CONVERTOARE ANALOG-NUMERICE (CAN)

fie o tensiune [0, ), 0ref refU U U∈ >

U poate fi reprezentat cu ajutorul unei serii de puteri:

{ }1

2 , 0, 1iref i i

iU U b b

∞−

=

= ∈∑

U reprezentat exact, în raport cu Uref, prin secvenţa binară (b1, b2, ....)

infinită.

aproximare pe un număr finit de biţi

Erori de cuantizare

2 posibilităţi de aproximare:

• trunchiere

• rotunjire

rezultă o “eroare de cuantizare“

2 tipuri de cuantizare:

• uniformă (echipamente de măsură)

• neuniformă

Erori în cazul aproximării prin “trunchiere“

primii n biţi

1 12 2

n ni n i

t ref i ii i

U U b U b N U− −

= =

= = ∆ = ∆∑ ∑

pasul de cuantizare:

2 nrefU Q U−∆ = =

numărul de la ieşire:

12

nn i

ii

N b−

=

=∑ .

Caracteristica Ut = f(U) Densitatea de probabilitate a erorii

aproximare prin lipsă

0t te U U= − ≤

Eroarea de trunchiere

12 i

t t ref ii n

e U U U b∞

−

= +

= − = − ∑

max 0,te =

1min 1

1

12 2 21 2

i n nt ref ref ref

i ne U U U Q

∞− − − −

−= +

= − = − = − = −−∑

analiza caracteristicilor statistice ale erorii considerată ca o variabilă

aleatoare

densitate de probabilitate uniformă a erorii în intervalul [-Q, 0)

Valoarea medie: 0 2 01 1E( ) ( ) d d

2 2

∞

−∞ −

= = = = −−∫ ∫ t

t t t t t tQ

e Qe p e e e e eQQ Q

Valoarea pătratică medie: 0 3 2

2 2 2 01 1E( ) ( ) d d3 3t

t t t t t tQ

e Qe p e e e e eQQ Q

∞

−∞ −

= = = =−∫ ∫

Varianţa

[ ]2 2 2 2

22 2 22E( ) E( )3 4 12 12

n

t t t refQ Q Qe e Uσ

−

= − = − = =

Erori în cazul aproximării prin rotunjire

se mai adună o unitate pe poziţia cea mai puţin semnificativă, dacă

primul bit neglijat, 1nb + , este 1

1 11

2 2n

i nr t n ref i n

iU U Ub U b b− −

+ +=

= + ∆ = +

∑

tranziţiile la valorile 0,5 , 1,5 ,..., (2 2 0,5) .nU U U∆ ∆ − + ∆

valoarea rotunjită mai mare sau mai mică decât cea exactă

Eroarea de rotunjire:

11

2 2n ir r ref n ref i

i ne U U U b U b

∞− −

+= +

= − = − =∑

11 1 1

1 22 2 2 2 2

∞ ∞− − − − − −

+ + += + = +

= − = − − =

∑ ∑n i n n i

ref n i ref n n ii n i n

U b b U b b b

11

22 2

∞− − −

+= +

= −

∑n i

ref n ii n

U b b

1max 2 0,5n

r refe U Q− −= =

2 1min 1

2

12 2 2 0,51 2

∞− − − − −

−= +

= − = − = − = −−∑ i n n

r ref ref refi n

e U U U Q

densitate de probabilitate uniformă a erorii în intervalul (-Q/2, Q/2).

Valoarea medie: 0,5

1

0,5

E( ) d 0Q

r r rQ

e Q e e−

−

= =∫

Valoarea pătratică medie: 0,50,5 3 2

2 1 2

0,5 0,5

E( ) d3 12

QQr

r r rQ Q

e Qe Q e eQ

−

− −

= = =∫

Varianţa

[ ]2

22 2E( ) E( )12r t tQe eσ = − =

.

