curgerea supersonica

8/3/2019 curgerea supersonica

1/6


2/6

Fig. 1. Cazurile de afectare a aripii Rogallo conicede creterea vitezei supersonice de zbor

Distingem dou cazuri:I. aripa cu borduri de atac subsonice, sau sonice, cu BR 1/2 ,iar n cazul aripii cu eleroane plane, chiari cu borduri de atacsupersonice (Bl> 1); n toate aceste cazuri putem considera cperturbaiile date de scheletul aripii sunt mici fa de vitezacurentului supersonic incident (1/B destul de mare fa de urmaaripii), unele dintre ele chiar scznd cu creterea incidenei;II. aripa cu borduri de atac subsonice, sonice, sau supersonice,cu BR > 1/2 ; n aceste cazuri se observ c perturbaiile date deschelet nu mai pot fi considerate mici fa de viteza curentuluisupersonic incident (dei se manifest acelai fenomen descdere a unora dintre ele cu creterea incidenei aripii), ntructo micorare puternic a acestor perturbaii atrage dup sine ocretere mare a perturbaiei reprezentate de incidena curentului.Aceasta constituie de altfel una din cele mai importantecaracteristici aerodinamice ale aripii Rogallo conice, i anumeexistena unui unghi pozitiv de portan nul, de valoareconsiderabil (10 15 i chiar 20 grade) i intrarea n pierderede portan (stall) la valori mult mai mari ale unghiului deinciden dect cele corespunztoare ale aripii delta planesubiri sau ale aripii Rogallo cilindrice de aceeai proiecie nplanul x1Ox2, dup cum se poate observa din figurile 33 de la p.18 19 din [1] (preluat din [2]) i respectiv 8 din [3]. Aceastanseamn c n vederea utilizrii acestei aripi, ea trebuie

instalat n cadrul sistemului portant respectiv cu un unghi decalaj pozitiv, de valoare cel puin egal cu cea a unghiului ei deportan nul.Carecteristicile aerodinamice ale aripii Rogallo conice standardau fost determinate pe cale experimental, fiind reprezentatecomparativ fie cu cele ale aripii Rogallo cilindrice, fie cu celeale aripii delta plane subiri, ambele de aceeai formi mrimea proieciei plane ca i cele corespunztoare ale aripii date.Astfel, pe lng figurile anterior citate (v. [1] [3]), mai pot ficonsultate i figura 34 de la p. 18 20 din [1] (de asemeneapreluat din [2]) i figurile 9 15 i 17 21 din [3].

Experimentrile descrise n [3] s-au desfurat ntr-un domeniude numere Mach cuprins ntre 0,3 i 1,3 , unele din rezultate(printre care i cele din regimul supersonic) fiind obinute prinmsurtori efectuate cu o balan cu trei componente (pentrumicri simetrice) asupra unei aripi de planor cu suprafaarigid, ncercate n sufleria transonic de 1,2 m x 2,0 m a NLRdin Amsterdam. Diagramele coninnd rezultatele obinute nurma experimentrilor aripii rigide n regimul supersonic sunt

date n figurile 17 21 din [3], n rezumat menionndu-sedificultatea abordrii teoretice a aerodinamicii aripii respective.Considerm c prin abordarea acestei probleme, chiar dacnumai pentru curgerea n regim supersonic, i numai n cadrulteoriei micilor perturbaii, se aduce o contribuie la clarificareaaerodinamic a acestui tip de aripi.

2. Determinarea funciei complexe a vitezei axiale deperturbaie pentru aripa delta subire cu borduri subsonice

n scopul determinrii funciei complexe a vitezei axiale deperturbaie u, aduse vitezei U a curentului supersonic incident,vom aplica metoda prezentat n [4] i [5] de reducere a

problemei la studiul unei micri conice n jurul unei aripitriunghiulare plane fictive subiri, caracterizate prin condiii lalimit specifice.Vom presupune c perturbaiile u, vi w sunt mici fa de vitezaU a curentului supersonic neperturbat, adic ne vom ncadra ncazul I (v. figura 1) din capitolul precedent, astfel nct ecuaiadiferenial a potenialului vitezelor n sistemul de coordonatetriortogonal drept Ox1x2x3 (O fiind vrful sistemului portant, iarOx1 generatoarea comun a celor dou pnze conice circularenclinate tangente) poate fi scris sub forma liniarizat

