Câteva aspecte importante înainte de introducere şi...

PAG. 1

Abordarea completa a rezolvarii ecuatiilor de grad superior

Ing.Prof.TRIF VICTOR

Câteva aspecte importante înainte de introducere şi prezentarea lucrării

Mai fac căteva mențiuni pe care vreau să le trec chiar la începutul lucrării, chiar înainte de introducerea pe care am făcut-o, şi acest lucru se va vedea pentru ce îl fac. Acest rezumat în principal are ca obiect de bază reliefarea unei metode de rezolvare a oricărei ecuații de orice grad, chiar dacă nu dau toate detaliile, explic în introducere de ce. Doresc în primul rând să văd ce reacție produc şi doresc într-un viitor mai mult sau mai puțin apropiat să-mi rezolv problema financiară, cu o mare dorința de a mă putea ocupa şi dedica întregul timp disponibil cu astfel de probleme şi teme de studiu ca aceasta din prezentul rezumat sau ca cele din introducere.

Din acest motiv doresc să-mi găsesc un sponsor pentru o perioadă de timp până o să obțin foloase din munca depusă şi sunt dispus la colaborarea ci terțe persoane pentru soluționarea diverselor teme de studiu. Pănă acm nu am reuşit să găsesc colaboratori pentru finalizarea mai rapidă a lucrării, din cauza posibilităților reduse oferite de oraşul în care locuiesc şi din cauza motivului că mulți susțineau că rezolvarea ecuațiilor de grad n>2 este oproblema nerezolvabilă, care nu mai are rost să fie abordată , avân în vedere că de acest lucru s-au ocupat multe persoane de-a lungul istoriei şi nu au obținut rezultate .Ce am obținut eu se va vedea din conținutul acestui rezumat.

Preocupările care le-am mai avut şi pe care le-am trecut în introducere pot fi considerate ca o parte de imaginație sau unele în care am evoluat şi am făcut paşi importanți. V-aş ruga in acest sens să le considerați invenții posibile chir dacă s-a apus despre ele că ar fi imposibile, argmente o să dau pe parcursul lucrării.

Deci v-aş ruga foarte mult, ca înainte de a decide ceva , să citiți pănă la final acest rezumat şi unde este posibil faceți verificări pe exemple numerice aleatoare.

As mai dori să menționez următorul lucru: multe persoane mi-au spus că nu văd la ce ar folosi rezolvarea ecuțiilor de grad superior. Fără să intru în detalii explicative consider că exista centre de cercetare care s-ar putea să le folosească, cum ar fi NASA sau entrul de cercetari din Elveția (CERN). In prezentul rezumat nu am expus integral toate aspectele soluției , aş dori să fiu contactat pentru prezentarea întregii soluții dorind şi obținerea unei remunerații pe cât posibil pentru munca depusă.

Presupun că diferite centre de cercetare au metode de aproximare a soluțiilor ecuțiilor de grad superior, dar consider că metoda şi formulele mele dau soluțiile exacte, aştept cu nerăbdare confirmarea şi recunoaşterea din partea persoanelor avizate care ar putea să aprecieze realizarea mea. De asemenea ,un lucru important, pachetele de substituții pe care le folosesc pot avea aplicabilitate în multe domenii ale matemticii, în fizică, inginerie şi în rezolvarea funcțiilor complexe care pun probleme mai deosebite. In confunctura în care sunt (de şomer) nu am avut şansa de a mă confrunta cu astfel de funcții dar aş fi bucuros să mi se ofere ocazia de a aborda astfel de funcții.

Vă mulțumesc, Cu respect, Ing.Prof. TRIF VICTOR

Loc. Blaj

PAG. 2



METODE, FORMULE TEOREME, TEORII DE REZOLVARE COMPLETĂ A ECUAȚIILOR DE GRAD SUPERIOR CU O NEDETERMINATĂ

(de gradul “n”, n Є N*)

= REZUMAT=

Ing. Prof. TRIF VICTOR

INTRODUCERE

Prezenta lucrare este destinată abordării rezolvării tuturor ecuțiilor , de orice grad, cu o nedeterminata, pe baza unor teorii de abordare mai complexe.

Practic sunt teorii de abordare, de sine stătătoare şi aceasta pentru că se aplică aceste modalități, chiar de la ecuația de gradul 1, le vom prezenta deci începănd cu această ecuație. Prezenta lucrare nu va conține toate abordările ci numai una şi unele referiri la celelalte tipuri şi modele.De asemenea unele detalii nu le voi da şi nu voi insista asupra demonstrațiilor teoremelor pe care le voi enunța .

Motivele pentru care nu dau toate detaliile sunt:1) doresc în primul rănd să mă fac cunoscut cu preocuparea pe care am avut-o şi

pe care o am deorece nu toate tipurile de abordări sunt finalizate, doar în proporție de 70%-90% depinde

2) în al doilea rănd nu am o situție financiară benefică, amlipsuri în acest sens şi actualmente după expirarea şomajului sunt fără venituri de aceea nu mă pot dedica total cercetării din cauza nevoilor de subzistența şi mi-ar fi de mare ajutor o sponsorizare din partea unei persoane care îşi permite acest lucru cu promisiunea de a mă revanşa prin contrubuția mea la domeniul ştiințific. Garanția satisfăcătoare pentru obținerea unei sponsorizări este acest rezumat , care abordează într-un mod inedit un subiect considerat inabordabil.

3) Doresc în schimb să-mi fac datoria , adică dacă am realizat ceva într-un domeniu, vorbesc în general, să o fac publică dacă ea este utilă altor cercetători dar este destul şi faptul de a rămâne o participare la progresul general al societății şi al ştiinței

4) Sunt în căutarea unor potențiali colaboratori pentru că mai este puțin de lucru şi apoi modalitățile vor fi definitivate, deşi pare incredibil ,se pot determina pentru o ecuație şi peste 100 de formule; de exemplu o să vedeți la ecuția de gradul 2 că vor mai fi aproximativ 30 de formule de rezolvare. Din această lucrare pot deriva subiecte de tema pentru elevi,studenți , de exemplu , de a determina o altă formulă pentru ecuația de gradul 10. aceste formule se determină în baza teorie pe care o să o prezint pe scurt, formulele generalizate în baza aceleiaşi teorii nu le-am determinat încă. Am găsit 3 relații generalizate referitor la ecuția de gradul n ,dar acestea trebuie să intre în combinție cu alte relații generalizate pentru ca în final să rezulte formula generalizată de rezolvare a ecuației de gradul n. Această formulă generalizată ar consta în viziunea mea într-un indice

PAG. 3



“n”, gradul ecuației de rezolvat, cu ajutorul căreia se obține o soluție, cel mult două ale ecuției în cauză, se aplică teorema lui Bezout ecuației de rezolvat şi apoi se aplocă din nou formula generalizată, dar pentru o ecuație de gradul “n-1"

5) Ce mai este interesant la acest tip de abordare pe care-l prezint în acest rezumat este alicarea unor anumite subtilități şi combinarea lor care duce la obținerea pentru ecuția de gradul 1 la obținerea formulei clasice x=b/a şi pentru ecuația de

gradul 2 a formulei clasice:

7) Cu tot ce se poate intelege si subintelege din aceste mentiuni 1)-7) doresc sa trec mai departe sa prezint alte aspecte in aceasta introducere, sa va multumesc pentru intelegere , si sa-mi scuzati asertiunea sau referirea la partea financiara8) Vreau sa va mentionez ca daca as lucra toata ziua la aceasta tema mai precis la selectarea datelor in vederea definitivarii unei carti nu cred ca mi-ar lua 3 luni , cu colaborare chiar mai putin.9) Dupa cum se va vedea formulele pe care le voi prezenta sunt usor aplicabile si dau rezultate sigure si exacte.10) Scriu acest rezumat si doresc sa-l lansez pe internet11) Unele aspecte care nu le trec in introducerea aceasta(pe motivul ca nu-mi vin in minte) le mai trec pe parcursul prezentarii rezumat.12) Va spun sincer ca pana acum la ora actuala nu am un cenzor al lucrarii sau al acestui rezumat sa zic altfel un colaborator care sub o forma sau alta sa analizeze cat de cat si sa critice aceasta lucrare astfel incat am emotii si de asemenea imi este teama pur si simplu sa nu fi facut o bizaritate, si in acest sens sa-mi scape ceva care sa justifice inutilitatea a ceea ce am lucrat si expun , adica sa nu fie ceva palpabil, verdic cu aplicabilitate generala; acum eu, acolo unde dau formule complete care se pot verifica prin luarea de exemple numerice si chiar rog si indic acest lucru , si eu dau o verificare simpla prezentand exemple numerice. De asemenea, imi este teama ca ma pot face de rusine , daca ceva nu merge si neavand initial un cenzor, mai ales ca, in aceasta introducere eu mai trec niste temede lucrari si preocupari pe care le argumentez anticipat ca fiind de asemenea rezolvabile(si ele pot fi considerate ca probleme neabordabile), prin folosirea argumentului: “daca rezolvarea ecuatiilor de grad superior a fost considerata pana la urma de cercetori in domeniu ca problema nerezolvabila si care nu se mai abordeaza si eu dovedesc contrariul, acest ultim aspect poate deveni o baza de credibilitate si pentru rezolvarea celorlalte probleme si teme pe care mi le-am propus , considerate si iele ca nerezolvabile si unele din ele poate nici nu au existat pana acum ca obiect de studiu si pe care (cateva din ele) le voi prezenta in aceasta introducere. In schimb daca am facut o bizaritate cu acest rezumat, respectiv aceasta lucrare, ceea ce va spun sincer , cred ca nu este adevarat, atunci va cadea toata argumentatia si pentru celelalte teme de cercetare, analiza si studiu.13) as dori, daca trezesc un real interes de a fi contactat pe adresele de internet pe care le dau , pe numerele de telefon pe care le dau sau chiar la domiciliu. Astfel trec aceste lucruri mai jos, in afara momentan de adresele de mail:

PAG. 4



TELEFON FIX: 0258711096TELEFON MOBIL:0751126052ADRESA:Str.I.H.RADULESCU,NR.8,MUNICIPIUL-BLAJ,JUD.ALBA .ROMANIA.14) De asemenea consider ca ceea ce contine lucrarea este mai important decat modul de prezentare cu toate ca recunosc ca si acesta ste destul de important , dar probabil alte prezentari daca vor fi, vor fi altfel , asa dupa cum trebuie sa fie. Va multumesc din nou pentru intelegere.Iata dupa punctul 7 cind afisam ca trec la alte aspecte de introducere,ca am mai

introdus citeva puncte, dar acum chiar trec la alte aspecte de introducere.Acest rezumat, sau mai precis aceasta lucrare eu as fi dorit , sau chiar i-am dat titlul astfel:,,ABORDAREA TOTALA SI COMPLETA A REZOLVARII ECUATIILOR DE GRAD SUPERIOR CU O NEDETERMINATA”.Totusi am revenit si am cosiderat mai potrivit titlul: ,,ABORDAREA COMPLETA A REZOLVARII ECUATIILOR DE GRAD SUPERIOR CU O NEDETERMINATA.”Sa trec cu mentiunile mai departe.

Se ştie până în prezent că există formule de rezolvare pentru ecuția de gradul 1 şi 2 , formule clasice, care sunt aplicabile uşor. De la ecuația de gradul 2 în sus ,nu mai sunt formule de rezolvare aplicabile uşor. De exemplu mai avem formulele lui Cardano pentru ecuația de gradul 3 şi o formulă conținând un radical de indice 4, pentru soluțiile ecuaților de gradul 4, dar după cum se afirmă aceste formule sunt greoaie, nu dau întotdeauna rezultate şi sunt greu aplicabile ceea ce le face de multe ori nefolosibile frecvent. Metodele mele şi formulele mele le consider mai uşor aplicabile şi cu rezulate precise şi sigure în cazul oricărei ecuații. De asemenea se va vedea că am să combat Teorema lui Abel-Ruffini , cunoscută de persoanele în domeniu şi aceasta în mod absolut pentru fiecare ecuație.

Fac momentan doar o simplă observație cu privire la această preocupare a mea şi anume de rezolvare a ecuațiilor de orice grad şi anume : această problemă m-a preocupat de mulți ani , pot spune cu precizie că ideea s-a născut în mintea mea în clasa a VII – a .

Observație- probabil pare o introducere lungă, dar eu o consider necesară în realizarea cadrului lucrării rezumat pe care o prezint şi de asemenea în a se face şi a se realiza o imagine mai completă despre mine şi despre această temă de studiu etc

Dar inafara de preocuparea de rezolvare a ecuatiilor de grad superior am avut si alte preocupari deoarece una din calitatile mele este de a gandi foarte mult , preocupari pe care le-am avut din gimnaziu si mai ales din liceu. Practic inca din liceu am definitivat cu mintea ideile de baza si de plecare pentru mai multe teme de studiu din care doresc sa trec si in acesta introducere, unele din ele, pe care sunt sigur , aproape 100% ca le voi putea realiza ca proiecte , le voi denumi ca si abordari complete. Pe celelalte le voi denumi cu titlul temei avand doar cateva idei de plecare dar pe care eu le consider de foarte mare baza.

PAG. 5



Astfel din aceste preocupari mai trec aici:(1*) ABORDAREA COMPLETA A REZOLVARII ECUATIILOR DE

GRADUL 1 CU MAI MULTE NEDETERMINATE(2*) ABORDAREA COMPLETA A REZOLVARII SISTEMELOR DE

ECUATII CU MAI MULTE NEDETERMINATE SI DE GRAD SUPERIOR(3*) TEORIA NUMERELOR SI CIFRELOR SAU ARITMETICA

NUMERELOR SI CIFRELOR

Prin aceasta ultima tema se vor gasi si alte formule de rezolvare pentru orice ecuatie sau sistem de orice grad, astfel ca rezolvariile lor vor fi mai complete.

(4*) Am facut incercari , nu fara succes , dar oricum sunt in faza primitiva si fara rezultate efective generale deocamdata, dar pot spune sigur ca eu pot si cred ca voi putea arata ca in anumite conditii si dupa alte legi de compunere a operatiilor algebrice ca:2+2 4 sau 9+5 14 etc., respectiv suma , diferenta, inmultirea, impartirea, etc. va fi un numar diferit de cel firesc pe care il cunostem (sau practic pe care-l calculam in diverse exercitii si in viata de toate zilele) dar bine determinat si acest lucru il voi defini in K(multimea numerelor complexe).

