-1CURS 3 ELEMENTE CONSTRUCTIVE ALE SISTEMELOR DE TRANSMITERE PLANETAREn multe din construc iile mecatronice se utilizeaz, n componen a sistemului mecanic, transmisii planetare (cu ro i din ate cu axe mobile) pentru ob inerea micrii de rota ie a elementului condus, datorit urmtoarelor avantaje: - pot transmite puteri ntr-o gam larg, de la ordinul ctorva W pn la 104 kW; - permit transmiterea micrii ntre arbori cu orice pozi ie relativ unghiular; - pot realiza rapoarte de transmitere de la valori foarte mici la valori de ordinul 10.000; - au construc ie compact (gabarit redus). Transmisiile planetare sunt folosite frecvent ca reductoare i mai rar ca amplificatoare de tura ie. 4.1. Structura transmisiilor planetare Cea mai simpl transmisie planetar cu ro i din ate, cu angrenare exterioar sau interioar, reprezentat n fig. 4.1 (a, b), are lan ul cinematic format din dou ro i din ate 1 , 2 i un element suport axe H.

a

b

Fig. 4.1 Ob inerea transmisiei planetare

-2Prin legarea a dou sau mai multe angrenaje folosind un singur element suport axe se ob in transmisii planetare simple cu ro i din ate reprezentate n schemele structural-constructive din fig. 4.2.

a

b

c Fig. 4.2 Transmisii planetare simple

-3n general, o transmisie planetar cu ro i din ate are: - o ax de rota ie fix numit ax central; - elemente centrale 1, 2, H ale cror axe de rota ie coincid cu axa central; - sateli i (ro i cu axe mobile) - elementele 3, 3'. Din acest motiv transmisiile planetare sunt transmisii cu ro i din ate cu axe mobile la care ro ile centrale i bra ul port-satelit se rotesc coaxial (de unde provine denumirea "planetar" datorit analogiei dintre micarea relativ a ro ilor i micarea planetelor). O transmisie planetar simpl (cu una sau dou ro i centrale) se numete unitate planetar, n componen a creia intr: 1 - element constructiv de intrare (conductor); 2 - element constructiv de ieire (condus) - care sunt elemente centrale; 3, 3' - elemente constructive cu axe mobile (sateli i); H - element constructiv suport axe (bra port-satelit); 0 - element constructiv baz (fix). n func ie de elementul baz se disting urmtoarele tipuri constructive: a) transmisia planetar simpl diferen ial - la care numai axa central este baz i are dou elemente conductoare (rezult din calculul gradului de mobilitate pentru mecanismele plane): M = 3 n 2 c5 c4 (4.1) n care: n - numrul elementelor mobile (1; 3 -3'; 2; H ) = 4; c5 - numrul cuplelor de clasa V (cu un grad de libertate): rota ie (1-0; 3-3'-H; H-2; 2-0) = 4; c4 - numrul cuplelor de clasa IV (cu dou grade de libertate): angrenare (1-2; 3'-2) = 2; nlocuind valorile stabilite rezult: M = 2 (transmisie bimobil). b) transmisia planetar simpl monomobil - se ob ine prin legarea la baz a unuia din elementele centrale (2 0) rezultnd o transmisie cu un singur element conductor (M = 1) deoarece: n = 3 (1; 3-3'; H ); c5 = 3 (1-0; 3-3'- H; H-0 ); c4 = 2 ( 1-3; 3'-2). c) transmisia cu ro i dinate cu axe fixe - ob inut prin legarea la baz a elementului suport axe (H 0) i care are un singur element conductor (M = 1): n = 3 (1; 3-3'; 2); c5 = 3 (1-0; 3-3'-0; 2-0); c4 = 2 (1-3; 3'-2).

-4Fiecare unitate planetar poate fi reprezentat simplificat prin schemele bloc din dreapta fiecrei pozi ii (a, b, c) prin care se eviden iaz elementele conductoare, conduse i raportul de transmitere specific tipului constructiv de transmisie planetar. Prin legarea a dou sau mai multe unit i planetare diferen iale, astfel ca fiecare unitate s aib cte dou legturi, se ob ine o transmisie diferen ial complex cu M = 2 , care prin legarea la baz a unui element central se transform ntr-o transmisie planetar monomobil complex (fig. 4.3).

