3.2. METODA MATRICIALĂ PENTRU DETERMINAREA POZIŢIEI ROBOŢILOR INDUSTRIALI

O altă metodă de abordare a cinematicii roboţilor industriali o constituie metoda matricială care poate fi aplicată oricărui tip de robot industrial având cuple cinematice de rotaţie şi de translaţie. Pentru folosirea acestei metode este necesar un sistem de coordonate specific (Denavit-Hartenberg).

Axa cuplei cinematice de rotaţie (i, i+1) compusă din elementele i şi i+1, constă din axa articulaţiei cilindrice, legată rigid de elementul i, în jurul căreia se roteşte elementul i+1. Pentru cupla cinematică de translaţie (i, i+1) axa este orice dreaptă, paralelă cu vectorul vitezei de deplasare rectilinie a elementului i+1 în raport cu elementul i.

Se notează toate elementele robotului industrial pornind de la batiu (elementul 0) până la mâna mecanică (elementul n) şi se ataşează fiecăruia din ele câte un sistem de coordonate cartezian care are următoarele particularităţi: axa z i se alege în lungul axei cuplei cinematice (i, i+1); originea sistemului de coordonate i, rigid legat de elementul i se găseşte pe ambele perpendiculare pe axele z i−1 şi z i, fie în punctul lor de intersecţie dacă există un asemenea punct, fie în orice punct de pe axa cuplei cinematice, dacă axa z i coincide cu axa z i−1 sau este paralelă cu aceasta; axa x i este orientată pe ambele perpendiculare duse pe axele z i−1 şi z i şi îndreptată din punctul de intersecţie al acestor perpendiculare cu axa z i−1 spre punctul de intersecţie cu axa z i (sau în orice parte a normelor pe planul ce conţine axele z i−1 şi z i) dacă ele se intersectează, sau este ales aleatoriu, dacă z i−1 şi z i coincid; axa y i se alege după regula mâinii drepte.

Originea sistemului de coordonate O, adică al sistemului legat rigid de batiu poate fi plasată în orice punct al axei cuplei (0, 1); direcţia axei x0 este aleasă arbitrar.

Utilizarea acestui sistem specific de coordonate pentru elementele robotului industrial permite folosirea a patru parametrii (şi nu şase ca în cazul general) pentru trecerea dintr-un sistem de coordonate în altul. Sistemul i-1 se poate raporta

la sistemul i cu ajutorul unei rotaţii, a două translaţii şi a încă unei rotaţii realizate în următoarele condiţii:

1. se roteşte sistemul i-1 în jurul axei z i−1 cu unghiul θi până când axa x i−1

devine paralelă cu axa x i;

2. se translatează sistemul rotit în jurul axei z i−1 cu mărimea si până când

axele x i−1 şi x i se plasează pe aceeaşi dreaptă;

3. se translatează în lungul axei x i cu mărimea a i până când coincid axele de

coordonate;

4. se roteşte în jurul axei x i cu unghiul α i până când se suprapune z i−1 cu z i.

Fiecare din aceste mişcări elementare corespund unei matrice de tip B – fie matrice de rotaţie ( BR ), fie matrice de translaţie ( BT ). Matricea rezultantă de trecere, care leagă sistemele i-1 şi i este produsul acestor matrici.

Ai=BR (k⃗ , θi ) BT ( k⃗ , s i) BT ( i⃗ , a i) BR ( i⃗ , α i ) (3.35)

în care BT şi BR sunt de forma:

BT ( i⃗ , s )=[1 0 0 s0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

] (3.36)

BT ( j⃗ , s )=[1 0 0 00 1 0 s0 0 1 00 0 0 1

] (3.37)

BT (k⃗ , s)=[1 0 0 00 1 0 00 0 1 s0 0 0 1

] (3.38)

BR ( i⃗ , φ )=[ 1 0 0 00 cosφ −sinφ 00 sinφ cosφ 0

0 0 0 1] (3.39)

BR ( j⃗ ,φ )=[ cosφ 0 0 00 cosφ −sinφ 00 sinφ cosφ 0

0 0 0 1] (3.40)

BR ( k⃗ , φ )=[cosφ −sinφ 0 0sinφ cosφ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

] (3.41)

După efectuarea înmulţirilor se obţine:

Ai=[cosθi −sin θi cosα i

sin θi cosθi cosα i

sin θ isin α i aicos θi

−cosθ isin αi ai sinθ i

0 sin αi

0 0cosα i si

0 1] (3.42)

În conformitate cu formula:

Bk−1 , k Rk=Rk−1 (3.43)

cu ajutorul matricei Ai se pot asocia vectorii radial ai aceluiaşi punct din sistemele i şi i-1.