,0xxx

B23

2

22

2

21

22 =

+

+

unde este potenialul vitezelor de perturbaie.

n sistemul de coordonate anterior prezentat, ecuaia suprafeeisistemului portant conic va fif (x1 , x2 , x3) = 0 omogeni de gradul patru.Dezomogenizm folosind coordonatele date de transformarea

,xxz;xxy 1312 == (1)

obinnd ,0)z,y(fsau,0)z,y(fx 41 == unde

,yR4)zy()Ry2zy)(Ry2zy()z,y(f 222222222 +=+++= (2)n care R este raza cercurilor din seciunea x1 = 1 a pnzeiconice. Planul yOz astfel obinut poart numele de plan fizic(real) i este reprezentat n partea stng a figurii 2.Se observ c dac x1 = 1, atunci x2 = y ; x3 = z , deci y i zreprezint chiar coordonatele (abscisa i ordonata) suprafeei

sistemului portant la cota x1 = 1.ntr-un punct oarecare de pe suprafaa sistemului consideratviteza curentului este V, iar versorul normalei locale este n.Condiiile la limit pe diferitele regiuni ale aripii (s fiesuprafee de cmp: Vn = 0) pot fi scrise:

,)cos(z

fz

y

fy

z

f)sin(

y

fuUUwv +

+

=

++

(3)

n regiunile aripii cu directoare bicirculari respectiv,sin = Uw (4)

n regiunile plane ale eleroanelor de la bordurile de atac.


3/6

innd seam de forma funciei f (y, z), dat de relaia (2),condiia la limit (3) devine, n cazul unei incidene mici

,)}zy(z2]R4)zy(2[y){(

)zy)((z2]R4)zy(2[y2222222

22222

++++=

=++++

uU

Uwv

sau nc, datorit simetriei (y2 = y1i v2 = v1)v (y R)+(w + U) z = R (U + u) y. (5)Vom trece n coordonate polare, innd seam de ecuaia

directoarei (reprezentarea ei parametric)r = 2 R cos [0, /2] (6)rezultnd y = 2 R cos2 ; z = 2 R cos sin i vom transcrie condiia (5), obinnd forma simplificatv cos 2 + (w +U) sin 2 = 2 R (U + u) cos

2 (7)La aceste dou condiii, (4) i (7), va trebui adugat condiia perestul axei Oy (care n acest caz este chiar ntreaga ax)u = v = 0 ,cele dou viteze de perturbaie de mai sus anulndu-se numai ncazul aripii conice cu directoare biarccircular, deci cu unghidiedru 0 nenul.innd seam de faptul c n micarea conic vitezele deperturbaie, ca i incidena i panta aripii, sunt constante n

lungul unei raze vectoare definite prin coordonateleadimensionale(1),vomconsideratransformareageometric

,;1

2Br;

Br

rB11B2

B

B22

B =

+

=

= (8)

(unde r2 = y2 + z2 , iar 222B += ), prin care planul real yozse transform n planul (Busemann).tiind c viteza de perturbaie pe o direcie oarecare s areexpresia ,ss =V rezult c vitezele de perturbaiedevin funcii armonice n noul plan, deci vor putea fi exprimatesub forma complex: u = Re U ; v = Re V; w = Re W,

unde U , Vi Wsunt funcii de variabila complex = + i ,

corespunztoare planului complex suprapus peste cel real allui Busemann. Ele au expresiileU = u + i u ; V= v + i v ;

