Contributii la optimizarea transmisiei pe canale radio, folosind functii ...

UNIVERSITATEA POLITEHNICA" TIMIOARA

FACULTATEA DE ELECTRONIC I TELECOMUNICAII

drd. ing. Marius Oltean

CONTRIBUII LA OPTIMIZAREA TRANSMISIEI PE CANALE RADIO,

FOLOSIND FUNCII WAVELET

- tez de doctorat -

Coordonator tiinific:

Prof. Dr. Ing. Miranda Naforni

Timioara, decembrie 2009

2

Cuprins:

Lista figurilor.......................................................................................................................... 4

Lista tabelelor......................................................................................................................... 6

Cuvnt nainte ........................................................................................................................ 8

Sinteza lucrrii........................................................................................................................ 10

Cap.1: Modulaia multi-purttoare cu purttoare sinusoidale ............................................... 12

1.1 Conceptul de modulaie multi-purttoare ...................................................................... 12

1.2 Multiplexul ortogonal cu diviziune de frecven (OFDM) ........................................... 15

1.2.1 Schema bloc a unui sistem OFDM ............................................................................ 15

1.2.2 Necesitatea transmisiei paralele multi-purttoare ..................................................... 17

1.2.3 Descrierea modulatorului OFDM .............................................................................. 19

1.2.4 Legtura dintre tehnica OFDM i Transformarea Fourier Discret .......................... 21

1.2.5 Utilizarea prefixului circular n OFDM ..................................................................... 26

1.2.5.1 Egalizarea canalului cu ajutorul prefixului circular ............................................. 30

Cap. 2: Utilizarea undioarelor n transmisiile de date ......................................................... 35

2.1 Introducere ..................................................................................................................... 35

2.2 O privire general asupra funciilor wavelet ................................................................. 35

2.3 Transformarea wavelet discret ..................................................................................... 39

2.4 Criteriul lui Nyquist de interferen nul inter-simbol i funciile wavelet .................. 44

2.4.1 Baze ortonormale pentru transmisii fr interferen inter-simbol ........................... 47

2.4.2 Formarea impulsurilor cu ajutorul funciilor wavelet ............................................... 48

2.5 Utilizarea undioarelor n transmisiile multi-purttoare ............................................... 50

Cap. 3: O comparaie experimental ntre OFDM i WOFDM ............................................ 55

3.1 Dezavantajele principale ale tehnicii OFDM ................................................................ 55

3.2 Avantajele utilizrii undioarelor n transmisiile multi-purttoare ............................... 60

3.2.1 Analiza comparativ a performanelor BER n cazul OFDM i

WOFDM .................

68

3.2.1.1 Modelarea canalelor radio cu fading plat ............................................................. 69

3.2.1.2 Performanele transmisiilor multi-purttoare n canale cu fading plat de tip

Rayleigh

73

3.3 Localizarea timp-frecven a bazelor folosite n modulaiile ortogonale ...................... 78

3.3.1 Modelarea matematic a modulaiilor ortogonale ................................................... 80

3.3.2 Localizare timp-frecven ........................................................................................ 81

3.3.3 Simularea numeric a calculului localizrii timp-frecven pentru undioarele din 85

Cuprins

3

familia Daubechies

3.4 Transmisii multi-purttoare asociate cu turbo-codurile .................................................. 89

Cap. 4: Studiul performanelor WOFDM n canale cu fading plat ....................................... 93

4.1 Alegerea undioarelor folosite drept purttoare n WOFDM ........................................ 93

4.1.1 Explicarea rezultatului superior al undioarei Haar .................................................. 96

4.1.2 Influena numrului de momente nule ...................................................................... 100

4.2 Influena numrului de iteraii ale IDWT asupra performanelor transmisiei ............... 102

Cap. 5: Studiul performanelor WOFDM n canale cu fading selectiv n frecven ............. 110

5.1 Consideraii privind modelarea canalelor variabile n timp i selective n frecven ... 110

5.2 Performana BER global a transmisiei WOFDM prin canale selective n

frecven ....

115

5.3 Repartiia erorilor pe scrile de transmisie din WOFDM ............................................. 117

5.3.1 Performana BER a transmisiei WOFDM la diverse scri de transmisie .................. 119

5.3.2 Alegerea undioarei mam folosit ntr-o transmisie WOFDM prin canale

selective n frecven

126

Cap. 6: Contribuii la optimizarea transmisiei pe canale radio folosind undioare................ 131

6.1 Contribuii originale din tez......................................................................................... 131

6.2 Perspectivele utilizrii WOFDM.................................................................................... 133

Bibliografie .......................................................................................................................... 135

Lista lucrrilor ...................................................................................................................... 141

Anexa1 ................................................................................................................................. 144

Anexa2 ................................................................................................................................... 146

4

Lista figurilor

1.1 Principiul accesului multiplu cu diviziune n frecven.

1.2 Principiul transmisiei pe subcanale multiple.

1.3 Schema de principiu a receptorului Kineplex.

1.4 Schema bloc a unui sistem de transmisie bazat pe OFDM.

1.5 Principiul unei transmisii paralele multi-purttoare.

1.6 Spectrul purttoarelor folosite n OFDM.

1.7 Subpurttoarele ortogonale din OFDM.

1.8 Simbolul OFDM (a), semnalul dup multiplicatoare (b) i acela de la ieirea integratoarelor (c).

1.9 Implementarea modulatorului OFDM prin intermediul IFFT.

1.10 Transmisia unor blocuri succesive (a) i interferena la receptor (b)

1.11 Interferen inter-bloc din cauza propagrii multicale(a), prefixul circular elimin aceast interferen (b).

2.1 Undioara mam Symmlet la diverse scri i locaii pe axa timpului.

2.2 Canalul de comunicaie vzut ca un plan timp frecven.

2.3 Obinerea undioarei mam Haar din funcia de scar corespunztoare.

2.4 Implementarea DWT folosind bancuri de filtre.

2.5 Implementarea IDWT folosind bancuri de filtre.

2.6 Schema bloc a unui lan de transmisie n banda de baz.

2.7 Eantionarea funciei de autocorelaie a unei undioare mam.

2.8 Un simbol WOFDM.

2.9 Demodularea simbolului WOFDM: ieirea multiplicatorului (a) i a integratorului (b).

2.10 Undioarele de tip Haar folosite drept purttoare n WOFDM.

2.11 Simbolul WOFDM obinut n urma modulaiei pe trei scri.

2.12 Implementarea WOFDM cu ajutorul IDWT.

2.13 Simularea transmisiei WOFDM.

3.1 Desincronizarea n timp i eroarea de detecie care apare din pricina acesteia.

3.2 Deplasarea de frecven.

3.3 Ilustrarea parametrului PAPR pentru o modulaie OFDM.

3.4 Diminuarea eficienei transmisiei din cauza prefixului circular.

3.5 Exemple de fom de und ale purttoarelor din WOFDM, comparativ cu OFDM.

Lista figurilor

5

3.6 Densiti spectrale de putere (purttoare sinusoidal i funcie de scar).

3.7 Analiz comparativ a Densitilor Spectrale de Putere pentru tehnicile OFDM i WOFDM.

3.8 Comparaie ntre duratele de simulare pentru transmisia OFDM, respectiv WOFDM.

3.9 Performana BER a OFDM, respectiv WOFDM n canale AWGN.

3.10 Densitatea de probabilitate de tip Rayleigh.

3.11 Densitate spectral de putere a eantioanelor de fading (spectrul lui Jakes).

3.12 Comparaie ntre OFDM i Haar - WOFDM cu 4 iteraii.

3.13 Comparaie ntre OFDM i Daubechies-10 WOFDM n condiii de fading lent.

3.14 Comparaie ntre OFDM i Daubechies-10 WOFDM n condiii de fading rapid.

3.15 Durata efectiv a undioarelor (a) i a funciilor de scar (b) din familia Daubechies. Valorile sunt normate la unitate.

3.16 Durata efectiv a undioarelor (a) i a funciilor de scar (b) din familia Daubechies. Valorile sunt normate la unitate.

3.17 Localizarea timp-frecven (produsul t) a undioarelor (a) i a funciilor de scar (b) din familia Daubechies.

3.18 Performana BER a transmisiilor WOFDM/OFDM codate cu un turbo-cod multi-binar, n canale AWGN.

3.19 Performana BER a transmisiilor WOFDM/OFDM codate cu un turbo-cod multi-binar, n canale cu fading plat.

3.20 Performana FER a transmisiei WOFDM/OFDM codate cu un turbo-cod multi-binar, n canale cu fading plat.

4.1 Performanele WOFDM cu diverse undioare mam, o singura iteratie IDWT i fm=0.05.

4.2 Performanele WOFDM cu diverse undioare mam, o iteraie IDWT i fm=0.005.

4.3 Implementarea modulatorului IDWT cu o singur iteraie.

4.4 Performana BER pentru diverse undisoare, intr-un canal variant n timp (fm=0.05), fr zgomot AWGN, o singur iteraie IDWT.

4.5 Performana BER pentru diverse undisoare din familia Daubechies, intr-un canal variant n timp (fm=0.05), cu o singur iteraie IDWT.

4.6 Influena numrului de iteraii IDWT asupra performanelor transmisiei, fm=0.05.

4.7 Influena numrului de iteraii IDWT asupra performanelor transmisiei, fm=0.005.

4.8 Performana BER pe cele 4 scri, fm=0.005, undioara Haar.

4.9 Performana BER pe cele 4 scri, fm=0.05, undioara Haar.

4.10 Performana BER pe cele 4 scri, fm=0.005, undioara Daubechies-12.

4.11 Creterea procentual BER de la o scar la alta, la Eb/N0=20dB i fm=0.05.

4.12 Creterea procentual BER de la o scar la alta, la Eb/N0=20dB i

Lista figurilor

6

fm=0.005. 4.13 Creterea procentual BER de la o scar la alta, la Eb/N0=0dB i

fm=0.05.

5.1 Schem de transmisie WOFDM prin canal cu fading selectiv n frecven.

5.2 Modulul rspunsului n frecven al canalului cu dou ci de propagare de puteri egale, pentru 1=TS.

5.3 Modulul rspunsului n frecven al canalului cu P1/P2=10dB si 1=4TS.

5.4 Performana BER a transmisiei WOFDM n canale cu dou ci de propagare, 1=1 i fm=0.005.

5.5 Influena variabilitii n timp a canalului asupra performanei BER, ntr-un canal cu dou ci, 1=1.

5.6 Simbolurile transmise la diverse scri (a) i benzile de frecven prin care se transmit (b).

5.7 Curbe BER pariale pe fiecare scar de transmisie WOFDM cu Daubechies-8, pentru un canal cu puteri egale ale celor dou ci, n=0.5 (1=Ts) i fm=0.005.

5.8 Curbe BER pariale pe fiecare scar de transmisie WOFDM cu Daubechies-8, pentru un canal cu puteri egale ale celor dou ci, n=1 (1=2Ts) i fm=0.005.

