Costin Clit, Asociaţia Română pentru strângerea Legăturilor cu Uniunea Sovietică din raionul Huşi
CURS 9 ECHILIBRUL SISTEMELOR DE CORPURI RIGIDE CUPRINS · Mecanica I 8 reacţiunile...
Transcript of CURS 9 ECHILIBRUL SISTEMELOR DE CORPURI RIGIDE CUPRINS · Mecanica I 8 reacţiunile...
Echilibrul sistemelor de corpuri rigide
Mecanica I 1
CURS 9
ECHILIBRUL SISTEMELOR DE CORPURI RIGIDE
CUPRINS
9. Echilibrul sistemelor de corpuri rigide ...…………………...………...………..…………1
Cuprins……………………………………………………………………………………..1
Introducere modul………………………………………………………………………….1
Obiective modul...………………………………………………………………………….2
9.1. Generalităţi. Legături intermediare .........................................................................2
9.2. Teoreme de echilibru .................................................................................................5
Test de autoevaluare 1 ..................................................................................................8
9.3. Sisteme de corpuri static determinate ......................................................................9
9.4. Metoda echilibrului corpurilor componente .........................................................10
Test de autoevaluare 2 ................................................................................................11
Bibliografie modul……………………………………………………………………………11
Rezumat modul……………………………………………………………………………….11
Rezolvarea testelor de autoevaluare ...…………………………..…...………………………12
9. Echilibrul sistemelor de corpuri rigide
Introducere
modul
În acest modul se vor studia sistemele de corpuri rigide. Se vor
prezenta legăturile dintre corpuri în problema plană, se vor enunţa
cele două teoreme de echilibru care rezolvă problema echilibrului
sistemelor de corpuri static determinate. Se va defini noţiunea de
sistem de corpuri static determinat şi se va prezenta una dintre
metodele de determinare ale necunoscutelor introduse de legăturile
sistemului de corpuri (atât exterioare cât şi intemediare), metoda
echilibrului corpurilor componente.
Echilibrul sistemelor de corpuri rigide
Mecanica I 2
Obiective modul
După parcurgerea acestui modul cursantul va şti:
- să definească sistemul de corpuri rigide;
- legăturile intermediare ale unui sistem de corpuri în
problema plană;
- să enunţe şi să demonstreze teoremele de echilibru ale
sistemelor de corpuri rigide;
- să identifice şi să alcătuiască sisteme de corpuri static
determinate;
- pentru sisteme de corpuri static determinate să rezolve
necunoscutele introduse de legături prin metoda echilibrului
corpurilor componente.
Durata medie de
studiu individual
2 ore
Acest interval de timp presupune asimilarea noţiunilor prezentate în
acest modul şi realizarea testelor de autoevaluare.
9.1. Generalităţi. Legături intermediare
Un sistem de corpuri rigide este un ansamblu de corpuri rigide aflate în interacţiune mecanică.
Dacă sistemul de corpuri este alcătuit din corpuri plane, situate în acelaşi plan şi acţionate de
forţe situate în planul considerat atunci sistemul de corpuri este plan.
Interacţiunea mecanică dintre corpurile unui sistem de corpuri se realizează cu ajutorul
legăturilor intermediare (legături interioare). Imobilizarea sistemului de corpuri se face cu
ajutorul atât a legăturilor intermediare cât şi a legăturilor corpurilor cu mediul exterior,
denumite legături exterioare. Deoarece legăturile ideale în plan (mai des întâlnite) ale
corpurilor cu mediul exterior s-au prezentat în modulul anterior, se vor prezenta în continuare
legăturile intermediare ale unui sistem de corpuri în plan.
Legăturile intermediare pot fi legături simple intermediare (de tipul reazemului simplu) sau
articulaţii intermediare. Dacă între două corpuri se introduce o încastrare atunci ele se vor
comporta ca un singur corp (nu există între cele două corpuri posibilitatea unor deplasări sau
rotiri relative) şi se vor considera ca atare.