a

b Fig. 4.3 Transmisie planetar monomobil complex

-54.2. Cinematica transmisiilor planetare Din punct de vedere cinematic gradul de mobilitate M reprezint numrul micrilor, independente i cunoscute, care impuse transmisiei asigur micri determinate tuturor elementelor acesteia. Din punct de vedere static mobilitatea M reprezint numrul momentelor exterioare care ac ioneaz asupra arborilor de intrare i ieire, ale cror mrimi pot fi determinate prin rezolvarea sistemului de ecua ii de echilibu cinetostatic al transmisiei planetare. Micrile elementelor constructive ale unei transmisii planetare sunt univoc determinate dac se cunosc micrile a M arbori exteriori (M = 2 la transmisiile planetare simple diferen iale i M = 1 la transmisiile planetare simple monomobile). Micarea unui arbore exterior oarecare k este descris, n func ie de cele M micri cunoscute, cu ajutorul unei func ii numit lege de transmitere, definit de rela ia:

k = ( j )

j = 1, M

(4.2)

care prin derivare n raport cu timpul poate fi scris sub forma:

k = ( j )

j = 1, M

(4.3)

unde : k - unghiul de rota ie a arborelui k;

j - unghiul de rota ie a arborelui exterior j; k - viteza unghiular a arborelui k; j - viteza unghiular a arborelui exterior j.n cazul transmisiilor cu ro i din ate cu doi arbori exteriori (1- arbore de intrare i n - arbore de ieire ) legea de transmitere se poate scrie sub forma unui raport numit raport de transmitere: i1n = 1 = a (4.4) n n care semnul + se consider cnd vitezele unghiulare au acelai sens, iar semnul cnd au sensuri contrare. Studiul cinematicii unei transmisii planetare const n determinarea vitezelor unghiulare pentru fiecare element mobil i stabilirea raportului de transmitere.

-61. Transmisia planetar simpl monomobil.Se impune mrimea i sensul vitezei unghiular 12 considernd roata central 1 element conductor, roata 2 fixat la elementul baz i bra ul port-satelit H element condus. Dup analiza cinematic, rezult sensurile vitezelor unghiulare 32 i H 2 pentru unitatea planetar considerat, ca n fig. 4.4 a.

a

b

Fig. 4.4 Vitezele unghiulare relative ntre elementele constructive ale transmisiei planetare monomobilePrin inversarea micrii unei transmisii planetare simple monomobile n raport cu elementul suport axe H se ob ine o transmisie cu ro i din ate cu axe fixe (fig.4.4 b), cnd se spune c transmisiei planetare i se asociaz, prin inversarea micrii, transmisia cu axe fixe. Inversarea micrii se ob ine aplicnd ntregului sistem (fiecrui element constructiv) o micare egal i de sens contrar micrii elementului central (ex.: elementul suport axe H) ceea ce conduce la formularea teoremei c la schimbarea elementului baz (H 0) i a micrilor absolute, miscrile relative ale elementelor corespunztoare celor dou transmisii rmn neschimbate. Deoarece 1H i 12 sunt egale ca mrime, direc ie i sens, se ob in vitezele unghiulare 3H i 2 H pentru transmisia cu ro i din ate cu axe fixe asociat transmisiei planetare, ca n fig. 4.4 b. tiind c: 2 H = H 2 , prin inversarea micrii unei transmisii planetare monomobile n raport cu elementul suport axe H se ob ine o

-7transmisie cu ro i din ate cu axe fixe; cele dou transmisii se numesc asociate i sunt echivalente din punct de vedere cinematic. Pentru dou elemente oarecare x i y, componente ale fiecarui tip constructiv de transmisie (planetar, respectiv cu axe fixe) se pot scrie rela ii ntre vitezele unghiulare ale micrii lor relative exprimate prin: xy = x 2 y 2 = xH yH x, y = { ,2,3, H } 1 (4.5)

(a) (b) Particulariznd rela ia (4.5) se pot determina vitezele unghiulare ale oricrui element constructiv x al transmisiei fa de elementul baz (roata central 2, respectiv elementul suport axe H): - pentru transmisia planetar simpl monomobil: y = H xH = x 2 H 2 (4.6) - pentru transmisia cu ro i din ate cu axe fixe: y = 2 x 2 = xH 2 H (4.7) Raportul de transmitere al unit ii planetare monomobile poate fi determinat, conform defini iei (rela ia 4.4), pentru dou cazuri distincte de element conductor: - elementul central (roata) 1 :2 i1H = 12 =H2

1H 2 H 2 HH 2 12

H = 1 1H = 1 i122H

(4.8)

- elementul suport axe H :2 2 iH 0 = iH 1 = 1

=

1

12 H 2

=

12 i1H

(4.9)

Folosind raportul de transmitere al transmisiei cu ro i din ate cu axe fixe calculat cu rela ia :H i0 = i12 0 = 1H = 2H

( )z3 z1

z2 z3

= z21

z

(4.10)

n care: numerele de din i z1, z2 i z3 se aleg din considerente cinematice i de rezisten , rezultand rapoartele de transmitere ntre elementele mobile ale transmisiei planetare monomobile: 2 i1H = 1 i 0 (4.11) 1 2 i H1 =1 i0

Rela iile (4.11) reprezint formulele lui Willis, cunoscute din Teoria mecanismelor, n care i0 este raportul cinematic interior.