5.9 Curbe BER pariale pe fiecare scar de transmisie WOFDM cu Daubechies-8, pentru un canal cu dou ci, P1/P2=10 dB, n=1.15 (1=4TS) i fm=0.005.

5.10 Evoluia BER n funcie de n pe fiecare scar de transmisie WOFDM cu Daubechies-8, pentru un canal cu dou ci de puteri egale i fm=0.005.

5.11 Evoluia BER n funcie de n pe fiecare scar de transmisie WOFDM cu Daubechies-8, pentru un canal cu parametrii 1 i P1/P2 variabili, i fm=0.005.

5.12 Influena deplasrii Doppler asupra BER n condiiile unui canal cu dou ci de propagare de puteri egale i ntrziere variabil a celei de a doua ci.

5.13 Comparaie ntre curbele BER pariale la scrile 1 i 2 pentru undioarele Haar i Daubechies-20, n=0.5, fm=0.005.

5.14 Comparaie ntre curbele BER pariale la scrile 3 i 4 pentru undioarele Haar i Daubechies-20, n=0.5, fm=0.005.

5.15 Performana BER la scara 4 de transmisie pentru diverse undioare din familia Daubechies, pentru o transmisie printrun canal cu dou ci de puteri egale, cu n=0.5 i fm=0.05.

5.16 Performana BER a undioarelor din familia Daubechies la scrile 3 i 4, pentru o transmisie printrun canal cu dou ci de puteri egale, cu Eb/No=50dB, fm=0.05 i n=0.5.

7

Lista tabelelor

3.1 Parametrii de simulare a modulaiilor ortogonale n canale cu fading plat.

3.2 Localizarea timp frecven a undioarelor Haar i sinus cardinal. 3.3 Parametrii folosii pentru simularea transmisiei WOFDM codate. 4.1 Parametrii de simulare a transmisiei WOFDM n canale cu fading

plat.

4.2 Selecie a performanei BER pentru fm=0.05 i o singur iteraie IDWT.

5.1 Valorile mprtierii multicale n diverse cazuri de simulare.

8

Cuvnt nainte

Aceast tez este dedicat utilizrii undioarelor n transmisiile multi-purttoare.

Modulaia cu purttoare multiple a cunoscut, n ultimele decenii, o larg utilizare. Astfel, diverse

variante ale OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing) sunt propuse la ora actual n

majoritatea standardelor de transmisiuni pe canale radio, dar i n diverse aplicaii de transmisie

pe canale cu fir. Se pot enumera aici standardele DAVB (Digital Audio and Video Broadcasting),

IEEE 802.11 (reele WiFi), IEEE 802.16 (WiMAX), 3GPP release 8 (LTE), tehnologiile DSL

(Digital Subscriber Loop) sau transmisia de date pe linii de alimentare cu tensiune.

Tehnologiile enumerate mai sus sunt cele mai cunoscute aplicaii ale modulaiilor multi-

purttoare. Utilizarea pe scar larg a acestora dovedete fiabilitatea i robusteea lor i justific

interesul acordat acestei direcii n cercetarea tiinific. Aplicaiile enumerate anterior folosesc

diverse versiuni ale OFDM.

Pe lng numeroasele sale avantaje, OFDM prezint ns i o serie de dezavantaje, care

se constituie n impedimente serioase n implementarea practic i diminueaz performanele

OFDM. La ora actual exist dou direcii de cercetare principale n domeniul modulaiilor

multi-purttoare. 1. Pe de o parte, se caut soluii i algoritmi care, pstrnd principiile de

baz din OFDM (aceleai tipuri de purttoare, aceiai algoritmi numerici de implementare a

modulatorului i demodulatorului), s reduc impactul dezavantajelor acestei tehnici.

2. Pe de alt parte, tot mai multe lucrri i cercetri pledeaz pentru implementarea

modulaiilor multi-purttoare pe baze noi, prin folosirea altor familii de purttoare ortogonale

dect exponenialele complexe din OFDM.

n a doua categorie de metode se ncadreaz undioarele. Folosirea undioarelor ntr-o

metod de transmisie multi-purttoare reprezint o tem de cercetare care se afl n plin

expansiune. Principalele aplicaii ale metodelor multi-purttoare pe baz de undioare prezentate

n literatur sunt transmisia de date prin reeaua de alimentare cu energie electric, pe de o parte,

i transmisia pe canale radio, pe de alt parte. Teza de fa se ocup de transmisia pe canale radio,

dar o parte din rezultatele obinute i din concluziile extrase este aplicabil i transmisiei de date

pe liniile de alimentare cu energie electric

Transmisia pe canale radio, a cunoscut n ultimele decenii o expansiune remarcabil.

Aceste canale sunt ns dificil de gestionat, semnalele transmise prin ele fiind supuse atenurii,

propagrii pe trasee multiple sau interferenelor externe. Date fiind aceste impedimente, credem

c transmisiile multi-purttoare pe baz de undioare pot constitui, prin flexibilitatea i

robusteea lor, o alegere bun n transmisia fr fir. Aceste tehnici ncearc s combine

Cuvnt nainte

9

avantajele OFDM-ului clasic cu acelea pe care le confer folosirea undioarelor. Domeniul fiind

relativ nou, lucrrile ce exist n literatur nu sunt nici pe departe la fel de numeroase ca i acelea

care trateaz diverse aspecte ale OFDM-ului tradiional, i ele au o natur relativ dispersat.

n lucrarea de fa sunt sintetizate diversele aplicaii ale undioarelor n transmisiile de

date, cu sublinierea avantajelor i dezavantajelor presupuse de utilizarea acestora n transmisii pe

canale radio. De asemenea, din studiile i experimentele personale, au reieit cteva concluzii i

soluii originale.

10

Sinteza lucrrii

n capitolul I sunt expuse principiile de baz ale modulaiei OFDM, cea mai rspndit

metod de modulaie multi-purttoare. Sunt tratate aspectele cele mai importante din OFDM:

transmisia n paralel pe purttoare multiple, implementarea modulatorului i a demodulatorului i

folosirea prefixului circular.

n capitolul al doilea e prezentat o imagine de sintez a folosirii undioarelor n

transmisia de date, care se refer la formarea impulsurilor cu ajutorul undioarelor i la

transmisia multi-purttoare folosind undioare. Legat de cea de a doua aplicaie, n paragraful

2.4.1 am prezentat o prim contribuie original, prin care am demonstrat c orice funcie care

care genereaz baze ortonormale prin translaie cu ntregi satisface criteriul lui Nyquist de

interferen nul inter-simbol, i poate fi deci folosit ca funcie formatoare de impulsuri.

Familiile de undioarele se supun acestei constrngeri, ca i caz particular.

n capitolul III am fcut o comparaie ntre metoda OFDM tradiional, i cea bazat pe

folosirea undioarelor, denumit n tez WOFDM (Wavelet-based OFDM). n acest sens, am

prezentat dezavantajele principale ale metodei OFDM i am artat faptul c unele dintre aceste

dezavantaje sunt eliminate n WOFDM. Tot n acest capitol am prezentat o serie de experimente

i simulri, pentru a compara performana BER (Bit Error Rate) a celor dou tehnici, pentru

canale care cu fading plat i variabile n timp (paragraful 3.2). Aceste comparaii reprezint o

contribuie personal. Capitolul continu cu o analiz teoretic a localizrii n timp i frecven

a familiilor de purttoare folosite n OFDM i WOFDM. Astfel, am demonstrat c localizarea

timp-frecven a undioarelor este superioar aceleia a exponenialelor complexe de durat

limitat, folosite n OFDM, ceea ce este o contribuie personal (paragraful 3.3). n

paragraful 3.4 am comparat cele dou metode prin prisma performanei BER, atunci cnd datele

sunt codate folosind turbo-coduri. Am artat c, i n aceast situaie, metoda bazat pe undioare

aduce un ctig fa de transmisia OFDM clasic. Rezultatele redate i comentate n

paragraful 3.4 sunt de asemenea o contribuie personal.

n capitolul IV am fcut o analiz experimental detaliat a transmisiei WOFDM prin

canale variabile n timp, cu fading plat. Analiza vizeaz modul n care trebuie alei parametrii

transmisiei, i anume undioara mam i numrul de iteraii din modulatorul IDWT (Inverse

Discrete Wavelet Transform). Rezultatele obinute n capitolul IV sunt o contribuie

personal. n acest sens, am prezentat i o demonstraie matemtic a robusteii adus de

folosirea undioarei Haar i de implementarea unui numr ct mai mic de iteraii n modulatorul

IDWT. Astfel, am artat c, dac folosim undioara amintit i implementm o singur iteraie a

Sinteza lucrrii

11

algoritmului de calcul al IDWT, variabilitatea n timp a canalului, dat de ctre fading, nu

introduce nicio eroare de detecie, n cazul n care n canal nu exist alte zgomote (de exemplu

AWGN). n paragraful 4.1.1 am calculat probabilitatea de eroare n acest caz, ea fiind nul.

Acest rezultat este o contribuie personal.

n capitolul V, am realizat un studiu experimental al transmisiei WOFDM, pentru cazul

unor canale care sunt att variabile n timp, ct i selective n frecven. Experimentele au

urmrit s determine parametrii optimi ai transmisiei WOFDM printr-un asemenea canal. Se

arat c, n cazul canalelor selective n frecven, alegerea parametrilor se supune unor

constrngeri cu totul diferite fa de acelea prezentate n capitolul anterior. Rezultatele

prezentate i discutate n acest capitol reprezint o contribuie personal.

n capitolul VI sunt trecute n revist contribuiile personale, i, legate de acestea,

concluziile tezei.

12

CAP I: MODULAIA MULTI-PURTTOARE CU PURTTOARE SINUSOIDALE

1.1 Conceptul de modulaie multi-purttoare

Originile tehnicii de multiplexare cu diviziune n frecven se regsesc departe n timp,

acum mai bine de un secol. Este vorba despre transmiterea mai multor semnale de debite joase

(de exemplu, semnale de telegrafie) printr-un un canal de band larg, utiliznd o frecven

purttoare diferit pentru fiecare semnal. Pentru a facilita demultiplexarea transmisiilor la

receptor, frecvenele purttoare folosite au fost separate astfel nct s se evite suprapunerea

spectrelor ocupate de fiecare dintre semnalele transmise. S-au folosit n acest scop benzi de

frecven "de gard", care s permit separarea fiecrui spectru cu ajutorul unor filtre simplu de

implementat. Din cauza acestor intervale de gard, eficiena spectral a unui astfel de sistem este

redus (fig. 1.1).

ndeprtat nc de conceptul de modulaie multi-purttoare, multiplexarea cu diviziune n

frecven reprezenta mai degrab o tehnic de acces multiplu, care rezolva problema partajrii

unui mediu de transmisie unic de ctre mai muli utilizatori.

