CURS 3: Vectori ın spatiu (3D)

Conf. dr. Constantin-Cosmin Todea

Cluj-Napoca

Spatiul euclidian (3D)≅ R3

(se indentifica cu R3).Fie A,B doua puncte; deci A,B ∈ R3.AB-segment orientat (sensul de la A spre B); deci AB ≠ BA.

Defn. 3.1.

Se numeste vector(notatÐ→

AB)multimea tuturor segmentelororientate care au:

- aceeasi directie cu AB;

- acelasi sens cu AB;

- si aceeasi lungime (notata ∣

Ð→

AB ∣ =lungimea segmentului [AB]).

Notatii:

Vectorii Ð→u ,Ð→v ,Ð→

XY ,Ð→

AB,Ð→v1 ,Ð→v2 , etc.

Lungimea lui Ð→u se noteaza ∣Ð→u ∣

sau= ∥Ð→u ∥

Spatiul euclidian (3D)≅ R3(se indentifica cu R3).

Fie A,B doua puncte; deci A,B ∈ R3.AB-segment orientat (sensul de la A spre B); deci AB ≠ BA.

Defn. 3.1.

Se numeste vector(notatÐ→

AB)multimea tuturor segmentelororientate care au:

- aceeasi directie cu AB;

- acelasi sens cu AB;

- si aceeasi lungime (notata ∣

Ð→

AB ∣ =lungimea segmentului [AB]).

Notatii:

Vectorii Ð→u ,Ð→v ,Ð→

XY ,Ð→

AB,Ð→v1 ,Ð→v2 , etc.

Lungimea lui Ð→u se noteaza ∣Ð→u ∣

sau= ∥Ð→u ∥

Spatiul euclidian (3D)≅ R3(se indentifica cu R3).Fie A,B doua puncte;

deci A,B ∈ R3.AB-segment orientat (sensul de la A spre B); deci AB ≠ BA.

Defn. 3.1.

Se numeste vector(notatÐ→

AB)multimea tuturor segmentelororientate care au:

- aceeasi directie cu AB;

- acelasi sens cu AB;

- si aceeasi lungime (notata ∣

Ð→

AB ∣ =lungimea segmentului [AB]).

Notatii:

Vectorii Ð→u ,Ð→v ,Ð→

XY ,Ð→

AB,Ð→v1 ,Ð→v2 , etc.

Lungimea lui Ð→u se noteaza ∣Ð→u ∣

sau= ∥Ð→u ∥

Spatiul euclidian (3D)≅ R3(se indentifica cu R3).Fie A,B doua puncte; deci A,B ∈ R3.

AB-segment orientat (sensul de la A spre B); deci AB ≠ BA.

Defn. 3.1.

Se numeste vector(notatÐ→

AB)multimea tuturor segmentelororientate care au:

- aceeasi directie cu AB;

- acelasi sens cu AB;

- si aceeasi lungime (notata ∣

Ð→

AB ∣ =lungimea segmentului [AB]).

Notatii:

Vectorii Ð→u ,Ð→v ,Ð→

XY ,Ð→

AB,Ð→v1 ,Ð→v2 , etc.

Lungimea lui Ð→u se noteaza ∣Ð→u ∣

sau= ∥Ð→u ∥

Spatiul euclidian (3D)≅ R3(se indentifica cu R3).Fie A,B doua puncte; deci A,B ∈ R3.AB-segment orientat (sensul de la A spre B);

deci AB ≠ BA.

Defn. 3.1.

Se numeste vector(notatÐ→

AB)multimea tuturor segmentelororientate care au:

- aceeasi directie cu AB;

- acelasi sens cu AB;

- si aceeasi lungime (notata ∣

Ð→

AB ∣ =lungimea segmentului [AB]).

Notatii:

Vectorii Ð→u ,Ð→v ,Ð→

XY ,Ð→

AB,Ð→v1 ,Ð→v2 , etc.

Lungimea lui Ð→u se noteaza ∣Ð→u ∣

sau= ∥Ð→u ∥

Spatiul euclidian (3D)≅ R3(se indentifica cu R3).Fie A,B doua puncte; deci A,B ∈ R3.AB-segment orientat (sensul de la A spre B); deci AB ≠ BA.

Defn. 3.1.

Se numeste vector(notatÐ→

AB)multimea tuturor segmentelororientate care au:

- aceeasi directie cu AB;

- acelasi sens cu AB;

- si aceeasi lungime (notata ∣

Ð→

AB ∣ =lungimea segmentului [AB]).

Notatii:

Vectorii Ð→u ,Ð→v ,Ð→

XY ,Ð→

AB,Ð→v1 ,Ð→v2 , etc.

Lungimea lui Ð→u se noteaza ∣Ð→u ∣

sau= ∥Ð→u ∥

Spatiul euclidian (3D)≅ R3(se indentifica cu R3).Fie A,B doua puncte; deci A,B ∈ R3.AB-segment orientat (sensul de la A spre B); deci AB ≠ BA.

Defn. 3.1.

Se numeste vector

(notatÐ→

AB)multimea tuturor segmentelororientate care au:

- aceeasi directie cu AB;

- acelasi sens cu AB;

- si aceeasi lungime (notata ∣

Ð→

AB ∣ =lungimea segmentului [AB]).

Notatii:

Vectorii Ð→u ,Ð→v ,Ð→

XY ,Ð→

AB,Ð→v1 ,Ð→v2 , etc.

Lungimea lui Ð→u se noteaza ∣Ð→u ∣

sau= ∥Ð→u ∥

Spatiul euclidian (3D)≅ R3(se indentifica cu R3).Fie A,B doua puncte; deci A,B ∈ R3.AB-segment orientat (sensul de la A spre B); deci AB ≠ BA.

Defn. 3.1.

Se numeste vector(notatÐ→

AB)

multimea tuturor segmentelororientate care au:

- aceeasi directie cu AB;

- acelasi sens cu AB;

- si aceeasi lungime (notata ∣

Ð→

AB ∣ =lungimea segmentului [AB]).

Notatii:

Vectorii Ð→u ,Ð→v ,Ð→

XY ,Ð→

AB,Ð→v1 ,Ð→v2 , etc.

Lungimea lui Ð→u se noteaza ∣Ð→u ∣

sau= ∥Ð→u ∥

Spatiul euclidian (3D)≅ R3(se indentifica cu R3).Fie A,B doua puncte; deci A,B ∈ R3.AB-segment orientat (sensul de la A spre B); deci AB ≠ BA.

Defn. 3.1.

Se numeste vector(notatÐ→

AB)multimea tuturor segmentelororientate care au:

- aceeasi directie cu AB;

- acelasi sens cu AB;

- si aceeasi lungime (notata ∣

Ð→

AB ∣ =lungimea segmentului [AB]).

Notatii:

Vectorii Ð→u ,Ð→v ,Ð→

XY ,Ð→

AB,Ð→v1 ,Ð→v2 , etc.

Lungimea lui Ð→u se noteaza ∣Ð→u ∣

sau= ∥Ð→u ∥

Spatiul euclidian (3D)≅ R3(se indentifica cu R3).Fie A,B doua puncte; deci A,B ∈ R3.AB-segment orientat (sensul de la A spre B); deci AB ≠ BA.

Defn. 3.1.

Se numeste vector(notatÐ→

AB)multimea tuturor segmentelororientate care au:

- aceeasi directie cu AB;

- acelasi sens cu AB;

- si aceeasi lungime (notata ∣

Ð→

AB ∣ =lungimea segmentului [AB]).

Notatii:

Vectorii Ð→u ,Ð→v ,Ð→

XY ,Ð→

AB,Ð→v1 ,Ð→v2 , etc.

Lungimea lui Ð→u se noteaza ∣Ð→u ∣

sau= ∥Ð→u ∥

Spatiul euclidian (3D)≅ R3(se indentifica cu R3).Fie A,B doua puncte; deci A,B ∈ R3.AB-segment orientat (sensul de la A spre B); deci AB ≠ BA.

Defn. 3.1.

Se numeste vector(notatÐ→

AB)multimea tuturor segmentelororientate care au:

- aceeasi directie cu AB;

- acelasi sens cu AB;

- si aceeasi lungime (notata ∣

Ð→

AB ∣ =lungimea segmentului [AB]).

Notatii:

Vectorii Ð→u ,Ð→v ,Ð→

XY ,Ð→

AB,Ð→v1 ,Ð→v2 , etc.

Lungimea lui Ð→u se noteaza ∣Ð→u ∣

sau= ∥Ð→u ∥

Spatiul euclidian (3D)≅ R3(se indentifica cu R3).Fie A,B doua puncte; deci A,B ∈ R3.AB-segment orientat (sensul de la A spre B); deci AB ≠ BA.

Defn. 3.1.

Se numeste vector(notatÐ→

AB)multimea tuturor segmentelororientate care au:

- aceeasi directie cu AB;

- acelasi sens cu AB;

- si aceeasi lungime (notata ∣

Ð→

AB ∣ =

lungimea segmentului [AB]).

Notatii:

Vectorii Ð→u ,Ð→v ,Ð→

XY ,Ð→

AB,Ð→v1 ,Ð→v2 , etc.

Lungimea lui Ð→u se noteaza ∣Ð→u ∣

sau= ∥Ð→u ∥

Spatiul euclidian (3D)≅ R3(se indentifica cu R3).Fie A,B doua puncte; deci A,B ∈ R3.AB-segment orientat (sensul de la A spre B); deci AB ≠ BA.

Defn. 3.1.

Se numeste vector(notatÐ→

AB)multimea tuturor segmentelororientate care au:

- aceeasi directie cu AB;

- acelasi sens cu AB;

- si aceeasi lungime (notata ∣

Ð→

AB ∣ =lungimea segmentului [AB]).

Notatii:

Vectorii Ð→u ,Ð→v ,Ð→

XY ,Ð→

AB,Ð→v1 ,Ð→v2 , etc.