Ri−1=A i Ri (3.44)

în care Ri= [x i , y i zi ]T - este matricea coloană ce determină poziţia punctului arbitrar a

elementului i în sistemul de referinţă, rigid legat de acest element, iar Ri−1=[ x i−1 , y i−1 zi−1 ]T - matricea coloană ce determină poziţia aceluiaşi punct în

sistemul rigid legat de elementul i-1.

În matricea Ai intră patru parametrii: θi, si, a i, α i.

Pentru rezolvarea multor probleme este necesar să se cunoască diferenţiala lui Ai după coordonata generalizată. Aceasta este de forma:

d A i

dq i

=Ωi A i (3.45)

în care Ωi este fie ΩR fie ΩT în funcţie de tipul cuplei cinematice (i-1, i).

ΩR ( i⃗ )=[Γ ( i⃗ ) 00 0]; ΩR ( j⃗ )=[Γ ( j⃗ ) 0

0 0]; ΩR (k⃗ )=[Γ ( k⃗ ) 00 0 ]

Γ ( i⃗ )=[0 0 00 0 −10 1 0 ]; Γ ( j⃗ )=[ 0 0 1

0 0 0−1 0 0]; Γ ( i⃗ )=[0 −1 0

1 0 00 0 0]

Problema directă a poziţiei punctului caracteristic. Problema directă a cinematicii roboţilor industriali se formulează astfel: dându-se schema cinematică a robotului industrial şi valoarea coordonatei generalizate în orice moment, să se determine poziţia tuturor elementelor robotului industrial unul faţă de altul. Trebuie să se determine poziţia şi orientarea ultimului element al robotului industrial (mâna mecanică) în sistemul de calcul legat de batiu. Dimensiunile elementelor componente ale robotului industrial sunt cunoscute.

Problema se rezolvă cu ajutorul formulei (3.44)

R0=Tn Rn (3.46)

în care T n este matricea ce rezultă ca produsul matricelor Ai.

T n=A1 A2 … An (3.47)

În formula (3.46) Rn şi R0 sunt matrici coloană de dimensiuni 4 ×1; primele trei elemente din matrici sunt coordonatele punctului arbitrar al mâinii mecanice corespunzătoare sistemelor n şi 0.

Coloanele matricei T n au semnificaţie geometrică.

Primele trei rânduri ale coloanelor unu, doi şi trei reprezintă cosinusurile directoare ale axelor xn, yn, zn în sistemul 0 iar pe coloana a patra în primele trei rânduri sunt trecute coordonatele x¿, y¿, z¿ ale centrului mâinii mecanice în acelaşi sistem.

Cu ( i⃗p ,qi⃗ ) s-a notat unghiul dintre vectorii ( i⃗ p ) şi ( i⃗q ).

T n=[cos (i⃗n ,0i⃗ ) cos ( j⃗n ,0

i⃗ )cos (i⃗n ,0

j⃗ ) cos ( j⃗n ,0j⃗ )

cos ( k⃗n ,0i⃗ ) x¿

cos ( k⃗n ,0j⃗ ) y¿

cos ( i⃗n ,0k⃗ ) cos ( j⃗n ,0

k⃗ )0 0

cos ( k⃗n ,0k⃗ ) z¿

0 1] (3.48)

Rezultă deci că rezolvarea problemei directe a cinematicii robotului industrial porneşte de la valoarea coordonatei generalizate, calculându-se cu ajutorul relaţiilor (3.47) şi (3.42) valorile elementelor matricei T n, şi cu formula (3.48) se determină poziţia şi orientarea mâinii mecanice în sistemul de coordonate legat rigid de batiul robotului industrial.

În acelaşi mod se determină poziţia oricărui element din structura robotului industrial.

Să exemplificăm utilizarea matricei (3.47) în stabilirea ecuaţiilor de mişcare pentru braţele a patru tipuri de roboţi industriali: IBM-RS-7565 care are un sistem cartezian de coordonate, Fanuc M1 care are un sistem cilindric, Unimate 4000 B care are un sistem sferic şi PUMA-560 care are un sistem articulat de coordonate.

Pentru braţul robotului industrial IBM-RS-7565 tipul cuplelor cinematice şi valorile parametrilor sunt date în tabelul 3.1, iar în figura 3.6 se prezintă sistemul de coordonate ales şi translaţiile care se fac în acest sistem pentru efectuarea calculelor.