Echilibrul sistemelor de corpuri rigide
Mecanica I 3
Legătura simplă intermediară (figura 9.1)
Legătura simplă intermediară suprimă ansamblului celor două corpuri legate un grad de
libertate şi anume posibilitatea translaţiei relative pe direcţia legăturii simple. Aceasta
înseamnă că pe direcţia legăturii simple intermediare, cele două corpuri se translatează
împreună, cu aceeaşi cantitate.
Legătura simplă intermediară se schematizează printr-un pendul având direcţia identică cu
direcţia legăturii simple. Prin aplicarea axiomei legăturilor, legătura simplă se înlocuieşte cu o
pereche de forţe de legătură egale ca mărime, având aceeaşi direcţie dar sensuri opuse.
Mărimea forţei de legătură este necunoscută (se determină din condiţiile de echilibru), direcţia
este direcţia legăturii simple iar sensul este nedeterminat (dar nu o necunoscută
independentă). Rezultă că legătura simplă intermediară introduce în calcul o singură
necunoscută scalară (mărimea forţei de legătură corespunzătoare).
Articulaţia intermediară.
Articulaţia intermediară poate lega între ele două corpuri (articulaţie intermediară simplă) sau
mai multe corpuri (articulaţie intermediară multiplă).
Articulaţia intermediară simplă (figura 9.2) fixează un punct al unui corp de celălalt corp.
Astfel, aceasta suprimă ansamblului celor două corpuri două grade de libertate (translaţiile
relative ale celor două corpuri). Articulaţia intermediară simplă se schematizează printr-un
cerc mic situat în punctul de legătură.
Prin aplicarea axiomei legăturilor, articulaţia intermediară simplă se înlocuieşte cu o pereche
de forţe de legătură egale ca mărime, având aceeaşi direcţie dar sensuri opuse. Forţa de
legătură are mărimea şi direcţia necunoscute (se determină din condiţiile de echilibru) şi
sensul nedeterminat (dar nu o necunoscută independentă). Prin proiectarea forţei de legătură
pe două direcţii cunoscute, necunoscutele scalare introduse de articulaţie vor fi mărimile a
Fig. 9.1. Legătura simplă intermediară
Echilibrul sistemelor de corpuri rigide
Mecanica I 4
două forţe. Astfel, o articulaţie intermediară simplă suprimă ansamblului de corpuri două
grade de libertate şi introduce în calcul două necunoscute scalare.
Articulaţia intermediară multiplă leagă între ele n corpuri ale unui sistem de corpuri (n >2). Se
alege un corp (corpul n) şi se consideră că fiecare dintre celelalte corpuri este legat de corpul
n printr-o articulaţie intermediară simplă. Rezultă că o articulaţie multiplă ce leagă între ele n
corpuri poate fi echivalată cu (n-1) articulaţii intermediare simple (în figura 9.3 se prezintă
modul de abordare al unei articulaţii ce leagă trei corpuri ale unui sistem de corpuri).
Asupra unui sistem de corpuri acţionează trei tipuri de forţe:
- forţe active (forţe date, încărcări);
- forţe de legătură din legăturile exterioare;
- forţe de legătură din legăturile intermediare.
În continuare forţele de legătură din legăturile exterioare se vor denumi reacţiuni iar forţele de
legătură din legăturile intermediare se vor denumi forţe de legătură.
Fig. 9.3. Articulaţia intermediară multiplă
Fig. 9.2. Articulaţia intermediară simplă
α α
Echilibrul sistemelor de corpuri rigide
Mecanica I 5
9.2. Teoreme de echilibru
În cazul sistemelor de corpuri problema care apare este determinarea reacţiunilor şi a forţelor
de legătură corespunzătoare unei situaţii de încărcare.