Lungimea lui Ð→u se noteaza ∣Ð→u ∣

sau= ∥Ð→u ∥

Spatiul euclidian (3D)≅ R3(se indentifica cu R3).Fie A,B doua puncte; deci A,B ∈ R3.AB-segment orientat (sensul de la A spre B); deci AB ≠ BA.

Defn. 3.1.

Se numeste vector(notatÐ→

AB)multimea tuturor segmentelororientate care au:

- aceeasi directie cu AB;

- acelasi sens cu AB;

- si aceeasi lungime (notata ∣

Ð→

AB ∣ =lungimea segmentului [AB]).

Notatii:

Vectorii Ð→u ,Ð→v ,Ð→

XY ,Ð→

AB,Ð→v1 ,Ð→v2 , etc.

Lungimea lui Ð→u se noteaza ∣Ð→u ∣

sau= ∥Ð→u ∥

Spatiul euclidian (3D)≅ R3(se indentifica cu R3).Fie A,B doua puncte; deci A,B ∈ R3.AB-segment orientat (sensul de la A spre B); deci AB ≠ BA.

Defn. 3.1.

Se numeste vector(notatÐ→

AB)multimea tuturor segmentelororientate care au:

- aceeasi directie cu AB;

- acelasi sens cu AB;

- si aceeasi lungime (notata ∣

Ð→

AB ∣ =lungimea segmentului [AB]).

Notatii:

Vectorii Ð→u ,Ð→v ,Ð→

XY ,Ð→

AB,Ð→v1 ,Ð→v2 , etc.

Lungimea lui Ð→u se noteaza ∣Ð→u ∣

sau= ∥Ð→u ∥

Spatiul euclidian (3D)≅ R3(se indentifica cu R3).Fie A,B doua puncte; deci A,B ∈ R3.AB-segment orientat (sensul de la A spre B); deci AB ≠ BA.

Defn. 3.1.

Se numeste vector(notatÐ→

AB)multimea tuturor segmentelororientate care au:

- aceeasi directie cu AB;

- acelasi sens cu AB;

- si aceeasi lungime (notata ∣

Ð→

AB ∣ =lungimea segmentului [AB]).

Notatii:

Vectorii Ð→u ,Ð→v ,Ð→

XY ,Ð→

AB,Ð→v1 ,Ð→v2 , etc.

Lungimea lui Ð→u se noteaza ∣Ð→u ∣

sau=

∥Ð→u ∥

Spatiul euclidian (3D)≅ R3(se indentifica cu R3).Fie A,B doua puncte; deci A,B ∈ R3.AB-segment orientat (sensul de la A spre B); deci AB ≠ BA.

Defn. 3.1.

Se numeste vector(notatÐ→

AB)multimea tuturor segmentelororientate care au:

- aceeasi directie cu AB;

- acelasi sens cu AB;

- si aceeasi lungime (notata ∣

Ð→

AB ∣ =lungimea segmentului [AB]).

Notatii:

Vectorii Ð→u ,Ð→v ,Ð→

XY ,Ð→

AB,Ð→v1 ,Ð→v2 , etc.

Lungimea lui Ð→u se noteaza ∣Ð→u ∣

sau= ∥Ð→u ∥

Observatii:

1) Doi vectori au aceeasi directie daca sunt desenati pe drepteparalele sau pe aceeasi dreapta;

2) Vorbim de doi vectori au acelasi sens (sau sens opus) doardaca au aceeasi directie!

Ex: ”Desene la tabla! directii sens!”

Observatii:

1) Doi vectori au aceeasi directie

daca sunt desenati pe drepteparalele sau pe aceeasi dreapta;

2) Vorbim de doi vectori au acelasi sens (sau sens opus) doardaca au aceeasi directie!

Ex: ”Desene la tabla! directii sens!”

Observatii:

1) Doi vectori au aceeasi directie daca sunt desenati pe drepteparalele

sau pe aceeasi dreapta;

2) Vorbim de doi vectori au acelasi sens (sau sens opus) doardaca au aceeasi directie!

Ex: ”Desene la tabla! directii sens!”

Observatii:

1) Doi vectori au aceeasi directie daca sunt desenati pe drepteparalele sau pe aceeasi dreapta;

2) Vorbim de doi vectori au acelasi sens (sau sens opus) doardaca au aceeasi directie!

Ex: ”Desene la tabla! directii sens!”

Observatii:

1) Doi vectori au aceeasi directie daca sunt desenati pe drepteparalele sau pe aceeasi dreapta;

2) Vorbim de doi vectori au acelasi sens

(sau sens opus) doardaca au aceeasi directie!

Ex: ”Desene la tabla! directii sens!”

Observatii:

1) Doi vectori au aceeasi directie daca sunt desenati pe drepteparalele sau pe aceeasi dreapta;

2) Vorbim de doi vectori au acelasi sens (sau sens opus)

doardaca au aceeasi directie!

Ex: ”Desene la tabla! directii sens!”

Observatii:

1) Doi vectori au aceeasi directie daca sunt desenati pe drepteparalele sau pe aceeasi dreapta;

2) Vorbim de doi vectori au acelasi sens (sau sens opus) doardaca au aceeasi directie!

Ex: ”Desene la tabla! directii sens!”

Observatii:

1) Doi vectori au aceeasi directie daca sunt desenati pe drepteparalele sau pe aceeasi dreapta;

2) Vorbim de doi vectori au acelasi sens (sau sens opus) doardaca au aceeasi directie!

Ex: ”Desene la tabla! directii sens!”

3.2.Reperul Oxyz(3D):

”desen la tabla”

Thm

Orice vector Ð→v are o scriere unica: Ð→v = xvÐ→

i + yvÐ→

j + zvÐ→

k iarnumerele xv , yv , zv se numesc coordonatele lui Ð→v , adicaÐ→v (xv , yv , zv);

Se demonstreaza ca ∣Ð→v ∣ =

√

x2v + y2v + z2v .

Observatie:

1) {

Ð→

i ,Ð→

j ,Ð→

k } formeaza o baza ortonormata pentru V3

(V3=multimea tuturor vectorilor);

2)Ð→

i (1,0,0),Ð→

j (0,1,0),Ð→

k (0,0,1).

3.2.Reperul Oxyz(3D):

”desen la tabla”

Thm

Orice vector Ð→v

are o scriere unica: Ð→v = xvÐ→

i + yvÐ→

j + zvÐ→

k iarnumerele xv , yv , zv se numesc coordonatele lui Ð→v , adicaÐ→v (xv , yv , zv);

Se demonstreaza ca ∣Ð→v ∣ =

√

x2v + y2v + z2v .

Observatie:

1) {

Ð→

i ,Ð→

j ,Ð→

k } formeaza o baza ortonormata pentru V3

(V3=multimea tuturor vectorilor);

2)Ð→

i (1,0,0),Ð→

j (0,1,0),Ð→

k (0,0,1).

3.2.Reperul Oxyz(3D):

”desen la tabla”

Thm

Orice vector Ð→v are o scriere unica: Ð→v = xvÐ→

i + yvÐ→

j + zvÐ→

k

iarnumerele xv , yv , zv se numesc coordonatele lui Ð→v , adicaÐ→v (xv , yv , zv);

Se demonstreaza ca ∣Ð→v ∣ =

√

x2v + y2v + z2v .

Observatie:

1) {

Ð→

i ,Ð→

j ,Ð→

k } formeaza o baza ortonormata pentru V3

(V3=multimea tuturor vectorilor);

2)Ð→

i (1,0,0),Ð→

j (0,1,0),Ð→

k (0,0,1).

3.2.Reperul Oxyz(3D):

”desen la tabla”

Thm

Orice vector Ð→v are o scriere unica: Ð→v = xvÐ→

i + yvÐ→

j + zvÐ→

k iarnumerele xv , yv , zv se numesc coordonatele lui Ð→v , adica

Ð→v (xv , yv , zv);

Se demonstreaza ca ∣Ð→v ∣ =

√

x2v + y2v + z2v .

Observatie:

1) {

Ð→

i ,Ð→

j ,Ð→

k } formeaza o baza ortonormata pentru V3

(V3=multimea tuturor vectorilor);

2)Ð→

i (1,0,0),Ð→

j (0,1,0),Ð→

k (0,0,1).

3.2.Reperul Oxyz(3D):

”desen la tabla”

Thm

Orice vector Ð→v are o scriere unica: Ð→v = xvÐ→

i + yvÐ→

j + zvÐ→

k iarnumerele xv , yv , zv se numesc coordonatele lui Ð→v , adicaÐ→v (xv , yv , zv);

Se demonstreaza ca ∣Ð→v ∣ =

√

x2v + y2v + z2v .

Observatie:

1) {

Ð→

i ,Ð→

j ,Ð→

k } formeaza o baza ortonormata pentru V3

(V3=multimea tuturor vectorilor);

2)Ð→

i (1,0,0),Ð→

j (0,1,0),Ð→

k (0,0,1).

3.2.Reperul Oxyz(3D):

”desen la tabla”

Thm

Orice vector Ð→v are o scriere unica: Ð→v = xvÐ→

i + yvÐ→

j + zvÐ→

k iarnumerele xv , yv , zv se numesc coordonatele lui Ð→v , adicaÐ→v (xv , yv , zv);

Se demonstreaza ca

∣Ð→v ∣ =

√

x2v + y2v + z2v .

Observatie:

1) {

Ð→

i ,Ð→

j ,Ð→

k } formeaza o baza ortonormata pentru V3

(V3=multimea tuturor vectorilor);

2)Ð→

i (1,0,0),Ð→

j (0,1,0),Ð→

k (0,0,1).

3.2.Reperul Oxyz(3D):

”desen la tabla”

Thm

Orice vector Ð→v are o scriere unica: Ð→v = xvÐ→

i + yvÐ→

j + zvÐ→

k iarnumerele xv , yv , zv se numesc coordonatele lui Ð→v , adicaÐ→v (xv , yv , zv);

Se demonstreaza ca ∣Ð→v ∣ =

√

x2v + y2v + z2v .

