
6x2xx2
4321
j
4321
31
Etapele algoritmului simplex vor fi parcurse prin întocmirea
următorului tabel
1 2 3 5 c
−x 42
−
cB Baza P1 P2 P3 P4 b
e1
e2
e3
2
1
-1
1
1
2
-1
2
1
2
0
1
6
5
8
1 P1
e2
e3
1
0
0
1/2
1/2
5/2
-1/2
5/2
1/2
1
-1
2
3
2
11
1
2
P1
P2
e3
1
0
0
0
1
0
-3
5
-12
2
-2
7
1
4
1
1
2
5
P1
P2
P4
1
0
0
0
1
0
3/7
11/7
-12/7
0
0
1
5/7
30/7
1/7
52
zj 1 2 -5 5 10
- cj - zj 0 0 8 0
3
2
5
P3
P2
P4
7/3
-11/3
4
0
1
0
1
0
0
0
0
1
5/3
5/3
3
zj 59/3 2 3 5 70/3
cj - zj -56/3 0 0 0 -
În consecinţă, am obţinut soluţia optimă, deoarece toate
diferenţe cj – zj sunt nepozitive, şi astfel
370fcu3,
35,
35,0xt
opt =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= . max
Să se rezolve următoarele probleme de programare liniară
1. ⎪⎩
⎨ =≥=−+−=++−
−+ xx2x 321 =+ 0x4
maximă
⎪⎧
4,1j,0x6xx2xx9x3x3x2x2 j
4321
4321
f = –3x1 + x2 + 3x3 – x4 –
⎟⎠⎞
⎜⎛=
57,27,0x,195f optmax Răspuns: ⎝ 14
3,1414
2.
14
⎪
⎪⎨
⎧=++=++
=++xx3x
5xx4x2
421
321
2xxx 521
x
6
j ≥ 0,
⎩
5,1j =
f = 2x1 + 2x2 – maximă
Răspuns: ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎛== 0,3,0,1,3x;0,4,1,0,2x;4f 2
optmax ⎝ 22opt
=+3.
⎪⎩
⎨
⎧
++=+++≤+++
x2xx10xxx2x15x2xx3x2
321
4321
4321 ⎪
11x2 4
xj ≥ 0, 4,1j =
f = 3x1 + 2x2+ 4x3 + 2x4 – minimă
( )0,2,2,3,0 Răspuns: x;18fmin = opt
53
54
re poate fi de o variabilă independentă, sau de mai multe
ai
ulţi
osturile de producţie,
Funcţiile de o variabilă au fost în general bine studiate în liceu
studiul culminând, în mare, cu obţinerea reprezentării grafice pe care
se pot citii, de altfel, toate proprietăţile funcţie şi de unde se pot
amintim principalele etape pentru obţinerea unui grafic la
funcţiile de o variabilă:
2. limitele la capetele domeniului de lucru;
3. asimptote (verticale, oblice sau orizontale);
4. puncte principale pe axe;
erivatei întâia şi a semnului acesteia pentru obţinerea
monotoniei şi a punctelor de extre
. calcularea derivatei a doua (numai dacă este necesar pentru
precizarea studiului) care ne dă intervalele de concavitate,
conexitate şi punctele de inflexiune;
III. ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ Majoritatea proceselor economice au ca model matematic o
funcţie ca
variabile. De exemplu beneficiul unei întreprinderi depinde de m
m factori care pot fi consideraţi variabile independente:
productivitatea muncii, preţurile de achiziţie, c
pierderi, consum de energie, etc.
i
obţine diferite interpretări economice.
Re
1. fixarea domeniului maxim de definiţie al funcţiei care apoi putea fi
restrâns doar la o zonă de interes;
5. calcularea d
m;
6
55
7. centra le şi în
Pentru eco onotonie care
indică trendul fenom xtrem care sunt în
În prezent utilizând calculatorul graficul unei funcţii se obţine
pid
zare a formulei lui Lagrange. Este utilă în analiza
matem mai mare cât şi
pentru calcularea valorilor unei uncţii mai complicate, cu ajutorul
unor polinoame.
atunci există un număr c cuprins între a şi x ∈ I astfel încât să aibă
lor relaţia
lizarea tuturor informaţiilor într-un tablou de variabi
sfârşit trasarea graficului.
nomişti sunt importante intervalele de m
enului precum şi punctele de e
general puncte de optim.
ra şi cu mare precizie. Mai rămâne doar să se facă interpretările.
Formula lui Taylor
Este o generali
atică atât pentru studiul funcţiilor cu o fineţe
f
Teoremă. Dacă F : I → R este de n +1 ori derivabilă pe I
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) nn
n2Raf
!nax...af
!2axaf
!1axafxf +
−++′′−
+′−+=
unde
( )( )
( )( )cf!1n
axR 1n1n
n+
+
+−
=
ula aproximează ori cât de bine dorim o funcţie
polinom. Cu cât n este mai mare restul
aţia este mai bună. Din
R – se numeşte restul sub forma lui Lagrange. n
În esenţă form
f(x) în orice punct x cu un
devine mai mic şi aproximaţia este mai bună. De asemenea, cu cât
punctul x este mai aproape de a aproxim
56
estimaţia restului se poate calcula câţi termeni sunt necesari pentru a
obţine o eroare de calcul mai mică decât cea propusă. Calculatoarele
buzunar prin arhitectura lor utilizează
lu r pe ţii uzuale ca sin x, cos x ex,
i MacLaurin.
Exemple. Pentr la se poate aplica
electronice PC şi cele de
formula i Taylo ntru a calcula func
ln x, etc.
Observaţie. Dacă a = 0 formula se numeşte a lu
u funcţii mai simple formu
direct prin derivarea de mai multe ori a funcţiei. ( ) ( )( ) xn exf = şi ( )1) Dacă f(x) = ex şi a = 0 vom obţine 10f n = , ∀
n ∈ N. Deci
n!n!2!1
2) Fie f(x) = ln (1+x), a = 0, vom avea ( )
n2 x...xx+x R1e ++++=
( ) ( ) ( )( )n
1nn
x1!1n1nf
+
−−=
−
( )( ) deci ( ) ( )!1n10f 1nn −−= +
( ) ( ) nn
1n32
Rnx1...
3x
2x
1xx1ln +−++−=+ −
3) f(x) = sin x, a = 0. Funcţia sin x este indefinit derivabilă, atunci
calculâ
Fie
nd succesiv derivatele obţinem
+=−( ) ⎧( )
( )⎪⎩
⎪⎨
==
1k2ndacă,10f k
n k2ndacă,0
Rezultă
( ) ( ) n1n2
n53
R!1n2
1...!5!3!1
xsin +−
−−+−=xxxx −
57
cosinus avem Analog pentru
( ) ( ) n!n2!6!4!2
4) S
n2n
642Rx1...xxx1xcos +−+−+−=
ă se dezvolte în serie MacLaurin funcţia α
r
f(n) (x) = α
f(n)(0) = α(α -1 ) … (α - n + 1)
f : (-1, ∞) → R, f(x) = (1 + x) , α ∈ R, α ≠ 0, 1, 2, …
Funcţia admite derivate de orice o din în punctul x = 0. Avem:
(α -1)… (α - n + 1)(1 +x)α-n
Formula lui MacLaurin devine:
( ) ( ) ( ) ( )n
2R
!n1n...1...
!2x1x
++−−
++−ααα
Formula de mai sus poartă ş numele de binomul lui Newton
Funcţii reale de mai multe variabile reale
Mulţimi şi puncte din Rn. Vecinătăţi
Reamintim că Rn este mulţimea sistemelor ordonate de n numere
ale
1, x2, …, xn) / xi ∈ R
oate organiza ca un spaţiu liniar (vectorial)
Rn şi înmulţirea cu
∞) se numeşte distanţă
dacă:
!11x1 ++=− αααα
i
generalizat. Pentru diferite valori ale lui α se obţin dezvoltări pentru
tot felul de radicali.
re adică
Rn = x = (x
S-a văzut că Rn se p
faţă de operaţiile de adunare a două elemente din
scalari din R.
Definiţie. Aplicaţia d: Rn × Rn → [0,
58
) d(x n n 0 ⇔ x
2) d(x, y) = d(y, x)
ie. Dacă x = (x1, x2, …, xn), y = (y1, y2, …, yn) sunt
ouă
1 , y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ R × R , d(x, y) = = y
3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
Observaţ
d elemente din Rn atunci se vede uşor că
( ) ( )∑=
−=n
1i
2ii yxy,xd
verifică axiomele distanţei
entr p u n =1 d(x, y) = |x - y| şi
n = 2 d(x, y) = ( ) ( )2222
11 yxyx −+− .
Definiţie. Fie x0 ∈ Rn şi r > 0 atunci mulţimea
Sr(x0) = x ∈ Rn / d(x, x0) < r
se numeşte sferă deschisă cu centrul în x0 şi de rază r(sau hipersferă).
Orice mulţime V ∈ Rn este o vecinătate a punctului x0 dacă
există o sferă deschisă cu centrul în x0 inclusă în V, adică
0 r 0
iză ca punct aderent, punct frontieră, punct de acumulare,
punct interior, punct izolat.
În continuare vom lucra frecvent cu funcţii de două variabile,
pentru simplitate şi numai uneori vom trata cazul cu n variabile.
l
general.
x ∈ S (x ) ⊂ V
Rezultă că însăşi aceste sfere formează un sistem de vecinătăţi
în Rn. Cu ajutorul acestor vecinătăţi se pot defini noţiuni importante
în anal
Rezultatele de la două variabile se pot extinde uşor la cazu
59
Fie A⊂ R2 x1, x2) este
un număr real.
Definiţie 1 ita funcţiei f în punctul
(a, b) dacă ∀ε > are ar fi (x, y) ≠ (a, b) cu
proprietatea |x - avem |f(x, y) - l| < ε.
şi f∈ A → R. Valoarea funcţiei în punctul (
. Spunem că l ∈ R este lim
0, ∃ δ(ε) > 0, astfel ca oric
a| < δ(ε) şi |y - b| < δ(ε) să
Definiţie 2. ( )y,xflimlaxby→
→că pentru orice şir de puncte
A(xn,yn) cu proprietatea (xn, yn)
= da
⎯⎯ →⎯∞→n
(a,b) şi (xn, yn) ≠ (a, b)
avem f(xn, yn) ⎯⎯ →⎯∞→n
l.
Definiţie 3. Fie A ⊂ R2, f : A → R şi (a, b) ∈ A. Spunem că f
este continuă în punctul (a, b) dacă ( )y,xflimbyax
→→
există şi este finită şi
în plus ( )( ) ( )
( )b,afy,xflim = . Dacă în cele două definiţii 1 şi 2 b,ay.x →
de mai sus înlocuim l cu f(a, b) obţinem două definiţii echivalente
pentru continuitate.
Exemplu. Fie funcţia
( ) ( ) ( )⎪⎧
≠−
= 0,0y,xyxy,xf 22
( ) ( )⎪⎩
⎨=
+0,0y,x0
yx
22
şirul (x , y ) aşa ca y = λx ,unde λ este un
parametru real şi (x , y ) ≠ (0, 0). Dacă x → 0 ⇒ yn → 0. Avem
Această funcţie nu este continuă în origine, ba chiar f nici nu are
limită în origine. Fie n n n n
n n n
( ) 2nn0x 1
nn λ+→
21 λ−
0y
y,xflim =→
λ nu are limită în origine deci nu
e nici continuă în origine.
e A ⊂ R2, f : A → R şi (a, b)∈ A (interior).
Definiţia 4. Funcţia f parţial în raport cu x în
punctul (a, b) dacă
Valoarea limitei depinzând de
Derivate parţiale
Fi
este derivabilă
( ) ( )ax
b,afb,xflimax −
−→
există şi este finită.
Vom nota această limită cu f'x(a, b) sau ( )x
b,af∂
∂ şi o vom numi
derivata parţială de ordinul întâi a funcţiei f în raport cu variabila x în
y în
punctul (a, b) interior lui A dacă
punctul (a, b).
Definiţia 5. Funcţia f este derivabilă parţial în raport cu
( ) ( )byby −
b,afy,aflim −→
există şi este finită.
Vom nota analog această limită cu ( ) ( )y
b,afb,af y ∂∂
=′ .
Observaţie. Din definiţie rezultă că atunci când calculăm
constantă şi derivăm ca şi cum am avea o singură variabilă x. Analog
ulte
derivata parţială în raport cu x, variabila y este considerată
când calculăm derivata în raport cu y. Dacă funcţia are mai m
60
61
variabile toate celelalte variabile în afara celei cu care lucrează se
consideră constante.
se
Observaţie. Dacă derivatele parţiale f'x şi f'y sunt la rândul lor
derivatele parţiale în raport cu x şi y atunci se pot defini derivatele
parţiale de ordinul doi. Vom avea în total 4 derivate de ordinul doi şi
anume
( )( ) ( )y,xfxyyy
;y,xfx
22 yx2′′=
∂∂=⎟⎟
y,xfffxf
x
22 ∂
⎠
⎞⎛ ∂∂∂=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∂∂
⎜⎜⎝ ∂∂
′′=∂
( ) ( )y,xfy
fyf
y;y,xf
yxf
yf
x y2
2xy2
2′′=
∂
∂=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂′′=
∂
∂=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
Exemple: 1. Fie f(x, y) = 2x
2
6x + 7y – 11 3 3 2 2
f' = 6x y + 6x y – 10xy +7
f"yx = 24x
2. Fie g(x, y) = ln (1 + x2 + y2)
4y3 + 3x2y2 – 5xy2 +
f'x = 8x y + 6xy – 5 y + 6 4 2 2
y
f"x2 = 24x2y3 + 6y2
f"xy = 24x3y2 + 12xy – 10y 3 2y + 12xy – 10y 4 2f"y2 = 12x y + 6x – 10x
2222 yx1y2
yf;
yx1x2
xf
++=
∂∂
++=
∂∂
( )( )
( )( )222
22
2
222
2yx1
yx12f;zx1x ++
−+=
∂+−
∂ 222 yyx1 ∂++
2 2f=
∂
( ) ( )222
22 xy4f ∂−∂222 yx1
xy4xyf;
yx1yx ++
−=
∂++=
∂∂
∂
62
Se observă că în ambele exemple derivatele parţiale mixte de
rdin are loc în general.
Criteriul următor s re lo tatea acestora.
A ⊂ R2 → R are derivate
parţiale mixte de ordinul doi continue, într-o vecinăta ului
(a,b) atunci .
f : A R R e parţiale într-o
vecinătate a lui (a, b) ş ele sunt continue atunci spunem că funcţia f
este diferenţiabilă.
Definiţie. Fie f : A ⊆ R2 → R diferenţiabilă în (a, b) interior lui
A. Expresia liniară
df(x, y, a, b) = (x - a)f'x(a, b) + (y - b)f'y(a, b)
se numeşte diferenţiala funcţiei f în punctul (a, b).
te scrie
o ul al doilea sunt egale. Această egalitate nu
tabileşte în ce condiţii a c egali
Criteriul lui Schwarz. Dacă f :
te a punct
( ) ( )b,afb,af xyyx ′′=′′
Teoremă. Dacă ⊆ 2 → admite derivat
i
Observaţie. Dacă ϕ(x, y) = x şi ψ(x, y) = y, atunci
dϕ(x, y) = dx = x – a ; dψ(x, y) = dy = y – b
dx şi dz se numesc diferenţialele variabilelor independente. Ţinând
cont de această observaţie diferenţiala lui f într-un punct oarecare se
mai poa
dyyx ∂fdxfdf ∂
+∂∂
=
Diferenţialele de ordin superior se definesc în mod recurent prin
relaţia
dnf = d (dn-1 f)
de exemplu
22
222
2
22 dy
yfdxdy ∂
+yxf2dx
xffd
∂∂∂∂
+∂
∂=
În general, putem scrie simbolic că ( )n
( )y,xfy
dx
fd n⎟⎟dyx⎠
⎞⎛ ∂+
∂
atele obţinute pentru funcţii reale de două variabile
sunt adevărate şi se extind şi pentru funcţii de n variabile.
Interpretări economice ale derivatelor parţiale
Fie f ⊂ Rn → R care admite derivate perţiale de ordinul întâi.
. Se
a acesteia în raport cu xi adică
⎜⎜⎝ ∂∂
=
Toate rezult
1 numeşte valoare marginală sau viteza de variaţie a lui f în
raport cu variabila xi derivata parţială
( ) ( )i
n21i x
x,...,x,xfx,fVM∂
∂=
2. Se numeşte ritm de variaţie a lui în raport cu variabila xi expresia f
( ) ( ) ( )f
x,fVMx
x,...,x,xff1x,fR i
i
n21i =
∂∂
=
3. Se numeşte elasticitate a lui f în raport cu variabila xi expresia
( ) ( ) ( )ii
i
n1ii x,fVM
fx
xx,...,xf
fxx,fE ⋅=
∂∂⋅=
Dacă se ia exemplul pieţei de mărfuri unde funcţionează legea
cererii şi a ofertei, şi avem o funcţie care depinde de preţurile tuturor
mărfurilor, variaţiile
cereri ata este de exemplu
e cererea pentru marfa xi, când
preţul ei creşte.
atunci derivata parţială a acestei funcţii arată
i când unul dintre preţuri variază. Dacă deriv
negativă ea arată viteza cu care scad
63
Elasticitatea ne dă o informaţie mai completă a variaţiei cererii
în raport cu preţul sau, ea reprezintă viteza descreşterii relative a
cererii pentru o creştere relativă a preţului sau invers.
Derivatele funcţiilor compuse
Teoremă. Dacă funcţiile u şi v : X → R, X ⊆ R au derivate
continue pe X, dacă funcţia f(u, v) definită pe Y ⊆ R2 are derivate
64
parţiale continue pe y atunci funcţia compusă
F(x) = f(u(x), v(x))
e deriar vată continuă pe X, dată de
( )dxdu
vf
dxdu
uf
dxdFxF ⋅
∂∂
+⋅∂∂
==′
Teoremă. Dacă funcţiile u, v : E → R, E ⊆ R2 are derivate
parţiale continue pe E şi dacă f(u, v) are derivate parţiale continue pe
G ⊆ R2 atunci funcţia
F (x, y) = f [u(x, y), v(x, y)]
are derivate parţiale continue pe E⊂ R2 date de:
xvfuf
xF
vxu ∂∂⋅
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
= ∂∂
yv
vf
yu
uf
yF
∂∂⋅
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
=∂∂
Exemplul 1. Să se calculeze derivata funcţiei
F(x) = f(1 + x2, sin x) x ∈ R
Notăm u = 1 + x2, v = sin x. Avem
( )vfxcosfx2
xv
vf
xu
ufxF
u ∂∂
+∂∂
=∂∂⋅
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
=′
Exemplul 2. Să se calculeze derivatele funcţiei
F(x, y) = f(x2 + y2, x – y)
Notăm u = x2 + y2, v = x – y.
Avem
vf
ufx2
xv
vf
xu
uf
xF
∂∂
+∂∂
=∂∂⋅
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
=∂∂
vuyvyuy ∂ffy2vfufF ∂
−
65
∂∂
=∂∂⋅
∂∂
+∂∂⋅
∂=
∂
n + 1 pe A. Aplicând funcţiei F(t) formula lui Taylor
(MacLaurin) pentru funcţiile de o variabilă avem
∂∂
Formula lui Taylor pentru funcţii de două variabile
Fie f : A ⊆ R2 → R şi (a, b) un punct interior lui A. Presupunem
că f este diferenţiabilă de cel puţin n + 1 ori în (a, b) şi că ordinea în
care se derivează nu contează (derivatele mixte de acelaşi ordin sunt
egale).
Vom considera funcţia
F(t) = f [a + t(x – a), b + t(y – b)], (a, b) ∈ A, (x, y)∈ A, t ∈ [0, 1]
Petru t = 0, F(0) = f(a, b) şi t =1, F(1) = f(x, y), F(t) este
derivabilă de n +1 ori pe [0, 1], deoarece f(x, y) are derivate până la
ordinul
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1F!2
10F!1
10F1F ′′+′+= ( ) nn R0F
!n...0 +++
Cu ( )( )( )cF
!1n +1R 1n
n+= 0 < c < 1.
Pentru calculul derivatelor F(m)(0)folosim formula de derivare a
funcţiilor compuse. Vom scrie F(t) = f(x(t), y(t)) unde
x(t) = a + t(x – a) şi y(t) = b + t(b – a)
Avem
( )( )
⎟ ( ) ( )( ) =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂∂ ty,txfdy
yxtFd
mm ⎜ += dx
( ) ( )( )
( ) ( )( ) =⎟⎟⎠
⎞∂ mm
( )
⎜⎜⎝ ∂
−+∂
−= dtty,txfy
byx
ax
( )
⎛ ∂
( ) ( )( )
0Fm
⎤⎡ ∂∂ ( )b,afy
byx
axm⎥⎦
⎢⎣ ∂
−+∂
−=
Ţinând seama de acest rezultat obţinem formula lui Taylor
pentru funcţia f(x, y) în punctul (a, b):
66
( ) ( ) ( ) ( ) ( )+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ∂∂=
1fy,xf∂
−+∂
−+ b,afy
bxx
ax!1
b,a
( ) ( )( )21 ⎤⎡ ∂∂ ( )
( ) ( )( )n
xax
!n1... ⎤⎢⎣
⎡ ∂∂∂
−++
b,af
ybx
xax
!2+⎥
⎦⎢⎣ ∂
−+∂
−+
( ) nRb,afy
bx +⎥⎦∂
−+
unde
( ) ( ) ( )( )
!1n
1n
n⎤
⎢⎣
⎡+
= ( ) ( )[ ]byb,axafy
bxx
ax1R −+−+⎥⎦∂
∂−+
∂∂
−+
θθ
n = 0
formula lui Lagrange (a creşterilor finite), adică
f(x, y) – f(a, b) = (x – a)f'x(ξ, η) + (y – b)f'y(ξ, η)
θ∈ (0, 1).
Observaţii. Dacă în formula lui Taylor punem obţinem
67
) este un punct de maxim local (respectiv
minim local) dacă există o vecinătate V a lui (a, b), astfel încât
oricare ar fi (x, y) ∈ V are loc inegalitatea f(x, y) ≤ f (a, b) (respectiv
Aceste puncte se numesc de extrem local.
Teoremă. Dacă funcţia f: A R2 → R are un extrem local în
i l p punctului , b),
atunci derivatele parţiale în acest punct sunt nule, adică f'x(a, b) = 0 şi
Demonstraţie. Considerăm funcţia ϕ(x) = f(x, b). Deoarece
p xtrem e
extrem pentr ϕ emei lui Fermat f'x(a, b) = 0. În
mod asemănător considerând funcţia ψ(f) = f( a, y) se va obţine
x(a,b
Observaţie. Rec e nu este în general
x(a,b)=0 şi f'y(a,b)=0
nu rezultă neapărat că (a, b) este un punct de extrem pentru f.
0 şi f'y(a, b) = 0
se numeşte punct staţion
. Cele care nu
care să putem
Extremele funcţiilor de două variabile
Fie f : A ⊆ R2 → R şi (a, b)∈ A.
Definiţie. Puntul (a, b
f (x, y) ≥ f(a, b)).
⊆
(a,b) şi admite derivate parţ a e e o vecinătate a (a
f'y(a, b) = 0.
(a,b) este un unct de e pentru f(x, y) atunci x = a ste punct de
u (x) deci conform teor
f' )=0.
iproca teoremei precedent
adevărată adică dacă într-un punct (a, b) avem f'
Definiţie. Un punct (a, b) pentru care f'x(a, b) =
ar.
Nu toate punctele staţionare sunt puncte de extrem
sunt puncte de extrem se numesc "puncte şa".
Va trebui în continuare să găsim criterii prin
selecţiona punctele de extrem dintre cele staţionare.
68
roblemele
Puntele de extrem sunt foarte importante în p
economice deoarece ele reprezintă în general un optim al problemei,
obiectiv urmărit permanent de economişti.
Să observăm că din definiţia puntelor de extrem rezultă că
diferenţa ∆f = f(x, y) – f(a, b) trebuia să admită un semn constant într-
o vecinătate oricât de mică a punctului (a, b). Vom considera în
continuare formula lui Taylor sub forma
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) +′−+′−=−= yx fbyfax1b,afy,xff∆ b,a!1
( ) )( ) ([ ]( ) 3b,ay
2xyx
2 Rfbyfbyaxfax!2
122 +′′−+′′−−+′′−+ ( )2
)şi (y – b) pot fi luate oricât de
oilea
depinde de fapt de primul termen din formula lui Taylor, restul fiind
foarte mici în comparaţie cu acesta, nu contează. Termenul ce conţine
om studia în continuare semnul termenului al
doilea ce conţine parantezele (x – a) i (x – b) la puterea a doua şi este
vide
Ţinând cont că diferenţele (x – a
mici dorim, rezultă că semnul lui ∆f sau al membrului al d
parantezele (x – a) şi (y – b) la puterea întâia nu păstrează semn
constant deci suntem obligaţi să punem condiţiile f'x(a, b) = 0 şi
f'y(a,b) = 0 sistem care generează punctele staţionare după cum am
arătat şi mai sus. V
ş
e nt o formă biliniară. Pentru simplitate vom scrie acest termen sub
forma
( )⎥⎦⎥⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎞⎜⎜⎛ −
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−= tsax2rbyaxby
!21T
22
2 ⎠⎝ − by
69
– b)2 şi am utilizat notaţiile lui Am dat factor comun pe (y
Monge pentru derivatele de ordinul II
( ) ( ) ( ) tb,af,sb,af,rb,af 22 yxyx =′′=′′=′′
not zbyax Mai ăm =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−
avem
( ) ( )!2
1 222
trinom de gradul doi în z. Apelăm la cunoştinţele de
tsz2rzbyT ++−=
un la liceu în
2
da r < 0 ⇒
ă referitoare la separarea
Teoremă. ⊆ R2 → R
ct staţionar al său.
δ = s2 – rt < 0 atunci (a, b) este un punct de
extrem şi anume:
legătură cu acest subiect.
Se ştie că T2 are semn constant dacă δ = s – rt < 0 şi anume
că r > 0 ⇒ T2 > 0 şi deci şi ∆f = f(x, y) – f(a, b) > 0 dacă
T2 < 0 şi ∆f = f(x, y) – f(a, b) < 0.
Ţinând cont de definiţia extremelor locale pentru maxim şi
minim putem enunţa următoarea regul
punctelor staţionare.
Fie f(x, y) o funcţie definită pe A
derivabilă parţial cel puţin de 3 ori şi (a, b) un pun
1. Dacă în punctul (a, b),
a) dacă ( ) 0b,afr 2x >′′= atunci (a, b) este un punct de minim;
de maxim.
2. Dacă în (a, b), δ > 0 atunci (a, b) nu este punct de extrem. Punctul
(a, b) se numeşte punct şa.
b) dacă r < 0 atunci (a, b) este un punct
70
iu
su
Exemple 1. Un bazin are forma unui paralelipiped drept fără
(aria totală fixată) să se proiecteze dimensiunile bazinului astfel încât
capacitatea v a recipientului să fie maximă.
Rezolvare: Notăm cu x şi y dimensiunile bazei, z înălţimea şi a
aria totală. Avem a = xy + 2xz + 2yz, şi volumul v = xyz. Funcţia al
cărei maxim în căutăm este
3. Dacă în (a, b), δ = 0 nu putem trage nici o concluzie asupra
punctului (a,b). Situaţia acestuia se va lămuri cu un stud
plimentar.
capac. Presupunând că avem la dispoziţie o cantitate de tablă dată
2
2
( )( ) ( )yx2xyaxyy,xv −
=
Avem
2
+
( )( )
( )( )2
222
2
222
yx2yxy2axv,xxy2ay
xv −−
=∂−−
=∂∂
yyx2 +∂−
Rezolvând sistemul 0xv=
∂∂ , 0
yv=
∂∂ obţinem soluţia
3ayx == .
Calculăm 34
as,32
ar −=−= şi 32
az −= .
Avem 016a
12a
48arts
2222 <−=−=−=δ şi t = −
32a , rezultă că
pentru x = y = 3
şi respectiva 32
az = bazinul are volumul maxim.
2. Să se determine punctele de extrem ale funcţiei
f(x, y) = x3 + y3 + 3xy + 2
71
Punctele staţionare sunt soluţiile sistemului
)
Calculăm derivatele de ordinul al doilea. Avem
r = 6x, s = 3, t = 6y
M nu este de extrem şi anume este punct şa.
Pentru M (-1, -1) obţinem = s – rt = -27 < 0.
Rezultă că punctul M (-1, -1) este punctul de extrem pentru
funcţia dată şi anume un maxim deoarece
( ) ( 1,1Mşi0,0M0xy
0yx0f0f
212
2
y
x −−⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=+⇒
⎩⎨⎧
=′=′
Pentru punctul M(0, 0) avem δ = s2 – rt = 9 > 0.