Pasul nspre ceea ce nseamn modulaia multi-purttoare a putut fi fcut ipoteza c, n

loc s transporte semnale provenite de la utilizatori distinci, purttoarele utilizate s fie

modulate de ctre simboluri care aparin unui singur utilizator. n acest caz, sursa de informaie

ar putea genera date direct ntr-un format paralel, sau date secveniale (seriale) aduse la intrarea

unui convertor serial-paralel. Odat obinut formatul paralel al datelor, fiecare flux paralel va fi

transmis pe cte o subpurttoare distinct. O asemenea transmisie paralel, sau "simultan", este

comparabil ca debit total generat cu o transmisie serial de debit nalt care utilizeaz aceleai

resurse (aceeai band de frecvene total), unde ns modularea are loc pe o singur purttoare.

Este evident c implementarea sistemului paralel cu emitoare i receptoare multiple ar fi mai

costisitoare dect implementarea sistemului serial, care cere un singur modulator i un singur

Utilizator 1

Utilizator 2

Utilizator N

Mediu de transmisie

frecven

S 1 S 2 S N

interval gard

interval gard

Fig. 1.1: Principiul accesului multiplu cu diviziune n frecven

1.1 Conceptul de modulaie multi-purttoare

13

demodulator. Mai mult dect att, primele sisteme de transmisie paralel pe purttoare multiple

fceau i ele apel la intervale de frecven de gard ntre subcanale, diminund eficiena spectral.

Dac ne raportm la debitele transmise n cazul tehnicii multi-purttoare, remarcm c

pe fiecare subcanal n parte se transmit semnale cu debite joase. Pe de alt parte, semnalul

transmis serial, cu debit nalt, ar se dovedete mult mai sensibil la fenomenul de interferen

inter-simbol (IIS). n acest caz, durata scurt a simbolurilor transmise face ca ele s ocupe

ntreaga lime de band disponibil, spre deosebire de limea de band redus a fiecrui simbol

transmis n paralel. Este de presupus c, n cazul transmisiei paralele, rspunsul n frecven al

canalului poate fi considerat aproximativ plat pentru fiecare subcanal n parte, reducndu-se

astfel efectul negativ introdus de selectivitatea n frecven a canalului. Conceptul este ilustrat n

figura 1.2, pentru 16 subcanale (subpurttoare). Astfel, anterior dezvoltrii unor tehnici de

egalizare fiabile, transmisia paralel oferea o posibilitate real de atingere a unor debite nalte n

canale dispersive, ea fiind folosit n ciuda costului su ridicat i a eficienei spectrale reduse.

Una dintre primele soluii care a fost avansat pentru rezolvarea problemei eficienei

spectrale vine din partea unei companii americane (Collins Radio), care propune n deceniul 6

sistemul Kineplex, proiectat pentru a transmite date printr-un canal de nalt frecven, afectat de

fading selectiv n frecven [Bah,Sal02]. Rata de date vizat era de 2400bps. ntr-un asemenea

sistem se utilizau 20 de purttoare, modulate folosind o modulaie diferenial de faz n

cuadratur DQPSK (Differential Phase Shift Keying), fr filtrare. Spectrul fiecrui ton are

forma sin( )kf f , conducnd la interferen ntre spectrele ce corespund diverselor purttoare.

Caracteristica de frecven de tip sinus cardinal rezult din semnalul tip "poart dreptunghiular"

ce corespunde simbolurilor de transmis (n timp), care translatat n frecven prin transformarea

Fourier, conduce nspre forma de oscilaia atenuat caracteristic sinusului cardinal. Similar

multiplexului cu diviziune de frecven folosit n zilele noastre, subpurttoarele erau separate

ntre ele prin intervale de frecven care sunt egale cu inversul duratei unui "simbol multi-

purttoare" transmis (sau, echivalent, cu inversul duratei "de observare" a demodulatorului).

0

C(f)

f

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Fig. 1.2: Principiul transmisiei pe subcanale multiple.

1. Modulaia multi-purttoare cu purttoare sinusoidale

14

Schema demodulatorului este ilustrat n figura 1.3. Fiecare purttoare este detectat

utiliznd o pereche de circuite calate pe frecvena purttoarei. Semnalul recepionat este transmis

pe dou ramuri, pe una dintre ele introducndu-se o ntrziere de egal cu durata de transmisie a

unui simbol, fcnd astfel posibil calcularea diferenei de faz dintre dou simboluri

consecutive, i permind astfel detectarea informaiei transmise. Performanele obinute prin

utilizarea acestui sistem au fost relativ bune, dar cu preul unui cost de implementare ridicat.

Tehnica descris garanteaz ortogonalitatea purttoarelor, ortogonalitate necesar pentru

a separa semnalele transmise pe fiecare subpurttoare n parte. Totui, spectrul de tipul sinus

cardinal al fiecrei subpurttoare are cteva proprieti care sunt indezirabile. Fiindc o asemena

funcie se ntinde pe ntreaga ax a frecvenelor, toate subpurttoarele folosite n transmisie se

vor suprapune pe axa frecvenelor. Mai mult dect att, orice sistem de transmisie radio trebuie

s asigure un interval de gard la stnga i la dreapta benzii dedicate, care s elimine

interferenele cu sisteme ce lucreaz n benzi de frecven nvecinate. Ori, energia lobilor laterali

din spectrul (sin(kf)/f) este suficient de mare nct s produc interferene n benzile adiacente. Se

prefer din acest motiv utilizarea unor semnale de band limitat care s moduleze fiecare

subpurttoare (n locul impulsurlor rectangulare), care pot fi obinute prin intermediul unor filtre

Nyquist formatoare de impulsuri. Rezultatul unei asemenea abordri va fi c fiecare

subpurttoare modulat va afecta doar canalele adiacente (nivelul de interferen fiind mai mic),

fr a fi influenat ortogonalitatea subpurttoarelor. n plus, atenuarea n benzile adiacente va fi

suficient de mare pentru a satisface constrngerile practice.

sin(2f0t)

D Detector faz

sin(2f1t)

D Detector faz

sin(2f2t)

D Detector faz

s(t)

S0

S1

S2

Fig 1.3: Schema de principiu a receptorului Kineplex.

1.2 Multiplexul ortogonal cu diviziune de frecven

15

1.2 Multiplexul ortogonal cu diviziune de frecven (OFDM)

Aa cum rezult din paragraful precedent, ideea care st la baza modulaiei OFDM s-a

nscut cu mult timp n urm. Introducerea ei n sisteme folosite pe scar larg a trenat ns vreme

ndelungat, din pricina complexitii de implementare, care n sistemele pe baz de circuite

analogice conducea la dificulti i costuri de implementare prohibitive.

Expansiunea modulaiei OFDM s-a produs de fapt odat cu maturizarea tehnicilor de

procesare numeric de semnal i a algoritmilor asociai. n acest caz, o importan particular o

prezint algoritmul rapid de calcul al Transformrii Fourier Discrete (TFD), care este punctul

cheie al modulatorului i demodulatorului OFDM, aa cum se va vedea n cele ce urmeaz

[Bin90, Cim85]. Utilizarea acestei tehnici a cunoscut o dezvoltare rapid mai ales n sisteme

care folosesc transmisia fr fir. Astfel, o gam larg de standarde i soluii proprietar folosesc

OFDM la nivelul fizic pentru a transmite informaia prin canalul radio. ntre acestea se pot

aminti DAVB (Digital Audio & Video Broadcasting) [ETSI00], WiFi (IEEE 802.11) [IEEE03],

WiMAX (IEEE 802.16)[IEEE04], LTE (Long Term Evolution, standard 3GPP release 8)

[Fur,Ahs'09] sau Flash OFDM (soluie Flarion) [Fla04]. Mai mut dect att, versiuni de

transmisii multi-purttoare s-au adoptat i n transmisii pe fir, cu rezultate remarcabile. La acest

capitol se poate aminti tehnologia ADSL (transmisii de debite impresionante de date prin

cablurile telefonice de cupru folosite n telefonia analogic clasic) [Bin00]. De asemenea, o

aplicaie n plin expansiune ce folosete pricipiul modulaiilor ortogonale const n transmisia

de date prin reeaua public de alimentare cu tensiune electric (de ex. PLUG) [Lam, Hub00,

Kat01].

n cele ce urmeaz, se vor prezenta conceptele de baz ale modulaiei OFDM. Astfel,

dup exemplificarea conceptului de modulaie multi-purttoare, se va argumenta i explicita

importana ortogonalitii pentru demodularea corect a transmisiei efectuate. n continuare se va

prezenta o descriere matematic a modulatorului OFDM, i se va explica importana conceptului

de "prefix circular", strns legat de modulaia OFDM. Capitolul se va ncheia cu o seciune

dedicat expunerii dezavantajelor tehnicii discutate.

1.2.1. Schema bloc a unui sistem OFDM

n figura 1.4 se prezint schema bloc a unui lan de transmisie folosind multiplexul ortogonal cu

diviziune de frecven.


16

Simbolurile de informaie sunt o secven de bii, rezultat eventual n urma unei codri de canal

a irului iniial de date. Succesiunea astfel obinut este convertit n format paralel (pe N

ramuri) i supus unei "modulri n banda de baz". Prin aceasta se nelege c, n funcie de

constelaia de modulaie aleas pe fiecare ramur, grupurile de bii sunt convertite n simboluri

complexe. Pentru exemplificare, s alegem cazul modulaiei QPSK, pentru care fiecare dibit este

convertit ntr-un numr complex (notat cu Sk n figura 1.4) din mulimea

{ 2 2, 2 2, 2 2, 2 2}j j j j+ + . Pe fiecare ramur n paralel, simbolurile de

modulaie vor modula o purttoare complex. Tot acest proces este implementat prin intermediul

algoritmului Inverse Fast Fourier Transform (IFFT) care reprezint punctul cheie al

modulatorului OFDM. Faptul c modularea este realizat prin aplicarea unei transformate

Fourier inverse ne poate conduce spre interpretarea simbolurilor de intrare n modulator ca fiind

"eantioane" definite n frecven. Aceasta reprezint ns doar un detaliu de modelare a lanului

de transmisie, fr importan practic. n ceea ce privete constelaia de modulaie folosit, ea

poate fi aceeai sau diferit pe fiecare ramur n parte, ca rezultat al unui mecanism inteligent de

optimizare a transmisiei, care se bazeaz pe estimarea canalului. Spre exemplu, sistemul de

modulaie "Discrete Multi Tone" (DMT) [Fis,Hub96] folosit n ADSL, testeaz canalul cu un

semnal pilot, urmnd s "ncarce" fiecare subpurttoare n funcie de "gradul de ncredere" al

acesteia [Son00]. Mecansimul este cunoscut sub numele de "bit loading" i face apel la teorema

"waterfilling" [Hay94]. Acest principiu este relativ simplu de implementat n mediile de

transmisie ghidate, unde canalul se consider n genere invariant n timp. Tehnici asemntoare,

dar mai complexe se utilizeaz i n sistemele radio de tipul WiFi sau WiMAX, unde se folosete

OFDM cu acces multiplu [Won,Che,Let,Mur99].

n faa simbolului OFDM obinut de ctre modulatorul IFFT se insereaz un prefix

circular care are menirea de a separa ntre ele dou blocuri OFDM succesive i de a facilita

egalizarea canalului la receptor. n practic, toate aceste operaii se implementeaz prin procesare

Simboluri de informaie

ConvertisseurS/P

Modulation et codage

Modulator IFFT

Inserare prefix

circular

Convertor P/S X

ej2fct

Canal

X

e-j2fct

Convertor S/P

Extragere prefix

circular

DemodulatorFFT

Dmodulation et dcodage

ConvertisseurP/S

Simboluri estimate

[Sk], k=0,,N-1

[Xk], k=0,,N-1

[xn], n=0,,N-1

[xcpn], n=-L+1,,N-1

[ycpn], n=-L+1,,N-1

[yn], n=0,,N-1

[Yk], k=0,,N-1

[Tk], k=0,,N-1

Fig.1.4: Schema bloc a unui sistem de transmisie bazat pe OFDM.

