Cap. 1 - Calcul variational

• Introducere: functii vs. functionale

• Probleme clasice; istoric

• Exemplu de rezolvare: problema drumului minim in plan

• Lemele clasice ale calculului variational

• Ecuatia lui Euler

1.1 Functii vs. functionale, puncte de extrem, extremale

Calculul variational este un domeniu al matematicii care se ocupa cu studiul

extremelor functionalelor, spre deosebire de studiul extremelor functiilor facut in cadrul

analizei matematice reale.

Amintim ca pentru functii reale R→],[: baf derivabile conditia necesara de extrem

intr-un punct 0x este ca acesta sa fie punct stationar (radacina a derivatei functiei),

conditia nefiind nicidecum suficienta. Pentru stabilirea de conditii suficiente este necesar

studiul derivatei a 2-a.(ilustram acest lucru cu ajutorul catorva grafice de functii):

Pentru functii reale de mai multe variabile amintim ca situatiile care pot sa apara sunt

si mai diversificate:

O functionala este o functie reala definita nu pe o multime de “puncte”, ci pe o

multime de functii.

De exemplu, considerand multimea tuturor functiilor reale continue pe intervalul

],[ ba , notata cu ]),([ baC , functia R→]),([: baCF prin ∫=b

a

dxxffF )()( este o

functionala.

De asemenea, functia R→]),([: 2 baCF , [ ]∫ ′′++′

=b

a

dxxf

xfxffF

2)(1

)()()( , unde ]),([1 baC

este multimea functiior derivabile de 2 ori pe ],[ ba cu derivata a doua continua.

Pentru functionale se pune problema gasirii functiior care realizeaza un extrem (local

sau global), numite extremale ale functionalelor respective. Pentru aceasta trebuie,

bineinteles, definit corect spatiul functiilor “admisibile” (domeniul de definitie al

functionalei ce se studiaza) si o topologie pe acesta (notiunea de vecinatate – de obicei

bazata pe o distanta). Asadar o extremala pentru o functionala F va fi o functie 0f cu

proprietatea ca )()( 0 fFfF ≤ (sau )()( 0 fFfF ≥ ) pentru orice f intr-o vecinatate a lui

0f pentru extremala locala, respectiv pentru orice f in domeniul de definitie pentru

extremala globala.

Desigur, trebuie sa ne asteptam ca problema determinarii extremalelor unei

functionale sa fie de alt ordin de complexitate decat cea a determinarii punctelor de

extrem ale unei functii reale de una sau mai multe variabile reale.

1.2 Preistorie si istoricul calculului variational; probleme clasice

Putem considera ca inceputul “preistoriei” calculului variational legenda crearii

Cartaginei relatata de poetul roman Vergiliu in “Eneida”: printesa feniciana Dido, fugind

de fratele sau, tiranul Pygmalion, gaseste un loc foarte frumos pe tarmul nordic al Africii

(Tunisia actuala) si fiind pusa de localnici in fata problemei de a-si alege doar o suprafata

de teren ce putea fi inconjurata cu pielea unui taur recurge la un siretlic: taie pielea in

fasii foarte subtiri, pe care le leaga pentru a forma o “sfoara” suficient de lunga pentru a

imprejmui o arie foarte mare si a cladi orasul Cartagina, ce va deveni faimos in lumea

antica. Aceasta legenda este legata de asa-numitele probleme izoperimetrice, care cer sa

se maximizeze aria delimitata de o curba de lungime data (numite de multe ori “probleme

Dido”).

In antichitate Heron din Alexandria a studiat si demonstrat principii de extrem in

optica (legate de reflexia si refractia luminii), iar in timpuri mai apropiate de secolul

nostru Fermat (1601 – 1655) a formulat riguros aceste principii, legandu-le si de alte

descoperiri ale epocii.

Precursorii calculului variational de astazi pot fi considerati fratii Johann si Jacob

Bernoulli, preocupati de problema brahistocronei (v. mai jos), precum si Leibniz si

Newton, care au propus diverse solutii pentru aceasta la finele secolului 17.

La mijocul secolului al 18-lea (1744) intr-o lucrare de pionierar Euler propune o

metoda generala de abordare a unor astfel de probleme, metoda ce a evoluat in renumita

metoda a elementului finit, iar Lagrange in 1755 propune o noua metoda de studiu si

redenumeste problematica drept “Calculul variatiilor” sau “Calcul variational”. De atunci

cercetarile au capatat amploare, dand nastere si astazi unor noi concepte si arii de interes

si studiu.

Probleme clasice:

a. Problema brachistocronei (brachistos (cel mai scurt), chronos (timp))

Prima problema de calcul variational a fost problema brachistocronei.

Un punct material M porneste din A, fara viteza initiala si se misca sub actiunea

gravitatiei pe arcul de curba AB cuprinsa într-un plan vertical (fig.1). Problema

brachistocronei consta în urmatoarele: dintre toate curbele netede ce unesc punctele A si

B sa se determine aceea pe care punctul M ajunge din A în B în timpul cel mai scurt.