-82. Transmisia planetar simpl diferen ialDeoarece gradul de mobilitate este M = 2, se impune cunoaterea micrilor a doi arbori exteriori, astfel c legea de transmitere este o func ie de forma: c = f ( a , b ) (4.12) n care :

c - unghiul de rota ie necunoscut al arborelui c; a , b - unghiurile de rota ie cunoscute ale arborilor a i b.

Derivnd rela ia (4.12) n raport cu timpul, se poate deduce viteza unghiular a arborelui interior c func ie de vitezele unghiulare ale arborilor de intrare: f f c = a + b = A a + B b (4.13)a b

Constantele A i B pot fi determinate din condi iile fixrii arborilor b, respectiv a astfel: - pentru b = 0 : A = c = ib a b 0 ca (4.14) - pentru a = 0 : B = c = ia b a 0 cb

Cele dou rapoarte de transmitere din rela iile anterioare corespund transmisiei planetare monomobile ob inut din transmisia diferen ial prin fixarea succesiv la elementul baz a celor doi arbori exteriori cu micri cunoscute. Astfel se stabilete legtura ntre vitezele unghiulare sub forma:b a c = ica a + icb b

(4.15)

Observa ie:Pentru schema structural a transmisiei planetare din fig. 4.2 a, folosind nota iile: c = 1, b = 2, a = H, legea de transmitere are expresia: 2 H 1 = i1H H + i12 2 = (1 i0 ) H + i0 2 (4.16)

-94.3. Dinamica transmisiilor planetareUn aspect dinamic important al transmisiilor planetare l constituie circula ia de putere care reprezint distribu ia puterii de intrare pe ramurile transmisiei mpreun cu sensul de transmitere, dat de sensul vitezelor unghiulare ale arborilor. Teoretic, considernd randamentul transmisiei 100% dac se neglijeaz frecrile ntre elementele constructive, se definete circula ia teoretic de putere. Pentru cazul real de func ionare al unei transmisii planetare (randament mai mic dect 100%), cnd se iau n considerare i fenomenele de frecare ce las nemodificat cinematica (vitezele unghiulare ale arborilor componen i fiind determinate ca mrime i sens din analiza cinematic), se definete circula ia real de putere, cnd se modific numai momentele i for ele care ncarc elementele constructive ale transmisiei. Acestea reprezint ncrcrile reale ale elementelor unei transmisii planetare i se ob in din rezolvarea sistemului format din ecua iile de echilibru dinamic pentru fiecare unitate planetar. La transmisiile planetare simple (monomobile) cu doi arbori exteriori, la care puterea circul neramificat de la intrare la ieire i ntrun singur sens, nu se efectueaz analiza circula iei de putere. Necesitatea acestei analize apare numai la transmisiile planetare complexe cnd se deosebesc urmtoarele situa ii: - circula ia de putere n circuit deschis: pe fiecare ramur de la intrare la ie ire; - circula ia de putere n circuit nchis: cnd exist una sau mai multe ramuri (nu toate) n care puterea circul de la ieire ctre intrare; apare suprancrcarea unor ramuri ceea ce constituie un dezavantaj dinamic. Circula ia teoretic a puterii ntr-o transmisie planetar este caracterizat prin determinarea, pe fiecare ramur i/sau element constructiv x, a coeficientului de reparti ie teoretic a puterii de forma: P T x = x = x x (4.17) P1 T1 1 n care: P1, Px - puterea de intrare, respectiv puterea care circul pe ramura (elementul) x; T1 , Tx - momentul de torsiune transmis la intrare, respectiv de elementul x ; 1 , x - viteza unghiular a elementului de intrare, respectiv x.

-10Deoarece o transmisie planetar complex este format din mai multe unit i planetare j, definirea circula iei teoretice a puterii se face prin stabilirea coeficientilor xj corespunztori anumitor elemente centrale ale unit ilor planetare componente X = 1,2 , H} .

