Curs - 02 - Cfdp
9
11/13/2013 1 Met oda Elemen tul ui Fin it curs As. Dr. Ing. Crișan Andrei dep. de Construcții Civile și Mecanica Construcțiilor Universit atea POLITEHNICA Timișoara [email protected] 2013 -2014 Curs 2 Mat emat ică și mecan ică • Matematică: – Matrice – Operații cu matrice • Mecanică: – Eforturi unitare – Deformații specifice – Relații între eforturi și deformații • Forma matricială a ecuațiilor folosite în mecanică Curs 2 Matematică și mecanică • Matrice – Ce este o matrice? – o matrice este un tabel dreptungh iular de numere, sau mai general, de elemente ale unei structuri algebrice – mat ric e cu m lin ii și n coloan e (sau de tip m x n) – elementele matricei: a i,j Curs 2 Matematică și mecanică • Matr ice – cazur i particul are – Matrice linie – Matrice coloana – Matrice pătratică – Matrice nulă (toate elementele sunt ”0”) – Matricea unitate Transpusa
description
MEF
Transcript of Curs - 02 - Cfdp
-
11/13/2013
1
Metoda Elementului Finitcurs
As. Dr. Ing. Crian Andreidep. de Construcii Civile i Mecanica Construciilor
Universitatea POLITEHNICA [email protected]
2013 - 2014 Curs 2Matematic i mecanic
Matematic: Matrice
Operaii cu matrice
Mecanic: Eforturi unitare
Deformaii specifice
Relaii ntre eforturi i deformaii
Forma matricial a ecuaiilor folosite n mecanic
Curs 2Matematic i mecanic
Matrice Ce este o matrice?
o matrice este un tabel dreptunghiular de numere, sau mai general, de elemente ale unei structuri algebrice
matrice cu m linii i n coloane (sau de tip m x n)
elementele matricei: ai,j
Curs 2Matematic i mecanic
Matrice cazuri particulare
Matrice linie
Matrice coloana
Matrice ptratic
Matrice nul (toate elementele sunt 0)
Matricea unitate
Transpusa
-
11/13/2013
2
Curs 2Matematic i mecanic
Matrice operaii cu matrice nmulirea cu un scalar
Adunarea matricelor
2 matrici se pot aduna doar dac au acelai numr de linii i de coloane
Curs 2Matematic i mecanic
Matrice operaii cu matrice Transpusa unei matrice
Dac A = tA atunci matricea A este simetric
Curs 2Matematic i mecanic
Matrice operaii cu matrice nmulirea matricelor
Curs 2Matematic i mecanic
Matrice operaii cu matrice Determinantul unei matrice
Matricea trebuie s fie ptratic
Matricea ptratic de 2 x 2
Matricea ptratic de 3 x 3
-
11/13/2013
3
Curs 2Matematic i mecanic
Matrice operaii cu matrice Determinantul unei matrice
Matricea trebuie s fie ptratic
Matricea ptratic de 2 x 2
Matricea ptratic de 3 x 3
Curs 2Matematic i mecanic
Matrice operaii cu matrice Matricea ptratic de 4 x 4 ?
Curs 2Matematic i mecanic
Matrice operaii cu matrice Matricea singular
Det(A) = 0
Matricea nesingular
Det(A) 0
Inversa unei matrice
A A-1 = A-1 A = I
Curs 2Matematic i mecanic
Matrice operaii cu matrice Opiuni de calcul a inversei unei matrice
Folosind adjuncta unei matrice
Folosind matricea extins
transformnd [ A | I ] n [ I | A-1 ]
-
11/13/2013
4
Curs 2Matematic i mecanic
Matrice operaii cu matrice Opiuni de calcul a inversei unei matrice
Folosind adjuncta unei matrice
Adjuncta unei matrice
transpusa
adjuncta
(-1)i+j
(+)
(-)
(+)
(-)
(+)
(-)
(+)
(-)
(+)
Curs 2Matematic i mecanic
Matrice operaii cu matrice Opiuni de calcul a inversei unei matrice
Folosind matricea extins
Curs 2Matematic i mecanic
Matrice operaii cu matrice La ce folosesc matricele i operaiile cu matrice?
Rezolvarea sistemelor de ecuaii
Curs 2Matematic i mecanic
Mecanic Efort unitar
Efort unitar normal
Efor unitar tangenial
unde (i i j = 1, 2, 3)
-
11/13/2013
5
Curs 2Matematic i mecanic
Mecanic Efort unitar
Curs 2Matematic i mecanic
Mecanic Efort unitar
Curs 2Matematic i mecanic
Mecanic Efort unitar
Curs 2Matematic i mecanic
Mecanic
unde (i i j = 1, 2, 3)
-
11/13/2013
6
Curs 2Matematic i mecanic
Mecanic Deformaie unitar
=1
Curs 2Matematic i mecanic
Mecanic Deformaie unitar
Curs 2Matematic i mecanic
Mecanic Deformaie unitar
= =
= =
Curs 2Matematic i mecanic
Mecanic Deformaie unitar
-
11/13/2013
7
Curs 2Matematic i mecanic
Mecanic Deformaie unitar (Legea lui Hook n 3D)
Efort axial pe axa X
Efort axial pe axa Y
Efort axial pe axa Z
Efort tangenial
=1
=
1
Curs 2Matematic i mecanic
Mecanic Relaia matricial ntre deformaie specific i efortul unitar
=
Curs 2Matematic i mecanic
Mecanic Relaia matricial ntre deformaie specific i efortul unitar
=
Curs 2Matematic i mecanic
Mecanic Relaia matricial ntre deformaie specific i efortul unitar
=
-
11/13/2013
8
Curs 2Matematic i mecanic
Mecanic Relaia matricial ntre deformaie specific i efortul unitar
=
Curs 2Matematic i mecanic
Mecanic Relaia matricial for i deplsare
=
Deformaii (, )
Efort unitar (, )
Flexibilitatea (1/E, 1/G)
Curs 2Matematic i mecanic
MEF Relaia matricial for i deplasare
=
Deplasare nodal
Fora nodal
Flexibilitatea elementului
=
Rigiditatea elementului
Deplasare nodal
Fora nodal
Curs 2Matematic i mecanic
MEF Relaia matricial for i deplasare Exemplu
-
11/13/2013
9
Curs 2Matematic i mecanic
MEF Relaia matricial for i deplasare Exemplu
![Parabola Cubica Imbunatatita - Prof.dr.Ing. Radu Constantin, CFDP [2001]](https://static.fdocumente.com/doc/165x107/55cf9008550346703ba289a2/parabola-cubica-imbunatatita-profdring-radu-constantin-cfdp-2001.jpg)