Viteza lui M în fiecare punct al arcului AB este: gydt

dsV 2== .Timpul în care punctul

material M descrie arcul AB va fi dat de: ∫∫ ∈=′+

==b

a

baxxyydxgy

y

V

dsT ],[),(,

2

1 2

.

Deci timpul T necesar ca punctul material sa ajunga din A în B pe arcul

],[),( baxxyy ∈= are expresia ∫ ∈′+

=b

a

baCydxgy

yyT ]),([,

2

1][ 1

2

Spunem ca timpul este o functionala de tip integrala care depinde de y si care verifica

conditiile 1)(,0)( ybyay == . Functionala are ca domeniu de definitie functiile de clasa

]),([1 baC care trec prin punctele date A si B.Aceste functii se numesc linii admisibile în

cazul problemei brachistocronei sau traiectorii optimale. Problema revine deci la a

determina curba ]),([1 baCy ∈ care trece prin punctele A si B pentru care functionala

][ yT ia valoarea minima.

b. Problema geodezicelor

Daca ecuatiile parametrice ale suprafetei (S) sunt ],[),(),( baxxzzxyy ∈== functionala

de minimizat este ∫ ′+′+=b

a

dxxzxyzyJ )()(1],[ 22

c. Problema suprafetei de rotatie

Considerand in coordonate carteziene curbele )(xyy = ce trec prin doua puncte date

),( 11 yx si ),( 22 yx , suprafata generata prin rotatia uneia dintre ele ca in Fig. 3 este data

de functionala ∫ ′+=2

1

)(1)(2 2x

x

dxxyxyS π pentru care trebuie sa gasim extremalele ce

realizeaza minimul.

d. Problema suprafetelor minime (Plateau)

Se ajunge la o functionala de forma

e. Probleme de extrem conditionat (vom vedea in cursurile urmatoare)

1.3 Problema drumului minim in plan Se pune problema gasirii curbei din plan de lungime minima ce uneste punctele ),( 11 yx

si ),( 22 yx . Se obtine fara mare dificultate functionala de minimizat ca fiind

unde 2211 )(,)(),( yxfyxfxfy === . Functia f va ficonsiderata derivabila cu derivate

continua.

Daca 0f este o extremala care realizeaza minimul iar 1f o functie de clasa 1C care se

anuleaza la capetele intervalului, trebuie ca )()( 100 ffAfA ε+≤ pentru orice ε suficient

de mic.

Consideram variatia de ordinul I a lui A, adica:

care trebuie sa se anuleze pentru 0=ε , conducand deci la

pentru orice 1f ca mai sus. Presupunand 0f chiar de clasa 2C si integrand prin parti

obtinem

deci, conform unei leme fundamentale prezentate mai jos obtinem

de unde mai departe 0)(0 =′′ xf pentru orice ),( 21 xxx ∈ . Asadar curba cautata este

segmentul ce uneste cele doua puncte.

1.4 Lemele clasice ale calculului variational Lema 1 (Lagrange) Fie R→],[: baf continua astfel incat pentru orice R→],[: bah de clasa 1C si cu

0)()( == bhah avem ∫ =b

a

dxxhxf 0)()( . Atunci 0)( =xf pentru orice ],[ bax ∈ .

Lema 2 (Du Bois Raymond) Fie R→],[: bag continua astfel incat pentru orice R→],[: bah de clasa 1C si cu

0)()( == bhah avem ∫ =′b

a

dxxhxg 0)()( . Atunci g este constanta pe intervalul ],[ ba .

Lema 3 (lema fundamentala a calculului variational) Fie R→],[: baf si R→],[: bag continue astfel incat incat pentru orice R→],[: bah

de clasa 1C si cu 0)()( == bhah avem ∫ =′+b

a

dxxhxgxhxf 0)()()()( . Atunci

)()( xfxg =′ pentru orice ],[ bax ∈ .

1.5 Ecuatia Euler

Sa consideram functionala ∫ ′=b

a

dxyyxLyJ ),,(][ , unde ],[1 baCy ∈ si

21 )(,)( ybyyay == ( 21, yy fixate), iar L o functie de clasa 2C de trei variabile. Considerand variatii “de-a lungul unei directii” ca in paragraful 1.3 si folosind lemele din

paragraful anterior se obtine conditia necesara de extremalitate sub forma

0),,(),,( =

′′∂

∂−′∂∂

yyxLydx

dyyxL

y

numita Ecuatia lui Euler.

Obs: ecuatia lui Euler se mai scrie si sub forma:

0),,(),,( =′−′ ′ yyxLdx

dyyxL yy .

Exemplu:

Problema brahistocronei – rezolvare

gy

yyyxL

2

1),,(

2′+=′ , deci obtinem succesiv

Se obtine ecuatia 012 2 =++′′ yyy . Dupa transformari succesive si o schimbare de

variabila se poate arata ca se obtine ecuatiile parametrice ale unei cicloide:

a carei reprezentare geometrica se poate vedea in figura de mai jos:

.