Curs3_Micu
52
Curs 3. METODE NUMERICE DE SOLU METODE NUMERICE DE SOLU Ţ Ţ IONARE A IONARE A SISTEMELOR DE ECUA SISTEMELOR DE ECUA Ţ Ţ II SPECIFICE II SPECIFICE INGINERIEI ELECTRICE INGINERIEI ELECTRICE METODE NUMERICE
description
curs mn 3
Transcript of Curs3_Micu
-
Curs 3. METODE NUMERICE DE SOLUMETODE NUMERICE DE SOLUIONARE A IONARE A
SISTEMELOR DE ECUASISTEMELOR DE ECUAII SPECIFICE II SPECIFICE
INGINERIEI ELECTRICEINGINERIEI ELECTRICE
METODE NUMERICE
-
Probleme din domeniul ingineriei electrice conduc la modele matematice care implic n fapt rezolvarea unor sisteme de ecuaii liniare de dimensiuni mari
-rezolvarea unui circuit electric, scrierea teoremelor lui Kirchhoff, a metodei curenilor ciclici, poteniale noduri etc.
-modelarea numeric a funcionrii mainilor electrice, hidraulice sau termice;-analiza i optimizarea regimurilor de funcionare a sistemelor electroenergetice-modelarea numeric a funcionrii aparatelor i echipamentelor electrice.
Dac modelul este neliniar, poate fi liniarizat n prim aproximaie, o singur dat sau la fiecare pas al unui proces iterativ de soluionare.
=+++
=+++=+++
nnnnnn
nn
nn
bxa...xaxa.............................................
bxa...xaxabxa...xaxa
2211
22222121
11212111
=
nnnnn
n
n
n
a...aaa...............
a...aaaa...aaaa...aaa
A
321
3333231
2232221
1131211
=
nb...bb
b 21
=
nx...xx
x 21
bxA =
SOLUIONAREA NUMERICA A SISTEMELOR DE ECUAII LINIARE
NNotaotaiiaa matriceal matriceal conduce la o formulare simpl i concis a unor aplicaii deosebit de complexe, mai ales n situaiile n care modelul matematic conine sisteme de ecuaii liniare de dimensiuni mari.
-
Sisteme bine condiionate Sisteme ru condiionate Sisteme omogene Sisteme neomogene
n unele cazuri, sistemele de ecuaii algebrice liniare apar n mod natural, din nsi formularea problemei. n multe alte cazuri, ns, sistemele de ecuaii liniare rezult ca urmare a aplicrii unor metode numerice derezolvare a problemei iniiale.
Se poate spune c rezolvarea sistemelor de ecuaii liniare joac un rol central n cadrul metodelor numerice.Exist 2 categorii de metode de rezolvare a sistemelor de ecuaii liniare
de forma Ax = b:- metode directe sau exacte;- metode indirecte sau iterative.
n aplicaiile din ingineria electric- valorile coeficienilor i termenilor liberi pot fi afectate de erori (determinri experimentale, calcule "aproximative, ipoteze simplificatoare, etc)-msura n care ele influeneaz soluiile sistemelor de ecuaii liniare-conditionare
-
Metodele directe - soluia sistemului rezult printr-o serie de operaii care se
execut o singur dat, numrul total de operaii aritmetice elementare fiind finit, depinznd n mod direct de dimensiunea sistemului, fiind cunoscut de la nceput.
- rezultatul furnizat de metodele directe este afectat doar de erorile de rotunjire i acest avantaj face ca ele s fie preferate ori de cte ori dimensiunea i particularitile sistemului pstreaz numrul de operaii n limite acceptabile.
Exemple de metode directe se pot aminti:metoda lui Cramer bazat pe calculul determinanilor;metoda inversrii matricialemetoda de eliminare a lui Gauss;metoda factorizrii directe LU (Lower-Upper).
Metoda lui Cramer dei n esen foarte simpl, nu corespunde cerinelor practice cnd numrul de ecuaii este mai mare ca 3 i cnd determinantul corespunztor matricii sistemului este zero ea fiind n general neimplementabil.
-
Metode iterative- soluia se obine printr-o serie (proces) de aproximaii
succesive, fiecare secven de operaii aritmetice elementare (mai mic dect la metodele directe) este parcurs de mai multe ori, obtinndu-se aproximaii din ce n ce mai bune ale soluiei pn la atingerea unei precizii fixate dinainte (precizie dorit). Aceste metode permit obinerea soluiei numerice a unui sistem de ecuaii prin generarea unui ir care tinde la soluia exact.
- practic se poate efectua numai un numr finit de iteraii, erorile de rotunjire sunt nsoite n cazul metodelor iterative i de erori de trunchiere. Avantaj al metodelor iterative: simplitatea i eficiena implementriilor n programe, n cazurile n care nu sunt rezolvabile prin metode directe. Exemple de metode directe:metoda lui Jacobi;metoda Gauss-Seidel;metoda relaxrii.
-
1.1. Metoda inversrii matriceale
Se consider sistemul liniar de n ecuaii cu n necunoscute definit de relaia matricial Ax=b.
