Curs9 TransformariUnitare 2014.pptimag.pub.ro/ro/cursuri/archive/transformari.pdf · 2015-02-01 ·...

1

Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)

1

Operatii integrale

Noua valoare a oricarui pixel din imaginea prelucrata rezulta dincombinarea valorilor tuturor ale pixelilor din imaginea initiala.

linial

coloanac

imagine prelucrata gimagine initiala f

T


2

Transformari de imagine

- transformari integrale (obtinerea valorii unui pixel din imaginea rezultata in urma transformarii se face pe baza contributiei tuturor pixelilor din imaginea initiala)

- sunt utilizate matrice unitare pentru transformari

- matrice unitare ( )*T1 AA =−

2


3

Cazul unidimensional

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

−−−−

−

−

1,11,10,1

1,1110,1

1,01,00,0

.................

.......

NNNN

N

N

aaa

aaaaaa

A

( )⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

= −

−−−−

−

−

***0 aaaA 11

*1.1

*1.1

*1.0

*1.1

*1.1

*1.0

*0.1

*0.1

*0.0

* ...

.................

.......

N

NNNN

N

N

T

aaa

aaaaaa

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

−TN

T

T

1

1

0

:a

aa

A= coloana a matricii T*A

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

−*

1,

*1,

*0,

:

Nk

k

k

a

aa

*ka

= linie a matricii A)...( 1,1,, −= NkkkT aaa 0ka

***0 aaa 11 ... −N

TN

T

T

1

1

0

:

−a

aa


4

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛... *

1*1

*0 −Naaa=*TA

Interpretarea pentruA=matrice unitara

( )*T1 AA =−

0= 1

1

1

0.

..

A*TA IN

=1 =0

Noua baza este ortonormala!

3


5

Cazul unidimensional

{ }10),( −≤≤= Nnnuu

O transformare unitara:

Auv = Adica: ∑−

=

=1

0),(),()(

N

nnunkakv 10 −≤≤ Nk

( )*T1 AA =−(Matrice unitara)

vAvΑu *T1 == − Adica: ∑−

=

=1

0

* ),(),()(N

kkvnkanu 10 −≤≤ Nn

Reprezentarea ca o dezvoltare in serie a vectorului u

u(0)

u(1)

….

u(N-1)

u=


6

Cazul unidimensional- Transformarea directa

Auv = Adica: ∑−

=

=1

0),(),()(

N

nnunkakv

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

:=

u(0)u(1)….u(N-1)T

N

T

T

1

1

0

:

−a

aa

>=< *,)( kkv au

∑−

=

>=<1

0

*qpqp,N

i

(i)(i)

Fiexare componenta a vectorului v este produsul scalar intre vectorul u si

coloana corespunzatoare din .T*A

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

−*

1,

*1,

*0,

:

Nk

k

k

a

aa

*ka

v

4


7

Cazul unidimensional- Transformarea inversa

vAu *T= Adica: ∑−

=

=1

0

* ),(),()(N


=

v(0)v(1)….v(N-1)⎟⎟

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛... *

1*1

*0 −Naaa

Semnalul origial este o combinatie liniara a coloanelor cu ponderile . *k

a kv

= coloana a matricii T*A⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

−*

1,

*1,

*0,

:

Nk

k

k

a

aa

*ka

u

=v0* +…….vn-1**0a

*1

a *2

a *1N

a−

u

=u )...( *1

*1

*0 −Naaa

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

)(N-

)()(

1v:1v0v


8

Cazul unidimensionalvAu *T= Adica: ∑

−

=

=1

0

* ),(),()(N


Auv = Adica: ∑−

=

=1

0),(),()(

N


>=< *,)( kkv auFiexare componenta a vectorului v este produsul scalar intre vectorul si

coloana corespunzatoare din .T*A

Semnalul origial este o combinatie liniara a coloanelor cu ponderile .*k

a kv

= coloana a matricii T*A⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

−*

1,

*1,

*0,

:

Nk

k

k

a

aa

*ka

∑−

=

=1

0

*)(N

kkkv a=v0* +…….vn-1*

*0a

*1

a *2

a *1N

a−

u

u

5


9

Concluzii

• O transformare unitara este in cazul 1D o schimbare de baza. O exprimare a vectorului u intr-o alta baza.