Observatie:

1) {

Ð→

i ,Ð→

j ,Ð→

k } formeaza o baza ortonormata pentru V3

(V3=multimea tuturor vectorilor);

2)Ð→

i (1,0,0),Ð→

j (0,1,0),Ð→

k (0,0,1).

3.2.Reperul Oxyz(3D):

”desen la tabla”

Thm

Orice vector Ð→v are o scriere unica: Ð→v = xvÐ→

i + yvÐ→

j + zvÐ→

k iarnumerele xv , yv , zv se numesc coordonatele lui Ð→v , adicaÐ→v (xv , yv , zv);

Se demonstreaza ca ∣Ð→v ∣ =

√

x2v + y2v + z2v .

Observatie:

1) {

Ð→

i ,Ð→

j ,Ð→

k } formeaza o baza ortonormata pentru V3

(V3=multimea tuturor vectorilor);

2)Ð→

i (1,0,0),Ð→

j (0,1,0),Ð→

k (0,0,1).

3.2.Reperul Oxyz(3D):

”desen la tabla”

Thm

Orice vector Ð→v are o scriere unica: Ð→v = xvÐ→

i + yvÐ→

j + zvÐ→

k iarnumerele xv , yv , zv se numesc coordonatele lui Ð→v , adicaÐ→v (xv , yv , zv);

Se demonstreaza ca ∣Ð→v ∣ =

√

x2v + y2v + z2v .

Observatie:

1) {

Ð→

i ,Ð→

j ,Ð→

k } formeaza o baza ortonormata pentru V3

(V3=multimea tuturor vectorilor);

2)Ð→

i (1,0,0),Ð→

j (0,1,0),Ð→

k (0,0,1).

3.2.Reperul Oxyz(3D):

”desen la tabla”

Thm

Orice vector Ð→v are o scriere unica: Ð→v = xvÐ→

i + yvÐ→

j + zvÐ→

k iarnumerele xv , yv , zv se numesc coordonatele lui Ð→v , adicaÐ→v (xv , yv , zv);

Se demonstreaza ca ∣Ð→v ∣ =

√

x2v + y2v + z2v .

Observatie:

1) {

Ð→

i ,Ð→

j ,Ð→

k } formeaza o baza ortonormata pentru V3

(V3=multimea tuturor vectorilor);

2)Ð→

i (1,0,0),Ð→

j (0,1,0),Ð→

k (0,0,1).

3.2.Reperul Oxyz(3D):

”desen la tabla”

Thm

Orice vector Ð→v are o scriere unica: Ð→v = xvÐ→

i + yvÐ→

j + zvÐ→

k iarnumerele xv , yv , zv se numesc coordonatele lui Ð→v , adicaÐ→v (xv , yv , zv);

Se demonstreaza ca ∣Ð→v ∣ =

√

x2v + y2v + z2v .

Observatie:

1) {

Ð→

i ,Ð→

j ,Ð→

k } formeaza o baza ortonormata pentru V3

(V3=multimea tuturor vectorilor);

2)Ð→

i (1,0,0),Ð→

j (0,1,0),Ð→

k (0,0,1).

3.2. Operatii cu vectori

Fie Ð→u1 = x1Ð→

i + y1Ð→

j + z1Ð→

k , Ð→u2 = x2Ð→

i + y2Ð→

j + z2Ð→

kÐ→v (xv , yv , zv) si α,β ∈ R.

A Egalitatea vectorilor :Doi vectori sunt egali daca si numai daca au aceeasi directie,lungime si acelasi sens.Ð→u1 =

Ð→u2 ⇐⇒ x1 = x2; y1 = y2; z1 = z2.B Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex:Ð→

AB +

Ð→

BC =

Ð→

AC ; ”desen”Ð→u1 +

Ð→u2 = (x1 + x2)Ð→

i + (y1 + y2)Ð→

j + (z1 + z2)Ð→

k .Proprietatile adunarii:

1) (Ð→u +

Ð→v ) +Ð→w =

Ð→u + (Ð→v +

Ð→w ),∀Ð→u ,Ð→v ,Ð→w ∈ V3;(asociativitate);

2) ∃Ð→0 (0,0,0) ∈ V3(vectorul zero) a.ı.Ð→0 +

Ð→u =Ð→u +

Ð→0 =

Ð→u ,∀Ð→u ∈ V3 (element neutru);

3) ∀Ð→u ∈ V3, ∃! −Ð→u ∈ V3 ∶

Ð→u + (−Ð→u ) = (−

Ð→u ) +Ð→u =

Ð→0 .

4) Ð→u +Ð→v =

Ð→v +Ð→u ,∀Ð→u ,Ð→v ∈ V3 (comutativitate);

5) −

Ð→

AB =

Ð→

BA; Ð→v (xv , yv , zv) =Ð→0 ⇐⇒ xv = 0, yv = 0, zv = 0.

3.2. Operatii cu vectori

Fie Ð→u1 = x1Ð→

i + y1Ð→

j + z1Ð→

k ,

Ð→u2 = x2Ð→

i + y2Ð→

j + z2Ð→

kÐ→v (xv , yv , zv) si α,β ∈ R.

A Egalitatea vectorilor :Doi vectori sunt egali daca si numai daca au aceeasi directie,lungime si acelasi sens.Ð→u1 =

Ð→u2 ⇐⇒ x1 = x2; y1 = y2; z1 = z2.B Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex:Ð→

AB +

Ð→

BC =

Ð→

AC ; ”desen”Ð→u1 +

Ð→u2 = (x1 + x2)Ð→

i + (y1 + y2)Ð→

j + (z1 + z2)Ð→

k .Proprietatile adunarii:

1) (Ð→u +

Ð→v ) +Ð→w =

Ð→u + (Ð→v +

Ð→w ),∀Ð→u ,Ð→v ,Ð→w ∈ V3;(asociativitate);

2) ∃Ð→0 (0,0,0) ∈ V3(vectorul zero) a.ı.Ð→0 +

Ð→u =Ð→u +

Ð→0 =

Ð→u ,∀Ð→u ∈ V3 (element neutru);

3) ∀Ð→u ∈ V3, ∃! −Ð→u ∈ V3 ∶

Ð→u + (−Ð→u ) = (−

Ð→u ) +Ð→u =

Ð→0 .

4) Ð→u +Ð→v =

Ð→v +Ð→u ,∀Ð→u ,Ð→v ∈ V3 (comutativitate);

5) −

Ð→

AB =

Ð→

BA; Ð→v (xv , yv , zv) =Ð→0 ⇐⇒ xv = 0, yv = 0, zv = 0.

3.2. Operatii cu vectori

Fie Ð→u1 = x1Ð→

i + y1Ð→

j + z1Ð→

k , Ð→u2 = x2Ð→

i + y2Ð→

j + z2Ð→

k

Ð→v (xv , yv , zv) si α,β ∈ R.

A Egalitatea vectorilor :Doi vectori sunt egali daca si numai daca au aceeasi directie,lungime si acelasi sens.Ð→u1 =

Ð→u2 ⇐⇒ x1 = x2; y1 = y2; z1 = z2.B Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex:Ð→

AB +

Ð→

BC =

Ð→

AC ; ”desen”Ð→u1 +

Ð→u2 = (x1 + x2)Ð→

i + (y1 + y2)Ð→

j + (z1 + z2)Ð→

k .Proprietatile adunarii:

1) (Ð→u +

Ð→v ) +Ð→w =

Ð→u + (Ð→v +

Ð→w ),∀Ð→u ,Ð→v ,Ð→w ∈ V3;(asociativitate);

2) ∃Ð→0 (0,0,0) ∈ V3(vectorul zero) a.ı.Ð→0 +

Ð→u =Ð→u +

Ð→0 =

Ð→u ,∀Ð→u ∈ V3 (element neutru);

3) ∀Ð→u ∈ V3, ∃! −Ð→u ∈ V3 ∶

Ð→u + (−Ð→u ) = (−

Ð→u ) +Ð→u =

Ð→0 .

4) Ð→u +Ð→v =

Ð→v +Ð→u ,∀Ð→u ,Ð→v ∈ V3 (comutativitate);

5) −

Ð→

AB =

Ð→

BA; Ð→v (xv , yv , zv) =Ð→0 ⇐⇒ xv = 0, yv = 0, zv = 0.

3.2. Operatii cu vectori

Fie Ð→u1 = x1Ð→

i + y1Ð→

j + z1Ð→

k , Ð→u2 = x2Ð→

i + y2Ð→

j + z2Ð→

kÐ→v (xv , yv , zv) si

α,β ∈ R.

A Egalitatea vectorilor :Doi vectori sunt egali daca si numai daca au aceeasi directie,lungime si acelasi sens.Ð→u1 =

Ð→u2 ⇐⇒ x1 = x2; y1 = y2; z1 = z2.B Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex:Ð→

AB +

Ð→

BC =

Ð→

AC ; ”desen”Ð→u1 +

Ð→u2 = (x1 + x2)Ð→

i + (y1 + y2)Ð→

j + (z1 + z2)Ð→

k .Proprietatile adunarii:

1) (Ð→u +

Ð→v ) +Ð→w =

Ð→u + (Ð→v +

Ð→w ),∀Ð→u ,Ð→v ,Ð→w ∈ V3;(asociativitate);

2) ∃Ð→0 (0,0,0) ∈ V3(vectorul zero) a.ı.Ð→0 +

Ð→u =Ð→u +

Ð→0 =

Ð→u ,∀Ð→u ∈ V3 (element neutru);

3) ∀Ð→u ∈ V3, ∃! −Ð→u ∈ V3 ∶

Ð→u + (−Ð→u ) = (−

Ð→u ) +Ð→u =

Ð→0 .