In acest sens trec si dialogul unei zicale populare : “- Cat face 2+2?”“2+2=4”“Gresit, 2+2=5”Aceasta ALGEBRA este cred eu o noua matematica, pe care eu fara sa ma pronunt

prea sigur o numesc ca si: “MATEMATICA RELATIVISTA” , cu proprietatea bineinteles ca de exemplu algebra cunoscuta, pe care s-o denumim acum ca si ALGEBRA CLASICA devine un caz particular al acestei asa numite de catre mine ALGEBRE RELATIVISTE.Dar oricum de dovedit pot dovedi si in mod sigur.

Momentan ce este mai finalizat ,aproape complet este “Abordarea rezolvariii ecuatiilor de grad superior cu o ndeterminata” , deci lucrarea de fata, si aceasta asa dupa cum am specificat se poate considera un atuu puternic pentru temele reliefate mai sus. De ce? Sa ma mai justific odata: nu stiu chiar exact dar abordarea rezolvarii ec de grad n>=3, astfel incat sa se obtina niste formule viabile, a fost considerata ca o problema neabordabila. , adica fara rezolvare si sa zic asa in acest rezumat eu dovedesc contrariul si deci se poate considera “pe undeva” ca la fel se poate intampla si cu celelalte teme.

Acum sa trec in continuare si alte teme sau alte preocupari:(4*) ABORDAREA COMPLETA A ACTIONARILOR HIDRAULICE SI

PNEUMATICE ASUPRA TRACTIUNII AUTOVEHICULELOR Un singur aspect mentionez aici despre aceste motoare; si anume: ca pot dezvolta

forte, puteri, energii mai mari ca un motor cu ardere interna, deci sunt aplicabile si la autotrenuri si basculante de mare tonaj.

(5*) ABORDAREA COMPLETA A ACTIONARILOR ELECTRICE SI ELECTROMAGNETICE ASUPRA TRACTIUNII AUTOVEHICOLELOR

Acelasi aspect ca mai sus , si anume ca se pot folosi si la autotrenuri.(6*) Ca si idee fara a avea aproape deloc detalii despre ea, sau sa zic asa niste

mentiuni si observatii despre ce s-ar putea realiza in viitor ar fi :

PAG. 6



- AUTOVEHICULE CU TRACTIUNE PE BAZA MOLECULARA; - AUTOVEHICULE CU TRACTIUNE PE BAZA ATOMICA;- AUTOVEHICULE CU TRACTIUNE PE BAZA NUCLEARA;Aceste tipuri de autovehicule le numesc simplu, pe toate AUTOVEHICULE

ATOMICE . Energiile care fac propulsia unui astfel de autovehicul le consider ca pot reprezenta energiile viitorului :

(7*) UNDE LASER CU DEPLASARE , PROPAGARE DUPA O CURBA BALISTICA A UNDEI LUMINOASE, sau chiar dupa o curba oarecare sau aleatoare.

(8*) UNDE LASER CU PROPAGARE IN ZIG-ZAG(9*) TUN FURTUNIC SI TUN IONIC

Observatie foarte importanta – trebuie sa mentionez ca astfel de teme de studiu, actualmente pentru mine sunt numai in stadiu de imaginatie si as dori mult sa nu fiu considerat deplasat, la urma urmei viitorul le poate dovedi si poate si eu pot aduce niste argumente , chiar daca la ora actuala vor fi considerate naïve.

(10*) Mi-am imaginat MOTOARE FOTONICE , si chiar mai mult , motoare fotonice care sa realizeze de 30 de ori viteza luminii in deplasare , si am denumit aceasta viteza de 30 mach fotonice;

(11*) M-am gandit si la aliaje si tratamente termice care sa duca la obtinerea in cazul rachetelor pentru lansarea satelitilor a celei de a-2 a sau a 3 a viteza cosmica, sau lansarea acestora verticala. In liceu cand am gandit aceasta se spunea ca in prezent nu se pot lansa astfel de rachete decat cu prima viteza cosmica si nu vertical.

(12*) Cautam sa –mi imaginez procedee si tehnologii de tratamente termice care sa duca in cazul unor aliaje (etc.) la DURITATI DE 100 DE UNITATI, HRC, sau chiar peste. Se stie ca in prezent nu se poate depasi duritatea de 70 HRC unitati.

Observatie foarte importanta – eu trec aici cateva titluri care ar putea reprezenta teme de studiu , derivate din imaginatia mea, dar trebuie sa mentionez un lucru foarte important si anume, ca daca le trec aici in revista ar insemna ca eu le pot realiza ca proiecte - NU – poate vor fi realizate de alti ingineri sau savanti mai pregatiti, si poate caeu nu posed in aceste sensuri decat cateva dei de plecare, dar pe care eu la bagajul meu de cunostiinte pe care il posed nu le voi putea pune in practica, ci le vor pune probabil in practica persoane mai pregatite. Eu cred ca voi fi doar PIONUL care declanseaza activitatea mai departe. Mai este un fapt pe care vreau sa-l mentionez: uneori auzim de lucruri groaznice, sf-uri extraordinare care reprezinta sau ne da impresia ca inventiile care sunt reliefate sunt foarte complexe si grele si poate ele sunt foarte simple , un argument in acest sens este chiar lucrarea pe care vreau sa o prezint sub forma de rezumat. Poate s-a considerat, ca de exemplu rezolvarea ec. de gradul n>=3 ar presupune matematici superioare, complexe etc.si se va vedea la prezentarea desfasurata si detaliata a lucrarii ca de fapt este o problema de liceu, adica sunt suficiente cunostintele asimilate pana la terminarea liceului.

Poate la fel este si cu aceste inventii pe care le-am enumerat, chiar daca eu nu le pot definitiva . Bineinteles unele presupun si studii superioare cum sunt cele din domeniul ingineriei. Deci in concluzie as dori sa fiu scuzat si sa mi se acorde circumstante atenuante pentru bogata imaginatie pe care o am fondata doar pe cateva idei si divagatii. La urma

PAG. 7



urmei nu posed un bagaj de cunostinte foarte deosebit. Prelucrez in general putina informatie pe care mi-as putea argumenta imaginatia bogata.Va multumesc pentru intelegere si de circumstantele atenunante pe care mi le acordati.

(13*) SINCRONIZAREA TRANSMISIUNILOR RADIO-TV LA DISTANTE INTERGALACTICE

Acest lucru ar consta in faptul urmator:- se stabileste o transmisie intre Pamant si o Planeta care se afla la o distanat de 4

galaxii si ce este interesant (pentru ca , de exemplu stiind ca undele radio-tv se propaga cu vitez luminii deci ne putem gandi la cat ar dura amorsarea unei astfel de transmisii si ce presupune) si ce este interesant este ca atunci cand vorbesti de pe Pamant , in acelasi moment te receptioneaza si in a 4 galaxie si invers, la fel si de acolo pe Pamant

(14*) TELEPORTARI CU VITEZA GANDULUI SI / SAU A SENZATIEICred ca pot explica in cateva propozitii si cuvinte principiul unei astfel de

teleportari . In mod bizar in ce ar consta?: de exemplu exista o planeta pe care vrei s aajungi dar care este sau mai precis se afla la 100 de galaxi departare de Pamant ; pe baza unor aparaturi create care exista si aici si acolo, de exmplu “spui” pur si simplu “acum vreau sa fiu pe acea planeta” si in acelasi moment te afli acolo, dar presupune bineinteles sa-ti corelezi gandirea cu aparatura si planeta pe care vrei sa ajugi.