Convertor S/P

Modulare n banda de

baz

Demodulare n banda de

baz

Convertor P/S


17

numeric de semnal, astfel nct ceea ce nelegem prin simbol OFDM la acest nivel este de fapt

o secven de N+L numere complexe. Pentru a se obine semnalul ce corespunde modulaiei

OFDM, este nevoie de conversia semnalului digital din banda de baz ntr-un semnal analogic

(folosind un convetor numeric-analogic i un formator de impulsuri). Semnalul analogic astfel

obinut, va fi la rndul lui translatat la frecvena radio de transmisie de ctre un convertor de

radio-frecven.

Receptorul implementeaz operaiile complementare: semnalul este translatat n banda de

baz i convertit n semnal digital. Dup nlturarea prefixului circular se poate folosi un egalizor

de canal (nereprezentat n figur). Dac se fac cteva ipoteze simplificatoare (adeseori

neacoperite ns n practic), i anume: canal estimat perfect, liniar i invariant n timp i durat a

prefixului circular mai mare dect durata rspunsului la impuls al canalului, atunci acest egalizor

de canal este unul foarte simplu, constnd ntr-o multiplicare cu o constant a semnalului

recepionat pe fiecare subpurttoare, care s compenseze coeficientul complex al rspunsului n

frecven al canalului [Olt04]. Secvena astfel obinut este adus la intrarea blocului Fast

Fourier Transform (FFT) care joac rolul de demodulator. Simbolurile complexe de ieire sunt

transformate n grupuri de bii n conformitate cu constelaia de modulaie folosit pe fiecare

dintre subpurttoare. Dac se folosete i un cod corector de erori, atunci decodorul ar putea

ngloba ntrega parte de detecie, la ieire obinndu-se valoarea estimat a biilor transmii.

1.2.2 Necesitatea transmisiei paralele multi-purttoare

ntr-un mediu de comunicaie radio, semnalul transmis se propag pe un numr mare de

trasee, care ajung la receptor cu ntrzieri i energii diferite. Acest fenomen este cunoscut sub

numele de propagare multicale i conduce la apariia interferenei inter-simbol (IIS) la recepie.

Simplificnd lucrurile (considernd canalul ca fiind un Sistem Liniar i Invariant n Timp),

propagarea multicale produce acelai efect ca i un filtru, care disperseaz n timp semnalul de la

emitor. Fenomenul poate fi modelat matematic printr-o operaie de convoluie.

Efectele propagrii multi-cale ntr-un canal radio pot fi descrise att n domeniul

frecven, ct i n domeniul timp [Skl97-1]. n primul caz se folosete termenul de fading

selectiv n frecven, iar n al doilea caz se pune n eviden tocmai dispersia temporal a

semnalului. Consecina practic a propagrii multicale o constituie limitarea superioar a ratei de

transmisie a semnalelor digitale prin canalul radio. Pentru a combate acest fenomen, caracterul

selectiv al canalului se compenseaz prin implementarea unor procedee de egalizare complexe la

nivelul receptorului [Skl97-2]. Acestea se bazeaz pe estimarea i urmrirea n timp a

comportamentului canalului, i conduc la complexitate de calcul i dificultate de


18

implemementare crescute. De fapt, aa cum se va arta printr-un exemplu numeric n cadrul

acestei seciuni, este important de menionat c fenomenul de propagare multicale este cu att

mai duntor, cu ct ratele de transmisie dorite sunt mai mari.

Pentru a ameliora problemele ridicate de ctre selectivitatea n frecven a canalului,

elementul de noutate pe care l aduce conceptul de modulaie multi-purttoare este nlocuirea

transmisiei seriale pe o singur purttoare, cu un debit nalt, cu mai multe transmisii paralele de

debit redus. Genernd N transmisii paralele, vom fi capabili s reducem de N ori limea de

band a fiecrui flux, pentru c durata simbolurilor transmise pe fiecare purttoare va crete la

rndul ei de N ori. Suma ratelor de pe fiecare subcanal va conduce n final la rata de transmisie

dorit, dar cu avantajul c selectivitatea n frecven va afecta mult mai puin fiecare subcanal n

parte dect n cazul canalului unic de la transmisia serial. Dou exemple (unul numeric i unul

grafic) vor ncerca s ntreasc aceast argumentare. S considerm o transmisie de 10Mbps

printr-un canal radio, pentru care se aloc o lime de band de 10 MHz. n acest caz durata de

transmisie a fiecrui bit n parte va fi inversa debitului, adic 0.1 s. Pe de alt parte, fenomenul

de propagare multicale produce efecte de mprtiere n timp a semnalului care sunt msurabile

i care depind de caracteristicile morfologice i topografice ale mediului considerat (forme de

relief, cldiri, densitate de populaie etc). Cu titlu de exemplu, s considerm o mprtiere de

propagare multicale de cca. 10 s, valoare uzual pentru mediul urban. Comparnd aceast

valoare cu durata bitului, rezult c efectul produs de transmisia unui singur bit de informaie va

afecta semnalul (i implicit detecia la receptor) pe durata a 100 de bii consecutivi. Dac se

consider acum o transmisie OFDM pe 1024 subpurttoare, atunci limea de band a fiecrui

subcanal este de cca. 10 KHz, deoarece durata simbolurilor transmise pe fiecare subpurttoare va

fi de 100 s, care este de 10 ori mai mare dect mprtierea de propagare multicale. Dac n

primul caz propagarea multicale va avea efecte pronunate, dificil de combtut, n cel de-al

doilea exemplu, doar o mic parte din fiecare simbol (mai precis nceputul su) va fi interferat

de ctre simboluri precedent transmise.

n exemplul grafic din figura 1.5, se arat o transmisie paralel pe 3 purttoare, ale cror

spectre se suprapun reciproc, dar pot fi totui separate datorit ortogonalitii, proprietate care va

fi explicat mai trziu. Se observ durata mai mare a simbolurilor paralele transmise, aa cum s-a

menionat n paragraful anterior.


19

1.2.3 Descrierea modulatorului OFDM

Aa cum rezult din cele prezentate pn acum, ideea de baz a modulaiei OFDM este

transmisia simultan multi-purttoare, pe mai multe subcanale de band relativ ngust. Din

punct de vedere matematic, fiecare purttoare modulat poate fi descris ca fiind o exponenial

complex:

[ ( )]( ) ( ) c cj t tc cs t A t e += (1.1)

Att amplitudinea semnalului, ( )cA t , ct i faza acestuia, ( )c t pot varia n timp, dup o lege

dat de ctre forma semnalului modulator. Totui, putem considera c aceti parametri sunt

constani pe durata de transmisie a fiecrui simbol, T.

ntr-o transmisie serial clasic se utilizeaz un singur semnal purttor. n consecin,

dac dorim s alegem o rat de transmisie egal cu R, atunci fiecare simbol de transmis va avea

durata 1ST R= , timp n care valoarea amplitudinii i a fazei semnalului transmis n canal vor fi

constante.

1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1

t

t

t

t

TS

3TS

f B=1/TS

f

s1(t)

B=3/4TS

s2(t)

s3(t)

S1(f) S2(f)

S3(f)

s(t) S(f)

S(f)

Fig.1.5: Principiul unei transmisii paralele multi-purttoare.


20

Pe de alt parte, modulaia OFDM folosete pentru transmisie N subpurttoare. n acest

caz se vor transmite simultan N fluxuri, fiecare cu o rat de simbol R/N. Semnalul care este

transmis n canal pentru un singur simbol OFDM rezult ca o sum a tuturor acestor fluxuri:

1

[ ( )]

0

1( ) ( ) n nN

j t ts n

ns t A t e

N

+

== (1.2)

unde:

0n n = + (1.3)

n relaia (1.2), nA , i n sunt amplitudinea, respectiv faza corespunztoare celui de-al n-lea

simbol de informaie transmis, iar n este pulsaia purttoarei cu indexul n. Relaia (1.3) ne arat

c purttoarele sunt spaiate ntre ele cu un interval notat . Durata simbolurilor transmise pe

fiecare purttoare (timp n care putem considera amplitudinea An i faza n ca fiind constante)

este N/R, durat egal cu aceea a simbolului OFDM (T). n acest caz, ecuaia (1.2) poate fi pus

sub forma:

1

( )

0

1( ) , pentru [ , ( 1) ]n nN

j ts n

ns t A e t kT k T

N

+

== + (1.4)

Pentru c fiecare simbol OFDM nglobeaz informaia corespunztoare a N simboluri seriale

consecutive, informaie coninut n nA i n , este nevoie s eantionm cu frecvena 1/ ST

pentru a obine o versiune discretizat a simbolului. Rezultatul este generarea a N eantioane pe

durata T a unui simbol OFDM. Expresia eantionului cu indexul k va fi:

( )01

0

1( ) , 0,..., 1S nN j n kT

s S nn

s kT A e k NN

+ +

== = (1.5)

Dac simplificm ipotezele considernd 0 0 = , valoarea eantionului devine:


21

1

0

1( ) , 0,..., 1n SN

j jn kTs S n

ns kT A e e k N

N

== = (1.6)

n acest punct, relaia (1.6) poate fi comparat cu expresia transformrii Fourier rapide inverse:

1

2 /

0

1( )N

jn k NS

Sn

ng kT G eN NT

=

=

(1.7)

n relaia (1.6) njnA e poate fi interpretat ca "spectrul eantionat" (cu pasul n frecven

0 1 T = ) al unui semnal de intrare, ale crui eantioane n domeniul timp sunt generate de ctre

modulatorul OFDM. Relaiile (1.6) i (1.7) sunt echivalente dac:

1 12 S

fNT T

= = =

(1.8)

1.2.4 Legtura dintre tehnica OFDM i Transformarea Fourier Discret

Ultima relaie dedus n paragraful precedent este similar aceleia pe care o cere

ortogonalitatea. De altfel, faptul c purttoarele folosite sunt ortogonale d tuturor metodelor ce

se supun acestui principiu i numele de "modulaii ortogonale". Aa cum ne arat relaiile (1.6) i

(1.7), impunerea ortogonalitii stabilete o legtur fericit cu transformarea Fourier discret

invers [Wei, Ebe71], legtur care va fi studiat n profunzime n aceast seciune. n acest caz,

transformarea fiind inversabil, recuperarea semnalului la demodulator poate fi fcut prin

intermediul transformrii directe, care permite implementarea demodulatorului OFDM.