Pentru ca un sistem de corpuri să fie în echilibru trebuie ca fiecare corp al sistemului să fie în
echilibru sub acţiunea forţelor corespunzătoare (forţele active ce acţionează asupra corpului
considerat, reacţiunile din legăturile exterioare ale corpului considerat şi forţele de legătură
din legăturile intermediare ale corpului cu alte corpuri din sistem). De asemenea, dacă fiecare
corp dintr-un sistem de corpuri este în echilibru sub acţiunea forţelor corespunzătoare atunci
întreg sistemul de corpuri va fi în echilibru.
Pentru rezolvarea problemei echilibrului unui sistem de n corpuri rezultă că este suficient să
se exprime echilibrul fiecărui corp sub acţiunea forţelor corespunzătoare (după ce se aplică
axioma legăturilor), adică se rezolvă n probleme de echilibru a unui solid rigid.
Deoarece există probleme în care se cere doar determinarea reacţiunilor (a forţelor de legătură
din legăturile exterioare) iar prin abordarea prezentată se determină toate forţele de legătură
(atât cele introduse de legăturile exterioare cât şi cele introduse de legăturile intermediare) se
vor enunţa două teoreme de echilibru ce vor face posibilă eliminarea unor forţe de legătură
din legăturile intermediare.
Înainte de enunţarea şi demonstrarea teoremelor de echilibru se va calcula efectul mecanic al
unei perechi de forţe de legătură intermediare într-un punct.
Fie două corpuri I şi J ale unui sistem de corpuri legate printr-o legătură intermediară (de
exemplu articulaţie intermediară în punctul A – figura 9.4) şi un punct oarecare O. Se va
determina efectul mecanic în punctul O produs de forţele de legătură corespunzătoare
legăturii considerate.
Fig. 9.4. Efectul mecanic al forţelor de legătură intermediare într-un punct
(I) (J) (J) (I)
A
O O
Echilibrul sistemelor de corpuri rigide
Mecanica I 6
Prin aplicarea axiomei legăturilor, articulaţia intermediară simplă din punctul A se înlocuieşte
cu o pereche de forţe de legătură având aceleaşi mărime şi direcţie dar sensuri opuse, astfel
încât efectul de forţă va fi:
Efectul de moment se va determina sumând momentele forţelor în raport cu punctul O:
Rezultă că efectul forţelor de legătură introduse de legăturile intermediare ideale într-un punct
oarecare este nul.
Prima teoremă de echilibru se numeşte teorema solidificării, iar enunţul este:
Un sistem de corpuri se află în echilibru dacă sistemul forţelor exterioare, date şi de legătură
este un sistem de forţe în echilibru.
Teorema solidificării se poate enunţa şi astfel:
Dacă un sistem de corpuri este în echilibru, atunci sistemul considerat a fi un singur solid
rigid trebuie să fie în echilibru.
Demostraţie
Se exprimă echilibrul fiecărui corp din sistemul de corpuri:
unde s-au introdus notaţiile:
- rezultanta forţelor active (date) ce acţionează pe corpul ,,i”;
- rezultanta reacţiunilor corespunzătoare legăturilor exterioare ale
corpului ,,i”;
Echilibrul sistemelor de corpuri rigide
Mecanica I 7
- rezultanta forţelor de legătură corespunzătoare legăturilor
dintre corpul ,,i” şi celelalte corpuri ale sistemului de corpuri;
- momentul rezultant al forţelor active (date) ce acţionează
pe corpul ,,i” în raport cu un punct oarecare O;
- momentul rezultant al reacţiunilor corespunzătoare
legăturilor exterioare ale corpului ,,i” în raport cu un punct oarecare
O;
- momentul rezultant al forţelor de legătură
corespunzătoare legăturilor dintre corpul ,,i” şi celelalte corpuri ale
sistemului de corpuri în raport cu un punct oarecare O.