Fig. 3.6

Tabelul 3.1

Cupla cinematică

Variabila α a d cosα sinα

1 a1 −90o a1 0 0 -12 d2 90o 0 d2 0 13 d3 0o 0 d3 1 0

Matricele corespunzătoare pentru cele trei cuple de translaţie sunt:

A1=[ 1 00 0

0 a1

1 00 −10 0

0 00 0

]A2=[1 0

0 00 0

−1 00 10 0

0 d1

0 1]

A3=[1 00 1

0 00 0

0 00 0

1 d1

0 1]

Rezultă:

T PPP=A1 A2 A3=[1 00 1

0 a1

0 d2

0 00 0

0 d3

0 1]

Robotul industrial Fanuc 600 M1 lucrează în coordonate cilindrice. Pentru braţul său care lucrează două translaţii în lungul axelor z0 şi z3 şi o rotaţie în jurul lui z1 (figura 3.7). datele necesare pentru calculul sunt prezentate în tabelul 3.2.

Tabelul 3.2

Cupla cinematică

Variabila α a d cosα sinα

1 d1 0o 0 d1 1 02 θ2 −90o a2 0 0 -13 d3 0o 0 d3 1 0

Matricele corespunzătoare pentru cele două cuple de translaţie şi cea de rotaţie sunt:

A1=[1 00 1

0 00 0

0 00 0

1 d1

0 1]

A2=[cosθ2 0sin θ2 0

−sinθ2 a2cosθ2

cos θ2 a2sin θ2

0 −10 0

0 00 1

]A3=[1 0

0 10 00 0

0 00 0

1 d3

0 1]

T PRP=A1 A2 A3=[cosθ2 0sin θ2 0

−sin θ2 −d3 sin θ2+a2 cosθ2

cosθ2 d3 cosθ2+a2sin θ2

0 −10 0

0 00 1

]

Fig. 3.7

Pentru un robot ce lucrează într-un sistem de coordonate sferic sau polar (figura 3.8) parametrii necesari pentru calculul matricei T RRP sunt date în tabelul 3.3.

Tabelul 3.3

Cupla cinematică

Variabila α a d cosα sinα

1 θ1 −90o 0 0 0 -12 θ2 90o 0 0 0 13 d3 0o 0 d3 1 0

Fig. 3.8

Matricele corespunzătoare pentru cele trei cuple cinematice sunt:

A1=[cosθ1 0sin θ1 0

−sinθ1 0cos θ1 0

0 −10 0

0 00 1

]

A2=[cosθ2 0sin θ2 0

sin θ2 0−cosθ2 0

0 10 0

0 00 1

]A3=[1 0

0 10 00 0

0 00 0

1 d3

0 1]

Deci:

T RRP=A1 A2 A3=[cosθ1 cosθ2 −sin θ1

sin θ1 sin θ2 cosθ2

cosθ1sin θ2 d3cos θ1 sinθ2

sin θ1sin θ2 d3 sinθ1sin θ2

sin θ2 00 0

0 d3cos θ2

0 1]

Pentru un robot industrial de tip antropomorf se indică schema (figura 3.9) şi caracteristicile în tabelul 3.4. Aceasta lucrează într-un sistem de coordonate articulat sau revolut.

Fig. 3.9

Tabelul 3.4

Cupla cinematică

Variabila α a d cosα sinα

1 θ1 90o 0 0 0 12 θ2 0o a2 0 1 03 θ3 0o a3 0 1 0

Matricele pentru cele trei cuple de rotaţie sunt:

A1=[cosθ1 0sin θ1 0

sin θ1 0−cosθ1 0

0 10 0

0 00 1

]A2=[cosθ2 −sin θ2

sin θ2 cosθ2

0 a2cosθ2

0 a2sin θ2

0 00 0

1 00 1

]A3=[cosθ3 −sin θ3

sin θ3 cosθ3

0 a3cos θ3

0 a3 sinθ3

0 00 0

1 00 1

]Rezultă:

T RRR=A1 A2 A3=¿

în care s-a notat: S 1=sin θ1; C 1=cosθ1; S23=sin(θ¿¿2+θ3)¿; C 23=cos (θ¿¿2++θ3)¿.

În final se poate spune că poziţia robotului industrial este determinată de mişcările braţului şi ale articulaţiei acestuia.

[Poziţia finală]=[Poziţia braţului][Poziţia articulaţiei]

T 0=T braţ0 T art

0 =[ A1 A2 A3 ]=[ A4 A5 A6]

Pentru articulaţia RPY (figura 2.9) valorile necesare de calcul sunt date în tabelul 3.5.