Dac se consider, n cele ce urmeaz, c subpurttoarele folosite n transmise sunt

separate prin intervalul de frecven indicat de relaia (1.8), atunci spectrele acestor

subpurttoare sunt ilustrate n figura 1.6. Fiecare sinus cardinal din acest spectru corespunde unei

purttoare sinusoidale modulate cu un simbol de informaie reprezentat printr-un semnal

dreptunghiular de durat egal cu aceea a unui simbol OFDM. Se poate remarca faptul c fiecare

purttoare trece prin 0 la frecvenele centrale corespunztoare celorlalte subpurttoare. La aceste

frecvene, interferena inter-purttoare este nul, fapt care permite separarea subpurttoarelor la

receptor. Situaia este similar aceleia descrise de teorema lui Nyquist de interferen nul inter-

simbol, n care interferena se refer ns la domeniul timpului. Aa cum rezult din relaia (1.1),


22

purttoarele sunt exponeniale complexe, care sunt compuse din sinusoide (parte imaginar) i

cosinusoide (parte real). Forma subpurttoarelor ortogonale sinusoidale este artat n fig. 1.7.

Se observ c pe durata de transmisie a unui simbol OFDM fiecare subpurttoare parcurge un

numr ntreg de cicluri, condiie care deriv din ortogonalitatea subpurttoarelor.

n ciuda faptului c purttoarele sunt exponeniale complexe, din motive de claritate a

expunerii i pentru a permite o ilustrare grafic simpl ne vom referi doar la componenta lor

sinusoidal, fr a restrnge generalitatea afirmaiilor. Dac se consider construcia receptorului

OFDM, el poate fi privit ca un banc de corelatoare, care folosesc aceleai sinusoide ca i acelea

de la emisie. Semnalul recepionat (o sum de sinusoide ponderate cu valoarea simbolurilor de

Fig. 1.6: Spectrul purttoarelor folosite n OFDM.

1/T

f . . . fc1 fc2 fcN

Fig.1.7: Subpurttoarele ortogonale din OFDM.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

timp

Am

plitu

dine

T


23

informaie) este trecut prin acest banc de corelatoare. Pe fiecare ramur a corelatorului, o singur

sinusoid din semnalul recepionat va conduce la o corelaie semnificativ, i anume acea

sinusoid care este similar (aceeai frecven) cu cea folosit n corelator, toate celelalte

producnd un efect nesemnificativ. Din punct de vedere matematic, afirmaia precedent se

bazeaz pe binecunoscuta proprietate conform creia sinusoidele aflate n raport armonic sunt

ortogonale ntre ele:

( 1)

0 0, daca

sin( ) sin( )0, daca

k T

kT

T m nmf t nf t dt

m n

+ = =

(1.9)

Pentru ca relaia (1.9) s fie valid, trebuie respectat condiia: 01fT

= . O reprezentare grafic a

etapelor demodulrii este dat n figura 1.8. Astfel, n figura 1.8a) se reprezint un simbol

OFDM obinut modulnd cu simboluri bipolare echiprobabile 20 de purttoare cu frecvene

cuprinse ntre 510 i 700 KHz. Purttoarele sunt separate printr-un interval 1 10f / T kHz = = ,

durata unui simbol fiind astfel de T=100s. Pentru dou dintre ieirile multiplicatoarelor ce

compun demodulatorul, rezultatul este redat n figura 1.8b). Prima ieire corespunde unui simbol

transmis de +1, iar cea de a doua unui -1. Semnalul astfel rezultat este integrat pe durata a 100 s,

corespunztoare simbolului OFDM transmis. Evoluia n timp a semnalului de la ieirea

integratoarelor este ilustrat n figura 1.8c. n fiecare caz, corelaia cu celelalte purttoare (n

afar de aceea corespunznd ramurii curente") nu contribuie semnificativ la semnalul de ieire.

n consecin, o operaie simpl de eantionare i comparare cu pragul ne conduce la luarea unei

decizii corecte.

Cel mai semnificativ "obstacol" presupus de demodulare l constituie dificultatea de

implementare practic, bazat pe hardware, a bancului de oscilatoare sinusoidale, care s

genereze semnale ortogonale ntre ele i perfect sincronizate cu acelea de la emisie. Acesta este

de fapt i motivul care a stat n calea dezvoltrii expansive mai timpurii a tehnicilor multi-

purttoare. Soluia acestei probleme a fost gsit odat cu dezvoltarea tehnicilor de prelucrare

numeric a semnalului.

Mai concret, aa cum s-a artat mai devreme, exist legturi evidente ntre strategia de

modulaie/demodulare din OFDM i tehnicile numerice de calcul a transformrii Fourier

discrete. Pentru a surprinde mai bine natura acestei legturi, se va realiza n continuare o analiz

mai detaliat a Transformrii Fourier Discrete Inverse. Mai precis, se va studia implementarea

numeric a acestei transformate, ce presupune "eantionarea n frecven" a unui spectru care,


24

Fig. 1.8: Simbolul OFDM (a), semnalul dup multiplicatoare (b) i acela de la ieirea integratoarelor (c).

a)

b)

c)

Semnale la iesirile multiplicatoarelor


25

prin natura sa, este continuu dup variabila . Formula care descrie aceast transformare

reprezint o sum de exponeniale complexe discrete. Suma poate fi descompus n sinusoide i

cosinusoide, ponderate de secvena complex [ ]X k (vezi fig. 1.9).

Rezultatul indicat n (1.10) este un semnal discret n timp, notat cu [ ]x n .

=

=

=

+

==

1N

0k

1N

0k

nN2kj

1N10nnN2kjn

N2kkXekXnx ,...,,,))sin()](cos([][][ (1.10)

Ceea ce este foarte important n relaia (1.10), este c exponenialele complexe sunt ortogonale

ntre ele i c separarera acestora n domeniul frecvenei discrete este N2= . Acest ecart

de frecven, exprimat pentru semnalul n timp discret x[n], poate fi echivalat cu acela al unui

semnal n timp continuu x(t) (simbolul OFDM analogic) care a fost eantionat cu pasul e ST T= .

Aceast echivalare se poate face cu relaia:

1 12 2

e

e

TfNT T

= = = =

(1.11)

Schema ilustrat n figura 1.9 poate fi interpretat ca implementare a unei operaii de sintez:

cele N eantioane ale semnalului de ieire x[n] sunt sintetizate" din N sinusoide i cosinusoide

de frecvene N2k (adic aflate n raport armonic), ponderea fiecrei armonici fiind determinat

de ctre simbolul modulator X[k]. Privind lucrurile prin prisma transformrii Fourier inverse

implicate (algoritmul IFFT), eantioanele de transmis pot fi interpretate ca fiind definite n

domeniul frecven. Astfel, n forma cea mai simpl posibil, transmisia unui bit de 1 sau 0 pe

purttoarea k se va regsi prin prezena, respectiv absena purttoarei n cauz din compoziia

nN20j

e]0[X

nN21j

e]1[X

nN2

)1N(je]1N[X

1N,...,1,0n],n[x

=

Fig. 1.9: Implementarea modulatorului OFDM prin intermediul IFFT.


26

semnalului x[n]. Simplificnd i mai mult lucrurile, dac presupunem c ntr-un bloc de bii de

transmis un singur bit este 1 iar toi ceilali sunt 0, simbolul OFDM care rezult va fi pur i

simplu o exponenial complex (adic o sinusoid partea imaginar i o cosinusoid partea

real) de frecven dat de indexul bitului de 1 (adic de poziia acestuia n blocul de date).

ntruct transformarea Fourier este inversabil, receptorul se bazeaz pe aplicarea

transformrii directe asupra blocului de date recepionat. Dup conversia la joas frecven i

eantionare, semnalul n domeniul timp recepionat este demodulat prin trecerea sa printr-un bloc

de "analiz" bazat pe transformarea Fourier Discret implementat prin intermediul Fast Fourier

Transform (FFT). Demodulatorul prelucreaz cele N eantioane temporale ("observate" pe durata

unui simbol sosit la recepie) i determin amplitudinea i faza cu care fiecare purttoare

contribuie la compoziia semnalului recepionat. Descrierea matematic a acestei operaii este

dat n relaia (1.12).

=

=

=

==

1N

0n

1N

0n

kN2nj

1N10knN2kjn

N2knx

N1enx

N1kX ,...,,)),sin()](cos([][][ (1.12)

1.2.5 Utilizarea prefixului circular n OFDM

Aa cum rezult din cele prezentate, folosind tehnica OFDM datele se transmit n blocuri,

a cror conversie din numeric n analogic ne conduce la "simboluri OFDM". ntruct acest

simbol este obinut n banda de baz, fiind de fapt un bloc de eantioane numerice, se va folosi

uneori, n cele ce urmeaz, i termenul sinonim de "bloc OFDM". Acest lucru se impune pentru a

evita confuzia de termeni atunci cnd se discut despre interferena inter-simbo.

Toate canalele utilizate n aplicaii practice, fie c este vorba de canale dispersive cu fir,

fie c avem de-a face cu canale radio, vor "mprtia" n timp simbolurile OFDM, conducnd la

nivelul receptorului la apariia unei interferene ntre dou blocuri consecutive. Acest tip de

interferen este denumit interferen inter-bloc sau interferen inter-simboluri OFDM i este

ilustrat n figura 1.10.

Trebuie notat aici c, aa cum se prezint n paragraful 1.2.2, transmisia paralel multi-purttoare

este, prin natura sa, rezistent la interferena inter-simbol. ntr-adevr, cum se observ i din

figura 1.10, doar o mic parte din simbolul i+1 este afectat de ctre simbolul precedent

transmis, cu indexul i. Acest lucru se ntmpl datorit duratei mari a simbolurilor OFDM,

metod ce face uz de transmisia paralel pentru a atinge debitele nalte cerute de ctre aplicaiile

moderne. Totui, i aceast interferen care afecteaz doar nceputul simbolului este suprtoare

i trebuie eliminat. O abordare simpl pentru a contracara acest tip de interferen este utilizarea


27

unei pauze ("interval de linite") ntre dou simboluri consecutive. Metoda este cunoscut n

literatur i sub numele "zero padding" [Muq,Cou00]. Dac se consider o transmisie printr-un

canal liniar, i dac pauza de transmisie este suficient de mare, atunci efectul rezidual provenit de

la simbolul precedent va fi "absorbit" de ctre acest interval de gard. Eantioanele afectate de

efectul rezidual nu vor fi luate n calcul la demodulator, care "observ" mediul de transmisie doar

pe durata simbolului util, ignornd semnalele sosite n perioada intervalului de gard.