Rezultă că punctul 1
2 δ 2
2
( )2 61,1fr x′′ −=−−= .
care admite derivate parţiale de
cesară ca diferenţa ∆f = f(x1, x2, …, xn) = f(a1, a2, …, an) să
aibă semn constant este ca prima paranteză care conţine diferenţ le
(x -a ) la puterea întâia să fie nulă. Se obţine sistemul cu derivatele
1 2 n 1 2 n
Extreme pentru funcţii de mai multe variabile
Fie avem F : A ⊆ Rn → R
ordinul doi într-o vecinătate a punctului a = (a1, a2, …, an) interior lui
A. Condiţiile de găsire a punctelor de extrem sunt analoage cu cele de
la două variabile. Ele se bazează evident tot pe formula lui Taylor. O
condiţie ne
e
i i
parţiale de ordinul întâi:
f ′ (x , x , …, x ) = 0, f ′ (x , x , …, x ) = 0, …, f1x 2x nx′ (x1, x2, …, xn) = 0
ă biliniară şi are forma
care rezolvat ne dă puncte staţionare.
Paranteza de ordinul doi este o form
( )( ) ( )∑=
′′−−=n
1j,in1xxji a,...,afxxxx
21
jiϕ
72
ordinul doi
Semnul acestei expresii este hotărât de un şir de determinanţi
extraşi din matricea ce conţine toate derivatele parţiale de
calculate într-un punct staţionar, numită matricea lui Hesse sau
"matrice hessiană".
( )
2n3n2n1n
n3232313
xxxxxxx
xxxxxxxn21...............
f...fffa,...,a,aH
′
′′′′′′′′n232
2212
n1312121
xxxxxxx
xxxxxxx
f...fff
f...ffff...fff
′′′′′′′
′′′′′′′′
′′′′′′′′
=
Vom considera minorii (determinanţi extraşi din matrice) care au
diagonala principală suprapusă pe cea a matricei hessiene şi încep din
colţul stânga sus
nxxx
xxx2x1 ff
ff2212
2121
21
∆∆∆ ′′′′ ...,,,f′′′′
=′′=
Vom avea următorul rezultat:
a) Dacă to
= determinantul matricii.
ţi determinanţii extraşi ∆1, ∆2, …, ∆n calculaţi într-un punct
staţionar sunt pozitivi atunci forma biliniară ϕ se numeşte pozitiv
de
Da
ă ϕ se numeşte negativ definită, adică
∆f < 0 şi punctul staţionar este un punct de maxim local.
Dac ∆ , ∆2, …, ∆n nu respectă
cele două reguli de mai sus atunci forma biliniară (pătratică) ϕ nu
este definită şi (a1, a2, …, an)∈ A nu este punct de extrem.
finită şi ∆f este pozitivă adică punctul staţionar este un punct de
minim.
b) că determinanţii extraşi au semnele alternate, începând cu
negativ, atunci forma biliniar
c) ă semnele determinanţilor din şirul 1
73
Observaţie. Evident cazul funcţiei de două variabile se
regăseşte în cazul general. Prezentarea lui separată a fost făcută doar
etodei.
Exemplu: Să se determine punctele de extrem ale funcţiei
f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 2x + 4y – 6z
Avem f'x = 3x + 2, f'y = 2y + 4, f'z = 2z – 6
Sistemul
pentru înţelegerea mai uşoară a m
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−=+=+
06z204y202x2
Există un singur punct staţionar M (-1, -2, 3).
Calculăm derivatele de ordinul doi.
0fff,2fff yzxzxyzyx 222 =′′=′′=′′=′′=′′=′′
0028,4=∆,2
2⎥⎥⎦00⎢
⎢⎣
0 ⇒⎥20⎢H 321 =⎤⎡
=
14.
Ajustarea datelor numerice
Am văzut că majoritatea fenomenelor economice pot fi descrise
nu este cunoscută,
=∆∆
Rezultă că punctul M(-1, -2, 3) este un punct de minim pentru
funcţia dată iar valoarea acestui minim a lui f este f(-1, -2, 3)= -
din punct de vedere matematic ca o funcţie de o variabilă sau mai
multe variabile. În general această funcţie
economistul având la dispoziţie doar valori observate culese din
activitatea practică cum ar fi cele din tabelul de mai jos:
74
x x1 x2 … xn
f(x) y1 y2 … yn
Se pune problema găsirii unei funcţii (trend) care să verifice
perechil enomenul
studiat. Există desigur mai multe metode matematice care rezolvă
această problemă, unele mai simple dar nu aşa de precise, altele foarte
elaborate.
distingem două etape. În prima etapă determinăm clasa din care face
ui). Acest lucru se realizează în general prin
ecti
Exemple: funcţia liniată y = ax + b dep de de a şi b, funcţia
parabolică y = ax2 + bx + c de trei parametrii, funcţia exponenţială
ace
se justarea liniară).
dreaptă putem lansa ipoteza că funcţia căutată este
liniară adică de forma y = ax + b.
e de puncte (xi, yi) şi să se apropie cât mai mult de f
În rezolvarea acestei probleme prin metode mai simple
parte funcţia (tipul trendul
experienţa pe care o are economistul resp v din cercetări anterioare.
Ca exemple uzuale de clase de funcţii, amintim pe cele liniare,
parabolice, logaritmice, exponenţiale, etc. O astfel de funcţie depinde
însă de mai mulţi parametrii.
in
y = b ⋅ ax de a şi b etc.
Etapa a doua presupune determinarea cu precizie cât mai mare a
stor parametrii.
Pentru început vom aminti o metodă extrem de simplă dar care
aplică doar la funcţia liniară (adică doar pentru a
Este vorba de "metoda centrelor de greutate". Dacă punctele ce sunt
imagini ale perechilor de numere din tabelul de mai sus se aşează
aproximativ în linie
yB
A
x
75
şi B care conţin r
cu media
Se împart punctele în două clase A
respectiv n – r puncte, apoi se calculează coordonatele punctelor ce
sunt "centre de greutate" pentru clasa A respectiv B
aritmetică
∑∑∑∑+=+===
====n
1−− riiB
n
1riiB
r
1iiA
r
1iiA y1y,x1x,y1y,x1x
După obţinerea coordonatelor punctelor A(x
rnrnrr
B, yA, yA) şi B(x B)
vom scrie ecuaţia dreptei ce trece prin două puncte
( )AAB
ABA xx
xxyyyy −
−−
=−
Observaţie. Ecuaţia dreptei diferă destul de puţin în funcţie de
ai mici
ătra
)
împărţirea punctelor în cele două clase.
O metodă mai des utilizată este însă "metoda celor m
p te" concepută de Gauss în 1794 la vârsta de 17 ani.
Această metodă constă în determinarea parametrilor ai ai funcţiei
y = f(x, a1, a2, …, ap) astfel încât următoarea sumă să fie minimă.
( ) ([ ]∑=
−=n
1kk
2p21kkp21 wa,...,a,a,xfya,...,a,aS
unde xk şi yk sunt valorile determinate experimental şi sunt prezentate
în tabelul de mai sus. Expresiile w(xk) sunt nişte ponderi şi acordă o
76
impo e
criter încrederea într-o anumită
aloa
sunt valori numerice date rezultă că S(a1, a2, …,
ap) este de fapt o funcţie de p variabile a1, a2, …, ap. Pentru
eterm
rtanţă mai mare sau mai mică diferitelor paranteze în funcţie d
ii stabilite: precizia măsurătorilor,
v re etc.
Pentru că xk şi yk
d inarea punctelor de minim local ale funcţiei S se determină mai
întâi punctele staţionare prin rezolvarea sistemului de ecuaţii
algebrice:
0aS...,,0
aS,0
aS
p21=
∂∂
=∂∂
=∂∂
Se poate arăta că funcţia S(a1, a2, …, ap) are un singur punct
taţio
r considera toate
ţie. Vom considera că funcţia f(x) este de forma
b
mizată expresia
s nar şi acesta este un punct de minim local.
Pentru simplificare, în cele ce urmează se vo
ponderile wk = 1.
Aplica
Y = ax +
În acest caz trebuie mini
( ) [ ]∑=
−+=1
n
k
2aS
e conduce l l algebric
kk ybaxb,
car a sistemu
( ) ( )
( ) ( )⎪⎪
⎪⎪⎨
⎧
=−+=∂
∂
=⋅−+=∂
∂
∑
∑=n
kk
n
1kkkk
0ybax2b
b,aS
0xybax2a
b,aS
⎩ =1k
sau
77
⎨+⎟⎟
⎠
⎞⎛⎠
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞
⎝
∑
∑
=
===n
1kk
n
1k
1k1k
n
1k
2k
ynb
ax
⎪⎪⎩
⎪⎧
=⎜⎜⎝
=⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
∑
∑∑
=k
nkk
nk
ax
yxbx⎪
Dacă notăm ∑=
=n
1kkn
x1x şi ∑=
=n
1kkn
ţine soluţia y1y se ob
( )
( )
( )
( )∑∑
∑∑
=
=−
=−
n
=−−
1
n
1kkkk
== n
k
2k
1k
2k xxxx
kn
k yxxyxb,
yxx
Exemplu. Evoluţia unui fenomen economic a condus la
următoarele date experimentale
x 20 30 40 80 130 200
1ka
y 18 16 15 12 10 7
graficul punctelor asociate indică un trend liniar, adică y = ax +b. Să
se determine funcţia de ajustare liniară adică parametrii a şi b.
Folosind formulele de mai sus se obţine sistemul
⎧
⎩⎨ =+
=+78b6a500
5100b500
tuia conduce la soluţia a = -0,057 şi b = 17,755
.
se pot face previziuni economice pentru
alte valori ale variabilei x. Există şi alte metode moderne de
aproximare a funcţiilor atunci când se dau un număr de puncte, care
şi eficace. Acestea utilizează aşa
erpolare.
a66200
Rezolvarea aces
adică funcţia liniară este y = -0,057x + 17,755
După găsirea funcţiei
aparţin funcţiei, mult mai precise
numitele polinoame de int
78
Extensii ale noţiunii de integrală
La definirea integralei Riemann se preciza că intervalul de
rare. Dacă aceste condiţii nu sunt
îndeplinite vom reuşi totuşi să definim alte tipuri de integrale numite
integrale improprii.
Definiţie 1. Fie funcţia f : [a, ∞]→R integrabilă Riemann pe
α, β] ⊂ [a, ∞] şi pentru care există
integrare trebuie să fie mărginit iar funcţia care se integrează să fie
mărginită pe intervalul de integ
orice interval mărginit [
( )∫∞→
β
β adxxflim şi este finită, atunci această limită se numeşte integrală
tâia a funcţiei f pe intervalul [a, +∞) şi se
notează
Observaţii.
a) Dacă limita de mai sus este infinită vom spune că integrala
im ă interes.
e integ
De asemeni pot exista integrale improprii convergente (au
va
toa
improprie de speţa în
( ) ( )∫∫∞→
∞+
B
aBadxxflimdxxf
proprie este divergentă şi nu prezint
b) O definiţie analoagă cu cea de mai sus se poate da şi dacă
intervalul d rare este nemărginit la stânga.
loare finită) cu ambele limite infinite adică integrarea se face pe
tă axa reală ( )∫∞+
∞−dxxf .
79
Definiţie 2. Fie acum funcţia f : [a, b] → R nemărginită într-o
vecinătate a lui b dar mărginită şi integrabilă Riemann pe orice
subinterval închis [a, β] ⊂ [a, b]. Dacă există şi este finită limita
( )∫β
→βli tă limită se numeşte integrală improprie de
sp
este finită integrala se
sp gentă altfel se numeşte divergentă.
Punctul în care funcţia de sub integrală este nemărginită poate fi
extremitatea din dreapta, sau extremitatea din stânga sau ambele. De
asemenea funcţia f : [a, b] → R poate fi nemărginită într-un punct c
din ). În acest caz integrala se
descompune în dou
e două integrale improprii din membrul doi sunt
convergente atunci şi cea dată este de asemenea convergentă.
portante pentru a putea defini două tipuri
de au
mu ţii mai ales la calculul probabilităţilor ce va fi studiat
înt
ab
eţa a doua a funcţiei f pe intervalul [a, b).
Observaţie. Dacă limita de mai sus
dxxfm atunci aceas
une că este conver
( )∫b
adxxf interiorul intervalului (a, b
ă integrale improprii şi anume
( ) ( ) ( )∫∫∫ += dxxfdxxfdxxf b
c
c
a
b
a
Dacă cel
Aceste integrale sunt im
integrale numite şi funcţii ale lui Euler care la rândul lor
ltiple aplica
r-un alt capitol.
80
cţia Beta) şi de
amma)
şte funcţie Gamma, funcţia definită pentru
or
Funcţiile lui Euler de speţa întâia (Fun
speţa a doua (Funcţia G
Definiţie. Se nume
ice a > 0 de relaţia
( ) ∫∞
−−=0
x1a dxexaΓ
atu mma este definită doar
ca itate rval de
int
laritate şi la capătul
din năt ă
est
Teoremă. Integrala improprie care Γ(a) este
convergentă (are valoare finită) pentru orice a > 0.
ţii
2)
3) n ∈ N
4)
Observaţie. Dacă a ≥ 1 nci funcţia Ga
o integrală având sigular în partea dreaptă adică inte
egrare infinit.
Pentru 0 < a < 1 integrala improprie are sigu
stânga în sensul că în veci atea lui zero funcţia de sub integral
e nemărginită.
defineşte funcţia
Proprietăţi. Funcţia Gamma satisface următoarele rela
1) Γ(1) = 1
Γ(a + 1) = aΓ(a) pentru orice a > 0
Γ(n+1) = n! pentru
ππasin
Γ(a) ⋅ Γ(1-a) = formula complementelor
5) 2
∀ a > 0.
Observaţie. Proprietatea a doua rezultă prin integrarea prin
părţi, a treia prin recurenţa dată de a doua. Proprietatea a cincea
Γ(a) = 2 ∫ −− t1a2 dtt∞
e0
81
rez lă schimbare de variabilă şi anume x = t2,
dx=2
Aplicaţie 1.
ultă printr-o simp
tdt.
πΓ =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
21 . Se poate utiliza, de exemplu,
proprietatea patru luând 21a πΓΓ =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
21
21
= , .
2. Dacă în proprietatea 5 punem 21a = vom avea
2dteaudte2
21
0
t
0
t 22 ππΓ ===⎟⎞
⎜⎛
∫∫ s⎠⎝
∞−−
aici se deduce uşor că
∞
de π2dye 2
2y
=∫∞
∞−
− .
tegrale numite şi integrale Poisson vor avea aplicaţii
importante în capitolul Calculul probabilităţilor.
Definiţie. Se numeşte funcţia lui Euler de speţa întâia (funcţia
Beta) funcţia definită prin formula
oprie şi anume
rmătoarele relaţii
1. B(a, b) = B (b, a)
Aceste in
( ) ( ) 0b,aoricepentrudxx1xb,aB0
1b1a >−= ∫ −−
Integrala ce defineşte funcţia Beta poate fi impr
1
dacă a < 1 şi b < 1. În cazul că este improprie se poate arăta că este
convergentă dacă a > 0 şi b > 0.
Proprietăţi. Funcţia B(a, b) verifică u
2. B(a, b) = 1b − B(a, b-1) pentru a > 0, b > 1 1ba −+
82
3. Dacă a > 0, b > 0 atunci
( ) ( ) ( )( )ba
bab,aB+⋅
=Γ
ΓΓ
Aplicaţii.
1. Să se calculeze ?1,1B =⎟⎞
⎜⎛
22 ⎠⎝
( )π===
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∫∫∫22
00
1
0dt2
tcostsintdtcostsin2
x1xdx
21,
21B
ππ
Obţinută cu schimbarea derivabilă x = sin2t avem
tdtcostsindt = . Pe de altă parte din relaţia de mai sus avem
( ) πΓΓΓ
π =⎟⎠
⎜⎝
⇒⎥⎦⎢⎣⎟⎠
⎜⎝
=⎠⎝⎠⎝=⎟⎠
⎜⎝
=221
22
,2
B
rezultatul obţinut mai sus.
2. Să se calculeze va
Γ ⎟⎞
⎜⎛⋅⎟
⎞⎜⎛ 11
⎞⎛⎤⎡ ⎞⎛⎞⎛ 11211 2
lorile funcţiei lui Euler
( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
21,
25B,4,3B,
25,5 ΓΓ
Vom avea respectiv
(5) 241234!4Γ =⋅⋅⋅==
πΓΓΓ ⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=⎟
⎠⎜⎝
⎟⎠
⎜⎝ 222
⎞=43
21
21
23 ⎛⎞⎛ 335
( ) ( ) ( )( ) 60
1!6!3!2434,3B =
43 +⋅
=ΓΓ =
Γ
( ) 83
2
3
321
25
21,
25B πππ
Γ
ΓΓ=
+=
⎟⎞
⎜⎛⋅⎟
⎞⎜⎛
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 4⎠⎝⎠⎝
83
determine domeniul maxim de definiţie şi limita în punctul de
coordonate
Exerciţii şi probleme
1. Să se
⎟⎠
⎜⎝ 22
⎞⎛ 11 ( ) 22 yx1y,xf −−=, pentru funcţia .
R. Domeniul de definiţie D ⊂ R2 este dat de inegalitatea 1–x2–y2≥0
sau x2 + y2 ≤ 1 adică discul cu centrul în originea axelor de
co 1
Pentru mită avem
ordonate şi rază .
li
( )22yx1limy,xflim 22
yy 21
21 →→
xx 21
21
=−−=→→
2. Să se determine x + arccos y şi
e condiţia
ad xa reală, care trece
)∈ R2 / -1 ≤ y ≤ 1.
domeniul pentru funcţia f(x, y) =
limita în punctul (0, 0).
[ ]1,1y −∈ R. Domeniul de definiţie este determinat d
ică se obţine o fâşie orizontală paralelă cu a
prin mijlocul ei. D : (x, y
Limita este
( ) ( )2
0arccosyarccosxlimy,xflim
0y0x0x
0y
π==+=
→→
→→
3. Să ţiei ( ) 22
22
yxyxy,xf
+
−= se determine domeniul func şi limita în
(0,
Limit plul dat la
partea teoretică.
0).
R. Domeniul este R2 - 0, 0
a în (0, 0) nu există după cum s-a văzut în exem
84
4. Să se determine domeniul maxim de definiţie al funcţiilor
a (x, y) = ( )22 y4lnx1 −− ) g
R. ) [ ] ( )2,21,1y,1,1x0x1 2
−×−∈−∈
⎩
⎪⎧ ≥−
b) g(x, y) = ln (x y + 2)
<x2+2 interiorul parabolei
[ ]( ) (x
2,2y0y4 2⇒
−∈⇔
⎪⎨
>−2 –
R. x2 – y + 2 > 0 ⇒ D =(x. y)∈R2 /y
222c) g(x, y) = zyx9 −−−
R. E = (x, y, z) ∈ R3 / x2 + y2 + z2 ≤ 9 bila cu centrul în origine
având raza egală cu 3.
5. Să se calculeze derivatele de ordinul întâi şi doi pentru funcţiile
a) f(x, y) = 2x4
b) f(x, y) = x2 sin y + x cos y
c x, y) = exy sin y
d) f(x, y) = ln (xy)
e) f(x, y) = xyz
b) f' = 2x sin y + cos y f"x2 = 2 sin y 2 "yx
f"y2 = -x2 sin y – x cos y
c) f'x = y exy sin y f"x2 = y2exy sin y
xexy(x sin y+cos y)+
)
y3 – 6x3y + 5xy + 7x – 2y – 11
) f(
Răspunsuri
x
f'y = x cos y – x sin y f"xy = 2x cos y – sin y = f
f'y = xexysin y + exycos y f"xy=exysin y+xyexysin y+yexycos y
f"y2=
+exy(x cos y–sin y
85
terpretă le derivatelor parţiale
6. Să se determine valoarea marginală VM în raport cu variabila x apoi
ritmul de variaţie R şi elasticitatea E pentru funcţiile
a) f(x, y, z) = xyz
b) g(x, y) = ln (1 + x2 + y3)
c) ln(x, y, z) = exyz
Răspuns:
a) VM(f, x) = f'x = yz
R(f,x) =
In ri economice a
x1
xyzyzf
f1
x ==′⋅
E(f, x) = 1yzxyzxf
fx
x =⋅=′⋅
b) VM(g, x)= g'x = 32 yx1x2++
R(g, x) = ( ) ( )3232xyx1lnyx1
x2gg1
++++=′⋅
E(g, x) = ( ) ( )3232
2x
yx1lnyx1x2g
gx
++++=′⋅
c) VM(h, x) = h'x = yxexyz
R(h, x) = zxyz
xyzx y
eyzeh
h1
==′⋅
E(g, x) = xhhx ′⋅ = xyz
7. Fie funcţia f : A → R, f(x, y) = λ xαyβ, α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1
(Cobb-Douglas) unde A este formată din mulţimea perechilor (x, y)
86
tehnologic admisibile. Să se determine valoarea marginală, ritmul
de var
Re
iaţie şi elasticitatea lui f în raport cu x şi respectiv y.
zolvare:
( ) ( ) 11 yxy,fVM,yxx,fVM −− == βαβα λβλα
( ) ( ) ( ) ( )y
y,fVMf
y,f 1R,x
x,fVMf1x,fR βα
== ==
( ) ( ) ( ) ( ) βα ==== y,fyRy,fE,x,fxRx,f E
Observaţie. Conform definiţiei elasticităţii se obţine
semnificaţia economică a celor doi parametrii α şi β care apar în
definiţia funcţiei de producţie Cobb-Douglas.
Ei reprezintă numă şte volumul
lt
uncţiilor de mai multe variabile
1. Să se determine punctele de extrem pentru funcţiile
f(x, y) = x3 + 3xy2 – 15x – 12y
Rezolvare: Punctele staţionare se obţin prin rezolvarea sistemului
rul de procente în care cre
producţiei când factorul de producţie respectiv creşte cu 1%, celăla
factor de producţie rămânând neschimbat.
Extremele f
⎩⎨⎧
==+⇒
⎩⎨⎧
=−=+⇒
⎩⎨⎧
=′=′
2xy5yx
012xy615y3x3
0f0f 2222
y
x
adică M1(1, 2), M2(2, 1), M3(-2, -1), M4(-1, -2).
Calculăm derivatele de ordinul doi
x6ft,y6fs,x6fr 22 yxyx =′′==′′==′′=
deci δ = s2 – rt = 36(y2 – x2) şi δ(1, 2) = δ(-1, -2) = 108 > 0 rezultă că
punctele M1(1, 2) şi M2(-1, -2)nu sunt puncte de extrem ci puncte şa.
În punctul M2(2, 1) avem δ(2, 1) = -108 < 0 rezultă că acest
punct este un extrem local şi anume minim deoarece r(2, 1) = 12 > 0
valoarea minimului f(2, 1) = -28.
Analog pentru M3(-2, -1), δ(-2, -1)= -108< 0 şi r(-2, -1)= -12< 0
rezultă că M3(-2, -1) este un punct de maxim local valoarea maximului
fiind f(-2, -1) = 28.
87
=−=+
⎪ 0y20y1
x + 2)y2ex-y
, 2) este un punct de minim local f(-1, 2) = -4e-3.
irect se vede că f(x, y)≤0
. f(x
y⎪⎩ =−=′
′
2. f(x, y) = xy2ex-y, (x, y) ∈ R2, x < 0.
R. ( )( )
( )⎨⎧
⇒⎪⎨⎧
=−=′
+=′−
−
xyx
0ey2xyf
ey1xf 2
yx
yx2x
( )⎩⎩ y
În baza condiţiei x < 0 rezultă soluţiile: (-1, 2), (x, 0), x < 0
r = f"x2 = (
s = f"xy = (x + 1)(2 - y)yex-y
t = f"y2 = x( 2 – 4y + y2)ex-y
δ(-1, 2) = 8e-6 > 0, şi r(-1, 2) = 4e-3 > 0
rezultă că punctul (-1
Pentru puntul (x, 0), x < 0, δ = 0, deci nu putem spune dacă
acest punct este un extrem local. Prin studiu d
pentru x < 0. Dar f(x, 0) = 0 prin urmare (x, 0) este un punct de
maxim.
3 , y) = x3 + y3 – 9xy + 100
Punctele staţionare
( ) ( )3,3M,0,0M 212
2x ⇒⎪
⎨⎧ =−=
0x9y3f
0x9x3f
r = f"x2 = 6x, s = f"xy = -9, t =f"y2 = 6y
δ = s2 – rt = 81 – 36xy, δ(0, 0) = 81 > 0 ⇒ M1 nu este punct de
extrem.
88
2
, 1) punct de minim.
c)
1 2
d) 2 – 2x – y
R. M(1, 0) – punct de minim.
e) f(x, y)=
δ(3, 3) = 18 – 324 < 0 şi r(3, 3) = 18 > 0 ⇒ M – minim local
f(3, 3) = 73 – valoarea minimului
4. Să se determine punctele de extrem local şi pentru funcţiile
a) f(x,y) = 8x2 + 6y2 – 2xy – 40x – 42y + 180
R. M(3, 4) este punct de minim f(3, 4) = 36.
b) f(x, y) = xy (x + y – 3)
R. M(1
f(x, y) = x4 + y4 – 4xy
R. M (1, 1) şi M (-1, -1) puncte de minim.
f(x, y) = x2 + xy + y
3y
20x
50xy −++
R. M(5, 2) punct de minim.
5. Să se determine punctele de extrem ale funcţiei
= z2 2 2 +x + y
02y2x4fx⎪⎧ −=
⎪⎧ =++=′
0, f"yz = 2
f(x, y, z) + 2(x + y + xy + yz + 3z)
R. ( )8,5,3M8z
5y
06y2y2f
02z2x2y4f
z
y −⎪⎩
⎨−=
=⇒⎪⎩
⎨=++=′
=+++=′ 3x
Derivatele de ordinul doi sunt
f"x2 = 4, f"y2 = 4, f"z2 = 2, f"xy = 2, f"xz =
Rezultă că matricea hessiană este
89
⎜=−− 2428,5,3M
M(-3, 5, 8) este un punct de minim local iar valoarea
f(x, y, z) = x3 + y2 + z2 + 12xy + 2z
R. are soluţiil -1); M2(24, -144, 1)
Hessiana este
⎠⎜⎜⎜
⎝
⎛=
2012
x6z,y,xH
( )⎟⎟⎟
⎠
⎞⎜⎛ 024
⎜⎝ 220
sau ∆1 = 4, ∆2 = 12 şi ∆3 = 8 rezultă că hessiana este pozitiv definită
adică punctul
acestui minim este f(-3, 5, -8) = -22.
6. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=′
=+=′=+=′
02z2f
0x12y2f0y12x3f
z
y
2x
e M1(0, 0,
( )⎟⎟⎟⎞
02012
. 0
Deoarece H(0, 0, -1) este nedefinită rezultă că M1(0, 0, -1) nu
este punct de extrem.
Pentru M2 H(24, -144, 1) este pozitiv definită, adică
0,0212
12144,0246 321 >>=>⋅= ∆∆∆
rezultă că M2 este un punct de minim local, iar valoarea minimă a
funcţiei f este f(24, -144, -1) = -6913.
7. Să se determine punctele de extrem local pentru funcţia
( ) 2zy 22
zyx4
R.
xz,y,xf +++=
⎟⎞
⎜⎛ 1,1,1M punct de minim.
⎠⎝ 2
90
est capitol sunt simple,
acestor modele se pot descifra şi stăpâni probleme care la
n cuplu format din două mulţimi
4
x1, x3), (x1, x5), (x2, x5), (x5, x4), (x4, x3), (x5, x3) (x2, x3)
Dacă toate perechile din L sunt ordonate graful se numeşte
orien atunci perechile se numesc arce
ltfel
IV. ELEMENTE DE TEORIA GRAFELOR Modelele matematice prezentate în ac
accesibile şi extrem de utile pentru mai toate disciplinele economice.
Cu ajutorul
prima vedere par de nerezolvat.
Definiţie. Prin graf se înţelege u
una N de elemente numite noduri sau vârfuri şi alta L formată cu
perechi de elemente din N numite linii sau muchii. Îl vom nota de
exemplu cu G(N, L).
Exemplu: G: N = x1, x2, x3, x , x5
L =(x1, x2), (
Grafului i se poate asocia şi o imagine grafică în care
elementelor xi le corespund puncte iar perechilor, linii sau arce (săgeţi)
ce leagă punctele.
x2 x3
x1 x4
x5
tat. Dacă graful este orientat
a se numesc linii sau muchii.