• Elementele vectorului transformat v(k) sunt coordonatele descompunerii vectorului original u in baza formata de coloanele lui .T*A

Example

ex

eye

y′

ex′

u

5

2

yx eeu 2510

201

525

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

6

Example

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=+=

029

295

292

292

295

029029 ''''

yxyx eeeeu

ex

eye

y′

ex′

u

5

2

A*T

v


12


=

=1

0

* ),(),()(N


Auv = Adica: ∑−

=

=1

0),(),()(

N

nnunkakv

>=< *kau ,)( kv

∑−

=

>=<1

0

*qpqp,N

i

(i)(i)

=v0*u +…….vn-1**0a

*1

a *2

a *1N

a−

7


13

Cazul bidimensional

∑∑−

=

−

=

=1

0

1

0

),(),(),(N

m

N

nkl nmunmlkv A 1,0 −≤≤ Nlk

∑∑−

=

−

=

=1

0

1

0

* ),(),(),(N

k

N

lkl lkvnmnmu A 1,0 −≤≤ Nnm

>=< *klAU,),( lkv

img =V0,0* +…….VN-1,N-1*= *0,0A *

0,A 1*

,A 11 −− NNU

∑ ∑−

=

−

=

=1

0

1

0

*,),(

N

k

N

llklkv AU


14

Cazul bidimensional

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

−−−+

+−−−+

+−−

−+−+

−−−+−

==1

1

4

531

1

4

511

1

4

511

1

4

534321

jjj

jjj

jjj

jjj

U

img =V0,0* +…….VN-1,N-1*U= *0,0A *

0,A 1*

,A 11 −− NN

= multime de N2 imagini ortogonale *,A lk

8


15

Matricile de baza satisfac proprietatile:

Conditia de ortonormalitate:

Conditia de completitudine

),(),(),( ''1

0

1

0

*'' llkknmnm

N

m

N

nlkkl −−=∑∑

−

=

−

=

δAA

),(),(),( ''1

0

1

0

''* nnmmnmnmN

k

N

lklkl −−=∑∑

−

=

−

=

δAA

(c1)

(c2)

),( ''**'' llkk

lkkl −−>=< δAA


16

Transformari unitare separabile ),(),()()(),( nlbmkanmnm lkkl == baA

Impunand conditiile (c1) si (c2) rezulta ca matricile A si B trebuie sa fie unitare.

*T* VBAU =↔=∑∑−

=

−

=

1

0

1

0

** ),(),(),(),(N

k

N

lnlblkvmkanmu

∑∑−

=

−

=

=↔=1

0

1

0),(),(),(),(

N

m

N

nnlbnmumkalkv TAUBV

∑∑−

=

−

=

=1

0

1

0

),(),(),(N

m

N

nkl nmunmlkv A 1,0 −≤≤ Nlk

∑∑−

=

−

=

=1

0

1

0

* ),(),(),(N

k

N


>=< *klAU ,),( lkv

∑ ∑−

=

−

=

=1

0

1

0

*,),(

N

k

N

llklkv AU

9


17

Pentru o transformare separabila:

TAUBV =**TVBAU =

Pentru o imagine dreptunghiulara MxN:

TUBAV NM=*NM VBAU *T=

Daca se alege B = A:

TUAAV NM=*NM VAAU *T=

TAUAV =**TVAAU =


18

Transformari unitare separabile ),(),()()(),( nlbmkanmnm lkkl == baADaca se alege B = A:

)()(),( nmnm lkkl aaA =Transformari unitare separabile

Tlkkl

lkklnmnm

***

*** )()(),(

aaA

aaA

=

=

( )*1,

*1,

*0,

*1,

*1,

*0,

..: −

−

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

= NlllT

Nk

k

k

aaa

a

aa

*l

*k aa

10


19

∑∑−

=

−

=

=1

0

1

0

* ),(),(,N

m

N

nnmgnmfGF

devine:

cu

T*A*a k coloanela matricii

Matricile Tlkkl*** aa=A

Produsul scalar a doua matrice F,G de dimensiune NxN :

atunci

∑∑−

=

−

=

=1

0

1

0

* ),(),(),(N

k

N


∑∑−

=

−

=

=1

0

1

0

*),(N

k

N

lkllkv AU

*,),( kllkv AU=∑∑−

=

−

=

=1

0

1

0),(),(),(

N

m

N

nkl nmnmulkv A 1,0 −≤≤ Nlk

TAUAV =**TVAAU =


20

( )TTTTTT A(AU)AAU)A(AUAUAV ==== ))((

Se poate face o transformare unidimensionala pe fiacare linie (sau coloana) a lui U si apoi aceeasi transformare pe fiecare coloana (sau linie) a rezultatului.