{

Dinamica transmisiilor planetare complexe se studiaz prin descompunerea acestora n unit i planetare simple. n studiul dinamic, neglijnd for ele de iner ie, o transmisie (unitate) planetar simpl poate fi analizat - inversnd micarea n raport cu elementul suport-axe H - ca o transmisie cu ro i din ate cu axe fixe. Pentru determinarea coeficientilor de reparti ie a puterii pe elementele centrale ale unei unit i planetare, se consider schema bloc a unei transmisii planetare complexe din fig. 4.6, n care s-au folosit nota iile: 1 - element de intrare (conductor), n - element de ieire (condus), j - transmisie (unitate) planetar diferen ial simpl format din ro ile centrale k, l i elementul suport-axe Hj .

Fig. 4.6 Circula ia de putere pentru transmisia planetar complexConven ional, un element constructiv k al unei transmisii planetare poate fi definit ca element conductor sau condus (fig. 4.7) prin produsul dintre momentul static Tk i viteza unghiular absolut k astfel:

Tk k > 0 k = element conductor ; Tk k < 0 k = element condus

(4.18)

-11-

Fig. 4.7 Definirea elementelor conductor i condusn cazul general, coeficien ii de reparti ie teoretic a puterii pe elementele centrale k , l i Hj au urmtoarele expresii analitice: i0 j i P T k = k = k k = 1 1n P1 T1 1 1 iH j k i1n i0 j

l =

Tl l i0 j i1n Pl = = 1 P1 T1 1 iH j l 1 i1n i0 j PH j P1

(4.19)

Hj =

=

TH j H j T1 1

=

1 i0 j i0 j i1n 1ikH j i1n i0 j

unde: Pk , l , H j - puterea care circul prin ro ile centrale k, l, respectiv elementul suport-axe Hj; Tk , l , H j - momentele de torsiune transmise de arborii pe care sunt fixate ro ile centrale k, l, respectiv elementul Hj; k , l , H j - vitezele unghiulare ale ro ilor centrale k, l, respectiv elementul suport-axe Hj; i0 j - raportul de transmitere interior al unitatii planetare j;i1n - raportul de transmitere al transmisiei complexe considerate; i H j k , i H j l - raportul de transmitere dintre elementul suport-axe Hj

i rotile centrale k , respectiv l. Rela iile (4.19) fac posibil analiza dinamic (teoretic) a oricrei transmisii planetare monomobile, constatnd c circula ia teoretic de putere este complet determinat de cinematica acesteia ( i1n = i i0 j i

( )

i0 j ; j = 1,2,...

-12innd seama c: P1 = T1 1 > 0 este putere de intrare, rezult c n raport cu unitatea planetar j elementul k {k , l , H j } este conductor dac x > 0 i este condus dac x < 0 . n cazul real, cnd se iau n considerare pierderile prin frecare din cuplele superioare i se neglijeaz frecarea din cuplele inferioare de rota ie ale transmisiilor planetare, iar efectul for elor i momentelor de iner ie actioneaz numai n cuplele inferioare, puterea pe o ramur (element) oarecare x a(l) unei transmisii planetare poate fi descris, comparativ cu circula ia teoretic, de aceeai vitez unghiular i de un moment de torsiune n general mai mic ca valoare ( T < T = 0 ).

Circula ia real de putere pe ramura (elementul) x poate fi descris, similar cu cazul teoretic, cu ajutorul coeficientului real de reparti ie a puterii: P T T x = x = x x = x 1 (4.20) P1 T1 1 T1 i1xn care: i1x - raportul cinematic de transmitere de la elementul de intrare 1 la elementul x. Deoarece rapoartele cinematice de transmitere se pot ob ine din analiza cinematic, din rela ia (4.20) rezult c circula ia real de putere se reduce la stabilirea momentelor de ncarcare Tx ale elementelor centrale n func ie de momentul T1 la intrarea n transmisia planetar. Datorita piederilor prin frecare, se definete randamentul unei transmisii planetare ca raportul dintre puterea de ieire (puterea util) i cea de intrare (puterea consumat): P T T /T i = n = n n = n 1 = 1n (4.21) 1/ n i1n P1 T1 1 n care: i1n - raportul cinematic de transmitere;

i1n - raportul de transmitere al momentelor, care are aceeai func ie ca i raportul cinematic, dar se deosebete de acesta prin faptul c argumentul constituit din raportul cinematic interior i 0 j al unit iiplanetare j este nlocuit cu raportul interior al momentelor i0 j astfel:i1n = i1n (i0 j ) i0 j = i0 j 0 jjx

(4.22)

