Curs_13_Cap10_VectValPropr.pdf

Dumitru Dragomir Metode numerice Curs 13 1

Cap. 10. Valori i vectori proprii 10.1. Generaliti

Problemele determinrii valorilor i vectorilor proprii sunt ntlnite des la analiza dinamic a sistemelor mecanice, precum i la probleme de analiz a stabilitii sistemelor mecanice.

Forma matriceal general, denumit i nestandard, a unei probleme de valori i vectori proprii are expresia: [ ]{ } [ ]{ } [(A X B X= (1) ] [ ]){ }A B X = 0

{ }nxn X Vn, ;

x i ni , ,= 1

unde: [ ] [ ]A B MForma matriceal (1) reprezint un sistem algebric liniar omogen n necunoscutele

la care se adaug i necunoscuta . Pentru ca sistemul de ecuaii (1) s aib soluie diferit de cea banal punem condiia ca

determinantul sistemului s fie nul: (2) [ ] [ ]( ) 0det = BA i care reprezint ecuaia caracteristic a problemei de valori i vectori proprii. Dac matricea [ ] [ ]B I= este egal cu matricea unitate, atunci relaia (1) reprezint

forma standard a problemei de valori i vectori proprii: [ ]{ } { } [ ] [ ]( ){ }I X = 0A X X A= (3) respectiv ecuaia caracteristic are expresia: ( )A I = 0det (4) [ ] [ ]

Descompus, relaia (4) este echivalent cu ecuaia: a aa a

an an

11 1221 22

1 2

... ...

a na n

ann

12 0

=

...

...

... ...

...

c c

(5)

n urma calculului determinantului (5) se obine polinomul caracteristic al problemei de valori i vectori proprii de gradul "n" n necunoscuta :

c cnn

nn + +

1

1 (6) + + =1 0 0...Soluiile polinomului (6) reprezint cele "n" valori proprii: . j j n, ,= 1Pentru fiecare valoare proprie prin sistemul de ecuaii (3) sau (1) se obine

vectorul propriu: [ ] [ ] { }A j B X j = (7) j j n, ,= 1

{ }X j j n=0 1, ,Obs.: Mulimea valorilor proprii reprezint spectrul matricei [ din cazul

problemei standard (3) iar matricea [ ] ,avnd pe coloane vectorii proprii ai matricei [ , se numete matrice modal.

j j n, ,= 1 ]A

{ }X xij i j n= =, 1,]A

n continuare se prezint 4 metode mai eficiente metode, grupate n 2 categorii: metode care determin o parte din valorile i vectorii proprii; metode care determin toate valorile i vectorii proprii. 10.2. Metode ce determin o parte din valorile i vectorii proprii 10.2.1. Metoda determinantului

Metoda determinantului se poate aplica direct att formei nestandard (1) ct i formei standard (3) a problemei de valori i vectori proprii.

Pentru a mri convergena algoritmului se recomand n practic aducerea problemei nestandard (1) la forma standard (3) de valori i vectori proprii.

n ipoteza c matricea [ este inversabil, forma nestandard (1) devine: ]B[ ][ ]{ } { } [ ]{ } { }B A X X H X X = =1 ; (8) [ ] [ ][ ]H B A= 1cu ecuaia caracteristic: ( )H I = 0det (9) [ ] [ ]


n metoda determinantului se recurge la rezolvarea numeric direct a ecuaiei caracteristice (9) i are 3 etape:

a) identificarea domeniului valorilor proprii; b) rafinarea valorilor proprii prin metoda njumtirii intervalului; c) determinarea vectorilor proprii.

10.2.1.1. Identificarea soluiilor

n practic de cele mai multe ori se dorete cunoaterea unui numr limitat de valori proprii situate ntr-un domeniu:

[ ] min max, (10) n etapa de identificare a valorilor proprii se consider divizat domeniul (10) n "m"

subintervale echidistante de lime d: ( )d m i i = = = max min min; ;0 d i m+ =, ,1 1

[ ] [ ]( ){ }f H I= et

i i, +1( ) ( )f fi i


Cum determinantul sistemului omogen (14) este nul, atunci vom considera primul termen al vectorului propriu cu valoarea impus i rmne de rezolvat printr-o procedur tip Gauss un sistem algebric liniar cu n-1 necunoscute:

x1 1* =

{ }

h h h hh h h h

h h h h

xx

x

hh

h

n

n

n n n nn n n

22 23 24 2

32 33 34 3

2 3 4

2

3

21

31

1

{ }X x xnT

21

=

=

*

*

*

*

*

*

...