Observaţii:

eroarea de trunchiere: valoare medie negativă, echivalentă cu o

componentă continuă suprapusă peste semnal

eroarea de rotunjire: valoare medie nulă

dispersii egale în ambele cazuri

Relaţii de conversie

număr n de biţi

în cazul trunchierii:

1 12 2− −

= =

= = ∆ = ∆∑ ∑n n

i n it ref i i t

i iU U b U b N U

,tt

U U NU U

= = ∆ ∆

{ },1

2 , 0,1n

n it n i i

iN b b−

=

= ∈∑

în cazul rotunjirii:

1 11

( 2 ) ( )−+ +

=

= ∆ + = + ∆∑n

n ir i n t n

iU U b b N b U

1r

n rU U b N

U U + = + = ∆ ∆

Convertoare bipolare:

aproximare prin trunchiere

codul “binar deplasat”

1 1

1 1 12 22 2 2

− −

= =

= − = ∆ − = ∆ −∑ ∑n n

i n it ref i ref i ref t ref

i iU U b U U b U N U U

1

12 2

nrefn i

t ii

U UN b

U−

=

+ = = ∆

∑

sau

1 11

2

1 2 2 (1 ) 22

− − −

=

= − = − = − − + ∆ ∆ ∑

nref n n n i

t t ii

UU N N b bU U

aproximare prin rotunjire

11

12 2

nrefn i

n r ii

U Ub N b

U−

+=

+ + = = ∆

∑

1 11 1 1

22 2 (1 ) 2

nn n i

r n i ni

U N b b b bU

− − −+ +

=

= − − = − − + − ∆ ∑

Aplicație:

Un convertor CAN unipolar pe n=8 biţi, cu cuantizare prin rotunjire are

tensiunea de prag dintre numerele 03H şi 04H (de la ieşire) egală cu 35mV.

Determinaţi rezoluţia şi numărul de la ieşire la aplicarea tensiunii 3,278V la

intrare.

eroarea de cuantizare = zgomot suprapus peste semnal

Ipoteze suplimentare:

caracteristicile spectrale ale zgomotului

• zgomotul alb, cu densitatea spectrală de putere 2( )N ω σ= constantă

în toată banda de frecvenţă

două eşantioane de zgomot luate la momente diferite sunt necorelate

• zgomotul este independent faţă de semnalul cuantizat

Observaţii:

ambele ipoteze sunt discutabile

Ex. semnal continuu, eroarea este constantă, deci componenta continuă nu are

un caracter de zgomot.

modelul este mai apropiat de realitate în cazul unui semnal aleator

Număr efectiv de biţi

numărul efectiv de biţi, nef pentru caracterizarea raportului

semnal/zgomot total în sistemele de conversie şi prelucrare numerică a

semnalelor

2 tipuri de zgomot în sistemele de conversie

• zgomotului de cuantizare (datorat CAN)

• zgomot analogic (zgomot suprapus peste semnalul de intrare,

zgomotul propriu al amplificatoarelor ce preced conversia)

varianţa zgomotului total 2tσ :

2 2 2t c aσ σ σ= +

zgomotul de cuantizare: 22

2212 2 12

refc n

UQσ = =

semnal sinusoidal la intrare cu:

10,5 ,2 2ref ef refU U U U= =

2 22

22 2

8 212 2 12 3 2

ef efc n n

U UQσ = = =

explicităm n din relaţia de mai sus: 22

22

2 22 , 43 3

ef efn n

c c

U Uσ σ

= =

2

4 42log log3

ef

c

Un

σ

= +

n pentru un raport semnal/zgomot de cuantizare impus

înlocuind c tσ σ→ :

2

4 42log log3

efef

t

Un

σ

= +

sau, trecând la ,t dBRSZ

, 1,756,02t dB

ef

RSZn

−=

Definiţie:

Nr. efectiv de biţi al unui sistem de conversie real = nr. biţi al unui sistem de

conversie fără zgomot analogic, caracterizat prin acelaşi raport semnal/zgomot

total ca şi sistemul real. 2 2 2

4 4 4 42 2 2 2

2 2

4 4 42 2

2 2log log log 1 log3 3

2log log log 13

ef c aef

c a ef c

ef a

c c

Un

U

U

σ σσ σ σ

σσ σ

= + = − + + = +

= + − +

Rezultă: 2

4 2log 1 aef

c

n n σσ

= − +

2

4 2log 1 0a

c

σσ

+ >

nef < n

Reprezentare grafică:

Pentru 2 2a c efn nσ σ<< ⇒ ≅

Pentru 2 24log 2 0,5a c efn n nσ σ= ⇒ = − = −

Pentru 2 2a cσ σ>>

222 2

4 4 4 4 4 42 2

2 2log log log log log log3 3

efa a aef

c c c ef

Un n

Uσ σ σσ σ σ

≅ − = + − = −

nef nu mai depinde de n

mărirea numărului de biţi ai CAN nu mai conduce la o îmbunătăţire a

numărului efectiv de biţi al sistemului

îmbunătăţirea raportului s/z la ieşire faţă de cel de la intrare prin mediere,

filtrare numerică

nr. efectiv de biţi mai mare decât cel al CAN de la intrare

se poate creşte nr. de biţi cu care lucrează etajele ce urmează (inclusiv

CNA de la ieşire)

Numărul efectiv de biţi = Effective Number Of Bits (ENOB)

,t dBRSZ => Signal to Noise And Distortion (SINAD)

semnal

armonici zgomot

PSINADP P

=+

1,756,02

SINADENOB −=

Principalele tipuri de convertoare analog numerice

Neintegratoare (rapide, puţin precise, scumpe) • Fără reacţie

– Paralel (Flash) – Paralel-serie – Serie (pipeline) – Cu rampă liniară

• Cu reacţie – Cu AS – Cu rampă în trepte

Integratoare (lente, precise, ieftine) • Convertoare tensiune-frecvenţă • Convertoare cu 1 pantă • Convertoare cu 2 sau mai multe pante

Viteza mare

Viteza mica

Precizieredusa

Preciziemare

Convertoare cu aproximări succesive

- RAS - registru de aproximări succesive

- COMP – comparator;

- CNA – convertor numeric analog;

- REF – sursa de referinţă a CAN;

- RM – registru de memorie.

Registru de aproximări succesive

SC - start conversie

CC - conversie completă

T - tact

stabilirea unui bit într-un ciclu de tact T

un ciclu de conversie

tCONV = n T

un tact în plus pentru înregistrarea rezultatului final şi iniţializări:

tCONV = (n+1) T

O schemă posibilă de RAS

( )1 2 1 1 2 1.......... .......R R Rn R R RnINIT Q Q Q SC Q Q Q SC+ += + + + = INIT = 1 doar după golirea completă a registrului de deplasare (Qi = 0) şi SC=1

Poarta AND Poarta NAND

Poarta OR Poarta NOR

Observaţii:

Convertor cu comparare (însumare) în tensiune

sistem cu reglare automată - minimizează tensiunea de eroare aplicată la

intrarea comparatorului (Uc căt mai apropiată de Uin)

limită dată de eroarea de cuantizare

CNA cu aproximaţii succesive cu comparare (însumare) în curent

CNA mai rapide cu ieşire în curent

Minimizează tensiunea de eroare, deci la sfârşitul conversiei:

0inU RI=

Precizia convertorului

• calitatea CNA

• precizia tensiunii de referinţă, URef

• calitatea comparatorului

timpul de conversie: CONV ( 1)t n T= +

frecvenţa de tact maximă ,max,min

1tact

CNA comp

ft t

=+

Exemple de CAN AS produse de firma Analog Devices:

• AD774 - convertor de 12 biţi şi timp de conversie 8 sµ

• AD670- convertor de 8 biţi şi timp de conversie 10 sµ , fără

semnal de tact

Aplicație: CAN cu AS cu Uin=7.1V, URef=16V, n=4 biţi

t

t

t

t

V = 8VMSB

V = 1VL SB

4V

N = 0111

SC

CK

FC

U(N) sau RI(N)

U = 7.1 Vx

test b1 test b2 test b3 test b4 final 1 1 1 1000 0 00 01 0 011 0111 8V 4V 6V 7V 7V >7.1V <7.1V <7.1V <7.1V

CC

Formele de undă pentru cei 4 biți?