Dac matricea A este nesingular, atunci aceast relaie se poate nmuli la stnga cu matricea invers A-1 rezultnd:
x = A-1 b
relaie care evideniaz clar cele dou faze ale acestei metode: inversare a matricei A i efectuarea produsului matriceal A-1 b.
Metoda inversrii matriceale necesit un timp de calcul relativ ridicat datorit numrului mare de operaii elementare, aplicarea ei fiind justificat numai n situaiile n care este necesar soluionarea repetat a sistemului de forma Ax=b, pentru diferite valori ale termenilor liberi pentru c inversarea matricii A se face o singura dat, la prima rezolvare, la soluionrile urmtoare fiind necesar numai efectuarea nmulirii matriceale A-1 b.
1. METODE DIRECTE DE SOLUIONARE
-
1.2. Metoda lui Gauss ( eliminarea Gauss - triangularizare )
ntr-un caz practic se poate ajunge la sisteme de forma: A x = b dup aplicarea unor metode specifice de rezolvare asupra unor circuite electrice de curent continuu, ajungndu-se la sistemul scris matricial:
ERIEIR == 1R - matricea ptratic a rezistenelor din circuit E - vectorul coloan a tensiunilor electromotoare ale surselor din circuitI - vectorul coloan a curenilor necunoscui
=++++
=++++=++++
=++++
nnnnnnn
nn
nn
nn
bxa...xaxaxa.........................................................
bxa...xaxaxabxa...xaxaxa
bxa...xaxaxa
332211
33333232131
22323222121
11313212111
,
...............
...
...
21
22221
11211
=
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
A
=
nb
bb
b...
2
1
=
nx
xx
x...
2
1
-
Ideea de baz a metodei const n aducerea sistemului de ecuaii prin transformri elementare la o form echivalent, avnd matrice superiorsau inferior triunghiular, urmat de rezolvarea sistemului rezultat prin procedee recurente specifice, foarte eficiente.
Transformarea sistemului iniial ntr-un sistem de form triunghiular serealizeaz cu ajutorul a trei operaii elementare sau de baz:1. Interschimabrea a dou ecuaii ntre ele;2. nmulirea unei ecuaii cu o constant nenul;3. Scderea unei ecuaii din alta i nlocuirea celei de-a doua ecuaie cu
rezultatul scderii.
Transformarea sistemului este echivalent cu eliminarea succesiv a necunoscutelor din ecuaii i se numete faza eliminrii.Rezolvarea sistemului cu matrice triunghiular const n determinarea necunoscutelor i substituia lor n ecuaiile sistemului n ordine invers, fiind denumit din acest motiv faza substituiei inverse.
-
Etapa eliminrii
=++++
=++++=++++
nnnnnnn
nn
)(n
)(n
)()(
bxa....xaxaxa........................................................
bxa...xaxaxabxa...xaxax
332211
22323222121
11
113
1132
1121
=++++
=++++=++++
=++++
nnnnnnn
nn
nn
nn
bxa...xaxaxa.........................................................
bxa...xaxaxabxa...xaxaxa
bxa...xaxaxa
332211
33333232131
22323222121
11313212111
Se elimin x1 din toate ecuaiile cu excepia primeia adic de exemplu la ecuaia i:
( ) ( ) ( ) 11111111311131321112122211
a/babxa/aaa...xa/aaaxa/aaa
bxa...xaxa
iinniiniiii
ininii
=+++
=+++
=+++
=+++=++++
)(nn
)(nn
)(n
)(n
)(n
)(n
)()(
)(n
)(n
)()(
bxa...xaxa
.......................................................bxa...xaxa
bxa...xaxax
113
132
12
12
123
1232
122
11
113
1132
1121
====
=
==
)(ii
)(i
)(jiij
)(ij
)(
j)(j
babb
n,...,,i;n,...,,j,aaaa
ab
b
n,...,,j,aa
a
111
1
111
111
111
11
111
3221
21Obinem astfel sistemul:
-
Matriceal, primul pas al metodei eliminrii lui Gauss conduce la
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )
=
1
12
11
2
1
112
12
122
11
112
0
01
nnnnn
n
n
b...
bb
x...xx
a...a............
a...aa...a
Matriceal, la un pas oarecare k se obtine sistemul:( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( )
( )
( )
=
+ kn
kk
n
k
knn
knk
kkn
nk
nk
b...
b...
bb
x...x...xx
a
...
a
.........a..................
a...a...a...a...a
22
11
2
1
1
22
22
11
11
112
00
100
101
( ) ( )( )1
1
= k
kk
kkjk
kj a
aa ( ) ( ) ( ) ( )kkjkikkijkij aaaa = 11
( ) ( ) ( ) ( )kk
kik
ki
ki babb = 11
;n,...,k,ki 21 ++=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
=++
=+++
=++++++=+++++++
++
++
++++
knn
knnk
kk,n
kkn
kknk
kk,kk
nnkk,kk
nnkk,kk
bxa...xa.......................................................................................................bxa...xax......................................................................................................bxa...xaxa...xaxbxa...xaxa...xaxax
11
11
22
221
212
223
2232
11
111
111
113
1132
1121
-
Faza eliminrii se ncheie, mprind cea de a n-a ecuaie la elementul pivot ( )1nnna
care, pentru un sistem cu matrice nesingular, trebuie s fie diferit de zero. Rezult dup acest pas sistemul: ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )
=
nn
kk
n
kk
kn
nk
nk
b...
b...
bb
x...x...xx
......