4) Ð→u +Ð→v =

Ð→v +Ð→u ,∀Ð→u ,Ð→v ∈ V3 (comutativitate);

5) −

Ð→

AB =

Ð→

BA; Ð→v (xv , yv , zv) =Ð→0 ⇐⇒ xv = 0, yv = 0, zv = 0.

3.2. Operatii cu vectori

Fie Ð→u1 = x1Ð→

i + y1Ð→

j + z1Ð→

k , Ð→u2 = x2Ð→

i + y2Ð→

j + z2Ð→

kÐ→v (xv , yv , zv) si α,β ∈ R.

A Egalitatea vectorilor :Doi vectori sunt egali daca si numai daca au aceeasi directie,lungime si acelasi sens.Ð→u1 =

Ð→u2 ⇐⇒ x1 = x2; y1 = y2; z1 = z2.B Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex:Ð→

AB +

Ð→

BC =

Ð→

AC ; ”desen”Ð→u1 +

Ð→u2 = (x1 + x2)Ð→

i + (y1 + y2)Ð→

j + (z1 + z2)Ð→

k .Proprietatile adunarii:

1) (Ð→u +

Ð→v ) +Ð→w =

Ð→u + (Ð→v +

Ð→w ),∀Ð→u ,Ð→v ,Ð→w ∈ V3;(asociativitate);

2) ∃Ð→0 (0,0,0) ∈ V3(vectorul zero) a.ı.Ð→0 +

Ð→u =Ð→u +

Ð→0 =

Ð→u ,∀Ð→u ∈ V3 (element neutru);

3) ∀Ð→u ∈ V3, ∃! −Ð→u ∈ V3 ∶

Ð→u + (−Ð→u ) = (−

Ð→u ) +Ð→u =

Ð→0 .

4) Ð→u +Ð→v =

Ð→v +Ð→u ,∀Ð→u ,Ð→v ∈ V3 (comutativitate);

5) −

Ð→

AB =

Ð→

BA; Ð→v (xv , yv , zv) =Ð→0 ⇐⇒ xv = 0, yv = 0, zv = 0.

3.2. Operatii cu vectori

Fie Ð→u1 = x1Ð→

i + y1Ð→

j + z1Ð→

k , Ð→u2 = x2Ð→

i + y2Ð→

j + z2Ð→

kÐ→v (xv , yv , zv) si α,β ∈ R.

A Egalitatea vectorilor :

Doi vectori sunt egali daca si numai daca au aceeasi directie,lungime si acelasi sens.Ð→u1 =

Ð→u2 ⇐⇒ x1 = x2; y1 = y2; z1 = z2.B Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex:Ð→

AB +

Ð→

BC =

Ð→

AC ; ”desen”Ð→u1 +

Ð→u2 = (x1 + x2)Ð→

i + (y1 + y2)Ð→

j + (z1 + z2)Ð→

k .Proprietatile adunarii:

1) (Ð→u +

Ð→v ) +Ð→w =

Ð→u + (Ð→v +

Ð→w ),∀Ð→u ,Ð→v ,Ð→w ∈ V3;(asociativitate);

2) ∃Ð→0 (0,0,0) ∈ V3(vectorul zero) a.ı.Ð→0 +

Ð→u =Ð→u +

Ð→0 =

Ð→u ,∀Ð→u ∈ V3 (element neutru);

3) ∀Ð→u ∈ V3, ∃! −Ð→u ∈ V3 ∶

Ð→u + (−Ð→u ) = (−

Ð→u ) +Ð→u =

Ð→0 .

4) Ð→u +Ð→v =

Ð→v +Ð→u ,∀Ð→u ,Ð→v ∈ V3 (comutativitate);

5) −

Ð→

AB =

Ð→

BA; Ð→v (xv , yv , zv) =Ð→0 ⇐⇒ xv = 0, yv = 0, zv = 0.

3.2. Operatii cu vectori

Fie Ð→u1 = x1Ð→

i + y1Ð→

j + z1Ð→

k , Ð→u2 = x2Ð→

i + y2Ð→

j + z2Ð→

kÐ→v (xv , yv , zv) si α,β ∈ R.

A Egalitatea vectorilor :Doi vectori sunt egali

daca si numai daca au aceeasi directie,lungime si acelasi sens.Ð→u1 =

Ð→u2 ⇐⇒ x1 = x2; y1 = y2; z1 = z2.B Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex:Ð→

AB +

Ð→

BC =

Ð→

AC ; ”desen”Ð→u1 +

Ð→u2 = (x1 + x2)Ð→

i + (y1 + y2)Ð→

j + (z1 + z2)Ð→

k .Proprietatile adunarii:

1) (Ð→u +

Ð→v ) +Ð→w =

Ð→u + (Ð→v +

Ð→w ),∀Ð→u ,Ð→v ,Ð→w ∈ V3;(asociativitate);

2) ∃Ð→0 (0,0,0) ∈ V3(vectorul zero) a.ı.Ð→0 +

Ð→u =Ð→u +

Ð→0 =

Ð→u ,∀Ð→u ∈ V3 (element neutru);

3) ∀Ð→u ∈ V3, ∃! −Ð→u ∈ V3 ∶

Ð→u + (−Ð→u ) = (−

Ð→u ) +Ð→u =

Ð→0 .

4) Ð→u +Ð→v =

Ð→v +Ð→u ,∀Ð→u ,Ð→v ∈ V3 (comutativitate);

5) −

Ð→

AB =

Ð→

BA; Ð→v (xv , yv , zv) =Ð→0 ⇐⇒ xv = 0, yv = 0, zv = 0.

3.2. Operatii cu vectori

Fie Ð→u1 = x1Ð→

i + y1Ð→

j + z1Ð→

k , Ð→u2 = x2Ð→

i + y2Ð→

j + z2Ð→

kÐ→v (xv , yv , zv) si α,β ∈ R.

A Egalitatea vectorilor :Doi vectori sunt egali daca si numai daca au aceeasi

directie,lungime si acelasi sens.Ð→u1 =

Ð→u2 ⇐⇒ x1 = x2; y1 = y2; z1 = z2.B Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex:Ð→

AB +

Ð→

BC =

Ð→

AC ; ”desen”Ð→u1 +

Ð→u2 = (x1 + x2)Ð→

i + (y1 + y2)Ð→

j + (z1 + z2)Ð→

k .Proprietatile adunarii:

1) (Ð→u +

Ð→v ) +Ð→w =

Ð→u + (Ð→v +

Ð→w ),∀Ð→u ,Ð→v ,Ð→w ∈ V3;(asociativitate);

2) ∃Ð→0 (0,0,0) ∈ V3(vectorul zero) a.ı.Ð→0 +

Ð→u =Ð→u +

Ð→0 =

Ð→u ,∀Ð→u ∈ V3 (element neutru);

3) ∀Ð→u ∈ V3, ∃! −Ð→u ∈ V3 ∶

Ð→u + (−Ð→u ) = (−

Ð→u ) +Ð→u =

Ð→0 .

4) Ð→u +Ð→v =

Ð→v +Ð→u ,∀Ð→u ,Ð→v ∈ V3 (comutativitate);

5) −

Ð→

AB =

Ð→

BA; Ð→v (xv , yv , zv) =Ð→0 ⇐⇒ xv = 0, yv = 0, zv = 0.

3.2. Operatii cu vectori

Fie Ð→u1 = x1Ð→

i + y1Ð→

j + z1Ð→

k , Ð→u2 = x2Ð→

i + y2Ð→

j + z2Ð→

kÐ→v (xv , yv , zv) si α,β ∈ R.

A Egalitatea vectorilor :Doi vectori sunt egali daca si numai daca au aceeasi directie,lungime si acelasi sens.

Ð→u1 =Ð→u2 ⇐⇒ x1 = x2; y1 = y2; z1 = z2.

B Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex:Ð→

AB +

Ð→

BC =

Ð→

AC ; ”desen”Ð→u1 +

Ð→u2 = (x1 + x2)Ð→

i + (y1 + y2)Ð→

j + (z1 + z2)Ð→

k .Proprietatile adunarii:

1) (Ð→u +

Ð→v ) +Ð→w =

Ð→u + (Ð→v +

Ð→w ),∀Ð→u ,Ð→v ,Ð→w ∈ V3;(asociativitate);

2) ∃Ð→0 (0,0,0) ∈ V3(vectorul zero) a.ı.Ð→0 +

Ð→u =Ð→u +

Ð→0 =

Ð→u ,∀Ð→u ∈ V3 (element neutru);

3) ∀Ð→u ∈ V3, ∃! −Ð→u ∈ V3 ∶

Ð→u + (−Ð→u ) = (−

Ð→u ) +Ð→u =

Ð→0 .

4) Ð→u +Ð→v =

Ð→v +Ð→u ,∀Ð→u ,Ð→v ∈ V3 (comutativitate);

5) −

Ð→

AB =

Ð→

BA; Ð→v (xv , yv , zv) =Ð→0 ⇐⇒ xv = 0, yv = 0, zv = 0.

3.2. Operatii cu vectori

Fie Ð→u1 = x1Ð→

i + y1Ð→

j + z1Ð→

k , Ð→u2 = x2Ð→

i + y2Ð→

j + z2Ð→

kÐ→v (xv , yv , zv) si α,β ∈ R.

A Egalitatea vectorilor :Doi vectori sunt egali daca si numai daca au aceeasi directie,lungime si acelasi sens.Ð→u1 =

Ð→u2 ⇐⇒ x1 = x2; y1 = y2; z1 = z2.

B Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex:Ð→

AB +

Ð→

BC =

Ð→

AC ; ”desen”Ð→u1 +

Ð→u2 = (x1 + x2)Ð→

i + (y1 + y2)Ð→

j + (z1 + z2)Ð→

k .Proprietatile adunarii:

1) (Ð→u +

Ð→v ) +Ð→w =

Ð→u + (Ð→v +

Ð→w ),∀Ð→u ,Ð→v ,Ð→w ∈ V3;(asociativitate);

2) ∃Ð→0 (0,0,0) ∈ V3(vectorul zero) a.ı.Ð→0 +

Ð→u =Ð→u +

Ð→0 =

Ð→u ,∀Ð→u ∈ V3 (element neutru);

3) ∀Ð→u ∈ V3, ∃! −Ð→u ∈ V3 ∶

Ð→u + (−Ð→u ) = (−

Ð→u ) +Ð→u =

Ð→0 .