As vrea aici sa mai trec cateva aspecte: de exemplu se spune ca Dumnezeu se poate afla oriunde doreste in orice moment. Probabil El face acest lucru cu propria putere infinita pe care o are, pe cand in cazul explicat succint de mine se face prin intermediul unor aparaturi. Trebuie de asemenea sa mentionez ca si viteza gandului poate avea limite mai largi sau mai restranse si aici de exemplu ne gandim la oameni care gandesc foarte repede, si oameni care gandesc mai incet , deci viteza va fi mai mica.

Ma opresc cu mentiunile deocamdata aici , dar ma repet , am niste idei de baza putine, poate ar trebui sa mi le imbogatesc, dar nu prea posed conditiile in aceste sensuri, pricipala problema fiind cea financiara.

Observatie – vreau sa fiu sincer de ce am enumerat aceste aspecte de imaginatie de science fiction , vreau sa vad ce reactie produc si mai ales ce as putea castiga in sensul de a obtine o viata mai echilibrata, mai linistita astfel incat sa am mai mult timp de a ma ocupa de exemplu de matematica, de acele teme pe care mi le-am propus si am mai enumerat din ele.

Dupa cum am mai spus si acum ma repet din nou , un argument in sensul sa nu fiu considerat “deplasat” prin car eam afirmat este aceasta abordare din matematica a rezolvarii ecuatiilor de grad superior(de gradul n, n=1 N).

Revenind la rezumatul prezentat care face obiectul prezentei expuneri, vreau sa va spun ca nu stiu exact ce sa fac. Nu as dori sa reliefez totul dintr-o data, ma gandesc in alta ordine de ide ai la rezolvarea problemelor finciare si as dori sa ma protejez si sa-mi protejez si lucrarea. As dori sa-mi cuceresc o eventuala , dar cat mai puternica incredere, ceea ce ar fi foarte benefic pentru mine. Astfel m-am gandit sa reliefez abordarea ec. de gradul 1 si 2 , api inca cateva formule pentru ecuatii de grad mai mare fara a da unele detalii care le consider momentan ca ar putea produce inducerea determinarilor pe care le-am facut . As dori dupa cum ammai spus o colaborare , un schimb de idei, astfel incat sa-mi caut o incredere , sa fiu si eu mai bine cunoscut, sa cunosc si eu alte persoane, sa gasesc

PAG. 8



eventual colaboratori si astfel sa pot intr-un timp cat mai scurt sa reliefez cat mai detaliat rezultatele la care am ajuns, De asemenea , nu in ultimyul rand de a-mi gasi un sponsor.

Nu am avut la cine sa arat ce am lucrat, pentur ca nimeni nu a vrut nici macar sa se uite , fapt ce m-a demoralizat enorm, o parere pozitiva sau un cuvant incurajator referitor la ceea ce am lucrat si obtinut m-ar fi determinat sa fiu mai sigur pe mine.

In continuare am sa reliefez cateva aspecte de biografie despre mine:- m-am nascut in satul Ocnisoara, comuna Lopadea Noua , jud.Alba, la 17 mai 1959- scoala primara si gimnaziul le-am urmat in Blaj , unde locuiesc si acum- am absolvit Liceul Teoretic Iacob Muresanu din Blaj –actualmente sunt inginer-profesor, mecanic , absolvent al Institutului Politehnic Cluj-Napoca, promoti 1984-1985 , Facultatea de Mecanica sectia Utilaj Tehnologic, specializarea Inginer Proiectant si Tehnolog in specialitatea deformarii plastice la cald; - din anul 1985 pana in anul 1992 am lucrat la IAMU – SA Blaj in domeniul specialitatii mele, din 1992 am intrat in somaj , iar apoi am lucrat in invatamant ca profesor suplinitor la clasele 5-8 , pentru disciplinele matematica, educatie fizica, latina, istorie, geografie. Am lucrat un an si la Clubul copiilor si elevilor la Centrul de Stiinta si Imaginatie. Am mai lucrat ca inginer instructor la Scoala profesionala din Blaj la activitatea practica in specialitatea tinichigerie, rectificare, frezare si strunjire.- am definitivatul in invatamant ,iar actualmente sunt fara servici

Observatie – pentru un CV am sa fac si copii dupa diversele caracterizari de la locurile de munca unde am lucrat.

Intentionez ca acest rezumat sa-l fac public prin intermediul Internetului, fiind o modalitate simpla de procedura si necostisitor.

Cu aceste cateva aspcete reliefatae in aceasta introducere trec in coninuare la prezentarea rezumatului lucrarii , a catorva aspecte reliefate, si specific ca alte mentiuni voi face chiar pe parcursul lucrarii a expunerii prezentului rezumat.

Nu prea stiu cum se va interpreta faptul ca o sa ami dau formule de rezolvare si pentru ecuatia de gradul 1 si 2 dar am specificat, ca abordarea include si aceste ecuatii, si la urma urmei eu o mai consider si o fantezie, intr-un anumit sens. Trbeuie sa mentionez dar ca ceste formule noi le-am obtinut de exemplu in cazul ecuatiei de gradul 2 tot cu formula clasica cunoscuta dar prezinta o alta sau mai precis o alta combinatie a coeficientilor ecuatiei. Problema foarte benefica este ca ceasta abordare duce la rezolvarea oricarei ecuatii de orice grad.

Ce trebuie neaprat sa specific , este ca aceasta lucrare este foarte ampla si vasta fata de ce trec in acest rezumat.

Astfel de exemplu am pornit si un mod de rezolvare a ecuatiilor pornind tot de la ecuatia de gradul 1 si 2 pe urmatorul principiu: “ca nu se cunoaste nici formula clasica de rezolvare a ecuatiei de gradul 2 si cum am proceda intr-o astfel de situatie”. (pana la urma tot se determina o formula de rezolvare pentru ecuatia de gradul 2 care se va folosi apoi in continuare).Apoi mai mentionez un lucru si cred ca ma repet pentru ca l-am mai mentinat in aceasta introducere: prin acesta prima metoda de abordare a rezolvarii ecuatiilor de grad superior pe care o prezint in acest rezumta si care consta in aplicarea in calcul a unor substitutii, deci prin aceasta metoda, se pot determina solutile oricarei ecuatii de orice grad ar fi.

PAG. 9



Apoi mai mentinez, ca, chiar daca acest lucru nu-l trec in amanunt in acest rezumatt, pentru ca s-ar vedea de la inceput caracteristicile metodei, este ca, am determinat folosind aceste substituii, si formula clasica de rezolvare a ec. de gradul 1 si2, deci formulele cunoscute la ora actuala, dar determinate altfel decat au fost ele determinate pana acum. Chiar daca pare un lucru bizar, utopic, dar afirmatia este valabila si in zaul ecuatiei de gradul 1.

Probabil persoanele in domeniul matematicii isi vor da seama la ce ma refer si de ce am trecut acest lucru.

Am sase modalitati de abordare a rezolvarii ec. de grad superior, distincte intre ele, din care in acest rezumat , fac referire sau mai precis prezint una.

Daca as separa tipurile de substitutii intre ele ar rezulta mai multe modalitati. Dar aceste pachete de substitutii pe care le fac , poate ca se disting intre ele , le-am considerat si le-am intregat intr-o metoda de abordare , cea pe care o prezint .

Aceasta modalitate de abordare pe care o prezit in acest rezumat in forma pe care o prezint, sperand asa cum am specificat ca imi gasesc ceva din ce spuneam undeva in aceasta introducere , deci aceasta modalitate de abordare consta in cateva pachete de substitutii pe care le-am facut , pe care le enumar sub denumirile pe care le-am dat, imediat , si care duc asa cum spuneam la determinarea a foarte multor formule de rezolvare pentru fiecare ecuatie.