W = w + i w , unde u, v i w sunt funciile armoniceconjugate ale vitezelor de perturbaie, legate de acestea princondiiile de monogeneitate Cauchy Riemann.U , Vi Wsuntcunoscute sub denumirea de funcii complexe ale vitezeloraxial (u), lateral (v) i respectiv vertical (w) de perturbaie.Planul complex x , n care vom lucra, se obine din planul luiBusemann, prin transformarea conform (produsul transformriilui Jukovski cu o omotetie i o inversiune n raport cu originea):Bx = 2/(1 + 2) , cu = + i , iar x = y + iz . (9)Aceasttransformaresefacecuscopuldeareprezentadomeniul

subsonic (din interiorul cercului lui Mach) din planul fizic, pentreg planul complex x , cu excepia a dou semidrepteorizontale:(1/B,)i(1/B,),carereprezint transformatulcercului lui Mach. Avantajul este evident, dac ne gndim caplicnd transformarea (9) obinem un plan de micaresubsonic, n care lucrm cu uurin. n acest plan, reprezentatn partea dreapt a figurii 2, orice segment de dreapt al axei oydin planul fizic (n particular urma regiunilor plane ale aripii) ipstreaz nemodificate poziia i lungimea.n ceea ce privete rezolvarea micrii supersonice ce ar puteaaprea cnd bordurile de atac (ale regiunilor plane) ale aripii

devin supersonice, s-a demonstrat [6] c exist nite planecaracteristice, tangente la conul lui Mach, deci n fiecare punctdin spaiul afectat de micarea supersonic, soluia este dat depunctul de tangen (la cercul lui Mach) a dreptei ce trece prin punctul n care se studiaz micarea. Prin transformarea (9), punctul de tangen trecepe axa real aplanului x , n afarasegmentului ( 1/B, 1/B) chiar n punctul de pe arip care segsete pe aceeai caracteristic. Deci chiar dac aplicnd

transformarea (9) dispare domeniul supersonic din planul x ,putem obine soluia micrii cu mare uurin.Transformarea (9) fiind conform, funciile U , V i W rmnfunciidevariabilcomplexiarvitezelermnfunciiarmonice.Micarea fiind presupus potenial, ele nu sunt independente,ci, fiind derivatele unei aceleiai funcii , sunt legate ntre eleprin relaiile de irotaionalitate

,0xxx 321

=

=

wvu

kji

V

relaii care se pot scrie dup o serie de schimbri de variabil

,xB1dxidxd 22== WVU (10)numite relaii de compatibilitate, deoarece exprimcompatibilitatea curentului cu condiia de irotaionalitate a sa.Transformrile (8) i (9) pot fi comasate n transformareaurmtoare (v. i centrul figurii 2), care ne trece direct din planulfizic (real) n planul complex x

,)zB1()zy(B1z;)zB1(y 2222222 +== zy (11)

transformare pe care o vom numi transformare combinat(geometrici conform).

Fig. 2. Planele fizic (real) yoz i transformat (complex x)

Cnd un punct M din planul fizic,de coordonate (y, z) sau (r, ),unde r = (y2 + z2)1/2, iar = arctg (z/y), trece ntr-un punctM

din planul transformat, de coordonate (y, z) sau (, ), unde = (y2 +z2)1/2, iar = arctg(z/y), prin transformarea combinat(11), avem

.sinrB1

rsau,

zB1

zy222

22

22

22

=

+=+ 22 zy (12)

Din compararea primelor relaii (11) i (12), rezult

,)zy(y)( 2222 +=+zyy (13)

deci transformarea (11) are ca invariant expresia dat de relaia(13). Decicurbeleinvariantealetransformrii(11)suntcercurile


4/6

.0)Rsau,0(R2R)(y)zy( 2222 =+=+ yzy

Cercurile invariante y2 + z2 2 R y = 0 (sau y2 +z2 2 Ry = 0)