Totui, dei facil, utilizarea pauzei de transmisie ntre simboluri prezint dezavantaje

importante. Este vorba n primul rnd despre faptul c lipsa semnalului n anumite poriuni va

duce la dificulti de sincronizare la receptor. Aceast problem este de exact aceeai natur cu

aceea ridicat la codarea digital a semnalului n banda de baz: perioadele lungi de semnal

neschimbat (lipsa tranziiilor) cauzeaz probleme de sincronizare a receptorului. Prin urmare, din

punctul de vedere al receptorului, este preferabil ca el s primeasc permanent semnal, pentru c

aceasta l ajut la stabilirea nceputului i sfritului fiecrui simbol OFDM. O a doua problem

pe care o ridic perioada de pauz n transmisie este aceea a egalizrii. ntr-adevr, chiar dac

ntre dou blocuri OFDM succesive nu vor mai exista interferene n cazul utilizrii intervalului

de linite, ele vor continua s existe n interiorul fiecrui bloc. Este vorba de aceast dat de IIS

din interiorul unui bloc, interferen ce apare ntre simbolurile de date care compun un bloc

OFDM. Dac se consider un canal liniar, atunci efectul pe care canalul l are asupra semnalului

transmis poate fi modelat prin operaia de convoluie. n cazul realist al unui canal neideal,

eatioanele recepionate la un moment de timp tk nu vor fi identice cu acelea emise, ci vor putea

fi calculate ca o sum ponderat de eantioane anterior emise, ponderile fiind date de coeficienii

rspunsului la impuls al canalului. Acest tip de efect se combate de obicei printr-un procedeu

care se numete egalizare. Folosirea pauzei de transmisie nu faciliteaz efectuarea egalizrii, de

aceea este nevoie n acest caz de metode destul de complexe pentru a contracara interferena n

interiorul blocurilor OFDM.

Alternativa a fost oferit de o idee simpl i ingenioas: aceea a prefixului circular

[Pel,Rui80, Wei,Ebe71, Hen,Tau02]. Astfel, fiecare simbol OFDM "original" va fi extins cu o

anumit durat, prin copierea ultimei poriuni a simbolului la nceputul acestuia. Aceasta metod

Simbol i-1 Simbol i Simbol i+1

i-1 i i+1

Interval de interferen

Fig. 1.10: Transmisia unor blocuri succesive (a) i interferena la receptor (b)

Canal de transmisie

a)

b)

Interval de interferen


28

confer un aspect de periodicitate semnalului, fapt ce nu doar faciliteaz sincronizarea, ci

permite i egalizarea mai simpl a canalului. Formarea prefixului circular este artat n figura

1.11. Astfel, se consider un exemplu simplu, de transmisie a dou simboluri OFDM

consecutive, constituite din unde cosinusoidale defazate ntre ele, printr-un canal radio cu dou

ci de propagare. Ipotetic, asemenea simboluri OFDM pot fi obinute modulnd o singur

purttoare cu simbolul "1", i punnd pe "0" toi ceilali bii din blocul de la intrarea

modulatorului. Aa cum se observ (fig. 1.11a), la receptor semnalul ajunge nu doar pe calea

direct ci i pe o cale ntrziat i atenuat. Exist, la nceputul celui de-al doilea simbol, un

interval pe durata cruia acesta este interferat de copia ntrziat a simbolului precedent. n

figura 1.11 b), simbolurile sunt extinse cu un prefix care are o durat egal cu un sfert din durata

util a simbolului. Se observ c acest prefix circular este suficient pentru a absorbi propagarea

multicale, evitndu-se astfel interferena inter-bloc.

ntruct, termenii de "bloc" i "simbol" OFDM se folosesc n mod alternativ, se ntlnete

uneori, n contextul OFDM, afirmaia c folosirea prefixului circular elimin interferena inter-

simbol. Trebuie precizat ns c aceast afirmaie se refer strict la simbolurile OFDM. Aa cum

s-a explicat, un asemenea simbol, n digital, este compus din N eantioane obinute prin aplicarea

IFFT asupra simbolurilor de transmis. n interiorul unui bloc de N eantioane ns, IIS nu este

eliminat prin simpla folosire a prefixului circular. n aceste circumstane, valorile eantioanelor

obinute la ieirea canalului vor fi afectate de ctre eantioane precedente, dar care fac parte din

acelai simbol

OFDM. Acest tip de interferen continu s existe, i el se regsete n figura 1.11 prin

faptul c fiecare cosinusoid este interferat la recepie de o copie ntrziat a ei nsi.

Cu toate c prefixul circular nu elimin IIS care exist n interiorul fiecrui simbol

OFDM, el faciliteaz combaterea acesteia. Astfel, este suficient ca demodulatorul FFT s fie

urmat de un egalizor simplu de canal, pentru a elimina n ntregime aceste interferene. n

paragraful urmtor se va explica modul n care folosirea prefixului circular influeneaz

procedura de egalizare a canalului.

1.2.5.1 Egalizarea canalului cu ajutorul prefixului circular

S considerm n cele ce urmeaz o secven de date de transmis { }0 1 1, ,..., NX X X , n care

fiecare simbol kX este un numr complex, obinut prin maparea biilor iniiali pe constelaia de

modulaie utilizat. Cele N simboluri din domeniul timp corespunztoare simbolului OFDM,

sunt calculate prin aplicarea Transformrii Fourier Rapide Inverse, dup cum ne indic relaia


29

1.12. Informaia este coninut de amplitudinea i faza simbolurilor complexe XK. n continuare,

ultimele L eantioane compunnd simbolul de transmis se copiaz i se plaseaz n faa acestuia,

ompunnd prefixul circular. Vectorul de transmis devine astfel

{ }1 2 1 0 1 1, ,..., , , ,...,cp N L N L N Nx x x x x x x + + = . Aceste eantioane sunt convertite n semnal

analogic, care, la rndul su este translatat la frecvena radio de transmisie de ctre un convertor

de radio frecven. Dac se consider modelul discret echivalent al canalului, acesta poate

corespunde filtru FIR de ordinul L. n acest caz, rspunsul canalului n domeniul transformatei Z

va fi:

1

0( ) [ ]

Ln

nH z h n z

== (1.13)

n cazul n care mediul de transmisie este un canal radio, este cunoscut caracterul su variabil n

timp, rspunsul la impuls al acestuia depinznd de momentul n care impulsul este aplicat. Pentru

a simplifica demonstraia care urmeaz, se poate face totui supoziia c rspunsul la impuls al

canalului este constant pe durata transmisiei unui simbol OFDM. Aceast ipotez este realist

pentru cazul acelor canale cunoscute n literatur sub numele de "canale cu fading plat" [Skl97-

1]. Pentru situaia considerat, semnalul de la ieirea canalului poate fi calculat folosind

operatorul de convoluie:

[ ] [ ]* [ ]cp cpy n x n h n= (1.14)

n relaia (1.14), [ ]cpx n reprezint eantioanele care compun simbolul OFDM la care s-a adugat

prefix circular, [ ]cpy n este semnalul de la ieirea canalului, iar [ ]h n reprezint rspunsul la

impuls al acestuia. Suprimnd cele L eantioane ale prefixului circular, semnalul "util" (adic

eantioanele folosite n procedura de demodulare), semnalul obinut poate fi rescris sub forma:

(1.15)

unde "" este simbolul corespunztor operaiei de convoluie circular (periodic). Relaia

(1.15) este extrem de important, deoarece convoluia circular conserv suportul temporal al

semnalului. n cazul nostru, cele N eantioane ale semnalului transmis, trecute prin canal

(convoluie cu rspunsul la impuls al canalului), vor genera la ieirea canalului (dup eliminarea

y[n]=x[n] h[n]


30

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

timp

Am

plitu

dine

: Semnal transmis: Copie multicale

Simbol i-1

Simbol i

Inte

rfer

en

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

timp

Am

plitu

dine

CP # i-1

CP #i

Simbol i-1 Simbol i

Fig. 1.11: Interferen inter-bloc din cauza propagrii multicale(a), prefixul circular elimin aceast interferen (b).

a)

b)


31

prefixului circular) un bloc ("simbol OFDM") de aceeai lungime. Aceasta are drept rezultat

posibilitatea de a separa, bloc-cu-bloc simbolurile OFDM recepionate, ele putnd fi tratate

independent de ctre demodulator.

Mai mult dect att, caracterul periodic al convoluiei, asociat cu folosirea Transformatei

Fourier Discrete faciliteaz egalizarea canalului. Acest procedeu este necesar deoarece, pentru

orice canal real, se poate pune n eviden caracterul su selectiv n frecven. Selectivitatea n

frecven se manifest prin aceea c diverse componente de frecven ale semnalului de intrare

sunt afectate ntr-un mod diferit de canal, ceea ce conduce la distorsionarea semnalului sosit la

recepie. Este adevrat c, datorit naturii transmisiei paralele multi-purttoare, acest fenomen

are un impact mai mic dect n cazul unei transmisii seriale clasice, dar el va continua s existe i

s produc un oarecare nivel de distorsiune. Atunci cnd folosim prefixul circular, acest efect se

poate aproxima printr-un coeficient complex de multiplicare al fiecarei purttoare, coeficient

determinat de amplificarea i defazajul pe care canalul le introduce pentru fiecare subpurttoare

n parte. Pentru a compensa acest lucru, este foarte util proprietatea de periodicitate a

convoluiei, rezultat n urma inserrii prefixului circular. Astfel, dac se ine cont c

[ ] { [ ]}x n IDFT X k= i c modulatorul implementeaz algoritmul invers (DFT), se va putea scrie:

Y[k]=DFT{ IDFT{X[k]} h[n]} (1.16)

n acest context, o proprietate important este aceea c TFD aplicat unei convoluii circulare din

domeniul timp conduce la multiplicare spectrelor semnalelor implicate.

[ ] { { [ ]}} { [ ]} [ ] [ ], 0,1,..., 1Y k DFT IDFT X k DFT h n X k H k k N= = = (1.17)

unde H[k] este versiunea eantionat a rspunsului n frecven al canalului, eantioane prelevate

n punctele 2k k N

= . Relaia (1.17) ne arat c este posibil recuperarea simbolurilor

transmise X[k] la receptor, cu excepia unui coeficient de multiplicare caracteristic canalului,

notat H[k], i care difer pentru valori k diferite. Astfel, egalizarea n domeniul frecven const

ntr-o simpl nmulire a semnalului recepionat, cu inversul rspunsului n frecven al

canalului, corespunztor fiecrei subpurttoare n parte:

1[ ] [ ] [ ], 0,..., 1X k Y k H k k N

= = (1.18)


32

Acest tip de egalizare se numete egalizare n domeniul frecven, deoarece ea se pune n

practic dup "retranslatarea" semnalului din domeniul timp n domeniul frecven, n urma

aplicrii TFD la demodulator. De aici rezult unul dintre motivele pentru care se prefer

folosirea prefixului circular n locul unei perioade de pauz ntre blocuri. Aceast din urm

soluie nu ar conduce, din punct de vedere matematic la o convoluie circular, prin urmare

relaia (1.18) nu ar mai fi valabil, i n conseci egalizarea ar fi mai complicat.