4) Ð→u +Ð→v =

Ð→v +Ð→u ,∀Ð→u ,Ð→v ∈ V3 (comutativitate);

5) −

Ð→

AB =

Ð→

BA; Ð→v (xv , yv , zv) =Ð→0 ⇐⇒ xv = 0, yv = 0, zv = 0.

3.2. Operatii cu vectori

Fie Ð→u1 = x1Ð→

i + y1Ð→

j + z1Ð→

k , Ð→u2 = x2Ð→

i + y2Ð→

j + z2Ð→

kÐ→v (xv , yv , zv) si α,β ∈ R.

A Egalitatea vectorilor :Doi vectori sunt egali daca si numai daca au aceeasi directie,lungime si acelasi sens.Ð→u1 =

Ð→u2 ⇐⇒ x1 = x2; y1 = y2; z1 = z2.B Adunarea vectorilor - geometric

cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex:Ð→

AB +

Ð→

BC =

Ð→

AC ; ”desen”Ð→u1 +

Ð→u2 = (x1 + x2)Ð→

i + (y1 + y2)Ð→

j + (z1 + z2)Ð→

k .Proprietatile adunarii:

1) (Ð→u +

Ð→v ) +Ð→w =

Ð→u + (Ð→v +

Ð→w ),∀Ð→u ,Ð→v ,Ð→w ∈ V3;(asociativitate);

2) ∃Ð→0 (0,0,0) ∈ V3(vectorul zero) a.ı.Ð→0 +

Ð→u =Ð→u +

Ð→0 =

Ð→u ,∀Ð→u ∈ V3 (element neutru);

3) ∀Ð→u ∈ V3, ∃! −Ð→u ∈ V3 ∶

Ð→u + (−Ð→u ) = (−

Ð→u ) +Ð→u =

Ð→0 .

4) Ð→u +Ð→v =

Ð→v +Ð→u ,∀Ð→u ,Ð→v ∈ V3 (comutativitate);

5) −

Ð→

AB =

Ð→

BA; Ð→v (xv , yv , zv) =Ð→0 ⇐⇒ xv = 0, yv = 0, zv = 0.

3.2. Operatii cu vectori

Fie Ð→u1 = x1Ð→

i + y1Ð→

j + z1Ð→

k , Ð→u2 = x2Ð→

i + y2Ð→

j + z2Ð→

kÐ→v (xv , yv , zv) si α,β ∈ R.

A Egalitatea vectorilor :Doi vectori sunt egali daca si numai daca au aceeasi directie,lungime si acelasi sens.Ð→u1 =

Ð→u2 ⇐⇒ x1 = x2; y1 = y2; z1 = z2.B Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”;

de ex:Ð→

AB +

Ð→

BC =

Ð→

AC ; ”desen”Ð→u1 +

Ð→u2 = (x1 + x2)Ð→

i + (y1 + y2)Ð→

j + (z1 + z2)Ð→

k .Proprietatile adunarii:

1) (Ð→u +

Ð→v ) +Ð→w =

Ð→u + (Ð→v +

Ð→w ),∀Ð→u ,Ð→v ,Ð→w ∈ V3;(asociativitate);

2) ∃Ð→0 (0,0,0) ∈ V3(vectorul zero) a.ı.Ð→0 +

Ð→u =Ð→u +

Ð→0 =

Ð→u ,∀Ð→u ∈ V3 (element neutru);

3) ∀Ð→u ∈ V3, ∃! −Ð→u ∈ V3 ∶

Ð→u + (−Ð→u ) = (−

Ð→u ) +Ð→u =

Ð→0 .

4) Ð→u +Ð→v =

Ð→v +Ð→u ,∀Ð→u ,Ð→v ∈ V3 (comutativitate);

5) −

Ð→

AB =

Ð→

BA; Ð→v (xv , yv , zv) =Ð→0 ⇐⇒ xv = 0, yv = 0, zv = 0.

3.2. Operatii cu vectori

Fie Ð→u1 = x1Ð→

i + y1Ð→

j + z1Ð→

k , Ð→u2 = x2Ð→

i + y2Ð→

j + z2Ð→

kÐ→v (xv , yv , zv) si α,β ∈ R.

A Egalitatea vectorilor :Doi vectori sunt egali daca si numai daca au aceeasi directie,lungime si acelasi sens.Ð→u1 =

Ð→u2 ⇐⇒ x1 = x2; y1 = y2; z1 = z2.B Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex:Ð→

AB +

Ð→

BC =

Ð→

AC ; ”desen”

Ð→u1 +Ð→u2 = (x1 + x2)

Ð→

i + (y1 + y2)Ð→

j + (z1 + z2)Ð→

k .Proprietatile adunarii:

1) (Ð→u +

Ð→v ) +Ð→w =

Ð→u + (Ð→v +

Ð→w ),∀Ð→u ,Ð→v ,Ð→w ∈ V3;(asociativitate);

2) ∃Ð→0 (0,0,0) ∈ V3(vectorul zero) a.ı.Ð→0 +

Ð→u =Ð→u +

Ð→0 =

Ð→u ,∀Ð→u ∈ V3 (element neutru);

3) ∀Ð→u ∈ V3, ∃! −Ð→u ∈ V3 ∶

Ð→u + (−Ð→u ) = (−

Ð→u ) +Ð→u =

Ð→0 .

4) Ð→u +Ð→v =

Ð→v +Ð→u ,∀Ð→u ,Ð→v ∈ V3 (comutativitate);

5) −

Ð→

AB =

Ð→

BA; Ð→v (xv , yv , zv) =Ð→0 ⇐⇒ xv = 0, yv = 0, zv = 0.

3.2. Operatii cu vectori

Fie Ð→u1 = x1Ð→

i + y1Ð→

j + z1Ð→

k , Ð→u2 = x2Ð→

i + y2Ð→

j + z2Ð→

kÐ→v (xv , yv , zv) si α,β ∈ R.

A Egalitatea vectorilor :Doi vectori sunt egali daca si numai daca au aceeasi directie,lungime si acelasi sens.Ð→u1 =

Ð→u2 ⇐⇒ x1 = x2; y1 = y2; z1 = z2.B Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex:Ð→

AB +

Ð→

BC =

Ð→

AC ; ”desen”Ð→u1 +

Ð→u2 = (x1 + x2)Ð→

i + (y1 + y2)Ð→

j + (z1 + z2)Ð→

k .

Proprietatile adunarii:

1) (Ð→u +

Ð→v ) +Ð→w =

Ð→u + (Ð→v +

Ð→w ),∀Ð→u ,Ð→v ,Ð→w ∈ V3;(asociativitate);

2) ∃Ð→0 (0,0,0) ∈ V3(vectorul zero) a.ı.Ð→0 +

Ð→u =Ð→u +

Ð→0 =

Ð→u ,∀Ð→u ∈ V3 (element neutru);

3) ∀Ð→u ∈ V3, ∃! −Ð→u ∈ V3 ∶

Ð→u + (−Ð→u ) = (−

Ð→u ) +Ð→u =

Ð→0 .

4) Ð→u +Ð→v =

Ð→v +Ð→u ,∀Ð→u ,Ð→v ∈ V3 (comutativitate);

5) −

Ð→

AB =

Ð→

BA; Ð→v (xv , yv , zv) =Ð→0 ⇐⇒ xv = 0, yv = 0, zv = 0.

3.2. Operatii cu vectori

Fie Ð→u1 = x1Ð→

i + y1Ð→

j + z1Ð→

k , Ð→u2 = x2Ð→

i + y2Ð→

j + z2Ð→

kÐ→v (xv , yv , zv) si α,β ∈ R.

A Egalitatea vectorilor :Doi vectori sunt egali daca si numai daca au aceeasi directie,lungime si acelasi sens.Ð→u1 =

Ð→u2 ⇐⇒ x1 = x2; y1 = y2; z1 = z2.B Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex:Ð→

AB +

Ð→

BC =

Ð→

AC ; ”desen”Ð→u1 +

Ð→u2 = (x1 + x2)Ð→

i + (y1 + y2)Ð→

j + (z1 + z2)Ð→

k .Proprietatile adunarii:

1) (Ð→u +

Ð→v ) +Ð→w =

Ð→u + (Ð→v +

Ð→w ),∀Ð→u ,Ð→v ,Ð→w ∈ V3;(asociativitate);

2) ∃Ð→0 (0,0,0) ∈ V3(vectorul zero) a.ı.Ð→0 +

Ð→u =Ð→u +

Ð→0 =

Ð→u ,∀Ð→u ∈ V3 (element neutru);

3) ∀Ð→u ∈ V3, ∃! −Ð→u ∈ V3 ∶

Ð→u + (−Ð→u ) = (−

Ð→u ) +Ð→u =

Ð→0 .

4) Ð→u +Ð→v =

Ð→v +Ð→u ,∀Ð→u ,Ð→v ∈ V3 (comutativitate);

5) −

Ð→

AB =

Ð→

BA; Ð→v (xv , yv , zv) =Ð→0 ⇐⇒ xv = 0, yv = 0, zv = 0.

3.2. Operatii cu vectori

Fie Ð→u1 = x1Ð→

i + y1Ð→

j + z1Ð→

k , Ð→u2 = x2Ð→

i + y2Ð→

j + z2Ð→

kÐ→v (xv , yv , zv) si α,β ∈ R.