91
e între partenerii de afaceri sau agenţii
ă într-un nod se numeşte grad
0 şi grext > 0. Nodul xj
se numeşte ieşire dacă grint > 0 şi grext = 0. Nodul xk pentru care avem
grint = grext = 0 este un punct izolat.
ul
mentar dacă nu întâlneşte acelaş vârf de două
ori. Un drum se notează cel mai des ca succesiune a vârfurilor sale x1,
2, … cid, atunci drumul
se numeşte circuit.
Dacă graful nu este orientat, în loc de arce avem muchii; în acest
caz o succesiune de muchii se numeşte lanţ.
Observaţie. Un drum este un lanţ, dar reciproca nu este
adevărată, adică un lanţ nu este totdeauna un drum.
Un drum care trece o singură dată prin fiecare vârf al grafului
se numeşte drum hamiltonian. Drumurile hamiltoniene au aplicaţii
numeroase în succesiunea operaţiilor bancare sau în tehnologie la
stabilirea succesiunii etapelor de fabricaţie a unui produs.
Sub formă de graf pot fi modelate procese tehnologice ca
succesiune de operaţii, relaţiil
economici, operaţiile bancare etc.
Numărul de arce ce pleacă dintr-un nod se numeşte grad
exterior, iar numărul de arce ce intr
interior al acelui nod.
Un nod xi se numeşte sursă dacă grint =
O succesiune de arce (u1, u2)(u2, u3)(u3, u4)… în aşa fel ca vârf
terminal al fiecărui arc coincide cu vârful iniţial al arcului următor se
numeşte drum.
Un drum este ele
x , xp. Dacă capetele unui drum elementar coin
92
rdine d conexi e. Dac iecare reche d vârfuri n G
este legată, spunem că graful G te conex. Vârfurile xi ş j se
nume semi-ta conex acă ex un drum care leagă pe xj xi.
Dacă fiecare pereche din G ste sem tare co ă spunem că
grafu este s i-tare conex şi c e ordinul doi de conexiune.
Vârfurile xi şi xj se numesc tare-conexe dacă există cel puţin un
drum care leagă pe xi d care leagă pe xj de xi.
Analog putem spune că dacă f are rec de rfu din este tare
conex atunc af tare conex ş că el are ordinul trei de
conexiune.
bserva Grafu re conex este sem tar one , car la
rândul lui est ne ec t ade ra
xemple
tare conex Graf conex
se obţine din acesta prin
eliminarea unor arce, dar păstrând toate vârfurile.
Se numeşte arborescenţă un graf orientat fără circuite în care:
O e un ă f pe e di
es i x
sc re e d istă de
e i- nex
l G em ă el ar
e xj şi cel puţin un drum
iec pe he vâ ri G
ă i gr ul G este i
O ţie. l ta şi i e c x e
e co x. R iproc nu es e vă t.
E :
Graf tare conex Graf semi
1
4
5
23
23
23
Un subgraf al unui graf G se obţine din acesta prin eliminarea
unor vârfuri împreună cu toate arcele adiacente acestor vârfuri.
Un graf parţial al unui graf G
1
4
5
1
4
5
93
) un
singur alt vârf.
7, x4, x2, x1)
şor fiind totdeauna între două
vârfuri repetate: În exemplul de mai sus sunt: x7, x8, 10, x11 12.
eancul se foloseşte mai des când se recurge la calculator fiind mai
cenţa plecând de la un vârf şi trecând la
descendenţi imediaţi apoi la cei următori până la epuizarea vârfurilor.
Arbo xe.
Numă ale unui graf prezintă importanţă în
gra rientate.
8 10 11 12
a vârf şi numai unul, numit rădăcină, nu e precedat de nici un
vârf.
b) Orice vârf e precedat de un
Vârfurile fără "descendenţă" se numesc "frunze" sau "vârfuri
atârnate".
Un teanc este o succesiune de vârfuri obţinute din graf prin
citirea acestora pe un traseu care înconjoară toate ramurile.
Teancul asociat acestui
graf este:
x1
x2 x3
(x1, x3, x6, x12, x6, x11, x6, x3, x1,
x2, x5, x10, x5, x9, x5, x2, x4, x8,
x4, x
x4 x5 x6
x x x x x x7 9
În teanc frunzele se recunosc u
x9, x , x
T
uşor de introdus şi exploatat decât matricea tranziţiilor. Din diverse
grafe se pot extrage arbores
rescenţe parţiale pot exista şi în grafuri care nu sunt tare cone
rul arborescenţelor parţiale
probleme de codificare, programare pe calculator şi lingvistică.
Vom da mai jos câteva noţiuni şi denumiri utilizate în cazul
felor neorientate şi corespondenţele lor la grafe o
O pereche de vârfuri se numeşte muchie şi se notează 21 x,x .
nţul este o reuniune de muchii succesive. El corespunde drumului.
ice drum este un lanţ, reciproc nu este adevărat.
Ciclu este un lan
La
Or
ţ având capetele unite. Un circuit este un ciclu,
există
numeşte
are o singură
comp
are este acea parte a unui graf tare conex
care cu muchiile incidente rupe conexiunea
grafu . Prezintă intertes numărul
minim
ârfuri ale unui graf conex este lungimea
bservaţie. În grafele neorientate avem δ (xixj) =δ (xjxi). La cele
rientate, tare conexe, relaţia de sus nu mai este adevărată. În general
distan se util ază la g furi neo ntate.
atrici a ciate ui gra
a const t că se lucrează foarte greu cu un g prezen
forma grafică sau sub forma primară de cuplu de vârfuri sau arce
invers nu.
Un graf neorientat este conex, dacă oricare ar fi vârfurile xi şi xj
cel puţin un lanţ care le leagă.
Fie xi ∈ G şi C(xi) mulţimea formată din xi şi toate celelalte
vârfuri legate prin lanţuri de xi. Subgraful astfel obţinut se
componentă a lui G. Ea este evident conexă.
Un graf este convex dacă şi numai dacă
onentă.
Submulţime de articul
suprimată împreună
lui în cel puţin două componente
de vârfuri cu rol de articulare.
Distanţa dintre două v
celui mai scurt lanţ care le uneşte. Se notează cu δ(xi xj).
O
o
ţa ize ra rie
M so un f
S- ata raf tat sub
94
95
descrise ca text, chiar şi simplu. Ca urmare au
fost definite câ a matr utorul cărora operaţ e şi algoritmii
bo
vâr
Ele
existănuda
xa jij
Citirea în matrice se face ş
Un graf entat având n vârfuri ş arce poate fi, de
asemenea, reprezentat prin mat ea d cide care are n linii şi m
coloan ∈ (aij nde:
uarculuialadiacentvârfestenuxdacă
îănteseurculdacă1
rfuldinpornesterculdacă
u9
3 6
atunci când graful este
tev ici, cu aj iil
relativi la grafe, devin uşoare.
Matricea legăturilor (matricea conexiunilor, matricea
oleană) este o matrice pătrată de ordin n, unde n este numărul
furilor grafului.
Pentru fiecare vârf se desemnează o linie, respectiv o coloană.
mentele acestei matrici se definesc astfel:
⎧=
lx la de orientat arc existăacăd1,c i
⎩⎨
că,0
de la stânga la dreapta i apoi în sus.
ori G i n
ric e in nţă
e A ) u
⎪⎩ ,0
⎪⎨
⎧
−
+
=
ji
ixj
ixju
ija vârfulnmira,
vâa1,
Exemplu: Fie graful din desenul de mai jos.
u1 x2 u4x1 x5
u2 u8 u7u3 u5 x4
u10x u
x6
96
Matricea conexiunilor
C x1 x2 x3 x4 x5 x6
x1 0 1 0 1 0 0
x2 0 0 1 0 1 1
x3 1 0 0 0 0 0
x4 0 0 0 0 1 1
x5 0 0 0 0 0 1
x6 0 0 1 0 0 0
u8 u9 u10
Matricea de incidenţă
C u1 u2 u3 u4 u5 u6 U7
x1 +1 +1 -1
x2 +1 +1 +1
x3 +1 -1 -1 -1
x4 -1 -1 +1 +1
x5 -1 -1 +1
x6 +1 -1 -1
se atribuie câte o valoare, în care caz graful se
elor corespunzătoare.
o nota a a matrice cu = li
Dacă arcelor li
numeşte capacitat, matricea legăturilor poate fi înlocuită cu matricea
lungimilor obţinută din prima prin substituirea elementelor "1" cu
lungimea arc
V m ce stă L ( j).
97
a matrice important ar i rv e ri r leme este
m at e onexă e na
(
ladrumuulexistăad i
ij
Observaţii. 1. Deoarece arcele unui graf pot fi considerate ca
drumuri particulare, rezultă că matricea D conţine toate elementele
"1" ale matricii conexiunilor.
2. Pot exista mai multe grafe care să aibă aceiaşi matrice
terminală. Pentru a evita acest neajuns şi pentru alte motive care se
vor vedea mai jos, s-a convenit să se marcheze elementele "1" ale
matricii drumurilor care se regăsesc în matricea conexiunilor, cu
asterisc, matricea conexiunilor fiind specifică fiecărui graf.
3. Numărul de vârfuri ce pot fi atinse plecând din vârful x pe
diverse drumuri se numeşte puterea de atingere a lui x .
+ 0 1 • 0 1
O ltă ă c e nte in în dife te p ob
aşa nu ita matrice a drumurilor sau m ric c t rmi lă
D= dij). Elementele ei se definesc astfel:
⎩⎨⎧
=.existănudacă,0
x,1 d că ce p tin n de x la j
i
i
În continuare vom reaminti operaţiile de adunare şi înmulţire
booleană care se fac în mulţimea 0, 1. Acestea se efectuează după
regulile prezentate în tabelele următoare:
0 0 1 0 0 0
1 1 1 1 0 1
Se ştie că adunarea corespunzătoare disjuncţiei logice "sau", iar
înmulţirea conjuncţiei "şi".
98
. Fie
c1m elementele diferite de zero din linia întâia a acestei matrici C.
rima linie.
3. Se repetă pasul 2 până când se obţine una din următoarele situaţii:
a) Prima linie conţine numai elemente unu event al în afară de
t
vârfurilor care sunt de fapt arcele ce leagă vârfurile:
x4
- după x4 nu urmează nici un vârf
linie urmărind
textul.
Algoritmul lui Y.C.Chen, pentru construirea matricii
drumurilor (terminală)
1 matricea conexiunilor (legăturilor, booleană) C. Fie c1i, c1j, …,
Adunăm boolean liniile i, j, …, m la prima linie.
2. Presupunem că au mai apărut şi alte elemente diferite de zero
generate de operaţia de adunare booleană de la pasul precedent. Fie
acestea c1p, c1q, …, c1r. Adunăm boolean în continuare şi liniile p, q,
…, r la p
u
poziţia de pe diagonala principală (dacă graful este fără circuite).
b) Nu mai putem genera elemen e "unu" noi prin operaţiile descrise
4. Se repetă procedeul de mai sus pentru fiecare linie din C.
Exemplu. Fie graful dat sub formă de text ca succesiuni ale
- după x1 urmează x2 şi x3
- după x2 urmează x3
- după x3 urmează
- după x5 urmează x1, x3, x4 şi x6
- după x6 urmează x4
Matricea legăturilor se va completa uşor linie cu
99
x6C x1 x2 x3 x4 x5
x1 0 1 1 0 0 0
x2 0 0 1 0 0 0
x3 0 0 0 1 0 0
x4 0 0 0 0 0 0
x5 1 0 1 1 0 1
x6 0 0 0 1 0 0
1. năm
pe ci şi linia 4-a la linia întâia dar nu mai
apare nici un element "unu" nou.
os.
Pe linia întâi avem elemente "1" pe coloanele x2 şi x3. Adu
boolean liniile 2 şi 3 la linia întâi. Va apărea un element unu în plus
coloana 4. Adunăm de
2. Continuăm cu linia 2-a unde procedând analog apare doar un
element unu pe coloana 4-a. Procedând în continuare la fel se
ajunge la matricea drumurilor pe care o dăm mai j
C x1 x2 x3 x4 x5 x6 P.A
x1 0 1* 1* 1 0 0 3
x 0 0 1* 1 0 0 2 2
x 0 0 0 1* 0 0 1 3
x 0 0 0 0 0 0 0 4
x 1* 1 1* 1* 0 1* 5 5
x 0 0 0 1* 0 0 16
Observaţii:
1. În această matrice am marcat cu asterisc * elementele "1" ce se
găsesc şi în matricea conexiunilor şi care reprezintă deci drumuri
formate dintr-un singur arc.
100
2. Pe marginea din dreapta este trecută puterea de atingere a fiecărui
vârf care se obţine numărând elementele "1" de pe fiecare linie.
Matricea terminală triangularizată superior TTS
Dacă graful este fără circuite atunci matricea sa terminală (sau a
rum şezate
ei principale, formă care se numeşte
"triangularizată superior". Această matrice va avea un rol
important în construcţia drumurilor hamiltoniene în cazul în care
ngere pentru fiecare vârf urmărind câte
ătoare vârfului.
Se ordonează liniile în ordinea descrescătoare a puterilor de
atingere.
3. Se ordonează apoi coloanele în aceiaşi ordine şi se obţine matricea
terminală (a drumurilor) triangularizată superior.
Observaţii:
1. Dac graful este fără în matricea terminal nu avem
pe diagonală elemente "1", aceast
n at ea r na ă p io TT a n gr
orienta i f ă circu e primul element de nie şi ultimul
de pe fiecare coloană diferit de zero este un "1*" marcat care
d urilor) se poate aranja astfel ca toate elementele "1" să fie a
deasupra diagonal
graful iniţial nu are drum hamiltonian.
Procedeu de triangularizare:
1. Se scrie puterea de ati
elemente "1" sunt pe linia corespunz
2.
ă circuite, adică ă
a se poate întotdeauna
triangulariza.
2. Î m ric te mi lă triangularizat su er r ( S) u ui af
t ş ăr it pe fiecare li
reprezintă un arc.
101
a terminală precedentă. Se vor urmări
a
C P.A C x5 x1 x2 x3 x6 x4 P.A
Aplicaţie pentru matrice
cele două faze: ordonarea liniilor în ordine descrescătoare şi apoi
coloanelor.
x1 x2 x3 x4 x5 x6
x5 1* 1 1* 1* 0 1* 5 x5 0 1* 1 1* 1* 1 5
x1 0 1* 1* 1 0 0 3 x1 0 0 1* 1* 0 1 3
x2 0 0 1* 1 0 0 2 x2 0 0 0 1* 0 1 2
x3 0 0 0 1* 0 0 1 x3 0 0 0 0 0 1* 1
x6 0 1 x6 0 0 0 0 0 1* 1 0 0 1* 0 0
x4 0 0 0 0 0 0 0 x4 0 0 0 0 0 0 0
Drumuri hamiltoniene în grafe
modele matematice extrem de utile în procesele tehnologice în care un
singură dată. Evident că există anumite restricţii tehnologice de
Reamintim că un drum hamiltonian este un drum care trece o
singură dată prin fiecare vârf al grafului. Drumurile hamiltoniene sunt
produs trebuie să treacă prin diverse operaţii (vârfuri) parcurse toate o
producţie ce trebuiesc respectate şi atunci se pune problema de a
stabili ordinea în care vor fi făcute operaţiile aşa ca să se respecte
compusă din operaţii elementare care trebuie efectuate toate o singură
prudenţei economice) este dificilă găsirea ordinei de executare a
acestor operaţii cu respectarea tuturor condiţiilor. Modelul matematic
tonian rezolvă uşor şi automat această problemă.
condiţiile de mai sus. Analog, o anumită activitate economică poate fi
dată. Din cauza unor restricţii de succesiune (eventual unele datorate
numit drum hamil
A. Drumuri hamiltoniene în grafe orientate şi fără
circuite
Fie un graf orientat şi fără circuite, fie matricea sa conexă şi
matricea terminală eventual triangularizată superior.
Teoremă (de existenţă şi unicitate a drumului hamiltonian).
La orice graf orientat şi fără circuite cu n vârfuri există drum
hamiltonian dacă şi numai dacă numărul elementelor diferite de zero
ale matricii terminale (a drumurilor) este ( )2
1nn − .
umul hamiltonian.
, xin
Ţinân ircuite xi1 atinge n-1 vârfuri, deci pe
linia "1". Analog rezultă că pe linia xi2 se
găsesc ( parte până la linia xin – unde
sunt a nte diferite de
zero este
Demonstraţie (necesitatea). Graful admite dr
xi1, xi2, …
d cont că graful nu are c
lui xi1 sunt (n-1) elemente
n-2) elemente "1" şi aşa mai de
do r zerouri. Rezultă că numărul total de eleme
:
( ) ( ) ( )2
1nn123...2n1n −=++++−+−
Reciproc (suficienţa). Dacă numărul elementelor diferite de
zero din matricea T este egal cu ( )2
1nn − vom arăta că graful are un
drum hamiltonian. Considerând matricea conexă terminală triangulară
superior TTS, cele ( )2
1nn − elemente "unu" umplu triunghiul aflat
deasupra diagonalei. Putem scr e deci o succesiune de arce i
102
103
c es n oa f ărui element diferit de zero de pe fiecare linie a
tri T o a:
or pu zăt re iec
ma cei TS în f rm
( )( ) ( )n
1n−31 iiii xxxx
ce ne care formează un drum hamilto an m a
st ni S ra uş că re pu nd ă ar fi ă a u
gr l c ui ce ce contrazice ipoteza fă ă
g itm l ac d te in e dr i
am to ian
2x
2iix ...
suc siu ni . Acest dru d că
există e e u c. e a tă or p su nâ c dou v rez lta
că afu are irc te ea cut .
Al or u pr tic de e rm ar a umulu
h il n
1. Se construieşte matricea conexă a grafului dat
2. Se formează matricea drumurilor (terminală) plecând de la cea
conexă.
3. Verificăm condiţiile ca graful să fie fără circuite şi să conţină un
drum hamiltonian
a) pe diagonala principală matricea T să nu aibă elemente "1";
b) numărul elementelor "1" egal cu suma puterilor de atingere a
tuturor vârfurilor să fie ( )2
1nn − .
4. În caz că condiţiile a) şi b) sunt îndeplinite aranjăm vârfurile
grafului în ne de es oare a puterilor de atingere şi
succesiunea l ne d ru l h il a ut
Exemplu: eluc rea nu o se ce rin operaţii care
îndeplinesc urm arel est ţii:
P1 trebuie fie ultima operaţie; după 2 poate urma P1, P3 sau
P6; după poa rm doa 1; după – urmează P3, P5 şi P6,
după P5 poate veni P1 2, P şi î fâ d P rmează P3.
ordi a scr căt
or ă d mu am toni n că at.
Pr ra u i pr dus fa p 6
ăto e r ric
să P
P3 te u a r P P4
, P 6 n s rşit upă 6 u
104
Graful poate fi r dar nu este neapărat
C P1 2 3 4 5 6 1 2 3 P4 P5 P6 PA
eprezentat şi ca desen
necesar şi nici prea util. Lucrul cu grafe se face doar pe matrici.
Textul se mai poate scrie simbolic şi în felul următor:
P1 → Φ
P2 → P1, P3, P6
P3 → P1
P4 → P3, P5, P6
P5 → P1, P2, P6
P6 → P3
Matricea conexă a grafului este:
P P P P P T P P P
P1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 P 0 0
P2 0 0 1* 3 1 0 1 0 0 1 P 1* 0 1*2
P3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 P 1*3
P4 0 0 1 0 1 1 1* 0 1* 1* 5 P 1 1 4
P5 1 1 0 0 0 1 1* 1* 1 0 0 1* 4 P5
P 0 0 1 0 0 0 1* 0 0 0 2 6 P 1 0 6
Suma P.A. 15
P P
P3 P4
2 5
P1P6
din care prin algoritmul lui Chen se deduce matricea conexă terminală
T.
105
Verificarea cr
ă nu avem elemente "unu" deci graful nu are circuite.
2. Numărul element icea T (adică suma
iteriilor
1. Pe diagonal
elor egale cu "unu" din matr
puterilor de atingere) este 2
5615 ⋅= .
Rezu cesta se poate
obţine scr d ea descrescătoare a puterilor de
atingere, adic P5, P2, P6, P3, P1 drum ce poate fi urmărit şi pe
desen.
Corijarea grafului
Dacă rilor de atingere ale celor n vârfuri este
mai mică d â
ltă că graful conţine un drum hamiltonian. A
iin vârfurile în ordin
ă dH: P4,
în graf suma pute
ec t ( )1nn −2
uneori este foarte important ca drumul hamiltonian să ex
atunci nu există drum hamiltonian. În aplicaţii
iste şi se pune
astfel problema corijării minimale a grafului. Prin corijare minimală se
înţele asate
astfel nian. Aceste corijări au
f corespunde cu introducerea unor arce, se va
forma drum hamiltonian. Dacă există şi alte elemente "zero" în
ge introducerea unui număr cât mai mic de arce bine pl
ca în graf să apară drum hamilto
întotdeauna interpretări practice şi economice interesante şi utile.
Pentru corijare va trebui să urmărim în matricea terminală
triangularizată superior pe prima paralelă la diagonala principală unde
sunt elemente "zero". Dacă în locul acestora se va plasa elementul
"unu", ceea ce în gra
106
teri
at cu elemente "unu" în procesul de
dună
uterilor de atingere a tuturor vârfurilor
te
in orul triunghiului superior din matricea TTS acestea pot fi
neglijate.
Locul lor va fi ocupat autom
a ri booleene care se va reface după corijare. Pentru verificare
vom relua după corijare algoritmul de construire a matricei drumurilor
şi vom constata că acum condiţia de existenţă a drumului hamiltonian
este îndeplinită, adică suma p
es ( )2
1nn − . Corijarea propusă prin metoda de mai sus este
"minimală" în sensul că se introduc un număr minim de elemente
u" puse însă în locuri potrivite. "un
(xi)
tre x1, x3, x4, x6
ingură dată.
nzător problemei practice enunţate.
1. Vom scrie matricea conexiunilor C.
Exemple: O unitate economică trebuie să execute 6 operaţiuni
care sunt condiţionate de următoarele restricţii:
- după x1 poate urma x2 şi x3
- după x2 poate urma x3
- după x3 poate urma x4
- x4 trebuie să fie ultima operaţie
- după x5 poate urma oricare din
- după x6 poate urma doar x4
Să se determine ordinea în care trebuie executate aceste operaţii
economice astfel ca fiecare să fie efectuată o s
Rezolvare. Modelul ataşat acestei probleme este evident acela de
găsire a drumului hamiltonian care trece prin cele 6 vârfuri ale
grafului corespu
107
ngere, PA.
C x
2. Prin adunări booleene vom construi matricea drumurilor D
(terminală) în care vom trece şi puterile de ati
1 x2 x3 x4 x5 x6 D x1 x2 x3 x4 x5 x6 PA
x1 0 1 1 0 0 0 x1 0 1* 1* 1 0 0 3
x2 0 1 0 0 2 0 1 0 0 0 x2 0 0 1*
x3 0 0 0 1 0 0 x3 0 0 0 1* 0 0 1
x4 0 0 0 0 0 0 x4 0 0 0 0 0 0 0
x5 1 0 1 1 0 1 x5 1* 1 1* 1* 0 1* 5
x6 0 0 0 1 0 0 x6 0 0 0 1* 0 0 1
Total P.A. 12
Se observă că suma puterilor de atingere este 1512 =≠
Pentru hamiltonian ar fi trebuit să fie 15.
pro
unu
car
lin
(vezi exemplul de la început).
256 ⋅ .
existenţa drumului
Concluzia: nu avem drum hamiltonian.
Deoarece dorim neapărat ca să existe un astfel de drum vom
ceda la corijarea grafului care va consta în adăugarea cel puţin a
i arc (intenţionăm cât mai puţine). Pentru a găsi locul potrivit în
e să adăugăm arcul vom construi matricea TTS, prin aranjarea
iilor şi a coloanelor în ordinea descrescătoare a PA. Astfel avem
TTS x5 x1 x2 x3 x6 x4 PA
x5 0 1* 1 1* 1* 1 5
x1 0 0 1* 1* 0 1 3
x2 0 0 0 1* 0 1 2
108
x3 0 0 0 0 0 1* 1
x6 0 0 0 0 0 1* 1
x4 0 0 0 0 0 0 0
Se observă că pe prima paralelă la diagonala principală este un
singur zero. Dacă în acest loc vom pune un "unu" ceea ce revine în
graf la adăugarea unui singur arc între x3 şi x6 va apărea un drum
2, x3, x6, x4
matricea
conexă nouă (corijată) şi vom obţine că suma puterilor de atingere va
fi egală cu
hamiltonian. Acesta va fi dat de succesiunea din tabelul de mai sus
adică:
dH: x5, x1, x
Pentru verificare putem reface calculele plecând de la
152
56=
⋅ . Putem menţiona faptul că după adăugarea
ricei
2 1 5 7
ţia x poate urma doar x , x
4 2 3 5 x6
6 5 7
arcului x3x6 în procesul de formare a mat drumurilor se vor
completa cu "unu" în mod automat şi poziţiile (x1x6) şi (x2x6).
Exerciţii. Să se determine drumuri hamiltoniene în grafele
corespunzătoare următoarelor două probleme.
1. Un produs trebuie să treacă în prelucrarea lui prin opt operaţii
care sunt condiţionate de următoarele restricţii:
- după operaţia x1 poate urma doar x8
- după operaţia x poate urma doar x , x , x
- după opera 3 2 6
- după operaţia x poate urma doar x , x , x ,
- după operaţia x5 poate urma doar x1
- după operaţia x poate urma doar x , x
109
- operaţia x7 trebuie să fie ultima
ccesiuni (restricţii)
5 3
ie.
l lui Foulkes
r-un graf cu circuite este descompunerea acestuia în
ubgrafe tare conexe, aşezate într-o anumită succesiune. Acest lucru
- după operaţia x8 poate urma doar x7
Răspuns. În acest graf nu există drum hamiltonian.
Dacă însă se face o corijare adăugând un arc între x2 şi x6 sau
invers va apărea un drum hamiltonian şi anume:
dH1: x4, x3, x2, x6,x5, x1, x8, x7
sau respectiv
dH2: x4, x3, x6, x2,x5, x1, x8, x7
2. Să se determine drumul hamiltonian în graful care este dat de
următoarele su
- x1 → Φ (ultima operaţie = ieşire din graf)
- x2 → x1, x3, x5, x6, x7
- x3 → x1
- x4 → x3, x5
- x → x
- x → x , x , x 6 5 3 1
- x7 → x1
Indicaţ Nu are drum hamiltonian. Se va căuta o corijare
minimală în aşa fel ca să putem găsi un astfel de drum.
Determinarea drumurilor hamiltoniene într-o reţea
oarecare. Algoritmu
Ideea algoritmului lui Foulkes de găsire a drumurilor
hamiltoniene înt
s
110
se poate realiza p gru ea vâ rilor r-o m ţime ordonat e
cl de ec en
De exemplu, oricare vârf din prima clasă poa fi ales ca început
de drum, după cum oricare vârf din ultima clasă de echiv nţă poate
fi sfârşitul drumului hamilt an.
Vom rie to drum ile ha iltonie parţi din f are c ă
pe care apoi le a blăm n ord ea ob erii selor cu ajut l
arcelor dintre clas ţinâ drum i ham oniene complete. Evident
. Sc
care au în această matrice pe linii numai elemente "1", iar
oan cor unză re nu c exc ia
emen or de la in secţii e gr m în prima clasă
hival (vârfuri de la început).
Se mină din atrice (C+U liniile şi coloa e
corespunz are ac tor vâ ri iar la matr a răm ă procedăm la fel
pentru a afla a doua clasă de echivalenţă et
rin par rfu înt ul ă d
ase hival ţă.
te
ale
oni
sc ate ur m ne ale iec las
sam î in ţin cla oru
e ob nd ur ilt
vom găsi mai multe drumuri.
Algoritmul practic de găsire a drumurilor hamiltoniene are
următoarele etape:
1 riem matricea conexiunilor C pe care o adunăm boolean cu
matricea unitate U de acelaşi ordin cu ea.
2. Înmulţim boolean matricea (C+U) cu ea însăşi şi obţinem (C+U)2.
Calculăm puterile următoare ale lui (C+U) până când două puteri
succesive sunt egale. Spunem că matricea este saturată.
3. Vârfurile
col ele esp toa lor mai zerouri u epţ
el tel ter l upă de
ec enţă
eli m a )k nel
ăto es rfu ice as
c.
111
uri între ele. Procedăm la fel cu celelalte clase
-le izolat în ordinea obţinerii claselor. Fiecare din
d n
b ras ui dat ce leag c e
num e i as lor. Adic a e c p la
prim o a e la dou s e m
obţine în final un graf parţ l r tiv e n a n st
subgraf vor li i e a s r peste u u m c s şi
cele a ul o u s su i de o in re l
echi l ţ A c e m at u a u ci
un drum hamiltonian.