Tabelul 3.5

Cupla cinematică

Variabila α a d cosα sinα

1 θ1 −90o 0 0 0 -12 θ2 90o 0 0 0 13 α 3 α 3 0 0 cos α3 sin α 3

Matricele pentru cele trei cuple de rotaţie sunt:

A1=[cosθ1 0sin θ1 0

−sinθ1 0cos θ1 0

0 −10 0

0 00 1

]A2=[cosθ2 0

sin θ2 0sin θ2 0

−cosθ2 00 10 0

0 00 1

]A3=[1 0

0 cosα 3

0 0−sin α 3 0

0 sin α 3

0 0cos α3 0

0 1]

Deci

T RYP=A1 A2 A3=¿[C θ1 C θ2 C θ1 S θ2 S α 3−S θ1C α3

Sθ1 C θ2 S θ1 Sθ2 S α3+C θ1C α3

C θ1 S θ2C α3+Sθ1 S α3 0Sθ1 Sθ2 C α 3−C θ1 S α3 0

−S θ2 C θ2 S α3

0 0C θ2C α 3 0

0 1]

în care cu C s-a notat funcţia cosinus iar cu S s-a notat funcţia sinus.

Exemplu: Să se determine poziţia şi orientarea mâinii mecanice a robotului industrial a cărei schemă cinematică structurală este dată în figura 3.10, a.

a)

b)

Fig. 3.10

În figura 3.10, b sunt indicate sistemele de referinţă ataşate fiecărui element (lanţ cinematic) a robotului industrial şi parametrii decalcul ( coordonatele generalizate) si şi θi.

Rezolvarea problemei constă în găsirea mărimilor ce intră în componenţa matricei:

T 5=[ ( t5 )11 (t 5 )12

(t 5 )21 (t 5 )22

(t 5 )13 (t 5 )14

(t 5 )23 (t 5 )24

(t 5 )31 (t 5 )32

0 0(t 5 )33 (t 5 )34

0 1]

Care se determină conform relaţiei (3.47) ca produsul matricelor Ai.

T 5=A1 A2 A3 A4 A5.

Parametrii necesari pentru calculul matricei T 5 sunt daţi în tabelul 3.6.

Tabelul 3.6

Cupla cinematică

θ α a d cosα sinα

1 0 0o a1 s1 1 02 θ2 −90o 0 s2 0 -13 0 0o 0 s3 1 04 θ4 −90o 0 s4 0 -15 θ5 −90o a5 0 0 -1

Calculele conduc la următoarele formule:

(t 5 )11=cosθ2 cosθ4cos θ5+s inθ2 sin θ5=cos (i⃗5 ,0i⃗ )

(t 5 )21=sin θ2 cosθ4cos θ5−cos θ2sin θ5=cos ( i⃗5 ,0j⃗ )

(t 5 )31=−sin θ4 cos θ5=cos ( i⃗5 ,0k⃗ )

(t 5 )12=cosθ2sin θ4=cos ( j⃗5 ,0i⃗ )

(t 5 )22=s inθ2 sin θ4=cos ( j⃗5 ,0j⃗ )

(t 5 )32=cosθ4=cos ( j⃗5 ,0k⃗ )

(t 5 )13=−cosθ2cos θ4 cosθ5+s inθ2cos θ5=cos (k⃗ 5 ,0i⃗ )

(t 5 )23=−sin θ2 cosθ4 sinθ5−s inθ2cosθ5=cos ( k⃗5 ,0j⃗ )

(t 5 )33=s inθ4 sinθ5=cos ( k⃗5 ,0k⃗ )

(t 5 )14=a5 ( cosθ2 cosθ4 cos θ5+s inθ2 sin θ5 )−sinθ2 ( s3+s4 )+a1=x5¿

(t 5 )24=a5 ( sinθ2cos θ4 cosθ5−cosθ2sin θ5 )+cos θ2 ( s3+s4 )+a1= y5¿

(t 5 )34=−a5 sinθ4 cosθ5+¿ s1+s2=z5¿ ¿

Problema inversă a determinării poziţiei robotului industrial. Problema inversă a cinematicii se poate formula astfel: dându-se schema cinematică a

robotului industrial şi cunoscându-se poziţia şi orientarea mâinii mecanice în sistemul de coordonate al braţului; trebuiesc determinate valorile coordonatei generalizate care asigură poziţia dată a mâinii mecanice.

Definirea poziţiei mâinii mecanice se face cu ajutorul a şase mărimi. De regulă trei din ele sunt coordonatele centrului mâinii mecanice, alte două sunt cosinusurile directoare ale unei axe de coordonate ale mâinii mecanice şi ultima unul din cosinusurile directoare ale unei alte axe de coordonate a mâinii mecanice. De exemplu, aceste şase mărimi pot fi cele şase elemente ale diagonalei matricei T n

.

T n=[. (t n )12

. .

(t n )13 (t n )14

(t n )23 (t n )24

. .

. .. (tn )34

. .] (3.49)

Din (3.49) se obţine un sistem de şase ecuaţii cu şase necunoscute: coordonatele generalizate. Nu se vor discuta cazurile în care numărul de ecuaţii şi de necunoscute nu sunt identice.