Evident c explicaia precedent privind egalizarea se bazeaz pe un model simplificat.

Astfel, egalizarea este "perfect" doar dac se cunoate cu exactitate rspunsul n frecven al

canalului. n practic acest lucru se ntmpl arareori i trebuie inut cont i de faptul c, avnd

un caracter variabil, canalul i modific comportamentul (i deci rspunsul n frecven) de-a

lungul timpului. Dificultatea aici este de a obine "n timp real" informaii despre starea

canalului, fapt ce implic metode elaborate de estimare i urmrire a acestui comportament.

Concluzia care poate fi tras n urma celor prezentate este aceea c utilizarea unui prefix

circular pentru transmisie (i suprimarea acestuia la recepie) elimin att interferena inter-bloc

(sau, echivalent, interferena ntre dou simboluri OFDM) ct i interferena inter-canal (ICI,

Inter-Channel Interference), deoarece valoarea simbolului recepionat pe o purttoare nu depinde

dect de simbolul transmis pe purttoarea respectiv i de coeficientul complex al canalului la

acea frecven. i n privina acestei ultime afirmaii, lucrurile trebuiesc nuanate deoarece n

canalele radio mobile se manifest fenomenul de deplasare Doppler, care poate conduce la

pierderea ortogonalitii purttoarelor i drept conseci la apariia interferenei inter-canal.

Prefixul circular este benefic i din punct de vedere al sincronizrii. Pentru ca

demodulatorul s funcioneze corect, el trebuie s cunoasc exact momentul de timp care

corespunde nceputului unui simbol OFDM. Faptul c, datorit inserrii prefixului circular,

semnalul capt un aspect periodic, permite folosirea unor metode bazate pe autocorelaie, care

s duc la determinarea corect a momentului de nceput a simbolurilor OFDM.

Modelul matematic corespunztor transmisiei a M simboluri OFDM pe cte N

subpurttoare este descris de relaia:

1 1

2 2,

0 0( ) ( )k c

M Nj f t j f t

l kl k

x t X e p t lT e

= == (1.19)

unde kX reprezint simbolul de informaie cu indexul k aparinnd blocului OFDM cu indexul l,

cf este frecvena semnalului purttor i 0kf f k f= + este frecvena subpurttoarei cu indexul

k, iar p(t) reprezint funcia formatoare de impulsuri. Ea poate s fie, aa cum s-a mai discutat,


33

una rectangular, sau poate s corespund unui filtru formator de impulsuri de tip Nyquist.

Aceast funcie se va dovedi important n momentul n care se va discuta localizarea timp-

frecven a diverselor metode multi-purttoare.

34

CAP. II: UTILIZAREA UNDIOARELOR N TRANSMISIILE DE DATE

2.1 Introducere

Aplicaiile teoriei funciilor wavelet ("undioare") s-au rspndit n ultimii ani n multe

domenii specifice legate de prelucrarea semnalelor. Ne referim aici la algoritmi de "denoising"

(termen introdus chiar n legtur cu folosirea funciilor wavelet), compresie, segmentare a

semnalelor uni-dimensionale i a diverselor tipuri de imagini, sau clasificare. Recent, unele

proprieti specifice familiilor de funcii wavelet, cum ar fi ortogonalitatea componentelor

acestor familii sau capacitatea lor de a mpri planul timp-frecven ntr-o manier flexibil au

fost folosite i n aplicaii de transmisii de date [Ahm00]. Astfel, Jones i Dill [Jon,Dil01] au

pus n eviden relaia dintre undioara mam a lui Meyer i familia de filtre rdcin din cosinus

ridicat. n [Lau03] se arat c familiile de funcii wavelet satisfac criteriul lui Nyquist de

interferen nul inter-simbol ntr-un sistem de transmisii de date. n concluzie, undioarele pot fi

folosite ca i formatoare de impulsuri, n locul filtrelor Nyquist clasice. Mai mult dect att,

lucrri ale ultimilor ani focalizate pe transmisiile multi-purttoare [Olt,Naf07, Rai01,

Kog,Kod03, Lak,Nik06] au pus n eviden faptul c unele dezavantaje ale tehnologiei OFDM

pot fi contracarate folosind drept purttoare funcii wavelet, n locul celor sinusoidale. Datorit

faptului c aceste undioare formeaz o familie ortogonal pe durata unui simbol de transmis, ele

pot fi separate la recepie. n plus, fa de purttoarele sinusoidale din OFDM, undioarele

prezint o serie de avantaje n ceea ce privete complexitatea redus a implementrii, flexibilitate

i eficien spectral [Olt,Naf07]. Ideea a fost extins i la pachete wavelet, care confer

transmisiei o eficien spectral sporit i o mai mare adaptabilitate la condiiile din canal

[Jam,Mh05].

Pe parcursul acestui capitol se vor analiza avantajele pe care le poate aduce folosirea

undioarelor n diverse poziii ale unui lan de transmisie. Ne vom referi aici la folosirea

undioarelor n locul filtrelor Nyquist, i, n contextul modulaiilor multi-purttoare, la folosirea

undioarelor ntr-o transmisie multi-purttoare bazat pe aceleai principii ca i OFDM.

2.2 O privire general asupra funciilor wavelet

O abordare modern a comunicaiilor de date privete canalul de transmisie ca fiind un

plan timp-frecven. Pe dimensiunea "frecven" se poate identifica limea de band dedicat

unei transmisii, iar n planul timp modalitatea n care resursele de transmisie (temporale) sunt


35

alocate pentru transmisie. n conformitate cu principiul de incertitudine Heisenberg-Gabor,

aplicat n teoria semnalelor, niciun semnal nu poate fi perfect localizat att n domeniul timp, ct

i n domeniul frecven [Naf,Gor95].

O familie de undioare poate "acoperi" planul timp-frecven ntr-o manier eficient.

Astfel, o undioar mam are capacitatea de a genera o familie ortonormal [Isa,Naf98].

Aceast familie se obine prin translatarea n timp i scalarea undioarei mam (wavelets

mother"). Relaia matematic este:

,1( ) ( )s

ttss

= (2.1)

n relaia de mai sus, variabilele de scar (s) i cea de poziionare pe axa timpului () sunt

variabile continue.

Pentru exemplificare este ilustrat undioara mam Symmlet la diverse scri (cu diverse

grade de "dilatare") i cu diverse poziii pe axa timpului (fig. 2.1).

Undioarele din partea de jos a figurii corespund unei scri de rezoluie temporal mai slab, ele

fiind dilatate n timp, i deci mai concentrate n frecven. Pe msur ce se "urc" n scal,

undioarele sunt din ce n ce mai concentrate n timp i deci au o ntindere n frecven din ce n

Fig.2.1 : Undioara mam Symmlet la diverse scri i locaii pe axa timpului.

2. Utilizarea undioarelor n transmisia de date

36

ce mai mare.

Folosind o asemenea baz ortonormal, planul timp-frecven poate fi partajat ntr-o

manier flexibil. n figura 2.2c este ilustrat modalitatea n care "atomii" timp-frecven sunt

definii cu ajutorul funciilor wavelet. Se face n acelai timp o comparaie cu modul n care

planul timp-frecven este "partajat" prin intermediul altor abordri, devenite deja clasice n

teoria semnalelor. n primul caz (figura 2.2a), planul timp-frecven este descompus n benzi

verticale, situaie care ar corespunde eantionrii ideale a unui semnal. n acest caz, eantioanele

au o localizare perfect n domeniul timp, dar fiecare eantion n parte are un spectru de

frecvene infinit. Baza de descompunere folosit n acest caz este constituit dintr-o familie de

impulsuri Dirac deplasate { ( )}t kT . O analogie cu ceea ce se ntmpl n comunicaiile de

date ne poate conduce la o asemnare cu principul accesului multiplu cu diviziune n timp

(TDMA): fiecrui utilizator i se aloc din totalitatea timpului de transmisie disponibil o anumit

"fraciune" (o band vertical a planului din fig. 2.2a). La polul opus (fig. 2.2b), avem familia de

exponeniale complexe folosite n descompunerea n serie Fourier )}tjk{exp( 0 . Semnalele care

compun aceast baz au o localizare n frecven perfect (un impuls Dirac pe axa frecvenelor),

dar durata lor ocup ntreaga ax a timpului. Figura 2.2b) ilustreaz de fapt principiul accesului

multiplu cu diviziune n frecven (FDMA), n care, la un moment dat, mai muli utilizatori pot

transmite (recepiona) simultan, ns pe frecvene diferite. Spre deosebire de cazurile amintite

mai sus, undioarele conduc la o rezoluietemporal bun la frecvenele nalte, i la o rezoluie n

frecven bun pentru frecvenele joase. Acest lucru este dezirabil pentru analiza semnalelor,

deoarece frecvenele joase presupun o evoluie lent a semnalului (deci nu se cere o acuratee

deosebit n domeniul timp), n timp ce acelea nalte se regsesc n tranziii brute n semnal, a

cror "captare" este favorizat de o rezoluie temporal bun.

t

baz exp(jt)

b) baz j,k(t) t

c)

a)

tbaz (t)

Fig. 2.2: Canalul de comunicaie vzut ca un plan timp frecven.


37

Aa cum s-a discutat mai devreme, aceast modalitate de partajare a planului timp-frecven

poate fi obinut prin translatarea i scalarea pe axa timpului a unei funcii unice care se numete

undioar mam, )(t . Dac se discretizeaz acum variabilele timp si scar din relaia (2.1), se

poate obine o versiune discret de undioar mam, , ( )j k t (vezi relaia 2.2). De remarcat aici

c nu variabila timp este cea care conduce la versiunea discretizat a undioarei, ci ceilali doi

parametri ai acesteia.

/2

, 00 0( ) ( )j j

j k t s s t k = (2.2)

Pentru a se obine versiunea discretizat a familiei de undioare, ( ){ }j ,k t , relaiile folosite au

fost: 0js s= i 00

jks = . O alegere des ntlnit pentru 0s este 0 2s = , care conduce la

undioarele folosite n aa numita Transformare Wavelet Diadic (Dyadic Wavelet Transform).

Dac ne referim acum la un semnal n timp continuu x(t), versiunea discretizat a transformrii

wavelet continue va fi:

,( , ) ( ) ( )x j kDWT j k x t t dt

= (2.3)

Relaia (2.3) definete de fapt produsul scalar ntre semnalul x(t) i o funcie din

familia ( ){ }j ,k t . Ea se aseamn cu relaia ce permite calculul coeficienilor Fourier ai unui semnal periodic, ns este o funcie de doi parametri: scar (j) i poziie pe axa timpului (k).

