DESCOMPUNERIDESCOMPUNERI

FACTORIFACTORI

ÎNÎN

22TERMENITERMENI

FACTOR COMUNFACTOR COMUN

Cea mai importantă metodă este

FACTORUL COMUNFACTORUL COMUN

Se analizează în ordine: SEMNUL, COEFICIENTUL ŞI LITERELE

1. Semnul FACTORULUI COMUNNe orientăm după semnele termenilor ce vor rezulta, astfel încât să ajungem în situaţie convenabilă

2. Coeficientul FACTORULUI COMUN

3. Literele FACTORULUI COMUN

Ne întrebăm cu ce număr se împart toţi coeficienţii termenilor din care dăm factor comun

Ne întrebăm ce litere comune sunt în termenii din care dăm factor comun

- alegem puterea cea mai mică la care apar literele comune, astfel încât să putem face împărţirea

Nu uitaţi!!!!

FACTORUL COMUN se dă prin operaţia de ÎMPĂRŢIRE

EXEMPLE

NU au pretenţia :

de a fi cele mai “reuşite”

de a fi cele mai “sugestive”

de “acoperire” a situaţiilor

6 8X 1. Semnul: Este clar + deoarece termenii sunt cu + şi + şi nu avem niciun interes de a modifica semnele din paranteza ce va rezulta

2. Coeficient: Ne întrebăm cu ce număr se împarte şi 6 şi 8

Numărul este 2 şi el este coeficientul Factorului comun

3. Litere comune: Ne întrebăm ce litere comune avem :

- primul termen, 6X, conţine pe X iar al doilea, 8, nu are literă

şi în consecinţă nu avem litere comune şi deci factorul comun nu va conţine litere

CONCLUZIE : FACTORUL COMUN ESTE 2 (înţelegem + 2)

Scriem 2 şi apoi deschidem paranteza

6 8X 2(

Facem împărţirile pentru a vedea ce rămâne din fiecare termen

3X+4 )

6X : 2 = 3X şi scriem 3X şi apoi +8 : 2 = +4 şi scriem +4

9 3X 1. Semnul: Alegem + deoarece termenii sunt cu + şi – şi nu avem niciun interes de a modifica semnele din paranteza ce va rezulta

2. Coeficient: Ne întrebăm cu ce număr se împarte şi 9 şi 3

Numărul este 3 şi el este coeficientul Factorului comun

3. Litere comune: Ne întrebăm ce litere comune avem :

- primul termen conţine pe X iar al doilea nu are literă

şi în consecinţă nu avem litere comune şi deci factorul comun nu va conţine litere

CONCLUZIE : FACTORUL COMUN ESTE 3 (înţelegem + 3)

Scriem 3 şi apoi deschidem paranteza

9 3X 3(

Facem împărţirile pentru a vedea ce rămâne din fiecare termen

3X- 1 )

9X : 3 = 3X şi scriem 3X şi apoi -3 : 3 = -1 şi scriem -1

23 7X X 1. Semnul: Este + deoarece termenii sunt cu + şi - şi în general semnele, din paranteza ce va rezulta, urmează, în mod firesc, ordinea semnelor termenilor daţi

2. Coeficient: Ne întrebăm cu ce număr se împarte şi 3 şi 7

Nu avem un număr “frumos” (adică un divizor comun pentru 3 şi 7)

OBSERVAŢIE: Se poate alege orice număr (de exemplu 8)

dar duce la fracţii: 3/8 şi 7/8 ceea ce nu este convenabil

3. Litere comune: Ne întrebăm ce litere comune avem :

- ambii termeni conţin X (primul la puterea 2 şi al doilea la puterea 1)

- Alegem la puterea 1 (cea mai mică dintre puterile literei)

CONCLUZIE : FACTORUL COMUN ESTE X (înţelegem + X)

Scriem X şi apoi deschidem paranteza

23 7X X X(

Facem împărţirile pentru a vedea ce rămâne din fiecare termen

3X - 7 )

şi apoi -7X : X = -7 şi scriem -723 : 3X X X

3 24 12X X 1. Semnul: Poate fi + sau - deoarece termenii sunt cu - şi + dar în general semnele, din paranteza ce va rezulta, sunt de dorit în ordinea + ; - şi deci alegem semnul –

(care va schimba ordinea semnelor date de exerciţiu)2. Coeficient: Ne întrebăm cu ce număr se împarte şi 4 şi 12

Numărul este 4 şi el este coeficientul Factorului comun

OBSERVAŢIE: Se poate alege şi 2 dar, de obicei, se ia c.m.m.d.c. al coeficienţilor termenilor daţi

3. Litere comune: Ne întrebăm ce litere comune avem :

- ambii termeni conţin X (primul la puterea 3 şi al doilea la puterea 2)

- Alegem la puterea 2 (cea mai mică dintre puterile literei)

CONCLUZIE : FACTORUL COMUN ESTE - 4X2

Scriem -4X2 şi apoi deschidem paranteza

3 24 12X X -4X2 (

Facem împărţirile pentru a vedea ce rămâne din fiecare termen

X - 3 )

şi apoi +12X2 : (-4X2) = -3 şi scriem -33 24 : ( 4 )X X X

3 2 2 421 14X Y X Y 1. Semnul: Deoarece termenii sunt cu - şi - şi în general semnele, din paranteza ce va rezulta, sunt de dorit cu + alegem semnul – (care va schimba semnele date de exerciţiu)