A Egalitatea vectorilor :Doi vectori sunt egali daca si numai daca au aceeasi directie,lungime si acelasi sens.Ð→u1 =

Ð→u2 ⇐⇒ x1 = x2; y1 = y2; z1 = z2.B Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex:Ð→

AB +

Ð→

BC =

Ð→

AC ; ”desen”Ð→u1 +

Ð→u2 = (x1 + x2)Ð→

i + (y1 + y2)Ð→

j + (z1 + z2)Ð→

k .Proprietatile adunarii:

1) (Ð→u +

Ð→v ) +Ð→w =

Ð→u + (Ð→v +

Ð→w ),

∀Ð→u ,Ð→v ,Ð→w ∈ V3;

(asociativitate);

2) ∃Ð→0 (0,0,0) ∈ V3(vectorul zero) a.ı.Ð→0 +

Ð→u =Ð→u +

Ð→0 =

Ð→u ,∀Ð→u ∈ V3 (element neutru);

3) ∀Ð→u ∈ V3, ∃! −Ð→u ∈ V3 ∶

Ð→u + (−Ð→u ) = (−

Ð→u ) +Ð→u =

Ð→0 .

4) Ð→u +Ð→v =

Ð→v +Ð→u ,∀Ð→u ,Ð→v ∈ V3 (comutativitate);

5) −

Ð→

AB =

Ð→

BA; Ð→v (xv , yv , zv) =Ð→0 ⇐⇒ xv = 0, yv = 0, zv = 0.

3.2. Operatii cu vectori

Fie Ð→u1 = x1Ð→

i + y1Ð→

j + z1Ð→

k , Ð→u2 = x2Ð→

i + y2Ð→

j + z2Ð→

kÐ→v (xv , yv , zv) si α,β ∈ R.

A Egalitatea vectorilor :Doi vectori sunt egali daca si numai daca au aceeasi directie,lungime si acelasi sens.Ð→u1 =

Ð→u2 ⇐⇒ x1 = x2; y1 = y2; z1 = z2.B Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex:Ð→

AB +

Ð→

BC =

Ð→

AC ; ”desen”Ð→u1 +

Ð→u2 = (x1 + x2)Ð→

i + (y1 + y2)Ð→

j + (z1 + z2)Ð→

k .Proprietatile adunarii:

1) (Ð→u +

Ð→v ) +Ð→w =

Ð→u + (Ð→v +

Ð→w ),∀Ð→u ,Ð→v ,Ð→w ∈ V3;

(asociativitate);

2) ∃Ð→0 (0,0,0) ∈ V3(vectorul zero) a.ı.Ð→0 +

Ð→u =Ð→u +

Ð→0 =

Ð→u ,∀Ð→u ∈ V3 (element neutru);

3) ∀Ð→u ∈ V3, ∃! −Ð→u ∈ V3 ∶

Ð→u + (−Ð→u ) = (−

Ð→u ) +Ð→u =

Ð→0 .

4) Ð→u +Ð→v =

Ð→v +Ð→u ,∀Ð→u ,Ð→v ∈ V3 (comutativitate);

5) −

Ð→

AB =

Ð→

BA; Ð→v (xv , yv , zv) =Ð→0 ⇐⇒ xv = 0, yv = 0, zv = 0.

3.2. Operatii cu vectori

Fie Ð→u1 = x1Ð→

i + y1Ð→

j + z1Ð→

k , Ð→u2 = x2Ð→

i + y2Ð→

j + z2Ð→

kÐ→v (xv , yv , zv) si α,β ∈ R.

A Egalitatea vectorilor :Doi vectori sunt egali daca si numai daca au aceeasi directie,lungime si acelasi sens.Ð→u1 =

Ð→u2 ⇐⇒ x1 = x2; y1 = y2; z1 = z2.B Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex:Ð→

AB +

Ð→

BC =

Ð→

AC ; ”desen”Ð→u1 +

Ð→u2 = (x1 + x2)Ð→

i + (y1 + y2)Ð→

j + (z1 + z2)Ð→

k .Proprietatile adunarii:

1) (Ð→u +

Ð→v ) +Ð→w =

Ð→u + (Ð→v +

Ð→w ),∀Ð→u ,Ð→v ,Ð→w ∈ V3;(asociativitate);

2) ∃Ð→0 (0,0,0) ∈ V3(vectorul zero) a.ı.Ð→0 +

Ð→u =Ð→u +

Ð→0 =

Ð→u ,∀Ð→u ∈ V3 (element neutru);

3) ∀Ð→u ∈ V3, ∃! −Ð→u ∈ V3 ∶

Ð→u + (−Ð→u ) = (−

Ð→u ) +Ð→u =

Ð→0 .

4) Ð→u +Ð→v =

Ð→v +Ð→u ,∀Ð→u ,Ð→v ∈ V3 (comutativitate);

5) −

Ð→

AB =

Ð→

BA; Ð→v (xv , yv , zv) =Ð→0 ⇐⇒ xv = 0, yv = 0, zv = 0.

3.2. Operatii cu vectori

Fie Ð→u1 = x1Ð→

i + y1Ð→

j + z1Ð→

k , Ð→u2 = x2Ð→

i + y2Ð→

j + z2Ð→

kÐ→v (xv , yv , zv) si α,β ∈ R.

A Egalitatea vectorilor :Doi vectori sunt egali daca si numai daca au aceeasi directie,lungime si acelasi sens.Ð→u1 =

Ð→u2 ⇐⇒ x1 = x2; y1 = y2; z1 = z2.B Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex:Ð→

AB +

Ð→

BC =

Ð→

AC ; ”desen”Ð→u1 +

Ð→u2 = (x1 + x2)Ð→

i + (y1 + y2)Ð→

j + (z1 + z2)Ð→

k .Proprietatile adunarii:

1) (Ð→u +

Ð→v ) +Ð→w =

Ð→u + (Ð→v +

Ð→w ),∀Ð→u ,Ð→v ,Ð→w ∈ V3;(asociativitate);

2) ∃Ð→0 (0,0,0) ∈ V3

(vectorul zero) a.ı.Ð→0 +

Ð→u =Ð→u +

Ð→0 =

Ð→u ,∀Ð→u ∈ V3 (element neutru);

3) ∀Ð→u ∈ V3, ∃! −Ð→u ∈ V3 ∶

Ð→u + (−Ð→u ) = (−

Ð→u ) +Ð→u =

Ð→0 .

4) Ð→u +Ð→v =

Ð→v +Ð→u ,∀Ð→u ,Ð→v ∈ V3 (comutativitate);

5) −

Ð→

AB =

Ð→

BA; Ð→v (xv , yv , zv) =Ð→0 ⇐⇒ xv = 0, yv = 0, zv = 0.

3.2. Operatii cu vectori

Fie Ð→u1 = x1Ð→

i + y1Ð→

j + z1Ð→

k , Ð→u2 = x2Ð→

i + y2Ð→

j + z2Ð→

kÐ→v (xv , yv , zv) si α,β ∈ R.

A Egalitatea vectorilor :Doi vectori sunt egali daca si numai daca au aceeasi directie,lungime si acelasi sens.Ð→u1 =

Ð→u2 ⇐⇒ x1 = x2; y1 = y2; z1 = z2.B Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex:Ð→

AB +

Ð→

BC =

Ð→

AC ; ”desen”Ð→u1 +

Ð→u2 = (x1 + x2)Ð→

i + (y1 + y2)Ð→

j + (z1 + z2)Ð→

k .Proprietatile adunarii:

1) (Ð→u +

Ð→v ) +Ð→w =

Ð→u + (Ð→v +

Ð→w ),∀Ð→u ,Ð→v ,Ð→w ∈ V3;(asociativitate);

2) ∃Ð→0 (0,0,0) ∈ V3(vectorul zero

) a.ı.Ð→0 +

Ð→u =Ð→u +

Ð→0 =

Ð→u ,∀Ð→u ∈ V3 (element neutru);

3) ∀Ð→u ∈ V3, ∃! −Ð→u ∈ V3 ∶

Ð→u + (−Ð→u ) = (−

Ð→u ) +Ð→u =

Ð→0 .

4) Ð→u +Ð→v =

Ð→v +Ð→u ,∀Ð→u ,Ð→v ∈ V3 (comutativitate);

5) −

Ð→

AB =

Ð→

BA; Ð→v (xv , yv , zv) =Ð→0 ⇐⇒ xv = 0, yv = 0, zv = 0.

3.2. Operatii cu vectori

Fie Ð→u1 = x1Ð→

i + y1Ð→

j + z1Ð→

k , Ð→u2 = x2Ð→

i + y2Ð→

j + z2Ð→

kÐ→v (xv , yv , zv) si α,β ∈ R.

A Egalitatea vectorilor :Doi vectori sunt egali daca si numai daca au aceeasi directie,lungime si acelasi sens.Ð→u1 =

Ð→u2 ⇐⇒ x1 = x2; y1 = y2; z1 = z2.B Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex:Ð→

AB +

Ð→

BC =

Ð→

AC ; ”desen”Ð→u1 +

Ð→u2 = (x1 + x2)Ð→

i + (y1 + y2)Ð→

j + (z1 + z2)Ð→

k .Proprietatile adunarii:

1) (Ð→u +

Ð→v ) +Ð→w =

Ð→u + (Ð→v +

Ð→w ),∀Ð→u ,Ð→v ,Ð→w ∈ V3;(asociativitate);

2) ∃Ð→0 (0,0,0) ∈ V3(vectorul zero) a.ı.Ð→0 +

Ð→u =Ð→u +

Ð→0 =

Ð→u ,∀Ð→u ∈ V3

(element neutru);

3) ∀Ð→u ∈ V3, ∃! −Ð→u ∈ V3 ∶

Ð→u + (−Ð→u ) = (−

Ð→u ) +Ð→u =

Ð→0 .

4) Ð→u +Ð→v =

Ð→v +Ð→u ,∀Ð→u ,Ð→v ∈ V3 (comutativitate);

5) −

Ð→

AB =

Ð→

BA; Ð→v (xv , yv , zv) =Ð→0 ⇐⇒ xv = 0, yv = 0, zv = 0.