.........a..................
a...a...a...a...a
22
11
2
1
22
22
11
11
112
1000
100
101
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
=
=++++++=+++++++
++
++
nnn
nnkk,kk
nnkk,kk
bx
.......................................................................................................bxa...xaxa...xax
bxa...xaxa...xaxax2
22
212
122
232
232
11
111
111
113
1132
1121
Din cele obinute, observm matricea A(n) este superior triunghiular, iar sistemul este echivalent cu cel iniial Ax=b, adic are soluia (x1, x2, x3,..., xn).
sau matriceal, A(n)x=b(n).
-
Faza substituiei inverse (mersul napoi) presupune parcurgerea n sens invers a ecuaiilor sistemului cu matrice triunghiular, rezultat n faza eliminrii, i stabilirea soluiei sistemului potrivit unui calcul recursiv prin substituie regresiv ncepnd cu xn din ultima ecuaie continund cu xn-1 i terminnd cu x1din prima ecuaie:
( ) ( )
( )
+==
=
=
+=
31
1321
121
11
32
232
22
1
xaxabx
xabx
....................................
xabx
...................................bx
)()()(
)()(
n
kjj
kkj
kkk
)n(nn
Dup cum se observ, determinarea componentelor soluiei are loc de la indici mari spre indici mici, fiecare nou component depinznd n mod explicit numai de componentele determinate la pasul anterior.Observaie. Metoda de eliminare Gauss permite i calcularea determinantului matricii sistemului. Se observ c, matricea A(n) a sistemului final fiind triunghiular, are determinantul egal cu produsul elementelor diagonale, adic: det (A(n)) = 1
( ) ( ) ( ) 11233
12211
== nnn)()()n(
a...aaaAdetAdet ( )123312211 = nnn)()( a...aaaAdet
-
Exemplu numeric. Rezolvare circuite electriceAvnd circuitul de curent continuu din figura de mai jos cu datele numerice:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ].VE,VE,R,R,R,R 908010151020 314321 ======s se determine curenii din circuit utiliznd teoremele lui Kirchhoff.
( )( )( )( )
=+=+
=+=+
IIbuclaIIIbuclaII
BnodIIIAnodIII
801020902510
00
21
32
321
321
332211 xI;xI;xI ===
=+=+
=+=+
801020902510
00
21
32
321
321
xxxx
xxxxxx
-
Sistemul se va rezolva n continuare cu metoda eliminrii versiunea Gauss.
Metoda presupune transformarea sistemului iniial Ax = b ntr-un sistemechivalent (soluiile vor fi similare cu soluiile sistemului iniial) de forma A*x =b* a crui rezolvare este foarte simpl, simplitatea fiind asigurat dematricea superior triunghiular.
a. Triangularizarea matricei Ab. Soluionarea sistemului echivalent
Pentru cazul particular de rezolvare a circuitului de curent continuu, din exemplu, matricea A augment (i se adaug matricii sistemului A o coloan care corespunde cu vectorul b) se scrie:
Deci rezolvarea va avea dou etape:
=+=+
=+=+
801020902510
00
21
32
321
321
xxxx
xxxxxx
=
8001020902510001110111
A~
-
}
=+=+
=+
=+
801020902510
0120
110
21
32
321
321
xxxx
xxx
;xxxpivot
=
8001020902510001110111
A~
==+
==+
802030902510
000
32
32
321
xxxx
xxx
( )
=
8020300902510000000111
1A~
==
=+
=+
00802030
1030902510
0
32
32
321
xx
xx
xxxpivot876
==+=+
190959025100
3
32
321
xxxxxx
( )
=
190950090251000111
2A~
Matricea A s-a transformat n matricea triangularizat A*=A(2)
-
1.3. Metoda factorizrii LR (eliminarea Gauss reorganizat)Prin factorizarea unei matrice ptrate A de ordinul n se nelege exprimarea sa sub forma unui produs de alte dou matrice (forme speciale, particulare) de acelai ordin.
n procesul de eliminare Gauss exist un dezavantaj: acela c reducerea matricei A la forma triunghiular nu poate fi salvat. Astfel, n situaia n care este necesar rezolvarea mai multor sisteme cu aceeai matrice de coeficieni, dar cu vectorii termenilor liberi, consecutiv dependeni, efortul de calcul trebuie repetat.
=
==
0Adet.........