-13unde: j - numarul de ordine al unit ii planetare din componen a transmisiei considerate; 0 j - randamentul interior al unit ii planetare j;x j = 1 dac roata central k este element conductor, respectiv

condus n transmisia cu axe fixe asociat, prin inversarea micrii, unit ii planetare. Determinarea momentelor reale care ncarc elementele constructive ale transmisiilor planetare simple monomobile se face prin rezolvarea sistemului format din ecua iile de echilibru dinamic al fiecarei unit i planetare j (vezi fig. 4.6). Deoarece momentele statice sunt invariante fa de inversarea micrii, stabilirea momentelor reale ale unei transmisii planetare poate fi redus la calculul momentelor de ncrcare ale elementelor transmisiei cu axe fixe asociat impunnd cele dou condi ii. Din condi ia de echilibru a puterilor:

Pj = 0

0 j =Tk

Pl Pk

=

Tl l Tk k

=

Tl / Tk k / l

=

Tl / Tk i0 j

(4.23)

Tl = i0 j 0 j = i0 j

rezult momentul de torsiune transmis de roata central 1 func ie de momentul de intrare n unitatea planetar (pe roata central k) dat de rela ia: Tl = i0 j Tk (4.24) Din condi ia de echilibru a momentelor de torsiune:

T j = 0

Tk + Tl + TH j = 0

(4.25)

TH j = (Tk + Tl ) = (i0 j 1) Tk

rezult momentul transmis de elementul suport-axe Hj. Dac nu exist pierderi de putere de la elementul de intrare 1 al transmisiei planetare complexe la elementul k al unit ii planetare j, n calcule se consider: Tk = T1 . Comparnd rela iile (4.24) i (4.25) cu ecua ia cinematic (4.16) a unit ii planetare j, scris cu noile nota ii, sub forma:

-14 k = (1 i0 j ) H j + i0 j l(4.26) se constat c expresiile momentelor Tl , TH j pot fi ob inute direct din coeficien ii vitezelor unghiulare l , respectiv H j prin schimbarea semnului i nlocuirea raportului de transmitere cinematic i0 j cu raportul momentelor i0 j . n mod asemntor se poate stabili ncrcarea (elementelor) unei transmisii planetare simple difere iale.

arborilor

Fig. 4.8 ncrcarea transmisiei planetare simple diferen iale

4.4. Particularit i de calcul organologic al transmisiilor planetareAngrenajele unei transmisii planetare se proiecteaz pentru fiecare unitate planetar n parte; practic dimensionarea i verificarea se realizeaz din condi ii de rezisten pentru transmisia cu ro i din ate cu axe fixe asociat prin inversarea micrii. Particularit ile de calcul sunt legate de urmtoarele aspecte: 1. n rela iile utilizate pentru dimensionarea elementelor constructive ale unei transmisii planetare (ro i centrale, sateli i, bra port-satelit, arbori) se folosesc valorile momentelor de torsiune care ncarc fiecare

-15element i nu puterile, pentru a face distinc ie ntre puterile arborilor unei unit i planetare i puterile arborilor transmisiei cu axe fixe asociat. 2. Momentele de torsiune care ncarc arborii transmisiei cu axe fixe sunt egale cu momentele corespunztoare pe arborii unit ii planetare. 3. n cazul unit ilor planetare cu S sateli i lega i n paralel, for ele din angrenaje se calculeaz innd seama i de procedeul utilizat pentru uniformizarea ncrcrii sateli ilor, momentul de calcul determinndu-se cu rela ia:T Txc = x K S

(4.27)

n care: Tx - momentul de torsiune total care solicit elementul (roata central) x; K - coeficient care ine seama de neuniformitatea ncrcrii sateli ilor, indicat n tabelul 4.1. Coeficientul K ncovoiere Contact 1 1.15 1.1 12.3 11.6

11.8 1 3 12.2

11.4 12.3 11.8

Tabelul 4.1 Tipul de uniformizare a ncrcrii sateli ilor Eliminarea total a nedeterminrii Ridicarea nedeterminrii n plan pentru S=3 Compensarea prin deforma ii elastice i montaj flotant (clasa de precizie VII) Idem, clasa de precizie VI Nu se utilizeaz solu ii de egalizare a ncrcrii Idem, reducerea nedeterminrii statice se realizeaz prin creterea preciziei de execu ie (clasa a VI a)

4. Determinarea clasei de precizie, a coeficientului dinamic i a tipului de ulei necesar ungerii se face n func ie de viteza periferic a ro ilor calculat pentru transmisia cu axe fixe asociat prin inversarea micrii unit ii planetare care se proiecteaz. 5. For ele centrifuge ale sateli ilor, calculate cu viteza unghiular a elementului suport-axe H j, se iau n considerare n calculul lagrelor (rulmen ilor) sateli ilor.