.Se obtine o reducere a numarului de operatii de la ordinul 4N la 3NE suficient sa se studieze proprietatile transformarilor unitare unidimensionale.

TTT )A(AUAUAV ==Se face o transformare unidimensionala pe fiecare linie (coloana a lui

U transpus) si apoi aceeasi transformare pe fiecare coloana a rezultatului.

Se face o transformare unidimensionala pe fiecare coloana a lui U si apoi aceeasi transformare pe fiecare linie a rezultatului.

TTTT )(A(AU)(AU)AAUAV ===

11


21

Proprietatile transformarilor unitare unidimensionale


=

=1

0

* ),(),()(N


Auv = Adica: ∑−

=

=1

0),(),()(

N


1) Transformarea unitara conserva energia semnalului

u2*T*T*T*TT2

v EuuuAuAuAu(Au)vvvE ======= *

Energia este lungimea euclidiana a semnalului in spatiul de reprezentare. Conservarea energiei e echivalenta cu conservarea lungimii vectorului, deci transformarea unitara e o rotatie a lui u in spatiul N dimensional sau echivalent o rotatie a bazei de coordonate iar v este proiectia lui u pe noua baza.

∑∑∑∑−

=

−

=

−

=

−

=

=1

0

1

0

21

0

1

0

2 ),(),(N

k

N

l

N

m

N

n

lkvnmu Teorema lui Parceval


22

2) Energia medie a semnalului se conserva printr-o transformare unitara

( ) ( )( ) ( ) ( ) u

TTTT

TTv

EuuuAAuuAuA

AuAuvvE

====

==****

**

12


23

3) Compactarea energiei semnalului

uAAuv == )(

( )( ) ( ) ( )( )T

uTTTT

TT

v

AARAuuuuAAuuuuA

uuAuuAvvvvR*****

**

))(())(( =−−=−−

=−−=−−=

Transformarea unitara aglomereaza o mare parte din energie in putini coeficienti. Cum energia totala se conserva, cei mai multi coeficienti ai transformarii vor contine putina energie. Daca vectorul u are componente puternic corelate, coeficientii transformarii tind sa fie decorelati.

Termenii din afara diagonalei matricei de covarianta tind sa fie mici fata de cei de pe diagonala.


24

3) Entropia se conserva

Transformarile unitare pastreaza informatia continuta in semnal.

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−−

−

210,1

2110

1,0020120

NN

N

uR

σσ

σσσσσσ

O

σi2=varianta componentei u(i)

σij=covariance intre u(i) si u(j).

Decorelare: Rv tinde sa fie o matrice diagonala!

13


25

1. Transformari unitare discrete

Fixe -> aceeasi coeficienti pentru transformarea oricarui semnal

transformata Fouriertransformata cosinustransformata sinus

Adaptive -> coeficientii depind de valorile semnalului

transformarea Karhunen-Loeve


26

Transformata Fourier discreta• Transformata integrala unitara• Face trecerea in spatiul de frecvente• Transf bidimensionala este separabila A=B=F

∑−

=

=1

0

)(1)(N

n

knNWnu

Nkv 10 −≤≤ Nk

unde⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−=

NjWNπ2exp

Transformarea inversa:

∑−

=

−=1

0)(1)(

N

k

knNWkv

Nnu 10 −≤≤ Nn

knNW

Nkn

Nj

NnkF 12exp1),( =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−=

π

14


27

∑−

=

=1

0

)()(N

n

knNWnukv 10 −≤≤ Nk

∑−

=

−=1

0

)(1)(N

k

knNWkv

Nnu 10 −≤≤ Nn

Transformarea directa:

Transformarea inversa:

Extinderea la cazul bidimensional:

∑∑−

=

−

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +−=

1

0

1

0

)(2exp),(),(M

m

N

n Nnl

Mkmjnmulkv π 10,10 −≤≤−≤≤ NlMk

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ += ∑∑

−

=

−

= Nnl

Mkmjlkv

MNnmu

M

k

N

l

(2exp),(1),(1

0

1

0

π

unde⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−=

NjWNπ2exp

10,10 −≤≤−≤≤ NnMm


28

knNW

Nkn

Nj

Nnk 12exp1),( =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−=

πF

FUFFUFV T ==****T VFFVFFU == ⎟⎟

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛...

*1

*1 −Nfff*

0=F

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

− )1(2exp:

12exp

02exp

1:

*1,

*1,

*0,

NkNj

kNj

kNj

Nf

ff

Nk

k

k

π

π

π

*kf *T

l*k

*kl ffF =

Fiecare imagine =suma ponderata de exponentiale complexe

*1 FFFFT

=

=−

15


29

Transf Fourier

Fiecare imagine =suma ponderata de exponentiale complexe

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += ∑∑

−

=

−

= Nnl

Mkmjlkv

MNnmu

N

k

N

l

π2exp),(1),(1

0

1

0

img =V0,0* +…….VN-1,N-1*= *0,0F *

0,F 1*

,F 11 −− NNU

∑ ∑−

=

−

=

=1

0

1

0

*,),(

N

k

N

llklkv FU


30

Primele matrice din baza de matrice corespunzatoare tr F (cos si sin)

sin

cos

16


31

Proprietatile transformatei Fourier

1)Transformata Fourier a unei (matrice) reale este complex conjugata fata de mijlocul sau

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − kNvkNv

22*

20 Nk ≤≤

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −− lNkNvlNkNv

2,

22,

2*

2,0 Nlk ≤≤

Simetrie centrala


32

∑−

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−=

1

0

2exp)(1)(N

n Nknjnu

Nkv π 10 −≤≤ Nk

{ }

)()()(2exp)(1

2exp2exp)(1

22exp)(1

)(2exp)(1)(

*1

0

1

0

1

0

1

0

**

kvkNvdecikvNnjnu

N

Nnjnjnu

N

Nnj

NNnjnu

N

NnkNjnu

NkNv

N

n

N

n

N

n

N

n

=−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

=−

∑

∑

∑

∑

−

=

−

=

−

=

−

=

π

ππ

ππ

π

uu =* Pentru u real.

{ } 12exp =nj π

17


33

2) Frecventele ridicate corespund detaliilor, obiectelor mici, contururilor

)2

()]2

([)2

( ** kNvkNNvkNv −=−−=+

),(),( * lkvlNkNv =−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − kNvkNv

22*

20 Nk ≤≤

)()(: * kvkNvaratatAm =−

Deci:


34

3) Convolutia circulara intre imaginea de prelucrat si nucleul de filtrare este echivalenta unui produs intre spectrul Fourier al imaginii si spectrul Fourier al nucleului de filtrare (Teorema convolutiei)

∑−

=

−=1

0)()()(

N

kc khknumg 10 −≤≤ Nm

{ } { } { }NNN nuDFTnhDFTngDFT )()()( =

[ ])(ulomod)()( Nlnulnu c −=−Unde u(n) shiftat cu l este:

18


35

Convolutia liniara folosind convolutie circulara:

{ }1..0),( −= Pnnh

{ }1..0),( −= Nnnu

Se extind prin completare cu zero pana la dimensiunea N+P-1

{ }1..0),(~−+= PNnnh

{ }1..0),(~ −+= PNnnu

))}(~{))}(~{()(~)( MM nuDFTnhDFTIDFTnxnx ==PNM +=


36

Transformata fourier rapidaCu decimare in timp

Decimare =divizare in secvente mai scurte a secv

a.I secv sa rezulte din combinarea transformarilor.{ }nu

{ }kv

19


37

( ))()(

*)(

2

2

2

}2

2exp{}22exp{

)1(}exp{}2

2exp{

1

nNkN

nNkN

knN

knN

knN

kNN

nNkN

kN

kN

kkN

N

kNN

www

wwww

wNkjk

Njw

kjkNN

jw

w

++

−−

==

==

===

−===

=

ππ

ππ

Proprietati utilizare:

}2exp{ kN

jwkN

π=

1}exp{

}2

2exp{

2/

2/

−==

=

π

π

jw

NN

jw

NN

NN


38

∑∑

∑∑ ∑ ∑−

=

−−−

=

−

−

=

+−+

−−

=

−

=

−

=

−

+=

+==−=

12

0 2

12

0 2

12

0

)12(12

21

0

1

0

12

02}2exp{

N

n

knNn

kN

N

n

knNnk

N

n

knNn

knN

N

n

N

n

N

nn

knNnnk

whwwgv

wuwuwuNknjuv π

{ }

{ }12

2

}{

)12

...(0,}{

+=

−==

nn

nn

uh

Nnug

)12

...(0 −=Nk

20


39

kk

Nk

N

n

knNn

kN

N

n

knNnk HwGwhwwgv −

−

=

−−−

=

− +=+= ∑∑12

0 2

12

0 2

)12

...(0 −=Nk

Secventele au perioada N/2 rezulta kk HG ,

kNkkNk HHGG == ++ 2/2/ ,

2/)2/(

2/2/ NkNk

NNkNk HwGv ++−

++ +=

kk

NkkNk

NkNk HwGHwGv −+−+ −=+= )2/(

2/


40

kk

Nkk HwGv −+=

kk

NkNk HwGv −+ −=2/

)12

...(0 −=Nk

kG

kH

kk

Nkk HwGv −+=

kk

NkNk HwGv −+ −=2/

kNw−

kNw− Factor de rotatie

21


41

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

Orientarea si frecventa


42

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

C=(A+B)/2; A B

Superpozitia

22


43

Imaginea si transf ei Fourier


44


23

Imaginea si transformata Fourier


45

50 100 150 200

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

100 200 300 400 500 600

100

200

300

400

500

600

50 100 150 200

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

Solutia


46

20 40 60 80 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

50 100 150 200

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

50 100 150 200

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

50 100 150 200

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

24


47


spectrul imaginii cu comp cont in centru

spectrul imaginii


48

• Proprietate de rotatie: rotirea imaginii cu unghiul θ are ca rezultat rotirea spectrului cu acelasi unghi.

25


49

Compresia energiei

Subimaginea 128x128 68,7% din energia imaginii

Transf Fourier inversa

Transf Fourier


50

50 100 150 200 250

0

0

0

0

0

50 100 150 200 250

50

100

150

200

25050 100 150 200 250

50

100

150

200

250

50 100 150 200 250

50

100

150

200

25050 100 150 200 250

50

100

150

200

250

Modul si faza

26


51

Filtrarea in frecventaFiltrare in frecventa=operatie liniara in domeniul frecventelor.

Filtrarea liniara se bazeaza pe convolutia [circulara] intre imaginea de prelucrat si un nucleu de filtrare.

1..0),( −= Nnnu

∑−

=

−=1

0

}2exp{)(1)(N

n Nknjnu

NkV π

1..0 −= Nk))(exp()()( kjkVkV φ=[ ] 2

122 ))((Im))(()( kVkVRkV += ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

))(Re())(Im(tan)( 1

kVkVnφ

{ } { } { }NNN nuDFTnhDFTngDFT )()()( =

∑−

=

−=1

0)()()(

N

kc khknung 10 −≤≤ Nn


52

Pasii de baza pt filtrarea in frecventa

• Calcularea transformatei Fourier a imaginii• Generarea functiei de filtrare H (in frecv)• Realizarea multiplicarii in frecventa

• Transformarea inversa ),(),(),( lkVlkHlkG = { }NnuDFTV )(=

27


53

9/19/19/19/19/19/19/19/19/1

Nucleu de netezire

Spectrul cu componenta continua in centru


54

0125.00125.05.0125.00125.00

Nucleu de netezire


28


55

111181111

−−−−−−−−

Laplacian



56

Mediere aritm pe nucleu 7x7

29


57

50 100 150 200 250

50

100

150

200

25050 100 150 200 250

50

100

150

200

250

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250


58

Filtrare cu Laplacian

30


59

Alte transformari

• Transformata cosinus

• Transformata sinus


60

Transformata cosinus

• Matricea transformatei cosinus NxN C={c(k,n)}, numita si “tranformata cosinus discreta” (DCT) e definita astfel