0aaaa
0a
n
2221
12112
111Factorizarea LR are la baz urmtoarea teorem din algebra matriceal: o matrice ptrat A , de ordinul n , poate fi exprimat sub forma unui produs de dou matrice, L , inferior triunghiular, i R , superior triunghiular, dac sunt satisfcute condiiile:
-
=
nnnnn
n
n
n
a...aaa...............
a...aaaa...aaaa...aaa
A
321
3333231
2232221
1131211
== RL
nn3n2n1n
333231
2221
11
l...lll...........0...lll0...0ll0...00l
nn
n333
n22322
n1131211
r..000..........
r..r00r..rr0r..rrr
Factorizarea LR a matricei A presupune exprimarea ei sub forma matriceal:
Aceasta permite rezolvarea sistemului iniial de ecuaii prin tratarea consecutiv a dou sisteme triunghiulare:
byLyxRbxA === ;1-direct2-invers
Construcia factorizrii LR se realizeaz ntr-un mod simplu. Se consider matricea:
=
0...00...0...0...00...00...00
1
31
21
1
nm
mm
IE 1111 / aam ii =
-
=
0`...
0... ,11211
1 A
aaa
AE
n
Dac n continuare definim matricea E2:
=
0...000...0......0...000...000...0000...000
2
42
322
nm
mm
IE
=
00''......
00'...''0
...
11312
1131211
12
A
aaaaaaa
AEEn
n
Dac folosim notaii ajuttoare
Unde A este o matrice de ordinul (n-1)x(n-1). Se observ c aceast multiplicare realizeaz acelai lucru ca i eliminarea Gauss, adic anuleaz elementele de sub diagonala principal.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) AEEAEAAEAAA ==== 121220110 ,,
kk UIE = ( )( ) ( )
>==
.0/
cazuricelelalteinijsiikpentruaau
kii
kjik
ij
-
n acest stadiu se poate observa c elementele nenule ale matricelor de tipul R sunt exact multiplicatorii din eliminarea Gauss
AEEEER nn = 1221 ...R- matrice superior triunghiular, este chiar matricea rezultat prin eliminarea Gauss iar matricele de tipul Ek sunt inferior triunghiulare.
( ) RLREEEEA nn == 11221 ...( ) 11121111221 ...... == nnn EEEEEEEL
kk UIE +=1 1111 ++= kkkk UUIEE
121 ... ++++= nUUUILCunoscnd matricele descompunerii LR, rezolvarea sistemului iniial se va executa dup modalitatea indicat anterior.
-
2. METODE ITERATIVE DE SOLUIONARE
n aplicaiile practice n care de obicei matricea coeficienilor sistemului A este de dimensiuni mari i numrul elementelor diferite de zero ale acestei matrici este foarte mic atunci metoda eliminrii a lui Gauss nu este cea mai indicat metod de rezolvare a sistemului.
n aceste cazuri tehnicile de eliminare vor fi ncetinite mult datorit spaiului mare de memorie necesar pentru a putea lucra cu aceste matrici de mari dimensiuni dar i faptul c elementele zero din matricea iniial ar fi transformate n elemente diferite de zero dup triangularizare.
Deci aceste sisteme mari se vor rezolva cu metode iterative.O clas important de metode iterative este clasa metodelor de separare prin care matricea sistemului A este separat n dou pri (2 matrici particulare separate).
-
2.1. Metoda aproximrilor succesive - Jacobi
=++++
=++++=++++
=++++
nnnnnnn
nn
nn
nn
bxa...xaxaxa.........................................................
bxa...xaxaxabxa...xaxaxa
bxa...xaxaxa
332211
33333232131
22323222121
11313212111
,
...............
...
...
21
22221
11211
=
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
A
bxA =
=
nb
bb
b...
2
1
=
nx
xx
x...
2
1
( ) 0Adet0ija
++++=
++++=++++=
nnnnnnn
nn
nn
x...xxx.......................................................
x...xxxx...xxx
2211
222221212
112121111
+= xx
=
=
nn
n
nn
n
nn
n
n
n
ab...
abab
...aa
aa
............aa
...aa
aa
...aa
22
2
11
1
21
22
2
22
21
11
1
11
12
0
0
0
-
( ) ( ) ( )[ ]Tn)( x...xxx 002010 =
=)(x 0care se obine prin msurtori experimentale sau se alege de obicei n aplicaiile practice ca fiind egal cu vectorul termenilor liberi
.
,..., )2()1( xx
+=+ )k()k( xx 1Metoda lui Jacobi presupune calculul unui ir de aproximaii succesive
cu ajutorul formulei de iterare ntr-un pas care se demonstreaz prin inducie:
+= )()( xx 01
Se alege vectorul aproximaiilor iniiale ale soluiilor
( ) ( ) ( )( ) xx,...,x,xlimxlim knkkk)k(k == 21
Vectorul soluie dup prima iteraie este:
Dac irul vectorilor soluii la iteraia k, x(k) care este un ir de soluii aproximative,converge, atunci limita lui este soluie a sistemului Ax = b:
-
Convergena metodei:
+= xx +=+ )k()k( xx 1
( ) =0x1
-
Prin inducie se ajunge la forma vectorului soluie la iteraia k:
( ) ( ) ( )[ ] +=+++++= 10210 EExE...xx k)(kgeometricaprogresie
kk)(k)k(4444 34444 21
1
-
=+=+=+
2040800409150309080802404
321
321
321
xx.x.x.xx.x.x.x
bxA =
=+
=+
=+
41204080040
3191503090
4180802404
321
321
321
xx.x.
x.xx.
x.x.x
=4080040
15030900802404
......