Astfel avem pachetele de substitutii:1i) - substitutii directe;2i) - substitutii inverse sau antisimetrice;3i) - substitutii opuse sau simetrice;4i) - substitutii banale de tipul 1;5i) - substitutii banale de tipul 2;

Apoi a doua modalitate de rezolvare este, sau mai precis se bazeaza, pe asa numitele de catre mine de conditii de rezolvare a unei ecuatii; si folosirea unor determinanti formati din coeficientii ecuatiei de rezolvat, pe care i-am denumit determinanti caracteristici ai unei ecuatii.

Aceste doua modalitati de abordare se bazeaza pe cunoasterea formulelor de rezolvare(bine cunoscute) ale ecuatiei de gradul 1 si 2 , si pe cunoasterea Teoremei lui Bezout .

Un alt aspect pe care il consider interesant este urmatorul, chiar daca nu se va vedea in totalitate in acest rezumat prezentat, dar unele formule pe care le prezint sunt un rezultat al acestui aspect este ca pot transforma orice ecuatie de orice grad odata intr-o ecuatie de grad mai mare ecat cel initial si cu aceiasi coeficienti , apoi de asemnea intr-o ec. de grad mai mic ca cel initial si cu aceasi coeficienti, si apoi partea mai interesanta, ca pot aduce orice ecuatie de orice grad pana la o ecuatie de gradul 2, si chiar mai mult pana la o ecuatie de gradul unu, si se afla o solutie sau doua, apoi se aplica Teorema lui Bezout si se repeta rationamentul. Acest fapt ca aduc orice ecuatie de orice grad la forna ecuatiei de gradul 2 rezolvabila este un argument pentru teoremele 6,7,8 si 9 date in expunerea lucrarii privind forma bine definita a unei solutii iratinele sau complexe.

In general faptul ca se gasesc mai multe formule pentru fiecare ecuatie inseamna in final ca , se poate rezolva o anumita ecuatie, cu o anumita formula aleasa, dintre toate cate vor exista, fapt ce se va vedea mai ales la prezentarea desfasurata a lucrarii.

PAG. 10



Cred ca am trecut in revista destule aspecte , pentru aceasta scurta introducere si trec mai departe la prezentarea rezumaului de care vorbeam .

Va multumesc de intelegere si va multumesc anticipat pentru rabdarea, daca ea va exista , ca sa urmariti acesta introducere si rezumat.

Pentru verificarea fomulelor prezentate, as dori ca ele sa fie verificate pentru diverse ecuatii, practic exemple concrete, pentru ca in acest rezumat nu trec demonstratiile sau modalitatea de obtinere aunei formule, si poate daca exista bunavointa , se va trage o concluzie benefica pentru mine, si lucrarea pe care am facut-o , si poate se naste dorinta de afla tot.

Daca dovediti un oarecare interes , as dori, sau m-as bucura, daca m-ati contacta sau a-ti dori in relatie cu mine. M-as bucura si de o colaborare cu o eventuala facultate de matematica.

Daca la parcurgerea rezumatului pare stanjenitor modul meu de prezentare, denumiri alese, teoreme emise, as ruga sa se treaca cu vederea pentru ca nimic nu este batut in cuie si sa se analizeze si sa se verifice pe exemple numerice acolo unde este cazul ,rezumatul si formulele date,si sa se traga apoi concluziile,care binenteles as vrea sa fie benefice pentru mine.Va multumesc pentru rabdarea si intelegerea de care ati dat dovada.

Ing.Prof. TRIF VICTORC N P 1590517011851

BLAJ, ROMANIA.

PAG. 11



ECUAȚIA DE GRADUL I

Forma generală a ecuției de gradul 1 este:ax +b = 0, a≠0 şi a,bєK

având soluția dată de formula clasică:

Rezolvare care este cunoscută înca din clasele primare.

Mai departe enunțăm următoarele teoreme, unele cunoscute, altele noi. In final vreau să definesc o algebră a rezolvării ecuțiilor de orice grad, astfel că se aplică de la ecuția de gradul 1 în sus.

TEOREMA 1 (generalizare) – orice ecuație , de orice grad, pentru a putea fi rezolvată, trebuie adusă la forma generală specifică gradului ei.

Observație – importanța formulării unor enunțuri cunoscute ca şi teoreme se va vedea pe parcursul prezentării .

In continuare să luăm câteva exemple numerice pentru a mai arăta unele aspecte şi a le sublinia.(1i) – fie ecuația de rezolvat : 3x=6 => x=2 şi 2є => enunțăm următoarea teoremă generalizată (prin conexiune şi cu alte ecuații de grad superior) şi care este de fapt cunoscută:

TEOREMA 2 (generalizare) – soluțiile întregi ale unei ecuații de orice grad, în cazul în care există, pot fi căutate printre divizorii întregi ai termenului liber.

(2i) – fie ecuația de rezolvat: => ;

Sau dacă ducem mai întâi la un numitor comun termenii ecuației obținem o ecuație (de acelaşi grad) dar cu coeficienți întregi şi în acest mod am zis că am adus ecuația de rezolvat la forma generală:

=> enunțăm următoarea regulă de calcul în rezolvarea unei ecuații:

PAG. 12



REGULA 1 (generalizare) – orice ecuație în vederea rezolvării ei se aduce la forma generală caracteristică ei, dar de exemplu dacă această formă generală conține coeficienți numere pur raționale, sau în general dacă coeficienții ecuției sunt fracții este indicat să practicăm operația de aducere la numitor comun a termenilor ecuației şi a da forma generală a ecuației cu coeficienți întregi.

Mai putem enunța umătoarea regulă de calcul în vederea rezolvării unei ecuații:REGULA 2 – dacă o ecuație în vederea rezolvării ei am adus-o la forma generală caracteristică ei, cu coeficienți întregi, pe baza proprietății echivalenței ecuațiilor este indicat (dar nu în toate cazurile şi la momentul respectiv voi arăta acest lucru) că ecuația în vederea rezolvării ei să se aducă la forma ireductibilă.

Mai enunțăm următoarea teoremă:TEOREMA 3 (generalizare) – orice ecuațiea de orice grad dacă are coeficienți numerici pur raționali, şi dacă admite o soluție reală, atunci aceasta în mod sigur va fi un număr pur rațional, exceptând cel mult un număr finit de cazuri.

(3i) – fie ecuația de rezolvat : => şi avem:

{ I =>{ }єI

(I = mulțimea numerelor iraționale)

- fie ecuația de rezolvat: => x=1 şi avem: { } I şi {1}

Observație 2 –în mod firesc şi {1} I, dar am făcut aici referire doar la numerele pur raționale-astfel mai enunțăm următoarea teoremă:

TEOREMA 4 (generalizare) – orice ecuație de orice grad cu coeficienți numere pur raționale, admite toate soluțiile numere pur iraționale, exceptând cel mult un număr finit de cazuri.

Observație 3 – cu toate că dau exemplele numerice la ecuața de gradul 1 şi mă limitez la atât şi fac generalizări pentru orice ecuație de orice grad, demonstrațiile mai complexe le fac mai târziu, la prezentarea desfăşurată a întregii lucrări, veridicitatea afirmației este de fapt de la sine,şi doresc înainte să trec la abordarea efectivă a rezolvării ecuațiilor, să enunț o serie de teoreme, consider eu, pentru a crea un cadru acestui rezumat. Dacă există vreo suspiciune în sensul definirii acestor proprietăți ca şi teoreme aş ruga să se treacă cu vederea şi să urmărească mai atent rezolvarea efectivă a ecuațiilor care începe

PAG. 13



după câteva pagini, respectiv de la ecuația de gradul 3 în sus, sau să se verifice teoremele de mai sus.