...... ... ... ... ...

...... ...

* * *, ,..., (15)

Obs.: n relaia (15) am considerat c eliminnd linia "i=1" din sistemul (14), obinem un sistem algebric liniar compatibil. Dac determinantul subsistemului rezultat este tot nul, atunci se va cuta linia "i=1,n" ce se elimin din (14), astfel nct sistemul (15) s devin compatibil (vezi capitolul 10.2.1.4). 10.2.1.4. Algoritm metoda determinantului Start Introducere date: [ ] [ ]A B n m, , , , min iter, , ,max max Inversare matrice: [ ] B1

[ ] [ ]H B A= 1

( )Produs de matrice: [ ] d m = max min 0 = mi

d= +[ ] [ ]

n

Cicleaz: i=1,m i i1Calculul determinantului: f H a sgn d ( ){ }I= et 0

[ ] [ ]

k=0 Cicleaz: i=1,m Calculul determinantului: { }Ib i= et

fa

f H sgn d ( ) Dac f atunci: b 0

k =f fa

k=k+1 Q i b=M k=

i Q

Cicleaz: k=1,M k=

a i= 1

b i=

( )

iter=1 Repet Calculul determinantului: { }I= det f H sgn

= +a b 2[ ] [ ]( )

Dac f=0 atunci a b Dac f f < 0 atunci {f fb }

=

a

altfel {f f } b= =;

a a= =; ite r iter= +1 pn cnd: b a < sau iter iter> max =kV


Cicleaz: k=1,M = Vk s=1 Repet Cicleaz: i=1,n ; j=1,n Dac i s sau j s= = atunci c ij = 0

ij i altfel c h j= Cicleaz: i=1,n Dac i=s atunci c ii = 1

hii ii altfel c = Cicleaz: i=1,n Dac i=s atunci d i = 1

h altfel d s i i Rezolvare cu procedur Gauss: [ ]{ } { } { }C Y D Y y=

= [ ]( )Cs =, , det1

s=s+1 pn cnd det [ ]( )C 0

=n k M

Cicleaz i=1,n x y ik i

V k M x iScrie valori i vectori proprii: M k ik; , , ; , , ; ,= 1 1 1 = =Stop

Avantaje Metoda determinantului este simpl ca formulare matematic, fiind aplicabil indiferent

de forma problemei de valori i vectori proprii. Permite determinarea unui numr dorit de valori proprii ntr-un domeniu dat.

Dezavantaje Necesit un timp mare de calcul pentru determinarea unei valori proprii la probleme de

dimensiuni mari. Dac dou valori proprii sunt suficient de apropiate, atunci exist posibilitatea ca metoda

determinantului s determine doar una dintre ele. Pentru o precizie impus prea mare de calcul n faza de rafinare a valorilor proprii, exist

posibilitatea s apar instabiliti numerice ale algoritmului, la procedura de calcul a funciei obiectiv (determinantul).

10.2.2. Metoda iteraiilor succesive

Metoda iteraiilor succesive poate fi folosit direct pentru determinarea valorii proprii minime i maxime.