3.2. Operatii cu vectori

Fie Ð→u1 = x1Ð→

i + y1Ð→

j + z1Ð→

k , Ð→u2 = x2Ð→

i + y2Ð→

j + z2Ð→

kÐ→v (xv , yv , zv) si α,β ∈ R.

A Egalitatea vectorilor :Doi vectori sunt egali daca si numai daca au aceeasi directie,lungime si acelasi sens.Ð→u1 =

Ð→u2 ⇐⇒ x1 = x2; y1 = y2; z1 = z2.B Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex:Ð→

AB +

Ð→

BC =

Ð→

AC ; ”desen”Ð→u1 +

Ð→u2 = (x1 + x2)Ð→

i + (y1 + y2)Ð→

j + (z1 + z2)Ð→

k .Proprietatile adunarii:

1) (Ð→u +

Ð→v ) +Ð→w =

Ð→u + (Ð→v +

Ð→w ),∀Ð→u ,Ð→v ,Ð→w ∈ V3;(asociativitate);

2) ∃Ð→0 (0,0,0) ∈ V3(vectorul zero) a.ı.Ð→0 +

Ð→u =Ð→u +

Ð→0 =

Ð→u ,∀Ð→u ∈ V3 (element neutru);

3) ∀Ð→u ∈ V3, ∃! −Ð→u ∈ V3 ∶

Ð→u + (−Ð→u ) = (−

Ð→u ) +Ð→u =

Ð→0 .

4) Ð→u +Ð→v =

Ð→v +Ð→u ,∀Ð→u ,Ð→v ∈ V3 (comutativitate);

5) −

Ð→

AB =

Ð→

BA; Ð→v (xv , yv , zv) =Ð→0 ⇐⇒ xv = 0, yv = 0, zv = 0.

3.2. Operatii cu vectori

Fie Ð→u1 = x1Ð→

i + y1Ð→

j + z1Ð→

k , Ð→u2 = x2Ð→

i + y2Ð→

j + z2Ð→

kÐ→v (xv , yv , zv) si α,β ∈ R.

A Egalitatea vectorilor :Doi vectori sunt egali daca si numai daca au aceeasi directie,lungime si acelasi sens.Ð→u1 =

Ð→u2 ⇐⇒ x1 = x2; y1 = y2; z1 = z2.B Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex:Ð→

AB +

Ð→

BC =

Ð→

AC ; ”desen”Ð→u1 +

Ð→u2 = (x1 + x2)Ð→

i + (y1 + y2)Ð→

j + (z1 + z2)Ð→

k .Proprietatile adunarii:

1) (Ð→u +

Ð→v ) +Ð→w =

Ð→u + (Ð→v +

Ð→w ),∀Ð→u ,Ð→v ,Ð→w ∈ V3;(asociativitate);

2) ∃Ð→0 (0,0,0) ∈ V3(vectorul zero) a.ı.Ð→0 +

Ð→u =Ð→u +

Ð→0 =

Ð→u ,∀Ð→u ∈ V3 (element neutru);

3) ∀Ð→u ∈ V3, ∃! −Ð→u ∈ V3 ∶

Ð→u + (−Ð→u ) = (−

Ð→u ) +Ð→u =

Ð→0 .

4) Ð→u +Ð→v =

Ð→v +Ð→u ,∀Ð→u ,Ð→v ∈ V3 (comutativitate);

5) −

Ð→

AB =

Ð→

BA; Ð→v (xv , yv , zv) =Ð→0 ⇐⇒ xv = 0, yv = 0, zv = 0.

3.2. Operatii cu vectori

Fie Ð→u1 = x1Ð→

i + y1Ð→

j + z1Ð→

k , Ð→u2 = x2Ð→

i + y2Ð→

j + z2Ð→

kÐ→v (xv , yv , zv) si α,β ∈ R.

A Egalitatea vectorilor :Doi vectori sunt egali daca si numai daca au aceeasi directie,lungime si acelasi sens.Ð→u1 =

Ð→u2 ⇐⇒ x1 = x2; y1 = y2; z1 = z2.B Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex:Ð→

AB +

Ð→

BC =

Ð→

AC ; ”desen”Ð→u1 +

Ð→u2 = (x1 + x2)Ð→

i + (y1 + y2)Ð→

j + (z1 + z2)Ð→

k .Proprietatile adunarii:

1) (Ð→u +

Ð→v ) +Ð→w =

Ð→u + (Ð→v +

Ð→w ),∀Ð→u ,Ð→v ,Ð→w ∈ V3;(asociativitate);

2) ∃Ð→0 (0,0,0) ∈ V3(vectorul zero) a.ı.Ð→0 +

Ð→u =Ð→u +

Ð→0 =

Ð→u ,∀Ð→u ∈ V3 (element neutru);

3) ∀Ð→u ∈ V3, ∃! −Ð→u ∈ V3 ∶

Ð→u + (−Ð→u ) = (−

Ð→u ) +Ð→u =

Ð→0 .

4) Ð→u +Ð→v =

Ð→v +Ð→u ,∀Ð→u ,Ð→v ∈ V3 (comutativitate);

5) −

Ð→

AB =

Ð→

BA; Ð→v (xv , yv , zv) =Ð→0 ⇐⇒ xv = 0, yv = 0, zv = 0.

3.2. Operatii cu vectori

Fie Ð→u1 = x1Ð→

i + y1Ð→

j + z1Ð→

k , Ð→u2 = x2Ð→

i + y2Ð→

j + z2Ð→

kÐ→v (xv , yv , zv) si α,β ∈ R.

A Egalitatea vectorilor :Doi vectori sunt egali daca si numai daca au aceeasi directie,lungime si acelasi sens.Ð→u1 =

Ð→u2 ⇐⇒ x1 = x2; y1 = y2; z1 = z2.B Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex:Ð→

AB +

Ð→

BC =

Ð→

AC ; ”desen”Ð→u1 +

Ð→u2 = (x1 + x2)Ð→

i + (y1 + y2)Ð→

j + (z1 + z2)Ð→

k .Proprietatile adunarii:

1) (Ð→u +

Ð→v ) +Ð→w =

Ð→u + (Ð→v +

Ð→w ),∀Ð→u ,Ð→v ,Ð→w ∈ V3;(asociativitate);

2) ∃Ð→0 (0,0,0) ∈ V3(vectorul zero) a.ı.Ð→0 +

Ð→u =Ð→u +

Ð→0 =

Ð→u ,∀Ð→u ∈ V3 (element neutru);

3) ∀Ð→u ∈ V3, ∃! −Ð→u ∈ V3 ∶

Ð→u + (−Ð→u ) = (−

Ð→u ) +Ð→u =

Ð→0 .

4) Ð→u +Ð→v =

Ð→v +Ð→u ,∀Ð→u ,Ð→v ∈ V3

(comutativitate);

5) −

Ð→

AB =

Ð→

BA; Ð→v (xv , yv , zv) =Ð→0 ⇐⇒ xv = 0, yv = 0, zv = 0.

3.2. Operatii cu vectori

Fie Ð→u1 = x1Ð→

i + y1Ð→

j + z1Ð→

k , Ð→u2 = x2Ð→

i + y2Ð→

j + z2Ð→

kÐ→v (xv , yv , zv) si α,β ∈ R.

A Egalitatea vectorilor :Doi vectori sunt egali daca si numai daca au aceeasi directie,lungime si acelasi sens.Ð→u1 =

Ð→u2 ⇐⇒ x1 = x2; y1 = y2; z1 = z2.B Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex:Ð→

AB +

Ð→

BC =

Ð→

AC ; ”desen”Ð→u1 +

Ð→u2 = (x1 + x2)Ð→

i + (y1 + y2)Ð→

j + (z1 + z2)Ð→

k .Proprietatile adunarii:

1) (Ð→u +

Ð→v ) +Ð→w =

Ð→u + (Ð→v +

Ð→w ),∀Ð→u ,Ð→v ,Ð→w ∈ V3;(asociativitate);

2) ∃Ð→0 (0,0,0) ∈ V3(vectorul zero) a.ı.Ð→0 +

Ð→u =Ð→u +

Ð→0 =

Ð→u ,∀Ð→u ∈ V3 (element neutru);

3) ∀Ð→u ∈ V3, ∃! −Ð→u ∈ V3 ∶

Ð→u + (−Ð→u ) = (−

Ð→u ) +Ð→u =

Ð→0 .

4) Ð→u +Ð→v =

Ð→v +Ð→u ,∀Ð→u ,Ð→v ∈ V3 (comutativitate);

5) −

Ð→

AB =

Ð→

BA; Ð→v (xv , yv , zv) =Ð→0 ⇐⇒ xv = 0, yv = 0, zv = 0.

3.2. Operatii cu vectori

Fie Ð→u1 = x1Ð→

i + y1Ð→

j + z1Ð→

k , Ð→u2 = x2Ð→

i + y2Ð→

j + z2Ð→

kÐ→v (xv , yv , zv) si α,β ∈ R.

A Egalitatea vectorilor :Doi vectori sunt egali daca si numai daca au aceeasi directie,lungime si acelasi sens.Ð→u1 =

Ð→u2 ⇐⇒ x1 = x2; y1 = y2; z1 = z2.B Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex:Ð→

AB +

Ð→

BC =

Ð→

AC ; ”desen”Ð→u1 +

Ð→u2 = (x1 + x2)Ð→

i + (y1 + y2)Ð→

j + (z1 + z2)Ð→

k .Proprietatile adunarii:

1) (Ð→u +

Ð→v ) +Ð→w =

Ð→u + (Ð→v +

Ð→w ),∀Ð→u ,Ð→v ,Ð→w ∈ V3;(asociativitate);

2) ∃Ð→0 (0,0,0) ∈ V3(vectorul zero) a.ı.Ð→0 +

Ð→u =Ð→u +

Ð→0 =

Ð→u ,∀Ð→u ∈ V3 (element neutru);

3) ∀Ð→u ∈ V3, ∃! −Ð→u ∈ V3 ∶

Ð→u + (−Ð→u ) = (−

Ð→u ) +Ð→u =

Ð→0 .