2. Coeficient: Ne întrebăm cu ce număr se împarte şi 21 şi 14

Numărul este 7 şi el este coeficientul Factorului comun

3. Litere comune: Ne întrebăm ce litere comune avem :

- ambii termeni conţin X (primul la puterea 3 şi al doilea la puterea 2) -Alegem la puterea 2 (cea mai mică dintre puterile literei) - ambii termeni conţin Y (primul la puterea 2 şi al doilea la puterea 4) - Alegem la puterea 2 (cea mai mică dintre puterile literei)

CONCLUZIE : FACTORUL COMUN ESTE - 7X2Y2

Scriem -7X2Y2 şi apoi deschidem paranteza

3 2 2 421 14X Y X Y -7X2Y2 (

Facem împărţirile pentru a vedea ce rămâne din fiecare termen

3X+ 2 )

şi apoi -14X2Y4 : (-7X2Y2) = +2 şi scriem +23 2 2 221 : ( 7 ) 3X Y X Y X

3 2( 2) ( 2)x x 1. Semnul: Deoarece termenii sunt cu + şi + alegem, natural, semnul +

2. Coeficient: Parantezele, sunt factorii termenilor. Nu avem numere ca factori

OBS: De fapt avem 1 şi 1 şi deci ca număr se poate lua 1 dar el se subînţelege

3. Litere comune: Ne întrebăm ce litere comune avem :

Nu avem litere comune,

dar avem paranteză comună care, se consideră factor comun

În primul termen paranteza este la puterea 3 iar în al doilea termen este la puterea 2. Alegem puterea cea mai mică adică 2

CONCLUZIE : FACTORUL COMUN ESTE (X – 2)2

Scriem (X -2)2 şi apoi deschidem paranteza

3 2( 2) ( 2)X X (X-2)2 [

Facem împărţirile pentru a vedea ce rămâne din fiecare termen

+ 1 ]

şi apoi (X-2)2: (X-2)2 = 1 şi scriem +13 2( 2) : ( 2) ( 2)X X X

(X-2) =(X-2)2 (X-1)

3 2 2 34 ( 1) 6 ( 1)X X X X 1. Semnul: Deoarece termenii sunt cu + şi - alegem, natural, semnul +

2. Coeficient: Ne întrebăm cu ce număr se împarte şi 4 şi 6 Numărul este 2 şi el este coeficientul Factorului comun

3. Litere comune: Ne întrebăm ce litere comune avem : - ambii termeni conţin X (primul la puterea 3 şi al doilea la puterea 2) -Alegem la puterea 2 (cea mai mică dintre puterile literei)

- ambii termeni conţin paranteza (X+1)

În primul termen paranteza este la puterea 2 iar în al doilea termen este la puterea 3. Alegem puterea cea mai mică adică 2

CONCLUZIE : FACTORUL COMUN ESTE 2X2 (X + 1)2

Scriem 2X2 (X +1)2 şi apoi deschidem paranteza

3 2 2 34 ( 1) 6 ( 1)X X X X 2X2 (X+1)2 [

Facem împărţirile pentru a vedea ce rămâne din fiecare termen

- 3(X+1) ]

şi apoi -6X2 (X+1)3: 2X2 (X+1)2 = -3(X+1)3 2 2 24 ( 1) : 2 ( 1) 2X X X X X

2X =2X2 (X+1)2 (-X-3)

EXERCIŢII

5 10X 1. Semnul:

2. Coeficient:

3. Litere comune:

FACTORUL COMUN ESTE :

REZOLVARE

5 (

Facem împărţirile pentru a vedea ce rămâne din fiecare termen

X + 2 )

5X : 5 = X +10 : 5 = +2

4. Paranteze comune:

+

5

NU

NU5

4 34 6X X Y 1. Semnul:

2. Coeficient:

3. Litere comune:

FACTORUL COMUN ESTE :

REZOLVARE

-2X3 (

Facem împărţirile pentru a vedea ce rămâne din fiecare termen

2X -3Y )

-4X4 :(-2X3) = 2X +6X3Y : (-2X3) = - 3Y

4. Paranteze comune:

-

2

X3

NU-2X3

3 23 ( 4) 6 ( 4)X X X X 1. Semnul:

2. Coeficient:

3. Litere comune:

FACTORUL COMUN ESTE :

REZOLVARE

3X(X-4)[

Facem împărţirile pentru a vedea ce rămâne din fiecare termen

(X-4)2 + 2X ]

3X(X-4)3 : 3X(X-4)=(X-4)2 +6X2(X-4) : 3X(X-4) = +2X

4. Paranteze comune:

+

3

X

(X-4)3X(X -4)

3 2 32X Y XY 1. Semnul:

2. Coeficient:

3. Litere comune:

FACTORUL COMUN ESTE :

REZOLVARE

-XY2(

Facem împărţirile pentru a vedea ce rămâne din fiecare termen

X2 +2Y )

-X3Y2 :(-XY2) = X2 -2XY3 : (-XY2) = +2Y

4. Paranteze comune:

-

1

XY2

NU-XY2

22( 5) 4( 5)X X 1. Semnul:

2. Coeficient:

3. Litere comune:

FACTORUL COMUN ESTE :

REZOLVARE

2(X+5) [

Facem împărţirile pentru a vedea ce rămâne din fiecare termen

1 - 2(X+5) ]

2(X+5) : 2(X+5)=1 -4(X+5)2 : 2(X+5) = -2(X+5)

4. Paranteze comune:

+

2

NU

(X+5)2(X +5)