Vom considera n cele ce urmeaz problema nestandard de valori i vectori proprii de forma (1). [ ]{ } [ ]{ } [ ] [ ]A B Mnxn= ,A X B X (16) 10.2.2.1. Determinarea valorii proprii maxime

Considerm c matricea [ este inversabil i aducem problema nestandard (16) la forma standard de valori i vectori proprii dup cum urmeaz:

]B

[ ]{ } { }H X X ; (17) [ ] [ ][ ]H B A= = 1

{ }X x x xnT

1 2 3, , ,...,Obs.: n metoda iteraiilor succesive se va considera vectorul propriu ca avnd primul

termen egal cu "1", adic: { } . =


Pe baza relaiei (17) se poate stabili urmtorul algoritm: iter"0" Iniializare { } (18) ( ) { }T0 11 1= , ,...,

( ){ }C0 1= =X

iter"1" [ ] unde ( ){ }H X ( ) ( ){ }X1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 11 1 1 111 2= = = =c c i ni i , ,

( )

c x x; ; ( ) ( )

..... iter"k" [ ] ( ){ } { }= = ( ) ( ){ }Xk kH X Ck k1 unde ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k i k ic x x k kc c i n= = = =11 2, ,1 1; ; Criteriul de oprire: ( ){ } ( ){ } ( ) ( )X X x xk k

i n ik

ik = < >

=

1

1,

1 0max ;

( ) }X 0

Obs.: Se demonstreaz c algoritmul iteraiilor succesive, avnd la baz forma standard

(17) de valori i vectori proprii, converge indiferent de vectorul propriu considerat n prim aproximaie { i conduce la obinerea valorii proprii reale maxime, precum i a vectorului propriu asociat acesteia.

n ipoteza c problema (16) are "n" valori proprii reale, ordonate n sens cresctor: 1 2 3< <

= + = =+

; ;* *

011

D X X= ; ;

( ) { }T0 11 1= , ,...,( ){ }C0 1= =

(22) ]{ } { }

n acest caz algoritmul iteraiilor succesive este: iter"0" Iniializare { } (23) Xiter"1" [ ] unde ( ){ }D X ( ) ( ){ }X1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 11 1 1 111 2= = = =c c i ni i , ,

( ){ }= =

c x x; ; ( ) ( )

..... iter"k" [ ] unde ( ){ }D X Ck k1 ( ) ( ){ }Xk k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k i k ic x x k kc c i n= = = =11 2, ,1 1; ;

Criteriul de oprire: ( ){ } ( ){ } ( ) ( ) ( )X X x xk k i n ik

ik = < >

=

1

1,

1 0max ; k = 1

( ) }X 0

Obs.: Se demonstreaz c algoritmul (23) converge indiferent de vectorul { i conduce la obinerea valorii proprii minime i a vectorului propriu asociat acesteia.

Conform notaiilor din relaia (19), din algoritmii: (21),(22),(23) obinem:

( ) { } ( ){ }kXX =1k == min1 ;1 (24) 10.2.2.3. Algoritm metoda iteraiilor succesive

Vom cupla cei doi algoritmi de la capitolele (10.2.2.1),cod=1 i (10.2.2.2),cod=2. Start Introducere date: [ ] [ ]A B n, , iter cod, , , ,max Sum de matrice: [ ] [ ] [ ]A A B* = +


Dac cod=1 atunci: Inverseaz matricea: [ ] B1

[ ] Produs de matrice: [ ] [ ]H B A= 1 *

]A* 1

[ ]

altfel: Inverseaz matricea: [ Produs de matrice: [ ] [ ]H A B= * 1

xi = 1

[ ]{ }C H X= = c1

Cicleaz i=1,n iter=1 Repet Produs de matrice: { } Cicleaz i=2,n y c ci i= 1

y1 1=TST = 0

Cilcleaz i=1,n Dac TS atunci: T y xi i< TS T y xi i=

yi i=

iter iter< > max

=

Cicleaz i=1,n x iter=iter+1 pn cnd: TS T sauDac cod=1 atunci: max Scrie: ; X { }maxaltfel:

min = 1

Scrie: ; X { }minStop

Avantaje Metoda iteraiilor succesive este simpl ca formulare. Permite determinarea valorilor proprii reale extreme minin i maxim.

Dezavantaje Metoda iteraiilor succesive este lent convergent, necesitnd un timp relativ mare de

calcul pentru determinarea unei valori proprii. n formularea de baz prezentat, metoda iteraiilor succesive nu permite determinarea

dect a dou valori proprii (extremele).

Curs_13_Cap10_VectValPropr.pdf

Documents

Transcript of Curs_13_Cap10_VectValPropr.pdf