Af
e astfel mai multe drumuri hamiltoniene complete.
e între
Procedând în acest fel toate vârfurile grafului vor fi repartizate în
clase de echivalenţă. Este important să se reţină ordinea în care au
apărut clasele.
4. Reconstruim un graf parţial al grafului dat (care are toate vârfurile
dar numai o parte din arce) în felul următor:
a) Reprezentăm vârfurile primei clase şi trasăm toate arcele ce
leagă aceste vârf
reprezentându
aceste clase ă aştere unui subgraf tare conex.
) T ăm toate arcele graful ă las le consecutive,
ai în sensul obţin ri cl e ă rc le e ornesc de
a clasă spre a d u , d a a pr a treia etc. Vo
ia ela la c l i iţi l. Di ace
ps arcel c re a na sa ai multe la e
c re au sens p s en lu bţ e a c aselor de
va en ă. ceste ar e li in e n r p tea face parte din ni
5. lăm drumurile hamiltoniene parţiale din fiecare clasă, după care
le asamblăm între ele, în toate modurile posibile, utilizând arcele
dintre clase consecutive, în ordinea în care au fost obţinute clasele.
Vom obţin
Numărul acestora va depinde de câte drumuri sunt în fiecare clasă
de echivalenţă, precum şi de numărul de arce ce leagă clasel
ele.
112
Observaţie. Av ma m e um i miltoniene, putem
introduce un criteriu optim ar en u el ta doar unul dintre
ele care va fi utilizat în acti
Justificarea alg ritmului
Definiţie. Două vârfuri x şi x se numesc echivalente dacă între
ele există cel puţin un drum într-un sens şi cel puţin un drum în sens
contrar. Împărţirea vârfurilor în clase de echivalenţă se face pe baza
acestei defini ii.
Observaţie. Vârfurile a dou clase de echivalenţă distincte nu
opi.
ând i ult dr ur ha
de iz e p tr a s ec
pr că.
o
i j
ţ
ă
pot fi legate decât prin drumuri sau arce orientate într-un singur sens
altfel cele două clase s-ar cont
Un element arbitrar din matricea (C+U)2 este de forma
∑=
=n
1kkjikij ααβ
adunarea şi înmulţirea de aici fiind booleene. βij va fi egal cu unu dacă
şi numai dacă există cel puţin un întreg k aşa ca αik = 1 şi αkj = 1 altfel
va avea valoarea zero. Această condiţie arată că există măcar un drum
de un arc între xi şi xk şi un drum de un arc între xk şi xj adică există un
drum de două arce între xi şi xj. Elementele egale cu unu din matrice
(C+U)2 reprezintă existenţa drumurilor de cel mult două arce între
pective ale grafului. Analog se deduce că elementele egale
r de cel
ult trei arce, etc.
vârfurile res
cu unu din matricea (C+U)3 reprezintă existenţa drumurilo
m
113
Când se obţine egalitatea (C+U)k = (C+U)k+1, adică când prin
noua înmulţire nu mai apar elemente egale cu unu în plus, matricea
obţinută indică toate posibilităţile de drumuri între diferitele vârfuri
ale grafului.
În matricea (C+U)k care conţine toate posibilităţile de drumuri
ui. Faptul că pe coloanele
res
entru reducerea numărului de calcule în vederea
obţ la
păt ( re
vor te
înm ci
dintre vârfurile grafului, există linii ce conţin numai elemente egale cu
unu, ceea ce înseamnă că de la vârfurile corespunzătoare lor se poate
ajunge la toate celelalte vârfuri ale graful
co punzătoare există zerouri, indică imposibilitatea de a ajunge la
aceste vârfuri de la celelalte vârfuri ale grafului.
Aceste vârfuri trebuie să facă parte deci din prima clasă de
echivalenţă (care sunt candidate la prima parte a drumului
hamiltonian).
Observaţie. P
inerii matricii saturate putem ridica repetat matricea (C+U)
rat, obţinând puteri de forma (C+U)2, (C+U)4, C+U)8 etc., ca
depăşi rapid puterea (C+U)k adică forma saturată. Toa
ulţirile sunt booleene. Procesul se opreşte când două matri
succesive din acest şir sunt identice.
Exemplu: O întreprindere trebuie să fabrice succesiv 8 tipuri de
produse Pi ( )8,1i = . Pentru a trece de la producţia produsului Pi la
producerea lui Pj trebuie suportat un cost de lansare sau cost de trecere
cij. Cunoscându-se tabelul tuturor costurilor de lansare, să se
114
determ i celor 8 produse, astfel încât cheltuielile de
lansare totale să fie minime.
D unt în
1 2 3 4 5 6 7 8
ine ordinea fabricări
ăm mai jos matricea costurilor de trecere unde cifrele s
milioane de lei.
MC P P P P P P P PP1 0 3 5 2 7 6 4 4 P2 7 0 6 6 8 6 6 5 P3 8 8 0 4 4 6 8 5 P4 4 8 5 0 6 7 7 6 P5 8 7 3 4 0 6 7 5 P6 5 5 4 5 8 0 6 4 P7 6 7 4 4 9 7 0 7 P8 5 7 6 8 7 6 5 0
Observaţie. Există 8! = 40⋅320 moduri de a trece prin
bric
şi eliminăm arcul corespunzător costului
1 2 3 4 5 6 7 8
fa area celor 8 produse, fiecare ordine de trecere având un cost
total de lansare. Este dificil de a găsi ordinea cea mai ieftină.
Rezolvare. Dacă acestei probleme îi asociem un graf prima
operaţie este de a elimina din el o mare parte din arce în felul următor.
Comparăm costurile c cu cij ji
mai mare. În locul costului mai mare vom pune zero, iar în locul celui
mai mic "1". Vom obţine în acest fel matricea conexiunilor unui graf
simplificat.
MC P P P P P P P PP1 0 1 1 1 1 0 1 1 P2 0 0 1 1 0 0 1 1
115
P3 0 0 0 1 0 0 0 1 P4 0 0 0 0 0 0 0 1 P5 0 1 1 1 0 1 1 1 P6 1 1 1 1 0 0 1 1 P7 0 0 1 1 0 0 0 0 P8 0 0 0 0 0 0 1 0
Adunăm la matricea C matricea unitate de ordinul 8. Se obţine
C+U. Este analoagă cu cea de mai sus doar că diagonala principală se
va um ulţirea
boole (C+U) care este analoagă cu înmulţirea clasică a
che de elemente
P6 P7 P8 (C+U)4 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8
ple cu elemente "unu". Apoi o ridicăm la pătrat prin înm
ană (C+U)×
matricilor (linii prin coloane) cu deosebirea că la adunare nu poate fi
depăşită valoarea 1. Dacă se formează cel puţin o pere
1×1 rezultatul va fi 1.
Vom obţine:
(C+U)2 P1 P2 P3 P4 P5
P1 1 1 1 1 1 1 1 1 P1 1 1 1 1 1 1 1 1
P2 0 1 1 1 0 0 1 1 P2 0 1 1 1 0 0 1 1
P3 0 0 1 1 0 0 1 1 P3 0 0 1 1 0 0 1 1
P4 0 0 0 1 0 0 1 1 P4 0 0 1 1 0 0 1 1
P5 1 1 1 1 1 1 1 1 P5 1 1 1 1 1 1 1 1
P6 1 1 1 1 1 1 1 1 P6 1 1 1 1 1 1 1 1
P7 0 0 1 1 0 0 1 1 P7 0 0 1 1 0 0 1 1
P8 0 0 1 1 0 0 1 1 P8 0 0 1 1 0 0 1 1
Ridicând pe (C+U)2 vom obţine pe (C+U)4 ca mai sus. Apoi
făcând încă o ridicare la pătrat vom constata că (C+U)4=(C+U)8 adică
atri
1 P2 P3 P4 P7 P8
m cea (C+U)4 de mai sus este deja saturată şi se întrerupe procesul
de înmulţire.
Se observă că liniile P1, P5 şi P6 conţin numai elemente "1" deci
vor face parte din prima clasă de echivalenţă C1 = P1, P5, P6.
Eliminăm aceste linii şi coloanele corespunzătoare şi obţinem
matricea redusă:
C
P2 1 1 1 1 1
P3 0 1 1 1 1
P4 0 1 1 1 1
P7 0 1 1 1 1
P 0 1 1 1 1 8
Calculând pătratul ei constatăm că nu se modifică. Rezultă că în
a doua cla
116
să de echivalenţă intră doar vârful P2 care are linia plină cu
"1". C2 = P2.
Tăind linia şi coloana lui P2 se obţine o matrice plină cu "1".
Rezultă că a treia clasă de echivalenţă va conţine vârfurile rămase,
adică C3 = P3, P4, P7, P8..
Reprezentăm subgrafele tare conexe ce se formează pe clase,
apoi le legăm doar cu acele arce existente în graful iniţial care leagă
P8
P6
P2
P5 P4 P7
două clase consecutive având sensul acelaşi cu ordinea în care au fost
obţinute clasele. Se obţine în final graful parţial
P3
P1
117
Vom construi drumurile hamiltoniene par le fi re clasă
urile posibile.
Scriem mai j c v as l d m m ionând alături
valoarea totală cazul în care alegem drumul
respectiv pentru executarea produsel Pi ă valoare se obţine
din matricea ia a s il d la r C rin însumarea
valorilor cij în ordinea in a e u d c (P j).
Avem:
dH1: P1 P 3 P P cost 39 u.m.
dH2: P1 P 7 P P cost 38 u.m.
dH3: P5 P6 P1 P2 P3 P4 P8 P7 - cost 35 u.m.
sare cel mai mic şi anume 32 unităţi
monetare. Algoritmul s- do di ti en ărul de
P1 P5 6
P5 P6 P1
P6 P1 P5
P2
P P4 P8 P7
8 P7 P4
P P8 P7 P3
P P3 P4 P8
7 P3 P4
ţia în eca
P3
P3 P
4
7
P8 P
Graful are 15 drumuri hamiltoniene care se obţin prin legarea
(asamblarea) celor parţiale prin arcele ce leagă clasele de echivalenţă
(3 x 1 x 5 =15) în toate mod
os âte a tfe de ru uri enţ
a costurilor de lansare în
or , Aceast
iniţ lă co tur or e nsa e M p
dic tă d dr m, a ică ij = iP
5 P6 P2 P 4 8 P7 -
5 P6 P2 P 3 4 P8 -
dH4: P5 P6 P1 P2 P8 P7 P3 P4 - cost 32 u.m.
Se arată uşor că dintre cele 15 drumuri hamiltoniene, dH4
realizează costul total de lan
a ve t u l p tru că a redus num
118
verificări de la 8! =40⋅3 l 5
volum mai mare efectul a ic a r u e şi mai spectaculos.
Drumuri optimale
Drum critic (rută a ă n a f circuite
Aplicaţii ale unui astfel de drum în ln în proiectare,
construcţii, mont , o aţ fi nc nc e, vestiţii pentru
tabilirea ordinii şi momentelor de începere a etapelor care sunt
ctivităţi i se asociază un arc al grafului, iar
ţi corespunzătoare arcelor
ce ies din acel vârf
Punerea problemei: Se d u gr ( g a unui proces
tehnologic sau a unuia e o c) se cere timpul necesar terminării
întregii lucrări care corespunde cu lung ea ru ului maxim în
modelul matematic repre ta ri ra i m cr ător
care realizează acest maxim.
Oricare din ivită e es nz oa ar lo ies din vârful
xi pot începe doar după ce a trecut timpul corespunză r celui mai lung
rum de la x0 la xi. Această proprietate, este valabilă oricare ar fi
20 a 1 . În cazul unor probleme practice de
pl ării lgo itm lui ste
m xim ) î gr fe ără
se tâ esc
aje per ii na iar ba ar in
s
formate din mai multe operaţii sau componente.
De exemplu fiecărei a
durata activităţilor reprezintă capacitatea arcului.
În acest caz vârfurile grafului reprezintă punctele de racordare a
două activităţi. Foarte des, problemele practice conţin restricţii ca
toate activităţile corespunzătoare arcelor ce intră într-un vârf trebuiesc
terminate înaintea începerii oricărei activită
.
ă n af ima ine
con mi şi
im d m
zen t p n g f ş dru ul itic corespunz
act ţil cor pu ăt re ce r ce
to
d
119
vârfu n, adică rezultă problema pusă
ce nu sunt
din creşterea productivităţii
tic şi a valorii sale este necesară
calcularea unei matrici DM ce conţine distanţele cele mai mari dintre
două vârfuri ale grafului.
Algoritm pentru aflarea matricii DM a distanţelor
maximale
minală pe care apoi o
triungularizăm superior, adică obţinem matricea TTS.
2. Dacă C este matricea capacităţilor arcelor (sau
lungimilor)aranjăm liniile şi coloanele ca în matricea TTS şi obţinem
altă matrice C1 = cij.
c). Adunăm elementul clj ca fiecare element diferit de zero din linia j
obţinând sume de f a lj + cjk eca su de acest fel se compară
cu elementul corespunz r n ia l ic . Dacă suma clj + cjk >
clkîn locul lui clk se trece suma, altfel r ân .
l xk al grafului, deci şi pentru x
iniţial.
Observaţie. Este util să se cunoască graficul activităţilor
conţinute în drumul critic şi care sunt efectuate în paralel cu cele din
drumul critic şi care au momente de începere ce pot varia între
anumite limite. Organizarea acestora în cadrul fiecărei etape poate
duce la beneficii însemnate rezultate
muncii, micşorarea numărului de utilaje, mai puţină forţă de muncă.
Pentru găsirea drumului cri
1. Construim matricea conexă ter
3. Considerăm prima linie din C1, şi fie primul element diferit de
zero de pe această linie clj (după rearanjare linia l a ajuns pe primul
lo
orm c , fi re mă
ăto di lin ad ă clk
ăm e clk
4. Se conside urm arele eleme d te de zero de pe
d aceleaşi operaţii ca la etapa
5. or efectua pentru fiecare
elementele egale cu zero
rin ∞ cu excepţia celor de pe diagonala principală obţinând matricea
căutată D = an lo a ma Matricea obţinută DM =
dij indică ţ m x e tr ic ouă noduri i şi j ale reţelei
precum şi succesiunea de noduri dr ului cu ceastă lungime.
Pentru găs ea r il d m i ic a ntru care
ste îndeplinită relaţia
ik dk di
Această relaţ ar o u i x e află pe drumul critic
Aplicaţie: Pentru executarea unei lucrări sunt necesare mai
ră ăto nte iferi
aceeaşi linie cărora li se aplică, pe rân
precedentă, dar pentru linia respectivă modificată.
Operaţiile de la etapele 3 şi 4 se v
linia a matricii C1, obţinându-se în final o matrice C2.
6. În matricea C2 se înlocuiesc toate
p
dij a dist ţe r m xi le.
distan ele a im din e or e d
ale um a
ir vâ fur or ru ulu crit se leg indicii k pe
e
d + j = j
ie e l c n ma dacă k s
xi x
120
multe operaţii. Ordinea şi durata operaţiilor sunt date în graful
alăturat.
k xj
121
1. Să se ea r ul ax de imp dintre începutul
activităţilor ce pornesc di u âr şi se termină alt vârf arbitrar
xj adică matricea drumuril m m DM = .
Rezolvare. Scriem matricea legăturilor C a reţelei date
x
găs scă inte val m im t
ntr- n v f xi în
or axi ale dij
2. Să se indice intervalul maxim de timp între x6 şi x5 şi drumul
critic corespunzător.
C0 1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
x1 0 1 1 0 0 0 0
x2 0 0 0 0 1 0 0
x3 0 1 0 0 0 0 1
x4 0 0 1 0 1 0 0
x5 0 0 0 0 0 0 0
x6 1 1 1 1 1 0 1
x7 0 1 0 0 0 0 0
Din C se construieşte matricea terminală şi se calculează puterile
de atingere a fiecărui vârf.
T x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 PA
x1 0 1* 1* 0 1 0 1 4
x2 0 0 0 0 1* 0 0 1
x3 0 1* 0 0 1 0 1* 3
x4 0 1 1* 0 1* 0 1 4
x5 0 0 0 0 0 0 0 0
x6 1* 1* 1* 1* 1* 0 1* 6
x7 0 1* 0 0 1 0 0 2
122
descrescătoare a puterilor de
atingere, apoi coloanel şi ordine obţinând matricea terminală
triungularizată superior, TTS.
Se aranjează liniile în ordinea
e în aceea
TTS x6 x1 x4 x3 x7 x2 x5
x 0 1* 1* 1* 1* 1* 1* 6
x 0 0 0 1* 1 1* 1 1
x 0 0 0 1* 1 1 1* 4
x 0 0 0 0 1* 1* 1 3
x7 0 0 0 0 0 1* 1
x 0 0 0 0 0 0 1* 2
x 0 0 0 0 0 0 0 5
În această matrice au fost notate cu 1 cu steluţă arcele simple ce
apar în reţeaua principală.
Construim în continuare matri ăţilor triungularizată
superior, C înlocuind elementele 1* din matricea TTS cu capacităţile
arcelor corespunzătoare iar elementele 1 fără steluţă cu zero. Ele
reprezint şi în aceast ntereseaz ul
elementelor vor rămâne în continuare zero.
C x x x x x x x
cea capacit
ă drumuri în graf ă fază nu ne i ă. Rest
6 1 4 3 7 2 5
x 0 4 5 4 9 10 8 6
x 0 0 0 3 0 4 0 1
x 0 0 0 5 0 0 2 4
x3 0 0 0 0 5 12 0
x7 0 0 0 0 0 4 0
x2 0 0 0 0 0 0 20
x5 0 0 0 0 0 0 0
Metoda tabelelor ajutătoare
Se formează tabele ajutătoare pentru fiecare linie modificând
succesiv elementele acesteia după regula descrisă mai sus.
care corespunde vârfului x6 şi
ia
ores m modificări succesive ale primei linii
În exemplu luăm prima linie
considerăm primul element diferit de zero adică "4". Pe acesta îl
adunăm cu fiecare element diferit de zero de pe linia corespunzătoare
lui x1 pentru că "4" stă pe coloana lui x1.
Avem 4 + 3 > 4. Rezultă că c63 care era 4 se înlocuieşte cu 7 =
c61 + c13 (vezi schema de mai jos)
x6 4 x1
apoi 4 + 4 = 8 < 10 deci la c62 rămâne 10.
4x3
3
x6 10 x2
Se repetă calculele cu toate elementele de pe linia întâ
4 4
x1
c punzătoare lui x6 şi obţine
123
124
0 4 5 4 9 10 8
0 4 5 7 9 10 8
0 4 5 10 9 10 8
0 4 5 10 15 22 8
0 4 5 10 15 22 42
care reprezintă forma finală maximală.
Atenţie! De fiecare dată se lucrează cu linia nou obţinută, până se
x1 0 0 0 3 0 4 0
0 0 0 3 8 15 0
0 0 0 3 8 15 0
0 0 0 3 8 15 35 - ultima formă
ajunge la variata finală maximală.
Facem acelaşi lucru şi cu celelalte linii. Fie de exemplu linia a
doua corespunzătoare lui x1. Avem succesiv
x4 0 0 0 5 0 0 2
0 0 0 5 10 17 2
0 0 0 5 10 17 2
0 0 0 5 10 17 37 - ultima formă
şi cu celelalte două, apoi înlocuim
ob
Analog se continuă
elementele 0 cu excepţia celor de pe diagonala principală cu ∞. Se
ţine matricea căutată DM a distanţelor maximale
125
D x6 x1 x4 x3 x7 x2 x5
x6 0 4 5 10 15 22 42
x1 ∞ 0 ∞ 3 8 15 35
x4 ∞ ∞ 0 5 10 17 37
x3 ∞ ∞ ∞ 0 5 12 32
x7 ∞ ∞ ∞ ∞ 0 4 24
x2 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 20
x5 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0
Metoda 2-a. Pentru a evita scrierea tabelelor ajutătoare pentru
linii, descrisă mai sus, putem începe procesul de transformare de jos în
sus.
Liniile lui x5 şi x2 rămânând neschimbate, vom începe
modificarea liniei corespunzătoare lui x7. Transpunem linia lui x7 din
matricea C a capacităţilor triungularizată şi o suprapunem succesiv
peste fiecare coloană a noii matrici D parţial scrisă. Unde coincid două
valori diferite de zero facem suma lor şi pe noua linie x7 punem în
dreptul fiecărei coloane valoarea maximă dintre vechiul număr din
acest loc şi suma obţinută.
Exemplu. Linia x7 transpusă nu dă nici o coincidenţă decât când e
suprapusă peste coloana x5 unde numărul 4 se suprapune cu 20. Suma
lor 24 fiind mai mare la vechea valoare de pe coloana x5 (c75) care era
zero o înlocuieşte. Repetând acest procedeu cu toate liniile se găseşte
aceeaşi matrice a distanţelor maximale.
Concluzii. Din matricea DM citim că drumul maxim dintre x6 şi
x5 are valoarea de 42 unităţi.
126
Adică de la începerea activităţilor ce pornesc din x6 nu se pot
termina toate activităţile ce ajung în x5 în mai puţin de 42 unităţi de
timp. Pentru a obţine vârfurile de pe drumul critic, adunăm succesiv
elementele d6k ale liniei lui x6cu elementele dk5 ale coloanei x5.
Reţinem doar vârfurile xk pentru care suma d6k + dk5 = 42. În exemplul
de mai sus acestea sunt: x4, x4, x2. Cu alte cuvinte drumul critic este:
x6, x4, x3, x2, x5 a cărei valoare este 42.
Fluxul în reţea
Multe probleme frecvent întâlnite în practica economică cer
repartizarea unui anumit flux în scopul maximizării sau minimizării
lui pe o reţea dată. Astfel de probleme se întâlnesc des în informatică,
cibernetică, studiul sistemelor de transport, planificare şi control, etc.
În practică, printr-o reţea înţelegem un graf pe arcele căruia
poat . Fiecărui arc îi este asociată
o capacitate care determină capacitatea maximă de flux ce poate fi
transportată pe arcul respectiv.
va exemple de sectoare ale
activităţii practice unde apare conceptul de reţea şi cel de flux
Noduri Muchii Flux
Intersecţii Şosele Vehicule
e circula un flux de un anumit produs
În tabelul de mai jos dăm câte
Aeroporturi Linii aeriene Avioane
Staţii de pompare Ţevi Fluid
Puncte de control Mesaje
Schimbarea anotimpului Areal ecologic Indivizi ai unei specii
Linii telefonice
127
O reţea conţine o mulţime finită de noduri. Orice pereche
ord umit arc. Funcţia C ataşează
fiecărui arc (aiaj) un număr nenegativ cij numit capacitatea arcului
(aiaj). Numărul cij indică capacitatea maximă de materie ce poate fi
transportată de-a lungul arcului (aiaj). Acolo unde nu există arc (akam)
vom spune că ckm = 0. Fie o reţea cu n+2 noduri a0, a1, …, an, an+1.
Definiţie. Cantităţile xij de materie ce trec prin arcele reţelei la un
moment dat şi care satisfac condiţiile:
(1) 0 ≤ xij ≤ cij i, j= (0, n+1)
(2)
onată de noduri din X, (aiaj) este n
( )n,1ixx1n
1jij
n
0kki == ∑∑
+
==
definesc un flux ce străbate reţeaua.
Observaţii. Relaţia (1) ne spune că fluxul ce trece prin arcul (aiaj) nu
poate depăşi capacitatea lui. Relaţia (2) ne spune că mărimea cantităţii
de materie ce pleacă din fiecare vârf ai este egală cu cea care intră în
acel vârf (exceptând a0şi an+1). Din (2) mai rezultă că mărimea totală a
cantităţii de materie ce pleacă din a0 coincide cu cea care vine în an+1
adică avem:
(3)
Forma liniară Z este numită fluxul total din reţea.
Enunţul problemei. În continuare ne ocupăm de problema găsirii
fluxului maxim în reţea adică de obţinerea cantităţilor
Zxxn
0i1n,i
1n
1jj0 == ∑∑
=+
+
=
( )1n,0j,ixij +=∗ care verifică relaţiile (1) şi (2) şi care maximizează
forma liniară (3).
128
Evident că problema fluxului maxim este o problemă de
pro a
luxului va fi rezolvată prin metode (algoritmi) speciale mai simple.
de tăietură a reţelei.
e
ine n+1 vârfuri.
gramare liniară. Datorită formei particulare a restricţiilor, problem
f
1. Algoritmul matricial
În acest algoritm se foloseşte noţiunea
Dacă împărţim mulţimea punctelor reţelei în două submulţimi U
şi V cu a0 ∈ U şi an+1 ∈ V. Atunci mulţimea tuturor arcelor care pleacă
din U şi intră în V se numeşte tăietură a reţelei. Se utilizează, d
asemenea, şi noţiunea de capacitate a tăieturii. În legătură cu aceasta
amintim următoarea teoremă datorată lui Ford şi Foulkerson.
Teoremă. Fluxul maxim în reţea este egal cu capacitatea cea mai
mică a tăieturilor din graf.
Această teoremă exprimă principiul dualităţii ce are loc între
problema găsirii tăieturii minimale şi problema găsirii fluxului
maximal. Pentru înţelegerea acestui algoritm se poate consulta
bibliografia recomandată
Algoritmul lui Ford-Foulkerson (procedeul marcării)
Fie reţeaua G = (X, L) ccare conţ
Definiţie 1. Arcul (aiaj) se numeşte saturat dacă xij = cij unde xij este
fluxul arcului (aiaj) şi cij este capacitatea acestui arc.
Definiţia 2. Un flux xij se zice că este flux complet dacă oricare ar
fi drumul de la a0 la an acesta conţine cel puţin un arc saturat, unde a0
este intrarea în reţea, iar an ieşirea.
Etapele algoritmului
129
j) dacă arcul (ajak) este nesaturat şi orientat în
sen dacă arcul (akaj) cu
fluxul
ţii de marcare putem obţine una din
ţ
entate
către
finală a fost marcată cu + obţinem un nou flux care este
1. Se construieşte un flux iniţial arbitrar xij unde xij verifică
condiţiile fluxului (1) şi (2).
2. Se caută un flux complet
3. După aceste două etape, urmează o operaţie de marcare a vârfurilor
reţelei adică o operaţie care ne arată dacă fluxul complet găsit este
maxim sau nu.
Operaţia de marcare se face în felul următor:
a) Se marchează cu (+) vârful a0 (intrarea);
b) Se marchează cu (+0) vârful ai ∈ x dacă arcul (a0ai) nu este saturat;
c) Dacă un vârf aj a fost marcat, vârful ak legat printr-un arc de aj se
marchează cu (+
sul de la aj la ak şi se marchează cu (-i)
xkj > 0 este orientat în sensul de la ak la aj.
După aplicarea acestei opera
situa iile:
(1) vârful an (ieşirea) nu a fost marcat, deci fluxul complet găsit e
maxim;
(2) vârful an a fost marcat, deci fluxul complet găsit nu este maxim.
În situaţia (2) se trece la modificarea fluxului pe drumul marcat
şi anume:
a) Se adaugă o unitate la fluxurile arcelor drumului marcat ori
an (adică marcate cu +). Pentru fiecare arc a cărui extremitate
( ) 1xx ij1
ij += 0
130
b) Se scade o unitate din fluxurile arcelor aparţinând drumului marcat
dacă xij > 0 şi dacă arcele (aiaj) sunt orientate în sens contrar
sensului de parcurs de la a0 la an. Pentru arcele marcate cu minus
noul flux va fi ( ) 1xx 0
ij1
ij −=
c) Flu rcat rămân neschimbate.
Pr
Ford-Foulkerson.
) Ex
itrar se obţine prin operaţiile:
x
xurile ce nu aparţin drumului ma
ocedeul de marcare a vârfurilor continuă atât timp cât vârful an
mai poate fi marcat. În caz contrar, fluxul găsit este maxim.
Justificarea procedeului are la bază teorema lui
d emplu. Fie reţeaua pe care căutăm fluxul maxim care o poate
parcurge de la x0 la x7.
1) Fluxul iniţial arb
− Transportăm 5 unităţi pe drumul:
594551580 xxx ⎯⎯ →⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯ →⎯+==+= 7
Se saturează arcul (x1x4)
−
xx ⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯→⎯
Transportăm 1 unitate pe drumul:
215
0 xx ⎯⎯ →⎯ 7159
411+= ++==
Se saturează arcul (x2x4)
− Transportăm 3 unităţi pe drumul:
7315
633
1358
0 xxxx ⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯ →⎯ +==+=
Se saturează arcul (x x ) şi (x x )
− Transportăm 3 unităţi pe drumul: 1 6 0 1
73315
633
2315
0 xxxx ⎯⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯ →⎯ ++==++=
Se saturează arcul (x2x6)
pe drumul: − Transportăm 2 unităţi
724
522
327
0 xxxx ⎯⎯ →⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯ →⎯ +==+=
Se saturează arcul (x3x5)
− Transportăm 4 unităţi pe drumul:
743315
644
3427
0 xxxx ⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯ →⎯ +++==++=
Se saturează arcul (x3x6)
2) Toate drumurile de la x0 la x7 sunt saturate (conţin cel puţin un arc -
saturat). Fluxul este complet.