Prin sumarea ecuaţiilor scrise pentru fiecare corp în parte rezultă:
Dar forţele de legătură intermediare sunt două căte două egale în
mărime şi de sens opus. Rezultă că efectul lor în raport cu un punct
oarecare este nul, adică:
În ecuaţiile de echilibru vor interveni atunci doar forţele exterioare
(active şi reacţiunile din legăturile sistemului de corpuri cu mediul
exterior):
Cea de-a doua teorema de echilibru se numeşte teorema echilibrului părţilor iar enunţul
acesteia este:
Un sistem de corpuri se află în echilibru dacă fiecare parte a sistemului se află în echilibru,
sub acţiunea forţelor corespunzătoare părţii respective (forţele active ce acţionează partea,
Echilibrul sistemelor de corpuri rigide
Mecanica I 8
reacţiunile corespunzătoare legăturilor exterioare ale părţii şi forţele de legătură din legăturile
părţii considerate cu celelalte părţi ale sistemului de corpuri).
Demostraţie
Demonstraţia acestei teoreme este similară cu demonstraţia teoremei
solidificării, dar sumele sunt parţiale şi se efectuează doar pentru
partea considerată.
De aceea, când se sumează ecuaţiile de echilibru se obţin perechi de
forţe doar pentru forţele de legătură corespunzătoare legăturilor
intermediare dintre corpurile ce alcătuiesc partea considerată.
Efectul acestor perechi de forţe este nul.
Rezultă că partea considerată va fi în echilibru doar sub acţiunea
forţelor corespunzătoare părţii respective.
Test de
autoevaluare 1
1. Legăturile intermediare ale unui sistem de corpuri pot fi:
a) articulaţia intermediară simplă;
b) legătura simplă intermediară;
c) articulaţia intermediară multiplă.
2. Enunţul ,, o articulaţie multiplă ce leagă între ele n corpuri poate
fi echivalată cu (n-1) articulaţii intermediare simple” este:
a) adevărat;
b) fals.
3. Enunţaţi teorema solidificării.
Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la
finalul modulului.
Echilibrul sistemelor de corpuri rigide
Mecanica I 9
9.3. Sisteme de corpuri static determinate
Un sistem de corpuri imobilizat cu un număr minim de legături simple necesare se numeşte
sistem de corpuri static determinat.
Pentru un sistem de corpuri static determinat numărul necunoscutelor scalare introduse de
legăturile sistemului este egal cu numărul ecuaţiilor de echilibru scalare, independente
posibile de scris, astfel încât problema este determinată din punct de vedere matematic.
Rezultă că pentru a fi static determinat, un sistem de corpuri trebuie să îndeplinească două
condiţii: o condiţie cantitativă şi o condiţie calitativă.
Condiţia cantitativă a fost enunţată mai sus. Aceasta se exprimă:
unde E este numărul ecuaţiilor de echilibru scalare, independente, posibile de scris iar N este
numărul necunoscutelor scalare introduse de legături.
În problema plană, pentru un corp pot fi scrise trei astfel ecuaţii de echilibru. Rezultă că
pentru un sistem alcătuit din Nc corpuri numărul ecuaţiilor de echilibru este:
Pentru determinarea numărului necunoscutelor, vom considera fiecare legătură prezentată.
Astfel, un reazem simplu sau o legătură simplă intermediară introduc în calcul o necunoscută
scalară, o articulaţie (exterioară sau intermediară simplă) introduce în calcul două
necunoscute scalare iar o încastrare introduce în calcul trei necunoscute scalare. Având în
vedere că o articulaţie intermediară multiplă este echivalentă cu un număr de articulaţii
simple, se vor lua în calcul numai articulaţiile simple. Se poate scrie:
,
unde Nî este numărul de încastrări, Na.s. este numărul de articulaţii simple (exterioare sau
intermediare) iar Nr.s. este numărul reazemelor simple sau al legăturilor simple intermediare.