A
=
3
2
1
xxx
x
=
2098
b
+= xx
Exemplu numeric:
( )( )( )
++=++=++=
213
312
321
020010505003030200602
x.x.xx.x.xx.x.x
;..
..
..
=
002001005000300200600
=
3
2
1
xxx
x
=
532
{ { 44444 344444 21xx
xxx
......
xxx
+
=
3
2
1
3
2
1
002001005000300200600
532
-
{ { 44444 344444 21xx
xxx
......
xxx
+
=
3
2
1
3
2
1
002001005000300200600
532
Aproximaia iniial: ( )( )( )( )
=
=
532
03
02
01
0
xxx
x
( ) ( )( )( )( )
( )( )( )
+
=
+=
03
02
01
13
12
11
01
002001005000300200600
532
xxx
......
xxx
xx
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=++=++==++=++==++=++=
0453020201050200105
1935050203030500303
9215020306020200602
02
01
13
03
01
12
03
02
11
...x.x.x
...x.x.x
...x.x.x
( )
La prima iteraie :
( )( )( )
=
=
045193921
13
12
11
1
.
.
.
xxx
xSoluia la prima iteraie :
+= xx
-
( ) ( )( )( )( )
( )( )( )
+
=
+=
13
12
11
23
22
21
12
002001005000300200600
532
xxx
......
xxx
xx
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=++=++==++=++==++=++=
0446519302092101050200105
1944304505092103030500303
9202104502019306020200602
12
11
23
13
11
22
13
12
21
.....x.x.x
.....x.x.x
.....x.x.x
Soluia la iteraia a doua se obine din soluia de la prima iteraie:
Metoda converge i soluiile se stabilizeaz dupa a doua iteraie i se pot scrie ca fiind:
=
044651944392021
.
.
.x
-
Se rezolv sistemul n programul MathCadpentru a vedea toate soluiile i pentru a stabili
pentru ca eroarea s fie ntr-o limit impus apriori.
Introducem matricile care compun sistemul: x x +
cte iteraii sunt necesare
0
0.030.01
0.060
0.02
0.02
0.05
0
:=
2
3
5
:=
k 0 10..:= \\ numarul de iteratii
x 0 2
3
5
:= \\ aproximatia initiala
x k 1+ x k +:= \\ procesul iterativ
Aproximatiile succesive pe care le face metoda sunt:
-
( ) =
+
1
1kkxxer
Evaluarea erorii n metoda aproximaiilor succesive n funcie de normele lui , este:
tiind c procesul iterativ converge, cte iteraii trebuie fcute pentru ca eroarea s fie mai mic dect 10-4.
Deci numrul de iteraii care trebuie fcute pentru a se atinge precizia impus este k=4 iar soluiala ultima iteraie este soluia sistemului:
Observaie: Metoda se poate aplica i pentru sisteme neliniare.
-
Se vor aplica metodele matriciale de rezolvare a circuitelor electrice (metoda matriciala Kirchhoff, metoda matriciala a curentilor ciclici, metoda matriciala a potentialelor nodurilor) generand, printr-o metoda originala implementata in MathCAD, matricea A de incidenta a latorilor la suprafetele () si matricea B de apartenenta a laturilor la contururile (). Sistemul liniar de ecuatii obtinut se va rezolva cu diverse metode numerice (Gauss, Aproximatii succesive, Jacobi) implementate printr-un algoritm propriu in programul MathCAD.