3) Operaţia de marcare a vârfurilor se face pe reţeaua:
Se pot marca numai vârfurile x1 x2 x3 şi nici unul din celelalte
vârfuri nu se mai poate marca, deoarece arcele incidente spre
exteriorul vârfurilor marcate sunt saturate. Neputând marca vârful x7
(ieşirea), fluxul găsit e maxim şi egal cu 18 unităţi.
131
132
V. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR
Fenomenele naturale sunt fie deterministe (cu realizare sigură)
fie pr
Spre exemplu legea căderii corpurilor descoperită de Newton
acţionează cu aceeaşi parametrii ori de câte ori se efectuează
experienţa. Apa fierbe la presiunea normală a aerului, la 100°C, etc.
Fenomenele meteo însă se petrec în mod aleatoriu (întâmplător)
de la caz la caz. În economie şi sociologie majoritatea fenomenelor
sunt întâmplătoare depinzând de foarte mulţi factori la rândul lor
aleatori. Teoria probabilităţilor ca model matematic este esenţială în
studiul economiei, a ştiinţelor sociale, precum şi în biologie, atât
direct, cât şi prin fundamentarea teoretică a altor modele matematice,
care la rândul lor sunt utilizate din plin în domeniile mai sus
menţionate. Dintre acestea amintim în primul rând statistica
matematică, teoria jocurilor, teoria stocurilor, teoria firelor de
aşteptare, programarea stohastică etc.
XVII în scopul de a calcula şansa de câştig. Amintim pentru început
preocupări şi probleme puse de Cavalerul de Méré, rezolvate ingenios
1705) "Ars conjuctandi" (Despre o lege a numerelor mari). Moivre
aplică celebra "lege normală" cunoscută şi sub numele de "lege a lui
obabiliste (întâmplătoare, aleatoare).
Studiul fenomenelor aleatoare (alea = zar), începe prin secolul
de B.Pascal (1623-1662) şi lucrări publicate de J.Bernoulli (1654-
(1667-1754), Laplace (1749-1827) şi K.Gauss (1797-1855) studiază şi
133
Ga
pro isson (1781-1840) se ocupă de legi ale numerelor
ruş ov (1857-1918) şi Markov
(18 în studiul teoremelor limită centrale, adică a legăturii
dintre diferitele legi de probabilitate şi legea normală a lui Gauss-
Laplace şi lanţurile cu legături complete. Un merit deosebit îl are
ctav Onicescu (1892-1983) şi Gh.Mihoc
re au studiat în special lanţurile Markov, teoreme
limită centrale etc.
Evenimente. Operaţii cu evenimente
e noţiuni cu care vom
opera în continuare.
Experienţă este realizar ex de condiţii. Spre
onede, extragerea unei piese
intr-
este Ω=1,2,3,4,5,6 adică constă din apariţia uneia din feţele
numerotate cu 1-6.
uss". Este cea mai importantă şi des întâlnită lege în teoria
babilităţilor. Po
mari, legea evenimentelor rare. Un rol important îl au matematicienii
i P.Cebâşev (1821-1894), A.Leapun
56-1922)
şcoala românească de teoria probabilităţilor care a fost condusă de
reputaţii matematicieni O
(1906-1981) ca
În acest paragraf vom introduce principalel
ea unui compl
exemplu, aruncarea unui zar, a unei m
d un lot, urmărirea unui indicator economic.
Eveniment aleator (întâmplător) – o afirmaţie (enunţ) relativă la
un experiment afirmaţie care poate să se realizeze sau nu în urma
efectuării experimentului. Vom nota evenimentele cu litere mari A, B,
C, … Evenimentele sunt rezultate posibile ale experimentului.
Evenimentul sigur (Ω) apare la fiecare efectuare a
experimentului. Este specific fiecărei experienţe. La aruncarea zarului
134
Evenimentul imposibil (Φ) nu apare niciodată, oricâte
experienţe s-ar face. La zar ar fi R\1,2,3,4,5,6.
enimente aleatoare la experienţa cu aruncarea
eniment
e realizează cel puţin unul dintre A
sau B. Exemplu: A∪D=1,2,5, A
Diferen ă şi numai
dacă apare numai unul din evenimentele A sau B
A∆B=(A\B)∪(B\A)
Eveniment contrar lui A, notat Ā, apare atunci şi numai atunci
când nu apare A şi reciproc.
Exemple de ev
zarului: E1=1, E2=2, …, E6=6, A=1,2, B=1,2,3, D=5,6,
F=1,2,3,4.
Operaţii şi relaţii cu evenimente
Reuniunea a două evenimente A şi B este un alt ev
notat A∪B ce se realizează când s
6, ∪B=1,2,3.
Intersecţia - A∩B este evenimentul ce apare doar atunci când se
realizează ambele evenimente
A∩B=1,2, A∩D=Φ
Implicaţia (incluziunea) A⇒B sau A⊂B dacă realizarea lui A
asigură realizarea şi a lui B.
E1⊂A, E1⊂B, A⊂B
Diferenţa A\B este evenimentul ce apare când se realizează A şi
nu se realizează B.
ţa simetrică A∆B – eveniment ce apare dac
135
e sunt
r cu mulţimi. Amintim dintre acestea: comutativitatea,
asociativitatea,
D c exemple:
Φ=A, A∩Φ=Φ, A∪Ā=Ω, A∩Ā=Φ,
A\B=A∩
Observaţie. Proprietăţile operaţiilor cu eveniment
analoage celo
absorbţia, distributivitatea etc.
ăm âteva
∀A⇒ A∪Ω=Ω, A∩Ω=A, A∪
B , Ω=Φ, Φ=Ω
Relaţiile lui Morgan:
UIIUnn
1ii
n
1ii
n
1ii AA,AA
====⎟⎟
1ii
=⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Evenimente incompatibile – sunt acelea care nu se pot realiza
simultan, adică A∩D=Φ.
Evenimente elementare sunt acelea care sunt implicate doar de
il sau de ele însele. Exemplu la aruncarea zarului
venimente elementare E1=1, E2=2, …, E6=6. Prin
mpuse A, B, D,
l sigur. Evenimentele elementare se mai numesc şi probe
evenimentului sigur (sistem complet de
ev tr-o mulţime de evenimente
evenimentul imposib
avem şase e
combinarea (reuniunea lor) obţinem evenimentele co
etc. Reuniunea tuturor evenimentelor elementare formează
evenimentu
sau cazuri.
Desfacere a
n,1iiA = enimente) este formată din
ca
uă sunt incompatibile)
re verifică proprietăţile:
1. Ai ∩ Aj =Φ (două câte do
2. Ω=Un
iA . =1i
136
sigur este cea formată
probabilitate
ia clasică (indusă de frecvenţa relativă)
t de n ori şi că
evenimentul A a apărut de k ori (evident 0≤k≤n). Numărul k se
nume mărul k/n frecvenţă relativă de
ele
Cea mai fină desfacere a evenimentului
din toate evenimentele elementare asociate experimentului.
Definiţii ale noţiunii de
Definiţ
Să presupunem că am efectuat un experimen
şte frecvenţă absolută, iar nu
apariţie a evenimentului A.
Definiţie. Fie E un experiment şi E1E2…En toate eveniment
elementare (probele) asociate. Fie evenimentul A compus din k
evenimente elementare. Probabilitatea evenimentului A notată P(A)
este raportul k/n adică
( )uluiexperiment ociateev.elem.as de nr.tota
A lui realizarea la contribuie .cenr.ev.elemnkAP ==
l
a
1 6
Exemplu: La aruncarea unui z r apar şase evenimente
elementare E , …, E , fie A=1,2, B=4,5,6. Atunci ( )31
62AP == ,
( )21
63BP == .
noulli
ne clarifică noţiunea clasică de probabilitate. Dacă numărul n de
efectuări ale experimentului E tinde la infinit atunci frecvenţa relativă
a
Observaţie. Legea slabă a numerelor mari enunţată de Ber
k/n evenimentului A tinde la P(A).
137
le temei. Obţine frecvenţa relativă
k/n=0,5069. Pearson repetă acelaşi experiment de 24.000 de ori şi
obţine k/n=0,5005. Probabilitatea obţinerii stemei la o aruncare este
evident ½=0,5.
2. O urnă conţine 10 bile alte şi 30 negre. Care este probabilitatea de a
obţine o bilă albă la prima extragere?
Răspuns:
Exemplu.
1. Buffon realizează experimentul cu aruncarea monedei de 4040 ori
numărând k=2048 de apariţii a s
( ) 25,041
4010AP ===
Din definiţia de mai sus rezultă următoarele proprietăţi ale
iunii de probabilitate:
2. P(Ω) =1, P(Φ) = 0
3. P(Ā) = 1 – P(A)
4. dacă A⊂B ⇒ P(A)≤ P(B) monotonie
i B sunt incompatibile)
P(A∪B) = P(A) + P(B)
6. dacă A⊂B ⇒ P(B\A) = P(B) – P(A)
Paradoxul lui Méré. Se aruncă trei zaruri deodată. Care este
probabilitatea de a obţine suma 11, dar suma 12? Cavalerul de Méré
afirma că P(11) = P(12). Prin efectuarea unui număr mare de
ve ale celor două
evenimente nu tind către acelaşi număr, deşi la prima vedere ar părea
noţ
1. 0≤ P(A) ≤ 1
5. dacă A∩B = Φ (A ş
experienţe s-a constatat că frecvenţele relati
138
ăr egal de cazuri favorabile după cum
urmează:
A: (6,4,1)(6,3,2)(5,5,1)(5,4,2)(5,3,3)(4,4,3) – suma realizată fiind 11
B: (6,5,1)(6,4,2)(6,3,3)(5,5,2)(5,4,3)(4,4,4) – suma realizată fiind 12
Numărul de cazuri posibile este 63=216.
După Méré
că au aceeaşi probabilitate. Méré susţinea că pentru realizarea lui A
respectiv B ar fi un num
( ) ( )2166BPAP == .
B.Pascal arată că în realitate combinaţia (6,5,1) poate apărea în
şase situaţii datorită faptului că zarurile sunt distincte (spre exemplu
unul roşu, altul alb, altul negru), deci avem permutări de trei 3!=6.
Combinaţia (6,3,3) în trei variante, iar (4,4,4) în una singură.
În consecinţă a calculat
( ) 21627AP 11 = şi ( )
21625BP 12 = adică P(A) > P(B)
La un joc de noroc jucătorul care a ales varianta A are şan
mare de câştig decât cel care a ales varianta B. Din exemplul de mai
sus se vede că trebuie să construim un aparat matematic foarte precis
şi fin pentru calculul probabilităţilor, pentru a nu face erori, ce pot fi
dezastruoase în procesele economice.
În acest sens vom urmări în continuare utilizarea noţiunilor din
analiza combinatorică, alte definiţii ale noţiunii de probabilitate,
schemele clasice, noţiunile de variabilă aleatoare etc.
să mai
139
Câmp de evenimente
Fie Ω evenimentul sigur ataşat unui experiment şi P(Ω)
mulţimea părţilor acestuia.
Definiţie. O submulţime K⊆P(Ω) nevidă se numeşte corp sau
câmp de evenimente dacă verifică următoarele axiome:
1. Dacă A∈K ⇒ Ā∈K
2. Dacă A şi B∈K ⇒ A∪B∈K
Din această definiţie rezultă uşor următoarele proprietăţi
1. Ω şi Φ∈K
K≠Φ ⇒ ∃A∈K ⇒ Ā∈K ⇒ A∪Ā=Ω∈K
dar Φ= ∈K Ω
2. Dacă A şi B∈K ⇒ A∩B∈K
Ā, B∈K⇒Ā∪B∈K ⇒ BA∩ ∈K ⇒ BA∩ =A∩B∈K.
ie (Ω,K) un câmp finit de evenimente. Se numeşte
rifică
axiomele:
1. P(A) ≥0, ∀A∈K
2. P(Ω) =1
3. Da )
Vom da în continuare definiţia axiomatică a probabilităţii
(Kolmogorov 1933). Ea este utilă în studiul teoretic al probabilităţilor
fiind perfectă din punct de vedere matematic.
Definiţie. F
probabilitate relativă la acest câmp o aplicaţie P:K→R care ve
că A, B∈K, A∩B=Φ ⇒ P(A∪B)= P(A) + P(B
Proprietăţi ce rezultă din această definiţie, utilizând doar
axiomele:
140
. P(
1=
(B) – P(A∩B)
Da
, P(A)≤1
6. ∀A şi B, P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Pentru trei sau mai multe evenimente are loc o formulă analoagă
numită şi formula lui Poincare
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(A∩C) – P(B∩C) +
P(A∩B∩C)
Formula se poate generaliza uşor prin inducţie.
Probabilităţi condiţionate
Se cere uneori calcularea probabilităţii unui eveniment A, în
condiţiile în care s-a realizat şi un alt eveniment B, legat de acesta.
Exemplu. Se aruncă două zaruri. Notăm cu B evenimentul ca
ă fie 6.
1 Φ)=0
2. P(Ā)= 1 – P(A)
Avem: Ω=A∪Ā, A∩Ā=Φ
P(Ω)=P(A∪Ā)=P(A)+P(Ā) ⇒ P(Ā)=1 – P(A)
3. P(B\A)=P
4. că A⊂B ⇒ P(A) ≤ P(B)
5. ∀A∈K
cel puţin o faţă să conţină număr par. Notăm cu A evenimentul ca
suma punctelor să fie 6.
Se cere probabilitatea ca atunci când cel puţin la un zar apare
număr par, suma s
Rezolvare: Calculăm P(B) = 1 –P( B ) unde B este evenimentul
ca pe nici un zar să nu avem număr par. În total 9 cazuri favorabile din
36 posibile, deci ( )3627
3691BP =−= . Pe de altă parte probabilitatea ca
141
să avem îndeplinite simultan evenimentele A şi B este ( )362BAP =∩ .
Atunci probabilitatea cerută pe care o notăm P(A/B) va fi:
( ) ( )( )BP
BAP272
3627:
362BAP ∩
===
Exemplul de mai sus sugerează că este utilă introducerea
următoarei definiţii pentru probabilităţi condiţionate
Definiţie. Fie (Ω,K) un câmp de evenimente şi B∈K cu P(B)>0.
Se numeşte probabilitate a evenimentului A∈K condiţionată de
l B numărul real notat ( ) ( )( )BP
BAPBAP ∩=evenimentu .
e probabilitate
introdusă verifică axiomele din definiţia lui Kolmogorov care sunt
sta
ax
Probabilitatea condiţionată P(A/B) se mai notează şi PB(A) –
ad
Avem:
1.
Vom arăta în continuare că noua noţiune d
ndard şi foarte bine alese. De aici se vede rolul acelei definiţii
iomatice.
ică probabilitatea lui A condiţionată de B.
( ) ( )( ) 0BP
BAPBAP >∩
=
2. ( ) ( )( ) ( )
( ) 1BBPBP
=∩
PBPBP ==
ΩΩ
3. fie A∩C = Φ atunci
142
( ) ( )[ ]( )
( ) ( )[ ]( ) =
∩∪∩=
∩∪=∪
BPBCBAP
BPBCAPBCAP
( ) ( )( ) ( BAPBCPBAP
= ) ( )BCP+BP
∩+∩= .
1. nci din definiţie
: Ai∈K
Alte proprietăţi:
Dacă A, B ∈K cu proprietatea că P(A)⋅P(B)≠0, atu
rezultă că P(A∩B) = P(A)⋅P(A/B) = P(A)⋅P(B/A).
2. În general avem
( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∩⋅⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −1nnAAPAAAPAAPAPAP
nu înmulţire a probabilităţilor.
Demonstraţia este foarte simplă. Din membrul doi în baza
definiţiei precedente avem
==II K
1iin213121
1ii
mită şi formula de
( ) ( )( )
( )( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∩∩∩
⋅∩
⋅=
−
=
= II
IK
n
1ii1n
1ii
n
1ii
21
321
1
211 AP
AP
AP
AAPAAAP
APAAPAP
3. Formula probabilităţii totale.
Fie evenimentele Ai ∈K ce formează un sistem complet de
evenimente ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==∩
=ΩΦ U
n
1iiji A,AA , atunci pentru orice eveniment
A∈K avem că:
( ) ( ) ( )∑=
⋅=n
1iii AAPAPAP .
Demonstraţie. Avem
143
.
Evenimentele A∩Ai sunt incompatibile două câte două. Deci
( )UU 43421
n
1ii
n
1ii AAAAAA
==∩=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∩=∩= Ω
( ) ( ) ( ) ( )∑∑==
⋅=∩=1i
ii1i
i AAPAPAAPAP nn
c.c.t.d.
Exemplu. La un magazin se vând piese provenind de la trei
furnizori. Cantităţile de piese existente în magazin sunt în proporţie de
1/6 de la primul, 1/3 de la al doilea şi 1/2 de la al treilea furnizor. S-a
constatat că din primul lot 10%, din al doilea 5% şi din al treilea 8%
sunt defecte. Un client cumpără
care este
Re a aleasă
să fie tiv al treilea. Aceste evenimente
forme e evenimente şi au probabilităţile
o piesă la întâmplare şi se întreabă
probabilitatea ca aceasta să fie bună?
zolvare. Vom nota cu A1, A2, A3 evenimentele ca pies
din primul lot, al doilea, respec
ază un sistem complet d
( )61
= , ( )AP 1 31AP 2 = , ( )
21AP 3 = . Dacă B este evenimentul ca piesa
cumpărată să fie bună atunci P(B/A1) = 0,9, P(B/A2)= 0,95 şi
P(B/A3)=0,92. Utilizând formula probabilităţii totale se obţine:
P(B) = P(A1) ⋅ P(B/A1) + P(A2) ⋅ P(B/A2) + P(A3)⋅ P(B/A3) =
= 92,02195,0
619,0
31
⋅+⋅+⋅ = 0,918
Formula lui Bayes. Fie sistemul complet de evenimente Ai∈K,
n,1i = şi A∈K pentru care avem P(A) > 0, atunci are loc relaţia:
( ) ( ) ( )
( ) ( )∑=
⋅= n
1kkk
iii
AAPAP
AAPAPAAP , i ∈1,2,…,n
Demo nstraţie. Plecând de la definiţia probabilităţii condiţionate
i folosind formula probabilităţii totale obţinem: ş
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )∑=
⋅=
∩=
kk
iiii
AAPAP
AAPAPAP
AAPAAP n
1k
Exemplu. Reluăm exemplul precedent şi presupunem că piesa
leasă Evident p li tea este ( ) ( )BP1BP −=a este defectă. robabi ta = 1–
pro
folosind formula lui Bayes avem
0,918=0,082. Vrem acum să ştim care este probabilitatea ca aceasta să
vină de la primul furnizor.
Cu notaţiile precedente şi
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =⋅+⋅+⋅
⋅=
332211
111 ABPAPABPAPABPAP
ABPAPBA P
408,049,012,0
08,02
05,0611
1,031
==⋅
=1,0
3⋅+⋅+⋅
nte inde d
Definiţie. Spunem că evenimentele A şi B sunt independente
dacă P(A/B) = P(A) sau P(B/A)=P(B).
Proprietăţi. 1. Condiţia necesară şi suficientă ca două
evenimente A,B∈K să fie independente este ca P(A∩B)=P(A)⋅P(B).
Acest lucru rezultă imediat din definiţia probabilităţii condiţionate.
Evenime pen ente
144
145
2. Dacă A şi B∈K sunt independente atunci şi perechile de
evenimente ( ) ( ) ( )B,A,BA,,,BA şi sunt independente.
Pentru a demonstra independenţa evenimentelor BA şi vom
avea succesiv
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =∩+−−=∪−=∪=∩ BAPBPAP1BAP1BAPBAP
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )BPAPBP1AP1BPAPBPAP1 ⋅=−−=⋅+−−=
Pentru demonstrarea primelor două îl lăsăm pe cititor să o facă.
Definiţie. Spunem că evenimentele Ai∈K, i= n,1 sunt
independente în totalitate dacă sunt independente câte două, câte
P(Ai∩Aj)= P(Ai)⋅P(Aj) pentru 1≤ i < j < n
P(Ai∩Aj∩Ak)=P(Ai)⋅P(Aj)⋅P(A pentru 1≤ i < j < k≤ n
P(A
vom utiliza no
algebr
1) ţine 2 bile albe şi 3 negre, iar a doua urnă conţine 3 bile
albe
a. Care este probabilitatea ob inerii a două bile albe?
trei,…, câte n adică.
k)
……………………………………
1∩A2∩…∩Ak) = P(A1)⋅P(A2)⋅…⋅P(An)
Observaţie. Independenta a câte două evenimente nu implică
independenta în totalitate. Este interesant exemplul construit de
S.N.Bernstein pentru a dovedii acest lucru cu un zar de forma unui
tetraedru regulat.
Probleme rezolvate. Pentru rezolvarea următoarelor exerciţii
ţiunile prezentate mai sus asociate cu noţiuni din
ă, în special din analiza combinatorie.
O urnă con
şi 4 negre. Din fiecare urnă este extrasă câte o bilă.
ţ
146
b. Dar a două bile negre?
c. Care este probabilitatea obţinerii cel puţin a unei bile albe?
b ilitatea obţinute a două bile de aceeaşi culoare.
bţinerii unei bile albe din
d. Care este pro ab
Rezolvare. Notăm cu A1 evenimentul o
prima urnă şi A2 a unei bine albe din urna a doua. Evident scoaterea
uneia negre va fi 1A , respectiv 2A .
a. ( ) ( )73AP
52AP 21 == şi . Pentru a avea simultan evenimentele A1 şi
A2 care sunt independente trebuie să calculăm. ( ) =∩ 21 AAP
( ) ( )356
732APAP 21 =⋅=⋅ .
5
b. Analog. ( )=∩ 21 AAP ( ) ( )3512
74
53
731
521APAP 21 =⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⋅
c. Cel puţin o bilă albă este format din evenimentele:
( ) ( ) ( )1 ∩∪∩∪∩= 21212 AAAAAAB
adică albă doar din prima urnă, sau albă doar din a doua urnă, sau
albă din ambele urne.
( ) ( ) ( ) ( )212121 AAPAAPAAPBP = ∩+∩+∩
pentru că cele trei paranteze reprezintă evenimente incompatibile.
Apoi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =A ⋅+⋅+⋅= 212121 APAPAPPAPAPBP
3523
732
5733
5742
5=⋅+⋅+⋅=
d. Raţionând analog avem: ( ) ( )2121 AAAAAC ∩∪∩= din
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=⋅+⋅=∩+∩= 21212121 APAPAPAPAAPAAPACP
3518
74
53
73
52
=⋅+⋅=
2) O urnă conţine 10 bile albe şi 6 negre. Dina ceastă urnă se extrag 2
bile punându-se înapoi prima bilă extrasă. Se cere:
a. probabilitatea ca cele 2 bile să fie albe;
b. probabilitatea ca cele 2 bile să fie negre;
c. probabilitatea ca prima bilă să fie albă şi a doua neagră;
d. probabilitatea ca bilele să fie de aceeaşi culoare;
e. probabilitatea ca bilele să fie de culori diferite.
Rezolvare.
a. ( ) ( ) ( ) ( )64125
610
1610APAPAAPA2P 2121 =⋅=⋅=∩=
a refăcut.
b.
Evenimentele A1 şi A2 sunt independente pentru că compoziţia
urnei s-
( ) ( ) ( ) ( )649
166
166A2PAPAAPN2P 121 =⋅=⋅=∩=
c. ( ) ( ) ( )6415
166
1610APAPAAP 2121 =⋅=⋅=∩
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )=∩+∩=∩∪∩= 21212121 AAPAAPAAAAPACP d.
( ) ( ) ( ) ( )3217
6434
649
6425APAPAPAP 2121 ==+=⋅+⋅= .
) Pr
, 10. Care este probabilitatea ca primele două cărţi extrase să fie
(1) şi (2) în această ordine.
Rezolvare. Fie A1 evenimentul ca prima carte extrasă să fie (1) şi
A2 ca a doua carte extrasă să fie (2).
3 esupunem că avem 10 cărţi de joc, identice, numerotate 1, 2, 3,
…
147
148
Probabilitatea căutată este
( ) ( ) ( )901
91
101ABPAPAAP 21 =⋅=⋅=∩
Altfel: numărul total al cazurilor egal posibile este numărul de
permutări ale celor 10 cărţi adică P10=10!=1⋅2⋅…⋅10. Dacă 2 cărţi (1)
şi (2) ocupă în pachet primele două locuri mai rămân 8 locuri arbitrare
adică, numărul cazurilor favorabile ar fi 8!=1⋅2⋅…⋅8. În baza definiţiei
clasice avem:
( )901
1091
!10!82;1P =
⋅==
4 r-un fişier sunt 10.000 de fişe numerotate cu 4 cifre de la 0000
până la 9999. Se extrage o fişe la în
) Înt
tâmplare. Care este
pro nă cifra 5?
Metoda
a. Cu patru na.
b. Cu 3 cifre de 5 sunt ⋅9=4⋅9=36, deoarece a patra cifră care
nu este 5 poate fi oricare din cifrele de la 0 la 9 fără cinci şi ea
poate ocupa orice loc din cele 4, de exemplu, (55∗5).
c. Cu doi de cinci avem
babilitatea ca seria ei de identificare să conţi
Rezolvare.
1. Vom număra fişele care conţin cifra 5.
cifre 5 este u14C
48681681214349C 22 =⋅=⋅⋅⋅
=⋅ fişe.
d. Cu un singur cinci avem fişe.
În total avem 2916+486+36+1=2916 fişe care conţin cel puţin
un cinci în numărul de identificare.
291672949C 334 =⋅=⋅
149
Atunci ( ) 3439,0000.10
3439AP ==
Metoda 2. Mai simplu este să calculăm evenimentul contrar, adică să
calculăm câte fişe există care nu conţin deloc cifra cinci. Astfel putem
pe fiecare din cele patru poziţii ale numărului să utilizăm nouă cifre în
orice combinaţie adică 9⋅9⋅9⋅9=94=6561.
Adică ( ) ( ) ( ) 3439,0AP1AP000.10
6561AP =−== sau
5) Din mulţimea numerelor de 7 cifre ce se pot forma cu cifrele 1, 2,
3,
l ales să conţină pe 1 şi 2 ca cifre consecutive şi în această
ordine?
Rezolvare.
4, 5, 6, 7 se ia la întâmplare un număr. Care este probabilitatea ca
număru
71
!76!5=
⋅
6) Se aruncă 6 zaruri. Care este probabilitatea obţinerii tuturor
numerelor de la 1 la 6? Dar probabilitatea să apară cel puţin o dată
faţa 5?
Rezolvare. a) 015,06
!66 = b) 665,0
651 6
6=−
7) O urnă conţine 3 bile albe şi 7 negre, iar alta conţine 7 bile albe şi 3
negre. Din fiecare se extrage câte o bilă. Care e probabilitatea să
ob
venimentul de a extrage o bilă albă din a doua urnă. Va
lăm probabilitatea evenimentului A∪B. Avem
P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(A∩B)=P(A)+P(B)–P(A)⋅P(B)
ţinem cel puţin una albă?
Rezolvare. Fie A evenimentul de a extrage o bilă albă din prima
urnă şi B e
trebui să calcu
150
Evenimentele A şi B sunt compatibile şi independente.
Dar cum ( )103A ( )
107BP =P = şi vom avea
( )10079
107
103
107
103BAP =⋅−+=∪ .
Trei tr a unei ţinte, independent unul de
altul. Primul loveşte ţinta cu probabilitatea 3/4, al doilea cu
probabilitatea 4/5, al treilea cu probabilitatea 5/6. Care este
probabilitatea ca ţinta să fie atinsă?
r să
8) ăgători trag câte un foc asupr
Rezolvare. a) Notăm cu T1 probabilitatea ca primul trăgăto
lovească ţinta, cu T2 ca al doilea să o lovească, respectiv T3 ca al
treilea să o lovească. Atunci:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )−++=∪∪= 321321 TPTPTPTTTPLP
( ) ( ) ( ) ( )321313221 TTTPTTPTTPTTP ∩∩+∩−∩−∩−
Este evident că evenimentele T1, T2, T3 sunt independente în totalitate.