• C(k,n)=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+N

knN

N

2)12(cos2

,1

π

0=k

1..1 −= Nk

1..0 −= Nn

31


61

• Transformata DCT unidimensionala a unei secvente se obtine ca:

∑−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=1

0 2)12(cos)()()(

N

n Nknnukkv πα

⎩⎨⎧

−==

=1..12

011)(Nk

kN

kα

1..0 −= Nk

∑−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=1

0 2)12(cos)()()(

N

k Nknnvknu πα 1..0 −= Nn


62

Proprietatile transf cos

Este reala si ortogonala

Nu este partea reala a DFT-ului unitar

TCCCC =⇒= −1*

32


63

Se poate obtine prin transt Fourier dintr-o secventa rearanjata sau dintr-o secventa dublata si simetrizata

⎩⎨⎧

≤≤−=−−

nnNNnuNnnNu

u2)(

..0)1(~2

)12

..(0),12()1(~

)2(~

1

1

−=+=−−

=NnnunNu

nuu

)]~()2

exp()([Re)( 1uu FourierNkjkalCOS πα −=

1...0),2

exp()~()( 2 −=−= NkNkFourierCOS πuu

)1(),....,3(),1()2(),...,4(),2(),0(:~1 uNuNuNuuuuu −−−

)1()2(),...,1(),0()1(),....,2(),1(:~2 −−−− NuNuuuuNuNuu


64

Este o transformare rapida-folosind transformata Fourier.Compacteaza foarte bine energia pt date foarte corelate(decoreleaza); vectorii bazei cosinus sunt vectori proprii pentru orice matrice simetrica tridiagonala de forma .

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−−−

=

ρρ

ρρρρρ

100

01001

Q kkk cQc λ=

kc Vectorii bazei cosinus

Q

33

50 100 150 200 250

50

100

150

200

25050 100 150 200 250

50

100

150

200

250


66

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

200 400 600 800 1000 1200 1400

200

400

600

800

1000

1200

1400

34


67

Transformata sinus• Matricea transformatei sinus NxN S={S(k,n)}, numita si

“tranformata sinus discreta” (DST) e definita astfel

• S(k,n)=1

)1)(1(sin1

2+

+++ N

nkN

π 1..0, −= Nnk


68

• Perechea de transformate sinus pt o secventa unidimensionala este definita ca:

• V(k)=

• U(n)=

1)1)(1(sin)(

12 1

0 +++

+ ∑−

= Nnknu

N

N

n

π

1)1)(1(sin)(

12 1

0 +++

+ ∑−

= Nnknv

N

N

k

π

10 −≤≤ Nk

10 −≤≤ Nn

35


69

Proprietatile transf sinNu este partea imaginara a DFT-ului unitar

Se poate obtine prin transt Fourier dintr-o extensie antisimetrica a secventei initiale


70

)()2(~..1),()(~

0)1(~)0(~

nunNuNnnNunu

Nuu

=++=−−=

=+=

0,-u(N-1),-u (N-2)….-u (1),-u (0),0, u(0), u(1),…. u(N-1)

)]~()1(Im[)( uu FourierjSIN k−−=

36


71

Este o transformare rapida-folosind transformata Fourier.

Vectorii bazei sinus sunt vect proprii pentru orice matrice simetrica tridiagonala.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

=

100

01001

ρ

ρρρ

Qkkk sQs λ=

ks este col k a matricii transformarii sinus.

Transformarea Karhunen – Loeve pentru imagini


72

{ }( ) { }( ){ }Tx XEXXEXEK −−=

• Matricea de transformare e compusa din vectorii proprii ai matricei de covarianta Kx.

• Transformarea KL este optima pentrucompresia energiei!

Curs9 TransformariUnitare 2014.pptimag.pub.ro/ro/cursuri/archive/transformari.pdf · 2015-02-01 ·...

Documents

Transcript of Curs9 TransformariUnitare 2014.pptimag.pub.ro/ro/cursuri/archive/transformari.pdf · 2015-02-01 ·...