Condiţia de determinare statică (cantitativă) devine:
Echilibrul sistemelor de corpuri rigide
Mecanica I 10
Condiţia calitativă este ca sistemul de corpuri să fie imobilizat. Verificarea imobilităţii
sistemului de corpuri se face prin verificarea imobilităţii fiecărui corp în parte cunoscând, pe
lângă cele trei situaţii de la solidul rigid şi faptul că o articulaţie intermediară ataşată unui
corp fix devine o articulaţie fixă.
Un sistem de corpuri utilizat frecvent este sistemul alcătuit din două corpuri ce au ca legături
exterioare două articulaţii şi ca legătură intermediară o articulaţie. Acest sistem de corpuri se
numeşte cadru triplu articulat şi este un sistem de corpuri static determinat (figura 9.5.a).
Forma critică a cadrului triplu articulat se obţine dacă cele trei articulaţii sunt coliniare (figura
9.5.b).
9.4. Metoda echilibrului corpurilor componente
În metoda echilibrului corpurilor componente se exprimă echilibrul fiecărui corp dintr-un
sistem de corpuri. În acest mod, se transformă problema rezolvării unui sistem alcătuit din n
corpuri în n probleme de solid rigid.
Etapele metodei sunt:
1. Se verifică dacă sistemul de corpuri este static determinat;
2. Se realizează schema statică pentru sistemul de corpuri:
se izolează fiecare corp (se reprezintă corpul fără încărcări şi fără legături);
se înlocuiesc legăturile corpurilor cu reacţiunile şi forţele de legătură corespunzătoare
(forţele de legătură vor fi perechi de forţe, cu mărimi egale şi cu sensuri opuse);
se solicită fiecare corp cu încărcările aferente, aranjate corespunzător (forţele
distribuite se concentrează pe corpurile pe care acţionează, forţele şi momentele
concentrate se reprezintă aşa cum sunt);
se cotează figurile.
Fig. 9.5. Cadrul triplu articulat
a) b)
formă critică
Echilibrul sistemelor de corpuri rigide
Mecanica I 11
3. Pentru fiecare corp se scriu trei ecuaţii de echilibru scalare independente;
4. Se rezolvă sistemul ecuaţiilor de echilibru obţinut;
5. Se verifică rezultatele obţinute prin scrierea, pentru fiecare corp în parte, a unei ecuaţii de
echilibru neutilizate în rezolvarea necunoscutelor.
Test de
autoevaluare 2
1. Definiţi noţiunea de „încărcare”.
2. Relaţia ,, ” este:
a) adevărată;
b) falsă.
3. Ce înţelegeţi prin noţiunea de ,,cadru triplu articulat”?
Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la
finalul modulului.
Bibliografie modul
[1]. Hangan, S., Slătineanu, I., ,,Mecanică”, Editura Didactică şi
Pedagogică, Bucureşti, 1983, pag. 87-90;
[2]. Szolga, V., Szolga, A. M., ,,Mecanica Teoretică. Note de curs şi
îndrumător de seminar. Partea I”, Editura Conspress, Bucureşti,
2003, pag. 123-132;
[3]. Vâlcovici, V., Bălan, Şt., Voinea, R., ,,Mecanica Teoretică”,
Editura Tehnică, Bucureşti, 1963, pag. 188-195.
Rezumat modul
În acest modul se începe studiul staticii sistemelor de corpuri.
S-au prezentat legăturile intermediare ale sistemelor de corpuri,
teoremele de echilibru şi noţiunea de sistem de corpuri static
determinat.
În ultima parte a modulului a fost studiată prima metodă de calcul a
Echilibrul sistemelor de corpuri rigide
Mecanica I 12
sistemelor de corpuri static determinate, metoda echilibrului
corpurilor componente.
Rezolvare
test de autoevaluare
1
1. a, b, c;
2. a;
3. Consultare aspecte teoretice pag. 6.
Rezolvare
test de autoevaluare
2
1. Consultare aspecte teoretice pag. 9;
2. a;
3. Consultare aspecte teoretice pag. 10.