Rezultă că:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )−⋅−⋅−++= 3121321 TPTPTPTPTPTPTPLP
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =⋅⋅+⋅− 32132 TPTPTPTPTP
120119
65
54
43
65
43
65
54
54
43
65
54
43
=⋅⋅+⋅−⋅−⋅−++=
b) Mai simplu se putea rezolva utilizând evenimentul contrar
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=⋅⋅−=∩∩−=−= 321321 TPTPTP1TTTP1LP1LP
12011911
12061111 =−=⋅⋅−= .
54
9) Se aruncă o monedă până când obţinem deasupra faţa cu stema.
Care este probabilitatea să fie cel mult 3 aruncări?
151
are să obţinem
stema, B evenimentul ca la prima să obţinem banul şi apoi stema şi C
evenimentul ca la primele două să obţinem banul şi la a treia stema. Se
va calcula P(A∪B∪C) după formula lui Poincaré şi obţinem 7/8.
10) O urnă conţine 12 bile numerotate 1, 2, …, 12. Se face o
Rezolvare. Fie A evenimentul ca la prima arunc
extragere din această urnă. Care este probabilitatea obţinerii a unui
număr par sau a unui număr mai mic decât 5 sau a unui pătrat
perfect?
Rezolvare. Cuvintele "sau" sugerează reuniunea. Se va utiliza
formula reuniunii pentru P(A∪B∪C), unde
( ) ( ) ( )41
123CP;
31
124BP;
21
126AP ======
Se va obţine ( )43CBAP =∪∪
Scheme clasice de probabilitate
.
Practica calculului probabilităţilor a arătat că utilizarea doar a
definiţiilor noţiunii de probabilitate, chiar însoţită de un aparat
algebric bun şi câteva formule nu este suficientă pentru siguranţa
nate
Există tipuri de probleme des întâlnite în practica economică
care permit o abordare identică. Pentru fiecare clasă de probleme se
calculului. Se pot face uşor greşeli de raţionament. Pentru a uşura
calculele vom prezenta în continuare instrumente mai perfecţio
cum ar fi schemele clasice, variabilele aleatoare cu operaţii şi
proprietăţile lor, diferite legi de probabilitate etc.
152
construieşte un model matematic probabilistic care poartă numele de
schemă de probabilitate.
Schema lui Bernoulli cu bila întoarsă (schema
binomială)
Această schemă se aplică în cazul în care un experiment se
repetă de mai multe ori şi de fiecare dată se urmăreşte apariţia
aceluiaşi eveniment A respectiv A. Se cere calcularea probabilităţii ca
din cele n repetări ale experimentului evenimentul precizat să apară
exact de k ori, dacă la o efectuare a experimentului se cunoaşte
probabilitatea p a apariţ A, respectiv q=1–p a lui iei evenimentului A.
Modelul probabilistic se realizează printr-o urnă ce conţine bile
de două culori, de exemplu albe şi negre, în proporţie cunoscută. Se
extrag din urnă n bile, punând după fiecare extragere bila înapoi astfel
că compoziţia urnei se reface mereu.
Se cere determinarea probabilităţii ca din cele n bile extrase k să
fie albe.
Vom nota cu Ai evenimentul ca la extragerea i să obţinem o bilă
albă, respectiv iA ca să extragem una neagră. Ştim că p = P(Ai) şi
q=1–p ( )iAP= .
Notăm cu Bnk evenimentul ca din n bile extrase să obţinem k
albe. Acest eveniment are forma:
( )U iiiink A...AA...AB ∩∩∩∩∩= ni...i1 k1
n1kk1≤<<≤
+
Evenimentele din reuniune sunt incompatibile două câte două iar
cele din intersecţie sunt independente în totalitate. În aceste condiţii
vom avea
( ) ( )∑≤<<≤
∩∩∩∩∩=+
ni...i1iiiik,n
k1n1kk1
A...AA...APBP =
( ) ( ) ( ) ( )==+∑
≤<<≤n1kk
k1 i...i11 iii
ni AP...APAP...AP
n knkkn
1k
knk qpCqp −
=
− ⋅=⋅= ∑
d ită faptului că toţi termenii sumei sunt egali numărul lor fiind
că
ator
egal cu .
Observaţie. Utilizând formula binomului lui Newton se observă
knC
( ) ( )∑∑==
− ==+n
0k
kn
0k
kknkkn
k xk,nPxqpCqpx
Cu alte cuvinte probabilitatea ce apare în problema precedentă
este tocmai coeficientul lui xk din dezvoltarea binomului (px+q)n de
ţia de
mai sus x=1. Vom avea
unde vine şi numele de schemă binomială.
Pentru a arăta că evenimentele Bn,k cu k=0,1,…,n formează un
sistem complet de evenimente este suficient să punem în rela
( ) ( ) 1qpk,nP nn
0k=+=∑
=
Exemplu. S robabilitatea ca
ncte.
e aruncă un zar de 10 ori. Care este p
să obţinem de 4 ori un număr mai mic de 3 pu
153
154
Rezolvare. Din enunţ se cunoaşte că este schema lui Bernoulli.
Urmează identificarea parametrilor din schemă.
n=10 – numărul de efectuări ale experienţei
k=4 – de câte ori dorim să se realizeze evenimentul simplu A.
31
62p == pentru că numărul de feţe mai mic decât 3 sunt două 1
şi 2 din totalul de 6.
32
311p1q =−=−=
În final se utilizează formula din schemă
( ) 9
6
10
664410
3270
32
432178910
32
31C4,10P ⋅=⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=
Schema lui Bernoulli cu mai multe stări (polinomială)
Este o generalizare a schemei binomiale. Se aplică când la
fiecare repetare a experimentului se urmăreşte apariţia a r evenimente
care formează un sistem complet. Se cere probabilitatea ca în cadrul
celor n repetări independente ale experimentului cere r evenimente
dică se cunoaşte probabilitatea de a extrage o
bilă din fiecare culoare. Vom nota aceste probabilităţi cu p1, p2, …, pr.
Evident p1+p2+…+pr=1. Se extrag pe rând n bile punând de fiecare
dată bila extras P(n; k1,
k2, …, kn) ca din cele n bile extrase k1 să fie din culoarea c1, k2 din
culoarea c2, ş.a.m.d., kr să fie din culoarea cr. (k1+k2+…+kr=n)
urmărite să apară de un număr dat de ori, fiecare.
Modelul poate fi realizat cu o urnă care conţine bile de r culori
în proporţie cunoscută. A
ă înapoi. Se cere să se calculeze probabilitatea
155
Folosind un raţionament analog ca la schema binomială vom
obţine că
( ) r21 kr
k2
k1
r21r21 p...pp
!k!...k!k!nk,...,k,k;nP ⋅=
!k!...k!k!n
r21coeficientul ne dă de fapt numărul permutărilor cu
repetiţie de n obiecte, când un element se repetă de k1 ori altul de k2
ori, ş.a.m.d., ultimul de kr ori unde k1+k2+…+kr=n.
probabilitatea P(n; k1,2, …, kn) este coeficientul termenului ce
conţine k1 xx
Exemplu. Se aruncă un zar de 12 ori. Care este probabilitatea ca
de 2 ori să avem cel mult 2 puncte de 6 ori – 6 puncte şi de 4 ori restul
punctelor.
a. R
Dacă se dezvoltă următorul polinom
(p1x1+p2x2+…+prxr)n
atunci
n2 kn
k2 x... din această dezvoltare. 1
Rezolvare.
ecunoaşterea schemei. Problema se încadrează în schema
polinomială.
b. Identificarea parametrilor
n=12, k1= 2, k2 = 6, k3=4
63p,
61p,
62
===p 321 .
c. Utilizarea formulei din schemă
( )462
63
61
62
!4!6!2!124,6,2;12P ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
156
Schema bilei neîntoarse (schema hipergeometrică)
Se consideră o urnă cu a bile albe şi b bile negre în total N=a+b
bile. Se extrag din urnă n≤ N bile fără a mai pune bila extrasă înapoi.
Să calculăm probabilitatea ca din cele n bile extrase k să fie albe.
Rezolvare:
Metoda I-a. Evenimentul urmărit Bnk are forma de mai sus, de la
schema binomială, cu deosebirea că evenimentele Aik din intersecţie
nu mai sunt independente. În acest fel
( ) ( ) ( ) ⋅⋅⋅=∩∩∩∩∩ + ...AAPAPA...AA...AP 121k1kk1 n
( ) ( )1n1nk1k A...AAP...A...AAP1 −∩∩⋅⋅∩∩⋅ =
( )( )1nba1kbakba1kba1bab −−+
1knb...1bb1ka...1aa
a −−−⋅⋅
−−+−
⋅⋅+−
⋅⋅−
⋅+
=
În licarea probabilităţii reuniunii de
evenimente incompatibile, toţi termenii sunt egali cu cel de mai sus
având doar ordinea factorilor schimbată, numărul lor fiind tot . În
ecinţă avem
−++−+−+
suma ce se obţine prin ap
knC
cons
( ) ( )n1knnBP = A...APC
k∩∩⋅
Prin gruparea convenabilă a factorilor se obţine:
( ) ( ) nba
knb
ka
nC
BPk,nPk
+
CC +⋅==
ţinând cont că ( )!kn!kCk
n −= şi !n ( ) ( )
!k1k +−a...1aaCk
a−
= şi
( ) ( )( )!kn
1knb...1bbC knb −
−−−−=+ etc.
157
Meto
pri
a b. Astfel putem
afirma că din cele a bile albe k bile pot fi alese în moduri iar din
cele b bile negre n-k bile pot fi alese în
da a II-a. La formula de mai sus a lui P(n,k) se putea ajunge şi
ntr-un raţionament direct dacă considerăm că bilele albe şi negre
sunt numerotate de la 1 la a, respectiv de la 1 lkaC
knbC − moduri, orice grupare a
bilelor albe putând fi împerecheate cu orice grupare a bilelor negre
pentru a obţine o grupare favorabilă problemei noastre. Numărul
cazurilor favorabile este deci knb
ka CC −⋅
este eviden
(fiecare cu fiecare), iar
numărul cazurilor total posibile t . În baza definiţiei
clasice a probabilităţilor avem
nbaC +
( ) nba
knb
kaC
CCk,nP+
−⋅=
Exemplu. Din 100 de mere 10 sunt stricate. Se iau 5 mere la
întâmplare. Care este probabilitatea ca 3 să fie bune şi 2 stricate.
Rezolvare. Pentru că nu mai punem merele înapoi, evident
problema se încadrează în schema bilei neîntoarse.
Parametrii sunt: a = 90, b = 10, N = a+b = 100, n = 5, k = 3. În
onsec cinţă aplicând formula din schemă avem
( ) 5100
1090C
3;5P = . 23 CC ⋅
Schema bilei neîntoarse cu mai multe stări
Este o generalizare a celei precedente cu precizarea că în urnă
avem bile de r culori c1, c2, …, cr numărul lor fiind cunoscut a1, a2,…,
158
ar. Se extrag n bile fără a mai returna bila extrasă şi se cere
probabilitatea ca să obţinem k bile din culoarea c1, k2 bile din culoarea
c2, ş.a.m.d. kr bile din culoarea cr, adică P(n;k1k2…kr). Cu un
raţionament analog celui din metoda a doua obţinem
( )r21r21
rr
22
11
k...kka...aa
ka
ka
ka
r21C
C...CCk...kk,nP +++
+++
⋅⋅⋅= .
şi 20 albe. Un client cumpără 20 de
ât mai uniform
distribuite adică 7 roşii, 7 galbene şi 6 albe.
Rezolvare. Evident el nu mai pun becurile înapoi, adică avem
schema bilei neîntoarse cu trei stări: a = 50, a = 30, a = 20, iar k =7,
k =7, k =6. În concluzie probabilitatea cerută este:
Exemplu. Într-o cutie sunt 100 becuri colorate pentru pomul de
Crăciun: 50 roşii, 30 galbene
becuri şi se întreabă care este probabilitatea ca să fie c
e
1 2 3 1
2 3
( ) 20100C
Există şi a
67720P 203050 CCC6,7,7; ⋅⋅
=
lte scheme de probabilitate importante ce pot fi găsite
în bibliografia indicată. Amintim dintre acestea: Schema lui Poisson,
a această ultimă schemă se consideră o urnă cu a bile albe şi b
bile negre. Se extrag bile din urnă cu înapoierea bilei extrase împreună
cu c bile de aceeaşi culoare cu cea extrasă. Întrebarea este cea uzuală,
care generalizează pe cea a lui Bernoulli, Schema lui Pascal (sau
binomială cu exponent negativ), Schema geometrică şi nu în ultimul
rând Schema lui Markov-Polya care generalizează pe câteva din cele
precedente.
L
159
dică
omială, pentru
a : care este probabilitatea ca din cele n bile extrase în total, pe
rând, k să fie albe?
Observaţie. Pentru c = 0 obţinem schema bin
c = –1 cea hipergeometrică cu bila întoarsă, dar putem imagina şi
alte variante.
Probleme rezolvate.
1. Se aruncă 2 zaruri de 10 ori. Care este probabilitatea să
obţinem suma 7 exact de 3 ori?
Rezolvare. Probabilitatea ca la o aruncare să obţinem suma 7
este de ( )61
3667SP === având 6 cazuri favorabile din 36 posibile
(1+6, 6+1, 2+5, 5+2, 3+4, 4+3).
Problema se încadrează în schema lui Bernoulli. Avem n=10,
=3,k 65q,
61p == . Deci
( )73
310 6
561C3;10P ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
2. Se aruncă o monedă de 8 ori. Care este probabilitatea să
obţinem de 4 ori stema şi de 4 ori banul? Dar de cel mult 3 ori stema?
21q,
21Rezolvare. Schema lui Bernoulli n=8, k=4, = p =
( )44
48 2
1⎛21C4;8P ⎟
⎠⎞
⎜⎝
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Pentru partea a doua trebuie să adunăm
P(8, 0) + P(8, 1) + P(8;2) + P(8; 3)
care se calculează după modelul de mai sus.
160
3. La un magazin se găsesc articole de îmbrăcăminte dintre care
90% nu au defecţiuni, 7% au defecţiuni retuşabile, iar 3% prezintă
defecţiuni neretuşabile. Să se calculeze posibilitatea ca din şase
articole verificate la întâmplare, trei să fie fără defecte, două cu
defecte retuşabile şi unul neretuşabil? (După verificare articolul se
repune în raft).
Rezolvare: Utilizăm schema lui Bernoulli cu mai multe stări (trei
stări) unde n=6, k1=3, k2=2, k3=1, p1=0,9, p2=0,07 şi p3=0,03.
Conform schemei obţinem probabilitatea:
006,0)03,0()07,0()9,0(!1!2!3
!6)1,2,3;6(P 123 ==
4. Se aruncă două zaruri de 15 ori. Se cere probabilitatea ca de 4
ori să obţinem mai puţin de 4 puncte, de 5 ori cel puţin 9 puncte şi în
rest restul punctelor.
pu
<
Rezolvare: Schema lui Bernoulli cu trei stări date de numărul de
ncte:
X(Pp1 = 363
362
361)4 =+=
X(Pp2 = ≥364
363
362
361)9 +++= ,
adică probabilităţile de a obţine 12 puncte, 11 puncte, 10 puncte,
respectiv 9 puncte obţinute prin calcularea combinaţiilor de feţe ce
dau suma respectivă.
3623
36131)
3610
363(1)pp(1p 213 =−=+−=+−=
n=15, k1=4, k2=5, k3=6
161
În baza formulei cunoscute vom avea: 654
3623
3610
363
!6!5!4!15)5,4,3;15(P ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
5. Din 100 de mere 10 sunt stricate. Se iau 5 mere la întâmplare
şi se cere posibilitatea ca între ele să avem şi mere stri e.
Rezolvare: La prima vedere suntem tentaţi să desfacem
problema în cinci probleme analoge celei date ca exemplu mai înainte
adic robabilitatea ca unul să fie stricat P(5,1), două stricate P( şi
aşa mai departe P(5,3), P(5,4), P(5,5). Mai devreme am calculat de
exemplu P(5,2) cu schema bilei neîntoarse ca:
cat
ă p 5,2)
5100
210
390
1C
CC)2,5(P =
Analog se calculează şi celelalte probabilităţi.
Atunci probabilitatea ca să avem şi mere stricate între cele 5
este:
P(S)= P(5,1)+P(5,2)+P(5,3)+P(5,4)+P(5,5)
Se observă însă că e mult mai uşor să apelăm la evenimentul
contrar S , adică între cele cinci mere să nu avem nici unul stricat:
9697989910086878889901
CC1
CCC1)S(P1)S(P 5
100
590
5100
010
590
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−=−=−=−=
avem un singur caz în loc de cinci cazuri.
6. Un vânzător de ntr-o lădiţă 50 mere, 40
pere şi 30 piersici ele având acelaşi preţ per kilogram. Un nevăzător
cumpără un kilogram şi constată că au intrat 9 fructe. Se întreabă care
este probabilitatea să fi nimerit un număr egal din fiecare.
fructe are amestecate î
Rezolvare: Schema bilei neîntoarse cu trei stări
9120
330
340
350
CCCC)3,3,3;9(P =
7. Doi jucători sunt angrenaţi într-un joc format din mai multe
partide. Primul jucător câştigă o partidă cu probabilitatea 31p = şi o
pie cu
162
rde 32pq == . Să se calculeze probabilitatea ca:
a) Prima partidă câştigată de primul jucător să se producă upă
cinci
b) a treia partidă câştigată de primul jucător să se producă după
un total de şase partide pier e;
Rezolvare
a) Se aplică schema geometrică (vezi bibliografie). Prin urmare
probabilitatea cerută este dată prin :
1−
d
partide pierdute;
dut
:
72932)
32(
31pq)5(P 55 ===
b) Se utilizează schema lui Pascal (binomială, cu exponent
negativ; vezi bibliografie)
unde n=3, k=6, .32q,
31p == În acest fel probabilitatea cerută
este 96368
knk1kn )
32(
27)
32()
31(CqpC)k,n(P === −+
Variabile aleatoare
Pentru studiul matematic al fenomenelor aleatoare este necesar
ca descrierea acestora să aibă expresii cantitative, care să poată fi
163
tratate din punct de vedere matematic. Această exprimare cantitativă
este facilitată de noţiunea de variabilă aleatoare şi de cea asociată ei de
o anumită probabilitate.
Definiţie (variabile aleatoare discrete). Fie un experiment şi
repartiţie de probabilitate sau densitate de probabilitate.
Variabilele aleatoare, spre deosebire de cele clasice deterministe,
iau valori numerice cu
Ω evenimentul sigur ataşat. O funcţie reală definită pe o desfacere a
evenimentului sigur se numeşte variabilă aleatoare.
Pe scurt: R:X →Ω
Observaţii.
1. Dacă desfacerea evenimentului s-a făcut într-un număr cel mult
nu leatoare de tip discret.
că
3. Există şi variabile aleatoare continue, studiul acestora îl vom face
ulterior.
Exemple: Se aruncă un zar şi fie A1= 1,2, A2=3,4,5,
A3=6, o desfacere a evenimentului sigur. Să presupunem că
descriem un joc în care lui A1îi corespunde +1000 lui A2→ -1000 şi lui
A3→2000 ca sume puse în joc. Variabila aleatoare ce descrie acest joc
are forma
mărabil de părţi obţinem o variabilă a
2. Dacă numărul de părţi ale evenimentului sigur este finit spunem
avem o variabilă aleatoare simplă.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 200010001000
AAAX 321
Acest tablou este de fapt o funcţie unde prima linie este domeniu
de definiţie, iar a doua mulţimea valorilor.
164
⎜⎝ n21 x...xx
din desfacerea evenimentului sigur,
Observaţie. Variabilelor aleatoare de tip discret li se pot ataşa
câte un tablou de tipul:
⎝ n21 p...pp
unde xi sunt valorile pe care le ia variabila aleatoare X, iar pi este
probabilitatea cu care variabila aleatoare X ia valoarea xi adică scriem
pi = P (X = xi)
În general putem scrie o variabilă aleatoare discretă sub forma
⎞⎜⎛ n21 A...AA
X ⎟⎟⎠
prima linie reprezintă evenimentul
iar a doua linie reprezintă valori reale corespunzătoare.
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
= n21 x...xxX
⎠
n,1i =∀
Acest tablou se numeşte repartiţia sau distribuţia de probabilitate
a variabilei aleatoare.
Proprietatea fundamentală a repartiţiei lui X este:
1pn
1ii =∑
=
Acest lucru este îndeplinit deoarece variabila aleatoare a fost
definită pe o desfacere a evenimentului sigur (sistem complet de
evenimente) şi P(Ω) =1.
Exemplu. Repartiţia de probabilitate pentru variabila aleatoare
de mai sus este
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −=
6111
200010001000X
23
165
ataşată variabilelor aleatoare şi rareori va mai apărea
variabila aleatoare propriu zisă. Ea este utilizată doar când se defineşte
Observaţie. Pentru că evenimentele elementare ale unui câmp
formează un sistem complet de evenimen
luat ca domeniu de definiţie pentru variabila aleatoare.
Definiţie. Variabila aleatoare este o funcţie reală definită pe
mulţimea evenimentelor elementare ale unui câmp de probabilitate.
În teoria probabilităţilor şi în aplicaţiile acesteia se întâlnesc
clase de variabile aleatoare de tip discret şi de tip continuu. Spunem în
mod curent că variabila aleatoare urmează o anumită lege de
probabilitate care poate fi respectiv de tip discret sau de tip continuu
şi care este dată de regula după care asociază valorilor variabilei
aleatoare probabilitatea cu care sunt luate acestea, adică este de fapt
repartiţia de probabilitate pentru variabile aleatoare discrete şi
densitatea de probabilitate pentru variabile aleatoare continue.
Exemple de legi discrete:
1. Spune că X urmează legea binomială dacă are repartiţia
unde
În cele ce urmează vom opera de regulă doar cu repartiţia de
probabilitate
o regulă, un joc când se acordă valori evenimentelor după o convenţie
dată.
te totdeauna acesta poate fi
( ) n,0kk,nPk
X=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
( ) ( ) p1q,1,0p,qpCk,nP knkkn −=∈= − .
Probabilităţile P(n,k) au fost obţinute la schema bilei întoarse unde
am verificat cu ajutorul binomului lui Newton că
( ) 1k,nPn
0k=∑
=.
2. Spunem că variabila aleatoare X urmează legea hipergeometrică
dacă are repartiţia:
( ) n,0kk,nPk
X=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
( ) nba
knb
kaC
CCk,nP+
−⋅=unde , n ≤ min (a,b).
Observaţie. Dacă se notează ba
bq,ba
ap+
=+
= iar a+b=N
atunci ( ) knkkn
NqpCk,nPlim −
∞→= adică se obţine repartiţia binomială.
e bile creşte
foarte mult (N=a+b→∞) atunci nu mai are importanţă dacă bila
extrasă, mai este, sau nu, pusă înapoi, numărul total de bile extrase n
fiind mic în raport cu N. Dacă nu mai punem bila extrasă înapoi acest
lucru nu se simte şi putem calcula probabilităţile după schema lui
Bernoulli cu bila întoarsă. Acest lucru are interpretări economice
foarte importante deosebind modul de lucru cu o mulţime mică sau cu
una mare (de exemplu, de agenţi economici, de clienţi, de operaţii
economice).
3. Spunem că variabila aleatoare urmează legea evenimentelor rare a
lui Poisson, care este de tip discret dacă are repartiţia de
Interpretarea este simplă. Dacă numărul total d
probabilitate
166
( ) ,...2,1,0kkpk
X=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ
167
unde ( ) λλλ −= e!k
pk
k , λ > 0.
Este o repartiţie cu o infinitate de valori discrete.
Teorema lui Poisson (De legătură între repartiţia binomială şi
legea lui Poisson). Dacă variabila aleatoare X urmează legea
binomială, şi dacă p=pn aşa ca npn = λ > 0 (constant), atunci pentru
n→∞, X urmează legea lui Poisson, adică
( ) λλ −
∞→nPlim
n= e
!kk,
k
Demonstraţie. Având în vedere că p=p =n nλ şi q=1 – p = 1-
nλ
mătoarele relaţii: vom avea succesiv ur
( )knk
kn
nn n1
nClimk,nPlim
−
∞→∞→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
λλ =
= =⎟⎠⎞⎛+−
⋅⋅−
⋅⋅ ⎜⎝−
−
∞→
kk
n
1kn...n
1nnn
!klim λλ
n1
n
=n
nnn n1lim
n1lim
n...
nlim
!k⎟⎠
⎜⎝−⋅⎟
⎠⎜⎝−⋅⎟
⎠⎜⎝
⋅⋅∞→
kk 1kn1n ⎞⎛⎞⎛⎞⎛ +−− −
∞→∞→= λλλ
= λλ λλ −− =⋅⋅⋅ e!k
e11!k
kk
Observaţie. Deoarece npn=λ constant, r are
probabilitatea pn este foarte mică, de unde i se trage denumirea de
"lege a evenimentelor rare".
ezultă că pentru n m
168
Această lege are foarte multe aplicaţii în electronică,
automatizări, telecomunicaţii, ştiinţa calculatoarelor şi bineînţeles în
economie. De exemplu legile economice cele mai performante, mai
des întâlnite, sau mai tari, prezintă uneori excepţii. Acestea sunt însă
foarte rare. Se spune că urmează legea lui Poisson.
Vectori aleatori
Definiţie. Un vector aleator este o aplicaţie definită pe o
desfacere a evenimentului sigur în Rn.
X (X1X2…Xn): Ω → Rn
a bile
aleator de tip discret i se poate asocia o repartiţie
de probabilitate care este un masiv cu n dimensiuni. Pentru un vector
aleator bidimensional Z(X, Y) repartiţia are aspectul unei matrici
(tablou numeric bidimensional)
yj ym
X1, X2,…, Xn se numesc componentele vectorului X şi sunt v ria
aleatoare simple.
Fiecărui vector
Y y1
X
x1 r11 … r1j … r1m r1 .
M …………………………………………….. M
xi ri1 … rij … rim ri .
M …………………………………………….. M
xn rn1 … rnj … rnm rn .
r. 1 … r. j … r. m 1
169
unde (xi,yj) sunt valorile pe care le ia vectorul (X,Y) iar rij sunt
probabilităţile cu care sunt luate aceste valori, adică pentru orice
rij = P(X=xi şi Y=yj).
r =∑m
i .=
r şi respectiv r. j=
se numesc probabilităţi marginale şi reprezintă probabilităţile luate de
variabilele aleatoare unidimensionale X, respectiv Y ce sunt
componente ale vectorului (X,Y), adică
∑=
n
1jijr
1iij
m,1jj.
jjiirq
Yrp
X ⎟⎟
⎜⎜=⎟
⎟⎜⎜⎟⎟
⎞⎜⎜⎛
=⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
şi jn,1i.ii
yyxx
== ⎠
⎞
⎝
⎛
⎠
⎞
⎝
⎛
⎠⎝⎠⎝
Evident
1rq,1rpm
1jj.
m
1jj
n
1i.i
n
1ii ==== ∑∑∑∑
====.
Acest lucru implică 1rm n
=∑ ∑ ceea ce reflectă f1j 1i
ij= =
aptul că
vectorul aleator a fost definit pe o desfacere a evenimentului sigur.
Definiţie. Spunem că variabilele aleatoare X şi Y care au
distribuţiile respectiv
m,1jjn,1ii qY
pX
==⎟⎠
⎜⎝
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
şi
sunt independente, dacă
ji yx ⎟⎞
⎜⎛⎞⎛
i j i j
adică
rij = pi ⋅ qj
P(X = x şi Y = y ) = P(X = x ) ⋅ P (Y = y )
170
constantă (translaţie)
Dacă variabila aleatoare X are repartiţia ii
ipx
X=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ţia
Operaţii cu variabile aleatoare
1. Înmulţirea cu o constantă, adunarea cu o
1 n,
atunci a⋅X are reparti
n,1ii
iaxaX ⎟⎟
⎞⎜⎜⎛
p =⎠⎝
=⎟⎟⎠
⎞
⎝
şi a+X are repartiţia
n,1ii
ip
xaXa ⎜⎜⎛ +
+ (translaţie).
2. Ridicarea la putere. Fie X variabila aleatoare cu repartiţia
n,1ii
ipx
X=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛, 1p
n
0ii =∑
= atunci Xk are repartiţia
n,1ii
kik
pxX
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛.
Ridicarea la putere a unei variabile aleatoare are un rol important
în continuare pentru definirea unor caracteristici numerice numite
momente.
3. Adunare, înmulţire, împărţire.
Fie variabilele aleatoare X şi Y care au respectiv distribuţiile
∑∑
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
==1q1p
,q
yY
px
Xj
i
m,1jj
j
n,1ii
i şi
atunci prin definiţie (convenţie) suma X+Y, şi produsul XY vor avea
distribuţiile:
171
m,1jn,1iij
ji
m,1j=n,1i
i
r
yxXY
yx
=== ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎜⎛ +
+ şi
Dacă variabila Y nu are valori egale cu zero, adică yj≠0, ∀j=
j ⎟⎞
ijrYX ⎜⎝
m,1
atunci se poate defini şi câtul celor două variabile aleatoare ca având
repartiţia
m,1jn,1iij
ji
r
yx
YX
==⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
unde rij = P (X = xi şi Y = yj) întâlnită la vectorul aleator
bidimensional Z(X, Y).