Convertoare cu rampă în trepte

convertor mai ieftin

registrul de aproximări succesive bloc logic de control (BLC)

Timpul de conversie dependent de tensiunea Uin:

inCONV

Ut TU

=∆

,max 2nCONVt T=

creştere exponenţială cu numărul de biţi

T depinde de viteza CNA şi a COMP

Comparaţie cu CAN AS:

• mai lent

• mai simplu, deci mai ieftin

• comparabil ca precizie

CAN paralel

CAN cele mai simple

CAN cele mai rapide

Ex: convertor pe 3 biţi, cu reţea de 8 rezistoare

tensiunile de prag pentru cele 7 comparatoare: 1/16Uref, 3/16

Uref.............13/16Uref

la ieşirile comparatoarelor nivelul tensiunii în “cod termometric”

logică de decodare pentru trecerea la trei biţi

Cod termometric

Cod zecimal Cod binar normal (b1b2b3)

0000000 0 000 0000001 1 001 0000011 2 010 0000111 3 011 0001111 4 100 0011111 5 101 0111111 6 110 1111111 7 111

Precizia convertorului

• calitatea comparatoarelor

• precizia cu care sunt realizate pragurile

dezavantaj: numărul mare (2n - 1) de comparatoare de mare viteză

Realizări practice:

convertoare de cel mult 6-8 biţi

viteză mare: tconv - zeci de ns

aplicaţii: osciloscoapele numerice, sistemele video, instalaţii radar

ex: AD9002 - convertor de 8 biţi, fconv,max= 150 Meşantioane/secundă.

Aplicație:

Se dă CAN-ul Flash pe 2 biți din figură. Se cunosc VR=4 V și Vin=1,4 V.

a) Să se obțină codul de la ieșirea comparatoarelor (A, B, C).

b) Să se găsească expresiile logice pentru biții b1, b2 (b1 este MSB) în funcție

de valorile A, B și C.

c) Să se calculeze numărul N pentru cazul particular dat.

d) Să se reprezinte caracteristica de transfer (𝑁𝑁(𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉)) a circuitului și tipul

caracteristicii (cu trunchiere sau cu rotunjire)

b2

b1

CAN paralel-serie

combinaţii de 2-4 convertoare paralel, fiecare pe maximum 4-5 biţi

Ex: convertor pe 8 biţi, utilizând două convertoare paralel de 4 biţi

Economie de comparatoare: 42 (2 1) 30× − = în loc de 82 1 255− =

Timp de conversie mai mare: tconv = 2 tCAN + tCNA

Exemple de integrate:

familia AD7820, 7821 - convertoare de 8 biţi în două etape, lucrând la

circa 1MHz

convertor mai rapid: AD9049, pe 9 biţi, frecvenţă maximă de 30MHz.

Convertoare de tip pipe-line

Exemplu: Convertor pipe-line folosind CAN şi CNA pe 1 bit (comparatoare)

Exemplu E/M

Exemplu reordonare

Exemplu: Convertor pipe-line folosind CAN şi CNA pe 4 biţi

CAN Flash lucrând în paralel

T0/4 T0/4T0/4 T0/4T0/4 T0/4

f0 ADRW

CAN Flash 1

CAN Flash 2

CAN Flash 4

CAN Flash 3

Output

Mem 1

Mem 2

Mem 3

Mem 4

u (t)IN

T0/4 T0/4T0/4 T0/4T0/4 T0/4

f0 ADRW

CAN Flash 1

CAN Flash 2

CAN Flash 4

CAN Flash 3

Output

Mem 1

Mem 2

Mem 3

Mem 4

u (t)IN

T0/4

Esantionare CAN: 1 2 3 4 1 2 3 4 1

T0/4

Esantionare CAN: 1 2 3 4 1 2 3 4 1

Cel mai rapid tip de CAN disponibil Desenați semnalele de tact pentru cele 4

CAN! De câte ori crește viteza? Aplicație: TDS1001 (laborator), 1GHz