(4i) – fie ec. de rezolvat: (3-2i)x = (5-7i) => şi avem:

{(3-2i);(5-7i) K şi

{ } K;

(5i) – fie ecuația de rezolvat: (3-2i)x = (3-2i) => x=1 şi avem:{(3-2i)} K şi {1}

(6i) – fie ec. de rezolvat: (3-2i)x = (6-4i) => x=2 şi avem:{(3-2i)} K şi {2} => enunțăm următoarea teoremă:

TEOREMA 5 (generalizare) – orice ecuație de orice grad cu coeficienți numere pur complexe, admite toate soluțiile numere pur complexe, exceptând cel mult un număr finit de cazuri.

Observație 4 – dintre toate cazurile care fac excepție sunt, de exemplu în cazul ecuației de gradul 1, cele la care “b” este un multiplu de întreg sau rațional al lui “a”:

a=kb ; k sau k Q sau inversb=ka ; k sau k Q

In continuare enunț şi două teoreme cunoscute , importanța lor fiind de asemenea esențială pe parcursul prezentării desfăşurate a lucrării.

TEOREMA 6 (generalizare) - orice ecuație de orice grad, dacă admite o soluție irațională de forma , atunci ea admite şi soluția irațională conjugată a primei

.

TEOREMA 7 (generalizare) - orice ecuație de orice grad, dacă admite o soluție complexă , atnci ea admite şi soluția conjugată acesteia

În continuare în legătură cu teoremele 6 şi 7 mai enunț 2 teoreme de asemenea importante în această lucrare şi care nu au fost enunțate sub această formă până acum

PAG. 14



TEOREMA 8 (generalizare) – dacă o ecuație de orice grad , admite o soluțiea irațională, aceasta în mod sigur are forma , iar conjugata ei, pe care de asemenea o

admite în mod sigur are forma

TEOREMA 9 (generalizare) – dacă o ecuație de orice grad , admite o soluție complexă, aceasta în mod sigur are forma , iar conjugata ei pe care de asemenea o admite , In mod sigur are forma

În continuare o să mai enunț câteva teoreme, dar dau mai întâi nişte exemple numerice:(7i) – fie ecuatia de gradul 2:

cu =1si fie ecuatia de gradul 2:

cu =3

Observatia 5 – se onserva ca intr-un anumit sens cu cat solutia intreaga a crescut , termenul liber a crescut si el in valoarea absoluta , la aceeasi coeficienti neschimbati “a” si “b” si cu aceleasi semne.

Astfel enuntam urmatoarea teorema:TEOREMA 10 (generalizare) – in cazul oricarei ecuatii de orice grad , daca o comparam cu o ecuatie de acelasi grad cu ea, numita ecuatie de referinta si care are aceeasi coeficientiai nedeterminatei si cu aceleasi semne, ecuatia de referinta la care cunoastem o solutie (in fapt noi alegem ecuatia si o formam dupa cum este cazul), termenul liber va fi termenul care dimensioneaza marimea in valoare a solutiei ecuatiei de rezolvat in comparatie cu solutia cunoscuta a ecuatiei de referinta.

Observatia 6 – în exemplul numeric dat am considerat ca si ecuatie de referinta ecuatia: =2 (deci am facut o corectie, deoarece acolo era numita ecuatie de rezolvat) si am observat:

- pt. =1 => |-20| >|-7|- pt. =3 => |-20| >|-39|Observatia 7 – în exemplul numeric dat “a” si “b” au acelasi semne si sunt egali cu

cei ai ecuatiei de referinta ; in cazul unei ecuatii oarecare date spre rezolvare , semnele pot diferi de cazul nostru; pentru verificarea teoremei in cazul unei ecuatii oarecare data spre rezolvare, se alege o ecuatie de referinta cu o solutie cunoscuta de noi, ecuatie pe care o formam noi si care are aceasi coeficienti “a” si “b” ai nedeterminatei cu aceleasi semne si apoi comparam termenii liberi in valoarea absoluta , sa vedem in situatia creata de noi daca solutia ecuatiei de rezolvat este mai mare sau mai mica ca si a ecuatiei luate ca referinta , respectiv a aproxima nivelul de marime al unei solutii a ecutiei de rezolvat.

PAG. 15



Observatia 8 – sunt probleme in acelasi sens de verificare aratata aici, de exemplu in cazul ecuatiilor de grad par si care prin coincidenta admit toate solutiile numere pur complexe, unde aceasta stabilire a nivelului de marime al unei solutii a ecuatiei date spre rezolvare in comparatie cu solutia unei ecuatii de referinta alese pune probleme noi mai deosebite. Dar aceasta analiza o vom prezenta mai complet in lucrarea prezentate in desfasurarea amanuntita.

Observatia 9 – am enuntat teoremele 6 si 7. De unde vin ele sau cum le-am putea explica? Se stie ca , un polinom de gradul “n”, se descompune in factori de gradul 1, daca ii cunoastem radacinile . Sa nu ne ducem pana la polinomul de gradul 3 si 4; astfel avem:

; si ecuatia atasata polinomului = (x- )(x- )(x- ) care este descompunerea in factori de gradul 1 a polinomului dat. In cazul polinomului de gradul 4 , in mod similar avem descompunerea in factori de gradul 1:

Si polinomul de gradul 3 si polinomul de gradul 4 pe baza:

=

= =

Polinoamele de gradul 3 si 4 se pot scrie:

I , ceea ce ne da prima solutie a ecuatiei de gradul 3 siII ; aceasta ecuatie de gradul 2 ne da 2 solutii dupa forma prin care

se obtin solutiile date de rezolvarea cu formula clasica de rezolvare a ecuatiei de gradul 2 . In cazul polinomului de gradul 4 am avea:

I II In total vom obtine patru solutii, dar in mod practic noi nu avem aceasta

descompunere a unui polinom de gradul 3 sau 4 , deci nu le putem afla astfel. Important este insa altceva, de exmplu in cazul polinomului de gradul 4 (unde se observa mai bine) scrierea lui sub forma unui produs a doua trinoame de gradul 2 ne arata in mod sigur ca aceste patru solutii ale luiar putea fi date sau in mod sigur sunt date de rezolvarea a doua ecuatii de gradul 2, deci vor fi de forma specifica acestei formule de rezolvare a ecuatiei de gradul 2 (in care intervin radical de ordinul 2 si un termen liber in afara radicalului). Aici fac o prima referire de ce am formulat teoremele 6,7,8 si 9. Prin multiplicare se poate merge la orice ecuatie de orice grad cu rationamentul.

PAG. 16



Se observa ca la orice ecuatie, in functie de imprejurari solutiile ei ar putea fi exprimate dupa forma data de formula clasica de rezolvare a ecuatiei de gradul 2 , fapt care se adevereste in cazul oricarei ecuatii de orice grad si acest lucru in acest rezumat vreau sa-l arat.

Eu incerc in acest rezumat sa arat in schimb inca un lucru – ca orice ecuatie de orice grad se poate rezolva si afla solutiile ei date de formule in care intervine un singur radical avand indicele egal cu gradul ecuatiei si fara coeficienti in afara radicalului.