Dacă variabilele aleatoare X şi Y sunt independente atunci
=p m,1j,n,1i ==rij i⋅qj unde .
4. Funcţii de o variabilă aleatoare sau de mai multe variabile
aleatoare.
Dacă funcţia g : Rn → R este continuă şi x1, x2, …, xn sunt
variabile aleatoare de tip discret, atunci
Y = g(x1, x2, …, xn)
Este tot o variabilă aleatoare de tip discret.
Fie acum y : R → R, y = f(x). Dacă X este o variabilă aleatoare
cu repartiţia
n,1ii
ipx
X=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
atunci Y = f(X) este tot o variabilă aleatoare de tip discret având
repartiţia
( )
n,1ii
ipxf
Y=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Exemple.
1. Probabilitatea extragerii unei bile albe dintr-o urnă este p. Din
e ataşate celor două extrageri, reprezentând
numărul de bile albe extrase. Să se scrie repartiţia sumei celor două
variabile.
Rezolvare. a) Evident vom avea pentru X1 şi X2 repartiţiile
această urnă se fac două extrageri punându-se înapoi bila extrasă. Fie
X1şi X2 variabilele aleatoar
1qpqp01
X;qp01
X 21 =+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Conform definiţiei adunării avem pentru X1+X2 repartiţia
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +++++ 2221 qpqpqp
00100111XX
ţinând cont că X1şi X2 sunt independente după împachetare avem
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ 2221 qpq2p
012XX
Observaţie. Dacă am fi considerat n variabile Xi, i=1,n ca cele
de mai sus şi am fi făcut suma s-ar fi obţinut repartiţia pentru variabila
aleatoare ce urmează legea lui Bernoulli cu bila întoarsă adică
n,0kknkk
n qpC
kY
=+ ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅
b) Să se scrie repartiţia produsului X1⋅X2 unde X1 şi X2 sunt variabilele
aleatoare de mai sus. Vom avea succesiv
172
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅⋅⋅⋅ 222221 qpq2p
01qqppqp
00100111XX
2. Se aruncă două zaruri şi se notează cu S numărul total de
puncte care apar. Să se formeze tabloul distribuţiei lui S.
Rezolvare. Fie X şi Y variabilele aleatoare ataşate celor două
zaruri cu tablourile de distribuţie care ne dau numărul de puncte
apărute pentru fiecare zar:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
61
61
61
61
61
61
654321Y
61
61
61
61
61
61
654321X şi
Menţionăm că X şi Y sunt independente. Atunci
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +++++++=
61...6
16
16
16
16
166...3231322111
YXS
repartiţie care are 36 de poziţii. După restrângere avem:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
361
362
363
364
365
366
365
364
363
362
361
12111098765432S
Observaţie. Noţiunea de variabilă aleatoare, repartiţie de
probabilitate ataşată şi operaţiile cu variabile aleatoare au un rol
important în rezolvarea problemelor de calcul al probabilităţilor. Ele
constituie un instrument de operare foarte eficient. Spre exemplu orice
problemă legată de aruncarea a două zerouri poate fi citită direct din
repartiţia lui S.
Exemplu. ( )121
363
362
3614SP ==+=<
( )31
3612
365
364
3637S4P ==++=<≤ etc.
173
174
3. Repartiţia variabilei X este:
( )1,0p,61
31
4p7p
4321X 2 ∈
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Care este probabilitatea ca X să ia o valoare ≤ 3, adică scriem
P( 3) = ?.
Rezolvare. Pe rândul doi în această repartiţie apare parametrul p
pe care îl putem calcula din relaţia
X≤
161
31
4p7p2 =+++ adică 4p2 + 7p – 2 =0
de unde rezultă 4
p = (rădăcina p= –21 nu convine problemei). Avem
⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
61
31
167
61X
din această repartiţie citim direct
4321
( )65
31
167
1613XP =++=≤
Această problemă se putea rezolva şi direct mai rapid apelând la
evenimentul contrar
( ) ( ) ( )65
6114XP13XP13XP =−==−=>−=≤
4. Să se găsească distribuţia sumei variabilei aleatoare
independente X şi Y care au repartiţiile
( )1,0q,p301
61
5q8q
2101Y
31
3p5p
101X 22 ∈
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ − şi
175
Rezolvare. Prima operaţie este să determinăm parametrii p şi q
utilizând condiţiile
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++
=++
52q
31p
1301
61
5q8q
131
3p5p
2
2
valori acceptabile
atunci X şi Y devin
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
301
61
2516
254
2101Y
31
95
91
101X şi
Urmează scrierea lui X+Y adunând fiecare valoare de la X cu
fiecare de la Y, punând de fiecare dată probabilitatea rij= pi ⋅ qj. În
sfârşit urmează condensarea.
5. Se dau variabilele aleatoare independente cu repartiţiile
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛++
−2p12qp2
31
10aY
31
31q
61p
101X şi
unde p, q ∈ (0,1).
a) Să se scrie repartiţia variabilei X+Y.
ine parametrul a astfel ca să avem P(X+Y=0) >32b) Să se determ .
Rezolvare. Mai întâi determinăm parametrii p şi q aşa ca să fie
verificate condiţiile
( )1,0q,p1q12qp2
31
131
31q
61p
2∈
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+−+
=++++
176
Soluţia convenabilă este 0q,61p == .
Înlocuim şi obţinem repartiţiile lui X şi Y cu p şi q determinaţi
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
31
31
31
10aY
31
31
31
101X şi
succesiv avem
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −+−+
999999999
2101011aa1aYX
sau prin comprimare:
111111111
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −+−+
91
92
92
91
91
91
91
21011aa1aYX
Din repartiţia de mai sus se vede clar că P(X=0) este cel puţin
2/9. Pentru a fi strict mai mare ca 2/9 trebuie să mai obţinem o
probabilitate cât de mică pentru valoarea 0. Acest lucru se poate
realiza dacă parametrul a ia una din valorile –1, 0 sau 1. Deci
.
6. Variabila X are distribuţia
1,0,1a −∈
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
31
31
31
101X
Să se scrie repartiţiile variabilelor X+X2 şi X+X3.
177
Caracteristici numerice pentru variabile aleatoare
discrete
Caracteristicile numerice ne dau informaţii cantitative asupra
unor indicatori importanţi ai variabilelor aleatoare cum ar fi centrarea,
împrăştierea, asimetria, corelarea valorilor acestora.
1. Valoarea medie (speranţa matematic ) notată M(X).
Fiind dată o variabilă aleatoare X cu repartiţia
ă
1pp...ppx...xx
Xn
1ii
n21
n21 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∑=
vom numi valoarea medie a acesteia numărul
∑=
n
1iii xp M(X) = p1x1 + p2x2 + … + pnxn =
Ea este o medie aritmetică ponderată şi ne indică locul unde se
centrează valorile variabilei aleatoare.
Dacă variabilele aleatoare au o infinitate de valori
atunci
Iii
ipx
X∈
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
( ) ∑∈
=Ii
ii pxxM este dată de o serie convergentă.
Exemplu. Fie X variabila aleatoare care înregistrează numărul
de puncte la aruncarea unui zar cu repartiţia
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
61
61
61
61
61
61
654321X
( ) 5,327
616...
612
611xM ==⋅++⋅+⋅=
Proprietăţi.
178
1. Valoarea medie a unei constante este aceea constantă M(a)= a
2. M(b+X)=b + M(X)
3. M(aX)=aM(X)
Avem succesiv:
)1i
in
1iii +⋅=+=+=+ ∑∑∑( ) ( ) (xM1bpxpbpxbXbM
n
1iii
n
===
)( ) (xaMpxapaxaXMn
1iii
n
1iii === ∑∑
==
Proprietăţile 2 şi 3 subliniază proprietatea de liniaritate a valorii
medii
M(aX + b) = aM(X) + b
4. Valoarea medie e cuprinsă între axmin ii
= şi
a < M(X) < A
Dacă înlocuim pe xi cu a şi apoi cu A obţinem inegalitatea
Axmax ii
=
∑∑∑===
≤≤n
1ii
n
1iii
n
1ii Appxap
de unde
a ≤ M(X) ≤ A
5. M(x+y) = M(X) + M(Y)
Demonstraţie. Fie X şi Y cu repartiţiile
3213211
n
1ii
n
1iii
1
n
1ii pApxpa ∑∑∑
===≤≤
iar
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
m21
m21
n21
n21q...qqy...yy
Yp...ppx...xx
X şi
179
vom considera şi vectorul aleator (X, Y) cu repartiţia lui matricială (rij)
precum şi notaţiile ri . şi r. j pentru probabilităţile marginale:
şi . Ţinând cont de definiţia sumei a
două variabile aleatoare avem succesiv
jjn
iim
j.jn
.ii +=+=+= ∑∑∑∑
ate extinde şi pentru suma unui număr finit de
ariab e.
Aplicaţie. Se aruncă 4 zaruri. Să se calculeze valoarea medie a
numărului de puncte obţinute.
Rezolvare. Să notăm cu X1, X2, X3, X4 respectiv numărul de
puncte obţinute la fiecare zar. Repartiţia lui Xi este aceeaşi şi a fost
amintită mai sus. La fel valoarea medie M(Xi)=3,5 a mai fost
calculată.
.
Pentru a calcula valoarea medie a lui X vom avea succesiv
X = X1 + X2 + X3 + X4
sau
M (X) = M(X1) + M(X2) + M(X3) + M(X4) = 14.
6. Dacă X şi Y sunt două variabile aleatoare independente atunci
∑=
==m
1jij.ii rrp ∑
===
m
1jijj.j rrq
( ) ( ) =+≤⋅+=+ ∑∑∑∑∑∑===== =
n
iij
m
ij
m
jij
n
ii
m
j
n
iijji ryrxryxyxM
11111 1
( ) ( )yMxMqypxryrxm
1i1i1j1i ====
Proprietatea se po
v ile aleatoar
Să notăm cu X suma numărului de puncte ieşită pe cele 4 zaruri
180
M(X ⋅ Y) = M(X) ⋅ M (Y)
Vom considera că X şi Y au repartiţiile amintite mai sus şi vom
considera vectorul aleator (X, Y) de asemeni cu notaţiile de mai sus. În
plus X şi Y fiind independente avem rij = pi ⋅ qj.
Pentru a demonstra proprietatea de mai sus pentru valoarea
medie a produsului avem:
= M(X) ⋅ M(Y)
Utilizând această importantă noţiune de valoare medie a unei
tea introduce o serie de alte caracteristici
numerice des utilizate în teoria probabilităţilor şi statistica
matematică.
Momente
I. Momente iniţiale
Definiţie. Fiind dată o variabilă aleatoare X vom numi moment
iniţial e ordinul k al acesteia υk = M (xk).
Dacă variabila aleatoare X are repartiţia atunci
Proprietăţi.
1. Orice moment iniţial al unei constante este egal cu acea constantă
vk(a)=a, ∀k∈N.
2. Cazuri speciale:
( ) ====⋅ ∑∑∑ ∑∑ ∑=== == =
m
1jji
n
1jii
n
1i
m
1jjiji
n
1i
m
1jijii qypxqpyxryxYXM
variabile aleatoare vom pu
Iii
ipx
X∈
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∑=
=n
1ii
kik pxv .
181
- pentru k = 0, 1ppxvn
1ii
n
1ii
0i0 === ∑∑
== rezultă că υ0 nu are nici o
semnificaţie.
- Pentru k = 1, v1= M(X) valoarea medie a lui X.
Abateri. Momente centrate
Dacă X este o variabilă aleatoare şi a o constantă atunci
variabila:
a) X–a se numeşte abaterea lui X de la a,
b) |X–a| abaterea absolută de la a,
c) X-M(X) abatere
| – abaterea absolută de la medie.
Definiţie. Se numeşte moment centrat de ordinul k expresia
µk = M [(x–M(X))k]
Dacă X are repartiţia
a de la medie,
d) |x – M(X)
n,1ii
ipx
X=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛, atunci
( )( ) ( )( )n,1ii
kik
pXMxXMX
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −− rezultă că ( )( )∑=
−=n
1ii
kik pXMxµ .
Cazuri particulare
k = 0, µ0 = 1 nu este folosit
k=1, µ1 = 0 pentru că M(X-M(X)) = M(X) – M(X) = 0
k=2, µ2 = D2(x) este un indicator important pentru măsurarea
gradului de împrăştiere a valorilor variabilelor aleatoare X în jurul
valorii medii M(X). Se numeşte dispersie.
182
k = 3, µ3 – intervine în constituirea unui indicator numit
coeficient de asimetrie a lui Fischer.
k = 4, µ4 – intervine în construcţia coeficientului de boltire a lui
Pearson.
re este momentul centrat de
ariabile aleatoare, adică
Dispersia unei variabile aleatoa
ordinul doi al acestei v
D2 (x) = M[(X–M(X))2]
Proprietăţi:
1. Dacă X are repetiţia n,1ii
ipx
X=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ atunci
( ) ( )( ) ( ) ( ) =+−=−= ∑∑∑∑====
n
1ii
2n
1iii
n
1ii
2i
n
1ii
2i
2 pXMpxXM2pxpXMxXD
( ) ( ) ( )[ ] 212
222n
1ii
2i vvXMXMXMpx −=−=−= ∑
=
2. Dispersia unei constante este nulă.
D2(a) = 0
Este adevărată şi reciproca.
3. Două variabile care diferă printr-o constantă are dispersii egale
( ) ( )( ) ( )( ) =−−+=+−+=+ 222 aXMaXMaXMaXMaXD
( )( ) ( )XDXMXM 2=−=
4. Dacă a este o constantă are loc proprietatea:
D2(aX) = a2D2(X)
5. O proprietate foarte importantă este următoarea. Dacă Xi, i=1,n
sunt independente în totalitate atunci
( ) ( ) ( ) ( n2
22
12
n212 XD...XDxDX...XXD +++=+++ )
e. Notăm
⎣⎟⎟⎠
⎞
⎝ =
2
1ii
⎟⎞
∑=
2n
1iijii XMYX
⎜⎝
= ∑∑∑=≤<≤=
n
1i
2i
nji1X
ji1i
i XMXMXM2XM
i
44 344 21teindependensunt capentru
∑=
=+++=n
1iin21 XX...XXY Demonstraţi
( ) ( ) ⎢⎡
⎜⎜⎛
−=⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
= ∑∑∑n2
in
i22 XMXMXDYD =⎥
⎦
⎤
⎠⎝ =1i
183
( ) =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎜⎝ ≤<≤= nji11i
⎜⎛
−= ∑∑n 2 2XM
( ) ( ) ( )[ ] +−⋅−⎟⎟⎠
⎞⎜⎛ n 2
( ) ( ) ( ) ( )[ ] =−=⋅+ ∑∑∑==≤<≤
n
1i
2i
n
1i
2i
nji1ji XMXMXMXM2
( ) ( )[ ]( ) ( )∑∑==
=−=n
1ii
2n
1i
2i
2i XDXMXM c.c.t.d.
Observaţie. Combinând proprietăţile 4 şi 5 avem
Dacă X1 şi X2 sunt independente atunci
( ) ( ) ( )222
2122
122112 XDaXDaXaXaD +=+
Caz particular:
Fie a1 = 1 şi a2 = –1 atunci ( ) ( ) ( 22
12
212 XDXDXXD +=− ).
Abaterea standard sau abaterea medie pătratică D(X)
ăsură la pătrat în raport cu
radical indice doi din dispersie obţinând abaterea standard, un
Deoarece dispersia are unitatea de m
valorile variabilei aleatoare la care se referă este util să extragem
indicator numeric cu acelaşi scop, de a măsura gradul de împrăştiere a
valorilor variabilelor aleatoare în jurul valorii medii.
Aşadar:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] 212
222 vvXMXMXDXD −=−===σ
Proprietăţi:
. D(
2. D(X+a) = D(X)
3. D(aX)= aD(X)
4. ( )
1 a) = 0 a constantă
( ) ( ) n2
12
n21 XD...XDX...XXD ++=+++
dacă Xi sunt independente.
Inegalitatea lui Cebîşev
Ne dă o margine inferioară a probabilităţii ca abaterea absolută
de la medie a valorilor unei variabile aleatoare cu dispersia cunoscută
să fie mai mică decât un număr dat ε, adică
( )( ) ( )2
2 XD1XMxPε
ε −≥<+
Acest prag are avantajul că este universal, nu depinde de legea
pe care o urmează variabila aleatoare X. În schimb se va vedea că este
destul de grosier. Dacă vom preciza legea de probabilitate a lui X
atunci probabilitatea de mai sus se poate aproxima mult mai exact.
Această probabilitate, ca variabilă aleatoare să ia valori pe un
interval simetric faţă de valoarea centrală (valoarea medie) de lungime
dată ε are foarte multe aplicaţii în practică
M(X) − ε < X < M(X) + ε 184
185
Pentru demonstraţie vom nota M(X) = m şi D2(X) = σ2.
Dacă X are repartiţia
atunci
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
n21
n21p...ppx...xx
X
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−−−−
↓
+
+
n1ll1
n1ll1p...pp...p
mx...mxmx...mxmX
ε
Vom presupune că ε cade între două valori ale acestei variabile
care au fost aşezate în prealabil în ordine crescătoare.
Atunci
( ) ( )n1ll21 p...p1p...ppmxP ++−=+++=<− +ε
pe de altă parte
( ) ( ) ( ) ( ≥−++−+−++−= ++2
nn2
1l1lll112 mxp...mxpmxp...mxpσ )
=++⋅++≥ +2
n2
1l p...p0...0 εε ( )n1l2 p...p +++ε
Aici parantezele mai mici ca ε le-am înlocuit cu zero, iar cele
mai mari ca ε le-am înlocuit cu ε obţinând o minorare puternică.
Rezultă succesiv
n1l2
2p...p ++≥ +
εσ
( ) ( )εεσ
+−≤− +p11 1l2
2 <−=+ mxPp... n c.c.t.d.
186
Aplicaţii:
1. Dacă în inegalitatea lui Cebîşev alegem ε = kσ, k ∈ Z, aceasta
devine
( ) 2k11kmxP −≥<− σ
( ) 75,043
4112mxP ==−≥<− σ pentru k = 2
( ) 889,098
9113mxP ==−≥<− σ k = 3
2. O variabilă aleatoare X are media 30 şi dispersia egală cu 2. Să se
găsească o limită inferioară pentru probabilitatea P(24 < X < 36).
Rezolvare. m – 24 = 30 – 24 = 6 ⇒ ε = 6
Atunci
( ) ( ) 889,098
911
3641630XP36X24P ==−=−≥<−=<< .
3. O variabilă aleatoare X are M(X) = 40, iar momentul de ordinul doi
M(X2) = 1609. Să se găsească limita inferioară a probabilităţii
.
Rezolvare. Avem 49 – 40 = 40 – 31 = 9 = ε
( )49X31P <<
( ) ( ) ( )[ ] 916001609XMXMXD 2222 =−=−==σ
Atunci
( ) ( )98
911
8191940XP49X31P =−=−≥<−=<<
4. Inegalitatea lui Cebîşev aplicată variabilei X cu media m dă
( )16158mxP ≥<−
187
Să se determine dispersia lui X.
Rezolvare.
( ) ( )161
16151
64XDXD1
1615;8
2
2
2=−=⇒−==
εε
( ) 41664XD2 == .
5. Să se determine p1, p2, p3 astfel ca variabila X cu repartiţia
⎛⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
− ⎞
321 pppX
101
aibsă ă media egală cu 0 şi momentul de ordinul doi egal cu 3
.
Rezolvare. Vom avea
M(X)= –p
2
⎜⎜⎝ +
=⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ 321321 pppppp
X
v2 = M(X2) = p1 + p3
În final se obţine sistemul
1 + 0⋅ p2 + p3 = 0
⎞⎛⎞⎛2 01101⎟⎟⎠
⎪⎪⎧
⎪⎪
⎩
⎨
=+
=+−=++
32pp
0pp1ppp
31
1
321
de unde rezultă
3
31ppp 321 ===
188
6. Fie o variabilă aleatoare care are M(X) = m, D2(X) = σ2, atunci
variabila aleatoare σ
mXY −= se numeşte variabila aleatoare
normată asociată lui X. Să se arate că M(Y) = 0, D2(Y) = 1.
Rezolvare.
( ) ( )[ ] 0mXM1mXMYM =−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
σσσ
( ) ( )[ ] ( ) 1XD1mXD1YD 2
22
22
22 ===−=
σσ
σσ
7. Se consideră variabila aleatoare cu repartiţia
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
121
41
41
21
4321X
Să se calculeze a şi b astfel ca variabila Y = aX + b să aibă
media 0 şi dispersia 1.
Rezolvare.
⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1
126111
16941X 2
42
( )3
1312116
619
414
211XM 2 =⋅+⋅+⋅+⋅=
( )611
1214
613
412
211XM =⋅+⋅+⋅+⋅=
( ) ( ) ( )[ ]3635
36121
313
611
313XMXMXD
2222 =−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=−=
Aplicând proprietăţile valorii medii şi dispersiei pentru Y avem:
( ) ( ) ( ) 0b611abXaMbaXMYM =+=+=+=
( ) ( ) ( ) 13635aXDabaXDYD 22222 =⋅==+=
Din acest sistem se determină a şi b.
. Se8 dau variabilele aleatoare independente cu repartiţiile
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
+
189
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ 1a21apq
32
31
21Yqp
31X şi
Să se calculeze a astfel ca variabila aleatoare X–Y să aibă
dispersia egală cu
94 .
Rezolvare. În prima fază determinăm parametrii p şi q din
relaţiile
31
21
1qp31
⎪
⎪⎪⎨
⎧
=+−+
=++qp
1pq33
==⇒
⎪⎩
Atunci X şi Y vor avea repartiţiile
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
31
31
31
211aY
31
31
31
21aX
Avem succesiv
( ) ( ) ( )YDXDYXD 222 +=−
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )2
2222 3a315a
31XMXMXD ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +−+=−=
190
( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] ( )2
2222 4a3151a
31YMYMYD ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +−++=−=
Din ecuaţia ( ) ( )94YDXD 22 =+ ⇒ a = 1.
ă se calculeze valoarea medie şi dispersia pentru repartiţiei
ă.
9. S
binomial
Rezolvare. Avem
n,0kknkk
n qpCk
X −=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
a) Direct
( ) ( ) =−
= ∑=
−−n
0= ∑
= k
knkn k qp!kn!k
!nkq 0k
nkkn pkCXM
( ) ( )( )
( ) ( ) ...qp!kn!1k
!1npnqp!kn!1k
!n n
1k
kn1k
1
n
k
knk =−−
−⋅⋅=
−−= ∑∑
=
−−
=
−
( ) npqpnp =+= deoarece p + q =1.
b) Rezolvare cu utilizarea proprietăţilor me
1n−
diei şi dispersiei. Fie X1,
X2, …, Xn variabile aleatoare ataşate celor n extrageri succesive.
Toate aceste variabile au repartiţii identice, de forma
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ 01X k , k,1k =
qp
ele sunt independente, în plus variabila aleatoare ataşată schemei
binomiale a lui Bernoulli se poate obţine ca sumă a acestora, pentru că
numărul total de bile albe obţinut este egal cu suma bilelor albe ieşite
la cele n extrageri. Deci
X = X1 + X2 + … + Xn
Avem
( ) ( ) ( ) ( )kn 1 M...XMXM XnMX =++=
( ) ( ) ( ) ( )k2
n2
122 XnDXD...XDXD =++=
( ) ( ) npXMpXM =⇒= k
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) npqXDqpp1pppXMXMXD 222k
2kk
2 =⇒⋅=−=−=−=
Abaterea standard pentru variabila aleatoare repartizată binomial
este deci ( ) npqXD ==σ .
10. Să se calculeze valoarea medie şi dispersia pentru o variabilă
aleatoare repartizată după legea evenimentelor rare a lui Poisson.
Rezolvare. Avem
( ) ( ) λλλλλ λλλλ =⋅=−
== −∞
=
−−
∞
=
− ∑∑ ee!1k
ee!k
kXM1k
1k
0k
k
A fost utilizată dezvoltarea în serie Mac-Laurin a lui eλ
( ) ( ) =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−== ∑∑∑
∞
=
−∞
=
−!k
k!k
1kkee!k
kXMkk
0k0k
k22 λλλ λλ
( )( ) λλλλλλλ λλλλλ +=+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−= −
∞
=
−− ∑ 22
2k
2k2 eeee
!2ke
191
( ) ( ) ( )[ ] λλλλ =−+=−= 22222 XMXMXD
Variabile aleatoare continue
Funcţia de repartiţie
Variabilele aleatoare continue iau valori ce acoperă un interval
sau chiar toată axa reală. La o variabilă aleatoare continuă nu ne
interesează probabilitatea ca aceasta să ia o anumită valoare ci
192
probabilitatea ca să ia valori cuprinse într-un anumit interval
P(a≤X<b) care însă depinde de două variabile a şi b. Pentru a
simplifica lucrurile vom introduce aşa numita funcţie de repartiţie
e
re X funcţia
F: R → R cu F(x) = P (X < x) ∀ x∈ R
Funcţia de repartiţie se poate defini şi pentru variabila aleatoare
de tip discret care are repartiţia de probabilitate:
i
∈∀= ∑<
Notaţia specială a sumei indică faptul că pentru un x ∈ R dat se
adună toate probabilităţile pi ce corespund valorilor lui X ce verifică
condiţia xi < n. În acest caz funcţia de repartiţie este o funcţie în scară,
având punctele xi ca puncte de discontinuitate, iar mărimile salturilor
în aceste puncte sunt respectiv probabilităţile pi.
Proprietăţi.
1. Pentru ∀x ∈ R, 0 ≤ F(x) ≤ 1
evident fiind definită cu ajutorul unei probabilităţi.
2. Pentru orice a, b ∈ R, a < b avem
P (a ≤ X < b) = F(b) – F(a)
ataşată variabilei X.
Definiţie. Se numeşte funcţie de repartiţie ataşată variabil i
aleatoa
Iii
ipx
X∈
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
atunci ea are forma:
( ) RnpxFxx
i
193
P(a < X < b) = F(b) – F(a) – P(X=a)
avem succesiv
( ) ( ) ( ) ( )[ ]aX\bXPaX,bXPbXaP <<=<<=<≤
Deoarece (X < a) ⊂ (X < b) avem în continuare că
( ) ( ) ( ) ( ) (aF )bFaXPbXPbXaP −=<−<=<≤
În mod analog se arată şi a doua relaţie.
3. Oricare ar fi x1, x2 ∈ R, x1 < x2 avem F(x1) ≤ F(x2) (funcţia F este
nedescrescătoare)
Folosind prima formulă de la punctul 2, avem relaţiile
( ) ( ) ( )1221 xFxFxXxP0 −=<≤≤ de unde F(x1) ≤ F(x2)
4. ( ) ( ) ( ) 0PFxFlimx
==∞−=∞→
φ
( ) ( ) ( ) 1FFxFlimx
==∞+=∞→
Ω
5. Pentru orice x ∈ R avem că
( ) ( ) ( )xF0xFyFlimxyxy
=−=
<→
adică funcţia F(x) e continuă la stânga.
În baza proprietăţilor enunţate mai sus putem să ne facem o
imagine aproximativă asupra graficului funcţiei de repartiţie a unei
variabile aleatoare continue: cuprins în banda [0,1], asimptote
orizontale: axa Ox la –∞, dreapta y = 1 la +∞; nedescrescătoare
194
Dacă X este discretă F(x) este tot nedescrescătoare, dar este o
funcţie în scară
atoare X cu repartiţia
.
Exemplu. Fie variabila ale
⎟⎜⎜
⎝
⎛−
3331
01X ⎟
⎠
⎞111
( ) ( )
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
>
≤<
≤<−
⎧ −≤ 1x0 pentru
=<=
1x1
1x032
0x13xXPxF
pentru
pentru
entru
adică graficul este
Definiţie. ul aleator
bidimensional
F: R2 → x, y)∈ R2
Proprietăţ eator sunt
analoage cu cel ă simplă şi
anume
1. Oricum ar fi (x, y) ∈ R2 avem că 0 ≤ F(x, y) ≤ 1
2. Pentru orice a1 < b1 şi a2 < b2 avem că
1 p
Numim funcţie de repartiţie pentru vector
V = (X, Y), funcţia
R unde F(x, y) = P(X < x şi Y < y) ∀ (
ile funcţiei de repartiţie pentru vectorul al
e ale funcţiei de repartiţie pentru o variabil
( ) ( ) ( ) ( ) ( 212121212211 a,aFb,aFa,bFb,bFbYa,bXaP + )−−=<≤<≤
3. Funcţia F(x, y) este nedescrescătoare în raport cu fiecare argument.
4. Avem următoarele limite:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,F;0,xFy,F;0y,xFlimy,xFlimyx
=−∞∞=−∞=∞−==−∞→−∞→
( ) ( ) ( )yFy,Fy,xFlim Yx
=∞=+∞→
– funcţia de repartiţie ataşată lui X
( ) ( ) ( )xF,xFy,xFlim Xy
=∞=+∞→
– funcţia de repartiţie ataşată lui Y
5. Funcţia F(x, y) este continuă la stânga în raport cu fiecare argument
în parte.