Acesta este motivul pentru care relaia (2.3) este uneori denumit Wavelet Series Transform"

[Pol01]. Se remarc, din relaia (2.2), c incrementarea lui j conduce la scderea rezoluiei

temporale. Daubechies [Dau92] a artat c, pentru ca s existe o funcie undioar-mam

)}({ t , este nevoie s existe o alt funcie, denumit funcie de scar i notat cu ( )t .

Versiunile scalate ale acestei funcii sunt ( ) (2 )jj t t = .Orice funcie wavelet de la scara j

poate fi generat ca i o combinaie liniar a funciilor de scar de la scara j-1. De exemplu, o

undioar mam de la scara 0 poate fi scris astfel:

0 ( ) (2 )kk

t a t k = (2.4)


38

Un asemenea exemplu, dat pentru undioara Haar este ilustrat n figura 2.3. Se observ cum

undioara mam este o sumare ponderat a dou funcii de scar "comprimate".

2.3 Transformarea wavelet discret

Pentru implementarea pe calculator a transformrii wavelet indicat n relaia (2.3) exist o serie

de constrngeri specifice. Principala reinere manifestat fa de versiunea continu a

transformrii wavelet o constituie redundana sa ridicat. Ca un exemplu concret, dac dorim s

aplicm o transformare wavelet continu n Matlab asupra unui semnal de intrare de N

eantioane, pe un numr de S scri, rezultatul final va fi o matrice de N S numere (coeficieni

wavelet), ceea ce face aceast transformat dificil de aplicat n multe situaii practice.

Transformarea Wavelet Discret (DWT), pe de alt parte, ofer suficient informaie pentru

analiza, respectiv sinteza semnalelor, i, n contextul acestei lucrri poate fi folosit n procedura

de modulaie multi-purttoare.

Termenul de Transformare Wavelet Discret este n strns legtur cu acela de analiz multi-

rezoluie [Mal'09]. Ideea este aceeai care st la baza transformrii wavelet continue, respectiv

obinerea unei reprezentri timp-scar a semnalului, de data aceasta ns folosind tehnici de

filtrare digital. n cazul transformrii discrete este vorba de filtre cu diverse caracteristici care

Fig. 2.3: Obinerea undioarei mam Haar din funcia de scar corespunztoare.

0 20 40 60 80 100 120 140-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Funcie de scar Haar

Undioara Haar

timp

Am

plitu

dine


39

sunt folosite pentru a examina semnalul la diverse scri de decompoziie. Folosirea algoritmului

lui Mallat ne permite s "ocolim" o problem important ridicat de calculul transformrii

wavelet. Astfel, n multe cazuri, nu se cunosc expresiile analitice ale undioarelor i ae funciilor

de scar. Totui, calculul Transformrii Wavelet Discrete este posibil, graie algoritmului lui

Mallat [Mal'09], folosind bancuri de filtre ale cror coeficieni depind de undioara-mam.

Aadar, semnalul este trecut printr-o serie de filtre trece-sus (FTS), care permit evidenierea

frecvenelor nalte din semnal, i, pe de alt parte, printr-o serie de filtre trece-jos (FTJ) care

permit analiza frecvenelor joase din semnal. Rezoluia semnalului (care este o msur a

nivelului de detaliu care poate fi observat n semnalul respectiv) este schimbat prin aceste

operaii de filtrare. Pe de alt parte, scara este modificat prin operaii de sub-eantionare (la

analiz) respectiv supra-eantionare (la sintez). Subeantionarea unui semnal corespunde

reducerii ratei de eantionare (coeficienii sunt localizai mai "rar" pe axa timpului) i se face

prin nlturarea unor eantioane din semnalul de la o anumit rezoluie. Supraeantionarea, pe de

alt parte, corespunde creterii ratei de eantionare a semnalului prin adugarea unor eantioane

n acesta. Coeficienii DWT astfel obinui corespund unei eantionri a transformrii continue,

eantionare care se produce att pentru variabila de scar ct i pentru cea de poziie, aa cum s-a

artat n seciunea anterioar. Spre deosebire de ceea ce avem n relaia (2.3), trebuie notat c

ntr-o implementare pe calculator i semnalul de analizat va fi unul discretizat.

Schema de implementare a DWT directe este ilustrat n figura 2.4, ea fiind de fapt o

ilustrare a algoritmului lui Mallat. Procedura ncepe prin filtrarea semnalului cu ajutorul unui

filtru digital trece-jos, g[n] care are limea de band /2. Reamintim n acest context c

frecvena maxim din spectrul unui semnal n timp discret este , frecven care ar corespunde

jumtii frecveei de eantionare a unui semnal analogic. Dac semnalul este de band limitat

i eantionarea respect condiiile de reconstrucie, atunci ntreg spectrul semnalului se va putea

regsi n banda [ ]0 2e, f . Fitrarea efectuat corespunde efecturii unei operaii de convoluie a semnalului cu rspunsul la impuls al acestui filtru. Dup trecerea semnalului prin filtru, are loc o

decimare a ieirii filtrului cu factorul 2, care nu duce la o pierdere de informaie semnificativ,

deoarece n acest moment banda semnalului discret este de doar /2, jumtate din banda

original. Scara semnalului este acum dublul celei originale, sau, n termeni mai apropiai de

analiza multirezoluie, se poate spune c s-a obinut un anumit nivel de aproximare a semnalului.

De remarcat aici c filtrarea elimin doar componentele de nalt frecven, fr a duce la

o modificare propriu-zis a scrii, care este realizat prin procesul de subeantionare (decimare).

Pe de alt parte, rezoluia semnalului este legat de cantitatea de informaie pe care aceste o

conine i este prin urmare afectat de ctre operaia de filtrare. Simplificnd lucrurile, se poate


40

afirma c eliminndu-se jumtate de band, s-a pierdut jumtate din informaia pe care semnalul

o coninea, deci c rezoluia s-a njumtit [Pol01]. Pentru a avea o imagine complet trebuie

notat c subeantionarea nu diminueaz rezoluia, deoarece operaia anterioar de filtrare a

condus la un semnal "supra-eantionat", n care jumtate dintre eantioane sunt redundante.

Procedura de filtrare i decimare poate fi exprimat de relaia:

[ ] [ ] [2 ]k

y n h k x n k= (2.5)

Odat acestea precizate, se va urmri n continuare, pas cu pas, modalitatea n care este calculat

DWT. Trebuie inut cont aici de faptul c DWT analizeaz semnalul n diverse benzi de

frecven cu diverse rezoluii, prin descompunerea acestuia n informaie (coeficieni) de

aproximare, respectiv de detaliu. n acest scop, DWT utilizeaz dou seturi de filtre despre care

s-a mai vorbit, care sunt asociate cu funciile de scar (n cazul FTJ) i cu undioarele (n cazul

FTS). Rspunsurile la impuls ale acestor filtre sunt g[n], respectiv h[n]. Descompunerea

semnalului n diverse subbenzi este obinut prin aceste operaii succesive de filtrare trece jos i

trece sus, ilustrate n relaiile (2.6).

h[n] g[n]

2 2

h[n] g[n]

2 2

h[n] g[n]

2 2

Coeficieni DWT nivel 2


Coeficieni aproximare nivel 3 . . .

[ ]2/,0 f[ ] ,2/f

[ ]2/,4/ f [ ]4/,0 f

[ ]4/,8/ f [ ]8/,0 f

Fig. 2.4: Implementarea DWT folosind bancuri de filtre.

Semnal de intrare, x[n]



41

[ ] [ ] [2 ]

[ ] [ ] [2 ]

TSk

TJk

y n x k h n k

y n x k g n k

=

=

(2.6)

La fiecare iteraie, rezoluia temporal devine mai slab, iar cea n frecven mai bun, aa cum

ne arat procedura, deja explicat din fig. 2.4.

O proprietate foarte important a DWT este c rspunsurile la impuls ale filtrelor folosite

nu sunt independente, ele fiind legate prin relaia:

[ 1 ] ( 1) [ ]nh L n g n = (2.7)

unde L reprezint lungimea, n eantioane, a rspunsului la impuls al filtrelor. Conversia de la

caracteristica trece-jos la aceea trece-sus este furnizat de ctre factorul ( 1)n . Filtrele care

satisfac relaia (2.7) sunt denumite "filtre oglindite n cuadratur" (quadrature mirror filters).

Reconstrucia semnalului din coeficieni este facil, deoarece folosirea acestor filtre duce

la formarea unor baze ortonormale. Astfel, fiecare semnal poate fi vzut ca o combinaie liniar a

componentei sale trece-sus, respectiv trece-jos. La fiecare iteraie a transformrii inverse folosite

n reconstrucie, semnalul este supraeantionat i trecut prin filtrele de sintez. Formula de

reconstrucie, pentru fiecare nivel n parte este urmtoarea:

+=k

TJTS nk2gkynk2hkynx ])[][][][(][ (2.8)

O privire atent asupra relaiei precedente ne arat c filtrele de reconstrucie folosite sunt

asemntoare celor de descompunere, fiind de fapt o versiune reflectat n timp a acestora:

][][

][][*

*

ngng

nhnh

1

1

=

= (2.9)

n relaia (2.8) s-au nlocuit direct filtrele de sintez cu expresia ce le leag de filtrele de analiz.

De notat aici c, date fiind operaiile de supra sau sub-eantionare cu 2, o implementare facil a

transformrii se poate face atunci cnd semnalul asupra cruia se aplic transformarea are un

numr de eantioane egal cu 2L . n aceast situaie se pot aplica cel mult L iteraii ale

transformrii, deoarece la fiecare nivel de descompunere numrul coeficienilor obinui este de


42

dou ori mai mic dect la scara precedent, ajungndu-se n situaia ca, dac numrul de iteraii

este maxim, la scara cea mai brut de aproximare s avem un singur coeficient.

Implementarea reconstruciei se exemplific n figura 2.5, pentru 3 nivele de descompunere.

Filtrele de reconstrucie sunt notate cu 1g , respectiv 1h .

Dac filtrele trece-jos i trece-sus sunt ideale, atunci poate fi realizat reconstrucia exact. Cu

toate c nu este posibil implementarea practic a unor filtre ideale, n anumite condiii se pot

defini filtre implementabile, care s permit reconstrucia exact a semnalului. Unele dintre cele

mai cunoscute asemenea filtre au fost introduse de ctre Ingrid Daubechies [Dau92].

Interpretarea coeficienilor rezultai n urma aplicrii DWT poate fi uneori destul de

dificil. Vom insista ns a

Contributii la optimizarea transmisiei pe canale radio, folosind functii ...

Documents

Transcript of Contributii la optimizarea transmisiei pe canale radio, folosind functii ...