4) Ð→u +Ð→v =

Ð→v +Ð→u ,∀Ð→u ,Ð→v ∈ V3 (comutativitate);

5) −

Ð→

AB =

Ð→

BA;

Ð→v (xv , yv , zv) =Ð→0 ⇐⇒ xv = 0, yv = 0, zv = 0.

3.2. Operatii cu vectori

Fie Ð→u1 = x1Ð→

i + y1Ð→

j + z1Ð→

k , Ð→u2 = x2Ð→

i + y2Ð→

j + z2Ð→

kÐ→v (xv , yv , zv) si α,β ∈ R.

A Egalitatea vectorilor :Doi vectori sunt egali daca si numai daca au aceeasi directie,lungime si acelasi sens.Ð→u1 =

Ð→u2 ⇐⇒ x1 = x2; y1 = y2; z1 = z2.B Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex:Ð→

AB +

Ð→

BC =

Ð→

AC ; ”desen”Ð→u1 +

Ð→u2 = (x1 + x2)Ð→

i + (y1 + y2)Ð→

j + (z1 + z2)Ð→

k .Proprietatile adunarii:

1) (Ð→u +

Ð→v ) +Ð→w =

Ð→u + (Ð→v +

Ð→w ),∀Ð→u ,Ð→v ,Ð→w ∈ V3;(asociativitate);

2) ∃Ð→0 (0,0,0) ∈ V3(vectorul zero) a.ı.Ð→0 +

Ð→u =Ð→u +

Ð→0 =

Ð→u ,∀Ð→u ∈ V3 (element neutru);

3) ∀Ð→u ∈ V3, ∃! −Ð→u ∈ V3 ∶

Ð→u + (−Ð→u ) = (−

Ð→u ) +Ð→u =

Ð→0 .

4) Ð→u +Ð→v =

Ð→v +Ð→u ,∀Ð→u ,Ð→v ∈ V3 (comutativitate);

5) −

Ð→

AB =

Ð→

BA; Ð→v (xv , yv , zv) =Ð→0 ⇐⇒

xv = 0, yv = 0, zv = 0.

3.2. Operatii cu vectori

Fie Ð→u1 = x1Ð→

i + y1Ð→

j + z1Ð→

k , Ð→u2 = x2Ð→

i + y2Ð→

j + z2Ð→

kÐ→v (xv , yv , zv) si α,β ∈ R.

A Egalitatea vectorilor :Doi vectori sunt egali daca si numai daca au aceeasi directie,lungime si acelasi sens.Ð→u1 =

Ð→u2 ⇐⇒ x1 = x2; y1 = y2; z1 = z2.B Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex:Ð→

AB +

Ð→

BC =

Ð→

AC ; ”desen”Ð→u1 +

Ð→u2 = (x1 + x2)Ð→

i + (y1 + y2)Ð→

j + (z1 + z2)Ð→

k .Proprietatile adunarii:

1) (Ð→u +

Ð→v ) +Ð→w =

Ð→u + (Ð→v +

Ð→w ),∀Ð→u ,Ð→v ,Ð→w ∈ V3;(asociativitate);

2) ∃Ð→0 (0,0,0) ∈ V3(vectorul zero) a.ı.Ð→0 +

Ð→u =Ð→u +

Ð→0 =

Ð→u ,∀Ð→u ∈ V3 (element neutru);

3) ∀Ð→u ∈ V3, ∃! −Ð→u ∈ V3 ∶

Ð→u + (−Ð→u ) = (−

Ð→u ) +Ð→u =

Ð→0 .

4) Ð→u +Ð→v =

Ð→v +Ð→u ,∀Ð→u ,Ð→v ∈ V3 (comutativitate);

5) −

Ð→

AB =

Ð→

BA; Ð→v (xv , yv , zv) =Ð→0 ⇐⇒ xv = 0, yv = 0, zv = 0.

C Inmultirea cu scalari :

Geometric, αÐ→v este un nou vector care are:

aceeasi directie ca Ð→v ;

lungimea ∣αÐ→v ∣ = ∣α∣ ⋅ ∣Ð→v ∣;

sensul

acelasi daca α > 0,opus daca α < 0;

0 ⋅Ð→v =Ð→0 ;

Algebric:

αÐ→v = α(xvÐ→

i + yvÐ→

j + zvÐ→

k ) = (αxv)Ð→

i + (αyv)Ð→

j + (αzv)Ð→

k

C Inmultirea cu scalari :

Geometric, αÐ→v este un nou vector care are:

aceeasi directie ca Ð→v ;

lungimea ∣αÐ→v ∣ = ∣α∣ ⋅ ∣Ð→v ∣;

sensul

acelasi daca α > 0,opus daca α < 0;

0 ⋅Ð→v =Ð→0 ;

Algebric:

αÐ→v = α(xvÐ→

i + yvÐ→

j + zvÐ→

k ) = (αxv)Ð→

i + (αyv)Ð→

j + (αzv)Ð→

k

C Inmultirea cu scalari :

Geometric, αÐ→v este un nou vector care are:

aceeasi directie ca Ð→v ;

lungimea ∣αÐ→v ∣ = ∣α∣ ⋅ ∣Ð→v ∣;

sensul

acelasi daca α > 0,opus daca α < 0;

0 ⋅Ð→v =Ð→0 ;

Algebric:

αÐ→v = α(xvÐ→

i + yvÐ→

j + zvÐ→

k ) = (αxv)Ð→

i + (αyv)Ð→

j + (αzv)Ð→

k

C Inmultirea cu scalari :

Geometric, αÐ→v este un nou vector care are:

aceeasi directie ca Ð→v ;

lungimea ∣αÐ→v ∣ = ∣α∣ ⋅ ∣Ð→v ∣;

sensul

acelasi daca α > 0,opus daca α < 0;

0 ⋅Ð→v =Ð→0 ;

Algebric:

αÐ→v = α(xvÐ→

i + yvÐ→

j + zvÐ→

k ) = (αxv)Ð→

i + (αyv)Ð→

j + (αzv)Ð→

k

C Inmultirea cu scalari :

Geometric, αÐ→v este un nou vector care are:

aceeasi directie ca Ð→v ;

lungimea ∣αÐ→v ∣ = ∣α∣ ⋅ ∣Ð→v ∣;

sensul

acelasi daca α > 0,opus daca α < 0;

0 ⋅Ð→v =Ð→0 ;

Algebric:

αÐ→v = α(xvÐ→

i + yvÐ→

j + zvÐ→

k ) = (αxv)Ð→

i + (αyv)Ð→

j + (αzv)Ð→

k

C Inmultirea cu scalari :

Geometric, αÐ→v este un nou vector care are:

aceeasi directie ca Ð→v ;

lungimea ∣αÐ→v ∣ = ∣α∣ ⋅ ∣Ð→v ∣;

sensul

acelasi daca α > 0,

opus daca α < 0;

0 ⋅Ð→v =Ð→0 ;

Algebric:

αÐ→v = α(xvÐ→

i + yvÐ→

j + zvÐ→

k ) = (αxv)Ð→

i + (αyv)Ð→

j + (αzv)Ð→

k

C Inmultirea cu scalari :

Geometric, αÐ→v este un nou vector care are:

aceeasi directie ca Ð→v ;

lungimea ∣αÐ→v ∣ = ∣α∣ ⋅ ∣Ð→v ∣;

sensul

acelasi daca α > 0,opus daca α < 0;

0 ⋅Ð→v =Ð→0 ;

Algebric:

αÐ→v = α(xvÐ→

i + yvÐ→

j + zvÐ→

k ) = (αxv)Ð→

i + (αyv)Ð→

j + (αzv)Ð→

k

C Inmultirea cu scalari :

Geometric, αÐ→v este un nou vector care are:

aceeasi directie ca Ð→v ;

lungimea ∣αÐ→v ∣ = ∣α∣ ⋅ ∣Ð→v ∣;

sensul

acelasi daca α > 0,opus daca α < 0;

0 ⋅Ð→v =Ð→0 ;

Algebric:

αÐ→v = α(xvÐ→

i + yvÐ→

j + zvÐ→

k ) = (αxv)Ð→

i + (αyv)Ð→

j + (αzv)Ð→

k

C Inmultirea cu scalari :

Geometric, αÐ→v este un nou vector care are:

aceeasi directie ca Ð→v ;

lungimea ∣αÐ→v ∣ = ∣α∣ ⋅ ∣Ð→v ∣;

sensul

acelasi daca α > 0,opus daca α < 0;

0 ⋅Ð→v =Ð→0 ;

Algebric:

αÐ→v = α(xvÐ→

i + yvÐ→

j + zvÐ→

k ) = (αxv)Ð→

i + (αyv)Ð→

j + (αzv)Ð→

k

C Inmultirea cu scalari :

Geometric, αÐ→v este un nou vector care are:

aceeasi directie ca Ð→v ;

lungimea ∣αÐ→v ∣ = ∣α∣ ⋅ ∣Ð→v ∣;

sensul

acelasi daca α > 0,opus daca α < 0;

0 ⋅Ð→v =Ð→0 ;

Algebric:

αÐ→v = α(xvÐ→

i + yvÐ→

j + zvÐ→

k ) =

(αxv)Ð→

i + (αyv)Ð→

j + (αzv)Ð→

k

C Inmultirea cu scalari :

Geometric, αÐ→v este un nou vector care are:

aceeasi directie ca Ð→v ;

lungimea ∣αÐ→v ∣ = ∣α∣ ⋅ ∣Ð→v ∣;

sensul

acelasi daca α > 0,opus daca α < 0;

0 ⋅Ð→v =Ð→0 ;

Algebric:

αÐ→v = α(xvÐ→

i + yvÐ→

j + zvÐ→

k ) = (αxv)Ð→

i + (αyv)Ð→

j + (αzv)Ð→

k