Dupa aceasta paranteza pe care am facut-o ma intorc din nou la problemele cu ecuatia de referinta.

(8i) – alegem acum cateva ecuatii , de exemplu tot trei ecuatii de gradul 2 , dar care sa admita aceeasi solutie(una din cele doua pe care le admit), dar care au coeficienti nedeterminate diferiti dar bineinteles tot cu aceleasi semne:

- fie ecuatiile:; cu ; cu ; cu

Observatia 10 – se poate spune ca teorema 10 data inainte este si in acest caz valabila (ca de altfel in toate situatiile) dar o comparare a ecuatiei de rezolvat cu ecuatia de referinta este mai greoaie, in sensul determinarii posibilitatii cum este cazul de a arata ca ecuatia admite aceeasi solutie. De exemplu observam imediat , de asemenea, daca comparam a doua ecuatie din exemplu dat pe care o consideram ecuatie de referinta si aplicam acelasi rationament ca in prima exemplificare, observam ca “a” a crescut cu 2 iar “b” a scazut cu 2, iar termenul liber |-24|>|-20| in valoare absoluta a crescut, in realitate a scazut.

La fel in cazul celei de treia ecuatii, “a” a scazut cu 1 si |b| a scazut cu 1 , iar termenul liber |-14|<|-20|. In aceasta situatie este firesc ca “c” sa scada , daca si “a” si “b” au scazut, pentru a avea aceeasi solutie cu a ecuatiei de referinta. La prima comparare avem , rezulta, era firesc ca “c” sa creasca in valoare absoluta.

Concluzii(1) - in primul rand vorbind in general , teorema 10 este valabila si in acest caz, dar are

influente si nivelul valorii coeficientilor nedeterminatei;(2) – acum mai putem observa ca daca, sau ca am putea face diferenta dintre ecuatia

de rezolvat si ecuatia de referinta si obtinem tot o ecuatie care admite aceeasi solutie ,de exemplu

si (A)

Observatia 11 – pe aceste rationamente, ca de altfel si pe altele , se bazeaza un anumit mod de abordare a rezolvarii ecuatiilor de grad superior cu o nedeterminata.

De exemplu mai putem lua un exemplu:

PAG. 17



- fie ec de referinta: si ecuatia de rezolvat: cu in ambele situatii;

- efectuam diferenta de care vorbeam mai sus => -2x+4=0 => (A) si am mai dat un exemplu de rationament in acest context de care vorbeam si ma opresc aici pana cand coi prezenta desfasurat si acest tip de abordare a rezolvarii ecuatiilor de grad superior cu o nedeterminata.

- Tot in acest context enunt si urmatoarea teorema:

TEOREMA 11 (generalizare) – (deocamdata ne referim doar la ecuatia de gradul 1 si 2) – daca luam o ecuatie de gradul 1 sau 2 , dupa cum este cazul , la care cunoastem o solutie si dorim sa verificam daca o ecuatie data spre rezolvare admite aceeasi solutie , dar aceasta ultima ecuatie are alti coeficienti, scadem ecuatia de rezolvat din ecuatia reper, sau invers si verificam in ecuatia rest solutia ecuatiei reper si tragem concluziile.

Observatie – iarasi vin cu unele completari, chiar daca ma repet , legate de ceea ce aratam mai sus; chiar daca par stupide aceste rationamente, eu doresc sa reliefez printre altele si un anumit mod de fandire si retionare cu privire la rezolvarea ecuatiilor, apoi trebuie sa mai spun ca, momentan prezint doar un mod de abordare a rezolvarii ecuatiilor de grad superior cu o nedeterminata, dar ca mai sunt alte modele de abordare pe care soresc sa le prezint in lucrarea desfasurata sau dupa ce vad ce reactie am produs cu acest prim mod de abordare pe care il voi prezenta in acest rezumat.

Pentru ca am defalcat si operat ecuatiile cam in toate modurile posibile , spun eu, doream sa mai numesc aceasta lucrare cu titlul :”Abordarea totala si completa a rezolvari ecuatiilor de grad superior cu o nedeterminata”.

Astfel la prezentarea desfasurata a lucrarii am sa vin in toate sensurile cu completari si definitivari.

Mai enuntam teoremele:

TEOREMA 12 (generalizare) – daca avem o ecuatie reper cu o solutie cunoscuta, nivelul valorii solutiilor ecuatiei de rezolvat cu aceasi coeficienti si aceleasi semne a lor se reflecta direct in novelul valorii termenului liber.TEOREMA 13 (generalizare) – daca avem o ecuatie reper, cu o solutie cunoscuta si avem alte ecuati cu alti coeficienti , de rezolvat, faptul ca admit acestea din urma solutii diferite decat cea a ecuatiei reper(mai mari sau mai mici) acest lucru se reflecta direct tot in nivelul sau marimea termenului liber, cum vrem sa-i spunem.

In aceasta ultima situatie lucrurile se complica putin mai mult.Observatie – cand cautam sa comparam si sa operam o ecuatie in relatie cu o

ecuatie de referinta, este indicat,(dupa cum este cazul) sa alegem ecuatia de referinta dupa ce vedem asa zisa ecuatie de rezolvat si aceasta in principal pentru a opera aceleasi semne coeficientilor nedeterminatei.

Acum in cele ce urmeaza dupa aceste cateva succinte aspecte reliefate ,zic eu, pentru intreaga lucrare, pe care le-am reliefat pana acum, si pe care asa dupa cum am specificat si din nou ma repet, le consider esentiale pentru tot ceea ce va contine aceasta lucrare.Voi prezenta in contimnuare primul rtionament si anume acela in care se aplica

PAG. 18



substitutiile prezentate la inceput , in introducere si in aceasta abordare vom incepe chiar cu ecuatia de gradul1 , pentru ca am specificat ca modul de abordare se aplica la orice ecuatie, pentru ca de altfel este o teorie , este algebra.

P alta metoda de abordare, pe care o voi prezenta altadata, consta in punerea de conditii de rezolvare a unei ecuatii si folosirea de asa numitii de catre mine de “determinanti caracteristici unei ecuatii”, formati din coeficientii ecuatiei in baza unei conditii de rezolvare si determinarea unei solutii.

ECUATIA DE GRADUL 1

In continuare voi arata mai multe forule noi pe care le-am gasit pemtru ecuatia de gradul 1 folosind unele substitutii de care corbeam.chiar daca sunt mai complicate , pot fi considerate la urma urmei ca o fantezie.

Forma generala a ecuatiei de gradul 1 este:

ax+b =0 => , - formula clasica

In baza unei substitutii directe pe care p folosesc “ ” in urma unor operari de calcule se ajunge la formula pentru x:

(1)

Se va retine o solutie care verifica ecuatia data.

Observatie – mentionez ca formula pentru nu doresc deocamdata sa o dau; apoi aceste substitutii pe care le-am numit in introducere au particularitatea ca se aplica de la ecuatia de gradul 1 in sus la orice ecuatie.

In baza unei alte substitutii facute avem formula:

sau (2)

sau (3)

(4)

Substitutia facuta in acest caz este “ ”, si din nou nu dau formula pentru .

Observatie – aceste abordari care dau ecuatii de grad mai mare, cu aceeasi coeficienti si o solutie buna pentru ecuatia de plecare , se pot utiliza in modelari economice si manageriale cand de exemplu valoarea constanta a solutiei false pentru ecuatia de gradul

PAG. 19



1, poate reprezenta un punct de reper sau o tinta in astfel de modelari si analize.Practic transformarile unsei ecuatii de un anumit grad intr-o ecuatie de grad mai mare sau mai mic se poate folosi cu precadere in astfel de analize sau modelari ca acele specificate.