au centrul pe pe axa oy (sau oy) n punctul (R, 0) i sunt

tangente la axa oz (sau oz). O alt curb invariant este axa oy

(sau oy), ceea ce se poate vedea din transformarea (11), fcnd

z = 0 n relaia ce-l definete pez

. La intersecia cercurilor

invariante cu axa oy (sau oy) se vor gsi aadar puncteinvariante ceea ce de altfel se observ direct din transformarea(11), fcnd z = 0 n relaia ce-l definete pe y. Consecinaacestui fapt este proprietatea transformrii (11) de a reproducesegmentul de dreapt al axei oy (sau oy) n adevrat mrime(se pstreaz urmele regiunilor plane de la bordurile de atac alearipii cu directoare bisemicircular). Geometric, invarianaraportului (y2 + z2)/y reprezint conservarea formei cerculuiy2 + z2 2Ry = 0 prin transformarea (11), n urma aplicriicreiaunpunctM (y,z) din planul fizic yoz alunec n lungulcercului invariant, ocupnd o nou poziie M (y,z). Aceasta

nseamn c anvergura i unghiul diedru ale aripii conice dinplanul transformat se modific fa de cele corespunztoare alearipii din planul fizic, i anume anvergura crete, iar unghiuldiedru scade, excepie fcnd aripa conic cu directoarebisemicircular (cu unghi diedru nul) pentru care ambiiparametri sus-menionai i menin valorile din planul fizic,aripa pstrndu-se deci identic n cele dou plane. Deci printransformarea (11) se conserv directoarea biarccircular a pnzei conice a aripii. Directoarea fiind identic, condiia lalimit (7) va fi i ea transpus identic n planul x , adic n loculunghiului polar va aprea unghiul polar , dat de relaia

,tgrB1tg 22 = sau innd seam de relaia (6)

,tgcosRB41tg222

= (14)deci n planul complex x vom avea, neglijnd termenii careconin B2R2

v cos 2 + (w +U) sin 2 2 R (U + u) cos2 (15)

i innd seam de restricia introdus (4 B2R2


5/6

Astfel, o prim transformare conform aplicat esteX= R/x (30)(o combinaie de omotetie cu inversiune n raport cu originea),care ne trece din planul complex x , n planul complexX , de

variabilX= Y + i Z. Rezultatul aplicrii acestei transformri poate fi urmrit n figura 3. Se observ c aripa conic cudirectoare biarccircular trece n dou semidrepte verticalesimetrice fa de axa imaginar, pstrndu-se unghiul 0 dintreraza vectoare ce trece prin bordul de atac al aripii i axa real aplanului respectiv. Distana dintre cele dou semidrepte (urmeale aripii) din planul X este egal cu . Cele dou tieturi(semidrepte urme ale cercului Mach) se transform ntr-unsegment de dreapt al axei reale, centrat chiar n originea acesteiaxe i avnd lungimea 2 BR.

Fig. 3. Planul complexX Fig. 4. Planul complex X1

Urmeaz apoi transformarea conform (rotaie n jurul originii)X1 = iX , (31)

care ne trece din planul complexX n planul complex X1 , de

variabil X1 = Y1 + i Z1 . Rezultatul aplicrii acesteitransformri poate fi observat n figura 4 i nu necesitcomentarii. Vom aplica acum transformarea conform Schwarz-Christoffel dat implicit de relaia (v. [7], subpar. 12.7, p. 159)

2iXcharg1XXX 22221 += (32)

care ne trece din planul complex X1 n planul complex X2 , devariabil X2 = Y2 + i Z2 . Aceast transformare reprezintdomeniuldinexteriorulbenziisemiinfiniteO1G1G1O1dinfigura4 pe semiplanul superior (Im X2 > 0), iar banda semiinfinitrespectiv este reprezentat pe semiplanul inferior (Im X2 < 0).

Fig. 5. Planele complexe X2i X

Rezultatul aplicrii acestei transformri poate fi urmrit n partea stng a figurii 5. Se observ c cele dou semidrepteparalele orizontale ce reprezint urma aripii n planul complexX1 trec n noul plan X2 n dou semidrepte coliniare, avnd casuport axa real a acestui nou plan i dispuse simetric fa deoriginea acestei axe. La rndul su, tietura (segmentul verticalurm a cercului Mach) se transform ntr-un segment de dreaptal axei reale, centrat tot n originea acestei axe. Att abscisa L2 a

bordului de atac A2 al urmei aripii din noul plan, ct i abscisaH a extremitii D2 a segmentului urm a cercului Mach, suntfuncii de 0 , fiind soluii ale unor ecuaii transcendente:

,tg2

Lcharg1LL 02222

= (33)

unde 0222

00 cosRB41tgtg = v.i relaia (14).

n cazul bordurilor de atac subsonice avem 2 BR cos 0 1.Pentru variaia unghiului diedru 0 acceptm un cmp de valori0 [0 , 0M] , cu 0M/4 , ceea ce conduce la

0 [0 , 0M] , cu 0M .RB21arctg22

Introducnd notaia L2 = ch p , (cu L2 1) obinem

,psh1L22 = ecuaia transcendent (33) devenindsh p ch p p = /2 tg 0 ,i prin substituia 2 p = q , rezult formash q q = tg 0 . (34)Se observ c pentru un unghi diedru 0 nul, rezult0 = 0 ; q = 0 ; p = 0 i L2 = 1 .Analog avem ecuaia transcendent

( ) ,21BRHarccosH1H 2 = (35)unde, n cazul bordurilor de atac subsonice BR 1/(2 cos 0).Dac BR 1/2 , ecuaia (35) devine

( ) .BR21H1HHarccos 2 = (36)Introducnd notaia H = cos m , (cu: BR 1/2 ; H 1) obinem

,msinH1 2 = ecuaia transcendent (36) devenindm sin m cos m = (1/2 BR) ;i prin substituia 2 m = n , rezult forman sin n = (1 2 BR) . (37)Se observ c pentru 2R = 1/B (adic BR = 1/2 ), rezultn = 0 ; m = 0 i H = 1 .Coliniaritatea i simetria poziional (pe axa real a planuluicomplex X2) a celor dou semidrepte urme ale aripii i asegmentului de dreapt urm a cercului Mach, constituie unrezultatfoarteimportantalaplicriitransformriiconforme(32).Acesta conduce la necesitatea aplicrii transformrii conforme

X = H/(B X2) , (38)

care ne trece din planul complex X2 n planul complex X , devariabil X = Y + i Z . Rezultatul aplicrii acestei transformriconformepoatefiurmritnparteadreaptafigurii5.Seobservc cele dou semidrepte coliniare urme ale aripii trec n noulplan ntr-un segment de dreapt al axei reale, centrat n origineaacestei axe, iar segmentul de dreapt urm a cercului Mach setransform n dou semidrepte coliniare, avnd ca suport tot axareal a noului plan i dispuse simetric fa de originea axeirespective. Deci s-a obinut exact planul complex cutat,corespunztor curgerii n jurul unei aripi delta plane subiri, desemianvergur (abscis a bordului de atac A)


6/6

L = H/(B L2) , (39)abscisa extremitii D a semidreptei urm a cercului Mach fiindchiar 1/B. Inversa transformrii conforme (38) esteX2 = H/(B X) . (40)nlocuind expresia (40) n relaia de definiie (32) i apoiexpresia astfel obinut pentru X1 n funcie de X i pe cea a luiX n funcie de x , dat de relaia de definiie (30), ambele n

relaia de definiie (31), obinem relaia ntre X i x,

x

Ri

2i

BX

Hcharg1

XB

H

BX

H22

2 =

+ (41)

care se poate explicita n raport cu x , rezultnd

,2

iBX

Hcharg1

XB

H

BX

HRix

22

2

+= (42)

care constituie chiar produsul inverselor tuturor transformrilorconforme aplicate i totodat soluia cutat a problemei de fa.Dac din ecuaia transcendent (35) exprimm pe R n funciede H i nlocuim expresia obinut n relaia (42), rezult

,

2i

BX

Hcharg1

XB

H

BX

H2

HarccosH1HB

i

x

22

2

2

+

+

= (43)

sau ,

2BX

Harccos

XB

H1

BX

H

2HarccosH1H

B

1x

22

2

2

+

+

= (44)

i ,

2

i

BX

Hcharg1

XB

H

BX

H

2iHcharg1HH

B

1x

22

2

2

+

+

= (45)

sau nc, utiliznd integralele definite i unele substituii simple

;

dss1

dss1

B

1x

BXH

0

2

H

0

2

= (46)