Densitatea de probabilitate
Definiţie. Fie variabila aleatoare X având funcţia de repartiţie
F(x). Vom spune că X este variabilă aleatoare de tip continuu, dacă
funcţia de repartiţie F se poate reprezenta sub forma
pentru orice x ∈ R
funcţia ρ: R → R numindu-se densitate de probabilitate a variabilei
aleatoare X.
inuu având
ţia de repartiţie F şi densitatea de probabilitate ρ, atunci au loc
următoarele afirmaţii:
1. pentru orice x ∈ R, ρ ≥ 0
2. F'(x) = ρ(x), a.p.t. pe R
( ) ( ) 1,Fy,xFlim
yx
=+∞∞+=
∞→+∞→
( ) ( )∫∞−
=x
dttxF ρ
Proprietăţi: Fie X o variabilă aleatoare de tip cont
func
(x)
195
196
3. pentru a < b avem că )
4.
Ultima proprietate caracterizează orice densitate de probabilitate,
ea este analoagă proprietăţii
( ) (∫=<≤b
adxxbXaP ρ
( ) 1dxx =∫∞+
∞−ρ
1pn
1ii =∑
= de la variabile aleatoare
discrete.
Interpretare geometrică
F(x) reprezi (x) acumulată de
la –∞ până la ) este întotdeauna
egală cu 1
func este un vector aleator de tip
continuu, dacă funcţia de repartiţie
pentru orice (x, y) ∈ R2
funcţia ρ: R2 → R numindu-se densitate de probabilitate a vectorului
aleator V.
ntă aria de sub curba descrisă de ρ
abscisa x. Aria de sub graficul lui ρ(x
= P(Ω); vezi proprietatea 4.
Definiţie. Fie vectorul aleator bidimensional V = (X, Y) având
ţia de repartiţie F. Spunem că V
F se poate reprezenta sub forma
( ) ( )∫ ∫∞− ∞−
=x y
dtdst,sy,xF ρ
197
nsitatea de probabilitate ρ(x, y), iar variabilele aleatoare
simple X şi Y ce sunt componente ale vectorului V au respectiv
densităţile de probabilitate
Fie vectorul aleator V = (X, Y) care are funcţia de repartiţie
F(x,y) şi de
Xρ şi Yρ atunci au loc proprietăţile:
1. pentru orice (x, y) ∈ R2 avem că ρ(x, y) ≥ 0
2. ( ) ( )y,xyx
y,xF2ρ=
∂∂∂ a.p.t. pe R2
3. ∀ D∈ R2 avem ( )[ ] ( )∫∫=∈D
dydxy,xDY,XP ρ
( ) 1dydxy,x2R
=∫∫ ρ 4.
5. ∫ ∞+
( ) ( )∞−
Xρ = dyy,xx ρ şi ∫( ) ( )∞+
∞−=yYρ dxy,xρ
aleatoare
continue
ă exprimarea lor
în loc de sumă. În plus toate proprietăţile acestora
sunt identice cu cele de la cazul discret motiv pentru care nu le mai
repetăm.
l proprietăţilor
integralelor pe care le lăsăm în seama cititorului.
1. Valoarea medie (speranţa matematică) pentru variabile aleatoare
continue este definită ca
Caracteristici numerice pentru variabile
Toate caracteristicile numerice întâlnite la cazul discret se
regăsesc şi la variabile aleatoare continue doar c
utilizează integrala
Desigur demonstrarea lor se face cu ajutoru
( ) ( )∫∞+
∞−= dxxxXM ρ
unde ρ este densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare x.
2. Momentele iniţiale de ordinul k ale lui X sunt definite ca valoarea
medie a lui Xk adică
( ) ( )∫∞+
∞−== dxxxXMv kk
k ρ
3. Momentele centrate de ordinul k ale lui X sunt definite ca
valoarea medie a abaterii de la medie ridicată la puterea k, (X-
M(X))k, adică
)( )( )[ ] ( )( ) (∫∞+
∞−−=−= XMXM kµ dxxXMx k
k ρ
4. Dispersia D2(x) (varianţa) este ă ca moment centrat de
)
definit
ordinul doi.
( ) ( )( )[ ] ( )( ) (∫∞+
∞−−=−= dxxxMxXMXMXD 222 ρ
Evident
( ) ( ) ( )[ ] 212
222 vvXMXMXD −=−=
5. Abaterea standard ( ) ( )XDXD 2==σ este rădăcina pătrată din
dispersie.
Teoremă. Între momentele centrate şi cele iniţiale există
următoarea relaţie:
( )∑=
−−=k
0i
i1ik
ik
ik C1 υυµ
198
199
Demonstraţia se bazează pe binomul lui Newton şi proprietăţile
valorii medii
( )( )[ ] ( )[ ] ( ) =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−=−= ∑
=
−k
0i
i1
ikik
k1
kk vxCMvXMXMXMµ
( ) ( ) ( )∑∑ −=
− −=−= i1ik
ik
ik
0i
i1
ikik
i vvC1vXMC1
Exemple:
µ1 = 0
µ2 = v2 = D2(X)
µ3 = v3 − 3v1v2 + 2
µ4 = v4 − 4v1v3 + 6 v2 − 3
Definiţie. a) Se numeşte moment iniţial de ordinul (r, s) al unui
vector aleator V = (x, y) caracteristica numerică
vrs = M (X r ⋅ Y s )
b) Se numeşte moment centrat de ordinul (r, s) al vectorului
aleator V = (X, Y) caracteristica numerică
21v−
31v
21v 4
1v
( )( ) ( )( )[ ]srrs YMYXMXM −⋅−=µ
Cazuri particulare
v10 = M(X), v01 = M(Y), v00 = 1
RESPECTIV µ00 = 1, µr0 = rXµ , µ0s = sYµ
µ20 = D2(X), µ02 = D2(Y), µ11 = C(X, Y)
200
Definiţie. Corelaţia sau covarianţa dintre variabilele aleatoare
X şi Y este caracteristica numerică
( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( ) 11Y,XCYMYXMXMY,XC µ=−−= sau
Proprietăţi. 1. Dacă aplicăm pentru C(X,Y) proprietăţile valori
medii obţinem uşor că
( ) ( ) ( ) ( ) 011011YMXMXYMY,XC υυυ −=⋅−= 2. Dacă variabilele aleatoare X şi Y sunt independente atunci
e corelaţie dintre variabilele
aleatoare X şi Y caracteristica numerică
M(XY) = M(X)M(Y) şi deci C(X,Y)=0.
Definiţie. Se numeşte coeficient d
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) (( ) ( )
)YX
YMXMY,XM
YDXD
Y,XCY,Xr22 σσ
σ⋅
⋅−==
Dacă X şi Y sunt independente atunci r(X,Y) = 0 reciproc dacă
r(X, Y) = 0 vom spune că variabilele aleatoare X şi Y sunt necorelate
ceea ce nu este echivalent cu independente.
Coeficientul de corelaţie are următoarele proprietăţi:
a) ( ) 1y,xr ≤
b) ( ) baXY1y,xr +=⇔±=
Se obişnuieşte să se spună despre două variabile aleatoare că
1. X şi Y necorelate dacă ( ) 0Y,Xr =
( ) ( )3,00Y,Xr −∈ 2. X şi Y slab corelate dacă
( ) ( )7,03,0Y,Xr −∈ 3. X şi Y mediu corelate dacă
( ) ( )17,0Y,Xr −∈ 4. X şi Y tare corelate dacă
( ) 1Y,Xr = 5. X şi Y complet corelate dacă
201
adică conform proprietăţii b) între X şi Y există chiar o dependenţă
liniară.
Corelaţia şi respectiv coeficientul de corelaţie măsoară legăturile
calitative dintre variabilele aleatoare X şi Y.
Dacă cei doi coeficienţi C(X,Y) şi r(X,Y) au valori diferite de
zero acest lucru se poate interpreta în general prin faptul că cele două
variabilele aleatoare X şi Y modelează trăsături ce sunt efecte ale
aceleiaşi cauze.
Dacă două trăsături, fenomene aleatoare sunt legate prin binomul
cauză-efect atunci variabilele aleatoare corespunzătoare X şi Y vor fi
legate printr-o relaţie de dependenţă funcţională de tipul Y = f(X) unde
variabila independentă X modelează cauza, iar Y – cea dependentă,
Definiţie. O densitate de probabilitate se numeşte simetrică
dacă pentru orice x ∈ R avem relaţia
efectul.
( )( ) ( )( )xXMxXM +=− ρρ
adică ordonatele aşezate simetric faţă de dreapta x =M(X) sunt egale.
Gradul de asimetrie în cadrul densităţilor asimetrice se măsoară
cu coeficientul lui Fischer
33s
σµ
=
Observaţie. Dacă s = 0 curba este simetrică, dacă s < 0 ea se
numeşte asimetrică la stânga, iar dacă s > 0 densi eşte
asimetrică la dreapta
tatea se num
s < 0 asimetrică la stânga s > 0 asimetrică la dreapta
Teoremă. Momentele centrate de ordin impar ale unei
distribuţii simetrice sunt nule: µ2k+1 = 0.
Demonstraţie. Din definiţie avem:
( ) ( ) =−= ∫∞+
∞−
++ dxxmx 1k2
1k2 ρµ
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞+
∞−
+=∞−
+ −+− dxxmxdxxmx 1k2m
1k2 ρρ
Am notat pe M(X) = m. În prima i tegrală facem schimbarea de
variabilă x – m = –t , dx = –dt , iar în a doua x – m = σ, dx = dσ.
n
Avem
( ) ( ) ( ) =++−− ∫∫∞
+++
0
1k2
0
1k21k2 dmdttmt1 σσρσρ ∞
( )[ ] ( ) 0110
12
0
12 =+⋅+−= ∫ +
=
+ dttmt kk ρ43421
∞
202
203
ce
defineşte o densitate simetrică.
Definiţie. Excesul sau boltirea unei variabile aleatoare X este
caracteristica numerică dată prin
În prima integrală s-a utilizat egalitatea ρ(m–t)=ρ(m+t)
44
σµ
=e -3
Observaţie. Dacă variabila aleatoare X urmează legea normală
acă e < 0 graficul are un aspect turtit şi se
numeşte platicurtică, iar dacă e > 0 atunci graficul are un aspect mai
ascuţit (îngustat) în raport cu legea normală normată şi se numeşte
leptocurtică.
Se numeşte mod (valoare modală) a variabilei aleatoare X orice
punct de maxim local al densităţii de probabilitate a lui X.
Există densităţi unimodale (cu un singur mod) bimodale sau
chiar plurimodale.
normată atunci e = 0. D
Definiţie. Mediana unei variabile aleatoare X este
caracteristica numerică Me (abscisă) care verifică condiţiile
( ) ( )MeXP2
MeXP ≤≤≥≥
sau
( )
1
21MeF =
unde F este funcţia de repartiţie care este continuă.
Mediana poate fi obţinută prin intersecţia graficului funcţiei de
repartiţie cu dreapta orizontală 21y = .
204
Definiţie. Se numeşte α-cvantilă a unei variabile aleatoare X
continue abscisa xα pentru care avem F(xα) = α, unde F este funcţia
de repartiţie.
Aceste cvantile au rolul de a fixa punctele unde ordonatele
împart aria de sub graficul densităţii de probabilitate ρ(x) la fracţiuni
date de ordinul corespunzător al cvantilei.
De la - ă sub graficul
densităţii ρ(x α.
Cazuri speciale
∞, până la cvantila xα se acumuleaz
) o arie egală cu ordinul cvantilei adică
1. 4
1x41
=α - se numeşte cvantila inferioară Q1
21x
2=α - mediana Me = Q1
2
43x3
=ε -4
cvantila superioară Q3
13 QQ −=∆ - interval intercvantilic.
pentru 2. 10kx9,1k,
10k
==α = se numesc decile
3. pentru 100
kx99,1k,100
k==α = se numesc centile.
205
Legi de probabilitate continue uzuale
Legea uniformă are densitatea
( ) [ ]
[ ]⎪⎩
⎪⎨⎧
∈
∈−=
b,a\Rx0
b,axab
1x
pentru
pentru ρ
1. Să verificăm că este o densitate de probabilitate
( ) 1abab
abxdx
ab1dxx
b
a
b
a=
−−
=−
=−
= ∫∫∞+
∞−ρ
2. Funcţia de repartiţie este
( ) ( )abax
ab1
ab1dttxF
x
a
x
−−
=−−
== ∫∫∞−ρ
cis dacă ţinem cont de toate poziţiile posibile ale lui x
avem:
Mai pre
( ) [ )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
≥∈<
−−
=bxb,ax
ax
1abax
0
xF
⎧
206
. Valoarea medie 3
( ) ( ) ( ) 2ab
ab2ab
2x
ab1xdx
ab1dxxxxM
22b
a
2b
a
+=
−−
=−
=−
== ∫∫∞+
∞−ρ
4. Dispersia
( ) ( ) ( )[ ]222 XMXMXD −=
( ) ( ) ( ) ( )ab3ab
ab3xdxx
ab1dxxxXM
33b
a
3b
a
222−−
=−
=−
== ∫∫∞+
∞−ρ
( ) ( ) ( )12
ba4ba
3aabbXD
22222 −
=+
−++
=
Aplicaţii în industrie şi economie. Erorile determinate de
otunjirile până la întregul cel mai apropiat urmează distribuţia
niformă.
Legea normală a lui Gauss
Densitatea de probabilitate a acestei legi este
r
u
( ) ( ) Rxe2
1,m,x2mx
21
∈=−− σ
πσσρ
1. Grafic general (al familiei). Scriem tabloul de valori
x -∞ m-σ m M+σ +∞
ρ' + + + + 0 - - - -
ρ i πσ 210 I 0
ρ" + + 0 - - - 0 + +
207
Grafic
Variaţia graficului în funcţie de parametri
. Caz particular: Legea normală normată (standard) este aceea pentru
care m = 0, σ = 1, adică are forma
ul are formă de clopot, numit şi clopotul lui Gauss.
2.
a) σ = constant b) m = constant
3
( ) 22x
e211,0,x −=π
ρ
208
Legat de acest caz important de lege normală menţionăm funcţia
i Laplace
lu
( ) ( ) ∫∫−==
t
0
t
0dxe
21dx1,0,xt 2
2x
πρΦ
Proprietăţi:
1)
( ) ( ) ( )21,
21,00 =∞+=∞−= ΦΦΦ
2) este o funcţie impară ( ) ( ) Rt,tt ∈∀−=− ΦΦ
Funcţia lui Laplace având un rol extrem de important în practcă
fost tabelată. (vezi anexa)
. Verificarea că ρ(x, m, σ) este o densitate de probabilitate
a
4
( ) ( ) 122dye
21dxe
21,m,x 2
y2mx
21
==== ∫∫∫∞+
∞−
−∞+
∞−
−∞+
∞−
−
ππ
ππσσρ σ
ymx=
−σ
Facem schimbarea de variabilă , x=σy +m, dx=σdy.
Am, utilizat o integrală improprie importantă
∫∞+
∞−
− = π2dye 2
2y
numită integrala lui Poisson amintită şi calculată anterior (vezi cap.
naliză matematică, integrale improprii).
. Valoarea medie
a
5
( ) ( ) ( )∫∫∫∞+
∞−
−∞+
∞−
−∞+
∞−
+===
−dye
2ymdxxe
21dx,m,xxX 2
2y2mx21
σπσσ
πσσρ σ
Facem aceeaşi schimbare de variabilă ca mai sus
M
m01mdyye2
dye21m
0ra, decifiind impa1
2
2y2
2y
=+⋅=+=
=
∞+
∞−
−
=
∞+
∞−
−∫∫
4342144 344 21π
σπ
La prma integrală folosim din nou integrala lui Poisson şi
bţinem 1. La a doua integrală funcţia de sub integrală fiind impară şi
tegrarea făcându-se pe un interval simetric faţă de origine rezultă că
ste egală cu 0.
. Dispersia
o
in
e
6
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞+
∞−
−∞+
∞−
−−=−= dxemx
21dx,m,x2mxXD
2mx2122 σ
πσσρ
Efectuăm aceeaşi schimbare de variabilă ca mai sus, apoi o
tegrare prin părţi şi obţinem
D(X) = σ2
. Funcţia de repartiţie
in
7
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞+
∞−
−
∞−
−
==<= dye2
1dy,m,yxXPxF2my
21x
σ
πσσρ
dtdy,mty,tmy σσσ
=+==−
209
facem schimbarea de variabilă: şi
bţinem o
( ) ∫−
∞−
−=σ
π
mx
22tdte
21xF
Dacă utilizăm funcţia lui Laplace amintită mai sus, putem scrie
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=σ
Φ mx21xF
210
În acces caz probab lori pe un interval (a,b)
ste
ilitatea ca X să ia va
e
( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=−=<≤σ
Φσ
Φ mambaFbFbXaP
Dacă intervalul este simetric faţă de valoarea medie, adică
ε+= mb , ε− rezultă = ma
( ) ( ) ⎟⎞
⎜⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=+<<−=<−
⎠⎝σεΦ
σεΦ
σεΦεεε 2mXmPmXP
pentru că funcţia lui Laplace este impară.
acum ε = kσ, k∈Z un multiplu de abateri standard Să alegem
P(
Interpretare geometrică. Între punctele de inflexiune (m−σ,
întotdeauna 0,6
raportează pe u al mic de lungime 2σ.
P(|X – m ) = 2Φ(3) =0,997
celor trei sigm
trei σ la stânga ic
variabila aleato ractic toate valorile (99,7%) care este
echivalent cu evenimentul sigur. Regula se foloseşte în tehnică la
a) Pentru k=1 avem
|X – m|<σ) = 2Φ(1) =2 ⋅ 0,3413 = 0,6828
m+σ) sub graficul densităţii de probabilitate se acumulează
828=68,28% din arie. Dacă σ este mic această arie se
n interv
b) Fie k=3
|<3σ) = P(m–3σ < X < m+σ
În practică acest rezultat se cunoaşte sub denumire de regula
a şi are următoarea interpretare:
Pentru orice lege de tip normal, pe un interval de lungime 6σ,
lui m şi trei σ la dreapta lui m, ad ă (m–3σ, m+3σ)
are X îşi atinge p
211
bancare extrem
Se poate rezultat similar dat de
< m+σ) am ob
aproximaţie gr e se vede un dezavantaj al acestei
Aplicaţie ieselor fabricate de o
m=30 mm şi a diametrul
Rezolvare
P(10 < X < P(|x–30| < 20) = 2Φ(2) =0,9545 = 95,45%
Legea Gamma este caracterizată de densitatea de probabilitate:
sisteme automate, aviaţie, telefonie, vaccinuri, în economie la operaţii
de importante etc.
face o comparaţie cu un
inegalitatea lui Cebîşev unde pentru aceiaşi probabilitate P(m–3σ < X
ţinut un prag inferior de 0,888 adică 88,8% care este o
osieră, de und
inegalităţi.
. Abaterile X ale diametrului p
maşină de la diametrul proiectat urmează o lege normală pentru care
σ=10 mm. Să se calculeze probabilitate c
piesei să aibă abateri între 10 şi 50 mm.
. Din enunţ se cere să calculăm
50) =
( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤
>≥>+= +
−
0x0
0b,0a,0xb1a
exb,a,x 1a
a bx
daca
dacaΓρ
Este o funcţie foarte generală
212
Să verificăm că este o densitate de probabilitate:
1) Se observă uşor că ρ(x,a,b)≥0, ∀x∈R
2) ( )( )
( )( )
1b1ab1adxex
b1a1dxb,a,x 1a
1a
0
a1a
bx
=+
+=
+= +
+∞+−
+
∞+
∞−∫∫
ΓΓ
Γρ
Se face schimbarea de variabilă dtbdx,tbx
== şi se utilizează
expresia funcţiei Gamma amintită la capitolul analiză matematică.
Valoarea medie
( ) ( )( )
=+
== ∫∫∞
−++
∞+
∞− 0
1a1a dxex
b1a1dxb,a,xxXM b
x
Γρ
( )( )
( ) ( )( ) ( )1ab
1a1a1ab
1ab2ab
1a
2a+=
+++
=+
+= +
+
ΓΓ
ΓΓ
Dispersia se calculează cu relaţia
( ) ( ) ( )[ ] 212
222 vvXMXMXD −=−=
Dar vB2B = bP
2P (a+1)(a+2) de unde
DP
2P(X) = b P
2P (a+1)(a+2) – b P
2P (a+1) P
2P = b P
2P(a+1)
Utilizând funcţia Gamma se pot calcula foarte uşor momentele
iniţiale vBk B de orice ordin şi ţinând cont de relaţia de legătură cu cele
centrate se pot imediat găsi şi momentele centrate µBk B.
Din aceeaşi familie cu legea Gamma mai fac parte şi alte legi de
probabilitate extrem de mult folosite în practica economică, motiv
pentru care le vom prezenta, pe scurt, în continuare, ele rezultând ca şi
cazuri particulare.
213
Legea χ P
2 P(hi pătrat)
Are densitatea
( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤
>∈>⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
−−
0x0
0,Nn,0x2
2n
ex,n,x 2
1
2n
22x
2n
σσΓσρ
σ
Această densitate se poate obţine din legea Gamma prin
înlocuirea lui 12na −= şi b = 2σP
2P.
Parametrul n – se numeşte numărul gradelor de libertate
denumire acordată de R.Fisher (1890-1962) biolog şi statistician.
Valoarea medie este M(X) = nσP
2P, iar dispersia DP
2P(X) = 2nσP
4P. Această
lege este mult aplicată în statistică la construirea unor teste de
verificare a ipotezelor statistice. A fost utilizată de antropologul şi
biologul Karl Pearson (1857-1936) care a construit şi tabele pentru
funcţia de repartiţie ataşată. (vezi anexa)
Legea Weibull are densitatea
( )( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<>>≤≤
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
−−−
ux00m,0x,xu0
ex
uxxm
u,x,m,x0
1m
000
m
0xux
pentru
pentru ρ
şi este din clasa Gamma.
Se observă cum că funcţia de repartiţie este
( )( )
⎪⎩
⎪⎨⎧
<≥≥−=
−−
ux00uxe1xF
m
0xux
daca daca
Se verifică uşor prin derivare.
214
Valoarea medie
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += 1
m1xXM 0Γ
Dispersia
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
220
2 1m11
m2xXD ΓΓ
Această repartiţie se utilizează în fiabilitate la studiul defectelor
accidentale când acestea se datorează fenomenelor de uzură şi
îmbătrânire. Este mult utilizată în asigurări.
Repartiţia Erlang este din aceeaşi clasă cu Gamma. Are
densitatea:
( )( )( )
⎪⎩
⎪⎨⎧
<
>≥≥=−−
0x0
0,1k,0xexk
kk,,x
kx1kk
pentru
pentru λΓλ
λρλ
Valoarea medie
( )λ1XM =
Dispersia
( ) 22
k1XDλ
=
Pentru k=1 se obţine un caz particular des folosit în practică
numit repartiţia exponenţial negativă
( )⎩⎨⎧
<>≥=
−
0x00,0xe,x
x
pentru pentru λλλρ
λ
Repartiţia exponenţial negativă se utilizează mult în fiabilitate
215
are funcţia de repartiţie
( )⎩⎨⎧
<≥−=
−
0x00xe1xF
x pentru λ
Legea Student
Student este pseudonimul matematicianului francez W.Gosset
(1876-1937). Densitatea are expresia
( ) Rtnt1
2nn
21n
n,t2
1n2
∈⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=
+−
Γπ
Γρ
Parametrul n – se numeşte numărul gradelor de libertate. Legea
este folosită mult în statistică la construirea unor teste de verificare a
potezelor statistice. Pentru funcţia de repartiţie s-au construit tabele de
unde se extrag α-cvantile utile în teste (vezi anexa). Graficul
repartiţiilor din această familie este asemănător cu cel al repartiţiei
normale normate doar că este puţin mai turtit.
Una din cele mai importante teoreme limită centrale afirmă că
dacă n→∞ repartiţia Student tinde către repartiţia normală normată.
Se verifică uşor utilizând limite de tipul "e" că
216
( ) 2
2
21,lim
Student
t
entn
−
∞→=
πρ - repartiţie normală normată.
Grafic
În aplicaţiile în care se utilizează frecvent legea Student dacă
n>30 se poate trece la înlocuirea acestei legi cu legea normală
normată şi tabelul corespunzător care este cel al funcţiei lui Laplace.
Valoarea medie M(X) = 0, ( )2n
nXD2−
= .
Legea Beta are densitatea
( ) ( ) ( ) ( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧
∈
>>∈−=
−−
1,0\Rx0
0b,0a,1,0xx1xb,aB
1b,a,x
1b1a
pentru
pentru ρ
unde B(a,b) este funcţia Beta a lui Euler amintită anterior. Se verifică
uşor că este o densitate de probabilitate.
Forma funcţiei ρ(x, a, b) depinde de valorile parametrilor
pozitivi a şi b.
217
Observaţii.
1. Pentru a – 1 > 0, b – 1 > 0 funcţia se anulează pentru x =0 şi x =1
şi are un maxim în punctul de abscisă 2ba
1a−+
− din intervalul (0,1).
2. Pentru a – 1 < 0, b – 1 < 0 funcţia devine infinită pentru x = 0
descreşte până la un minim egal cu ( )ba2a1+−
− apoi creşte devenind
infinită pentru x = 1. Are asimptote verticale în x = 0 şi x =1.
Valoarea medie este
( )ba
aXM+
=
Dispersia
( )( ) ( )1baba
abXD 22
+++=
3. Prin operaţii elementare şi treceri la limită în raport cu parametrii a
şi b se poate face legătura dintre această repartiţie şi altele cum ar fi
repartiţia Gamma şi repartiţia normală. Aceste legături între
218
modelele probabilistice reflectă de fapt legăturile naturale reale
dintre fenomenele economice.
Recomandăm utilizatorului să studieze din bibliografia citată şi
alte legi de probabilitate, utile în practică, specializate pe clase de
fenomene economice, cum ar fi: legea Snedecor, Fisher, legea după
triunghi isoscel a lui Simpson, legea logaritmic normală etc.
219
220
221
222
223
BIBLIOGRAFIE
1. Acu D., şi colectiv, Matematică aplicată în economie, vol.I,
Editura Universităţii "Lucian Blaga", Sibiu, 2001.
2. Berge C., The Theory of Graphs and its Applications, Methenen
C., London, 1962.
3. Blaga P., Lupaş A., Mureşan A., Matematici aplicate, vol.I şi II,
Editura Promedia Plus, Cluj-Napoca, 1999.
4. Blaga P., Rădulescu M., Calculul probabilităţilor, Curs litografiat,
Universitatea "Babeş-Bolyai", Cluj-Napoca, 1987.
5. Dinescu P., Săvulescu B., Matematici speciale aplicate în
economie, Academia de Ştiinţe Economice, Bucureşti,
1972.
6. Ionescu M., Dinescu C., Burlacu V., Teoria grafelor cu unele
aplicaţii în economie, Editura Ştiinţifică, Bucureşti,
1968.
7. Ionescu M., Statistică matematică, Editura Didactică şi
Pedagogică, Bucureşti, 1962.
8. Mihăilă N., Introducere în programarea liniară, Editura Didactică
şi Pedagogică, Bucureşti, 1964.
9. Mihoc G., Cincu G., Craiu V., Teoria probabilităţilor şi statistică
matematică, Editura Didactică şi Pedagogică,
Bucureşti, 1970.
224
10. Mihoc G., Micu N., Elemente de teoria probabilităţilor şi
statistică, Proiect de manual, Editura Didactică şi
Pedagogică, Bucureşti, 1966.
11. Oancea E., Rădulescu M., Calculul probabilităţilor şi statistică
matematică, Universitatea "Babeş-Bolyai", Cluj-
Napoca, 1974.
12. Onicescu O., Teoria probabilităţilor şi aplicaţii, Editura Didactică
şi Pedagogică, Bucureşti, 1963.
13. Popescu O, şi colectiv, Matematici aplicate în economie, Editura
Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1999.
14. Popescu O., Matematici aplicate în economie. Culegere de
probleme, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,
1999.