E1 48 V:= E2 76 V:= E3 35 V:= E4 6 V:= E5 8 V:=R1 2:= R2 5 := R3 3 :=R4 3 := R5 5 := R6 4 :=
A
1
10
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
:=
B
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
11
11
0
1
0
1
:=
3. ALGORITMI NUMERICI IMPLEMENTAI N MATHCAD
-
R2
0
0
0
0
0
0
5
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
4
:= E
48
76
35
6
18
0
:= Volt
M
1
10
2
0
0
1
0
1
0
5
0
0
1
1
0
0
3
0
0
1
0
33
1
0
0
22
0
0
1
0
4
0
4
=
[A]*[I]= [0]
[B]*[R]*[I]= [B]*[E]
Pentru a forma un sistem de ecuatii, sub forma matriceala, se unesc intr-o singura matrice, matricele [A] si [B]*[Rse utilizeaza functia Mathcad stack:
M stack A B R,( ):=
Generarea unui vector cu elemente nule, care va fi adaugat inaintea vectorului tensiunilor, pentru a forma vectortermenilor liberi in sistemul de ecuatii matriceale scris anterior:
O
Oi 0i 0 rows A( ) 1..for
O
:=O
0
0
0
=
-
Formarea cu functia stack a vectorului termenilor liberi: T stack O B E,( ):= T
0
0
0
30
52
29
= Volt
M I T
M -- matricea coeficientilor, formata din matricea [A] si matricea produs [B]*[R];
T - vectorul tensiunilor, adaugat cu vectorul nul;
I M 1 T:=
M 1
0.246
0.133
0.058
0.1920.621
0.188
0.3750
0.25
0.250.375
0.375
0.088
0.2
0.275
0.525
0.2880.188
0.19
0.0670.096
0.0290.123
0.094
0.0670.133
0.0670.0670.067
0
0.096
0.0670.158
0.0920.0290.063
= mho
Scrierea sistemului matriceal format din ambele ecuatii matriceale corespunzatoare teoremelor lui Kirchhof
Rezolvarea sistemului cu necunoscute curenti electrici, prin inversare matriceala:
I
5
3
4
78
1
= Amper
-
E4 2 V:= E8 6 V:= R1 8:= R2 2 := R3 12 := R4 4 :=R5 8 := R6 8 := R7 4 := R8 8 :=
S1 5 6 8( ):= S2 1 2 5( ):= S3 1 3 4( ):= S4 4 7 8( ):=
N 4:= --> numarul de noduri de calcul;
Matricea de incidenta a laturilor la noduri (A ) Generarea unui vector de elemente nule:
vector linii( ) A 0
A stack A 0,( )i 0 linii 2..for
A
:=vector 8( )
0
0
0
0
0
0
0
0
=
3.2. S se rezolve circuitul cu metoda potenialelor la noduri matricial.
-
Calculul numarului de laturi din circuit:
nrlaturi maxim 0X 0
X augment X Si,( )i 0 rows S( ) 1..for
maxim max X( )maxim
:=nrlaturi 8=
Generarea unei matrice de elemente nule:
matrice liniicoloane,( ) A vector linii( )
A augmentA vector linii( ),( )i 0 coloane 2..for coloane 1>if
A
:=
matrice N 8,( )
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=
Compara un numar cu elementele unui vector orizontal:
apartine nr vectororizontal,( ) a 0a 1 nr vectororizontal0 i,if
i 0 cols vectororizontal( ) 1..for
a
:=
Incarca cu elemente zero matricea de incidenta a laturilor la nodu
matrice rows S( ) 1 nrlaturi,( )0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=
-
Se compara fiecare element (latura) din fiecare numar structural cu toate laturile; in functie de incidenta lnoduri a laturilor se inlocuiesc in matricea initializata ca nula, valorile + 1 sau - 1 :
Constr S( ) A matrice rows S( ) 1 nr laturi 1+,( )
Ai j, 1 apartine j Si 1+,( ) 1ifAi j, 1 apartine j Si 1+,( ) 1ifj 0 cols A( ) 1..for
i 0 rows A( ) 1..for
A
:=
Aq Constr S( ):= Aq
0
0
0
0
0
1
10
0
10
0
0
0
1
0
0
0
11
1
10
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
=
Elimina prima coloana din matricea de incidenta, aceasta fiind necesara doar in calculele intermediare:
A T Aq 1
T augment T Aq j ,( )j 2 cols Aq( ) 1..for
T
:=
Afisarea rezultatului final, adica matricea de incidenta a laturilor la noduri pentru circuitul considera
A
0
1
10
0
10
0
0
0
1
0
0
0
11
1
10
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
=
-
Rezolvarea matriceala prin metoda potentialelor nodurilor Transpusa matricea A de incidenta a laturilor la noduri:
AT
0
0
0
0
1
1
0
1
1
10
0
10
0
0
10
1
10
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
=
Matricea conductantelor din circuitul de curent continuu considerat:
G
1R1
0
0
0
0
0
0
0
0
1R2
0
0
0
0
0
0
0
0
1R3
0
0
0
0
0
0
0
0
1R4
0
0
0
0
0
0
0
0
1R5
0
0
0
0
0
0
0
0
1R6
0
0
0
0
0
0
0
0
1R7
0
0
0
0
0
0
0
0
1R8
:= Siemens G
0.125
0
0
0
0
0
0
0
0
0.5
0
0
0
0
0
0
0
0
0.083
0
0
0
0
0
0
0
0
0.25
0
0
0
0
0
0
0
0
0.125
0
0
0
0
0
0
0
0
0.125
0
0
0
0
0
0
0
0
0.25
0
0
0
0
0
0
0
0
0.125
S=
E
0
0
0
E4
0
0
0
E8
:= E
0
0
0
2
0
0
0
6
V=
-
Ecuatiile potentialelor la noduri scrisa matriceal: A G AT V A G E Se fac notatiile: B A G E:= A A G AT:=Pentru rezolvarea sistemului liniar de ecuatii se va utiliza metoda numerica Gauss (de triangularizare) a matricei coeficientilor. Metoda este parcursa pas cu pas, fiind detaliate toate aspectele care conduc la obtinerea solutiei. In matricea coeficientilor se anuleaza toate elementele de sub diagonala principala:
ORIGIN 1:= \\ ridicarea ordinului de pornire a indicilor de la 0 la 1;
n cols A( ):= n 4=
n last A 1 ( )w AR A
wi j, Ai j,Ak 1 j,
Ak 1 k 1,
Ai k 1,j k 1 n..for
i k n..fork 2 n..for
w
:= \\ declararea numarului de elemente de pe prima coloana a matricei A;\\ incarcarea matricei interne w cu matricea A;\\ inceperea instructiunii for pentru k;\\ inceperea instructiunii for pentru i;\\ inceperea instructiunii de iterare for pt j;\\ recalcularea elementelor w, dupa elementele matricei A; (formula iterata realizeaza triunghiularizarea);\\ programul returneaza matricea w recalculata;
-
\\ afisarea numerica a matricei triunghiularizate;
0.375
0
0
0
0.1250.708
0
0
0
0.1250.436
0
0.1250.0420.257
0.429
S=
j n 1..:=Xn
Bnn n,
:= Xn 0.5827V= \\ ultima variabila a sistemului dedusa din forma triunghiularizata;i n 1..:=
Xi
Bij
if j i> i j, Xj, 0,( ) i i,
:= X
1.706730.29717
1.48977
0.58265
V=
Observatie: solutionarea prin acest algoritm incepe in sistemul triunghiularizat de jos in sus, adica de la ultima variabila la prima, prin procedee iterative.