( ) ( )

;

dttcos

dttcos

B

1

dttsin

dttsin

B

1x

2

BXHarcsin

2

2

Harcsin

2

2

BXHarccos

2

2

Harccos

2

== (47)

.tdtsinlnexpB

1dss1lnexp

B

1

2sarccoss1slnexp

B1x

BX

Harccos

Harccos

t

0

2

H

BX

H

s

0

2

H

BX

H2

=

=

=

+=

(48)

Rezolvarea efectiv a problemei propuse const n determinareapotenialului complex F i a funciei vitezei axiale de perturbaieu cu ajutorul metodei analogiei hidrodinamice [8, 9], astfel ncts satisfac condiiile la limit mai deosebite (24) i (29) pe

suprafaa aripii delta obinute, transcrise n planul complex Xfolosind relaia (42), innd cont i de singularitile introdusede bordurile de atac subsonice i de muchiile aripii. O tratareexhaustiv a unei astfel deproblemeestedatnmonografia[9].Dac am considera, de exemplu, aripa delta obinut n planul Xca pe o arip triunghiular simetric subire ce prezint pentreaga sa ntindere aceeai inciden , funcia complex avitezei axiale de perturbaie u ar avea n acest plan expresia

,XLA 22 =U (49)n care constanta A se determin impunnd condiia ca aripa saib incidena , adic viteza vertical de perturbaie w s aibpe arip valoarea constant U. Aceast condiie se scrie

,d)iX(XB1Rearipa

Machcerc

220 == Uw U

sau ,dXXB1ImB1

Y

22

= UU

n care limitele integralelor se refer la variabila Y, Y fiindabscisa unui punct oarecare de pe arip. Aceste relaii suntdeduse prin integrarea relaiei de compatibilitate

.d)iX(XB1Red ][ 22 U=wRezult expresia A = UL

2/E(k) , n care E(k) este integralaeliptic complet de spea a doua a lui Legendre, de modul

22 LB1k = . Din relaia (49) se obin expresia vitezei axialede perturbaie u = Re U , i apoi cea a coeficientului depresiune static (n teoria liniar) Cp = 2 u/U .

3. Bibliografie

[1] Hoerner, S. F., Borst, H. V.,Fluid Dynamic Lift. Publishedby mrs. L. A. Hoerner, Brick Town, 1975, pp. 18 19, 18 20.[2] Polhamus, E. C., Experimental and Theoretical Studies of

Parawings A = 3 and 6, NASA TND - 972.[3] Wieland, E., Experimentelle Untersuchungen an flexiblenTragflachen (Paragleiter), Zeitschrift fr Flugwissenschaften,12, Heft 5, S. 179 189, Vieweg Verlag, Braunschweig, 1964.[4] Mateescu, D., elescu, R., Curgerea supersonic n jurulunui fuzelaj conic de seciune oarecare izolat sau prevzut cu oaripdelta cu bordurile subsonice, St. Cerc. Mec. Apl., tomul40, 6, pp. 819 836, Editura Academiei, Bucureti, 1981.[5] elescu, R., Curgerea supersonic n jurul unei aripi delta

subiri cu diedru variabil cu directoare bisemicircular cu

bordurile subsonice, rap. IMFDZ, cod P-1278, Bucureti, 1993.[6] Mateescu, D., An Extension of Ackerets Theory for theStudy of Infinite Aspect Ratio Wings and Rectangular or

Trapezoidal Wings,Romanian Journal of Technical Sciences,Applied Mechanics, Vol. 15, 2, pp. 381 409, The PublishingHouse of the Romanian Academy, Bucharest, 1970.[7]***,Conformal Mapping,NACA R,par.12,pp.150 162.[8] Carafoli, E., Aerodinamica vitezelor mari (Fluide compresi-bile), Editura Academiei, Bucureti, 1957.[9] Carafoli, E., Mateescu, D., Nstase, A., Wing Theory inSupersonic Flow, Pergamon Press, London, New York, 1969.

curgerea supersonica

Documents

Transcript of curgerea supersonica