In baza unei alte substitutii facute gasim formula:

(5)

In baza unor alte subsubstitutii facute si operari combinate de calcul gasim o ecuatiea de gradul 2 care are o solutie buna pentru ecuatia de gradul 1 data spre rezolvare si anume:

(6)

Si de data asta formula se poate verifica pe exemple numerice:

Exemplu numeric: fie ecuatia de rezolvat: 3x+2=0 =>

sau si avem:

A=B=

-C=100

=> (F) si (A)

Observatie - formula este mai complicata dar poate fi considerata si ca fantezie.

Enuntam teorema:TEOREMA 14 (generalizare) – orice ecuatie chiar si ecuatia de gradul 1 poate fi

rezolvata printr-o formula in care intervine cel putin un radical de ordin 2.

Observatie – in ceea ce voi arata pana in final, se va vedea ca orice ecuatie se poate rezolva, respectiv are formula in care intervine un radical de ordin egal cu gradul ecuatiei de rezolvat. Prin extensie putem considera aceasta afirmatie ca fiind valabila si pentru ecuatia de gradul 1.- astfel avem simplu: ax+b=0=>

(A)

PAG. 20



Acum in continuare sa mai facem cateva observatii si analize. Astfel avem de exemplu in matematica Teorema lui Abel-Ruffini , pentru rezolvarea ecuatiilor de grad superior, care in senta spune ca o ecuatie generala de grad mai mare decat 4, nu are o formula de rezolvare, formata dintr-o expresie algebrica care sa contina radicali, respectiv nu se poate gasi o astfel de formula.

Avem o prima concluzie pe care o trag eu, este ca aceasta teorema se refera la expresii cu radicali cu indicele egal cu gradul ecuatiei si in plus cred ca voi reusi sa arat ca nu este asa, si sa combat aceasta teorema sub orice inteles ar avea.

De asemenea se zice ca pentru ecuatia de gradul 3 exista formulele lui Cardan si de asemenea pentru ecuatia de gradul4, dar care deorece presupune un calcul foarte complicat si care nu totdeauna si nu in cazul oricarei ecuatii da rezultate si solutii iabile, nu au nici o aplicabilitate practica si astfelse poate spune ca formule de rezolvare nu exista decat pentru ecuatia de gradul 1 si 2.

Acum vin eu cu unele mentiuni, chiar daca ma repet , pentru ca am mai aratat acest lucru:

- escompunerea unui polinom de gradul “n” in factori de gradul 1 este cunoscuta si este unica: , unde = solutiile ecuatiei polinomiale:

- acum daca urmarim aceasta descompunere in factori, observam ca ecuatiile de grad

impar, admit automat o solutie reala, daca sunt definite in R, intreaga sau rationala, teorema de altfel cunoscuta, dar nu acelasi lucru se poate spune despre coeficientii in R, care pot admite toate solutiile irationale sau complex conjugate sau combinari de aceste tipuri de solutii.

- In schimb din descompunerea polinomului de gradul “n”, in factori de gradul 1, observam ca , de exemplu, o ecuatie de grad par se poate scrie ca o descompunere in factori de gradul 2 ceea ce ne duce sa afirmam sau sa gandim ca o ecuatie de grad superior, trebuie adusa sub o forma sau alta la o ecuatie de gradul 2 a carui rezolvare o cunoastem.

- De asemenea vreau sa mai mentionez faptul ca o ecuatie de grad superior >=3, daca admite solutii irationale sau complexe(conjugate), forma lor cea mai exacta se obtine prin rezolvarea unei ecuatii de gradul 2; de ex formula de rezolvare a ecuatiei de gradul 4 , in care exista un singur radical de indice 4, dintr-un numar complicat cu unele suvstitutii facute, nu ne da forma binecunoscuta a solutiilor irationale sau complexe, comjugate : , respectiv , forme in care apare un numar real A afara din radical sau ca parte reala a unui numar complex;

- Daca am lua ecuatia de gradul 4 descompusa in trnoame de gradul 2 ca factori a-m observa ca ecuatia initiala este echivalenta cu doua ecuatii de gradul 2:

<=> =0<=>

<=>

PAG. 21



Si se observa ca am rezolvat ecuatia de gradul 4 cu formula ecuatiei de gradul 2 ; problema este ca nu cunostem in mod practic la o ecuatie in general pe ;

- dar ce este important ca daca avem o ecuatie de gradul 4 , ca exemplu, si ii cunostem solutiile, se poate afla si se poate forma ecuatiile de gradul 2 si sa dam solutiile ecuatiei sub forma ce rezulta din aplicarea formulei ecuatiei de gradul 2(de rezolvare); deci ecuatia in mod foresc, sau o ecuatie in general ar trebui sa admita solutii de forma celor date de formula de rezolvare a ecuatiei de gradul 2 => enunt urmatoarea teorema:

TEOREMA 15 (generalizare) – orice ecuatie de orice grad ar fi, admite solutii date de rezolvarea unor ecuatii de gradul 2 (deci in care intervine un radical de indice 2).

Observatie – dupa cum se va vedea si din acest rezumat si in viitor din intreaga expunere, exista mai multe abordari in rezolvarea unei ecuatii de grad superior, dar una va consta ca aducem orice ecuatie de grad n>2 la forma unei ecuatii de gradul 2, o rezolvam , verificam solutiile obtinute, aplicam teorema lui Bezout la ecuatia initiala si repetam rationamentul pentru o ecuatie de grad n-2.

Acum trec mai departe.- in baza altor substitutii facute se obtine pentru ecuatia de gradul 1:

(7)

Sau:

(8)

=> am determinat pe alte cai , folosind unele substitutii, relatia binecunoscuta simpla si

banala de rezolvare a ecuatiei de gradul 1:

- daca folosim alta substitutie avem:

(9)

Observatie – am folosit o substitutie antisimetrica “ ”.Observatie – apoi se mai poate observa un lucru si anume ca efectuari de calcule si

gasirea de noi formule pentru o ecuatie in general, cu acest tip de substitutii este mai noua, pur si simplu pot deveni , cred eu , teme de exercitii pentru elevi si studenti;

Trec mai departe – folosind o substitutie antisimetrica “ ” , se obtine pentru ecuatia de gradul 1, formula:

PAG. 22



(10)

Observatie – formula pentru exista dar nu o reliefez acum.

Folosind substitutia antisimetrica “ ”, obtinem formula:

(11)

Sau folosind substitutia “ ”, avem:

(12)

Sau alta formula:

(13)

Exemplu numeric: (pentru ultima formula)

- fie ec de rezolvat 4x-5=0=>x= sau

Avem:; ;

;

=> (F) si (A)

Si se retine solutia ;

-folosind o alta substitutie :” ”,avem formula:

(14)

-folosind o alta substitutie “ ” se obtine formula:

(15)

PAG. 23



- Folosind o alta substitutie “ ”, se obtine formula:

(16)

- folosind o alta substitutie” ” se obtine formula:

(17)

- sau dupa mai multe calcule:

(18)

Fara sa mai fac mentiuni , trec in cele ce urmeaza la cuatia de gradul 2, pentru a reliefa in genera; aceleasi aspecte.

Câteva aspecte importante înainte de introducere şi...

Documents

Transcript of Câteva aspecte importante înainte de introducere şi...