I
Pot 3 Pot 2R1
Pot 3R2
Pot 2R3
Pot 4 Pot 3 E4+R4
Pot 2 Pot 1R5
Pot 1R6
Pot 4R7
Pot 1 Pot 4 E8+R8
:= I
0.149
0.745
0.025
0.273
0.25
0.2130.146
0.464
amp=
-
E1 40 V:= E2 20 V:=R1 2:= R2 2 := R3 1 :=R4 8 := R5 4 := R6 6 :=
B T Bq 1
T augment T Bq j ,( )j 2 cols Bq( ) 1..for
T
:=
B
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
=
3.3. S se rezolve matricial utiliznd metoda curenilor ciclici
-
Rezolvarea matriceala prin metoda curentilor ciclici
BT
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
11
1
=
R
R1
0
0
0
0
0
0
R2
0
0
0
0
0
0
R3
0
0
0
0
0
0
R4
0
0
0
0
0
0
R5
0
0
0
0
0
0
R6
:= Ohm R
2
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
8
0
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
0
6
= E
E1
E2
0
0
0
0
:= E
40
20
0
0
0
0
V=
Ecuatia matriceala a curentilor ciclici: B R BT Iciclici B E
M B R BT:= T B E:=
M
11
1
8
1
7
4
84
18
= T
40
20
0
V=
Se noteaz:
-
Sistemul de ecuatii obtinut se va rezolva cu metoda aproximatiilor succesive. In acest sens, mai jos este construit un algoritm care aplica etapele de deducere a solutiei.
mas M T,( ) N 50m last M 0 ( )
Ci i, 0
Ci j,Mi j,Mi i,
j iif
j 0 m..for
C
i 0 m..for
DiTi
Mi i,
D
i 0 m..for
x 0 D
x k 1+ C x k D+x
k 0 N..for
x N
:= \\ numarul de aproximari propuse;\\ indicele ultimului element depe o coloana a matricei A;\\ formarea, cu ajutorul instructiunii for, a unei matrici cu diagonala principala nula si celelalte elemente calculateca raport intre elementele matricei A;
\\ matricea C incarcata;
\\ formarea unui vector cu elemente calculate ca raport intre elementele lui B si a lui A
\\ vectorul D incarcat;
\\ initializarea primei aproximatii cu valoarea vectorului D;\\ formula de recurenta a sistemului matriceal;\\ programul returneaza rezultatul numeric al ultimei iteratii;
-
Iciclici mas M T,( ):= Iciclici5
1
2
A=
Valorile curentilor reali din circuit:
I BT Iciclici:= I
5
1
6
3
3
2
A=
Se verifica bilantul puterilor:
Pg ET I:= Pg 220( ) W= \\ puterea generata;
PR IT R I:= PR 220( ) W= \\ puterea absorbita
Iciclici lsolve M T,( ):= Iciclici5
1
2
A=
Funcie predefinit n MathCad:
-
E1 3 V:= E2 12 V:= E5 10 V:= E6 4 V:=R2 3 := R3 6 := R4 4 := R5 4 :=r1 0.2 := r6 0.18 := \\ rezistentele interne ale surselor 1 si 6
R
r1
0
0
0
0
0
0
R2
0
0
0
0
0
0
R3
0
0
0
0
0
0
R4
0
0
0
0
0
0
R5
0
0
0
0
0
0
r6
:= Ohm R
0.2
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
6
0
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
0
0.18
=
E
E1
E2
0
0
E5
E6
:= E
3
12
0
0
10
4
V=
A
1
0
0
11
0
1
10
0
0
1
0
0
1
0
1
1
=
Ecuatiile potentialelor la noduri scrisa matriceal: A R 1 AT Ur A R 1 E
R 1
5
0
0
0
0
0
0
0.333
0
0
0
0
0
0
0.167
0
0
0
0
0
0
0.25
0
0
0
0
0
0
0.25
0
0
0
0
0
0
5.556
S=
3.4. S se rezolve matricial utiliznd metoda potenialelor nodurilor
-
Se fac notatiile: T A R 1 E:= M A R 1 AT:=
T
1126.22224.722
amp= M
5.5
0.50
0.56.056
5.556
0
5.556
6.056
mho=
--> se pune sistemul sub forma:X X + care poate fi apoi considerata recurenta;
Pentru solutionarea numerica a sistemului rezultat se foloseste metoda lui Jacobi de aproximare a solutiilor.
ai j, 0 i jif
ai j,Mi j,Mi i,
otherwise
j 0 cols M( ) 1..fori 0 rows M( ) 1..for
a
:= \\ inceperea instructiunilor for de iterare pentru transformarea matricei ;
\\ elementele de pe diagonala principala se fac 0;
\\ celelalte elemente se scriu dupa raportul dat;
-
0
0.083
0
0.091
0
0.917
0
0.9170
= \\ afisarea numeric al matricei ;
biTi
Mi i,
i 0 last T( )..for
b
:=\\ procedeu analog de calcul pentru vectorul termenilor liberi, ;
2
4.334.083
V=
x 1 Ei i
i 0 last ( )..for
E
:= \\ initializarea primei aproximatii, cu valorile vectorului (fiecare element din se incarca si in x);
x 1 2
4.334.083
V=
m 250:= i 1 m..:= \\ numarul de iteratii propuse pentru determinarea solutiei; se reduce pana la valoarea la care solutia se stabilizeaza, fapt se observa din afisul numeric al procesului de iterare (convergent);
-
x i x i 1 +:= \\ formula de recurenta;
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
01
2
0 -2 -2.394 -2.068 -2.402 -2.126 -2.41 -2.175 -2.416 -2.2170 -4.33 -0.75 -4.427 -1.387 -4.509 -1.928 -4.579 -2.387 -4.639
0 -4.083 -0.11 -3.395 -0.021 -2.81 0.055 -2.314 0.119 -1.893
V=
sol
x k x k 1 +k 1 m..for
x m
:= \\ extragerea ultimei iteratii, care se adopta ca solutie a sistemului matriceal de ecuatii;
sol
2.452054794.97260273
0.47945205
V=
U AT Ur:= U
2.4522.521
2.521
0.479
0.479
4.493
V=
I1
I2
I3
I4
I5
I6
R 1 U E+( ):=
I1
I2
I3
I4
I5
I6
2.74
3.16
0.42
0.12
2.62
2.74
A=
-
3.5. S se rezolve matricialcircuitul
-
A0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
1 0 0 0 0 0 -1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 -1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 1 -1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -1 0 0 0 0 1 -1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
=
-
B0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
1 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 -1
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 1 0
=
-
I0
4243
44
4546
47
48
4950
51
52
5354
55
56
0.3410.776
-0.714
-0.751-0.658
0.271
0.439
0.5091.18
0.105
-0.18
-0.839-3.58
7.906
2.206
=
I
0
01
2
34
5
6
78
9
10
1112
13
14
1516
17
18
1920
-5.682-9.155
-10.499
1.693-14.494
-4.551
-3.971
1.3080.403
0.694
4.168
3.037-7.301
-1.418
-2.038
1.1160.496
0.169
14.345
-8.059-0.388
= I
0
2122
23
2425
26
27
2829
30
31
3233
34
35
3637
38
39
4041
0.1920.328
0.327
0.3292.264
-1.935
2.706
-0.4420.877
1.328
-21.618
-20.2914.642
3.996
3.983
4.311.598
1.87
1.074
-19.2160.167
=
-
7. Intr-un cablu bifilar AB lung de 50 km exista un defect care este echivalent cu o rezistenta R conectata intre firele conductoare ale cablului . Daca se alimenteaza cablul in A , de la o sursa de tensiune continua si se masoara in A -A tensiunea la borne de 200 V , in B-B se masoara 40 V . Daca se alimenteaza cablul in B de la o sursa de tensiune continua si se masoara in B-B tensiunea la borne de 300 V , in A-A se masoara 40 V . Sa se determine distanta x dintre A si locul defectului .
3.6. Aplicaie practic
Aplicnd T. Kirc. i punnd condiiile iniiale sistemul se rezolv n Mcad:
x 10:= r 1:= R 1:= Ib 1:= Ia 1:=
-
Given
2 50 x Ia 40+ 200 0
40 R Ib
r 50 x( ) Ib R Ib+ r 50 x( ) Ib+ 300 0
R Ia 40
r x Ia R Ia+ r x Ia+ 200 0
x
r
Ib
Ia
R
Find x r, Ib, Ia, R,( ):=x
r
Ib
Ia
R
19.048
50
0.084
0.084
476.19
=
x - distana pn la defect
